АКУСТИЧЕСКАЯ ВОЛНА В СРЕДЕ С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

Известия НАН Армении, Физика, т.50, №2, с.242-247 (2015)
УДК 534.222
АКУСТИЧЕСКАЯ ВОЛНА В СРЕДЕ
С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ
А.В. ШЕКОЯН
Институт механики НАН Армении, Ереван, Армения
e-mail: ashotshek@mechins.sci.am
(Поступила в редакцию 21 марта 2014 г.)
В рамках гамильтонова формализма выведены уравнения для акустической волны, взаимодействующей с точечными дефектами. Изменения количества дефектов с учетом различных взаимодействий описываются кинетическими
уравнениями. Из полученной замкнутой системы уравнений выведены выражения для линейного коэффициента поглощения и дисперсии. Выведено нелинейное трехмерное уравнение Шредингера, исследована устойчивость нелинейной
акустической волны и найдено условие фокусировки волны.
1. Введение
Различными воздействиями на среду можно создать точечные дефекты,
которые влияют на распространение акустической волны. В 70-е и 80-е годы
прошлого века во многих экспериментальных работах, где изучали воздействие
электромагнитного излучения на материал, оно не сводилось к простому нагреву среды. Наблюдались избирательный характер воздействия на рост кристаллов, появление свободных атомов, диссоциация молекул, точечные дефекты и
другие явления [1]. С помощью лазеров можно управлять изменениями в системе дефектов. При этом может происходить генерация точечных дефектов
(вакансии и межузельные атомы). В случае мощных лазерных импульсов дефекты возникают во всем объеме твердого тела [2].
При распространении в среде интенсивных объемных упругих волн, которые могут взаимодействовать с дефектами, появляются новые эффекты [3].
Иногда плотность точечных дефектов может значительно превышать равновесную. Кинетика изменения плотности дефектов описывается кинетическими
уравнениями.
Целью данной работы является вывод нелинейных уравнений для описания распространения акустической волны с конечной амплитудой, которая
взаимодействует с точечными дефектами (вакансии и межузельные атомы). Эти
дефекты генерируются в значительном количестве лазерным лучом. Дефекты
диффундируют, взаимодействуют со стоками, дислокациями, друг с другом и с
упругой волной.
242
2. Вывод исходных уравнений
Предположим, что имеем упругую изотропную диэлектрическую среду,
имеющую многочисленные точечные неравновесные дефекты, которые создаются нетермическим излучением. В такой среде распространяется интенсивная
упругая волна.
Взаимосвязанная система уравнений состоит из кинетических уравнений, описывающих изменения числа точечных дефектов (вакансии и межузельные атомы), и уравнений, описывающих распространение нелинейной упругой
волны [1-3].
Эти уравнения имеют вид [1,2]

 2ui ik

,
t 2
xk
(1)
n1
 u u u 
 q01  q1  1  2  3   D1n1  1n1  12 n2 ,
t
 x1 x2 x3 
(2)
n2
 u u u 
 q02  q2  1  2  3   D2 n2  2 n2  21n1 ,
t
 x1 x2 x3 
(3)
где тензор упругих напряжений ik определяется из известного соотношения
ik 
F
.
 ui 


 xk 
(4)
Здесь ui – компоненты смещения, n1 и n2 – объемные концентрации вакансий и
межузельных атомов в единице объема среды, соответственно,  – плотность
материала, q01 и q02 – скорость генерации точечных дефектов при отсутствии
деформации, D1 и D2 – коэффициенты вакансий и межузельных атомов, соответственно, 12 и 21 – скорости взаимной рекомбинации дефектов типа „межузельный атом–вакансия” и „вакансия–межузельный атом”, соответственно, а 1
и 2 – скорости рекомбинации дефектов на стоках, t – время,  – оператор
Лапласа, xi – координаты, q1 и q2 – коэффициенты взаимодействия деформации с дефектами. F – свободная энергия единицы объема среды, имеющая
следующий вид [4]:

1
C

 1
F  F0  ull2    uik  ik u22   Auik uil ukl  Buik2 ull  ull3 
2
2
3

 2
2
(5)
q
1
d1ull n1  d 2ull n2  3 ull2 n1  q4ull n12  q5 n2ull2  q6ull n22 ,
2
2
где F0 – свободная энергия единицы объема среды до возмущения,  и  –
коэффициенты Ламе, A, B и C – модули Ландау третьего порядка, d i и qi –
коэффициенты, первый из которых характеризует взаимодействие акустической
243
волны с дефектами, а второй – нелинейные взаимодействия. Выражение (5)
построено по методу, описанному в [4].
После соответствующих математических расчетов с использованием
формул (4) и (5) получим следующие уравнения для смещений ui:

 2u3
 2u3
  u1 u2 
 n n n 

a
   u3  d 0

 d1  1  1  1  


2
2
t
x3
x3  x1 x2 
 x1 x2 x3 
 n n n
d 2  2  2  2
 x1 x2 x3
2q4 n1
 2u3 u3
 2u3
u n


P

q
n
 q3 3 1 
3
1

2
2
x3 x3
x3
x3 x3

(6)
n1
 2u
u n
n
 q5 n2 23  q5 3 2  2q0 n2 2 ,
x3
x3
x3 x3
x3

 2u1,2
u1,2
 2u3
n
n



d
 d1 1  d 2 2 ,
2
2
t
x3
x1,2 x3
x1,2
x1,2
(7)
где
4
2
2
a     , P  4  2 A  6 B  3  2C ,    2  2 .
3
x1 x2
К уравнениям (6) и (7) следует добавить уравнения (2) и (3) и получится
замкнутая система, описывающая распространение интенсивной упругой волны
с учетом ее взаимодействия с точечными дефектами. Интенсивная упругая
волна распространяется вдоль оси x3 . В уравнении (6) учитываются по порядку
самые большие нелинейности. Поперечные смещения являются следствием,
они малы и поэтому эти уравнения линеаризованы.
Решение уравнений (2) и (3) следует искать в виде
ni  n 'i  n ''i
i  1,2 ,
где n 'i – количество дефектов до распространения упругой волны, а n ''i – после
распространения. После подстановки вышеуказанного решения в линейные
уравнения (2) и (3) они разделяются на две части для n 'i и n ''i , но так как n 'i
удовлетворяет исходным уравнениям, то система уравнений (2) и (3) превратится только для n ''i , где, однако, будут отсутствовать q01 и q02 . Для простоты
записи в дальнейшем штрихи опустим.
3. Линейное одномерное приближение
Линеаризируя систему уравнений (2), (3), (6) и (7), в одномерном случае

 

 x  x  0  получим
2
 1


 2u
 2u
n
n

a
 d1 1  d 2 2 ,
2
2
t
x
x
x
244
(8)
n1
u
2n
 q1
 D1 21  1n1  12 n2 ,
t
x
x
(9)
n2
u
2n
 q2
 D2 22  2 n2  21n1 .
t
x
x
(10)
Для упрощения записи в уравнениях (8)–(10) введены обозначения u3  u и
x3  x . Решение системы уравнений ищем в виде бегущей волны
exp i  t  kx  , где  – частота и k – волновое число. Подставляя решение в
систему уравнений (8)–(10), получим систему алгебраических уравнений для
амплитуд  u0 , n01 , n02  , решение которой даст следующее дисперсионное уравнение:
  v k  
2
2
0
2
k 2 v02  P1  k 2 P2  iP4 
a  2  k 4 D1 D2  k 2 P3  12  iP6 
,
(11)
где
a
v02  , P1  q2  12 d1  d 22   q1 21d 2  d12  , P2  qk d 2 D1  q1 D2 d1 ,

P3  2 D1  1 D1 , P4  q2 d 2  d1q1 , P5  v02  P3 , P6  k 2  D1  D2   1  2 .
В уравнение (11) подставлено   0  1  i , где 1 – дисперсия,  –
коэффициент поглощения акустической волны и 02  v02 k 2 . Считая, что дисперсия и диссипация малы, и разделяя мнимые и действительные части, для 1 и
 получим следующие выражения:
1 k 6 P2 D1 D2  k 4 I1  k 2 I 2  P112 

1  0 1 
,
P72  02 P62
 2a


1 k 4 P4 D1 D2  k 2  P4 P5  P2 P6   P412
,
2a
P72  02 P62
(12)
(13)
2
где P7  k 4 D1D2  k 2 P5  12 , I1   P2 P5  PD
1 1 D2 , I 2  P5 P1  P212  v0 P4 P6 . Как
видно из выражений (12) и (13), 1  0 ~ 1 k и  ~ 1 k 4 , т.е. коэффициент
поглощения сильно зависит от волнового числа.
В некоторых случаях взаимодействие упругих деформаций с точечными
дефектами происходит гораздо быстрее, чем диффузия, и диффузионные эффекты не успевают проявиться. В этом случае в уравнения следует подставить
D1  D2  P2  P3  0 . Тогда выражения (12) и (13) упрощаются и принимают
следующий вид:
2 2

1 k v0  P1  P4  1  2   P112 

,
1  0 1 
2
2
 2a 12  02   02  1  2  
245

1
P412  k 2 P4 v02
.
2a 12  02 2  02 1  2 2
Из этих формул видно, что 1  0 ~ k 2 и  ~ 1 k 2 .
4. Уравнение Шредингера
Наличие дисперсии и диссипации дает возможность искать решение
системы уравнений (2), (3), (6) и (7) в виде квазимонохроматической волны
 ui , ni  


1
u0i  xi  , n0i  xi  ei   u '0i  xi  , n '0i  xi  e2i  u ''0i , n ''0i  c.c. , (14)
2 
где   t  kx3 , а u01 и n01 – медленно меняющиеся комплексные амплитуды
первой гармоники, однократно штрихованные – комплексные амплитуды второй гармоники, двукратно штрихованные – свободные члены. Исследуется
дифракционная задача, когда вклад свободных членов мал, и поэтому ими
можно пренебречь [4,5]. Как видно из (14), рассматривается стационарный
случай, т.е. амплитуды не зависят от времени.
Нестационарный случай после соответствующей замены переменных
переходит в стационарный случай [4,5] и, таким образом, рассмотрение стационарного случая не теряет общности.
Подставляя решение (14) в систему уравнений (2), (3), (6) и (7) и приравнивая к нулю коэффициенты у экспонент, получим новую систему уравнений для амплитуд, которая упрощается, как это описано в [4]. Тогда получится
нелинейное уравнение Шредингера следующего вида
2ik
u03
2
  b1  ib2  1u03  T1  iT2  u03 u03 .
x3
(15)
Второе слагаемое в уравнении (15) обусловлено дифракцией. Величины
b1 и b2 содержат все линейные постоянные коэффициенты исходных уравнений. Величины T1 и T2 – нелинейные постоянные, куда входят все нелинейные
коэффициенты исходных уравнений. Величина T1 обусловлена нелинейностями, а T2 обусловлена нелинейным поглощением, которое существенно влияет
на устойчивость и фокусирование акустической волны. Они весьма громоздки,
поэтому здесь не приводятся.
Условие устойчивости модуляционной волны имеет вид [4,5]
Im k '3  0  x3  0  , где k '3 – волновое число модуляционной волны. Из анализа
выражения для k '3 следует, что, если 2b2 k2  2a12T2  0 , то при k  b12  b22  
a1  3b2T2  2b1T1   0 имеет место устойчивость, а при обратном знаке последнего неравенства – неустойчивость ( a1 – амплитуда модуляционной волны).
Уравнение (15) в рамках теории узких пучков [4,5] дает возможность исследовать фокусирование акустической волны. Например, если исходный фронт
246
1
плоский, то имеет место самофокусировка, если f '  0    T2 a02 k 1  0 . Отсюда
2
следует, что T2  0 , здесь a0 – амплитуда при x3  0 и f – безразмерная ширина
пучка акустической волны.
Автор выражает благодарность Ю.Г. Санояну за помощь в работе.
ЛИТ ЕР АТ УР А
1. Ф.Х. Мирзоeв, В.Я. Панченко, Л.А. Шелепин. УФН, 166, 3 (1996).
2. О.В. Артамоновна, В.И. Ерофеев. Сб. IX Всеросийской научной конференции
„Нелинейные колебания механических систем”, 2012, с.84.
3. Ю.И. Лисиков. Прикладная механика и техническая физика, 4, 56 (1984).
4. А.Г. Багдоев, В.И. Ерофеев, А.В. Шекоян. Линейные и нелинейные волны в
диспергирующих сплошных средах. М., Физматлит, 2009.
5. А.Г. Багдоев, А.В. Шекоян. Акустический журнал, 45, 149 (1999).
ԱԿՈւՍՏԻԿ ԱԼԻՔՆԵՐ ԿԵՏԱՅԻՆ ԴԵՖԵԿՏՆԵՐ ՈւՆԵՑՈՂ ՄԻՋԱՎԱՅՐՈւՄ
Ա.Վ. ՇԵԿՈՅԱՆ
Համիլտոնյան ֆորմալիզմի սահմաններում` արտածված են կետային դեֆեկտների հետ
փոխազդող ակուստիկ ալիքի համար հավասարումներ: Դեֆեկտների փոփոխությունը, հաշվի
առնելով դրանց բազմաթիվ փոխազդեցությունները, նկարագրվում են կինետիկ հավասարումներով: Ստացված փակ հավասարումներից արտածված են գծային ալիքի կլանման գործակցի և
դիսպերսիայի համար արտահայտություններ: Արտածված են եռաչափ ոչ գծային Շրեդինգերի
հավասարումը և հետազոտված են ակուստիկ ոչ գծային ալիքի կայունության և ֆոկուսացման
պայմանները:
ACOUSTIC WAVE IN A MEDIUM WITH POINT DEFECTS
A.V. SHEKOYAN
In the framework of Hamiltonian formalism the equations for acoustic wave interacting
with point defects are derived. Alterations in the number of defects with regard to their various
interactions are described by the kinetic equations. From the obtained closed system of equations
the linear coefficient of absorption and dispersion are derived. Nonlinear three-dimentional
Schrödinger equation is derived, the stability of nonlinear acoustic wave is investigated and a
condition of wave focusing is found.
247