Лекция 2 Применение эллиптических функций для

Лекция 2
Применение эллиптических функций для интегрирования
уравнений нелинейных колебаний
«Естественным» способом описания линейных колебаний были
тригонометрические функции sin x , cosx . Для описания нелинейных колебаний
требуются более сложные специальные функции.
1. Эллиптические интегралы. О.: Интеграл

u  F ( , k )  
0
d
(1)
1  k 2 sin 2 
называется эллиптическим интегралом I-го рода.
Величина k в выражении (1) носит название параметра эллиптического
интеграла. Если |  | 

2
, то справедливо соотношение

F ( , k )  
0
sin 
d
1  k sin 
2
2


0
dx
(1  x )(1  k 2 x 2 )
2
.
Графики функции F ( , k ) для разных значений k приведены на рис. 2.1.
Очевидно, что при k  0 график является прямой u   . При k  1 значение

интеграла (1) стремится к  при    .
2
Рис. 2.1. График функции F (, k )
В частном случае  

2
интеграл (1) называют полным эллиптическим
интегралом I-го рода:
 /2
K (k ) 
d
0
(2)
1  k 2 sin2 
Рис. 2.2 демонстрирует, каким образом значение интеграла (2) зависит от
значения модуля k . При k  1 интеграл K(k )   .
Рис. 2.2. График K(k )
Значение полного эллиптического интеграла I-го рода равно сумме
бесконечных рядов
 
1
 1 3  4
K (k )  1    k 2  
 k 
2
 24 
 2
2
2





и
2
4 1  4
2  2
K (k )  ln     ln 
k 
k   2   k  1  2 
2
2
2  4
 1 3   4

ln 



 k 
 2  4   k 1 2 3  4 
Здесь k   1  k 2 - дополнительный модуль.
2. Эллиптические функции. О.: Функция «амплитуда  »
  amu
является обратной к функции F (, k ) .
Легко устанавливается, что
1
d  du 
  
 1  k 2 sin2 (am u) .
du  d   am u
(3)
(4)
О.: Эллиптическими функциями Якоби называют эллиптический синус
(5)
z  sn(u, k )  sin(amu) ,
эллиптический косинус
z  cn(u, k )  cos(amu)
(6)
и функцию «дельта u »
(7)
z  dn(u, k )  1  k 2 sn 2 (u, k ) .
Основные свойства эллиптических функций:
sn2 u  cn2 u  1, dn 2 u  k 2 sn2 u  1,
(8)
d
sn u  cn u  dn u ,
du
d
cn u   sn u  dn u ,
du
d
dn u  k 2 sn u  cn u.
du
Первые два соотношения следуют из определения эллиптических функций,
остальные устанавливаются непосредственным вычислением производной.
Например:
d
d
d
(5)
sn u  sin(am u)  cos(am u)  am u 
du
du
du
 cos(amu)  1  k sin (amu)  cn(amu)  dn u .
2
2
Рис. 2. 3. Поведение функций snu, cnu и dn u
На рис. 2.3 изображено типичное поведение эллиптических функций
( 0  k  1 ). Функции snu и cnu являются периодическими с периодом 4K (k ) , у
функции dn u период равен 2K (k ) . Следует отметить, что в отличие от обычных
тригонометрических графики функций snu и cnu не переходят друг в друга
при сдвиге на четверть периода.
В случаях k  0 и k  1 эллиптические функции вырождаются в
элементарные. Если k  0 , то
sn u  sin u , cn u  cos u , dn u  1 .
При k  1 эллиптические функции оказываются непериодическими:
sn u  th u , cn u  dn u 
1
.
ch u
3.
Решение уравнения Дюффинга в эллиптических функциях.
Начнем с рассмотрения уравнения Дюффинга типа А:
d 2x
 x  x 3  0 .
2
dt
(6)
Пусть   0 . Из проведенного на предыдущей лекции анализа поведения
траекторий на фазовой плоскости следует, что в этом случае все нетривиальные
решения имеют колебательный характер. Будем разыскивать решение в виде
x(t )  Acn(u, k ), u   (t  t0 )
(7)
и попытаемся установить, каким образом величины
амплитуды A . Дифференцируя x(t ) , найдем:
k
и  зависят от
dx
  Asn(u, k )  dn(u, k ) ,
dt
(8)
d 2x
  2 Acn u  dn2 u   2k 2 A cn u  sn2 u 
2
dt
2
  Acn u 1  k 2  k 2cn 2u    2k 2 Acn u 1  cn 2u  
  2 A 1  2k 2  cnu  2 2k 2 Acn 3u .
d 2x
dx
Подстановка полученных выражений для
и 2 в уравнение (6) приводит к
dt
dt
соотношению
 2 A 1  2k 2  cnu  2 2k 2 Acn3u  Acn u   A3cn3u  0 .
(9)
Это соотношение будет тождеством при условии
(10)
 2  1  2k 2   1  0 , 2 2k 2   A2  0 .
Формулы (10) позволяют установить интересующую нас связь амплитуды A с
параметрами k и  :
k2 
 A2
,  2  1   A2 .
2
2(1   A )
(11)
Принимая во внимание, что период функция cnu равен 4K (k ) , запишем
выражение для периода колебаний
4 K (k )
(12)
T
.

Предположим теперь, что   0 . В этом случае амплитуда колебательных
решений удовлетворяет условию
(13)
A  A*  |  |1/2 .
Колебательное решение будем разыскивать в виде
x(t )  Asn(u, k ), u   (t  t0 ) .
(14)
Дифференцируя x(t ) , найдем:
dx
 A cn(u, k )  dn(u, k ) ,
dt
d 2x
  2 Asn u  dn 2 u   2 k 2 A cn 2 u  sn u 
2
dt
(15)
  2 A sn u   2 k 2 A2 sn3 u   2 k 2 Asn u   2 k 2 A sn3 u 


  2 A 1  k 2 sn u  2 2 k 2 A sn3 u .
dx
dt
Подстановка выражений для
и
d 2x
dt 2
в исходное дифференциальное
уравнение (6) приводит к соотношению


  2 A 1  k 2 sn u  2 2 k 2 A sn3 u  A sn u  A3 sn3 u  0 .
(16)
Соотношение (16) будет тождеством при условии
A2
A 2
2


1

k 
,
.
2
2  A 2
(17)
2
Рассмотрим колебательные решения с амплитудами, близкими к
предельному значению A* . На фазовом портрете этим решениям соответствуют
замкнутые фазовые траектории, лежащие в окрестности сепаратрисного
контура (рис. ?.? ). Из формул (17) следует, что при A  A*
1
(18)
.
k  1,  
2
Следовательно, период колебательных решений
T
4 K (k )

(19)

при A  A* .
Сепаратрисный контур на рис. ?.? состоит из четырех фазовых
траекторий: из двух вырожденных траекторий – точек ( A*,0) и ( A*,0) ,
отвечающих неустойчивым стационарным решениям x   A* , и двух
траекторий, соответствующих финитным апериодическим решениям
1
(t  t0 ) .
2
x(t )   A*th
(20)
В заключение можно отметить, что ситуация, когда семейство
периодических решений, выражаемых через эллиптические функции, включает
в качестве некоторого предела апериодические решение, записываемые с
помощью элементарных функций, является достаточно типичной.
Займемся теперь поиском решений уравнения Дюффинга типа В:
d 2x
 x   x3  0 .
dt 2
(21)
Колебательные решения существуют только тогда, когда   0 . Решения, в
которых значение интеграла энергии
соответствуют
колебаниям
положений равновесия x  
h
относительно
1

лежит в интервале
одного
из
двух
 1 
  4  ,0  ,


устойчивых
. Непосредственной подстановкой в (21) можно
убедиться, что эти решения имеют вид
x(t )   Adn(u, k ),
u   (t  t0 ) .
(22)
Здесь
1
 A

2

,
(22)

1 

k  2 1 
, 
A.
2 
2
 A 
Колебательным решениям с положительным значением интеграла
энергии соответствуют фазовые траектории, охватывающие сепаратрису,
лежащую на критическом уровне h  0 (рис. ?.?). В этом случае
(23)
x(t )  Acn(u, k ) , u   (t  t0 ) ,
где
A
k2 
 A2
2(  A2  1)
2

,
(24)
,  2   A2  1 .
4. Решение уравнения математического маятника в эллиптических
функциях. Уравнение, описывающее динамику математического маятника,
имеет вид
(25)
d 2x
dt 2
 sin x  0
и допускает интеграл энергии
2
1  dx 
 cos x  h
2  dt 
(25)
Значение интеграла энергии позволяет определить тип движения
маятника. Если h  1 , то маятник находится в состоянии устойчивого
равновесия. В случае 1  h  1 движение носит колебательный характер.
Значение интеграла h  1 возможно в неустойчивом (верхнем) положении
равновесия или в асимптотическое движение, в котором это неустойчивое
положение равновесия является пределом при t   . При выполнении условия
h  1 движение маятника является вращением.
Колебательные и вращательные решения уравнения можно получить в
эллиптических функциях.
Начнем с колебательных решений. Амплитуда колебаний маятника A
связана со значением интеграла энергии соотношением
(26)
h   cos A .
Принимая во внимание (26), получим, что в колебательном движении
2
 dx 
2 A
2 x
2
2 x
 dt   2(cos x  cos A)  sin 2  sin 2  k  sin 2 ,
 
(27)
A
2
где k  sin .
Для построения интересующего нас решения воспользуемся методом
разделения переменных:
dx
k 2  sin2
x
2
(28)
 dt .
В уравнении (28) вместо переменной x введем новую переменную  , связанную
с переменной x соотношением
x

(29)
sin  k sin .
2
2
После несложных преобразований уравнение приобретает вид, позволяющий
проинтегрировать его в эллиптических функций:
d
(30)
 dt    am(t  t )
0
1  k 2 sin2 
Отсюда следует, что поведение переменной x в колебательных решениях
описывается формулой
x  2arcsin k sn(t  t0 )
(31)
Период колебательного движения
T  4 K (k ) .
(32)
Займемся теперь вращательными движениями. Легко удостовериться, что
во вращательном движении
(33)
dx
2
x
  1  k 2 sin2 ,
dt
где k 2 
2
.
h 1
k
2
Выбор знака в (33) определяется направлением вращения
маятника.
Полезной характеристикой вращательного движения является угловая
скорость маятника в момент прохождения нижнего (устойчивого) положения
равновесия:
(34)
 dx 
 
.
 dt  x 0(mod 2 )
С h и k величина  связана соотношениями
2  2(h  1) , k 
2
.
||
(35)
Интегрируя (33) методом разделения переменных, получим
t

2
x /2

0
d
x 
 F  ,k  .
2
2
2 
1  k sin 
(36)
Из уравнения (36) следует, что во вращательном движении
 t 
x  2am   .
 2 
(36)