Лекция 3. Типовые сигналы. Временные, частотные характеристики.

Лекция 3. Типовые сигналы. Временные, частотные характеристики.
Математические характеристики и модели сигналов
Модели детерминированных сигналов.
1. Скачкообразное воздействие величиной А: x(t)= A 1(t ) . Здесь 1(t ) - единичная
x(t)
функция Хевисайда.
A 1(t)
1(t ) 0 при t 0
1 при t 0
t
2. Импульсное воздействие. Во временной области импульсное воздействие
характеризуется амплитудой А и продолжительностью
x(t)
импульса. Математически импульс характеризуется
C=s=A
A
t
площадью C
A
и описывается импульсивной
функцией C
(t ) - с импульсом С. Здесь
t - дельта
- функция Дирака.
0,
,
t
3. Линейное и квадратичное воздействие x(t )
kt и x(t )
t 0
t 0
at 2
x(t)
x(t)=kt
x(t)=at2
t
4 Гармонические процессы - сигналы, содержащие одну гармонику (например:
синусоидальный периодический процесс.
x (t )
x sin( t
);
2
f ,
Период T
1 .
f
5 Полигармонические процессы - периодические несинусоидальные процессы
x(t)=x(t+n·T)
Такие процессы являются суммой гармоник,
выявление которых производится разложением сигнала в
ряд Фурье.
а) Разложение на сумму синусоид и косинусоид:
a0
2
x (t )
an
2
T
(an sin(2
f n t ) bn cos(2
f n t ))
n 1
T
x ( t ) sin(2
2
T
n f t ) dt , bn
0
T
n f t ) dt .
x (t ) cos(2
0
б) Разложение на ряд сдвинутых по фазе синусоид:
x (t )
x0
xn cos( 2
n f t)
n
);
x0
n 1
xn
(an )2
(bn )2 ,
n
arctg
an
bn
,
a0
2
,
n=1, 2, ...
Временные характеристики
Общей моделью динамического звена является дифференциальное уравнение,
позволяющее найти реакцию звена (системы) на любой входной сигнал. Для упрощения
анализа работы звена используют так называемы типовые воздействия – единичный
ступенчатый сигнал, единичную импульсную функцию, линейный возрастающие сигнал,
синусоидальные воздействий и др. Реакции звеньев на типовые воздействия полностью
характеризуют дифференциальное уравнения динамического звена и используются как
типовые характеристики звена. К ним относятся и временные характеристики
динамического звена, под которыми подразумевают процессы перехода звена (системы)
из одного установившегося состояния в другое под действием типовых воздействий.
Временные характеристики могут быть получены теоретически из
дифференциального уравнения звена и экспериментально. Последнее позволяет
экспериментально исследовать звено и по полученным временным характеристикам
получить дифференциальное уравнение элемента.
К типовым временным характеристикам относятся переходная и импульсная
переходная характеристики.
Переходная характеристика динамического звена h(t ) - реакция системы на единичный
ступенчатый сигнал (функцию Хевисайда) 1[t ] .
x(t ) 1[t ]
0
1
при t 0
.
при t 0
Найдем реакцию звена на единичный скачок, используя метод преобразования
Лапласа. Передаточная функция звена W ( p) .
Входной сигнал во временной области x(t )
1[t ] .
Преобразование Лапласа от единичного ступенчатого сигнала
x( p) L(1[t ])
1
.
p
Преобразование Лапласа выходной величины y ( p)
Тогда выходной сигнал y (t )
h(t )
L 1(
w( p)
.
p
h p
W ( p)
).
p
Таким образом, переходная характеристика звена (системы) равна обратному
преобразованию Лапласа от передаточной функции звена, деленной на оператор Лапласа
p.
Импульсная переходная характеристика динамического звена (весовая характеристика)
w(t ) - реакция системы на единичный импульсный сигнал (функцию Дирака) (t ) .
x(t )
(t )
0
при t 0
.
при t 0
Найдем реакцию звена на единичный импульс, используя метод преобразования
Лапласа. Передаточная функция звена W ( p) .
Входной сигнал во временной области x(t )
(t ) .
Преобразование Лапласа от единичного импульсного сигнала
x( p)
L( (t )) 1 .
y(t ) w(t ) L 1 (W ( p)) .
Тогда выходной сигнал
Таким образом, переходная импульсная характеристика звена (весовая функция)
равна обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции звена.
Пример 1. Нахождение методом преобразования Лапласа выходного сигнала
апериодического звена первого порядка при единичном ступенчатом входном сигнале
(функции Хевисайда) x(t ) 1[t ] . Изображение единичной функции по Лапласу x( p )
Находим изображение выходной переменной y ( p)
W ( p) x( p)
k
.
p (Tp 1)
Находим обратное преобразование Лапласа, используя табличное выражение
L 1[
1
]
p( p a)
1
(1 e
a
at
)
1
p
L1 k
1
p (Tp 1)
k
T
y (t )
L1
1
L1
p
p
1
p
k
T
1
p (p
k
T
T
Учитывая, что
1
)
T
1
e
a , получаем
t
T
Переходная характеристика звена первого порядка y (t )
переходной характеристики приведен на рис.
1
T
k 1
e
t
T . График
. Выходная величина по экспоненте
стремится к установившемуся значению y уст
k.
Пример 2. Нахождение весовой характеристики апериодического звена первого
порядка.
Весовая характеристика это реакция звена на единичное импульсное воздействие
(функцию Дирака). x(t )
(t ) . Изображение по Лапласу x( p)
L[ (t )] 1 .
Изображение выходной переменной есть сама передаточная функция
y ( p)
W ( p) 1 W ( p)
Используя табличное преобразование L 1
1
p
e
t , находим, учитывая
1
,
T
4
L 1 y ( p)
w( t)
h( t)
2
k
1
L1
1
T
p
T
K
T
e
t
T
Реакция звена первого порядка на дельта
функцию Дирака имеет вид ниспадающей
0
0
5
10
экспоненциальной функции с начальным
t
k
Рис. . Переходная и весовая
значением
( см. рис.
). Скорость
характеритсики апериодического
T
звена
падения определяется коэффициентом Т, который имеет размерность времени и
называется постоянной времени. Подставив время t
3T , 4T
в выражение весовой
функции можно увидеть, что за это время график весовой функции падает соответственно
до 0,05 и 0,02 от начального значения, т.е. время выхода выходной переменной на
установившееся значение (соответственно, с 5% и 2% точностью) составляет (3 - 4)Т.
Частотные характеристики динамических звеньев.
Частотная характеристика является динамической характеристикой элемента
системы управления. Она описывает прохождение гармонических сигналов через
динамическое звено.
Подадим на вход линейного элемента синусоидальный сигнал
1,0
x(t )
X
0,5
A sin( t ) .
После окончания переходного процесса
У
на выходе получим сигнал той же частоты,
0,0
-0,5
Время, сек
-1,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
но другой амплитуды и сдвинутый по фазе
на угол
Рис. 1. Прохождение синусоидального
сигнала через динамическое звено
Im
(рис. 1):
y(t )
).
B sin( t
Рассмотрим представление
гармонических сигналов на комплексной
A
плоскости. Вектор А, вращающийся вокруг
начала координат на комплексной плоскости со
B
скоростью
комплексным выражением
Re
t
может быть представлен
A e j t (рис. 2). На
основании уравнения Эйлера
Рис. 2. Представление входного и
выходного сигналов в виде векторов
на комплексной плоскости
A ej
t
A cos t
cos t
j sin t
ej
t
его можно разложить на две составляющие
j A sin t .
Отсюда косинусоидальный и синусоидальный сигналы можно представить в виде
вещественной и мнимой частей вращающегося на комплексной плоскости вектора, длина
j t
которого равна амплитуде сигнала A e , а скорость вращения равна круговой частоте
гармонических сигналов
2 f . Отличие синусоидального и косинусоидального
сигналов заключается в отставании фазы Sin относительно Cos на 900 , который
определяется множителем j .
Тогда выходной сигнал может быть представлен вращающимся с той же скоростью
вектором, имеющим амплитуду B и сдвинутым по отношению к вектору А по фазе на
угол
B e j(
t
)
(см. рис.2).
Будем подавать на вход элемента синусоидальные сигналы x(t) с постоянной
амплитудой А и разными частотами
. Для каждой частоты мы получим свое
значение амплитуды и фазы выходного сигнала В и
.
Отношение выходного сигнала к входному сигналу в комплексной форме
называется амплитудно - фазовой частотной характеристикой АФЧХ исследуемого
элемента W ( j ) . Она показывает зависимость коэффициента передачи элемента
(отношение амплитуд выходного сигнала к входному) и разности фаз между ними от
частоты входного сигнала
B j
e .
A
W( j )
Зависимость коэффициента передачи элемента от частоты называется амплитудной
частотной характеристикой АЧХ
B( )
.
A
W( )
Зависимость фазы между выходным и входным сигналом от частоты называется
фазо-частотной характеристикой элемента ФЧХ
( )
вых
( )
вх
.
АФЧХ может быть получена из передаточной функции заменой p на j
W( j )
bm ( j ) m bm 1 ( j ) m 1 ... b1 j
an ( j )n an 1 ( j )n 1 ... a1 j
b0
.
a0
Геометрически АФЧХ изображается на комплексной плоскости в полярных
координатах W ( ) и
( ) и представляет собой годограф, показывающий зависимость
коэффициента передачи и сдвига фазы от частоты входного сигнала.
Годограф АФЧХ может быть построен и в декартовых координатах, для чего
вводятся вещественная U ( ) и мнимая V ( ) частотные характеристики.
Подставим в передаточную функцию p
j
и запишем АФЧХ в виде отношения
полиномов
W( j )
W( ) e j
Q( j )
.
P( j )
Разложим числитель и знаменатель на вещественные и мнимые составляющие
W( j )
RQ ( )
jIQ ( )
RP ( )
jI P ( )
.
Для устранения мнимой части в знаменателе умножим числитель и знаменатель на
величину, сопряженную знаменателю
W( j )
RQ ( )
jI Q ( )
RP ( )
jI P ( )
RQ ( )
jI Q ( )
RP ( )
RP 2
jI P ( )
I P2
U( )
jV ( )
Таким образом, АФЧХ мы представили в виде суммы двух составляющих вещественной
и мнимой частотных характеристик
W( j ) U( )
jV ( ) .
Из них могут быть получены амплитудная и фазовая частотные характеристики
элемента
W( )
U2( ) V2( ) ,
( )
arctg
V( )
.
U( )
В теории управления широко используются логарифмические амплитудная и
фазовая характеристики. Амплитудная фазовая частотная характеристика может быть
записана в следующих видах
W( j )
W( ) e j
( )
U( )
jV ( ) .
Прологарифмируем АФЧХ
lgW ( j ) lg W ( )
j
( ).
Мы получили комплексное число, вещественная часть которого показывает
зависимость логарифма модуля от частоты, а мнимая часть – фазы от частоты.
Десятичный логарифм амплитудной частотной характеристики называется
логарифмической амплитудной характеристикой L( ) .
Десятичный логарифм отношения амплитуд выражается в белах. Десятичный
логарифм от 10 является одним белом. Обычно анализируется отношение мощностей.
При отношении сигналов 10, мощность увеличивается в 102 100 раз или на 2 бела. Эта
единица измерения большая и в практике используют децибелы: 1 бел = 10 децибел, 2 бел
= 20 децибел. Поэтому логарифмическая частотная характеристика определяется
выражением
L( )
20 lg(W ( j ))
20 lg W ( ) .
Основным достоинством логарифмических характеристик является возможность
их построения практически без расчетов по виду передаточной функции.
При ручном построении логарифмические характеристики удобно строить на
миллиметровой бумаге. По оси абсцисс откладывается угловая частота в
логарифмическом масштабе (удобно использовать масштаб логарифмической линейки).
Диапазон частот характеристики является относительным, т.к. определяется рабочим
диапазоном исследуемой системы, например,
.....0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100....
и не включает
0 , т.к lg 0
(не существует).
Нуль оси ординат может проходить через ось абсцисс при любом значении
круговой частоты
0 , определяемом рабочим диапазоном частот. Практически ось
ординат проводят несколько левее самой нижней сопрягающей частоты.
На компьютере в математических пакетах для построения логарифмических
частотных характеристик используются команды работы с комплексными числами.
Частотные характеристики типовых звеньев
1. Усилительное звено
К усилительным звеньям относятся элементы, производящие мгновенное
преобразование входного сигнала в выходной без переходных процессов. К
безынерционным звеньям относятся электронные усилители, механические жесткие
рычажные системы и т.д.
Передаточная функция безынерционного звена
Частотные характеристики:
W( j )
W( )
k
K,
j0 , U ( )
( )
W ( p)
y ( p)
x( p )
k
АФЧХ, ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ:
K , V( )
0,
W(w)
0
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
L(w)=20lgk
приведена на рис. 3.
Im
lg(w)
00
(w)
0
900
k
Re
1800
Рис. 3. Амплитудная фазовая частотная
характеристика усилительно а
Рис. 4. Логарифмические частотные
характеристики усилительного звена
Логарифмические частотные характеристики (рис. 4) определяются выражениями
L( )
20 lg k
( )
0.
Амплитудная характеристика для всех частот равна 20 lg k , сдвиг по фазе у
данного звена отсутствует.
2. Апериодическое звено первого порядка
k
.
Tp 1
Передаточная функция W ( p )
Частотные характеристики. Для получения частотной характеристики сделаем замену в
передаточной функции p
j , умножим полученное выражение на сопряженный
знаменателю сомножитель, разделим полученную частотную характеристику на реальную
и мнимую составляющие
k
1 j T
W( j )
k (1
1
2
j T)
T2
k
2
1
T
2
j
2
1
( )
2
1
2
kT
Мнимая частотная характеристика V ( )
kT
k
Вещественная частотная характеристика U ( )
Фазовая частотная характеристика
T
2
arctg
T2
1
T2
.
.
.
V( )
U( )
arctgT .
Амплитудная частотная характеристика
k 2 k 2T 2 2
(T 2 2 1) 2
U2 V2
W( )
k
1 T2
2
.
Получим аналитическое выражение АФХ.
k
Проведем анализ суммы U ( ) V ( )
kT
2
1
T
2
2
1
T
2
k (1 T )
.
2
1
T2
Возведем левую и правую части в квадрат:
2UV U 2 V 2
Или U 2 V 2
Тогда U 2
k 2 ( 2T 2
(1
2UV
k U V2
2
2T
1)
2 2
T )
U k
U
k
T2
kT
2
2
2
T 1
1
T2
2
U2 V2
2UV
2
1
U( ) k
2V ( )
U k.
k
0, добавим в обе части ( ) 2 , получим
2
V
2
U
V(w)
2
k
2
kU
V
2
U
2
k
2
k2
.
4
2
k
2
2
- уравнение окружности с
центром в точке (0; k/2).
k/2
k U(w)
w=0
w
Рис. 5. Амплитудная фазовая
частотная характеристика
апериодического звена
Таким образом, АЧХ имеет вид
полуокружности (рис. 5). При
=0 сдвиг по фазе
равен нулю, коэффициент передачи равен k. С
увеличением частоты модуль уменьшается, а сдвиг по фазе стремится от 0 к минус
90
(при
,
- 90 ).
Логарифмические частотные характеристики ЛЧХ.
W ( p)
k
; W( )
Tp 1
k
1 T
2
20 lg k 20 lg 1 T 2
; L( )
2
2
.
Разобьем ЛАХ по оси частот на 2 диапазона.
1.
1
, 1
T
T2
2
L( )
20lgk - асимптота с левой стороны.
2.
1
, 1
T
T2
2
L( )
20 lg k
20 lg T .
Рассмотрим это выражение на численном примере.
1
T
T
1
10
T
T
10
100
T
T
L( )
100
20 lg k
L( )
20 lg k
L( )
20
20 lg k
При увеличении круговой частоты
40
в 10 раз правое слагаемое увеличивается на
20 единиц, т.е. после частоты среза ЛАЧ имеет наклон 20 дБ/дек.
Эти данные позволяют достаточно просто строить ЛАЧ апериодического звена
первого порядка (рис. 6).
1. Построить вертикальную линию на частоте среза
ср
1
.
T
2. В диапазоне нижних частот от частоты среза построить горизонтальную линию
L( )
20lgk .
3. В диапазоне высоких частот от частоты среза через точку пересечения 20lgk с
вертикалью частоты среза провести
L(w)
ниспадающую линию с наклоном 20 дБ/дек.
L(w)=20lgk
Эти две прямые линии дают амплитудную
20дб / дек
lg(w)
1
ср
T
Рис. 6. Логарифмическая частотная
характеристика апериодического звена
частотную характеристику звена в
логарифмическом масштабе. Максимальное
отклонение данной аппроксимации от
расчетной кривой составляет 3дБ на частоте среза.
Логарифмическая фазовая характеристика ЛФХ строится по шаблону или
расчетным путем по выражению
( )
arctg
V( )
U( )
arctgT .
На низких частотах выходной сигнал совпадает по фазе с входным
1
,
T
появляется отставание по фазе, которое на частоте среза равно
Максимальное отставание по фазе составляет
( )
0 , затем
( )
( )
4
.
2
Пример построения логарифмических частотных характеристик для звена первого
4
приведен на рис. 7.
2p 1
порядка W ( p )
20
0
L1( )
1( )
20
40
60
80
100
0.01
0.1
1
10
Рис. 7. Логарифмические частотные характеристики
апериодического звена первого порядка
3. Интегрирующее звено
Передаточная функция интегрирующего звена
W(p)
k
.
p
Частотные характеристики. Произведем замену в передаточной функции
p
j
W( j )
k
.
j
Амплитудная фазовая частотная характеристика W ( j )
Вещественная частотная характеристика
k
j
j
k
.
V( )
U( ) 0.
U( )
Мнимая частотная характеристика
V( )
k
0
.
0
Рис. 8. Амплитудная фазовая
частотная характеристика
интегрирующего звена
.
Амплитудная частотная характеристика. Найдем модуль частотной характеристики (рис.
8).
2
W( )
2
U ( ) V ( )
k
W( )
( )
.
Фазовая частотная характеристика
0
( )
arctg
V( )
U( )
,
2
.
-90
Амплитудная фазовая частотная характеристика
W( j )
e
W( )
k
j ( )
e
j
Рис. 9. Амплитудная и фазовая
частотные характеристики
интегрирующего звена
2
Таким образом, модуль частотной характеристики (коэффициент передачи)
уменьшается с увеличением частоты, а фазовый сдвиг равен
2
=const (рис. 9).
Логарифмические частотные характеристики.
k
;
p
W ( p)
L( )
20 lg k
20 lg .
Рассмотрим численный пример
1
L( )
20 lg k ,
10
L( ) 20lg k
20 ,
100
L( ) 20lg k
40 .
Таким образом ЛАХ интегрирующего звена всегда имеет наклон -20дБ/дек. Для
построения ЛАХ надо провести линию с наклоном через одну точку, принадлежащую
ЛАХ (рис. 10).
40
20
0
L1( )
20
1( ) 40
60
80
100
0.1
1
10
100
Рис. 10. Амплитудная и фазовая логарифмические
частотные характеристики интегрирующего звена
Метод
линию через точку
1. Провести
1 L( )
20 lg k .
Метод 2. Выражение для ЛАХ можно записать в виде L( )
k
20 lg
k
. L( )
0, когда
1.
Отсюда точка
0 также принадлежит ЛАХ данного звена. Для
L( )
k
построения ЛАХ необходимо провести линию с наклоном -20дБ/дек через эту точку.
Метод 3. Провести линию через эти две найденные точки.
Интегрирующее звено на всех частотах имеет отставание по фазе
2
(см. рис. 10).
4. Дифференцирующее звено
1. Дифференциальное уравнение
y
dx
.
dt
k
2. Частотные характеристики. Произведем замену в передаточной функции p
W( j )
jk .
V( )
Амплитудная фазовая частотная характеристика
W( j )
j
j k (см. рис. 11).
Вещественная частотная характеристика U ( )
0.
Мнимая частотная характеристика
k.
V( )
0
U( )
Амплитудная частотная характеристика.
Найдем модуль частотной характеристики.
W( )
U 2( ) V 2( )
Рис. 11. Амплитудная фазовая
частотная характеристика
дифференцирующего звена
k.
Фазовая частотная характеристика
( )
arctg
V( )
U( )
,
2
.
Амплитудная фазовая частотная характеристика
W( j )
W( )
ej
( )
k
e
j
W( )
2.
Таким образом, модуль частотной
( )
+90
характеристики (коэффициент передачи)
увеличивается с увеличением частоты, а
фазовый сдвиг равен
2
=const (рис. 12).
0
Рис. 12. Амплитудная и фазовая
частотные характеристики
дифференцирующего звена
Логарифмические частотные характеристики.
W ( p)
kp;
L( )
20 lg .
20 lg k
Рассмотрим численный пример
20 lg k ,
1
L( )
10
L( ) 20lg k
20 ,
100
L( ) 20lg k
40 .
Таким образом ЛАХ интегрирующего звена всегда имеет наклон +20дБ/дек. Для
построения ЛАХ надо провести линию с наклоном через одну точку, принадлежащую
ЛАХ, которой может быть точка
1
20 lg k .
L( )
Дифференцирующее звено на всех частотах имеет опережение по фазе
13).
100
80
L1( )
1( )
60
40
20
0
20
0.1
1
10
100
Рис. 13. Амплитудная и фазовая логарифмические
частотные характеристики дифференцирующего звена
2
(рис.