ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 155 (New) ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 155 (New)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА CP CV  
ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
Цель работы
Целью работы является изучение изохорического и адиабатического процессов идеального
газа и определение отношения молярных теплоемкостей воздуха   CP CV .
Краткая теория работы
Идеальным называется газ, молекулы которого, во-первых, имеют пренебрежимо малые
размеры (объем молекул в сосуде мал по сравнению с объемом сосуда), и во-вторых, столь слабо
взаимодействуют, что потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь в сравнении
с их кинетической энергией. В соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы
идеального газа находятся в хаотичном тепловом движении: молекула движется с постоянной
скоростью до столкновения с другой молекулой. В этот момент происходит их взаимодействие, в
результате которого меняются величины и направления скоростей этих молекул. При комнатной
температуре каждая молекула испытывает порядка 108 столкновений в секунду.
Состояние газа (жидкости) определяется его давлением p, температурой T, объемом V,
плотностью  и т.д. Уравнение, устанавливающее связь между этими параметрами, называют
уравнением состояния. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)
имеет вид:
pV 
m
RT ,
M
(1)
где m – масса газа, M – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.
Если один из параметров некоторой массы газа является постоянным, то уравнение (1)
приобретает вид:
pV  const
( T  const – изотермический процесс),
V
 const
T
( P  const – изобарический процесс),
p
 const
T
( V  const – изохорический процесс).
В соответствии с законом Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы
кинетическая энергия молекулы кин равна
1
i
2
 кин  kT
(2),
где k – постоянная Больцмана, i - число степеней свободы молекулы – число независимых
координат, определяющих ее положение в пространстве. Положение одноатомной молекулы
(материальной точки) определяется тремя координатами x, y, z. Три степени свободы ( i  3 ) этой
молекулы определяют ее поступательное движение вдоль каждой из осей координат X, Y, Z.
Положение в пространстве двухатомной молекулы (двух материальных точек) с неизменным
расстоянием
(рис.1) между атомами (жесткая связь) определяется 6 координатами (x1, y1, z1 и x2,
y2, z2)
Z
(x1, y1, z1)
(x2, y2, z2)
Y
X
Рис.1
Расстояние
между двумя материальными точками (атомами) определяется соотношением

 x1  x2 
2
  y1  y2 )2  ( z1  z2 
2
(3),
из которого одна (любая) координата может быть выражена через остальные пять. Поэтому
независимых координат остается 5 и i  5 . Из пяти степеней свободы три приходятся на
поступательное движение, а две на вращательное.
Положение в пространстве трехатомной молекулы с неизменными расстояниями между
атомами (материальными точками) определяется 9 координатами (рис.2)
Z
(x1, y1, z1)
1
2
(x2, y2, z2)
3
(x3, y3, z3) Y
X
Рис.2
Расстояния между атомами
1
,
2
.
3
определяются тремя формулами, аналогичными (3). Каждая
формула позволяет выразить одну координату через остальные. Таким образом, из 9 координат
независимыми являются 6 и число степеней свободы трех и более атомной молекулы i  6 . Три
степени свободы соответствуют поступательному движению и три вращательному (относительно
трех взаимно-перпендикулярных осей)
2
Внутренней энергией идеального газа U называется суммарная кинетическая энергия всех
его молекул:
i
N i
i
U  Nкин  N kT 
NAkT   RT ,
2
NA 2
2
(4)
где N – число молекул, NA – число Авогадро,  – число молей газа, R – универсальная газовая
постоянная. Внутренняя энергия является функцией состояния идеального газа.
Запишем закон сохранения энергии (первое начало термодинамики)
Q  U  A ,
(5)
где Q – количество тепла, получаемое или отдаваемое газом. Это тепло (энергия) идет на
изменение внутренней энергии газа U на его работу A . В термодинамике рассматривается
работа тепловых машин, основным элементом которых является цилиндр c поршнем площадью S
(рис.3).
цилиндр
V
F
поршень площадью S
l - перемещение поршня
S
p
Рис.3
Поэтому механическую работу выражают через давление и изменение объема
A  Fl  pSl  pV .
Эта формула верна для изобарического процесса (p = const) или для бесконечно малого изменения
объема: A = pdV. Для произвольного процесса A  
V2
V1
pdV . Для бесконечно малых величин
первое начало термодинамики имеет вид:
Q  dU  A .
(6)
dU является полным дифференциалом функции состояния, Q, A не являются полными
дифференциалами, а бесконечно малой работой и бесконечно малым количеством теплоты.
Количество тепла, которое нужно подвести к газу (веществу) или отнять от него для
изменения его температуры на один градус, называется теплоемкостью газа (вещества).
Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной теплоемкостью
cуд . Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью C . Удельная и
молярная теплоемкости связаны выражением
cуд 
C
.
M
(7)
Величина теплоемкости зависит от условий нагревания газа.
3
При изохорическом процессе ( V  const ) работа газом не совершается, dA  pdV  0 , и
молярная теплоемкость при постоянном объеме равна
CV 
1  Q 
1 dU i

 R.


  dT V const  dT 2
(8)
Видно, что внутренняя энергия идеального газа может быть выражена через теплоемкость при
постоянном объеме:
U  CVT,
dU  CVdT .
(9)
Если процесс идет при постоянном давлении ( p  const ), то первое начало термодинамики
запишется следующим образом:
 Q  pconst  CP dT  dU  A  CV dT  pdV .
(10)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона (1) получим соотношение
pdV  Vdp  RdT
(11)
т.е. для p = const
pdV  RdT .
Подставляя в (10), для молярной теплоемкости газа при постоянном давлении получим:
CP 
1  Q 
 
  dT 
 i  1 R .

2 
 CV  R  
p  const
(12)
Теплоемкость при постоянном давлении больше, чем теплоемкость при постоянном объеме,
поскольку надо подводить дополнительную теплоту для совершения газом работы.
Отношение  
CP
CV
называется показателем адиабаты и зависит только от числа степеней
свободы i молекулы газа:

CP i  2
.

CV
i
(13)
Формула (12) справедлива и для отношения удельных теплоемкостей.
Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей
средой. При отсутствии тепловой изоляции процесс можно считать практически адиабатическим,
если он происходит достаточно быстро (например, при быстром расширении или сжатии газа).
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса принимает вид
Q  dU  pdV  0 ,
откуда
pdV  CVdT
(14).
4
Из выражения (11) видно, что адиабатическое расширение сопровождается понижением
температуры, а адиабатическое сжатие – ее повышением. Подставив в (14) p  RT V , получим
C  CV dV
dT
R dV
dV

 p
     1
T
CV V
CV
V
V
Интегрируя, легко получить уравнение адиабатического процесс в переменных V и T:
TV 1  const .
(15)
Если выразить V из (1), и, подставить в (15), то получим уравнение адиабатического процесса в
координатах p и T
p1T   const .
(16)
Аналогичным образом это уравнение можно получить в координатах p и V
pV   const .
(17)
Последнее уравнение называют формулой Пуассона.
Описание установки и метода выполнения работы
Рис.4
Установка смонтирована в комплекс. Внешний вид установки представлен на рис.4.
Принципиальная схема установки изображена на Рис.5.
5
Рис.5 Принципиальная схема установки.
Установка состоит из двух модулей. В нижнем модуле расположена рабочая емкость. На
лицевой поверхности этого модуля расположен вентиль К1 для подачи и перекрытия подачи
воздуха в сосуд и пневмоклапан «Атмосфера» для сброса воздуха в атмосферу.
На лицевой поверхности верхнего модуля находятся выключатель «Сеть» для подключения
питания, выключатель «Компрессор», измерители температуры и давления внутри сосуда. Внутри
модуля установлен микропроцессор для подачи воздуха в рабочую емкость и датчик давления,
который показывает разницу p между давлением в емкости и атмосферным давлением pa .
При нагнетании компрессором воздуха в рабочую емкость в ней при комнатной
температуре Т1 устанавливается определенное давление p1  pa  p1 . При кратковременном
сообщении емкости с атмосферой посредством пневмоклапана «Атмосфера» происходит
адиабатический процесс, при котором давление понижается до атмосферного pа, а температура
становится равной Т2 (рис.6). Затем в результате теплообмена с внешней средой при постоянном
объеме температура повышается до комнатной Т1, а давление повышается до значения
p2  pa  p2 .
6
Рис.6 Графики процессов: 1 – 2 – адиабата, 2 – 3 – изохора.
Определим  по методу Клемана-Дезорма.
Переход из состояния 1 в состояние 2 описывается уравнением Пуассона. Для состояний 1
и 2 запишем уравнение адиабатического процесса (13).
1

p1 T0  p1a T1
(18)
или
T2
T1    p1 pa 

 1
.
(19)
Переход из состояния 2 в состояние 3 – изохорический. Поэтому параметры состояний 2 и 3
связаны соотношением
T2 T1  p2 pa .
(20)
Возведем уравнение (20) в степень  и приравнивая его правую часть к правой части (19),
получим:

 1
 p2   p1 
   
 p0   pa 
(21)
Подставим в (21) p1  pa  p1 , и p2  pa  p2 , где p1 – давление, незначительно
превышающее атмосферное в состоянии 1, и p2 – давление, незначительно превышающее
атмосферное в состоянии 2.

 1
 p2   p1 
1 
  1 

p
pa 
a

 
Так как
(22)
p1
p
 1, 2  1 , то, разлагая в ряд обе части уравнения (22), получим:
pa
pa
1 
p2
p
 1     1 1 ,
pa
pa
Откуда:

p1
p1  p2
(23)
Порядок выполнения работы
1. Включите установку в сеть и переведите вентиль К в положение «открыт». Включите
компрессор и создайте в рабочей емкости давление p1, незначительно (на p1  p1  pa  10 кПа)
превышающее атмосферное. Выключите компрессор и переведите вентиль К в положение
7
«закрыт». Через 1 минуту, после установления в сосуде комнатной температуры, снимите
показание датчика давления p1 и запишите его в таблицу.
2. Откройте пневмоклапан «Атмосфера». (Клапан закрывается автоматически.) Через 1
минуту, когда в изохорном процессе в емкости установится прежняя (комнатная) температура,
снимите показание датчика p2  p2  pа и запишите его в таблицу.
3. Повторите пункты 1 – 2 еще 4 раза, записывая данные в таблицу.
Таблица
№
измерения
p1 , Па
p2 , Па
p1  p2 ,
Па

1
2
3
4
5
Обработка результатов измерений
1. Подсчитайте по формуле (23) величину  для каждого измерения и запишите его в таблицу.
2. Оцените абсолютную погрешность величины , считая измерения прямыми:
  t (n)
  i2
,
n(n  1)
где t (n) – коэффициент Стьюдента, n – число измерений. (Для n = 5 и  = 0,95 t (n) = 2,8.)
3. Окончательный результат представьте в виде
      ,
где         .
Контрольные вопросы
1. Напишите уравнение состояния для идеального газа. Каков физический смысл универсальной
газовой постоянной R?
2. Какой процесс называется изохорическим? изотермическим? изобарическим? адиабатическим?
Нарисуйте в координатах pV графики этих процессов.
3. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для изохорического процесса.
4. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для изобарического процесса.
5. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для изотермического процесса.
8
6.
Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для адиабатического процесса.
Как меняется температура газа при адиабатическом расширении?
7. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей газа. Напишите соотношение между
молярными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме.
8. Что называется числом степеней свободы молекулы? Получите формулу для  через число
степеней свободы молекулы. Каково численное значение  для одно-, двух- и многоатомного
газов?
9. В чем состоит метод Клемана-Дезорма определения ?
10. Как определяется погрешность серии измерений  в данной работе?
Литература
1. Савельев И. В. Курс физики в 3 томах. Том 1. Механика. Молекулярная физика: учебник
для вузов. -М.: Лань, 2008. -354 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5 томах. Том 2. Термодинамика и
молекулярная физика: учебное пособие для вузов. - М: Физматлит, 2006. -544 с.
9