Электромагнитные процессы при высокой энергии

Электромагнитные процессы при высокой энергии
в ориентированных монокристаллах
В. М. Катков
Институт ядерной физики им. Будкера СО РАН,
Новосибирский государственный университет,
630090 Новосибирск, Российская Федерация
1
Движение быстрых заряженных частиц в ориентированных монокристаллах
В монокристаллах существуют выделенные направления (плотно упакованные атомами кристаллографические оси или плоскости), при движении вблизи которых существенны корреляции между соударениями быстрой частицы с атомами решетки.
Если такая частица движется под малым углом к одной из кристаллических осей или
плоскостей, то будет большой эффективная константа ее взаимодествия с атомами
решетки. Движение в этом случае может быть рассмотрено в рамках классической
механики.
При движении в кристалле под малым углом ϑ0 к одной из осей (оси z ), существенны корреляции между последовательными соударениями частицы с атомами цепочки. Корреляции проявляются в том, что изменение прицельного параметра
между последовательными соударениями частицы с атомами мало по сравнению с
прицельным параметром, так что движение частицы в кристалле будет определятся,
главным образом, средним непрерывным потенциалом цепочек атомов кристалла,
усредненным по координате z
U (ρ) =
1 R∞
dzU (r),
L−∞
U (r) =
P
n
u(r − rn ),
(1)
где rn - положение атома в решетке, L - толщина кристалла.
Потенциал U (ρ), в котором происходит движение частицы в кристалле является довольно сложной функцией координат x и y. В случае ориентации кристалла
вдоль главных осей потенциалы соседних цепочек атомов слабо пекрываются в пределах элементарной ячейки, и потенциал в пределах этой ячейки можно считать
цилиндрически-симметричным. Анализ различных процессов, сопровождающих прохождение частицы через кристалл, в этом случае существенно упрощается. В конкретных вычислениях используются различные интерполяции U (ρ). Нами используется потенциал оси в форме (изложение проблем, связанных с кристаллами, следует
книгам (Байер, Катков, Страховенко, 1987) и (Байер, Катков, Страховенко, 1998)
1
U (x) = V0 [ln(1 +
x = ρ/a2s ,
1
1
) − ln(1 +
)],
x+η
x0 + η
1/x0 = πa2s nd = πa2s /s,
(2)
(3)
где n - плотность атомов в кристалле, s - эффективный радиус экранирования
потенциала цепочки, s - площадь, приходящаяся на одну цепочку, d - среднее расстояние между атомами в цепочке. Для оценок можно считать V0 ' Ze2 /d, η '
2u21 /a2s , где u1 - амплитуда тепловых (нулевых) колебаний атомов в кристалле. Фактически же параметры потенциала находились при помощи подгоночной процедуры.
Для широко используемых в физике высоких энергий кристаллов они приведены в
таблице, где энергия дается в электрон-вольтах, а длина в ангстремах. При комнатной температуре для всех кристаллов выбрана ось <111> . Первые три кристалла
представляют структуру алмаза, где в элементарной ячейке содержится 8 атомов, а
кристаллы вольфрама имеют объемоцентрированную кубическую решетку с двумя
атомами на ячейку.
Кр V0
x0
u1
as
C 29 5.5 0.040 0.326
Si 54 15.1 0.075 0.299
Ge 91 16.3 0.085 0.337
W 417 39.7 0.050 0.215
2
η
0.025
0.150
0.130
0.115
Квазиклассический метод для описания излучения частиц большой энергии
Квантовые эффекты излучения электронов и позитронов и процесс рождения электронпозитронных пар фотоном в полях кристаллов тяжелых элементов с ростом энергии
начинают проявляться достаточно рано (∼ 10 ГэВ для кристаллов тяжелых элементов ). Как уже отмечалось, движение частицы в этом случае можно описывать
классическим образом, необходимо только учитывать квантовый характер излучения (отдачу при излучении). Указанные особенности движения и излучения частиц
лежат в основе квазиклассического операторного метода (Байер, Катков, 1967). Изложение этого метода следует книге (Байер, Катков, Фадин, 1973)
Запишем решение уравнения Дирака в операторной форме (ниже мы будем использовать систему единиц ~ = c = 1)
|i, ζ, ti = uζ (P) exp(−iHt)|ii,
P = − i ∇− eA,
H=
√
P2 + m2 + V (r).
(4)
Здесь uζ (P) - решение уравнения Дирака для плоских волн, в котором произведена замена p → P, |ii – начальное состояние электрона в конфигурационном пространстве. Такое представление возможно, поскольку движение частицы не зависит
от спина, а коммутаторами операторов, содержащихся в u , можно пренебречь. Тогда
матричный элемент, входящий в вероятность излучения фотона, приобретает вид
2
ie
Mf i = √
2π ω
Z
ie
M= √
2π ω
0
dthf, ζ , t|(e∗ γ) exp[i(ωt − kr)]|i, ζ, ti = hf |M |ii,
(5)
Z
dt exp[ikx(t)]uζ 0 (P(t) − k)(e∗ γ)uζ (P(t)),
(6)
kx(t)=ωt − kr(t),
здесь P(t) и r(t) - Гейзенберговские операторы импульса и координаты. Если нас не
интересуют конечные сосещяния
электрона, то нужно првести суммирование вероятP
ности излучения по f : f |f ihf | = 1 . В результате получаем следующее выражение
для вероятности излучения фотона
dwγ = hi|M + M |iid3 k.
(7)
В этом выражении содержится оператор
L(τ ) = exp[−ikx(t1 )] exp[ikx(t2 )]
= exp[−ikx(t1 )] exp(iHτ ) exp[ikx(t1 )] exp(−iHτ )
(8)
0
= exp(iH τ ) exp(−iHτ ) exp(iωτ ),
q
0
H(P1 ) = P21 + m2 , H = H(P1 −k)+V (r1 ).
(9)
Взяв производную по τ, имеем
dL(τ )
0
0
= i exp(iH τ )(H − H + ω) exp(−iHτ )
dτ
0
p
(H(t1 ) − ω)2 + 2kP (t1 ) − H(t1 ) + ω
kP (t1 )
'
,
P0 = H.
H(t1 ) − ω
H −H +ω =
(10)
(11)
Пронося полученный оператор направо, приходим к следующему диференциальному
уравнению для оператора L(τ )
dL(τ )
kP (t1 + τ )
=
L(τ ), L(0) = 1,
dτ
H(t1 + τ ) − ω
решение которого имеет вид
 t

Z2
kP (t)
L(τ ) = T exp i
dt , kP (t) = ωH(t) − kP(t),
H(t) − ω
t1
где T− оператор хронологического произведения.
3
(12)
(13)
При движении ультрарелятивистской частицы в макроскопическом внешнем поле
все операторы, стоящие в обкладках начального состояния в выражении для вероятности излучения, можно считать коммутирующими между собой и заменить на
классические значения. В результате получаем
·
¸
ie R∞
ε
M= √
R(t) exp i
kx(t) dt,
(14)
ε−ω
2π ω −∞
R(t) = ϕ+
(A + iσB)ϕζ ,
ζ0
µ
¶
1
ε
ω ∗
A=
1+
e∗ v,
B=
e ×b,
2
ε−ω
ε−ω
n
ε
k
b= n − v+ , γ =
À 1, n = ,
γ
m
ω
(15)
(16)
(17)
где v = v(t)− скорость частицы, ϕζ − двухкомпонентный спинор, описывающий спиновые состояния частицы в ее системе покоя , σ− матрицы Паули. Поскольку при
релятивистском движении частицы изменение спина за время формирования излучения такого же порядка, как изменение ee скорости (∼ 1/γ), входящие в M спиноры
можно считать не зависящими от времени. Таким же образом можно вычислить вероятность рождения пары фотоном во внешнем поле. Эта вероятность получается
из рассмотренной выше с помощью замен:
(+)
(+)
pν → −pν , kν → −kν , d3 k → d3 p, ζq → −ζq , ζ⊥ → ζ⊥ , e∗ → e.
3
(18)
Радиационные процессы в кристаллах. Предел постоянного поля
Поскольку при осевой ориентации усредненный потенциал кристалла зависит только
от поперечной координаты ρ, сохраняется продольный импульс частицы и ее поперечная энергия ε⊥ ' 2⊥ /2ε + U (ρ). Мы будем рассматривать случай релятивистского
поперечного движения p⊥ À m, v⊥ À 1/γ. Для этого должно выполняться условие
εV0 À m2 . Для кристаллов тяжелых элементов это условие начинает выполняться
при энергии электронов ∼ 1 ГэВ.
Из полученного выражения для вероятности излучения (в котором учтена отдача на классической траектории частицы) видно, что основные особенности формирования излучения такие же, как в классической электродинамике. Так, на участке
траектории с постоянной кривизной длина формирования фотона определяется углом поворота электрона на угол ∼ 1/γ. Поперечный имульс при этом изменяется
на величину ∼ m, так что длина формирования излучения lf ∼ lc ≡ m/F⊥ , где
F⊥ поперечная сила, действующая на электрон. При осевой ориентации кристалла
F⊥ ∼ V0 /ρ , lf ∼ ρm/V0 , а длина , которую проходит частица, двигаясь под углом
ϑ0 к оси и смещаясь в поперечном направлении на расстояние ρ: l = ρ/ϑ0 . При
выполнении условия lf ¿ l (ϑ0 ¿ V0 /m) изменение ρ на длине формирования излучения мало и поперечную силу на этой длине можно считать постоянной. Излучение
4
в этом случае носит локальный характер. Если условие постоянства поля недостаточно хорошо выполняется, необходимо использовать поправки на неоднородность
поля, полученные из общей формулы для вероятности излучения.
При ϑ0 À V0 /m излучение формируется на многих осях, при этом изменение
поперечного импульса электрона на длине формирования фотона является периодическим. В этом случае удобно перейти в систему, где ось z направлена вдоль среднего
импульса электрона. Характер излучения в этом случае будет зависеть от релятивизма поперечного движения электрона. Если p⊥ ¿ m (достаточно большие углы
ϑ0 ), то излучение имеет дипольный характер (Комптон- эффект на эквивалентных
фотонах поля кристалла) , а при p⊥ & m возникает понятие эффективной массы
частицы, которая входит в выражение для характерных частот излучения. Вообще говоря, здесь сушествует определенная связь с процессами в поле интенсивной
немонохроматической плоской волны.
Отметим, что все характеристики радиационных процессов в поле плоской волны в любом случае можно получить из квазиклассических формул. Для этого, при
необходимости, надо перейти в систему движущуюся вместе с волной, сделав характерные частоты поля волны достаточно малыми, а энергию частицы достаточно
большой. Полученные в этой системе конечные результаты надо выразить через инвариантные параметры.
В случае плоскостной ориентации частиц, которую можно обеспечить, выбрав
угол ϑ0 по направлению к другой оси, может возникнуть ситуация, когда на движение электрона одновременно действует поле плоскости и периодическое поле осей
кристалла. При этом возникает задача, во многом схожая с задачей о радиационных процессах в поле плоской волны и постоянном внешнем поле (Байер, Катков,
Страховенко, 1991).
Такой совершенно разный характер движения частицы на длине формирования
фотона, определяет специфические свойства спектрального распределения излучения в зависимости от угла влета частицы в монокристал.
В классическом случае при движении в постоянном поле характерная энергия
фотона ωcl = γ 2 /lc , а ее отношение к энергии электрона ε определяет квантовый
параметр χ:
ωcl
γ 2F
γE
,
E0 = m2 /e = 1.32 · 1016 V / cm .
(19)
=
=
ε
εm
E0
В квантовом случае, когда параметр χ не мал, верхняя граница излучаемых частот
определяется из соотношения
√
m
εχ
2V0 x
ε(ε − ωb )
= lc = , ω b =
, eE =
,
(20)
m2 ωb
F
χ+1
as (x + η)(x + η + 1)
χ=
´
V0
1 ³p
, xm =
1 + 16η(1 + η) − 1 − 2η .
(21)
eu1
6
Здесь Em − максимальное значение электрического поля, которое в охлажденных
кристаллах тяжелых элементов достигает значений ∼ 1012 V / cm. Для таких полей
Em = E(xm ) ∼
5
уже при энергии электрона ε ∼ 5 GeV, χ ∼ 1 и становятся существенными квантовые эффекты излучения. Заметим, что при χ = 1/10 интенсивность излучения,
рассчитанная по точным формулам, в два раза меньше классической. Это связано с
тем, что ряды по степеням χ для вероятности и интенсивности излучения являются
асимтотическими.
При больших значениях χ À 1 максимум спектрального распределения фотона
приходится на самый конец спектра, где мал интервал ∆ω ∼ ε − ωb ' ε/χ ¿ ε.
Поэтому относительно мал вклад этой области в средние потери энергии электрона.
Основной вклад в эти потери дают фотоны с энергией ε − ω ∼ ε. Но в случае ε− ω À
ε−ωb длина формирования излучения увеличивается, а углы излучения расширяются
ϑ À 1/γ, при этом lf ∼ (ωϑ2 )−1 . С другой стороны, изменение скорости частицы
на длине формирования фотона должно быть порядка угла излучения F lf /ε ∼ ϑ.
Откуда следует самосогласованное условие
µ
1
εϑ
= lχ =
,
2
ωϑ
F
ϑχ =
F
ε2
¶1/3
=
χ1/3
,
γ
lχ = χ1/3 lc .
(22)
Из этого выражения видно, что в рассматриваемом случае характеристики процесса
не зависят от массы частицы. Учитывая константу электромагнитного взаимодействия α ¿ 1, можно оценить вероятность и интенсивность излучения в классическом
и квантовом случаях:
Wcl = c1
Wχ = c3
α
αm2 χ
= c1
,
lc
ε
Icl = c2
αm2 χ2/3
α
= c3
,
lχ
ε
√
c1 = 5 3/6, c2 = 2/3,
c4
16
ε
ω=
ε= ε' .
63
4
3
3
αωcl
= c2 αm2 χ2 ,
lc
I χ = c4
= 14Γ(2/3)32/3 /27,
αε
= c4 αm2 χ2/3 ,
lχ
c4 = 32Γ(2/3)32/3 /243,
(23)
(24)
(25)
Здесь ω− средняя энергия уносимая фотоном энергия при χ À 1.
Выше были проведены оценки характеристик излучения для локальных значений
χ(ρ). Для того, чтобы получить характеристики излучения на выходе из кристалла,
надо знать функцию распределения частиц по ρ. Если пренебречь потерями энергии
и рассеянием электронов на тепловых (нулевых) колебаниях атомов (высокие энергии, достаточно тонкие кристаллы), то плотность распределения не будет меняться
при прохождении частиц через кристалл. Для
p осевой ориентации при углах влета
\
б ольших, чем угол Линхарда (ϑ0 > ϑL = 2U0 /ε, U0 − глубина потенциальных
воронок для электронов и высота потенциальных пиков для позитронов (U0 = U (0),
ϑL ¿ V /m)), распределение по ρ будет равномерным, и тогда задача сводится к
усреднению характеристик излучения по ρ (интегрированию по d2 ρ с весом 1/s). В
этом случае излучение электронов и позитронов не отличаются друг от друга. Для
ϑ0 < ϑL плотность частиц после их влета в кристалл определяется выражением
6
Z
Z
d2 ρ0
ϑ(ε⊥ (ρ0 ) − U (ρ)),
n(ρ, ϑ0 ) =
S(ε⊥ (ρ0 ))
ε⊥ (ρ0 ) = εϑ20 /2 + U (ρ0 ),
S(ε⊥ (ρ0 )) =
d2 ρϑ(ε⊥ (ρ0 ) − U (ρ)), (26)
(27)
где ϑ(x)− функция Хевисайда. При ϑ0 = 0 плотности электронов и позитронов существенно отличаются и имеют следующий вид
s
x0
s
x0
= ln ,
n+ = ln
= ln
.
(28)
2
2
πρ
x
s − πρ
x0 − x
В этом случае почти все позитроны имеют энергию ε⊥ ¿ U0 , а для электронов
ε⊥ ' U0 . Такое отличие распределения по координате от равномерного приводит
к существенному росту вероятности излучения электонов и подавлению излучения
позитронов. Для высоких энергий этот эффект наблюдался в кристаллах германия
при ε = 150 GeV. Следует, однако, иметь в виду, что с ростом энергии частиц угол
Линдхарда уменьшается, и ограничение ϑ0 ¿ ϑL связано с большими потерями интенсивности самого электронного пучка. Поэтому в экспериментах, проводимых в
настоящее время, как правило, используют пучки частиц с угловой расходимостью
∼ V0 /m. В дальнейшем мы будем использовать равномерное распределение по координате и проводить итегрирование полученных выржений по x от 0 до x0 с весом
1/x0 .
Рассмотрим сначала интенсивность излучения в классическом случае χm ¿ 1,
I ∝ χ2 . Поскольку при À 1 параметр χ ∝ x−3/2 , периферическая область ячейки
вклада не дает и интеграл по x можно распространить до ∞. В области η < x < 1,
χ ∝ x−1/2 , и этот интервал (ρ меняется от амплитуды тепловых колебаний до радиуса
экранирования) дает основной (логарифмический = (1 + 2η) ln[(1 + η)/η] − 2) вклад в
интенсивность излучения при относительно малых энергиях частиц. Другая ситуация возникает при χs À 1 (χs = V0 ε/m3 as ). Поскольку при больших χ интенсивность
излучения I ∝ χ2/3 , область малых x вклада не дает, и в основном работает перефе2/3
1/3
рическая область 1 < x < χs (χ(x) = 1), (ρ меняется от 1 до as · χs ), вклад которой
также логарифмический. С ростом энергии частицы эта область расширяется вплоть
2/3
до значений χs = x0 , где логарифмический рост прекращается.
Если, также как в аморфном веществе, ввести понятие радиационной длины
n− = ln
I
αV0
, g1 = 0.3925, g0 ' 0.676,
(29)
'
g1 (ln χs + g0 )χ−1/3
s
ε
mx0 as
' exp(3 −
то в области формального максимума обратной радиационой длины χmax
s
от
χ
.
Большой
интерес
g0 ) возникает широкое плато на кривой зависимости L−1
s
ch
представляет максимальное превышение Lrad над Lch , грубая оценка которго имеет
вид
L−1
ch =
rγmax ∼
(as /λc )
.
3Zα ln (183Z −1/3 )
(30)
Отсюда следует, что rγmax тем больше, чем меньше Z и чем больше as . Максимальный
выигрыш среди используемых веществ достигается в алмазе ∼ 160, но для этого
7
нужна энергия εmax ' 3.5T eV . В кристаллах вольфрама этот максимум находится
при энергии ' 0.4 TeV, однако, сам выигрыш на порядок меньше
Все проведенные выше оценки для L−1
ch в области больших энергий электронов
(χs À 1) справедливы и для вероятности рождения электрон-позитронных пар фотоном при (κ = (ω/ε)χs À 1). В асимптотической формуле фактически меняется
только константа g0
Wp '
αV0
gp1 (ln κs + gp0 )κs−1/3 , gp1 = 0.4017, gp0 = −0.374,
mx0 as
5 · 36 Γ3 (2/3)
gp1
=
' 1.023.
g1
7 · 27 π 2
(31)
(32)
Это приводит к знчительному смещению формального положения максимума вправо
ωmax = 2.86 · εmax , что, однако, незначительно влияет на саму величину Wpmax Lmin
ch '
0.72. Это соотношение близко к существующему в аморфном веществе Wp Lrad = 7/9,
поэтому величина rmax практически одинакова для обоих процессов. Рассмотренные выше особенности излучения и рождения пар при свервысоких энергиях частиц
приводят к развитию каскада, по своим свойствам похожему на каскад в аморфном
веществе, только происходящему на существенно меньших длинах.
4
Заключение
Итак, мы выяснили, что в зависимости от угла падения начальной частицы на кристалл существуют разные механизмы излучения и рождения пар. В области высоких
энергий процессы в полях осей протекают значительно интенсивнее, чем в аморфном веществе, являясь эффективным механизмом перекачки энергии заряженных
частиц в фотоны и фотонов в электрон-позитронные пары. Если учесть, что при
определенных условиях сохраняется спиральность, то при этом можно перекачивать
также продольную поляризацию частиц.
Эти особенности процессов могут найти практическое применение. Одно из приложений – малогабаритные конвертеры, преобразующие энергию заряженных частиц
в излучение. Существует международная коллаборация исследования использования
кристаллов как источника позитронов для линейного коллайдера. Еще одно возможное приложение – применение кристаллов для детектирования фотонов, электронов
и позитронов. Из проведенного анализа вытекает, что с использованием кристаллов
можно создать сравнительно небольшой электромагнитный калориметр, обладающий к тому же высоким угловым разрешением. Оба эти качества могут быть полезны как в физике высоких энергий, так и в астрофизике. Предложение использовать
ливневые процессы в ориентированных кристаллах для создания компактного детектора космических частиц сверхвысоких энергиий было высказано в работе (Байер,
Катков, Страховенко, 1986). Мы не обсуждаем здесь область низких энергий (десятки МэВ), где механизм излучения электронов совсем другой.
8
5
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Байер В.Н., Катков В.М., 1967. Процессы при движении частиц высокой энергии в
магнитном поле. ЖЭТФ, Т.53, №4 (10), стр. 1542.
Байер В.Н., Катков В.М., Фадин В.С., 1973. Излучение релятивистских электронов. М.: Атомиздат, 374 с.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко, 1989. Электромагнитные процессы при
высокой энергии в ориентированных монокристаллах. Новосибирск, <<Наука>>,
Сибирское отделение, 400 с.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко, 1998. V.N.Baier, V.M.Katkov, V.M. Strakhovenko,
Electromagnetic Processes at High Energies in Oriented Crystals (Singapore: World Scientific),
554 p.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко, 1991. Квазиклассическая теория электромагнитных процессов в поле плоской волны и постоянном поле. ЖЭТФ, Т.100, стр.
1713.
Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко, 1986. Baier V.N., Katkov V.M., Strakhovenko
V.M., A Detector of Superhard Photons Using Aligned Single Crystals. Nucl. Instrum.
and Meth., Vol. A250, P.514.
9