Физика. Вып. 6. Молекулярная физика

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
″Оренбургский государственный университет″
Университетская физико-математическая школа
С.Н. Летута, А.А. Чакак
ФИЗИКА
Выпуск 6
Молекулярная физика
Рекомендовано
к изданию Ученым советом федерального
государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования ″Оренбургский государственный университет″
в качестве учебного пособия для поступающих в высшие учебные заведения
Оренбург
2015
УДК 539.19 (075.8)
ББК 22.36я 73
Л 52
Рецензент − доцент, кандидат педагогических наук М.А. Кучеренко
Л 52
Летута, С.Н.
Физика. Выпуск 6. Молекулярная физика: учебное пособие для
поступающих в вуз / С.Н. Летута, А.А. Чакак; Оренбургский государственный университет – Оренбург: ОГУ, 2015. – 231 с.
ISBN
Учебное пособие содержит краткое изложение основных вопросов школьной программы по темам ″Молекулярная физика″, примеры
решения задач для пояснения теоретического материала, методические
указания и задания для учащихся, обучающихся дистанционно и готовящихся к ЕГЭ по физике. В приложении к пособию имеются справочные материалы по физике и математике, которые могут понадобиться
при выполнении практических заданий. Пособие может оказаться полезным для старшеклассников при самостоятельном изучении отдельных разделов курса физики. Может быть использовано на занятиях в
школе и в физических кружках при подготовке к олимпиадам и конкурсам.
УДК 539.19 (075.8)
ББК 22.36я 73
 Летута С.Н.,
Чакак А.А., 2015
 ОГУ, 2015
ISBN
2
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Рекомендации по выполнению заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Основные положения молекулярно-кинетической теории и ее опытное
обоснование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Взаимодействие молекул и агрегатные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4 Размеры и масса молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) . . . . . .
27
5.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.2 Температура и ее измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3 Линейное и объёмное расширение твёрдых тел и жидкостей . . . . . . .
42
6 Газ и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.2 Внутренняя энергия идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.3 Изопроцессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.4 Уравнение Клапейрона. Уравнение Клапейрона–Менделеева . . . . . .
53
6.5 Закон Максвелла распределения молекул по скоростям. Средние
скорости молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.6 Закон Дальтона. Закон Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7 Тепловое равновесие. Законы термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.2 Первый закон термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.3 Теплоёмкость вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
75
7.4 Изменение внутренней энергии при переходе вещества из одного
агрегатного состояния в другое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.5 Теплоёмкость идеальных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
7.6 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в газе . .
91
7.7 Обратимые и необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3
7.8 Тепловые двигатели. Физические основы работы и коэффициент полезного действия тепловых двигателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
7.9 Холодильная машина. Холодильный коэффициент . . . . . . . . . . . . . . .
101
7.10 Второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
7.11 Цикл Карно. Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
8 Реальные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
8.1 Изотермы реального газа. Насыщенные пары. Критическая температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2 Пары в воздухе. Абсолютная и относительная влажность . . . . . . . . . . 110
8.3 Точка росы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4 Гигрометры. Психрометры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9 Поверхностное натяжение жидкостей.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
9.1 Смачивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
9.2 Давление под искривленной поверхностью жидкости. Уравнение
Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.3 Капиллярные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
11 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
12 Тесты для самоконтроля усвоения материала учащимися . . . . . . . . . .
186
13 Контрольные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
14 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
Приложение А. Основные физические константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
Приложение Б. Соотношения между единицами некоторых физических
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
Приложение В Некоторые сведения из математики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Приложение Г Основные формулы по физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Приложение Д Таблицы физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4
Предисловие
Уважаемые учащиеся УФМШ ОГУ!
Вам предстоит выполнить задания по теме «Молекулярная физика», и мы
надеемся, что Вы успешно справитесь с этой нелёгкой задачей. Перед началом
работы Вам следует внимательно изучить изложенные ниже правила и руководствоваться ими при выполнении заданий.
Данный выпуск состоит из задания, посвященного теме «Молекулярная
физика». Задание состоит из 25 задач, имеющих различный уровень сложности,
который указан в скобках после номера задачи.
Пример. Номер 2(3) задания имеет 2-я задача 3-го уровня сложности.
Первый уровень сложности имеют наиболее простые задачи. С усложнением номер уровня повышается, но даже для задач максимального 3-го уровня
сложности решение не требует знаний, выходящих за рамки школьного курса
физики.
При выполнении задания Вы должны самостоятельно выбрать ровно 10
задач, решения которых Вы должны выслать в УФМШ.
При выборе задач для решения мы советуем руководствоваться Вашим
уровнем подготовки и целями, которые Вы ставите перед собой: научиться решать задачи, подготовиться к выпускным экзаменам в школе и к ЕГЭ, к вступительным экзаменам в ВУЗ и т.п. Одним из условий успешного образования является непрерывное, но постепенное овладение новыми знаниями и методами
решения задач. Поэтому не стоит выбирать для решения задачи, которые кажутся Вам либо очень лёгкими, либо очень сложными. По мере углубления
Вашего понимания физики старайтесь увеличивать уровень сложности задач.
Внимание! 1. Оценка Вашей работы не зависит от уровня сложности задач. 2. При знакомстве с теоретическим введением к пособию вывод основных
соотношений можно опустить в случаях, когда использованный математический аппарат не знаком (например, операции с векторами, производные и инте-
5
гралы). В таких случаях Вам рекомендуется сначала изучить материал из Приложений к пособию.
Обязательные требования:
1. Число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть меньше 10. В противном случае нам будет трудно оценить Вашу работу, и в любом
случае оценка будет снижена. Не бойтесь высылать решения, в которых Вы не
уверены. Один из наилучших методов обучения – анализ собственных ошибок.
2. Число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть больше 10. В Вашей работе будут проверены и оценены только 10 задач, которые
в этом случае преподаватель выберет сам.
3. При оформлении решений не забывайте:
- нумеровать задачи и страницы листов с решениями;
- записывать полный ответ;
- условия задач приводить в краткой общепринятой форме;
- подробно пояснять введённые Вами обозначения физических величин в
тексте решения и на рисунках.
Будем благодарны читателям за любые отзывы и замечания.
Желаем успехов!
6
Рекомендации по выполнению заданий
Методы и приёмы решения задач весьма разнообразны, однако при решении задач целесообразно руководствоваться следующими основными правилами:
− разобраться в условии задачи;
− если позволяет характер задачи, обязательно сделать схематический рисунок и/или график(и), поясняющие сущность задачи;
− представить физическое явление или процесс, о котором говорится в
условии. Выяснить: какие теоретические положения связаны с рассматриваемой задачей в целом и с ее отдельными элементами; какие физические законы и
их следствия можно применять для решения; какие физические модели и идеализации использованы в условии, а какие могут быть применены при решении;
− отобрать законы, их следствия, соотношения, с помощью которых можно описать физическую ситуацию задачи. Выявить причинно-следственные
связи между заданными и неизвестными величинами, установить математическую связь между ними;
− на основании отобранных законов и их следствий записать уравнение
(систему уравнений), выражающее условие задачи. Векторные уравнения записать в проекциях на оси координат;
− преобразовать (решить) составленные уравнения так, чтобы искомая величина была выражена через заданные и табличные данные в аналитическом
виде, т.е. получить расчётную формулу в общем виде (в буквенных обозначениях). Проводить промежуточные численные расчёты нецелесообразно. Эти
расчёты, как правило, являются излишними, так как часто окончательное выражение для искомой физической величины имеет простой вид. Следует также
иметь ввиду, что при промежуточных расчётах увеличивается вероятность допустить ошибку;
7
− получив ответ в аналитическом виде, проверить полученное решение с
помощью анализа размерностей. Неверная размерность однозначно указывает
на допущенную при решении ошибку;
− подставить числовые значения в определённой системе единиц (предпочтительнее использовать Международную систему единиц − СИ) и провести
вычисления. Получив численное значение искомой величины, обязательно указывайте ее размерность;
− оценить правдоподобность ответа, продумать, разумным ли получилось
численное значение искомой величины (так, скорость тела не может быть
больше скорости света в вакууме, дальность полёта камня, брошенного человеком, не может быть порядка 1 км и т.д.).
В любом деле самое трудное – начало. Многие неудачи объясняются тем,
что начинают решать наугад, на ″авось″. Следует потратить несколько минут на
тщательный анализ особенностей условия задачи и ее цели. Это поможет выбрать правильное направление поиска решения. Приняв же бездумно шаблонный путь, можно рисковать увеличить объём ненужной работы и шансы появления ошибок.
Хороший рисунок часто помогает в формировании идеи решения. Рисунок должен быть достаточно крупным, чтобы не было риска запутаться в наслоении линий. Нужно избегать частных случаев, например, прямоугольный
или равнобедренный треугольник и т.п., так как они могут направить мысль по
ошибочному пути.
Изучив условие, не следует заострять внимание на искомой величине и
пытаться сразу ее найти. Только план решения позволяет записать условие с
помощью уравнений и свести, таким образом, задачу от физической к математической.
8
1 Общие сведения
Молекулярная физика изучает явления, связанные с молекулярным
строением вещества и хаотическим движением молекул. В физике при описании этих явлений используют два основных, принципиально отличных друг от
друга метода: молекулярно-кинетический (статистический) и термодинамический.
Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свойства
вещества в различных агрегатных состояниях, исходя из молекулярнокинетических представлений, основывающихся на том, что все тела – твёрдые,
жидкие или газообразные − состоят из большого количества весьма малых обособленных частиц (атомов, молекул, ионов), взаимодействующих между собой
и находящихся в непрерывном хаотическом движении. Его интенсивность зависит от температуры вещества. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) рассматривает те свойства тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте
(давление, температура и т.п.), как суммарный результат действия молекул.
При этом она пользуется статистическим методом, интересуясь не отдельным
движением отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые
характеризуют движение огромной совокупности частиц. Отсюда другое ее название – статистическая физика.
В молекулярной физике описывают макроскопические свойства вещества,
находящегося в различных агрегатных состояниях, на основе микроскопической (молекулярной) картины построения. Для этого используют идеализированные модели строения вещества – модель идеального газа, модель идеальной
жидкости (несжимаемой, без вязкости), модель кристаллического твёрдого тела
(без дефектов). Правильность выбранной модели может подтвердить соответствие полученных соотношений между макроскопическими параметрами экспериментальным наблюдениям. В молекулярной физике рассматривают не только
строение веществ, но и его изменение под влиянием внешних условий (давления, температуры, электрических и магнитных полей), явлений переноса (диф9
фузия, теплопроводность, вязкость), фазовое равновесие и процессы фазовых
переходов (кристаллизация, плавление, испарение, конденсация и др.), кристаллическое состояние вещества, поверхностные явления на границах раздела
фаз.
Термодинамика – раздел физики, изучающий наиболее общие тепловые
свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Термодинамический
подход не требует привлечения упрощённых моделей рассматриваемых явлений, поэтому выводы термодинамики имеют универсальный характер. Термодинамика не рассматривает внутреннее строение изучаемых тел и характер
движения отдельных их частиц. Не вводя в рассмотрение молекулы и атомы, не
входя в микроскопическое рассмотрение процессов, термодинамика позволяет
делать целый ряд выводов относительно их протекания. В основе термодинамики лежат несколько фундаментальных законов (называемых началами или
законами термодинамики), установленных на основании обобщения большой
совокупности опытных фактов. В силу этого выводы термодинамики имеют
весьма общий характер.
Зарождение термодинамики связано с именем Г.Галилея, который ввёл понятие температуры и сконструировал первый прибор, реагирующий на изменение температуры окружающей среды.
В термодинамике изучают макроскопические системы, т.е. системы, состоящие из большого числа частиц, причём исследуют наиболее общие свойства таких систем, для описания которых не требуется привлечения микроскопических характеристик системы. Термодинамический подход оказывается тем
точнее, чем больше частиц в системе.
В термодинамике рассматривают так называемые термодинамические величины, характеризующие макроскопическое состояние тел: давление, температуру, энергию, объём. Термодинамика изучает свойства вещества в состоянии теплового равновесия при изменениях температуры, давления и химиче10
ского состава, не опираясь на какие-либо представления об их структуре, а основываясь на первом и втором началах термодинамики, установленных опытным путём. Такой подход оказался возможным потому, что равновесные свойства систем сравнительно мало зависят от конкретных свойств частиц, из которых они состоят. При изучении тех явлений, в которых строение вещества тел
играет определённую роль, термодинамика оказывается беспомощной.
Подходя к рассмотрению изменений состояния вещества с различных точек зрения, молекулярная физика и термодинамика взаимно дополняют друг
друга и составляют неразрывное целое.
Обращаясь к истории развития молекулярно-кинетических представлений, следует отметить, что об атомистическом строении вещества высказывались ещё древние греки. Однако у древних греков эти идеи были не более чем
гениальной догадкой. В XVIII веке атомистика возрождается уже не как догадка, а как научная гипотеза. Особенное развитие эта гипотеза получила в трудах
русского учёного М.В. Ломоносова (1711-1765), который предпринял попытку
дать единую картину всех известных в его время физических и химических явлений. При этом он исходил из корпускулярного (по современной терминологии – молекулярного) представления о строении материи. Восставая против
господствовавшей в его время теории теплорода (гипотетической тепловой
жидкости, определяющей степень его нагретости), Ломоносов «причину тепла»
видит во вращательном движении частиц. Таким образом, Ломоносовым были
по существу сформулированы молекулярно-кинетические представления.
Во второй половине XIX века и в начале ХХ века благодаря трудам ряда
учёных атомистика превратилась в научную теорию.
2 Основные положения молекулярно-кинетической теории и ее
опытное обоснование
Основные положения (постулаты), на которых базируется молекулярнокинетическая теория (МКТ):
11
1) любое вещество состоит из молекул − наименьших устойчивых частиц
данного вещества, обладающих всеми его химическими свойствами. Представление о прерывном, молекулярном строении вещества зародилось еще в глубокой древности. Но долгое время оно было лишь догадкой выдающихся умов,
некоторым гипотетическим представлением. В наше время оно стало стройной
теорией, хорошо проверенной тысячами экспериментов. Множество прямых и
косвенных доказательств реальности молекул позволяют считать молекулярные
представления о строении вещества установленными с достоверностью, которая может конкурировать со степенью достоверности коперниковой системы.
2) все молекулы находятся в непрерывном хаотическом (беспорядочном)
движении, характер которого зависит от агрегатного состояния вещества; хаотичность движения означает равноправность всех направлений движения в пространстве. Способность газа распространяться по всему объёму сосуда, в котором он заключён, показывает, что молекулы газа находятся в постоянном движении. Ряд свойств газа показывает также, что эти движения молекул отличаются полной беспорядочностью, хаотичностью. Это значит, что не существует
какого-либо направления для движения частиц, которое было бы преимущественным по сравнению с другими. Это хаотическое движение молекул носит название теплового движения. Свойство молекул вещества находиться в тепловом
движении не является, конечно, особенностью именно газообразного состояния. Состояние непрерывного движения в равной мере свойственно также молекулам жидкостей и твёрдых тел, в которых, однако, молекулярные движения
имеют несколько иной характер, чем в газах.
3) между молекулами существуют как силы притяжения, так и силы отталкивания, зависящие от расстояния между ними. Это следует хотя бы из того,
что, например, при сколько-нибудь заметном изменении объема твёрдого тела в
нём возникают весьма значительные силы. Ясно, что растяжению тела препятствуют силы притяжения, а сжатию – силы отталкивания между его молекулами. Само существование трёх агрегатных состояний вещества – твёрдого, жидкого и газообразного – указывает на существование межмолекулярных сил. В
12
твёрдом и жидком состоянии силы взаимодействия значительно меньше, так,
что газ заполняет весь предоставленный ему объём, как бы велик он ни был.
Таким образом, любое вещество (тело) состоит из мельчайших частиц –
молекул, которые взаимодействуют друг с другом и находятся в непрерывном
беспорядочном движении (тепловом движении).
В некоторых состояниях вещества (например, в плазме, в некоторых кристаллах) от молекул отрываются отрицательно заряженные частицы – электроны. В этом случае в тепловом движении участвуют как ионы, так и электроны.
Множество прямых и косвенных доказательств реальности молекул позволяют считать молекулярно-кинетические представления о строении вещества абсолютно достоверными. Основные положения МКТ подтверждаются многочисленными опытами с использованием достижений современной экспериментальной техники. С помощью ионного проектора получают изображения
кристаллов, по которым можно представить их строение. Электронные микроскопы позволили получить изображения кристаллов, по которым оказалось
возможным определение расстояний между отдельными атомами и молекулами. Одним из важнейших прямых доказательств справедливости МКТ являются
измерения значений скоростей молекул газов и сравнение этих результатов со
значениями, полученными на основании теории.
Предметом молекулярной физики является изучение тех свойств вещества, которые обусловлены именно тем, что оно является совокупностью огромного числа движущихся молекул.
К числу опытных доказательств основных положений МКТ относятся
броуновское движение, опыт О. Штерна, явления диффузии в газах, жидкостях
и твёрдых телах.
Одним из наиболее убедительных доказательств реальности движения
молекул служит явление так называемого броуновского движения, открытого в
1827 году английским ботаником Робертом Броуном при изучении поведения
взвешенных в воде частиц цветочной пыльцы. Он обнаружил при рассмотрении
под микроскопом с большим увеличением, что наблюдаемые частицы размером
13
примерно в 1 мкм совершали неупорядоченные движения, описывая сложные
зигзагообразные траектории. Дальнейшие опыты показали, что эти движения не
связаны с биологическим происхождением частиц или с какими-либо движениями жидкости. Подобные движения совершают любые малые частицы, взвешенные в жидкости или газе. Такого рода беспорядочные движения совершают,
например, частицы дыма в неподвижном воздухе. Наиболее подробно броуновское движение было изучено французским учёным Ж. Перреном, который, выполнив ряд экспериментов, установил основные закономерности броуновского
движения: его интенсивность не зависит от времени, но возрастает с ростом
температуры среды, уменьшением ее вязкости и размеров частиц.
Объяснить броуновское движение и его закономерности смогла лишь молекулярно-кинетическая теория. Движения взвешенных частиц возникают
вследствие ударов, испытываемых ими со стороны движущихся молекул жидкости или газа, в которых они находятся. Движение броуновских частиц возникает в результате преобладания числа ударов одного направления над числом
ударов в противоположном направлении. Молекулы движутся беспорядочно,
хаотично, поэтому результирующие силы, с которыми они действуют на взвешенные частицы, непрерывно изменяются по модулю и направлению. Это и
приводит к беспорядочности движения броуновских частиц.
Количественная теория броуновского движения была впервые дана немецким физиком А. Эйнштейном и, независимо, М. Смолуховским в 1906 г.
Она полностью объяснила все закономерности этого явления. Существование
броуновского движения убедительно подтверждает движение молекул.
В опыте Штерна (1920 г.) определялась средняя скорость движения атомов. Две коаксиальные цилиндрические поверхности 1 и 2 (см. рисунок 1) могут вращаться вокруг вертикальной оси 001 . Поверхность 1 сплошная, а поверхность 2 имеет узкую щель 4, параллельную оси 001 . Этой осью являлась
покрытая серебром платиновая проволока 3, через которую пропускали электрический ток. Вся система находилась в вакуумной камере.
14
3
1
0
B
2
1
А
4
2
R
ϕ
S
r
C
01
C
Рисунок 1
При нагреве проволоки атомы серебра испаряются с ее поверхности и через щель 4 долетают до внутренней поверхности цилиндра 1. Если цилиндры
неподвижны, атомы серебра откладываются в точке В. При вращении цилиндров с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси 001 , за время t, в течение которого атомы летят от щели до поверхности цилиндра 1 (то есть проходят расстояние АВ = R − r), цилиндры поворачиваются на угол ϕ, и атомы осаждаются
в точке C (BC = S). Тогда скорость атомов vН равна:
vН =
R−r
,
t
где t с другой стороны равно времени поворота на угол ϕ, то есть t =
S
.
ωR
Итак,
vН =
R−r
ωR ωR (R − r )
= (R − r)
=
.
t
S
S
Подставив в полученное уравнение известные значения R, r, ω и измеренное из опыта значение S, было установлено, что скорость атомов серебра vН =
650 м/с (при данной температуре накала проволоки).
15
Измерение скорости атомов серебра в опыте Штерна осложнялась тем,
что вследствие распределения по скоростям атомы имели различные скорости,
и в результате смещённый слой в точке С был размытым (см. рисунок 1). Исследуя разрез следа можно судить о распределении атомов по скоростям. Точка
С в опыте Штерна определялась как точка, в которой толщина осаждённого
слоя наибольшая, и поэтому рассчитанная скорость vН равна наиболее вероятной скорости атомов серебра. Можно показать, что с максимальной плотностью
на внешний цилиндр (в точке С) попадают атомы (молекулы), скорость которых в 1,5 раза больше средней квадратической скорости v : vН = 1,5 v . Наиболее вероятную скорость vН имеет наибольшая доля атомов серебра, испаряющихся с поверхности проволоки.
Распространения запахов, смешивание разнородных жидкостей, процесс
растворения твёрдых тел в жидкостях, сварка металлов, как путём расплавления, так и путём давления, объясняется явлением диффузии, которое подтверждает правильность основных положений МКТ. Диффузией называют процесс
самопроизвольного взаимного проникновения молекул граничащих между собой веществ в межмолекулярные промежутки друг друга. (Диффузию, происходящую через полупроницаемые перегородки, называют осмосом). В результате диффузии происходит самопроизвольное выравнивание концентраций в
смеси различных веществ. Примером диффузии в газах является распространение запахов. В жидкостях наглядным проявлением диффузии является перемешивание против действия силы тяжести жидкостей разной плотности (при этом
молекулы более тяжелой жидкости поднимаются вверх, а более лёгкой – опускаются вниз). Диффузия происходит и в твёрдых телах. Был проведён такой
опыт: две отполированные плоские пластинки из золота и свинца, положенные
друг на друга, выдерживались при комнатной температуре в течение 5 лет. За
это время пластинки срослись, образовав единое целое, причём молекулы золота проникли в свинец, а молекулы свинца в золото на глубину до 1 см. Получился слой из однородного сплава золота со свинцом, хотя, конечно, ни о каком
плавлении этих металлов при 20 0С не могло быть и речи.
16
В результате диффузии плотность газа во всём объёме выравнивается.
Процесс диффузии ускоряется с повышением температуры, что может быть
объяснено тем, что при этом увеличивается скорость беспорядочного движения
молекул.
Явление диффузии играет большую роль в природе: оно способствует
поддержанию однородности состава атмосферного воздуха вблизи Земли.
Диффузия растворов различных солей в почве способствует нормальному питанию растений.
3 Взаимодействие молекул и агрегатные состояния
Теперь попробуем понять, как из одних и тех же молекул образуются
столь отличные по своим физическим свойствам вещества: газы, жидкости и
твёрдые тела. Мы знаем, что при обычных условиях в любом веществе происходит тепловое движение молекул. Это движение носит хаотический характер,
т.е. нет никакого преимущественного направления движения молекул. Интенсивность теплового движения, т.е. быстрота хаотического перемещения молекул, связана со степенью нагретости тела: чем теплее тело, тем интенсивнее
движение микрочастиц. Но если это так, почему в твёрдых и жидких телах молекулы не разлетаются во все стороны? Причиной этому является взаимодействие молекул друг с другом. Это взаимодействие характеризуется силами межмолекулярного взаимодействия. Теория этих сил весьма сложна, и мы не будем
ее излагать. Заметим лишь, что межмолекулярные силы возникают в результате
взаимодействия электронных оболочек молекул. Таким образом, межмолекулярное взаимодействие имеет электрическую природу, хотя молекула в целом
электрически нейтральна, так как суммы положительных и отрицательных зарядов в ней равны друг другу. При такой компенсации электрических зарядов
электрическое поле за пределами молекулы быстро убывает с расстоянием.
Взаимодействие молекул. Между молекулами одновременно действуют и
силы притяжения и силы отталкивания, их действие проявляется лишь на не17
скольких межатомных расстояниях. Силы молекулярного взаимодействия зависят от формы и структуры молекул. Поэтому нет единого закона для их расчёта.
Для понимания того, что происходит в газах, жидкостях или твёрдых телах, нам
достаточно качественного представления о зависимости силы взаимодействия
от расстояния между молекулами. Однако если предположить, что молекулы
имеют форму шара, то общий характер зависимости этих сил от расстояния
между молекулами будет следующим: на расстояниях, меньших размера молекулы, силы отталкивания преобладают над силами притяжения; на расстояниях,
больших размера молекулы, силы притяжения преобладают над силами отталкивания.
Попробуем сблизить две молекулы. Мысленно
F
Fотталк
поместим одну из них в начале координат и зафиксируем ее там. Ось координат направим в сторону
второй молекулы, которая перемещается из беско-
0
d
r
Fпр
нечности к началу координат (рисунок 2). Значение
координаты r равно расстоянию между их центра-
r0
Рисунок 2
ми. Между этими молекулами действуют силы притяжения Fпр(r) и силы отталкивания Fотталк(r), так что сила, действующая на движущуюся молекулу со стороны неподвижной, равна их сумме F(r) = Fпр(r) + Fотталк(r). В проекции на ось
координат F(r) = − Fпр(r) + Fотталк(r) (см. рисунок 3а), так как сила отталкивания
считается положительной, а сила притяжения отрицательной.
Установлено, что силы отталкивания обратно пропорциональны расстоянию между ними:
Fотталк =
a
,
rn
где a и n − положительные постоянные, причём n ≈ 14 – 12,
а силы притяжения
18
Fпр =
b
,
rm
где b и m − положительные постоянные, причём m ≈ 7 – 5.
Поэтому на малых расстояниях силы отталкивания возрастают быстрее
сил притяжения. На больших расстояниях между молекулами преобладает сила
притяжения.
С уменьшением r сила отталкивания резко возрастает, и при некотором
расстоянии r0 между их центрами она становится равной по модулю силе притяжения. При дальнейшем сближении молекул сила отталкивания превосходит
силу притяжения и при некотором r = d она становится бесконечно большой.
Это означает, что две молекулы не могут приблизиться друг к другу на расстояние меньше d (рисунок 2).
При r = r0 результирующая сила межмолекулярного взаимодействия F
равна нулю (рисунок 3а); r0 − равновесное расстояние между молекулами в отсутствие теплового движения. Именно на таком расстоянии друг от друга расположены молекулы в твёрдых телах и в жидкостях. Для газа характерные расстояния превосходят r0. В твёрдых телах колебательное движение молекул происходит около равновесного положения r0. При увеличении расстояния r > r0
силы притяжения восстанавливают равновесное положение, а при уменьшении
расстояния r < r0 равновесие восстанавливается силами отталкивания. Следовательно, r0 − это такое равновесное расстояние между молекулами, на котором
они находились бы, если бы тепловое движение молекул не нарушало этого
равновесия.
Описанный характер зависимости сил взаимодействия молекул от их расстояния друг от друга объясняет появление силы упругости при деформации
тел. Если под действием внешних сил тело сжимается, расстояние между молекулами r становится меньше r0, и появляется сила, препятствующая взаимному
сближению молекул. Если же под действием внешних сил тело растягивается,
то расстояние r становится больше r0, и появляется сила, препятствующая вза19
имному удалению молекул. Вблизи точки r0 на графике участок кривой является почти прямолинейным, так как при небольшом смещении молекул из положения равновесия силы притяжения и отталкивания между ними возрастают
линейно с увеличением смещения. Именно по этой причине при малых деформациях тела, то есть в пределах его упругости, выполняется закон Гука.
F
б)
U(r)
а)
r
d
U
r0
0
0
r
r0
r
r
Рисунок 3
Изучая поведение большой совокупности молекул, удобно пользоваться
не силой взаимодействия молекул, а потенциальной энергией U(r). На рисунке
3б приведён график зависимости потенциальной энергии U взаимодействия
двух молекул от расстояния между ними. Из рисунков 3а и 3б видно, что на некотором расстоянии r0 (оно различно для молекул разных веществ) силы притяжения равны силам отталкивания, а потенциальная энергия U принимает минимальное значение.
Представим себе, что две молекулы с равными скоростями из бесконечности движутся навстречу друг другу. Как видно из рисунка 3б, на бесконечности потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, и полная
энергия молекул равна сумме их кинетических энергий. При r > r0: Fотталк < Fпр;
∆U
> 0. При r = r0 сила отталкивания Fотталк равна силе притяжения Fпр, т.е.
∆r
суммарная сила взаимодействия молекул равна нулю, а потенциальная энергия
минимальна, и
∆U
∆U
= 0. При r < r0: Fотталк > Fпр;
< 0.
∆r
∆r
20
Приближаясь друг к другу, молекулы под действием сил притяжения
движутся с всё возрастающей скоростью. В результате их полная кинетическая
энергия Wк также растёт. Однако полная энергия системы Wполн = Wк + U остаётся неизменной (система двух молекул замкнутая).
Когда расстояние между молекулами становится меньше r0, силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекулы быстро теряют скорость (в области отталкивания кривая U(r) идёт очень круто). В момент, когда потенциальная энергия U становится равной полной энергии системы Wполн, скорость молекул обращается в ноль. В этот момент достигается наибольшее сближение молекул при расстоянии r = d, где d – диаметр молекул (см.
рисунок 3б). При этом вся кинетическая энергия молекул Wк полностью израсходована на совершение работы против сил отталкивания. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.
Таким образом, эффективный диаметр d, равный минимальному расстоянию между центрами молекул, зависит от их энергии, а, следовательно, и от
температуры. С повышением температуры эффективный диаметр d молекул
уменьшается. Эффективный диаметр d молекулы определяет линейные размеры той области, в которую другая молекула проникнуть не может. Это позволило рассматривать молекулы как два упругих шарика диаметром d.
Взаимодействие молекул рассматривается по законам абсолютно упругого удара. При хаотическом тепловом движении молекул средняя кинетическая
энергия имеет порядок kT, где k = 1,38⋅10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, а
Т – абсолютная температура. Агрегатное состояние вещества существенно зависит от соотношения Umin и kT.
При низких температурах, когда кинетическая энергия молекул мала
(kT << |Umin |), молекулы притянутся друг к другу вплотную и установятся в определённом порядке – вещество находится в твёрдом агрегатном состоянии.
При высоких температурах, т.е. при большой кинетической энергии молекул (kT >> |Umin |), интенсивное тепловое движение молекул мешает им со21
единиться в агрегаты из нескольких частиц, оставляя их на некотором расстоянии r > r0 друг от друга. Вещество при этом находится в газообразном состоянии.
Если взять промежуточные значения температур (kT ≈ |Umin |), то оказывается, что молекулы непрерывно перемещаются в пространстве, обмениваясь
местами. Однако они не будут увеличивать взаимного расстояния на величину,
заметно превышающую d. Вещество при этом находится в жидком агрегатном
состоянии.
Следовательно, в зависимости от характера теплового движения молекул,
т.е., в зависимости от температуры, любое вещество может находиться в твёрдом, жидком и газообразном состоянии. Данное агрегатное состояние вещества
зависит от соотношения между потенциальной энергией связи молекул и кинетической энергией их теплового движения, а энергия связи между молекулами
проявляет себя лишь на расстояниях порядка межатомных (то есть ∼ 10-9 м).
Среднее расстояние между молекулами газа в десятки раз превышает
размеры его молекул, поэтому потенциальная энергия взаимодействия молекул
мала в сравнении с кинетической энергией молекул. По этой причине свойства
газов не зависят от характера сил взаимодействия между молекулами, то есть
все газы ведут себя одинаково при изменениях температуры, давления и объёма. В газах из-за больших расстояний между молекулами силы межмолекулярного взаимодействия практически равны нулю, и их движение происходит по
инерции. Молекула газа движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока
не столкнётся с другой молекулой или стенкой сосуда, а, изменив направление
и величину скорости, снова будет двигаться равномерно и прямолинейно до
очередного столкновения. Многоатомные молекулы газа при столкновении
приобретают ещё и вращательное движение. Таким образом, тепловое движение молекул газов является поступательным и вращательным.
В твёрдых телах силы взаимодействия настолько велики, что расположение молекул (в узлах кристаллической решётки) не изменяется. Тепловое движение молекул в твёрдых телах в основном является колебательным вокруг по22
ложений устойчивого равновесия, в которых силы притяжения и отталкивания
со стороны соседних молекул уравновешены, хотя возможны переходы молекул из одного положения в другое, что подтверждается диффузией.
В жидкостях потенциальная энергия взаимодействия и кинетическая
энергия сравнимы. Этим объясняется текучесть жидкости. В жидкости каждая
молекула в течение некоторого времени колеблется около определённого положения равновесия, после чего скачком переходит в новое положение, отстоящее от исходного на расстоянии порядка межатомного. Эти перескоки молекул являются причиной текучести жидкости, ее способности принимать форму сосуда, в который она помещается. Таким образом, тепловое движение в
жидкости в основном является колебательным и поступательным.
Главными особенностями жидкости являются, способность ее сохранять
объём и существование у жидкости свободной поверхности.
4 Размеры и масса молекул
Существует много методов определения размеров и масс молекул. С их
помощью установлено, что большинство молекул (неорганических соединений)
имеют диаметр порядка 10-10 м, массу порядка 10-27 кг. Так как массы молекул
очень малы, удобно использовать в расчётах не абсолютные значения масс, а
относительные. По международному соглашению массы всех атомов и молекул
сравнивают с 1/12 массы атома углерода, с так называемой атомной единицей
массы.
Атомная единица массы (а.е.м) m0 равна одной двенадцатой части массы
атома изотопа 12C. Масса атома углерода m(12C) = 1,995⋅10-26 кг. Следовательно,
а.е.м. равна
( )
1
m 12 C
=
⋅1,995⋅10-26 = 1,6606⋅10-27 кг.
m0 =
12
12
23
Относительной атомной (молярной) массой называют отношение массы
m атома (молекулы) к а.е.м.:
µ=
m
m
= 12 12 .
m0
m C
( )
Относительная атомная масса всех химических элементов точно измерена
и приведена в таблице Менделеева. Складывая относительные атомные массы
элементов, входящих в состав молекулы вещества, можно вычислить относительную молярную массу вещества.
В международной системе единиц (СИ) количество вещества выражается
в молях. Единица количества вещества – моль, численно равна относительной
атомной (или молекулярной) массе, выраженной в граммах. В частности, для
углекислого газа СО2 (µ(С) = 12, µ(О2) = 32), моль равен 44 г/моль. Эта единица
количества вещества примечательна тем, что моль любого вещества содержит
одно и то же число молекул. В самом деле, если обозначить относительные
массы двух каких-либо веществ через µ1 и µ2, а массы молекул этих веществ –
через m1 и m2, то можно написать такие очевидные равенства:
µ1 = m1N1
и
µ2 = m2N2,
где N1 и N2 − числа частиц в моле этих веществ.
Так как из самого определения относительной массы вытекает, что
µ1
m
= 1,
µ2
m2
то, разделив приведенные выше равенства одно на другое, получаем, что N1 =
N2, то есть, что моль любого вещества содержит одинаковое число молекул.
24
Число частиц в одном моле любого вещества (m = µ г/моль), равное NA =
µ1
µ(12 С)
0,012кг / моль
=
=
= 6,0220943⋅1023 моль-1 одинаково для всех ве12
− 26
m1
m( С)
1,995 ⋅ 10 кг
ществ. Это число NA − называют числом (постоянной) Авогадро. Теперь, можно определить моль как единицу особой величины – количества вещества:
1 моль – это количество вещества, содержащее число молекул или других частиц (например, атомов, если вещество состоит из атомов), равное числу Авогадро NA, то есть столько структурных элементов вещества, сколько атомов содержится в 0,012 кг 12C (нуклида углерода с атомной массой 12).
Зная NA, можно оценить среднее расстояние между атомами (молекулами). Имеем m г вещества плотностью ρ. Тогда, m = Nma = NρV, где N − количество атомов (молекул), V − объём одного атома (молекулы). Если m = µ г/моль,
то N = NA. В этом случае V =
µ
.
ρN A
Мы не знаем какова форма молекулы. Ее для каждого вещества определяют путём сложных расчётов, в которых используются экспериментальные
данные, полученные с помощью электронных и ионных микроскопов. Для наших целей допустимо упрощение, согласно которому молекула может быть
представлена в виде кубика со стороной L, либо в виде шарика радиусом r. Тогда объём «кубической» молекулы V = L3 или V =
4 3
πr – для молекулы в виде
3
шарика. Следовательно, на каждый атом приходится кубик стороной:
1/ 3
1/3
L=V
 µ 

= 
ρ
⋅
N

A 
.
Или
 3 µ
r = 
 4π ρ ⋅ N A



1/ 3
25
 3
µ
=  ⋅
 4π ρ ⋅ N A
1/ 3

 ⋅L.

Оценим L для атома золота: µ = 196,37 г/моль, ρ = 19,32 г/см3, получаем
L ≈ 2,6⋅10-10 м. Таким образом, размеры атомов порядка 10-10 м, так как в твёрдых телах (в жидких тоже) расстояние между соседними атомами (молекулами)
мало отличается от их размеров.
Оценку размера и массы молекулы можно произвести из такого опыта.
Если капнуть раствор олеиновой кислоты (химическая формула С17Н33СООН)
на поверхность воды, то она растекается тонким слоем по поверхности. Если
взять 0,5%-ный раствор объёмом Vp = 2 мм3, то она образует на поверхности
воды пятно диаметром D = 20 см. Объём кислоты V = 0,5%⋅Vp =0,005⋅2⋅10-9 м3 =
10-11 м3. Площадь пятна S =
1 2 1
πD = 3,14⋅(0,2 м)2 = 3,14⋅10-2 м2. Найдём диа4
4
метр молекулы d, полагая его равным толщине слоя:
V
10 −11 м 3
=
d=
= 3⋅10-10 м.
−2 2
S
3,14 ⋅ 10 м
Объём одной молекулы:
V0 = d3 = 2,7⋅10-29 м3.
Масса одной молекулы:
m = ρV0 = 895
кг
⋅2,7⋅10-29 м3 = 2,4⋅10-26 кг.
3
м
26
5 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)
5.1 Общие сведения
Из трёх агрегатных состояний, в которых может находиться всякое вещество, наиболее простым является газообразное, так как в этом случае силы, действующие между молекулами, очень малы, и ими при определённых условиях
можно пренебречь. Поэтому изучение молекулярной физики начнём с рассмотрения свойств газов. Сначала будем считать, что межмолекулярные силы в них
полностью отсутствуют. А также будем пренебрегать размерами молекул, т.е.
будем считать их материальными точками. При таких допущениях молекулы
газа должны считаться совершенно свободными. С точки зрения молекулярнокинетической теории каждая молекула газа движется равномерно и прямолинейно между двумя упругими столкновениями с другими молекулами газа или
стенками сосуда (расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют длиной свободного пробега). Давление,
производимое газом на стенки сосуда, объясняется ударами движущихся молекул. При ударе о стенки молекулы газа отдают ей определённый импульс; стенка при этом испытывает действие некоторой силы. Но молекул газа очень много, удары о стенки сосуда происходят беспрерывно, поэтому в результате получается значительное давление. Все направления движения молекул равноправны, поэтому давление газа на стенки сосуда одинаково во всех точках.
При изучении реальных газов эти произвольные допущения снимают, но
при определённых условиях такая идеализация, тем не менее, позволяет описывать поведение реальных газов. Итак, идеальный газ – идеализированная модель реального газа, если:
а) молекулы очень слабо взаимодействуют друг с другом и ведут себя как
абсолютно упругие тела; следовательно, потенциальной энергией молекул идеального газа можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией;
27
б) молекулы занимают пренебрежимо малый объём по сравнению с объёмом, занимаемым газом;
в) тепловое равновесие по всему объёму достигается мгновенно.
Все газы при не слишком высоких давлениях и при не слишком низких
температурах близки по своим свойствам к идеальному газу, и их поведение
можно описывать уравнениями, выведенными для идеального газа. Некоторые
газы даже при комнатной температуре и атмосферном давлении слабо отличаются от идеальных газов.
Все газы из-за малости межмолекулярных взаимодействий способны неограниченно расширяться и занимать весь предоставленный им объём, причём
для смеси газов это справедливо по отношению к каждой компоненте смеси.
Основными макроскопическими параметрами идеального газа являются:
давление, объём и температура.
Одним из первых и важных успехов МКТ было качественное и количественное объяснение давления газа на стенки сосуда. Количественное объяснение
заключается в том, что молекулы газа при столкновениях со стенками взаимодействуют с ними по законам механики как упругие тела и передают свои импульсы стенкам сосуда.
Выведем теперь основное уравнение МКТ.
Рассмотрим газ, находящийся в со-
y
стоянии теплового равновесия в каком-
vx∆t
∆S
то сосуде. Состояние равновесия означает, что число молекул, движущихся в каком-то произвольном направлении, в
0
x
среднем равно числу молекул, скорости
которых направлены в противополож-
z
Рисунок 4
ную сторону. Предположим, что соударения молекул со стенками абсолютно упругие, и что у всех молекул газа одинаковые проекции скорости vx в каком-то заданном направлении 0х.
28
Выделим на стенке сосуда элементарную площадку ∆S, расположенную
перпендикулярно выделенному направлению 0х (см. рисунок 4), и вычислим
давление, оказываемое газом на эту стенку за счёт соударений молекул со стенками сосуда. При соударении каждой молекулы со стенкой она передаёт стенке
импульс
F1∆t = m1vx − (− m1vx) = 2m1vx,
где m1 − масса молекулы;
vx − составляющая скорости молекулы, перпендикулярная к стенке;
F1∆t − импульс силы.
За время ∆t площадки ∆S достигнут все молекулы, заключённые в объёме
цилиндра с основанием ∆S и высотой vx∆t. Число молекул в этом объёме N =
n⋅∆S⋅vx∆t, где n − концентрация молекул (n =
N
− число молекул в единице
V
объёма). В силу хаотичности движения молекул только половина из этого числа
1
1
N = n⋅∆S⋅vx∆t движется в сторону положительной полуоси 0х (по направле2
2
нию к площадке ∆S), друга половина – в противоположную сторону. Учитывая,
что каждая молекула передаёт стенке импульс F1∆t = 2m1vx, можно определить
импульс, полученный площадкой ∆S стенки за время ∆t:
F∆t =
1
1
N⋅ F1∆t = n⋅∆S⋅vx∆t⋅2m1vx = nm1vx2⋅∆S∆t.
2
2
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку, будет равно:
P=
F
= nm1vx2.
∆S
29
До сих пор предполагали, что у всех молекул газа одинаковые проекции
скорости vx. В действительности, и скорости молекул v, и их проекции vx на ось
0х у разных молекул, различны. Учтём различие скоростей, заменив величину
vx2, входящую в последнюю формулу, ее средним (среднеквадратическим) значением v 2x , так что формула для давления газа примет вид:
P = nm1 v 2x .
Хаотичность молекулярных движений приводит к равноправности всех
трёх осей координат, т.е. к равенству составляющих скорости:
v 2x = v 2y = v 2z .
Тогда
v 2 = v 2x + v 2y + v 2z = 3 v 2x , и
v 2x =
1 2
v .
3
В этом случае давление газа окажется равным:
P=
1
nm1 v 2 .
3
Умножив и разделив правую часть этого равенства на двойку, получаем:
2 m1 v 2
P= n
.
3
2
Приведённые рассуждения справедливы для любой стенки сосуда и для
m1 v 2
любой площадки, находящейся в газе. Величина
− представляет собой
2
30
среднюю кинетическую энергию одной молекулы, а n
m1 v 2
− среднюю кине2
тическую энергию молекул, содержащихся в единице объёма газа.
2 m1 v 2
Уравнение P = n
называют основным уравнением молекулярно3
2
кинетической теории идеальных газов, согласно которому давление газа равно
двум третям средней кинетической энергии молекул, содержащихся в единице
объёма газа. Это уравнение устанавливает связь между молекулярными величинами (m1, v 2 ) и величиной давления (Р), характеризующей газ как целое, −
величиной макроскопической, непосредственно измеряемой на опыте. Из того,
что давление газа определяется средней кинетической энергией молекул, следует, что молекулярно-кинетическая теория рассматривает давление газа как
результат действия на стенки сосуда большого числа молекул. Поэтому нет
смысла говорить о давлении, создаваемом одной или несколькими молекулами.
Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории давление является результатом многочисленных ударов молекул газа о стенки сосуда, усреднённых по времени и площади поверхности сосуда. При нормальных
условиях и макроскопических размерах сосуда число ударов об 1 см2 поверхности ∼1024 в секунду, заметных флуктуаций даже за время ∼10-13 с не возникает.
Если выразить плотность ρ газа через концентрацию n молекул и массу
m1 молекулы
ρ = nm1,
то можно получить ещё одну полезную для вычисления давления газа формулу:
1
2 m1 v 2
= ρ v2 .
P= n
3
2
3
31
Единицы давления. В системе единиц СИ за единицу давления принимается давление, при котором на 1 м2 поверхности нормально к ней действует сила в 1 ньютон. Такая единица называется паскаль (сокращенно Па):
1 Па = 1 Н/м2.
Далее приведём некоторые внесистемные единицы измерения давления.
Ввиду малости единицы измерения 1 Па пользуются единицей в 105 раз
большей, которой присвоено название бар:
1 бар = 105 Па.
В технике широко применяется единица давления, называемая технической атмосферой (сокращенно ат), равная 1 кгс/см2. Эта единица лишь на 2 %
отличается от бара:
1 ат = 1 кгс/см2 = 98 066,5 Па ≈ 0,98 бар.
Иногда используется единица – физическая атмосфера (сокращенно атм),
равная давлению столба ртути высотой 760 мм. Считая плотность ртути равной
13 595,1 кг/м3 и ускорение свободного падения равным 9,80665 м/с2, получаем:
1 атм = 101 325 Па ≈ 1,01 бар.
В области низких давлений применяется единица давления тор (миллиметр
ртутного столба):
1 тор =
1
атм = 133,322 Па.
760
32
5.2 Температура и ее измерение
Однако, измерив только давление газа, невозможно узнать ни среднее
значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их концентрацию.
Следовательно, для нахождения микроскопических параметров газа необходимо знать какую-то ещё физическую величину, связанную со средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в физике является температура.
Температура является одной из характеристик макроскопических свойств
системы. Рассмотрим два тела, которые могут взаимодействовать и обмениваться энергией. При фиксированном объёме тел взаимодействие происходит
без совершения работы. Такое тепловое взаимодействие приводит к тому, что
происходит передача энергии от быстрых молекул к медленным. Это означает,
что средняя энергия движения молекул в одном теле уменьшается, в другом
увеличивается. Тело, которое теряет энергию, называют более нагретым, а тело,
к которому энергия переходит, − более холодным. Такой переход энергии продолжается до наступления состояния теплового равновесия. В состоянии теплового равновесия степени нагретости тел одинаковы. Степень нагретости характеризуют температурой.
Для количественного определения температуры нужно выбрать величину,
которая была бы одинакова у тел, находящихся в тепловом равновесии, например, среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Обозначив определённую таким образом, температуру буквой ϑ, можно
2 m1 v 2
написать ϑ =
3 2
(множитель
2
введен для удобства записи формул,
3
встречающихся ниже; m1 − масса одной молекулы). При использовании такой
единицы температуры ϑ, привычные температуры выражались бы ничтожно
малыми числами. Так, температура таяния льда равнялась бы 5,65⋅10-21 Дж.
Приведённую в выражении для температуры ϑ скорость обозначают v =
vср.кв. =
v 2 и называют средней квадратической скоростью. Средняя квадрати33
ческая скорость v равна квадратному корню из отношения суммы квадратов
скоростей молекул единицы объёма к числу молекул в этом объёме:
n
∑ vi
v=
2
i =1
n
.
В литературе среднюю квадратическую скорость часто называют средней
скоростью. Введение понятия средней скорости связано с тем, что скорости молекул газа имеют большой интервал значений при любой температуре: от значений близких к нулю, до очень больших значений. Состояние газа – системы,
состоящей из очень большого числа молекул, можно вполне описать, используя
среднюю квадратическую скорость, не интересуясь распределением скоростей
между отдельными молекулами.
Так как понятием температуры пользовались задолго до развития молекулярно-кинетических представлений, разъяснивших истинный смысл температуры, ее измеряют в градусах. Далее поговорим об используемых на практике
температурных шкалах.
Современная термометрия основана на шкале идеального газа, устанавливаемой с помощь газового термометра. Газовый термометр постоянного объёма
– это закрытый сосуд, заполненный идеальным газом и снабжённый манометром для измерения давления газа. Зависимость давления от температуры принимается! линейной. Такое допущение приводит к тому, что отношение давлений при температурах кипения воды (Рк) и таяния льда (Р0) равно отношению
этих температур:
Рк
Т
= к.
Р0
Т0
Измерения дают
Рк
Т
= 1,3661, значит, и к = 1,3661.
Р0
Т0
34
Единица измерения температуры – 1 градус, выбирается делением разности Тк − Т0 на 100 частей: Тк − Т0 = 100.
Из последних двух равенств следует, что Т0 = 273,15 градусов и Тк =
373,15 градусов. Для измерения температуры какого-нибудь тела, его нужно
привести в контакт с газовым термометром и, дождавшись равновесия, измерить давление Р газа в термометре. Тогда температура Т тела определяется по
формуле:
Т=
273,15
Р.
Р0
Температура, равная нулю по этой шкале, − это температура, при которой
давление идеального газа было бы равно нулю. Если при нуле температурной
шкалы термометрическая величина (в данном случае, давление) обращается в
нуль, то такая шкала называется абсолютной шкалой температур, а температура, отсчитанная по такой шкале, называется абсолютной температурой. Часто
эту шкалу называют шкалой Кельвина, а единицу температуры в этой шкале –
градусом Кельвина или просто Кельвином (К). Температуру Т по шкале Кельвина называют и термодинамической температурой.
От введённой выше единицы температуры ϑ можно перейти к температуре Т, вводя соответствующий коэффициент k, переводящий единицы энергии в
2 m1 v 2
, отсюда
градусы: ϑ = kT, ранее было ϑ =
3 2
m1 v 2
3
= kT,
2
2
− это уравнение называют основным уравнением кинетической теории. Множитель k называют постоянной Больцмана, k = 1,380662⋅10-23 Дж/К (значение
постоянной Больцмана k можно определить, в частности, из основного уравне-
35
ния кинетической теории, используя, например, полученное из опыта Штерна
значение среднеквадратической скорости v = vср.кв. =
v2 .
m1 v 2
3
= kT следует, что отрицательных темпеИз последней формулы
2
2
ратур по шкале Кельвина быть не может, так как кинетическая энергия сугубо
положительная величина. Из этой формулы следует, что при Т = 0 К среднеквадратическая кинетическая энергия поступательного движения одной молеm1 v 2
кулы идеального газа
= 0, то есть при Т = 0 К прекращается поступа2
тельное движение молекул газа, таким образом термодинамическая температура Т является мерой средней кинетической энергии поступательного движения
m1 v 2
=
молекул идеального газа и основное уравнение кинетической теории
2
3
kT раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры. Так как
2
температура определяется средней энергией движения молекул, то нельзя говорить о «температуре» одной или нескольких молекул. Не имеет смысла, например, говорить о температуре газа в космическом пространстве, где число молекул в единице объёма (концентрация молекул) настолько мало, что они не образуют газ в обычном смысле слова и нельзя говорить в этом случае о средней
энергии движения молекул.
Вычисление скоростей молекул газа из основного уравнения кинетической теории приводит к весьма большим значениям для скорости молекул. При
комнатной температуре она оказывается равной (и это подтверждается опытом)
500 м/с для молекул воздуха и 1 800 м/с для молекул водорода.
В технике и быту часто используется температурная шкала Цельсия. В
температурной шкале Цельсия ноль градусов совпадал с точкой кипения воды,
а сто – с температурой ее замерзания. Штрёмер предложил повернуть шкалу
наоборот – и этой шкалой Цельсия, в которой температуре плавления льда приписывают ноль (t0 = 0), температуре кипения воды при атмосферном давлении
36
сто (tк = 100), мы пользуемся в настоящее время. Итак, температура t по шкале
Цельсия связана с абсолютной температурой T соотношением:
t = T − 273,15 и T = t + 273,15.
В литературе иногда приходится встречать еще две температурные шкалы
– Фаренгейта (T0 0F = 32, Tк 0F = 212, Tк 0F − T0 0F = 180) и Реомюра (T0 0R = 0,
Tк 0R = 80, Tк 0R − T0 0R = 80), где индексы «0» соответствуют температуре
плавления льда, «к» − кипения воды. Соотношения между приведёнными температурными шкалами представлены на рисунке 5.
С физической точки зрения естественной шкалой температур является
шкала Кельвина или абсолютная шкала температур. Но некоторые страны, например, США, до сих пор используют совсем непривычную для нас шкалу Фаренгейта.
температура
плавления льда
100
температура
кипения воды
Т, К
373,15
100
t, 0C
273,15
0
T = t 0C + 273,15
100
TF, 0F
180
32
TF = 32 +
212
TR, 0R
80
80
0
TR =
9 0
t C
5
4 0
t C
5
Рисунок 5
Если написать соотношения между температурами по шкалам Цельсия и
Кельвина для двух различных температур:
T1 = t1 + 273,15,
37
T2 = t2 + 273,15,
то, вычитая одно уравнение из другого, получаем, что
T1 − T2 = t1 − t2,
∆T = ∆t.
или
Получили, что изменения температур по этим шкалам численно равны.
Так, например, изменение температуры на 5 0C соответствует изменению температуры по абсолютной шкале температур на 5 К.
-273,15
0
273,15
0
0,01
273,16
t, 0C
Т, К
В СИ единица температуры
– Кельвин устанавливается не на
основе температурного интервала
«температура
Рисунок 6
тающего
льда
–
температура кипящей воды», а на
основе интервала «абсолютный нуль – температура тройной точки воды».
Тройная точка воды – это температура, при которой вода, водяной пар и лёд
находятся в равновесии (см. рисунок 6). Температуре тройной точки воды приписывают точное значение 273,16 К (или 0,01 0C).
Таким образом, 1 Кельвин равен 1/273,16 температурного интервала от
абсолютного нуля температуры (0 К) до температуры тройной точки воды
(273,16 К).
Своеобразие температуры как физической величины состоит, прежде всего, в том, что она, в отличие от многих других величин, не аддитивна. Это значит, что если мысленно разделить тело на части, то температура всего тела не
равна сумме температур его частей. Этим температура отличается от таких, например, величин, как длина, объём, масса, значения которых для всего тела
складываются из значений соответствующих величин для его частей.
Вследствие этого температуру тела нельзя измерять непосредственно, как
измеряют длину или массу, т.е. методом сравнения с эталоном. Если об одном
стержне можно сказать, что его длина во столько-то раз больше длины другого
стержня, то вопрос о том, сколько раз одна температура содержится в другой,
не имеет смысла.
38
Для измерения температуры пользуются тем, что при изменении температуры тела изменяются и его свойства. Изменяются, следовательно, величины,
характеризующие эти свойства. Поэтому для создания прибора, измеряющего
температуру, то есть термометра, выбирают какое-либо вещество (термометрическое вещество) и определяют величину, характеризующую свойство вещества (термометрическую величину). Выбор того и другого произволен. В медицинских термометрах (градусниках), например, термометрическим веществом
является ртуть, а термометрической величиной – длина ртутного столбика.
Измерение температуры данного тела производится путём сравнения с
опорными (реперными) значениями, условно выбранными за точки отсчёта и
позволяющими установить шкалу измерений. При этом в разных термометрах
используются разные связи между температурой и каким-то наблюдаемым
свойством прибора, которое можно считать линейно зависящим от температуры. За реперные точки выбирают температуры состояния разных веществ, которые легко можно воспроизводить в разных лабораториях. За реперные точки
можно выбрать температуры: тройной точки воды, кристаллизации и кипения
воды при нормальных условиях, плавления различных веществ (например, олова, свинца, меди, золота).
Как выше уже говорилось, за основу современной термометрии принимается газовый термометр постоянного объёма. В газовых термометрах используют или гелий (при измерении низких температур), или азот (при измерении
высоких температур). С помощью газовых термометров измеряют температуры
от 4 К до температуры плавления золота (1337,58 К). Практически газовые термометры из-за конструктивных особенностей для технических целей не используются. Они являются первичными инструментами для измерения температуры, по которым градуируются вторичные термометры, действие которых основано на использовании других термометрических веществ и величин.
Из вторичных термометров наибольшее значение имеют жидкостные
термометры, термометры сопротивления, термоэлементы и пирометры.
39
Действие жидкостных термометров основано на том факте, что жидкости
обычно расширяются при нагревании. В лабораторных и медицинских термометрах используется ртуть. В бытовых термометрах используется окрашенный
спирт или толуол – жидкости, которые дешевле и потенциально менее опасны.
Жидкостный термометр может работать только в интервале температур, лежащих выше точки замерзания жидкости и существенно ниже ее точки кипения. В
жидкостных термометрах используются главным образом следующие жидкости:
пентан, для области температур, от −200 0С до 20 0С,
этиловый спирт, от −110 0С до 50 0С,
толуол, от −70 0С до 100 0С,
ртуть, от −38,87 0С до 600 0С.
В термометрах сопротивления термодинамическим телом является обычно проволока из какого-нибудь металла, а термометрической величиной – электрическое сопротивление этой проволоки. Как и жидкостные термометры, они
нуждаются в градуировке по газовому термометру или по другому термометру,
показания которого уже связаны со шкалой газового термометра. Обычно сопротивление металлов растёт с увеличением температуры. Это очень легко
воспроизводимый эффект, который используется во многих точных термометрах. Обычно берётся небольшая проволочная спираль из платины, характеристики которой остаются очень стабильными. Измеряемая температура может
меняться от −258 0С до 900 0С. Термисторами называют целый класс полупроводников, у которых зависимость сопротивления от температуры противоположна этой зависимости для металлов − электрическое сопротивление уменьшается с ростом температуры. Термисторы, которые обычно представляют собой окислы металлов, могут изготовляться в форме крошечных шариков. Они
могут быть гораздо более чувствительными, чем платиновые термометры, но не
столь стабильными в течение длительных промежутков времени. Полупроводниковые термосопротивления (терморезисторы) предназначены для измерения
температуры в области от −100 0С до 120 0С.
40
Термоэлемент (термопара) представляет собой две тонкие проволоки из
разных металлов, которые сваривают или спаивают вместе на одном из концов.
Свободные концы проволок присоединяют к устройству, измеряющему напряжение (вольтметру). Разность потенциалов между проволоками зависит от разности температур между вольтметром и спаянными концами. В этом случае
микроструктура проволок в месте их соединения выступает как электрический
генератор. Обычно для термопар используют медь и константан, который представляет собой сплав меди с никелем. Таблица зависимости разности потенциалов для этой пары металлов приводится во многих справочниках. Одно из достоинств термопар – их маленький размер, не больше, чем точка соединения
тонких проволок. Проволоки можно заделать глубоко внутрь любого тела и
дистанционно измерять температуру внутри объекта. Используя различные
комбинации металлов, с помощью термопар можно измерять температуру в интервале от −269 0С до 2 300 0С.
Для бесконтактного измерения высоких температур используют пирометры, в которых измеряется энергия излучения светящихся (нагретых до высокой
температуры) объектов (веществ).
Биметаллические полоски. В большинстве бытовых холодильников, электрических и газовых плит термометр состоит из двух кусков разных металлов,
соединённых вместе. Металлы подбираются таким образом, чтобы один из них
при увеличении температуры расширялся гораздо больше другого. При этом
биметаллическая полоска, образованная двумя соединёнными между собой
кусками, изменяет свой радиус кривизны. Обычно свёрнутая в спираль биметаллическая полоска перемещает стрелку, указывающую температуру, и управляет ртутным выключателем, запускающим и останавливающим компрессор
(нагреватель). Термометры этого типа обычно имеют точность только до 0,5 0С
и небольшой ограниченный рабочий интервал.
41
5.3 Линейное и объёмное расширение твёрдых тел и жидкостей
Тепловое расширение тел. При нагревании газообразные и большинство
жидких и твёрдых тел расширяются (при условии постоянства давления). Объясняется это тем, что при возрастании температуры среднее расстояние между
молекулами растёт вследствие возрастания кинетической энергии теплового
движения молекул. Различные вещества при нагревании расширяются неодинаково.
Расширение твёрдых тел. Количественно тепловое расширение характеризуют коэффициентами линейного и объёмного расширения, которые определяют следующим образом. Пусть, тело длиной ℓ при изменении температуры на
∆Т изменяет свою длину на ∆ℓ. Коэффициент линейного расширения α определяют из соотношения α =
∆l 1
, он равен относительному изменению длины
l ∆Т
при изменении температуры на один градус (Кельвин). Точно так же определяют коэффициент объёмного расширения β: β =
∆V 1
, т.е. он равен относиV ∆Т
тельному изменению объёма при изменении температуры на один градус
(Кельвин).
Из этих формул следует, что длина ℓ и объём V при некоторой температуре T, отличающейся от начальной на ∆Т, выражаются формулами:
ℓ = ℓ0(1 + α∆Т) и
V = V0(1 + β∆Т),
где ℓ0 и V0 − начальные длина и объём тела.
Если же, например, начальная температура 0 0C, то ∆t = t 0C − 0 0C = ∆T,
и ℓ = ℓ0(1 + α∆Т) и V = V0(1 + β∆Т), где ℓ и V − значения при температуре t 0C,
а ℓ0 и V0 − значения при 0 0C.
Величины α и β связаны соотношением β = 3α. Коэффициенты линейного
и объёмного расширения практически остаются постоянными, если интервалы
42
температур, в которых они измеряются, малы. Размерности [α] = [β] = К-1 (или
град-1).
Плотность ρ твёрдых тел при их тепловом расширении изменяется по закону:
ρ=
ρ0
,
1 + β ⋅ ∆Т
где ρ и ρ0 − соответственно плотности тела при температурах Т + ∆Т и Т.
Объёмное расширение жидкостей. Тепловое расширение жидкостей существенно больше, чем тепловое расширение твёрдых тел. Изменение объёма с
увеличением температуры происходит по закону V = V0(1 + γt), где V0 − объём
жидкости при 0 0C, γ − коэффициент объёмного расширения жидкости.
У твёрдых тел и жидкостей тепловое расширение связано с несимметричностью (ангармонизмом) тепловых колебаний атомов, благодаря чему межатомные расстояния с ростом температуры увеличиваются.
Тепловое расширение тел учитывается при конструировании всех установок, приборов и машин, работающих в переменных температурных условиях.
Особенности расширения воды. При понижении температуры до 4 0C
объём химически чистой воды непрерывно уменьшается. При достижении температуры 4 0C, по мере понижения температуры от 4 0C до точки замерзания
0 0C, вода постепенно расширяется. Вода, замерзая и превращаясь в лёд, увеличивается в объёме примерно на 1/11 часть по сравнению с объёмом жидкой фазы. Другими словами, плотность воды максимальна при температуре 4 0C (ρ =
1⋅103 кг/м3) и уменьшается с уменьшением или увеличением температуры. Эта
особенность расширения воды связана с тем, что начиная с 4 0C происходит перестройка ближнего порядка: между молекулами воды возникают связи, характерные для кристаллической структуры льда. В интервале температур от 4 0C
до 0 0C влияние этих связей сильнее, чем склонность сжиматься вследствие
уменьшения подвижности молекул воды с уменьшением температуры. Поэтому
при понижении температуры от 4 0C воды расширяется до тех пор, пока не
43
кристаллизуется при 0 0C. Такое изменение свойств воды позволяет сохраняться животному и растительному миру подо льдом в зимнее время. Когда в зимнее время водоём охлаждается, холодная вода опускается на дно до тех пор, пока ее температура не приблизится к 4 0C. По мере дальнейшего понижения температуры более холодная вода поднимается к поверхности, где и замерзает.
Лёд, будучи менее плотным, чем вода, располагается на ее поверхности. Так же
лёд имеет низкую теплопроводность, он предохраняет воду под ним. Температура на дне водоёма не может упасть ниже 4 0C, так как при этой температуре
вода, имея максимальную плотность, не подвергается конвекционным потокам.
Неприятным последствием такого поведения воды является разрыв водопроводных труб в сильный мороз и растрескивание камней и почв при замерзании
воды, находившейся в трещинах. Эти разрушительные последствия объясняются тем, что вода, превращаясь в лёд при замерзании, значительно увеличивается
в объёме, и при этом возникают громадные силы давления, разрушающие межмолекулярные связи в твёрдом теле (в водопроводной трубе, камне, почве…).
6 Газ и его свойства
6.1 Общие сведения
В молекулярной физике и термодинамике рассматриваются системы, состоящие из большого числа частиц, т.е. макроскопические системы. Для одной
частицы в отдельности нельзя указать ее координату и направление движения,
определить температуру и давление. Измеримы только параметры состояния
совокупности молекул, т.е. макроскопические характеристики.
Установим вначале закономерности, которым подчиняется поведение вещества, находящегося в газообразном состоянии. При этом будем рассматривать идеализированную модель реальных газов – идеальный газ (характеристики идеального газа даны в п.5.1). Идеальный газ – газ, молекулы которого рас-
44
сматриваются как не взаимодействующие на расстоянии друг с другом материальные точки.
Основные свойства газов:
- полностью заполняют любые предоставленные им объёмы;
- легко меняют свой объём и форму;
- легко перемешиваются между собой в любых пропорциях.
6.2 Внутренняя энергия идеального газа
Внутренняя энергия является одной из важнейших величин, характеризующих систему в состоянии термодинамического равновесия. Согласно основным положениям молекулярно-кинетической теории молекулы газа, как и
любого тела, находятся в постоянном движении и взаимодействуют между собой. Соответственно, они обладают энергией, зависящей от их внутреннего состояния. Эту энергию, являющуюся энергией движения и взаимодействия между собой всех частиц, из которых состоит тело, называют внутренней. К внутренней энергии относятся кинетическая энергия теплового движения молекул и
атомов, входящих в состав данного тела, кинетическая энергия электронов,
движущихся в атомах вокруг ядер, потенциальная энергия взаимодействия между собой молекул, атомов, электронов и ядер, нуклонов в ядре. Внутренняя
энергия, однако, не включает ту кинетическую энергию, которой газ может обладать, если он, как целое, движется, и ту потенциальную энергию, которой он
может обладать, если находится в поле каких-нибудь сил.
Изменить внутреннюю энергию тела можно или изменяя его температуру,
когда изменяется средняя кинетическая энергия молекул, обусловленная их тепловым движением, или, изменяя агрегатное состояние вещества тела, когда
изменяется расстояние между молекулами и, соответственно, изменяется потенциальная энергия их межмолекулярного взаимодействия. Но при этом, например, при плавлении или испарении путём кипения температура тела сохра-
45
няется постоянной, и, соответственно, у молекул сохраняется постоянной кинетическая энергия теплового движения.
Если вещество находится в молекулярном состоянии (у инертных газов
молекулы состоят из одного атома) при всех термодинамических процессах, в
частности, при изменении агрегатного состояния, внутриатомная составляющая
часть внутренней энергии остается неизменной. Поэтому эту составляющую
просто можно не учитывать при расчёте внутренней энергии.
Для вещества в достаточно разрежённом газообразном состоянии (идеальный газ) молекулы находятся на столь большом расстоянии друг от друга,
что силы взаимодействия между ними равны нулю, и доля внутренней энергии
тела, связанная с потенциальной энергией межмолекулярного взаимодействия
равна нулю. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа − это величина, равная сумме кинетических энергий его молекул. В многоатомных молекулах кинетическая энергия складывается из трёх независимых частей – энергии
поступательного движения молекулы как целого, вращательной энергии и колебательной энергии ядер. Причём в рассматриваемом нашем курсе диапазоне
температур колебательная часть энергии отсутствует. Для одноатомного газа
остаётся только первое слагаемое – энергия поступательного движения молеm1 v 2
3
= kT, нахокул. С учётом основного уравнения кинетической теории
2
2
дим внутреннюю энергию U газа, состоящего из N молекул:
U=
3
NkT.
2

m
N 
 , то его внутренняя энергия равна
Если газ содержит ν молей  ν = =
µ N A 

U(T) =
3
3
3 m
NkT =
RT = νRT,
2
2 µ
2
46
где m − масса газа;
µ − его молярная масса;
ν = m/µ − количество вещества;
R = kNA – универсальная газовая постоянная;
k − постоянная Больцмана;
NA – число Авогадро;
Т − абсолютная температура.
Внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит, как это видно
из формул, только от температуры и не зависит ни от давления, ни от объёма
газа (для неидеальных − реальных газов это неверно). Таким образом, внутренняя энергия U(T) является функцией состояния системы. Это означает, что
внутренняя энергия в данном состоянии имеет присущее этому состоянию значение и не зависит от того, каким путём система пришла в это состояние. Поэтому при изменении состояния системы приращение внутренней энергии определяется только конечным и начальным состояниями и не зависит от характера процесса, который перевёл систему из одного состояния в другое.
В отличие, например, от температуры Т, которая характеризует равновесное состояние макросистемы, внутренняя энергия U присуща как равновесным,
так и неравновесным состояниям. В дальнейшем, однако, мы будем рассматривать внутреннюю энергию лишь равновесных состояний.
Если макросистема состоит из нескольких частей, то энергией межмолекулярного взаимодействия на границах этих частей (в тонком слое) можно пренебречь и считать, что внутренняя энергия всей системы практически равна
сумме внутренних энергий ее частей. Это значит, что внутренняя энергия является величиной аддитивной.
Полученное выражение U(T) справедливо для молекул-точек, способных
совершать только поступательное движение. Такое представление о газе может
считаться справедливым для одноатомных газов. К одноатомным газам, состоящим из отдельных атомов, а не молекул, относятся инертные газы: гелий,
неон, аргон, криптон, ксенон и радон.
47
Число степеней свободы – число независимых переменных (координат)
полностью определяющих положение системы и ее конфигурацию в пространстве. Одноатомную молекулу рассматривают как материальную точку, которой
приписывают три степени свободы поступательного движения (см. рисунок 7,
позиция а). Из-за хаотичности движения молекулы все направления ее движения в пространстве равноправны, и из основного уравнения кинетической теоm1 v 2
3
рии
= kT следует, что на каждую поступательную степень свободы
2
2
приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная
a)
у
б)
1
kT.
2
Если же молекула газа содержит
y
более одного атома, то она может совершать и другие виды движения –
z
х
x
z
вращательное и колебательное, с которыми тоже связана некоторая энергия.
Рисунок 7
Молекулу двухатомного газа в
первом приближении можно рассматривать как совокупность двух материальных точек, жёстко связанных между собой (смотри рисунок 7, позиция б). Эта
система (молекула) кроме трёх степеней свободы поступательного движения
имеет еще две степени вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси,
проходящей через оба атома, лишено смысла. Таким образом, молекула двухатомного газа обладает пятью степенями свободы (i = 5). Трехатомные и многоатомные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и
три вращательных (i = 6). У одноатомной молекулы три степени свободы поступательного движения (i = 3).
Внутренняя энергия многоатомного идеального газа
U(T) =
i
i m
i
NkT =
RT = νRT.
2
2 µ
2
48
Число степеней свободы i для различных случаев, см. таблицу 1.
Таблица 1
Тип движения
Вещество
i
а)
б)
в)
Одноатомный газ
3
-
-
3
Двухатомный газ
3
2
-
5
Трёхатомный газ
3
3
-
6
Твёрдое тело
-
-
6
6
Жидкость
не определено
Здесь: а) – поступательное, б) – вращательное, в) – колебательное движения.
6.3 Изопроцессы
Состояние газа описывают с помощью макроскопических величин, совокупность которых однозначно определяет состояние системы. Их называют параметрами состояния или термодинамическими параметрами. Параметрами состояния являются объём V, давление P, температура T. В природе часто имеют
место процессы, когда одновременно меняются все три величины, характеризующие состояние газа. Процессы, в которых один из параметров состояния газа не изменяется, называют изопроцессами. Закономерности изопроцессов,
происходящих с идеальным газом, установлены экспериментально, при условии неизменности массы газа (m) и его состава (µ).
Изотермический процесс. Закон Бойля-Мариотта. Английский химик
Р.Бойль в 1661 г. обнаружил, что произведение давления на объём: PV = const
для данного количества газа (масса m =const). Через пятнадцать лет французский учёный Э.Мариотт дополнил формулировку закона словами: «при постоянной температуре» (T = const). При постоянной температуре и неизменной
массе сжатие и расширение газа, т.е. изменение его объёма, сопровождается таким изменением давления, что произведение давления Р на объём V газа остаётся постоянной величиной: PV = const.
49
График закона Бойля-Мариотта на диаграмме в координатах P-V имеет
вид гиперболы (см. рисунок 8а). Изотерма при более высокой температуре идёт
выше. Графики закона Бойля-Мариотта на диаграммах в координатах P-T и V-T
имеют вид прямой линии (см. рисунок 8б). Линии на графиках называют изотермами.
P
а)
б)
P
V
Т2 > Т1
0
Т1 = const
V
0
T
0
T
Рисунок 8
Используя закон Бойля-Мариотта P1V1 = P2V2, установим зависимость
плотности ρ газа от давления. Так как ρ =
P1
m
m
= P2
ρ1
ρ2
m
m
m
, то V1 =
и V2 =
. Тогда
V
ρ1
ρ2
или
P
ρ1
= 1.
ρ2
P2
Следовательно, при неизменной массе газа и постоянной температуре
плотность газа пропорциональна его давлению.
Закон Бойля-Мариотта является приближённым. Так, все газы при очень
больших давлениях сжимаются меньше, чем это следует из закона БойляМариотта. Однако большинство газов при температурах, близких к комнатным,
и давлениях, не слишком отличающихся от атмосферного, подчиняются закону
Бойля-Мариотта с достаточно большой точностью.
Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака. Пусть, масса газа неизменна
(m = const) и его давление постоянно (P = const). Процесс, при котором давление газа постоянно, а температура и объём газа изменяются, называют изобарическим. Такие условия можно осуществить, если газ поместить в цилиндр, за50
крытый подвижным поршнем. В таком цилиндре изменение температуры вызывает перемещения поршня и изменение объёма. Давление же остаётся постоянным.
Обозначим через V0 − объём газа при 0 0С, а V − объём при температуре
t 0С. Ж.Гей-Люссак в 1802 г. установил, что
V = V0(1 + αt),
где α = 273-1 К1 − термический коэффициент объёмного расширения газа
равен относительному изменению объёма при нагреве на 1 градус (1 Кельвин),
т.е.
α=
∆V 1
,
V ∆t
или
α=
V
∆V 1
.
V ∆T
V
P1 = const
P2 > P1
V0
-273
0
t, 0C
P
0
0
T, K
0
V
P
T
Рисунок 9
Если перейти от t к абсолютной температуре T = t + 273, то закон ГейЛюссака примет вид:
V = V0αT.
51
График изобары V(T) в координатах V-T имеет вид прямой, исходящей из
начала координат (см. рисунок 9).
Графики изобар в координатах P-T и P-V также имеют вид прямых (см.
рисунок 9).
Закон Гей-Люссака можно записать в виде:
V1
T
= 1
V2
T2
V1
V
= 2.
T1
T2
или
Изохорический процесс. Закон Шарля. Пусть, масса газа неизменна (m =
const) и его объём постоянен (V = const). Процесс, при котором объём газа постоянен, а температура и давление газа изменяются, называют изохорическим.
Для осуществления изохорического процесса необходимо нагревать или охлаждать газ в цилиндре при закреплённом поршне, т.е. при условии постоянства
объёма.
Обозначим через P0 − давление газа при 0 0С, а P − давление газа при t 0С.
Ж.Шарль в 1787 г. установил, что
P = P0(1 + βt),
где β = 273-1 К1 − термический коэффициент давления газа равен относительному изменению давления при нагреве на 1 градус (1 Кельвин), т.е.
β=
∆Р 1
,
Р ∆t
или
β=
∆Р 1
.
Р ∆T
Если перейти от t к абсолютной температуре T = t + 273, то закон Шарля
примет вид:
P = P0βT.
52
График изохоры P(T) в координатах P-T имеет вид прямой, исходящей из
начала координат (см. рисунок 10). Таким образом, при изохорическом процессе изменение давления газа при изменении его температуры происходит так,
что отношение Р/Т остается постоянным. Но это утверждение, однако, нельзя
считать законом природы. Температурная шкала идеального газа строится
именно на основе предположения, что Р/Т = const (см. п.5.2). Поэтому экспериментальная проверка этого «закона» не может дать иного результата.
Графики изохоры в координатах V-T и P-V также имеют вид прямых (см.
рисунок 10).
P
P
V1 = const
V2 > V1
P0
-273
t, 0C
0
V
0
T, K
0
V
P
0
T
Рисунок 10
Закон Шарля можно записать в виде:
Р1
T
= 1
Р2
T2
или
Р1
Р
= 2.
T1
T2
6.4 Уравнение Клапейрона. Уравнение Клапейрона–Менделеева
Рассмотрим переход идеального газа из состояния, характеризуемого параметрами (P0, V0, T0) в состояние с параметрами (P, V, T) через промежуточное
53
состояние с параметрами (P, V0, T1) при условии неизменности массы газа (m =
const). Вначале газ изохорически (V0 = const) переходит в промежуточное состояние (переход 1→2), затем изобарически (P = const) переходит в конечное
состояние (переход 2→3). Применяя для переходов 1→2 и 2→3 законы Шарля
и Гей-Люссака, получаем два уравнения
Р0
Р
=
Т1
Т0
и
V0
V
= .
T
T1
Перемножая почленно оба уравнения, получаем
Р 0 V0
РV
=
= const.
Т0
Т
Это уравнение было получено Б.Клапейроном в 1834 г. и читается так: при
неизменной массе газа произведение давления газа на его объём, делённое на
термодинамическую температуру газа, есть величина постоянная. Уравнение
Клапейрона является одним из видов записи уравнения состояния идеального
газа. Оно показывает, что для данной массы идеального газа отношение произведения численных значений давления Р и объёма V к абсолютной температуре
Т есть величина постоянная. Численное значение постоянной зависит от массы
и химического состава газа, а также от выбора единиц измерения Р, V и Т.
Значение постоянной в уравнении Клапейрона зависит от массы газа m и
его молярной массы µ (т.е. от химического состава газа). Для определения значения постоянной в уравнении Клапейрона Д.И.Менделеев в 1874 г. воспользовался следствием из закона Авогадро: один моль (т.е. количество вещества – газа ν = m/µ = 1 моль) любого газа при одинаковых условиях занимает один и тот
же объём. В частности, при нормальных условиях (t0 = 0 0С, Р0 = 760 мм рт.ст.)
объём одного моля любого газа v0 = 22,414 л. Если же взять количество газа
54
m
v0. Следовательно, постоянная в уравнении
µ
m/µ, то он займёт объём V0 =
Клапейрона равна:
const =
Величина R =
Р 0 V0
Р m
m
v0 = R.
= 0
µ
Т0
Т0 µ
Р0 v0
одинакова для всех газов, поэтому ее называют униТ0
версальной газовой постоянной. Значение R равно:
Р v
R= 0 0 =
Т0
1,013 ⋅ 10
5
Н
м3
−3
⋅ 22,414 ⋅ 10
моль = 8,314 Дж .
м2
моль ⋅ К
273 К
И уравнение Клапейрона принимает вид:
РV m
= R
Т
µ
или
PV =
m
RT.
µ
Полученное уравнение называют уравнением Клапейрона-Менделеева
(уравнением состояния идеального газа). Из уравнения состояния идеального
газа можно выразить плотность ρ газа:
ρ=
m
Pµ
=
.
V
RT
Поведение всех реальных газов удовлетворительно описывается уравнением Клапейрона-Менделеева при их достаточном разрежении, т.е. когда не
происходит конденсации. Для этого температура газа должна быть выше точки
росы или относительная влажность должна быть меньше 100 %. Что понимается под терминами точка росы, относительная влажность, «достаточное разре55
жение» и «конденсация» будет ясно после изучения изложенных далее тем
«изотермы реального газа» и «пары в воздухе», «изменение внутренней энергии
при переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое».
Сравнивая полученное ранее уравнение, связывающее среднеквадратичеm1 v 2
с абсолютной температурой Т:
скую кинетическую энергию молекул
2
m1 v 2
3
= kT (основное уравнение кинетической теории, m1 − масса одной мо2
2
2 m1 v 2
лекулы) с полученным уравнением для давления P = n
, имеем
3
2
P = nkT,
т.е. получили уравнение, связывающее давление P и концентрацию молекул n,
где k − постоянная Больцмана.
Если в объёме V содержится N молекул, то n =
N
, и, подставив это выV
ражение в уравнение P = nkT, получаем
PV = NkT.
Это уравнение, в которое входят все три параметра состояния (P, V, T),
также является уравнением состояния идеальных газов.
Преобразуем это уравнение так, чтобы в него вместо числа молекул N
входила легко измеряемая масса газа m. Вспомним, как ранее уже говорили, что
молем (µ) вещества называют такое его количество, масса которого равна относительной молекулярной массе вещества, выраженной в граммах, и что 1 моль
любого вещества содержит число молекул (атомов, если вещество состоит из
атомов, или других частиц), равное числу Авогадро NA.
56
Если разделить число молекул N в данной массе газа на число Авогадро
NA, получим число молей ν в этой массе газа. Но эту же величину можно получить, разделив массу m газа на его молярную массу µ, так что
ν=
N
m
m
, откуда N = NA.
=
µ
µ
NA
Подставив это выражение для N в уравнение состояния, получим
PV = NkT =
m
NAkT.
µ
В это уравнение входят две универсальные константы: число Авогадро NA
и постоянная Больцмана k, их произведение NAk = R равно универсальной газовой постоянной.
Замена в предыдущем уравнении произведения NAk универсальной газовой постоянной приводит к уравнению:
PV =
m
RT.
µ
Таким образом, мы вывели уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева), теперь на основе молекулярно-кинетической теории. Величина
m
, входящая в это уравнение, представляет собой число молей
µ
ν газа. Так как ν =
m
N
=
, то уравнение состояния идеального газа можно
µ
NA
записывать в одной из форм:
PV = νRT,
PV =
57
m
RT,
µ
PV =
N
RT.
NA
Из уравнения R = NAk можно выразить постоянную Больцмана k:
Дж
R
моль ⋅ К = 1,38⋅10-23 Дж .
=
k=
К
NA
6,02 ⋅ 10 23 моль −1
8,31
6.5 Закон Максвелла распределения молекул по скоростям. Средние
скорости молекул
Из основного уравнения кинетической теории получаем выражение для
среднего значения квадрата скорости молекул
v2 =
3kT 3(N A k )T 3RT
=
.
=
µ
m1
(N A m 1 )
Откуда для средней квадратической скорости поступательного движения молекул получаем:
v = vср.кв. =
v2 =
3RT
,
µ
т.е. средняя квадратическая скорость поступательного движения газовых молекул прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры
газа и обратно пропорциональна корню квадратному из его молярной массы.
Молекулы газа при своём движении постоянно сталкиваются между собой. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может и
возрастать и убывать. Однако средняя квадратическая скорость остаётся неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определённой температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определённому
статистическому закону. Хотя молекулы движутся с различными скоростями,
58
при каждой температуре Т существует наиболее вероятная скорость vн. Молекулы, скорости которых много больше или много меньше наиболее вероятной
скорости, встречаются редко.
Ввиду полной беспорядочности движения молекул нельзя ставить вопрос
о числе молекул, которые обладают точно заданной скоростью v, так как таких
молекул в каждый данный момент вообще может не оказаться. Но можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в некотором определённом интервале скоростей, например, имеют значения, лежащие между некоторыми данными скоростями v1 и v2. Закон распределения скоростей был впервые выведен Максвеллом. Максвелл, пользуясь теорией вероятности, подсчитал число молекул ∆N, скорости которых лежат в интервале скоростей от некоторой заданной скорости v до v + ∆v. Скорость отдельной молекулы с течением
времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в этом интервале
остаётся неизменной.
Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшая доля молекул будет иметь наиболее вероятную скорость vн, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Проведённые измерения показали, что доля молекул
∆N
∆N
, отнесённая к интервалу скорости ∆v, т.е.
, имеет вид, покаN
N ⋅ ∆v
занный на рисунке 11. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории
вероятности
опреде-
лил эту функцию. С
F(v)
тех пор она называется
функцией распределения молекул по скоростям
0
∆v
vн v v
v
Рисунок 11
она выражается формулой:
59
или
законом
Максвелла.
Аналитически
∆N
 m1 
F(v) =
= 4π∙ 

N ⋅ ∆v
 2πkT 
3/ 2
 m1 v 2 
⋅v ∙ exp −
 ,
2
kT


2
где m1 − масса молекулы,
k − постоянная Больцмана.
Следует отметить, что полученное Максвеллом распределение по скоростям не зависит ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют
друг с другом. Поэтому оно применимо не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества. Как видно из формулы, вид кривой распределения зависит от природы газа (в формулу входит масса молекулы m1) и от температуры Т.
Средние скорости молекул. Средняя арифметическая скорость v , по определению равная отношению суммы скоростей всех молекул в единице объёма
к числу молекул в единице объёма:
n
v=
∑v
i =1
i
.
n
Средняя арифметическая скорость v , подсчитанная на основании закона Максвелла, выражается формулой:
v=
8kT
=
πm
8RT
.
πµ
Наиболее вероятная скорость vн − это скорость, около которой группируются скорости наибольшего числа молекул газа.
vн =
2kT
=
m
60
2 RT
.
µ
Этой скорости соответствует максимум кривой распределения Максвелла (см.
рисунок 11).
Средняя квадратическая скорость равна корню квадратному из среднего
значения квадрата скорости поступательного движения. Если в системе (сосуде), состоящей из n молекул, скорость i-ой молекулы равна vi, то средняя квадратическая скорость определяется следующим образом:
n
∑ v i2
i =1
v=
n
.
На рисунке 11 отмечена средняя квадратическая скорость поступательного
движения молекул:
v = vср.кв. =
v2 =
3RT
.
µ
Из сравнения приведённых значений скоростей видим, что наименьшей
из них является наиболее вероятная скорость vн, а наибольшей − средняя квадратическая скорость v . Относительное число быстрых и медленных молекул
мало (рисунок 11).
При изменении температуры газа будут изменяться скорости движения
всех молекул, а, следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой функции распределения молекул по скоростям будет смещаться
в сторону больших скоростей при повышении температуры и в сторону малых
скоростей – при понижении температуры. Высота максимума не будет оставаться постоянной. Дело в том, что площадь заштрихованной фигуры численно
равна доле
∆N
общего числа молекул N, которую образуют молекулы со скоN
ростями в указанном интервале. Общая площадь, ограниченная кривой функции распределения и осью абсцисс (скоростей), таким образом, равна единице и
61
не меняется при изменении температуры (рисунок 12). Поэтому высота максимума и меняется при изменении температуры.
Кривые распределения молекул по скоростям начинаются в на-
F(v)
T1
чале координат, асимптотически
приближаются к оси абсцисс при
бесконечно
больших
T2 >T1
скоростях.
Слева от максимума кривые идут
0
круче, чем справа. То, что кривая
Рисунок 12
v
распределения начинается в начале координат, означает, что неподвижных молекул в газе нет. Из того, что кривая асимптотически приближается к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях, следует, что молекул с очень большими скоростями мало. Это легко объяснимо. Для того чтобы молекула могла
приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо получить подряд много таких столкновений, при которых она получает энергию, и
ни одного столкновения, при которых она ее теряет. А такая ситуация маловероятна.
Максвелловское распределение по скоростям устанавливается только благодаря столкновениям между молекулами. В самом деле, представим себе, что
газ находится в таком состоянии, что все молекулы имеют одинаковые по модулю скорости. Такое состояние не может быть устойчивым (равновесным), потому что столкновения между молекулами непременно приведут к тому, что
скорости молекул перестанут быть одинаковыми. При каждом столкновении
двух молекул скорость одной из них увеличивается, а скорость другой уменьшается. И Максвелл впервые обратил внимание на то, что должно существовать
такое состояние, при котором число молекул, скорость которых при столкновениях увеличивается, равно числу молекул, у которых скорость в результате
столкновений уменьшается. Такое состояние и является равновесным. Именно
такому состоянию и соответствует максвелловское распределение по скоростям. Позже Больцман показал, что если газ находится в состоянии, в котором
62
его молекулы распределены по скоростям не по Максвеллу, то такой газ благодаря столкновениям молекул сам собой переходит в состояние с максвелловским равновесным распределением.
Молекулярные движения, происходящие в газе, мы всё время называли
хаотическими. Теперь можем дать точное определение понятию хаотичности
тепловых движений: движение молекул полностью беспорядочно (хаотично),
если скорости молекул распределены по закону Максвелла.
Такие вполне хаотические движения молекулы совершают, когда газ находится в состоянии равновесия. Как мы видели в п.5.2, это состояние характеризуется величиной температуры, которая в свою очередь определяется средней
кинетической энергией движения молекул. Отсюда следует, что температура
определяется средней кинетической энергией именно хаотических движений.
Всякое же направленное движение молекул, каковы бы ни были их скорости в
таком движении, никакого отношения к температуре не имеет. Как бы велика
ни была скорость воздуха, образующего сильный ветер, она не сделает его горячим. Ветры даже самые сильные, могут быть и тёплыми и холодными, потому что температура газа определяется не направленной скоростью ветра, а теми
хаотическими движениями, которые молекулы совершают наряду с направленным движением газа как целого и независимо от него.
6.6 Закон Дальтона. Закон Авогадро
Пусть, в сосуде объёмом V имеется смесь различных газов в состоянии
теплового равновесия. Для такой смеси уравнение состояния запишется в виде:
PV = (N1 + N2 + N3 + …)kT,
где N1, N2, N3,… − числа молекул соответствующих компонентов смеси,
причём N1 + N2 + N3 + … = N − общее число молекул в сосуде.
Из уравнения состояния находим давление:
63
Р=
N
N1
N
kT + 2 kT + 3 kT + … = Р1 + Р2 + Р3 + …
V
V
V
Это выражение показывает, что каждая группа молекул оказывает давление, не
зависящее от того, какое давление оказывают другие молекулы. Это обусловлено тем, что в идеальном газе между молекулами нет взаимодействия. Выражения
N1
kT = P1,
V
N2
kT = P2,
V
N3
kT = P3, …
V
представляют собой парциальные давления компонентов смеси. Парциальным
называют давление, которое производил бы данный компонент смеси газов, если бы он один занимал весь объём, заполненный газовой смесью.
Таким образом, Р = ΣРi, т.е. давление смеси газов, не взаимодействующих
друг с другом, равно сумме их парциальных давлений. Этот закон был открыт
Дальтоном в 1801 г.
Из уравнения состояния идеального газа PV = NkT непосредственно следует и закон Авогадро, согласно которому равные объёмы идеальных газов при
одинаковых температурах и давлении содержат одинаковое число молекул.
Действительно, пусть, мы имеем два одинаковых объёма двух различных газов
при одинаковых давлениях и температурах. Для каждого газа можно записать
уравнение состояния:
PV = N1kT и
PV = N2kT ,
где N1 и N2 − число молекул.
Из этих уравнений непосредственно следует, что N1 = N2. Это и есть закон
Авогадро.
Из закона Авогадро следует, что и, наоборот, различные газы, содержащие одинаковое число молекул, при одинаковых давлениях и температурах будут занимать одинаковые объёмы. Поэтому 1 моль любого газа при одинаковых
64
значениях давления и температуры занимает одинаковый объём. В частности,
при нормальных условиях (температура t = 0 0C или T = 273 K, давление P =
760 мм рт. ст. = 1 атм = 1,013⋅105 Па) 1 моль любого газа занимает объём:
v0 =
3
RT
л
8,31 ⋅ 273
-3 м
=
=
22,4⋅10
=
22,4
.
P
моль
моль
1,013 ⋅ 10 5
Вычислим число n0 молекул в 1 м3 при нормальных условиях:
n0 =
NA
6,02 ⋅ 10 23 моль −1
=
= 2,7⋅1025 м-3.
3
v0
м
22,4 ⋅ 10 −3
моль
Это число называют числом Лошмидта.
7 Тепловое равновесие. Законы термодинамики
7.1 Общие сведения
Макроскопические величины, характеризующие состояние термодинамической системы (в качестве примера можно иметь в виду газ, заключённый в
объём), − это давление Р, объём V, число частиц N или число молей ν, температура Т, внутренняя энергия U и др. все эти параметры состояния данной термодинамической системы являются величинами, меняющимися в зависимости от
ее взаимодействия с окружающей средой.
Рассматриваемая система может быть отделена от окружающей среды
или другой системы теплоизолирующей (адиабатической) перегородкой. В
этом случае взаимодействие систем друг с другом полностью отсутствует. Другой предельный случай – перегородка, совершенно не препятствующая тепло-
65
вому взаимодействию систем. При тепловом контакте две системы приходят в
состояние теплового равновесия.
Две системы находятся в состоянии теплового равновесия, если при контакте через теплопроводящую перегородку состояния обеих систем не изменяются. По определению, две системы, находящиеся в тепловом равновесии, обладают одинаковой температурой.
Нулевой закон термодинамики утверждает, что две системы, находящиеся
в тепловом равновесии с третьей системой, находятся в тепловом равновесии
друг с другом.
7.2 Первый закон термодинамики
В п.6.2 мы уже обсуждали вопросы, связанные с внутренней энергией вещества. В термодинамике движение тела как целого не рассматривают. Поэтому полная энергия системы складывается из кинетической энергии теплового
движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.
Эту энергию называют внутренней энергией системы. Если система является
замкнутой, то внутренняя энергия сохраняется. В каждом состоянии система
обладает определённым значением внутренней энергии, то есть внутренняя
энергия является функцией состояния.
Изменение энергии, как известно из механики, связано с работой. Энергия
тела изменяется, если тело совершают работу или над телом совершается работа, и изменение энергии равно совершённой работе. Так и внутреннюю энергию
можно изменять путём совершения над системой работы внешними макроскопическими силами.
Процесс изменения внутренней энергии тела без совершения работы называют теплообменом (теплопередачей). Существуют три вида теплопередачи:
теплопроводность, излучение и конвекция. Теплопроводность имеет место при
контакте тела с другими телами, имеющими температуру, отличную от его собственной. В этом случае частицы соприкасающихся тел при взаимных столкно66
вениях обмениваются энергией, так что частицы более нагретого тела теряют
энергию, передавая ее частицам менее нагретого тела. Изменение внутренней
энергии происходит путём передачи энергии хаотически движущихся частиц
одного тела частицам другого. При излучении – тела различной температуры
непосредственно не контактируют, а разделены какой-нибудь средой или вакуумом. В этом случае происходит изменение внутренней энергии тела за счёт
излучения или поглощения телом электромагнитных волн. При конвекции теплообмен происходит за счёт переноса части вещества в объёме, занимаемом
системой (жидкостью или газом). Возникновение конвекции обусловлено выталкивающей архимедовой силой, действующей на более нагретые объёмы
жидкости или газа, так как плотность более теплого газа (жидкости) меньше
плотности более холодного. В невесомости конвекция отсутствует.
В силу обстоятельств, связанных с историей развития физики, в том случае, когда изменение внутренней энергии производится за счёт теплопроводности или излучения, говорят, что к телу подводится или от него отводится некоторое количество теплоты. Значит, количество теплоты представляет собой
энергию, которая передаётся от одного тела к другому при их контакте или путём излучения. При передаче теплоты мы тоже имеем дело с работой, но работу
в этом случае совершают не макроскопические упорядоченно движущиеся тела,
а беспорядочно движущиеся микрочастицы, из которых состоят тела.
Никакой другой разницы между теплотой и работой (энергией) нет. Поэтому они должны измеряться в одних и тех же единицах (в системе СИ – Джоулях). Но в силу исторических причин количество теплоты измеряли в калориях. Калория равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 г дистиллированной воды для ее нагревания на 1 0С (то есть на 1 К), от 19,5 0С до
20,5 0С. Эквивалентность теплоты и энергии была доказана в 1849 г. в опытах
Джоуля, показавшим, что нагрев, вызываемый одной калорией теплоты, такой
же, какой даёт определённая работа, а именно, 1 кал = 4,1868 Дж (и 1 Дж =
0,239 кал). В литературе одну тысячу калорий часто называют большой калори-
67
ей: 1 большая калория = 1 ккал = 1⋅103 кал. В дальнейшем будем считать, что и
количество теплоты и работа или внутренняя энергия измеряются в Джоулях.
Внутренняя энергия U =
i m
RT является функцией состояния, так как
2 µ
зависит только от температуры в данном состоянии. (Функция состояния – это
такая функция, значение которой определяется параметрами, характеризующими состояние системы в данном положении, и не зависит от того, каким образом система оказалась в этом состоянии. Таким образом, внутренняя энергия,
как функция состояния, в каждом состоянии имеет определённое значение, но
нельзя сказать, что система в данном состоянии обладает определённым количеством теплоты или работы). Поэтому, если под влиянием внешних воздействий система переходит из одного состояния в другое, изменение внутренней
энергии зависит лишь от параметров начального и конечного состояний. Приращение внутренней энергии ∆U при переходе из состояния 1 в состояние 2
равно разности внутренних энергий в этих состояниях: ∆U = U2 − U1. Очевидно,
при круговом процессе, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние, полное приращение внутренней энергии равно нулю.
Как мы уже ранее выяснили, внутреннюю энергию системы можно изменить за счёт теплообмена и совершения работы, произведённой этой системой,
или работой, совершаемой над ней внешними силами. Эта работа может быть
выражена через параметры состояния P, V, T. В общем случае изменение любого из этих параметров должно сопровождаться внешней работой. Эта механическая работа совершается при сжатии или расширения газа. Состояние системы (газа) можно изменить, сообщив ей или отняв от нее некоторое количество
теплоты, например, приводя ее в контакт с более нагретым или более холодным
телом.
Количество теплоты считается положительным, если оно подводится к
системе (газу), а работа – положительной, если система совершает ее против
внешних сил. Работа, которую совершает газ, равна по величине работе внеш68
ней силы, но противоположна по знаку, так как согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми газ действует на внешние тела, равны по модулю силам,
с которыми внешние тела действуют на газ, но противоположны по направлению.
Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при
переходе системы из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии
∆U равно разности между количеством теплоты ∆Q, полученным системой, и
работой A, совершённой системой против внешних сил:
∆U = U2 − U1 = ∆Q − A, или ∆Q = U2 − U1 + A.
Последнее уравнение ∆Q = U2 − U1 + A выражает первое начало термодинамики: количество теплоты, полученное системой, расходуется на изменение
ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил.
Первый закон термодинамики (первое начало термодинамики) был установлен в 1850 г. Р. Клаузиусом и представляет собой закон сохранения энергии
применительно к тепловым и механическим процессам.
Первое начало термодинамики описывает с энергетической точки зрения
два явления, наблюдающиеся при сообщении системе тепла. Во-первых, у системы увеличивается температура, т.е. увеличивается интенсивность теплового
движения его молекул, и, соответственно, увеличивается их энергия, а, значит,
и внутренняя энергия. (При изменении агрегатного состояния, например, при
плавлении, испарении, кипении, температура тела и, соответственно, кинетическая энергия его молекул сохраняются неизменными, но при этом увеличивается доля внутренней энергии системы, связанная с потенциальной энергией
межмолекулярного взаимодействия). Во-вторых, при нагревании система (газ)
расширяется, т.е. увеличивает свой объём, и при этом системе приходится отодвигать контактирующие с ней окружающие тела, в частности, атмосферный
воздух, для чего необходимо совершать работу.
69
Работа и теплота являются двумя формами передачи энергии системе от
внешних тел. Поэтому нельзя говорить о работе и количестве теплоты, которыми обладает система в данном состоянии. Величины U1 и U2 определяются начальным и конечным состояниями, а работа A и теплота ∆Q зависят от характера процесса между этими состояниями. Поэтому можно говорить о приращении
внутренней энергии U, но нельзя говорить о приращении работы или тепла.
Вычислим работу, связанную с расширением или сжатием газа, т.е. с изменением его объёма. Представим себе, что газ находится
под давлением P в цилиндре, который закрыт подвижным
P
S
поршнем, имеющим площадь S (см. рисунок 13). Если газ,
расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое
расстояние dx, то производит над ним работу
dx
Рисунок 13
dA = Fdx⋅cosα = PSdx = PdV,
где F = PS − сила, действующая на поршень со стороны газа;
dV = Sdx − изменение объёма газа;
α − угол между направлением перемещения поршня и вектором силы,
действующей на поршень, α = 0 и cosα = 1.
Таким образом,
dA = PdV,
т.е. изменение объёма газа сопровождается работой, равной произведению давления, под которым находится газ, на изменение его объёма. Наоборот, при
сжатии газа, т.е. при уменьшении объема на dV, внешние силы совершают над
газом работу, равную
dA′ = − PdV = − dA.
70
Формула dA = PdV верна не только для газа, но и для любых тел. Если
при изменении состояния системы внешняя работа совершается только за счёт
изменения объёма, то первое начало термодинамики можно записать в форме:
∆Q = U2 − U1 + P∆V = ∆U + P∆V,
где ∆V − изменение объёма газа при его расширении.
Так как
∆U = U2 − U1 =
i m
i m
R(T2 − Т1) =
R∆T,
2 µ
2 µ
то
∆Q =
i m
R∆T + P∆V.
2 µ
Переходя от приращений к дифференциалам, первое начало термодинамики можно записать в виде:
dQ = dU + PdV =
i m
RdT + PdV.
2 µ
Если же при изменении объёма давление меняется, то полную работу A,
совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2, находят интегрированием уравнения dA = PdV:
A = ∫ dA =
V2
∫ PdV .
V1
Этот интеграл можно определить графически. Действительно, состояние
системы, как было указано, характеризуется точкой на кривой P = f(V). Поэтому, если зависимость P = f(V) построена графически, например, если эта зависимость выражается кривой I на рисунке 14, то интеграл
71
V2
∫ PdV
Р
V1
II
1
I
2
равен заштрихованной площади криволинейной трапеции под кривой P(V).
0
V1
V2
Рисунок 14
Если переход из состояния 1 в состояние 2 происходит так, что изменение давления с объёмом изо-
V
бражается кривой II, то связанная с этим переходом работа будет другой.
Внешняя работа, произведённая системой (или над ней) при изменении его
объёма, зависит от последовательности состояний, которую проходит система
при переходе от начального в конечное состояние.
Что касается внутренней энергии U, то она зависит только от состояния
системы и её изменение не зависит от промежуточных состояний, в которых
система пребывала.
Поэтому уравнение, выражающее первое начало термодинамики, может
быть переписано в виде:
2
V2
1
V1
∫ dQ = U2 − U1 + ∫ PdV ,
где U1 и U2 − значения внутренней энергии в состояниях 1 и 2 соответственно.
Р
В частном случае, если система в результате всех
изменений состояния вернулась в исходное состояние,
т.е. U1 = U2, то в этом случае говорят, что процесс изменения состояния – круговой, или циклический. На диаграмме P-V такой процесс имеет вид замкнутой кривой
0
V1
V2
Рисунок 15
V
(рисунок 15). Совершаемая (или затраченная) работа при таком процессе определяется заштрихованной площадью.
72
Очевидно, если работа
∫ PdV
за цикл положительна, т.е. сама система совершила работу против внешних
сил, то это означает, что она получила извне равное этой работе количество теплоты Q. Если же работа А за цикл отрицательна, т.е. над системой совершена
работа внешними силами, то при этом выделилось равное ей количество теплоты. Таким образом, при циклическом процессе Q = A.
Нас не должно смущать, что на некоторых участках кривых P(V) рисунков
14 и 15 давление возрастает при увеличении объёма. «Обычная» зависимость,
при которой давление обратно пропорционально объёму газа наблюдается
только при постоянной температуре, т.е. при изотермическом процессе. Рассматриваемый же нами процесс изменения объёма газа относится к случаю, когда газу сообщается или от него отнимается некоторое количество теплоты и
над ним совершается (или он сам совершает) работа, и на разных стадиях изменения объёма температура газа разные. Поэтому одновременно с расширением
газ может за счёт источника тепла настолько повысить свою температуру, что
его давление, несмотря на увеличение объёма, повысится (и, наоборот, при сжатии газ может отдать тепло более холодному телу, и его давление понизится).
Этим объясняется и то обстоятельство, что при переходе из одного и того
же начального состояния (P1, V1) в одно и то же конечное состояние (P2, V2), но
через различные промежуточные состояния работа получается разной и, следовательно, при круговом процессе она не равна нулю. Именно на этом основана
работа всех тепловых машин (двигателей).
Ясно, что никакая положительная работа не может быть произведена системой, если в течение всего кругового процесса температура системы неизменна (т.е. если процесс изотермический). В газе, очевидно, такой изотермический
круговой процесс вообще невозможен, так как, если изменение давления с объёмом происходит вдоль изотермы, то вернуться в исходное состояние можно
73
только вдоль той же изотермы; но такой процесс нельзя назвать круговым в
упомянутом выше смысле.
Процессом в термодинамике называют изменение состояния тела со временем. Важными характеристиками процесса являются поглощённое телом количество теплоты Q, а также совершённая над ним работа А. Обе эти величины
существенно зависят от хода процесса.
Внутреннее строение молекул газа слабо влияет на термические свойства –
давление, температуру, плотность – и на связь между ними. По этой причине
все выражения для состояния идеального газа и процессов над идеальным газом справедливы для всех газов (например, для водорода, кислорода, азота, паров воды и др.), когда их ещё можно принять за идеальный газ.
При выводе уравнения dA = PdV мы предполагали, что в течение всего
процесса изменения объёма давление в каждый момент времени одинаково во
всех точках газа. Если изменение объёма газа происходит быстро, то давления в
разных его частях не успевают выравниваться, и в разных частях газа давления
будут различные. Под действием разности давлений возникают течения газа с
различными скоростями в разных точках, в частности вихревые течения. Эти
движения требуют для своего создания некоторой работы. Кроме того, разные
части газа могут при этом иметь разные температуры и плотности. В этом случае на диаграммах, например, в переменных P-V, состояние газа нельзя будет
изобразить какой-то точкой. Соответственно, процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 нельзя будет изобразить непрерывной линией. Графически можно изображать только квазистатические (равновесные) процессы, т.е.
такие процессы, которые состоят из непрерывной последовательности равновесных состояний. Для квазистатических процессов в любой момент времени
состояние газа мало отличается от статического (равновесного) состояния, при
котором параметры состояния (P,T) одинаковы во всем объёме. Процесс можно
считать квазистатическим, если скорость перемещения поршня значительно
меньше скорости звука в газе при данных условиях (скорость звука в газах по-
74
рядка 300 м/с), в этом случае при изменении объёма газа давление успевает выравниваться по всему объёму сосуда.
Все реальные процессы нельзя считать равновесными, но для медленных
процессов неравновесностью можно пренебречь. Так, например, при перемещении поршня в цилиндре со скоростью, значительно меньшей скорости звука
в газе, давление Р во всех точках газа по объёму цилиндра успевает выравниваться. В дальнейшем все рассматриваемые процессы будем считать квазистатическими (равновесными).
Газ может расширяться, вовсе не совершив никакой внешней работы. Такой случай можно осуществить, соединив друг с другом два сосуда, из которых
один наполнен газом, а другой пустой. Тогда газ перетечёт из первого сосуда во
второй и займёт, следовательно, больший объём. Но при этом никакой внешней
работы не будет совершено, так как нет внешних сил, против которых эта работа могла совершаться. Это так называемый процесс расширения в пустоту (вакуум). В течение всего этого процесса газ не находится в равновесии, как бы
медленно он ни протекал.
7.3 Теплоёмкость вещества
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, зависит от массы
тела (также и от рода вещества, из которого изготовлено тело) и от того, на
сколько градусов должна быть изменена его температура. Чем больше то и другое, тем больше необходимое количество теплоты. Поэтому для характеристики
тепловых свойств тела пользуются особой величиной − теплоёмкостью. Теплоёмкостью называют физическую величину, численно равную количеству теплоты ∆Q, необходимому для изменения температуры тела на 1 градус (Кельвин):
С=
∆Q
Дж 
Дж 
, [С] =
 или
.
∆T
К 
град 
75
Молярной теплоёмкостью Сµ называют теплоёмкость одного моля вещества:
Сµ =
С
∆Q
Дж
=
, [Сµ] =
ν
ν∆T
моль ⋅ К


Дж
 или
 ,
моль
⋅
град


где ν − количество вещества (число молей вещества),
Удельной теплоемкостью с называют теплоёмкость единицы массы вещества:
с=
С
∆Q
Дж 
Дж 
=
, [с] =
 или
,
m m∆T
кг ⋅ К 
кг ⋅ град 
где m − масса вещества.
Между удельной теплоемкостью c и молярной Сµ существует очевидное
соотношение:
с=
Сµ
µ
,
где µ − молярная масса вещества (численно равная массе 1 моля).
Из определения удельной теплоёмкости c можно получить выражение для
количества теплоты ∆Q, необходимого для нагревания тела массой m на ∆T
Кельвинов (градусов):
∆Q = cm∆T = cm∆t.
Измерение удельной теплоёмкости вещества опытным путём. В калориметр с водой при температуре t1 опускают тело при температуре t2 с неизвестной удельной теплоёмкостью cx. Начальная температура тела t2 > t1 − температуры воды и калориметра. Равновесная температура t после установления теплового равновесия, причём t1 < t < t2. Обозначим массу тела − mх, воды − mв, калориметра − mк; удельные теплоёмкости воды − св, калориметра − ск. Тогда, ко76
личество теплоты, отданное остывающим телом Q = cxmx(t2 − t). А водой и калориметром получено, соответственно: Qв = cвmв(t − t1), Qк = cкmк(t − t1).Так как
процесс происходит в калориметре без теплообмена с окружающей средой, то
по закону сохранения энергии: Q = Qв + Qк, или cxmx(t2 − t) = cкmк(t − t1) +
cвmв(t − t1). Последнее выражение называют уравнением теплового баланса: если между телами, находящимися в калориметре, происходит теплообмен, то
количество теплоты, отданное всеми остывающими телами, равно количеству
теплоты, полученному всеми нагревающимися телами. Из уравнения теплового
баланса находим:
сх =
с к m к (t − t1 ) + c в m в (t − t1 )
.
m x (t 2 − t )
Как видно из уравнения теплового баланса, значения всех слагаемых зависят от разности температур (t − ti) в 0C, но так как ∆t 0C = ∆T К, то результат
вычислений не зависит от того, по какой шкале – Цельсия или Кельвина определены температуры состояний систем. Во всех дальнейших рассуждениях будем обозначать температуру t по шкале Цельсия, Т − по шкале Кельвина, и будем полагать изменения температур по обеим шкалам равными: ∆T = ∆t.
В расчётной формуле для сх удельная теплоёмкость воды св нам известна
из определения единицы количества теплоты – 1 калория и механического эквивалента теплоты 1 кал = 4,1868 Дж (опыт Джоуля):
св = 1
кал
кал
Дж
Дж
Дж
=1
= 4,1868
= 4,1868⋅103
≈ 4,2⋅103
.
г ⋅ град
г⋅К
г⋅К
кг ⋅ К
кг ⋅ К
Теплота может передаваться от одного тела к другому при непосредственном контакте при теплопередаче или в процессе конвекции или за счёт теплового излучения. Невозможен теплообмен между телами, находящимися при
одинаковой температуре, и переход тепла от тел менее нагретых к более нагретым без того, чтобы не произошли какие-либо изменения в окружающих телах
77
(это предложение фактически представляет собой одну из формулировок второго начала термодинамики). В изолированной системе тел теплообмен осуществляется до тех пор, пока температуры всех тел не сравняются, т.е. до наступления теплового равновесия.
Одним из основных источников получения теплоты является сжигание
горючих веществ (топлива). Наблюдения показывают, что при сгорании одинаковых количеств различных веществ выделяется разное количество теплоты.
Поэтому для характеристики различных видов горючих веществ введено понятие об удельной теплоте сгорания (теплотворной способности) вещества.
Удельной теплотой сгорания вещества q называют количество теплоты, выделяющееся при полном сгорании единицы массы вещества (топлива):
q=
Q
,
m
где m − масса горючего вещества, [q] =
Дж
, и Q = mq.
кг
Коэффициент полезного действия нагревателя η показывает, какая доля
от количества теплоты Qзатр = Q = mq, выделившегося при сгорании топлива,
пошла на нагрев системы Qпол:
η=
Q пол
.
Q затр
При умножении на 100 % КПД будет выражен в процентах.
7.4 Изменение внутренней энергии при переходе вещества из одного
агрегатного состояния в другое
Вещество может находиться в твёрдом, жидком и газообразном состояниях. Эти физические состояния обычно называют агрегатными состояниями.
78
Различие между ними проявляется внешне следующим образом. Газ занимает
любой предоставленный ему объём. Жидкость сохраняет свой объём, но она
весьма подвижна и всегда принимает форму сосуда, в котором находится.
Твёрдое тело способно сохранять не только объём, но и форму. Чтобы изменить
ее, необходимы заметные усилия. Вещество в твёрдом состоянии встречается
преимущественно в виде кристаллов, которые замечательны своей геометрически правильной внешней формой. Но наиболее отличительным признаком кристаллов является их анизотропия, т.е. зависимость свойств от направления.
Жидкости и газы, наоборот, изотропны, их свойства не зависят от направления
в пространстве.
Агрегатным состоянием (фазой) называют совокупность однородных,
одинаковых по своим свойствам частей системы. Одно и то же вещество (химическое соединение) может находиться в различных агрегатных состояниях.
Самый наглядный пример: лёд, вода, водяной пар – три агрегатных состояния
одного и того же вещества (Н2О) – твёрдое, жидкое и газообразное. При определённых условиях разные фазы одного и того же вещества могут находиться в
равновесии друг с другом, соприкасаясь между собой. Равновесие фаз может
иметь место лишь в определённом температурном интервале. При изменении
температуры наряду с обычным плавным изменением характеристик вещества
(плотности, удельного объёма и т.п.) наблюдается их резкое, скачкообразное
изменение при переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое.
Переход из одного агрегатного состояния в другое сопровождается поглощением или выделением некоторого количества теплоты, которое называют скрытой
теплотой перехода или просто теплотой перехода. Так как переходы вещества
из одного агрегатного состояния в другое идут с выделением или поглощением
тепла, то также переходы сопровождаются изменением внутренней энергии
вещества. Агрегатные превращения протекают при определённых значениях
температуры и давления, определяющих точку превращения вещества.
Твёрдые тела по внутреннему строению делятся на кристаллические и
аморфные. Под твёрдыми телами в тепловом равновесии обычно подразумева79
ют кристаллы. Для кристаллических тел характерна кристаллическая решётка –
упорядоченное и периодически повторяющееся в пространстве расположение
молекул, атомов и ионов, которое распространяется по всему объёму кристаллического тела. Такой вид упорядоченности частиц называют дальним порядком. Для аморфных тел (стекло, смолы, канифоль и другие вещества) и жидкостей также существует определённая упорядоченность в расположении близлежащих молекул, которая не повторяется по всему объёму вещества и изменяется с течением времени. Такой вид упорядоченности в расположении частиц называют ближним порядком. В аморфных телах молекулы колеблются около
временных положений равновесия значительно дольше, чем в жидкостях. Подобно твёрдым телам аморфные тела обладают упругостью, а подобно жидкостям – текучестью. Тепловое движение атомов кристалла представляет собой в
основном колебания атомов около узлов решётки (узлы кристаллической решётки – совокупность точек, в которых расположены атомные ядра).
Плавление и кристаллизация. Установлению идеального порядка в расположении атомов, т.е. образованию твёрдого тела, препятствуют тепловые движения. Поэтому для того, чтобы вещество могло находиться в твёрдом состоянии, его температура должна быть настолько низкой, чтобы энергия kT тепловых движений была меньше потенциальной энергии взаимодействия атомов.
Переход в твёрдое состояние из жидкого или газообразного состояния
представляет собой переход из состояния, лишённого симметрии, в состояние,
в котором симметрия существует. Поэтому переход в твёрдое состояние должен происходить скачком, т.е. при определённой температуре, в отличие от перехода жидкость – газ, который, как мы знаем, может происходить непрерывным образом.
Процесс образования твёрдого тела при охлаждении жидкости − кристаллизация происходит при определённой температуре – температуре кристаллизации (отвердевания). Так как при таком превращении потенциальная энергия
взаимодействия молекул уменьшается, а их кинетическая энергия не меняется,
то оно сопровождается выделением энергии в виде скрытой теплоты кристал80
лизации. Обратное превращение – плавление происходит скачком при той же
температуре и сопровождается поглощением энергии в виде скрытой теплоты
плавления, равной по величине теплоте кристаллизации. Скрытой теплотой называют потому, что процесс плавления (и кристаллизации) идёт при постоянной температуре; нагревание (охлаждение) как бы отсутствует, хотя поглощение (выделение) теплоты идет. В современной литературе слово «скрытая»
часто опускают, как лишнее.
Это ясно видно из графика зависимости
Т
1
температуры T охлаждающейся жидкости от
времени τ (кривая а на рисунке 16). Участок Т0
2
а
3
в
1 дает ход монотонного понижения температуры жидкости вследствие отвода тепла от
0
нее при охлаждении. На участке 2 тело суще-
Рисунок 16
τ
ствует одновременно в жидком и твёрдом состоянии. На участке 2 температура
остается постоянной, несмотря на отвод тепла, так как выделяющееся при кристаллизации тепло компенсирует отвод тепла. На участке 3 после окончания
кристаллизации температура, теперь уже твёрдого тела, вновь начинает понижаться.
Такой ход графика характерен для кристаллических тел. Температура Т0,
соответствующая участку 2, есть температура кристаллизации. Для аморфных
тел скрытая теплота не выделяется, и график охлаждения представляет собой
монотонную кривую без горизонтального «плато».
При обратном процессе перехода вещества из твёрдого состояния в жидкое (плавление) на кривой нагревания также наблюдается горизонтальное «плато» в повышении температуры, вследствие поглощения скрытой теплоты плавления – теплоты, идущей на разрушение кристаллической решётки (кривая в на
рисунке 16). Температура плавления равна температуре кристаллизации.
Количество тепла, необходимое для превращения единицы массы кристаллического тела в жидкость при температуре плавления, называют удельной
теплотой плавления:
81
λ=
Q
Дж
, [λ] =
.
m
кг
Удельная теплота кристаллизации также равна λ.
Наблюдения показывают, что температура плавления зависит от давления. Если плавление вещества сопровождается увеличением объёма (что наблюдается для большинства веществ), увеличение внешнего давления приводит
к повышению температуры плавления. Это связано с тем, что внешнее давление сближает атомы между собой, а для разрушения кристаллической решетки
при плавлении атомы нужно отдалить друг от друга: при большем давлении для
этого требуется большая энергия тепловых движений, т.е. более высокая температура. Для немногих веществ плавление сопровождается уменьшением его
объёма (лёд, висмут, сурьма, германий), что приводит к понижению температуры плавления при повышении давления.
Парообразование и конденсация. Испарение. Наблюдения показывают,
что жидкость может переходить в газообразное состояние. В газообразное состояние могут переходить и некоторые кристаллические вещества (например,
нафталин, лёд, камфара, йод). Процесс перехода вещества из жидкого или твёрдого состояния в газообразное, происходящий путём вылета молекул, называют
парообразованием. Совокупность вылетевших молекул называют паром этого
вещества. Обратный переход молекул из пара в жидкость называют конденсацией. Парообразование, происходящее с открытой поверхности вещества, называют испарением. Испарение кристаллических веществ называют сублимацией или возгонкой.
С поверхности жидкости вылетает часть молекул, образуя над жидкостью
пар. Для выхода из жидкости испаряющиеся молекулы должны преодолеть силы притяжения со стороны оставшихся молекул, т.е. совершить работу против
этих сил. Эта работа может быть совершена только за счёт кинетической энергии молекул. Не все молекулы способны совершить эту работу, а только те из
них, которые обладают достаточной для этого кинетической энергией. Поэтому
82
переход части молекул в пар приводит к обеднению жидкости быстрыми молекулами, т.е. к ее охлаждению. Интенсивное испарение может привести даже к
замерзанию жидкости.
Для испарения при постоянной температуре жидкости необходимо сообщать тепло. В состоянии теплового равновесия температуры жидкости и пара
одинаковы, несмотря на то, что испаряются молекулы с энергиями выше средней энергии. Объясняется это тем, что при переходе из жидкости в пар молекулы теряют избыток кинетической энергии, преодолевая силы притяжения. Поэтому средняя кинетическая энергия молекул пара оказывается равной средней
кинетической энергии молекул жидкости. Испарение в той или иной степени
идёт при всех температурах, причём с ростом температуры увеличивается
средняя кинетическая энергия молекул и число молекул, способных вырваться
из жидкости и перейти в газообразное состояние.
При испарении жидкости в замкнутом сосуде непременно настаёт момент, когда наступит динамическое равновесие, характерное для данной температуры: в жидкость возвращается столько же молекул, сколько вылетает из нее.
При этом плотность и давление пара остаются неизменными. Пар, находящийся
в равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным, а его давление называют упругостью насыщенного пара. Давление насыщенных паров – наибольшее давление, которое могут иметь пары при данной температуре.
Для определения давления
Рн, мм рт.ст.
насыщенного пара неизвестной
плотности пользуются таблицей
зависимости давления насыщен-
760
ного пара от температуры. Параметры каждого состояния насыщенного (в том числе и ненасы-
0
щенного) пара связаны между собой уравнением Клапейрона-Менделеева.
83
Рисунок 17
100
t, 0C
Упругость насыщенного пара растёт с повышением температуры. Чем
выше температура, тем большее число молекул жидкости обладает энергией,
достаточной для испарения, и тем большей должна быть плотность пара, чтобы
конденсация могла сравняться с испарением, т.е. чтобы установилось равновесие.
На рисунке 17 изображена зависимость упругости насыщенного пара Рн
от температуры Т при ее изменении в пределах 0 – 100 0С (для воды). Некоторые табличные значения: при t = −20 0С, Рн = 0,8 мм рт.ст.; при t = 100 0С, Рн =
760 мм рт.ст. = 1 атм.; при t = 179 0С, Рн = 10 атм.; при t = 374 0С, Рн = 220 атм.
Критическая температура. С повышением температуры плотность насыρ
щенного пара увеличивается, а плотность жидко-
жидкость
сти, находящейся в динамическом равновесии со
своим паром, уменьшается. При некоторой температуре tк плотность ρ жидкости и пара стано-
пар
0
вятся одинаковыми. Температура tк, при которой
tк
t
Рисунок 18
исчезает различие между жидкостью и ее насыщением паром, называют критической (см. рису-
нок 18). Для воды tк = 374 0С.
Кипение. Жидкость в открытом сосуде будет непрерывно испаряться,
поддерживая давление пара у поверхности равным упругости Рн. Испарение
происходит при любой температуре вне зависимости от внешнего давления.
Однако, атмосферное давление, под которым находится жидкость, существенно
влияет на ход процесса испарения. Если давление насыщенных паров Рн при
данной температуре меньше внешнего (атмосферного) давления Р, то происходит сравнительно медленное испарение жидкости с ее поверхности. Если же
давление насыщенных паров Рн достигает атмосферного давления Р, то начинается кипение, характеризуемое тем, что пар образуется не только с поверхности
жидкости, но и при разрыве всплывающих из глубины пузырьков, заполненных
насыщенным паром. Центрами образования этих пузырьков являются мельчайшие пузырьки посторонних газов или частицы различных примесей.
84
Небольшое уточнение: для того, чтобы всплывающие пузырьки лопались,
давление насыщенного пара, которым они заполнены, должно быть чуть выше
внешнего давления на жидкость.
Температура кипения равна температуре, при которой давление насыщенного пара равно внешнему давлению. Если менять давление над жидкостью, то будет меняться температура ее кипения.
Удельная теплота парообразования. Процесс превращения жидкости в пар
требует затрат энергии на разрыв связей между молекулами жидкости и на работу против сил внешнего давления. Если при этом жидкость не получает определённого количества теплоты, то ее температура будет понижаться. Удельной теплотой парообразования называют количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости для превращения в пар единицы ее массы при постоянных давлении и температуре (в частности, при температуре кипения):
r=
Q
,
m
[r] =
Дж
.
кг
Удельная теплота конденсации равна удельной теплоте парообразования,
так как при переходе пара в жидкость кинетическая энергия молекул увеличивается настолько, насколько они теряли ее при испарении.
Пар, находящийся над поверхностью жидкости, конденсируется. Для
конденсации пара, не соприкасающегося с жидкостью, необходимо наличие
центров конденсации, роль которых играют пылинки или поверхности, смачивающиеся данной жидкостью. Тщательно очищенный от примесей пар при отсутствии электрических зарядов может быть доведён до состояния с давлением,
превышающим давление насыщенных паров при данной температуре. Пар в таком состоянии называют перенасыщенным или переохлажденным. Это состояние является неустойчивым. Перенасыщенный пар можно получить при быстром охлаждении закрытого сосуда с воздухом, содержащим водяные пары.
85
Зависимость температуры кипения от внешнего давления. Определённому
внешнему давлению соответствует определённая температура кипения. При
неизменном внешнем давлении жидкость закипает, когда давление насыщенного пара в пузырьках сравняется с внешним давлением. Поэтому приведённая
ранее зависимость упругости насыщенного пара от температуры одновременно
позволяет определить и температуру кипения в зависимости от внешнего давления. В неглубоком сосуде это давление практически совпадает с атмосферным. При нормальном атмосферном давлении (Р = 760 мм рт.ст.) вода кипит
при 100 0С. Например, в горах на высоте 3 км атмосферное давление равно 526
мм рт.ст., вода на этой высоте кипит при 90 0С.
Перегретая жидкость. Тщательно очищенная и обезгаженная жидкость
может существовать при температуре выше точки кипения. Такую жидкость
называют перегретой, так как существует в условиях, при которых она должна
быть в газообразном состоянии. Перегрев жидкости можно осуществить как
подводом тепла, так и уменьшением внешнего давления. Перегретая жидкость
находится в неустойчивом состоянии. Из-за хаотичности теплового движения
молекул жидкости в каком-то месте могут образоваться области пониженной
плотности. Эти области пониженной плотности становятся центрами парообразования. Так, обезгаженная дистиллированная вода, находящаяся в отполированном сосуде при нормальном атмосферном давлении, не закипает при нагревании вплоть до 320 0С (перегретая вода), а затем взрывообразно вскипает, и
температура воды резко падает до 100 0С. В обычной воде имеются примеси и
растворённый газ (воздух), а микродефекты стенок сосуда содержат пузырьки
воздуха. Эти пузырьки и примеси служат центрами парообразования.
Кипячёная вода закипает при более высокой температуре, чем сырая (некипячёная) вода, так как после первого кипячения растворённый газ в воде содержится в ничтожном количестве.
86
7.5 Теплоёмкость идеальных газов
Идеальный газ – система, состоящая из невзаимодействующих материальных точек. Вместе с тем, взаимодействие между молекулами даже в случае
идеальных газов должно быть, но весьма слабое. Оно необходимо, так как
только благодаря нему в системе может установиться равновесие. Уравнение
состояния идеального газа для ν молей имеет вид: PV = νRT.
Из первого начала термодинамики (dQ = dU + dA = dU + PdV) ясно, что
количество теплоты, необходимое для изменения температуры газа, зависит от
того, совершается ли при этом работа, т.е. изменяется ли при этом объём. Если
нагреваемый (или охлаждаемый) газ заключён в закрытый сосуд постоянного
объёма, то подводимое к нему тепло dQ затрачивается исключительно на изменение его внутренней энергии (dQ = dU). Если же газ находится в сосуде, подобном изображённому на рисунке 13, то он будет расширяться, совершая работу перемещения поршня и сохраняя при этом давление постоянным. В этом
случае из уравнения
dQ = dU + PdV
следует, что при сохранении давления газа постоянным требуется большее количество теплоты.
Количество теплоты, необходимое для нагревания газа, зависит от количества нагреваемого газа и от того, на сколько градусов должна быть изменена
его температура. Чем больше то и другое, тем больше требуется количества теплоты. Поэтому для характеристики тепловых свойств газа, как и любого другого тела, пользуются особой величиной – теплоёмкостью.
Вспомним некоторые понятия, введённые ранее.
Теплоёмкостью тела (газа) называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно подвести к нему или отнять от него для изменения его
температуры на 1 К (1 кельвин).
87
Теплоёмкость, отнесённая к единице массы вещества, называется удельной теплоёмкостью. Она характеризует уже не тело, а вещество, из которого
тело состоит.
Теплоёмкость, отнесённая к одному молю вещества, называется молярной
теплоёмкостью. Как и удельная теплоёмкость, она является характеристикой
вещества.
Из приведённых определений ясно, что теплоёмкость тела выражается
в Дж/К, удельная теплоёмкость – в Дж/(кг∙К), а молярная теплоёмкость – в
Дж/(моль∙К).
Между удельной теплоёмкостью, которую будем обозначать через с, и
молярной теплоёмкостью Cµ существует очевидное соотношение:
с = Cµ/µ,
где µ − молярная масса вещества (численно равная массе моля).
Если 1 моль идеального газа нагревается на dT градусов, то количество
тепла, затрачиваемое на это, равно dQ = CµdT, откуда выражаем молярную теплоёмкость
Cµ =
dQ
.
dT
Пусть, нагревание 1 моля газа происходит при условии постоянства объёма (V = const). Соответствующую молярную теплоемкость называют молярной
теплоёмкостью при постоянном объёме или изохорической молярной теплоёмкостью и обозначают СV:
 dQ 
СV = 
 .
 dT  V
88
Так как при изохорическом процессе dV = 0 (для V = const), то из первого
начала термодинамики dQ = dU + PdV следует, что dQ = dU, т.е. теплота при
этом идёт только на изменение внутренней энергии, и
 dU 
СV = 
 .
 dT  V
Для 1 моля газа dU =
i
RdT, поэтому молярная теплоёмкость при посто2
янном объёме СV равна:
i
 dU 
СV = 
 = R.
 dT  V 2
Теперь рассчитаем изобарическую молярную теплоемкость CP для изобарического процесса (P = const):
d
 dQ 
(U + PdV )P = dU + P  dV  = CV + P  dV  .
CP = 
 =
dT
 dT  Р dT
 dT  P
 dT  P
Далее из уравнения Клапейрона-Менделеева для 1 моля газа PV = RT выражаем объём
V=
R
T
P
и дифференцируем это выражение по T при P = const:
R  dT 
R
 d  R 
 dV 

 =   T  =   = .
P
 dT  P  dT  P   P P  dT  P
Тогда
R
 dV 
P
 = P⋅ = R,
P
 dT  P
89
и
 dV 
CP = CV + P 
 = CV + R.
dT

P
Полученное выражение CP = CV + R называют уравнением Майера.
Из уравнения Майера следует, что молярная теплоёмкость при постоянном давлении CP больше молярной теплоёмкости при постоянном объёме CV на
величину универсальной газовой постоянной R:
CP − CV = R.
То, что CP > CV объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном
давлении теплота тратится не только на увеличение внутренней энергии, но и
на совершение работы расширения газа.
Если обратить внимание на формулу CP =
dU
 dV 
+ P
 , то нужно отмеdT
 dT  P
тить следующее. Изменение объёма dV твёрдых и жидких тел при нагревании
на dT незначительно и составляет (1-5)⋅10-5 их первоначального объёма. Поэтому для твёрдых и жидких тел зачастую можно пренебречь вторым слагаемым
dU
 dV 
P
и не различать молярные теплоёмкости
 по сравнению с первым
dT
 dT  P
при постоянном объёме СV и постоянном давлении CP, т.е. считать CP = CV.
Коэффициент объёмного расширения газов примерно в 100 раз больше
коэффициента расширения твёрдых и жидких тел, вследствие чего вклад в теп dV 
лоёмкость газов при постоянном давлении СР члена P 
 оказывается значи dT  P
тельным (см. уравнение Майера).
90
7.6 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в газе
Из первого начала термодинамики
dQ = dU + PdV =
i m
RdT + PdV
2 µ
видно, что подводимая к газу теплота может вызывать изменения температуры
газа (dT) и изменение его объёма (dV). Изменения объёма и температуры могут
происходить в различных условиях, и от этого зависит совершаемая при этом
работа. Рассмотрим случаи изопроцессов, когда один из параметров состояния
(P, V, T) остается неизменным при условии постоянства массы и состава (m =
const; µ = const) газа.
Изохорический процесс (V = const). При изохорическом процессе газ не
совершает работы над внешними телами, так как
dA = PdV = 0.
Из первого начала термодинамики для изохорического процесса следует,
что изменение внутренней энергии, т.е. нагревание или охлаждение газа, происходит только за счёт теплообмена с внешней средой:
dQ = dU или
где CV =
dQ =
m
CVdT,
µ
i
R − молярная изохорическая теплоёмкость газа.
2
Изотермический процесс (T = const). Внутренняя энергия зависит только
i m

от температуры 
RT  , в данном процессе температура не изменяется, сле2 µ

91
довательно, при изотермическом процессе U = const, т.е. dU =0. Тогда из первого начала термодинамики следует, что при изотермическом процессе:
dQ = dA = PdV,
т.е. вся сообщаемая газу теплота идёт на совершение работы расширения газа.
А при изотермическом сжатии работа внешних сил идёт на увеличение внутренней энергии, т.е. на нагревание внешних тел. Изотермический процесс является наиболее энергетически выгодным для превращения внутренней энергии
газа в механическую работу. Для определения работы, совершаемой при изотермическом расширении газа, нужно вычислить интеграл:
V2
A=
∫ PdV ,
V1
равный площади фигуры под изотермой (см. рисунок 19). Давление P нельзя
вынести за знак интеграла, так как P непрерывно изменяется при расширении
газа. Давление P выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева и подставляем в подынтегральное выражение:
P
m
PV = RT, откуда
µ
и
V2
1
T = const
m RT
,
P=
µ V
2
V
2
V
m
dV m
A = ∫ PdV = RT ∫
= RTln 2 .
µ
µ
V1
V1
V1 V
0
V1
V2
V
Рисунок 19
Как видно, работа изотермического расширения газа зависит от отношения
объемов (ln
V2
), а не от разности объёмов.
V1
Так как согласно закону Бойля-Мариотта
92
P1V1 = P2V2, то
V2
Р
= 1,
V1
Р2
и работу изотермического расширения газа можно выразить через отношение
давлений
V
Р
m
m
RTln 2 = RTln 1 .
µ
µ
V1
Р2
A=
Причём Q = A. Следовательно, для того, чтобы при изотермическом расширении газа его температура не уменьшалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное работе, совершаемое газом. А при изотермическом сжатии от газа нужно отводить количество теплоты, равное работе, совершённой
над газом.
Изобарический процесс (P = const). При изобарическом процессе количество теплоты, сообщаемое газу, идет как на увеличение внутренней энергии,
т.е. на нагревание, так и на работу расширения, совершаемую газом против
внешних тел. Поэтому первое начало термодинамики для изобарического процесса записывается в виде:
dQ = dU + dA = dU + PdV.
При изобарическом процессе работа изобарического расширения от объёма V1 до V2 равна:
A=
V2
V2
V1
V1
∫ PdV = P ∫ dV = P(V2 − V1),
и на диаграмме в координатах P-V определяется площадью заштрихованного
прямоугольника (см. рисунок 20).
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний 1 и 2
93
PV1 =
m
m
RT1 и PV2 = RT2,
µ
µ
P
1
P = const
2
V1
V2
откуда выражаем
V2 − V1 =
0
m R
(T2 − T1)
µ P
V
Рисунок 20
и, подставляя в выражение для работы изобарического расширения, получаем:
A = P(V2 − V1) =
Из уравнения A =
m
R(T2 − T1).
µ
m
R(T2 − T1) следует, что при m = µ и T2 − T1 = 1 К поµ
лучаем R = A, т.е. универсальная газовая постоянная численно равна работе
изобарического расширения 1 моля идеального газа при его нагревании на 1 К.
При изобарическом нагревании газа:
dQ =
m
CPdT,
µ
dA = PdV =
m
RdT,
µ
а внутренняя энергия возрастает на величину
dU =
где CP =
m
CVdT,
µ
i+2
i
R, CV = R − молярные теплоёмкости при P = const и V =
2
2
const, соответственно.
Адиабатический процесс (dQ = 0). При адиабатическом процессе нет теплообмена между системой (газом) и окружающей средой.
94
В этом случае первое начало термодинамики принимает вид: 0 = dU + dA,
или
dA = − dU,
PdV = −
m
i
CVdT, где CV = R.
µ
2
Таким образом, при адиабатическом процессе работа, связанная с изменением объёма газа, происходит за счёт изменения внутренней энергии, т.е. температуры. Знак минус в последнем выражении означает, что увеличение объёма
газа, т.е. расширение, сопровождается понижением температуры, а сжатие –
повышением температуры. При расширении газа работа совершается газом за
счёт внутренней энергии, поэтому его температура понижается. При сжатии газа работа совершается внешними силами, и за счёт этой работы растёт его
внутренняя энергия, т.е. и температура газа.
При изотермическом процессе (T = const) уравнение изотермы определяется законом Бойля-Мариотта PV = const, а при адиабатическом процессе уравнение адиабаты определяется выражением:
PVγ = const.
Это уравнение называют уравнением Пуассона, в котором показатель
адиабаты γ =
CP
i+2
=
− безразмерная величина (i − число степеней свободы
i
CV
молекул газа).
Из сопоставления уравнения адиабаты PVγ = const, где показатель адиабаты γ > 1, с уравнением изотермы PV = const следует, что на диаграмме в координатах P-V адиабата идёт «круче» чем изотерма (см. рисунок 21).
Учитывая уравнение состояния идеального газа PV =
чить еще 2 уравнения адиабатического процесса:
95
m
RT, можно полуµ
TVγ-1 = const,
ТγР1-γ = const.
Так как γ > 1, то из TVγ-1 = const, следует, что при адиабатическом сжатии
газ нагревается, а при адиабатическом расширении – охлаждается. На этом основано явление пневматического огнива. Это явление находит применение в
дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путём адиабатического сжатия. Нагревание газа при адиабатическом сжатии объясняется тем,
что во время сжатия над газом производится работа, которая идёт на увеличение его внутренней энергии. А так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от
P
1
изотерма
адиабата
температуры, то это увеличение внутренней
энергии проявляется в повышении его температуры. Аналогично объясняется и охлаждение газа при адиабатическом расширении.
Известны следующие выражения для ра-
2
0
V1
V2
V
Рисунок 21
боты при адиабатическом расширении газа:
γ −1
γ −1
m
m RT1   V1   P1V1   V1  
1 −    =
1 −    ,
A = CV(T1 − T2) =
µ
µ γ − 1   V2   γ − 1   V2  




где CV =
C
i m
R; γ = P ; CP = CV + R;
2 µ
CV
P1V1 =
m
m
RT1 и P2V2 = RT2.
µ
µ
При адиабатическом расширении объёмы газа изменяются от V1 (состояние 1) до V2 (состояние 2) его температура уменьшается от T1 до T2.
Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении от объёма V1
до V2 определяется заштрихованной площадью под адиабатой (см. рисунок 18).
Эта работа меньше, чем при изотермическом расширении газа от V1 до V2.
Такое отличие связано с тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, а при изотермическом процессе температура поддержи96
вается постоянной за счёт сообщения газу количества теплоты, эквивалентного
совершённой работе.
7.7 Обратимые и необратимые процессы
Если молекулярную систему вывести из состояния равновесия, то, как
показывает опыт, происходит самопроизвольный переход к равновесному состоянию. Всякая молекулярная система в отсутствие внешних воздействий переходит в состояние равновесия. Процесс перехода к равновесию называют релаксацией, а время, необходимое на это, называют временем релаксации. Как
показывает опыт, система без внешнего воздействия не может сама перейти из
равновесного положения в первоначальное неравновесное состояние.
Так, например, если два соприкасающихся тела имеют вначале разные
температуры, то со временем температуры тел выравниваются. Но обратный
процесс – установление разности температур без внешнего воздействия не происходит.
Так же, если два сообщающихся сосуда вначале содержали различные газы, то из-за взаимной диффузии концентрации обоих газов станут всюду одинаковыми. Это и будет равновесным состоянием. А разделение газов без внешнего воздействия невозможно.
Приведённые примеры указывают на необратимость процессов, происходящих в молекулярных системах. В механике все процессы, происходящие без
участия сил трения, характеризуются обратимостью. В термодинамике также
возможны макроскопические обратимые процессы, если отвлечься от молекулярного строения.
Обратимым процессом называют такое изменение состояния системы, которое, будучи проведено в обратном направлении, возвращает ее в исходное
состояние так, что система проходит через те же промежуточные состояния,
что и в прямом процессе, но в обратной последовательности, а состояние тел
вне системы остаётся неизменным.
97
Любой равновесный процесс является обратимым, так как любое промежуточное состояние является состоянием равновесия и для него безразлично,
процесс идёт в прямом или обратном направлении. Обратимые процессы – это
идеализация реальных процессов, когда не рассматривают потери энергии за
счёт трения, теплопроводности и т.д.
7.8 Тепловые двигатели. Физические основы работы и коэффициент
полезного действия тепловых двигателей
Механическая энергия системы при наличии трения идёт на увеличение
внутренней энергии, т.е. идёт на увеличение кинетической энергии хаотического движения молекул. А в тепловых двигателях происходит обратный процесс –
превращение части внутренней энергии системы в механическую энергию упорядоченного движения тела как целого. Основными частями любого теплового
двигателя являются:
- рабочее тело – это вещество, внутренняя энергия которого используется
для преобразования в механическую;
- нагреватель – совокупность частей, обеспечивающих увеличение температуры рабочего тела;
- холодильник – совокупность устройств, служащих для охлаждения рабочего тела.
В качестве рабочего тела обычно используют газ (например, пары бензина, водяной пар, и т.п.), который расширяясь, совершает работу.
Тело за счёт полученного тепла может совершать работу, если оно при
этом может расширяться. Согласно первому началу термодинамики эта работа
равна dA = dQ − dU. Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе dA = dQ так как dU = 0.
При наличии разности температур часть теплоты из-за необратимого процесса теплопроводности идёт на увеличение внутренней энергии тела. При бесконечно малой разности температур, чтобы процесс передачи теплоты все-таки
98
был возможен, процесс практически можно считать изотермическим. Таким
образом, для получения максимальной работы между расширяющимся телом
(газом) и источником тепла не должно быть разности температур. При этом
происходит однократный процесс преобразования теплоты в механическую работу.
Для практических целей представляет интерес циклический процесс: действующие устройства, в которых процессы передачи теплоты и ее преобразования в работу периодически повторяются. Для этого необходимо, чтобы тело после совершения работы за счёт полученной теплоты вернулось в исходное состояние, чтобы начать такой же процесс. Таким образом, тело должно совершать круговые процессы. Круговым процессом (циклом) называют процесс, т.е.
совокупность изменений состояния, после которого восстанавливается исходное состояние.
Пусть, какое-то устройство (тепловой двига-
P
1
Q1
тель) совершает многократно некоторый круговой
2
процесс (цикл). В ходе цикла рабочее вещество, например, идеальный газ, получая теплоту Q1 от нагревателя, расширяется от объёма V1 до V2 и совершает работу, затем возвращается в исходное со-
Q2
0
V1
V2
V
Рисунок 22
стояние путем сжатия до V1 (см. рисунок 22). Но работа сжатия должна быть
меньше работы расширения, чтобы работа рабочего тела за цикл была положительной. Иначе цель нашего цикла не будет достигнута. А для этого рабочее тело при сжатии должно пройти через ряд состояний по кривой, лежащей ниже
кривой расширения. Но более низкая кривая на диаграмме P-V соответствует в
среднем более низкому давлению и, следовательно, более низкой температуре.
Значит, перед сжатием газ должен быть охлаждён, и от него нужно отнять за
цикл некоторое количество теплоты Q2 и передать холодильнику. Поэтому для
циклической работы теплового двигателя кроме источника тепла (нагревателя)
и рабочего тела (газа) необходим холодильник. Просто передача тепла от на-
99
гревателя к рабочему телу никак не связана с работой, а приводит только к увеличению внутренней энергии (температуры) рабочего тела.
Так как рабочее вещество, совершив цикл, возвращается в исходное состояние, то изменение внутренней энергии за цикл равно нулю (dU = 0). Количество теплоты, полученное рабочим веществом за цикл, равно Q1 − Q2, где
Q1 − теплота, полученная рабочим веществом от нагревателя при расширении, а
Q2 − теплота, отдаваемая рабочим веществом холодильнику при сжатии. Работа
A, совершаемая за цикл, равна заштрихованной площади фигуры, охватываемой замкнутой кривой (см. рисунок 19). Согласно первому закону термодинамики:
A = Q1 − Q2.
Такое циклически действующее устройство, совершающее механическую
работу за счет получаемой извне теплоты, называют тепловым двигателем (тепловой машиной). Не вся получаемая теплота Q1 идет на совершение работы,
часть теплоты Q2 возвращается во внешнюю среду. Эффективность работы тепловых двигателей характеризуют коэффициентом полезного действия η, который равен отношению совершаемой за цикл работы A к количеству теплоты Q1,
получаемому от нагревателя за цикл:
η=
Q − Q2
Q
A
= 1
=1− 2 .
Q1
Q1
Q1
Из определения КПД следует, что всегда η < 1.
Роль тепловых двигателей в народном хозяйстве. Наибольшее значение имеет использование тепловых двигателей (в основном мощных паровых
турбин) на тепловых электростанциях, где они приводят в движение роторы генераторов электрического тока.
На всех основных видах современного транспорта преимущественно используются тепловые двигатели: на автомобильном – поршневые двигатели
100
внутреннего сгорания; на водном – двигатели внутреннего сгорания и паровые
турбины (для крупных судов); на железнодорожном – тепловозы с дизельными
установками; в авиации – поршневые, турбореактивные и реактивные двигатели. Без тепловых двигателей современная цивилизация немыслима. Без них мы
не имели бы в изобилии дешёвую электроэнергию и были бы лишены всех двигателей скоростного транспорта.
Негативное влияние тепловых машин на окружающую среду связано с
действием различных факторов:
- при сжигании топлива используется кислород из атмосферы, вследствие
чего содержание кислорода в воздухе снижается;
- сжигание топлива сопровождается выделением в атмосферу углекислого
газа;
- при сжигании угля и нефтепродуктов атмосфера загрязняется азотными
и сернистыми соединениями, вредными для здоровья человека.
7.9 Холодильная машина. Холодильный коэффициент
Если обратить цикл, совершаемый тепловой машиной, получится цикл
холодильной машины (см. рисунок 23). Холодильная машина – это периодически действующее устройство, в котором за счёт работы внешних сил тепло отнимается от более холодного тела и передаётся теP
1
лу с более высокой температурой. Такая машина
Q2
отбирает за цикл от тела с более низкой температурой количество теплоты Q1 и отдает телу с более
2
Q1
0
V1
V2
Рисунок 23
высокой температурой количество теплоты Q2. За
V
цикл над рабочим телом совершается работа A′ =
Q2 − Q1. При этом работа сжатия производится
внешним источником энергии. Как было показано (при обсуждении работы теплового двигателя), эта работа превосходит работу, совершённую рабочим телом при расширении. Поэтому результатом обратного цикла будет не внешняя
101
полезная работа, а перенос тепла от холодильника к нагревателю, т.е. от менее
нагретого тела к более нагретому. Так как рабочее тело при обратном (холодильном) цикле проходит через те же промежуточные состояния, что и при
прямом процессе, но в обратной последовательности, то работа А′ обратного
цикла связана с работой А прямого цикла соотношением: А′ = −А. Эффективность работы холодильной машины характеризуют холодильным коэффициентом k, который равен отношению отнятого за цикл от охлаждаемого тела теплоты Q1 к работе А′, затраченной за цикл на приведение машины в действие:
k=
Q1
Q1
=
.
A′ Q 2 − Q1
Для реализации холодильного цикла необходимо подобрать рабочее вещество, поглощающее теплоту при низкой температуре. Поэтому приходится
использовать процесс, связанный с изменением агрегатного состояния – плавлением или кипением. В некоторых типах устаревших моделей бытовых холодильников рабочим веществом служит фреон − газ, который может превращаться в жидкость в конденсаторе, расположенном в нагревателе. В испарителе, расположенном в холодильнике, давление значительно ниже, чем в конденсаторе. Проходя через испаритель, фреон испаряется, поглощая тепло Q1. После
этого фреон нагнетают в конденсатор, где фреон сжимается и выделяет количество тепла Q2. Для бытовых холодильников холодильный коэффициент имеет
значения k = 2 − 5.
Так как фреон при утечке попадает в атмосферу и приводит к разрушению озонового слоя, то в современных холодильниках вместо фреона используют другие вещества. Например, в некоторых промышленных холодильниках
рабочим веществом служит недорогой аммиак.
102
7.10 Второе начало термодинамики
Теперь можно познакомиться и с другой формулировкой первого начала
термодинамики: невозможен вечный двигатель первого рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в большем количестве, чем получаемая им извне энергия. Справедливость этой формулировки следует из записи: dQ = dU + dA. Действительно, так как система периодически возвращается в исходное состояние, то внутренняя энергия не изменяется, т.е. dU = 0, и dA = dQ (A = Q).
С точки зрения первого начала термодинамики возможны все процессы,
при которых сохраняется энергия. Например, превращение тепловой энергии
целиком в механическую не связано с нарушением первого начала термодинамики. Второе начало термодинамики накладывает запрет на этот и подобные
ему процессы превращения. Согласно второму началу термодинамики, теплоту
можно превратить в работу только при условии, что часть этой теплоты одновременно перейдёт от горячего тела к холодному (принцип действия тепловых
двигателей).
Второе начало термодинамики, как и первое, имеет несколько формулировок:
1) невозможен круговой процесс, единственным результатом которого
является передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому;
2) невозможен вечный двигатель второго рода, т.е. такой периодически
действующий двигатель, который получал бы тепло от одного резервуара – нагревателя и превращал это тепло полностью в работу.
Второе начало термодинамики не запрещает переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому. Такой переход совершается в холодильной машине. Дело в том, что этот переход не является единственным результатом
процесса, так как он сопровождается изменениями в окружающих телах, связанными с совершением над системой работы А′.
103
Одно из проявлений второго закона (начала) термодинамики − необратимость тепловых процессов. В замкнутой системе теплота не может самопроизвольно перейти от более холодных частей системы к более горячим частям.
7.11 Цикл Карно. Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя
Французский инженер С.Карно в 1824 г. вывел теорему, носящую его
имя: из всех периодически действующих тепловых двигателей, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т1) и холодильников (Т2), наибольшим коР
Q1
1
dQ = 0
эффициентом полезного действия обладают
T1 = const
2
dQ = 0
4
Q2
3
T2 = const
0
Рисунок 24
V
обратимые тепловые двигатели. Карно теоретически проанализировал наиболее экономичный обратимый цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, называемый циклом Карно (см. рисунок 24). Расчёт коэффициента полезного действия η теплового двигателя, рабо-
тающего по циклу Карно, даёт результат:
η=
Q1 − Q 2
Т − Т2
Т
= 1
=1− 2.
Q1
Т1
Т1
Р. Клаузиус доказал, что КПД теплового двигателя не может быть больше
величины:
ηmax =
Т1 − Т 2
Т
=1− 2.
Т1
Т1
Таким образом, получается, что КПД теплового двигателя, работающего
по циклу Карно максимален. Для реальных тепловых двигателей, работающих
при данных температурах нагревателя T1 и холодильника T2, КПД
104
ηmax = 1 −
Т2
Т1
является теоретическим пределом, к которому можно стремиться, улучшая характеристики двигателя.
Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, называют идеальным
тепловым двигателем.
Значения коэффициентов полезного действия основных типов тепловых
двигателей:
для паровой машины η = 7 − 12 %;
для паровой турбины η = 25 %;
для карбюраторного двигателя внутреннего сгорания η = 25 %;
для дизельного двигателя внутреннего сгорания η = 40 %;
для газовой турбины η = 60 %;
для воздушно-реактивного двигателя η = 25 %.
8 Реальные газы
Рассмотренные ранее законы идеального газа (Бойля-Мариотта, Шарля,
Гей-Люссака) описывают поведение реального газа при достаточно высоких
температурах и низких давлениях. В модели идеального газа пренебрегают
размерами молекул и их взаимодействием друг с другом. Оба допущения, положенные в основу теории идеального газа, являются приближёнными. С повышением давления среднее расстояние между молекулами уменьшается, поэтому необходимо учитывать и объём (размеры) молекул и их взаимодействие
между собой. При атмосферном давлении при 0 0С среднее расстояние между
молекулами азота в 10 раз превосходит их размеры (радиус молекулы порядка
10-10 м), а их общий объем в 2 000 раз меньше объёма, занимаемого газом. При
этих условиях, тем более при меньших давлениях, можно пренебречь как объёмом молекул, так и их взаимодействием, так как силы межмолекулярного взаи105
модействия быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами. Но
уже при давлении в 100 атм молекулы газа в среднем удалены друг от друга на
расстояние, лишь вдвое превышающее их размеры, а собственный объём молекул лишь в 20 раз меньше объёма газа. В этих условиях объёмом молекул нельзя пренебречь, а силы межмолекулярного взаимодействия уже проявляются не
только в моменты столкновений. Таким образом, при высоких давлениях и низких температурах модель идеального газа непригодна. Что понимается под
термином «низкая температура» рассмотрим ниже.
8.1 Изотермы реального газа. Насыщенные пары. Критическая температура
Известно, что при определённых значениях давления и температуры газы
конденсируются, т.е. переходят в жидкое состояние. Это явление никак не следует из уравнения состояния идеального газа. Для изучения этого явления рассмотрим процесс изотермического сжатия вещества. Пусть, первоначально вещество находится в газообразном состоянии при температуре, меньшей характерного для данного газа значения. Вначале по мере уменьшения объёма давление растёт обратно пропорционально объёму (см. рисунок 25). Затем при достижении объёма Vг давление перестаёт изменяться, несмотря на то, что перемещение поршня продолжается. Как раз в
Р
этот момент можно заметить, что на поверхности поршня
появляются
Рн
и на стенках сосуда
капельки
жидкости.
При
дальнейшем уменьшении объёма увеличивается количество жидкости, и соответст0
Vж
Vг
Рисунок 25
V венно, уменьшается количество газа (пара)
над жидкостью, но давление остаётся по-
стоянным (это давление равно давлению Рн насыщенного пара при данной температуре). Давление остаётся постоянным до тех пор, пока весь объём не ока106
жется заполненным жидкостью (это происходит при достижении объема Vж).
Если продолжать теперь сжимать жидкость, то даже незначительное уменьшение объёма достигается за счёт значительного увеличения давления (рисунок
25). Это означает, что сжимаемость жидкости крайне мала. Итак, на диаграмме
P-V состояниям равновесия между жидкостью и паром соответствует горизонтальный участок изотермы.
Для примера можно привести соотношение между величинами, характеризующими процесс конденсации водяного пара. Так, например, при превращении воды в пар при 100 0C удельный объём пара в 1 650 раз больше удельного объёма воды (удельный объём ν − это
Р
объём, занимаемый единицей массы вещеТ > Ткр
плотности ν = ρ-1 = V/m). Это означает, что
Ркр
0
ства, т.е. это величина, обратная удельной
Vж
Vг
Рисунок 26
если строить изотерму для водяного пара
Ткр
0
Т2 >Т1 при 100 C, то объёмы Vг и Vж отличаются
Т1
в 1 650 раз. При более высоких температуV рах разница между Vг и Vж уменьшается и
при критической температуре Ткр горизон-
тальный участок изотермы превращается в точку (см. рисунок 26).
При критической температуре удельные объёмы жидкости и насыщенного пара становятся равными, т.е. плотности жидкости и насыщенного пара, величины, обратные удельным объёмам, становятся одинаковыми. Так, для воды
критическая температура Ткр = 374 0C, критическое давление Ркр = 220 атм, а
плотность ρкр = 329 кг/м3. При температурах выше критической (Т > Ткр) вода
ведёт себя как обычный газ, т.е. при повышении давления ее объём уменьшается (рисунок 26). Вместо двух одновременно существующих состояний, жидкого
и газообразного, теперь остаётся только одно состояние – газообразное, хотя
при достаточно высоком давлении его плотность может стать больше плотности воды.
107
Сказанное относится не только к воде, но и к любому веществу. Для каждого вещества существует некоторая температура, при которой исчезает различие между паром и жидкость, и выше этой температуры вещество может быть
однородным (газообразным) при любом сжатии. Эту температуру называют
критической температурой. Критическая температура для воды Ткр = 374 0C,
для углекислого газа Ткр = 31,4 0C, для азота Ткр = − 147 0C, для кислорода Ткр =
− 119 0C, для аммиака Ткр = 133 0C.
Если на рассмотренных изотермах
соединить точки перехода пара в жидкость Р
и жидкости в пар, то получится плавная коГ
локолообразная кривая, под которой в фазовом равновесии находятся пар и жидкость (на рисунке 27 область «П+Ж»). Через вершину этой кривой можно провести
критическую изотерму. Область под крити- 0
ческой изотермой делится колоколообраз-
Ж
Ж+П
Рисунок 27
П
V
ной кривой на области однородных состояний вещества – жидкость (на рисунке
область «Ж»), пара (на рисунке область «П»). Область выше критической изотермы занята также однородным состоянием вещества – газообразным (на рисунке 27 область «Г»).
Описывая газообразное состояние вещества, используют термины «газ» и
менее общий термин «пар». Пар – это газ, находящийся в состояниях, близких к
конденсации, точнее это такой газ, который при рассматриваемых условиях путём изотермического сжатия можно обратить в жидкость. Любой газ при достаточно низких температурах «становится» паром.
Насыщенный пар – это такой пар, который находится в динамическом
равновесии со своей жидкостью, т.е. когда за любой произвольный промежуток
времени число молекул, вылетевших из жидкости в пар, равно числу молекул,
возвращающихся в жидкость обратно из пара. Насыщенный пар имеет наибольшие плотность и давление, возможные для пара при данной температуре. У
108
ненасыщенного пара давление меньше давления насыщенного пара при данной
температуре.
Так как при температурах ниже критической равновесие между жидкостью и паром имеет место при определённых значениях давления и температуры, то зависимость давления Рн насыщенного пара от температуры представляет собой кривую фазового равновесия жидкости и пара (см. рисунок 28). Любая
точка слева от приведённой кривой соответствует жидкому состоянию, а точки,
расположенные справа от нее, соответствуют газообразной фазе. Это значит,
что пар, состояние которого характеризуется какой-либо точкой справа от кривой, сконденсируется, если, соРн, атм
храняя неизменным давление (со-
220
хранить давление пара постоянным можно, например, дав воз-
жидкость
можность поршню свободно пепар
ремещаться над паром), понизить
1
0
его температуру. А жидкость, со100
Рисунок 28
0
374 t, C стояние которой задано координатами точки, расположенной слева
от кривой, перейдет в пар, если повысить ее температуру. И только точки, лежащие на самой кривой, соответствуют фазовому равновесию, т.е. одновременному существованию жидкости и пара над ней. Эту кривую, точки которой соответствуют равновесию фаз, называют фазовой диаграммой. Она разделяет
области, точки которых соответствуют однофазным состояниям вещества. Характерной особенностью кривой является то, что она имеет конец, так как она
не может быть продолжена выше критической температуры. Выше критической температуры нет двух фаз, поэтому не может быть и их равновесия (на рисунке указаны критические параметры для воды Рн = 220 атм, Ткр = 374 0C).
109
8.2 Пары в воздухе. Абсолютная и относительная влажность
В результате испарения воды с поверхностей морей, океанов и других водоёмов, а также с растительных покровов в атмосферном воздухе всегда содержится водяной пар. Водяной пар, содержащийся в воздухе, оказывает существенное влияние, как на природные явления, так и на условия существования
растений и животных, условия жизни человека. Для количественной оценки содержания водяных паров в воздухе вводят понятие влажности воздуха. Прогноз
погоды невозможен без знания влажности.
Абсолютной влажностью ρ воздуха называют величину, численно равную
массе водяного пара, содержащегося в 1 м3 воздуха при данной температуре,
т.е. абсолютная влажность равна плотности паров воды. Из уравнения Клапейрона-Менделеева PV =
m
RT (для воды µ = 18 г/моль) следует, что
µ
P=
m RT
RT
=ρ
,
V µ
µ
т.е. парциальное давление Р водяного пара при неизменной температуре пропорционально его плотности ρ. Поэтому абсолютную влажность можно также
определить как парциальное давление водяных паров в воздухе. Согласно закону Дальтона атмосферное давление Ратм = Р + Рв, где Р − парциальное давление
водяных паров, Рв − давление, создаваемое сухим воздухом.
Для определения степени влажности кроме абсолютной влажности необходимо также знать, близок или далёк водяной пар, содержащийся в воздухе, от
состояния насыщения. Поэтому кроме абсолютной влажности введено понятие
относительной влажности. Относительной влажностью В называют отношение
(выраженное обычно в процентах) абсолютной влажности ρ к плотности насыщенного пара ρн при той же температуре:
110
В=
ρ
ρ
;В=
100 %.
ρн
ρн
Относительная влажность также может быть определена как отношение
парциального давления Р водяного пара при данной температуре к давлению
насыщенного пара Рн при той же температуре:
В=
Р
Р
;В=
100 %.
Рн
Рн
Оба определения относительной влажности равнозначны. Относительная
влажность 50-60 % считается оптимальной для нормального самочувствия человека.
Так как молярная масса водяного пара µп = 18 г/моль меньше молярной
массы сухого воздуха µв = 29 г/моль, то плотность влажного воздуха меньше
плотности сухого воздуха. Уменьшение плотности влажного воздуха по сравнению с плотностью сухого воздуха следует из закона Авогадро: при одинаковых условиях в 1 м3 сухого и влажного воздуха должно содержаться одинаковое число молекул. Поэтому при увеличении влажности замещение части молекул воздуха более легкими молекулами воды приводит к уменьшению плотности влажного воздуха. А эта разница в плотностях приводит к тому, что водяной пар, испаряющийся с поверхности морей и океанов, имея меньшую плотность по сравнению с сухим воздухом, поднимается вверх. А вновь поступающий сухой воздух, соприкасаясь с морской поверхностью, насыщается влагой и
в свою очередь поднимается. Таким образом, атмосфера запасает огромное количество энергии. При конденсации часть этой энергии проявляет себя в опустошительных ураганах.
111
8.3 Точка росы
На рисунке 29 изображена зависимость плотности насыщенного пара ρн
от температуры t. Пусть, абсолют-
ρн
ная влажность воздуха при температуре t1 равна ρ1. При понижении
ρн2 = ρ1
ρн3
температуры абсолютная влажность не меняется, но при этом
0
t3
t2
t
t1
Рисунок 29
плотность насыщенного пара понижается, и это приводит к росту
относительной влажности. При некоторой температуре t2 плотность ρ1 станет
равной плотности насыщенного пара ρн2 при температуре t2. Относительная
влажность достигает значения В = 100 %, пар становится насыщенным. Дальнейшее понижение температуры до t3 приводит к конденсации пара. Температуру t2, при которой водяной пар, содержащийся в воздухе, становится насыщенным, называют точкой росы. По значениям двух температур t1 и t2 с помощью таблиц можно определить абсолютную (ρ1) и относительную (В1) влажность при температуре t1:
ρ1 = ρн2,
B1 =
ρ1
ρ
= н2 ,
ρ н1
ρ н1
где ρн1 и ρн2 − плотности насыщенных паров при t1 и t2, соответственно.
Снижение температуры ниже точки росы приводит к образованию тумана
и выпадению росы. Агрегатное превращение пара в воду сопровождается выделением скрытой теплоты конденсации.
8.4 Гигрометры. Психрометры
Влажность воздуха определяют с помощью приборов – гигрометров и
психрометров.
112
Принцип действия волосного гигрометра основан на свойстве обезжиренного человеческого волоса изменять свою длину при изменении влажности
воздуха. При увеличении влажности волос удлиняется, а при уменьшении –
укорачивается. К волосу, прикрепленному к крышке прибора, подвешивается
небольшой груз. Блок со стрелкой указателя прикрепляется к волосу. При изменении длины волоса стрелка перемещается по шкале. После предварительной
градуировки таким прибором можно непосредственно определять относительную влажность.
Конденсационный гигрометр предназначен для непосредственного определения точки росы. Прибор представляет собой горизонтально расположенную металлическую цилиндрическую камеру с зеркально отполированной торцевой поверхностью. В камеру, наполовину заполненную легко испаряющейся
жидкостью – эфиром, вставляют термометр и конец трубки от резиновой груши
пульверизатора. Конец трубки погружают в эфир. Покачивание воздуха через
эфир вызывает интенсивное испарение эфира и его сильное охлаждение. При
понижении температуры отполированных стенок до точки росы водяной пар,
содержащийся в воздухе, начинает конденсироваться и образует росу, т.е. полированное основание камеры запотевает, и полировка теряет свой зеркальный
блеск. В этот момент по показанию термометра, вставленного в камеру, определяют точку росы (температуру, при которой начинает выпадать роса). Далее
по таблицам определяют абсолютную и относительную влажность при данной
температуре.
Психрометр состоит из двух одинаковых термометров, укреплённых на
вертикальной стойке. Носик первого термометра обёрнут марлей, конец которой опускают в чашку с водой. Вследствие явления капиллярности вода по
марле поднимается вверх, и марля всегда остается влажной. Носик второго
термометра сухой. При испарении воды с марли первый термометр охлаждается, и его температура становится меньше температуры воздуха (показаний второго сухого термометра). Чем меньше относительная влажность воздуха, тем
интенсивнее испаряется вода с марли, и тем больше разница показаний влажно113
го и сухого термометров. А при увеличении относительной влажности воздуха
разность показаний термометров уменьшается, вплоть до нулевой разницы показаний термометров при 100 % влажности. По разности показаний сухого и
влажного термометров с помощью специальных психрометрических таблиц
определяют влажность воздуха. Психрометр значительно точнее волосного
гигрометра.
9 Поверхностное натяжение жидкостей. Сила поверхностного натяжения
Вначале познакомимся с некоторыми свойствами жидкости. Плотность
вещества в жидком состоянии в сотни раз больше, чем в газообразном состоянии. Это означает, что в жидкости молекулы близко расположены относительно друг друга и важнейшую роль играют силы межмолекулярного взаимодействия. Молекулы жидкости совершают непрерывное беспорядочное движение
около положений равновесия, причём их кинетическая энергия определяется
температурой жидкости. Хотя свобода передвижения молекул ограничена силами межмолекулярного взаимодействия, они могут перемещаться, перескакивая из одного равновесного положения в другое. Этим объясняется свойство
текучести жидкости. Характерной особенностью, отличающей жидкость от газа, является ее способность сохранять свой объём. Это приводит к тому, что
жидкость в сосуде занимает лишь часть его объёма, и на границе с газом или
паром образуется открытая поверхность. Рассмотрим явления, связанные с существованием у жидкости свободной поверхности.
Поверхность жидкости, соприкасающейся с другой средой, например, с ее
собственным паром или каким-то газом, с какой-либо другой жидкостью или с
твёрдым телом (например, со стенками сосуда), находится в особых условиях
по сравнению с остальной массой жидкости.
Если молекула находится внутри объёма жидкости, то силы межмолекулярного притяжения действуют на каждую молекулу равномерно со всех сто114
рон и потому взаимно компенсируются (см. рисунок 30). А в поверхностном
слое, граничащем с другой средой, молекулы поверхностного слоя взаимодействуют с молекулами соседствующей среды по-разному. Поэтому силы, действующие на молекулу в этом слое, оказываются неуравновешенными – существует некоторая равнодействующая сила, направленная или в сторону объёма
жидкости, или в сторону граничащей с ней среды.
Если жидкость граничит со своим собственным паром или каким-то газом, то результирующая сила F, действующая на молекулы поверхностного слоя, направлена
внутрь жидкости (рисунок 30). Это объясняется тем, что
F
F=0
Рисунок 30
плотность молекул жидкости значительно больше, чем в насыщенном паре (газе) над жидкостью (при температурах, меньших критической). Поэтому сила
притяжения, испытываемая молекулами поверхностного слоя со стороны молекул жидкости, больше, чем со стороны молекул пара (газа). Под действием этой
результирующей силы F молекулы стремятся перейти во внутренние слои, а
жидкость стремится принять такую форму, площадь поверхности которой имела бы наименьшее значение. Поверхностный слой жидкости при этом сокращается и находится в состоянии натяжения. Поверхностное натяжение проявляет
себя как сила, направленная по касательной к поверхности жидкости. Эту силу
называют силой поверхностного натяжения. Толщина поверхностного слоя, в
котором проявляется нескомпенсированность молекулярных сил, равна примерно диаметру молекул (≈ 10-9 м − по оценкам самой общей картины взаимодействия молекул в жидкости).
Физически ясно, что для извлечения молекулы из внутренних частей на ее
поверхность требуется затратить работу. При этом размещение молекулы в поверхностном слое увеличивает поверхность жидкости на конечную величину.
Наоборот, увеличение поверхности на величину ∆S однозначно связано с определённым числом молекул, размещаемых в поверхностном слое.
При увеличении поверхности внешние силы должны совершить работу
против сил поверхностного натяжения, препятствующих растяжению поверх115
ности жидкости. Если при постоянной температуре обратимым путем увеличить поверхность жидкости на ∆S, то необходимая для этого работа пропорциональна ∆S:
A = σ∆S,
где коэффициент пропорциональности σ − коэффициент поверхностного
натяжения.
Коэффициент поверхностного натяжения σ представляет собой основную характеристику поверхности раздела, зависящую от природы сред и их теплового
состояния. Он численно равен работе, необходимой для увеличения площади
поверхности жидкости при постоянной температуре на единицу, размерность
[σ] =
[A] =
[S]
Дж
.
м2
Говоря о величине σ, необходимо всегда указывать, к каким средам она
относится. Просто о поверхностном натяжении жидкости говорят лишь для поверхности раздела ее с воздухом или парами. В таком случае σ всегда уменьшается при нагревании.
Из сказанного выше следует, что молекулы поверхностного слоя жидкости обладают избыточной потенциальной энергией по сравнению с молекулами
в объёме жидкости. Эта энергия W измеряется работой, которую могут совершить молекулы поверхностного слоя, перемещаясь внутрь жидкости под действием сил притяжения со стороны молекул в объёме жидкости, т.е. W должна
быть пропорциональна площади S поверхности жидкости, так как эта энергия
обусловлена наличием поверхности:
W = σS, т.к. W = A.
Из этой формулы следует, что коэффициент поверхностного натяжения
численно равен изменению энергии поверхностного слоя жидкости, которое
116
происходит при сокращении силами поверхностного натяжения площади поверхностного слоя жидкости на единицу.
Так как любая система в состоянии равновесия имеет наименьшую потенциальную энергию (W), то это означает, что жидкость в равновесии должна
иметь минимально возможную поверхность. Так, при заданном объёме минимальная поверхность у шара, поэтому мельчайшие капли воды, взвешенные в
воздухе, имеют форму шариков, но несколько деформированную действием сил
тяготения Земли, а свободная поверхность жидкости имеет плоскую горизонтальную форму.
Коэффициент поверхностного натяжения σ зависит от вида жидкости, от
температуры и наличия примесей. С увеличением температуры σ уменьшается
(σ = 0 при критической температуре). Наличие примесей влияет на поверхностное натяжение жидкости. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение
жидкости, называют поверхностно-активными веществами. Для воды поверхностно-активными веществами являются мыло, стиральные порошки, спирт,
эфир и др. Также существуют вещества, увеличивающие поверхностное натяжение жидкости из-за того, что их молекулы взаимодействуют с молекулами
жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой (для воды такие вещества – сахар, соль).
Рассмотрим другие толкования коэффициента поверхностного натяжения. Некоторые жидкости, например, мыльная вода, обладают свойством
образовывать тонкие пленки. Если опустить проволочную рамку, одна из сторон которой (АВ, см.
B f
A
F
Рисунок 31
f
F
рисунок 31) подвижна, в мыльный раствор, то вся она затянется плёнкой жидкости. Под действием сил поверхностного натяжения площадь плёнки уменьшается, и перекладина АВ поднимается вверх. Чтобы сохранить ее равновесие,
к перекладине нужно приложить силу F в виде веса груза (сюда входит и вес
самой перекладины). Так как плёнка имеет две поверхности, то поверхностная
сила 2f при равновесии равна весу груза F:
117
и
2f = F
f=
F
.
2
Если под действием этой силы перекладина переместилась вверх на расстояние ∆x, то работа, совершённая силой f равна:
∆А = f⋅∆x =
F
⋅∆x.
2
Эта работа равна уменьшению потенциальной энергии поверхностного
слоя жидкости:
∆W = σ⋅∆S,
где ∆S = ℓ⋅∆S, ℓ = AB − длина перекладины.
Отсюда находим:
∆А = σℓ⋅∆x = f⋅∆x =
F
⋅∆x,
2
и
σ=
F
,
2l
Из последнего выражения σ =
[σ] =
[F] =
[l]
Н
.
м
F
следует, что коэффициент поверхност2l
ного натяжения может быть определён как величина, равная силе, действующей
по касательной к поверхности жидкости, приходящейся на единицу длины раздела. Нужно иметь ввиду, что размерности σ, определённые ранее и теперь, эквивалентны, так как
[σ] =
Дж
Н⋅м Н
=
= .
м
м2
м2
118
Не только в приведённом примере, но и всегда нужно учитывать, что
плёнки жидкости имеют две поверхности, например, при выдувании мыльного
пузыря радиуса R:
∆S = 2⋅S = 2⋅4πR2,
где S − площадь поверхности сферы.
9.1 Смачивание
В зависимости от характера взаимодействия между молекулами жидкости
и твёрдого тела на границе их соприкосновения наблюдаются явления смачивания или несмачивания. Для смачивающей жидкости силы притяжения между
молекулами жидкости и твёрдого тела больше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения с твёрдым
телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами
жидкости и твёрдого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твёрдым
телом. Характеристикой соотношения между двумя этими силами служит краевой угол ϑ, т.е. угол, образованный касательной к поверхности жидкости у ее
границы с твёрдым телом и поверхностью твёрдого тела.
Если жидкость граничит с плоской поверхностью,
а)
ϑ
б)
ϑ
то картина для смачивающей (позиция а) и несмачивающей (позиция б) жидкости выглядит так, как изображено
на рисунке 32, ϑ − краевой угол. Наблюдения показывают, что при смачивании краевой угол является острым,
т.е. 0 ≤ ϑ <
π
(случай ϑ = 0 называют полным смачива2
нием), а при несмачивании краевой угол является тупым, т.е.
Рисунок 32
π
< ϑ ≤ π (случай
2
ϑ = π называют полным несмачиванием). На практике большей частью наблю119
даются случаи частичного смачивания, т.е. ϑ <
частичного несмачивания, т.е. ϑ >
π
− позиция а на рисунке 32, и
2
π
− позиция б на рисунке 32.
2
Если жидкость находится внутри сосуда, то у самых стенок поверхность
жидкости искривлена, так что образуется мениск, вогну-
ϑ
тый у смачивающей жидкости (см. рисунок 33, позиция а)
а) и выпуклый у несмачивающей (см. рисунок 33, позиция б). Если большое количество жидкости налито в широкий сосуд, то форма ее поверхности определяется си-
б)
лой тяжести, которая обеспечивает на удалении от края
сосуда плоскую, горизонтальную, зеркальную поверх-
ϑ
Рисунок 33
ность.
Искривление поверхности жидкости, связанное со смачиванием, делает
иногда возможным удерживание на поверхности жидкости тел, плотность которых больше плотности жидкости и которые поэтому должны в ней тонуть.
Это своеобразное «плавание» объясняется тем, что вес тела
уравновешивается силами поверхностного натяжения (f) и си- а)
лой Архимеда. Если, например, прямоугольный брусок находится на поверхности жидкости, не смачивающей материал
бруска, то поверхностная сила равна 2f = 2σℓ, где ℓ − длина
бруска (см. рисунок 34, позиция a ). При достаточно малом весе бруска он будет удерживаться на поверхности. Если матери-
f
f
б)
f
f
Рисунок 34
ал бруска смачивается жидкостью, то силы поверхностного натяжения могут
заставить брусок погрузиться в жидкость, даже если плотность вещества бруска
меньше плотности жидкости (рисунок 34, позиция б).
Следует отметить, что одна и та же жидкость одни твёрдые тела смачивает, а другие − не смачивает. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает
парафин, а ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.
120
Измерение коэффициента поверхностного натяжения методом отрывающихся капель. Представим себе капельницу или носик пипетки, с которых отрываются капли жидкости. Перед отрывом капли образуется шейка, радиус которой чуть меньше радиуса трубки (см. рисунок 35). Вдоль окружности этой
шейки и действует сила поверхностного натяжения, которая в
момент отрыва капли должна быть равна ее силе тяжести P1. Если радиус шейки r, а коэффициент поверхностного натяжения
жидкости σ, то сила поверхностного натяжения, очевидно равна
2πrσ. Следовательно, отрыв капли происходит при условии:
P1
Рисунок 35
P1 = 2πrσ.
Измерив вес P1 оторвавшейся капли и радиус r шейки в момент отрыва,
можно вычислить коэффициент поверхностного натяжения. Для достижения
большей точности в определении r отрывающуюся каплю проектируют с известным увеличением на экран, где и производят измерение диаметра (d = 2r)
шейки. Далее с целью повышения точности измерения подсчитывают определённое число капель N и измеряют их общий вес P = NP1. В итоге получается
выражение для расчета σ:
σ=
P1
P
P
=
=
.
2πr
2πrN
πdN
9.2 Давление под искривленной поверхностью жидкости. Уравнение
Лапласа
Если поверхность жидкости не плоская, а искривлённая, то она оказывает
на поверхность жидкости добавочное давление ∆Р. В случае
выпуклой поверхности это добавочное
давление
а)
Рисунок 36
положи121
в)
Р0 + ∆Р
с)
Р0 − ∆Р
тельно (смотри рисунок 36, позиция в), в случае вогнутой поверхности – отрицательно (см. рисунок 36, позиция с). Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения
σ и кривизны поверхности.
Вычислим добавочное давление для частного случая – для
R
сферической поверхности жидкости. Для этого рассечём мысленно сферическую каплю жидкости радиуса R на два полушария
Рисунок 37
(см. рисунок 37). Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:
F = σℓ = 2πRσ.
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S = πR2.
Добавочное давление ∆P равно:
∆P =
F 2πRσ 2σ
=
=
.
S
R
πR 2
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и равна радиусу
сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так
называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных
точек поверхности. Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сечений. Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется
линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль
к поверхности в рассматриваемой точке.
В общем случае для поверхности произвольной формы добавочное давление, обусловленное кривизной поверхности жидкости, определяется уравнением Лапласа:
122
 1
1 
 ,
∆P = σ 
+
 R1 R 2 
где R1 и R2 − радиусы кривизны для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений.
Для сферической поверхности подставляем R1 = R2 = R в уравнение Лапласа и получаем ∆P =
2σ
− выражение, совпадающее с выведенным нами выR
ше.
Дополнительное давление ∆P есть величина алгебраическая. В случае выпуклой поверхности ∆P имеет положительное значение, а в случае вогнутой –
отрицательное значение. Если ∆P < 0, то поверхностный слой, стремясь сократиться, будет не сжимать, а растягивать жидкость. Аналогично, радиус кривизны нормального сечения поверхности является алгебраической величиной. Если центр кривизны нормального сечения лежит над поверхностью жидкости,
радиус кривизны считается отрицательным. Если центр кривизны находится
под данной поверхностью жидкости, соответствующий радиус кривизны считается положительным. Для плоскости поверхности радиусы кривизны R1 = R2 =
∞, и ∆P = 0 − плоская поверхность не создаёт добавочное давление.
Дополнительное давление, создаваемое кривизной поверхности и определяемое уравнением Лапласа, нельзя отождествлять с поверхностными силами,
которые, как мы знаем, направлены по касательной к поверхности, тогда как
добавочное давление Лапласа направлено перпендикулярно к ней. Оно возникает лишь в результате действия сил поверхностного натяжения, искривляющих поверхность жидкости.
9.3 Капиллярные явления
Поверхность жидкости, налитой в сосуд, имеет некоторую кривизну
вблизи границы между жидкостью и твёрдой стенкой сосуда, т.е. там, где за123
метную роль играют силы взаимодействия между молекулами жидкости и
твёрдого тела. В остальной части поверхность плоская, так как сила тяжести
здесь подавляет молекулярные силы взаимодействия. В случае, когда жидкость
находится в узком сосуде, влияние стенок простирается на всю поверхность
жидкости, и она оказывается искривлённой на всей поверхности (сосуд можно
считать узким, если его размеры сравнимы с радиусом кривизны поверхности
жидкости, соприкасающейся со стенками сосуда). Такие изогнутые поверхности жидкости называют менисками, а сами узкие сосуды называют капиллярными. Явления, происходящие в таких сосудах, называют капиллярными явлениями.
Если узкую трубку (капилляр) опустить в широкий сосуд с жидкостью, то
под искривлённой поверхностью в капилляре давление будет отличаться от
давления над плоской поверхностью в широком сосуде на величину ∆P, определяемую уравнением Лапласа. В результате при смачивании капилляра уровень жидкости в нём будет выше, чем в сосуде, при несмачивании – ниже, так
как добавочное давление ∆P направлено к центру кривизны мениска (см. рисунок 38). Изменение высоты уровня жидкости называют капиллярностью.
ϑ
ϑ<
R
ϑ
r
ϑ
h
ϑ
h
π
;h>0
2
ϑ>
Рисунок 38
R
π
;h<0
2
Между жидкостью в капилляре и широком сосуде устанавливается такая
разность уровней h, чтобы гидростатическое давление ρgh уравновешивало капиллярное давление ∆P:
ρgh =
2σ
2σ
, откуда h =
,
R
ρgR
124
где R − радиус кривизны мениска;
σ − коэффициент поверхностного натяжения;
ρ − плотность жидкости;
g − ускорение свободного падения.
Радиус кривизны мениска R можно выразить через краевой угол ϑ и радиус капиллярной трубки r (см. рисунок 38):
R=
r
.
cos ϑ
Тогда выражение для h примет вид:
h=
2σ
2σ cos ϑ
=
.
ρgR
ρgr
При полном смачивании (ϑ = 0, cosϑ = 1) разность уровней h в капилляре
и широком сосуде равна:
h =
2σ
.
ρgr
Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Так,
влагообмен в почве и растениях происходит за счёт
d
поднятия воды по тончайшим капиллярам (хотя исчерпывающее объяснение механизма подъёма воды – сока
по волокнам растений является предметом спора). На
капиллярности основан перенос керосина вдоль фитиля, впитывание влаги полотенцем или салфеткой и т.д.
R
Если поверхность жидкости не сферическая, а цилиндрическая, например, в случае слоя жидкости между двумя плоскими пластинами, то дополнительное
125
Рисунок 39
давление, вызванное кривизной, определяется формулой:
∆Р =
σ
,
R
где R − радиус кривизны мениска (см. рисунок 39).
В этом случае высота капиллярного подъема h определяется формулой:
h=
2σ cos ϑ
,
ρgd
где ϑ − краевой угол;
d − расстояние между пластинами;
R=
d
.
2 cos ϑ
При полном смачивании (cosϑ = 1) добавочное давление, сжимающее
пластины при толщине d = 1 мкм слоя воды (σ = 70 мН/м) равно:
∆Р =
2σ 2 ⋅ 70 ⋅ 10 −3
=
= 1,4⋅105 Па = 1,4 атм.
−6
d
10
В этом случае при площади пластин S = 10 см2 сила притяжения между
ними равна
F = ∆Р ⋅ S = 1,4⋅105 ⋅ 10-3 = 140 Н.
Такую достаточно большую силу, направленную перпендикулярно к
плоскости пластин, нужно приложить, чтобы оторвать их друг от друга. Но под
действием даже небольшой силы, приложенной параллельно пластинам, они
легко соскальзывают, так как коэффициент вязкого трения воды незначителен.
126
10 Примеры решения задач
1. По трубе радиусом R = 1,5 см течёт углекислый газ (с плотностью ρ =
7,5 кг/м3). Определите скорость его течения, если за время t = 20 мин через поперечное сечение трубы протекает m = 950 г газа.
Дано: R = 1,5⋅10-2 м; ρ = 7,5 кг/м3; t = 20⋅60 с; m = 0,95 кг.
v -?
Решение. Пишем формулу для массового расхода газа, т.е. для массы газа,
протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы:
Q=
m
= ρSv ,
t
где v – скорость течения газа, S = πR2 – площадь поперечного сечения
трубы, т.е.
m
= ρπR 2 v ,
t
откуда находим:
v=
m
ρπR t
2
=
0,95
7,5 ⋅ π ⋅ (1,5 ⋅ 10 − 2 ) 2 ⋅ 20 ⋅ 60
= 0,15 м/с = 15 см/с.
2. В стакан налито V = 200 мл воды. Найдите число молей воды, количество и концентрацию молекул, и массу молекулы воды. Молярная масса воды µ
=18 г/моль, ее плотность ρ = 1 г/см3. Число Авогадро NA = 6,02⋅1023 моль-1.
Дано: V = 2⋅10-4 м3; µ = 18⋅10-3 кг/моль; ρ = 103 кг/м3; NA = 6,02⋅1023 моль-1.
ν -?
N -?
127
n −?
m1 -?
Решение. Число молей ν равно отношению массы воды m к ее молярной
массе µ. Учитывая, что масса равна m = ρV, имеем:
m ρV 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −4
ν=
=
=
= 11,1 моль.
µ
µ
18 ⋅ 10 −3
Число молекул воды N найдём, исходя из того, что в одном моле содержится число молекул, равное числу Авогадро NA, согласно выражению:
m
ρV
10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −4
N = νNA = NA =
NA =
6,02⋅1023 = 6,7⋅1024.
−3
µ
µ
18 ⋅ 10
Концентрация молекул n равна числу молекул, содержащихся в единице
объёма:
νN A
mN A
ρN A 10 3 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23
N
n=
=
=
=
=
= 3,3⋅1028 м-3 = 3,3⋅1022 см-3.
−3
V
V
µV
µ
18 ⋅ 10
Массу молекулы воды m1 можно определить, разделив массу воды на
число содержащихся в ней молекул, используя одно из приведенных ниже соотношений:
m1 =
m ρ
µ
18 ⋅ 10 −3
=
= =
= 3⋅10-26 кг.
23
N
n
NA
6,02 ⋅ 10
3. Шина трактора объёмом V1 = 208 л накачана воздухом под давлением
P1= 3 ат и температуре t1 = 17 0С. При поездке шина прокололась. Какова масса
вышедшего из шины воздуха, если атмосферное давление P2 = 770 мм рт.ст.,
температура воздуха в шине понизилась до t2 = 12 0С, а объём шины уменьшился до V2 = 200 л? Определите также число вышедших из шины молекул. Уско-
128
рение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3. Универсальная
газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К). Число Авогадро NA = 6,02⋅1023 моль-1.
Дано: V1 = 0,208 м-3; Р1 = 2,94⋅105 Па; Т1 = 290 К; V2 = 0,2 м-3;
g = 9,8 м/с2; Р2=1,026⋅105 Па; Т2=285 К; ρ=13,6⋅103 кг/м3;
µ=29⋅10-3 кг/моль; R=8,31Дж/(моль⋅К).
∆m -?
∆N -?
Решение. Воздух – это смесь газов, состоящая в основном из азота (78 %
по объёму) и кислорода (21 % по объёму). Эта смесь разнородных молекул ведёт себя с молекулярно-кинетической точки зрения как некоторый идеальный
газ, состоящий из одинаковых молекул с массой, равной среднему значению
масс молекул всех компонентов воздуха, и, соответственно, молярной массой,
равной усреднённому значению молярных компонентов воздуха с учётом их
процентного содержания. Соответствующие расчёты дают для молярной массы
воздуха значение µ = 29⋅10-3 кг/моль, что близко к молярной массе основной составляющей воздуха – азота.
Значения давлений выразим в единицах системы СИ (Паскалях):
Р1 = 3 ат = 3⋅0,98⋅105 = 2,94⋅105 Па;
Р2 = ρgh = 13,6⋅103⋅9,8⋅0,77 = 1,026⋅105 Па.
Из уравнений Клапейрона-Менделеева, записанных для начального и конечного состояний, определим начальную и конечную массы воздуха в шине:
P1V1 =
m1
RT1
µ
⇒
m1 =
P1V1µ
RT1
P2V2 =
m2
RT2
µ
⇒
m2 =
P2 V2µ
RT2
Тогда масса вышедшего из шины воздуха ∆m равна:
∆m = m1 − m2 =
µ
R
 P1V1 P2 V2 

 =
−
T
T
 1
2 
129
29 ⋅ 10 −3
=
8,31
 2,94 ⋅ 10 5 ⋅ 0,208 1,026 ⋅ 105 ⋅ 0,2 

 = 0,485 кг.
−
290
285


Число вышедших из шины молекул ∆N равно:
∆N =
∆m
0,485
6,02⋅1023 = 1,01⋅1025.
NA =
−3
µ
29 ⋅ 10
4. Со дна водоёма поднимается пузырёк воздуха. У поверхности его диаметр оказывается в 1,3 раза больше, чем у дна. Найдите глубину водоёма, если
атмосферное давление равно Р0 = 750 мм рт.ст., а температура воды на поверхности водоёма на 5 градусов выше температуры на дне, равной t1 = 4 0С. Плотности воды ρв =1 г/см3 и ртути ρр = 13,6 г/см3. Ускорение силы тяжести g =
9,8 м/с2.
Дано: d2 = 1,3 d1; ρр =13,6⋅103 кг/м3; ρв =1⋅103 кг/м3; Т 1 = 277 К;
Т 2 = 282 К; g = 9,8 м/с2; Р0 = 1⋅105 Па.
Н -?
Решение. Давление воздуха в пузырьке равно давлению, оказываемому на
пузырёк со стороны окружающей среды и определяемому как сумма атмосферного Р0 и гидростатического РГ давлений: Р = Р0 + РГ.
Гидростатическое давление (давление столба жидкости) зависит от глубины погружения Н и рассчитывается по формуле РГ = ρвgН. Следовательно,
давление воздуха в пузырьке на дне водоема Р1 = Р0 + ρвgН, где Н − глубина водоёма.
А давление воздуха в пузырьке на поверхности равно Р2 = Р0, так как на
поверхности Н = 0. Атмосферное давление равно Р0 = ρрgh, где h − высота столбика ртути.
Рассчитаем атмосферное давление:
130
Р0 = ρрgh = 13,6⋅103⋅9,8⋅0,75 = 1⋅105 Па.
При подъёме пузырька со дна водоёма термодинамические параметры
воздуха удовлетворяют объединённому газовому закону:
P1V1
PV
= 2 2.
T1
T2
Учитывая, что
V1 =
1
1
πd13 и V2 = πd23,
6
6
где d1 и d2 − диаметры пузырька воздуха на дне и у поверхности, получаем:
(P0 + ρв gH )πd13
6T1
P π(1,3d1 )
= 0
.
6T2
3
Решая это уравнение относительно Н, находим:

 P

 ρ р gh 
 ρр h
3 Т
3 Т
3 Т
Н =  (1,3) 1 −1 0 =  (1,3) 1 −1
=  (1,3) 1 −1
=
ρ
ρ
ρ
g
g
Т
Т
Т

 в

 в

 в
2
2
2

 13,6 ⋅ 10 ⋅ 0,75
3 277
=  (1,3)
−1
= 11,8 м.
282 
103

3
5. В закрытом сосуде находится водород при давлении Р0. Как изменится
давление в сосуде, если 50 % молекул водорода продиссоциирует на атомы при
неизменной температуре?
Дано: Р0; V = const; T = const; m1 = m2 = m/2; µ1 = µ: µ2 = µ/2.
Р -?
Решение. Запишем реакцию диссоциации молекул водорода на атомы:
131
Н2 ⇒ 2 Н.
Из этой записи видно, что атомарная масса µ2 атомарного водорода составляет
половину молекулярной массы молекулярного водорода µ.
Так как масса газа пропорциональна числу молекул, то из условия, что
50 % молекул водорода диссоциирует на атомы следует, что после реакции
диссоциации массы m1 молекулярного и m2 атомарного водорода составляют
половину первоначального молекулярного водорода m.
Согласно закону Дальтона конечное давление Р равно сумме парциальных давлений Р1 и Р2, создаваемых в объёме V сосуда двухатомным и одноатомным газами. Эти давления и начальное давление Р0 определим из уравнения Клапейрона-Менделеева:
Р0 =
m RT
m RT 2mRT
mRT
mRT 1
; Р1 = 1
= Р0; Р2 = 2
= Р0.
=
=
µV
2µV
2
2µV
µ1 V
µ2V
Тогда конечное давление равно:
Р = Р1 + Р2 =
1
Р0 + Р0 = 1,5 Р0.
2
6. Нагревается или охлаждается идеальный газ при расширении, если его
давление Р и объём V связаны формулой Р = k/Vn, где k – постоянная, а n > 1?
Масса газа остаётся постоянной.
Дано: Р = k/Vn, k = const, n > 1; V2/V1 > 1.
Т2/Т1 -?
Решение. Согласно условию задачи
РVn = k = const.
132
А из уравнения Клапейрона следует, что
PV
= const.
T
Поделив почленно первое уравнение на второе, получаем:
TVn-1 = const.
Из последнего уравнения следует, что
T1  V2 
= 
T2  V1 
V 
Но при n > 1 ясно, что  2 
 V1 
n −1
>1и
n −1
.
T1
> 1, т.е. Т2 < Т1 – газ при расширеT2
нии в предлагаемом процессе охлаждается.
7. В комнате объёмом V = 64 м3 находится воздух при температуре t1 =
17 0С и нормальном атмосферном давлении Р. Какая масса воздуха выйдет через форточку, если температура в комнате повысится до t2 = 20 0С?
Дано: V = 64 м3; Т1 = 290 К; Т2 = 293 К; µ = 29⋅10-3 кг/моль;
Р = 1,013⋅105 Па; R = 8,31 (Дж⋅моль/К).
∆m -?
Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим массы воздуха
при разных температурах:
m1 =
PVµ
RT1
133
и
m2 =
PVµ
.
RT2
Следовательно,
1 
PVµ  1
1  1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 64 ⋅ 29 ⋅ 10 −3  1
 −
 =
−
∆m = m1 − m2 =

 = 0,79 кг.
R  Т1 Т 2 
8,31
 290 293 
8. Подвижный не проводящий тепло поршень делит плотно закрытый цилиндр на два сосуда объёмами V1 = 100 см3 и V2 = 200 см3. Начальная температура газа в цилиндре Т0 = 300 К, а его давление Р0 = 1,01⋅105 Па. Затем меньший
сосуд охладили до Т1 = 273 К, а больший нагрели до Т2 = 373 К. Какое давление
установится в сосудах?
Дано: V1 = 1⋅10-4 м3; V2 = 2⋅10-4 м3; Т0 = 300 К;
Р0 = 1,01⋅105 Па; Т1 = 273 К; Т2 = 373 К.
Р -?
Решение. При изменении температуры изменяется давление газа в сосудах. Поршень перемещается до
тех пор, пока давление с двух
сторон поршня не станет одинаковым, Р1 = Р2 = Р. Запишем
уравнение
Клапейрона
для
Начальное состояние
газа в сосудах
V2, T0
P0
V1, T0
P0
V1′, T1
P
V2′, T2
P
Конечное состояние
газа в сосудах
первого и второго сосудов:
′
P0 V1
PV1
=
T0
T1
и
′
P0 V2
PV2
.
=
T0
T2
Из уравнений выражаем:
V1′ =
P0 V1 T1
PT0
Так как объём цилиндра не изменился, то
134
и
V2′ =
P0 V2 T2
.
PT0
V1 + V2 = V1′ + V2′ =
P0 V1 T1
PVT
+ 0 2 2,
PT0
PT0
откуда
P0 (V1 T1 + V2 T2 ) 1,01 ⋅ 10 5 ⋅ (1 ⋅ 10 −4 ⋅ 273 + 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 373)
=
= 1,15⋅105 Па.
Р=
−4
−4
(1 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 ) ⋅ 300
(V1 + V2 )T0
9. На рисунке представлены две изотермы раз-
P
ных газов одинаковой массы. Чем отличаются эти га-
1
зы, если температуры одинаковы?
2
0
V
Решение. В соответствии с уравнением Клапей-
рона-Менделеева
Р=
mR
T,
µV
поэтому единственной причиной тому, почему газ 1 имеет всегда большее давление (при одном и том же объёме) является его меньшая по сравнению с газом
2 молярная масса, т.е. µ1 < µ2.
10. Тепловой процесс, который совершается с газом в замкнутом сосуде, в
координатах V-T имеет вид окружности (см. рисунок). В каких V
точках максимальны и минимальны температура газа, его объём
и давление?
0
T
Решение. Точки, где максимальны и минимальны объём и температура,
указать легко. Это точки касания данной окружности соответствующими горизонтальными и вертикальными прямыми – изохорами и изотермами. Для определения максимального и минимального давления построим на диаграмме изо-
135
бары. При изобарическом процессе объём газа прямо пропорционален его температуре:
V
mR
V=
T.
µP
Vмакс
Рмин
Тмин
Следовательно, изобары представляют собой
Рмакс
Тмакс
Vмин
прямые линии, проходящие через начало координат, причём наклон их тем меньше, чем
больше давление. Минимальному Рмин
0
T
и максимальному Рмакс давлениям отве-
чают точки, в которых изобары касаются окружности.
11. Сколько надо сжечь угля с удельной теплотой сгорания q =
2⋅107 Дж/кг в снеготаятельном аппарате, чтобы mл = 200 кг льда, взятого при
температуре
t1 = −10 0С, превратить в воду, нагретую до t2 = 100 0С, и mв =
50 кг воды превратить в пар. КПД аппарата η = 80 %. Температура плавления
льда t0 = 0 0С. Удельная теплота плавления льда λ = 3,35⋅105 Дж/кг. Удельная
теплота парообразования воды r = 2,26⋅106 Дж/кг. Удельные теплоёмкости воды
и льда, соответственно, равны св = 4 200 Дж/(кг⋅К), сл = 2 100 Дж/(кг⋅К).
Дано: q = 2⋅107 Дж/кг; mл = 200 кг; t0 = 0 0С; t1 = −10 0С; t2 = 100 0С;
mв = 50 кг; η = 0,8; св = 4 200 Дж/(кг⋅К); сл = 2 100 Дж/(кг⋅К);
λ = 3,35⋅105 Дж/кг; r = 2,26⋅106 Дж/кг.
mу -?
Решение. Количество полезной теплоты, выделяющейся при сгорании угля, определяется согласно формуле:
Q = ηmуq,
где mу − масса сгоревшего угля;
136
η − КПД нагревателя;
q − удельная теплота сгорания угля.
Теплота будет поглощаться: 1) при нагревании льда от начальной температуры t1 до температуры плавления t0; 2) при плавлении льда при t0 = 0 0С; 3)
при нагревании полученной из растаявшего льда воды от t0 до температуры кипения t2; 4) при превращении воды в пар при ее кипении.
Сделаем расчет поглощённой теплоты.
1) Количество теплоты, необходимой для нагревания льда от t1 = −10 0С
до t0 = 0 0С, рассчитываем по формуле: Q1 = слmл∆tл, где ∆tл = t0 − t1 = 10 0С −
разность температур льда при его нагреве.
2) Количество теплоты, необходимой для плавления льда при температуре плавления t0 = 0 0С, рассчитываем по формуле: Q2 = mлλ, где λ − удельная
теплота плавления льда.
3) Количество теплоты, необходимой для нагревания воды, получившейся
из растаявшего льда, от t0 = 0 0С до температуры кипения воды t2 = 100 0С, рассчитываем по формуле: Q3 = свmл∆tв, где ∆tв = t2 − t0 = 100 0С − разность температур при нагреве воды.
4) Количество теплоты, необходимой для образования пара из кипящей
воды: Q4 = mвr, где mв − масса образовавшегося пара, r − удельная теплота парообразования воды.
Согласно уравнению теплового баланса количество полезной теплоты
должно равняться сумме поглощенных теплот:
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4.
После подстановки выражений для теплот выразим искомую массу угля
m y : ηmуq = слmл∆tл + mлλ + свmл∆tв + mвr
⇒ mу =
⇒
m л (с л ∆t л + λ + с в ∆t в ) + m в r
=
ηq
137
(
)
200 2,1 ⋅ 103 ⋅ 10 + 3,35 ⋅ 105 + 4,2 ⋅ 10 3 ⋅ 100 + 50 ⋅ 2,26 ⋅ 10 6
=
= 16,8 кг.
0,8 ⋅ 2 ⋅ 10 7
12. Для измерения температуры воды, имеющей массу mв = 7,3 г в нее погрузили термометр, который показал t0 = 32,4 0С. Какова действительная температура t2 воды, если теплоёмкость термометра С = 1,9 Дж/К и перед погружением в воду он показывал t1 = 17,8 0С? Удельная теплоемкость воды св =
4 200 Дж/(кг⋅К). Потерями тепла во время измерения пренебрегайте.
Дано: mв =7,3⋅10-3 кг; t0 =32,4 0С; t1 =17,8 0С; С =1,9 Дж/К;
св =4200 Дж/(кг⋅К).
t2 -?
Решение. При составлении уравнения теплового баланса часто бывает полезным рисунок, на котором изображена температурная ось t с обозначениями точек
(температур) согласно условию задачи. Для
Q1
t1
Q2
t0
t2
t, 0C
данной задачи на температурной оси всего три точки t1, t0, t2. Согласно уравнению теплового баланса количество теплоты Q1, теряемое водой при остывании
от t2 до t0 равно количеству теплоты, необходимому для нагрева термометра от
t1 до t0:
Q1 = Q2,
C(t0 − t1) = свmв(t2 − t0).
т.е.
Из последнего уравнения находим искомую температуру воды до погружения в нее термометра:
t2 = t0 +
С(t 0 − t1 )
1,9(32,4 − 17,8)
= 32,4 +
= 33,3 0С.
−3
cвmв
4200 ⋅ 7,3 ⋅ 10
Примечание. Если в процессе теплообмена участвуют более 2-х тел и
процесс идет с фазовыми превращениями – плавлением или парообразованием,
138
то число точек на температурной оси будет более 3-х, а число слагаемых в
уравнении теплового баланса будет более 2-х.
13. В помещение нужно подать V = 104 м3 воздуха при температуре t1 =
18 0C и относительной влажности В1 = 50 %, забирая его с улицы при температуре t2 = 10 0C и относительной влажности В2 = 60 %. Сколько воды следует
дополнительно испарить в подаваемый воздух? Давление насыщенных паров
при t1 равно Рн1 = 2,1⋅103 Па, а при t2 равно Рн2 = 1,2⋅103 Па.
Дано: V = 104 м3; Т1 = 291 К; Рн1 = 2,1⋅103 Па; В1 = 0,5;
Т2 = 283 К; Рн2 = 1,2⋅103 Па; В2 = 0,6; µ = 18⋅10-3 кг/моль.
∆m -?
Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева определим массу насыщенного водяного пара, находящегося в объёме V в условиях помещения и
улицы:
mн1 =
µPн1 V
;
RT1
mн2 =
µPн 2 V
.
RT2
Истинные массы водяного пара в каждом из двух случаев отличаются от
масс насыщенного пара. Их найдём, воспользовавшись известными значениями
относительной влажности:
m1 = B1⋅ mн1 = B1⋅
µPн1 V
;
RT1
m2 = B2⋅ mн2 = B2⋅
µPн 2 V
.
RT2
Искомое количество воды, которое надо дополнительно испарить, равно
∆m = m1 − m2 =
µV
R
139
 В1 Pн1 В 2 Р н 2

−
T
Т2
 1

 =

18 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 4  0,5 ⋅ 2,1 ⋅ 10 3 0,6 ⋅ 1,2 ⋅ 10 3 
=
−
⋅
 = 23 кг.
8,31
291
283


14. Найдите абсолютную ρ1 и относительную В1 влажность воздуха в комнате при температуре t1 = 20 0С, если точкой росы является температура t2 =
9 0С. Определите изменение ∆В относительной влажности при понижении температуры от t1 до t3 = 16 0С, если абсолютная влажность останется прежней.
Плотности насыщенного водяного пара при температуре t1, t2, t3 имеют, соответственно, значения ρ01 = 17,3 г/м3, ρ02 = 8,8 г/м3, ρ03 = 13,6 г/м3.
Дано: ρ01 = 17,3 г/м3, ρ02 = 8,8 г/м3, ρ03 = 13,6 г/м3.
ρ1 -?
В1 -?
∆В -?
Решение. При температуре t2 водяной пар в комнате становится насыщенным и его плотность ρ02 известна. Такая же плотность пара при температуре t1
будет равна ρ1 = ρ02 = 8,8 г/м3, а относительная влажность
В1 =
ρ
ρ1
8,8
= 02 =
= 0,51 (или В1 = 51 %).
ρ 01
ρ 01 17,3
При понижении температуры до t3 = 16 0С абсолютная влажность не изменилась, значит ρ3 = ρ1, и изменение относительной влажности
∆В = В3 − В1 =
ρ3
ρ
ρ
ρ


− 1 = 1 − 1 = ρ1  1 − 1  =
ρ

ρ 03
ρ 01 ρ 03
ρ 01
 03 ρ 01 
17,3 − 13,6


= ρ02  1 − 1  = ρ02 ρ01 − ρ03 = 8,8
= 0,14 (или ∆В = 14 %).
ρ

17
,
3
⋅
13
,
6
ρ
ρ
⋅
ρ
 03
01 
01
03
140
15. В комнате при температуре t1 = 15 0С относительная влажность воздуха В1 = 10 %. Как изменится относительная влажность, если температура в комнате повысится до t2 = 25 0С? Давление насыщенного пара при t1 = 15 0С равно
Рн1 = 12,8 мм рт. ст., при t2 = 25 0С равно Рн2 = 23,8 мм рт. ст.
Дано: Т1 = 288 К; В1 = 0,1; Рн1 = 12,8 мм рт. ст.; Т2 = 298 К; Рн2 = 23,8 мм рт. ст.
∆В -?
Решение. Согласно условию задачи водяной пар в начальном и конечном
состояниях остаётся ненасыщенным, поэтому можно воспользоваться газовыми
законами. Процесс нагревания пара изохорный (V = const). Согласно закону
Шарля парциальные давления водяного пара для двух разных температур связаны между собой уравнением:
Р1
Р
= 2.
Т1
Т2
Из этого уравнения выразим давление Р2 при температуре Т2:
Р2 = Р1
Т2
Т1
.
Относительная влажность воздуха до нагревания была:
В1 =
Р1
.
Р н1
Отсюда выражаем Р1 и подставляем его в формулу для Р2:
Р2 = Р1
Т2
Т
= В1Рн1 2 .
Т1
Т1
141
Относительная влажность в комнате при температуре Т2 оказывается равной:
В2 =
Р2
Р Т
= В1 н1 2 ,
Р н2
Р н2 Т1
а ее изменение равно
Р Т

∆В = В2 − В1 = В1  н1 2 −1 = 0,1  12,8 ⋅ 298 − 1 = − 0,044
Р Т

 23,8 288 
 н2 1

или ∆В = − 4,4 %. Знак «минус» означает, что В2 < В1, т.е. при нагревании воздуха при постоянном объёме его относительная влажность уменьшается.
16. Сравните плотности воды и водяного пара при t = 100 0С и нормальном атмосферном давлении Р0 = 105 Па. Плотность воды ρв = 103 кг/м3, молярная масса водяного пара µ = 18 г/моль.
Дано: µ = 18⋅10-3 кг/моль; Т = 373 К; Р0 = 105 Па; ρв = 103 кг/м3.
ρв/ρн -?
Решение. Отметим, что при нормальном атмосферном давлении температура 100 0С соответствует температуре кипения воды. При кипении давление
Рн насыщенного водяного пара равно атмосферному, т.е. Рн = Р0. Из уравнения
Клапейрона-Менделеева для насыщенного водяного пара следует, что
ρн =
m µ ⋅ P0
=
.
R ⋅T
V
Теперь определим, во сколько раз отличаются плотности воды и водяного
пара:
142
ρв
ρ ⋅ R ⋅ T 10 3 ⋅ 8,31 ⋅ 373
= в
=
= 1 720.
µ ⋅ P0
ρн
18 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 5
17. Какое количество бензина потребуется автомобилю, чтобы проехать
со скоростью v = 72 км/час в течение t = 2 часов, если масса машины ma = 10 т,
КПД двигателя η = 28 %, а сопротивление движению составляет µ = 0,04 силы
тяжести автомобиля? Найдите силу тяги, мощность двигателя и расход горючего на 1 кВт·ч работы. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Удельная теплота
сгорания бензина q = 4,6⋅107 Дж/кг, а его плотность ρ = 0,7 г/см3.
Дано: v = 20 м/с; t = 7 200 с; ma = 104 кг; η = 0,28; µ = 0,04; g = 9,8 м/с2;
q = 4,6⋅107 Дж/кг; ρ = 700 кг/м3; 1 кВт · ч = 3,6⋅106 Дж.
mб -?
Vб -?
Fт -?
Рпол -?
α -?
Решение. При равномерном движении автомобиля (v = const, ускорение
a = 0) по горизонтальной дороге сила тяги Fт, развиваемая двигателем, равна
силе сопротивления движению Fc, равной согласно условию задачи µ = 0,04 от
силы тяжести mag автомобиля:
Fт= Fc = µmag = 0,04⋅104⋅9,8 = 3,92⋅103 Н = 3,92 кН.
Работа силы тяги двигателя Апол (полезная работа), выполняемая при
движении автомобиля, равна произведению силы тяги Fт на путь S = vt, проходимый автомобилем:
Апол = Fт⋅S = Fтvt = µmagvt = 0,04⋅104⋅9,8⋅20⋅7200 =
5,64 ⋅ 108
кВт⋅час = 157 кВт⋅час.
= 5,64⋅10 Дж =
3,6 ⋅ 106
8
Мощность Рпол, развиваемая двигателем, рассчитывается как отношение
выполненной работы Апол ко времени t, в течение которого она выполнялась:
143
А пол
Fт ⋅ S
7,84 ⋅10 4
3
4
Рпол =
= Fт⋅v = 3,92⋅10 ⋅20 = 7,84⋅10 Вт =
=
л.с. = 106,7 л.с.
t
t
735
(здесь учтено, что 1 л.с. = 1 лошадиная сила = 735 Вт).
Коэффициент полезного действия равен отношению полезной работы
Апол, выполненной для перемещения автомобиля, к количеству теплоты Qзат,
выделенной при сгорании бензина в двигателе автомобиля:
η=
А
А пол
= пол ,
mбq
Q зат
где mб − масса бензина.
Из последнего уравнения находим:
А пол
5,64 ⋅ 108
= 43,8 кг.
mб =
=
ηq
0,28 ⋅ 4,6 ⋅ 10 7
Объём израсходованного бензина Vб найдем как отношение массы mб к
плотности ρ бензина:
Vб =
mб
43,8
=
= 62,6⋅10-3 м3 = 62,6 л.
ρ
700
Расход горючего (бензина) на 1 кВт·час работы равен отношению массы
mб израсходованного бензина к совершенной полезной работе Апол, выраженной в киловатт-часах:
α=
mб
43,8
=
= 0,279 кг / кВт·час = 279 г / кВт·час.
157
А пол
18. Какую силу нужно приложить к стальному стержню с сечением S =
1 см2, чтобы воспрепятствовать его линейному расширению при нагреве на ∆t =
144
5 0С? Модуль Юнга стали Е = 2⋅1011 Па, коэффициент линейного расширения
стали α = 1,1⋅10-5 К-1.
Дано: S = 10-4 м2; ∆t = 5 0С (∆Т = 5 К); Е = 2⋅1011 Па; α = 1,1⋅10-5 К-1.
F -?
Решение. При нагревании ∆t удаление ∆ℓ стержня равно: ∆ℓ = αℓ∆Т, где ℓ
− длина стержня. С другой стороны, чтобы воспрепятствовать удлинению
стержня на ∆ℓ, его нужно сжимать силой
F = σS =
∆l
αl∆Т
ES =
ES = α⋅∆Т⋅E⋅S,
l
l
где σ = F/S − механическое напряжение, возникающее в стержне при его
сжатии с силой F.
Подстановка данных приводит к результату:
F = α⋅∆Т⋅E⋅S = 1,1⋅10-5⋅5⋅2⋅1011 ⋅10-4 = 1 100 Н.
Как видим, при нагреве даже на незначительную температуру (∆t) возникают огромные напряжения (силы). Это нужно учитывать при строительстве
мостов, укладке рельсов и трубопроводов, строительстве различных объектов,
если возможны значительные перепады температуры, например, сезонные (летом-зимой).
19. Стержень длиной ℓ10 из материала с коэффициентом линейного расширения α1 спаяли одним концом со стержнем длиной ℓ20 из материала с коэффициентом линейного расширения α2. Найдите коэффициент линейного расширения α полученного стержня.
145
Дано: ℓ10; α1; ℓ20; α2.
α -?
Решение. При нагревании на ∆t градусов длина каждого стержня увеличивается и становится равной:
ℓ1 = ℓ10(1 + α1⋅∆t),
ℓ2 = ℓ20(1 + α2⋅∆t),
ℓ = (ℓ10 + ℓ20)(1 + α⋅∆t).
Так как длина составного стержня равна ℓ1 + ℓ2, то следующее уравнение
(ℓ10 + ℓ20)(1 + α⋅∆t) = ℓ10(1 + α1⋅∆t) + ℓ20(1 + α2⋅∆t),
откуда находим
α=
α 1 ⋅ l 10 + α 2 ⋅ l 20
.
l 10 + l 20
20. На сколько изменится вес тела, помещённого в керосин, если керосин
нагреть на ∆Т = 50 К. Тело представляет собой медный шарик радиусом r =
2 см. Коэффициент линейного расширения меди αм = 1,7⋅10-5 К-1, коэффициент
объёмного расширения керосина βк = 0,001 К-1, плотность керосина ρк =
800 кг/м3 при t1 = 20 0С.
Дано: ∆Т = 50 К; r = 0,02 м; αм = 1,7⋅10-5 К-1; βк = 0,001 К-1; ρк = 800 кг/м3.
∆Р -?
Решение. При взвешивании шарика в керосине его вес уменьшается на
величину выталкивающей силы, действующей на шарик. При нагревании меняется плотность керосина и объём находящегося в нём шарика. Это приводит к
146
изменению выталкивающей силы, действующей на шарик, и его веса, причём,
поскольку с увеличением выталкивающей силы вес шарика убывает, то
∆Р = − ∆Fвыт.
Выталкивающая сила при начальной температуре t1 = 20 0С равна
∆Fвыт1 = ρкV1g,
при конечной температуре t2
∆Fвыт2 = ρкV2g.
Объём шарика V2 = V1(1 + 3αм∆t), где V1 =
4 3
πr , а ∆t = ∆Т. Плотность керосина
3
при изменении температуры становится равной:
ρк2 =
ρк
.
1 + β к ∆t
Таким образом,
 ρк

∆Р = − (∆Fвыт2 − ∆Fвыт1) = − 
V1 (1 + 3α м ∆t ) − ρ к V1  g =
1 + β к ∆t

= − ρк
(3α − β )∆t 4
g πr
(1 + β ∆t ) 3
м
к
к
3
−5
4
= − 800⋅ (3 ⋅ 1,7 ⋅ 10 − 0,001)50 ⋅10⋅ ⋅0,023 =
3
(1 + 0,001 ⋅ 50)
= − 1,21⋅10-3 Н = − 1,21 мН.
21. Биметаллическая пластина состоит из стальной и алюминиевой полосок толщиной d = 0,2 мм каждая. Температура t1 = 20 0C. Коэффициент линейного расширения алюминия α1 = 2,4⋅10-5 град-1, а стали α2 = 1,1⋅10-5 град-1. Какой радиус кривизны будет иметь пластина при t2 = 100 0C?
147
Дано: d =2⋅10-4 м; α1 =2,4⋅10-5 град-1; α2 =1,1⋅10-5 град-1; t1 =20 0C; t2 =100 0C.
r -?
Решение. Обозначим r – средний радиус кривизны пластинок, AB – средняя длина алюминиевого слоя, MN – средняя длина стального слоя, β − угол,
под которым видна пластина из центра окружности радиуса r (см. рисунок). Тогда,
 d
AB = β  r +  ;
2

 d
MN = β  r −  .
2

(*1)
Если первоначальную длину пластинок обозначить через ℓ0, то
AB = ℓ0(1 + α1⋅∆t); MN = ℓ0(1 + α2⋅∆t),
(*2)
алюминий
где α1 и α2 − коэффициенты линейного
расширения
соответственно
алюминия и стали;
В
А
M
сталь
N
∆t = (t2 − t1) − приращение температуры пластины.
Разность длин дуг AB и MN со-
β
ставляет:
 d
 d
∆ℓ = AB − MN = β  r +  − β  r −  = β⋅d.
2
2


или
∆ℓ = ℓ0(α1 − α2)∆t.
Сравнивая два последних уравнения, получаем:
ℓ0(α1 − α2)∆t = β⋅d.
148
(*3)
Из уравнения (*1) выражаем β =
АВ
, куда подставим значение АВ из
d
r+
2
(*2) и получим:
β=
l 0 (1 + α 1 ⋅ ∆t )
.
d
r+
2
Это выражение подставим в (*3):
ℓ0(α1 − α2)∆t =
l 0 (1 + α 1 ⋅ ∆t )
⋅d,
d
r+
2
откуда найдем искомый радиус кривизны
2 + (α 1 + α 2 )∆t
2 + (2,4 ⋅ 10 −5 + 1,1 ⋅ 10 −5 ) ⋅ 80
r=
⋅d =
⋅2⋅10-4 = 0,192 м.
−5
−5
2(α 1 − α 2 )∆t
2(2,4 ⋅ 10 − 1,1 ⋅ 10 ) ⋅ 80
22. В сосуд с ртутью опустили стеклянную капиллярную трубку. Разность
уровней ртути в сосуде и капилляре равна h = 7,5 мм. Считая несмачивание
полным (краевой угол ϑ = 1800), определите радиус R кривизны ртутного мениска в капилляре. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3, ее коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,5 Н/м. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
Дано: h = 7,5⋅10-3 м; ρ = 13,6⋅103 кг/м3; σ = 0,5 Н/м; g = 9,8 м/с2.
R -?
Решение. Давление Лапласа, вызванное кривизной мениска ртути равно:
P=
149
2σ
,
R
где R − радиус кривизны мениска в капилляре.
Так как ртуть не смачивает стекло, то она в трубке опускается на такую
высоту h, когда гидростатическое давление, равное ρgh, будет уравновешено
давлением Лапласа (см. рисунок 35):
2σ
= ρgh,
R
откуда находим
R=
2σ
2 ⋅ 0,5
=
= 1⋅10-3 м = 1 мм.
3
−3
ρgh 13,6 ⋅ 10 ⋅ 9,8 ⋅ 7,5 ⋅ 10
При полном несмачивании радиус R кривизны мениска совпадает с радиусом r капиллярной трубки, т.е. R = r = 1 мм.
Примечание. Используя прием решения этой задачи, можно выяснить условия, при которых можно носить воду в решете. Допустим, решето имеет систему отверстий диаметром (размером) 1 мм. Если вода (σв = 0,07 Н/м, ρв =
103 кг/м3) не смачивает материал решета, то вода в решете будет удерживаться
на уровне h, определяемом условием:
2σ в
4σ в
=
= ρвgh,
r
d
откуда
h=
4σ в
4 ⋅ 0,07
= 3
= 0,03 м = 3 см.
ρ в gd 10 ⋅ 9,8 ⋅ 10 −3
Таким образом, если в такое решето налить воду, то вода может удерживаться
на максимальном уровне h = 3 см от дна. Причём эту воду из решета не удастся
вылить через край решета, так как при наклоне решета уровень воды превысит
h =3 см, и вода будет выливаться сквозь отверстия.
150
23. Полностью смачиваемый водой кубик массы m = 20 г плавает на поверхности воды. Ребро кубика имеет длину ℓ = 3 см. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,072 Н/м, плотность воды ρ = 1,0 г/см3. На каком
расстоянии Н от поверхности воды будет находиться нижняя грань кубика? Ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.
Дано: m = 2⋅10-2 кг; ℓ = 3⋅10-2 м; σ = 7,2⋅10-2 Н/м; ρ = 103 кг/м3; g = 10 м/с2.
Н -?
FА
Решение. Так как кубик смачивается водой, то форма поверхности воды в непосредственной близости с кубиком примет вид, изображённый на рисунке. Поскольку
смачивание полное (краевой угол ϑ = 0), со стороны жид-
Н
mg
Fпов
кости на линию ее соприкосновения с поверхностью кубика, длина которой 4ℓ,
действует направленная вниз сила поверхностного натяжения Fпов. На кубик
ещё действуют сила тяжести mg и выталкивающая сила FA.
Поскольку кубик неподвижен, то
Fпов + mg + FA = 0.
В проекции на вертикальную ось это уравнение выглядит так
Fпов − mg − FA = 0.
Так как Fпов = 4ℓσ, FA = ρgℓ2Н, то условие равновесия запишется в следующем
виде:
ρgℓ2Н = mg + 4ℓσ,
отсюда
151
Н=
mg + 4lσ 2 ⋅ 10 −2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 3 ⋅ 10 −2 ⋅ 7,2 ⋅ 10 −2
= 2,3⋅10-2 м = 2,3 см.
=
2
−2 2
3
l ρg
(3 ⋅ 10 ) ⋅ 10 ⋅ 10
Если бы сила поверхностного натяжения отсутствовала (σ = 0), то нижняя
грань кубика находилась бы на расстоянии Н′ от поверхности воды, равном
2 ⋅ 10 −2
m
= 2,2⋅10-2 м = 2,2 см.
Н′ = 2 =
−2 2
3
l ρ (3 ⋅ 10 ) ⋅ 10
Таким образом, сила поверхностного натяжения вносит поправку ∆Н = 0,1 см.
24. Для определения коэффициента поверхностного натяжения воды в нее
опустили две стеклянные трубки с радиусами внутреннего канала r1 = 0, 25 мм
и r2 = 0,5 мм. Ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.
Дано: r1 = 2,5⋅10-4 м; r2 = 5⋅10-4 м; ∆h = 3⋅10-2 м; ρ = 103 кг/м3; g = 10 м/с2.
σ -?
Решение. Высота подъёма воды в капиллярах вычисляется по формулам:
h1 =
2σ cos ϑ
ρgr1
и
h2 =
2σ cos ϑ
.
ρgr2
Так как краевой угол ϑ на границе вода – стекло близок к 00, то в этих формулах следует положить cosϑ = 1. С учётом сделанного замечания разность уровней воды в капиллярах равна:
∆h = h1 − h2 =
отсюда следует, что
152
2σ  1 1 
 − ,
ρg  r1 r2 
σ=
ρ ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ r1 ⋅ r2
10 3 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 −2 ⋅ 2.5 ⋅ 10 −4 ⋅ 5 ⋅ 10 −4
= 7,5⋅10-2 Н/м.
=
−4
2(5 − 2.5)10
2(r2 − r1 )
25. Найдите значение избыточного давления внутри мыльного пузыря радиусом R = 0,5 см. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора
σ = 0,04 Н/м.
Дано: R = 0,005 м; σ = 0,04 Н/м.
Ри -?
Решение. Давление Р внутри мыльного пузыря равно:
Р = Р0 + Ри,
где Р0 − атмосферное давление;
Ри − избыточное давление, создаваемое искривлённым поверхностным
слоем мыльной воды.
Избыточное давление Ри равно удвоенному давлению Лапласа:
Ри = 2⋅
2σ
,
R
множитель 2 перед дробью (давлением Лапласа) поставлен потому, что мыльный пузырь имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю.
Итак,
Ри = 2⋅
2σ 4σ 4 ⋅ 0,04
=
=
= 32 Па.
R
R
0,005
Значение Ри обратно пропорционально радиусу R пузырька. Поэтому при
малых R, например, для пузырьков воздуха в воде при закипании воды, давле153
ние Ри может быть сравнимо с атмосферным давлением. Правда, в этом случае
поверхность одинарная, и Ри =
2σ
.
R
26. Тонкостенный стакан плавает в воде, погрузившись наполовину. Насколько изменится глубина погружения, если стакан поставить в воду вверх
дном. Температура воздуха в стакане постоянна. Высота стакана Н. Атмосферное давление Р0. Плотность воды ρ. Ускорение силы тяжести g.
Дано: Н; Р0; ρ; g.
∆h -?
Решение. Сделаем рисунок, на котором изобразим положение стакана в
обоих случаях. В позиции а) стакан плавает, погрузившись на
Н
Н
, и на
край
2
2
стакана выступает над уровнем воды. В позиции б) для перевернутого стакана:
на h1 дно стакана выступает над уровнем воды, h2 − разница уровней воды в
стакане и вне стакана.
а)
Н
2
б)
h1
Н
2
h2
1) Для изотермического процесса для воздуха в стакане по закону БойляМариотта: P1V1 = P2V2, или
P0HS = (P0 + ρgh2)(h1 + h2)S,
где S − площадь поперечного сечения стакана.
154
(*)
2) Если записывать условия плавания стакана, то в обоих случаях сила
тяжести стакана mg (m − масса стакана) уравновешивается выталкивающими
силами (Архимеда). Поэтому в качестве второго уравнения записываем:
mg = FАрх1 и mg = FАрх2, т.е. FАрх1 = FАрх2,
или
ρg
Н
S = ρgh2S,
2
откуда находим
h2 =
Н
.
2
Подставляем это значение h2 в уравнение (*)
P0HS = (P0 + ρg
Н
Н
)(h1 + )S,
2
2
откуда находим
h1 =
Н 2P0 − ρgH
.
2 2P0 + ρgH
А приращение глубины погружения стакана равно (см. рисунок):
−1

2P 
Н
Н Н 2P0 − ρgH
− h1 =
−
= Н 1 + 0  .
∆h =
2
2
2 2P0 + ρgH
 ρgH 
27. Внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t1 = 7 0C и давлении P1 = 1 ат находится азот. При нагревании бутылки пробка вылетела. Определите, до какой температуры нагрели бутылку, если известно, что пробка
вылетает при действии на нее силой F = 25 Н. Пробка имеет диаметр d = 1,6 см.
155
Дано: P1 = 0,98⋅105 Па; Т1 = 280 К; d = 1,6⋅10-2 м; F = 25 Н.
Т2 -?
Решение. Определим давление газа P2, при котором вылетает пробка, как
отношение силы F, действующей на пробку, к площади ее сечения S:
P2 =
F
4F
=
.
S πd 2
При нагревании бутылки ее объём практически не изменяется, и, считая
процесс изохорическим, применяем закон Шарля:
Р1
Р
= 2,
Т1
Т2
откуда
Т2 =
Т1
Т 4F
280
4 ⋅ 25
P2 = 1
=
5
2
Р1
Р1 πd
0,98 ⋅ 10 π ⋅ 1,6 ⋅ 10 − 2
(
)
2
= 355 К,
и
t2 = T2 − 273 = 355 − 273 = 82 0C.
28. С азотом произошёл процесс, изображенный на рисунке в координатах P-V. Определите температуру газа Т в этом про-
P
цессе, когда его объём равен V = 1,1 л, если масса
P1
азота равна m = 0,56 г; Р1 = 100 кПа; V1 = 0,5 л; Р2 =
P2
0
40 кПа; V2 = 1,5 л. Молярная масса азота равна µ =
V1
V2 V
28 г/моль. Универсальная газовая постоянная R =
8,31 Дж/(моль⋅К).
156
Дано: Р1 = 100⋅103 Па; V1 = 0,5⋅10−3 м3; Р2 = 40⋅103 Па; V2 = 1,5⋅10−3 м3;
µ = 28⋅10−3 кг/моль; V = 1,1⋅10−3 м3; R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
Т -?
Решение. Процесс, происходящий с газом (см. рисунок), можно выразить
уравнением:
P = P0 − αV,
где Р0 – значение давления при нулевом объеме, α − угловой коэффициент в зависимости P(V).
Запишем это уравнение процесса для состояний 1 и 2:
P1 = P0 − αV1,
P2 = P0 − αV2.
Из этих уравнений выразим постоянные α и Р0:
α=
Р1 − Р 2
;
V2 − V1
Р0 = Р1 +
Р1 − Р 2
⋅V1.
V2 − V1
Для промежуточного состояния запишем уравнение процесса и уравнение
Клапейрона-Менделеева:
P = P0 − αV,
PV =
m
RT.
µ
Из этих уравнений с учетом выражений для α и Р0 найдем искомую температуру Т:
Т=
Р − Р2
PVµ
Vµ
Vµ
Vµ
=
⋅Р =
⋅(P0 − αV) =
⋅(Р1 + 1
⋅V1 − αV) =
mR
mR
mR
mR
V2 − V1
157
=
Р − Р2
Р − Р2
Р − Р2
Vµ
Vµ
⋅(Р1 + 1
⋅V1 − 1
⋅V) =
⋅(Р1 + 1
⋅(V1 − V) =
mR
mR
V2 − V1
V2 − V1
V2 − V1
1,1 ⋅ 10 − 3 ⋅ 28 ⋅ 10 − 3
=
0,56 ⋅ 10 − 3 ⋅ 8,31
(
3
3

100
⋅
10
−
40
⋅
10
3
⋅ 100 ⋅ 10 +
⋅ 0,5 ⋅ 10 − 3 − 1,1 ⋅ 10 − 3
−3
−3
1,5 ⋅ 10 − 0,5 ⋅ 10

) =

= 424 К.
29. Газ находится в цилиндре под поршнем и занимает объём V1 = 240 см3
при давлении Р1 = 100 кПа. Какую силу F надо приложить перпендикулярно
поршню, чтобы сдвинуть его на ∆h = 2 см, уменьшив при этом объём газа?
Площадь поршня S = 24 см2. Температура газа постоянна.
Дано: V1 = 2,4⋅10-4 м3; Р1 = 105 Па; ∆h = 2⋅10-2 м; S = 2,4⋅10-3 м2.
F -?
Начальное
состояние
Решение. На рисунке показаны начальное и конечное состояния системы цилиндр –
PS
P1S
поршень – газ под поршнем. Для каждого состояния запишем условие равновесия поршня:
Конечное
состояние
PS
P2S
mg
mg
F
P1S − mg − PS = 0,
P2S − mg − PS − F = 0,
V1, P1, T
где m – масса поршня;
Р – атмосферное давление;
F – приложенная к поршню сила.
После вычитания первого уравнения из второго находим:
F = P2S − P1S.
158
V2, P2, T
Газ из начального состояния переходит в конечное в результате изотермического сжатия, поэтому
P1V1 = P2(V1 − S∆h),
при этом учли, что объём, занимаемый газом в конечном состоянии, равен
V2 = V1 − S∆h. Выражая из последнего уравнения Р2 и подставляя результат в
формулу для F, получаем
2,4 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 ⋅ 10 −2
S ⋅ ∆h
F=
⋅105⋅2,4⋅10-3 = 6 Н.
⋅P1⋅S =
−4
−3
−2
2,4 ⋅ 10 − 2,4 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10
V1 − S ⋅ ∆h
30. Гелий из состояния с температурой Т1 = 200 К расширяется в процессе
PV2 = const (P – давление, V – объём газа) с постоянной теплоёмкостью С. От
газа отвели количество теплоты Q = 400 Дж, и конечный объём газа стал вдвое
больше начального. Определите теплоемкость С.
Дано: Т1 = 200 К; PV2 = const; Q = 400 Дж; V2/V1 = 2.
С -?
Решение. Запишем уравнение процесса и уравнение Клапейрона для гелия:
PV
= const.
T
PV2 = const,
Поделив почленно первое уравнение на второе, имеем:
VT = const.
Последнее уравнение для перехода гелия из состояния 1 в состояние 2 записывается так:
159
V1T1 = V2T2,
из которого находим температуру гелия в конечном состоянии
Т2 =
V1
1
⋅Т1 = ⋅200 = 100 К.
2
V2
Теплоемкость С по определению равна количеству теплоты, необходимому для
изменения температуры системы (газа) на 1 К:
С=
Q
400
Дж
=4
.
=
К
T2 − T1
200 − 100
31. В вертикальном цилиндре под тяжёлым поршнем находится кислород
массы m = 2 кг. Для повышения температуры газа на ∆Т = 5 К ему было сообщено количество теплоты Q = 9 160 Дж. Найдите удельную теплоёмкость кислорода сР, работу А, совершаемую им при расширении, и приращение его
внутренней энергии ∆U. Молярная масса кислорода µ = 0,032 кг/моль.
Дано: m = 2 кг; ∆Т = 5 К; Q = 9 160 Дж; µ = 0,032 кг/моль.
сР -? А -? ∆U -?
Решение. На поршень действуют: сила тяжести Fт, сила атмосферного
давления Fатм и сила давления кислорода внутри цилиндра Fкис. При нагревании
газ расширяется и совершает работу по преодолению силы тяжести груза
(поршня) и силы атмосферного давления. Так как эти силы не меняются, и поршень в любой момент времени находится в равновесии, то сила давления кислорода на поршень (Fкис = Fатм + Fт) и давление Р газа внутри цилиндра остаются постоянными. Таким образом, при нагревании газ расширяется изобарически. Удельная теплоёмкость кислорода при постоянном давлении равна:
160
сР =
Q
9160
=
= 916 Дж/(кг⋅К).
m ⋅ ∆T
2⋅5
Работа газа при изобарическом расширении вычисляется по формуле:
A = P(V2 − V1),
где V1 и V2 − начальный и конечный объёмы газа.
Уравнения состояния газа до и после нагревания:
PV1 =
m
RT1,
µ
PV2 =
m
RT2.
µ
Вычитая первое уравнение из второго, найдём
P(V2 − V1) =
m
R(T2 − T1),
µ
т.е. работа газа равна:
A=
m
m
2
R(T2 − T1) = R∆T =
⋅8,31⋅5 = 2 590 Дж.
µ
µ
0,032
Подводимое к газу количество теплоты Q идёт на увеличение его внутренней
энергии ∆U и на совершение работы, т.е.
Q = ∆U + А,
отсюда
∆U = Q − А = 9 160 − 2 590 = 6 570 Дж.
161
32. КПД некоторой идеальной тепловой машины равен η = 40 %. На
сколько ∆η изменится этот коэффициент, если температура нагревателя увеличится в 1,2 раза, а температура холодильника увеличится в 1,5 раза?
Дано: η = 0,4; Т1′ = 1,2 Т1; Т2′ = 1,5 Т2.
∆η -?
Решение. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. КПД такой тепловой машины вычисляется по формуле:
η=
Т1 − Т 2
Т
=1− 2 ,
Т1
Т1
где Т1 и Т2 − абсолютные температуры нагревателя и холодильника.
Из этого уравнения выражаем
Т2
= 1 − η.
Т1
Новое значение КПД η′ тепловой машины оказывается равным:
′
Т2
Т
1,5 Т 2
η′ = 1 −
=1−
= 1 − 1,25 2 = 1 − 1,25(1 − η) =
′
1,2 Т 1
Т1
Т1
= 1 − 1,25(1 − 0,4) = 0,25.
Искомое изменение КПД тепловой машины оказывается равным
∆η = η′ − η = 0,25 − 0,4 = − 0,15.
Получили, что КПД тепловой машины уменьшается на 15 %.
162
33. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, произвел работу А =
600 Дж. Температура нагревателя Т1 = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Определите КПД цикла η и количество теплоты Q2, отданное холодильнику за один
цикл.
Дано: Т1 = 500 К; Т2 = 300 К; А = 600 Дж.
η -?
Q2 -?
Решение. Термический коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, равен
η=
Т1 − Т 2
Т
300
= 0,4 (или η = 40 %).
=1− 2 =1−
500
Т1
Т1
Так как работа за цикл равна A = Q1 − Q2, где Q1 − количество теплоты,
полученное от нагревателя, и КПД с другой стороны равен η = A/Q1, то решая
систему из этих двух последних уравнений находим:
1 
 1

Q2 = A  − 1 = 600 
−1 = 900 Дж.
 0,4 
η 
34. В котле паровой машины температура t1 = 160 0С, а температура холодильника t2 = 10 0С. Какую максимальную работу можно теоретически получить от машины, если в топке, коэффициент полезного действия которой η′ =
60 %, сожжено m = 200 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 2,9⋅107 Дж/кг?
Дано: Т1 = 433 К; Т2 = 283 К; q = 2,9⋅107 Дж/кг; m = 200 кг; η′ = 0,6.
А -?
163
Решение. Максимальную работу может совершить тепловая машина, работающая по циклу Карно. КПД такой машины вычисляем по формуле:
η=
Т1 − Т 2
,
Т1
где Т1 и Т2 – абсолютные температуры нагревателя и холодильника.
С другой стороны, КПД любой тепловой машины определяется по формуле:
η=
А
,
Q1
где А – работа, совершаемая машиной;
Q1 – теплота, полученная машиной от нагревателя.
Из условия задачи ясно, что Q1 = η′mq – часть тепла, полученного при сгорании
топлива. Таким образом, имеем:
Т1 − Т 2
А
=
,
η′mq
Т1
откуда
А = η′mq
Т1 − Т 2
433 − 283
= 0,6⋅200⋅2,9⋅107
= 1,2⋅109 Дж = 1,2 ГДж.
433
Т1
35. За время τ = 1 час в холодильнике превращается в лёд при температуре t0 = 0 0С вода массы m = 3,6 кг, имевшая начальную температуру t = 20 0С.
Какую мощность Р потребляется холодильником от электросети, если он отдаёт
в окружающее пространство в единицу времени энергию Qτ = 840 Дж/с? Удельная теплоёмкость воды с = 4,2 кДж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ =
330 кДж/кг.
164
Дано: τ = 3 600 с; t0 = 0 0С; t = 20 0С; m = 3,6 кг; Qτ = 840 Дж/с;
с = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅К); λ = 330⋅103 Дж/кг.
Р -?
Решение. Пусть, W – энергия, полученная холодильником от электросети
за время работы τ. Количество теплоты, отнятое у воды при ее охлаждении и
превращении в лёд, равно: Q0 = cm(t – t0) + mλ. В окружающее холодильник
пространство за время τ отдаётся количество теплоты Qτ⋅τ = Q0 + W. Поскольку
мощность, потребляемая холодильником, равна
Р=
Q
W
= Qτ − 0 ,
τ
τ
то, с учётом выражения для Q0, получаем
Р = Qτ −
m
3,6
[c(t – t0) + λ] = 840 −
[4,2⋅103⋅(20 – 0) + 330⋅103] = 426 Вт.
τ
3600
36. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по
циклу (см. рисунок), состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1,
Р
равен η. Разность максимальной и минимальной температур
1
2
газа в цикле равна ∆Т. Найдите работу, совершенную ν моля-
3
ми одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.
V
Дано: η; Т1 − Т3 = ∆Т; Т1 = Т2; i = 3; ν; R.
А12 -?
Решение. К каждому из трёх процессов на участках 1-2, 2-3, 3-1 рассматриваемого цикла будем применять первый закон термодинамики – количество
165
теплоты ∆Q, переданное системе, идёт на изменение внутренней энергии ∆U
системы и на совершение системой работы ∆A против внешних сил:
∆Q = ∆U + ∆A =
i
νR∆T + P∆V,
2
где i – число степеней свободы молекул газа;
ν − количество вещества;
R – газовая постоянная;
Р – давление;
∆T и ∆V – изменения температуры и объёма в рассматриваемом элементарном процессе.
Участок 1-2 – изотерма, температуры в состояниях 1 и 2 одинаковы, т.е.
Т1 = Т2. Поэтому на этом участке внутренняя энергия не меняется, т.е. ∆U12 = 0.
И работа А12 совершается за счёт теплоты Q12 = Q1, получаемой тепловой машиной от нагревателя:
А12 = Q1.
Участок 2-3 – изохора, объёмы в состояниях 2 и 3 одинаковы, т.е. V2 = V3.
Поэтому на этом участке работа не совершается, т.е. А23 = 0. На участке 2-3
температура понижается, и убыль внутренней энергии ∆U23 =
i
νR∆T произво2
дится за счёт передачи теплоты Q23 = Q2 холодильнику:
Q2 =
i
νR∆T.
2
Участок 3-1 − адиабата, на этом участке процесс происходит без теплообмена с окружающей средой:
Q3 = 0.
166
Коэффициент полезного действия η тепловой машины по определению равен:
η=
Q1 − Q 2
Q
=1− 2.
Q1
Q1
В полученное уравнение для η вместо Q1 и Q2 подставим их выражения,
записанные выше:
3
νR∆T
Q2
2
,
=1−
η =1 −
A12
Q1
откуда найдём искомую работу:
А12 =
3νR∆T
.
2(1 − η)
37. Один моль идеального газа из состояния с температурой Т1 = 100 К
расширяется изобарно, а затем изохорно переходит в состояние с начальной температурой (см. рисунок). Во
P
1
сколько раз изменился при этом объём газа, если для перевода газа из начального состояния в конечное к нему
пришлось подвести количество теплоты Q = 831 Дж?
2
3
0
V
Дано: ν = 1 моль; Т1 = 100 К; Q = 831 Дж; Т1 = Т3.
V2/V1 -?
Решение. Пусть, V1 и Т1 − объём и температура газа в состоянии 1. Так
как переход 1-2 является изобарическим процессом, то согласно уравнению
Клапейрона
V1
V
= 2.
T1
T2
167
Отсюда Т2/Т1 = V2/V1. Так как V2 > V1, то Т2 > Т1, т.е. на участке 1-2 к газу
подводится количество Q12 = cPm(Т2 − Т1). Так как в состоянии 3 температура
Т3 = Т1 < Т2, то изохорное сжатие газа на участке 2-3 сопровождается его
охлаждением. На участке 2-3 от газа отводится количество теплоты
Q23 = cVm(Т2 − Т1).
Общее количество теплоты, подведённое к газу для перевода из состояния
1 в состояние 3 равно:
Q = Q12 − Q23 = cPm(Т2 − Т1) − cVm(Т2 − Т1) = m(Т2 − Т1)(cP − cV).
Так как удельные теплоёмкости cP и cV связаны друг с другом соотношением
cP = cV +
Т

V

R
, а разность температур Т2 − Т1 = Т1  2 − 1 = Т1  2 − 1 , то полуµ
 Т1

 V1

чаем, что
Q=
V

V

m
RT1  2 − 1 = νRT1  2 − 1 .
µ
 V1

 V1

Отсюда находим искомое отношение объёмов:
V2
831
Q
=
+1=
+ 1 = 2.
1 ⋅ 8,31 ⋅ 100
V1
νRT1
38. Один моль идеального газа совершает замкнутый процесс, состоящий из
Р
двух изохор и двух изобар (см. рисунок).
Изотерма
2
Температура в точке 1 равна Т1, а в точке 3
равна Т3. Точки 2 и 4 лежат на одной изо-
1
терме. Чему равна работа газа за цикл?
Универсальная газовая постоянная равна R.
168
0
3
4
V
Дано: R; Т1; Т3; Т4 = Т2; Р3 = Р2; Р4 = Р1; V2 = V1; V3 = V4; ν = 1 моль.
A -?
Решение. В каждой точке параметры состояния будем обозначать с соответствующими индексами. Например, в точке 4 с учетом условия задачи будем
использовать следующие параметры для давления, объёма, температуры:
4(Р4, V4, T4) = 4(Р1, V4, T2).
Используя уравнение Клапейрона
PV
= const,
T
запишем уравнения изопроцессов 1-2, 2-3, 3-4, 4-1.
Из уравнений изохор 1-2 и 3-4
P1
P
= 2,
T1 T2
P2
P
= 1
T3
T2
получаем выражение:
Р1 = Р2 ⋅
Т1
.
Т3
(*)
Из уравнений изобар 2-3 и 4-1
V1
V
= 4,
T2
T3
получаем соотношения:
169
V4
V
= 1
T2
T1
V4 = V1⋅
Т3
,
Т2
Т1 ⋅ Т 3 .
T2 =
(**)
Работа газа за цикл равна площади фигуры (в данном случае площади
прямоугольника) на диаграмме в координатах P-V:
А = (P2 −P1)⋅(V4 − V1).
Преобразуем записанное выражение для работы с учетом соотношений (*)
и (**):
А =(P2 −P1)⋅(V4 − V1) =Р2⋅(1 −
Т
Т1
)⋅V1⋅( 3 − 1) =Р2V2⋅(1 −
Т3
Т2
Т3
Т1
)⋅(
− 1).
Т3
Т1Т 3
Преобразуем полученное выражение для работы с учетом уравнения состояния
в точке 2:
Р2V2 = νRT2,
(ν = 1 моль).
Итак, имеем:
А = Р2V2⋅(1 −
Т3
Т1
)⋅(
− 1) = RT2 ⋅(1 −
Т3
Т1Т 3
= R Т1 ⋅ Т 3 ⋅(1 −
Т3
Т1
)⋅(
− 1) = R⋅
Т3
Т1
(
Т3
Т1
)⋅(
− 1) =
Т3
Т1
)2
Т 3 − Т1 .
39. Некоторое количество гелия расширяется: сначала адиабатно, а затем
− изобарно. Конечная температура газа равна начальной. При адиабатном расширении газ совершил работу, равную 4,5 кДж. Чему равна работа газа за весь
процесс?
170
Дано: А12 = 4,5 кДж; i = 3; Т1 = Т2.
А123 -?
Решение. На рисунке 1-2 − адиабатический процесс, 2-3 − изобарический
процесс, 1-3 − изотерма (Т1 = Т3). Согласно условию задачи работа адиабатического расширения равна А12. Как известно, работа адиабатического расширения
равна:
А12 = νCV(T1−T2),
где CV =
i
R − молярная теплоемкость при постоянном объеме;
2
ν − количество вещества;
Т1 и Т2 – температуры в точках 1 и 2;
i − число степеней свободы молекул;
R − газовая постоянная.
P
Итак,
1
P1
i
А12 = νR(T1−T2),
2
откуда выражаем
P2
2
νR(T1−T2) = А12.
i
T=const
3
2
0
V1
V2
V3
V
Работа изобарического расширения на участке 2-3 равна
А23 = Р2(V3 – V2) = Р2V3 – Р2V2 = νRT1 − νRT2 = νR(T1−T2) =
2
А12.
i
Так как работа аддитивная величина, то работа газа за весь процесс равна
алгебраической сумме работ на отдельных участках:
171
А123 = А12 + А23 = А12 +
2

А12 = А12 1 + 2  = 4,5 1 +
i

i

2
 = 7,5 кДж.
3
40. 1 моль идеального одноатомного газа сначала
охладили, а затем нагрели до первоначальной температу- Р
ры 300 К, увеличив объем газа в 3 раза (см. рисунок). Ка-
1
2
кое количество теплоты отдал газ на участке 1-2?
3
0
Т
Дано: ν = 1 моль; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); Т1 = Т3 = 300 К; i = 3; V3/V2 = 3;
Q12 -?
Решение. Будем полагать, что каждому состоянию (1, 2, 3) соответствует
значение параметра состояния (P, V, T) с соответствующим индексом.
Так как процесс 2-3 изобарический (Р = const), то
V3 V2
1
=
⇒ Т2 = Т3⋅ V2 = 300⋅ = 100 К.
Т3 Т 2
3
V3
На участке 1-2 согласно первому началу термодинамики
Q12 = ∆U12 + A12 = ∆U12,
так как на этом участке процесс изохорный, и поэтому А12 = 0. Запишем известное соотношение для изменения внутренней энергии
∆U12 =
i
νR(T2 − T1),
2
где i – степеней свободы молекул;
R – газовая постоянная.
После подстановки данных получаем следующий результат:
172
Q12 = ∆U12 =
i
3
νR(T2 − T1) = ⋅1⋅8,31⋅(100 – 300) = − 2,5⋅103 Дж = − 2,5 кДж.
2
2
Знак ″−″ указывает на то, что на участке 1-2 газ отдает такое количество
теплоты (что требуется найти согласно условию задачи).
41. 10 моль идеального одноатомного газа охладили, уменьшив давление
в 3 раза. Затем газ нагрели до первоначальной температуры 300 К (см. рисунок). Какое количество теплоты сообщено газу на участке 2-3?
V
Дано: ν = 10 моль; R = 8,31 Дж/(моль⋅К);
3
Т1 = Т3 = 300 К; i = 3; P1/P2 = 3;
2
Q23 -?
0
1
p
Решение. Будем полагать, что каждому состоянию (1, 2, 3) соответствует
значение параметра состояния (P, V, T) с соответствующим индексом.
Так как процесс 1-2 изохорический (V = const), то
Р1 Р 2
=
⇒ Т2 = Т1 Р 2 = 300/3 = 100 К.
Т1 Т 2
Р1
На участке 2-3 согласно первому началу термодинамики
Q23 = ∆U23 + A23 =
=
i
νR(T3 − T2) + P2(V3 − V2) =
2
i
i+2
νR(T3 − T2) + νR(T3 − T2) =
νR(T3 − T2),
2
2
где i – степеней свободы молекул;
R – газовая постоянная.
После подстановки данных получаем следующий результат:
173
Q23 =
i+2
3+ 2
νR(T3 − T2) =
⋅10⋅8,31⋅(300 – 100) = 41,55⋅103 Дж = 41,55 кДж.
2
2
42. Почему, когда, купаясь в жаркий день вы входите в воду, вода кажется
холоднее воздуха, а когда выходите, то наоборот?
Решение. Из-за испарения воды с ее поверхности и из-за большой теплоёмкости вода нагревается медленнее, чем воздух. Поэтому она холоднее воздуха. Когда выходят из воды, то капельки ее, оставшиеся на теле, испаряются.
Поглощая при этом много тепла, капельки отбирают его не только у окружающей среды, но и у тела. Тело охлаждается, и воздух кажется холоднее воды.
43. Два одинаковых сосуда соединены трубкой, объёмом которой можно
пренебречь. Система наполнена газом и находится при температуре Т. Во
сколько раз изменится внутренняя энергия газа, если один сосуд нагреть до
температуры Т1, а другой поддерживать при прежней температуре Т?
Дано: V1 = V2 = V; Т; Т1.
n = U1/U -?
Решение. Объём каждого из сосудов системы обозначим через V. Тогда
объём системы равен 2V. Газ будем считать идеальным с числом степеней свободы молекул, равным i. Поскольку сосуды соединены трубкой, то в любой
момент времени давления газов в них одинаковы. Обозначим давление газа в
системе: Р – до нагрева, Р1 – после нагрева. Тогда выражения для внутренней
энергии газа в системе U – до нагрева и U1 – после нагрева можно записать в
виде:
U=
i
P⋅2V
2
и
174
U1 =
i
P1⋅2V.
2
Поделив одно выражение на другое, имеем:
P
U1
=n= 1.
P
U
Итак, чтобы найти искомое отношение внутренних энергий нужно найти
отношение давлений газа в системе.
Обозначим m – массу газа в системе из двух сосудов до нагрева, µ − молярную массу газа и запишем уравнение состояния газа в системе до нагрева:
P⋅2V =
m
mRT
RT ⇒ P =
.
µ
2Vµ
Запишем уравнения состояния газа в отдельных сосудах системы после
нагрева:
P1⋅V =
m1
RT;
µ
P1⋅V =
m2
RT1.
µ
Из этих двух уравнений выразим массы m1 и m2 и сложим их с учётом,
что сумма масс газов в сосудах равна общей массе газа в системе:
m = m1 + m2 =
P1 Vµ
R
1 1 
 + 
 Т Т1 
⇒ P1 =
mR (T ⋅ Т 1 )
.
Vµ(Т + Т 1 )
Поделив полученные выражения для давлений, получим искомую величину n:
n=
P1
2Т 1
=
.
P
Т + Т1
175
44. Найдите работу, совершённую 1 молем
P
P2
идеального газа в цикле, состоящем из двух уча-
2
стков линейной зависимости давления от объё3
P3
P1
0
ма и изохоры (см. рисунок). Точки 2 и 3 лежат
на изотерме, прямая 1-3 проходит через начало
1
координат. Известны температуры Т1 и Т2 = Т3.
V3 V
Газовая постоянная R.
V1
Дано: ν = 1 моль; V1 = V2; Т2 = Т3; R.
А -?
Решение. Работа А за цикл равна алгебраической сумме работ на отдельных участках:
А = А12 + А23 + А31 = А23 + А31,
так как А12 = 0, поскольку участок 1-2 соответствует изохорическому процессу.
Работа А23 равна площади трапеции V123V3:
А23 =
Р2 + Р3
1
(V3 − V2) = (P2V3 − P3V2),
2
2
так как из равенства температур Т2 = Т3 по закону Бойля-Мариотта P2V2 = P3V3.
Обозначим
V3
P
= 2 = α и преобразуем выражение для А23 с учётом
V2
P3
уравнения состояния идеального газа для состояния 2: P2V2 = νRT2
А23 =
1
1
V P 
(P2V3 − P3V2) = P2V2  3 − 3  =
V P 
2
2
 2
2 
=
2
1
1
νRT2  α − 1  = νRT2  α − 1  .
2
α 2

 α 
176
Примем во внимание, что работа А31 < 0, так как для перехода 3-1: ∆V < 0
и что эта работа равна площади трапеции V113V3:
А31 = −
Р1 + Р 3
1
(V3 − V1) = (P1V1 − P3V3),
2
2
поскольку из подобия треугольников 01V1 и 03V3 следует, что
P1
P
= 3 и
V1
V3
P1V3 = P3V1.
С учётом уравнения состояния идеального газа для состояний 1 и 3
P1V1 = νRT1 и
P3V3 = νRT3
получаем выражение для работы А31 с учётом того, что Т2 = Т3:
А31 =
1
1
1
(P1V1 − P3V3) = νR(T1 − Т3) = νR(T1 − Т2).
2
2
2
Из уравнений состояний газа в точках 1 и 3 выражаем давления
Р1 =
νRT1
;
V1
Р3 =
νRT3
νRT2
=
.
V3
V3
Полученные выражения для давлений Р1 и Р3 подставим в ранее полученное выражение
2
2
V 
V 
νRT1
νRT2
T
V3 =
V1 ⇒ 2 =  3  =  3  = α2.
P1V3 = P3V1 =
V1
V3
T1  V1 
 V2 
Полученное выражение для α подставим в выражение для А23, полученное ранее
177
 Т2


 1
−
1
 Т2

1
1
Т
α
−
1


1

.


(
)
А23 = νRT2 
νRT
νR
Т
−
Т
=
=
2

2
1 
 Т
2
2
2


α
Т
1




2


Т
1 

2
Теперь найдём работу, совершённую газом за цикл
А = А23 + А31 =
=
 Т2

1
(Т 2 − Т 1 ) + 1 νR(T1 − Т2) =
νR 
2
 Т1
 2
1
νR(T2 − Т1)
2
 Т2


.
−
1
 Т

1


Для ν = 1 моль работа А равна:
А=
1
R(T2 − Т1)
2
 Т2


.
−
1
 Т

1


45. Найдите среднюю длину свободного пробега λ молекул гелия при
давлении Р = 101,3 кПа и температуре t = 0 0С, если вязкость гелия равна η =
13 мкПа⋅с.
Дано: Р = 101,3⋅103 Па; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); η = 13⋅10-6 Па⋅с;
µ = 4⋅10-3 кг/моль; Т = 273 К.
λ -?
Решение. Запишем выражение для коэффициента вязкости:
η=
1
ρ v λ,
3
где λ − средняя длина свободного пробега молекул;
ρ − плотность газа;
v=
8RT
− средняя арифметическая скорость молекул.
πµ
178
Из уравнения Клапейрона-Менделеева
PV =
m
RT
µ
выразим плотность
ρ =
Pµ
m
=
.
RT
V
Записанные выражения для средней арифметической скорости и плотности подставим в формулу для коэффициента вязкости
η=
1 Pµ
3 RT
8RT
λ.
πµ
Отсюда выразим среднюю длину свободного пробега молекул:
λ=
πRT
3
3
-6 3,14 ⋅ 8,31 ⋅ 273
=
η
13⋅10
= 182⋅10-9 = 182 нм.
3
−
3
Р
8µ
101,3 ⋅ 10
8 ⋅ 4 ⋅ 10
11 Контрольные вопросы
1 Почему термодинамический и молекулярно-кинетический методы исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют друг друга?
2 Что такое молекулярно-кинетическая теория? Сформулируйте ее основные положения.
3 Какие наблюдения и эксперименты подтверждают основные положения
молекулярно-кинетической теории7
4 Что называют броуновским движением? Каковы его особенности? О
чём свидетельствует броуновское движение?
179
5 Что называют диффузией? Приведите примеры диффузии в газах, жидкостях и твёрдых телах. От чего зависит скорость диффузии? О чём свидетельствует явление диффузии?
6 Что называют эффективным диаметром молекулы? Каков порядок величин диаметра и массы молекул?
7 Что называют относительной молекулярной (атомной) массой вещества? Какая формула выражает смысл этого понятия? Как определяют относительную молекулярную массу вещества, в состав которого входят различные
элементы?
8 Что называют количеством вещества? Какая формула выражает смысл
этого понятия? Какова единица количества вещества? Сформулируйте определение этой единицы.
9 Что называют постоянной Авогадро? Чему она равна?
10 Что такое молярная масса вещества? Какая формула выражает связь
молярной массы вещества с числом Авогадро? Какова единица молярной массы?
11 Чему равна атомная единица массы?
12 Получите формулу, устанавливающую связь между молярной массой и
относительной молекулярной массой вещества.
13 Какая формула выражает связь между количеством вещества, его массой и молярной массой?
14 По какой формуле определяют число молекул в произвольном количестве вещества?
15 Какими свойствами обладают силы молекулярного взаимодействия?
Что называют сферой молекулярного действия? Каков радиус этой сферы?
16 Каков характер зависимости молекулярных сил притяжения и отталкивания от расстояния между молекулами?
17 Какой знак имеет сила отталкивания? Сила притяжения? Начертите и
объясните график зависимости сил притяжения, отталкивания и их равнодействующей от расстояния между молекулами.
180
18 Как объясняется с молекулярной точки зрения появление силы упругости, существование закона Гука и ограниченность области его применимости?
19 Начертите и объясните график зависимости потенциальной энергии
молекул от расстояния между ними.
20 Перечислите агрегатные состояния вещества. Напишите соотношения
между кинетической и потенциальной энергиями для газообразного, жидкого и
твёрдого состояний веществ.
21 Опишите характер движения молекул в газах. Что называют длиной
свободного пробега молекул? От чего она зависит?
22 Опишите характер движения молекул в жидкостях. Что называют
ближним порядком?
23 Опишите характер движения молекул в твёрдых телах. Какие виды
твёрдых тел различают? Что такое кристаллическая решётка? Что называют
дальним порядком?
24 Опишите опыт Штерна. Объясните его сущность и выведите формулу,
по которой экспериментально определяют среднюю скорость движения атомов
вещества.
25 Каков характер распределения молекул по скоростям, установленный
Максвеллом? Начертите и объясните график такого распределения. Что такое
наиболее вероятная скорость?
26 Как определяется наиболее вероятная скорость? средняя арифметическая скорость? Средняя квадратическая скорость?
27 Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические
параметры вам известны?
28 Дайте определение теоретической модели идеального газа. При каких
условиях газ по своим свойствам близок к идеальному?
29 Что называют уравнением состояния?
30 Какими законами описываются изотермические, изобарные и изохорические процессы?
181
31 Каким законом описывается изотермический процесс? Как формулируют и записывают этот закон? Начертите и объясните его график.
32 Как зависит плотность газа от давления при постоянной температуре?
Напишите формулу.
33 Каков физический смысл температурного коэффициента объёмного
расширения газа? температурного коэффициента давления газа?
34 Каким законом описывается изобарный процесс? Как формулируют и
записывают этот закон? Начертите и объясните этот закон.
35 Каким законом описывают изохорный процесс? Как формулируют и
записывают этот закон? Начертите и объясните его график.
36 Что называют абсолютным нулём температуры? Каков физический
смысл этого понятия с точки зрения молекулярно-кинетической теории?
37 Дайте соотношения между температурными шкалами Кельвина, Цельсия и Фаренгейта.
38 Определите чему равна температура абсолютного нуля по шкале Цельсия, Фаренгейта? Возможно ли охладить тело до температуры абсолютного нуля?
39 Каково современное представление об энергии молекул при абсолютном нуле температуры?
40 Проделав необходимые расчёты, покажите, какой вид имеют формулы
законов Гей-Люссака и Шарля в том случае, когда температуру газа измеряют
по термодинамической шкале температур. Как формулируются эти законы?
41 Выведите уравнение состояния идеального газа Клапейрона. Как оно
читается?
42 От чего зависит числовое значение постоянной, входящей в уравнение
Клапейрона?
43 Как формулируют закон Авогадро?
44 Чему равен объём одного моля любого газа при нормальных условиях?
45 Выведите уравнение Менделеева-Клапейрона для произвольной массы
идеального газа. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной?
182
46 Как записывают основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа?
47 Какую скорость движения молекул называют средней квадратической?
Какая формула выражает смысл этого понятия?
48 Выведите формулу, выражающую зависимость между средней кинетической энергией молекул идеального газа и термодинамической температурой
газа.
49 Что такое постоянная Больцмана? Каков ее физический смысл?
50 Выведите формулу, по которой определяют внутреннюю энергию одноатомного идеального газа.
51 Выведите формулу, выражающую зависимость средней квадратической скорости молекул идеального газа от температуры.
52 Получите формулу зависимости концентрации молекул идеального газа от давления и температуры.
53 Что называют числом Лошмидта? Чему оно равно?
54 Что такое парциальное давление? Сформулируйте закон Дальтона для
парциальных давлений.
55 Что такое внутренняя энергия идеального газа? В результате каких
процессов может изменяться внутренняя энергия системы? Что такое число
степеней свободы молекул газа?
56 Что называют теплопередачей (теплообменом)? Какие виды теплопередачи существуют?
57 Что понимают под количеством теплоты? Является ли количество теплоты функцией состояния системы?
58 Что называют теплоёмкостью тела? удельной теплоёмкостью? молярной теплоёмкостью?
59 Что называют уравнением теплового баланса? Как его записывают?
60 Что называют удельной теплотой сгорания вещества?
61 Чему равен механический эквивалент теплоты?
183
62 Дайте определения первого начала (первого закона) термодинамики.
Что оно выражает?
63 Сформулируйте общий принцип графического определения работы,
совершаемой при изменении объёма газа.
64 Какой процесс называют адиабатным? При каких условиях он осуществляется? На P-V диаграмме почему адиабата более крута, чем изотерма? Как
изменяется температура газа при его адиабатическом сжатии?
65 Изобразить для идеального газа примерные графики изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов на диаграммах: а) P-V;
б) T-V; в) T-P. Графики изобразить проходящими через общую для них точку.
66 Как записывается первый закон термодинамики для адиабатного процесса? изо-процессов?
67 Какой процесс изменения состояния системы называют круговым, или
циклическим? Чему равна работа, совершённая за цикл? Перечислите физические условия работы периодического теплового двигателя.
68 Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя,
полностью преобразуется в работу?
69 В чём состоит физический смысл второго закона термодинамики?
70 Как можно рассчитать КПД теплового двигателя, работающего по циклу Карно? В каком случае КПД цикла Карно повышается больше – при увеличении температуры нагревателя на ∆Т или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину? Чем обусловливается максимальность КПД
обратимой машины, работающей по циклу Карно?
71 Что называют парообразованием? паром? конденсацией? испарением?
сублимацией (возгонкой)? Назовите закономерности этих процессов.
72 Чем различаются термины «газ» и «пар»? Какой пар называют насыщенным? Какими свойствами он обладает?
73 Зависит ли плотность насыщенного пара от температуры? Возможен
ли непрерывный переход вещества из газообразного в жидкое состояние, минуя
стадию одновременного существования обеих фаз?
184
74 Каковы пути перехода ненасыщенного пара в насыщенный и обратно?
75 Как происходит кипение жидкостей? Опишите явления, происходящие
в воде, нагреваемой до кипения. При каком условии происходит кипение? От
чего зависит температура кипения? Объясните, почему во время кипения температура жидкости не изменяется.
76 Что называют абсолютной (относительной) влажностью? Что такое
упругость водяного пара?
77 Что называют точкой росы? Чему равны абсолютная и относительная
влажности в точке росы?
78 С помощью каких приборов определяют влажность воздуха?
79 В чём заключается аномалия воды?
80 Как проявляет себя поверхностное натяжение жидкостей? Как направлена сила поверхностного натяжения? Почему у всех веществ поверхностное
натяжение уменьшается с температурой? Как можно определить коэффициент
поверхностного натяжения?
81 В чём заключаются явления смачивания или несмачивания? Что характеризует краевой угол? Каково значение краевого угла при смачивании? при
несмачивании? При каком условии жидкость смачивает твёрдое тело? не смачивает?
82 Что называют капиллярностью? Запишите уравнение Лапласа и объясните, что оно выражает. От чего зависит дополнительное давление, вызванное
кривизной поверхности? Какие явления называют капиллярными? От чего зависит высота поднятия смачивающей жидкости капилляре?
83 Какие тела называют кристаллическими? аморфными?
84 Что такое анизотропия? Обладают ли анизотропией свойств аморфные
и поликристаллические тела?
85 Что называют плавлением? отвердеванием? Объясните, почему при
плавлении кристаллических тел температура тела не изменяется, несмотря непрерывное сообщение телу теплоты.
185
86 От чего зависит температура плавления кристаллических тел? Каков
характер этой зависимости? Как изменяется температура плавления у аморфных веществ при повышении давления?
12 Тесты для самоконтроля усвоения материала учащимися
1. В дизеле в начале такта сжатия температура воздуха равна 27 0С, а давление 70 кПа. Во время сжатия объём воздуха уменьшается в 15 раз, а давление
возрастает до 3,5 МПа. При этих условиях температура воздуха в конце такта
сжатия равна …
А) 1 000 0С
В) 727 0С
С) 427 0С
Д) 517 0С
Е) 600 0С
2. Чему равна плотность кислорода при температуре 47 0С и давлении
1 МПа? Молярная масса кислорода µ = 32 г/моль.
А) 1,2 кг/м3
В) 12 кг/м3
С) 16 кг/м3
Д) 68 кг/м3
Е) 6,8 кг/м3
3. Если при постоянной температуре число молекул идеального газа, содержащегося в замкнутом сосуде, увеличить на 220 %, объём сосуда увеличить
на 40 %, то давление газа увеличится в …
А) 1,7 раза
В) 1,9 раза
С) 2,1 раза
Д) 2,3 раза
Е) 2,5 раза
4. Чему равна плотность водорода при нормальных условиях? Молярная
масса водорода µ = 2 г/моль.
А) 0,02 кг/м3
В) 0,04 кг/м3
С) 0,09 кг/м3
186
Д) 0,86 кг/м3
Е) 1,26 кг/м3
5. Определите, во сколько раз увеличивается среднее расстояние между
молекулами воды, когда она переходит из жидкого в газообразное состояние
при нормальном атмосферном давлении?
А) в 102 раз
В) в 104 раз
С) в 10 раз
Д) в 103 раз
Е) не изменится
6. При неизменной концентрации молекул гелия средняя кинетическая
энергия теплового движения его молекул увеличилась в 4 раза. Как при этом
изменилось давление газа?
А) не изменилось
В) уменьшилось в 2 раза
Д) увеличилось в 4 раза
С) увеличилось в 2 раза
Е) увеличилось в 16 раз
7. Если масса молекулы первого газа в 4 раза меньше массы молекулы
второго газа, а концентрация молекул первого вдвое больше второго, то отношение плотности первого газа к плотности второго
А) 2
В)
1
2
С) 4
ρ1
равно …
ρ2
Д)
1
4
Е)
1
8
8. Средний квадрат скорости поступательного движения молекул некоторого газа, находящегося под давлением 8⋅104 Па, равен 6⋅105 м2/с2. Чему равна
плотность этого газа при данных условиях?
А) 1 кг/м3
В) 0,5 кг/м3
С) 0,8 кг/м3
Д) 0,3 кг/м3
Е) 0,4 кг/м3
9. Определите температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если
давление газа увеличивается на 0,4 % первоначального давления при нагреве на
1 0С.
187
А) 225 К
В) 250 К
С) 275 К
Д) 300 К
Е) 325 К
10. Из сосуда объемом 1 дм3 выкачивается воздух. Рабочий объем цилиндра насоса 0,1 л. Через сколько циклов работы насоса давление в сосуде
уменьшится в 2 раза?
А) 10
В) 7
С) 5
Д) 4
Е) 3
11. Средняя квадратичная скорость молекул газа 400 м/с. Определите
объём, который займёт газ при среднем давлении 0,1 МПа и массе 1,0 кг.
А) 0,93 м3
В) 0,83 м3
С) 0,73 м3
Д) 0,63 м3
Е) 0,53 м3
12. Изобарический процесс для постоянной массы идеального газа выражается зависимостью …
А) P1V1=P2V2
В)
V1 V2
=
T1 T2
С)
P1 P2
=
T1 T2
Д) PV=
m
RT
µ
Е)
P1V1 P2 V2
=
T1
T2
13. По какой из формул можно рассчитать среднюю квадратичную скорость молекул газа при заданной температуре? Масса одной молекулы – m0.
Постоянная Больцмана – k. Абсолютная температура – Т.
А)
3kT
m0
В)
3kT
2m 0
С)
3kT
m0
Д)
3kTm 0
Е)
2kT
m0
14. По какой из приведенных формул можно определить число N молекул
в газе массой m, если его молярная масса µ? Число Авогадро равно NA.
188
А)
m
NA
μ
В)
μ
NA
m
С)
3 m
NA
2 μ
Д) mµNA
Е)
2 m
NA
3 μ
15. Среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при
температуре 190 0С и давлении 105 Па равно (постоянная Больцмана k =
1,38⋅10-23 Дж/К):
А) 1⋅10-7 м
В) 6⋅10-10 м
С) 8⋅10-11 м
Д) 2⋅10-8 м
Е) 4⋅10-9 м
16. На глубине 40 м в стоячей воде пузырек воздуха имеет объем 3 мм3.
Определите объём этого же пузырька при подъёме его на поверхность воды.
Процесс считайте изотермическим. Атмосферное давление 1⋅105 Па. Плотность
воды равна 1⋅103 кг/м3. Ускорение силы тяжести 10 м/с2.
А) 12 мм3
В) 120 мм3
С) 60 мм3
Д) 24 мм3
Е) 15 мм3
17. Определите концентрацию молекул водорода, находящегося под давлением 2,67⋅104 Па, если среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул при этих условиях равна 2⋅103 м/с. Молярная масса водорода равна
µ = 2 г/моль. Число Авогадро равно NA=6,02⋅1023 моль−1.
А) 3⋅1024 м-3
В) 6⋅1024 м-3
С) 5⋅1024 м-3
Д) 4⋅1024 м-3
Е) 2⋅1024 м-3
18. Газ занимает объём V1 = 8 л при температуре 300 К. Определите массу
газа, если после изобарического нагревания его до температуры Т2 = 900 К его
плотность стала равна ρ2 = 0,6 кг/м3.
А) 12,4 г
В) 13,4 г
С) 14,4 г
189
Д) 15,4 г
Е) 16,4 г
19. Каково давление азота, если средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с, а его плотность 1,35 кг/м3? Молярная масса азота 28 г/моль.
А) 107,3 кПа
В) 112,5 кПа
С) 120,1 кПа
Д) 125,7 кПа
Е) 130,8 кПа
20. Чему равна масса газа в сосуде, если концентрация молекул кислорода
в сосуде вместимостью 5 л равна 9,41⋅1023 м-3? Молярная масса кислорода µ =
32 г/моль. Число Авогадро NA = 6,02⋅1023 моль-1.
А) 0,10 г
В) 0,25 г
С) 0,75 г
Д) 1,25 г
Е) 2,05 г
21. Найдите объём V0 засасывающей камеры поршневого насоса, если при
откачивании этим насосом воздуха из баллона объёма V = 4 л давление уменьшается при каждом цикле в n = 1,2 раза.
А) 1,25 л
В) 0,6 л
С) 1,2 л
Д) 1 л
Е) 0,8 л
22. Как взаимодействуют между собой молекулы любого вещества?
А) притягиваются и отталкиваются, на очень маленьких расстояниях силы
отталкивания больше сил притяжения
В) притягиваются и отталкиваются, на очень маленьких расстояниях силы
отталкивания меньше сил притяжения
С) только отталкиваются
Д) только притягиваются
Е) в условии задачи не хватает данных
23. Концентрация молекул идеального газа уменьшилась в 4 раза, а средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул увеличилась в 4
раза. Давление газа при этом…
190
А) увеличилось в 16 раз
В) уменьшилось в 16 раз
С) увеличилось в 4 раза Д) уменьшилось в 4 раза
Е) не изменилось
24. Газ с концентрацией молекул n и температурой Т оказывает на стенки
сосуда давление Р. Какое давление на стенки сосуда оказывает газ с концентрацией молекул 2n и температурой 2Т?
А)
Р
2
В) Р
С) 2Р
Д) 4Р
Е)
Р
4
25. При температуре Т0 и давлении Р0 идеальный газ, взятый количеством
вещества 1 моль, занимает объём V0. Чему равен объём газа, количество вещества которого равно 2 моль, при том же давлении Р0 и температуре 2Т0?
А) V0
В) 2V0
С) 4V0
Е)
Д) 8V0
1
V0
2
26. Объём водорода, взятого количеством вещества 3 моль, в сосуде при
температуре 300 К и давлении Р1 равен V1. Чему равен объём кислорода, взятого в количестве вещества 3 моль, в сосуде при той же температуре и том же
давлении? Молярные массы водорода 2 г/моль, кислорода – 32 г/моль.
А) V1
В) 8V1
С) 16V1
Д) 24V1
Е)
1
V1
8
27. Процесс в идеальном газе сначала идёт так, что давление и объём связаны равенством Р V =В. Когда температура газа достигает значения Т, процесс продолжается при другом характере зависимости давления от объёма: Р =
DV-2. Найдите температуру Т, считая константы В и D, газовую постоянную R,
а так же количество молей газа ν известными.
191
А)
2 1
D 3 B3
νR
В)
1 1
D 3 B3
νR
С)
1 2
D3B3
νR
3
Д)
3
B2
D
νR
Е)
3 1
D2 B2
νR
28. Если µ - молярная масса, m0 – масса молекулы, а v 2 - средний квадрат
скорости молекул идеального газа, имеющего температуру Т и давление Р, то
концентрация молекул этого газа может быть вычислена по формуле (постоянная Больцмана – k, газовая постоянная R)…
А)
3kT
μ
В)
2kT
3
С)
3RT
2
Д)
3P
m0 V
2
Е)
3kP
2
29. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа? Постоянная
Больцмана k = 1,38⋅10-23 Дж/К.
А) 1,94⋅1022
В) 1,94⋅1023
С) 2,14⋅1023
Д) 2,04⋅1023
Е) 2,04⋅1022
30. Газ находится в сосуде под давлением 50 МПа. При сообщении газу
60 МДж теплоты он изобарно расширился на 0,5 м3. На сколько изменилась
внутренняя энергия газа?
А) 50 МДж
В) 45 МДж
С) 40 МДж
Д) 35 МДж
Е) 30 МДж
31. Для реализации изотермического сжатия газа, необходимо …
А) теплоизолировать сосуд с газом
В) необходимо поддерживать постоянное давление
С) постоянно подводить определённое количество теплоты
Д) постоянно отводить определённое количество теплоты
192
Е) среди приведённых ответов нет верного
32. В цилиндре под поршнем находится некоторая масса водорода при
температуре 300 К, занимающая при давлении 0,1 МПа объём 6 л. На сколько
градусов изменится температура водорода, если при неизменном давлении совершена работа по сжатию, равная 50 Дж?
А) 25 К
В) 20 К
С) 15 К
Д) 10 К
Е) 5 К
33. Каково давление одноатомного идеального газа, занимающего объём
2 л, если его внутренняя энергия равна 300 Дж?
А) 1,5⋅105 Па
В) 1,5⋅106 Па
С) 6⋅106 Па
Д) 1⋅106 Па
Е) 1⋅105 Па
34. Какая из приведённых формул выражает зависимость внутренней
энергии ν молей идеального одноатомного газа от температуры?
А) νRT
В)
1
νRT
3
С)
1
νRT
2
Д)
3
νRT
2
Е)
2
νRT
3
35. Если смешать в калориметре две жидкости, имеющие одинаковые
удельные теплоёмкости, но разные массы (m2 = 2m1) и разные температуры
(Т2 =
А)
1
Т1), то температура смеси будет равна
2
3
Т1
8
В)
3
Т1
4
С)
4
Т1
5
Д)
2
Т1
3
Е)
5
Т1
8
36. Сосуд, содержащий некоторую массу азота при нормальных условиях,
движется со скоростью 100 м/с. Какова будет максимальная температура азота
193
при внезапной остановке сосуда? Удельная теплоёмкость азота при постоянном
объёме равна 745 Дж/(кг⋅К).
А) 273 К
В) 320 К
С) 300 К
Д) 400 К
Е) 280 К
37. Масса m идеального газа, находящегося при температуре Т, охлаждается изохорно так, что давление падает в n раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определите совершенную газом работу. Молярная масса газа µ. Универсальная газовая постоянная R.
А)
n +1m
RT
n μ
В)
n −1 m
RT
n μ
С) n
m
RT
μ
Д)
1m
RT
nμ
Е)
n m
RT
n +1 μ
38. Свинцовая пуля, летящая со скоростью 500 м/с, попадает в стенку и
входит в нее. На сколько повышается температура пули, если 10 % кинетической энергии пули идёт на ее нагревание?
А) 81 К
В) 90 К
С) 96 К
Д) 105 К
Е) 120 К
39. При изобарическом процессе газ совершает работу 100 Дж при изменении его температуры от Т1 = 2Т2 до Т2. Какая работа будет совершена, если
начальную температуру газа увеличить вдвое (Т1 = 4Т2)?
А) 300 Дж
В) 500 Дж
С) 200 Дж
Д) 100 Дж
Е) 400 Дж
40. В цилиндре при температуре t = 20 0С находится m = 2 кг воздуха (µ =
29 г/моль) под давлением Р = 9,8⋅105 Па. Определите работу воздуха при его
изобарном нагревании на ∆t = 100 0С.
194
А) 57,3 кДж
В) 47,3 кДж
С) 37,3 кДж
Д) 27,3 кДж
Е) 17,3 кДж
41. Некоторая установка, выделяющая мощность N = 30 кВт, охлаждается
проточной водой, протекающей по спиральной трубке диаметром d = 15 мм.
При установившемся режиме проточная вода нагревается на ∆t = 15 0С. Определите скорость воды, предполагая, что вся выделяемая мощность установки
идет на нагрев воды.
А) 1,5 м/с
В) 1,8 м/с
С) 2,0 м/с
Д) 2,5 м/с
Е) 2,7 м/с
42. Какое количество теплоты нужно передать 2 молям идеального одноатомного газа, чтобы изобарно увеличить его объём в 2 раза? Начальная температура газа Т0. Газовая постоянная R.
А) 2RT0
В) 3RT0
С) 4RT0
Д) 5RT0
Е) 6RT0
43. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде с жёсткими стенками
объёмом 0,6 м3. При нагревании его давление возросло на 3 кПа. Насколько
увеличилась внутренняя энергия газа?
А) 2,7 кДж
В) 3,6 кДж
С) 1,8 кДж
Д) 2,4 кДж
Е) 4,5 кДж
44. Нагреваемый при постоянном давлении идеальный двухатомный газ
совершил работу 400 Дж. Какое количество теплоты было передано газу?
А) 200 Дж
В) 1 400 Дж
С) 400 Дж
Д) 800 Дж
Е) 1 000 Дж
45. Некоторое количество гелия расширяется: сначала адиабатно, а затем
– изобарно. Конечная температура газа равна начальной. При адиабатном расширении газ совершил работу, равную 4,5 кДж. Чему равна работа газа за весь
процесс?
195
А) 7,0 кДж
В) 9,0 кДж
С) 8,5 кДж
Д) 8,0 кДж
Е) 7,5 кДж
46. В кастрюле с водой, поставленной на электроплиту, теплообмен между конфоркой и водой осуществляется путем …
А) конвекции и теплопроводности
С) излучения и конвекции
В) излучения и теплопроводности
Д) излучения
Е) теплопроводности
47. Когда в стакан с тёплой водой массой 200 г при 75 0С опустили ложку,
имевшую температуру 10 0С, температура воды понизилась до 70 0С. Чему равна теплоёмкость ложки? Теплоёмкостью стакана пренебрегайте.
А) 70 Дж/К
В) 55 Дж/К
С) 60 Дж/К
Д) 65 Дж/К
Е) 75 Дж/К
48. В ходе нагревания газу передана от нагревателя энергия 3 МДж. При
этом, расширяясь, газ совершил работу, равную 1 МДж. Чему равно изменение
внутренней энергии газа?
А) 4 МДж
В) 3 МДж
С) 2 МДж
Д) 1 МДж
Е) 0
49. При изобарном расширении азота газ совершил работу, равную
157,1 Дж. Какое количество теплоты было сообщено азоту? Молярная масса
азота 28 г/моль, его удельная теплоемкость при постоянном объёме равна
745 Дж/(кг⋅К).
А) 1 400 Дж
В) 740 Дж
С) 680 Дж
Д) 550 Дж
Е) 325 Дж
50. Молот массой 2 т падает на стальную болванку массой 10 кг с высоты
3 м. Насколько нагреется болванка при ударе, если на нагревание идет 50 %
всей энергии молота. Удельная теплоёмкость стали равна 460 Дж/(кг⋅К). Ускорение силы тяжести 10 м/с2.
196
А) 9,5 К
В) 3,2 К
С) 19 К
Д) 12,9 К
Е) 6,5 К
51. Определите радиус полости, образующейся при подводном взрыве на
глубине h = 100 м заряда взрывчатого вещества массой m = 1 т. Удельная теплота сгорания взрывчатого вещества q = 4 МДж/кг. Плотность воды ρ = 1 г/см3.
Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
А) 5 м
В) 7,1 м
С) 10 м
Д) 20 м
Е) 25 м
52. 1 моль газа, имевший начальную температуру Т1 = 300 К, изобарно
расширился, совершив работу А = 12,5 кДж. Во сколько раз при этом увеличился объём газа?
А) 7
В) 5
С) 8
Д) 4
Е) 6
53. В каких из перечисленных ниже процессов газ совершает работу?
А) при изотермическом расширении
В) при изобарическом расширении
С) при адиабатическом расширении
Д) во всех перечисленных процессах
Е) ни в одном из перечисленных процессов
54. Гелий в количестве ν = 4 моль сжимают в процессе с постоянной теплоёмкостью С. В результате от газа отвели количество теплоты, равное изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась на 100 К. Определить теплоёмкость С. Газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
А) −50 Дж/К
В) −10 Дж/К
С) −75 Дж/К
Д) −25 Дж/К
Е) 0
55. Гелий из состояния с температурой Т1 = 200 К расширяется в процессе
PV2 = const (P – давление, V – объём газа) с постоянной теплоёмкостью С. От
197
газа отвели количество теплоты 400 Дж, и конечный объём газа стал вдвое
больше начального. Определите теплоёмкость С.
А) 16 Дж/К
В) 2 Дж/К
С) 8 Дж/К
Д) 32 Дж/К
Е) 4 Дж/К
56. Гелий в количестве ν = 4 моль сжимают в процессе с постоянной теплоёмкостью С. В результате, от газа отвели количество теплоты, равное изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась на 100 К. Чему
равна работа, совершаемая газом?
А) - 2⋅104 Дж В) - 2⋅105 Дж
С) 0
Д) - 1⋅105 Дж Е) - 1⋅104 Дж
57. При изобарном расширении 80 г кислорода с температурой 300 К его
объём увеличился в 1,5 раза. Определите работу, совершённую для расширения
кислорода. Молярная масса кислорода µ = 32 г/моль.
А) 2,28 кДж В) 2,56 кДж С) 2,81 кДж Д) 3,12 кДж Е) 3,48 кДж
58. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре Т = 320 К. Определите внутреннюю энергию молекул кислорода. Молярная масса кислорода
µ = 32 г/моль.
А) 202 кДж
В) 205 кДж
С) 208 кДж
Д) 212 кДж
Е) 214 кДж
59. Если бы удалось полностью использовать энергию, которая выделяется при остывании 250 г воды от температуры 100 0С до 20 0С, то на какую высоту можно было бы поднять груз массы 1 000 кг? Удельная теплоёмкость воды
4 200 Дж/(кг⋅К). Ускорение свободного падения 9,8 м/с2.
198
А) 8,2 м
В) 8,6 м
С) 6,5 м
Д) 7,8 м
Е) 7,2 м
60. 1 г кислорода первоначально заключён в объёме V1 = 0,2 л под давлением Р1 = 500 Па. Затем газ расширился, в результате чего объём газа стал равным V2 = 0,5 л, а давление стало равным Р2 = 200 Па. Считая газ идеальным,
определить приращение внутренней энергии газа ∆U.
А) 0,1 Дж
В) 0,2 Дж
С) 0 Дж
Д) 1 Дж
Е) 2 Дж
61. В ходе цикла Карно рабочее тело получает от нагревателя количество
теплоты Q1 = 300 кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно Т1 = 450 К и Т2 = 280 К. Определите работу А, совершаемую рабочим телом за цикл.
А) 75 кДж
В) 78 кДж
С) 87 кДж
Д) 93 кДж
Е) 113 кДж
62. В результате кругового процесса газ совершил работу 2 кДж и передал
холодильнику количество теплоты 8,4 кДж. Определите КПД цикла.
А) 13 %
В) 15 %
С) 17 %
Д) 19 %
Е) 21 %
63. Идеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причём наибольшее давление в 3 раза больше наименьшего,
а наибольший объём в 5 раз больше наименьшего. Определите КПД цикла.
А) 13 %
В) 15 %
С) 17 %
Д) 19 %
Е) 21 %
64. Тепловой двигатель имеет полезную мощность 2 кВт. Какое количество теплоты получает двигатель за время 1 ч, если его КПД 12 %?
199
А) 60 МДж
В) 60 МДж
С) 60 МДж
Д) 60 МДж
Е) 60 МДж
65. КПД цикла Карно η = 1/4. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя (оставляя неизменной температуру холодильника), чтобы
КПД увеличился вдвое?
А) 3/2
В) 4/3
С) 5/4
Д) 5/3
Е) 5/2
66. Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего тела работает по циклу Карно, т.е. имеет максимально возможный КПД. Температура нагревателя Т1 = 600 К, температура холодильника Т2 = 300 К. Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении, А1 = 200 Дж. Найдите теплоту, которая отдаётся холодильнику за цикл.
А) 75 Дж
В) 80 Дж
С) 140 Дж
Д) 120 Дж
Е) 100 Дж
67. Три четверти теплоты, полученной от нагревателя при осуществлении
цикла Карно, передаётся холодильнику. Температура нагревателя Т1 = 400 К.
Найдите температуру холодильника.
А) 150 К
В) 180 К
С) 200 К
Д) 250 К
Е) 300 К
68. Найдите работу на участке изотермического расширения рабочего тела теплового двигателя, работающего по циклу Карно, если коэффициент полезного действия равен η = 80 %, а количество теплоты, отдаваемое за цикл холодильнику, Q2 = 2 Дж.
А) 6 Дж
В) 5 Дж
С) 4 Дж
200
Д) 3Дж
Е) 2 Дж
69. Сферическая капля ртути была разделена на 10 одинаковых капель. Во
сколько раз возросло при этом капиллярное давление внутри капель?
А) в 10 раз
В) в 1,25 раз
С) в 100 раз
Д) в 2,15 раз
Е) в 4,64 раз
70. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 10 см? Процесс выдувания считайте изотермическим. Поверхностное
натяжение мыльного раствора воды σ = 45 мН/м.
А) 7,7 мДж
В) 6,7 мДж
С) 5,7 мДж
Д) 4,7 мДж
Е) 3,7 мДж
71. Мыльный пузырь сферической формы выдувается так, что его радиус
каждую секунду увеличивается на 1 см. Вычислите мощность, необходимую
для выдувания пузыря радиусом 5 см. Поверхностное натяжение мыльного раствора воды σ = 45 мН/м.
А) 0,2 мВт
В) 0,4 мВт
С) 0,6 мВт
Д) 0,8 мВт
Е) 1 мВт
72. Определите плотность воздуха внутри мыльного пузыря диаметром
1 см при температуре 20 0С и атмосферном давлении 0,1 МПа. Поверхностное
натяжение мыльного раствора воды σ = 45 мН/м.
А) 1,15 кг/м3
В) 1,2 кг/м3
С) 1,25 кг/м3
Д) 1,3 кг/м3
Е) 1,35 кг/м3
73. В жидкость на незначительную глубину опущена капиллярная трубка
диаметром канала d = 2 мм. Какова масса вошедшей в трубку жидкости, если
поверхностное натяжение ее σ = 43 мН/м? Смачивание считайте полным.
А) 28 мг
В) 32 мг
С) 36 мг
201
Д) 40 мг
Е) 44 мг
74. Каково отношение длин железного и медного стержней при температуре 0 0С, если разность их длин при любой температуре одна и та же? Коэффициенты линейного расширения: для железа αЖ = 1,2⋅10-5 К-1, для меди αМ =
1,7⋅10-5 К-1.
А) 1,1
В) 1,2
С) 1,3
Д) 1,4
Е) 1,5
75. Стальной брус вплотную помещен между каменными неподвижными
стенами при 0 0С. Найти напряжение материала бруса при 20 0С. Для стали модуль упругости 210 ГПа и коэффициент линейного расширения 11⋅10−6 К−1.
А) 48,4 МПа
В) 44,4 МПа
С) 40,4 МПа
Д) 36,4 МПа
Е) 32,4 МПа
13 Контрольные задания
1(1). Начертите и объясните графики изотермического и изобарного процессов на диаграммах в координатах Р-V, Р-Т, Т-V.
2(2). В сосуде при температуре t = 20 0С и давлении Р = 0,2 МПа содержится смесь газов − кислорода массой m1 = 16 г и азота массой m2 = 21 г. Определить плотность смеси.
3(1). Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определите
внутреннюю энергию молекул азота. Газ считать идеальным.
4(3). Часы с металлическим маятником спешат на 8 с в сутки при температуре 3 0С и отстают на 7 с в сутки при температуре 23 0С. Найдите температуру, при которой часы будут идти правильно.
5(2). В сосуд вместимостью 10 л, наполненный сухим воздухом при нормальных условиях, вводят 3 г воды и нагревают до 100 0С. Определить давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре. Зависимостью температуры кипения от давления пренебречь.
202
6(2). В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой m.
Газ отделён от атмосферы поршнем, соединённым с дном цилиндра пружиной
жёсткости k (см. рисунок). При температуре Т1 поршень расположен
на расстоянии h от дна цилиндра. До какой температуры Т2 надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты Н? Молярная масса
k
газа равна µ.
7(3). Одинаковые по массе количества водорода и гелия находятся в сосуде объёмом V1, который отделён от пустого сосуда объёмом V2 полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не пропускающей гелий. После установления равновесия давление в первом сосуде упало
в 2 раза. Определите отношение V2/V1. Температура постоянна. Молярные массы водорода и гелия соответственно равны 2 г/моль и 4 г/моль.
8(1). В узкой стеклянной трубке, запаянной с одного конца и расположенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной 30,7 см, запертый столбиком ртути длиной 21,6 см. Как изменится длина воздушного столбика, если
трубку поставить отверстием вверх? Давление атмосферы 99,6 кПа.
9(2). Газ нагрели от 27 0С до 39 0С. На сколько процентов увеличился
объём, если давление осталось неизменным?
10(2). Сколько молекул воздуха находится в комнате размерами 12⋅5⋅4 м3
при температуре 15 0С и давлении 100 кПа? Если бы каждую секунду из этой
комнаты вылетал 1 млрд. молекул, сколько времени потребовалось бы для удаления всех их? Считать для воздуха молярную массу равной µ = 28,9 г/моль.
11(2). Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число атомов гелия, соединены краном. В первом сосуде средняя скорость атомов равна 1 км/с,
а во втором 2 км/с. Какой будет эта скорость, если открыть кран и сделать сосуды сообщающимися?
12(1).Каково давление азота, если средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с, а его плотность 1,35 кг/м3?
13(1). При какой температуре показания по шкалам Фаренгейта и Цельсия
одинаковы?
203
14(2). В баллоне объёмом V = 22,4 л содержится водород при температуре
t = 0 0С и давлении Р = 106 Па. Найдите массу ∆m водорода, выпущенного из
баллона, если при сгорании оставшегося водорода образовалось m = 36 г воды.
15(2). В сосуде, из которого быстро выкачивают воздух, находится небольшое количество воды при 0 0С. За счет интенсивного испарения происходит постепенное замораживание воды. Какая часть первоначального количества
воды может быть обращена таким способом в лёд? Удельная теплота плавления
льда λ=0,335 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды r=2,26 МДж/кг.
16(2).Свинцовая пуля, летящая со скоростью 430 м/с, пробивает стену и
летит дальше со скоростью 200 м/с. Какая часть массы пули расплавится? Начальная температура пули 80 0С, на нагревание пули затрачивается 50 % ее кинетической энергии. Удельная теплоёмкость свинца с = 130 Дж/(кг⋅К), удельная
теплота плавления λ = 25 кДж/кг. Температура плавления свинца 327 0С.
17(2).В идеальном тепловом двигателе газ, совершающий цикл Карно, отдаёт холодильнику k = 0,73 часть количества теплоты, получаемого от нагревателя. Определите температуру нагревателя Тн, если температура холодильника
равна Тх = 272 К.
18(2).В вертикальном цилиндре с площадью основания S = 10 см2 под
поршнем массы М = 1 кг, при температуре Т = 300 K находится идеальный газ
объемом V = 20 л. Для повышения температуры газа на ∆Т = 50 К ему было сообщено количество теплоты Q = 833 Дж. Определите изменение внутренней
энергии газа, если атмосферное давление Р0 = 105 Па.
19(1).В герметично закрытом теплоизолированном сосуде содержится ν =
2 моль идеального двухатомного газа. Какое количество теплоты Q следует
подвести к газу для того, чтобы увеличить его температуру на ∆Т = 1 К? Потерями тепла на нагрев стенок сосуда пренебречь.
20(2). Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах холодильника Т2 = 290 К и нагревателя Т1 = 400 К. Во сколько раз увеличится коэффици-
204
ент полезного действия η цикла, если температура нагревателя возрастет до
Т1′ = 600 К?
21(2). В баллоне объёмом V = 22,4 л содержится водород при температуре
t = 0 0С и давлении Р = 106 Па. Найдите массу ∆m водорода, выпущенного из
баллона, если при сгорании оставшегося водорода образовалось m = 36 г воды.
22(2). Какой скоростью обладала молекула паров серебра, если ее угловое
смещение в опыте Штерна составляло 5,40 при частоте вращения прибора
150 с-1? Расстояние между внутренним и внешним цилиндрами равно 2 см.
23(1). В баллоне вместимостью 10 л находится газ при температуре 27 0С.
Вследствие утечки газа давление снизилось на 4,2 кПа. Какое число молекул
вышло из баллона, если температура сохранилась неизменной?
24(2). Определить работу, необходимую для превращения воды массой 1 г
в туман, т.е. для распыления ее в капельки диаметром 0,2 мкм.
25(2). На какой глубине диаметр пузырьков воздуха, поднимающихся со
дна водоёма, вдвое меньше, чем у поверхности воды? Давление воздуха у поверхности воды Р0 = 105 Па. Плотность воды ρ = 103 кг/м3. Считать, что температура воздуха в пузырьке постоянна, то есть не зависит от глубины, на которой пузырёк находится.
14 Задачи для самостоятельного решения
1(2).Какое количество теплоты получает капля ртути, образовавшаяся при
слиянии 64 капель радиусом 2 мм каждая? Коэффициент поверхностного натяжения ртути 490 мН/м.
2(2). Сколько керосина сгорает за 1 мин в примусе с КПД 40 %, если 2 л
воды нагреваются на нём от 15 0С до 100 0С за 10 мин? Удельная теплота сгорания керосина q = 46 МДж/кг. Удельная теплоёмкость воды с = 4,2 кДж/(кг⋅К).
3(2). Два одинаковых сосуда наполнены идеальным газом при температуре Т1, и соединены между собой трубкой, объёмом которой можно пренебречь.
Во сколько раз изменится давление газа в сосудах, если один из них нагреть до
205
температуры Т2, а во втором поддерживать температуру Т1? Изменением объема нагретого сосуда пренебречь.
4(3). На электроплитке мощностью N = 1 кВт растопили mл = 800 г льда с
начальной температурой t0 = −20 0С. Полученную воду довели до кипения, причём 25 % ее превратилось в пар. Найти КПД электроплитки, если нагревание
длилось 40 мин. Удельная теплоёмкость льда сл = 2,1⋅103 Дж/(кг⋅К), удельная
теплоёмкость воды св = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ =
3,3⋅105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2,26⋅106 Дж/кг.
5(2). В двух теплоизолированных цилиндрах с объемами V1 = 3 л и V2 = 5
л находятся одинаковые газы при давлениях Р1 = 4⋅105 Па и Р2 = 6⋅105 Па и температурах t1 = 27 0С и t2 = 127 0С. Цилиндры соединяются теплоизолированной
трубкой. Какая температура Т и какое давление Р установятся в цилиндрах после смешивания газов?
6(3). Открытую стеклянную трубку длиной ℓ = 1,0 м наполовину погружают в сосуд с ртутью. Затем трубку сверху закрывают и плавно вынимают из
сосуда. После того как ртуть перестала вытекать, трубку осторожно переворачивают открытым концом вверх. На каком расстоянии h от ее дна расположится
столбик ртути. Атмосферное давление Р0 = 750 мм рт. ст. Плотность ртути ρ =
1,36⋅104 кг/м3.
7(2). Один моль идеального атомарного газа сначала изобарно расширяется, а затем изохорно нагревается, при этом количество теплоты, сообщенное газу на этих участках, одинаково Q1 = Q2 = Q = 400 Дж. Начальная температура
газа Т = 300 К. Определите конечную температуру газа.
8(2). Какую силу надо приложить к стальному стержню сечением 1 см2,
чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удлинится при нагревании на
1 0С? Модуль упругости стали Е = 21⋅1010 Н/м2, коэффициент линейного расширения стали α = 1,1⋅10-5 К-1.
9(3). Два газа, массы молекул которых равны m1 и m2 (m1 < m2), находятся
в двух сосудах. Температуры газов соответственно равны Т1 и Т2 (Т1 < Т2). За206
тем сосуды соединяют. Найдите отношение среднеквадратичных скоростей молекул после установления состояния теплового равновесия.
10(1). Для получения 300 л воды при 40 0С необходимо смешать воду,
температура которой 20 0С, с водой, имеющей температуру 100 0С. Сколько
литров той и другой воды нужно взять?
11(2). В сосуде находится кислород при давлении Р1. В результате электрического разряда половина молекул распалась на атомы, а температура возросла в два раза. Найдите давление газа Р2.
12(2). Оцените размер ℓ атома золота. Молярная масса µ = 197 г/моль,
плотность ρ = 19,32 г/см3.
13(2). Сосуд с газом разделён подвижной перегородкой на две части, объёмы которых равны V1 и V2, соответственно (V1 < V2). Температура газа в
меньшем объёме t1 = -73 0C, в большем объёме t2 = 527 0C. После выравнивания
температур перегородка переместилась так, что меньший объём стал равным
2
V, где V – объём сосуда. Найдите отношение объёмов V1 / V2.
3
14(3).Газ, занимающий объём 10-3 м3 при нормальном атмосферном давлении, расширился изотермически до объёма 2 л. При этом же объёме его давление было уменьшено в 2 раза. Затем газ расширился при постоянном давлении до объёма 4 л. Начертите график зависимости Р(V) и, используя его, установите, при каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу. Как изменилась температура?
15(3). В закрытом с обоих торцов цилиндре объёмом V = 1,2 л находится
воздух при давлении Р0 = 100 кПа, который разделён на две
ω
одинаковые половины тонким поршнем массы m = 0,1 кг.
Длина цилиндра 2ℓ = 0,4 м. Цилиндр привели во вращение с
угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей
ℓ
r
через его середину (см. рисунок). Найти ω, если поршень оказался на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения. Трения нет. Температура постоянна.
207
16(2). Посередине узкой, запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной 10 см. В обеих половинах остальное пространство занимает воздух под давлением 100 кПа. На какое расстояние переместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально? Длина трубки 1 м.
17(2). Сосуд, заполненный смесью водорода и гелия, отделён от равного
ему по объёму пустого сосуда полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы гелия и не пропускающей молекулы водорода. После установления равновесия давление в первом сосуде упало на 10 %. Определить
отношение масс гелия и водорода. Все процессы считать изотермическими.
Молярные массы водорода и гелия соответственно равны 2 г/моль и 4 г/моль.
18(2). Найти массу одного моля смеси, состоящей из 25 г кислорода и 75 г
азота.
19(3). Газ находится в сосуде объёмом V при давлении Р0. Его откачивают
из сосуда с помощью поршневого насоса с рабочей камерой объёмом v. Требуется найти число n ходов поршня, которое надо сделать, чтобы давление газа в
сосуде понизилось до величины Рn.
20(2). Водород массой m = 20 г был нагрет на ∆Т = 100 К при постоянном
давлении. Определить: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение ∆U внутренней энергии газа; 3) работу А расширения.
21(1). Кислород объёмом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить
его давление вдвое в результате изохорного процесса.
22(3). Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под
давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Работа, затраченная на сжатие, А = −1,37 кДж. Определить:
1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объём газа.
23(3). Двухатомный идеальный газ занимает объём V1 = 1 л и находится
под давлением Р1 = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объёмом V2 и давлением Р2. В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление Р2 =
208
0,2 МПа. Определить: 1) объём V2; 2) давление Р2. Представить эти процессы
графически.
24(2). Спутник сечением S = 1 м2 движется с первой космической скоростью v = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты
(h = 200 км) составляет Р = 1,37⋅10-4 Па, температура Т = 1 226 К. Определите
число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени.
25(1). Сосуд разделён на две равные части перегородкой с закрытым
пробкой отверстием. В одной из половин сосуда содержится моль идеального
газа, в другой половине сосуда – вакуум. Пробку удаляют, и газ распространяется на весь объём. Считая процесс адиабатическим, определить приращение
∆U внутренней энергии газа.
26(2). В дне стеклянного сосуда с ртутью имеется малое круглое отверстие радиуса r. При какой толщине слоя ртути она не будет вытекать через отверстие?
27(3). Теплоизолированная полость с небольшими одинаковыми отверстиями соединена с двумя
Не
объёмами, содержащими газообразный гелий (см. Р; Т
Не
Рх; Тх
Р; 2Т
рисунок). Давления гелия в этих объёмах поддерживается постоянным и равно
Р, а температура поддерживается равной Т в одном из объёмов и 2Т – в другом.
Найдите установившиеся давление Рх и температуру Тх внутри полости.
28(3). Определите наименьшее возможное давление идеального газа в
процессе, происходящем по закону T = T0 + αV2, где Т0 и α − положительные
постоянные, V − объём моля газа. Изобразите примерный график этого процесса в параметрах P и V.
29(2). В цилиндре под поршнем содержится воздух с относительной
влажностью В = 80 % при температуре 100 0С и нормальном атмосферном давлении. Каким будет давление Р в цилиндре, если объём воздуха изотермически
уменьшить в n = 2 раза?
30(1). В цилиндре двигателя внутреннего сгорания при работе образуются
газы, температура которых Т1 = 1 000 К. Температура отработанного газа Т2 =
209
373 К. Двигатель расходует в час m = 36 кг топлива, удельная теплота сгорания
которого q = 43 МДж/кг. Какую максимальную полезную мощность Рпол может
развивать этот двигатель?
31(3). На рисунке представлен график процес-
P
2P0
P0
0
1
са, происходящего в идеальном газе. Состояние 1 ха2
рактеризуется объёмом V0 и давлением 2Р0, состояние 2 – объёмом 2V0 и давлением Р0. Найдите коли-
V0
2V0 V чество теплоты ∆Q, которое было сообщено газу.
32(2). Оцените, сколько воды m можно унести в решете. Ячейка решета
представляет собой квадратик площадью S = 1×1 мм2, площадь решета S0 =
0,1 м2. Решето водой не смачивается.
Список использованных источников
1. Бабаев, В.С. Физика. Весь курс для выпускников и абитуриентов / В.С.
Бабаев, А.В. Тарабанов,−М.: Эксмо, 2008.− 400 с.
2. Бальва, О.П. Физика: универсальный справочник / О.П. Бальва, А.А.
Фадеева. − М.: Эксмо, 2010. − 352 с.
3. Власова, И.Г. Физика. Для поступающих в вузы и подготовки к ЕГЭ /
И.Г. Власова.− М.: АСТ: СЛОВО, 2010.− 544 с.
4. Демидова, М.Ю. Физика: экзаменационные задания / М.Ю. Демидова,
И.И. Нурминский. − М.: Эксмо, 2010. − 304 с.
5. Кабардин, О.Ф. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 370 дополнительных заданий части 3 (С) / О.Ф. Кабардин, С.И. Кабардина. В.А. Орлов,
С.Б. Бобошина, О.И. Громцева. − М.: Экзамен, 2013. − 310 с.
6. Кабардин, О.Ф. Физика. Справочник школьника / О.Ф. Кабардин.− М.:
Астрель, 2008.− 573 с.
7. Козел, С.М. Физика. 10-11 классы: пособие для учащихся и абитуриентов. В 2 ч. Ч. 1. / С.М. Козел. − М.: Мнемозина, 2010.−287 с.
210
Ч. 2. / С.М. Козел. − М.: Мнемозина, 2010.−400 с.
8. Орир Дж. Физика. Полный курс. Примеры, задачи, решения / Джей
Орир. М.: КДУ, 2011. 752 с.
9. Павленко, Ю.Г. Физика 10-11. Учебное пособие для школьников, абитуриентов и студентов / Ю.Г. Павленко. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 848 с. /
10. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:
2009: Физика / авт.-сост. А. В. Берков, В. А. Грибов.− М.: АСТ: Астрель, 2009. −
153 с.
11. Сподарец, В.К. ЕГЭ 2008. Физика. Типовые тестовые задания / В.К.
Сподарец.− М.: Экзамен, 2008.− 158 с.
12. Чакак, А.А. Реальные тесты по физике и ответы / А.А. Чакак.− Оренбург: ОГУ, 2007.−732 с.
13. Чакак, А.А. Курс физики. Молекулярная физика / А.А. Чакак − Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009.−377 с.
14. Чакак, А.А. ЕГЭ 2012. Физика. Рекомендации. Тесты. Справочные материалы: учебное пособие для поступающих в вуз / А.А. Чакак, Н.А. Манаков.−
Оренбург: ОГУ, 2012.−362 с.
211
Приложение А
(справочное)
Основные физические константы
Молярный объём идеального газа
при нормальных условиях
Нормальные условия
Vµ = 22,414 л/моль
Р = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па
t = 00 C
Газовая постоянная
R = 8,314 Дж/(моль⋅К)
Число Авогадро
NA = 6,0220943 . 1023 моль-1
Постоянная Больцмана
k =1,38 . 10-23 Дж/К=8,625 . 10-5 эВ/К
Приложение Б
(справочное)
Соотношения между единицами некоторых физических величин
Масса
1 а.е.м. = 1,660531.10-27 кг
Время
1 сутки = 86 400 с
1 мин = 60 с
1 час = 60 мин
1 сутки = 24 часа
1 год ≈ 3,16.107 с
Объём
1 л = 1.10-3 м3
Сила
1 кГ = 1 кгс (килограмм-сила) = 9,81 Н
Давление
1 бар = 1.105 Па
1 атм = 760 мм рт. ст. =1,01325.105 Па
1 ат = 1 кгс/см2 = 0,98.105 Па
1 торр = 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
Энергия
1 квт⋅ч = 3,6.106 Дж
1 кал = 4,1868 Дж
Мощность
1 л.с. (лошадиная сила) = 735 Вт
212
Приложение В
(справочное)
Некоторые сведения из математики
1 Алгебра
a:b =
a
;
b
a
a
:c =
;
b
b⋅c
a m a ⋅n ± b⋅m
± =
;
b n
b⋅n
m
n
m
a
;
=
⇔ a ⋅n = b⋅m ⇔
=
b
n
b
a
an ⋅am = an+m ;
an
= a n−m ;
m
a
a2 - b2 = (a - b)(a + b);
a m
a⋅n
: =
;
b n
b⋅m
b a ⋅c
a: =
;
c
b
(a )
n m
= a n ⋅m ;
a+b
≥
2
(a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
(а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3аb2 ± b3;
a ⋅ b при a > 0, b > 0.
a+b
= a ⋅ b при a = b.
2
а3 ± b3 = (а ± b)(а2 m аb + b2);
− b ± b 2 − 4ac
b
c
ax + bx + c = 0; x1,2 =
; (a ≠ 0); x1 + x2 = - ; x1 ⋅x2 = ;
a
a
2a
2
sinx ≈ x, cosx ≈ 1 −
1 2
x , (x << 1);
2
(1 ± x)n ≈ 1 ± nx, ( x << 1; n ≠ 0; );
2 Геометрия
Lокружн = 2πr = πd;
Vшар =
Sкруг = πr2 =
4 3 1 3
πr = πd ; (d = 2r );
3
6
1 2
πd ;
4
Sсфер= 4πr2 = πd2;
(d = 2r );
Sэллипс= π⋅а⋅b, а,b − полуоси эллипса;
3 Логарифмы
x
lgx
lnx
lg (xn) = n⋅lgx; lg (xy) = lgx + lgy; lg   = lgx - lgy; lnx =
; lgx =
;
y
lge
ln10
 
( x > 0 , y > 0 ).
e = lim n→ ∞
1

1 + 
n

n
ax = exlna;
= 2,718…;
213
ax = 10 xlga ;
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
ν=
m N
=
µ NA
m1=
m
µ
=
N NA
ν − количество вещества: µ − молярная масса, NA − число Авогадро, N − число молекул в веществе (газе) массой m.
m1 − масса одной молекулы.
T − температура по абсолютной шкале температур (шкале Кель-
T=t+273
t=
5
(TF − 32)
9
P . V=const
вина), t − температура по шкале Цельсия.
t − температура по шкале Цельсия, ТF − температура по шкале
Фаренгейта.
закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа (m=const) при
неизменности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянной температуре (T=const) произведение давления газа P на
его объём V есть величина постоянная.
V=V0. (1+αt)
закон Гей-Люссака: объём данной массы газа (m=const) при
V= V0. α. T
неизменности состава газа (молярная масса µ=const) при по-
V1 V2
=
T1 T2
стоянном давлении (Р=const) изменяется линейно с температурой, α=273-1 K-1 − термический коэффициент объёмного расширения, V0 − объём при 0 0С.
P=P0.(1+βt)
закон Шарля: давление данной массы газа (m=const) при неиз-
P=P0.β . Т
менности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянном
P1 P2
=
T1 T2
объёме (V=const) изменяется линейно с температурой, β=273-1 K-1
Vµ =
− термический коэффициент давления, P0 − давление при 0 0С.
л
V
= 22,4
мо ль
ν
закон Авогадро: моли любых идеальных газов при
одинаковых условиях (одинаковых температуре и дав214
лении) занимают одинаковые объёмы, в частности, при
нормальных условиях, − 22,4 л.
P=760 мм рт. ст.
значения давления и температуры при нормальных условиях.
t = 0 0C
P=ΣPi закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений ее компонентов; Pi − парциальное давление i-ой компоненты равно давлению, которое создавала бы i-ая компонента смеси
газов, если бы она одна занимала объём, равный объёму смеси при той
же температуре.
P⋅V
=const
T
уравнение Клапейрона справедливо при неизменности состава и
массы газа: Р − давление, V − объём, Т − абсолютная температура.
P . V=
m
⋅R⋅T
µ
уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния
идеального газа): m − масса газа, R − универсальная газовая
постоянная, µ − молярная масса газа.
R − универсальная газовая постоянная, k − постоянная Больцмана,
R=k . NA
NA − число Авогадро.
n=
N
;
V
ρ=
ρ = m1⋅n
Р=n . k . T
m n − концентрация молекул − число молекул в единице объёма.
;
V
ρ − плотность газа, m1 − масса одной молекулы
зависимость давления Р от концентрации молекул n и абсолютной
температуры T; k − постоянная Больцмана.
2
P= n⋅E0;
3
основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных
газов: давление P идеального газа равно 2/3 средней квадратиче215
1
Е0 = m1 v 2
2
ской кинетической энергии молекул, содержащихся в единице
объёма, m1 − масса одной молекулы, n − концентрация молекул.
основное уравнение кинетической теории. E0 − средняя квад-
1
3
Е0 = m1 v 2 = kT
2
2
ратическая кинетическая энергия поступательного движения
молекулы идеального газа, m1 − масса молекулы, k − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура.
n
v = vкв = v 2 =
∑ vi
2
i =1
n
v (vкв) − средняя квадратическая скорость молекул
идеального газа равна квадратному корню из отношения суммы квадратов скоростей молекул единицы объёма к числу молекул в этом объёме.
v=
3kT
3RT
3P
=
=
m1
µ
ρ
R − универсальная газовая постоянная, µ − молярная
масса, T − абсолютная температура, P − давление, ρ −
плотность газа, k − постоянная Больцмана, m1 − масса
молекулы, v − средняя квадратическая скорость.
n
∑ vi
v=
i =1
n
v = vср =
vн=
v − средняя арифметическая скорость.
8RT
8P
8kT
=
=
πm 1
πµ
πρ
2kT
2RT
2P
=
=
m1
µ
ρ
ν = 2 2 πr2 v n2
v − средняя арифметическая скорость моле-
кул газа.
vн − наиболее вероятная скорость молекул газа.
ν − число столкновений, происходящих за секунду в единице
объёма газа, r – радиус молекулы.
λ=
v ср
Z
=
1
2πd 2 n
λ − средняя длина свободного пробега молекул газа равна
среднему расстоянию между двумя последовательными
216
столкновениями молекулы, Z − среднее число соударений
молекулы за 1 с, d − эффективный диаметр молекулы, n −
концентрация молекул, vср − относительная средняя арифметическая скорость молекул.
Е0 − средняя энергия молекулы, i − число степеней свободы молекул
i
Е0= kT
2
газа, k − постоянная Больцмана, T − абсолютная температура.
∆N
 m1 
F(v)=
=4π∙ 

N ⋅ ∆v
 2πkT 
i
U= νRT
2
3/ 2
 m v2 
⋅v2∙ exp − 1 
 2kT 
функция распределения молекул
по скоростям Максвелла.
U − внутренняя энергия идеального газа, ν − количество вещества,
R − универсальная газовая постоянная, T − температура.
Q= ∆U + A первое начало термодинамики: количество теплоты Q, переданное
системе, идёт на изменение внутренней энергии ∆U системы и на
совершение работы А против внешних сил.
i
i
∆U= νR∆T= P∆V
2
2
∆U − изменение внутренней энергии при изменении абсолютной температуры на ∆T; ∆V − изменение объёма
при давлении Р; i − число степеней свободы молекул.
С=
с=
∆Q
∆T
С − теплоёмкость численно равна количеству теплоты, необходимому
для изменения температуры тела (вещества) на 1 К.
С
∆Q
=
m m ⋅ ∆T
С ∆Q
=
;
ν ν∆T
Сµ= с⋅µ
Сµ=
с − удельная теплоёмкость равна теплоёмкости единицы массы
вещества, m − масса вещества (тела).
Сµ − молярная теплоёмкость, теплоёмкость одного моля вещества, ν − количество вещества; µ − молярная масса.
217
СV − молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме, i − число
i
СV= R
2
СP=
степеней свободы молекул газа, R − газовая постоянная.
i+2
R
2
СP − молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении.
R= СP − СV
уравнение Майера: универсальная газовая постоянная численно
равна работе, которую 1 моль идеального газа совершает, изобарически расширяясь при нагревании на 1 К.
γ=
CP
R
=1+
CV
CV
γ − постоянная (показатель) адиабаты.
А − работа, совершаемая газом при изменении его объёма, Р − давле-
А=P∆V
ние газа, ∆V − изменение его объёма.
m
R(T2 − T1)
µ
A − работа газа при изобарическом про-
V
Р
m
m
RT⋅ln 2 = RT⋅ln 1
µ
µ
V1
Р2
A − работа газа при изотермическом про-
m R
m
(T1−T2) = CV(T1−T2)
µ γ −1
µ
A − работа газа при адиабатическом про-
А = P(V2 – V1) =
А=
А=
цессе.
цессе.
цессе, γ − показатель адиабаты.
PVγ = const;
TVγ−1 = const;
TγP1−γ = const
уравнения адиабатического процесса (уравнение Пуассона),
CP i + 2
=
i
CV
γ − показатель адиабаты, СP и СV − молярные теплоёмкости при
γ=
γ − показатель адиабаты.
постоянных давлении и объёме, соответственно; i − число степеней свободы молекул газа.
vзв =
γ
P
ρ
vзв − скорость звука в газе.
218
ℓ=ℓ0(1+α∆Т) линейное расширение твёрдых тел: ℓ0 − длина при температуре
1 ∆l
α= ⋅
l ∆t
расширения равен относительному изменению длины при нагре-
∆ ℓ = ℓ − ℓ0
ве на 1 0С (1 К).
0 0С, ℓ − длина при температуре t 0С, α − линейный коэффициент
V=V0(1+βt)
объёмное расширение твёрдых тел и жидкостей: V0 − объём
1 ∆V
β= ⋅
V ∆t
при 0 0С, V − объём при температуре t 0С, β − объёмный коэффициент расширения равен относительному изменению объёма
∆V = V − V0
при нагреве на 1 0С (1 К).
β=3α
соотношение между коэффициентами линейного (α) и объёмного (β)
расширения твёрдых тел.
q=
Q
m
λ=
Q
m
удельная теплота сгорания равна количеству теплоты, выделяющемуся при сгорании единицы массы топлива.
количество теплоты, необходимое для превращения единицы массы из
твёрдого (жидкого) состояния в жидкое (твёрдое) при температуре
плавления (кристаллизации), называют удельной теплотой плавления
(кристаллизации) λ. Удельная теплота плавления равна удельной теплоте кристаллизации. Температура плавления равна температуре кристаллизации.
r=
Q
m
количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости для испарения единицы ее массы при постоянной температуре (в частности,
при температуре кипения), называют удельной теплотой парообразования r. С ростом температуры величина удельной теплоты парообразования уменьшается. Удельная теплота конденсации равна удельной теплоте парообразования.
η=
А Q1 − Q 2
=
Q1
Q1
η − коэффициент полезного действия теплового двигателя:
A − работа, совершённая за цикл, Q1 − количество теплоты,
219
полученное системой (от нагревателя), Q2 − количество теплоты, отданное системой (холодильнику; окружающей среде).
η=
Q1 − Q 2
Q1
η − коэффициент полезного действия идеального теплового дви-
η=
Т1 − Т 2
Т1
дильника, соответственно; Q1 − количество теплоты, полученное
гателя (цикла Карно): Т1 и Т2 − температуры нагревателя и хологазом от нагревателя при изотермическом расширении; Q2 − количество теплоты, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии.
k=
Q1
Q1
=
A′ Q 2 − Q1
k − холодильный коэффициент холодильной машины: A′=
Q2 − Q1 − работа, совершённая над рабочим телом за цикл,
Q1 − количество теплоты, отобранное за цикл от тела с более
низкой температурой, Q2 − количество теплоты, отданное
системой телу с более высокой температурой.

m 2 a 
m  m
 P + 2 2  V − b  = RT
µ V 
µ  µ

уравнение Ван-дер-Ваальса: m – масса газа,
µ − его молярная масса, V − объём, занимаемый газом, а и b − постоянные Ван-дерВаальса.
ρ=
m
V
абсолютной влажностью ρ называют количество водяного пара, содер-
В=
ρ
ρΗ
относительной влажностью B называют отношение абсолютной влаж-
жащегося в 1 м3 воздуха при данной температуре.
ности к тому количеству водяного пара, которое необходимо для насыщения 1 м3 воздуха при той же температуре.
В=
Р
РН
относительной влажностью В называют отношение парциального давления Р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной темпера220
туре, к давлению РН насыщенного пара при той же температуре.
σ=
σ − коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностно-
F
L
го натяжения, приходящейся на единицу длины границы свободной поверхности жидкости.
σ=
A
∆S
σ − коэффициент поверхностного натяжения равен работе, необходимой для увеличения свободной поверхности жидкости при постоянной
температуре на единицу.
 1
1  уравнение (формула) Лапласа: ∆Р − избыточное давление,

∆P=σ 
+
R
R
 1
2  обусловленное кривизной поверхности жидкости; R1 и R2 −
радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости для данного элемента поверхности; σ − коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
∆P =
h=
2σ
R
избыточное давление в случае сферы: R − радиус сферы, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
2σ cos ϑ
ρgr
h − высота подъёма жидкости в капиллярной трубке: ϑ − краевой
угол, r − радиус капилляра, ρ − плотность жидкости, g − ускорение свободного падения, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
Р = Р0 ±
2σ ρ 0
R ρ
Р − давление насыщенного пара над выпуклой (знак «+») (вогнутой, «−») поверхностью: ρ0 − плотность насыщенного пара,
σ и ρ − коэффициент поверхностного натяжения и плотность
жидкости, R − радиус кривизны мениска в капилляре, Р0 −
давление у поверхности жидкости в сосуде.
221
Приложение Д
(справочное)
Таблицы физических величин
Таблица Д.1 - Упругие постоянные. Предел прочности
Материал
Алюминий
Медь
Свинец
Сталь (железо)
Стекло
Вода
Модуль
Юнга
Е, ГПа
70
130
16
200
60
-
Модуль
сдвига
G, ГПа
26
40
5,6
81
30
-
Коэффициент Пуассона µ
0,34
0,34
0,44
0,29
0,25
-
Предел прочности на разрыв σпч, ГПа
0,10
0,30
0,015
0,60
0,05
-
Сжимаемость
β, ГПа-1
0,014
0,007
0,022
0,006
0,025
0,49
Таблица Д.2 - Плотность вещества (кг/м3)
Алмаз
Алюминий
Барий
Бериллий
Бетон
Бор
Бром
Бронза
Бумага
Ванадий
Висмут
Воск пчелиный
Вольфрам
Гравий
Гранит
Графит
Золото
Исландский шпат
Кадмий
Калий
Кварц
Кобальт
Каменная соль
Каменный уголь
Твёрдое вещество
Манганин
3 500
Марганец
2 700
Медь
3500
Мрамор
1 840
1 800-2 800 Молибден
Натрий
2 400
Нейзильбер
3 120
Никелин
8 700
Нихром
700-1 200
Никель
6 020
Олово
9 800
Осмий
970
Парафин
19 100
Платина
1 500
Пробка
2 600
Сахар
2 100
Свинец
19 300
Серебро
2 710
Слюда
8 650
Соль поваренная
870
Сталь (железо, чугун)
2 650
Стекло
8 900
Тело человека
2 200
Титан
1 350
222
8 400
7 800
8 900
2 700
10 200
970
8 600
8 500
8 300
8 900
7 400
22 610
900
21 500
240
1 590
11 300
10 500
2 900
2 100
7 800
2 400
1 040
4 500
Кирпич
Константан
Кремний
Латунь
Лёд
Литий
Магний
Уран
Фарфор
Хром
Цезий
Цинк
Эбонит
Янтарь
Жидкости
Ацетон
792
Ртуть
Бензол
880
Рыбий жир
Бензин
700
Сероуглерод
0
Вода (+4 С)
1 000
Скипидар
Вода морская
1 015-1 050 Спирт этиловый
Глицерин
1 260
Солёная вода
Керосин
800
Толуол
Касторовое масло
960
Тяжёлая вода
Кровь
1 050
Уксусная кислота
Мёд
1 245
Хлороформ
Нефть
900
Эфир
Газы (при нормальных условиях)
Кислород
1,25
Азот
Ксенон
1,175
Ацетилен
Метан
0,77
Аммиак
Неон
0,09
Водород
Природный газ
1,293
Воздух сухой
Спирт, пары
Водяной пар, насыщен0
Углекислый газ
598
ный, при t = 100 С
Хлор
0,178
Гелий
1 800
8 800
2 300
8 500
900
539
1 740
19 000
2 300
7 100
1 900
7 100
1 800
1 100
13 600
645
1 260
858
789
1 030
870
1 100
1 049
1 483
720
1,429
5,851
0,717
0,9
0,8
2,043
1,98
3,214
Таблица Д.3 - Тепловые свойства веществ
Вещество
Алюминий
Висмут
Вольфрам
Золото
Латунь
Лёд
Медь
Никель
Олово
Твёрдые тела
Температура
Удельная теплоёмкость,
плавления,
0
С
Дж/(кг⋅К)
660
896
130
271
195
3 420
134
1 063
386
900
2 100
0
1 083
395
460
1 453
232
280
223
Удельная теплота
плавления,
кДж/кг
387
54
192
67
330
334
174
300
60
Ртуть
Свинец
Серебро
Сталь (железо)
Цинк
Вещество
Бензин (50 0С)
Вода (20 0С)
Глицерин
Масло трансформаторное (20 0С)
Ртуть
Спирт
Толуол
Эфир
Вещество
Азот
Водород
Воздух
Гелий
Кислород
131
230
460
385
-38,9
327
960
1 535
420
11,7
25
80
272
118
Жидкости
Удельная теплоТемпература киёмкость,
пения,
0
С
Дж/(кг⋅К)
2 095
4 190
100
2 420
290
1 800
138
2 510
1 730
2 340
357
78
111
35
Газы
Удельная теплоёмкость1,
кДж/(кг⋅К)
1,05
14,3
1,01
5,29
0,913
Удельная теплота
парообразования,
МДж/кг
2,25
0,284
0,853
0,364
0,846
Температура конденсации2,
0
С
-196
-253
-269
-183
Таблица Д.4 - Удельная теплоёмкость расплавленных металлов и сжиженных
газов
Расплавленный металл
или сжиженный газ
Азот
Алюминий
Водород
Воздух
Гелий
Золото
Кислород
Натрий
Олово
1
2
Температура, 0С
Удельная теплоёмкость,
Дж/(кг⋅К)
-200,4
660-1 000
-257,4
-193,0
-269,0
1 065-1 300
-200,3
100
250
2 010
1 090
7 410
1 970
4 190
140
1 630
1 340
250
При постоянном давлении
При нормальном давлении
224
Свинец
Серебро
327
960-1 300
160
290
Таблица Д.5 - Удельная теплоёмкость некоторых твёрдых веществ
Удельная теплоёмкость,
Дж/(кг⋅К)
460
880
1 500
2 000
750
2 400
2 700
920
840
880
1 600
1 300
2 890
2 000
670
790
840
1 100
750
Вещество
Азот твёрдый (при t = -250 0С)
Бетон (при t = 20 0С)
Бумага (при t = 20 0С)
Воздух твёрдый (при t = -193 0С)
Графит
Дуб
Ель, сосна
Каменная соль
Камень
Кирпич (при t = 0 0С)
Кислород твёрдый (при t = -200,3 0С)
Нафталин (при t = 20 0С)
Парафин
Пробка
Стекло: обыкновенное
зеркальное
лабораторное
Фарфор
Шифер (при t = 20 0С)
Таблица Д.6 - Удельная теплоёмкость газов и паров при нормальном атмосферном давлении
Газ или пар
Азот
Водород
Водяной пар
Воздух
Гелий
Кислород
Оксид углерода (II)
Оксид углерода (IV)
Пары спирта
Хлор
Температура, 0С
Удельная теплоёмкость,
Дж/(кг⋅К)
0-200
0-200
100-500
0-400
0-600
20-440
26-200
0-600
40-100
13-200
1 000
14 200
2 000
1 000
5 200
920
1 000
1 000
1 200
500
225
Таблица Д.7 - Удельная теплоёмкость жидкостей при нормальном атмосферном
давлении
Жидкость
Бензин (Б – 70)
Вода
Глицерин
Керосин
Масло машинное
Масло подсолнечное
Мёд
Молоко
Нефть
Ртуть
Спирт
Эфир
Температура, 0С
Удельная теплоёмкость,
Дж/(кг⋅К)
20
1-100
0-100
0-100
0-100
20
20
20
0-100
0-300
20
18
2 050
4 190
2 430
2 090
1 670
1 760
2 430
3 940
1 670-2 090
138
2 470
3 340
Таблица Д.8 - Коэффициенты теплового расширения (10-5 К-1)
Алмаз
Алюминий
Бронза
Дерево
Золото
Инвар
Кварц плавленый
Латунь
Лед
Магний
Манганин
Вода (5 0С – 10 0С)
Вода (10 0С – 20 0С)
Вода (20 0С – 40 0С)
Вода (40 0С – 60 0С)
Вода (60 0С – 80 0С)
Ацетон
Бензол
Глицерин
Линейное расширение
Медь
0,118
Олово
2,4
Парафин
2,0
Платина
0,5
Свинец
1,45
Серебро
0,09
Сталь (железо)
0,057
Стекло
1,9
Фарфор
5,1
Цинк
2,61
Эбонит
1,81
Объёмное расширение
5,3
Керосин (бензин)
15
Масло
Нефть
30,2
Ртуть
45,8
58,7
Сероуглерод
Спирт этиловый
337
673
Толуол
Эфир
50
226
1,67
2,3
30
0,91
2,93
1,97
1,1
0,9
0,4
2,9
8,4
100
72
100
19
382
122
613
240
Таблица Д.9 – Температуры кипения tкип различных веществ при нормальном
атмосферном давлении
Вещество
Азот
Алюминий
Бензин автомобильный
Вода
Вода тяжёлая
Водный раствор соли
Калий
Керосин
Кислород
Магний
Медь
Молибден
Натрий
Нафталин
Никель
Олово
Осмий
Парафин
Платина
tкип, 0С
-195,80
2 467
70-205
100,00
101,43
108,8
774
150-300
-182,962
1 095
2 540
4 600
882, 9
217,9
2 900
2 620
≈ 5 000
350-450
≈ 3 900
Вещество
Ртуть
Свинец
Водород
Вольфрам
Гелий
Глицерин
Графит
Железо
Золото
Сера
Серебро
Скипидар
Спирт
Тантал
Уран
Хлор
Хлорид натрия
Цинк
Эфир
tкип, 0С
356,66
1 745
-252,87
≈ 5 700
-268,92
290
4 200
3 200
2 947
444,67
2 170
161
78,3
≈ 5 500
≈ 4 200
-34,1
1 467
906
34,6
Таблица Д.10 – Температура кипения tкип воды при различных давлениях
Давление
Давление
tкип, 0С
tкип, 0С
кПа
мм рт. ст
кПа
мм рт. ст
0,6
4,6
0
70,1
526,0
90
1,2
9,2
10
84,5
634,0
95
2,3
17,5
20
90,7
680,0
96,9
4,2
31,8
30
93,3
700
97,7
7,4
55,3
40
96,0
720
98,5
12,3
92,5
50
97,3
730
98,9
*
31,1
233,7
70
98,7
740
99,3
**
38,5
289,0
75
100,0
750
99,6
***
53,7
403,0
83
101,325
760
100,0
* Такое примерно давление атмосферы на вершине самой высокой горы в мире – Эвереста (Гималаи, 8 847 м).
** Такое примерно давление атмосферы на горной вершине пик Коммунизма
− высочайшей вершине Памира, 7 495 м.
*** Такое примерно давление атмосферы на вершине горы Казбек, 5 043 м.
227
Таблица Д.11 - Критические значения температуры и давления
Вещество
Азот
Аммиак
Аргон
Бензол
Водород
Водяной
пар
Ткр, К
126
402
151
562
33
Ркр, МПа
3,4
3,39
4,87
4,8
1,3
647
21,77
Вещество
Воздух
Гелий
Кислород
Спирт
Углекислый газ
Хлор
Эфир
Ткр, К
133
5,2
154
517
304
417
467
Ркр, МПа
3,77
0,23
5,07
6,38
7,4
7,7
3,6
Таблица Д.12 - Постоянные газов (при нормальных условиях)
Газ
Аргон
Гелий
Водород
Азот
Кислород
Воздух
Коэффициент
самодиффузии
D, 10-4 м2/с
0,16
1,62
1,28
0,17
0,18
-
Вязкость
η, мкПа⋅с
Теплопроводность
æ, Вт/(м⋅К)
21,0
20,7
8,6
16,7
19,9
17,2
0,017
0,143
0,168
0,024
0,025
0,024
Таблица Д.13 - Постоянные Ван-дер-Ваальса
Вещество
Азот
Аргон
Вода
Водород
Кислород
Углекислый газ
а, Па⋅м6/моль2
0,135
0,132
0,554
0,024
0,136
0,364
b, 10-5 м3/моль
3,9
3
3
2,7
3,2
4,3
Таблица Д.14 - Диаметры молекул и атомов (нм)
Азот (N2)
Аргон (Ar)
Водород (Н2)
Водяной пар (Н2О)
Воздух
0,31
0,29
0,23
0,26
0,55
Гелий (Не)
Кислород (О2)
Оксид углерода (СО)
Углекислый газ (СО2)
Хлор (Cl2)
228
0,19
0,29
0,32
0,33
0,37
Таблица Д.15 - Давление Р и плотность ρ насыщенного водяного пара
t, 0C
-28
-27
-26
-25
-24
-23
-22
-21
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Р, Па
46,7
50,7
57,3
62,7
69,3
77,3
85,3
93,3
102,6
113,3
125,3
137,3
150,6
165,3
181,3
198,6
217,3
237,3
259,9
283,9
337,2
351,9
367,9
401,2
437,2
475,9
517,2
562,5
610,5
656,1
758,4
797,3
812,1
871,1
934,4
1 001,1
1 073,1
1 147,7
1 227,7
1 300,7
ρ, г/м3
0,41
0,46
0,51
0,55
0,66
0,68
0,73
0,80
0,85
0,96
1,05
1,15
1,27
1,38
1,51
1,65
1,80
1,96
2,14
2,33
2,54
2,76
2,99
3,24
3,51
3,81
4,13
4,47
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
t, 0C
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
39
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
229
Р, Па
1 402,3
1 519,6
1 598,3
1 704,9
1 816,9
1 936,8
2 063,5
2 196,8
2 338,1
2 486,0
2 643,3
2 808,6
2 983,3
3 167,2
3 360,5
3 567,1
3 779,1
4 004,3
4 241,6
4 603,2
4 753,6
5 029,4
5 316,7
5 622,6
5 939,8
6 623,6
6 990,3
7 374,2
9 581,6
12 330,3
15 729,4
19 915,0
24 993,8
31 152,2
38 577,0
47 334,8
57 798,9
70 089,1
84 498,9
101 303,0
ρ, г/м3
10,7
11,4
12,1
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,3
31,9
33,9
35,7
37,6
39,6
41,8
46,3
48,7
51,2
65,4
83,0
104,3
130
161
198
242
293
354
424
505
598
Таблица Д.16 - Психрометрическая таблица
Показания
сухого
термометра
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Относительная влажность в %
при разности показаний сухого и влажного термометров
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
100 81 63 45 28 11
100 83 65 48 32 16
100 84 68 51 35 20
100 84 69 54 39 24 10
100 85 70 56 42 28 14
100 86 72 58 45 32 19
6
100 86 73 60 47 35 23 10
100 87 74 61 49 37 26 14
100 87 75 63 51 40 29 18
7
100 88 76 64 53 42 31 21 11
100 88 76 65 54 44 34 24 14
5
100 88 77 66 56 46 36 26 17
8
100 89 78 68 57 48 38 29 20 11
100 89 79 69 59 49 40 31 23 14
6
100 89 79 70 60 51 42 34 25 17
9
100 90 80 71 61 52 44 36 27 20 12
5
100 90 81 71 62 54 46 37 30 22 15
8
100 90 81 72 64 55 47 39 32 24 17 10
100 91 82 73 65 56 49 41 34 27 20 13
100 91 82 74 65 58 50 43 35 29 22 15
100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24 18
100 91 83 75 67 60 52 45 39 32 26 20
100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28 22
100 92 84 76 69 61 55 48 42 36 30 24
100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31 26
100 92 84 77 70 63 57 50 44 38 33 27
100 92 85 78 71 64 58 51 46 40 34 29
100 92 85 78 71 65 59 52 47 41 36 30
100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37 32
100 93 86 79 72 66 60 54 49 43 38 33
100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39 34
Таблица Д.17 - Скорость звука (м/с)
Алюминий
Вода
Воздух (0С)
5 100
1 450
332
Сталь (железо)
Кирпич
230
5 300
3 650
Таблица Д.18 - Удельная теплота сгорания топлива, МДж/кг
Авиационный бензин
Ацетилен
Бензин
Водород
Дерево
Дизельное топливо
Каменный уголь
Керосин
Кокс
Метан
Нефть
Порох
Природный газ
Сахар
Спирт
Торф
Тротил
Условное топливо
48
48,1
46
120
10
42
30
46
29
55
46
3,8
34
17,15
29
14
15
29
Таблица Д.19 - Теплопроводность веществ æ, Вт/(м⋅К)
Вещество
Алюминий
Асбест
Висмут
Вода
Дерево
Железо
Кирпич
æ
205
0,14
10
0,58
0,17
62
0,84
Вещество
æ
390
2,3
0,035
0,25
34,8
0,52
0,74
0,16
Медь
Накипь котельная
Пробка
Сажа
Свинец
Смола
Стекло
Эбонит
Таблица Д.20 - Плотность воды при различных температурах
Температура, 0С
Плотность, кг/м3
20
998
30
996
40
992
50
988
60
983
70
978
80
972
Таблица Д.21 - Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей при 20 0С,
мН/м
Вещество
Анилин
Бензол
Вода
Вода (0 0С)
Вода (70 0С)
Глицерин
Золото (распл.
1 070 0С)
Коэффициент
43
30
73
75,5
64,2
64
610
Вещество
Касторовое масло
Керосин
Молоко
Мыльный раствор
Ртуть
Серебро (распл.
960 0С)
Спирт
231
Коэффициент
33
30
46
45
500
780
22