Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах

XXVII сессия Российского акустического общества,
посвященная памяти ученых-акустиков
ФГУП «Крыловский государственный научный центр»
А. В. Смольякова и В. И. Попкова
Санкт-Петербург,16-18 апреля 2014 г.
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков*, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров*, В.Ю. Чижов*, Г.В. Чижов
Санкт- Петербургский Государственный морской технический университет, Россия,
190008, Санкт- Петербург, ул. Лоцманская 3, e-mail:ilms@rambler.ru, +7(812)9639365
*Крыловский Государственный научный центр, 196158, Россия, Санкт- Петербург,
Московское шоссе,44.
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на
телах неаналитической формы
Реальные рассеиватели имеют неаналитическую форму и поэтому к ним
неприменим метод разделения переменных (метод рядов Фурье) для вычисления отражѐнного от них звукового поля. В данной работе представлен метод функций Грина для решения задачи дифракции звука на телах с неаналитической поверхностью. Приводится детальный анализ решения этой задачи
и вычисляются угловые характеристики рассеяния звука неаналитическими
рассеивателями.
Дифракция, метод функций Грина, неаналитическая поверхность,
граничные условия
Существует достаточно большое количество методов решения задач по отражению
и рассеянию звука телами с неаналитической поверхностью. Назовѐм наиболее известные и часто используемые в исследованиях подобного рода методы: конечных и граничных элементов, Купрадзе, Т–матриц, геометрической теории дифракции, интегральных уравнений, функций Грина и т. п. [1 – 12]. В данной работе применяется метод функций Грина [10 – 12].
В качестве неаналитических будем рассматривать тела, поверхность которых не
может быть отнесена к разряду координатных систем с разделяющимися переменными
в скалярном уравнении Гельмгольца. Рассмотрим такой неаналитический рассеиватель
в форме конечного кругового цилиндра, ограниченного по торцам полусферами
(рис.1).
Рассеянное подобным телом звуковое давление может быть найдено одним из численных методов решения задач дифракции [1 – 12], среди которых достаточно удобным
является метод функций Грина [10 – 12], основанный на использовании математической формулировки принципа Гельмгольца-Гюйгенса (интеграла Кирхгофа). Алгоритм
расчета требует знания амплитудно-фазового распределения звукового давления и
нормальной составляющей колебательной скорости на некоторой замкнутой поверхно-
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
2
_________________________________________________________________________________________
сти интегрирования S, состоящей в данном случае из боковой поверхности цилиндра S2
и поверхностей полусфер S1 и S3(см. рис. 1):
pS ( P) 
p (Q)
1

[ pS (Q) G( P, Q)  S
G( P, Q)]dS

S
4
n
n
(1)
где 𝑝𝑠 𝑃 – рассеянное телом звуковое давление, P – точка наблюдения, имеющая сферические координаты 𝑟, 𝜃, 𝜑; 𝑄 – точка на поверхности S; 𝑝𝑠 𝑄 - звуковое давление в
точке 𝑄; 𝐺 𝑃, 𝑄 - функция Грина свободного пространства, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмгольца.
P( r,θ,φ)
X
R
r
k
n
S3
Q
θ0
2r0
S1
O
-0,5L
Z
S2
+0,5L
L+2r0
Рис. 1. Неаналитический рассеиватель в форме цилиндра с полусферами.
В формуле (1) функция Грина выбирается в виде потенциала точечного источника:
𝑒 𝑖𝑘𝑅
(2)
,
𝑅
где k =2𝜋/𝜆 – волновое число, 𝜆 - длина звуковой волны в жидкой среде, R - расстояние между точками 𝑃 и 𝑄.
Используя относительный произвол в выборе функции Грина, можно получить одночленные варианты формулы Кирхгофа:
𝐺 𝑃, 𝑄 =
pS ( P) 
1

pS (Q) G (1) ( P, Q)dS

S
4
n
(3)
pS (Q) (2)
G ( P, Q)dS
n
(4)
pS ( P)  
1
4

S
В системе круговых цилиндрических и сферических координат, связанных с соответствующими частями поверхности S (см. рис. 1), выражения для функций Грина
𝐺 (1) 𝑃, 𝑄 и 𝐺 (2) 𝑃, 𝑄 можно записать в виде [28]:
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
3
_________________________________________________________________________________________
𝐺ц
𝜕𝐺ц1
𝑒 𝑖𝑘(𝑅−𝑧
′ ′
′
,
𝑟, 𝑧, 𝜑, 𝑟 , 𝑧 , 𝜑 =
𝜕𝑟ц′
𝑅
2
𝐽𝑛 𝑘𝑟 ′ 𝑠𝑖𝑛𝜃 −
𝐺сф2
,
𝜕𝐺сф1
′
𝜕𝑟сф
Ω𝐽 𝑛 𝑘𝑟0 𝑠𝑖𝑛𝜃
1
Ω𝐻𝑛
𝑘𝑟0 𝑠𝑖𝑛𝜃
′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 )
𝑛=+∞
𝑒 𝑖𝑛
𝜑−𝜑 ′ −𝜋 2
∙
𝑛=−∞
(5)
𝐻𝑛1 𝑘𝑟 ′ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ,
𝑛
∞
𝜃, 𝑅, 𝜑, 𝜃 ′ , 𝑟 ′ , 𝜑 ′ = 𝑖𝑘
2𝑛 + 1
𝑛=0
𝑚 =−𝑛
𝑛 − 𝑚 ! 𝑖𝑛
𝑒
𝑛+𝑚 !
𝜑−𝜑 ′
∙
(6)
𝑃𝑛𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃𝑛𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 ′ ∙ 𝑗𝑛 −
Ω𝑗𝑛 𝑘𝑟0
Ωℎ𝑛1
𝑘𝑟0
ℎ𝑛1 𝑘𝑟 ′
ℎ𝑛1 𝑘𝑅 ,
1, для 𝐺ц,сф .
𝜕𝐺ц,сф
𝜕
′
𝑟
=
𝑟
для
0,
′
′
𝜕𝑟ц,сф
𝜕𝑟ц,сф
Ω=
(7)
Применение формул (3), (4) позволяет существенно упростить вычислительную
процедуру: на контрольной поверхности S требуется определить только один из параметров ( 𝑝𝑠 𝑄 или 𝜕𝑝𝑠 (𝑄)/𝜕𝑛), однако в этом случае необходимо совпадение этой поверхности с координатной поверхностью одной из систем координат, в которой возможно разделение переменных.
Таким образом, основной особенностью данного подхода является применение
функций Грина для аналитических поверхностей (бесконечный цилиндр и сфера) к частям этих поверхностей, состыкованным между собой.
Возможность такого подхода с решением тестовых задач по расчету рассеянного
поля была рассмотрена в [29, 30, 32]. Так, например, в [29] численный эксперимент при
решении тестовой задачи по оценке дальнего поля точечного источника (группы точечных источников) непосредственно и путем пересчета значений 𝑝𝑠 𝑄 и (или)
𝜕𝑝𝑠 (𝑄)/𝜕𝑛 с контрольной поверхности, охватывающей данный источник (источники) в
ближнем поле [см. (1), (3), (4)], показал, что в рассматриваемом диапазоне волновых
размеров результаты, полученные этими двумя способами, достаточно хорошо совпадают.
При решении задачи дифракции для определения значений 𝑝𝑠 𝑄 и 𝜕𝑝𝑠 (𝑄)/𝜕𝑛 на
поверхности S можно использовать следующие соотношения:
1. для однородного условия Дирихле (идеально мягкое тело), рассеянное давление на
поверхности S:
𝑝𝑠 𝑄 = − 𝑝𝑖 𝑄 ,
(8)
2. для однородного условия Неймана (идеально жесткое тело):
𝜕 𝑝𝑠 𝑄
𝜕𝑛
=−
𝜕 𝑝𝑖 𝑄
𝜕𝑛
,
(9)
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
4
_________________________________________________________________________________________
где 𝑝𝑖 𝑄 - звуковое давление падающей звуковой волны в точке 𝑄.
При определении значений 𝑝𝑖 𝑄 можно использовать выражения для скалярного
потенциала плоской монохроматической волны единичной амплитуды, падающей на
рассматриваемое тело от источника, расположенного на бесконечности.
Для идеально отражающей сферы этот потенциал раскладывается по собственным
функциям решения уравнения Гельмгольца в сферической системе координат и в общем случае имеет следующий вид [13]:
∞
𝑛 =0
𝑝𝑖 𝑟, 𝜃, 𝜑 =
𝑛
−𝑛
𝑚 =0 𝜀𝑛 𝑖
2𝑛 + 1
𝑛 −𝑚 !
𝑛 +𝑚 !
𝑐𝑜𝑠𝑚𝜑𝑃𝑛𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑛 𝑘𝑟 ;
(10)
𝜀𝑛 = 1 𝑛 = 0 ; 𝜀𝑛 = 2 𝑛 ≠ 0 ;
При рассмотрении осесимметричной задачи (зависимость от координаты φ отсутствует) выражение (10) упростится:
∞
𝑖 −𝑚 2𝑚 + 1 𝑃𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑚 𝑘𝑟 ;
𝑝𝑖 𝑟, 𝜃 =
(11)
𝑚 =0
Для рассеивателя в форме идеально отражающего цилиндра скалярный потенциал
падающей плоской гармонической волны единичной амплитуды с волновым вектором
𝑘, направленным под углом 𝜃0 к оси z цилиндра, раскладывается по собственным
функциям решения уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат:
∞
𝑝𝑖 𝑟, 𝜑, 𝑧 = −𝑒
𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠 𝜃0 𝑧0
𝜀𝑚 −𝑖
𝑚
𝐻𝑚1 (𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠𝑚𝜑
𝑚 =0
Ω𝐽𝑚 𝑘𝑟0 𝑠𝑖𝑛𝜃0
Ω𝐻𝑛1 𝑘𝑟0 𝑠𝑖𝑛𝜃0
;
(12)
В случае плоской задачи волновой вектор 𝑘 перпендикулярен оси z цилиндра и выражение (12) упрощается [13]:
∞
𝑝𝑖 𝑟, 𝜑 = −
𝜀𝑚 −𝑖
𝑚 =0
𝑚
𝐻𝑚1 (𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠𝑚𝜑
Ω𝐽𝑚 𝑘𝑟0
Ω𝐻𝑛1 𝑘𝑟0
;
(13)
Для вычисления интегралов (3.3), (3.4) на поверхности S используются квадратурные формулы, при этом в системе узловых точек шаг интегрирования (дискретизации)
поверхности S в осевом и окружном направлениях (𝑑𝑧0 , 𝑑𝜑0 , 𝑑𝜃0 ) не должен превышать 0,5 𝜆 (рис. 2, 3).
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
5
_________________________________________________________________________________________
x
dS
r0
dφ0
z
dz0
L
Рис. 2. Система координат, связанная с цилиндром.
При численном интегрировании по поверхности S2 элемент поверхности цилиндра
радиусом 𝑟0 будет равен 𝑑𝑆 = 𝑟0 𝑑𝜑0 𝑑𝑧0 (см. рис. 2), для полусфер S1 и S3 элемент поверхности в сферических координатах равен 𝑑𝑆 = 𝑟0 2 𝑠𝑖𝑛𝜃0 𝑑𝜃0 𝑑𝜑0 (см. рис. 3).
dφ0∙r0
dS
dφ0
dΘ0
r0
z
Рис. 3. Система координат, связанная с полусферами.
На рисунках 4 – 7 показаны нормированные модули угловых характеристик рассеяния D( ) для неаналитического рассеивателя с отношением длины тела L к радиусу r0
равным 25,8 при различных углах падения  0 плоской волны и различных волновых
размерах рассеивателя.
На всех рисунках отчѐтливо наблюдается дифракционный (теневой) лепесток, который растѐт и становится всѐ уже с ростом частоты. На рис. 4 – 6 виден зеркальный лепесток, который с увеличением частоты ведѐт себя подобно теневому лепестку, но в
отличие от него ограничен асимптотически. Можно отметить также, что по своему виду угловые диаграммы неаналитического рассеивателя весьма похожи на угловые характеристики рассеяния вытянутых сфероидов (идеальных и упругих) с соотношением
полуосей 1 : 10 [13, 24, 30, 31]. В отличие от работ [12 – 14], в которых использовался
метод интегральных уравнений и был выполнен расчѐт для неаналитического тела с
короткой цилиндрической вставкой, в данном исследовании цилиндрическая вставка
была заметно длиннее.
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
6
_________________________________________________________________________________________
Рис. 4. Нормированные модули D( ) при  0  900 : a)kr0  1, 05; b) kr0  2, 09.
Рис.5. Нормированные модули D( ) при  0  600 : a )kr0  1, 05; b) kr0  2, 09; c) kr0  3,14.
Рис.6. Нормированные модули D( ) при  0  300 : a)kr0  4,19; b)kr0  5, 24; c)kr0  6, 28.
Рис. 7. Нормированные модули D( ) при  0  00 : a)kr0  4,19; b)kr0  5, 24; c) kr0  6, 28.
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
7
_________________________________________________________________________________________
На основе метода функций Грина, предложенного для решения задач дифракции
звука на телах со смешанными граничными условиями, решается задача звукового рассеяния на удлинѐнном (с большим отношением длины тела к его радиусу) идеальном
теле неаналитической формы. Аналитическое решение дополнено расчѐтом угловых
характеристик рассеяния в широком диапазоне частот (волновых размеров) и углов падения плоской волны на неаналитическое тело.
Представленные в статье результаты получены при проведении поисковой научноисследовательской работы в рамках Государственного контракта П 242 от 21 апреля
2010 года ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на
2009 – 2013 годы».
ЛИТЕРАТУРА
1. Ионов А. В., Майоров В. С. Гидролокационные характеристики подводных объектов. С.-Пб.: Изд-во ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова, 2011. 326 с.
2. Seybert A. F., Wu T. W. and Wu X. F. Radiation and scattering of acoustic waves from
elastic solids and shells using the boundary element method. // JASA.1988. V. 84. № 5. P.
1906 – 1912.
3. Varadan V. V., Varadan V. K., Dragonette L. R. C. Computation of a rigid body scattering by prolate spheroids using the T – matrics approach. // JASA.1982. V. 84. № 1. P. 22
– 25.
4. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир.
1982. 248 с.
5. Абен М. Х., Лахе А. Я. Расчѐт дифракции на упругих оболочках в жидкости методами граничных и конечных элементов. // Тр. Всес. симп. Взаимодействие акустических волн с упругими телами. Таллин. 1989. С. 7 – 10.
6. Кяес А. Л. Дифракция звука на оболочках сложной формы. // Тр. Всес. симп. Взаимодействиеакустических волн с упругими телами. Таллин. 1989. С. 127 – 130.
7. Лахе А. Я. Алгоритм метода конечных элементов для вычисления эхо - сигналов от
оболочек в жидкости. // Тр. Талл. политехн. Инст. 1984. № 575. С. 65 – 67.
8. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.
9. Тэтюхин М. Ю., Федорюк М. В. Дифракция плоской звуковой волны на вытянутом
твѐрдом теле в жидкости. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 1. С. 126 – 131.
10. Su J.-H., Varadan V. V., Varadan V. K., Flax L. Acoustic wave scattering by a finite elastic cylinder in water. // JASA.1980. V. 68. № 2. P. 685 – 691.
11. Душин А. Ю., Ильменков С. Л., Клещѐв А. А., Постнов В. А. Применение метода
конечных элементов к решению задачи излучения звука упругими оболочками. //
Тр. Всес. симп. Взаимодействие акустических волн с упругими телами. Таллин.
1989. С. 89 – 91.
12. Клещѐв А. А. Рассеяние звука идеальными телами неаналитической формы. // Тр.
ЛКИ. 1989. Общесудовые системы. С. 95 – 99.
13. Клещѐв А. А. Гидроакустические рассеиватели. С.-Пб.: 1-ое изд. Судостроение,
1992. 248 с.; 2-ое изд. Прима, 2012. 268 с.
14. Kleshchev A. A. Method of Integral Equations in Problem of Sound Diffraction on Bodies
of Non – analytical Form. // MECH. 2012. V. 2. № 6. P. 124 – 128.
15. Peterson B., Strom S. Matrix Formulation of Acoustic Scattering from Multilaytred Scatterers. // JASA.1975. V. 57. № 1. P. 2 – 13.
16. Numrich S. K., Varadan V. V., Varadan V. K. Scattering of acoustic waves by a finite
elastic cylinder immersed in water. // JASA.1981. V. 70. № 5. P. 1407 – 1411.
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
8
_________________________________________________________________________________________
17. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задпч. М.: Наука, 1972. 456 с.
18. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. Н. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука,
1980. 304 с.
19. Kaminetzky L., Keller J. B. Diffraction coefficients for higher order edges and vertices. //
SLAM. J. Appl. Math. 1972. V. 22. № 1. P. 109 – 134.
20. Keller J. B. Diffraction by smooth cylinder. // Trans. IRE AP-4. 1956. № 3. P. 312 – 321.
21. Keller J. B., Lewis R. M., Secler B. D. Asymptotic solution of some diffraction problems.
// Comm. Pure and Appl. Math. 1956. V. 9. № 2. P. 207 – 265.
22. Клещѐв А. А. Дифракция звука на телах со смешанными граничными условиями. //
Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 4. С. 632 – 634.
23. Клещѐв А. А. О точности метода функций Грина. // Тр. ЛКИ: Вопросы акустики судов и Мирового океана. 1984. С. 19 – 24.
24. Клещѐв А. А., Клюкин И. И. Основы гидроакустики. Л.: Судостроение, 1987. 224 с.
25. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972.
348 с.
26. Baker D. D. Determination of Far – Field Characteristics of Large Underwater Sound
Transducers from Near – Field Measurements. // JASA.1962. V. 34. № 11. P. 1737.
27. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1, 2. М.: ИЛ. 1958, 1960.
28. Ильменков С. Л. О применении метода функций Грина для расчѐта звуковых полей.
// Тр. IV – ой Дальневост. Акуст конф. Владивосток, 1986. С. 73 – 75.
29. Клещѐв А. А. Метод интегральных уравнений в задаче дифракции звука на упругой
оболочке неаналитической формы. // Техн акуст. 1993. Т. 2. Вып. 4(6). С. 65 – 66.
30. Клещѐв А. А. Дифракция и распространение волн в упругих средах и телах. С.-Пб.:
Влас, 2002. 156 с.
31. Клещѐв А. А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. С.-Пб.:
Профпринт, 2012. 160 с.
32. Ilmenkov S. L., Kleshchev A. A. Solution of Problem of Sound Scattering on Bodies of
Non-analytical Form with Help of Method of Green’s Functions.// Advances in Signal
Processing. 2014, 2(2), P.50-54.
_________________________________________________________________________________________
С.Л. Ильменков, А.А. Клещёв, А.С. Клименков, Ф.Ф. Легуша,
В.С. Майоров, В.Ю. Чижов, Г.В. Чижов
Метод функций Грина в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы