20 Компетентное мнение Все ли известно об атоме водорода? В.Неволин, д.ф.-м.н., профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники Национального исследовательского университета МИЭТ, руководитель НОЦ "Зондовая микроскопия и нанотехнология" / vkn@miee.ru Н овые технологии всегда способствовали развитию науки. Нанотехнологии не являются исключением. Это научно-прикладное направление позволяет выявлять и использовать в интересах людей фундаментальные свойства материи в нанометровом масштабе. В результате происходит изменение представлений об окружающих объектах мира. Удастся ли узнать, используя нанотехнологические подходы, что-нибудь новое об атоме водорода? Кажется, в квантовой механике он изучен детальным образом, тем более, что многие задачи о строении и поведении этого атома решаются аналитически. Однако можно показать, что плотность вероятности нахождение электрона, двигающегося вокруг ядра, в отличие от традиционных представлений, структурирована. Это должно приводить к уточнению известных эффектов и, возможно, к предсказанию новых. Для доказательства такого утверждения целесообразно решить задачу об атоме водорода в представлении плотности вероятности, непосредственно описывающую ее распределение во всех возможных квантовых состояниях рассматриваемого атома [1–3]. Уравнения для непрерывного движения квантовой частицы массы m в произвольном внешнем поле W ( r , t) в представлении плотности вероятности имеют вид: m → ∂P ∂ρ ∂t + div ρ P = 0; (1) 2 2 2 P2 (∇ ρ ) ∆ρ = −∇ + W+ − 2m 8 mρ 2 4 mρ ∂t , 2 (∇ ρ ) E = 8 mρ 2 2 2 − ∆ρ 4 mρ − Ze 2 r = const . (3) Волновые функции для атома водорода найдены, например, в [4]. Их можно записать в виде: ψ nlm( r ,θ , φ ) = ψ nlm( r ,θ )e imφ . (4) Здесь n, l, m – квантовые числа. Поскольку ψ nlm( r ,θ ) – функция вещественная, то выражение для плотности вероятности имеет вид: ρ nlm = ψ 2 nlm ( r , θ ). (5) Квантовая величина ρ nlm показывает наличие осевой симметрии атома. Подставляя (5) в уравнение движения (3) и проведя необходимые дифференцирования и сокращения подобных членов, получим стандартное уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле: (2) где ρ ( r , t ) – пространственно-временное распределение плотности вероятности частицы; P ( r ,t ) – ее макроскопический импульс, W ( r , t) – произвольная потенциальная энергия. Для атома водорода в традиционной квантовой механике вычислен спектр энергий #3 / 33 / 2012 и найдены волновые функции. Для стационарного пространственно ограниченного движения электрона в поле ядра с зарядом Z система уравнений (1) и (2) запишется в виде: − 2 2m ∆ ψ nlm − Ze r 2 ψ nlm = E ψ nlm . (6) Решение его позволяет получить энергетический спектр электрона в атоме и угловое распределение плотности вероятности. В общем виде уравнение имеет вид: 21 Компетентное мнение H ψ = E ψ, где оператор Гамильтона равен: 2 ˆ = − ∆ − Ze H 2m r 2 . (7) Для отыскания собственных значений энергии к аналогичному виду можно привести уравнение (3): ˆ ( ρ)ρ = E ρ H , (8) где нелинейный оператор Гамильтона равен: 2 2 2 ˆ ( ρ ) = − ∆ + ∇ ρ ∇ − Ze . H 4m 8mρ r (9) Сравнивая (7) и (9) можно увидеть, что для аналитических решений задач о пространственно ограниченном движении квантовых частиц предпочтительнее линейный оператор (7). Решение уравнения (8) с оператором (9) позволяет получить новые представления о движении электрона в атоме водорода. Рассматривая (4) и (5) можно видеть, что фаза волновой функции с магнитным квантовым числом исчезает при описании с помощью плотности вероятности пространственно ограниченного движения (5) и, как кажется, из решения должно исчезнуть само магнитное число. Это не так. Решая методом разделения переменных систему уравнений (8) и (9), как это делается для уравнения (3), и, предположив, что ρ ( r , θ , φ ) = ρr ( r ) ρθ ( θ ) ρφ (φ ) , удается получить связанные между собой две константы разделения и уравнение для ρ φ ( φ ) : β 2 1 d ρφ = 2 ρφ d φ 2 2 − решаемое подстановкой 1 d ρφ ρφ dφ = u ( φ ) . Чтобы 2 d ρφ ρφ dφ 2 1 d ρφ ρφ dφ = const , (10) = u ( φ ) . Тогда ρφ была однозначной функцией для константы β , должны выполняться соотношения β = m = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3,... . Из полученных решений следует, что в атоме водорода могут существовать симметрия с m=0 и оси симметрии первого, второго и последующих порядков. Это есть структурированное распределение плотности вероятности по углу φ с сохранением известных значений магнитных чисел, отличающееся от традиционных решений (4) и (5). Оно показывает, что для возбужденных атомов при движении по углу φ наряду с существованием орбитальных токов должны иметь место осцилляции электронной плотности вероятности (см. рисунок). Значение при m=0 соответствует распределению плотности вероятности по угловой переменной φ для различных n и l (при всех других значениях m) в традиционной модели атома водорода. В рассматриваемом случае угловое распределение плотности вероятности при m=0 отвечает невозбужденному атому водорода, а для m=±1, m=±2 – возбужденным состояниям этого атома. В традиционной модели атома водорода отсутствует пространственно структурированное распределение электронной плотности вероятности при ∏ 2 m=0 ∏ 0 m = ±2 m = ±1 3∏ 2 Рис. распределение электронной плотности вероятности при движении по углу φ движении по углу φ и можно подумать, что приведенные выше рассуждения – это математический фокус. Однако за этим стоит определенная физика явлений. Когда квантовая частица помимо собственно квантового движения совершает какое-то механическое движение, например, поступательное, в этом случае ее плотность вероятности структурируется в пространстве [3]. Электрон в атоме водорода в возбужденном состоянии помимо #3 / 33 / 2012 22 Компетентное мнение квантового совершает еще вращательное механическое движение с вполне определенным моментом количества движения и, следовательно, его электронная плотность вероятности должна быть структурирована в пространстве. Другими словами, отсутствие по углу φ пространственно структурированного распределения электронной плотности вероятности в традиционной модели атома водорода, по–видимому, связано с отказом от описания квантовых систем в физических переменных. Проверка полученного результата на экспериментальном факте показывает следующее. Известно, что средний дипольный момент атома водорода равен нулю [5]. Компонента электрического момента электрона в проекции на ось z равна D z = ez = er cos θ . Тогда ∞ π D z = e ∫ ∫ψ 2 nlm 2π 3 ( r , θ )r dr cos θ sin θd θ 0 0 0 ∞ π ∫ cos 2 2π mφ 2 d φ = 0. 3 2 mφ ( r , θ )r интеграл = e ∫ ∫ ψ nlm dr cos θ sin cos d φ поскольку = 0. Второй поθd θ ∫равен нулю, 2 0 является нечетной 0 0 подынтегральное 2 π выражение 3 2 mφ симметричных ( r , θ )r функцией θd θ ∫вcos dr cos θ sincos d φ = 0. пределах. Это 2 Влияние составляющей 0 и требовалось доказать. 2 mφ должно плотности вероятности ρφ m = cos 2 2 сказываться, например, при поляризации возбужденных атомов водорода в сильных электрических полях. Таким образом, в атоме водорода должно существовать структурированное распределение плотности вероятности электрона при движении по углу φ для возбужденных состояний, что сказывается при его взаимодействии с внешними полями и другими квантовыми объектами. Литература 1. Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functional and Electron Fluids. – Physics Reports (Review Section of Physics Letters), 1982, v.92, №1, р.1–44. 2. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. – Доклады Академии наук, 1982, т.262, с.1100–1102. 3. Неволин В.К. Квантовая физика и нанотехнологии. – М.: Техносфера, 2011. Nevolin V.K. Quantum Physics and Nanotechnology. http:/arxiv.org/ abs/1106.0973v1. 4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974, с.130. 5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 1976, с.300. НОВЫЕ КНИГИ ИздательствА "Техносфера" Полимерные нанокомпозиты Под ред. Ю-Винг Май, Жонг-Жен Ю Москва: Техносфера, 2011. – 688 с. ISBN: 978-5-94836-203-8 Цена: 1188 р. В книге приведен исчерпывающий обзор основных типов полимерных нанокомпозитов. Часть I посвящена силикатам со слоистой структурой, рассмотрены их свойства: воспламеняемость и термостойкость, барьерные свойства, износостойкость и подверженность микробиологическому разрушению. В части II рассматриваются нанотрубки, наночастицы и неорганически-органические гибридные системы, анализируется их упругость и прочность, а также магнитные и светоиспускающие характеристики. Благодаря известным редакторам и международному авторскому коллективу книга «Полимерные нанокомпозиты» станет настольным справочником по этому важному новому типу материалов для руководителей групп исследователей и разработчиков в автомобилестроении и гражданском строительстве. Как за­ка ­зать на­ши кни­ги? ✉ 125319, Моск­ва, а/я 91; ℻ (495) 9563346, 2340110; knigi@technosphera.ru, sales@technosphera.ru #3 / 33 / 2012