/ 10 0, 9 м кг ∙ = ρ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ОСЕННЯЯ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014  2015 г.г.
I ТУР
ФИЗИКА
ВАРИАНТ № 6
З А Д А Ч А 1.
После выстрела из пушки снаряд массы m = 10 кг, упал на землю через 10 секунд. Определите модуль
изменения импульса снаряда за последние две секунды полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.
З А Д А Ч А 2.
Однородный тонкий стержень ОВ лежит на двух опорах D и C,
D
B
расстояние между которыми a=0,2 м. Коэффициент трения стержня об
C
опоры равен  = 0,5. Угол наклона стержня к горизонту = 60o, длина
O

участка СВ = b= 0,42м. Найдите длину стержня L , при которой он будет
находиться в равновесии.
З А Д А Ч А 3.
Два груза массы 2m и m связаны невесомой нерастяжимой нитью,
переброшенной через неподвижный блок. В начальный момент груз массы m
удерживают, прижимая
его к столу. Затем
груз
отпускают. На какую
максимальную высоту поднимется этот груз над столом, если при ударе груза 2m о
стол выделяется количество теплоты, равное Q ? Удар абсолютно неупругий.
Массой блока и силами трения в блоке пренебречь.
g
m
2m
З А Д А Ч А 4.
Тонкий однородный стержень массы m и длины L лежит на дне сосуда с водой. За нить,
привязанную к одному концу стержня, его медленно поднимают в вертикальное положение, в котором
стержень, опираясь на дно сосуда, выступает над поверхностью воды на 0,4 L. Найдите работу, которую
необходимо совершить при таком подъеме стержня. Плотность стержня в три раза больше плотности
воды. Силами сопротивления и массой нити пренебречь.
З А Д А Ч А 5.
Математический маятник с длиной нити L прикреплён к потолку лифта, который движется вниз с
ускорением а = g /2, где g – ускорение свободного падения.. Определите период малых колебаний
маятника.
З А Д А Ч А 6.
Где и во сколько раз больше атомов: в стакане воды или в равном по объёму куске меди ?
3
3
Плотность меди  Cu  9,0  10 кг / м .
З А Д А Ч А 7.
В длинной трубе между двумя поршнями массы М каждый находится
2u
6u
моль идеального одноатомного газа при температуре То . Масса газа много меньше
массы поршней. В остальном пространстве трубы - вакуум. В начальный момент
левый поршень имеет скорость 2u, а правый - 6u. Определите максимальную
температуру газа при дальнейшем движении поршней. Система теплоизолирована, теплоемкостями поршней
и трубы, а также трением пренебречь.
З А Д А Ч А 8.
2q
3R
Две концентрические
металлические
сферы радиусами R и 3R
жестко
R
закреплены. Внутренняя сфера соединена с землей, а внешняя сфера заряжена
отрицательным зарядом 2q. Какую минимальную скорость должен иметь точечный
отрицательный заряд q массы m на бесконечно большом расстоянии от сфер, чтобы
двигаясь к их центру, достигнуть точки А, находящейся на расстоянии 4R от центра сфер.
Перераспределением зарядов на сферах под действием точечного
Е
3Е
заряда пренебречь .
A
З А Д А Ч А 9.
2R
R
В схеме, приведенной на рисунке, найдите энергию конденсатора. Параметры
C
элементов схемы, изображенных на рисунке, считать
известными. Внутренним
сопротивлением источников тока пренебречь.
B
2Е
З А Д А Ч А 10.
3Е
о
Проводник АОК, согнутый под углом 60 , расположен в плоскости xy, как
показано на рисунке, в постоянном однородном магнитном поле индукции В, перпендикулярной плоскости
xy. По проводнику из начала координат О перемещают поступательно вдоль
y
K
A
оси y с постоянной скоростью v перемычку MN, параллельную оси x.
V
B
Cопротивление
единицы длины перемычки равно . Пренебрегая
С
сопротивлением проводника и скользящих контактов, а также индуктивностью
M
30o 30о
N
O
x
контура, найдите полное количество теплоты Q, выделившейся в перемычке, за время её движения до точки
С. Длина отрезка ОС равна L .
61
ОСЕННЯЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2014-2015 г.г.
I ТУР
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 6
З А Д А Ч А 1. (8 баллов)
Ответ:. p  mgt  10  9,8  2  196
кг  м
с
З А Д А Ч А 2. (8 баллов)
Ответ:
 tg 
L  2b  a 1 



  1,7 м

.
На стержень ОВ действуют:

N1
mg - cила тяжести; N1 и N2 –
силы нормальной реакции опор D

и C ; F ТР 1 и F ТР 2 - силы трения .
y

F TP 2
Силы трения направлены вдоль
F TP 1
B x стержня вверх, так как стержень
D
C
стремится соскользнуть вниз.
Стержень будет находиться в
равновесии,
если
будут


выполняться
два
условия:
0

N2
Равенства
нулю
всех
сил,
mg
действующих на стержень  Fi  0
и равенства нулю моментов всех
сил, действующих на стержень, относительно оси проходящей, например, через опору С,
 M C ( Fi )  0 . Напишем для стержня первое условие равновесия:
mg  N 1  FТР 1  FТР 2  N 2  0
(1)
Направим ось х вдоль стержня, ось y перпендикулярно ей, и спроецируем на них уравнение (1).
FТР1  FТР 2  mg sin   0
(2)
N 1  N 2  mg cos   0
(3)
Принимая во внимание, что FТР  N , перепишем уравнения (2) и (3) в виде
N 1  N 2  mg sin   0
(4)
N 1  N 2  mg cos   0
(5)
Напишем для стержня второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку С:
M1  M 2  0
(6) , где M 1  mg  1 , M 2  N 1 2 - моменты сил mg и N 1
относительно выбранной оси, где  1  ( L / 2  b ) cos  и  2  a - плечи сил mg и N. Подставим
выражения для M 1 и M 2 в (6) , получим
mg ( L / 2  b) cos   N 1a  0 (7).
Из уравнение (5) и (7) найдём
mg cos  ( L / 2  b)
mg cos  ( L / 2  b  a )
N2 
, а затем из уравнения (4) выразим длину
a
a
 tg  
.
стержня: L  2b  a 1 
 

N1 
Подставим a = 0,2; b = 0,4;
  0,5 ;   60 o ; tg 60 o  3 , найдём
 1,73 
L  2  0,4  0, 2 1 
  0,8  0, 2  (1  3,46)  1,7 м
0,5 

6-2
З А Д А Ч А 3. (10 баллов)
2Q
mg
Ответ: H 
1) H  h1  h2 (1), где h1  высота груза m1 над столом до начала движения; h2  высота подъема
груза m2 над столом после удара груза m1 о стол.
2) Используя закон сохранения энергии и уравнение равнопеременного движения, получим
Q  W К1 
m1v 2
(2) ,
2
откуда
V2 
2Q
m1
g
V2
Q

(4)
2 g m1 g
5) Подставляя (3) и (4) в (1) , получим
m1  m2
Q 1 1
g (6)
   (5), где a 
H
m1  m 2
m1  a g 
Подставляя (6) в (5), найдем

Q g a
Q g
Q  m1  m 2
2Q



 
H
 1 
  1 
m1  ag  m1 g  a
 m1 g  m1  m2
 (m1  m 2 ) g
3) h1 
V2
Q

2 a m1 a
4) h2 
(3);
Подставим значения m1 = 2 m
2Q
2Q
H

( 2m  m) g mg
m 2= m
m2=m
=m
m1=2m
(7)
в (7), найдем
З А Д А Ч А 4. (10 баллов)
Ответ: A1  0,36mgL
W KИИ   Ai
По условию WKИИ  0 , следовательно, A1  A2  A3  0 , где A1-работа внешней
силы, A2- работа
силы тяжести,
Искомая работа A1=  A2  A3.
A3- работа силы Архимеда.
L
A2   mg
2
A3  g 0,4V  0,6 L  g  0,6V  0,3L  (0,4  0,6  0,3  0,6) gVL  0,42
A3 
0,42
mgL  0,14mgL
3
A2  
mgL
2
m
gL . При n = 3
n
A1  0,5mgL  0,14mgL  (0,5  0,14)mgL  0,36mgL
З А Д А Ч А 5. (10 баллов)
Ответ: T  2
2L
.
g
a
a
g
;
2
T  2
g Эфф  g  a  g 
Подставляя
L
g ЭФФ
,
(1)
где
g g

2 2
g Эфф в (1), получим
T  2
2L
g
L
6-3
З А Д А Ч А 6. (10 баллов)
Ответ: Число атомов воды больше числа атомов меди в
В стакане воды содержится число молекул N 1 
N2 
3N1
167

 1,2 раза .
N 2 140,6
 1V
NA
1
и 3N 1 атомов, а в куске
меди -
 2V
N A атомов. Подставляя числовые значения, получим : для воды
2
3
3N1  3
10
3
V  N A  167  10  V  N A .
0,018
3
9,0  10
3
V  N A  140,6  10  V  N A .
Здесь N A число Авогадро, V- объём стакана,
0,064
1 и  2 - плотности воды и меди соответственно. Следовательно, число атомов воды больше числа
3N1
167
атомов меди в

 1,2 раза .
N 2 140,6
Для меди: N 2 
З А Д А Ч А 7. (10 баллов)
Ответ: T  To 
8 Mu 2
3 R
.
2u
6u
В системе отсчёта, связанной с центром масс поршней,
x
они движутся навстречу друг другу с равными скоростями ( так
как по условию их массы одинаковые. При этом кинетическая
энергия поршней, переходит во внутреннюю энергию газа.
E кин  U o  U ,
где Uo –начальная внутренняя энергия газа U o  c v To , , где   1 .
U- внутренняя энергия газа при максимальном его сжатии U  c v T .
M  2u  M  6u
 4u
2M
Скорость левого поршня в системе центра масс   2u   С  2u  4u  2u .
Скорость центра масс поршней
С 
Скорость правого поршня в системе центра масс   6u   С  6u  4u  2u .
Используя закон сохранения энергии, запишем
Используя закон сохранения энергии, запишем (при   1 ) :
2
8 Mu 2
M
3
3
(2u ) 2  RTo  RT , откуда T  To 
.
2
2
2
3 R
З А Д А Ч А 8. (10 баллов)
Ответ:  
2q A
1
q
.
m
6m o R
На заземлённой сфере наводится заряд q x ,
который находится
из условия равенства нулю
потенциала внутренней сферы. Согласно принципу
суперпозиции , потенциал внутренней сферы равен
qx
2q


 0,
4 o R 4 o  3R
2q
3R
A
R
4R

q
откуда находим искомый заряд q x 
2
q.
3
6-4
A 
Потенциал в точке А
2
q
2q
1
q



3 4 o  4 R 4 o  4 R
12  o  R
A  
1
q
.
12  o  R
2
2q A
m min
1
 q A . Откуда  
q
По закону сохранения энергии
.
m
6m o R
2
З А Д А Ч А 9. (12 баллов)
3Е
Ответ: W  2CE 2 .
3E E
Ток в цепи I 

(1)
3R R
Закон Ома для правого участка цепи (участок АВ):
(   B )C  3 E
I A
(2)
R
Из (1) и (2) найдем
 A -  B   IR  3 E   E  3 E  2 E .
Обозначим  A   B  U , тогда энергия конденсатора
W 
CU
2
Е
A
2R
R
С
B
2Е
3Е
2
 2 CE 2
З А Д А Ч А 10. (12 баллов)
2
Ответ:
Q
2
B  L
 3
1) Длина перемычки


  2 y  tg
;
при y = C  max  2L  tg .
2
2
2) Сопротивление перемычки


R    2y  tg
;
R max   max  2L  tg .
2
2

3) ЭДС индукции E  B   ; E max  2 B  Ltg .
2
4) Тепловая мощность, выделившаяся в перемычке
2
2
2 2
2
2
E
B 
B 


;
R


1
5) Средняя мощность Pcp  Pmax
2
P
A
2
2
Q  Pcp t o 

M

2 B 2 2 Ltg
2
E max
2 .
Pmax 

Rmax

L
за время t o 
,


2
2
2  L  B L tg 


2

1
Итак , при  = 60 , tg  tg30 o 
,
2
3
о
V
K
B
С
6) Полное количество теплоты, выделившейся в перемычке,
B  Ltg
y
B 2L2  B 2  L2
Q
tg 

2
 3
30o 30о
N
O
x