ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Íåñêîëüêî çàäà÷ íà çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ Â øíóð è ðåøàþò çàäà÷ó òàê, êàê áóäòî ãðóç âèñèò íà ïðóæèíå. Îäíàêî øíóð, â îòëè÷èå îò ïðóæèíû, ðàáîòàåò òîëüêî íà ðàñòÿæåíèå. Åñëè øíóð íå ðàñòÿãèâàòü, à «ñæèìàòü» (ñáëèæàòü åãî êîíöû), òî îí òåðÿåò ôîðìó, èçãèáàåòñÿ, íå îêàçûâàÿ íèêàêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Äàâàéòå è ìû íà÷íåì ðåøåíèå ñî ñëó÷àÿ ãðóçà íà ïðóæèíå è ïîñìîòðèì, íå äàñò ëè íàì ñàì îòâåò (êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò) êàêóþ-íèáóäü ïîäñêàçêó, «ñèãíàë» î òîì, ÷òî ÷òî-òî íå â ïîðÿäêå. Çàîäíî ïîãîâîðèì î âàæíîì ìåòîäè÷åñêîì ïðèåìå, ïîìîãàþùåì ñóùåñòâåííî óïðîùàòü ðåøåíèå çàäà÷ ñ âåðòèêàëüíûìè ïðóæèíàìè. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû, îòñ÷èòûâàÿ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òÿãîòåíèÿ îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ãðóçà (ðèñ.1): 2 k ( x0 - h) kx02 mv02 + = mgh + . 2 2 2 Çäåñü h èñêîìàÿ âûñîòà, à x0 íà÷àëüíîå ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû (øíóðà), êîòîðîå íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ âèñÿùåãî ãðóçà: kx0 - mg = 0 . ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÛ ÇÀÄÀ×È, ÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄ- ëàãàëèñü â ïîñëåäíèå ãîäû íà ïèñüìåííûõ âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ ïî ôèçèêå â ÐÃÓ íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà. Ýòè çàäà÷è áûëè îòîáðàíû ïî ñëåäóþùèì êðèòåðèÿì. Âî-ïåðâûõ, ïðè èõ ðåøåíèè èñïîëüçóþòñÿ ïîäõîäû è ìåòîäû, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ òðåáóåò õîðîøåãî ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì äëÿ ìíîãèõ àáèòóðèåíòîâ. Âî-âòîðûõ, ïðåèìóùåñòâî îòäàâàëîñü çàäà÷àì, ñîäåðæàùèì êðàñèâóþ ôèçè÷åñêóþ «èçþìèíêó» èëè ïîäâîõ, ÷òî âûäåëÿåò èõ â ðÿäó àíàëîãè÷íûõ çàäà÷.  òî æå âðåìÿ, óðîâåíü ñëîæíîñòè ïðåäëàãàåìûõ çàäà÷ âïîëíå «àáèòóðèåíòñêèé» (õîòÿ è èç âåðõíåãî ýøåëîíà), îíè íå ïðåòåíäóþò íà âûñîêîå çâàíèå «îëèìïèàäíûõ». Íàäååìñÿ, ÷òî ýòà ñòàòüÿ ïîçâîëèò âàì ãëóáæå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ òàêîé âàæíîé è íåòðèâèàëüíîé òåìîé, êàê çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè.  ïåðâîé ãðóïïå èç ÷åòûðåõ çàäà÷ âíèìàíèå êîíöåíòðèðóåòñÿ íà àíàëèçå âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì ìåæäó èñõîäíûìè äàííûìè. Íåóìåíèå óâèäåòü ñêðûòûå â óñëîâèè çàäà÷è âîçìîæíîñòè ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì ðåçóëüòàòàì. Çàäà÷à 1. Ãðóç ìàññîé m = 1,6 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå æåñòêîñòüþ k = 250 Í/ì. Ãðóçó ðåçêèì òîë÷êîì ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 = = 1 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ( îòñ÷èòûâàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè) ïîäíèìåòñÿ ãðóç? Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùàÿñÿ îøèáêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî àáèòóðèåíòû íå îáðàùàþò âíèìàíèÿ íà ñëîâà ïðî ðåçèíîâûé Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ïîäñòàâëÿÿ x0 , ïðèõîäèì ê ñîâñåì êîðîòêîìó óðàâíåíèþ mv02 kh2 = . 2 2 Çàìåòèì, ÷òî óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè g âîîáùå íå âîøëî â êîíå÷íîå óðàâíåíèå, êàê áóäòî ïîëå òÿæåñòè îòñóòñòâóåò.  ÷åì ïðè÷èíà? Çäåñü ïðîÿâèëîñü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ãðóçà íà ïðóæèíå: åñëè îòñ÷èòûâàòü îáùóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äëÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû òÿæåñòè è ñèëû óïðóãîñòè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî îíà ïðèíèìàåò âèä Eï = ky2 2 , ãäå y = x - x0 ñìåùåíèå èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíà íóëþ, à ïðè ñìåùåíèè ãðóçà íà y âîçíèêàåò ñèëà Fy = -ky , ðàâíàÿ èçìåíåíèþ ñèëû óïðóãîñòè (ñèëà òÿæåñòè íå ìåíÿåòñÿ). Ïîñêîëüêó ñàìà ðàâíîäåéñòâóþùàÿ òàêàÿ æå, êàê ñèëà óïðóãîñòè, òî è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äëÿ íåå òàêàÿ æå, êàê äëÿ ÷èñòîé ñèëû óïðóãîñòè. Ýòî ñâîéñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìîë÷à, áåç âñÿêèõ ïîÿñíåíèé, íàïðèìåð ïðè ðàññìîòðåíèè âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ãðóçà íà ïðóæèíå. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó: m h = v0 = 80 ìì . k Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ñî øíóðîì. Êàçàëîñü áû, ïîëó÷åííûé îòâåò êàê â îáùåì âèäå, òàê è â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè íè÷åì íå ïîìîãàåò íàì çàìåòèòü äîïóùåííóþ îøèáêó. Îäíàêî áóäåì âíèìàòåëüíû è, çàïîäîçðèâ ïîäâîõ, ïðîâåðèì, îñòàåòñÿ ëè øíóð â ðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè äî ñàìîãî âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ ãðóçà. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì íà÷àëüíîå ðàñòÿæåíèå øíóðà x0 è ñðàâíèì åãî ñ h: x0 = mg = 64 ìì < h = 80 ìì . k Âèäèì, ÷òî ãðóç ïðè ïîäúåìå ïðîõîäèò òî÷êó, ïîñëå êîòîðîé øíóð òåðÿåò ñâîè óïðóãèå êà÷åñòâà, èçãèáàåòñÿ, è ñèëà óïðóãîñòè èñ÷åçàåò. Óñëîâèå èñ÷åçíîâåíèÿ ñèëû óïðóãîñòè èìååò âèä v0 Ðèñ. 1 m mg m > , èëè v0 > g . k k k  òàêîì ñëó÷àå çàäà÷ó íàäî ðåøàòü çàíîâî. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Óïðîùàþùèé ïîäõîä ñ îáúåäèíåíèåì ñèëû òÿæåñòè è ñèëû óïðóãîñòè áîëüøå íå äåéñòâóåò (íà íåêîòîðîì ýòàïå äâèæåíèÿ ñèëà óïðóãîñòè èñ÷åçàåò), è çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàäî çàïèñàòü òàê: mv02 kx02 + = mgh , 2 2 îòêóäà (ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà x0 = mg k ) ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûé îòâåò: v2 mg h= 0 + = 82 ìì . 2g 2k Çàäà÷à 2. Ãðóç ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé, íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíîé â ïåðâîì ñëó÷àå F1 = 3mg 4 , à âî âòîðîì ñëó÷àå F2 = mg 4 . Âî ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè) â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì? Ðåøèì çàäà÷ó ñíà÷àëà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñèëà óïðóãîñòè äåéñòâóåò âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ, ò.å. êàê áû ìûñëåííî çàìåíèì øíóð ïðóæèíîé. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ (òî÷íåå èçìåíåíèÿ) ýíåðãèè, èñïîëüçóÿ ñîêðàùåííóþ çàïèñü äëÿ ïîëíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû(ñì. çàäà÷ó 1): Fh = kh2 -0, 2 îòêóäà íàéäåì èñêîìóþ âûñîòó: h= 2F . k  ðàìêàõ ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîøåíèå âûñîò â îáñóæäàåìûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ðàâíÿëîñü áû îòíîøåíèþ âíåøíèõ ñèë: h1 F = 1 = 3. h2 F2 Îäíàêî, íàó÷åííûå ãîðüêèì îïûòîì, ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, îñòàåòñÿ ëè øíóð ðàñòÿíóòûì äî äîñòèæåíèÿ ãðóçîì ìàêñèìàëüíîé âûñîòû. Äëÿ ýòîãî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå h < x0 , ò.å. 2F mg mg < , èëè F < . k k 2 Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ, ïîýòîìó h2 = 2F2 . k Äëÿ ïåðâîãî æå ñëó÷àÿ (ðèñ.2) çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàäî íàïèñàòü çàíîâî (ïîñêîëüêó ñèëà óïðóãîñòè íà âåðõíåì ó÷àñòêå äâèæåíèÿ íå äåéñòâóåò, ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè ñèëû òÿæåñòè è ñèëû óïðóãîñòè íàäî ïèñàòü ðàçäåëüíî): Ðèñ. 2 Fh 1 1 = mgh1 - kx02 . 2 Ïîäñòàâëÿÿ x0 = mg k , ïîëó÷èì 2 h1 = (mg) . 2k (mg - F1 ) " ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Òîãäà îêîí÷àòåëüíî 2 h1 (mg) = = 4. h2 4F2 (mg - F1 ) Çàäà÷à 3. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 2 ì, äâèãàÿñü âäîëü ñâîåé äëèíû ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íà÷èíàåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó, çà êîòîðîé ïîâåðõíîñòü ñòàíîâèòñÿ øåðîõîâàòîé ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ µ = = 0,2. Êàêîå ðàññòîÿíèå s ïðîåäåò ñòåðæåíü ñ ýòîãî ìîìåíòà äî îñòàíîâêè, åñëè åãî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 = 3 ì/ñ? Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè) â âèäå Aòð = 0 - mv02 . 2 Âû÷èñëèì ðàáîòó ñèëû òðåíèÿ Aòð â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñå âðåìÿ âîçðàñòàåò, ò.å. ÷òî ñòåðæåíü îñòàíîâèòñÿ äî òîãî, êàê öåëèêîì ïåðåñå÷åò ãðàíèöó.  òîò ìîìåíò, êîãäà ñòåðæåíü ïðîåõàë ðàññòîÿíèå x Ðèñ. 3 (ðèñ.3), ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà êóñîê ñòåðæíÿ äëèíîé x < l , ðàâíà x Fòð = µmg . l Ïîñêîëüêó ñèëà òðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ïðîéäåííîãî ðàññòîÿíèÿ, åå ðàáîòó ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå s 0 + µmg 2 Fòð1 + Fòð2 l s = - µmgs . Aòð = s=2 2 2l Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîëó÷àåì µmgs 2 mv02 =, 2l 2 îòêóäà l s = v0 = 3 ì. µg Ê ñîæàëåíèþ, ìíîãèå àáèòóðèåíòû íà ýòîì çàêàí÷èâàþò ðåøåíèå çàäà÷è, íå çàìåòèâ, ÷òî ïîëó÷åííûé îòâåò íå èìååò ñìûñëà, ïîñêîëüêó ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü áîëüøå äëèíû ñòåðæíÿ, à ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ âû÷èñëÿëàñü â ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäïîëîæåíèè. Ïðàâèëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ â ñëó÷àå s > l èìååò âèä Aòð = - 0 + µmg l - µmg ( s - l ) . 2 Òîãäà èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïîëó÷àåì s= l v2 + 0 = 3,25 ì . 2 2µg Êîíå÷íî, ìîæíî ïîñòóïèòü ïî-äðóãîìó. Åñëè ñðàçó óâèäåòü, ÷òî âîçìîæíû ðàçíûå ñëó÷àè, òî íà÷àòü ðåøåíèå ìîæíî ñ âûÿñíåíèÿ òîãî, êàêîé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ. Íàïðèìåð, íàéòè ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü v1 , ïðè êîòîðîé ñòåðæåíü ïîëíîñòüþ çàåäåò íà øåðîõîâàòóþ ïîâåðõíîñòü: 0 + µmg mv12 0l , =2 2 îòêóäà v1 = µgl = 2 ì ñ . Ïîñêîëüêó v0 > v1 , òî ÿñíî, ÷òî çàäíèé êîíåö ñòåðæíÿ îáÿçàòåëüíî ïåðåñå÷åò ãðàíèöó. " ÊÂÀÍT 2007/¹1 Çàäà÷à 4.  øàð ìàññîé m2 = 480 ã ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m1 = 20 ã, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 100 ì/ñ ïî ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ ïóëè â ìàòåðèàëå øàðà ïîñòîÿííà è ðàâíà Fc = 1650 Í, íàéäèòå êîíå÷íóþ ñêîðîñòü øàðà. Äèàìåòð øàðà d = 5 ñì. Çàïèøåì äëÿ äàííîãî óäàðà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè, ñ ó÷åòîì ïåðåõîäà ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ çà ñ÷åò ðàáîòû ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ: m1v1 = m1u1 + m2u2 , m1v12 m1u12 m2v22 = + +Q, 2 2 2 Q = Fc d . Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé êîíå÷íóþ ñêîðîñòü ïóëè m u1 = v1 - 2 u2 , m1 ïîëó÷èì äëÿ êîíå÷íîé ñêîðîñòè øàðà u2 êâàäðàòíîå óðàâíåíèå æ m2 ö 2 2Fcd çè1 + m ÷ø u2 - 2v1u2 + m = 0 . 1 2 Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ u2 = v1 ± v12 - 2Fcd (m1 + m2 ) (m1m2 ) 1 + m2 m1 äàåò äâà ïîëîæèòåëüíûõ îòâåòà: 2,5 ì/ñ è 5,5 ì/ñ. Êàêîé èç íèõ âûáðàòü? Ìíîãèå øêîëüíèêè ïðèâûêëè, ÷òî îäèí èç îòâåòîâ îáû÷íî ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, è çàðàíåå îòáðàñûâàþò ðåøåíèå ñ ìèíóñîì ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì. Äðóãèå íå çíàþò, ÷òî äåëàòü ñ äâóìÿ ïîëîæèòåëüíûìè êîðíÿìè, è âûáèðàþò íàèáîëüøèé (è ïîëó÷àþò íåâåðíûé îòâåò!). Íà ñàìîì äåëå, íàäî âû÷èñëèòü ñêîðîñòü ïóëè â êàæäîì èç ñëó÷àåâ (èñïîëüçóÿ íàïèñàííóþ âûøå ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ u1 ÷åðåç u2 ): áðóñêà. Íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü ýòîãî áðóñêà â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ. Çàïèøåì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ñèñòåìû (ðèñ.4): m1v1 = m1u1 + m2u2 , m1v12 m1u12 m2u22 kx2 , = + + 2 2 2 2 ãäå õ äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû. Ãëàâíîå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîíÿòü, ÷åì èíòåðåñóþùèé íàñ ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü áðóñêà ìàññîé m1 ìèíèìàëüíà, îòëè÷àåòñÿ îò âñåõ îñòàëüíûõ ìîìåíòîâ äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íàäî ðàññìîòðåòü äåéñòâóþùèå íà ïåðâûé áðóñîê ñèëû. Êàê òîëüêî áðóñîê ìàññîé m1 ïðèäåò â äâèæåíèå, ïðóæèíà íà÷íåò ñæèìàòüñÿ, è íà íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà óïðóãîñòè, íàïðàâëåííàÿ íàâñòðå÷ó äâèæåíèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêîðîñòü ýòîãî áðóñêà íå ìåíÿåò íàïðàâëåíèÿ, ò.å. ÷òî u1 âñå âðåìÿ ïîëîæèòåëüíà (ïîçæå íàì ïðèäåòñÿ ïðîâåðèòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå). Òîãäà ñêîðîñòü u1 áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïî ìîäóëþ äî òåõ ïîð, ïîêà íà áðóñîê äåéñòâóåò ñæàòàÿ ïðóæèíà. Êîãäà ïðóæèíà ïåðåéäåò â ðàñòÿíóòîå ñîñòîÿíèå, ñèëà óïðóãîñòè áóäåò íàïðàâëåíà ïî äâèæåíèþ, è ñêîðîñòü áðóñêà íà÷íåò âîçðàñòàòü. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóåò òîìó ìîìåíòó, êîãäà ïðóæèíà ñíîâà (êàê äî íà÷àëà äâèæåíèÿ) ïðèäåò â íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, ò.å. êîãäà x = = 0.  ýòîò æå ìîìåíò ñêîðîñòü âòîðîãî áðóñêà áóäåò ìàêñèìàëüíîé. Ñèñòåìà óðàâíåíèé â ýòîò ìîìåíò m v2 m u 2 m u 2 m1v1 = m1u1 + m2u2 , 1 1 = 1 1 + 2 2 2 2 2 ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé óðàâíåíèé äëÿ öåíòðàëüíîãî óïðóãîãî óäàðà (ò.å. ïðóæèíà êàê áû îñóùåñòâëÿåò ðàñòÿíóòûé ïî âðåìåíè óïðóãèé óäàð). Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è õîðîøî èçâåñòíî, ìû ïðèâåäåì åãî áåç âûâîäà: u1 = m1 - m2 2m1 v1 = 6 ì ñ , u2 = v1 = 16 ì ñ . m1 + m2 m1 + m2 Âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòü âåðõíèå çíàêè â ôîðìóëàõ äëÿ u2 è u1 (ïëþñ äëÿ øàðà è ìèíóñ äëÿ ïóëè), òî ñêîðîñòü ïóëè ïîëó÷èòñÿ ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü øàðà: u1 < u2 (â äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå u1 îòðèöàòåëüíà è ðàâíà u1 = -32 ì ñ ). Çíà÷èò, ïóëÿ â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ ñ òîé æå ñòîðîíû îò øàðà, ñ êîòîðîé îíà ïîäëåòàëà. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò îòñêîêó ïóëè ïðè óäàðå íàçàä ñ ïîòåðåé ýíåðãèè Q (ñì. äàëåå óïðàæíåíèå 4). Íàîáîðîò, åñëè âçÿòü íèæíèå çíàêè (ìèíóñ äëÿ øàðà è ïëþñ äëÿ ïóëè), òî ñêîðîñòü ïóëè îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü øàðà (â äàííîì ñëó÷àå u1 = 40 ì ñ ), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà ïóëÿ ïðîáèâàåò øàð íàñêâîçü è âûëåòàåò ñ äðóãîé ñòîðîíû. Çíà÷èò, ïðàâèëüíûé îòâåò äëÿ ñêîðîñòè øàðà ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåìó êîðíþ: u2 = 2,5 ì ñ . Åñëè ñêîðîñòü u2 âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ò.å. ïîëó÷åí ïðàâèëüíûé îòâåò äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè âòîðîãî áðóñêà ïðè ëþáîì ñîîòíîøåíèè ìàññ, òî ñêîðîñòü u1 îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé òîëüêî ïðè óñëîâèè m1 ³ m2 . Åñëè m1 < m2 , òî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà ìåíÿåò çíàê, è îòâåò äëÿ ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè òàêîé: u1 = 0 . Îòìåòèì èíòåðåñíîå îòëè÷èå ýòîé çàäà÷è îò öåíòðàëüíîãî óïðóãîãî óäàðà, íàïðèìåð, äâóõ øàðîâ. Øàðû ïîñëå óäàðà ïåðåñòàþò âçàèìîäåéñòâîâàòü è ðàçëåòàþòñÿ.  íàøåì æå ñëó÷àå ïðóæèíà, ñîåäèíÿþùàÿ áðóñêè, ïîñëå ðàññìîòðåííîãî ìîìåíòà ðàñòÿãèâàåòñÿ, ïåðâûé áðóñîê íà÷èíàåò òîðìîçèòüñÿ, âòîðîé ðàçãîíÿòüñÿ. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ u¢1 , à ñêîðîñòü âòîðîãî ìèíèìàëüíîãî u¢2 . Ïðóæèíà â ýòîò ìîìåíò îïÿòü íå äåôîðìèðîâàíà, ò.å. ýòè ñêîðîñòè ïîä÷èíÿþòñÿ òîé æå ñàìîé ñèñòåìå óðàâíåíèé. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòè äîëæíû îòëè÷àòüñÿ îò íàéäåííûõ, îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âòîðîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, êîòîðîå â çàäà÷å î öåíòðàëüíîì óïðóãîì óäàðå îòáðàñûâàþò: u1¢ = v1 , u2¢ = 0 .  ñëåäóþùåé çàäà÷å óïîð äåëàåòñÿ íà âûáîð ïðàâèëüíîãî óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùåãî êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Çàäà÷à 5. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ëåæàò äâà áðóñêà ìàññàìè m1 = 400 ã è m2 = 100 ã, ñîåäèíåííûå íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé. Ïåðâîìó áðóñêó ñîîáùàþò ñêîðîñòü v1 = 10 ì/ñ â íàïðàâëåíèè âòîðîãî Ðèñ. 4 Ïîñëåäíèå äâå çàäà÷è ñâÿçàíû ñ äâèæåíèåì ïî îêðóæíîñòè. Ïåðâàÿ èç íèõ èëëþñòðèðóåò, êàê ìîæíî îïèñàòü äâèæåíèå ìîäåëüíîãî òâåðäîãî òåëà, ñîñòîÿùåãî èç òî÷å÷íûõ ìàññ, çàêðåïëåííûõ íà íåâåñîìîì ñòåðæíå. Âòîðàÿ ïîêàçûâàåò, êàê èñïîëüçîâàòü äâèæóùèåñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà â çàäà÷àõ íà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 6. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü, íà êîíöàõ êîòîðîãî çàêðåïëåíû äâà ãðóçà ìàññîé m = 0,5 êã êàæäûé, ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Îñü äåëèò u1 = v1 − v1 m (m2 m1 ) v12 − 2Fc d (m1 + m2 ) (m1m2 ) m2 u2 = . m1 1 + m2 m1 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ñòåðæåíü â îòíîøåíèè 1:3. Ñòåðæåíü ïðèâîäÿò â ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå è îòïóñêàþò. Ñ êàêîé ñèëîé îí äåéñòâóåò íà îñü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè? Åñëè â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè ñèëà íàòÿæåíèÿ íèæíåé Ðèñ. 5 ÷àñòè ñòåðæíÿ T1 , à âåðõíåé T2 , òî äåéñòâóþùàÿ íà îñü ñèëà ðàâíà (ðèñ.5) F = T1 - T2 . Ñèëû íàòÿæåíèÿ ñòåðæíåé íàéäåì èç âûðàæåíèé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ãðóçîâ: T1 - mg = mω2 × 0,75l, T2 + mg = mω2 × 0,25l, ãäå l äëèíà ñòåðæíÿ. Îòìåòèì, ÷òî íàïèñàííûå ôîðìóëû ãîäÿòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåðõíÿÿ ÷àñòü ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â ñæàòîì ñîñòîÿíèè ( T2 < 0 ). Óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû (óðîâåíü îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèìåì â òî÷êå ïîäâåñà): 2 2 m (0,25lω) m (0,75lω) 0 = mg × 0,25l - mg × 0,75l + , + 2 2 îòêóäà g ω2 = 1,6 . l Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì F = T1 - T2 = 2mg + 0,5mω2l = 2,8mg = 14 H . Çàäà÷à 7. Äåìîíñòðàöèîííàÿ óñòàíîâêà ñîñòîèò èç íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïëàâíî ïåðåõîäÿùåé â «ìåðòâóþ ïåòëþ» ðàäèóñîì R (ðèñ.6). Óñòàíîâêà çàêðåïëåíà íà òåëåæêå, ñòîÿùåé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ãðóç ìàññîé m1 = 0,2 êã ñúåçæàåò ñ âûñîòû h = 3R, îòñ÷èòàííîé îò íèæíåé òî÷êè ïåòëè. ×åìó ðàâíà ñèëà äàâëåíèÿ ãðóçà íà ïîâåðõíîñòü â âåðõíåé òî÷êå Ðèñ. 6 ïåòëè? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Ìàññà óñòàíîâêè âìåñòå ñ òåëåæêîé m2 â 4 ðàçà áîëüøå ìàññû ãðóçà. ×òîáû íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ (òî÷íåå, íîðìàëüíóþ ñèëó ðåàêöèè N), íàäî çàïèñàòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âåðõíåé òî÷êè ïåòëè. Íî òóò âîçíèêàåò ïðîáëåìà: â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ çåìëåé, òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ãðóçà îòëè÷íà îò îêðóæíîñòè, ïîñêîëüêó òåëåæêà ñ óñòàíîâêîé äâèæóòñÿ ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ãðóçà ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò R. Âûõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàïèñàòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëåæêîé, ãäå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R. Îäíàêî åñòü âîçðàæåíèå: òåëåæêà ïîä äåéñòâèåì ñèëû äàâëåíèÿ ãðóçà äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì, à çíà÷èò, ñâÿçàííàÿ ñ íåé ñèñòåìà îòñ÷åòà íå ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé. Ýòî âîçðàæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ìîìåíòîâ äâèæåíèÿ, êðîìå òåõ, êîãäà ãðóç ïðîõîäèò íèæíþþ è âåðõíþþ òî÷êè ïåòëè.  ýòè ìîìåíòû ñèëà äàâëåíèÿ íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî è óñêîðåíèå òåëåæêè "! ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ðàâíî íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, ñèëû èíåðöèè, êîòîðûå äåéñòâóþò âñå îñòàëüíîå âðåìÿ, îáðàùàþòñÿ â íîëü. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âåðõíåé òî÷êè ïåòëè: m v2 m1g + N = 1 îòí . R Çäåñü vîòí ñêîðîñòü ãðóçà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè, ðàâíàÿ vîòí = v1 - v2 , ãäå v1 è v2 ïðîåêöèè ñêîðîñòåé ãðóçà è òåëåæêè íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü. Ýòè ñêîðîñòè ìû íàéäåì èç çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè: m v2 m v2 0 = m1v1 + m2v2 , m1gh = 1 1 + 2 2 + m1g × 2R, 2 2 îòêóäà 2m2 8 v12 = g (h - 2R) = gR , 5 m1 + m2 è m m + m2 5 vîòí = v1 - v2 = v1 + 1 v1 = 1 v1 = v1 . 4 m2 m2 Ïîäñòàâëÿÿ vîòí âî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ïîëó÷èì m v2 25 m1v12 3 - m1g = m1g = 3 H . N = 1 îòí - m1g = R 16 2 2 Óïðàæíåíèÿ 1. Ãðóç ìàññîé 5 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå æåñòêîñòüþ 500 Í/ì. Ãðóçó äâàæäû ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ.  ïåðâîì ñëó÷àå ýòà ñêîðîñòü ðàâíà 0,5 ì/ñ, âî âòîðîì 2 ì/ñ. Âî ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè) âî âòîðîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì â ïåðâîì? 2. Ãðóç ìàññîé 2 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì ðåçèíîâîì øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé 15 Í, íàïðàâëåííîé â ïåðâîì ñëó÷àå âåðòèêàëüíî ââåðõ, à âî âòîðîì ñëó÷àå âåðòèêàëüíî âíèç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ãðóçîì äî îñòàíîâêè, âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì? 3. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé 2 ì, äâèãàÿñü âäîëü ñâîåé äëèíû ïî øåðîõîâàòîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íà÷èíàåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó, çà êîòîðîé ïîâåðõíîñòü ñòàíîâèòñÿ ãëàäêîé. Ñêîðîñòü ñòåðæíÿ â ýòîò ìîìåíò ðàâíà 1,6 ì/ñ. Êàêîå ðàññòîÿíèå (â ñì) ïðîåäåò ñòåðæåíü îò ýòîãî ìîìåíòà äî îñòàíîâêè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ î øåðîõîâàòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí 0,2? 4.  øàð ìàññîé 480 ã ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé 20 ã, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ 100 ì/ñ ïî ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Ïîñëå óäàðà ïóëÿ îòñêàêèâàåò íàçàä, ïðè ýòîì ïðè óäàðå âûäåëÿåòñÿ 90 Äæ òåïëà. Íàéäèòå êîíå÷íóþ ñêîðîñòü øàðà. 5. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü, íà êîíöå êîòîðîãî çàêðåïëåí ãðóç ìàññîé 3 êã, à â ñåðåäèíå ãðóç ìàññîé 4 êã, ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî ñâîáîäíûé êîíåö. Ñòåðæåíü ïðèâîäÿò â âåðõíåå ïîëîæåíèå è îòïóñêàþò. Ñ êàêîé ñèëîé îí áóäåò äåéñòâîâàòü íà îñü â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ íèæíåãî ïîëîæåíèÿ? 6. Äâà áðóñêà ìàññàìè 0,5 êã è 1 êã, ëåæàùèå íà ãëàäêîì ïîëó, ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ 900 Í/ì. Âíà÷àëå ïåðâûé áðóñîê óïèðàåòñÿ â ñòåíó, ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà è ðàñïîëîæåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåíå. Âòîðîé áðóñîê ïåðåìåùàþò íà 10 ñì â ñòîðîíó ïåðâîãî è îòïóñêàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ. 7. Áðóñîê ñòîèò íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà áðóñêå çàêðåïëåí øòàòèâ, ê êîòîðîìó íà ëåãêîé íèòè ïîäâåøåí ãðóç ìàññîé 0,1 êã. Ìàññà áðóñêà âìåñòå ñî øòàòèâîì ðàâíà ìàññå ãðóçà. Âíà÷àëå íèòü ñ ãðóçîì óäåðæèâàþò â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè, çàòåì îòïóñêàþò. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè â ìîìåíò, êîãäà ãðóç íàõîäèòñÿ â íèæíåé òî÷êå.