Тазюкова А.Ф. Расчет обтекания пробоотборника с внутренним

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт Математики и Механики им. И.И Лобачевского
Кафедра Аэрогидромеханики
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Расчет обтекания пробоотборника с внутренним фильтром
Работа завершена:
Студентка гр.05-002
Тазюкова А. Ф. 2015г.
Работа допущена к защите ГАК:
Научный руководитель
Маклаков Д. В., доктор физико-математических наук, профессор
Зав. кафедрой
Егоров А.Г., доктор физико-математических наук, профессор
Казань 2015
Введение
Для мониторинга окружающей среды, особенно на местности,
подвергшейся
радиоактивному или
химическому заражению,
в
последнее время используются беспилотные летательные аппараты с
установленными на крыльях коническими пробоотборниками, внутри
которых помещается фильтр. На Рис.1 схематически изображена
верхняя симметричная часть такого пробоотборника, где EA фильтр,
CBAD верхняя стенка пробоотборника [4].
Рис.1. Верхняя часть пробоотборника
В настоящей работе, для выявления характерных особенностей
обтекания пробоотборника с фильтром, рассмотрена задача, в которой
конический пробоотборник заменен плоской моделью (Рис.1). Внутри
модели на расстоянии a от кромки пробоотборника помещен фильтр,
длина которого 𝟐𝒉.
Цель работы состоит в том, что бы получить картинку линий тока
при обтекании пробоотборника.
Постановка задачи.
Итак, опишем процесс создания модели пробоотборника.
Верхняя коническая кромка пробоотборника CBA определяется по
формуле
𝑓(𝑥) = ℎ + 𝛼𝑥 2 ,
где 𝜶-параметр, позволяющий регулировать дугу CBA
Верхняя горизонтальная стенка пробоотборника AD определяется по
формуле
𝑓(𝑥) = ℎ
Фильтр OA располагается на линии
𝑥=0
На систему канал-фильтр натекает поток воздуха со скоростью
𝒗∞ .
Ввиду
симметрии
процесса
обтекания
пробоотборника,
рассматривается только верхняя половина течения. Считается, что
после выхода потока из фильтра все линии тока прямолинейны, а
давление вдоль них постоянно и равно давлению набегающего потока
𝑝∞ .
Запишем закон проницаемости на фильтре
𝑝 − 𝑝∞ = 𝑘𝜌𝑣∞ 𝑣𝑥 ,
где 𝒌 – коэффициент проницаемости; 𝝆 – плотность жидкости; 𝒑 –
давление перед фильтром; 𝒗𝒙 – проекция вектора скорости перед
фильтром на ось 𝑶𝒙. Предельные значения 𝒌 означают либо отсутствие
фильтра (𝒌 = 0), либо установку непроницаемой стенки (𝒌 = ∞).
Поделив последнее уравнение на
𝟏
𝟐
𝝆𝒗𝟐∞ и применив теорему
Бернулли, получим
1−
𝑣2
2
𝑣∞
= 2𝑘
𝑣𝑥
𝑣∞
,
где 𝒗 – модуль скорости.
В дальнейшем будем считать, что 𝒗∞ = 1.
Тогда последнюю
формулу можно записать в виде
(𝑣𝑥 + 𝑘)2 + 𝑣𝑦2 = 1 + 𝑘 2 ,
где 𝒗𝒚 – проекция вектора скорости потока перед фильтром на ось 𝑶𝒚.
Решение
Для решения нашей задачи воспользуемся методом граничных
элементов. Привлекательность данного метода обусловлена тем, что
дискретизации подвергается лишь граница некоторой области D. В
нашем случае этой границей являются стенки пробоотборника. Суть
метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в
частных производных, описывающего поведение неизвестной функции
внутри области и на границе области D, в интегральное уравнение,
определяющее только граничные значения, и затем отыскании
численного решения этого интегрального уравнения.
Свести задачу для дифференциального уравнения к граничному
интегральному уравнению можно различным способами. Например,
используя представление гармонической функции через потенциал
простого или двойного слоя. В результате получается уравнение
Фредгольма первого или второго рода относительно неизвестных
значений функции или ее нормальной производной на границе области
[1].
Таким
образом,
исходную
систему
дифференциальных
уравнений мы заменяем интегральным уравнением по границе, где в
качестве искомых функций выступают интенсивности вихрей. Для
этого дискретизируем границу n прямолинейными элементами на
которых
расположим
вихри.
Индуцируемая
ими
скорость
расчитывается при помощи граничных условий в точке, находящейся
посередине каждого элемента, точке коллокации. Вихри в данном
случае удобны тем, что они не создают особенностей при решении
поставленной задачи.
Для решения будем использовать функцию тока. В этом случае
легко перейти к рассмотрению ассиметричной задачи.
Итак, пусть стенка CD (Рис. 1) задается уравнением
𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦), −𝑙 ≤ 𝑥 < ∞.
При этом существует −𝑙 ≤ 𝑎 < 0 такое, что
𝑓(𝑥) = 1, 𝑥 ≥ 𝑎.
Необходимо найти гармоническую функцию тока ψ(x,y),
𝜕𝟐𝜓 𝜕𝟐𝜓
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
𝑣𝑥 =
𝜕𝜓
𝜕𝜓
, 𝑣𝑦 = −
𝜕𝑦
𝜕𝑥
такую, что
𝜓(𝑥, 0) = 0.
(2)
На стенке CBAD (Рис. 1)
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑞
При
(3)
x,y→∞
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 1.
(4)
Уравнение (1) справедливо на фильтре EA.
Параметр 𝒒, вообще говоря, неизвестен и должен определиться в
ходе решения задачи.
Из уравнения (1) найдем х- компоненту скорости на фильтре
𝑣𝑥 = √1 + 𝑘 2 − 𝑣𝑦2 − 𝑘
и функцию тока
𝑦
𝜓(𝑦) = ∫0 [√1 + 𝑘 2 − 𝑣𝑦2 − 𝑘]𝑑𝑦 .
(5)
Откуда
1
𝑞 = ∫ [√1 + 𝑘 2 − 𝑣𝑦2 − 𝑘] 𝑑𝑦.
(6)
0
Для получения значения 𝜓(𝑦) сделаем следующую замену. На
фильтре:
𝜓(𝑦) = 𝑔(𝑦), 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ, 𝑔(0) = 0.
Функцию 𝒈(𝒚) можно найти методом итераций. А именно, задаем
𝒈(𝒚), решаем нашу задачу, решение которой будет приведено позднее,
находим 𝒗𝒚 (𝒚), подставляем 𝒗𝒚 (𝒚) в (5), находим новые g(y).
Таким образом, данное исследование позволят решить уже ранее
решенную
нами
упрощенную
задачу,
где
мы
пренебрегали
квадратичными членами в уравнении (6) в новой постановке, где мы
ими не пренебрегаем.
Отметим, что критическая точка B
может находиться и на
внешней стороне стенки CBAD .
Далее, перед тем как приступить к основному решению,
приведем некоторые вспомогательные, базовые понятия о вихрях.
Одиночный вихрь. Функция тока.
Запишем функцию тока
𝜓=
𝛾
ln √(𝑥 − 𝜉)2 + (𝑦 − 𝜂)2
2𝜋
Вихрь расположен в точке (ξ,η),
𝑣𝑥 =
𝜕𝜓
𝜕𝜓
, 𝑣𝑦 = −
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Такой вихрь вращает жидкость по часовой стрелке.
( , )
Рис 2. Одиночный вихрь
Стандартный вихревой элемент.
Запишем функцию тока для вихря в следующем виде
1 𝑥2
𝜓(𝑥, 𝑦) =
∫ ln √(𝑥 − 𝜉)2 + 𝑦 2 𝑑𝜉
2𝜋 𝑥1
Получается, что функция тока такого вихря совпадает с потенциалом
распределенного источника.
P(x,y)
y
r1
O
x1
r2
1
2
x
x2
Рис. 3. Стандартный вихревой элемент.
Тогда можно записать, что
𝜓=
1
4𝜋
𝜃𝑘 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥𝑘 − 𝑥, −𝑦) + 𝜋, 𝑘 = 1,2
(7)
𝑟𝑘 = √(𝑥 − 𝑥𝑘 )2 + 𝑦 2
(8)
[(𝑥 − 𝑥1 ) ln 𝑟12 − (𝑥 − 𝑥2 ) ln 𝑟22 + 2𝑦(𝜃2 − 𝜃1 )
𝑣𝑥 =
1
4𝜋
(𝜃2 − 𝜃1 ); 𝑣𝑦 =
1
4𝜋
ln
𝑟12
𝑟22
(9)
(10)
На элементе
1
1
2
2𝜋
𝑣𝑥 (𝑥, ±0) = ± ; 𝑣𝑦 (𝑥, ±0) = −
ln
𝑥−𝑥1
𝑥2 −𝑥
.
Отсюда следует, что компонента 𝑣𝑦 не имеет разрыва.
Представление функции тока в виде вихревых слоев.
Введем следующую функцию
𝐹(𝑥, 𝑦) =
1
∫ 𝛾(𝑠) ln √(𝑥 − 𝜉)2 + (𝑦 − 𝜂)2 𝑑𝑠
2𝜋
𝐶𝐷
+
1
∫ 𝛾(𝑠) ln √(𝑥 − 𝜁)2 + (𝑦 − 𝜂)2 𝑑𝑠
2𝜋
(11)
𝐸𝐴
Теперь ищем функцию тока 𝝍(𝒙, 𝒚) в виде
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, −𝑦)
(12)
Далее, надо найти распределение вихрей 𝛾(𝑠) на границах СВAD
и EA так, чтобы выполнялись граничные условия.
A
D
   ( у)
vх  q
E
D
Рис. 14 фиктивный потенциальный поток за фильтром
Отметим, что представление (11), (12) фактически вводит, как
показано на Рис.14, фиктивный потенциальный поток за фильтром.
Вихревые элементы
Возьмем на стенке CD (Рис. 1) удаленную точку 𝐹(𝑥𝐹 , 1), 𝑥𝐹 ≫ 1
и на поверхности CF распределим n элементов.
Для выявления более ясной картины обтекания пробоотборника,
распределим элементы таким образом, чтобы они сгущались вблизи
фильтра и кромки, причем строго определенным образом, иначе
картина
обтекания
для
нашей
модели
получается
физически
некоррекной. С этой целью введем значения 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , 𝒏𝟑 , являющиеся
колличеством элементов на дугах CB, BA, AD соответственно.
Распредение элементов будем задавать известными формулами
сгущения, примененными для данной конфигурации.
На дуге CB сгущение элементов к кромке пробоотборника
опреднляется по следующей формуле
𝑥𝑖𝐶𝐵 = 𝑎 + (−0,2𝑎)(
Параметр
𝑎
определяет
𝑖−1 4
)
𝑛1
(𝑖 = 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑛1 ).
положение
начала
кромки
пробоотборника.
На дуге BA сгущение элементов при приближении к фильтру
определяется по формуле
𝑥𝑖𝐵𝐴 = 0,8𝑎 + (−0,8𝑎)(1 − (1 −
𝑖−1 2
)
𝑛2
(𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑛1 + 1, 𝑛2 ).
Степени 2 и 4 в этих формулах были взяты произвольным образом.
Для определения степени в формуле сгущения для AD,
необходимо учесть, что первый элемент на AD и последний на BA
должны равноотстоять от фильтра.
В этом случае на AD можно записать
𝑥𝑖𝐴𝐷 = −𝑥𝑛𝐵𝐴
+ (𝑏+𝑥𝑛𝐵𝐴
)(
2
2
𝑖−1 𝛼
) ,
𝑛3
(𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑛2 + 1, 𝑛3 ).
Угол 𝜶 необходимо определить из условия равноотстояния
𝑏 = 𝑥𝐹 .
Для выяснения зачения угла введем обозначение
𝑤 = 0,5(𝑥1𝐴𝐷 + 𝑥2 𝐴𝐷 ).
Тогда
+ 𝑥𝑛𝐵𝐴
(𝑥𝑛𝐵𝐴
)0,5 = 𝑤
2
2 −1
Таким образом,
– 𝑥𝑛𝐵𝐴
+ (𝑏+𝑥𝑛𝐵𝐴
)(
2
2
𝑚3𝛼 =
1 𝛼
) =𝑤
𝑛3
𝐵𝐴 )
(𝑏+𝑥𝑛
2
.
𝐵𝐴 )
2(𝑤−𝑥𝑛
2
Логарифмируя последнее выражение, получим
ln
𝛼=
(𝑏+𝑥𝐵𝐴
𝑛2 )
2(𝑤−𝑥𝐵𝐴
𝑛2 )
ln 𝑛3
.
Теперь рассмотрим распределение элементов на фильтре.
Распределим на фильтре m элементов. Расположим их таким
образом, чтобы элементы сгущалсь у стенки CBAD, при этом
расстояние между двумя последними элементами на фильтре должно
быть равно половине расстояния между двумя последними элементами
на части стенки AD. Более того, при исследовании картины обтекания
становится ясным, что все элементы на фильтре необходимо снести
вверх. Это необходимо для избежания конфликта условий, наложенных
на функцию потенциала, а именно
𝜓 𝐶𝐵𝐴𝐷 (𝑥, 𝑦) = 1, 𝜓 𝐸𝐴 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑦).
Таким образом, получено, что
𝑦𝑖𝐴𝐸 = ℎ(1 + 𝜀)(1 − (1 −
𝑖−1 𝛼
) ),
𝑚
(𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚),
где h - длина фильтра, 𝜺 − некоторая малая сдвиговая величина ,
𝐴𝐸
𝐴𝐸
степень 𝜶 будет найдена из условия 𝑤 = 0,5(𝑦𝑚−1
+ 𝑦𝑚
).
По аналогии с предыдущими вычислениями можно получить
𝛼=
ln
ℎ
𝑤
ln 𝑚
.
Таким образом нами получено распределение элементов на
профиле, как показано на Рис 5,6:
Рис. 5. Расположение элементов на модели пробоотбоника.
Рис. 6. Расположение элементов на модели пробоотборника вблизи
фильтра.
При наложенных выше описанных условиях нами получен
физически правильный график скоростей 𝒗𝒚 на фильтре (Рис. 7).
Общее число элементов N=n+m. На каждом элементе вводятся
точки
коллокаций
𝑸𝒋 , 𝒋 = ̅̅̅̅̅
𝟏, 𝑵,
размещенные ровно
посередине
элемента. На каждом элементе также вводится локальная система
координат и определяется единичный вектор 𝒆𝒋 , 𝒋 = ̅̅̅̅̅
𝟏, 𝑵 и длины
элементов 𝒍𝒋 , 𝒋 = ̅̅̅̅̅
𝟏, 𝒏.
Рис 7. График зависимостри 𝒗𝒚 (𝒚) на фильтре.
Рассмотрим элемент с номером j . Он характеризуется следующими
свойствами
1) граничными точками (𝒂, 𝒃) и (𝒄, 𝒅);
𝒂+𝒄 𝒃+𝒅
2) точкой коллокации 𝑸𝒋 = (
𝟐
,
𝟐
);
3) длиной 𝒍𝒋 = √(𝒄 − 𝒂)𝟐 + (𝒅 − 𝒃)𝟐 ;
𝒄−𝒂 𝒅−𝒃
4) вектором 𝒆̅𝒋 = 𝒆𝟏 𝒊̅ + 𝒆𝟐 𝒋̅ = (𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 ) = (
𝟐
,
𝟐
);
Теперь необходимо решить следующую задачу определения
функции тока и потенциала, индуцированного элементом с номером
𝒋 в точке 𝑷(𝒙, 𝒚). Эта задача решается с помощью следующего
алгоритма.
Алгоритм.
̅̅̅̅ = (𝑥 − 𝑄𝑥𝑗 , 𝑦 − 𝑄𝑦𝑗 );
1) Находим вектор 𝑄𝑃
nj
еj
(c, d)
(a, b)
2) Переходим в локальную систему координат;
̅̅̅̅ в локальную систему
Переведем точки (𝒂, 𝒃), (𝒄, 𝒅) и вектор 𝑸𝑷
координат.
Формулы перехода
Обозначим ГСК – глобальная система координат, а МСК –
местная система координат.
̅ = 𝒂𝟏 𝒊̅ + 𝒂𝟐 𝒋̅
ГСК: 𝒂
̅ = 𝒂𝟏𝟏 𝒆̅ + 𝒂𝟏𝟐 𝒏
̅
МСК: 𝒂
Тогда можно записать следующие пребразования
𝑎11 = 𝑒1 𝑎1 + 𝑒2 𝑎2
ГСК→ МСК { 1
𝑎2 = −𝑒2 𝑎1 + 𝑒1 𝑎1
𝑎1 = 𝑒1 𝑎11 − 𝑒2 𝑎21
МСК→ ГСК {
𝑎1 = 𝑒2 𝑎11 + 𝑒1 𝑎21
3) Используя стандартные формулы (7)-(10) вычислим величины 𝝍
и (𝒗𝟏𝒙 , 𝒗𝟏𝒚 ). При этом скорости получаются в локальной системе
координат.
̅ в глобальную систему.
4) Переведем 𝒗𝟏𝒙 𝒆̅ + 𝒗𝟏𝒚 𝒏
Функция тока и скорость, индуцированная бесконечной частью
трубки.
Рассмотрим
бесконечную
часть
трубки
и
укажем
необходимые координаты.
𝐹(𝑥𝐹 , 1), 𝐹 ′ (𝑥𝐹 , −1), 𝐷(𝑥𝐷 , 1), 𝐷′ (𝑥𝐷 , −1) и 𝑥𝐷 → ∞
y
1
r1
r2
F
2
D
Рис. 8 Бесконечно удаленный элемент.
r2 *
r1 *
Если
O

𝑥𝐷 → ∞, то 𝜃2 →
*
2
D’
F’
𝜋, 𝜃2∗
x

*
1
→𝜋
𝜃1 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥𝐹 − 𝑥, 1 − 𝑦) + 𝜋
𝜃1∗ = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥𝐹 − 𝑥, −1 − 𝑦) + 𝜋
𝑟1 = √(𝑥 − 𝑥𝐹 )2 + (𝑦 − 1)2
все
𝑟1∗ = √(𝑥 − 𝑥𝐹 )2 + (𝑦 + 1)2
𝑟2 = √(𝑥 − 𝑥𝐷 )2 + (𝑦 − 1)2
𝑟2∗ = √(𝑥 − 𝑥𝐷 )2 + (𝑦 + 1)2
После подстановки этих формул в (7) – (10) получим, с учетом
того, что 𝑥𝐷 → ∞
2
1
𝑟1
𝜓𝐿 =
[(𝑥 − 𝑥𝐹 ) ln ( ∗ ) + 2(𝑦 − ℎ)(𝜋 − 𝜃1 ) − 2(𝑦 + ℎ)(𝜋 − 𝜃1∗ )]
4𝜋
𝑟1
𝑣𝑥 =
1
2𝜋
(𝜋 − 𝜃1 ) −
1
2𝜋
(𝜋 − 𝜃1∗ ), 𝑣𝑦 = −
1
𝑟
2
ln ( 1∗ ) .
4𝜋
𝑟
1
Окончательно, получим
𝜓𝐿 =
1
2
𝑟
[(𝑥 − 𝑥𝐹 ) ln (𝑟1∗ ) + 2(𝑦 − ℎ)(𝜋 − 𝜃1 ) − 2(𝑦 + ℎ)(𝜋 − 𝜃1∗ )] (13)
4𝜋
1
𝑣𝑥 =
1
2𝜋
(𝜃1∗ − 𝜃1 ), 𝑣𝑦 = −
1
𝑟
2
ln ( 1∗ )
4𝜋
𝑟
(14)
1
𝜃1 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥𝐹 − 𝑥, 1 − 𝑦) + 𝜋
𝜃1∗ = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑥𝐹 − 𝑥, −1 − 𝑦) + 𝜋
(15)
(16)
𝑟1 = √(𝑥 − 𝑥𝐹 )2 + (𝑦 − 1)2
17)
𝑟1∗ = √(𝑥 − 𝑥𝐹 )2 + (𝑦 + 1)2
(18)
Дискретизация.
Каждый элемент индуцирует функцию тока 𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦) и скорости
𝑣𝑥𝑗 (𝑥, 𝑦), 𝑣𝑦𝑗 (𝑥, 𝑦). Ищем функцию тока 𝜓(𝑥, 𝑦) в виде
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + ∑𝑁
𝑗=1 𝛾𝑗 [𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦) − 𝜓𝑗 (𝑥, −𝑦)] + 𝛾0 𝜓𝐿 (𝑥, 𝑦).
Интенсивность 𝛾0 последнего элемента можно определить следующим
образом. Все элементы, кроме последнего дают нулевую скорость на
бесконечности.
Должно быть
Вне канала
lim 𝑣𝑥 (𝑥, 𝑦) = 1
𝑥→∞
Внутри канала
lim 𝑣𝑥 (𝑥, 𝑦) = 1
𝑥→∞
Вне канала, при 𝑥 → ∞, 𝜃1 → 0, 𝜃1∗ → 0, lim 𝑣𝑥𝐿 (𝑥, 𝑦) = 0
𝑥→∞
Внутри канала, из (13) – (18) следует, что при 𝜃1 → 0, 𝜃1∗ → 0,
lim 𝑣𝑥𝐿 (𝑥, 𝑦) =
𝑥→∞
1
(0 − 2𝜋) = −1
2𝜋
lim 𝜓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝛾0 , где 1 − 𝛾0 = 𝑞, 𝛾0 = 1 − 𝑞
𝑥→∞
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + ∑𝑁
𝑗=1 𝛾𝑗 [𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦) − 𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦)] + (1 − 𝑞)𝜓𝐿 (𝑥, 𝑦)
(19)
В усложненной постановке, необходимо найти значение 𝑞 через
интеграл
1
𝑞 = ∫0 [√1 + 𝑘 2 − 𝑣𝑦2 − 𝑘]𝑑𝑦 .
(20)
Для этого воспользуемся методом итераций. Задаем значение
𝒗𝒚 = 𝟎, вычисляем интеграл (20), подставляем в формулу (19),
получаем значение функции тока и находим новые значения
компоненты скорости 𝒗𝒚 и продолжаем вычисления до тех пор, пока
модуль разности значений 𝒗𝒚 на двух последних итерациях не будут
𝒋−𝟏
меньше некоторока малого числа 𝜹, т. е. |𝒗𝒚
О вычислении скоростей
𝒋
− 𝒗𝒚 | ≤ 𝜹
Возьмем основное представление
𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + ∑𝑁
𝑗=1 𝛾𝑗 [𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦) − 𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦)] + (1 − 𝑞)𝜓𝐿 (𝑥, 𝑦).
Обозначим
𝑣𝑥𝑗 =
𝜕𝜓𝑗 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑣𝑦𝑗 = −
𝜕𝜓𝑗 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
.
Тогда
𝑣𝑥 =
𝜕𝜓
𝜕𝜓
, 𝑣𝑦 = −
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑣𝑥 = 1 + ∑𝑁
𝑗=1 𝛾𝑗 [𝑣𝑦𝑗 (𝑥, 𝑦) − 𝑣𝑦𝑗 (𝑥, 𝑦)] + (1 − 𝑞)𝑣𝑦𝐿 (𝑥, 𝑦)
(21)
𝑣𝑦 = − ∑𝑁
𝑗=1 𝛾𝑗 [𝑣𝑥𝑗 (𝑥, 𝑦) − 𝑣𝑥𝑗 (𝑥, 𝑦)] + (1 − 𝑞)𝑣𝑥𝐿 (𝑥, 𝑦).
(22)
Чтобы подсчитать скорость, индуцированную j-ым элементом
необходимо
1) Взять точки 𝑃(𝑥, 𝑦) и 𝑃1 (𝑥, 𝑦);
2) Перевести их в локальную систему 𝑃, (𝑥, 𝑦), 𝑃1. (𝑥, 𝑦);
3) Подсчитать с помощью уравнений (10) скорости. Подчитать в
,
этих точках скорости (vx, , 𝒗,𝒚 ), (vx1
, 𝒗,𝒚𝟏 );
4) Перевести эти скорости в глобальную систему координат;
5) Вычислить по формулам (13) - (18) 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ;
Результаты вычислений. Заключение.
Вычисления
Mathematica.
производились
при
помощи
пакета
Wolfram
Рис.9. Вихревой элемент.
Рис.10. Удаленный элемент
Далее приведем результаты ранее выполненных курсовых работ.
На рисунках 11-13 изображен пробоотборник,который обтекается
жидкостью или газом.
Рис.11. Обтекание упрощенной модели пробоотборника(без фильтра)
Рис.12. Обтекание упрощенной модели пробоотборника(с фильтром,
k=1)
Рис.13. Обтекание упрощенной модели пробоотборника(с фильтром,
k=5)
Для
лучшей
интерпретации
модели
пробоотборника
необходимо, чтобы струя была направлена таким образом, чтобы не
проиходило ее разрыва при ударе о кромку модели пробоотборника,
т.е. необходимо, чтобы в точке вхождения струи газа в модели
значение функции тока было равно параметру q. В нашей модели от
этого условия зависит выбор проницаемости пробоотборника, при этом
его конфигурация является произвольной. Для того, чтобы получить
условие выбора проницаемости k, необходимо ввести точку {𝑥0 , 𝑦0 },
которая
будет
лежать
на
касательной
к
первому
элементу
пробоотборника,находящемуся на кромке. Вместе с точкой {𝑥1𝐶𝐵 , 𝑦1𝐶𝐵 }
введенная точка образует новый элемент. Воспользуемся ранее
приведенной формулой посчитаем координаты точки коллокации
𝑥0 +𝑥1𝐶𝐵 𝑦0 +𝑦1𝐶𝐵
𝑄0𝑗 = (
2
,
2
).
𝑞 − 𝜓(𝑄0𝑗 ) = 0
(23)
Последнее уравнение позволит нам вычислить необходимое
начение k. Проиллюстрируем уравнение (23) (Рис. 14), где 0.1 ≤ 𝑘 ≤ 5
Рис. 14.
По графику легко определить,что необходимое нам значение 𝑘 ≈ 1.1
Для сравнения приведем два графика рапределения линий тока.
С произвольно выбранным значением k и с вычисленным нами
значением.
Рис. 15 Обтекание пробоотборника, модель без упрощений k=0.1
Рис. 16 Обтекание пробоотборника,модель без упрощений.k=1.1
Рис 16. Распределение интенсивностей в зависимости от точек
коллокации.
Для получения результата решалась система дифференциальных
уравнений:
𝑥 , (𝑡) = 𝑣𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)),
𝑦 , (𝑡) = 𝑣𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))
Граничные условия
𝑥(0) = −6, 𝑦(0) = ℎ𝛽.
Таким образом, при помощи вышеописанных инструментов
удалось
получить
характеристикам
модель,
реального
удовлетворяющую
всем
пробоотборника,
физическим
позволяющую
моделировать течение жидкости или газа в нем с необходимой для
вычислений точностью.
Библиография
1. C. A. Brebbia, J. C. F. Telles, L. C. Wrobel
“Boundary elements
techniques” Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokya 1984
2. В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников “Численные методы”.
Физматлит,2004г
3. С. Крауч, А. Старфилд “Методы граничных элементов в механике
твердого тела”, Москва “Мир”, 1987
4.K.Petrӓ jӓ rvi, J.Lehtinen, R.Pӧ lӓ nen and H.Toivonen “Design of an air
sampler for a small unmanned aerial vehicle” – Radiation Protection
Dosimetry (2008), Vol.132, No. 3, pp.328-333 Advance Access publication
17 December 2008
5.К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов “КГМЭ для решения плоских задач
гидродинамики и их реализация на параллельных компьютерах”
Министерство
Университет.
образования
Кафедра
РФ.
ЮНЕСКО
Кемеровсий
Государственный
по
информационным
новым
технологиям.Опубликовано в 2001 г.
6. Н. А. Березин “Численное моделирование задач идеальной жидкости
со
свободными
границами
методом
граничных
элементов”
Кемеровский Государственный университет. Опубликовано в 2006г.