Лабораторная работа №2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ

Лабораторная работа №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА
Введение
Возникновение
квантовых
представлений
в
физике
связано
с
теоретическим анализом законов теплового излучения. Исторически эти
представления в первую очередь касались свойств вещества, а не поля
излучения.
Моделируя
излучающее
тело
набором
гармонических
осцилляторов, Планк выдвинул гипотезу, согласно которой осциллятор
вещества может обладать только дискретным набором энергий
ε = nhν ( n = 0,
1, 2,…) и в процессе взаимодействия с полем изучения может менять свою
энергию порциями, равными hν .
Постоянная величина h , введенная Планком и носящая его имя, играет
роль одной из фундаментальных постоянных наряду с такими, как заряд и
масса электрона, скорость света, постоянная Больцмана. Как показало
последующее развитие квантовой физики, все механические моменты атомов,
молекул, электронов и ядер выражаются в единицах h. Кроме того, постоянная
Планка входит в ряд соотношений, играющих принципиальную роль в
квантовой физике и определяющих дискретность состояний микрочастиц и
корпускулярно-волновую двойственность их свойств.
Ц е л и
ознакомление
р а б о т ы : изучение законов внешнего фотоэффекта;
с
методами
определения
постоянной
Планка;
экспериментальное определение постоянной Планка, работы выхода и красной
границы фотоэффекта методом задерживающего потенциала.
Квантовые свойства электромагнитного поля.
Осцилляторы излучения.
Трудности,
излучении,
связанные
определяются
с
тем,
введением
что
квантовых
электромагнитное
представлений
поле
в
является
физическим объектом с бесконечным числом степеней свободы. Оно скорее
напоминает сплошную среду, чем систему отдельных точек. Чтобы задать
состояние электромагнитного поля в некоторый момент времени, надо
определить
его
в
каждой
точке
пространства.
Такие
точки
образуют
непрерывную, а не дискретную совокупность; пересчитать их нельзя.
Однако существует очень простой подход к этой задаче, основанный на
прямой аналогии между колебаниями электромагнитного поля и колебаниями
струны. Произвольное колебание струны можно разложить на отдельные
гармонические колебания, каждое из которых характеризуется определенным
числом узлов. Любое данное колебание струны можно представить как сумму
гармонических колебаний, т.е. как сумму колебаний без узлов, с одним узлом, с
двумя, с тремя и т.д. Тем самым мы добиваемся того, что колебательное
движение струны представляется совокупностью гармонических колебаний,
которые можно пронумеровать по числу узлов – основное, первое, второе и т.д.
Причем каждое колебание характеризуется амплитудой и фазой, а главное –
происходит независимо от другого колебания.
Подобно колебаниям струны электромагнитное поле может быть
представлено как совокупность отдельных, ничем не связанных между собой
гармонических колебаний с различными частотами и пространственными
распределениями фаз и амплитуд, т.е. можно представить электромагнитное
поле как совокупность осцилляторов излучения.
Распространив
квантовые
свойства
осцилляторов
вещества
на
осцилляторы поля, можно утверждать, что энергия осциллятора излучения
принимает допустимые значения, равные
ε = nhν . Осциллятор излучения
может приобретать или терять энергию только при передаче сразу целого
кванта, т.е. порциями величины ∆ε = hν . Если осциллятор возбужден до n – го
квантового состояния, то он обладает энергией
ε = nhν , которую может терять
в n этапов. Тогда с энергетической точки энергия может сказать, что
существует n квазичастиц, каждая с энергией hν . Эти частицы называют
фотонами.
(Строго
говоря,
энергия
квантового
ε = nhν + hν / 2 ).
Свойства фотонов
осциллятора
равна
Из законов классической электродинамики следует, что поле излучения
обладает наряду с энергией
r
ε также и импульсом p . Из уравнений Максвелла
эти величины определяются следующими соотношениями:
ε=
r
1 E2 + H 2
1 ⎡r r⎤
,
dV
p
=
EH dV .
⎦
4π c ∫ ⎣
4π ∫
2
r
r
где c – скорость света; E и H – напряженности электрического и
магнитного
полей
(интегрирование
распространяется
на
весь
объем,
занимаемый полем).
r
r
В силу того, что для световой волны в вакууме векторы E и H взаимно
перпендикулярны и равны по величине, получаем
2
2
rr
⎡ EH ⎤ = E 2 = E + H ,
⎣
⎦
2
что позволяет связать между собой энергию и импульс:
r εr
p= n,
c
(1)
r
где n – направления распространения волны.
Рассмотрим теперь, как влияет на импульс излучения квантование
энергии. Так как энергия квантуется в единицах hν , то импульс, согласно
соотношению (1), должен квантоваться в единицах hν / c , т.е.
r hν r h r h r
p= n= n= k ,
c
λ
2π
r
r
где k = (2π / λ )n – волновой вектор.
Одним из основных выводов теории относительности является связь
между энергией и релятивистской массой:
ε = mc 2 .
На этом основании релятивистская масса фотона
m=
hν
.
c2
Однако, в отличие от обычных элементарных частиц, фотона не имеет массы
покоя m0 . Действительно, для любой движущейся со скоростью
υ частиц ее
релятивистская масса
m = m0 / 1 − υ 2 / c 2 .
Возведя это выражение в квадрат, с учетом
ε = mc2 и p = mυ , получим
ε 2 / c2 = p 2 + m0c 2 .
Если теперь учесть, что согласно соотношению (1) для фотона p = ε / c ,
становится очевидным, что для фотона масса покоя m0 = 0.
Таким
образом,
фотон
(или
квант
света)
представляет
элементарную частицу с нулевой массой покоя, энергией
собой
ε = hν и импульсом
r h r
p=
k , движущуюся со скоростью света. Кроме того, фотон обладает
2π
собственным моментом импульса – спином.
Фотоэлектрический эффект
Квантовая природа электромагнитного излучения четко проявляется при
исследовании закономерностей вырывания электронов из вещества под
действием света. Это явление было названо ф о т о э ф ф е к т о м. (точнее,
внешним фотоэффектом).
В 1888 г. Герц заметил, что при освещении разрядного промежутка
между двумя электродами ультрафиолетовым светом напряжение пробоя
значительно уменьшается. А.Г. Столетов разработал методику исследования
этого
явления
при
низких
напряжениях
и
установил
ряд
важных
закономерностей фотоэффекта. Было, в частности, выяснено, что под
действием света с поверхности металла удаляется отрицательный заряд.
Позднее было показано, что его носителями является электроны.
Основные законы фотоэффекта в их современной трактовке можно
сформулировать следующим образом:
1. Сила фототока насыщения при освещении катода монохроматическим
светом прямо пропорциональна интенсивности падающего излучения (закон
Столетова).
2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от
интенсивности падающего на фотокатод излучения (опыты Ленарда), но
является линейной функцией его частоты (закон Эйнштейна).
3. Для каждого вещества существует граничная частота
ν 0 , когда
фотоэффект еще наблюдается, но ниже которой – исчезает при любых
интенсивностях падающего света ("красная граница" фотоэффекта).
Рис. 1. Схема установки для исследования фотоэффекта
Эйнштейн в 1905 г. первым объяснил эти результаты, предположив, что
свет представляет собой поток фотонов с энергией hν . Исходя из этого
представления,
можно
дать
следующее
объяснение
фотоэффекту:
поглощенный металлом фотон отдает свою энергию электрону, и если ее
достаточно для преодоления удерживающих электрон связей, то последний
покидает металл. Так как вероятность поглощения электроном одновременно
двух квантов ничтожно мала, то каждый электрон заимствует энергию лишь
одного фотона. Поэтому число освобожденных в секунду электронов
(фототок) должно быть пропорционально числу поглощенных фотонов, т.е.
интенсивности света.
Здесь следует добавить, что при освещении фотокатода очень мощным
световым потоком (например, лазерным излучением) возможен нелинейный
фотоэффект, возникающий благодаря одновременному действию на электрон
двух и даже нескольких фотонов. Вероятность этого процесса, малая при
слабых освещенностях, становится значительной при огромных плотностях
мощности излучения, создаваемых современными лазерами.
Для элементарного акта взаимодействия фотона с электроном металла
можно записать закон сохранения энергии – уравнение Эйнштейна:
hν = P +
mυ 2
,
2
т.е. при фотоэффекте энергия фотона hν
(2)
расходуется на вырывание
электрона из металла (работа выхода P ) и придание ему дополнительной
кинетической энергии. Так как P – величина постоянная для данного
вещества, то из (2) непосредственно следует второй закон фотоэффекта.
Если hν ≥ P , то электрон способен покинуть металл, преодолев силы
связи; если же hν < P , то фотоэффект отсутствует. Таким образом, для
каждого металла существует некоторая минимальная частота, при которой
еще наблюдается фотоэффект. Эта частота определяется из соотношения (2)
при условии υmax = 0
ν0 = Р / h
(3)
и носит название "красной границы" фотоэффекта.
В случае нелинейного (двухфотонного) фотоэффекта его красная
граница сдвигается в длинноволновую область спектра, т.к. одновременное
действие двух фотонов частоты
ν энергетически эквивалентно действию
одного кванта с частотой 2ν . Тогда красная граница определяется из условия
ν 0 = Р / 2h , т.е. сдвинется в сторону меньших частот.
Экспериментальные методы определения постоянной Планка
По законам теплового излучения
Постоянная h впервые была определена Планком из законов излучения
абсолютно
*
черного
тела.
См. лабораторную работу № 1.
Используя
формулу
Планка
*
(13) ,
можно
теоретически вычислить постоянную
σ в законе Стефана-Бальцмана (6)* и
постоянную b в законе смещения Вина (8)*:
σ = 2π 5k 4 /15c 2h3 ;
b = 0, 2014hc / k ,
где h , k и c – соответственно постоянные Планка, Больцмана и скорость
света.
С другой стороны, константы
σ и b были измерены экспериментально и
оказались (в то время) равными:
σ = 5,67 10-8 Вт·м-2 К-4, b = 2,9 10-3 м·К.
Скорость света c также была известна. Тогда, составляя систему двух
уравнений с неизвестным h и k , можно определить их значения. Планк
получил: h = 6,548 10
-34
-23
Дж·c, k = 1,346 10
Дж К.
По современным измерениям: h = 6,625 10
-34
-23
Дж·c, k = 1,380 10
Дж К.
По рентгеновским спектрам
Сплошной рентгеновский спектр часто называют тормозным излучением,
и это название отражает физическую причину его возникновения. При ударе об
антикатод (анод) рентгеновской трубки электроны резко тормозятся, а по
законам
классической
электродинамики
любая
заряженная
частица,
испытывающая ускорение (в данном случае – отрицательное), излучает
электромагнитные волны. Так как электроны в различных точках антикатода
тормозятся по–разному, то образуется целый спектр рентгеновского излучения.
На рис. 2 представлен ряд кривых распределения интенсивности
излучения в сплошном рентгеновском спектре, полученных при различных
значениях ускоряющего потенциала, приложенного к аноду. Характерной
особенностью этих кривых является их резкий обрыв со стороны коротких длин
волн ( λ
min
). Экспериментально был установлен закон, согласно которому
произведение граничной длины волны на ускоряющий потенциал есть величина
постоянная для всех кривых:
λ1minV1 = λ 2 minV2 = . . . = const.
Теоретически этот закон может быть объяснен, исходя из предположения, что
электрон, обладающий кинетической энергией eV , в момент торможения
может полностью потратить ее на излучение, причем частота такого излучения
не может быть больше той, которая определяется из закона сохранения
энергии eV = hν max .
Рис. 2. Распределение энергии излучения
в сплошном рентгеновском спектре
Отсюда следует вышеуказанное экспериментальное соотношение:
λ minV = hc / e
Если известны λ
min
или
λ min = c /ν max .
и V из рентгеновских спектров, то зная заряд
электрона и скорость света, можно из этого уравнения найти h . Определенная
таким образом величина h оказалась равной 6,624·10-34 Дж·с. Отличительной
особенностью измерений h по рентгеновским спектрам является их высокая
точность. Это объясняется тем, что спад интенсивности при λ
min
очень резок,
а значения напряжений на трубке при величине их пульсации 0,1 B
устанавливаются с точностью 10-4 %.
По данным внешнего фотоэффекта
Постоянная Планка может быть определена из уравнения Эйнштейна (2)
при исследовании вольтамперных характеристик фотоэффекта. Указанный
метод носит название метода Милликена и Лукирского-Прилежаева.
Если записать уравнение (2) для двух различных частот возбуждающего
света ν1 и
ν 2 , а затем почленно их вычесть, то при этом исключается работа
выхода P , и уравнение позволяет выразить h через кинетическую энергию
фотоэлектронов и частоту возбуждающего света:
mυ12 mυ22
−
2
2 .
h=
ν1 −ν 2
(4)
Для измерения кинетической энергии фотоэлектронов часто используют
метод задерживающего потенциала, состоящий в том, что фотоэлектроны
заставляют проходить отрицательную разность потенциалов V
зад
, способную
скомпенсировать полностью их кинетическую энергию:
eVзад =
2
mυmax
.
2
(5)
Электроны в металле движутся с различными скоростями. Поэтому даже
при действии света строго одной частоты вылетающие из фотокатода
электроны имеют непрерывный набор скоростей, и для определения V
зад
следует учитывать их максимальную скорость. Подставляя (5) в (4), получаем
основное уравнение, из которого определяется постоянная Планка:
h=
(
)
e V1зад − V2 зад
.
ν1 −ν 2
(6)
Получение точных результатов, однако, сильно затрудняется тем, что
кривая зависимости фототока J от величины тормозящего потенциала V
зад
(рис. 3) не пересекает ось абсцисс, а асимптотически к ней приближается.
Поэтому
величина
Vзад
оказывается
в
известной
степени
неопределенной. Наличие фототока в области отрицательного потенциала
указывает на то, что фотоэлектроны действительно обладают кинетической
энергией и распределены по скоростям.
Рис. 3. Вольтамперные характеристики фотоэффекта
на цинке для разных частот
Наличие
контактной
разности
потенциалов
в
исследуемом
фотоэлементе, а также ряд других затруднений приводили к тому, что
подтвердить уравнение Эйнштейна и получить точное значение h удалось не
сразу. Лишь Милликен после целого ряда опытов смог это сделать с помощью
чрезвычайно усложненной схемы.
В методе Лукирского-Прилежаева вместо плоских катода и анода,
которыми
пользовались все экспериментаторы, был применен сферический
анод с отверстием для светового луча. В качестве фотокатода использовался
шарик из исследуемого материала в центре сферы. Применение такой
конструкции значительно повысило точность измерений.
Во-первых, в таком фотоэлементе, благодаря особенностям движения
электрона в центрально-симметричном поле, вольтамперные характеристики
довольно
круто
спадают
к
оси
абсцисс.
Поэтому
максимальный
задерживающий потенциал может быть определен достаточно точно.
Во-вторых, и это главное, значительно упрощается и уточняется
определение контактной разницы потенциала V , знание которой необходимо
k
для вычисления работы выхода. Если бы V не было, то точно при нулевом
k
значении V
достигался бы ток насыщения, так как все фотоэлектроны,
зад
выбиваемые светом из катода в сферическом фотоэлементе, достигнут анода.
Дальнейшее увеличение потенциала при той же освещенности не приведет к
росту фототока.
Реально контактная разность потенциалов между катодом и анодом из
разных металлов существует всегда и, в зависимости от знака, ускоряет или
задерживает
фотоэлектроны
независимо
от
приложенного
внешнего
потенциала. Именно поэтому на рис. 3 насыщение фототока наступает не при
нулевом приложенном напряжении, а лишь при +1,6 В. Следовательно, в этом
фотоэлементе существует V = -1,6 В. Только в случае компенсации этого
k
потенциала внешним напряжением все электроны смогут достичь анода, и
наступит ток насыщения.
С
учетом
Vk
уравнение
Эйнштейна
в
методе
задерживающего
потенциала должно быть записано следующим образом:
(
)
hν = p + e Vзад + Vk .
(7)
Очевидно, что формула (6) при этом не изменится, так как eV = const.
k
Тогда для определения h знания V не нужно. Подсчитав h и зная V и V
,
зад
k
k
по формуле (7) находим значение работы выхода P , а затем из (3) можно
найти красную границу фотоэффекта. Таким образом, метод задерживающего
потенциала позволяет определить все константы, входящие в уравнение
Эйнштейна.
Описание установки
В данной работе для определения постоянной Планка применяется
упрощенный
фотоэлектрический
метод
задерживающего
потенциала,
основанный на формуле Эйнштейна.
На рис. 4 приведена схема установки. Изучение ртутной лампы 1 (типа
ДРШ-250) фокусируется линзой 2 на входную щель монохроматора УМ-2 (3).
Изображение спектра ртути получается в плоскости выходной щели прибора.
Перемещая призму с помощью барабана длин волн 4, можно пропустить через
выходную
щель
свет
различных
линий
ртутного
спектра.
Этот
квазимонохроматический световой поток падает на катод фотоэлемента 5,
кожух которого одевается прямо на корпус выходной щели УМ-2.
Рис. 4. Схема экспериментальной установки
Фототок,
возникающий
при
подаче
-8
отрицательного напряжения, весьма мал (10
на
анод
-9
– 10
фотоэлемента
А). Поэтому для его
регистрации используется чувствительный цифровой вольтметр GDM-8135 (6),
работающий в режиме гальванометра: он измеряет падение напряжения на
входном сопротивлении вольтметра, обусловленное током фотоэлемента.
Ускоряющее и задерживающее напряжения подаются от регулируемого
стабилизированного источника постоянного тока Б5-47 (7): для смены
полярности напряжения меняются местами штекеры.
Внимание! При включенном питании фотоэлемента во избежание
его порчи нельзя допускать попадания постороннего света на фотокатод.
Перед выполнением работы проверить, что сетевые тумблеры блока
питания ртутной лампы, блока питания фотоэлемента Б5-47 и вольтметра
GDM-8135 находятся в положении «Выкл».
Задание 1. Снятие вольтамперных характеристик фотоэлемента
1. Включить ртутную лампу тумблером «Сеть» на блоке питания ртутной
лампы.
2. Прогреть ртутную лампу в течение 5 минут.
3. Снять головку с выходной щелью монохроматора УМ-2 и заменить ее
окулярной головкой для визуального наблюдения спектра.
4. Установить входную щель монохроматора шириной 2 мм.
5. Вращением
барабана
окуляра
добиться
резкого
изображения
иглы-
указателя.
6. Совместить иглу-указатель с серединой фиолетовой линии ( λ = 405 нм)
спектра ртути.
7. Снять окулярную головку монохроматора, заменить ее на головку с
выходной щелью.
8. Установить выходную щель монохроматора шириной 2 мм.
9. Кожух фотоэлемента плотно вставить на выступ корпуса выходной щели
так, чтобы посторонний свет не попадал на фотоэлемент. В противном
случае при включении питания фотоэлемента возможен выход его из строя.
10. Проверить правильность подсоединения блока питания фотоэлемента. При
наличии подсоединения коричневого штекера к гнезду «+» и черного
штекера к гнезду «-» к фотоэлементу приложено запирающее напряжение.
11. Установить значение напряжения питания фотоэлемента равным 00,0 В.
12. Проверить правильность подсоединения вольтметра GDM-8135. Он служит
для измерения падения напряжения на входном сопротивлении вольтметра,
обусловленного током фотоэлемента. В режиме измерения необходимо:
а) положение переключателя рода работы и диапазона измеряемых величин
перевести на измерение напряжения до 200 мВ;
б) черный штекер (с зеленой изолентой) вставить в гнездо с маркировкой
«COM»;
в) коричневый штекер вставить в гнездо с маркировкой «V-Ω».
При наличии правильного подсоединения прибора включить тумблер
«Сеть».
13. Включить тумблер «Сеть» блока питания фотоэлемента Б5-47.
14. Провести измерение вольт-амперной характеристики (ВАХ) фотоэлемента в
диапазоне отрицательных значений напряжения питания фотоэлемента.
Для этого увеличивая значения отрицательного напряжения в пределах от 0
до –9,0 В через 0,5 В фиксировать показания вольтметра GDM-8135.
На рис. 5 приведена типичная ВАХ фотоэлемента.
Рис. 5. типичная вольтамперная характеристика фотоэлемента
Необходимо отметить, что надежность полученных результатов зависит
от двух факторов:
1) для сглаживания флуктуаций показания вольтметра на его входе
параллельно
входному
сопротивлению
помещен
конденсатор
емкостью 1 мкф, поэтому после изменения значения напряжения
питания
фотоэлемента
необходимо
определенное
время
для
стабилизации показаний вольтметра;
2) изменения фототока в области отрицательных значений от 0 до –5,0
В напряжения питания фотоэлемента должны быть тщательными,
каждая точка кривой ВАХ должна быть проверена несколько раз.
15. Выключить
блок
питания
фотоэлемента,
предварительно
установив
значение напряжения равным нулю.
16. Снять головку с выходной щелью монохроматора УМ-2 и заменить ее
окулярной головкой для визуального наблюдения спектра.
17. Совместить иглу-указатель с серединой синей линии ( λ = 436 нм) спектра
ртути.
18. Снять окулярную головку монохроматора, заменить ее на головку с
выходной щелью.
19. Включит блок питания фотоэлемента и снять ВАХ фотоэлемента для синей
( λ =436 нм) линии спектра ртути согласно п. 14.
20. Аналогичным образом снять ВАХ фотоэлемента для зеленой ( λ = 546 нм) и
желтой ( λ = 578 нм) линий спектра ртути.
21. Выключить
блок
питания
фотоэлемента,
предварительно
установив
значение напряжения питания равным нулю. Выключить вольтметр GDM8135 и блок пиния ртутной лампы.
Задание 2. Обработка результатов измерений. Вычисление постоянной Планка
h, частоты ν0 и длины волны λ0 красной границы фотоэффекта и работы
выхода P материала фотокатода.
1. По ВАХ фотоэлемента для всех измеренных длин волн спектра ртути
определить задерживающие потенциалы V
зад
. Необходимо отметить, что
наличие темнового тока фотоэлемента, вольтамперная характеристика
которого имеет линейную зависимость, экспериментально полученная ВАХ
фотоэлемента (рис. 5) отличается от ВАХ фотоэффекта, приведенной на
рис. 3. Из рис. 5 видно, что величиной V
зад
является не точка обращения в
нуль фототока, а точкой выхода вольтамперной характеристики из
линенйной зависимости. Поэтому для определения V
зад
необходимо
аппроксимировать часть ВАХ, снятую при отрицательных напряжениях
свыше – 2,0 В, линейной зависимостью и определить точку ВАХ, где ВАХ
выходит на участок со слабым наклоном (см. рис. 5).
2. Вычислить постоянную Планка по формуле
h=
(
)
e ∆Vзад
ik ,
∆ν ik
(8)
подставляя в нее всевозможные разности ∆V
зад
и ∆ν . Усреднить
полученные результаты.
3. Построить зависимость задерживающего потенциала V
зад
от частоты
ν и
аппроксимировать ее линейной зависимостью
h
A
Vзад = ν − .
e
e
(9)
4. Определить постоянную Планка из наклона прямой: тангенс угла наклона
равен отношению
h
. Сравнить полученные двумя методиками средние
e
значения h и оценить, какая из двух методик дает более точный в
сравнении с табличным значением результат.
5. Определить
красную
границу
фотоэффекта.
Для
этого
необходимо
определить частоту ν0 и длину волны λ0, соответствующие значению V
зад
=
0.
6. Определить работу выхода материала фотокатода по формуле
P = hν 0 .
Контрольные вопросы
1.
Каковы свойства фотонов? ( Энергия, импульс, масса покоя).
(10)
2.
Основные законы фотоэффекта и объяснение этих законов с
помощью уравнения Эйнштейна.
3.
Каковы
экспериментальные
методы
определения
постоянной
Планка?
4.
В чем суть метода задерживающего потенциала? В чем трудности
определения h этим методом?
Литература
Ш п о л ь с к и й Э. В. Атомная физика Т.I. М., 1974.
Б у т и к о в Е. И. Оптика. М., 1986.
С а в е л ь е в И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика,
физика ядра и элементарных частиц. М.: Наука, 1989.
С и в у х и н Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.:
МФТИ, ФМЛ, 2002.