Лекция 03 Глава 3. Законы сохранения § 19. Понятие об
реклама
Лекция 03 en tia § 19. Понятие об интегралах движения § 20. Кинетическая энергия § 21. Работа и мощность § 22. Консервативные силы § 23. Потенциальная энергия во внешнем поле сил § 24. Потенциальная энергия взаимодействия § 25. Закон сохранения энергии § 26. Энергия упругой деформации § 27. Условия равновесия механической системы § 28. Закон сохранения количества движения (импульса) § 29. Центральный удар шаров § 30. Закон сохранения момента импульса l Глава 3. Законы сохранения fid § 19. Понятие об интегралах движения on Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать между собой и с телами из другой системы. Поэтому все силы делятся на внутренние и внешние. Если внешние силы отсутствуют, то система называется замкнутой. C Для замкнутых систем существуют функции координат и скоростей частиц, образующих систему, которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции интегралы движения. Причем представляют интерес только обладающие свойством аддитивности: значение интеграла движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. ny Аддитивных интегралов три: неизменны энергия, импульс и момент импульса. Им соответствуют законы сохранения этих величин. C om pa В основе сохранения энергии лежит однородность времени: замена момента времени другим моментом без изменения координат и скоростей тел не изменяет механические свойства системы. В основе сохранения импульса лежит однородность пространства: одинаковость свойств пространства во всех точках. В основе сохранения момента импульса лежит изотропия пространства: одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Законы сохранения позволяют решать задачу движения тел тогда, когда точное решение уравнений движения слишком сложное или когда неизвестны силы. Получим законы сохранения исходя из уравнений Ньютона. § 20. Кинетическая энергия Под действием силы F на покоящееся тело возникает его движение со скоростью v. Второй закон Ньютона гласит F=m dv dt Умножим обе части равенства на перемещение ds = vdt, получим и mu 2 ) = Fds mvv& dt = mvdv = d ( 2 mu 2 T= = const 2 F=0 и тогда mmu 2 p 2 T= = = const 2m 2m или fid Если система замкнута, т.е. en tia l dv m ds = F ds dt Это интеграл движения – кинетическая энергия частицы. C on Видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. Здесь мы предполагали, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. Если на частицу действует сила F , то кинетическая энергия не остается постоянной. Ее 2 mu ) = F ds 2 ny приращение d( называется работой Fds = dA C om pa совершаемой силой F на пути ds. Работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу. 2 mv ) = Fds вдоль траектории 1-2 дает: 2 2 2 2 mu 2 mu 2 2 mu 21 ò1 d ( 2 ) = ò1 Fds = 2 - 2 = T2 - T1 = A12 = ò1 Fs ds Э d( Интегрирование равенства то работа силы F на пути 1-2. Т.о. работа результирующих всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы A12 = T2 - T1 § 21. Работа и мощность Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу. (11.1) en tia dА = Fsds = Fds cos α l Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы: где α – угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы. Если α – острый, то работа положительна, сели α – тупой, то – отрицательна. При α = π/2 работа равна «0». Работа держащего груз неподвижно равно нулю ! fid В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента — постоянной. Fi αi vi on Fsi C dsi ny Рис. C om pa Тогда элементарная работа (см. рис.) dAi = Fsidsi = Fi dsi cosαi а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ: N N M M A = ò Fsi ds i = ò Fi ds i cos a i Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость Fs от s вдоль траектории МN. Если эта зависимость представлена графически (рис.) , то искомая работа А определяется заштрихованной на графике площадью. Fs dA s Рис. en tia ds l A Если тело движется прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим N N fid A = ò Fds cos a = F cos a ò ds = Fs cos a , M M где s — пройденный телом путь. on Единица работы — джоуль (Дж):1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м. Найдем работу, совершаемую при деформации пружины подчиняющейся закону C om pa ny C Гука. Растяжение и сжатие пружины выполняем медленно, тогда внешняя сила равна упругой и они равны F=-kx, где x – удлинение пружины. 2 Тогда работа A= kx 2 Аналогично находится выражение для работы, совершаемой при упругом растяжении или В случае действия на тело F = å Fi i Dl l0 - его относительное удлинение. l где V = Sl0 – объем стержня и e = нескольких сил, результирующая которых равна en tia сжатии стержня ESl0 Dl 2 EV 2 ES 2 A= ( Dl ) = ( ) = e 2l0 2 l0 2 работа на пути ds также представляется в виде суммы i i Можно работу переписать в виде t2 A = ò Fvdt on dA = Fds = Fvdt , тогда fid dA = (å Fi )ds = å dAi C t1 Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность Р есть физическая величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, за который она совершена: ny P= DA Dt C om pa В случае переменной мощности вводится понятие мгновенной мощности: DA dA = Dt ® 0 Dt dt P = lim Если мгновенная мощность не постоянна, то формула P= DA Dt среднюю мощность <P>. Если тело движется с постоянной скоростью v под действием силы F, то мощность может быть выражена формулой P= DA Fs Ds = = Fs v Dt Dt или P=Fv т. е. равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела. Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с). § 22. Консервативные силы Про частицу в пространстве испытывающей воздействие других тел говорят, что она находится в поле сил. Например, сила ее тяжести в гравитационном поле Земли равна P = mg или сила Кулона на заряженную частицу в электростатическом поле. Эти поля характерны тем, что направление силы проходит через неподвижный центр (Земли или заряда создающего электрическое поле) и зависит только от расстояния до этого центра F=F(r). Тогда такие поля называются центральными. en tia l Если в каждой точке пространства F=const, то поле однородно. Если поле не меняется со временем, то оно стационарно. Если поле меняется со временем, то – нестационарно. Силы поля, работа которых над частицей не зависит от траектории движения частицы, называются консервативными. Для них работа сил по замкнутому пути равна нулю: работа в дальнюю точку имеет знак противоположный знаку работы назад в исходную точку и эти работы по модулю равны. Прямым вычислением можно доказать, что силы действующие на частицу в центральном поле и однородном стационарном поле консервативны. fid Типичным примером неконсервативной силы является сила трения. Ее направление всегда противоположно скорости частицы и поэтому работа этой силы всегда отрицательна, накапливается при любом движении и никогда не обратится в «0». C F=-ÑU(x,y,z) on Поле консервативных сил является частным случаем потенциального силового поля. Поле называют потенциальным, если его можно описать функцией U(x,y,z) так что сила в каждой точке поля равна Здесь U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы. ny § 23. Потенциальная энергия во внешнем поле сил Если работа сил поля определяется начальным и конечным положением частицы C om pa (консервативная сила) можно, введя функцию U, записать A12 = U1 - U 2 Функция U определяет работу, совершаемую над частицей консервативными силами на пути 1-2. Значит, эта работа идет на повышение кинетической энергии T2 - T1 = U1 - U 2 или можно переписать T2 + U 2 = T1 + U1 Это означает, что T + U = E = const в поле консервативных сил. Это интеграл движения. Здесь U - имеет размерность энергии и называется потенциальной энергией частицы во внешнем поле консервативных сил. E – полная механическая энергия частицы. Она постоянна. Величину U можно определять с точностью до неизвестной аддитивной постоянной U0, поскольку это никак не повлияет на результат вычисления силы. Получим связь U с силой. Мы знаем, что работа на пути ds равна dA = Fds = Fx dx , если движение идет вдоль оси Х. Приравняем эту работу убыли потенциальной энергии есть Fx = - dU dx движение и по dU dU dU F = F = y dy z dx , dz что может быть переписано Ñ=- d d d ex - ey - ez dx dy dz другим и F=- как направлениям, en tia Если A12 = U1 - U 2 ) то dU dU dU ex e xy ez dx dy dz , F=-ÑU(x,y,z) , где fid Отсюда Fx = - (см. l dA = Fx dx = -dU - оператор набла – он выполняет операцию градиента. on Итак, сила равна градиенту потенциальной энергии с отрицательным знаком. Конкретный вид функции U зависит от характера силового поля. Найдем потенциальную энергию частицы в поле силы тяжести. Работа на участке 1-2 равна ny C A12 = mg (h1 - h2 ) = U1 - U 2 Это означает, что U = mgh , где h отсчитывается от произвольного уровня. C om pa Пусть на частицу кроме консервативных сил действуют еще и неконсервативная сила F*. Тогда работа на участке 1-2 равна A12 = U1 - U 2 + A12* = T2 - T1 * E E = A T + U = E Поскольку , то 2 1 12 = U 2 - U1 и если то работа неконсервативных сил идет на приращение потенциальной энергии. T2 = T1 , Если система состоит из N невзаимодействующих частиц находящихся в поле консервативных сил, то для каждой частицы Ti + U i = Ei = consti и после E = const суммирования получаем . Это означает аддитивность полной механической энергии системы невзаимодействующих частиц в поле консервативных сил и выражает закон сохранения энергии для невзаимодействующих частиц. При наличии в системе сил, чья работа отрицательна, полная механическая энергия системы уменьшается переходя в немеханические формы энергии (например, во внутреннюю, в тепло). Такой процесс называется диссипацией (рассеянием) энергии, а силы к этому приводящие – диссипативны. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. § 24. Потенциальная энергия взаимодействия Пусть теперь система состоит из двух взаимодействующих частиц с силой и l r1 R12 = r2 - r1 , где r2 en tia по третьему закону Ньютона. Расстояние между частицами F12 = -F21 - радиусы-векторы частиц. Пусть силы зависят только от расстояния между частицами и направлены вдоль прямой соединяющей частицы (гравитационное или кулоновское взаимодействие). Тогда F12 = f ( R12 )e12 и F21 = - f ( R12 )e12 Если система замкнута и нет внешних сил, то уравнения движения fid m2 v& 2 = F21 Умножаем их на dr1 = v1dt и dr2 = v 2 dt , соответственно, и складываем. & 1dt + m2 v 2 v& 2 dt = F12 dr1 + F21dr2 = dAвнутр Получаем m1 v1 v и on m1 v& 1 = F12 C Слева стоит приращение кинетической энергии, справа работа внутренних сил за это время. Подставим силы и получим dAвнутр = - f ( R12 ) dR12 = dU ( R12 ) C om pa или ny dAвнутр = F12 dr1 + F21dr2 = f ( R12 )e12 dr1 - f ( R12 )e12 dr2 = - f ( R12 )e12 dR12 В результате получаем, что приращение кинетической энергии dT равно работе внутренних сил dAвнутр за это время или dT= - dU. Последнее означает, что d(T+ U)= dE=0 или U (R ) E=T+U для рассматриваемой системы сохраняется. Здесь функция 12 потенциальная энергия взаимодействия частиц и она зависит от расстояния между частицами. § 25. Закон сохранения энергии Cведем все результаты вместе и получим закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим систему из N материальных точек c массами m1, m2, …mN, движущихся со скоростями v1, v2, … vN. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами Fik, модули которых зависят только от расстояния Rik между частицами. Такие силы консервативны. Кроме внутренних сил на каждую частицу i действует внешняя консервативная сила Fi и внешняя неконсервативная сила Fi*. Тогда уравнение движения i частицы имеет вид уравнения второго закона Ньютона: N dv i mi = å Fik + Fi + F *i dt k =1( k ¹ i ) i i k =1( k ¹i ) i Левая å ( i часть – и складываем все N уравнений Fik ) dri + å Fi dsi + å F *i dsi i i приращение 2 i i кинетической mv åi mi v i dvi = d åi 2 = dT l N å m v dv = å i dsi = dri = v i dt en tia Умножаем уравнение на (индексы суммирования) энергии системы ( å k =1( k ¹ i ) i Fik ) dri = - N å k =1( k ¹ i ) Fik dR ik = -d N å k =1( k ¹ i ) U ik ( Rik ) = -dU взаим on å N fid Первый член правой части – равен убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц Второй член правой части – равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил i i i = d å U i (ri ) = - dU внешн C å F ds i ds = å dA = dA C om pa åF ny Третий член правой части – работа неконсервативных внешних сил * * * i внешн i i i i * Таким образом взаим внешн внешн d (T + U +U ) = dA где T + U взаим + U внешн = E есть полная механическая энергия системы. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то правая часть формулы будет равна нулю и полная энергия системы остается постоянной T + U взаим + U внешн = E = const Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы, на которую действуют только консервативные силы, остается постоянной. Для замкнутой системы T + U взаим = E = const При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем микротел. l В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. en tia § 26. Энергия упругой деформации В случае отдельно взятого упруго деформированного тела потенциальной энергией обладают ее части. Эта энергия зависит от взаимного расположения отдельных ее частей. Для деформирования пружины необходимо затратить работу , которая идет fid kx 2 U= на увеличение потенциальной энергии пружины 2 kx 2 A= 2 ny C on . § 27. Условия равновесия механической системы C om pa Рассмотрим случаи, когда взаимное расположение тел системы может быть определено с помощью только одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно изогнутой проволоке (рис. а). На шарик действует консервативная сила тяжести l en tia fid График потенциальной энергии как функции U(x) показан на рис. б. on Поскольку шарик движется без трения, то сила, действующая на него со стороны проволоки, перпендикулярна к скорости шарика и работы не совершает. Имеет место сохранение энергии E=T+U=const. ny C Кинетическая энергия может возрасти только за счет убыли потенциальной. Поэтому если скорость шарика равна нулю, а потенциальная энергия минимальна, то он будет находиться в состоянии равновесия – без воздействия со стороны он не сможет прийти в движение. Минимумам U соответствуют значения х, равные х0 . В этом случае , что C om pa Fx = 0 . dU =0 dx равнозначно Таким образом, конфигурация системы, соответствующая минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда U является функцией нескольких переменных. В случае, изображенном на рис. условие равенства нулю потенциальной энергии также для х, равного х0’ (т. е. для максимума). Определяемое этим значением х положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при х = х0 будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения х0. Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого х = х0), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия. Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Если полная энергия системы имеет значение, соответствующее проведенной на графике горизонтальной черте, то система может совершать движение либо в пределах от х0 до x2 или в пределах от х3 до бесконечности. В область х < x1 и х2 < х < х3 система проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). en tia § 28. Закон сохранения количества движения (импульса) l Таким образом, область х2< х <х3 представляет собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Найдем еще одну аддитивную сохраняющуюся величину для замкнутой механической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N взаимодействующих частиц, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2, … mn, и v1, v2, … vn. Пусть Fik внутренние силы, действующие на i частицу. Равнодействующая всех внешних сил приложенных к частице Fi. Запишем второй закон Ньютона для каждой частицы механической системы: N fid p& 1 = F12 + ... + F1N + F1 = å F1k + F1 k =2 å on p& 2 = F21 + ... + F2 N + F2 = N k =1,( k ¹ 2) F2 k + F2 . . . . . . . . . N C p& N = FN1 + ... + FN , N -1 + FN = å FNk + FN ny Складывая почленно эти N уравнений и учитывая, что останутся только внешние силы k =1 F12 + F21 = 0 и т. д. справа C om pa N d (p1 + p 2 + ... + p N ) = F1 + F2 + ... + FN = å Fi dt i =1 Сумма импульсов частиц системы называется импульсом системы N N i =1 i =1 p = å p i = å mi v i Импульс является аддитивной величиной. Из записи dp N = å Fi dt i =1 следует, что при отсутствии внешних сил dp = 0, dt т.е. для замкнутой системы импульс постоянен. Это закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Этот закон справедлив не только в рамках классической механики. Он является фундаментальным законом природы. Импульс остается постоянным и для незамкнутой системы материальных точек, если сумма внешних сил равна нулю. Если сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю проекция этой суммы на некоторое направление, то составляющая импульса в этом направлении сохраняется N dp x = å Fxi dt i=1 Центром масс (инерции) системы называется точка С, положение которой задается радиусом-вектором i i l åmr = åmr m åm i i en tia m1r1 + m2r2 + ... + mN rN rc = = m1 + m2 + ... + mN i В однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Импульс системы частиц – произведение суммарной массы частиц на скорость центра масс системы fid p = mv c Скорость центра масс m p m m системы p = mv c = const , on i i i i = C v c = r&c m r& å m v å = = то центр движется ny Поскольку для замкнутой прямолинейно и равномерно или неподвижен. Система отсчета в которой центр масс покоится называется системой центра масс. C om pa § 29. Центральный удар шаров Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел. При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается — имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов —механической и внутренней. en tia m1 v10 + m2 v 20 = m1 v + m2 v = (m1 + m2 ) v Отсюда следует m1 v10 + m2 v 20 m1 + m2 одинаковая скорость частиц после удара. fid v= l Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар. Пусть массы шаров равны m1 и m2, а скорости до удара v10 и v20. В силу закона сохранения суммарный импульс. шаров после удара должен быть таким же, как и до удара: ny C on Теперь рассмотрим абсолютно упругий центральный удар. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры, т.е догоняют или идут навстречу (см. рис.). При упругом ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. C om pa Обозначим скорости шаров после удара v1 и v2. Напишем уравнения сохранения импульса и энергии: Преобразуем первое уравнение следующим образом: Учтя формулу (a 2 - b 2 ) = ( a + b)( a - b) второе уравнение перепишем в виде Все векторы здесь коллинеарны, поэтому получаем из последних выражений и далее скорости шаров после удара en tia l Для численных расчетов нужно спроектировать эти соотношения на ось X, вдоль которой движутся шары. Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения для v1 и v2 получим: v10 = v20. Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти. Отсюда следует, что условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. on fid Когда массы соударяющихся шаров равны, то шары при соударении обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров одинаковой массы, например второй, до соударения покоится, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально первый шар; первый же шар после удара оказывается неподвижным. C С помощью полученных формул можно определить скорость шара после упругого удара о неподвижную или движущуюся стенку (которую можно рассматривать как шар бесконечно большой массы)., ny Скорость стенки остается неизменной. Скорость же шара, если стенка неподвижна, меняет направление на противоположное; в случае движущейся стенки изменяется также величина скорости шара (возрастает на удвоенную скорость стенки, если стенка движется навстречу шару, и убывает на удвоенную скорость стенки, если стенка «уходит» от догоняющего ее шара). C om pa § 30. Закон сохранения момента импульса Найдем третью аддитивную сохраняющуюся величину. Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы. Уравнения движения следующие m1 v& 1 = F12 + F1 и m2 v& 2 = F21 + F2 Векторно умножаем их, соответственно, на r1 и r2: m1r1 ´ v& 1 = r1 ´ F12 + r1 ´ F1 m2r2 ´ v& 2 = r2 ´ F21 + r2 ´ F2 d r ´ v = r ´ v& + r& ´ v = r ´ v& , Поскольку dt m1 d r1 ´ v1 = r1 ´ F12 + r1 ´ F1 dt и m2 d r2 ´ v 2 = -r2 ´ F12 + r2 ´ F2 dt то Сложим эти уравнения и учтем, что mv = p , тогда получим d (r1 ´ p1 + r2 ´ p 2 ) = r1 ´ F1 + r2 ´ F2 dt Если система замкнута, то правая часть равна нулю и векторная сумма моментов L = å L i = å ri ´ p i i i импульсов Определим момент силы F относительно точки О как: входящих в систему: M = r ×F C om pa ny C – момент импульса en tia частиц on Это r´p = L fid Получили аддитивную сохраняющуюся величину относительно точки О (см. рис.). l r1 ´ p1 + r2 ´ p 2 = const Видно, что модуль момента силы l = r sin a M = rF sin a = lF , где - плечо относительно точки О. Проекция вектора M на ось Z проходящую через точку О, относительно которой определен M, называется моментом силы относительно этой оси M z = (r × F) z Если вектор F разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие: параллельную оси, перпендикулярную и перпендикулярную плоскости проходящей через точку приложения силы и ось вращения (касательна к окружности поворота вокруг оси), то поворот вокруг оси вызывается только касательной составляющей. Более успешный поворот будет при большом плече R. l en tia M внешн = å M i = å ri × Fi i i L = å Li =å ri ´ pi i i выражение on Учитывая это, а также fid Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной прямой. Их моменты относительно произвольной точки равны и противоположны. Поэтому сумма моментов внутренних сил равна нулю, а сумма моментов внешних сил равна можно переписать в виде ny d L = å M внешн dt i C d (r1 ´ p1 + r2 ´ p 2 ) = r1 ´ F1 + r2 ´ F2 dt Эта формула сходна формуле 2 закона Ньютона C om pa dp N = å Fi dt i =1 Из d L = å M внешн видно, что момент импульса замкнутой (в отсутствии внешних dt i сил) системы частиц остается постоянным. Это закон сохранения момента импульса. Проекция вектора L на ось Z называется моментом импульса частицы или системы частиц относительно этой оси. Согласно рис. модуль вектора момента L = rp sin a = lp , где l = r sin a импульса частицы равен - длина перпендикуляра из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы, называется плечом импульса относительно точки О. C om pa ny C on fid en tia l
