Термодинамика и - Томский политехнический университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Д.С. Исаченко
«СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ»
Варианты индивидуальных расчетных заданий по курсу «Техническая термодинамика»
для студентов IV курса, обучающихся по специальности 140305 «Ядерные реакторы и
энергетические установки» направления 140300 «Ядерная физика и технологии»
Томск 2010
Указания к выполнению и оформлению индивидуального задания
1. Условия задачи переписываются полностью без сокращений. Обязательно
указывается номер раздела, подраздела и задачи, например: 1.2.3. Здесь: 1 –
номер раздела, 2 – номер подраздела, 3 – номер задачи.
2. Текст и графики должны быть выполнены без помарок и исправлений.
Допускается оформление на компьютере. Правила оформления компьютерного
варианта указаны в приложении А. Все формулы набираются с
использованием встроенного редактора формул (или MathType), греческие
символы печатаются прямыми, все переменные – курсивом, русские буквы и
индексы – прямые, векторы и векторные функции – полужирным. Пример
оформления формул и размерностей можно посмотреть в приложении A.
3. Титульный лист должен иметь все атрибуты, приведенные в приложении Б.
4. Решение задачи должно содержать основные законы и формулы, на которых
базируется решение. Все используемые буквенные обозначения должны быть
обозначены с приведением их размерностей. Все используемые формулы
должны быть выведены с полным объяснением. После числового ответа
должна быть приведена проверка размерности полученной величины.
5. Рекомендуется выполнить чертеж, эскизный рисунок или график, поясняющий
содержание задачи или ход решения.
6. Решения задачи должны сопровождаться исчерпывающими, но краткими
словесными объяснениями, раскрывающими физический смысл формул и
величин.
7. Студент должен быть готов дать устные пояснения по существу решения
задач, входящих в его задание.
Содержание
1. Первое начало термодинамики.................................................................................. 4
1.1. Уравнение состояния ........................................................................................... 4
1.2. Работа и количество теплоты.............................................................................. 8
1.3. Теплоемкости и политропные процессы ......................................................... 10
1.4. Внутренняя энергия ........................................................................................... 13
2. Второе начало термодинамики ................................................................................ 16
2.1. Коэффициенты полезного действия тепловых двигателей ........................... 16
2.2. Энтропия ............................................................................................................. 19
2.3. Условия термодинамического равновесия и фазовые переходы .................. 23
Приложение А................................................................................................................ 25
Приложение Б ................................................................................................................ 26
1. Первое начало термодинамики
1.1. Уравнение состояния
1. Сосуд емкостью V  102 м3 разделен
перегородкой. В одну половину сосуда введено
перегородку может диффундировать только
поддерживается температура 100 °C. Считая
установившиеся давления в обеих частях сосуда.
пополам полунепроницаемой
2 г водорода и 4 г гелия. Через
водород. Во время процесса
газы идеальными, определите
2. Определите, является ли молекула кислорода действительно двухатомной, если
известно, что в объеме V = 4000 см3 при температуре 150 °С и давлении
p  1,373  105 н/м2 находится m = 5 г кислорода. Газ считать идеальным.
3. При экспериментальных исследованиях удельных объемов паров жидкостей
определяют массу пара, находящегося в измерительном сосуде (пьезометре)
объемом V. Для этого пар конденсируют, получившуюся жидкость выпускают в
бюксу и взвешивают. Однако при атмосферном давлении в пьезометре остается
некоторое количество вещества, массу которого необходимо учесть. Это с
успехом делается с помощью уравнения состояния для идеального газа.
Определите массу оставшегося в пьезометре вещества, если объем пьезометра V =
= 420 см3, температура t = 320 °C, а давление p = 105 н/м2. Исследуемым
веществом является этиловый спирт С2Н5ОН.
4. Цилиндрическая трубка, длина которой l = 30 см, погружается в ртуть на 1/3
своей длины. Затем трубку сверху закрывают пальцем и вынимают из ртути; при
этом часть ртути вытекает. Какова длина столбика ртути, оставшейся в трубке,
если атмосферное давление p0  1,05  105 Па?
5. Объем баллона электрической лампы V = 500 см3. Лампа наполнена азотом при
давлении p  0,8  105 Па. Какой объем воды войдет в баллон лампы, если его
опустить под воду на малую глубину и обломить кончик? Атмосферное давление
p0  1,05  105 Па.
6. Из баллона со сжатым водородом емкостью 102 м3 вследствие неисправности
вентиля вытекает газ. При температуре 7 °C манометр показывал 5  106 н/м2.
Через некоторое время при температуре 14 °C манометр показал такое же
давление. Определите утечку газа, считая справедливым уравнение КлапейронаМенделеева.
7. Киломоль кислорода находится при температуре T  300 К и давлении p  107
н/м2. Найдите объем газа, считая, что состояние кислорода при данных условиях
описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Постоянные a и b в уравнении Вандер-Ваальса для кислорода имеют значения:
a  1,35  105 н  м 4 / кмоль 2 ,
b  3  102 м3 / кмоль.
8. Запишите уравнение Ван-дер-Ваальса для газа, содержащего v киломолей.
9. Два киломоля азота находятся при температуре T  300 К и давлении p  5  106
н/м2. Найдите объем газа, считая, что состояние кислорода при данных условиях
с
постоянными
описывается
уравнением
Ван-дер-Ваальса
5
4
2
2
3
a  1,36  10 н  м / кмоль и b  3,85  10 м / кмоль.
10. Вычислите критические параметры VК, pК, TК газа Ван-дер-Ваальса, выражая
их через постоянные a и b для этого газа.
11. Уравнение Ван-дер-Ваальса не вполне точно описывает поведение реальных
газов. Для лучшего согласия с опытом Клаузиус предложил другое эмпирическое
уравнение


a
V  b   RT ,
p
2 

T
V
c




где a, b и c – постоянные для рассматриваемого газа. Выразите критические
параметры VК, pК, TК через постоянные a, b и c.
12. Установите связь между давлением, температурой и объемом киломоля в
критической точке газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса. Вычислите
RTК
критический коэффициент s 
для этого уравнения и сравните его с
pКVК
экспериментальным значением. (Среднее значение sЭ для газов равно 3,7).
13. Найдите плотность гелия в критическом состоянии, считая, что для него
справедливо уравнение Ван-дер-Ваальса, и используя значения критических
параметров TК  5, 2 К, pК  0,23  106 н/м2.
14. Найдите критическую температуру и критическое давление для кислорода.
Постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для кислорода равны:
a  1,35  105 н  м 4 / кмоль 2 ,
b  3,16  102 м3 / кмоль.
15. Используя значения критических параметров pК и TК для некоторых газов,
приведенные в таблице, найдите для них постоянные a и b входящие в уравнение
Ван-дер-Ваальса.
Вещество
Водяной пар
Углекислый газ
Кислород
Азот
Водород
Гелий
TК, К
647
304
154
126
33
5,2
pК  106 , н/м2
22,0
7,4
5,07
3,4
1,3
0,23
16. Сосуд объемом V1  103 м3 должен быть наполнен водой при температуре t1 =
= 18 °C с таким расчетом, чтобы при нагревании ее в данном сосуде
(предварительно откачанном и запаянном) до критической температуры в нем
установилось критическое давление. В предположении, что вода подчиняется
уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, найдите, какой объем воды должен быть
налит в сосуд, если известно, что критическая температура воды TК = 647 К,
критическое давление pК  2,2  107 н/м2, молярная масса  = 18 г/моль, плотность
при 18 °С равна  = 1 г/см3.
17. Определите критический объем VК киломоля углекислоты CO2, считая
справедливым уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, если критическая
температура и критическое давление углекислоты равны соответственно 31 °C и
7,4  106 н/м2.
18. Найдите, во сколько раз давление газа, состояние которого описывается
уравнением Ван-дер-Ваальса, больше его критического давления, если известно,
что его объем и температура вдвое больше критических значений этих величин.
19. Для определения плотности газа поступили следующим образом. Большой
стеклянный баллон был наполнен газом при давлении p1  1000 мм рт. ст. и
взвешен; его масса m1 = 505,91 г. Затем часть газа была выпущена, и баллон снова
взвесили. Новая масса m2 = 504,2 г. При этом давление в баллоне упало до p2 =
= 800 мм рт. ст. Какова плотность газа при атмосферном давлении, если объем
баллона V  5  103 м3? Считать температуру газа во всех случаях одной и той же.
20. Стеклянная, запаянная с одного конца трубка открытым концом опущена в
сосуд со ртутью. После подъема трубки уровни ртути в сосуде и трубке
совпадают. При этом длина части трубки, занятой воздухом, l = 100 см. Затем
трубку поднимают на 10 см. Какой будет после этого высота уровня ртути в
трубке, если атмосферное давление p0  1,05  105 Па? (Капиллярными явлениями
пренебречь).
21. В баллоне емкостью 20 л находятся 5 г водорода и 10 г азота при температуре
17 °C. Определите: а) давление в баллоне; б) молярную массу и плотность смеси
газов.
22. Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд делится на две части
подвижным поршнем. Каково будет положение поршня, если одну часть сосуда
заполнили кислородом, а другую часть такой же массой водорода? Длина сосуда
85 см.
23. В баллон, емкость которого 450 л, нагнетают воздух при помощи компрессора.
При каждом ходе поршня захватывается 4 л воздуха при атмосферном давлении и
при температуре 7 °C. Температура внутри баллона 27 °C. Предохранительный
клапан, прикрывающий отверстие площадью 1,5  104 м2, удерживается силой
100 Н. Сколько качаний можно сделать, пока клапан не начнет пропускать
воздух? Какова при этом будет плотность воздуха в баллоне? Массой воздуха,
находившегося в баллоне первоначально, можно пренебречь.
24. В сосуде находятся 10 г кислорода. При некотором бесконечно медленном
процессе функциональная связь температуры газа и его объема определяется
формулой: T   4,8V  1,2  102V 2   104 . Определите: а) давление и объем,
соответствующие наибольшей температуре  pМ ,VМ  ; б) давление и температуру
V
при объеме V1  М .
2
25. В закрытом сосуде содержится смесь газов, состоящая из 100 г углекислого
газа и 150 г азота. Определите плотность смеси при температуре t = 27 °C и
давлении p = 760 мм рт. ст. Как изменится плотность смеси, если температура
увеличится до 77 °C?
26. В цилиндре под поршнем находится 500 г воздуха. Этот воздух бесконечно
медленно переводят из одного состояния в другое. Определите наибольшую
температуру, которой достигнет воздух, если зависимость давления от объема
задана уравнением p  2  106 V  V 2  , где объем V выражен в кубических метрах,
а давление p в Паскалях.
27. Покажите, что для веществ, подчиняющихся одному и тому же закону
соответственных состояний, коэффициенты объемного расширения обратно
пропорциональны критическим температурам, т. е.
1 TК 2
.

 2 TК1
28. Покажите, что для веществ, подчиняющихся одному и тому же закону
соответственных состояний, коэффициенты изотермического сжатия обратно
пропорциональны критическим давлениям этих веществ, т. е.
1 pК 2

.
2 pК1
29. Для простой системы установите связь между коэффициентом объемного
расширения , коэффициентом изотермической сжимаемости  и термическим
коэффициентом давления k.
30. Идеальный газ массы m0 находится в состоянии, характеризуемом
параметрами: объем V0, давление p0 и температура T0. Затем он последовательно
подвергается следующим воздействиям: его расширяют изотермически до объема
2V0, затем расширяют изобарически до объема 3V0 и далее нагревают
изохорически, пока его давление не станет равным начальному (p0). После этого в
сосуд вводят дополнительную массу газа 2m0, температура и объем при этом не
меняются. Наконец, газ изотермически расширяют так, что его давление
уменьшается в 2 раза. Изобразите графически все эти процессы, откладывая по
V
p
, а по оси ординат
. Определите отношение начальной и
оси абсцисс
V0
p0
конечной температур.
31. Закрытый сосуд объемом 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В
этот сосуд ввели диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После испарения эфира давление
в сосуде стало 1050 мм рт. ст. Определите: а) массу эфира в сосуде; б) плотность
смеси; в) молярную массу смеси. Температуру считать постоянной.
32. Сухой атмосферный воздух состоит из азота (78,09% от общей массы),
кислорода (20,95%), аргона (0,93%) и углекислого газа (0,03%). Пренебрегая
ничтожными примесями других газов, определите: а) среднюю молярную массу
атмосферного воздуха и б) парциальные давления составляющих газов. Давление
воздуха p = 105 Па.
1.2. Работа и количество теплоты
1. Идеальный газ, занимающий объем V  5  103 м3 и находящийся под давлением
p  2  105 н/м2 при температуре T = 290 K, был нагрет при постоянном объеме и
затем расширился изобарически. Работа расширения газа при этом оказалась
равной 200 Дж. На сколько нагрелся газ в изобарическом процессе?
2. Двухатомному идеальному газу сообщают 500 кал тепла, при этом газ
расширяется изобарически. Найдите работу расширения газа.
3. При изобарическом расширении к одному киломолю одноатомного идеального
газа подведено 600 ккал тепла. Во сколько раз увеличился объем таза, если его
начальная температура была 300 K и молярная теплоемкость CP = 5
ккал/(кмольград)?
4. Кислород под давлением 0,2 МПа в объеме 1 м3 сначала нагревают при
постоянном давлении до 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления
0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.
5. В сосуде находится 0,1 моля двухатомного газа при температуре 300 К.
Сначала газ адиабатически расширился в 8 раз, а затем изотермически вернулся к
первоначальному объему. Найти работу, совершенную газом в этих процессах.
6. Кислород нагревается при постоянном давлении 80 кПа. Его объем
увеличивается от 1 до 3 м3. Определить изменение внутренней энергии газа.
7. Кислород нагревается при постоянном давлении 80 кПа. Его объем
увеличивается от 1 до 3 м3. Определить полученную газом теплоту.
8. Вычислите работу испарения одного киломоля воды при переходе ее в пар при
температуре 100 °C и нормальном давлении, если разность молярных объемов
пара и жидкости составляет 30,186 мг/кмоль. Определите также сообщенное при
этом количество теплоты.
9. Вычислите работу, совершенную киломолем газа при изотермическом
расширении от объема V1 до объема V2, если состояние газа описывается: а)
уравнением Клапейрона-Менделеева; б) уравнением Ван-дер-Ваальса.
10. В сосуде, объем которого 3 л, находится кислород при температуре 17 °C.
Давление газа 10–3 мм рт. ст. Определите: а) сколько молекул кислорода имеется в
сосуде; б) среднюю внутреннюю энергию газа.
11. Некоторая масса азота при давлении 1,01105 Па имеет объем 5 л, а при
давлении 3105 Па – объем 2 л. Переход от первого состояния ко второму был
произведен в два этапа: а) сначала по адиабате, затем по изохоре; б) сначала по
изохоре, затем по адиабате. Определите изменение внутренней энергии,
количество полученной или отданной теплоты и произведенную работу.
12. При изотермическом расширении одного моля кислорода, имевшего
температуру 27 °C, газ поглотил 1740 Дж теплоты. Во сколько раз увеличился при
этом объем газа?
13. Какое количество теплоты выделится, если 1 г азота, взятого при температуре
0 °C под давлением 1,0105 Па, изотермически сжать до давления 106 Па?
14. Определить работу, совершенную азотом, которому при постоянном давлении
было передано 21 кДж теплоты.
15. Кислород массой 200 г занимает объем 100 л под давлением 200 кПа. При
постоянном давлении газ расширился до объема 300 л, затем при постоянном
объеме давление увеличилось до 500 кПа. Найти изменение внутренней энергии
газа.
16. Кислород массой 200 г занимает объем 100 л под давлением 200 кПа. При
постоянном давлении газ расширился до объема 300 л, затем при постоянном
объеме давление увеличилось до 500 кПа. Найти теплоту, полученную газом в
этих процессах.
17. Какая доля теплоты, подводимой к идеальному газу в изобарическом
процессе, расходуется на увеличение внутренней энергии газа. Рассмотреть
одноатомный, двухатомный и трехатомный газы.
18. Один моль идеального газа изобарически нагревается на 77 K, получив
1600 кДж теплоты. Найти изменение внутренней энергии газа.
19. Три моля идеального газа, находившегося при температуре 276,5 К
изотермически расширили в 5 раз, а затем изохорически нагрели до
первоначального давления. За весь процесс газу сообщили 80 кДж теплоты.
Найти показатель адиабаты для этого газа.
20. Цилиндр с непроницаемым абсолютно гладким поршнем содержит 1 м3
одноатомного идеального газа при давлении в 1 атм. Газ медленно сжимают при
постоянной температуре до конечного объема 0,4 м3. Какая работа совершается
при этом?
21. Два киломоля гелия, находящиеся под давлением p0 и при температуре T,
сжимают изотермически до давления p1. Определите количество теплоты Q',
отданной газом термостату, считая гелий идеальным газом.
22. Определите количество теплоты Q', выделяющейся при изотермическом
сжатии 2 кг азота от нормального давления p0 = 1,013105 н/м2 до давления
p1 = 6,078105 н/м2. Температура азота T = 300 K; газ считать идеальным.
23. Два идеальных газа, занимающие один и тот же начальный объем при
одинаковом начальном давлении, внезапно подвергают адиабатическому сжатию,
каждый до половины своего первоначального объема. Найдите отношение работ,
необходимых для сжатия, если первый газ одноатомный, а второй двухатомный.
24. При адиабатическом сжатии одного киломоля идеального двухатомного газа
была совершена работа в 146 кДж. На сколько увеличилась температура газа при
сжатии?
25. Вычислите работу, совершаемую идеальным газом в процессе
политропического расширения от объема V1 до объема V2, если начальное
давление р1.
26. Какое количество тепла Q получает идеальный газ в процессе
политропического расширения от объема V1 до объема V2, если начальное
давление газа и показатель политропы n?
27. Какую долю количества тепла, сообщаемого идеальному газу в процессе
политропического расширения, составляет совершаемая им работа?
28. Определите работу, совершаемую некоторой массой кислорода в процессе
политропического расширения, когда давление и объем меняются от p1 =
= 4,052105 н/м2, V1 = 10–3 м3 до p2 = 1,013105 н/м2 и V2 = 210–3 м3.
29. Покажите, что элементарная работа
изотропного диэлектрика равна A  E  dP .
поляризации
единицы
объема
30. Покажите, что элементарное количество теплоты, получаемой системой при
достаточно малых изменениях в ней, не является полным дифференциалом.
31. Определите теплоту образования водяного пара из элементов, если известна
теплота образования воды из ее элементов Q1 = 68,4103 ккал/кмоль и
молекулярная теплота испарения воды Q2 = 9,5103 ккал/кмоль.
32. При сгорании 12 кг твердого углерода в углекислый газ CO2 выделяется
97000 ккал, а при сгорании 28 кг окиси углерода CO выделяется 68000 ккал.
Какое количество тепла выделилось бы при сгорании 12 кг твердого углерода,
если бы в результате сгорания получалась только чистая окись углерода?
1.3. Теплоемкости и политропные процессы
1. Пользуясь первым началом термодинамики, найдите общее выражение для
CP  CV физически однородной и изотропной системы.
2. Найдите удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном
давлении для кислорода, если его молярная теплоемкость при постоянном объеме
приблизительно равна 20,8103 Дж/(кмольград).
3. Вычислите отношение теплоемкостей  
CP
для смеси 3 моль аргона и 5 моль
CV
кислорода.
4. Отношение молярных теплоемкостей для двухатомного газа
Определите удельные теплоемкости: а) кислорода; б) азота.
  1,4 .
5. Для трехатомного газа, имеющего удельную теплоемкость при постоянном
давлении, CP = 725 Дж/(кгК), определите: а) молярную массу этого газа; б)
отношение молярных теплоемкостей.
6. Для некоторого политропического процесса, в котором участвует
многоатомный газ, показатель политропы n = 1,7. Какова молярная теплоемкость
газа в этом процессе?
7. Влажный воздух содержит 20% водяного пара. Принимая сухой воздух за
двухатомный газ с молярной массой 2910–3 кг/моль, определите: а) удельную
теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме; б) отношение молярных
теплоемкостей .
8. Вычислите удельные теплоемкости CP и CV для гелия, используя известное
значение молярной теплоемкости при постоянном объеме для одноатомных газов.
9. Определите удельные теплоемкости CP и CV некоторого двухатомного газа,
если известно, что масса одного киломоля этого газа равна 30 кг, а отношение
теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме
составляет 1,4.
10. Получите общие выражения для удельных теплоемкостей CP и CV, а также для
C
отношения P газовой смеси, состоящей из v1 киломолей одноатомного газа с
CV
молярной массой 1 и из v2 киломолей двухатомного газа с молярной массой 2.
11. Найдите удельную теплоемкость при постоянном давлении газовой смеси,
состоящей из трех киломолей неона и двух киломолей азота.
12. Молярная теплоемкость аммиака CP при 300 K составляет согласно
экспериментальным данным 28,50 кДж/(кмольград), а при температуре 800 K она
равна 40,1 кДж/(кмольград). Пользуясь указанными значениями молярной
теплоемкости, найдите интерполяционную формулу для температурной
зависимости CP.
13. Зависимость молярной теплоемкости CP от температуры для окиси углерода
характеризуется следующими экспериментальными данными
T, K
300
500
700
800
1500
2000
29,1
29,76
31,10
32,44
34,99
35,96
CP, кДж/(кмольград)
Пользуясь методом наименьших квадратов, найдите температурную зависимость
теплоемкости CP(T), задавшись уравнением
CP  a  bT .
14. Для идеального газа найдите уравнение процесса, теплоемкость которого
C  T    const  .
15. Исходя из первого начала термодинамики, получите дифференциальное
уравнение адиабаты в переменных V и T для произвольной однородной
изотропной системы.
16. Получите уравнение адиабаты для идеального газа в переменных V и T.
17. Найдите уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса в переменных V и T.
18. При политропическом расширении 1 моль идеального одноатомного газа его
температура уменьшается на 1 К. Показатель политропы n = 1,5. Определите: а)
молярную теплоемкость газа в этом процессе; б) количество теплоты, отданной
или полученной газом; в) работу, совершаемую газом.
19. Одноатомный газ сжимается политропически от начального объема V1 =
= 410–3 м3 до конечного V2 = 10–3 м3, а его давление при этом увеличивается от
p1 = 105 Па до p2 = 8105 Па. Начальная температура газа T1 = 300 К. Определите:
а) показатель политропы; б) молярную теплоемкость газа при этом процессе; в)
изменение внутренней энергии газа; г) какое количество тепла получил или отдал
газ.
20. Пользуясь первым началом термодинамики, получите дифференциальное
уравнение политропы с теплоемкостью C в переменных T и V для произвольной
однородной системы. Проинтегрируйте его в случае идеального газа.
21. Процесс расширения идеального двухатомного газа происходит по позитроне
с показателем n = 1,32. Найдите соотношение между совершенной газом работой
и поглощенным им теплом.
22. Покажите, что сжатие газа по политропе, идущей на диаграмме pV круче
адиабаты, сопровождается поглощением тепла.
23. В процессе политропического сжатия двухатомный идеальный газ отдает 6
ккал тепла. Найдите изменение внутренней энергии и совершенную над газом
работу, если объем газа уменьшился в 5 раз, а давление возросло в 4 раза.
24. Найдите молярную теплоемкость идеального газа в процессе p = aV, где
a = const. Теплоемкость при постоянном объеме CV не зависит от температуры и
от объема.
25. Одноатомный газ сжимается по политропе, описываемой уравнением
pV 2 = const. Найдите молярную теплоемкость газа и зависимость температуры от
давления.
26. Расширение идеального двухатомного газа описывается уравнением
pV 1,2  const . Найдите молярную теплоемкость для этого процесса. Как будет
изменяться температура газа, если процесс сопровождается поглощением тепла?
27. Сжатие газа происходит по политропе с показателем n = 0,9. Как при этом
будет изменяться внутренняя энергия?
28. В процессе политропического расширения идеальный газ получает 10 ккал
теплоты. Вычислите показатель политропы и изменение внутренней энергии, если
объем газа увеличивается в 10 раз, а давление уменьшается в 8 раз ( = 1,4).
29. В процессе политропического сжатия над идеальным газом совершается
работа в 1,96105 Дж и отводится 60 ккал тепла. Вычислите показатель
политропы, считая  = 1,4.
30. Идеальный газ расширяется политропически с показателем политропы n = 0,8.
Определите молярную теплоемкость и долю теплоты, идущей на увеличение
внутренней энергии. Как при этом изменяется температура, если  = 1,4?
31. Выразите молярную теплоемкость идеального газа при политропическом
процессе через показатель политропы и теплоемкость при постоянном объеме и
представьте зависимость C(n) графически.
32. Найдите уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, теплоемкость CV
которого не зависит от температуры, а теплоемкость политропического процесса
равна C.
1.4. Внутренняя энергия
1 (17). Пользуясь соотношением
 U 
 p 

T



  p,
 V T
 T V
покажите, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа не зависят при
постоянной температуре от объема, т. е.
 U 
 CV 

 0 и 
  0.
 V T
 V T
2 (18). Для водяного пара в интервале между t1 = 0 °C и t2 = 650 °C Нернст
предложил эмпирическую формулу для молярной теплоемкости
CP   8,62  0,02t  7,2  109 t 2  кал/(градмоль).
Предполагая справедливыми соотношения
 U 
CP  CV  R и 
  0,
 V T
найдите увеличение внутренней энергии водяного пара при нагревании его от t1
до t2.
3 (19). Эмпирическая формула, дающая зависимость молярной теплоемкости CP
от температуры, для углекислоты в интервале между t1 = –75 °C и t2 = 20 °C имеет
вид:
CP   8,71  6,6  103 t  2,2  10 6 t 2  кал/(градмоль).
Предполагая справедливыми для CO2 соотношения:
 U 
CP  CV  R и 
  0,
 V T
найдите увеличение внутренней энергии при нагревании углекислого газа от t1 до
t2.
4 (20). Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем
пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сторону поршня в
цилиндре находится v киломолей идеального газа при температуре T0, а по
другую – высокий вакуум. Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает
возможность газу занять весь объем цилиндра. После этого, постепенно
увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до
первоначальной величины. Найдите изменение внутренней энергии газа, если
молярная теплоемкость CV не зависит от температуры.
5 (21). Определите, какая часть поглощенного двухатомным идеальным газом в
изобарическом процессе тепла идет на увеличение его внутренней энергии.
6 (22). Воздух объемом 0,7 м3 при давлении в 1,46105 н/м2 и температуре 25 °C
нагревается при постоянном давлении до 175 °C. Найдите изменение внутренней
энергии, совершенную газом работу и количество поглощенного тепла, считая
воздух идеальным газом и принимая, что CP = 0,24 ккал/(кгград).
7 (23). Определите работу, изменение внутренней энергии и поглощенное (или
отданное) тепло для воздуха массой 0,5 кг, совершающего политропический
процесс расширения с показателем n = 1,5, если его начальная температура 150 °C
конечная – +50 °C и CV = 0,17 ккал/(кгград).
8 (24). В комнате в течение некоторого времени работал нагреватель. При этом
температура воздуха повысилась от T1 до T2, давление же его не изменилось и
осталось равным давлению вне помещения. Считая воздух идеальным газом,
найдите изменение внутренней энергии воздуха, находящегося в комнате.
9 (25). Вычислите изменение внутренней энергии одного киломоля идеального
газа при расширении по политропе, описываемой уравнением pV n  const , от
объема V1 до V2. Рассмотрите частные случаи изотермического и адиабатического
процессов.
10 (26). Найдите выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса, считая
теплоемкость Су не зависящей от температуры и используя соотношение
 U 
 p 

 T
  p.
 V T
 T V
11 (27). Один киломоль азота адиабатически расширяется в вакуум от начального
объема в 1 м3 до объема 10 м3. Как изменится температура при таком процессе,
если постоянная a в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота равна
1,36105 нм4/кмоль2, теплоемкость CV = 2,08104 Дж/(кмольград) и не зависит от
температуры и объема?
12 (28). Какое количество тепла надо сообщить одному молю газа Ван-дерВаальса с постоянной теплоемкостью CV, чтобы при расширении в пустоту от
объема V1 до V2 его температура осталась неизменной?
13 (29). Какую работу совершает один моль газа Ван-дер-Ваальса в
адиабатическом процессе, когда его объем меняется от V1 до V2? Начальная
температура Т1 теплоемкость CV не зависит от температуры и объема.
14 (30). Два сосуда с равными объемами V1 = V2 = V = 10–3 м3 соединены трубкой с
краном. В одном сосуде находится азот при давлении в 1,013105 н/м2, а в другом
– вакуум. Считая, что газ описывается уравнением Ван-дер-Ваальса, а стенки
сосудов и трубки адиабатически изолированы, найдите изменение температуры
после открытия крана. Начальная температура T = 290 K, постоянная в уравнении
Ван-дер-Ваальса a  1,36  105 нм4/кмоль2.
15 (31). Выразите теплоту  испарения при постоянной температуре T одного
киломоля жидкости под давлением ее насыщенного пара через температуру,
молярные объемы жидкости VЖ и ее насыщенного пара VП, предполагая, что
справедливо уравнение Ван-дер-Ваальса и теплоемкость CV одинакова для пара и
жидкости.
16 (32). Найдите изменение внутренней энергии при испарении 20 г этилового
спирта в точке кипения, если известно, что теплота испарения при этой
температуре равна 205 ккал/кг. Удельный объем пара 0,607 м3/кг, удельным
объемом жидкости можно пренебречь. Давление равно атмосферному.
2. Второе начало термодинамики
2.1. Коэффициенты полезного действия тепловых двигателей
1. Найдите работу, производимую идеальным газом, и количество тепла,
получаемого им при совершении кругового процесса
(цикла), состоящего из двух изохорных и двух
изобарных процессов. Система последовательно
проходит следующие состояния: 1) p1, V1; 2) p1, V2;
3) p2, V2; 4) p2, V1; 5) p1, V1.
2. Определите работу A, совершенную одним
киломолем идеального газа, и полученное
количество тепла Q за цикл, состоящий из двух
изобарных и двух изотермических процессов (рис.
1). Выразите работу A и количество теплоты Q через
температуры Т1, Т2 и давления p1, p2.
Рис. 1
3. Найдите работу A, совершенную одним киломолем идеального газа, и
полученное им количество теплоты Q за цикл, состоящий из двух изохорных и
двух адиабатических процессов. Газ последовательно проходит через следующие
состояния: 1) V1, T1; 2) V1, T2; 3) V2, T3; 4) V2, T4; 5) V1, T1. Выразите A и Q через
объемы V1, V2 и температуры T1, T3.
4. Определите количество теплоты Q, полученной одним молем идеального газа,
и совершенную им работу A за цикл, состоящий из двух изотермических и двух
адиабатических процессов. Система проходит последовательно через следующие
состояния 1) T1, p1; 2) p2, T2; 3) p3, T2; 4) p4, T1; 5) p1, T1. Выразите A и Q через
температуры T1, T2 и давления p1, p3.
5. Найдите работу идеального газа для кругового процесса, состоящего из двух
изохорических и двух изотермических процессов. Последовательные состояния
описываются следующими параметрами: 1) V1, T1; 2) V1, T2; 3) V2, T2; 4) V2, T1; 5)
V1, T1.
6. Найдите поглощенное идеальным газом тепло для цикла из двух изобарных и
двух изотермических процессов, если газ проходит следующий ряд состояний:
1) p1, T1; 2) p1, T2; 3) p2, T2; 4) p2, T1; 5) p1, T1.
7. Сравните термические коэффициенты двух циклов Карно. В первом цикле к
рабочему телу теплота подводится при температуре 500 К и отводится при
температуре 300 К, а во втором теплота подводится при температуре 400 К и
отводится при температуре 200 К.
8. Цикл Карно осуществляется в интервале температур T1 = 600 К и T2 = 200 К.
Давления в конце изотермического расширения и в конце адиабатического сжатия
одинаковы и равны p = 2105 Па. Рабочим телом является воздух. Определите
параметры точек цикла и полезную работу, совершаемую одним килограммом
воздуха за цикл.
9. Коэффициент полезного действия цикла Карно  = 0,3. При изотермическом
расширении газ получил от нагревателя W = 200 Дж энергии. Определите работу,
совершаемую при изотермическом сжатии.
10. Температура нагревателя в 3 раза выше температуры холодильника. Какую
часть энергии, полученной в цикле Карно от нагревателя, газ отдает
холодильнику?
11. При совершении цикла Карно газ получил от нагревателя 16,77 кДж энергии и
совершил 5,59 кДж работы. Во сколько раз температура нагревателя выше
температуры холодильника?
12. Некоторое количество идеального газа совершает цикл, состоящий из двух
изобар 1 – 2 и 3 – 4 при давлениях p1 и p2 и двух
изотерм при температурах T1 и T2 (рис. 2). Докажите,
что КПД этого цикла меньше, чем цикла Карно.
13.
Домашний холодильник потребляет
из
электрической
сети
200
Вт.
Температура
окружающей среды (воздух в комнате) T0 = 293 K.
Определите температуру в камере холодильника T1,
если количество отведенного тепла в 5 раз превышает
количество затраченной энергии. Холодильник
работает по циклу Карно.
Рис. 2
14. Некоторая масса кислорода при давлении 1,013105 н/м2 имела объем 10–2 м3, а
при давлении 3,039105 н/м2 объем 210–3 м3. Переход от первого состояния ко
второму осуществлялся в два этапа: сначала по адиабате, затем по изохоре.
Найдите изменение внутренней энергии, совершенную работу и поглощенное
тепло.
15. См. условие задачи 14. Выполните аналогичные расчеты при обратном
следовании процессов, переводящих систему из первого состояния во второе.
16. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Определите к.п.д.
цикла, если известно, что за один цикл была произведена работа 4900 Дж, и
холодильнику было передано 5,4 ккал тепла.
17. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один
цикл работу 8104 Дж. Температура термостатов соответственно равна 100 и 0 °C.
Найдите: а) количество теплоты, получаемой рабочим телом за один цикл от
нагревателя; б) количество теплоты, передаваемой за каждый цикл холодильнику;
в) к.п.д. цикла.
18. Окись углерода массой 5 кг расширяется при постоянном давлении, совершая
работу в 105 Дж, затем охлаждается до прежней температуры, после чего
сжимается изотермически до первоначального объема. Изобразите цикл на pVдиаграмме и определите: а) температуру в конце изобарического расширения; б)
количество теплоты, полученной системой при изобарическом процессе; в) к. п. д.
цикла. Начальная температура T1 = 373 K, теплоемкости CP = 0,23 ккал/(кгград) и
CV = 0,15 ккал/(кгград).
19. Определите к.п.д. цикла Карно, рабочим веществом в котором является газ
Ван-дер-Ваальса, и покажите, что он равен к. п. д. цикла Карно с идеальным
газом.
20. Покажите, что к.п.д. цикла Карно, проведенного с термически идеальным
T T
газом, но калорически не идеальным, определяется выражением   1 2 .
T1
21. Один киломоль одноатомного идеального газа совершает цикл, состоящий из
двух изохор и двух изобар. При этом объем газа меняется от V1 = 25 м3 до V2 =
= 50 м3, а давление – от p1 = 1,013105 н/м2 до p2 = 2p1. Во сколько раз работа A,
совершаемая при таком цикле, меньше работы AК, совершаемой в цикле Карно,
изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам
рассматриваемого цикла, а получаемое газом тепло от нагревателя в обоих циклах
одинаково?
22. Для идеальной холодильной машины, работающей по обратному циклу Карно,
за один цикл необходимо совершить работу в 3,3104 Дж. При этом она получает
тепло от тела с температурой -10 °C и отдает тепло телу с температурой 20 °C.
Определите: а) к.п.д. холодильника; б) количество тепла, отнятого у холодного
тела за цикл; в) количество тепла, переданного горячему телу за цикл.
23. Динамическая отопительная система состоит из теплового двигателя, в топке
которого сгорает топливо, и холодильной машины, приводящейся в действие этим
двигателем. Вода в отопительной системе служит холодильником для теплового
двигателя и играет роль термостата с более высокой температурой для
холодильной машины, которая получает тепло от природного резервуара воды с
температурой T0. Определите количество теплоты, которое получает
отапливаемое помещение; известными считать следующие величины:
теплотворную способность топлива q, температуру воды в отопительной системе
T2, температуру воды в котле паровой машины T1 и массу сожженного топлива m.
24. По условию предыдущей задачи найдите количество теплоты, получаемой
отапливаемым помещением, если m = 10 кг, q = 33,6106 Дж/кг, Т0 = 300 К, Т1 =
= 480 К, Т2 = 330 К.
25. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно,
передает тепло от холодильника с водой при температуре 0 °C кипятильнику при
температуре 100 °C. Какое количество воды надо заморозить в холодильнике,
чтобы превратить в пар 3 кг воды в кипятильнике? Удельная теплота
парообразования и удельная теплота плавления соответственно равны
2,3106 Дж/кг и 3,4105 Дж/кг.
26. Найдите зависимость давления насыщенного пара от температуры, исходя из
рассмотрения бесконечно малого цикла Карно между температурами Т и Т – dT,
совершаемого системой, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара.
27. Доказать, что адиабата не может пересекаться с изотермой более чем в одной
точке.
28. Известно, чтоо при температуре t = 4 °C коэффициент объемного расширения
воды равен нулю. Покажите, что эта температура не может быть достигнута с
помощью адиабатического расширения.
29. Возможен ли для воды цикл Карно с температурой холодильника 275 К и
температурой нагревателя
агревателя 300 К?
30. Рассматривая бесконечно малый цикл, состоящий из изохоры, изобары и
изотермы, определите разность теплоемкостей CP – CV для простой системы с
двумя степенями свободы.
31. Рабочим телом в цикле Карно является воздух,
масса которого m = 7,25 кг. Состояние 1 (рис. 3)
характеризуется параметрами p1 = 21105 Па и T1 =
= 505,4 К, а состояние 3 – параметрами p3 =
= 2,67104 Па и T3 = 252,7 К. Определите: а)
полезную работу, совершаемую за 1 цикл; б)
изменения энтропии нагревателя и холодильника;
холодильн
в) коэффициент полезного действия.
32. Холодильная машина, работающая по циклу
Карно поддерживает в камере температуру T1 =
Рис. 3
= 260 К. За каждый цикл машина отводит из
холодильной камеры Q1 = 40 кДж энергии и
передает эту энергию окружающей среде, имеющей
имеющей температуру T2 = 300 К.
Определите
мощность,
потребляемую
холодильной
машиной,
если
продолжительность цикла t = 1,5 с.
2.2. Энтропия
1. Вычислите изменение энтропии одного моля идеального газа при расширении
по политропе pV n  const от объема V1 до объема V2. Рассмотрите процессы: а)
изотермический; б) адиабатический; в) изобарический
изобарический (процессы считать
обратимыми).
2. Найдите возрастание энтропии при нагревании идеального газа от температуры
T1 до температуры T2 для двух процессов: 1) изобарического,
изобарического, 2) изохорического.
Теплоемкости CP и CV постоянны. Во сколько раз возрастание энтропии в первом
случае больше,, чем во втором?
3. Энтропия v молей идеального газа, занимающего при температуре T объем vV
(V – объем одного моля), равна Sv  vCV ln T  vR ln vV  bv . Как должна зависеть
постоянная bv от v (а следовательно, от числа частиц N = vNA, где NA – число
Авогадро), для того чтобы выполнялось свойство аддитивности энтропии?
4. Найдите изменение энтропии одного киломоля одноатомного идеального газа
при расширении его по политропе pV 3  const от объема V1 = 1 м3 до V2 =
= 2,718 м3. Молярную теплоемкость CV считать равной 32 R .
5. Вычислите изменение энтропии водорода массой 100 г при изотермическом
расширении его от объема V1 до V2 = 10V1. Газ считать идеальным.
6. Расплавленный свинец массой m = 80 г при температуре плавления (327 °C)
вылили на лед (температура льда t0 = 0 °C). Найти изменение энтропии системы
свинец-лед при охлаждении свинца до температуры льда. Лед считать
неограниченным «резервуаром холода», плавлением льда пренебречь. Удельная
теплоемкость свинца 126 Дж/кг∙K, удельная теплота плавления 22,6 кДж/кг.
7. На сколько изменится энтропия 100 г олова при его затвердевании?
Температура затвердевания олова 232 °C, удельная теплота плавления 60 кДж/кг.
8. Некоторое количество воды нагревают от 10 до 100 °C и дают ей полностью
выкипеть. Какой должна быть масса воды, чтобы ее энтропия в данном процессе
изменилась на 3,61 кДж/К (парообразованием при t < 100 °C пренебречь).
9. Тело, сохраняющее постоянную температуру 100 °C (неограниченный тепловой
резервуар) приводится в контакт с запаянным сосудом, в котором содержится 1 л
кислорода при нормальных условиях. Найти изменение энтропии системы газтело.
10. 10 г свинца нагрели от некоторой температуры до точки плавления (327 °C) и
расплавили. Известно, что при нагревании было затрачено в 1,4 раза больше
тепла, чем при плавлении. Найти изменение энтропии свинца в этом процессе.
11. Кубик льда сначала расплавили при температуре 0 °C, а затем полученную
воду нагрели до некоторой температуры t. Найти такое значение t, при котором
изменение энтропии в первом процессе равно ее изменению во втором процессе.
Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг.
12. Железо массой 200 г при температуре 100 °C опущено в калориметр, в
котором находится 300 г воды при температуре 12 °C. Пренебрегая
теплоемкостью калориметра, найти изменение энтропии системы при
выравнивании температур. Удельная теплоемкость железа 500 Дж/кг∙K.
13. При погружении в водоем свинцовое грузило массы m охлаждается до
температуры воды t0 (водоем считается неограниченным резервуаром холода, его
температура постоянна). 1. Доказать, что в результате этого процесса энтропия
системы возрастает. 2. Вычислить изменение энтропии системы при данных: m =
= 20 г, t1 = 27 °C (исходная температура грузила), t0 = 7 °C.
14. Смешивают массу воды m1 при температуре t1 с массой воды m2 при
температуре t2. 1. Для случая m1 = m2 доказать, что S  0, т. е энтропия системы
не убывает. 2. Найти изменение энтропии в процессе выравнивания температур
при значениях m1 = 4 кг, m2 = 6 кг, t1 = 80 °C, t2 = 20 °C.
15. Каждый из двух сосудов содержит по одному молю идеального газа при
температурах соответственно T1 и T2. Сосуды приводят в соприкосновение и
обоим веществам дают возможность прийти в состояние равновесия посредством
теплопроводящих стенок без изменения объемов. Вычислите изменение энтропии
для данного процесса.
16. Идеальный газ последовательно переходит из состояния A (давление р1 =
1,013105 н/м2, объем V1 = 22,4 м3, температура T1 = 273 К) в состояние C
(давление р2 = 2p1, температура Т3 = 819 К) либо по пути ABC
ABC, либо по пути ADC
(рис. 4).
). Покажите, что изменение энтропии в обоих
случаях одинаково, и рассчитайте это изменение.
изменен Считать,
4
что для данного газа   .
3
17. В двух сосудах одинакового объема находятся
различные идеальные газы, давление и температура их
одинаковы. Масса газа в первом сосуде m1. Сосуды
соединили друг с другом, и начался процесс диффузии.
Определите суммарное изменение
энтропии S
рассматриваемой системы, если молярная масса первого
газа 1.
Рис. 4
18. В сосуде с гелием первоначальное давление составляло p = 2,026107 н/м2.
Вследствие того что сосуд неплотно закрыт, газ медленно изотерми
изотермически выходит
из резервуара при температуре 20 °С. Каково изменение энтропии на 1 кг газа,
вышедшего из сосуда? Газ считать идеальным.
19. Два баллона объемом V0 = 10–3 м3 каждый соединены трубкой с краном. В
одном находится водород при давлении p1 = 1,013105 н/м2 и температуре 20 °°C, в
другом – гелий при давлении 3p
3 1 и температуре 100 °С.. Найдите изменение
энтропии системы после открытия крана и достижения равновесного состояния,
если стенки баллона и трубки обеспечивают теплоизоляцию газов от окружающей
среды. Газы считать идеальными.
20.
Теплоизолированный
цилиндрический
сосуд
разделен
поршнем
пренебрежимо малой массы на две части. По одну сторону поршня находится
идеальный газ с молярной массой , массой m и молярной теплоемкостью CV, не
зависящей от температуры,
мпературы, а по другую сторону поршня создан идеальный
вакуум. Начальная температура газа T0. Поршень отпускают, и он, свободно
двигаясь, дает возможность газу заполнить весь объем цилиндра. После этого,
постепенно увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до
первоначального значения, равного k-й части объема цилиндра. Найдите
изменение внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.
21. Найдите энтропию S одного моля газа Ван-дер-Ваальса,
Ваальса, теплоемкость CV
которого постоянна. Получите
Получите уравнение адиабаты для такого газа.
22. Получите уравнение адиабаты газа, уравнение состояния которого имеет вид:
p  p0 1  T   V  , CP  const (p0, ,  – постоянные).
23. Найдите изменение энтропии dS изотропного однородного тела при
бесконечно малом изобарическом расширении. Выразите (dS)P через изменение
объема dV и коэффициент объемного расширения .
24. Кусок железа массой m1 = 100 г, нагретый до t1 = 300 °C, опускают в воду с
температурой t0 = 27 °С. Удельная теплоемкость железа CP = 0,11 кал/(гград).
Найдите суммарное изменение энтропии железа и воды, предполагая, что воды
достаточно много и сжимаемость рассматриваемых веществ при атмосферном
давлении практически равна нулю.
25. Некоторое количество воды при температуре Т1 смешивается с равным по
массе количеством воды при температуре Т2. Покажите, что энтропия конечного
состояния, которое получается после выравнивания температур, больше энтропии
начального состояния этой системы.
26. Найдите изменение энтропии льда массой 1 кг при его превращении в пар,
если начальная температура льда –40 °C, температура пара 100 °C. Теплоемкости
воды и льда считать постоянными, а все процессы происходящими при
постоянном атмосферном давлении. Удельная теплоемкость льда, удельная
теплота плавления и удельная теплота парообразования воды соответственно
равны 2,095103 Дж/(кгград), 3,4105 Дж/кг и 2,3106 Дж/кг.
27. Найдите удельную энтропию неоднородной системы, состоящей из жидкости
и ее насыщенного пара. Считать, что теплоемкость жидкости не зависит от
температуры.
28. Найдите увеличение энтропии в следующем процессе: одна грамм-молекула
воды при 100 °C переводится в пар при давлении 1,013105 н/м2, пар нагревается
изобарически до 650 °С. Молярная теплоемкость пара CP = 8,6 кал/(мольград).
29. Тепло, выделяющееся в теплоотдающем элементе атомного реактора,
поглощается водой, протекающей при давлении 107 н/м2. Вода нагревается от 190
до 280 °C; температура теплоотдающего элемента постоянна по его высоте и
равна 380 °C. Определите изменение энтропии системы в расчете на 100 ккал
переданного тепла. Тепловыми потерями пренебречь.
30. Пар конденсируется при температуре 29 °C под давлением 4103 н/м2; удельная
теплота парообразования составляет 2433 кДж/кг. Тепло, выделяющееся при
конденсации пара, передается окружающей среде с температурой 10 °C. Найдите
изменение энтропии системы «пар + окружающая среда» в расчете на 1 кг
конденсирующегося пара. Считать, что в конденсатор поступает сухой
насыщенный пар.
31. Основываясь на том, что энтропия является однозначной функцией состояния,
докажите, что для любой однородной системы справедливо соотношение:
 U 
 Y 

 T
 Y,
 x T
 T  x
где Y – обобщенная сила, соответствующая внешнему параметру x.
32. Для некоторого газа экспериментально установлено, что произведение
давления p и удельного объема v зависит лишь от температуры, внутренняя
энергия также определяется лишь температурой. Каково уравнение состояния
такого газа?
2.3. Условия термодинамического равновесия и фазовые переходы
1 (17). Получите условие равновесия двух фаз однокомпонентной системы,
находящейся в термостате под постоянным внешним давлением (p = const,
T = const).
2 (18). Исходя из условий равновесия в двухфазной однокомпонентной системе,
получите уравнение Клапейрона-Клаузиуса:
dp


.
dT T  v2  v1 
3 (19). Три фазы однокомпонентной системы 1, 2, 3 находятся в равновесии друг с
другом в тройной точке. Их удельные объемы равны соответственно v1, v2, v3.
Пусть p12 = p12(T), p23 = p23(T), p13 = p13(T) – уравнения кривых равновесия
соответственно между газообразной и жидкой, жидкой и твердой, газообразной и
твердой фазами. Покажите, что в тройной точке имеет место соотношение:
dp
dp
dp
 v1  v2  12  (v2  v3 ) 23   v3  v1  13  0.
dT
dT
dT
4 (20). Докажите, что при фазовых превращениях первого рода удельная
свободная энергия и удельная энтальпия испытывают разрыв.
5 (21). Используя уравнение Клапейрона-Клаузиуса, объясните, почему
касательная к линии равновесия твердого тела и пара вблизи тройной точки имеет
больший наклон к температурной оси, чем касательная к линии равновесия
жидкости и пара.
6 (22). Используя уравнение Клапейрона-Клаузиуса, найдите давление
насыщенного водяного пара при температуре 101 °С. Пар можно считать
идеальным газом.
7 (23). В закрытом сосуде объемом V0 = 510–3 м3 находится 1 кг воды при
температуре 100 °С. Пространство над водой занято насыщенным паром воды
(воздух выкачан). Найдите увеличение массы насыщенного пара m при
повышении температуры на 1 K. Теплота парообразования равна 2,3106 Дж/кг.
Пар можно принять за идеальный газ.
8 (24). Рассчитайте приближенно теплоту парообразования для воды при 0 °С,
если давление насыщенного пара над жидкой водой при t1 = 0 °С и t2 = 1 °С равно
соответственно p1 = 4,549 мм рт. ст. и p2 = 4,926 мм рт. ст. Найдите также
удельный объем пара vп при 0 °С, принимая его за идеальный газ.
9 (25). Определите, как зависит удельный объем пара от температуры для
процесса, при котором пар все время остается в равновесии с жидкостью, т. е.
вдоль кривой равновесия жидкости и ее пара.
10 (26). Пользуясь уравнением Клапейрона-Клаузиуса, получите зависимость
молярной теплоты перехода из одной фазы в другую от температуры. Изменения
молярного объема v и молярной теплоемкости CP считать известными.
11 (27). Покажите, что изменение молярной теплоты парообразования в
зависимости от температуры равно разности молярных теплоемкостей при
постоянном давлении пара и жидкости. Пар считать идеальным газом.
12 (28). Получите температурную зависимость давления насыщенного пара, если
температура не слишком близка к критической, так что удельным объемом
жидкости можно пренебречь по сравнению с удельным объемом насыщенного
пара. Пар подчиняется уравнению состояния идеальных газов, теплота испарения
в рассматриваемом интервале температур постоянна.
13 (29). Под каким давлением будет кипеть вода при температуре 95 °С?
Удельную теплоту испарения воды в интервале температур (95 – 100) °С можно
считать постоянной и равной 539 кал/г.
14 (30). Пользуясь уравнением Клапейрона-Клаузиуса, вычислите теплоту
испарения воды при температуре T = 373 K, если известны давления водяных
паров при температурах, близких к температуре кипения:
p1 = 757,29 мм рт. ст. при T1 = 373,1 К,
p2 = 762,72 мм рт. ст. при T2 = 373,3 К.
Удельные объемы пара и воды при температуре 100 °C соответственно равны vп =
= 1,6508 м3/кг, vж = 0,0010 м3\кг.
15 (31). Определите молярную теплоемкость насыщенного пара для процесса, при
котором он все время остается насыщенным. Пар считать идеальным газом.
16 (32). Русский физик М. П. Авенариус показал, что при критической
температуре теплота испарения равна нулю. Проверьте это положение, пользуясь
уравнением Клапейрона-Клаузиуса.
Приложение А. Пример оформления решения задачи
1.1.1. В узкой запаянной с одного конца стеклянной трубке находится воздух,
отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной l = 2 см. Когда трубка
расположена вертикально открытым концом вниз, длина воздушного столба l1 =
= 0,39 м; когда же трубка расположена вертикально открытым концом вверх,
длина столба воздуха l2 = 0,37 м. Определите атмосферное давление, если
температура воздуха t = 5 °C.
Дано:
Решение:
l = 2 см;
l1 = 0,39 см;
l2 = 0,37 см;
t = 5 °C;
Закрытая часть трубки, отделенная столбиком ртути, заполнена
воздухом и насыщающими парами ртути, но при температуре
t = 5 °С давление насыщающих паров ртути pрт = 2610–5 мм рт. ст.,
и им можно пренебречь по сравнению с давлением атмосферного
воздуха. Будем считать, что воздух, находящийся в трубке,
Найти pатм – ? подчиняется уравнению состояния идеального газа и что при
изменении положения трубки температура и масса воздуха
остаются постоянными.
Когда столбик ртути неподвижен, давление воздуха в трубке равно внешнему
давлению. Если трубка достаточно широкая, то давлением, вызванным кривизной
поверхности ртути, можно пренебречь.
Найдем параметры состояния воздуха, когда трубка расположена отверстием
вниз, и когда она расположена отверстием вверх, т. е. найдем величины p1, V1 и p2,
V2:
p1  pатм  gh , V1  S  l1 ,
p2  pатм  gh , V2  S  l2 ,
где  – плотность ртути и S – площадь поперечного сечения канала трубки. Из
уравнения состояния идеального газа получаем для изотермического процесса:
p1V1  p2V2 .
Из этих равенств выражаем атмосферное давление:
l l
pатм  gh 1 2 .
l1  l2
Подставляя значения величин, приведенные в условии задачи, получаем:
0,39  0,37
pатм  13,546  103  9,8  0,02 
 1,01  105 Па.
0,39  0,37
Проверим размерность:
кг м
мм
кг
кг  м  1
Н


  Н  2   2  2  Па.
 pатм   3  2  м 
2
м с
м  м мс 
с  м
м
Ответ: pатм = 1,01105 Па.
Приложение Б. Титульный лист
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
(шрифт Arial Narrow, 14 pt)
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования
(шрифт Arial Narrow, 11 pt)
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(шрифт Arial Narrow, 14 pt, полужирный)
Кафедра 21
(шрифт Times New Roman, 14 pt)
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
ПО КУРСУ «ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА»
(шрифт Times New Roman, 20 pt, полужирный)
Вариант №1
(шрифт Times New Roman, 14 pt)
(шрифт Times New Roman, 14 pt)
Выполнил:
Студент: Иванов Иван Иванович
Группа: 0161
Дата: 05.05.2010
Подпись: __________
Проверил:
Исаченко Д.С.
Дата: _____________
Подпись: __________
Томск 2010
(шрифт Arial Narrow, 14 pt)