АФФИННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ВЫПУКЛОСТЬ. 1. Аффинная

АФФИННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ВЫПУКЛОСТЬ.
записано Князевой М.
1. Аффинная зависимость.
Рассматриваем множества из некоторого числа точек в пространстве Rd
с фиксированной ситемой координат. Точки ассоциируются с их радиусвекторами.
Для двух различных точек x1 и x2 прямая, проходящая через них, есть
множество: {λx1 + (1 − λ)x2 |λ ∈ R}.
Определение 1.1. Аффинной оболочкой af f (x1 , ..., xn ) множества точек
x1 , ..., xn называется минимальное афинное пространство, содержащее все
эти точки.
Для системы
P
P из n точек xi их аффинная оболочка: af f (x1 , ..., xn ) =
n
{ i=1 ai xi | ai = 1}.
Определение 1.2. Точки x1 , ..., xn называются аффинно зависимыми, если dim(af f (x1 , ..., xn )) ≤ n − 2.
Лемма 1.3. Условие аффинной зависимости точек x1 , ..., xn эквивалетно
каждому их следующих условий:
• вложим Rd в Rd+1 в качестве гиперплоскости, не проходящей через 0; вектора пространства Rd+1 , порожденные точками x1 , ..., xn ,
являются линейно зависимыми;
P
P
• ∃ai ∈ R (не все из них нулевые), такие что:
ai = 0; ai xi = 0
2. Выпуклость.
Выпуклым множеством называем множество, которое вместе с каждой
парой своих точек содержит и весь отрезок с концами в этих точках. Выпуклой оболочкой Conv(X) множества точек X называется минимальное
выпуклое множество, содержащее множество X.
Теорема 2.1. Для множества X в Rd его выпуклая оболочка
n
n
X
X
ai = 1}
ai xi |xi ∈ X, n ∈ N, ai ≥ 0,
Conv(X) = {
i=1
i=1
1
2
записано Князевой М.
Доказательство.
1. ⊃
Обозначим множество, стоящее справа от знака равенства как M .
Для n = 2 комбинация - точка на отрезке. Следовательно, содеражится
в Conv(X). Далее - индукция по n.
2.⊂
Заметим, что само X ∈ M , т.к. можем подобрать коэффициенты соответствующим образом.
P
P
Также M - выпуклое, т.к. с каждыми своими точками
ai xi и
bi xi
это множество содержит и весь
в этих
Pотрезок с концами
P
P точках:
любая точка отрезка есть λ ai xi + (1 − λ) bi xi = (λai + (1 − λ)bi )xi .
То есть, это точка из M .
А т.к. Conv(X) - есть по определению минимальное выпуклое множество, содержащее X, то оно содержится в некотором выпуклом множестве
M ⊃ X.
¤
Теорема 2.2. Теорема Каратеодори.
Conv(X) = {
d+1
X
i=1
ai xi |xi ∈ X, ai ≥ 0,
d+1
X
ai = 1}
i=1
Доказательство.
Множество справа от знака равенства обозначим M . Докажем одно
включение.
Пусть x ∈ Conv(X). P
Покажем, что x ∈ M .
x ∈ Conv(X) ⇒ x = ni=1 ai xi . Если n ≤ d + 1, то x ∈ M доказано.
Если n > d + 1, то опишем процедуру, позволяющую уменьшать количество слагаемых этой суммы.
Вектора {xi } аффинно зависимы
(т.к. их по крайней мере d + 2 в проP
P
странстве Rd ), значит ∃bi , bi = 0,
Pn bi xi = 0.
Pn
Умножим
на
λ
и
вычтем
из
x
=
a
x
.
Получим
x
=
i
i
i=1
i=1 (ai −λbi )xi ,
P
причем ni=1 (ai − λbi ) = 1.
Положим, что λ очень маленькое, близко к 0. Будем его постепенно
увеличивать до тех пор, пока из всех коэффициентов ai − λbi какое-то не
обратится в 0. Так, количество слагаемых уменьшится на одно.
Применяя эту процедуру, постепенно уменьшаем количество слагаемых.
¤
Лемма 2.3. Лемма Радона.
T
T
A ⊂ Rd , ](A) = d+2 =⇒ ∃A1 ⊂ A, A2 ⊂ A : A1 A2 = ∅, Conv(A1 ) Conv(A2 ) 6=
∅
Доказательство.
Для плоскости доказательство очевидно: четыре точки можно разбить
на два подмножества так, чтобы их выпуклые оболочки пересекались.
АФФИННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ВЫПУКЛОСТЬ.
3
P
P
Для d+2 точек: они аффинно зависимы ⇒ ∃αi :
αi = 0, d+2
i=1 αi ai = 0.
Положительные коэффициенты оставляем с одной
стороны
знака
равенP
P
ства, а остальные переносим в другую сторону: αi >0 αi ai = αj <0 αj aj =
x – это некоторая точка x. Остается только разделить на сумму положительных коэффициентов. Тогда точка P x принадлежит выпуклой
αi >0
оболочке точек ai , у которых коэффициенты αi > 0, и одновременно выпуклой оболочке точек ai , у которых коэффициенты αi < 0.
¤
Теорема 2.4. Теорема Хелли.
Пусть C1 , ..., Cn - выпуклые подмножества Rd , n ≥ d + 1 и любые d + 1
из Ci имеют непустое пересечение. Тогда пересечение всех Ci непусто.
Доказательство.
Пусть n = d + 2. Для каждого i выберем точку из пересечения ai ∈
Td+2
k=1,k6=i Ck . Таких точек набирается d + 2, обозначим их множество A =
{ai }.
S
T
T
По лемме Радона A = A1 A2 : A1 A2 = ∅, Conv(A1 ) Conv(A2 ) 6= ∅.
Пусть для определенности
A1 = {a1 , ..., ak }, A2 = {ak+1 , ..., ad+2 } и пусть
T
x ∈ Conv(A1 ) Conv(A2 ). Докажем, что ∀i, x ∈ Ci , пусть для определенности i = k + 1.
x ∈ Conv(A1 ); a1 ∈ Ck+1 , ..., ak ∈ Ck+1 ⇒ x ∈ Ck+1 .
¤
Теорема 2.5. Теорема отделимости.
T
Пусть C, D - выпуклые компактные множества в Rd , C D = ∅. Тогда существует гиперплоскость, строго их разделяющая.
Доказательство.
Рассмотрим всевозможные пары точек: одна точка из C, другая - из D;
и измерим длину отрезка, соединяющего их. Функция расстояний определена на компакте, поэтому она достигает минимума, т.е. существует пара
точек (x, y), расстояние между которыми наименьшее. Возьмем гиперплоскость, перпендикулярную этому отрезку и проходящую через внутреннюю
точку отрезка. Это искомая гиперплоскость.
¤
Задачи.
d
1. Пусть K - выпуклый компакт в RT
, точка p ∈ K. Доказать, что
существует такая прямая l, что хорда (l K) не меньше всех остальных
хорд, параллельных l.
2. Под диаметром множества понимаем Sup расстояния между его двумя
точками.
Доказать, что Diam(X) = Diam(Conv(X))
3*. Пусть Ci (i = 1, ..., n), n ≥ d+2 - выпуклые множества в пространстве
Rd и K - выпуклое множество в Rd .
4
записано Князевой М.
Известно, что пересечение любых d + 1 множеств Ci содержит параллельный перенос T
множества K.
Доказать, что ni=1 Ci содержит параллельный перенос множества K.
4. A - конечное множество в Rd . Любые 4 точки в нем лежат в выпуклом положении (т.е. являются вершинами некоторого выпуклого четырехугольника).
Доказать, что все точки множества A лежат в выпуклом положении.
5. Плоское множество K называется звездным, если его ядро KerK 6= ∅,
где ядро KerK = {x ∈ R2 |∀y ∈ K "видна" из точки x, т.е. отрезок xy ∈ K}.
а) Доказать, что KerK - выпуклое множество.
б)* Теорема Красносельского (задача о галерее):
Пусть множество K ограничено ломаной и любые три точки множества K видны из некоторой точки множества K. Доказать, что тогда K звездное множество.
6. Теорема Юнга:
доказать, что на плоскости всякое конечное
множество диаметра ≤ 1
√
содержится в некотором круге радиуса 1/ 3.
E-mail address: marinakn@mail.ru