ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ФОТОНЫ. КВАНТОВАЯ И ЯДЕРНАЯ

Министерство образования Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
_________________________________________________________________________________________________________________
Кафедра физики
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ФОТОНЫ.
КВАНТОВАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ. ЭЛЕКТРОНННАЯ ВЕРСИЯ
СОСТАВИТЕЛИ: Е.А. Косарева, И. А. Данилюк.
ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕРСИЯ
Самара, 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Законы теплового излучения……………............................................................... 2
1.1. Элементарная теория….......................................................................................................
1.2. Примеры решения задач….................................................................................................
1.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
1.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
2
3
6
8
2. Фотоны. Рассеяние фотонов. Эффект Комптона ……………………………….. 9
2.1. Элементарная теория….......................................................................................................
2.2. Примеры решения задач….................................................................................................
2.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
2.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
9
10
14
16
3. Внешний фотоэффект. Давление света…………………………............................ 17
3.1. Элементарная теория….......................................................................................................
3.2. Примеры решения задач….................................................................................................
3.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
3.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
17
18
22
24
4. Строение атома. Теория атома водорода по Бору. Спектр атома водорода..…… 26
4.1. Элементарная теория….......................................................................................................
4.2. Примеры решения задач….................................................................................................
4.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
4.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
26
27
32
33
5. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга…….……. 35
5.1. Элементарная теория….......................................................................................................
5.2. Примеры решения задач….................................................................................................
5.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
5.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
35
35
37
39
6. Простейшие случаи движения микрочастиц……................................................... 40
6.1. Элементарная теория….......................................................................................................
6.2. Примеры решения задач….................................................................................................
6.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
6.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
40
41
44
46
7. Атом водорода в квантовой механике.
Распределение электронов в атоме по состояниям. ……………………………... 47
7.1. Элементарная теория….......................................................................................................
7.2. Примеры решения задач….................................................................................................
7.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
7.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
47
50
53
54
8. Элементы физики атомного ядра………………………………………………….. 55
8.1. Элементарная теория….......................................................................................................
8.2. Примеры решения задач….................................................................................................
8.3. Задачи для практических занятий….................................................................................
8.4. Домашнее задание…...........................................................................................................
55
57
61
62
Приложения…………………………………………………………………………. 63
Библиографический список………………………………………………………... 66
1
1. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
1.1. Элементарная теория
Электромагнитное излучение тел, обусловленное нагреванием
Тепловое
излучение
Совершается за счет
энергии
теплового
движения атомов и молекул вещества.
Основные
законы
Закон Кирхгофа:
r ,T
a ,T
 r0,T
Закон Стефана –
Больцмана:
RT0 = Т4
RTc = aТ4
Закон смещения
Вина:
 max 
b
T
r,T - спектральная плотность энергетической светимости, a,T – спектральная поглощательная способность,
r0,T - спектральная плотность энергетической светимости черного тела.
RT0 - энергетическая светимость черного тела, RTc энергетическая светимость серого тела, Т - температура
в градусах Кельвина, a - поглощательная способность
серого тела,  - постоянная Стефана – Больцмана
( = 5,6710-8 Вт
).
м 2 К 4
max - длина волны, соответствующая максимальному
значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела, Т - температура в градусах Кельвина, b – постоянная Вина (b = 2,910-3 мК).
.
2
1.2. Примеры решения задач
Пример 1. Определить, во сколько раз необходимо уменьшить термодинамическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость Re ослабилась
в 16 раз.
Дано:
RT0
 16
RT0
T1
-?
T2
Решение:
Энергетическая светимость RT0 абсолютно черного тела определяется законом Стефана-Больцмана:
RT0 = Т4.
При изменении температуры Т тела, изменяется и его энергетическая светимость:
RT0 = Т41,
1
2
1
= Т42.
Разделив первое выражение на второе, получим
RT0 2
T1
RT0
4 0 .
T2
RT 2
1
Ответ:
T1
=2.
T2
Пример 2. Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Принимая, что отверстие печи излучает как черное тело, определите, какая часть мощности рассеивается стенками, если
потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт.
Дано:
Решение:
2
3 2
Излучаемая мощность Ризл равна произведению
S = 30 см = 310 м
3
Т = 1,3 кК = 1,310 К
энергетической светимости RT0 на площадь S излучаюР=1,5 кВт = 1,5103 Вт
щей поверхности:
Р рас
Ризл = RT0 S.
-?
Р
Согласно закону Стефана-Больцмана, энергетическая светимость пропорциональна абсолютной температуре Т тела в четвертой степени:
RT0 = Т4.
Тогда излучаемая мощность
Ризл = Т4S.
Потребляемая P мощность равна сумме рассеиваемой Ррас и излучаемой Ризл
мощностей. Отсюда
Ррас =P - Ризл = P - Т4S.
Разделив рассеиваемую мощность на полную (потребляемую) мощность печи,
найдем, какая часть мощности рассеивается стенками:
3
Р рас
Р
Ответ:
Pрас
Р
1
Т 4 S
.
P
= 0,676.
Пример 3. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке
диаметром d = 0,8 мм, температура которой в вакууме поддерживается постоянной и
равной t = 2800С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью a = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре
 = 0,9210-4 Омсм. Температура окружающей проволоку среды t0 = 17С.
Дано:
d = 0,8 мм = 810-4 м
t = 2800С, Т = 073 К
a= 0,343
 = 0,9210-4 Омсм =
= 9,210-7 Омм
t0 =17С , Т0 = 290 К
I-?
Решение:
Мощность постоянного тока
P = I2R,
где I – сила тока, R –сопротивление проволоки. Сопротивление проволоки зависит от природы проводника,
его геометрических размеров
l
,
R
S сеч
где Sсеч – площадь поперечного сечения проводника,
d 2
равная Sсеч 
.
4
Таким образом, мощность тока равна
4l
.
(1)
d 2
В то же время, подводимая мощность будет равна разности излучаемой Pизл и
поглощаемой Рпогл мощностей:
Р =Pизл – Рпогл.
Излучаемая мощность Ризл (см. пример 2) равна
Ризл = aТ4S,
где S = d – площадь поверхности проволоки. Поглощаемая мощность будет
определяться похожим выражением:
Рпогл = aТ04S.
Тогда подводимая мощность:
Р = a(Т4 – T04)d.
(2)
Приравняв выражения (1) и (2) и выразив из получившегося равенства силу тока, найдем
P  I 2
a(T 4  T04 ) 2 d 3
P
I

.
R
4
Проверка размерности: [I ] 
Вт  К 4  м 3
А 2  Ом

 А.
Ом
м 2  К 4  Ом  м
Ответ: I = 48,8 А.
4
Пример 4. Определить, как и во сколько раз изменится мощность излучения
черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной
плотности энергетической светимости сместилась с 1 = 720 нм до 2 = 40 нм.
Дано:
1 =720 нм =7,210-7 м
2 = 400 нм = 410-7 м
Р2
-?
Р1
Решение:
Согласно закону смещения Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре:
b
,
T1
b
2  .
T2
Излучаемая мощность Р равна произведению энергетической светимости RT0 на
площадь S излучающей поверхности (см. пример 2):
Р1 = RT0 S = Т41S,
Р2 = RT0 S = Т42S,
Тогда изменение мощности равно
Р2 Т 24 41


.
Р1 Т14 42
Р
Ответ: 2 = 10,5.
Р1
1 
1
2
Пример 5. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум
спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны
 = 500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии, излучаемой Солнцем; 3) массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за одну секунду.
Дано:
Решение:
-7
 =500 нм = 510 м
1. Энергетическая светимость RT0 абсолютно черного
1) Ф - ?
тела выражается формулой Стефана-Больцмана:
4
2) Rэ - ?
(1)
RT0 = Т .
3) m - ?
Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: m = b/T.Выразив из закона смещения Вина температуру Т и подставив
ее в формулу (1), получим:
4
RT0 = (b/m) .
2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической
светимости Солнца на площадь S его поверхности:
Ф = RT0 S,
или
5
Ф = 4r2 RT0 ,
где r – радиус Солнца.
3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время
t = 1 с определим, применив закон пропорциональности массы и энергии:
Е = mc2.
Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению
потока энергии (мощности излучения) на время
Е = Фt.
2
Следовательно, Ф = mc /t, откуда m = Фt/c2.
Вт  м 4  К 4
0
Проверка размерности: [ RT ] = 2 4 4 = Вт/м2.
м К м
2
Вт  м
[Ф] =
= Вт.
м2
Вт  с кг  м 2  с3
[m] = 2 2  3 2  кг .
м /с
с м
2
Ответ: 1) Rэ = 64 МВт/м .
2) Ф = 3,91026 Вт.
3) m = 4,3109 кг.
Пример 6. Определите температуру тела, при которой оно при температуре окружающей среды t0 = 27С излучало энергии в 10 раз больше, чем поглощало.
Дано:
t0 = 27С , Т0 = 300 К
Wизл
= 10
Wпогл
Т-?
Решение:
Энергию, излучаемую телом, можно представить
как произведение излучаемой мощности на время
Wизл =Ризл t = Т4St.
Поглощаемая энергия
Wпогл = Рпоглt = Т04St.
Отношение этих величин будет равно
Wизл AT T 4 St T 4


,
Wпогл AT T04 St T04
Выразим из данного выражения температуру тела
W
T  T0 4 изл .
Wпогл
Ответ: Т = 533 К.
1.3. Задачи для практических занятий
1. Определить, во сколько раз необходимо уменьшить термодинамическую
температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость Re возросла в 2
раза.
6
2. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней
площадью S = 6,1см2 имеет мощность P = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению черного тела.
3. Какую энергетическую светимость имеет затвердевающий свинец? Температура плавления свинца 327 С. Отношение энергетических светимостей свинца и абсолютно черного тела для данной температуры равно 0,6.
4. Определить относительное увеличение  RT0 / RT0 энергетической светимости
черного тела при увеличении его температуры на 1%.
5. Мощность излучения абсолютно черного тела Р = 10 кВт. Найти площадь S
излучающей поверхности тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны  = 700 нм.
6. Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением, определить,
какую мощность необходимо подводить к медному шарику диаметром d = 2 см,
чтобы при температуре окружающей среды t0 = -13С поддерживать его температуру равной t = 17 С. Коэффициент теплового поглощения меди a = 0,6.
7. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина
спирали = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через
лампочку течет ток I = 0,31 А. Найти температуру Т спирали. Считать, что по установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела
для данной температуры a = 0,31.
8. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны  = 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно
за счет этого излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на
1 %.
9. Какую энергетическую светимость имеет абсолютно черное тело, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину
волны 484 нм?
10. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась от
690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?
11. Определить температуру тела, при которой оно излучало бы энергии в 10
раз больше, чем поглощало. Температура окружающей среды t0 = 23 °С.
12.* Медный шарик диаметром d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная
температура шарика Т0 = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной,
найти, через сколько времени его температура уменьшится в  = 2 раза.
7
1.4. Домашнее задание
1. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре Т = 400 К за время
t = 5 мин излучается энергия Е = 83 Дж. Определить коэффициент теплового поглощения a сажи.
2. Абсолютно черное тело имеет температуру T1 = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости, изменилась на = 9 мкм. До какой температуры Т2 охладилось тело?
3.* В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, налит
1 л воды, нагретой до 50 °С. Определить время t остывания сосуда до 10 °С, если он
помещен в полость, температура стенок которой поддерживается при 0 °С, а вода
заполняет весь объем сосуда.
8
2. ФОТОНЫ. РАССЕЯНИЕ ФОТОНОВ. ЭФФЕКТ КОМПТОНА
2.1. Элементарная теория
Гипотеза Планка: излучение и поглощение
света происходит не
непрерывно, а отдельными порциями (квантами).
Квантовая
теория
света
Квантовая теория света
(Эйнштейн): излучение, поглощение и распространение
света происходит в виде потока световых квантов - фотонов.
Объясняет явления, наблюдающиеся при взаимодействии
света с веществом (например, фотоэффект, эффект Комптона, давление света).
ф = h
ф – энергия фотона, h – постоянная Планка (h = 6,6210-34
Джс),  - частота электромагнитного излучения.
ф
h
pф 

c
c
рф - :импульс фотона, ф – энергия фотона, с – скорость света
в вакууме,  - частота электромагнитного излучения.
ф
mф - масса фотона, рф - :импульс фотона,  - частота электромагнитного излучения,  - длина волны.
с


 - длина волны, с – скорость света в вакууме,  - частота
электромагнитного излучения.
h
mф  2 
c
c
Эффект
Комптона
Формула Комптона
  '  2 c sin 2
.упругое рассеивание коротковолнового излучения (рентгеновского и  - излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением
дины волны.

2
 и  - длины волн рассеянного и падающего излучения соответственно,  с  h /(me c) - комптоновская
длина волны (при рассеянии фотона на электронах
с = 2,426 пм), mе – масса покоя электрона  - угол
рассеяния.
9
2.2. Примеры решения задач
Пример 1. Определить энергию фотонов красного (к = 0,76 мкм) света.
Дано:
Решение:
Энергию фотонов определим по формуле
к =0,76 мкм =
-6
ф = h,
= 0,7610 м
ф - ?
где h – постоянная Планка,  - частота света, равная =с/.
Из этих двух формул получим
hc
ф =
.

Ответ:  = 2,610-19 Дж.
Пример 2. Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы
водорода при температуре t = 20С. Скорость молекулы равна среднеквадратической скорости.
Дано:
рф = рн
t =20С, Т =293 К
mф - ?
Решение:
Масса фотона определяется выражением
𝑝ф
𝑚ф = .
𝑐
По условию задачи,
р ф = р н,
где рн – импульс молекулы водорода, равный
рн = mн vкв.
Здесь mн – масса, vкв –среднеквадратичная скорость молекулы водорода. Массу молекулы можно представить как отношение молярной массы н водорода к числу молекул, содержащихся в одном моле вещества:

mн  н .
NA
Среднеквадратичную скорость молекулы идеального газа можно определить по
формуле
3kT
v кв 
.
mн
Таким образом,
р
m 3kT 1
1 3k (t  273) н
mф  н  н

3kTmн 
.
с
с
mн с
с
NA
с Дж  К  кг  моль с кг  м 2  кг
Проверка размерности: [m] =
=
= кг.
м
м
К  моль
с2
Ответ: mф = 2,110-23 кг.
Пример 3. Источник монохроматического излучения с длиной волны  имеет
мощность Р. Определить число фотонов N, испускаемых источником ежесекундно.
10
Дано:
Решение:
Мощность – это энергия, излучаемая в единицу времени

Р = /t.
Р
N-?
Излучаемую энергию можно представить как произведение
энергии ф одного фотона на число Nф излучаемых фотонов:
 =Nфф.
Поскольку ф = hc/, то мощность источника излучения
Р = Nфhc/(t),
откуда
Nф = Pt/(hc).
Отсюда видно, что за единицу времени излучается
Nф = P/(hc) фотонов.
Ответ: Nф = P/(hc).
Пример 4. Точечный источник света мощностью Р испускает свет с длиной
волны . Сколько фотонов N падает за время t на маленькую площадку площадью S,
расположенную перпендикулярно падающим лучам, на расстояние r от источника?
Дано:
Решение:
Р
Число фотонов Nф, испускаемых источником (см. предыдущий пример),

Nф = Pt/(hc).
t
S
Это число фотонов падает на поверхность воображаемой
r
сферы, радиус которой равен расстоянию r от источника света
до рассматриваемой площадки.
N-?
Ее площадь равна S1 = 4r2.Составим пропорцию:
Nф = Pt/(hc) фотонов падает на площадь S1 = 4r2,
N фотонов
- на площадь S.
Тогда
PtS
.
N
4r 2 hc
PtS
Ответ: N 
4r 2 hc
Пример 5. Угол рассеяния рентгеновских лучей с длиной волны  = 5 пм равен
 = 30, а электроны отдачи движутся под углом  = 60 к направлению падающих
лучей. Найти: а) импульс ре электрона отдачи; б) импульс рф фотонов рассеянных
лучей.
Дано:
Решение:
-12
Согласно закону сохранения импуль = 5 пм =510 м
В

р ’
са, импульс падающего фотона р ф равен
 = 30
ре

 = 60

векторной сумме импульсов рассеянного А
С


р
ф
а) ре - ?
фотона р' ф и электрона отдачи ре
Рис. 1
б) рф - ?
ф
11



рф  ре  рф ' .
Векторная диаграмма импульсов изображена на рис. 1. Из треугольника АВС
получаем
рф '
рф
ре


,
sin  sin 90  sin 
поэтому
ре = рфsin = hsin/,
рф = рфsin = hsin/.
-23
Ответ: ре = 6,6310 кгм/с,
рф = 1,1510-22кгм/с.
Пример 6. В результате столкновения фотона и протона, летевших по взаимно
перпендикулярным направлениям, протон остановился, а длина волны изменилась
на  = 1%. Чему был равен импульс рф фотона? Скорость протона считать v<<c.
Дано:
 = 1%
v<<c
рф - ?

фотона р' ф :
Решение:
По закону сохранения импульса, векторная сумма импуль

сов падающего фотона р ф и протона р р равна импульсу рассеянного



р ф + р р = р' ф .
В проекции на координатные оси получим:
рф= рфcos,
рр= рфsin.
Возведем оба выражения в квадрат и сложим их
рф2 + рр2= рф2.
Согласно закону сохранения энергии, можно записать
ф + Ер = ф.
Энергия и импульс связаны следующими соотношениями
ф = рфс, ф = рфс,
р 2р
Ер =
.
2m p
Из выражения (1) получим рр2= рф 2 - рф2. Тогда
р ф ' 2  р ф2
Ер =
.
2m p
(1)
рф’
Y
рф

рр
Х
Рис. 2
Подставим эти выражения в закон сохранения энергии:
р ф ' 2  р ф2
рфс +
= рфс,
2m p
или 2mpc(рф- рф) = рф 2 - рф2. Отсюда
2mpc = рф + рф.
Так как импульсы падающего и рассеянного фотонов равны соответственно
12
pф 
pф ' 
то
h

,
h
,
'
h

(2)
  1  2m p c .
  ' 
Изменение длины волны фотона можно рассчитать как
'


1 ,
'
'
откуда
 = (1 - ).
(3)
Подставив выражение (3) в формулу (2), получим

h 1
 1  2m p c .

 1   
Из последнего выражения легко получить, что импульс фотона до соударения
равен
h 2m p c(1  )
рф  
.

2
Ответ: рф = 510-19 кгм/с.
Пример 7. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает
на рассеивающее вещество. Оказывается, что длины волн рассеянного под углами
1 = 60 и 2 = 120 излучения отличаются в 1,5 раза. Определить длину волны падающего излучения, предполагая, что рассеяние происходит на свободных электронах.
Дано:
Решение:
Запишем формулу Комптона для рассеяния рентгенов1 = 60
ского излучения под углами 1 и 2:
2 = 120
1 =  + c(1 - cos1),
2/ 1= 1,5
2 =  + c(1 - cos2).
- ?
Разделив эти выражения друг на друга и учтя условие задачи, получим:
 2 '    c (1  cos  2 )

 1,5 .
1 '    c (1  cos 1 )
Преобразуем полученное выражение к виду
 + c - c cos2 =1,5 + 1,5c –1,5c cos1.
и выразим из него искомую длину волны падающего излучения
 =c(3cos1- 2 cos2 – 1).
Ответ:  = 3,64 пм.
13
Пример 8. Фотон с энергией  = 0,25 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить кинетическую энергию электрона отдачи,
если длина волны рассеянного фотона изменилась на 25%.
Дано:
Решение:
Кинетическая энергия электрона отдачи, как это сле = 0,25 МэВ =
-14
дует из закона сохранения энергии, равна разности между
= 410 Дж
энергией падающего фотона  и энергией рассеянного фо= 1,25
тона : Ее =  - ,
Ее - ?
Энергия фотона обратно зависит от длины волны:
hc
hc
=
,  =
.

'
Отсюда
 = hc / = hc /(1,25) = /1,25.
Окончательно получим
Ее =  - /1,25 = /5.
Ответ: Ее = 0,5 МэВ.
2.3. Задачи для практических занятий
1. Энергия фотона ф = 4,1375 эВ. Найти длину волны, которая ему соответствует.
2. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен
импульсу фотона, которому соответствует длина волны  = 6,24 пм.
3. Найти массу фотона рентгеновских лучей ( = 25 пм).
4. Найти абсолютный показатель преломления среды, в которой свет с энергией
фотона = 4,410-19 Дж имеет длину волны  = 310-5 см.
5. * Дифракционная решетка с постоянной d = 3 мкм расположена нормально
на пути монохроматического светового потока. При этом углы дифракции, отвечающие двум соседним максимумам, равны 1 = 2335 и 2 = 3652. Вычислить
энергию фотонов данного светового потока.
6. Определить мощность монохроматического источника света, если за время
t = 1 мин он испускает N = 21021 фотонов. Спектр излучения имеет длину волны
 = 510-7 м.
7. Чувствительность сетчатки глаза к желтому свету с длиной волны  = 600 нм
составляет Р = 1,710-18 Вт. Сколько фотонов должно падать ежесекундно на сетчатку, чтобы свет был воспринят?
8. Под каким напряжением работает рентгеновская трубка, если самые жесткие
лучи в рентгеновском спектре этой трубки имели частоту  = 1018 Гц?
9. Воду, объем которой V = 0,2 мл, нагревают светом с длиной волны
 = 0,75 мкм. Ежесекундно вода поглощает N = 1010 фотонов. Определить скорость
нагрева воды, считая, что вся полученная энергия идет на ее нагревание.
14
10.* Ртутная луга имеет мощность Р = 125 Вт. Какое число фотонов испускается в единицу времени в излучении с длиной волны  =579,1нм? Интенсивности этих
линий составляют соответственно 4% интенсивности ртутной дуги. Считать, что
80% мощности дуги идет на излучение.
11.* При фотосинтезе под действием света происходит реакция СО2СО+ O2.
Считается, что для этой реакции требуется 9 фотонов с  = 670 нм. Каков к. п. д.
синтеза, если обратная реакция характеризуется энерговыделением 4,9 эВ на одну
молекулу СО2?
12. Определить максимальное изменение длины волны при комптоновском рассеянии: 1) на свободных электронах; 2) на свободных протонах.
13. Фотон, которому соответствует длина волны  = 10-10 м, претерпевает упругий центральный удар с первоначально покоившемся электроном и рассеивается назад. Какую скорость v приобретает электрон?
14. Фотон, импульс которого равен р, сталкивается с покоящимся электроном и
отлетает под углом  = 90 к первоначальному направлению своего движения. Найти импульс р фотона после его столкновения.
15. Определить импульс р электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон
с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол  = 180.
16. Рентгеновские лучи с длиной волны  = 70,8 пм испытывают комптоновское
рассеяние на парафине. Найти длину волны  рентгеновских лучей, рассеянных в
направлении  = .
17. Какова была длина волны  рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом под углом  = 60 длина волны рассеянного излучения оказалась равной  = 25,4 пм.
18. Фотон с энергией  = 1,025 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся
свободном электроне. Определите угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона оказалось равной комптоновской длине волны с = 2,43 пм.
19. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходится на электрон
отдачи, если фотон претерпевает рассеяние на угол  = 180? Энергия  фотона до
рассеяния равна 0,255 МэВ.
20. Энергия рентгеновских лучей  = 0,5 МэВ. Найти энергию Е электрона отдачи, если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на 25%.
21. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется
поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния  = /2.
Найти энергию  и импульс рф рассеянного фотона.
22.* Фотон с энергией, в  = 2,0 раза превышающей энергию покоя электрона,
испытал лобовое столкновение с покоившимся свободным электроном. Найти рад
кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле В =0,12 Тл. Предполагается, что электрон отдачи движется перпендикулярно к направлению поля.
15
2.4. Домашнее задание
1. Какова длина волны фотона, энергия которого равна средней кинетической
энергии молекулы идеального одноатомного газа при температуре Т = 3000 К?
2. Рубиновый лазер дает импульс монохроматического излучения с длиной
волны  = 6943 Å. Определить концентрацию фотонов в пучке, если мощность излучения лазера Р = 2 МВт, а площадь сечения луча S = 410-4 м2.
3. Фотон с энергией  = 6 кэВ сталкивается с покоящимся электроном. Найти
кинетическую энергию, полученную электроном, если в результате столкновения
длина волны фотона изменилась на  = 20%. Приобретенную электроном скорость
считать v << c.
4. Фотон ( = 1 пм) рассеялся на свободном электроне под углом  = 90. Какую
долю своей энергии фотон передал электрону?
16
3. ВНЕШНИЙ ФОТОЭФФЕКТ. ДАВЛЕНИЕ СВЕТА.
3.1. Элементарная теория
Внешний
фотоэлектрический
эффект
Испускание электронов веществом под действием
электромагнитного излучения
Законы
внешнего
фотоэффекта
1. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности катода).
2. Максимальная начальная скорость (максимальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности
падающего света, а определяется только его частотой.
3. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света (зависит от химической
природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.
.
h – постоянная Планка,  - частота электромагнитного излучения m - масса электрона,
vmax – его максимальная скорость, А – работа
выхода.
Уравнение Эйнштейна для
внешнего фотоэффекта:
h  А 
0 
2
mv max
2
0 - красная граница фотоэффекта, А – работа
A
h
выхода, h – постоянная Планка.
I
2
mv max
2
 eU 0
Iнас = ne
 = const
I1нас
I2нас
m - масса электрона, vmax – его максимальная
скорость, е – заряд электрона, U0 – задерживающее напряжение, Iнас – фототок насыщения, n – число электронов, испускаемых катодом в 1 секунду.
U0
U
Рис. 3
17
Освещенность
растет
Вольт – амперная характеристика
внешнего фотоэффекта
Волновая теория: давление света на поверхность
обусловлено
действием
силы Лоренца на электроны вещества, колеблющиеся под действием
электрического поля электромагнитной волны.
Давление света
Квантовая теория: давление света на поверхность обусловлено тем,
что каждый фотон при соударении с поверхностью
передает ей свой импульс.
Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность
р
J
(1  )
c
р - давление света, J - интенсивность падающего излучения,  - коэффициент отражения.

St
J - интенсивность потока излучения,  - энергия фотона,
S – площадь поверхности, t – время.
J
3.2. Примеры решения задач
Пример 1. Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны 400
нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок
прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.
Дано:
 = 400 нм =
=410-7 м
А = 2,2 эВ =
=3,5210-19 Дж
U0 - ?
Решение:
Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
2
mv max
(1)
h 
 A.
2
Здесь  - частота света, связанная с длиной волны
с
.

Согласно определению задерживающего напряжения, можно записать
mv 2
 eU 0 .
2
Тогда уравнение (1) примет вид
hc
= eU0 + A.

Откуда получаем для задерживающего напряжения
соотношением  =
18
(2)
(3)
U0 =
1  hc

  A .
e 

Ответ: U0 = 0,91 В.
Пример 2. Плоский серебряный электрод освещается монохроматическим светом с длиной волны  = 83 нм. Определите, на какое максимальное расстояние от
поверхности электрода может удалится фотоэлектрон, если вне электрода имеется
задерживающее электрическое полнее напряженностью Е = 10 В/см. Красная граница фотоэффекта для серебра 0 = 264 нм.
Дано:
 = 83 нм =
= 0,8310-7 м
0 = 364 нм =
= 3,6410-7 м
Е = 10 В/см =
= 103 В/м
S-?
Решение:
Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
2
mv max
h 
 A.
2
Данное выражение (см. примеры 1 и 2) можно записать
в виде
hc
hc
= eU0 +
.
(1)

0
Кроме того, для однородного электрического поля между электродами будет
справедливо равенство U0 = ES, где Е – напряженность электрического поля, S –
расстояние. Таким образом, выражение (1) принимает вид
hc
hc
= eES +
.

0
Отсюда максимальное расстояние, на которое может удалиться фотоэлектрон
hc 1 1
S
(  ).
eE   0
Дж  с  м
с м.
Проверка размерности: [S] =
Кл  Н  м
Кл
Ответ: S = 1,0310-2 м.
Пример 3. Фотоны с энергией  = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из металла с
работой выхода А = 4,7 эВ. Определите максимальный импульс pmax, передаваемый
поверхности этого металла при вылете электрона
Дано:
Решение:
Из третьего и второго законов Ньютона следует, что
 = 5 эВ =
-19
максимальный импульс, передаваемый поверхности металла
= 810 Дж
при вылете из нее электрона, равен максимальному импульА = 4,7 эВ =
-19
су фотоэлектрона:
= 7,5210 Дж
pmax = mvmax
pmax - ?
Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
19
откуда
2
mv max

 A,
2
2
(  A) .
m
Тогда максимальный импульс, передаваемый поверхности металла, будет равен
pmax = v 2m(  A) .
v max 
м
м
кг  м 2
кг  Дж 
кг 
Проверка размерности: [p] =
= кгм/с
с
с
с2
Ответ: pmax = 2,9610-25 кгм/с.
Пример 4. Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы
его импульс был равен импульсу фотона, длина волны которого а) 1 = 0,5 мкм;
б) 2 = 2 пм.
Дано:
pe = p
1 = 0,5 мкм = 510-7 м
2 = 2 пм = 210-12 м
ve - ?
Итак,
Решение:
Определим сначала энергию фотона. Если его энергия
соизмерима с энергией покоя электрона (Е0 = m0c2 = 8,210-14
Дж), то для расчета импульса электрона будет необходимо
применять формулу релятивистской механики.
1 = hc/1 = 3,97810-16 Дж < E0;
2 = hc/2 = 9,910-14 Дж  E0
а) В классической механике импульс равен pe = meve, откуда ve = pe/me.
Импульс фотона
р = h/1.
Согласно условию задачи,
pe = р = h/1.
Таким образом, для скорости электрона мы получили следующее выражение
h .
ve =
 1  me
Дж  с
Проверка размерности: [v] =
= м/с.
м  кг
Ответ: ve = 1,46103 м/с = 1,46 км/с.
б) В релятивистской механике импульс определяется выражением
m0v
pe 
.
2
2
1v / c
Импульс фотона
р = h/2.
Согласно условию задачи,
20
pe2
Тогда
h2
=р = 2 .

2
m02v 2
h2

.
1  v 2 / c 2 22
Приведем выражение к общему знаменателю и раскроем скобки
m2v22c2 = h2c2 – h2v2.
Отсюда получим выражение для скорости электрона
hc
.
v
2
2
(mc)  h
Дж  с  м
с = м/с.
Проверка размерности: [v] =
Дж 2  с 2
Ответ: ve  2,31108 м/с.
Пример 5. Через какое время t космическая яхта с солнечным парусом общей
массой m = 1 т, движущаяся под действием давления солнечных лучей приобрела бы
скорость v = 50 м/с, если площадь паруса S = 1000 м2, а среднее давление солнечных
лучей р = 10 мкПа? Какой бы путь l прошла бы яхта за это время? Начальную скорость яхты относительно Солнца считать равной нулю.
Дано:
m=1т
v = 50 м/с
S = 1000 м2
р = 10 мкПа
v0= 0 м/с
t-?
l -?
Решение:
Сила, действующая на космическую яхту, равна произведению площади паруса S на давление р света:
F = pS.
Изменение импульса яхты равно изменению импульса силы F за время t:
mv = Ft = pSt,
откуда
mv
.
t
pS
F pS
Ускорение яхты a  
, поэтому пройденный путь
m m
at 2
pS m 2v 2 mv 2
.
l


2
2m p 2 S 2
2 pS
кг  м 2
кг  м 2 кг  м 2  с 2
Проверка размерности: [l] = 2
= м.
 2
 2
с  Па  м 2
с Н
с  кг  м
Ответ: t = 58 сут., l = 1,25108 м.
Пример 6. Давление монохроматического света с длиной волны  = 500 нм на
зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам,
равно р = 0,12 мкПа. Определить число N фотонов, падающих ежесекундно на
S = 1 м2 поверхности.
21
Дано:
Решение:
7
Давление световых лучей определяется формулой
=500 нм =510 м
J
=0
р

(1  ) ,
р = 0,12 мкПа = 1210-8 Па
c
S = 1 м2
J

где
– интенсивность потока падающего изN-?
St
Nhc
лучения,  = Nф =
- энергия света.

Тогда
Nhc
р
(1  ) .
Stc
pSt
Отсюда N 
.
h(1  )
Ответ: N = 9,051019.
Пример 7. На идеально отражающую поверхность площадью S = 5 см2 за время
t = 3 мин нормально падает монохроматический свет, энергия которого  = 9 Дж.
Определить: 1) облученность поверхности; 2) световое давление, оказываемое на
поверхность.
Дано:
Решение:
2-4 2
Облученность поверхности – это есть ни что иное, как
S= 5 см =510 м
интенсивность J потока излучения:
=1

t = 3 мин = 180 c
J .
 = 9 Дж
St
J
1) J - ?
Световое давление равно р  (1  ) .
2) р - ?
c
Так как коэффициент отражения  = 1, то
p = 2J/c.
2
Ответ: 1) J = 100 Вт/м , 2) р = 667 нПа.
3.3. Задачи для практических занятий
1. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла  = 2200 Å. Какова
масса фотона, вызвавшего фотоэффект?
2. Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих из рубидия
при его освещении ультрафиолетовыми лучами с длиной волны  = 510-7 м,
Е = 2,8410-19 Дж. Определить работу выхода электронов из рубидия.
3. Какую максимальную скорость будут иметь фотоэлектроны при облучении
поверхности цинка ультрафиолетовым излучением с энергией кванта в k = 1,5 раза
большей работы выхода. Работа выхода электронов из цинка 3,74 эВ.
22
4. Пластину освещают монохроматическим излучением с длиной волны
 = 3125 Å. Известно, что наибольшее значение импульса, передаваемого пластине
одним фотоэлектроном, равно р = 3,310-25 кгм/с. Определить работу выхода электрона из вещества пластины.
5. Катод фотоэлемента освещают монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом U1 = 1,6 В ток в цепи прекращается.
При изменении длины волны света в k = 1,5 раза потребовалось подать задерживающую разность потенциалов U2 = 3 В. Определить работу выхода электрона из
материала катода.
6. Если освещать никелевый шар радиусом r = 1 см светом с длиной волны,
вдвое меньшей красной границы фотоэффекта, то шар заряжается. Какой заряд приобрел шар? Работа выхода электронов из никеля 4,84 эВ.
7. На металлическую пластину, красная граница фотоэффекта для которой
0 = 0,5 мкм, падает фотон с длиной волны  = 0,4 мкм. Во сколько раз скорость фотона больше скорости фотоэлектрона?
8. Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона, длина волны которого  = 2 пм.
9. Плоская поверхность освещается светом с длиной волны  = 1800 Å. Красная
граница фотоэффекта для данного вещества 0 = 3600 Å. Непосредственно у поверхности создано однородное магнитное поле с индукцией В = 1,0 мТл. Линии индукции магнитного поля параллельны поверхности. На какое максимальное расстояние от поверхности смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно поверхности?
10. На плоский электрод попадает излучение с длиной волны  = 83 нм. На какое максимальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода создано задерживающее электрическое поле напряженностью Е = 7,5 В/см? Красная граница фотоэффекта соответствует длине волны
0 = 332 нм.
11. При освещении вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом в его
цепи регистрируют ток насыщения Iн = 310-10 А. Оценить число электронов, вырываемых светом из катода ежесекундно и полный заряд, проходящий через фотоэлемент за это время.
12. Фотон с энергией  = 6 эВ падает на зеркало и отражается. Какой импульс
получает зеркало?
13. Луч лазера мощностью Р = 50 Вт падает нормально на поглощающую поверхность. Определить силу давления светового луча на поверхность.
14. Определить поверхностную плотность I потока энергии излучения, падающего на зеркальную поверхность, если световое давление р при перпендикулярном
падении лучей равно 10 мкПа.
15. Перпендикулярно поверхности площадью S = 10 см2 ежеминутно падает
W = 63 Дж световой энергии. Найти величину светового давления, если поверхность
полностью отражает все лучи.
23
16. Давление р монохроматического света с длиной волны  = 600 нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, составляет 0,1 мкПа. Определите концентрацию n фотонов в световом пучке.
17. Параллельный пучок света с длиной волны  = 6600 Å падает нормально на
плоское зеркало. Интенсивность падающего излучения J = 0,63 Вт/м2. Коэффициент
отражения k = 0,9. Определить число фотонов, которые ежесекундно поглощаются
единицей поверхности.
18. Луч лазера мощностью Р = 50 Вт падает перпендикулярно поверхности пластинки, которая отражает k = 50% и пропускает  = 30% падающей энергии. Остальную часть энергии она поглощает. Определить силу светового давления на единицу поверхности пластины за единицу времени.
19. Поток энергии Ф, излучаемый электрической лампой, равен 600 Вт. На расстоянии r = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое
плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Принимая, что излучение лампы одинаково
во всех направлениях и что зеркальце полностью отражает падающий на него свет,
определить силу F светового давления на зеркальце
20.* Короткий импульс света с энергией Е = 10 Дж в виде узкого параллельного
монохроматического пучка фотонов падает на пластинку под углом  = 60. При
этом k = 50% фотонов зеркально отражаются, а остальные поглощаются. Найти импульс, переданный пластинке.
21.* Определить силу светового давления F солнечного излучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного притяжения Солнца. Светимость Солнца равна 21026 Дж/м2с.
22. Найти световое давление Р на стенки электрической 100-ваттной лампы.
Колба лампы представляет собой сферический сосуд радиусом r = 5 см. Стенки
лампы отражают 4% и пропускают 6% падающего на них света. Считать, что вся потребляемая мощность идет на излучение.
23.* Существует проект запуска космических аппаратов с помощью наземного
лазера. Запускаемый аппарат снабжают зеркалом, полностью отражающим лазерное
излучение. Какова должна быть мощность лазера, обеспечивающего запуск по этой
схеме аппарата массой m = 100 кг?
24. Небольшое тело массой m = 10 мг, подвешенное на невесомой
нерастяжимой нити длиной l = 10 см, поглощает короткий световой им
Т
пульс с энергией Е = 30 Дж, распространяющийся в горизонтальном направлении (рис. 3) Найти угол отклонения нити от вертикали.
Рис. 4
3.4. Домашнее задание
1. Если поочередно освещать поверхность металла излучением с длинами волн
1 = 350 нм и 2 = 640 нм, то максимальные скорости фотоэлектронов будут отличаться в n = 2 раза. Определить работу выхода электрона из этого металла.
24
2. На катод фотоэлемента падает световой поток мощностью Р = 0,02 Вт. На
каждые n = 10 квантов света, упавших на катод, в среднем приходится один фотоэлектрон. Определить силу тока насыщения фотоэлемента. Длина волны падающего
света  = 210-7 м.
3. Монохроматический пучок света ( = 490нм), падая по нормали к поверхности, производит световое давление Р= 4,9 мкПа. Какое число фотонов падает в единицу времени на единицу площади этой поверхности? Коэффициент отражения света  = 0,25.
4. На зеркальце с идеально отражающей поверхностью площадью S = 1,5 см2
падает нормально свет от электрической дуги. Определить импульс р, полученный
зеркальцем, если поверхностная плотность потока излучения J, падающего на зеркальце, равна 0,1 МВт/м2. Продолжительность облучения t = 1с.
25
4. СТРОЕНИЕ АТОМА. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ.
СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА
4.1. Элементарная теория
Постулаты Бора
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в
атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии.
Второй постулат Бора (правило квантования орбит): в стационарном
состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь
дискретное квантовое значение момента импульса.
h
mv rn = n
2
m - масса электрона, v – его скорость движения
по n-ой орбите радиуса rn, h – постоянная Планка
Третий постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с
одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один
квант энергии, равный разности энергий соответствующих стационарных
состояний
.
h = En - Em
 - частота электромагнитного излучения, En и Em –
энергии стационарных состояний атома до и после
перехода соответственно.
Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под
действием кулоновский силы:
mev 2

r
4 0 r 2
Zee
Полная энергия электрона в атоме
водорода
Z - порядковый номер элемента в системе Менделеева, е - элементарный
заряд, m - масса электрона, v – его
скорость движения по n-ой орбите радиуса r.
m - масса электрона, е - элементарный
заряд, 0 – электрическая постоянная
(0 = 8,8510-12 Ф/м), n = 1, 2, 3 …
me 4 1
Еп = 8h 2  02 n 2
m – целое число, определяющее серию,
n - целое число, определяющее отдельные линии этой серии и принимающее значения, начиная с m+1, R, R’
– постоянные Ридберга
Обобщенная формула Бальмера
1
1

),
m2 n2
1
1
1
 R' ( 2  2 )

m
n
  R(
26
4.2. Примеры решения задач
Пример 1. Рассчитать, согласно теории Бора, для любого состояния водорода:
а) радиус rn орбиты электрона в атоме; б) линейную скорость vn электрона в атоме;
в) угловую скорость n электрона атоме; г) электростатическую силу Fn притяжения
к ядру; д) центростремительное ускорение аn электрона в атоме; е) кинетическую
энергию электрона Екn в атоме; ж) потенциальную энергию Епn электрона в атоме; з)
полную энергию электрона Еп в атоме.
Дано:
Z=1
1) rn - ? 2) vn -?
3) n- ? 4) Fn -?
5) аn -? 6) Ек -?
7) Епn ? 8) Еп -?
Решение:
Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра.
При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами
ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона, можно записать
mev 2
Zee

,
(1)
r
4 0 r 2
здесь Z = 1, 0 = 8,8510-12 Ф/м, e, me, v, r – заряд, масса, радиус орбиты и скорость электрона соответственно. Три последние величины связаны равенством
mv rn = nħ.
(2)
Совместное решение равенств (1) и (2) позволяет определить искомые величины.
1) Выразим из (2) скорость электрона
n
,
(3)
vn 
mrn
и подставим в (1):
e2
n 2 2
.

4 0 rn
mrn2
Отсюда получили выражение для радиуса n - ой орбиты
4 0  2 2
0h 2 2
rn 
n
=
(4)
n
me 2
me 2
2) Подставив выражение (4) в формулу (3), получим для скорости электрона
следующее выражение
e2 1
е2 1
=
(5)
vn 
4 0  n 2 0 h n
3) Угловая скорость связана с линейной следующим соотношением
v
n  n .
rn
Подставив в эту формулу выражения (4) и (5), получим
me 4 1
(6)
n  3 3 3
2 0 h n
27
4) сила притяжения электрона к ядру определяется законом Кулона:
e2
Fn =
.
4 0 rn2
Подставив сюда выражение (4), получим
m 2 e 4 1
Fn = 3 4 4 .
(7)
0h n
5) Так как электростатическая сила сообщает электрону центростремительное
ускорение, то это ускорение можно найти, разделив силу на массу электрона:
Fn
me 4 1
an =
= 3 4 4.
(8)
m
0h n
6) Кинетическая энергия электрона
mv n2
me 4 1
Екn =
= 2 2 2
(9)
2
8h  0 n
7) Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра
Епn = - 
e2

4 0 rn
-
me4 1
4h 2  02 n 2
(10)
8) Полная энергия электрона равна сумме его кинетической и потенциальной
энергий
me 4 1
Еп = Екn + Епn = .
(11)
8h 2  02 n 2
Ответ: 1) rn = 52,810-12n2, м;
2) vn = 2,19106/n, м/с;
3) n= 4,131016/n3, с-1;
4) Fn = 8,3510-8/n4, Н;
5) an = 9,221022/ n4, м/с2;
6) Екn = 13,6 эВ;
7) Епn = -2732 эВ;
8) Еп = -13,6 эВ.
Пример 2. Определите изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное испусканием фотона с длиной волны  = 1,0210-7 м.
Дано:
 =1,0210-7 м
L - ?
кой орбиты
Решение:
Момент импульса электрона равен произведению его импульса на плечо импульса, т.е. в данном случае на радиус боровс-
L = mvrn.
Согласно правилу квантования орбит, можно записать
mv rn = nħ,
отсюда момент импульса L = nħ, а его изменение
L = ħ(n – m).
Поскольку атом переходит в основное состояние, то m = 1.
Согласно правилу частот,
hc
= En - Em,

28
(1)
где En и Em – полные энергии стационарных состояний атома до и после перехода соответственно. Т.к. полная энергия (см. пример 1) определяется выражением
me 4 1
Еп =- 2 2 2 ,
8h  0 n
то правило частот можно представить в виде
hc
me 4 1
1
= 2 2 ( 2  2)

8h  0 m
n
или
1
1
1
(2)
 R' ( 2  2 ) ,

m
n
me 4
7 -1
где R’ =
=
1,110
м – постоянная Ридберга.
8c 02 h 3
Выразим n из выражения (2):
n
m 2 R '
R'm 2
и подставим его в формулу (1)


R '
.

1
L = mħ 
2


R
'

m


-34
Ответ: L = 2,110 Джс = 2ħ.
Пример 3. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в видимой части спектра водорода (серии Бальмера).
Дано:
Z=1
m=2
Еmax - ?
Еmin - ?
Решение:
Энергия фотона
 = h.
Согласно обобщенной формуле Бальмера, частота  света,
излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния на другое, равна
1
1
  R( 2  2 ) ,
m
n
где m = 2, что соответствует серии Бальмера, m = 3, 4, 5 … Очевидно, что минимальной энергии фотона соответствует m = 3, а максимальному значению энергии
будет отвечать m = . Тогда
1  5
 1
Еmin = hR 2  2   hR ,
3  36
2
1  1
 1
Еmax = hR 2  2   hR .
  4
2
-19
Ответ: Еmin = 3,0310 Дж = 1,89 эВ, Еmax = 5,4510-19 Дж = 3,41 эВ
Пример 4. Определить потенциал ионизации атома водорода.
29
Дано:
Z=1
i - ?
Решение:
Энергия ионизации равна произведению заряда электрона е
на потенциал ионизации атома:
Еi = еi.
С другой стороны, энергию ионизации можно рассчитать как
Еi = hi,,
где i,, - частота света, излучаемого атомом при переходе электрона с первой
орбиты за пределы притяжения его ядром. Т.е.
1 
1
Еi = hR 2  2   hR .
 
1
Из этих двух формул легко получить
hR
i =
.
e
Ответ: i = 13,6 В.
Пример 5. Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном, энергия которого  = 17,7 эВ. Определите скорость v электрона за
пределами атома.
Дано:
Решение:
Z=1
Согласно закону сохранения энергии, энергия фотона
n=1
идет на ионизацию атома водорода и придание электрону кинетической энергии
 = 17,7 эВ =
-19
= 28.310 Дж
mv 2
 = Еi +
.
v-?
2
Энергия ионизации атома
Еi = еi,
где i = 13,6 В– потенциал ионизации атома водорода (см. пример 4). Отсюда
2(  e i )
v
.
m
Дж
Проверка размерности: [v] =
= м/с.
кг
Ответ: v = 1,2 Мм/с.
Пример 4. Определите, какие спектральные линии появятся в видимой области
спектра излучения атомарного водорода под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны  = 95 нм.
Дано:
Z=1
m=2
 = 95 нм =
= 9,510-8 м
n- ?
Решение:
Согласно сериальной формуле, длины волн, излучаемых (поглощаемых) атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое
1
1
1
 R' ( 2  2 ) .
n
m
n
30
Выразив n и учтя условие задачи (m = 2), получим
1
n 
.
1 1
R' (  2 )
4 n
Номер орбиты n, на который перешел электрон после поглощения атомом кванта с энергией
hc
 = h =

найдем из следующих соображений. Полная энергия электрона, находящегося в nом стационарном состоянии
1
Еn = 2 Е1,
n
где Е1 = -13,6 эВ – полная энергия электрона, находящегося в основном (первом) стационарном состоянии (см. пример 1). Очевидно, что при поглощении кванта
электрон в атоме водорода переходит на более высокую орбиту, причем должно выполняться равенство
Еn = Е1 + ,
E1
E1
Отсюда n 
=
.
E1  
En
Рассчитаем значение n:
6,63  10 34  3  10 8
=
=2,0910-18 Дж = 13,1 эВ; Е = -13,6 + 13,1 = -0,5 эВ;
8
9,5  10
 13,6
n=
 5.
 0,5
Таким образом, в видимой части спектра появятся три спектральные линии с
длинами волн
1
 0,43410-6 м;
5 =
1 1
R' (  2 )
4 5
1
 0,48610-6 м;
4 =
1 1
R' (  2 )
4 4
1
 0,65610-6 м.
3 =
1 1
R' (  2 )
4 3
-6
Ответ: 5 = 0,43410 м; 4 = 0,48610-6 м; 3 = 0,65610-6 м.
31
4.3. Задачи для практических занятий
1. Определить частоту  обращения электрона вокруг ядра атома водорода при
движении по второй боровской орбите.
2. Вычислить круговую частоту вращения электрона на второй боровской орбите для иона гелия He+.
3. Определить импульс p электрона на первой боровской орбите атома водорода.
4. Используя теорию Бора, найти кинетическую энергию Ек3 электрона на
третьей орбите атома водорода.
5. На какое расстояние r смещается в радиальном направлении электрон, переходящий с первой на четвертую боровскую орбиту атома водорода?
6. Определить потенциальную энергию Еп2 электрона, находящегося на второй
боровской орбите атома водорода.
7. Определите, на сколько изменилась энергия Е электрона в атоме водорода
при излучении атомом фотона с длиной волны  = 4,8610-7 м.
8. Во сколько раз отличаются напряженности Е электрического поля на второй
и третьей боровских орбитах атома водорода? Найти эти напряженности.
9. Определить орбитальный магнитный рm момент электрона, находящегося в
атоме водорода на первой боровской орбите.
10. Определите частоту света, излучаемого атомом водорода, при переходе
электрона на уровень с главным квантовым числом n = 2, если радиус орбиты электрона изменился в k = 9 раз.
11. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны
 = 121,5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.
12.* Позитроний – водородоподобная система, состоящая из позитрона и электрона, вращающегося относительно общего центра масс. Применяя теорию Бора,
определите минимальные размеры подобной системы.
13. Электрон в атоме водорода перешел из основного состояния в возбужденное, получив энергию Е = 12,8 эВ. Какова наибольшая длина волны, которую может
теперь излучить атом водорода.
14. Фотон с энергией  = 12,12 эВ, поглощенный атомом водорода, находящемся в основном состоянии, переводит атом в возбужденное состояние. Определите
главное квантовое число этого состояния.
15. Определить для атома водорода: 1) энергию Е связи электрона в основном
состоянии; 2) потенциал ионизации I; 3) первый потенциал возбуждения1 1; 4)
длину волны, излучаемую атомом при переходе электрона со второй орбиты на первую.
1
Первый потенциал возбуждения – это ускоряющее напряжение, соответствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние.
32
16. Определить наибольшую max и наименьшую min энергии фотона в ультрафиолетовой серии водорода (серии Лаймана).
17. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, переводят в возбужденное состояние. При переходе из возбужденного состояния в основное в спектре
излучения атома последовательно наблюдают два кванта с длинами волн 1=1876 нм
и 2 = 103 нм. На каком энергетическом уровне находился атом в возбужденном состоянии?
18. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света,
чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три
спектральные линии?
19. Определить длину волны  спектральной линии атомарного водорода, частота которой равна разности частот двух линий серии Бальмера: 1 = 486,1 нм и
2 = 410,2 нм. Какой серии принадлежит эта линия?
20. Атом водорода поглотил квант света с длиной волны  = 800 Å. При этом
произошла ионизация атома. С какой скоростью вырванный из атома электрон будет двигаться вдали от ядра?
21. Атом водорода поглощает фотон, вследствие чего электрон, находившийся
на второй боровской орбите, вылетает из атома со скоростью v = 6105 м/с. Чему
равна частота фотона?
22. Какой минимальной кинетической энергией Eкmin должен обладать атом водорода, чтобы при неупругом лобовом столкновении с другим, покоящимся, атомом
водорода один из них оказался способным испустить фотон. До соударения атомы
находились в основном состоянии.
23. Найти номер боровской орбиты, соответствующей возбужденному состоянию атома водорода, если известно, что при переходе в основное состояние этот
атом испустил два фотона. Импульс первого фотона р = 1,3510-27 кгм/с, а второму
соответствует частота, равная красной границе фотоэффекта для материала, работа
выхода электрона из которого А = 10,2 эВ.
24. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому
принадлежит данный спектр.
25. Одну из линий серии Бальмера атома водорода наблюдают с помощью дифракционной решетки. Спектр первого порядка этой линии виден под углом
 = 9,7210-2 рад. Постоянная решетки d = 5 мкм, свет на решетку падает нормально.
Определить номер орбиты n, при переходе с которой излучается эта линия.
4.4. Домашнее задание
1. Определить силу тока I, обусловленную движением электрона по первой боровской орбите атома водорода.
33
2*. Если в атоме водорода электрон заменить отрицательным  - мезоном, образуется система, которая называется мезоатомом. Пользуясь теорией Бора, найти
радиус r мезоатома в состоянии с наименьшей энергией. Масса  - мезона
m = 1,8810-28 кг, а заряд равен заряду электрона.
3. Для атома водорода рассчитать наибольшую max и наименьшую min длины
волн в первой инфракрасной серии спектра (серии Пашена).
4. Протон, движущийся со скоростью v0 = 4,6104 м/с, сталкивается с неподвижным атомом гелия. После удара протон отскакивает назад со скоростью
v = 0,5v0, а атом переходит в возбужденное состояние. Вычислить длину волны света, который излучает атом гелия, возвращаясь в первоначальное состояние.
34
5. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ.
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА
5.1. Элементарная теория
Гипотеза де Бройля: с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс р, а с другой – волновые характеристики – частота  и длина
волны .
Соотношение неопределенностей Гейзенберга:
.
x рх 
h
2

h
p
h – постоянная Планка, x – неопределенность координаты, р – неопределенность импульса.
Е – неопределенность энергии некоторого
состояния системы, t – промежуток времени, в течении которого она существует.
Соотношение неопределенностей для
энергии и времени:
Е t
E =h
h
2
5.2. Примеры решения задач
Пример 1. Кинетическая энергия электрона равна1 кэВ. Определите длину
волны де Бройля.
Дано:
Решение:
Ек = 1 кэВ =
Согласно формуле де Бройля, длина волны электрона бу-16
дет определяться формулой
=1,610 Дж
-31
h
m=9,1110 кг
 ,
p
- ?
где p – импульс электрона.
Из формулы для кинетической энергии
p2
Ек =
2m
выразим импульс частицы:
p  2mE к
и подставим его в формулу де Бройля:
h
.

2mE к
Ответ:  = 38,8 пм.
35
Пример 2. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен
пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 нм.
Дано:
 = 1 нм = 10-9 м
m= 1,67510-27 кг
U- ?
Решение:
p2
Кинетическая энергия Ек =
протона, прошедшего
2m
ускоряющую разность потенциалов, равна
p2
= eU,
2m
где е – заряд протона. Отсюда ускоряющая разность потенциалов
U=
Согласно формуле де Бройля,  
p2
.
2m e
h
, откуда импульс протона
p
h
p .

Тогда
2
1 h
U=
  .
2me   
Ответ: U =0,822 мВ.
Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные
линейные размеры атома.
Дано:
Решение:
Т = 10 эВ =
Неопределенность координаты и импульса электрона
-18
= 1,6 10 Дж
связаны соотношением
lmin -?
хр  ħ,
(1)
где х – неопределенность координаты электрона; р – неопределенность его импульса.
Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться
где-то в пределах области с неопределенностью
l
х = .
2
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде
l
h
Δр 
,
2
2
откуда
l
36
h
,
Δр
(2)
Физически разумная неопределенность импульса р не должна превышать значения самого импульса р, т.е.
р  р.
Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением
р  2mT .
Заменим р значением
2mT . Переходя от неравенства к равенству, получим
h
l min 
.
 2mT
Ответ: lmin = 1,2410-10 м = 124 пм.
Пример 4. Длина волны излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния t = 10-8 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к
энергии, излученной атомом.
Дано:
 = 0,6 мкм =
= 610-7 м
t = 10-8 с
E
-?
E
Решение:
Согласно соотношению неопределенностей энергии и
времени, ширина энергетического уровня (неопределенность
энергетического состояния системы) связана со средним временем жизни возбужденного состояния соотношением
h
Е t .
2
Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением
h
Е 
.
(1)
2  t
Поскольку энергия фотона связана с длиной волны  соотношением
hc
Е=
,
(2)

то искомое отношение будет равно
E

=
.
E
2ct
E
Ответ:
= 3,210-8.
E
5.3. Задачи для практических занятий
1. Определит длину волн де Бройля для электрона, движущегося со скоростью
v: 1) 1 Мм/с; 2)200 Мм/с;
2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью
0,6с (с—скорость света в вакууме).
37
3. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
4. Протон обладает кинетической энергией 1 кэВ. Определить дополнительную
энергию, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.
5. Электрон обладает кинетической энергией 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия электрона уменьшится
вдвое?
6. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны?
7. Кинетическая энергия электрона равна удвоенному значению его энергии
покоя. Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.
8. Найти длину волну де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов U: 1) 1кВ; 2) 1МВ
9. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы
длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?
10. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Определила длины де Бройля электрона.
11. Определить длину волны де Бройля электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны 3 нм.
12. На грань некоторого кристалла под углом 60° к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить
скорость электронов, если испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
13. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует неопределенности импульса в 1%?
14. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна
дебройлевской длине волны, определить относительную неточность ∆р/р импульса
этой частицы.
15. Определить неточность в определении координаты электрона, движущегося
в атоме водорода со скоростью 1,5·106 м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10% от ее величины.
16. Определить неточность в определении координаты электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов 0,1 МэВ, если неопределенность импульса составляет 1% от его величины.
17. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного области размером 0,20нм.
18. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальную энергию, которой может обладать частица массы m, находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме ширины a.
38
19. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить,
исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.
20. Электрон с кинетической энергией 4 эВ локализован в области размером
1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
21. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр
0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана 20 см, ускоряющее напряжение
10 кВ. Оценить с помощью соотношения неопределенность координаты электрона
на экране.
22. Используя соотношение неопределенностей и приняв величину ∆t равной
периоду полураспада, оценить естественную ширину энергетического уровня для
ядра иридия, периода которого равен 10-10 с.
23. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10-8 с.
При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длинна
волны которого равна 600 нм. Оценить ширину излучаемой спектральной линии,
если не происходит ее уширение за счет других процессов.
24. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10 -8 с.
При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длинна
волны которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширение за счет других процессов.
25. Оценить относительную ширину ω/ω спектральной линии, если время
жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10-8 и длина волны излучаемого
фотона 0,6 мкм.
5.4. Домашнее задание
1. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его
дебройлевская длина волны уменьшалась от 100 пм до50 пм?
2. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, имеет длину
волны де Бройля, равную 0,0202 Å. Найти массу этой частицы, если заряд частицы
численно равен заряду электрона.
3. Оценить наименьше ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
4. Используя соотношение неопределенностей оценить ширину энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10 -8 с).
39
6. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ
6.1. Элементарная теория
Одномерное временное
уравнение Шредингера
 
1   2   1   1  
1  2   2m
 r
 
 sin   

  E  U   0
  sin 2   2   2
r 2 r  r  r 2 r  sin   
Одномерное уравнение Шредингера для
свободной частицы

2 2
i

t
2m x 2
Волновая функция, описывающая
одномерное движение свободной частицы
i – мнимая единица, m – масса
частицы, (x, t)– волновая
функция, ћ = h , U(x, t) – по2
тенциальная энергия частицы в
заданном поле сил, (х) – координатная или амплитудная
часть волновой функции, Е –
полная энергия частицы, р импульс частицы, А - амплитуда волны де Бройля, l – ширина
потенциальной «ямы», (x) 2 плотность вероятности.
i

(x, t) = Aexp (px - Et)
Одномерное уравнение Шредингера для
стационарных состояний
 2  2m

( E  U )  0
x 2  2
 2  2m
 2 E  0
x 2

Вероятность обнаружить частицу в
данной области
W
x2
  ( x)
2
Энергия частицы, находящейся на n–
ом энергетическом уровне в одномерной прямоугольной потенциальной «яме»
dx
x1
2 2 2
En 
n
2ml 2
Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера
конечной ширины
 2d

D  exp 
2m( E  U ) ; W 
 

x2
  ( x)
2
Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной «яме»
dx
собственная волновая функция, описывающая движение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной «яме»
x1
m -масса частицы, Е –энергия частицы,
U – высота потенциального барьера, d –
ширина барьера
 n ( x) 
40
2
n
sin
x
l
l
6.2. Примеры решения задач
Пример 1. Распределение вероятностей значений некоторой величины х описывается функцией f (x) ~ x при х  a. Вне этого интервала f(x) = 0. Здесь А и а –
постоянные. Считая, что а задано, найти: а) наиболее вероятное хвер и среднее <x>
значения величины х; б) вероятность нахождения х в интервале (0; a/2).
Дано:
f(x)  x при 0  х  a
f(x) = 0 при х < 0, х > a
а) хвер, <x> - ?
б) W (0 < х < a/2) - ?
Решение:
Функция распределения может быть представлена
в виде
0, x  0, x  a,
f ( x)  
(1)
c
x
,
0

x

a
,

где с – положительная константа, определяемая из условия нормировки

 f ( x)dx  1.
(2)
0
Подставляя (1) в (2), находим
f(х)
fmax
a
c  x dx  1 ,
0
откуда
c
3
3
.
(3)
0
a
х
Рис. 4
2a 2
Наиболее вероятное значение хвер величины х – это такое значение х, при котором функция распределения f(x) достигает максимального значения fmax. Из рис. 4
видно, что fmax = f(a) и, следовательно,
хвер = a.
Среднее значение <x> величины x вычисляется по формуле

<x> =
 xf ( x)dx .

Подставляя (1) в (4) и учитывая (3), находим
3  32
3
x dx  a .
<x> =

3
5
2a 2  
Вероятность нахождения x в интервале (0, а/2) определяется соотношением
a/2
W(0 < х < a) =
 f ( x)dx .
0
Учитывая (1) и (3), находим
W(0 < х < a) =
2a
Ответ: хвер = a, <x> =
a/2
3
3
2
3
1
a, W=
.
5
8
41

0
xdx 
1
.
8
(4)
Пример 2. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной» яме шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии
(n = 2). Определите вероятность нахождения частицы в средней трети «ямы».
Дано:
n=2
l
2l
x
3
3
W-?
Решение:
Вероятность обнаружить частицу в интервале x1<x < х2 определяется равенством
W
x2
 ( x) dx ,
2
(1)
x1
где (x) - нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.
Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние частицы в потенциальной «яме», имеет вид
2
n
 n ( x) 
sin
x.
l
l
2
Возбужденному состоянию (n = 2) отвечает собственная функция
2
2
 2 ( x) 
sin
x.
l
l
(2)
Подставив 2(х) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим
x
2 2 2 2
W   sin
x  dx .
(3)
l x1
l
l
2l
и x2 =
. Подставим эти пределы интегриро3
3
2
1
4 
вания в формулу (3), произведем замену sin 2
x  1  cos
x  и разобьем интеl
2
l 
грал на два:
2l / 3

2 2 l / 3 2 2
1  2l / 3
4
W   sin
x  dx    dx   cos x  dx  =
l l /3
l
l  l /3
l
l /3

Согласно условию задачи, x1 =
2l / 3
 1l
l  8
4  
1  2l / 3 l
4
 sin  .
 x l / 3 
sin
x
 sin
   
3
3 
l 
4
l l / 3  l  3 4 
Заметив, что sin
8

4

 sin , а sin
  sin , получим
3
3
3
3
1 1 


W 
 sin  sin   0,195.
3 4 
3
3
Ответ: W  0,195.
42
Пример 3. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной
«яме» с бесконечно высокими «стенками». Определите, во сколько раз изменяется
E n 1,n
отношение разности соседних энергетических уровней
частицы при перехоEn
де от n = 3 к n = 8.
Дано:
n=3
n = 8
E n 1,n
Решение:
Собственное значение энергии частицы, находящейся на n –
ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном
прямоугольном потенциальном «ящике», определяется выражени-?
ем
En
2 2 2
(1)
En 
n ,
2ml 2
где l – ширина ящика. Тогда разность соседних энергетических уровней En+1 и
En будет равна
2 2
2 2
2
2
(2)
n  1  n 
2n  1.
E n 1,n  E n 1  E n 
2ml 2
2ml 2
Разделив выражение (2) на формулу (1), получим выражение, определяющее
E n 1,n
отношение разности соседних энергетических уровней
частицы:
En
E n 1,n 2n  1

.
(3)
En
n2
Подставив значение n = 3, получим
E n 1,n 7
 ,
En
9
а подстановка n = 8 даст
E n '1,n ' 17
 .
En'
64
E n 1,n
Таким образом, при переходе от n = 3 к n = 8 величина
изменится в
En
7 17

раз, т.е. уменьшится приблизительно в 3 раза.
9 64
Ответ: 3.


Пример 4. Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении
оси х, встречая на своем пути потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной
d = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой
же, как для электрона в вышеупомянутых условиях.
43
Дано:
Решение:
Е = 5 эВ =
Вероятность прохождения частицы через потенциальный
-19
барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффи= 810 Дж
циентом прозрачности:
U = 10 эВ =
-18
D = W.
= 1,610 Дж
Тогда вероятность того, что протон пройдет через пряd = 0,1 нм =
-10
моугольный потенциальный барьер, выразится соотношением
= 10 м
 2d

mp =1,6710-27 кг
W p  exp 
2m p ( E  U )  .
-31
mе =9,110 кг
 

d
-?
d'
Подставив заданные значения и произведя вычисления, получим
 2  10 10
-43
 27
19 
W p  exp 
2

1
.
67

10
(
8

16
)

10
 = 1,6710 .
34
 1,05  10

Вероятность прохождения электроном потенциального барьера определяется
выражением
 2d

We  exp 
2me ( E  U )  .
 

По условию задачи, вероятность прохождения электроном потенциального
барьера шириной d и вероятность прохождения протоном потенциального барьера
шириной d должны быть одинаковыми:
 2d

 2d '

exp 
2me ( E  U )   exp 
2m p ( E  U )  .
 

 

Отсюда
2d
2d '
2me ( E  U ) 
2m p ( E  U ) ,


или окончательно
d

d'
mp
me
=42,8.
Ответ: 3.
6.3. Задачи для практических занятий
1. Функция распределения вероятностей значений некоторой величины х имеет
вид f = Ах при 0 ≤ х ≤ а. Вне этого интервала f = 0. Здесь А и а - постоянные. Считая,
что а задано, найти: 1) значение функции f при х = а; 2) средние значения х и х2.
2 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U(х) в стационарном состоянии ψ(х) =Аехр(-ах2), где А и а - постоянные (а > 0). Найти энергию Е частицы и вид U(х), если U(0) =0.
44
3. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности ∆En.,n+1 соседних энергетических
уровней к энергии Еn частицы в трех случаях: 1) n =2; 2) n = 5; 3) n → .
4. Электрон находится в потенциальной яме шириной 5 Å. Определить наименьшую разность энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электронвольтах.
5. Электрон находится в прямоугольном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками. Ширина ящика 0,2 нм, энергия электрона в ящике 37,8 эВ. Определить номер n энергетического уровня.
6. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты ‹х› электрона (0 < х < l).
7. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова
вероятность нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети
ящика?
8. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
1
2
9. Электрон с энергией Е = 26 эВ встречает на своем
пути потенциальный барьер высотой 9 эВ (рис 5). Опре- U
делить коэффициент преломления волн де Бройля на
Е
границе барьера.
10. Протон с энергией Е = 1 МэВ изменил при про0
x
хождении потенциального барьера дебройлевскую длину
Рис. 5
волны на 1%. Определить высоту потенциального барьера.
11. Определить коэффициент преломления волн де
1
2
Бройля для протонов на границе потенциальной ступени
рис 6. Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ, а высота потенциальной ступени равна 9 эВ.
12. Коэффициент отражения протона от потенциU
ального барьера равен 2,510-5. Определить, какой процент составляет высота барьера от кинетической энергии
х
падающих на барьер протонов.
Рис. 6
13. При каком отношении высоты потенциального
барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения 0,5?
14. Определить показатель преломления волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения 0,5.
15. Электрон с энергией Е = 10эВ падает на потенциальный барьер. Определить
высоту U барьера, при которой показатель преломления волн де Бройля и коэффициент отражения совпадают.
45
16. Кинетическая энергия электрона в два раза превышает высоту потенциального барьера. Определить коэффициент отражения и коэффициент прохождения
электронов на границе барьера.
17. Коэффициент прохождения электронов через низкий потенциальный барьер
равен коэффициенту отражения. Определить, во сколько раз кинетическая энергия
электронов больше высоты потенциального барьера.
18. Коэффициент прохождения протонов через потенциальный барьер равен
0.8. Определить показатель преломления волн де Бройля на границе барьера.
19. Электрон с энергией Е = 100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой
64 эВ. Определить вероятность того, что электрон отразится от барьера.
20. Найти вероятность прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U - Е = 1 эВ, если ширина барьера: 1) 0.1 нм;
2) 0,5 нм.
21. При какой ширине прямоугольного потенциального барьера коэффициент
прозрачности для электронов равен 0,01? Разность энергий U - Е = 10 эВ.
22. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. При какой
разности энергий U - Е вероятность прохождения электрона через барьер равна
0,99?
6.4. Домашнее задание
1. Распределение вероятностей значений некоторой величины х описывается
функцией f =Ах(а -х) при 0< х <а. Вне этого интервала f = 0. Здесь А и а - постоянные. Считая, что а задано, найти: 1) наиболее вероятное значение x и соответствующее ему значение функции f; 2) средние значения х и x2.
2. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии
между уровнями с n1=2 и n2=3 составляет 0,30 эВ.
3. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4, равноудаленном от стенок одномерной
потенциальной ямы шириной l.
4. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной
0,5 нм. Высота барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности, если энергия электрона: 1) Е =10 эВ; 2) Е =100 эВ.
46
7. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ ПО СОСТОЯНИЯМ. СТРОЕНИЕ АТОМА
8.1. Элементарная теория
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сферических
координатах
1   2   1   1  
 
1  2   2m
E  U   0
r

 sin    2


  sin  2   2
r 2 r  r  r 2 r  sin   
Собственное значение энергии
электрона в атоме водорода
Потенциальная энергия в атоме
водорода
Ze2
U (r )  
4 0r
En  
Волновая функция, отвечающая
основному состоянию (1s – состоянию)
100(r ) 
1
a
3
Z 2e4m
32 2  02  2 n 2
Волновая функция, отвечающая 2s
– состоянию
e r / a
 200(r ) 
r

2  e r /(2 a )

a
4 2a3 
1
Первый боровский радиус
a
4 0
= 52,9 пм
e4m
 = n, l, m (r, , )– волновая функция, описывающая состояние электрона в
атоме водорода, m – масса частицы, ћ =
h
, U – потенциальная энергия час2
тицы (являющаяся функцией координат), Е – полная энергия частицы, Z –
зарядовое число, е - элементарный заряд, 0 – электрическая постоянная, n, l,
m – квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное, dV – элемент объема (в сферических координатах dV = r2sindddr), (r, , ) – координаты
некоторой точки.
Вероятность обнаружить электрон в области,
ограниченной элементом объема
2
dW   n,l , m (r , , ) dV
47
Состояние электронов в атоме однозначно определяется набором четырех
квантовых чисел:
главного n (n = 1, 2, 3, …)
орбитального l (l = 0, 1, 2, …, n – 1)
магнитного ml (ml = 0, 1, 2, …l)
магнитного спинового ms (ms =  ½)
Принцип Паули: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального l,
магнитного ml и магнитного спинового ms, т.е.
Z(n, l, ml, ms) = 0 или 1.
Максимальное число электронов
находящихся в состоянии с данным n
Z(n) = 2n2
Главное квантовое число n
Символ оболоч.
Макс.число электронов
в оболочке
Орбитальное
квантовое число
Символ
подоболочки
Макс.число электронов в подоболочке
1
2
3
4
5
K
L
M
N
O
2
8
18
32
50
0
0
1
0
1
1s 2s 2p 3s 3p
2
2
6
2
Орбитальный момент импульса электрона
Ll   l (l  1)
ћ=
Максимальное число электронов
находящихся в состоянии с данным l
Z(l) = 2(2l +1)
6
2
0
2
3
4
3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p
5d
5f
5g
10
10
14
18
2
1
2
3
0
6 10 14 2
1
6
Проекция орбитального момента импульса электрона на направление внешнего
магнитного поля
Ll,z =ћml
h
- постоянная Планка, l – орбитальное квантовое число, ml
2
– магнитное квантовое число.
48
Магнитный момент импульса электрона
Проекция магнитного момента импульса электрона на направление внешнего
магнитного поля
l   B l (l  1)
В – магнетон Бора (В =
l,z =Вml
e
= 0,92710-23 Дж/Тл), l – орбитальное кванто2m
вое число, ml – магнитное квантовое число.
Собственный момент импульса электрона
Проекция спинового момента импульса
электрона на направление внешнего
магнитного поля
Ls   s( s  1)
ћ=
Ls,z =ћms
h
- постоянная Планка, s – спиновое квантовое число (s = 1 )., ms –
2
2
спиновое магнитное квантовое число.
Спиновый магнитный момент
импульса электрона
 s  2 B s( s  1)
В – магнетон Бора (В =
Проекция спинового магнитного момента
импульса электрона на направление внешнего магнитного поля
s,z =2Вms
e
= 0,92710-23 Дж/Тл), s – спиновое квантовое
2m
число. ms – спиновое магнитное квантовое число.
Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм) (L)J
 – мультиплетность ( = 2S + 1), L, S,
J – квантовые числа
Правила отбора для квантовых чисел:
1) S = 0, ms = 0;
2) L =1, ml = 0, 1;
3) J = 0, 1, mJ = 0, 1.
Не осуществляются переходы =0  J=0, а при J=0 - переходы mJ = 0  mJ =0.
49
7.2. Примеры решения задач
Пример 1. Плотность вероятности распределения частиц по плоскости заисит
от расстояния до точки О как f(r) =A(1-r2/a2), м-2, если r  a, и f(r) = 0, если r  a.
Здесь a задано, А – некоторая неизвестная постоянная. Найти: а) наиболее вероятное
расстояние rвер частиц от точки О; б) постоянную А; в) среднее значение <r> частиц
от точки О.
Дано::
Решение
2 2
Вероятность того, что частица находится в
f(r) =A(1-r /a ), если r  a
малой окрестности некоторой точки В плоскости,
f(r) =0, если r > a
расположенной на расстоянии r от точки О, опреа) rвер- ?
деляется формулой
б) A - ?
dW = f(r)dS,
в) <r> - ?
где dS – площадь указанной окрестности точки В (см. рис. 6).
Отсюда следует, что вероятность нахождеy
ния частицы в узком кольце, ограниченном окружностями с радиусами r и r + dr и с общим
центром в точке О (см. рис. 6), равна
a
B
dW = f(r)2rdr.
dS
Таким образом, плотность вероятности распределения частиц на плоскости по их расстояО
r
ниям от точки О имеет вид
x
dr
F(r) = 2f(r)r.
(1)
Эта функция должна удовлетворять условию нормировки:


 F (r )dr  2 f (r )rdr  1 .
0
(2)
Рис. 6
0
Наиболее вероятное расстояние rвер частиц от точки О – это значение r, при котором функция F(r) имеет максимум и, следовательно, выполняется условие
dF (r )
(3)
0
dr
Подставляя в (1) явное выражение для f(r), находим
2Ar(1  r 2 / a 2 ), 0  r  a
f (r )  
(4)
0
,
r

a
.

Следовательно, при 0  r  a
dF (r )
(5)
 2A(1  3r 2 / a 2 ) .
dr
Подставляя (5) в (3) и решая полученное уравнение относительно r, получим
a
.
rв ер 
3
С учетом (4) условие нормировки (2) принимает вид
a
2A r (1  r 2 / a 2 )  1.
0
50
Отсюда следует, что
2
A
.
a 2
Среднее значение расстояния частиц от точки О вычисляется по формуле

<r> =  rF (r )dr .
(6)
0
Подставляя (4) в (6) и вычисляя интеграл по r, находим
8
<r> = a.
15
2
a
8
Ответ: rв ер 
, A  2 , <r> = 15 a.
a
3
Пример 2. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность
W пребывания электрона внутри сферы радиусом r = 0,1а, где а – радиус первой боровской орбиты. Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.
Дано:
1s – состояние
r = 0,1а
а = 52,9 пм = 52,910-12 м
W-?
Решение:
Вероятность обнаружить электрон в окрестностях
точки с координатами r, ,  в объеме dV определяется
равенством
2
dW  100(r ) dV ,
(1)
где 100(r) – собственная нормированная волновая функция, отвечающая основному состоянию
1
 100 (r ) 
e r / a .
3
a
Благодаря сферической симметрии  - функции вероятность обнаружить электрон на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV,
отвечающий одинаковой плотности вероятности, можно представить в виде объема
сферического слоя радиусом r и толщиной dr:
dV = 4r2dr.
С учетом выражений 100(r) и dV формула (1) запишется в виде
dW 
1
2
e  r / a 4r 2 dr =
4
3
e  2 r / a r 2 dr .
a
a 3
При вычислении вероятности удобно перейти к атомным единицам, приняв в
качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты a. Если ввести безразмерную величину   r , то
a
r2 = 2a2, dr = ad
dW = 4e22d .
Вероятность найдем, интегрируя dW в пределах от r1 = 0 до r2 = 0,1а (или от
1 = 0 до 2 = 0,1):
51
0,1
W  4  2e 2d .
0
Этот интеграл может быть точно вычислен интегрированием по частям, однако
при малых  (max = 0,1) выражение е-2 можно разложить в ряд Маклорена:
1
е-2 = 1 - 2 + (2) 2  ...
2!
и произвести приближенное вычисление.
Пренебрегая всеми членами в степени выше первой, запишем интеграл в виде
0,1
0,1
0,1
W  4  (1  2) d = 4   d  8  3d .
2
2
0
0
0
Проинтегрировав данное выражение, получим
0,1
0,1
4 3
8 4
 
W= 
.
3
4
0
0
Таким образом, искомая вероятность равна
4
W = 10-3 – 0,210-3 = 1,1310-3.
3
-3
Ответ: W = 1,1310 .
Пример 3. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3р – состоянии. Определите: 1) орбитальный момент импульса электрона; 2) максимальное
значение проекции орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля; 3) магнитный момент импульса электрона.
Дано:
Решение:
3р – состояние
3р – состоянию соответствуют следующие значения квантовых чисел:
Ll, - ?, Ll,z - ?,
n = 3, l = 1, ml = 0,  1.
l - ?
Тогда орбитальный момент импульса электрона будет равен
Ll   l (l  1)   2 ,
максимальное значение его проекции на направление внешнего магнитного поля
Ll,z max =ћml max = ћ,
а магнитный момент импульса электрона
l   B l (l  1)   B 2 .
Ответ: Ll   2 , Ll,z max = ћ,  l   B 2.
Пример 4. Найти число электронов в атоме, у которого в нормальном состоянии заполнены K -, L – слои и 3s-, 3p – оболочки.
Дано:
K -, L – слои,
3s-, 3p – оболочки
Z-?
Решение:
Максимальное число электронов, находящихся в состоянии, определяемым данным главным квантовым числом, равно
52
Z(n) = 2n2.
Максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно
Zl = 2(2l+1).
Руководствуясь этими формулами, можно составить следующую таблицу:
K – слой:
n = 1,
Z(nK) = 2;
L – слой:
n = 2,
Z(nL) = 8;
3s – оболочка:
l =0
Z(ls) = 2;
3p – оболочка
l =1
Z(ls) = 6.
Таким образом, в атоме, у которого в нормальном состоянии заполнены K -, L –
слои и 3s-, 3p – оболочки содержится Z = Z(nK) + Z(nL) + Z(ls) + Z(ls) = 18 электронов.
Ответ: Z = 18.
7.3. Задачи для практических занятий
1. Плотность вероятности распределения частиц по плоскости зависит от расстояния r до точки О как f(r) = A (1 - r/a) м-2, если r ≤ а, и f(r)= 0, если r ≥ a. Здесь а
задано, А некоторая неизвестная постоянная. Найти: 1) наиболее вероятное расстояние rвер частиц от точки О; 2) среднее значение расстояния частиц от точки О.
2. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой
функцией ψ(r)=Ае-r/а Определить отношение вероятностей пребывания электрона в
сферических слоях, толщиной 0,01а и радиусами r1=0,5а и r2=1,5а.
3. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого
волновая функция имеет вид ψ(r) = А(1+ar) e-аr, где А, а - некоторые постоянные.
4. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон. Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.
5.Вычислить момент импульса орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) p-состоянии.
6. Определить возможнее значения проекции момента импульса орбитального
движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон
находится в d-состоянии.
7. Электрон в атоме находится в f - состоянии. Найти орбитальный момент импульса электрона и максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.
8. Момент импульса орбитального движения электрона в атоме водорода равен
1,8310-32 Джс. Определить магнитный момент обусловленный орбитальным движением электрона.
9. Вычислить спиновой магнитный момент электрона и проекцию магнитного
момента на направление внешнего поля.
10. Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число электронов в
атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа: 1) n, l, m, ms; 2) n, l,
m; 2) n, l; 3) n.
53
11. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n = 3.
Указать число электронов в этом слое, которые имеют одинаковые следующие
квантовые числа: 1)ms = +1/2; 2) m = -2; 3) ms = -1/2 и m = 0; 4) ms = +1/2 и l = 2.
12. 1s – электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ, перешел в возбужденное состояние с максимально возможным орбитальным квантовым
числом. Определите изменение момента импульса орбитального движения электрона.
13. Определить возможные значения квантового числа J электронной системы,
для которой: 1) S = 2 и L = 1;2) S = 1 и L = 3. Найти (в единицах ħ) возможные значения полного момента импульса системы.
14. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число n =4
15. Атом находится в стоянии, мультиплетность которого равна трем, а полный
механический момент ħ 20 . Каким может быть соответствующее квантовое число
L?
16. Выписать спектральные обозначения термов атома водорода, электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом n = З.
17. Какие из термов записаны не верно: 1) 2S1; 2) 2P1; 3) 3P3; 4) 3P1/2; 5) 5D0; 6)
1
F0; 7) 8F13/2.
18. Определить максимально возможный орбитальный механический момент
атома в состоянии, мультиплетность которого равна пяти и кратность вырождения
по J - семи. Написать спектральное обозначение такого терма.
19. Найти возможные мультиплетности  термов типа: 1) D2; 2) P3/2; 3) F1.
20. Какие переходы запрещены правилами отбора:
1) 2D3/2 → 2P1; 2) 3P1 → 2S1/2; 3) 3F3 → 3P2; 4) 4F7/2 → 4D5/2.
5)2S1/2 →2P3/2; 6) S1/2 →2D3/2; 7)2P1/2 →2S1/2; 8) 2D5/2 →2P1/2; 9)42F7/2 → 2D3/2.
7.4. Домашнее задание
1. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить среднее значение
квадрата расстояния электрона от ядра. Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.
2. Электрон в атоме находится в d- состоянии. Определите: 1) орбитальный момент импульса электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса на
направление внешнего магнитного поля.
3. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число
n = 4. определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые
квантовые числа: 1) ml = -3; 2) ms = +1/2, l = 2; 3) ms = -1/2, ml = 1.
4. Определить кратности вырождения следующих термов: 1) 2D3/2; 2) 3F2; 3) 1F.
54
8. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
8.1. Элементарная теория
Условное обозначение
ядра атома:
Х – символ химического элемента, Z - зарядовое число (число электронов в атоме), A – массовое число (число нуклонов в ядре), N – число
нейтронов в атоме.
A
Z X
A=Z+N
Ядра
Изотопы
(одинаковое Z,
но разное A)
Изобары
(одинаковое А,
но разное Z)
Изотоны
(одинаковое N)
Модели ядра
Капельная. Основана
на аналогии между поведением нуклонов в
ядре и поведением молекул в капле жидкости
Оболочечная. Предполагает распределение нуклонов в ядре по дискретным
энергетическим уровням
согласно принципу Паули
Радиус ядра
r  r0 3 A
Дефект массы атомного ядра
m = Zmp + (A - Z)mn – mя
m =ZmH + (A – Z)mn– mа
Энергия связи ядра
Есв=mc2
Удельная энергия связи
Еуд= E св
Обобщенная. Синтез
капельной и оболочечной моделей
r0 - коэффициент пропорциональности, для
всех ядер r0 =1,410-15 м
mя – масса ядра, mр, mn,– соответственно массы протона и нейтрона, mH – масса изотопа
1
водорода 1 H , mа – масса атома.
Энергия, которую необходимо затратить, чтобы
расщепить ядро на отдельные нуклоны
Характеризует устойчивость ядер: чем больше
удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.
A
55
Радиоактивность
Явление спонтанного превращения атомных ядер в другие
ядра с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных частиц.
Искусственная (наблюдается у изотопов, полученных в
ядерных реакциях)
Радиоактивный
распад. Естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее
самопроизвольно
Естественная
(наблюдается у неустойчивых изотопов, существующих в природе)
Закон радиоактивного
N – число нераспавшихся атомов в момент
времени t, N0 – число нераспавшихся атомов в момент времени, принятый за начальный, е – основание натуральных логарифмов,  - постоянная радиоактивного
распада, Т1/2 – период полураспада, А - активность
распада N  N0e
T1 / 2 
ln 2

 t
А = N
Типы радиоактивных излучений
Альфа - излучение
Представляет собой поток  - частиц
Обозначение: 24 He
q = + 2е; m = 4 а.е.м
A
A 4
4
Z X  Z  2Y  2 He
Бета – излучение - - распад - поток быстрых электронов + - распад - поток
быстрых позитронов
Обозначение:
Электрон: 10 e , позитрон 10 e
qэ = - е; qр = - е; m = mе
Гамма - излучение
Представляет собой поток  - квантов
(фотонов)
Обозначение: 
q = 0; m = 0
A
A
0
Z X  Z 1Y  1 e
A
A
0
Z X  Z 1Y  1 e
Правила смещения
56
Ядерная реакция
Превращение атомных ядер при взаимодействиях
с элементарными частицами (в том числе и с  - квантами)
или друг с другом
Символическая запись
ядерной реакции:
X+aY+b
Ядерная реакция под действием нейтронов
A
1
A1
Z X  0 n Z Y
X (a, b) Y
A
X

(n, ) A1Y
Законы сохранения:
а) числа нуклонов А1 + А2 = А3 + А4;
б) заряда Z1 + Z2 = Z3 + Z4;
в) релятивистской полной энергии: А1 + А2 = А3 + А4;
 


г) импульса p1  p2  p3  p4
Энергия ядерной реакции:
2
Q = c [(m1+m2) – (m3+m4)]
Q = (T1+T2) – (T3+T4)
Экзотермические
(с выделением энергии)
T1+T2 > T3+T4
Условные
обозначения
p – протон,
d – дейтрон,
t – тритон,
 - альфачастица,
 - гамма - фотон
m1 и m2 – массы покоя ядра – мишени
и бомбардирующей частицы; m3 + m4 –
сумма масс покоя продуктов ядерной
реакции; T1 и T2 – кинетические энергии соответственно ядра-мишени и
бомбардирующей частицы; T3 и T4 –
кинетические энергии вылетающей
частицы и ядра – продукта реакции.
Эндотермические
(с поглощением энергии)
T1+T2 < T3+T4
8.2. Примеры решения задач
Пример 1. Определите плотность ядерного вещества, выражаемую числом нуклонов в 1 см3, если в ядре с массовым числом А все нуклоны плотно упакованы в
пределах радиуса.
Дано:
Решение:
А
Плотность ядерного вещества можно представить как
3
-6 3
V = 1 см = 10 м
отношение числа нуклонов в ядре к его объему:
-15
A
r0 = 1,410 м
N .
N-?
V
Если рассматривать ядро как шар радиуса r, то его объем может быть найден
как
57
4 3
r .
3
Радиус ядра зависит от числа нуклонов в ядре и определяется соотношением:
r  r0 3 A .
4
Тогда V = r03А, а для плотности ядерного вещества получим выражение
3
3
.
N
4r03
Ответ: N =8,71037 см-3.
V=
Пример 2. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 115 B .
Дано:
11
5
B
Решение:
Дефект массы ядра m - это разность между суммой
масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.
m = Zmp + (A - Z)mn – mя,
(1)
mB = 11,00931 а.е.м.
mH = 1,00783 а.е.м.
mn = 1,00867 а.е.м
Есв, m - ?
где Z –число протонов в ядре; A - массовое число,
равное числу нуклонов, составляющих ядро; mp mn mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
Если учесть, что mя = mа -Z me, а mp + mе = mH, то формулу дефекта массы ядра
можно представить в виде:
m =ZmH + (A – Z)mn– mа.
(2)
Подставив в выражение (2) числовые значения масс, получим
m = 51,00783 + (11-5) 1,00867 - 11,00931 = 0,08186 а.е.м.
Энергия связи Есв ядра определяется соотношением
Есв = с2m,
(3)
где с – скорость света в вакууме.
Энергию связи также найдем во внесистемных единицах (МэВ). Для этого дефект массы подставим в выражение (3) в а.е.м., а коэффициент пропорциональности
(с2) – в МэВ/(а.е.м.), т.е.
Есв = 931. m = 9310,08186 МэВ = 76,24 МэВ.
Ответ: Есв = 76,24 МэВ, m =0,08186 а.е.м.
Пример 3. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8
начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 849 с.
Дано:
N 5

N 8
t = 849 с
Т1/2 - ?
Решение:
Согласно закону радиоактивного распада, количество N
радиоактивных атомов к моменту начала отсвета определяется
выражением
N  N 0 e t ,
(1)
58
где N0 – число нераспавшихся атомов в начальный момент времени,  - постоln 2
янная радиоактивного распада, равная  
.
T1 / 2
Тогда число N распавшихся атомов будет равно
N = N0 – N = N 0 1  e t .
Согласно условию задачи,
N
5
 1  e  t  .
N
8
3
Отсюда e t  .
8
8
Прологарифмировав полученное выражение, найдем t  ln , откуда
3
t
8
ln 2  ln .
T1 / 2
3
Выразив период полураспада и подставив числовые значения, получим
ln 2
T1 / 2  t
 10 мин.
8
ln
3
Ответ: Т1/2 10 мин.


Пример 4. Определить начальную активность А0 радиоактивного магния 27Mg
массой m = 0,2 мкг, а также активность А по истечении времени t = 1 ч, Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
Дано:
Решение:
27
Mg
Начальная активность изотопа
t = 1 ч = 3600 с
А0 = N0,
(1)
Т1/2 = 10 мин = 600 с
где  - постоянная радиоактивного распада, N0– число неА0, А- ?
распавшихся атомов в начальный момент (t = 0).
m
ln 2
Если учесть, что  
, N0 
N A , то формула (1) примет вид
M
T1 / 2
mN A
А0 =
(2)
ln 2 .
MT1 / 2
Активность изотопа уменьшается со временем по закону
(3)
A  A0 e t .
Заменив в формуле (3) постоянную распада ее выражением, получим
 t  ln 2 
  A0 e ln 2
A  A0 exp 
 T1 / 2 
12
Ответ: А0 = 5,1510 Бк; А = 8,051010 Бк.
 
59

t
T1 / 2
 A0 2

t
T1 / 2
.
Пример 5. Радиоактивный изотоп 225
88 Ra претерпевает четыре  - распада и два
 -распада. Определите для конечного ядра: 1) зарядовое число; 2) массовое число.
Дано:
Решение:
225
Так как в результате  - распада зарядовое число дочернего
88 Ra
ядра становится меньше зарядового числа материнского на 2, а
Z, A - ?
после каждого - - распада оно увеличивается на единицу, то после четырех  - двух
- - распадов получится ядро с зарядовым числом
Z = 88 - 42+21 = 86.
Что касается массового числа, то после каждого  - распада оно уменьшается
на 4, а после каждого - - распада не изменяется. Таким образом, после четырех  двух - - распадов получится ядро с массовым числом
А =225 - 44 = 209.
Ответ: Z = 86, А =209
Пример 6. Определите энергию, выделяющуюся в результате реакции
23
23
0
0
12 Mg 11 Na  1 e 0  .
Массы нейтральных атомов магния и натрия равны соответственно
3,818410-26 кг и 3,817710-26 кг.
Дано:
Решение:
23
23
0
0
Энергия реакции есть разность между суммой кине12 Mg 11Na  1e 0 
тических энергий ядер - продуктов реакции и кинетичеmMg =3,818410-26 кг
ской энергией налетающего ядра:
mNa =3,817710-26 кг
Q = TNa + Te+ + T.
(1)
me =9,1110-31 кг
Q-?
Для нахождения кинетических энергий применим
закон сохранения полной релятивистской энергии:
EMg = ENa + Ee+ + E,
(2)
Релятивистская полная энергия равна сумме энергии покоя и кинетической
энергии:
E = mc2 + T,
(3)
где m – масса покоя частицы.
23
Так как ядро 12
Mg неподвижно, а масса покоя нейтрино равна нулю, то на основании формулы (3) уравнение (2) примет вид
mMgc2 = mNac2 + TNa + m e+ c2 + T e+ + T.
(4)
Выразив из последнего уравнения сумму кинетических энергий частиц и подставив ее в выражение (1), определим энергию реакции:
Q = (mMg _mNa - m e+ )c2.
(5)
Заменим массы ядер массами нейтральных атомов. Так как масса ядра равна
разности между массой нейтрального атома и массой электронов, образующих оболочку mя = mа - Zme, то
mяMg = mMg - 12me,,
mяNa = mNa - 11me,,
mе+ = mе- = mе.
60
Подставим данные выражения в формулу (5) и упростим полученное выражение:
Q = (mMg - 12me _ mNa + 11me - m e)c2 = (mMg _ mNa - 2me)c2 =
= (3,818410-26 - 3,817710-26 -29,1110-31)91016 = 4,6610-13 Дж = 2,91 МэВ.
Ответ: Q = 2,91 МэВ.
8.3. Задачи для практических занятий
1. Укажите, сколько нуклонов, протонов, нейтронов содержа следующие ядра:
54
1) 23 He ; 2) 105 B ; 3) 26
Fe .
3. Определите диаметры следующих ядер: 1) 38 Li ; 2)
27
13 Al
; 3)
64
29 Cu
.
4. Каким был бы радиус Солнца, если при той же массе его плотность равнялась бы плотности ядерного вещества? Средняя плотность Солнца равна 1410 кг/м 3,
радиус Солнца равен 6,95108 м.
5. Ядро бериллия 47 Be захватило электрон из К-оболочки атома. Какое ядро образовалось в результате К-захвата?
6. Некоторый радиоактивный ряд начинается с изотопа, содержащего 235 нуклонов, и заканчивается на изотопе с порядковым номером 82, при этом он включает семь  - распадов и четыре - - распада. Определить недостающие характеристики начального и конечного изотопов ряда.
7. Изотоп нептуния 237
93 Np - родоначальник радиоактивного ряда, включающего
в себя 11 реакций. На каком изотопе висмута 83Bi он заканчивается и сколько  - и - превращений включает?
8. Какая часть начального количества атомов радиоактивного актиния 225Ac останется через 5 сут? Через 10 сут?
9. За время t = 8 сут распалось k = ¾ начального количества ядер радиоактивного изотопа. Определить период полураспада Т1/2.
10. Вычислить постоянную распада для изотопа радия 226
88 Ra . Чему равна вероятность распада данного изотопа за время 1 ч?
11. За время t = 1 сут активность изотопа уменьшилась от А1 = 118 ГБк до А2 =
7,4 ГБк. Определить период полураспада этого нуклида.
12. Найти массу m1 урана 238U, имеющего такую же активность, как стронций
90
Sr массой m2 = 1 мг.
22
Na излучает  - кванты энергией  = 1,28 МэВ. Оп13. Радиоактивный изотоп 11
ределить мощность гамма-излучения и энергию, излучаемую за время t = 5 мин изотопом натрия массой m = 5 г. Считать, что при каждом акте распада излучается один
 - фотон с указанной энергией.
14. Определить дефект массы и энергию связи ядра атома тяжелого водорода.
15. Определить массу нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из
трех протонов и двух нейтронов и энергия связи ядра равна 26,3 МэВ.
61
16. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы разделить ядро атома
углерода 12С на три  - частицы?
17. Атомное ядро, поглотившее гамма – фотон ( = 0,47 пм), пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи ядра.
18. Найти энергию ядерной реакции 14N(n, p) 14C, если энергия связи ядра 14N
равна 104,66 МэВ, а ядра 14C – 105,29 МэВ.
19. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер дейтерия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинетические энергии и импульсы продуктов реакции 12 H 12H 23He01n .
20. Определить энергию, которая освободится при делении всех ядер, содержащихся в уране-235 массой 1 г.
21. Ядро атома азота 137 N выбросило позитрон, кинетическая энергия которого
1 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую
энергию нейтрино, выброшенного вместе с позитроном.
7.4. Домашнее задание
1. Определите массу ядра лития 37 Li .
2. Большинство ядер трансурановых элементов группируются в четверки, обладающие следующим свойством исходное радиоактивное ядро превращается в ядро
более легкого элемента двумя способами. Указать недостающие порядковые номера,
массовые числа и виды распадов для всех ядер следующих четверок:
а)
241
94 Pu

(плутоний) 

U (уран)
-
-

Am (америций) 

Np (нептуний)
а)
237

Ac (актиний) 

87 Fr (франций)
Th (торий) 
88 Ra (радий)
3. При распаде радиоактивного полония 210Ро в течение времени t = 1 ч образовался гелий 4He, который при нормальных условиях занял объем V = 89,5 см3. Определить период полураспада полония.
4. Какую массу воды можно нагреть от 0С до кипения, если использовать всю
энергию, выделившуюся при реакции 37 Li 11p 224He при полном разложении 1 мг
кДж
лития? Удельная теплоемкость воды 4,18
.
кг  К
62
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Таблица 1
Формулы приведения
Аргумент
Функция
sin 
cos 
 = 90  
 =180  
 =270  
=3600 - 
+ cos 
 sin 
sin 
- cos 
- cos 
 sin 
- sin 
+ cos 

Таблица 2
Формулы дифференциального и интегрального исчислений
Функция
Производная
xn
xn-1
1
x
-
ex
sin x
cos x
Интеграл
x n 1
,
n 1
1
ln x
x2
ex
cos x
- sin x
(Сv)  =Cu; (uv)  =uv + vu;
n  -1
ex
- cos x
sin x
'
 u  u 'v  v ' u
  
v2
v 
.
II. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЕДИНИЦАХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Таблица 1
Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц и их наименования
Множитель
Приставка
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
экса
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
Обозначение
Обозначение
Множитель Приставка
приставки
приставки
-1
Э
10
деци
д
-2
П
10
санти
с
-3
Т
10
милли
м
-6
Г
10
микро
мк
-9
М
10
нано
н
-12
к
10
пико
п
-15
г
10
фемто
ф
-18
да
10
атто
а
63
Таблица 2
Соотношение между внесистемными единицами и единицами СИ
1 ангстрем (Å) = 10-10 м
1 сут = 86400 с
1 год = 3,16107 с
1 а.е.м. = 1,6610-27 кг
1 эВ = 1,610-19 Дж
Длина
Время
Масса
Работа, энергия
III. ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Таблица 1
Некоторые физические постоянные
Постоянная Авогадро
Универсальная газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Электрическая постоянная
Масса электрона
Масса протона
Масса нейтрона
Элементарный заряд
Скорость света в вакууме
Постоянная Стефана – Больцмана
NA = 6,021023 моль-1
R = 8,31 Дж/(мольК)
k = 1,3810-23 Дж/К
0 = 8,8510-12 Ф/м
mе= 9,1110-31 кг = 0,00055 а.е.м.
mр = 1,6710-27 кг =1,00728 а.е.м.
mn = 1,6810-27 кг =1,00867 а.е.м.
е = 1,610-19 Кл
с = 3108 м/с
 = 5,6710-8 мВт
2 К 4
Постоянная Вина
Постоянная Планка
b = 2,910-3 мК
h = 6,6210-34 Джс
ħ = 1,0510-34 Джс
с = 2,4310-12 м
R =3,291015 с-1
R’ =1,1107 м-1
В = e =0,92710-23 Дж/Тл
Комптоновская длина волны электрона
Постоянная Ридберга
Магнетон Бора
2m
Таблица 2
Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов
Изотоп
27
12 Mg
90
38 Sr
225
89 Ac
Период полураспада
10 мин.
28 лет
10 сут.
64
Изотоп
226
88 Ra
235
92 U
238
92 U
Период полураспада
1590 лет
7,1108 лет
4,5109 лет
Таблица 3
Массы некоторых изотопов
Изотоп
1
1H
2
1H
3
1H
3
2 He
Масса
1,00783
2,01410
3,01605
3,01603
Изотоп
Масса
4,00260
7,01601
10,01294
12,0
4
2 He
7
3 Li
10
5B
12
6C
65
Изотоп
13
7N
14
7N
235
92 U
238
92 U
Масса
13,00574
14,00307
235,04393
238,05353
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: учеб. Пособие для студентов
втузов. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988. – 527 с.: ил.
2. Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. Пособие для втузов/ Т.И.
Трофимова, З.Г. Павлова. – 3-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2002. – 591 с.: ил.
3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. Изд. дополн. и переработ. – СПб: «Специальная литература», 1997. – 328 с.
4. Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.:
Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. – 416 с.: ил.
5. Турчина Н.В., Рудакова Л.И. Суров О.И. физика: 3800 задач для школьников и
поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2000. – 672 с.: ил.
6. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. Пособие для вузов. – 6-е изд., стер. – М.:
Высш. шк., 1999. – 542 с.: ил.
7. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики (в трех томах): Учебное пособие. – 3-е
изд., перераб и доп. – М.: Высш. школа, 1979, т III: Волновые процессы. Оптика.
Атомная и ядерная физика. – 511 с., ил.
8. Косарева Е.А. Квантово-оптические явления. Физика атома. Элементы квантовой
механики. Электронное учебное пособие.
66