Хаотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений Евгений Георгиевич Якубовский

1
Хаотические решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
Евгений Георгиевич Якубовский
Инженер вычислительного центра, Национальный Минерально-Сырьевой
Университет «Горный»,
г. Санкт-Петербург
E-mail yakubovski@rambler.ru
Аннотация
В математике вводится понятие хаотического решения обыкновенных
дифференциальных уравнений. При малых отклонениях начальных данных
получается большое отклонение решения. Оказывается, при кратных
координатах положения равновесия у автономной нормальной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка наблюдается
хаотическое решение.
Ключевые слова: хаотическое решение обыкновенных дифференциальных
уравнений, кратные координаты положения равновесия
Chaotic Solutions
Ordinary Differential Equations
Evgeniy Georgievich Yakubovski
Engineering Computer Center, National University of Mineral-Raw "Mountain"
St. Petersburg
E-mail yakubovski@rambler.ru
2
Abstract
In mathematics, we introduce the notion of chaotic solutions of ordinary differential
equations . For small deviations of initial data obtained large deviation solutions . It
turns out that when we have multiple coordinates of position of equilibrium observed
chaotic solution.
Keywords: chaotic solution of ordinary differential equations, multiple equilibrium
position coordinates
Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
описывает детерминированное решение. Показано, что в случае кратных
значений положения равновесия может иметься хаотическое решение. При
этом малым изменениям начальных данных соответствует большое изменение
решения. При этом решение оказывается многозначным.
Ставится задача нахождение условий, когда система нелинейных
уравнений имеет хаотическое решение. Т.е. перескок от одного положения
равновесия к другому. Эта система уравнений описывает
скачкообразное,
турбулентное решение уравнений гидродинамики, когда локальная скорость
потока не предсказуема во времени. Оказывается, что это условие наступает,
при кратных положениях равновесия системы обыкновенных нелинейных
уравнений, к которым сводятся решения нелинейных уравнений в частных
производных с помощью метода Галеркина.
Рассмотрим систему нелинейных автономных дифференциальных
уравнений
dyl
 Ql ( y1 ,..., y N ), l  1,..., N
dt
(1)
3
Постараемся добиться, чтобы определитель эквивалентной линеаризованной
системы уравнений
равнялся нулю. Для этого осуществим вырожденное в
положении равновесия с кратным корнем (кратный корень является кратной
координатой положения равновесия) преобразование неизвестных функций
yl  f l ( x1 ,..., x N ), l  1,..., N . Подставим в дифференциальное уравнение, получим
N
dxl
f
  ( l ) 1 Qk [ f1 ( x1 ,..., x N ),..., f N ( x1 ,..., x N )]  Fl ( x1 ,..., x N ), l  1,..., N
dt
xk
k 1
Будем рассматривать
остальные
координаты
(2)
для l уравнения координату x l независимой, а
как
функции
времени,
являющиеся
решением
дифференциального уравнения. Система уравнений разбивается на
N
независимых неавтономных уравнений, причем l уравнение зависит от одной
переменной x l и от времени. В случае, когда решение равно координатам
положения равновесия, правая часть дифференциального уравнения не зависит
от времени. При этом в точке положения равновесия с двукратным корнем
правая
часть
системы
(2)
представляет
неопределенность
02 / 0 ,
и,
следовательно, определяет координаты не кратного положения равновесия для
системы (2). Числитель соотношения неопределенности равен квадрату нуля
из-за двукратного положения равновесия системы (1). Знаменатель равен нулю
из-за вырожденности преобразования.
относительно преобразования
При этом
связь между решениями
yl  f l ( x1 ,..., x N ), l  1,..., N одинакова со связью
между положениями равновесия (связь вырожденна в кратном положении
равновесия, но при этом для остальных произвольных значениях xl получается
единственное значение y l ). При этом справедливо следующее равенство
bl  f l (a1 ,...,a N ), Ql (b1 ,...,bN )  0, Fl (a1 ,...,a N )  0; l  1,..., N .
4
Допустим, матрица уравнения (1) имеет двукратное положение равновесия.
Тогда матрица уравнения (2), полученного из уравнения (1),
с помощью
преобразования yl  f l ( x1 ,..., x N ) равна
Fl
 N f l 1

{ (
) Qn [ y1 ( x1 ,..., x N ),..., y N ( x1 ,..., x N )]} 
xk xk n1 xn
N

n 1
N
f
Q f
 f l 1
Qn [ y1 ( x1 ,..., x N ),..., y N ( x1 ,..., x N )]
(
)   ( l ) 1 n m .
xk xn
ym xk
n ,m1 xn
При этом первый член второй строки этой формулы является константой в
точке положения равновесия, так как в точке положения равновесия имеем
Qn [ y1 ( x1 ,..., x N ),..., y N ( x1 ,..., x N )]
 f l 1
 1
(
)  02
 const
xk xn
xk 0
и
выбором
преобразования yl ( x1 ,..., x N ), l  1,..., N можно добиться, что матрица
Fl
может
x k
быть вырождена в точке кратных координат положения равновесия системы
(1).
Но преобразование переменных yl  f l ( x1 ,..., x N ), l  1,..., N не произвольно.
Преобразование таково, что действительным или комплексным корням al
должны соответствовать действительные или комплексные корни bl . Строить
систему
(2)
необходимо,
так
как
добиваемся,
чтобы
определитель
линеаризованной системы уравнений (2) равнялся нулю.
Исследуются комплексные и действительные решения задачи Коши
дифференциального уравнения (2) в случае действительных и комплексных
начальных
условиях,
при
действительном
аргументе
t,
т.е.
xl (t 0 )  xl0 , l  1,..., N , где величина t 0 соответствует начальному моменту
интегрирования, а величина xl0 в общем случае комплексная. Причем в случае
действительных значениях xk , k  1,..., N , правая часть (2) действительна.
5
Причем в случае комплексного решения правая часть регулярная функция, т.е.
однозначная функция своих аргументов.
В книге [1], описан сценарий рождения аттрактора Лоренца через
неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций.
В этой книге
считается, что условием хаотического решения является наличие в системе
Лоренца седло - узла и двух седло – фокусов, откуда вытекает возможность
существования в ней различных гомоклинических и гетероклинических
контуров особых
точек
и
связанных
с ними
каскадов бифуркаций.
Терминологию и объяснение обозначений см. [1].
В предлагаемой статье определен простой критерий существования
хаотического решения. Наличие хаотических решений связано с наличием
кратного положения равновесия системы уравнений.
Теорема 1. Пусть bk координаты одного из положений равновесия системы (1).
В случае двукратного значения положения равновесия
приближение
решения
системы
устойчивым
положением
дифференциальных
равновесия
bN ,
линейное
уравнений
Re k  0, k  1,..., N  1 ,
(2)
с
определяет
1
g NN | 1, где матрица
сходимость к положению равновесия при условии | g NN
g lk , это собственные векторы матрицы линеаризованной системы. В случае
1
g NN | 1 положение равновесия не достижимо
противоположного условия | g NN
и получается многозначное решение. Предполагается, что выполняется N  2 .
Доказательство. В силу существования двукратного корня, равного bN
уравнение (1) можно привести к виду (2) с вырожденной матрицей
линеаризованной системы
dxs N Fs
1 N  2 Fs

| x  a ( xk  a k )  
| x a ( xl  al )( xk  ak )  ...
dt k 1 xk p p
2 l ,k 1 xl x p p p
6
Т.е. определитель матрицы
Fl
| x a равен нулю в этом представлении. Решаем
x k p p
линеаризованное уравнение (3)
dxl N Fl

| x a ( xk  ak ), l  1,..., N
dt k 1 xk p p
Это
(3)
уравнение имеет решение в окрестности положения равновесия
xl  al 
N 1

k 1
g lk exp[ k (t  t1 )]ck  g lN c N , так как  N  0 , где собственные векторы g lk
и собственные числа  k определятся из системы уравнений
|
Fl
| x a   lk | 0, l , k  1,..., N
xk p p
N

k 1
(
Fl
| x a   lk ) g k  0, l  1,..., N
xk p p
Причем наблюдается приближение xl к значению xl  al  g lN c N . Причем
положение равновесия не обязательно достижимо в случае кратных корней,
даже для системы с Re k  0, k  1,..., N  1 , так как выполняется условие  N  0 .
Найдем условие сходимости к кратному корню. Имеется формула
N
N 1
l 1
l 1
1
1
1
c Nt   g Nl
exp(l t ) g lN c N   g Nl
exp(l t ) g lN c N  exp[k ln( g NN
g NN )]c N , k  t / h
При этом для определения константы c N при дискретном вычислении решения
1
g NN c Nk при достижении
имеем следующее рекуррентное соотношение c Nk 1  g NN
устойчивыми координатами положения равновесия. Т.е условием сходимости
1
g NN | 1. При условии
решения в направлении g lN является неравенство | g NN
1
| g NN
g NN | 1 наблюдается отсутствие сходимости в одном направлении
g lN ,
остальные cl не растут. Скачок решения осуществляется мгновенно на
произвольное значение величины c N , по формуле
7
c Nt
N
 exp{t[ln(| 
l 1
1
g Nl
g lN
N
1
|)  i arg(  g Nl
g lN )  2is ] / h}c N0 ,
l 1
в моменты времени, когда по устойчивым направлениям достигнуто положение
равновесия. При этом решение увеличится в разы
1
1
exp{ [ln(| g NN
g NN |)  i arg( g NN
g NN )  2is]}
(4)
Но в силу приближенности решения, получится не бесконечность, а переход к
другому положению равновесия. Точное решение при численном счете
получается мгновенно при условии h  0 и имеет значение, зависящее от
малости величины h . Т.е. происходит произвольный скачок. Остальные
направления g lk , k  1,..., N  1 собственного вектора, соответствуют устойчивому
собственному числу положения равновесия.
Причем в случае решения с помощью численной схемы получится в
случае рационального значения  в формуле (4) конечное число состояний, а
в общем случае при иррациональном значении  получится счетное число
состояний. Численный счет в случае  целого определит единственное
решение, так как период умножается на целое число. Но в случае переменного
шага, при численном счете, тоже получится многозначное решение.
Получается, что в случае одного нулевого собственного числа и остальных
собственных числах с отрицательной действительной частью, наблюдается
приближение к положению равновесия
вдоль собственных векторов с
собственными числами с отрицательной действительной частью и при
определенных условиях удаление по направлению собственных векторов с
нулевым собственным числом.
Отметим, что подобная картина наблюдается и у системы (1), так ее положения
равновесия достигаются одновременно с положениями равновесия системы (2)
в силу преобразования координат. Приближение будет по всем направлениям к
8
положению равновесия, и удаление по одному направлению, даже если нет
собственного числа равного нулю. Все равно будет существовать направление
удаления решения в силу одинаковости приближения к положению равновесия
этих систем уравнений.
При этом в начальной точке отскока от положения равновесия
наблюдается
минимум
суммы
квадратов
модулей
правых
частей
дифференциального уравнения, что можно использовать для характеристики
локального среднего решения обыкновенного диффер4енциального уравнения.
Координаты этого минимума, который определяется при произвольных
начальных условиях, характеризуют решение дифференциального уравнения,
как и координаты положения равновесия. Координаты минимума определятся
из уравнений

 Re xk
N

l 1
| Fl ( x1 ,..., x N ) |2  0;

 Im xk
N

l 1
| Fl ( x1 ,..., x N ) |2  0 .
Причем координаты минимума не зависят от начальных условий и решение
достигает координат минимума в силу доказанной теоремы.
Аналогичная теорема справедлива для задачи Коши в комплексной
плоскости. Т.е. при кратных корнях при комплексных уравнениях наблюдается
хаотическое решение и в случае решения в комплексной плоскости.
Список литература
1. Н.А. Магницкий, С.В.Сидоров Новые методы хаотической динамики. –
М.: Едиториал УРСС, 2004г, 320