Практикум по разделу: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙCТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра технической механики и материаловедения
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Практикум по разделу:
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
для студентов инженерно-технологического факультета
Гродно 2012
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей являются важной частью математического образования выпускника любого технического университета. Вероятностные методы широко применяются
при решении большого числа инженерных, экономических, финансовых, естественно научных задач.
Практикум содержит минимальный объем сведений по основным разделам теории
вероятностей, типовые примеры с решениями, задачи для самостоятельного решения,
контрольные вопросы по теоретической части курса.
Практикум позволяет изучать теорию вероятностей в соответствии с требованиями
образовательных стандартов и учебных программ. Он предназначен для студентов второго курса дневного отделения инженерно-технологического факультета.
Рекомендуемая литература:
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман.
— М.: Высшая школа, 1972. — 386 с.
2. Мацкевич, И.П. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Теория вероятностей и математическая статистика / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид, Г.М. Булдык. — Минск: Вышэйшая школа, 1996. — 318 с.
3. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / А.П. Рябушко [и др.]; под общ. ред. А.П. Рябушко. — Минск: Вышэйшая
школа, 1992. — 191 с.
4. Гурский, Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
/ Е.И. Гурский. — Минск: Вышэйшая школа, 1975. — 272 с.
5. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, А.М. Гусак. —
Минск: Навука i тэхнiка, 1991. — 480 с.
6. Лихолетов И.И., Мицкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Мн.: Вышэйшая школа, 1976.
2
Раздел 1. Случайные события
Тема 1: Элементы комбинаторики
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества.
Размещениями из n элементов по k (0 < k ≤ n) элементов называются соединения, каждое из которых состоит из k элементов, взятых из данных n элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.
Число размещений из n элементов по k элементов обозначается символом Ank и
вычисляется по формуле
(1.1)
Ank = n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ K (n − k + 1)
или
n!
, где n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ n , 1! = 1, 0! = 1 .
(1.2)
Ank =
(n − k )!
Пример 1. Составить различные размещения по 2 из элементов множества
D = {a, b, c} ; подсчитать их число.
Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два
элемента: (a, b ) , (b, a ) , (a, c ) , (c, a ) , (b, c ) , (c, b ) . Согласно формуле (1) их число: A32 = 3·2 =
6.
Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n
элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляется по
формуле
(1.3)
Pn = n! .
Пример 2. Составить различные перестановки из элементов множества
E = {2, 7, 8} ; подсчитать их число.
Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (3) имеем: P3 = 3! = 1·2·3
=6.
Сочетаниями из n элементов по k (0 < k ≤ n ) элементов называются соединения, каждое из которых состоит из k элементов, взятых из данных n элементов. Эти
соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом C nk и вычисляется по формуле
n!
.
(1.4)
C nk =
k!(n − k )!
Пример 3. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества
D = {a, b, c} ; подсчитать их число.
Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: (a, b ) , (a, c ) , (b, c ) . Их число: C 32 =
3⋅ 2
= 3.
1⋅ 2
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух
важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект
(элемент x ) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y ) можно выбрать n 2 способами, то оба объекта ( x и y ) в указанном
3
порядке можно выбрать n1 ⋅ n 2 способами.
Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.
Пример 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если: а)
цифры не повторяются? б) цифры могут повторятся?
Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в
трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось
четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается
выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 . 4 . 3 = 60
способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ...) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 . 5 . 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ... )
Правило суммы. Если некоторый объект x можно выбрать n1 способами, а объект y можно выбрать n 2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются,
то любой из указанных объектов ( x или y ), можно выбрать n1 + n 2 способами.
Пример 5. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами
можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14·13 = 182 способами, а двух юношей - 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола:
двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора
будет 182 + 30 = 212 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?
2. Сколько «слов» по две буквы можно составить из букв a, b, c, d, e, таким образом,
чтобы буквы в «словах» не повторялись?
3. Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, в
которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?
4. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?
5. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые
не повторяются?
6. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту
машину, если занять место водителя могут только трое из них?
7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в
числах запрещены?
8. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
(а) из восьми букв,
(б) из семи букв,
(в) из трех букв?
9. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти
цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
10. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?
11. Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух
гласных, можно, образовать из букв слова уравнение?
Ответы: 1. 120. 2. 20. 3. 60. 4. P8 = 8!. 5. 1) 262; 2) 25 × 24 × 23 . 6. 3 × P6 = 3 × 6!. 7. 300. 8.
P8, А 87 , А 83 . 9. 9A104 , 26A94 . 10. 1440; 7!−2 ⋅ 6! . 11. C 33 C 42 P5
Домашнее задание.
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков по разным предметам. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.
4
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими
способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя?
3. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать
из вазы 5 гвоздик одного цвета?
4. Чемпионат в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить какое количество встреч следует провести.
5. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из
пяти членов?
6. Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых
входят три человека, во вторую — пять и в третью — двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать? (Ответ записать в виде произведения сомножителей, не вычисляя его.)
Ответы: 1. A115 = 55440 расписаний . 2. A72 = 42 способами . 3. С105 + C 55 = 253 способами . 4.
3
5
12
2C162 = 240 встреч . 5. 56. 6. C 20 C17 C12
Тема 2: Классическое определение вероятности
Предмет теории вероятностей - изучение вероятностных закономерностей, возникающих при рассмотрении массовых однотипных случайных событий.
Событие - это любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило, в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Обозначаются события заглавными латинскими буквами A, B, ... .
События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в
результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Исходы
при которых событие А наступает называются исходами благоприятствующими данному событию.
Вероятностью Р( А) события A называется отношение числа m – элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события A , к числу n –
всех возможных элементарных исходов испытания.
m
Р( А) =
(2.1)
n
Пример 1. Найти вероятность, что при бросании монеты выпадет герб.
Решение. При бросании монеты имеются два равновозможных исхода: “выпадение
герба” и “выпадение решки” (n = 2 ) . Для события A – “выпадение герба” благоприятен
1
только один из них m = 1 . Значит, вероятность Р( А) = .
2
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
(2.2)
0 ≤ Р ( А) ≤ 1
Виды случайных событий:
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и
не более шести очков является достоверным событием. Вероятность достоверного события U равна единице: P(U ) = 1 .
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате испытания. Например, если брошена игральная кость, то выпадение больше шести
очков является невозможным событием. Вероятность невозможного события V равна
нулю: P (V ) = 0 .
Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти в результате испытания. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случайным событием.
5
События называются несовместными, если их одновременное появление невозможно при данном испытании, т.е. появление события A в данном испытании исключает
появление события B в этом же испытании. Например, если из урны с черными и белыми
шарами случайным образом извлекается шар черного цвета, то его появление исключает
извлечение белого шара в этой же попытке.
События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни
одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление
герба и появление решки при бросании монеты есть события равновозможные.
Если событие A - какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие A не наступило, называется противоположным событию A и обозначается как A .
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, и помня
лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер телефона набран правильно.
Решение. Благоприятствующий исход здесь один – правильный набор последних
цифр (m = 1) . Всех возможных исходов здесь будет столько, сколько можно составить
3
комбинаций из 3 цифр, порядок которых имеет значение, значит n = A10
= 720 . Следова-
m
1
=
.
n 720
Пример 3. Среди 100 колес 5 нестандартных. Для контроля выбирается 7 колес.
Найти вероятность того, что среди них ровно 3 будет нестандартных.
Решение. Число всевозможных исходов равно количеству комбинаций из 100 ко-
тельно, вероятность того, что номер набран правильно (событие A ): P( A) =
7
лес по 7 штук, т.к. порядок значения не имеет, то n = C100
. Благоприятствующий исход
состоит в выборе ровно 3 нестандартных колес из 5 и совместном выборе (7-3) стандарт4
ных колес из (100-5), порядок значения не имеет. По правилу произведения m = C53 ⋅ C95
.
Следовательно, вероятность того, что среди взятых для контроля колес будет ровно 3 нестандартных (событие A ):
4
m C53 ⋅ C95
17967600
=
=
≈ 0,199 .
7
n
90345024
C100
Относительной частотой события A в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие A, к общему числу произведенных опытов.
Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от
ранее введенной «математической» вероятности).
Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле
m
W ( A) =
(2.3)
n
где m – число появления события A; n – общее число произведенных опытов.
Пример 4. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 по19
паданий. Относительная частота поражения цели W ( A) =
24
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?
2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите
вероятность того, что эти шары разного цвета.
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в
театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и
2 мужчины?
4. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3
шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.
6
P( A) =
5. На 5 одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того,
что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово молот?
6. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие
бракованное.
7. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того. Что
среди наудачу взятых пяти билетов один выигрышный?
8. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры
5.
9. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, Т, М, Р, С, О. Найдите вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках, можно будет прочесть слово «ТРОС»?
10. В замке на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов
с различными написанными на них буквами. Замок открывается только в том случае,
если каждый диск займет одно определенное положение относительно корпуса замка.
Найдите вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет
открыть.
11. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найдите вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
12. Библиотека состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 40 рублей каждая, три книги – по 20 рублей и две книги – по 30 рублей. Найдите вероятность
того, что взятые наудачу две книги стоят 60 рублей.
13. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных
деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?
14. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.
15. В урне имеется 5 черных и 9 желтых шаров. Найти вероятность того, что из 4 случайно выбранных шаров 3 окажутся черными.
16. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того,
что шары одного цвета?
17. В ящике находится 7 бракованных и 13 стандартных деталей. Чему равна вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными?
18. Из восьми книг пять художественные. Найти вероятность того, что среди взятых
наугад четырёх книг одна художественная.
19. В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из них нуждается в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2
из них нуждаются в настройке?
20. В урне лежат 15 шаров, 8 из которых красные. Из урны наугад вынимают 3 шара.
Найдите вероятность того, что один из них будет красным.
21. Из урны, в которой лежат 7 белых и 8 красных шаров, наудачу вынимают 3 из них.
Найдите вероятность того, что среди них будет ровно два белых.
22. В классе учиться 15 учеников, 9 из которых отличники. Из списка учеников наудачу выбираются 7 фамилий. Найдите вероятность того, что среди отобранных будет 5
отличников.
23. В группе студентов, состоящей из 20человек, 12 юношей и 8 девушек. Для поездки
на сельхозработы случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет а) 2 юноши; б) один юноша и одна девушка?
24. На каждой из шести карточек написаны буквы: Р, М, Н, О, Е, Т. Карточки перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в один ряд карточек можно будет прочесть слово «РЕМОНТ»?
25. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится сло-
7
во МИНСК?
Ответы: 1. 1 120 . 2. 5 9 . 3. 35 . 4. 0,25. 5. 1 60 . 6. 21 40 . 7. 5 9 . 8. 0,81. 9. 1 360 . 10.
1 6 5 . 11. 1 4 . 12. 16 45 . 13. 0,05. 14. 102 попадания. 15.
Домашнее задание.
1. Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.
2. Из 4 второкурсников, 5 третьекурсников и 6 пятикурсников надо выбрать трех
студентов на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если
среди выбранных должны быть студенты разных курсов?
3. На предприятии имеется 36 строительно-дорожных машин и автобусов в одинаковом количестве. Сколькими способами можно выбрать один автобус и одну машину?
4. 10 работников цеха подали заявление на отпуск. Найти вероятность для каждого из
них пойти в отпуск первым.
5. В оружейной из 53 пистолетов 35 пистолеты марки «Макарова». Для учений было
выдано 42 пистолета. Найти вероятность, что будут среди выданных окажется 30 пистолетов марки «Макарова»?
Тема 3. Сложение и умножение вероятностей
Суммой событий А и В называется событие А + В состоящее в наступлении хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P( A + B) = P( A) + P( B)
(3.1)
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P ( An )
Если случайные события A1 , A2 , …, An образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
P( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P( An ) = 1
Произведением событий А и В называется событие АВсостоящее в их совместном наступлении, т.е. когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные
события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти
оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле
(3.2)
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB )
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них
не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события
В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или
нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых
событий А и В вычисляется по формуле:
P( A ⋅ B) = P ( A) ⋅ P( B)
(3.3)
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной
вероятности
P( A ⋅ B) = P( A) ⋅ PA ( B) или P( A ⋅ B) = P( B) ⋅ PB ( A) (3.4)
Пример 1. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
1
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика: P( A) = ;
6
8
A - вынули черный шар из первого ящика: P( A) =
5
;
6
2
;
3
1
B - черный шар из второго ящика: P( B) = .
3
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий AB или AB . По теореме об умножении вероятностей
1
10
P( A B) = , P( AB ) =
18
18
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
11
P = P( AB + AB) = .
18
Пример 2. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9.
Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Решение.
Пусть А – попадание первого стрелка, P( A) = 0,8 ;
В – попадание второго стрелка, P( B) = 0,9 .
В – белый шар из второго ящика: P( B) =
Тогда A - промах первого, P( A) = 1 − 0,8 = 0,2 ;
B - промах второго, P( B) = 1 − 0,9 = 0,1 .
Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание,
P( AB) = P ( A) P ( B ) = 0,8 ⋅ 0,9 = 0,72
б) AB – двойной промах,
P( AB) = P ( A) P ( B ) = 0,2 ⋅ 0,1 = 0,02 .
в) А+В – хотя бы одно попадание,
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) = 0,8 + 0,9 − 0,72 = 0,98
г) AB + AB – только одно попадание,
P( A B + AB) = P( AB ) + P( AB) = 0,8 ⋅ 0,1 + 0,2 ⋅ 0,9 = 0,28
Пример 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны
0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
Решение.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
P( A BC + ABC + ABC ) = P( ABC ) + P( ABC ) + P ( ABC ) =
1)
= 0,6 ⋅ 0,3 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,7 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,3 ⋅ 0,8 = 0,188
P( ABC + ABC + ABC ) =
2)
= 0,6 ⋅ 0,7 ⋅ 0,2 + 0,6 ⋅ 0,3 ⋅ 0,8 + 0,4 ⋅ 0,7 ⋅ 0,8 = 0,452
3) P( ABC ) = 0,6 ⋅ 0,7 ⋅ 0,8 = 0,336
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Вероятность того, что наступит хотя бы
одно из этих событий, например, если в результате испытания могут появиться три собы-
9
тия, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий, можно найти используя следующую теорему.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A2 , …, An , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей
противоположных событий
(3.5)
P( A1 + A2 + ... + An ) = 1 − P( A1 ) ⋅ P( A 2 ) ⋅ ... ⋅ P( An )
Если события A1 , A2 , …, An имеют одинаковую вероятность p , то формула принимает простой вид:
P( A) = 1 − (1 − p ) n = 1 − q n
Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:
p1 = 0,8; p 2 = 0,7; p3 = 0,9 . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при
одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), A2 (попадание второго орудия) и A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям A1 , A2 и A3 (т. е. вероятности
промахов), соответственно равны:
,
,
Искомая вероятность
P( A) = 1 − q1 q 2 q 3 = 1 − 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,1 = 0,994 .
Пример 5. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины
вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того,
что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент)
— противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: p + q = 1
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна q = 1 − p = 1 − 0,9 = 0,1
Искомая вероятность P( A) = 1 − q 4 = 1 − 0,14 = 0,9999
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.
Два стрелка производят по мишени по одному выстрелу. Вероятность попадания в
мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что оба
стрелка попадут в мишень.
2.
Вероятность боя стеклянной тары при погрузке на автомашины равна 0,06, а при
транспортировке на автомашинах - 0,05. Какова вероятность боя стеклянной тары?
3.
Вероятность брака из-за нарушения режима обработки деталей равна 0,02, а вследствие неисправности станка - 0,08. Какова вероятность выпуска бракованной детали?
4.
Два стрелка производят по мишени по одному выстрелу. Вероятность попадания в
мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что: а)
в мишень попадет только один стрелок, б) по крайней мере, один стрелок попадет в мишень.
5. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в цель для первого
стрелка равна 0,6, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий.
6.
В ремонтной мастерской имеются 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того,
что он включен, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент а) включено 3
мотора; б) включен хотя бы один мотор; в) включено не менее трех моторов.
7. На полке стоят 15 книг, из них пять в переплете. Наудачу берут три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг в переплете.
10
8. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания в цель
первого стрелка равна 0,8, а вероятность попадания в цель второго стрелка равна 0,7.
Найти вероятность того, что цель будет поражена или первым, или вторым стрелком.
9. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент даст
правильный ответ на первый вопрос, равна 0,9, вероятность правильного ответа на второй вопрос равна 0,8 и, наконец, вероятность правильного ответа на третий вопрос равна
0,7. Найти вероятность того, что студент ответит на все три вопроса правильно.
10. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с
октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие два года в этой местности устойчивый снежный покров с октября месяца не установится ни разу.
11. Рабочий обслуживает три станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго
станка – 0,8 и для третьего станка – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь
один станок откажет в работе и потребует вмешательства рабочего.
12. В урне 6 черных, 5 красных 4 белых шара. Последовательно вынимают три шара.
Найти вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий –
белым.
Ответы: 1. 0,48. 2. 0,107. 3. 0,984. 4. а) 0,44, б) 0,92. 5. 0,876. 6. а) 0,2986, б) 0,9999, в)
0,9477. 7. 67 91 . 8. 0,94. 9. 0,504. 10. 0,81 11. 0,398. 12. 0,044.
Домашнее задание.
1. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность
своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты
вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только
один сигнализатор.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить
лишь при условии появления одного из несовместных событий H 1 , H 2 , …, H n , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из
этих событий на соответствующую условную вероятность события A.
P( A) = P( H 1 ) ⋅ PH1 ( A) + P( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A) + ... + P( H n ) ⋅ PH n ( A)
(4.1)
Формулы Бейеса.
Пусть событие A может наступить при наступлении одного из несовместных событий H 1 , H 2 , …, H n , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно,
какое из событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что событие A наступило. Надо определить, как изменились вероятности гипотез:
P ( H i ) ⋅ PH i ( A)
PA ( H i ) =
=
P ( A)
P ( H i ) ⋅ PH i ( A)
=
, i = 1,2,...n
P ( H 1 ) PH1 ( A) + P ( H 2 ) PH 2 ( A) + ... + P ( H n ) PH n ( A)
Пример 1. Компьютеры одной марки производят 2 предприятия. Первое предприятие выпускает 3/4 всех компьютеров, второе -1/4. На первом предприятии 1% брака, на
втором – 2%. Найти вероятность того, что купленный вами компьютер не исправен.
Решение. Пусть событие А – купленный компьютер не исправен. Полная группа событий, необходимая для применения формулы полной вероятности, состоит из двух со-
11
бытий: H 1 – «компьютер куплен на первом заводе» и H 2 – «компьютер куплен на втором заводе».
По условию задачи
3
1
P ( H 1 ) = , P ( H 2 ) = , PH1 ( A) = 0,01,⋅ PH 2 ( A) = 0,02 - вероятности брака соответст4
4
венно на 1-ом и 2-ом предприятии.
Тогда, согласно формуле (4.1), вероятность купить бракованный компьютер, равна
3
1
P( A) = ⋅ 0,01 + ⋅ 0,02 = 0,0125.
4
4
Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во
второй коробке –10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и
переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой
коробки, будет стандартной.
Решение. Обозначим через А событие – из первой коробки извлечена стандартная
лампа.
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие H 1 ),
либо нестандартная (событие H 2 ).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,
9
P( H 1 ) = .
10
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,
1
P( H 2 ) = .
10
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа,
при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа равна
19
PH1 ( A) = .
21
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа,
при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа рав18
на PH 2 ( A) = .
21
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная
лампа, по формуле (4.1) равна
9 19 1 18
P ( A) = P ( H 1 ) ⋅ PH1 ( A) + P ( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A) =
⋅
+
⋅
= 0,9
10 21 10 21
Пример 3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой
фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент
нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей –
1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на
первой фабрике.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что взято нестандартное
изделие, через H 1 , H 2 , H 3 – гипотезы, состоящие в том, что взято изделие, изготовленное
соответственно на первой, на второй, на третьей фабрике.
Из условия задачи следует, что
P( H 1 ) = 0,20; P ( H 2 ) = 0,46; P( H 3 ) = 0,34;
PH1 ( A) = 0,03,⋅ PH 2 ( A) = 0,02; PH 3 ( A) = 0,01.
Поскольку в данном случае
P( A) = 0,20 ⋅ 0,03 + 0,46 ⋅ 0,02 + 0,34 ⋅ 0,01 = 0,0186 ,
то в соответствии с формулой Байеса находим искомую вероятность
12
P( H 1 ) ⋅ PH1 ( A)
0,20 ⋅ 0,03
= 0,322
P( A)
0,0186
Замечание. Аналогично находятся вероятности:
P( H 2 ) ⋅ PH ( A) 0,46 ⋅ 0,02
PA ( H 2 ) =
=
= 0,495
P( A)
0,0186
P ( H 3 ) ⋅ PH 3 ( A) 0,34 ⋅ 0,01
PA ( H 3 ) =
=
= 0,183
P( A)
0,0186
PA ( H 1 ) =
=
2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 30%, вторая –
25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%,
3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт оказался стандартным. Ответ: 0,6.
2. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает
0,2% брака, второй – 0,3% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго –1000 и с третьего –
1500 деталей. Ответ: 0,003.
3. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали.
Вероятность брака для первого станка равна 0,01, для второго – 0,02, для третьего –0,03.
Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в
два раза больше, чем второго, а третьего в три раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной? Ответ: 0,015.
4. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем
продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе равна 0,05, на втором заводе – 0,01. Наудачу взятая деталь
оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом
заводе? Ответ: 0,953.
5. В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй – 4 голубых и 2 красных.
Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар. 1) Какова вероятность того, что этот шар голубой? 2) Предположим, что шар, взятый из второй урны, оказался голубым. Какова вероятность того, что из
9 1
,
первой урны во вторую были переложены 2 голубых шара? Ответ:
16 21
6. Имеется три урны. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и
5 черных шара, в третьей – 7 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна и из нее
извлекается шар. 1) Найти вероятность того, что шар – белый. 2) Найти вероятность того,
что он вынут из третьей урны.
7. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный
шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара.
Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что
этот шар белый.
8. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый
по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того,
что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
9 1
.
Ответы: 1. 0,6. 2. 0,003. 3. 0,015. 4. 0,953. 5.
,
16 21
Домашнее задание.
1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Первый
автомат производит 40% всех деталей, второй - 60% деталей. Вероятность изготовления
стандартной детали первым автоматом равна 0,95, вторым – 0,8. Найти вероятность того,
взятая наугад деталь – стандартная.
13
2. Студент в поисках книги посещает три библиотеки. Вероятности того, что книга
есть в библиотеках, соответственно равны: 0,5, 0,3, 0,2. Какова вероятность того, нужная
книга найдена.
3. Имеется две урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 4 белых и 2
черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Найти вероятность того, что
он оказался черным.
4. Имеется две урны. В первой 4 белых и 3 черных шара, во второй – 5 белых и 2
черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар, который оказался черным.
Найти вероятность того, что он вынут из первой урны.
Тема 5: Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна р, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит ровно т раз, определяется по формуле Бернулли
Pn ( m) = C nm ⋅ p m ⋅ q n − m , где q = 1 − p .
(5.1)
Пример 1. Вероятность изготовления на станке детали высшего качества равна 0,8.
Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей: а) 4 высшего качества; б) хотя
бы одна деталь высшего качества.
Решение. Из условия задачи имеем, что п = 6, т = 4, р = 0,8, q = 1- 0,8 = 0,2. Тогда,
применяя формулу Бернулли,
получаем
6⋅5 4
а) P6 (4) = C 64 ⋅ 0,8 4 ⋅ 0,2 2 =
0,8 ⋅ 0,2 2 = 0,245 .
2
б) P6 (m > 1) = 1 − P6 (0) = 1 − C 60 0,8 0 ⋅ 0,2 6 = 1 − 0,000064 = 0,999936
Наивероятнейшее число появления события А в п независимых испытаниях определяется по формуле
n ⋅ p − q ≤ m0 ≤ n ⋅ p + p ,
(5.2)
где п - число независимых испытаний,
р - вероятность наступления события А в одном испытании,
q - вероятность не наступления события А в одном испытании,
т0 - наивероятнейшее число наступлений событий А.
Пример 2. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых
испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть Am - событие, состоящее в том, что при
3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти
вероятности событий Am (см. таблицу):
m
0
1
2
3
Pn(m)
1/8
3/8
3/8
1/8
Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1
и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и по формуле (5,2).
1
1
По условию задачи п=3, р= , q= . Тогда, подставляя эти значения в формулу
2
2
(5.2), получаем
3⋅
1 1
1 1
− ≤ m0 ≤ 3 ⋅ + ,
2 2
2 2
1 ≤ m0 ≤ 2 ⇒ m0 = 1 или m0 = 2 .
Приближенная формула Пуассона используется в том случае, когда число испытаний n – велико, а вероятность успеха в отдельном испытании мала (p<0,1). Тогда
вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит т раз, определяется приближенно формулой
14
λm
(5.3)
⋅ e −λ , где λ = n ⋅ p .
m!
Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность
того, что изделие в пути повредится р = 0,0002. Найти вероятность того, что в пути повредится только 3 изделия.
Решение.
Применяем
формулу
(5.3).
По
данным
задачи
3
λ −λ
P5000 (m = 3) =
⋅ e , где p = np = 5000 ⋅ 0,0002 = 1 .
3!
13
1
Тогда P5000 (m = 3) = ⋅ e −1 =
= 0,06.
3!
6e
Закон Пуассона еще называют законом редких явлений.
Пример 4. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных
детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005.
Применяя пуассоновское приближение с λ = np = 1000 ⋅ 0,005 = 5 , получаем
Pn (m) =
5 3 −5
e ≈ 0,14 ,
3!
P1000 (m ≥ 3) = 1 − P1000 (m < 3) = 1 − ( P1000 (0) + P1000 (1) + P1000 (2)) =
P1000 (3) ≈
Дополнение о значении
 50

51
52
= 1 −  e −5 + e −5 + e −5  ≈ 0,875
1!
2!
 0!

закона Пуассона.
Формула Пуассона используется также для расчета вероятности появления различного числа событий (точек) в какой-либо области (площади, объеме или во времени).
Если указано среднее число λ1 появления точек на единицу области (площади,
объема, времени), то число λ точек, попадающих в область s, внутри которой появляются
интересующие нас события (точки), определяется произведением среднего числа λ1 и
размера области s, т.е. λ = λ1 s . В этом случае вероятность Ps (m) появления m событий
(точек) в области s определяется формулой Пуассона
Ps (m) =
λm
m!
⋅ e −λ , где λ = λ1 s .
(5.4)
Пример 5. При определении зараженности зерна установлено, что в 1 кг содержится в среднем 10 вредителей. Определите вероятности того, что в 100 г не встретится ни
одного вредителя.
Решение. По условию задачи среднее число точек (вредителей, содержащихся в
1кг зерна) равно λ1 = 10 , размер области s = 100 г = 0,1кг . Следовательно,
λ = λ1 s = 10 ⋅ 0,1 = 1 и искомая вероятность равна
10 −1
1
⋅e =
= 0,3679
0!
2,7
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если производится п независимых испытаний (п - велико), и вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и
равна р, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит m раз,
определяется по формуле
P0,1 (0) =
Pn (m) =
1
npq
⋅ ϕ ( x) , где ϕ ( x) =
1
2π
⋅e
−
x2
2
, x=
m − np
npq
,
причем результат тем точнее, чем ближе значение р к
(5.5)
1
и чем больше п.
2
15
Функция ϕ ( x) - четная, т.е. ϕ ( − x) = ϕ ( x) и для положительных значений х составлена таблица ее значений. В таблице приведены значения функции ϕ ( x) при 0 ≤ x ≤ 4 , при
x > 4 | полагают ϕ ( x) = 0 .
Пример 6. На опытном поле посеяно 900 семян. Найдите вероятность того, что
всходы дадут ровно 800 семян, если вероятность всхода каждого зерна равна 0,9.
Решение. По условию задачи имеем: р = 0,9, q = 1-0,9 = 0,1, п= 900, m =800. Тогда,
применяя локальную теорему Лапласа, находим
800 − 900 ⋅ 0,9
10
ϕ ( x)
,
P900 (180) ≈
900 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1
x=
900 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1
=−
9
= −1,11
Из таблицы находим значение функции
ϕ ( −1,11) = ϕ (1,11) = 0,2155 .
ϕ (−1,11) 0,2155
Тогда
P900 (800) ≈
=
9
9
= 0,024
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то
вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит не менее чем
m1 раз и не более чем m2 раза, определяется по формуле
Pn (m1 ≤ m ≤ m 2 ) ≈ Ф( x 2 ) − Ф( x1 ) ,
(5.6)
где x1 =
m1 − np
npq
1
x
, x2 =
−
m2 − np
,
npq
t2
2
∫ e dt – функция Лапласа.
2π 0
Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х) . Для функции Ф(х) составлены специальные таблицы при положительных значениях аргумента, причем при х > 5 полагают
Ф(х) = 0,5.
Пример 7. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию задачи: п=400, т1=70, т2=100, р=0,2, q=0,8. Применяя интегральную теорему Лапласа, получаем
а Ф( x) =
P400 (70 ≤ m ≤ 100) ≈ Ф( x 2 ) − Ф ( x1 )
где x1 = 70 − 400 ⋅ 0,2 = −1,25 и x2 = 100 − 400 ⋅ 0,2 = 5 = 2,5
400 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8
400 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8
4
Находим значения функции Ф(х) по таблице
Ф( x1 ) = Ф(−1,25) = −0,3944 , Ф( x2 ) = Ф(2,5) = 0,4938
Тогда искомая вероятность равна
P400 (70 ≤ m ≤ 100) ≈ Ф(2,5) − Ф(−1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882
Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа можно вычислить вероятность того, что частота появления события А в n независимых испытаниях (т.е. число m/n) отклонится от вероятности p события А не более чем на положительную величину ε:

m

n 

(5.7)
P − p ≤ ε  = 2Ф ε
pq 
 n


Пример 8. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна p = 0,1 . Найдите,
сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать,
что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
16


Решение. По условию p = 0,1 , q = 0,9 , ε = 0,03 , P m − 0,1 < 0,03  = 0,9544 . Тре n

буется найти n.

m

n 
 = 2Ф (0,1 n ) .
P − 0,1 < 0,03  = 2Ф 0,03

0
,
1
⋅
0
,
9
 n



Получаем 2Ф (0,1 n ) = 0,9544 ⇔ Ф (0,1 n ) = 0,4772
По таблице для функции Лапласа определяем 0,1 n = 2 , отсюда n = 400 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Формула Бернулли
1. Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день).
Какова вероятность, что за 5 дней будет совершено 3 сделки?
2. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью
¼. Какова вероятность, что из 10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением
договора?
3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Найти вероятность того, что он
поразит мишень не менее двух раз, сделав 5 выстрелов.
4. Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность
брака для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность, что придется заменить более
двух компьютеров?
5. Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным,
если студент решил хотя бы 3 задачи. Студент Иванов может решить каждую задачу с вероятностью 0,6. Какова вероятность, что он сдаст зачет?
6. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых надо выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные
ответы по крайней мере на 6 вопросов?
7. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность, что из 10
проверенных документов 8 документов будет без ошибок?
8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну
партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех
или не менее трех партий из пяти (ничьи во внимание не принимаются)?
9. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
10. Проводится 12 независимых испытаний с вероятностью успеха, равной 0,4. Найти
наиболее вероятное число успехов.
11. Сколько надо сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее число попаданий в цель было равно 15?
12. Система состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность
наивероятнейшего числа отказавших элементов системы.
13. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появлений числа
очков, кратного трем и вычислить его вероятность.
14. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа очков, было равно 6?
15. Сколько надо сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии,
равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Приближенные формулы
Формула Пуассона
16. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене
в течение одной минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение одной мину-
17
ты обрыв произойдет более чем на трех веретенах.
17. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью, равной 0,001. Какова вероятность того, что при 2000 испытаний
событие А появится не менее двух и не более четырех раз.
18. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Какова вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
19. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей имеются 4 дефектных.
Найдите вероятность того, что среди 50 наугад взятых изделий нет дефектных.
20. Семена некоторой культуры в 1 кг содержат в среднем 5 зерен сорняков. Для некоторых опытов отвешивается 200 г семян. Найдите вероятность того, что в 200 г не окажется
ни одного зерна сорняков.
21. Средняя плотность болезнетворных бактерий в 1 м3 воздуха равна 100. берется на
пробу 1 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в нем будет обнаружена хотя бы одна бактерия.
22. В среднем на 1 м2 площади посева встречается 0,5 стеблей сорняков. Найдите вероятность того, что на 4 м2 не окажется ни одного сорняка.
23. Известно, что вероятность выпуска дефектной детали равна 0,02. Детали укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что: а) в коробке нет дефектных деталей; б) число дефектных деталей не более двух?
24. Производители калькуляторов знают из опыта, что 1% проданных калькуляторов
имеет дефекты. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность того,
что придется заменить 4 калькулятора?
25. При наборе текста наборщик делает ошибку в слове с вероятностью 0,001. Какова
вероятность, что в набранной книге, насчитывающей 5000 слов, будет не более 5 ошибок?
Формулы Муавра-Лапласа
26. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найдите
вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.
27. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна
и равна 0,8. Найдите вероятность того, что событие появится: а) не менее 70 и не более
85 раз; б) не менее 70 раз; в) не более 69 раз.
28. Обследуется 500 изделий продукции, изготовленной на предприятии, где брак составляет 2%. Найдите вероятность того, что: а) среди них окажется ровно 10 бракованных; б) число бракованных в пределах от 10 до 20.
29. Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в течение
80% рабочего времени. Какова вероятность того, что в момент проверки будет занято
клиентами: а) от 70 до 90 компьютеров; б) не менее 80 компьютеров?
30. Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течении года составляет 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет не
более 250.
31. Сборник задач содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе может быть ошибка с
вероятностью 0,01. Какова вероятность, что для 99% всех задач сборника ответы даны без
ошибок?
32. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25.
Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от
564 до 600.
33. Вероятность того, что в партии из 100 изделий имеется брак, составляет 63,2%. Найти
вероятность, что там не более 3 бракованных изделий.
34. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5.
Найти вероятность того, что относительная частота события отклонится от его вероятности по модулю не больше чем на 0,02.
35. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени.
Найти границу модуля отклонения частоты взошедших семян от вероятности p = 0,9 , ес-
18
ли эта граница должна быть гарантирована с вероятностью P = 0,995 .
36. С конвейера сходит в средне 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частоты изделий первого сорта в них от
вероятности p = 0,85 по модулю не превосходило 0,01?
37. Вероятность того, что дилер продаст ценную бумагу, равна 0,6. Сколько должно быть
ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,99 можно было надеяться, что доля проданных
бумаг отклоняется от 0,6 не более, чем на 0,05?
38. На выборах кандидата в мэры поддерживает 40% населения. При опросе общественного мнения было выбрано 1000 человек. С какой вероятностью можно утверждать, что
доля избирателей из этой выборки, поддерживающих кандидата, отличается от истинной
доли не более чем на 0,05?
39. Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет
находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99?
40. Доля населения региона, занятого в промышленности, равна 0,4. В каких пределах с
вероятностью 0,95 находится число занятых в промышленности среди 10000 случайно
отобранных людей?
41. Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется второго сорта, равна 3/8.
Сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,995, можно было ожидать,
что доля деталей второго сорта отклонится от вероятности менее чем на 0,001?
Ответы: 1. 0,0512. 2. 0,0584. 3. 0,99954. 4. 0,053. 5. 0,8208. 6. 0,016. 8. а) 0,25, 0,375; б)
0,69, 0,5. 9. 0,4096. 10. 5. 11. 21. 12. а) 2; б) 0,3241. 13. 5; 0,208. 14. {11, 12, 13} 15. {14, 15,
16 17} 16. 0,1428. 17. 0,541. 18. 0,0613. 19. 0,8187. 20. 0,3679. 21. 0,1813. 22. 0,1353. 24.
0,1755. 26. 0,04565. 27. а) 0,8882, б) 0,9938, в) 0,0062. 28. а) 0,127; б) 0,499. 29. а) 0,9876; б)
0,0997. 31. 0,2. 32. 0,8185. 34. 0,7698 35. ε = 0,0034 . 36. n = 11171 .
Домашнее задание
1. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых пяти волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.
2. Вероятность нестандартности детали равна 0,3. Какова вероятность того, что из
шести наудачу взятых деталей окажется: а) четыре нестандартных; б) не более двух нестандартных.
3. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,35.
Какова вероятность того, что, приобретя 8 облигаций, выигрыш выпадет на: а) 6 из них;
б) не менее чем на 6.
4. Найти вероятность того, что событие А наступит 140 раз в 240 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность
того,что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100
новорожденных окажется 60 мальчиков.
7. Если в среднем левши составляют 1% , каковы шансы на то, что среди 200 человек
окажется ровно четверо левшей?
8. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной
минуты обрыв произойдет в пяти веретена
9. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение месяца, равно двум. Найдите вероятность того, что в течение 0,5 месяца поступит не более одной заявки.
10. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти
вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 годных.
11. Вероятность точной сборки прибора равна 0,8. Найти вероятность того, что среди
500 приборов окажется от 410 до 430 точных.
12. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что
из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.
13. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна
19
0,5. Найти такое положительное число ε , чтобы с вероятностью 0,77 модуль отклонения частоты появления события от его вероятности 0,5 не превышала ε .
14. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того,
что изделие бракованное, равна 0,05.Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых заключено число m бракованных изделий среди проверенных.
Ответы: 1. а) 0,2048; б) 0,058. 4. 0,046. 8. 0,1562. 9. 0,7358. 11. 0,1309. 13. 0,02. 14.
15 ≤ m ≤ 33
Вопросы для самопроверки по теме: «Случайные события»
1. Определение случайного события.
2. Невозможное и достоверное события.
3. Взаимно противоположные события.
4. Полная группа событий.
5. Совместные и несовместные события.
6. Равновозможные события.
7. Перестановки.
8. Размещения.
9. Сочетания.
10. Классическое определение вероятности равновозможных событий.
11. Свойства классической вероятности.
12. Относительная частота случайного события.
13. Понятие статистической вероятности.
14. Сумма двух и нескольких случайных событий.
15. Произведение случайных событий.
16. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
17. Формула для вероятности суммы двух совместных событий.
18. Вероятность полной группы событий; вероятность противоположных событий.
19. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
20. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
21. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
22. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A2 , …, An , независимых в
совокупности.
23. Формула полной вероятности.
24. Вероятности гипотез. Формула Байеса.
25. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
26. Локальная формула Муавра-Лапласа.
27. Формула Пуассона.
28. Интегральная формула Муавра-Лапласа.
Раздел 2: Случайная величина
Тема 1: Случайная величина и закон ее распределения
Величина, которая принимает различные числовые значения под влиянием случайных обстоятельств, называется случайной величиной.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.
Примеры:
1) число студентов в аудитории – может быть только целым положительным числом: 0,1,2,3,4….. 20…..
2) цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости – может принимать лишь целые значения от 1 до 6.
3) относительная частота попадания в цель при 10 выстрелах - ее значения: 0; 0,1;
0,2; 0,3 ….. 1
20
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые
значения внутри некоторого интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а если они не известны, то считают, что значения случайной величины Х лежат в интервале (-∞; ∞). К непрерывным случайным величинам относятся, например, температура, давление, вес и рост людей и т.п.
Закон распределения дискретной случайной величины
Чтобы дать полную характеристику дискретной случайной величины необходимо указать все ее возможные значения и их вероятности.
Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их
вероятностями называется законом распределения этой величины.
Обозначим возможные значения случайной величины Х через xi , а соответствующие
им вероятности через pi . Тогда закон распределения дискретной случайной величины
можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.
1. В таблице, которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р(Х):
xi x1 x 2 … x n
pi p1 p 2 … p n
При этом сумма всех вероятностей pi должна быть равна единице (условие нормировки):
n
∑p
i
= p1 + p2 + .... + pn = 1
i =1
2. Графически – в виде ломаной линии,
которую принято называть многоугольником
распределения. Здесь по горизонтальной оси
откладывают все возможные значения случайной величины xi , а по вертикальной оси – соответствующие им вероятности pi .
3. Аналитически - в виде функции:
F ( x ) = P ( X < x ) = ∑ P ( X = xi )
xi < x
Пример 1. В партии из 6 деталей имеется 4 бракованных. Из партии наугад выбирают 2 детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа
бракованных деталей среди отобранных.
Решение. В ходе испытания могут получиться следующие комбинации:
1) 0 бракованных и 2 стандартные детали;
2) 1 бракованная и 1 стандартная детали;
3) 2 бракованных и 0 стандартных детали.
Следовательно, возможные значения Х: x1 = 0; x 2 = 1; x3 = 2.
Найдём соответствующие вероятности возможных значений:
P1 = P( x1 = 0) =
P3 = P ( x3 = 2) =
С 40 ⋅ C 22
1 .
=
2
15
C6
P2 = P( x 2 = 1) =
C 41 ⋅ C 21 8
= .
15
C62
C 42 ⋅ С 20
6
=
2
15
C6
Следовательно, данная величина Х имеет закон распределения:
Х
0
1
2
1
8
6
Р
15
15
15
1
8
6
Проверка:
+ +
= 1.
15 15 15
21
Закон распределения непрерывной случайной величины.
Плотность распределения вероятности.
Для непрерывных случайных величин невозможно применить закон распределения
в формах, приведенных выше, т.к. непрерывная величина имеет бесчисленное («несчетное») множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый интервал. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены все ее возможные значения,
или построить многоугольник распределения нельзя.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой
сплошь заполняют некоторый интервал (а, b). Закон распределения вероятностей такой
величины может быть задан в виде функции распределения.
Функцией распределения случайной величины X называется вероятность события,
состоящего в том, что случайная величина X примет значение меньшее x:
F ( X ) = P( X < x)
Функция f (x) – производная функции распределения
(1.1)
– характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной
величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе –
«плотность вероятности») непрерывной случайной величины X.
Формула (1.1) выражает плотность распределения через функцию распределения.
Зададимся обратной задачей: выразим функцию распределения через плотность.
f ( x) = F ′( x)
x
F ( x) =
∫ f (t )dt .
(1.2)
−∞
Кривая f (x) при этом называется кривой распределения.
Именно задание функции f (x) полностью определяет закон распределения для непрерывных случайных величин Х.
Для плотности распределения вероятности f (x) должно выполняться условие нормировки в виде:
b
∫ f ( x)dx = 1
(1.3)
a
– если известно, что все значения Х лежат в интервале (а, b),
+∞
или в виде:
∫ f ( x)dx = 1
(1.4)
−∞
– если границы интервала для значений Х точно неизвестны. Условия нормировки плотности вероятности (1.3) или (1.4) являются следствием того, что значения случайной величины Х достоверно лежат в пределах (а, b) или (-∞, +∞).
Вероятность того, что случайная величина X примет значение из отрезка (α ; β ) вычисляется по формуле
(1.5)
P (α ≤ X ≤ β ) = F ( β ) − F (α )
β
или
P (α ≤ X ≤ β ) = ∫ f ( x )dx
α
22
(1.6)
Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:
0, при x ≤ 0
 2

f ( x) = c ⋅ x, при 0 < x < 3
 9
0, при x ≥ 3
Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F (x ) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0;1) .
Решение. а) Так как все возможные значения данной случайной величины Х принадлежат интервалу (0;3) , то используя условие нормировки (1.3), найдём
 2 x2  3 1
2
 ⋅  | 0 = c ⋅ (9 − 0) = c ⋅ 1 . Следовательно, c⋅ = 1 .
c
⋅
xdx
=
c
∫0 9
9
9 2 
3
0, при x ≤ 0

Т.о., плотность вероятностей имеет вид f ( x) =  2 x, при 0 < x < 3 .
9
0, при x ≥ 3
б) Для нахождения функции распределения F (x ) воспользуемся формулой (1.2).
x
Если x ≤ 0 , получаем F ( x ) = ∫ 0dt = 0 .
−∞
0
x
2
2  t 2  x 2  x2  x2
  |0 =   =
.
f
(
t
)
dt
=
0
dt
+
tdt
=
∫
∫
∫0 9
9  2 
9 2  9
−∞
−∞
x
Если 0 < x < 3 , находим F ( x) =
Если x ≥ 3 , то
x
0
3
2
2 t2  3
  |0 =
f
t
dt
dt
tdt
dt
(
)
=
0
+
+
0
=
∫
∫
∫0 9
∫3
9  2 
−∞
−∞
тегральная функция распределения F (x) имеет вид:
x
F ( x) =
2  32  2  0 
  −   = 1 Т.о., искомая ин9  2  9  2 
0, при x ≤ 0
 2
x
F ( x) =  , при 0 < x < 3
9
1, при x ≥ 3
в) Вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала
(1;2) по формуле (1.5), равна
 12
P(0 < x < 1) = F (1) − F (0) = 
9

1
 − 0 = .
9

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при
каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.
2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения случайной величины X – числа
попаданий.
3. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наугад вынимают 3
карандаша. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу
красных карандашей в выборке.
4. В партии из 8 деталей имеется 4 бракованных. Из партии наугад выбирают 3 детали.
Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа бракованных
деталей среди отобранных.
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
0,2 0,4 0,6 0,8
xi 0
23
pi
0,15 0,2 0,3
p4
0,15
Чему равна вероятность p 4 = P( X = 0,6) ? Постройте многоугольник распределения.
6. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
2
3
4
5
xi 1
pi
p1
0,15 0,30 0,25
p5
Найдите вероятность p1 = P ( X = 1) и p5 = P ( X = 5) , если известно, что p5 в 2 раза
больше p1 .
7. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
1
2
3
xi 0
pi 0,2 0,4 0,3 0,1
Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график.
8. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для
первого стрелка при одном выстреле p1 = 0,5 , для второго – p 2 = 0,4 . Дискретная случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти функцию распределения этой
случайной величины. Найти вероятность события X ≥ 1 .

0,
при x ≤ −1

3
3

9. Случайная величина Х задана интегральной функцией F ( x) = x + , при − 1 < x ≤ 1 .

4
3
4
1

при x >
1,
3
Найти а) дифференциальную функцию распределения; б) вероятность того, что слу 1
чайная величина Х примет значение в интервале  0;  .
 3
10. Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией
0
x

f ( x) = 
2
0
при x ≤ 0
при 0 < x ≤ 2 .
при x > 2
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из
интервала (1; 2 ) .
11. Найти функцию распределения F ( x) случайной величины Х, плотность вероятности
которой определена функцией
0

f ( x) =  x
2 − x

при x ≤ 0 и x > 2
при 0 < x ≤ 1
при 1 < x ≤ 2
0 при x ≤ 0
12. Случайная величина Х задана интегральной функцией F ( x ) =  x 2 при 0 < x ≤ 1 .
1 при x > 1

Найти: а) дифференциальную функцию распределения; б) вероятность того, что
 1
случайная величина Х примет значение в интервале  0;  .
 2
13. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:
0, при x ≤ 0
 3

f ( x) = c ⋅ x 2 , при 0 < x < 2
 8
0, при x ≥ 2
24
Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F (x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0;1)
14. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:
0, при x ≤ 0

f ( x) = c( 2 x − 1), при 0 < x < 2
0, при x ≥ 2

Найдите: а) постоянный параметр c ;б) функцию распределения F ( x) ; в) вероятность
того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0,5; 1) .
Ответы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Домашнее задание.
1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу
стандартных деталей в выборке.
2. Заполните пустую клетку ряда распределения случайной величины Х и найдите
функцию распределения данной случайной величины.
7
9
xi -2 3
pi 0,1 0,2 0,1
3. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
8
12 15
xi 6
pi 0,1 0,15 0,5 0,25
Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график.
Найдите вероятность того, что 6 < X ≤ 12 .
4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятностей:
0, при x ≤ 1

f ( x) = c( x + 2), при 1 < x < 3
0, при x ≥ 3

Найдите: а) постоянный параметр c ; б) функцию распределения F ( x) ; в) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала
Ответы: 1. 2. 3. 4.
Тема 2: Числовые характеристики случайных величин
Полную характеристику о дискретной или непрерывной случайных величинах дают
законы их распределения.
Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми
числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности их распределения. Важно,
что эти параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые
можно оценивать с помощью полученных в опытах данных.
В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много
различных характеристик, рассмотрим наиболее часто употребляемые.
Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М(Х).
Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным
аналогом ее среднего арифметического X .
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений
всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности
Для дискретной случайной величины оно вычисляется по формуле:
n
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑ xi pi = X
(2.1)
i =1
а в случае непрерывной случайной величины М(Х) определяются формулами:
25
b
∞
a
-∞
M ( X ) = ∫ xf(x)dx, или M (X ) = ∫ xf(x)dx,
(2.2)
где f(x) – плотность вероятности.
Свойства математического ожидания:
1) M (C ) = C , где C = const ;
2) M ( kX ) = kM ( X ) , где k = const ;
3) M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ) ;
4) M ( XY ) = M ( X ) M (Y ) .
Дисперсия D(X) случайной величины Х определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):
D( X ) = M ( X − M ( X )) 2 ,
(2.3)
или D ( X ) = M ( X ) − ( M ( X ))
(2.4)
Для дискретной случайной величины диcперсия вычисляется по формулам:
2
2
n
D ( X ) = ∑ ( xi − M ( X )) 2 pi
(2.5)
,
i =1
n
или D ( X ) = ∑ xi pi − ( M ( X )) 2
2
..
(2.6)
i =1
а для непрерывной величины, распределенной в интервале (a,b):
b
D( X ) = ∫ ( x − M ( X )) 2 ⋅ f ( x) dx
(2.7)
a
b
или D ( X ) = ∫ ( x 2 f ( x )dx − ( M ( X )) 2
(2.8)
a
Свойства дисперсии:
1) D (C ) = 0 , где C = const ;
2) D ( kX ) = k 2 D ( X ) , где k = const ;
3) Если X и Y независимые случайные величины, то: D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) .
Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной
величины Х относительно ее математического ожидания.
Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических и др. приложениях. Поэтому
обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью
Х. Это среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, которое обозначают
σ (Х):
Пример 1. Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения:
X –1
0
2
P
1/4 1/4 1/2
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение. По формуле (2.1) математическое ожидание равно
3
M ( X ) = ∑ x i p i = −1 ⋅
i =1
1
1
1 3
+ 0⋅ + 2⋅ =
4
4
2 4.
Далее
3
M ( X 2 ) = ∑ x i2 p i =( −1) 2 ⋅
i =1
1
1
1 9
+ 02 ⋅ + 22 ⋅ =
4
4
2 4,
а потому дисперсия равна
2
D( X ) = M ( X 2 ) − M ( X ) 2 =
26
9 3
9 9 27
−  = −
=
4 4
4 16 16 .
Среднее квадратическое отклонение
σ ( X ) = D( X ) =
27 3 3
=
16
4 .
Пример 2. Для непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
x < 0,
0,
 x 3
F ( x) =  , 0 ≤ x ≤ 2,
8
x > 2.
1,
вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение: Найдем плотность вероятности:
x < 0,
0,
 3 x 2
f ( x) = 
, 0 ≤ x ≤ 2,
 8
x > 2.
0,
Математическое ожидание найдем по формуле (2.2)
∞
0
2
∞
2
3
3
3 x4
M ( X ) = ∫ x f ( x) dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ x 2 dx + ∫ x ⋅ 0dx = ∫ x 3 dx = ⋅
8
80
8 4
−∞
−∞
0
2
∞
M (X 2) =
∫x
−∞
5 2
2
2
f ( x )dx =
3 2 2
3 x
x ⋅ x dx = ⋅
8 ∫0
8 5
=
0
2
0
3
= .
2
Далее,
12
,
5
и значит,
2
D ( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 =
12  3 
−   = 0,15.
5 2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вычислить 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.
10 15 20
xi 5
pi 0,2 0,3 0,4 0,1
2. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вычислить дисперсию случайной величины X по формуле (5) и по формуле (6).
1
-2
xi -2 -1 0
pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
3. Заполните пустую клетку ряда распределения случайной величины Х и найдите
математическое ожидание данной случайной величины.
7
9
xi -2 3
pi 0,1 0,2 0,1
0 при x ≤ 0

4. Случайная величина Х задана интегральной функцией F ( x) =  x 4 при 0 < x ≤ 1 .
1 при x > 1

Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
при x ≤ 0
0

f ( x ) = 2(1 − x) при 0 < x ≤ 1 .
0
при x > 1

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.
27
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
при x ≤ 0
0

f ( x ) = c( x − 3) при 0 < x ≤ 3 .
0
при x > 3

Найдите числовые характеристики случайной величины Х.
7. Случайная
величина
Х
задана
функцией
распределения
0
при
x
≤
−
2


F ( x) = 0,2( x + 2) при − 2 < x ≤ 3 .
1
при x > 3

Найдите числовые характеристики
M ( X ), D ( X ), σ ( X ), P (1 < X < 5) .
8. Закон распределения случайной величины задан таблицей
X
-4
-2
0
2
4
P
0,1
0,2
0,15
0,25
0,3
X
Записать законы распределения случайных величин 3X,
, X 2 . Найти математиче2
X
ские ожидания случайных величин X, 3X,
, X2.
2
9. Известны математические ожидания двух случайных величин X и Y:
M ( X ) = 3, M (Y ) = 2 . Найти математические ожидания суммы и разности этих величин.
10. Известны математические ожидания двух независимых случайных величин X и Y:
M ( X ) = 4, M (Y ) = 5 . Найти математическое ожидание их произведения.
11. Найти математическое ожидание случайной величины Y = 2 X + 7 , если известно,
что M ( X ) = 4 .
12. Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина X – «число выпадений герба при этих подбрасываниях». Найдите числовые характеристики случайной
величины X: M ( X ), D( X ), σ ( X ) .
13. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин
X − 1, − 2 X , 3 X + 6 .
14. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения
X 5
2
4
Y 7
9
P 0,6 0,1 0,3
P 0,2 0,8
Найти математическое ожидание случайной величины XY двумя способами: 1) составив закон распределения XY ; 2) пользуясь свойствами математического ожидания.
15. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x1 и x 2 ,
причем x1 < x 2 . Известны вероятность p1 = 0,5 , математическое ожидание M ( X ) = 3,5 и
дисперсия D ( X ) = 0,25 . Найти закон распределения дискретной случайной величины X.
16. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
X 5
6
P 0,4 0,6
Y 7
8
P 0,8 0,2
Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . Вычислите M ( Z ) .
17. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
X 1
3
Y 5
7
P 0,3 0,7
P 0,4 0,6
Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . Вычислите M ( X ) ,
M (Y ) , M ( Z ) .
28
18. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин X и Y
соответственно равны M ( X ) = 5, D( X ) = 2, M (Y ) = 4, D (Y ) = 1 . Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Z = X + 2Y − 3 .
Ответы: 1. 1) 12, 2)21, 3) 4,48. 2. 1,2. 3. 0,6; 6,5. 4. 5. 1 3 .
6. c = − 2 , M ( X ) = 1, D( X ) = 1 .
3
2
7. M ( X ) = 0,5, D ( X ) = 2,08 , σ ( x ) = 1,44 , P = 0,4 . 8. 0,9; 2,7; 0,45; 8,2. 11. 15. 12. 2;1;1. 13.
5;20;45. 14. 37,84. 15. x1 = 3 , x 2 = 4 .
16.
X+Y 12
13
14
12,8
P
0,32 0,56 0,12
17.
X+Y 6
8
10
2,4; 6,2; 8,6
P
0,12 0,46 0,42
18. 10; 6.
Домашнее задание
1. Закон распределения случайной величины задан таблицей
X 3
6
9
12
P 0,1 0,2 0,3 0,4
1) Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
X
2) Запишите законы распределения случайных величин 2X,
и математиче3
ские ожидания этих случайных величин.
2. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана функцией
при x ≤ 0
0
 2
f ( x ) = 3 x при 0 < x ≤ 1
0
при x > 1

Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
3. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X:
x1 = 1, x 2 = 2, x3 = 3 , а также известны M ( X ) = 2,3, M ( X 2 ) = 5,9 . Найдите закон распределения случайной величины X.
4. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
X 1
4
Y 2
6
P 0,2 0,8
P 0,7 0,3
Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y . Вычислите M ( X ) ,
M (Y ) , M (Z ) .
5. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин X и Y
соответственно равны M ( X ) = 2, D( X ) = 3, M (Y ) = 4, D(Y ) = 5 . Найти математическое
ожидание M ( Z ) и D ( Z ) случайной величины Z = 2 X − Y + 3 . Ответы: 1. 1) 9; 9; 3; 2)
18; 3. 2. 3 4; 3 80. 3. 0,2; 0,3; 0,5. 4. 3,4; 3,2; 6,6. 5. 51
Тема 3: Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
( x−m )2
2σ 2
,
(3.1)
29
Здесь х - текущие значения случайной величины X, а m и σ - ее математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X, которые полностью определяют функцию f(x).
зывается
График функции (3.1) нанормальной
кривой
распределения
(кривой Гаусса).
Изменение значения m в
(3.1) не меняет
форму нормальной кривой, а
приводит лишь к
ее сдвигу вдоль оси абсцисс.
Величина
m
называется также центром
рассеяния,
а
среднеквадратичное
отклонение
σ
характеризует ширину кривой распределения
Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону с параметрами m и σ , на участок от α до β . Для вычисления
этой вероятности пользуются формулой
β −m
α − m  ,
(3.2)
P (α < X < β ) = Ф
 − Ф

 σ 
 σ 
где Ф ( x ) - функция Лапласа
Пример 1. Случайная величина X – вес одного зерна – распределена по нормальному закон. Математическое ожидание веса зерна 0,15 г, а среднее квадратическое отклонение равно 0,03 г. Хорошие всходы дают зерна, вес которых более 0,10 г. Найдите: а) процент семян, от которых следует ожидать хорошие всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99.
Решение: По условию M ( X ) = m = 0,15, σ ( X ) = σ = 0,03 .а) Процент семян, дающих
хорошие всходы – это вероятность получить хороший всход от взятого наугад зерна. По
условию задачи хороший всход бывает у зерен, вес которых более 0,10 г. Значит, те зерна,
вес которых удовлетворяет условию X > 0,10 , дают хорошие всходы. Вероятность этого
события найдем по формуле (3.2) при m = 0,15, σ = 0,03, α = 0,10, β = ∞ .
 ∞ − 0,15 
 0,10 − 0,15 
P (0,10 < X < ∞ ) = Ф 
 − Ф
 = Ф( ∞ ) - Ф(1,67) = 0,5 + 0,4525 = 0,9525 Таким
 0,03 
 0,03 
обра-
зом, от 95,25% семян следует ожидать хорошие всходы. б) Обозначим искомую величину
через γ . Тогда по условию задачи P( X < γ ) = 0,99 . Поскольку левая граница интервала
(α , β ) не указана (может быть какой угодно), то, условно положив ее равной − ∞ (т.е.
α = −∞ ), получим равенство P(− ∞ < X < γ ) = 0,99 . С другой стороны, вероятность
P(− ∞ < X < γ ) , согласно равенству (3.2) , равна
 γ − 0,15 
 − ∞ − 0,15 
 γ − 0,15 
P (− ∞ < X < γ ) = Ф 
 − Ф
 = Ф
 − Ф (-∞ ) =
 0,03 
 0,03 
 0,03 
 γ − 0,15 
= Ф
 + 0,5
 0,03 
Следовательно, Ф γ − 0,15  + 0,5 = 0,99 ⇔ Ф γ − 0,15  = 0,49 . По таблице значений
 0,03 
 0,03 
γ − 0,15
функции Лапласа, находим
= 2,23 . Отсюда находим γ = 2,23 ⋅ 0,03 + 0,15 = 0,22 .
0,03
Значит, с вероятностью 0,99 вес взятого наугад отдельного зерна не превысит 0,22г.
На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания m.
30
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания m по абсолютной величине будет меньше положительного числа δ
находится по формуле
δ 
(3.3)
P ( X − m < δ ) = 2Ф  .
σ 
Пример 2. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта
является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная
длина (математическое ожидание) равна m = 40 см , среднее квадратическое отклонение
σ = 0,4 см . Найдите вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по
абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение: Обозначим через Х – случайный размер детали. По условию
m = 40, σ = 0,4, δ = 0,6 . По формуле (3.3) получим
 0,6 
P ( X − 40 < 0,6 ) = 2Ф
 = 2Ф (1,5) = 2 ⋅ 0,4332 = 0,8664
 0,4 
Следовательно, вероятность того, что изготовляемые детали по длине будут находиться в пределах от 40–0,6=39,4см до 40+0,6=40,6см, составляет 0,8664.
«Правило трех сигм»
Из равенства Р (m - 3σ < Х < m + 3σ) = 0,9973 = 99,73 %. следует, что значения
нормально распределенной случайной величины Х с параметрами m и σ с вероятностью
Р = 99,73% лежат в интервале ( m − 3σ ; m + 3σ ) , иначе в этот интервал попадают практически все возможные значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен как «правило трех сигм».
Пример 3. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?
Решение. Вероятность вызова для каждого абонента
6
1
p=
=
= 0,1, q = 1 − p = 0,9 ,
60 10
Поэтому m = np = 1000 ⋅ 0,1 = 100, σ = npq = 1000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 = 9,5 .
Согласно правилу трех сигм практически достоверно, что
X − m < 3σ ,
откуда X − 100 < 3 ⋅ 9,5 ⇒ X − 100 < 28,5 ⇒ X < 128,5 .
Таким образом, для практически безотказной работы линии связи (при указанных
условиях) достаточно иметь 130 каналов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные по нормальному
закону с математическим ожиданием, равным 5 см. и дисперсией, равной 0,81см2. Найдите вероятность того, что диаметр наугад взятой детали от 4 до 7см.
2. Производят взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайная ошибка взвешивания распределена нормально с математическим ожиданием 20кг и средним
квадратическим отклонением 2кг. Найдите вероятность того, что следующее взвешивание
отличается от математического ожидания не более, чем на 100г.
3. Вес груза одного вагона ― случайная величина, распределенная по нормальному
закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 2 т.
Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превысит 70 т.
4. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону и имеет
31
−
1
e
плотность распределения f ( x) =
5 2π
( x − 60 ) 2
50
. В каком диапазоне с вероятностью
0,9973 содержатся возможные значения случайной величины X.
5. Cреднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по
нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
6. Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей
нормальное распределение с математическим ожиданием 7,3 и дисперсией 100. Найдите
вероятность того, что уровень pH находится между 7,35 и 7,45.
7. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием m = 370 и средним квадратическим отклонением σ = 21 . Найдите
вероятность того, что значение этой случайной величины будет заключено в пределах от
305 до 366.
8. Ошибка взвешивания ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю и средним квадратическим отклонением
5 г. Найдите вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей
по модулю 10 г.
9. Случайная величина распределена по нормальному закону, причем M ( X ) = 15 .
Найти P (10 < X < 15) , если известно, что P (15 < X < 20) = 0,25 .
10. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 40
и дисперсией 100. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины X в интервал (30; 80).
11. Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную
величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним
квадратическим отклонением 0,01 см. Найдите вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.
12. Рост мужчины является случайной величиной распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией равной 49 см 2 . Найдите вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут иметь рост от 170 до
175 см.
13. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием m = 37 и средним квадратическим отклонением σ = 2 . Найдите вероятность того, что значение этой случайной величины будет заключено в пределах от 30
до 36.
Ответы: 1. 2. 3. 4. (45; 75). 5. (12,08; 19,92). 6. 7. 8. 9. 0,25.
Домашнее задание
1. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами
m = 375г , σ = 25г . Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425г;
б) не более 450г; в) больше 300г.
2. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм . Найти вероятность того, что измерение произведено с
ошибкой, не превосходящей 15 мм.
3. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры X. Считая, что случайная величина X распределена нормально с параметрами m = 10 мм , σ = 0,1 мм . Найти
интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных
валиков.
4. Случайная величина X распределена по нормальному закону c параметром m = 5 . Если
вероятность P(5 < X < 15) = 0,4 , то чему равна вероятность P(0 < X < 10) ?
5. На станке изготавливаются втулки. Длина l втулки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее значение l ср = 20см и
32
дисперсию σ 2 = 0,04 см 2 . Найдите вероятность того, что длина втулки заключена между
19,7 и 20,3 см, т.е. уклонение в ту или в иную сторону не превзойдет 0,3 см. Какую длину
изделия можно гарантировать в вероятностью p = 0,95 ?
Ответы: 1. а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987. 2. 0,8664. 3. (9,7; 10,3). 4. 0,4778. 5. 0,87; 20±4
см
Вопросы для самопроверки по теме: «Случайная величина»
1. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Приведите примеры
дискретных и непрерывных случайных величин.
2. Что называется законом распределения вероятностей случайной величины?
3. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Как оно обозначается? Перечислите его свойства.
4. Что называется дисперсией случайной величины? Как она обозначается? Перечислите ее свойства. Как взаимосвязаны среднеквадратическое отклонение и дисперсия?
5. Что называется функцией распределения случайной величины? Сформулируйте ее
свойства. В чем различие графиков функций распределения для непрерывной и для
дискретной случайных величин?
6. Дайте определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, сформулируйте ее свойства.
7. Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из данного интервала, если известна: ее функция распределения; ее плотность
распределения вероятностей?
8. Как взаимосвязаны функция распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины?
9. Чему равны числовые характеристики биномиального распределения; распределения Пуассона?
10. Найдите M(X) и D(Х) случайной величины, распределенной равномерно на интервале (а; в).
11. Каков вероятностный смысл параметров m и σ случайной величины, распределенной по нормальному закону? Напишите плотность нормального распределения.
12. В чем заключается “правило трех сигм”?
ПРИЛОЖЕНИЕ
1
Таблица значений функции ϕ ( x) =
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2π
⋅e
−
x2
2
9
0,0 0,3989 0,3989 0,3988 0,3987 0,3986 0,3984 0,3982 0,3979 0,3976 0,3973
0,1 0,3969 0,3965 0,3960 0,3955 0,3950 0,3944 0,3938 0,3932 0,3925 0,3918
0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3866 0,3856 0,3846 0,3836 0,3825
0,3 0,3813 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3711 0,3697
0,4 0,3682 0,3667 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3588 0,3572 0,3555 0,3538
0,5 0,3520 0,3502 0,3484 0,3466 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3371 0,3352
0,6 0,3332 0,3312 0,3291 0,3271 0,3250 0,3229 0,3208 0,3187 0,3165 0,3144
0,7 0,3122 0,3100 0,3078 0,3056 0,3033 0,3011 0,2988 0,2965 0,2943 0,2920
0,8 0,2896 0,2873 0,2850 0,2826 0,2803 0,2779 0,2756 0,2732 0,2708 0,2684
0,9 0,2660 0,2636 0,2612 0,2588 0,2564 0,2540 0,2516 0,2492 0,2468 0,2443
33
1,0 0,2419 0,2395 0,2371 0,2347 0,2322 0,2298 0,2274 0,2250 0,2226 0,2202
1,1 0,2178 0,2154 0,2130 0,2106 0,2083 0,2059 0,2035 0,2012 0,1988 0,1965
1,2 0,1941 0,1918 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1803 0,1781 0,1758 0,1736
1,3 0,1713 0,1691 0,1669 0,1647 0,1625 0,1603 0,1582 0,1560 0,1539 0,1518
1,4 0,1497 0,1476 0,1455 0,1435 0,1414 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1314
1,5 0,1295 0,1275 0,1256 0,1237 0,1218 0,1200 0,1181 0,1163 0,1145 0,1127
1,6 0,1109 0,1091 0,1074 0,1056 0,1039 0,1022 0,1005 0,0989 0,0972 0,0956
1,7 0,0940 0,0924 0,0908 0,0893 0,0877 0,0862 0,0847 0,0832 0,0818 0,0803
1,8 0,0789 0,0775 0,0761 0,0747 0,0734 0,0720 0,0707 0,0694 0,0681 0,0668
1,9 0,0656 0,0643 0,0631 0,0619 0,0607 0,0595 0,0584 0,0573 0,0561 0,0550
2,0 0,0539 0,0529 0,0518 0,0508 0,0498 0,0487 0,0478 0,0468 0,0458 0,0449
2,1 0,0439 0,0430 0,0421 0,0412 0,0404 0,0395 0,0387 0,0378 0,0370 0,0362
2,2 0,0354 0,0347 0,0339 0,0331 0,0324 0,0317 0,0310 0,0303 0,0296 0,0289
2,3 0,0283 0,0276 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0240 0,0234 0,0229
2,4 0,0223 0,0218 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0193 0,0188 0,0184 0,0179
2,5 0,0175 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 0,0139
2,6 0,0135 0,0132 0,0128 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0112 0,0109 0,0107
2,7 0,0104 0,0101 0,0098 0,0096 0,0093 0,0090 0,0088 0,0086 0,0083 0,0081
2,8 0,0079 0,0076 0,0074 0,0072 0,0070 0,0068 0,0066 0,0064 0,0063 0,0061
2,9 0,0059 0,0057 0,0056 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 0,0047 0,0045
3,0 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0036 0,0035 0,0034 0,0033
3,1 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,2707 0,0026 0,0025 0,0024
3,2 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0019 0,0018 0,0017
3,3 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013 0,0012
3,4 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009
3,5 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006
3,6 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004
3,7 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
3,8 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
3,9 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
4,0 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000
Таблица значений функции Лапласа Ф ( x) =
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0,00 0,0000 0,50 0,1914 1,00 0,3413 1,50 0,4331 2,00 0,4772 3,00 0,4986
0,01 0,0039 0,51 0,1949 1,01 0,3437 1,51 0,4344 2,02 0,4783 3,05 0,4988
0,02 0,0079 0,52 0,1984 1,02 0,3461 1,52 0,4357 2,04 0,4793 3,10 0,4990
0,03 0,0119 0,53 0,2019 1,03 0,3484 1,53 0,4369 2,06 0,4803 3,15 0,4991
0,04 0,0159 0,54 0,2054 1,04 0,3508 1,54 0,4382 2,08 0,4812 3,20 0,4993
0,05 0,0199 0,55 0,2088 1,05 0,3531 1,55 0,4394 2,10 0,4821 3,25 0,4994
0,06 0,0239 0,56 0,2122 1,06 0,3554 1,56 0,4406 2,12 0,4830 3,30 0,4995
34
1
2π
x
∫e
0
−
t2
2
dt
0,07 0,0279 0,57 0,2156 1,07 0,3576 1,57 0,4417 2,14 0,4838 3,35 0,4996
0,08 0,0318 0,58 0,2190 1,08 0,3599 1,58 0,4429 2,16 0,4846 3,40 0,4996
0,09 0,0358 0,59 0,2224 1,09 0,3621 1,59 0,4440 2,18 0,4853 3,45 0,4997
0,10 0,0398 0,60 0,2257 1,10 0,3643 1,60 0,4452 2,20 0,4861 3,50 0,4997
0,11 0,0438 0,61 0,2290 1,11 0,3665 1,61 0,4463 2,22 0,4867 3,55 0,4998
0,12 0,0477 0,62 0,2323 1,12 0,3686 1,62 0,4473 2,24 0,4874 3,60 0,4998
0,13 0,0517 0,63 0,2356 1,13 0,3707 1,63 0,4484 2,26 0,4880 3,65 0,4998
0,14 0,0556 0,64 0,2389 1,14 0,3728 1,64 0,4495 2,28 0,4887 3,70 0,4998
0,15 0,0596 0,65 0,2421 1,15 0,3749 1,65 0,4505 2,30 0,4892 3,75 0,4999
0,16 0,0635 0,66 0,2453 1,16 0,3769 1,66 0,4515 2,32 0,4898 3,80 0,4999
0,17 0,0674 0,67 0,2485 1,17 0,3790 1,67 0,4525 2,34 0,4903 3,85 0,4999
0,18 0,0714 0,68 0,2517 1,18 0,3810 1,68 0,4535 2,36 0,4908 3,90 0,4999
0,19 0,0753 0,69 0,2549 1,19 0,3829 1,69 0,4544 2,38 0,4913 3,95 0,4999
0,20 0,0792 0,70 0,2580 1,20 0,3849 1,70 0,4554 2,40 0,4918 4,00 0,4999
0,21 0,0831 0,71 0,2611 1,21 0,3868 1,71 0,4563 2,42 0,4922 4,05 0,4999
0,22 0,0870 0,72 0,2642 1,22 0,3887 1,72 0,4572 2,44 0,4926 4,10 0,49998
0,23 0,0909 0,73 0,2673 1,23 0,3906 1,73 0,4581 2,46 0,4930 4,15 0,49998
0,24 0,0948 0,74 0,2703 1,24 0,3925 1,74 0,4590 2,48 0,4934 4,20 0,49999
0,25 0,0987 0,75 0,2733 1,25 0,3943 1,75 0,4599 2,50 0,4937 4,25 0,49999
0,26 0,1025 0,76 0,2763 1,26 0,3961 1,76 0,4608 2,52 0,4941 4,30 0,49999
0,27 0,1064 0,77 0,2793 1,27 0,3979 1,77 0,4616 2,54 0,4944 4,35 0,49999
0,28 0,1102 0,78 0,2823 1,28 0,3997 1,78 0,4624 2,56 0,4947 4,40 0,49999
0,29 0,1140 0,79 0,2852 1,29 0,4014 1,79 0,4632 2,58 0,4950 4,45 0,50000
0,30 0,1179 0,80 0,2881 1,30 0,4032 1,80 0,4640 2,60 0,4953 4,50 0,50000
0,31 0,1217 0,81 0,2910 1,31 0,4049 1,81 0,4648 2,62 0,4956 4,55 0,50000
0,32 0,1255 0,82 0,2938 1,32 0,4065 1,82 0,4656 2,64 0,4958 4,60 0,50000
0,33 0,1293 0,83 0,2967 1,33 0,4082 1,83 0,4663 2,66 0,4960 4,65 0,50000
0,34 0,1330 0,84 0,2995 1,34 0,4098 1,84 0,4671 2,68 0,4963 4,70 0,50000
0,35 0,1368 0,85 0,3023 1,35 0,4114 1,85 0,4678 2,70 0,4965 4,75 0,50000
0,36 0,1405 0,86 0,3051 1,36 0,4130 1,86 0,4685 2,72 0,4967 4,80 0,50000
0,37 0,1443 0,87 0,3078 1,37 0,4146 1,87 0,4692 2,74 0,4969 4,85 0,50000
0,38 0,1480 0,88 0,3105 1,38 0,4162 1,88 0,4699 2,76 0,4971 4,90 0,50000
0,39 0,1517 0,89 0,3132 1,39 0,4177 1,89 0,4706 2,78 0,4972 4,95 0,50000
0,40 0,1554 0,90 0,3159 1,40 0,4192 1,90 0,4712 2,80 0,4974 5,00 0,50000
0,41 0,1591 0,91 0,3185 1,41 0,4207 1,91 0,4719 2,82 0,4976
0,42 0,1627 0,92 0,3212 1,42 0,4222 1,92 0,4725 2,84 0,4977
0,43 0,1664 0,93 0,3238 1,43 0,4236 1,93 0,4732 2,86 0,4978
0,44 0,1700 0,94 0,3263 1,44 0,4250 1,94 0,4738 2,88 0,4980
0,45 0,1736 0,95 0,3289 1,45 0,4264 1,95 0,4744 2,90 0,4981
0,46 0,1772 0,96 0,3314 1,46 0,4278 1,96 0,4750 2,92 0,4982
0,47 0,1808 0,97 0,3339 1,47 0,4292 1,97 0,4755 2,94 0,4983
0,48 0,1843 0,98 0,3364 1,48 0,4305 1,98 0,4761 2,96 0,4984
35
0,49 0,1879 0,99 0,3389 1,49 0,4318 1,99 0,4767 2,98 0,4985
Таблица распределения Пуассона Pn (k ) =
λk
k!
⋅ e −λ
k\λ
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8
1
1,5
2
0
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4493
0,3678
0,2231
0,1353
1
0,0904
0,1637
0,2222
0,2681
0,3032
0,3292
0,3594
0,3678
0,3346
0,2706
2
0,0045
0,0163
0,0333
0,0536
0,0758
0,0987
0,1437
0,1839
0,2510
0,2706
3
0,0001
0,0010
0,0033
0,0071
0,0126
0,0197
0,0383
0,0613
0,1255
0,1804
4
0,0000
0,0000
0,0002
0,0007
0,0015
0,0029
0,0076
0,0153
0,0470
0,0902
5
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0012
0,0030
0,0141
0,0360
6
0
0
0,00001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0035
0,0120
7
0
0
0
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0007
0,0034
8
0
0
0
0
0
0
0,0000
0,0000
0,0001
0,0008
9
0
0
0
0
0
0
0
0,0000
0,0000
0,0001
k\λ
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
0
0,0820
0,0497
0,0301
0,0183
0,0111
0,0067
0,0040
0,0024
0,0015
0,0009
1
0,2052
0,1493
0,1056
0,0732
0,0499
0,0336
0,0224
0,0148
0,0097
0,0063
2
0,2565
0,2240
0,1849
0,1465
0,1124
0,0842
0,0618
0,0446
0,0317
0,0223
3
0,2137
0,2240
0,2157
0,1953
0,1687
0,1403
0,1133
0,0892
0,0688
0,0521
4
0,1336
0,1680
0,1888
0,1953
0,1898
0,1754
0,1558
0,1338
0,1118
0,0912
5
0,0668
0,1008
0,1321
0,1562
0,1708
0,1754
0,1714
0,1606
0,1453
0,1277
6
0,0278
0,0504
0,0770
0,1041
0,1281
0,1462
0,1571
0,1606
0,1574
0,1490
7
0,0099
0,0216
0,0385
0,0595
0,0823
0,1044
0,1234
0,1376
0,1462
0,1490
8
0,0031
0,0081
0,0168
0,0297
0,0463
0,0652
0,0848
0,1032
0,1188
0,1303
9
0,0008
0,0027
0,0065
0,0132
0,0231
0,0362
0,0518
0,0688
0,0858
0,1014
10
0,0002
0,0008
0,0022
0,0052
0,0104
0,0181
0,0285
0,0413
0,0557
0,0709
11
0,0000
0,0002
0,0007
0,0019
0,0042
0,0082
0,0142
0,0225
0,0329
0,0451
12
0,0000
0,0000
0,0002
0,0006
0,0015
0,0034
0,0065
0,0112
0,0178
0,0263
13
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0013
0,0027
0,0051
0,0089
0,0141
14
0
0,0000
0,00004
0,0000
0,0001
0,0004
0,0010
0,0022
0,0041
0,0070
15
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0008
0,0017
0,0033
16
0
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0007
0,0014
17
0
0
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
18
0
0
0
0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
36
37