НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Это движение жидкости или

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Это движение жидкости или газа, которое характеризуется переменностью во
времени полей скорости и давления (наз. также неустановившимся движением).
Нестационарное
движение
возникает
при
ускоренном
или
замедленном
движении тела сквозь покоящуюся жидкость, при распространении волн, при движениипо
ршня в трубе, заполненной газом, в области отрывных, донных и струйных течений и др.
Нестационарное движение (Н.д) газа или жидкости можно разделить на
движение с большими изменениями скорости и давления взависимости от времени t и дви
жение, когда эти изменения невелики. Течения первого типа обычно
встречаются
при
переходных процессах, напр. при движении тела из состояния покоя до некоторой
конечной
скорости,
при
выходе
потока
из сопел двигателей и аэродинамич. труб на режим с постоянной скоростью теченияи др.
В течениях второго типа скорости и давления меняются во времени периодически ил
и случайным
образом, как, напр., при распространении акустич. волн. Наряду с пульсациями давления а
кустич. типа вжидкости или газе возникают пульсации давления гидродинамич. типа, нап
р. пульсациидавления в турбулентном пограничном слое, при натекании дозвукового учас
тка турбулентной струи наплоскую преграду, пульсации давления в зонах отрыва турбуле
нтного пограничного слоя. Наиб. простые Н.д. жидкости или газа могут быть определены
с помощью расчѐтнотеоретич. методов. Если ввестипрямоугольную систему координат х, y, z и обозначить ко
мпоненты скорости газа u. через ux, uy, uz, топростейший случай одномерного Н. д. газа, в
озникающего при распространении в нѐм плоских, цилиндрич.или сферич. волн, определяется системой ур-ний:
где р,r - давление и плотность, r расстояние от плоского, линейного или точечного источника волн. Дляплоских волн числ
о v = 1, r = х,
|u|
=
|u х|, для цилиндрических - число v = 2, r =
|u|=
и для сферических v = 3,
В случае изоэнтропич. движения с плоскими волнами в политропном газе решение и
меет вид
где с - скорость звука,
l =u.-
-
отношение теплоѐмкостейпри постоянных давлении и объѐме.
При автомодельном Н. д. сплошной среды все безразмерные характеристики течения
зависят отпеременных x/ta, y/ta, z/ta.(a - некрая постоянная) и, в отличие от системы (*), могут быть найдены изрешения системы обы
кновенных дифференц. ур-ний.
При безвихревом (потенциальном) Н. д., безграничной или ограниченной свободной
поверхностьюнесжимаемой идеальной жидкости, обтекающей твѐрдое тело, потенциалы с
корости (см. Потенциальноетечение )удовлетворяют Лапласа уравнению при заданных ус
ловиях на поверхности тела и вбесконечности, определяя зависящий от времени потенциа
л скорости Н. д. При этом гл. вектор силдавления потока на симметричное тело не равен н
улю в отличие от случая стационарного обтекания (см.Д'Аламбера - Эйлера парадокс).
Сила давления на крыловой профиль при плоском нестационарном потоке определяе
тся обобщѐннойфлой Жуковского, содержащей помимо члена ruГ члены, зависящие от присоединѐнных ма
сс и отпеременности во времени циркуляции скорости Г. Для профиля, имеющего форму э
ллипса с полуосями а иb, составляющие суммарной силы, действующей на профиль, равн
ы
где w - угл. скорость, оси координат направлены по полуосям эллипса.
Примером Н. д. вязкой жидкости является нестационарное слоистое течение у плоск
ой стенки, краявнезапно начинает двигаться с пост. скоростью и0 (задача Стокса). Такие слоистые теч
ения развиваютсяпри малых Рейнольдса числах Re =ru0x0/m <= 2300, где x0 характерный размер, m коэф. динамич.вязкости. При возрастании числа Re в пограничном слое на теле происход
ит переход ламинарного теченияв турбулентное. При этом скорость и давление в фиксир.
точке пограничного слоя не остаются постояннымиво времени. Эти изменения скорости и
давления, наз. турбулентными пульсациями, являются наиб.характерным признаком турбу
лентности.
Турбулентные Н. д. изучаются гл. обр. эксперим. методами. Осн. предметом модели
рования при эксперим.исследованиях Н. д. является Струхаля число Sh= u0t/L, где u0 характерная скорость, a L характерныйлинейный размер рассматриваемого течения. Наиб. высокие уровни пульсац
ий давления наблюдаются вобласти отрывных течений. Так, в случае Н. д., образующегос
я на установленной перед торцом цилиндра,обтекаемого в продольном направлении сверх
звуковым потоком, игле длиной 0,31 диаметра цилиндра приМаха числах потока М от 1,5 до 10 периодически образуется и ра
зрушается отрывная зона(среднеквадратичная величина пульсаций давления на торце S =
0,8
, где
-
скоростной напорнабегающего потока). В выемках поверхностей, обтекаемых потоком, в
озникают резонансные колебаниядавления изза срыва крупномасштабных вихрей с передней кромки выемки; в турбине возникают пул
ьсациидавления на передней кромке ротора в результате периодич. пересечения турбулент
ного следа застатором лопатками колѐс.
Н. д. часто встречается в технике. Важнейшими примерами являются автоколебания
в воздухозаборниках икомпрессорах (помпаж), колебания несжимаемой жидкости в трубо
проводах и топливных магистралях,тонкостенных элементов конструкции, явления, возни
кающие при взлѐте, посадке и изменении скоростиполѐта летат. аппаратов, флаттер, проце
ссы в ударных трубах, переходные процессы при запуске иостановке двигателей и др.
Потенциальное течение
Это безвихревое движение жидкости или газа, при котором деформация и перемещение
малого объѐма жидкости происходит без вращения (вихря). При потенциальном течении
скорость жидкости может быть представлена следующим образом:
где
—
некоторая скалярная
функция,
называемая потенциалом
скорости течения. Движение реальных жидкостей будет потенциальным в тех областях,
где действие сил вязкости ничтожно мало по сравнению с действием сил давления и в
которых нет завихрений, образовавшихся за счѐт срыва со стенок пограничного слоя или
за
счѐт
неравномерного
нагревания.
Необходимым
потенциальности течения являются равенства:
и
достаточным
условием
В двумерном случае потенциальное течение полностью описывается комплексным
потенциалом.
Простейшими примерами П. т. служат поступат. течение с пост. скоростью
вдоль
оси x (
потенциал
'' +
пространстве, для к-рых
const), а также источник
и
сток
в
где Q - постоянная (Q =const) или переменная
(Q = Q(t))мощность источника (стока),
- расстояние от начала
координат. При Q > 0 жидкость вытекает из начала координат во всех направлениях
(точечный источник), а при Q < 0 - втекает в начало координат (сток).
Движение идеальной жидкости, возникшее из состояния покоя, будет потенциальным;
будучи потенциальным в к--л. момент времени, оно будет потенциальным и в
последующее время, если давление зависит только от плотности и массовые силы
являются
консервативными
несжимаемой (плотность
(см. Консервативная
система ).Движение
идеальной
= const) жидкости, вызванное мгновенным приложением
импульс-них давлений (внезапное движение погружѐнного тела, удар тела о поверхность
жидкости), будет также потенциальным.
Для П. т. дифференц. ур-ния движения идеальной жидкости приводятся к интегралу
Лагранжа - Коши:
где П - потенц. энергия поля массовых сил, приходящаяся на единицу массы,
-
произвольная ф-ция от времени t.
Для установившегося движения соотношение (1) принимает вид
где С - постоянная для всей области П. т. сжимаемой жидкости. Т. о., для изучения П. т.
достаточно определить потенциал скоростей с помощьюнеразрывности уравнения,
соотношения (2) и ур-ния физ. состояния. Для несжимаемой жидкости ур-ние
неразрывности имеет вид
и поэтому изучение П. т. сводится к, решению ур-ния Лапласа
с учѐтом граничных условий на твѐрдых стенках и на свободной поверхности (условий
безотрывности обтекания твѐрдых стенок и условия постоянства давления на свободной
поверхности).
Для плоскопараллельного П. т. несжимаемой жидкости ур-ние неразрывности позволяет
ввести ф-цию тока
к-рая
в
комбинации
потенциал
с
потенциалом
скоростей
f
составляет
комплексный
представляющий ф-цию от комплексного переменного
С помощью комплексного потенциала скоростей изучаются безотрывное
обтекание плоского контура, струйное обтекание стенок и волновое движение.
Безотрывное П. т. вокруг плоского контура может быть бесциркуляционным или
циркуляционным. В первом случае результирующее воздействие жидкости на плоский
контур равно нулю (см. Д-Аламбера - Эйлера парадокс), во втором - результирующее
воздействие потока жидкости на контур сводится к подъѐмной силе, а в случае струйного
П. т. вокруг плоского контура - к силе сопротивления, пропорциональной квадрату
скорости. П. т. имеет место также при движениях сжимаемой жидкости или газа,
представляющих собой малые возмущения нек-рого известного состояния равновесия пли
движения, напр. при распространении звука в среде; при этом малый избыток давления
над давлением в состоянии равновесия среды связан с потенциалом скоростей
соотношением
а из ур-ния неразрывности в случае, когда потенциал
массовых сил не зависит от времени, получается волновое ур-ние
где с - скорость распространения звука, вычисленная для невозмущѐнного состояния
покоя:
Для П. т. газа при адиабатич. законе дифференц. ур-ние для
потенциала скоростей становится нелинейным, но с помощью преобразования С. А.
Чаплыгина оно приводится к линейному ур-нию, разрешаемому в ряде случаев.
Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости.
Равновесие жидкостей и особенно газов, рассмотренное в предыдущей лекции,
соответствует идеальным внешним условиям и поэтому на практике реализуется крайне
редко. Обычно жидкости при внешнем воздействии приходят в движение, при этом
давление и скорость ее частиц, вообще говоря, могут сложным образом меняться от точки
к
точке
внутри
Поясним
сказанное
примером.
объема
Подключим
текущей
горизонтальную
жидкости.
стеклянную
трубку
переменного сечения при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 3.1).
Если напор воды остается постоянным, то течение воды можно считать установившимся
(или стационарным). В этом случае масса воды M, протекающая в единицу времени через
сечения с площадями S1 и S2будет одинаковой, поэтому имеет место равенство
(3.1)
где ( и v - плотность и скорость жидкости в этих сечениях. Если жидкость
несжимаема
, то условие (3.1) переходит в условие постоянства объема жидкости
(условие несжимаемости), протекающего через сечения S1 и S2:
V = v1S1 = v2S2
(3.2)
Рис. 3.1.
Следует отметить, что условия постоянства массы (3.1) и несжимаемости жидкости (3.2)
записаны для случая, когда скорости всех частиц жидкости одинаковы в поперечном
сечении
трубки.
Для графического изображения течения жидкости удобно использовать линии тока линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости частицы
(рис. 3.2). Легко видеть, что в сечении S скорости частиц различны, и объем протекающей
жидкости через это сечение не может быть записан в виде (3.2).
Рис. 3.2.
Далее отметим, что по мере приближения к узкому сечению S 2 частица, деформируясь,
ускоряется (в силу 3.2), а при удалении от S2 - замедляется. Эти ускорения могут
обеспечить лишь силы давления fi = - pin, показанные на рис. 3.2 маленькими стрелками.
Из рисунка ясно, что давление в жидкости по мере приближения к S 2 падает. А затем
возрастает.
Это
легко
проверить,
если
сравнить
уровни
h1 и
h2 жидкости
в
манометрических стеклянных трубках, впаянных в горизонтальную трубку вблизи
сечений S1 и S2. Поскольку
, то p1 > p2, т.к. h1> ;h2. На рис. 3.3 качественно
изображено распределение скоростей и давлений вдоль оси трубки (см. рис. 3.2).
Рис. 3.3.
Для количественного описания течения жидкости разобьем поток жидкости по трубе на
элементарные потоки по воображаемым трубкам тока, образуемых семейством линий
тока. В поперечном сечении трубки тока скорость частиц приблизительно одинакова, и
это
обстоятельство
существенно
облегчаем
анализ
течения
жидкости.
Найдем количественную связь между скоростью и давлением, качественно отображенную
на рис. 3.3. При прямолинейном течении частиц воды вдоль осевой трубки тока сумма
сил, приложенных к единице объема (см. 2.5), обеспечивают его ускорение. В
соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать
(3.3)
где Fx - плотность, имеющая размерность Н/м3. Отметим, что в уравнение (3.3) не входят
силы вязкости, зависящие от скорости движения элемента жидкости. Впоследствии мы
учтем их влияние и выясним условия, при которых ими можно пренебречь. Изменение
скорости частицы dvx и связанное с ним ускорение может происходить как вследствие
стационарного движения частицы от широкого к узкому (или наоборот) сечению, так и
при нестационарном изменении скорости течения во времени (например, при медленном
увеличении или ослаблении напора воды с помощью крана). Поэтому в общем случае
скорость частиц является функцией не только координаты x, но и времени t:
(3.4)
где dx=vxdt - расстояние, пройденное частицей за время dt. Подставляя (3.4) в (3.3),
приходим к уравнению Эйлера
(3.5)
описывающее одномерное течение несжимаемой невязкой жидкости. При стационарном
течении жидкости по горизонтальной трубе скорость не зависит от времени
,
внешние силы Fx=0, и уравнение Эйлера принимает простой вид
(3.6)
Здесь
вместо
используется
Учитывая, что
символ
полной
производной
d/dx.
перепишем (3.6) в виде
(3.7)
Равенство (3.7), устанавливающее связь между давлением и скоростью, является частным
случаем уравнения Бернулли. Константа, входящая в это уравнение, определяется из
значений
давления
и
скорости
в
каком-либо
сечении
трубки
тока.
Используя это уравнение, определим массу воды (расход), проходящую за единицу
времени через сечение трубки, изображенной на рис. 3.2. В соответствии с уравнением
(3.7) давления и скорости в сечениях S1 и S2 связаны соотношением
(3.8)
Помимо этого, искомый расход воды определяется равенством (3.1):
(3.9)
Поскольку
давление
и
определяются
по
показаниям
h1 и
h2 манометрических трубок, то решая систему уравнений (3.8) и (3.9) относительно m,
находим
(3.10)
Для измерения расхода воды на практике применяются водомеры, основу которых
составляет труба переменного сечения, оснащенная манометрами для измерения давлений
p1 и
p2 в
известных
сечениях
S1 и
S 2.
Течение жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли.
Рассмотрим задачу о течении жидкости вдоль произвольных трубок тока, могущих
составлять произвольный переменный угол с горизонтом. Одна из наших криволинейных
трубок показана на рис. 3.4. Если ввести криволинейную координату , совпадающую с
осью трубки тока, то при стационарном течении жидкости ее скорость и давление
являются функциями этой координаты. Проектируя силу тяжести на ось , запишем
уравнение Эйлера (3.5) в виде:
(3.11)
Здесь v - скорость частиц, направленная вдоль оси трубки.
Рис. 3.4.
Если элемент жидкости сместился вниз на расстояние
высоту dh<0, при этом
тождество
, то он сместился (опустился) на
. Подставляя значение
в (3.11) и используя
, находим
(3.12)
Для несжимаемой жидкости =const, и последнее равенство трансформируется к виду
(3.13)
Интегрируя (3.13) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли
(3.14)
Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда
употребляют термин "идеальной жидкости"), и играет фундаментальную роль в
гидродинамических исследованиях. Если нам известно давление p1, скорость v1 в
некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h1, то в любом другом сечении на
высоте h величины p и v связаны соотношением
(3.15)
Давление p - это статическое давление, которое получит манометр, находящийся в
жидкости и движущийся вместе с нею,
- это динамическое давление, смысл которого
будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости равенство (3.15) описывает
гидростатическое
распределение
давлений.
Уравнение Бернулли может быть получено с использованием закона сохранения энергии.
В отсутствие сил вязкости, приращение суммарной (потенциальной и кинетической)
энергии массы воды, находящейся в трубке тока между сечениями S 1 и S2 (рис. 3.5) равно
работе сил давления. Из рисунка видно, что за время dt течение жидкости эквивалентно по
конечному результату перемещению элемента массой
с высоты h1 на
высоту h2 и одновременному повышению его скорости от величины v1 до величины v2.
Рис. 3.5.
Приращение
кинетической
Приращение
равно:
потенциальной
Работа
энергии
сил
dA=p1S1v1dt
Записывая
энергии
давления
-
уравнения
энергетического
p2S2v2dt.
баланса
в
виде
dEK+dEП=dA,
получаем уравнение Бернулли:
(3.16)
Проведенный энергетический вывод уравнения Бернулли делает более понятным
физический смысл входящих в него членов. Так, статическое давление p численно равно
работе сил давления, совершаемых над единичным объемом жидкости; динамическое
давление
есть кинетическая энергия единицы объема, а величина
потенциальной
энергией
единичного
объема
в
поле
силы
является
тяжести.
Применим уравнение Бернулли к расчету течения жидкости в ряде интересных
физических задач.
Движение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Число Рейнольдса. Формула
Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течение. Турбулентность атмосферы. Обтекание
тел потоком жидкости. Формула Жуковского. Гидродинамическое подобие. Движение
тела со сверхзвуковой скоростью.
Силы вязкого трения.
В предыдущих лекциях мы рассматривали движение жидкости и газа в
пренебрежении силами вязкого трения. Между тем, эти силы, действующие между
частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом повлиять как на
распределение скоростей в потоке жидкости, так и на обтекание жидкостью тел,
помещенных
в
движущийся
поток.
Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга
двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью,
силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Так, при движении со
скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила
вязкого трения, направленная против движения и равная
(4.1)
Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в
поперечном направлении v/h (градиенту скорости в направлении перпендикулярном
движению) и зависит также от вязкости жидкости .
Рис. 4.1.
Формула (4.1) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их
линейных размеров
. Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к
верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной).
Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое
(прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои,
движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за
собой нижний соседний слой с силой
. В свою очередь, этот нижний слой тормозит
движение верхнего слоя с силой, численно равной
. На каждый слой действует сверху и
снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их
высотой (рис. 4.2), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат,
усилие
, приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину.
Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее
истечения через трубку известных размеров. (см. ниже). Как показывает опыт с
нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается. Объяснение такого
разного поведения коэффициента вязкости будет дано в курсе "Молекулярная физика".
Рис. 4.2.
Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28)
необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости.
Для того, чтобы избежать лишних выкладок, мы ограничимся рассмотрением двумерного
слоистого течения жидкости в направлении оси x, при этом единственная компонента
скорости vx зависит от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz
кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с (4.1) в
направлении оси x действует увлекающая сила
тормозящая сила
, а на нижнюю грань -
. Поэтому равнодействующая сил вязкого трения,
приложенная к выделенному кубику, равна
(4.2)
а сила, приложенная к единице объема, составит
(4.3)
При линейном законе изменения скорости по высоте, как на рис. 4.2,
изменяется нелинейно, как на рис.4.3, то
. Если скорость
. При трехмерном течении жидкости сила
вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты
, где
(4.4)
В (4.4)
- оператор Лапласа, широко применяемый в физике для сокращения
записи. Если теперь компоненты силы трения (4.4) подставить в правые части уравнений
(3.29) для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений
гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного
векторного уравнения
(4.5)
Оно отличается от (3.31) наличием в правой части члена . Уравнение (4.5)
называется уравнением Навье-Стокса и является основным при расчете движения вязкой
несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не решается методами современной
математики, и на практике приходится ограничиваться решением лишь частных задач.
Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости, подчиняющееся
уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости
или газа можно пренебречь. Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь
действием сил вязкости.
Рис. 4.3.
Число Рейнольдса. Критерий отсутствия вязкости.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя горизонтальными пластинами,
расстояние между которыми равно h. Поскольку частицы жидкости "прилипают" к
пластинам, то скорость слоев текущей жидкости будет различной. Качественно
распределение скоростей слоев изображено на рис. 4.4. Если известна характерная
скорость течения (например, скорость v на оси потока), то легко оценить силы вязкого
трения. Согласно (4.3)
(4.6)
Отсюда следует, что силы вязкого трения убывают с увеличением расстояния между
пластинами. В общем случае можно считать, что силы вязкости, возникающие в потоке,
обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и
пропорциональны скорости.
Рис. 4.4.
С точки зрения динамики (см. уравнение 4.5) при отсутствии внешних сил F вязкостью
можно пренебречь, если силы давления -grad p значительно превосходят силы
вязкости
. На первый взгляд, при течении жидкости между параллельными
пластинами (равно как и по трубе постоянного сечения), где градиенты давлений
отсутствуют вовсе, вязкостью в принципе нельзя пренебречь. И все наши выводы о
течении
идеальной
жидкости
становятся
неверными.
Однако надо принять во внимание, что из-за флуктуаций линии тока "норовят"
искривиться, и частицы в них движутся с ускорением. Поэтому давления p1 и p2 по разные
стороны изогнутой трубки тока будут различными: p2>p1 (рис. 4.5). Возникающие
градиенты давления обеспечивают криволинейное течение жидкости:
(4.7)
Последнее уравнение является приближенным уравнением Навье-Стокса ( =0) и записано
в отсутствии внешних сил. Тогда критерий малости сил вязкости сводится к неравенству
(4.8)
В гидродинамике очень часто используют понятие силы инерции Fи=- dv/dt. С точки
зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей жидкости, она находится в покое,
потому что силы давления, вязкости и инерции уравновешивают друг друга (см. 4.5):
(4.9)
Неравенство (4.8) означает, что силы вязкости значительно меньше сил инерции. В
частном случае течения жидкости между пластинами силы инерции при искривлении
трубок тока жидкости
(4.10)
где v2/h - характерное центростремительное ускорение. В общем случае, силы инерции
обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату
скорости. С учетом оценок (4.6) и (4.10) условие (4.8) перепишется следующим образом:
(4.11)
Здесь
- число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции и сил
вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как невязкую, если
число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет
вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят"
компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым,
возникновению неустойчивого течения (см. ниже).
Рис. 4.5.
Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса R. Число
Рейнольдса в этом случае
. Если принять радиус трубы R = 1 см и скорость течения
v = 1 см/с, то для воды ( =103 кг/м3, при t=15
) число Re=86. Это означает, что силы
вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако
это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два
порядка, и Re=0,86<1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке
уже не подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это относится к
вязкому глицерину ( =1,4 кг/(м*с)). При течении воздуха по трубе ( =1,3 кг/м3, =1,8*105
кг/(м*с)) число Рейнольдса приблизительно на порядок меньше, чем при аналогичном
течении воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и других газов
играют большую роль, чем при аналогичном течении воды.
Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.
Рассмотрим течение вязкой жидкости, обратившись непосредственно к опыту.
Подключим тонкую горизонтальную стеклянную трубу с впаянными в нее вертикальными
манометрическими трубками при помощи резинового шланга к водопроводному крану
(рис. 4.6).
Рис. 4.6.
При небольшой скорости течения воды легко усматривается понижение уровня воды в
манометрических трубках в направлении течения (h1>h2>h3). Это в свою очередь
указывает на наличие горизонтального градиента давления - статическое давление
жидкости уменьшается вдоль потока. При равномерном прямолинейном течении
жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости, а силы инерции
отсутствуют вовсе. Уравнение Навье-Стокса для этого случая запишется в виде
(4.12)
Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно
наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (рис. 4.7).
Рис.
4.7.
Если, например, при закрытом кране К налить вначале подкрашенный сахарный сироп, а
затем поверх осторожно налить неподкрашенный сироп, то в состоянии равновесия
граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница раздела примет
форму,
похожую
на
параболоид
вращения.
Это
указывает
на
существование
распределения скоростей в сечении трубки при вязком течении сиропа. Нетрудно
вычислить это распределение скоростей потока в поперечном его сечении. Это можно
сделать, записав уравнение (4.12) в цилиндрических координатах (x, r) и проинтегрировав
его. Однако мы поступим несколько проще, если приравняем силы вязкости и давления,
действующие на цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиной dx (рис. 4.8):
(4.13)
Отметим, что равнодействующая сил давления направлена по потоку (вдоль оси x), а сила
вязкого трения, приложенная к боковой поверхности цилиндрического объема - против
потока, поскольку dv/dr<0. Произведя сокращение и разделив (4.13) на dx, получаем
(4.14)
Величина градиента давления dp/dx в (4.14) не зависит от радиуса r, т.к. давление p=p(x) и
в поперечном сечении x=const не меняется. Это позволяет проинтегрировать (4.14) по
радиусу:
(4.15)
Уравнение (4.15) позволяет рассчитать распределение скоростей , при условии, что у
стенок трубы эта скорость равна нулю. После интегрирования (4.15) получаем
(4.16)
Давление равномерно падает в направлении оси x, поэтому dp/dx<0 и не зависит от x.
Параболическое распределение скоростей (4.16) графически изображено на рис. 4.8 у
выходного сечения трубы. Поток вектора скорости через поперечное сечение трубы, или
жидкости, протекающей через сечение в единицу времени (на практике употребляют
термин "расход жидкости") оказывается равным
(4.17)
Для практических целей расход жидкости определяют по формуле Пуазейля
(4.18)
Здесь расход воды Nv пропорционален разности давлений p1-p2 на концах трубы длиной .
Следует обратить внимание на существенную зависимость пропускной способности
трубы от ее радиуса R. При заданном давлении на входе водопроводной сети увеличение
диаметра труб вдвое влечет увеличение их пропускной способности в 16 раз!
Рис. 4.8.
Пользуясь формулой Пуазейля можно определить вязкость жидкости. Так, например, в
опыте, изображенном на рис. 4.6, легко измерить разность давлений и расход жидкости и
при известном радиусе горизонтальной трубки посчитать вязкость жидкости Однако
более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя время падения
шарика
в
этой
жидкости
(см.
ниже).
Параболический профиль скорости слоев, как нетрудно подсчитать, будет и при течении
жидкости между двумя пластинами (рис. 4.4). Если этот рисунок разрезать посередине на
высоте и наклонить нижнюю пластину под углом , то мы получим картину слоистого
течения воды в реке под действием силы тяжести (рис. 4.9). Вместо перепада давления
dp/dx мы можем использовать компоненту силы тяжести
при расчете профиля
скоростей течения.
Рис. 4.9.
Ламинарное и турбулентное течение.
Обратимся теперь к вопросу об устойчивости течения жидкости по трубам. С этой
целью поставим следующий эксперимент. Пусть жидкость вытекает из сосуда через
горизонтальную стеклянную трубку (рис. 4.10). Для контроля за характером течения
будем при помощи капилляра впускать ту же, но окрашенную жидкость во входное
сечение трубки.
Рис. 4.10.
В случае малого поперечного сечения трубы и не очень большой скорости течения
окрашенная струйка движется прямолинейно строго вдоль оси трубы (ситуация а на рис.
4.10). При большем сечении или при удвоении скорости появляется нерегулярное
движение, когда струйка разбивается на множество извилистых струек (ситуация б). В
первом случае движение называется слоистым, или ламинарным, а во втором случае турбулентным. При ламинарном течении силы вязкости сглаживают боковые движения
жидкости, возникающие вследствие различных неровностей стенок трубы. Инерция
жидкости стремится сохранить боковые движения жидкости, способствуя тем самым
турбулентности. Переход от ламинарного к турбулентному течению приводит при
некотором числе Рейнольдса, получившего название критического:
(4.19)
Его значение сильно зависит от формы входной части трубы. В случае закругленного
конца, как на рис. 4.10, течение с самого начала устанавливается ламинарным и
продолжает оставаться таким до больших чисел Рейнольдса. Область критических чисел
Reкр лежит между значениями 1200 (незакругленный вход) и 20000 (закругленный вход).
Поэтому в литературе приводятся весьма различные значения Reкр.
Рис. 4.11.
При стационарном турбулентном течении скорость в данной точке случайным образом
меняется во времени, однако среднее значение вектора скорости <v> направлено вдоль
оси трубы. Средняя скорость остается постоянной по сечению трубы, и только в очень
тонком пограничном слое спадает до нуля у стенок трубы. На практике для расчета
турбулентного течения жидкости по трубе используется формула
(4.20)
в
которой
k
-
безразмерный
гидравлический
коэффициент.
Средняя же по сечению скорость ламинарного течения из формулы Пуазейля (4.18)
получается равной
(4.21)
Разность давлений, как функция скорости
(4.22)
Если сравнить перепады давлений для турбулентного (4.20) и ламинарного (4.22) течений,
то легко видеть, что повышение скорости прокачки жидкости по трубам при
турбулентном течении потребует значительно большего увеличения перепада давлений,
чем при ламинарном. Известен исторический факт прокладки нефтепровода в России,
спроектированного на основе формулы (4.20). Однако при приложенной разности
давлений пропускная способность нефтепровода оказалась выше расчетной. Ошибка
проекта (к счастью, удачная) состояла в том, что несмотря на большой диаметр труб
нефтепровода вязкая нефть течет ламинарно, и пропускная способность нефтепровода
должна рассчитываться по формуле (4.22). Формулы (4.20) и (4.22) можно объединить в
одну, если принять, что безразмерный гидравлический коэффициент в (4.20) зависит от
числа
k
Рейнольдса:
=
k0 +
Тогда при Re>Reкр k k0, и течение турбулентное. Напротив, при Re 1 k
8/Re.
8/Re, и формула
(4.20) переходит в (4.22). На рис. (4.12) изображен график зависимости перепада давления
в трубах в зависимости от скорости течения. Однако если двигать трубу относительно
неподвижной жидкости, то кривую на рис. 4.12 с известной натяжкой можно
интерпретировать как зависимость силы лобового сопротивления, приходящейся на
единицу площади сечения трубы, от скорости ее движения в жидкости. При малых
скоростях движения сила сопротивления пропорциональна скорости, а при больших квадрату скорости.
Рис. 4.12.
При свободном ламинарном течении (в отсутствие направляющих поверхностей) струи
жидкости развиваются неустойчивости, и ламинарное течение переходит в турбулентное.
На рис. 4.13. представлено оптическое изображение текущей струи жидкости (число
Рейнольдса Re=250). Хорошо видно, что течение от ламинарного режима через
переходный трансформируется в турбулентный. До настоящего времени нет ясного
понимания, почему это происходит. Классическая линейная теория устойчивости дает
верное описание начальной стадии разрушения ламинарного течения. Ясно, что переход к
турбулентному течению является существенно нелинейным процессом, и теория
устойчивости должна базироваться на анализе нелинейных давлений гидродинамики.
Рис. 4.13.
Мы отметим, что в области ламинарного течения линии тока практически параллельны.
Поле скоростей является потенциальным (по аналогии с однородным полем силы
тяжести). Описание течения может быть значительно проще, если использовать потенциал
скоростей
(4.23)
В ряде задач проще рассчитать сначала потенциал скоростей, а затем и скорость:
v=
Ф
-grad
В области турбулентного течения невозможно ввести однозначно потенциал скоростей.
Скорость течения v в каждой точке является случайной функцией времени, и необходимо
развивать
статистический
подход
к
описанию
турбулентного
течения.
Очень плодотворным является понятие вихря. С математической точки зрения вихревой
характер течения имеет место тогда, когда отлична от нуля "работа" вектора скорости v по
замкнутому контуру, получившая название циркуляции вектора скорости:
(4.24)
На рис. 4.14 схематично изображены линии тока в фиксированный момент времени при
турбулентном течении и показан контур , по которому вычисляется интеграл (4.24).
Символ
означает, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Если
размеры контура стягивать в точку, то в этой точке интенсивность вихреобразного
течения
будет
характеризоваться
ротором вектора
скорости
в
соответствии
с
определением
(4.25)
Здесь
- площадь маленького контура, n - нормаль к этой площадке, направленная туда
же, куда и острие буравчика, рукоятка которого вращается в направлении течения.
Формула (4.25) дает лишь значение проекции вектора rot v на направлении нормали,
поскольку контур ориентирован произвольно. Чтобы посчитать компоненты вектора
rot v надо вычислить циркуляции по контурам, нормали к которым совпадают с
соответствующими осями координат.
Рис. 4.14.
В качестве иллюстрации к сказанному посчитаем ротор вихревого течения воды, подобно
тому, которое имеет место вблизи выпускного отверстия ванны. Если принять, что
частицы движутся с угловой скоростью , то циркуляция вектора скорости по круглому
контуру радиуса r с центром на оси сливного отверстия и перпендикулярного к ней равна
(4.26)
При такой ориентации контура вектор rot v будет направлен по нормали n к контуру и
равен
(4.27)
Проведем без доказательства формулу для вектора rot v в декартовых координатах:
(4.28)
Здесь i, j и k - единичные векторы вдоль соответствующих декартовых осей координат.
Желающие могут подсчитать (4.27), пользуясь формулой (4.28).