Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа
реклама
ÈÊ Ì Ï Ð À ÏÊÐ ÒÀ ÊÈÒ Ê ÓÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà À.ØÅÐÎÍΠ ΠÂÑÅÕ ÒÅÏËÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, èëè ïåðâûé çàêîí (ïåðâîå íà÷àëî) òåðìîäèíàìèêè, êîòîðûé óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå Q = ∆U + A . Çäåñü Q ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, À ñîâåðøåííàÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ðàáîòà è ∆U èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû è äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò òîëüêî îò åãî òåìïåðàòóðû Ò. Äëÿ îäíîãî ìîëÿ îäíîàòîìíîãî ãàçà îíà ðàâíà U = 3/2 RT (ãäå R óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ëþáîå (êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå, òàê è êîíå÷íîå ïî âåëè÷èíå) èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèé: ∆U = 3 2 R∆T è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Ýòî îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãàç ïåðåâîäèòñÿ èç íà÷àëüíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå â ðåçóëüòàòå íåðàâíîâåñíîãî íåîáðàòèìîãî ïðîöåññà. Íàïðîòèâ, ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ãàçîì çà ñ÷åò ïîäâåäåííîãî òåïëà èëè èçìåíåíèÿ åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè, çàâèñèò îò ïóòè ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ ðàâíîâåñíûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ∆A â ëþáîì îáðàòèìîì ïðîöåññå ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äàâëåíèÿ ð íà ìàëîå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà ∆V â äâóõ ñîñåäíèõ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ ýòîãî ïðîöåññà: ∆A = p∆V . Ïðè êîíå÷íîì èçìåíåíèè îáúåìà îò V1 äî V2 â îáðàòèìîì ïðîöåññå ðàáîòà ãàçà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïîä êðèâîé çàâèñèìîñòè åãî äàâëåíèÿ îò îáúåìà p V , îãðàíè÷åííîé èçîõîðàìè V1 è V2 , ò.å. b g zbg V2 A= p V dV . V1  çàäà÷àõ íà ðàñ÷åò òåïëîâûõ ïðîöåññîâ ñ èäåàëüíûì ãàçîì ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ ââåäåíèå ïîíÿòèÿ òåïëîåìêîñòè Ñ ãàçà â äàííîì ïðîöåññà: ãäå ∆T ìàëîå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðè ïîäâåäåíèè ê íåìó ìàëîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû ∆Q . Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííàÿ òàêèì îáðàçîì òåïëîåìêîñòü çàâèñèò îò âèäà ïðîöåññà p V è ìîæåò ìåíÿòü ñâîþ âåëè÷èíó è äàæå çíàê â õîäå ýòîãî ïðîöåññà. Íàïîìíèì òåïåðü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ïðîöåññîâ.  èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà èëè îõëàæäåíèÿ ãàçà ðàáîòà ãàçîì (èëè âíåøíèìè ñèëàìè) íå ïðîèçâîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïîäâåäåííîå (èëè îòâåäåííîå) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q ðàâíî èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà: Q = ∆U = 3 2 R∆T (äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà). Ýòî ñîîòíîøåíèå îêàçûâàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà êàê ìàëîãî, òàê è êîíå÷íîãî, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçîõîðè÷åñêîìó ïðîöåññó òåïëîåìêîñòü îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé è äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíîé 3/2 R. Îíà íàçûâàåòñÿ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå è îáîçíà÷àåòñÿ CV . Òàêèì îáðàçîì, b g CV = 3 2 R, à âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé 3 U = RT = CV T . 2  àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òåïëî ê ãàçó íå ïîäâîäèòñÿ è íå îòâîäèòñÿ îò íåãî. Ðàáîòà ãàçîì (èëè íàä íèì) ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè: À = ∆U = = − 3 2 R T2 − T1 , ãäå T2 è T1 òåìïåðàòóðû â êîíå÷íîì è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿõ. Ýòî îêàçûâàåòñÿ âåðíûì êàê äëÿ ìàëîãî, òàê è äëÿ êîíå÷íîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà, ïîýòîìó â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî ∆A = p∆V = −CV ∆T , c h ãäå ∆V è ∆T ìàëûå, ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè, èçìåíåíèÿ îáúåìà è òåìïåðàòóðû ãàçà. Òåïëîåìêîñòü â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå, î÷åâèäíî, ðàâíà íóëþ ( ∆Q = C∆T = = 0).  èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ïîäâîäà èëè îòâîäà òåïëà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè ðàñøèðåíèè îäíîãî ìîëÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî îáúåìà V2 ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ãàçà pV = RT: zbg z V2 A= ∆Q = C∆T , 49 V2 p V dV = V1 V1 RT V dV = RT ln V2 V1 . Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîäâåäåííîå ê ãàç êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî ñîâåðøåííîé ãàçîì ðàáîòå: Q = A. Ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà A > 0, ïðè ñæàòèè A < 0 (ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ âíåøíèìè ñèëàìè, òåïëî îò ãàçà îòâîäèòñÿ). Òàê êàê òåìïåðàòóðà ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ ( ∆T = 0), òåïëîåìêîñòü ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé.  èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì ð = p0 ðàáîòà îäíîãî ìîëÿ ãàçà ïðè ðàñøèðåíèè îò îáúåìà V1 äî îáúåìà V2 ðàâíà c h c h A = p0 V2 − V1 = R T2 − T1 . Ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q èäåò íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû è íà óâåëè÷åíèå ∆U = CV T2 − T1 âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òåïëîåìêîñòè Cp â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïðîöåññà ð = p0 è óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ pV = = RT: ∆Q = Cp ∆T = ∆U + p∆V = c h c h = CV ∆T + R∆T = CV + R ∆T . 50 ÊÂÀÍT 2000/¹3 Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ïîñòîÿííà è äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíà Cp = CV + R = 5 2 R. η= Q1 = A Q1 . Ðàçáåðåì òåïåðü íåêîòîðûå êîíêðåòíûå çàäà÷è íà òåïëîâûå ïðîöåññû ñ ó÷àñòèåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà. Çàäà÷à 1. Ñðàâíèòå ðàáîòû, êîëè÷åñòâà òåïëîòû è òåïëîåìêîñòè 1 ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè ïåðåõîäå ìåæäó äâóìÿ èçîòåðìàìè ñ òåìïåðàòóðàìè T1 è T2 â èçîáàðè÷åñêîì ïðî- p 1 D 3 2 ? D Q1 = ∆U1 + A = ? 5 D p R T2 − T1 . 2 Äëÿ ïðîöåññà 2 (íà äèàãðàììå pV ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò) ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè çàøòðèõîâàííîé òðàïåöèè: A= p1 + p2 2 ?V − V D = 2 1 p2V2 − p1V1 = 2 ?T 2 R 2 D − T1 . Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì ïðîöåññå òàêîå æå, êàê â ïðåäûäóùåì: ∆U2 = ∆U1 = > C 3 R T2 − T1 , 2 à êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå íà ó÷àñòêå 2, ðàâíî ? D Q2 = A2 + ∆U2 = 2 R T2 − T1 . Êàê âèäíî, â îáîèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà è ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèé ãàçà. Ñëåäîâàòåëüíî, òåïëîåìêîñòè â ïðîöåññàõ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè è ðàâíûìè, ñîîòâåòñòâåííî, C1 = 5 2 R , C2 = 2 R . Ïðè ýòîì, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ äëÿ èçîáàðû è îò íàêëîíà ïðÿìîé â ïåðåõîäå ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà, ðàáîòû ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ èçîòåðìàìè îòëè÷àþòñÿ â 2 ðàçà, à òåïëîåìêîñòè â 5/4 ðàçà. Çàäà÷à 2. Ñðàâíèòå ðàáîòû è êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîäâåäåííûå ê 1 ìîëþ ãàçà, â ïðîöåññå 1 èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî V2 è â ïðîöåññå 2 ïåðåõîäà ìåæäó ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè ñ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ðèñ.2). Äëÿ ïðîöåññà 1 èìååì: V2 V1 , Q1 = A1 . 2 Äëÿ ïðîöåññà 2 ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè ñîîòâåòñòâóþùåé òðàïåöèè: Ò V V 2 1 R T2 − T1 , A1 = RT ln Ò Ðèñ. 1 ∆U1 = = Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ ÊÏÄ íåîáõîäèìî ïîäñ÷èòàòü òåïëî, ïîäâåäåííîå íà âñåõ ó÷àñòêàõ ïðîöåññîâ, ñîñòàâëÿþùèõ öèêë. Òàê íàïðèìåð, â èçîõîðè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà ãàçîì íå ïðîèçâîäèòñÿ, îäíàêî òåïëî ïîäâîäèòñÿ èëè îòâîäèòñÿ.  çàäà÷àõ ìîãóò òàêæå âñòðå÷àòüñÿ âíåøíå ïðîñòûå ó÷àñòêè çàâèñèìîñòè ð(V), â õîäå êîòîðûõ òåïëî êàê îòâîäèòñÿ, òàê è ïîäâîäèòñÿ. Åñëè äëÿ òàêîãî ó÷àñòêà íàéòè «èòîãîâîå» ïîäâåäåííîå èëè îòâåäåííîå òåïëî, òî ïðè ïîäñ÷åòå ÊÏÄ ìîæåò âîçíèêíóòü îøèáêà. Îòìåòèì, íàêîíåö, ÷òî òîëüêî äëÿ öèêëà Êàðíî, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ èçîòåðì ñ òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ T1 è õîëîäèëüíèêà T2 , íà êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâåííî, ïîäâîäèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1 è îòâîäèòñÿ Q2 , è äâóõ àäèàáàò, ÊÏÄ ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå Q − Q2 T − T2 η= 1 = 1 . Q1 T1 p p ? p p A1 = R T2 − T1 , Íàïîìíèì òàêæå îïðåäåëåíèå ÊÏÄ òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî çàìêíóòîìó öèêëó, â ðåçóëüòàòû êîòîðîãî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà (ðàáî÷åãî òåëà) íå èçìåíÿåòñÿ. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ðàáîòà ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå À ðàâíà ðàçíîñòè êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q1 , ïîäâåäåííîãî ê ãàçó, è êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q2 , îòâåäåííîãî îò íåãî. ÊÏÄ öèêëà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå Q1 − Q2 öåññå 1 è â ïðîöåññå 2 ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ðèñ.1). Äëÿ èçîáàðû 1 ìû èìååì: V A2 = p1 + p2 2 ?V − V D , 2 1 V V V Ðèñ. 2 èëè, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå V2 V1 = = α è âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì èçîòåðìû p1V1 = p2V2 = RT, A2 = p1V2 − p2V1 2 = RT 2 α −1 2α . Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â ïðîöåññå 2, êàê è â ïðîöåññå 1, íå èçìåíèëàñü, ïîýòîìó ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ãàçó áûëî ïåðåäàíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2 = A2 . Èòàê, äëÿ îáîèõ ïðîöåññîâ ðàáîòà îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî îáúåìîâ. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîöåññà 2 òåïëîåìêîñòü íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, áîëåå òîãî îíà ìåíÿåò çíàê â õîäå ïðîöåññà îò ïîëîæèòåëüíîãî ê îòðèöàòåëüíîìó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñíà÷àëà òåïëî ïîäâîäèòñÿ, à çàòåì îòâîäèòñÿ. Çàäà÷à 3. Âåðøèíû çàìêíóòîãî öèêëà, ñîñòîÿùåãî èç ÷åòûðåõ ó÷àñòêîâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà, ëåæàò íà äâóõ èçîòåðìàõ ñ èçâåñòíûìè òåìïåðàòóðàìè T1 è T2 p 2 1 3 " Ðèñ. 3 Ò Ò V (ðèñ.3). Ïðÿìûå 12 è 34 ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, îáúåìû V2 è V4 ðàâíû. Íàéäèòå ðàáîòó îäíîãî ìîëÿ ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå. Ðàáîòû íà ó÷àñòêàõ 12 è 34 îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 1). Ïîýòîìó ðàáîòà â öèêëå ðàâíà A = A23 − A41 . ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Ïðè ýòîì A23 = RT2 = RT2 @V 3 @V V2 3 E 2 −1 2 V3 V2 V4 E 2 −1 2V3 V4 F = = RT2 T2 T1 − 1 2 T2 T1 ! (ïî óñëîâèþ p3 V3 = p4 V4 , ñëåäîâà2 2 òåëüíî, T1 V4 = T2 V3 ) è, àíàëîãè÷íî, T T −1 A41 = RT1 2 1 T1 . 2 T2 Îêîí÷àòåëüíî ðàáîòà â öèêëå 12 341 ðàâíà A= ? R T2 − T1 2 T2 T1 D 2 . Çàäà÷à 4. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò = 300 Ê ðàñøèðÿåòñÿ â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òàê, ÷òî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå åãî äàâëåíèÿ ñîñòàâèëî ∆p p = = 1/120. Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì, åñëè îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ åãî òåìïåðàòóðû è îáúåìà îêàçàëèñü òàêæå ìàëûìè. Ïî óñëîâèþ, èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà ìàëî, ïîýòîìó äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ðàâíà A = p∆V = − CV ∆T . Èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ∆p , îáúåìà ∆V è òåìïåðàòóðû ∆T ñâÿçàíû óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ > p + ∆pC>V + ∆V C = R>T + ∆T C . Ïðåíåáðåãàÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàëûõ âåëè÷èí ∆p∆V , íàõîäèì p∆V + V∆p = R∆T . Èñêëþ÷èì èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà V∆p ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ: ∆p pV ∆p = RT V ∆p = p p è âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàáîòû: A + RT ∆p = R ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ CV ∆T = − R A. CV p Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ∆p CV = 12,5 Ä æ . RT A= CV + R p CV (×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ óðàâíåíèåì àäèàáàòû äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà, ðåçóëüòàò ìîæåò ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ýòîãî óðàâíåíèÿ è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ.) Çàäà÷à 5. Îäèí ìîëü îäíîàòîìíîãî ãàçà ðàñøèðÿåòñÿ â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå 12, ñîâåðøàÿ ðàáîòó A12 . Çàòåì ãàç îõëàæäàåòñÿ â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå 23 è, íàêîíåö, â àäèà- Ðèñ. 4 8 áàòè÷åñêîì ïðîöåññå 31 âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå (ðèñ.4). Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç â çàìêíóòîì öèêëå, åñëè ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð â íåì ñîñòàâèëà ∆T ? Ìàêñèìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðû ãàçà â öèêëå äîñòèãàþòñÿ â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå, òàê ÷òî ∆T = T1 T3 .  àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òåïëî ê ãàçó íå ïîäâîäèòñÿ è íå îòâîäèòñÿ îò íåãî, ïîýòîìó ðàáîòà â öèêëå ðàâíà ðàçíîñòè ïîäâåäåííîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q12 è îòâåäåííîãî Q23 .  èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî ñîâåðøåííîé ãàçîì ðàáîòå: Q12 = A12 , â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå îòâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ñîñòàâëÿåò ? D@ E ? D Q23 = CV + R T2 − T3 = CV + R ∆T . Èòàê, ðàáîòà â öèêëå ðàâíà ? D 5 R ∆T . 2 Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäñ÷èòàâ àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ðàáîò ãàçà íà âñåõ òðåõ ó÷àñòêàõ öèêëà (â ÷åì ÷èòàòåëü ìîæåò óáåäèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî). Çàäà÷à 6. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 ñ òåìïåðàòóðîé Ò1 = = 100 Ê, ðàñøèðÿÿñü ÷åðåç òóðáèíó â ïóñòîé ñîñóä, ñîâåðøàåò íåêîòîðóþ ðàáîòó è ïåðåõîäèò â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå 2. Ýòîò ïðîöåññ ïðîèñõîäèò áåç ïîäâîäà ëèáî îòâîäà òåïëà. Çàòåì ãàç ñæèìàþò â ïðîöåññå 23 ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà è, íàêîíåö, ïî èçîõîðå 31 âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå A = A12 − CV + R ∆T = A12 F ! Ðèñ. 5 8 51 (ðèñ.5). Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè ÷åðåç òóðáèíó â ïåðåõîäå 12, åñëè â ïðîöåññàõ 23 è 31 ê ãàçó â èòîãå áûëî ïîäâåäåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = = 72 Äæ. Èçâåñòíî, ÷òî T2 = T3 è V2 V3 = 3. Õîòÿ ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ 12 ÷åðåç òóðáèíó íåîáðàòèì, íî, åñëè íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñíû, ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ â ýòîì ïðîöåññå, ðàâíà èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà: ? D ? D A12 = − CV T2 − T1 = CV T1 − T2 . Íà ó÷àñòêå ñæàòèÿ 23 òåïëîåìêîñòü íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, îäíàêî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ ( T2 = T3 ). Ïîýòîìó èòîãîâîå îòâåäåííîå íà ýòîì ó÷àñòêå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå ñæàòèÿ: 2 V2 V3 − 1 Q23 = RT2 2 V2 V3 @ E (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 2). ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøèå âûêëàäêè, ïîäñòàâèì îòíîøåíèå îáúåìîâ V2 V3 = 3: Q23 = 4 3 RT2 . Íà ó÷àñòêå èçîõîðè÷åñêîãî íàãðåâà 31 ê ãàçó ïîäâîäèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû @ ? E D Q31 = CV T1 − T3 = CV T1 − T2 . Ïî óñëîâèþ, Q = Q31 − Q23 = 3 2 ? D R T1 − T2 − 4 3 RT2 , îòêóäà íàõîäèì RT2 = 9 17 RT1 − 6 17 Q. Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ðàáîòû ðàñøèðåíèÿ ÷åðåç òóðáèíó èìååì 3 A12 = R T1 − T2 = 2 12 9 RT1 + Q ≈ 625 Ä æ . = 17 17 ? D Çàäà÷à 7. Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà 1 231, ïðîâåäåííîãî ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî ãàçà è ñîñòîÿùåãî èç ó÷àñòêà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ïðÿìàÿ 12 ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò äèàãðàììû pV), èçîõîðû 23 è èçîáàðû 31 (ðèñ.6). Èçâåñòíî, ÷òî p2 = = 2 p1 = 2 p0 , V3 = V2 = 2V1 = 2V0 . Òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 12, ãäå òåïëîåìêîñòü ïîñòîÿííà è ðàâíà 2R (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 1): ? D Q1 = Q12 = 2 R T2 − T1 = 6 p0V0 . 52 ÊÂÀÍT 2000/¹3 F Òåïëî â öèêëå ïîäâîäèòñÿ íà èçîòåðìå: Q1 = Q12 = A12 , F à îòâîäèòñÿ íà èçîõîðå: F 8 8 Ðèñ. 6 @ 8 Òåïëî îòâîäèòñÿ íà èçîõîðå 23: > C Q23 = CV T2 − T3 = 3 p0V0 è íà èçîáàðå 31: ? D@ E 5 Q31 = CV + R T3 − T1 = 2 p0V0 . Ñóììàðíîå îòâåäåííîå òåïëî ðàâíî Q2 = Q23 + Q31 = 11 2 p0V0 , ðàáîòà â öèêëå ñîñòàâëÿåò A = Q1 − Q2 = 1 2 p0V0 (ýòîò ðåçóëüòàò î÷åâèäåí, òàê êàê ðàáîòà â öèêëå ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà 1 2 3 ñ êàòåòàìè p0 è V0 ), à ÊÏÄ öèêëà ðàâåí η= Q1 − Q2 Q1 = A Q1 = 1 12 . Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è (è äðóãèõ ïîäîáíûõ) àáèòóðèåíòû ÷àñòî ïðèâîäÿò «î÷åâèäíûé» îòâåò η = 1/3. Òðàêòóåòñÿ ýòî êàê îòíîøåíèå «ïîëåçíîé» ðàáîòû â öèêëå À = = p0V0 2 ê «çàòðà÷åííîé» íà ó÷àñòêå 12 ðàáîòå A12 = 3 2 p0V0 . Ïðè òàêîì «ðåøåíèè», î÷åâèäíî, íåâåðíî ïîäñ÷èòàíî ïîäâåäåííîå â öèêëå òåïëî Q1 . Çàäà÷à 8.  çàìêíóòîì öèêëå, ñîñòîÿùåì èç èçîòåðìû 12, èçîõîðû 23 è àäèàáàòû 31 (ðèñ.7), ÊÏÄ ðàâåí η , à ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ðàâíà ∆T . Íàéäèòå ðàáîòó ðàñøèðåíèÿ â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè ðàáî÷åå òåëî ìîëü ãåëèÿ. F ! Ðèñ. 7 E Q2 = Q23 = CV T2 − T3 = CV ∆T . ! 8 ÊÏÄ öèêëà ðàâåí Q − Q2 C ∆T η= 1 =1− V , Q1 A12 îòêóäà 3 2 R∆T A12 = . 1− η Çàìåòèì, ÷òî ýòî îäèí èç íåìíîãèõ ïðèìåðîâ, êîãäà ÊÏÄ ðàâåí îòíîøåíèþ ðàáîòû â öèêëå (ïîëåçíîé ðàáîòû, ðàâíîé ïëîùàäè ôèãóðû âíóòðè êðèâûõ, îáðàçóþùèõ öèêë) ê ðàáîòå íà èçîòåðìå (çàòðà÷åííîé ðàáîòå, ðàâíîé ïëîùàäè ïîä êðèâîé èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññà). ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïîíÿòü, ïî÷åìó ïðè íåïðàâèëüíîì îïðåäåëåíèè ÊÏÄ ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò, à òàêæå ïðèäóìàòü õîòÿ áû åùå îäèí öèêë, îáëàäàþùèé òàêèì æå ñâîéñòâîì. Çàäà÷à 9. ÊÏÄ öèêëà 1231 (ðèñ.8), ãäå 12 èçîõîðà, 23 èçîáàðà è 31 ó÷àñòîê ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà (íà äèàãðàììå pV ýòî ïðÿìàÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ïîëîæèòåëüíûì íàêëîíîì), ðàâåí η1 . Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà 13 41, â êîòîðîì 34 èçîõîðà, 41 F ! Ðèñ. 8 " 8 èçîáàðà. Ðàáî÷åå òåëî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìîëü ãåëèÿ.  öèêëå 1231 òåïëî Q2 îòâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 31. Õîòÿ òåïëîåìêîñòü â ýòîì ïðîöåññå è íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà íå ìåíÿåò çíàêà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåìïåðàòóðà â ýòîì ïðîöåññå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèåé îáúåìà. Ïîýòîìó äëÿ öèêëà 1231 òåïëî íà ó÷àñòêå 31 òîëüêî îòâîäèòñÿ, à, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ öèêëà 1341 òîëüêî ïîäâîäèòñÿ. Ðàáîòà â ðàññìàòðèâàåìûõ öèêëàõ îäíà è òà æå. Îáîçíà÷èâ åå ÷åðåç À, äëÿ ïåðâîãî öèêëà èìååì A A η1 = = , Q1 A + Q2 ãäå Q1 êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå íà èçîõîðå 12 è íà èçîáàðå 23. Àíàëîãè÷íî, äëÿ âòîðîãî öèêëà òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 13 â êîëè÷åñòâå Q2 , ïîýòîìó η1 A η2 = = Q2 1 − η1 . Óïðàæíåíèÿ 1. Ìîëü ãåëèÿ ðàñøèðÿåòñÿ â ïðîöåññå p2V = const òàê, ÷òî èçìåíåíèå åãî òåìïåðàòóðû ðàâíî ∆T = 0,3 Ê. Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ åãî äàâëåíèÿ ∆p p , îáúåìà ∆V V è òåìïåðàòóðû ∆T T îêàçàëèñü ìàëûìè. 2. Ìîëü ãåëèÿ ñîâåðøàåò ðàáîòó À â çàìêíóòîì öèêëå, ñîñòîÿùåì èç èçîáàðû 12, èçîõîðû 23 è àäèàáàòû 31 (ðèñ.9). Ñêîëüêî òåïëà áûëî ïîäâåäåíî ê ãàçó â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè F ! 8 Ðèñ. 9 ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ãàçà â öèêëå ñîñòàâèëà ∆T ? 3. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 ñ òåìïåðàòóðîé T1 = 100 Ê, ðàñøèðÿÿñü ÷åðåç òóðáèíó â ïóñòîé ñîñóä, ñîâåðøàåò íåêîòîðóþ ðàáîòó è ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå 2. Ýòîò ïåðåõîä ïðîèñõîäèò áåç ïîäâîäà èëè îòâîäà òåïëà. Çàòåì ãàç ñæèìàþò â äâóõ ïðîöåññàõ, âîçâðàùàÿ åãî â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Ñíà÷àëà ñæàòèå ïðîèñõîäèò â ïðîöåññå 23 ñ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà, à çàòåì â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå 31 (ðèñ.10). Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè ÷åðåç F ! Ðèñ. 10 8 òóðáèíó â ïåðåõîäå 12, åñëè â ïðîöåññå ñæàòèÿ 231 íàä ãàçîì áûëà ñîâåðøåíà ðàáîòà À = 1090 Äæ. Èçâåñòíî, ÷òî T2 = T3 , V2 V3 = 2. 4.  öèêëå 1341 (ñì. ðèñ.8) ÊÏÄ ðàâåí η . ×åìó ðàâåí ÊÏÄ öèêëà 12341?
