Структура связности графа

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèå Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èìåíè Â. À. Ñòåêëîâà Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè Êàðïîâ Äìèòðèé Âàëåðüåâè÷ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÃÐÀÔÀ (01.01.09 äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà) Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2015 Îãëàâëåíèå Ââåäåíèå 4 Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü . . . . . . . . . . . . . 10 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 2 Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ 40 1.1 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ 40 1.2 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà 1.3 Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà . . . . . . 49 1.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ Ìèíèìàëüíûå 2.1 . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 k -ñâÿçíûå ãðàôû 68 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì âåðøèí ñòåïåíè k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 2.2 Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.3 Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≤ 5 . . . . 109 Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ 118 3.1 Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2 Ãèïåðäåðåâî Struct(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 3 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 4 5 Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè 124 4.1 Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè . . . . . . . 130 Óäàëåíèå âåðøèí èç 5.1 k -ñâÿçíîãî ãðàôà 137 Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2 6 Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà ïðè k > 2 . . . . . . . 140 Îñòîâíûå äåðåâüÿ 6.1 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4 6.2 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.3 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G), ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû ñòåïåíè 2 . 228 Ëèòåðàòóðà 238 Ââåäåíèå Òåîðèÿ ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì, èíòåðåñíûì è äèíàìè÷íî ðàçâèâàþùèìñÿ ðàçäåëîì äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ èññëåäîâàíèÿ ïî âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîíÿòèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Ýòî ïîä÷åðêèâàåò è êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ìåíãåðà, ñ êîòîðîé â 1927 ãîäó ôàêòè÷åñêè íà÷àëèñü èññëåäîâàíèÿ ïî ñâÿçíîñòè. Èõ ïðîäîëæèëè Óèòíè, Òàòò, Ôîðä è Ôàëêåðñîí, Äèðàê, Õàëèí, Ìàäåð è äðóãèå. Â 60-80 ãîäû XX âåêà áûë âñïëåñê èíòåðåñà ê ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ñåé÷àñ ïðîäîëæàþò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå ðàáîòû ïî ýòîé òåìàòèêå, ïóñòü è íå â òàêîì êîëè÷åñòâå, êàê 30 ëåò íàçàä. Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ íàèìåíüøåãî ðàçìåðà â ãðàôå. Îñòàíîâèìñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àíàëîãàõ ðåøàåìûõ â äèññåðòàöèè çàäà÷. Ïîíÿòèÿ áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà õîðîøî èçâåñòíû è âåñüìà ïîëåçíû, ñ èõ ïîìîùüþ äîêàçàíî íåìàëî óòâåðæäåíèé, ïðè÷åì íå òîëüêî î ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè ñòðóêòóðà äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, îïèñàííàÿ, íàïðèìåð, â êëàññè÷åñêîé êíèãå Ô. Õàðàðè Òåîðèÿ ãðàôîâ [57]. Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîçâîëÿåò óñïåøíî ïðèìåíÿòü áëîêè â äîêàçàòåëüñòâàõ. Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè âîïðîñû îá àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðå äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Íî äàæå ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà åãî äâóõâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè, ïîñòðîåíí4 5 ÂÂÅÄÅÍÈÅ íàÿ Â. T. Òàòòîì â 1966 ãîäó [36], íàìíîãî ñëîæíåå. Ãëàâíàÿ ïðè÷èíà â òîì, ÷òî óæå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü çàâèñèìû, òî åñòü, ðàçáèâàòü äðóã äðóãà íà ÷àñòè. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâîäÿ ðàçðåçû äâóñâÿçíîãî ãðàôà ïî äâóõâåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâàì: ðàçðåçàÿ ãðàô ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó, ìû òåðÿåì èíôîðìàöèþ îáî âñåõ çàâèñèìûõ ñ íèì ìíîæåñòâàõ, à ñòðóêòóðà, çàâèñÿùàÿ îò ïîðÿäêà ðàçáèåíèÿ, áåñïîëåçíà. Ê ñîæàëåíèþ, äåðåâî áëîêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîñòðîåííîå Òàòòîì, ïðàêòè÷åñêè íå íàøëî ïðèìåíåíèÿ. Îäíàêî, ìíîãèå ðàáîòû, âûøåäøèå ïîçæå, ìîãëè áû áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíû ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ Òàòòà. Ñ ïîâûøåíèåì âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ñëîæíîñòü ñòðóêòóðû âîçðàñòàåò ìíîãîêðàòíî. Òîëüêî â 2011 ãîäó äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð [54] çàâåðøèëè ðàáîòó ïî ïîñòðîåíèþ àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ òð¼õñâÿçíîãî ãðàôà åãî òð¼õâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè. Ýòà ñòðóêòóðà íàìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå, ÷åì ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Èìåííî èññëåäîâàíèÿ ïî ñâÿçíîñòè ãðàôîâ ñïîñîáíû ïðèîòêðûòü íàì íîâûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ, êîòîðûå áóäóò ïîëåçíû è â äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðîäîëæàòü òàêèå èññëåäîâàíèÿ, ñòðîèòü íîâûå ñòðóêòóðíûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ è èçó÷àòü ïîñòðîåííûå ðàíåå. Òàê êàê îñíîâíûå ïðîáëåìû â îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà ïðè k ≥ 2 ïðåäñòàâëÿþò ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ ãðàôà íàáîðàìè èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k ). Ïîëó÷àåòñÿ äåðåâî, ïî ñâîéñòâàì âî ìíîãîì àíàëîãè÷íîå äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïîñòðîåííîé ñòðóêòóðû ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîõîæåå íà êîíòðóêöèþ Òàòòà. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ïîñòðîåííûõ êîíñòðóêöèé ïîêàçàíû â ïåðâîé ãëàâå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Âî 6 âòîðîé ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííûõ â ïåðâîé ãëàâå êîíñòðóêöèé èññëå- äóþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû. Â òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð- æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Â ÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Â ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü- êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè. Â øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà ìàêñèìàëüíîå êîëè÷å- ñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Íîâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ, ïðåäëîæåííûé äèññåðòàíòîì, îñíîâàí êàê ðàç íà èñïîëüçîâàíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Âìåñòå ñ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ýòî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü â îöåíêàõ âèñÿ÷èå âåðøèíû èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà, ÷òî íå ïîëó÷àëîñü ñäåëàòü ðàíåå. Äàëåå ñëåäóþò îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è áîëåå ïîäðîáíûé ðàññêàç î ðåçóëüòàòàõ äèññåðòàöèè. Îáîçíà÷åíèÿ Ìû ðàññìàòðèâàåì íåîðèåíòèðîâàííûå ãðàôû áåç ïåòåëü è êðàòíûõ ð¼áåð. Â ðàáîòå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ. Ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (G). Ìíîæåñòâî ð¼áåð ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç E(G). Äëÿ êîëè÷åñòâà âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ v(G) è e(G) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ìíîæåñòâ âåðøèí A, B ⊂ V (G) îáîçíà÷èì ÷åðåç eG (A, B) êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, ó êîòîðûõ îäèí êîíåö 7 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ëåæèò â A, à äðóãîé â B . Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G). 1) ×åðåç G − R ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âñåõ âåðøèí è ð¼áåð ìíîæåñòâà R, à òàêæå âñåõ ð¼áåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç R. 2) Ïóñòü x, y ∈ V (G). Åñëè xy ∈ / E(G), òî îáîçíà÷èì ÷åðåç G + xy ãðàô G, ê êîòîðîìó äîáàâëåíî ðåáðî xy . Åñëè xy ∈ E(G), òî ãðàô G + xy ñîâàäàåò ñ G. 3) Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî R ðàçäåëÿþùèì, åñëè ãðàô G − R íåñâÿçåí. ×åðåç R(G) îáîçíà÷èì íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. ×åðåç dG (x) îáîçíà÷èì ñòåïåíü âåðøèíû x â ãðàôå G. Ìèíèìàëüíóþ ñòåïåíü âåðøèíû ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç δ(G), à ìàêñèìàëüíóþ ñòåïåíü ÷åðåç ∆(G). Âåðøèíà x ãðàôà G íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé, åñëè dG (x) = 1. Åñëè ãðàô G äåðåâî, åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû ÷àñòî íàçûâàþò ëèñòüÿìè. Äëÿ ðåáðà e ∈ E(G) ÷åðåç G · e ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ ðåáðà e (êîíöû ðåáðà e = xy ñòÿãèâàþòñÿ â íîâóþ âåðøèíó x · y , c êîòîðîé â ãðàôå G · e áóäóò ñìåæíû âñå îòëè÷íûå îò x è y âåðøèíû, ñìåæíûå â G õîòÿ áû ñ îäíèì èç êîíöîâ ðåáðà e). ×åðåç χ(G) îáîçíà÷àåì õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà G, òî åñòü, íàèìåíüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ â ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêå âåðøèí ýòîãî ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû x ∈ V (G) ÷åðåç NG (x) îáîçíà÷èì åå îêðåñòíîñòü â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, ñìåæíûõ ñ x. Ïóñòü X ⊂ V (G). ×åðåç NG (X) îáîçíà÷èì îêðåñòíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ íå ïðèíàäëåæàùèõ X âåðøèí, ñìåæíûõ õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç X . 8 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ×åðåç G(X) îáîçíà÷èì èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåðøèí X (òî åñòü, ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí X è âñåìè ð¼áðàìè ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â X ). ×åðåç Kn îáîçíà÷èì ïîëíûé ãðàô íà n âåðøèíàõ. Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñâÿçíî- ñòè. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî âåðøèíàìè ñóùåñòâóåò ïóòü. Ìíîæåñòâî âåðøèí íåñâÿçíîãî ãðàôà ðàçáèâàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. (Ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà, ëþáûå äâå èç êîòîðûõ ñâÿçàíû ïóòåì.) Îïðåäåëåíèå 2. 1) Ãðàô íàçûâàåòñÿ (âåðøèííî) k -ñâÿçíûì, åñëè â íåì íå ìåíåå k + 1 âåðøèí è ïðè óäàëåíèè ëþáûõ k − 1 âåðøèí ïîëó÷àåòñÿ ñâÿçíûé ãðàô. 2) Ñâÿçíîñòüþ äâóõ âåðøèí x è y ãðàôà G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî âåðøèí, êîòîðîå íåîáõîäèìî óäàëèòü èç G äëÿ òîãî, ÷òîáû â îñòàâøåìñÿ ãðàôå âåðøèíû x è y îêàçàëèñü â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõ ñâÿçíîñòè. Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé +∞. Îáîçíà÷àåòñÿ âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü x è y ÷åðåç κG (x, y). Òàêèì îáðàçîì, ãðàô ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåì õîòÿ áû k + 1 âåðøèíà è κG (x, y) ≥ k äëÿ ëþáûõ äâóõ âåðøèí x è y . Íà÷àëî èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ïîëîæèë â 1927 ãîäó Ê. Ìåíãåð [28], äîêàçàâøèé ñëåäóþùóþ òåîðåìó: äëÿ ëþáûõ äâóõ íåñìåæíûõ âåðøèí x, y ñâÿçíîñòü κG (x, y) ðàâíÿåòñÿ íàèáîëüøåìó êîëè÷åñòâó íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîñòûõ ïóòåé ìåæäó x è y â ãðàôå G. Ïîçæå, â 1932 ãîäó, Õ. Óèòíè äîêàçàë, ÷òî â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè åñòü k ïóòåé áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Îáðàòíîå 9 ÂÂÅÄÅÍÈÅ óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Òåì ñàìûì, ïîíÿòèå âåðøèííîé k -ñâÿçíîñòè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîñòè. Ñ ýòèì ñâÿçàíû è ïîïûòêè îáîáùèòü êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ íà ãðàôû áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Ïîíÿòíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñòåïåíü âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà íå ìåíåå k . Â ñâÿçè ñ ýòèì ìíîãèå èññëåäîâàòåëè èçó÷àëè âåðøèíû ñòåïåíè k â k -ñâÿçíîì ãðàôå. Ñóùåñòâåííàÿ ÷àñòü äèññåðòàöèè òàêæå ïîñâÿùåíà ýòîìó. Îïðåäåëèì äâà âàæíûõ ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì, åñëè v(G) ≥ k + 2 è äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (G) ãðàô G − x íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. 2) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ðåáðà e ∈ E(G) ãðàô G − e íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Êðèòè÷åñêèå k -ñâÿçíûå ãðàôû èññëåäîâàëèñü, íà÷èíàÿ ñ 70-õ ãîäîâ 20 âåêà, â ðàáîòàõ [5, 14, 29]. Â îñíîâíîì, èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû äîêàçàòåëüñòâó íàëè÷èÿ âåðøèí ñòåïåíè k â êðèòè÷åñêèõ ãðàôàõ è îöåíêå êîëè÷åñòâà òàêèõ âåðøèí. Ïðî ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èçâåñòíî äîâîëüíî ìíîãî. Îíè èçó÷àëèñü ñ êîíöà 60-õ ãîäîâ 20 âåêà â ðàáîòàõ [7, 31, 24, 25, 30] è äðóãèõ. Èññëåäîâàíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ òàêæå â îñíîâíîì ïîñâÿùåíû îöåíêå êîëè÷åñòâà âåðøèí ñòåïåíè k â òàêèõ ãðàôàõ. Ïîäðîáíåå î ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ ìû ñêàæåì ïîçæå. Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ äåðåâüåâ, â òîé èëè èíîé ñòåïåíè îòîáðàæàþùèõ ñòðóêòóðó ñâÿçíîñòè ãðàôà. Íàèáîëåå êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì òàêîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìû íàïîìíèì ïîíÿòèÿ áëîêà è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, à òàêæå ðÿä èõ ñâîéñòâ. 10 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïîäðîáíåå î íèõ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â êíèãå [57]. Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâà- åòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí. Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî êàê ðàç îäíîâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà. Áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî ìîùíûé è ïîëåçíûé èíñòðóìåíò ðàáîòû ñ ãðàôàìè, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîêàçàíî ìíîæåñòâî ôàêòîâ, ïðè÷åì íå òîëüêî èç òåîðèè ñâÿçíîñòè. Â äîêàçàòåëüñòâàõ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, êîòîðîå ìû ñåé÷àñ îïðåäåëèì. Îïðåäåëåíèå 5. Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî äâó- äîëüíûé ãðàô B(G), âåðøèíû îäíîé äîëè êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò âñåì òî÷êàì ñî÷ëåíåíèÿ a1 , . . . , an ãðàôà G, à äðóãîé âñåì åãî áëîêàì B1 , . . . , Bn (ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè âåðøèíû òàê æå, êàê è áëîêè). Âåðøèíû ai è Bj ñìåæíû, åñëè è òîëüêî åñëè ai ∈ V (Bj ). Íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ýòî äåéñòâèòåëüíî äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò áëîêàì (äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [57]). Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè è òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Íåêîòîðûå èç òàêèõ ñòðóêòóð îïèñûâàþòñÿ â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè. ×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü Ïåðåä îïèñàíèåì ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè îïðåäåëèì íåîáõîäèìûå íàì ïîíÿòèÿ. Âïåðâûå îïðåäåëåííûå äèññåðòàíòîì â [43], îíè îêàçàëèñü óäîá- 11 ÂÂÅÄÅÍÈÅ íû äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ãðàôå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü S ⊂ Rk (G). 1) Ìíîæåñòâî A ⊂ V (G) íàçîâåì ÷àñòüþ S-ðàçáèåíèÿ, åñëè íèêàêèå äâå âåðøèíû èç A íåëüçÿ ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç S, íî ëþáàÿ äðóãàÿ âåðøèíà ãðàôà G îòäåëåíà îò ìíîæåñòâà A õîòÿ áû îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G íàáîðîì ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(S). (Â ñëó÷àå, êîãäà íåî÷åâèäíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, ìû áóäåì ïèñàòü Part(G; S).) 2) Âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(S) íàçîâåì âíóòðåííèìè, åñëè îíè íå âõîäÿò íè â îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ìíîæåñòâî òàêèõ âåðøèí íàçîâåì âíóòðåííîñòüþ ÷àñòè A è áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Int(A). Âåðøèíû, âõîäÿùèå â êàêèå-ëèáî ìíîæåñòâà èç S ìû áóäåì íàçûâàòü ãðàíè÷íûìè, à âñå èõ ìíîæåñòâî ãðàíèöåé è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(A). Çàìå÷àíèå. Åñëè A, B ∈ Part(S) äâå ðàçëè÷íûå ÷àñòè, òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå A îò B . Ïîíÿòíî, ÷òî òîãäà A ∩ B ⊂ S . Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîíÿòèÿ ãðàíèöû è âíóòðåííîñòè ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû íåçàâèñèìî îò íàáîðà ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû íåñëîæíî è ïðèâåäåíî â ãëàâå 4. Ëåììà 4.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A, èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A. 2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A. 12 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ýòèõ ïîíÿòèé ñàìûé ïðîñòîé, è â òî æå âðåìÿ î÷åíü âàæíûé ñëó÷àé: ðàçáèåíèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà îäíèì k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì S . ×òî òàêîå òîãäà ÷àñòü A ∈ Part(S)? Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åå âíóòðåííîñòü Int(A) ýòî êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S , à ñàìà ÷àñòü A ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì ê ýòîé êîìïîíåíòå âåðøèí ìíîæåñòâà S . Ñëåäîâàòåëüíî, èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(A) ñâÿçåí è èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà S âûõîäèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî ê âåðøèíàì èç Int(A). Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ k = 1 è îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî åãî ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, èç íèõ ñîñòîèò R1 (G). Ìíîæåñòâà âåðøèí âñåõ áëîêîâ ýòî ÷àñòè Part(R1 (G)). Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ ÷àñòè ðàçáèåíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü ñâîéñòâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Äåðåâî ðàçáèåíèÿ Íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Â ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ìû ïðåäëîæèì íàø âçãëÿä íà ýòó ïðîáëåìó è ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â k -ñâÿçíîì ãðàôå. ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà êîíñòðóêöèÿ, â öåëîì àíàëîãè÷íàÿ äåðåâó, ïîñòðîåííîìó Òàòòîì [36]. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðû ìû èñïîëüçóåì îïðåäåëåííîå âûøå ïîíÿòèå ÷àñòè ðàçáèåíèÿ. Íà÷íåì ñ íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé. Îïðåäåëåíèå 7. Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G). 1) Ïóñòü X, Y ⊂ V (G), X 6⊂ R, Y 6⊂ R. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R îòäå- ëÿåò ìíîæåñòâî X îò ìíîæåñòâà Y , åñëè íèêàêèå äâå âåðøèíû vx ∈ X 13 ÂÂÅÄÅÍÈÅ è vy ∈ Y íå ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R. 2) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî X ⊂ V (G), åñëè íå âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X \ R ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R. Îïðåäåëåíèå 8. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàçîâåì ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè S íå ðàçäåëÿåò T è T íå ðàçäåëÿåò S . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû áóäåì íàçûâàòü ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìûìè. Ê ñîæàëåíèþ, ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç k ≥ 2 âåðøèí, ìîãóò áûòü çàâèñèìûìè. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíû îñíîâíûå òðóäíîñòè â èçó÷åíèè k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≥ 2. Â ðàáîòàõ [17, 53] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ S, T ∈ Rk (G) âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî îíè íåçàâèñèìû, ëèáî êàæäîå èç íèõ ðàçäåëÿåò äðóãîå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà î÷åíü ïðîñòîå. Íàëè÷èå ïàð çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ ìåøàåò ïîñòðîèòü íà ìíîæåñòâàõ èç Rk (G) è ÷àñòÿõ èç Part(Rk (G)) îòîáðàæàþùåå èõ ñòðóêòóðó äåðåâî, ïîõîæåå íà äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Îäíàêî, òàêóþ ñòðóêòóðó ìîæíî ïîñòðîèòü äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, ÷òî ìû ïîêàæåì äàëåå. Îïðåäåëåíèå 9. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S ⊂ A. Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà. 14 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) T (G, S) ýòî äåðåâî. 2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî dT (G,S) (S) = |Part(S)|. Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), òàêàÿ ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S). 3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S). Òåîðåìà âêëþ÷åíà â ãëàâó 1 äèññåðòàöèè. Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ×àñòíûì ñëó÷àåì äåðåâà ðàçáèåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Äàëåå äî êîíöà ðàçäåëà ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ìíîæåñòâà èç R2 (G). Îïðåäåëåíèå 10. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Â 1966 ãîäó Â. Ò. Òàòò [36] îïèñàë ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå èìåííî ñ ïîìîùüþ äåðåâà, êîòîðîå îí íàçâàë T (G). Ýòî äåðåâî ïî÷òè ÷òî äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà îäèíî÷íûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè (òîëüêî ýòè ìíîæåñòâà è ñàìî äåðåâî áûëè îïðåäåëåíû â êíèãå Òàòòà áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì). 15 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìû ïîñòðîèì ïîõîæåå äåðåâî ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé âûøå òåõíèêè. Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 11. 1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)). 2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G) íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G). Çàìå÷àíèå. 1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G). 2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G. Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå. Îïðåäåëåíèå 12. 1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab, ãäå {a, b} ∈ O(G). 2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A. Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë. 2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà. 16 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òàêèì îáðàçîì, íåîäèíî÷íûå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà ãðàôà G ñîîòâåòñòâóþò äèàãîíàëÿì ÷àñòåé-öèêëîâ, èìåþùèõ äëèíó õîòÿ áû 4. Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà Âàæíî íå òîëüêî ïîñòðîèòü ñòðóêòóðó, íî è ïîêàçàòü, êàê îíà ïðèìåíÿåòñÿ. Óäèâèòåëüíî, íî ñòðóêòóðà Òàòòà ïðàêòè÷åñêè íå íàøëà ïðèìåíåíèÿ çà ñòîëüêî ëåò. Ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû ïîä÷åðêíóò àíàëîãèþ ìåæäó êëàññè÷åñêèìè äâóñâÿçíûìè áëîêàìè ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Ìû ïðèìåíèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà äëÿ îöåíêè åãî õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ ìû ïîéìåì, êàê âûãëÿäÿò êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Î÷åâèäíî, íåñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô íà êàæäîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí ëþáîé åãî áëîê. Â 1937 ãîäó Ìàêëåéí [20] èññëåäîâàë ïðîöåññ ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà íà àòîìû è ïîêàçàë ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ, ÷òî äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðíû âñå åãî àòîìû. Ìû ïîêàæåì ñâÿçü ìåæäó àòîìàìè è ÷àñòÿìè äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ïåðåôîðìóëèðóåì òåîðåìó Ìàêëåéíà â íàøèõ òåðìèíàõ: äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí åñëè è òîëüêî åñëè ïëàíàðíû èíäóöèðîâàííûå ïîäãðàôû íà âñåõ åãî ÷àñòÿõ-áëîêàõ. Ïîíÿòíî, ÷òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ñâÿçíîãî ãðàôà ðàâíî ìàêñèìóìó õðîìàòè÷åñêèõ ÷èñåë åãî äâóñâÿçíûõ áëîêîâ. Ìû äîêàæåì âåðõíèå îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà ÷åðåç õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà åãî ïîäãðàôîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà ÷àñòÿõ ðàçáèåíèÿ. Òåîðåìà 1.4. æäåíèÿ. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- 17 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1) χ(G) ≤ χ(G0 ) = max χ(G0 (A)). A∈Part(G) 2) χ(G) ≤ max χ(G(A)) + 1. A∈Part(G) max χ(G(A)) + 1 . A áëîê G Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñè- 3) χ(G) ≤ max 3, ìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî. Ñïèñî÷íûå ðàñêðàñêè (list colorings) ïîÿâèëèñü îòíîñèòåëüíî íåäàâíî è ÿâëÿþòñÿ ñåé÷àñ âåñüìà ïîïóëÿðíûì îáúåêòîì äëÿ èññëåäîâàíèé. Êàæäîé âåðøèíå ãðàôà v ∈ V (G) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ñïèñîê L(v) èç k öâåòîâ, ïîñëå ÷åãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí, â êîòîðîé êàæäàÿ âåðøèíà v äîëæíà áûòü ïîêðàøåíà â öâåò èç ñïèñêà L(v). Ìèíèìàëüíîå òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k , ÷òî äëÿ ëþáûõ ñïèñêîâ èç k öâåòîâ ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ãðàôà G, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ch(G) (è íîñèò íàçâàíèå choice number èëè ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî). Î÷åâèäíî, ch(G) ≥ χ(G). Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ ìû äîêàæåì îöåíêó íà ch(G). Òåîðåìà 1.5. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) ch(G) ≤ max ch(G(A)) + 2. A∈Part(G) max ch(G(A)) + 2 . A áëîê G Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàê2) ch(G) ≤ max 3, ñèìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê ñïèñî÷íîìó õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî. Êðîìå òîãî, ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ìû äîêàæåì íåñêîëüêî ôàêòîâ î ñòðóêòóðå êðèòè÷åñêèõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. Ñëåäñòâèå 1.3. 1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è 18 ÂÂÅÄÅÍÈÅ òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2. Â ðàáîòå [29] áûëî äîêàçàíî, ÷òî â êðèòè÷åñêîì äâóñâÿçíîì ãðàôå íà íå ìåíåå ÷åì 6 âåðøèíàõ åñòü õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Èç ñëåäñòâèÿ 1.3 î÷åâèäíî ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ãðàôîâ íà íå ìåíåå ÷åì 4 âåðøèíàõ. Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 1.3 è äåðåâà ðàçáèåíèÿ áóäóò îïèñàíû âñå êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, èìåþùèå ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Â ãëàâå 1 ìû õàðàêòåðèçóåì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ. Òåîðåìà 1.6. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü- êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: (a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû; (b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà . Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.6 ìîæíî âûÿñíèòü íåìàëî ôàêòîâ î ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôàõ. Ñëåäñòâèå 1.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû- ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2. 3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2. 19 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äåðåâî ðàçðåçîâ Ïåðåä îïèñàíèåì ýòîãî îáúåêòà íàì íåîáõîäèìî äàòü îïðåäåëåíèå ðàçðåçà è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì. Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G). 2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí, âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T . Ðàçðåç îáúåêò, ïî ñâîéñòâàì ïîõîæèé íà âåðøèííîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî, íî èìåþùèé ñâîþ ñïåöèôèêó. Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G) ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1 è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e. Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà. Îïðåäåëåíèå 14. 1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(T ) = {A1 , A2 }. 2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ). Îïðåäåëåíèå 15. Ïóñòü S ⊂ T(G). Íàçîâåì ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà A= \ S∈S AS , ãäå AS ∈ Part(S). 20 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S). Â ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå Part(S). 3) Ãðàíèöåé ÷àñòè A ∈ Part(S) áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé ÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S. Âíóòðåííîñòüþ ÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Int(A) = A \ Bound(A). Îïðåäåëåíèå 16. Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñ- ëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, ÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè- ìûìè. Îïðåäåëåíèå 17. 1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâè- ñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S . 2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé. Êàê ìû âèäèì, îïðåäåëåíèå äåðåâà ðàçðåçîâ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ, êîòîðîå äàíî â íà÷àëå ðàçäåëà, è îïðåäåëåíèþ êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî äåðåâî ðàçðåçîâ îáëàäàåò ïîõîæèìè ñâîéñòâàìè. Òåîðåìà 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî. 2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S). 21 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå G. 4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T , òî A ∈ Part(T ). 5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Ó÷òåì ñïåöèôèêó ðàçðåçîâ êàæäûé èç íèõ äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå ÷àñòè è îïðåäåëèì ñîêðàùåííûé âàðèàíò äåðåâà ðàçðåçîâ. Îïðåäåëåíèå 18. Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S. Ñëåäñòâèå 1.6. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî. 2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S) ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S. 3) |Part(S)| = |S| + 1. 4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R. 5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S). 22 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî |A ∩ B| = k − 1. 7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). Îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ âàæíî, íàïðèìåð, äëÿ èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, â êîòîðûõ êàæäîå ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí ðàçðåç. Ýòî áóäåò ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â ãëàâå 2 äèññåðòàöèè. Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû Âî âòîðîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé â ïåðâîé ãëàâå òåõíèêè èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû. Íàïîìíèì, ÷òî k -ñâÿçíûé ãðàô íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè îí òåðÿåò k -ñâÿçíîñòü ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáîãî ñâîåãî ðåáðà. Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k . ×åðåç Vk (G) ìû îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ ñòåïåíü k , ïóñòü Vk+1 (G) = V (G) \ Vk (G), vk (G) = |Vk (G)| è vk+1 (G) = |Vk+1 (G)|. Äèðàê [7] â 1967 ãîäó è Ïëàììåð [31] â 1968 ãîäó èññëåäîâàëè ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Èç ðåçóëüòàòîâ ýòèõ ðàáîò ìîæíî âûâåñòè, ÷òî v2 (G) ≥ v(G)+4 3 äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G. Â 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë î÷åíü ñèëüíûé ðåçóëüòàò, îáîáùàþùèé íàïèñàííîå âûøå: vk (G) ≥ (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 (1) äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, 23 ÂÂÅÄÅÍÈÅ äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì òàêèå ãðàôû è áóäåì íàçûâàòü èõ ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè. Îïðåäåëåíèå 19. Ïóñòü k ≥ 2, à T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T ñòðîèòñÿ èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }. Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ýêñòðåìàëüíûé. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b T b b b b b b b b b G 2, T Ðèñ. 1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T . Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, â êîòîðîé äîêàçàíî, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò. Òåîðåìà 2.1. Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Â 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíî- 24 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû (ñì. ðèñóíîê 2a). Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà ãðàô K3,3 (ñì. ðèñóíîê 2b). b b b b b b b b b b b a b b b b b b b b b b b b Ðèñ. 2: Îïåðàöèè çàìåíû. Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ âñåõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ. Ñëåäñòâèå 2.3. Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ). Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ìàëûì ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè 2 Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó v2 (G) ≥ Îïðåäåëåíèå 20. v(G) + 4 . 3 ×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëü- íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d n+4 3 e âåðøèí ñòåïåíè 2. 25 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) = v(G)+4 3 ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè v(G) = 3m+2. Èç òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî GM(3m+2) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî, ÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ. Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå- íèÿ. 1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ). 2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíó ñåðèþ ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 21. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2 (ñì. ðèñóíîê 3). Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, òî GT,a ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ñ v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m è v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2. 26 ÂÂÅÄÅÍÈÅ b b x a b b b y b b b z b b b b b b Rz b b b b b b b b b b b b b b b b b b A Ry b Rz b b b GT– R a T b b b b Rx b Ry b b b b b b b Rx b b b b b b b b G T,a Ðèñ. 3: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a . Ïîýòîìó GT,a ∈ GM(3m). Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ. 1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3, xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû). 2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y . 3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè 3. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì â äîêàçàòåëüñòâàõ ïîñëåäíèõ äâóõ òåîðåì áóäåò äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïåðâîé ãëàâå. Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k≤5 Â ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ êàæäîå ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí ðàçðåç. Ïîýòîìó îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ âàæíî äëÿ èçó÷åíèÿ òàêèõ ãðàôîâ. Êàê âèäíî åùå èç êëàññè÷åñêèõ ðàáîò Ìàäåðà [22]-[24], íàèáîëåå âàæíî èçó÷èòü â ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ð¼áåð Ek+1 (îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû k + 1). Â äèññåðòàöèþ âêëþ÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà 27 ÂÂÅÄÅÍÈÅ äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Äàëåå ê îïèñàííîìó ìíîæåñòâó ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ íàçîâåì åãî S ìîæíî ïðèìåíèòü êîíñòðóêöèþ äåðåâà ðàçðåçîâ è îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 . Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî, äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6. Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ, êàê è äëÿ ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H) è E(H), ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà â òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) îáîçíà÷èì ÷åðåç dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð. Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H)), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû. Îïðåäåëåíèå 22. 1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ âåð- øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå, ÷òî ai , ai+1 ∈ ei . 28 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Îïðåäåëåíèå 23. ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì 1) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ñâÿçàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì. 2) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí. Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ. Îïðåäåëåíèå 24. Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí, íè îäíî åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ ëþáîãî öèêëà â ýòîì ãèïåðãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû. Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà, ýòè ñâîéñòâà îïèñàíû â òåîðåìå 3.1. Äàëåå â òðåòüåé ãëàâå ñòðîèòñÿ àáñòðàêòíàÿ ñòðóêòóðà, îáîáùàþùàÿ ñâîéñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Îïðåäåëåíèå 25. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæ- äîé âåðøèíå w ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1 è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw . Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V . Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V , ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå èìååò ýòà êîíñòðóêöèÿ ê òåîðèè ñâÿçíîñòè. 29 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãèïåððåáðà Struct(R1 (F )) ýòà ìíîæåñòâà âñåõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â êàêîì-ëèáî íåêðàéíåì áëîêå. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ãèïåðãðàô Struct(R1 (F )) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2. Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b íå ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }. Îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3.2 ìîæíî äîêàçàòü ïðèâåäåííûå â ãëàâå 1 äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû î ñòðóêòóðíûõ äåðåâüÿõ (òåîðåìû 1.1 è 1.7): äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü äëÿ ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ (ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ) óñëîâèå èç òåîðåìû 3.2, ïîñëå ÷åãî ìîæíî ïåðåéòè îò ãèïåðäåðåâà ê äåðåâó ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè, îïèñàííîé â òåîðåìå 3.1. Ìû äàëè â ýòèõ òåîðåìàõ áîëåå ýëåìåíòàðíûå äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî, èíîãäà îáîéòèñü áåç òåîðåìû 3.2 ãîðàçäî ñëîæíåå íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [54] äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð èìåííî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè îïèñàëè ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òð¼õâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â òð¼õñâÿçíîì ãðàôå. Ýòà ñòðóêòóðà ìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå, 30 ÂÂÅÄÅÍÈÅ îïèñàííîé â äèññåðòàöèè. Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè Îïðåäåëåíèå 26. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). 1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû. 2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S). 3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S. Â ÷åòâåðòîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîcòè íàáîðà S. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè T, T0 ∈ Comp(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü A ∈ Part(T), êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà êîìïîíåíòû T0 , à ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü Part(T) íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ìíîæåñòâà èç T0 . Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé êëàññ áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(T). Îïðåäåëåíèå 27. Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè- åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S). Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 31 ÂÂÅÄÅÍÈÅ 1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j . 3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A. Ìû èìååì äåëî ñ áîëåå îáùåé ñèòóàöèåé, ÷åì â ãëàâå 2: òàì ðàññìàòðèâàëñÿ íàáîð èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò, åãî êîìïîíåíòàìè çàâèñèìîñòè áûëè ñàìè ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å âîçíèêàåò áîëüøå òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé ïðè èçó÷åíèè ÷àñòåé Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà Struct(S). Îïðåäåëåíèå 28. Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî Struct(S). Äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâà âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà ìíîæåñòâî âåðøèí A= n \ Ai i=1 íàçîâåì ÷àñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà A∈ / Part(S)). Èìåííî èç-çà òîãî, ÷òî íå êàæäîìó ãèïåððåáðó Struct(S) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü Part(S), íå ïîëó÷àåòñÿ ââåñòè íà êîìïîíåíòàõ çàâèñèìîñòè è ÷àñòÿõ Part(S) ñòðóêòóðó äåðåâà, êàê â ñëó÷àå ñ íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ÷àñòü A, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S) íå ïðèíàäëåæèò Part(S) òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: A ∈ S è ãèïåððåáðî R ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ýòî {A}, à äðóãàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè èìååò ÷àñòü ðàçáèåíèÿ ñ ãðàíèöåé A. 32 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà Struct(S). Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S). 2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ). Óäàëåíèå íåñêîëüêèõ âåðøèí ñ ñîõðàíåíèåì k -ñâÿçíîñòè Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî êëàññè÷åñêèõ áëîêîâ ñâÿçíîãî ãðàôà. Ïóñòü W ìíîæåñòâî âåðøèí, íå ÿâëÿþùèõñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì áëîêàì. Òîãäà íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî ãðàô G − W ñâÿçåí. Â ïÿòîé ãëàâå äèññåðòàöèè áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ñäåëàíà ïîïûòêà îáîáùèòü ýòè ñâîéñòâà äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ- ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W äâóñâÿçåí. Ïåðåéäåì ê îäíîâðåìåííîìó óäàëåíèþ íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Â äèññåðòàöèþ âêëþ÷åíà òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â ñîâìåñòíîé ðàáîòå äèññåðòàíòà è À. Â. Ïàñòîðà [53]. Ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è ñàìó òåîðåìó. Îïðåäåëåíèå 29. Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì. 33 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îïðåäåëåíèå 30. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)). Ïóñòü Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè A, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S îò Int(A). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà. Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|. Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð- øèíû, âõîäÿùèé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå- ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [58], îïóáëèêîâàííîé ïîñëå [53], À. Ñ. ×óõíîâ äîêàçàë äâà ïîõîæèõ óòâåðæäåíèÿ îá óäàëåíèè íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè, íî òàêæå ëèøü äëÿ ãðàôîâ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì: ñòåïåíè âñåõ âåðøèí (â òîì ÷èñëå, íå âõîäÿùèõ â k -âåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà) äîëæíû áûòü íå ìåíåå ÷åì 3k−1 2 . Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ Â øåñòîé ãëàâå äèññåðòàöèè èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î ïîñòðîåíèè â ñâÿçíîì ãðàôå îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Îòìåòèì, ÷òî ê êëàññè÷åñêèì ìåòîäàì ïîñòðîåíèÿ äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Èìåííî ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü íîâûå íèæíèå îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, ó÷èòûâàþùèå âèñÿ÷èå âåðøèíû è äàæå âåðøèíû ñòåïåíè 2 èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà. Îïðåäåëåíèå 31. Äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç u(G) ìàêñè- ìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà G. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 34 Çàìå÷àíèå. Åñëè F äåðåâî, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(F ) êîëè÷åñòâî åãî ëèñòüåâ. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Ñ 1981 ãîäà, êîãäà Äæ. Ñòîðåð [34] ïðåäïîëîæèë, ÷òî u(G) > v(G) 4 , åñëè âñå âåðøèíû ãðàôà G èìåþò ñòåïåíü 3, áûëî îïóáëèêîâàíî íåìàëî ðàáîò î íèæíèõ îöåíêàõ u(G). Â 1981 ãîäó Í. Ëèíèàë âûñêàçàë ãèïîòåçó: d−2 v(G) + c ïðè δ(G) ≥ d ≥ 3, d+1 ãäå êîíñòàíòà c > 0 çàâèñèò òîëüêî îò d. Ýòà ãèïîòåçà ïîÿâèëàñü íå íà u(G) ≥ ïóñòîì ìåñòå: äëÿ ëþáîãî d ≥ 3 íåñëîæíî ïðèäóìàòü áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíîé ñòåïåíüþ d, äëÿ êîòîðûõ ñòðåìèòñÿ ê u(G) v(G) d−2 d+1 . b b b b b b b b b – Kd+1 Kd+1 b b b b b b b b b b – Kd+1 b b b b Kd+1 Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí òàêîé ïðèìåð: êðàéíèå áëîêè â öåïî÷êå ýòî ïîëíûå ãðàôû íà d + 1 âåðøèíå, îñòàëüíûå áëîêè ýòî ïîëíûå ãðàôû íà d + 1 âåðøèíå, èç êîòîðûõ óäàëåíî ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû, èç êîòîðûõ âûõîäÿò ð¼áðà â ñîñåäíèå áëîêè öåïî÷êè. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè Gn òàêàÿ öåïî÷êà èç n áëîêîâ, òî v(Gn ) = n(d + 1) è u(Gn ) = n(d − 2) + 4. Â 1991 ãîäó Ä. Êëåéòìàí è Ä. Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî u(G) ≥ 41 ·v(G)+2 ïðè δ(G) ≥ 3 è 2 8 · v(G) + ïðè δ(G) ≥ 4. (2) 5 5 Â 1992 ãîäó Äæ. Ãðèããñ è Ì. Âó [9] åùå ðàç äîêàçàëè îöåíêó (2) è äîêàçàëè, u(G) ≥ ÷òî u(G) ≥ 1 2 · v(G) + 2 ïðè δ(G) ≥ 5. Â îáåèõ ðàáîòàõ ïðèìåíÿëñÿ ìåòîä 35 ÂÂÅÄÅÍÈÅ ì¼ðòâûõ âåðøèí, êîòîðûé áóäåò ïðèìåíåí è â íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâàõ ýòîé äèññåðòàöèè. Äåòàëüíîå îïèñàíèå ìåòîäà ìîæíî íàéòè â øåñòîé ãëàâå äèññåðòàöèè. Ñ ðàçâèòèåì ýòîãî ìåòîäà äëÿ d ≥ 6 åñòü çíà÷èòåëüíûå ïðîáëåìû, äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ íà íàñòîÿùèé ìîìåíò íåò. Èç ðàáîò [1, 4, 6] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ d ãèïîòåçà Ëèíèàëà íåâåðíà. Îäíàêî, äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé d > 5 âîïðîñ îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Â ðàáîòå [19] ñêàçàíî î åùå îäíîé, áîëåå ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà: X dG (x) − 2 dG (x) + 1 u(G) ≥ x∈V (G) äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ δ(G) ≥ 2. Ïîíÿòíî, ÷òî ðàç äëÿ áîëüøèõ ñòåïåíåé íåâåðíà áîëåå ñëàáàÿ ãèïîòåçà, òî íåâåðíà è ýòà. Îäíàêî, îíà ñòèìóëèðóåò ïîïûòêè ïîëó÷èòü îöåíêó íà u(G), â êîòîðóþ êàæäàÿ âåðøèíà âíîñèò âêëàä, çàâèñÿùèé îò åå ñòåïåíè. Í. Â. Ãðàâèí â ðàáîòå [41] äîêàçàë, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà G, â êîòîðîì s âåðøèí ñòåïåíè 3 è t âåðøèí ñòåïåíè õîòÿ áû 4, u(G) ≥ 25 t + 2 15 s. Â ýòîé ðàáîòå äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòå- ïåíè 1 è 2. Òî÷íîñòü êîíñòàíòû 2 5 íå âûçûâàåò ñîìíåíèé (ñì. ñåðèþ ïðè- ìåðîâ, îïèñàííóþ âûøå), à âîò êîíñòàíòó 2 15 ìîæíî çàìåíèòü íà áîëüøóþ. Â ðàáîòå [47] äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 2 1 u(G) = t + s + α, 5 5 ãäå 8 α≥ . 5 Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåðøèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå. 36 ÂÂÅÄÅÍÈÅ b b b b b b b b b b b b C 62 b b r b b b b b b b 2 C8 b G8 Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Ïðèâåäåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî. Êëåéòìàí è Âåñò [19] ïðåäïîëîæèëè, ÷òî â íåðàâåíñòâå (2) àääèòèâíóþ êîíñòàíòó ìîæíî çàìåíèòü íà 2 äëÿ âñåõ ãðàôîâ, êðîìå äâóõ èñêëþ÷å- íèé: ýòî è C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ). Îäíàêî, áûëî 8 5 C62 äîêàçàíî ëèøü, ÷òî ãðàô-èñêëþ÷åíèå äîëæåí áûòü ðåãóëÿðíûì ãðàôîì ñòåïåíè 4, êàæäîå ðåáðî êîòîðîãî âõîäèò â òðåóãîëüíèê. Èç ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ñëåäóåò, ÷òî íà ñàìîì äåëå äëÿ çàäà÷è, èññëåäîâàííîé Êëåéòìàíîì è Âåñòîì, ðàâíî êàê è äëÿ áîëåå îáùåé çàäà÷è, èññëåäîâàííîé â òåîðåìå 6.1, èñêëþ÷åíèé òðè (ñì. ðèñóíîê). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû èñïîëüçóåò êëàññè÷åñêèé ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 6.1 äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòåïåíè 1 è 2. Îäíàêî, ýòè âåðøèíû íå ó÷èòûâàþòñÿ â îöåíêå íà u(G). Â ñîâìåñòíîé ðàáîòå [39] äèññåðòàíò è À. Â. Áàíêåâè÷ äîêàçàëè ðÿä îöåíîê íà u(G), â êîòîðûõ ó÷èòûâàþòñÿ âåðøèíû ñòåïåíè 1. Â ÷àñòíîñòè, òàì áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, èìåþùåãî s âåðøèí ñòåïåíè, îòëè÷íîé îò 2, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî u(G) ≥ 14 s + 32 . Òî÷íîñòü îöåíêè ïîäòâåðæäåíà áåñêîíå÷íîé ñåðèåé ïðèìåðîâ. Ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí íå ìîæåò ó÷èòûâàòü â îöåíêå íà u(G) âèñÿ÷èå âåðøèíû, ïîýòîìó â ðàáîòå [39] äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îöåíêè áûëà ïðèäóìàíà íîâàÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà. Ýòà òåîðåìà íå âêëþ÷åíà â äèññåðòàöèþ. Ïîçæå, â ðàáîòå [46] äèññåðòàíò äîêàçàë áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s 37 ÂÂÅÄÅÍÈÅ êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 1 1 3 u(G) ≥ t + s + . 3 4 2 Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà äîñòèãàåòñÿ. Ìû ïðèâåä¼ì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ, â êîòîðîé ãðàôû ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1, 3 è 4. Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò öåëûé ðÿä ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: èñïîëüçóåòñÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà, îñíîâàííàÿ íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ (êàê ðàçðàáîòàííàÿ â [39], òàê è íîâàÿ), à â îñòàâøèõñÿ ïîñëå ðåäóêöèè ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ìåðòâûõ âåðøèí (ãëàâíîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî áàçîâàÿ êîíñòðóêöèÿ, ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîñòðîåíèå íå äåðåâî, êàê â êëàññè÷åñêîì âàðèàíòå ìåòîäà, à ëåñ, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà). Èíòåðåñíî, ÷òî ìîãóò óâåëè÷èòü êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå è âåðøèíû ñòåïåíè 2: íåòðóäíî ïðèäóìàòü ïðèìåðû ãðàôîâ, â êîòîðûõ ïðè çàìåíå âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå äâå ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû, óìåíüøàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå. Îïðåäåëåíèå 32. Îáîçíà÷èì ÷åðåç `(G) êîëè÷åñòâî âåðøèí â ìàêñè- ìàëüíîé öåïî÷êå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 â ãðàôå G. Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå â ãðàôå G äëèííûõ öåïî÷åê èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ìîæåò ñäåëàòü âåëè÷èíó u(G) ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê 0: íå áîëåå ÷åì äâå âåðøèíû èç êàæäîé òàêîé öåïî÷êè ìîãóò 38 ÂÂÅÄÅÍÈÅ áûòü âèñÿ÷èìè â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå íà ãðàô: íóæíî îãðàíè÷èòü ñâåðõó `(G). Â ðàáîòå [45] äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1. Òîãäà u(G) ≥ 3 1 v(G) + . 2k + 4 2 Â êîíöå ãëàâû 6 ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü îöåíêè èç òåîðåìû 6.3. Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è øåñòè ãëàâ. Â ïåðâîé ãëàâå ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ k-ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì, ñîñòîÿùèì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ. Â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ýòîãî äåðåâà ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà, èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. Êðîìå òîãî, ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçðåçîâ è äîêàçûâàþòñÿ åãî ñâîéñòâà. Âî âòîðîé ãëàâå èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k-ñâÿçíûå ãðàôû. Èññëåäó- åòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè k , çàòåì èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìàëûì (íî íå îáÿçàòåëüíî ìèíèìàëüíûì âîçìîæíûì) ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè k . Âñå òàêèå ãðàôû ïîäðîáíî îïèñàíû ñ ïîìîùüþ äåðåâüåâ. Îòäåëüíî èññëåäóåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≤ 5. Â òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð- æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â 39 ÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòó- ðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé, íà êîòîðûå ìíîæåñòâà ýòîãî íàáîðà ðàçáèâàþò ãðàô. Â ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü- êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè. Áîëåå äåòàëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Â øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà u(G) ìàêñèìàëü- íîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Äîêàçàòåëüñòâî êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Áóäóò ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü äîêàçûâàåìûõ îöåíîê. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [42] -[53]. Íóìåðàöèÿ îïðåäåëåíèé, òåîðåì, ëåìì, çàìå÷àíèé, ðèñóíêîâ è ôîðìóë â äèññåðòàöèè âåä¼òñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ãëàâû. Ãëàâà 1 Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ Â ïåðâîé ãëàâå ñòðîÿòñÿ äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íûå äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, íî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ â ãðàôàõ áîëüøåé ñâÿçíîñòè: íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ k ñâÿçíîãî ãðàôà. Îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà, èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ. 1.1 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ Íàïîìíèì, ÷òî R(G) ýòî íàáîð èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü êàê âåðøèíû, òàê è ð¼áðà ãðàôà. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò k -ñâÿçíûì. ×åðåç Rk (G) îáîçíà÷àåòñÿ íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Ïîäðîáíåå âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ äàíû âî ââåäåíèè. Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèå40 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 41 íèÿ T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è òîëüêî åñëè S ⊂ A. Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì ãðàô äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà. Íà÷íåì ñî âñïîìîãàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ è òåõíè÷åñêîé ëåììû. Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïîñòðîèì ãðàô GS íà ìíîæåñòâå âåðøèí V (G) ñëåäó- þùèì îáðàçîì: âîçüìåì ãðàô G è äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S äîáàâèì âñå îòñóòñòâóþùèå â E(G) ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû íåñìåæíûõ â G âåðøèí ìíîæåñòâà S . Îòìåòèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ãðàôà GS . Ëåììà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) S ⊂ Rk (GS ). Áîëåå òîãî, Part(G; S) = Part(GS ; S). 2) Ïóñòü T ⊂ S, B ∈ Part(G; T), à ìíîæåñòâî R ∈ R(GS (B)) íå ñîäåðæèò ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû âåðøèí, âõîäÿùèõ â êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî íàáîðà S. Òîãäà R ∈ R(G). Â ÷àñòíîñòè, ãðàô GS (B) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S. Òàê êàê ìíî- æåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû, íèêàêîå ðåáðî èç E(GS ) \ E(G) íå ìîæåò ñîåäèíÿòü âíóòðåííèå âåðøèíû äâóõ ðàçíûõ ÷àñòåé Part(G; S). Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíû ðàçäåëåíû îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà S â ãðàôå G åñëè è òîëüêî åñëè îíè ðàçäåëåíû ýòèì ìíîæåñòâîì â GS , îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ ïóíêòà 1. 42 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß x b b B b b y a b b z T Ðèñ. 1.1: Ïîñòðîåíèå ïóòè â ãðàôå GS (B). 2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R ∈ / R(G). Ïóñòü x, y ∈ B , à ìíîæåñòâî R îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå GS (B). Îäíàêî, R íå îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå G, à ñëåäîâàòåëüíî, è â GS . Ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå GS − R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó z ∈ / B (ñì. ðèñóíîê 1.1). Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ T, îòäåëÿþùåå z îò B . Ïðè äâèæåíèè îò z â îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â ðàçëè÷íûå âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà T , êîòîðûå â GS ñìåæíû. Ïî óñëîâèþ, ab ∈ / R. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü: ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé z , íà ðåáðî ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî V (P ) ⊂ B , à çíà÷èò, P ïóòü â GS (B) − R. Íî òàêîãî ïóòè íåò ïî óñëîâèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, R ∈ R(G). Â çàâåðøåíèè äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ îòìåòèòü, ÷òî Rk−1 (G) = ∅ (ãðàô G k -ñâÿçíûé), à çíà÷èò è Rk−1 (GS (B)) = ∅, òî åñòü, ãðàô GS (B) òàêæå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ- ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) T (G, S) ýòî äåðåâî. 2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî dT (G,S) (S) = |Part(S)|. Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå 43 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S). 3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S). Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû èíäóê- öèåé ïî êîëè÷åñòâó ìíîæåñòâ â íàáîðå S, ïðè÷åì ãðàô G. Áàçà äëÿ ïóñòîãî íàáîðà î÷åâèäíà. íå ôèêñèðóÿ k-ñâÿçíûé Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ = GS . Èç ëåììû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî ðàçáèåíèÿ ãðàôîâ G è G∗ íàáîðîì S îäèíàêîâû, áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî ðàçáèåíèå ÷åðåç Part(S). Áîëåå òîãî, òîãäà T (G, S) = T (G∗ , S). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ ãðàôà G∗ . Ïóñòü S ∈ S, Part(S) = {A1 , . . . , An }, Gi = G∗ (Ai ). Ïî ëåììå 1.1, âñå ãðàôû G1 , . . . , Gn ÿâëÿþòñÿ k -ñâÿçíûìè. Ïóñòü íàáîð Si ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ íàáîðà S, ëåæàùèõ â Ai è îòëè÷íûõ îò S . Òîãäà êàæäîå ìíîæåñòâî èç S\{S} ëåæèò ðîâíî â îäíîì èç íàáîðîâ S1 , . . . , Sn . T2 T1 U1 U2 S T3 U3 T4 U4 Ðèñ. 1.2: Äåðåâî T (G, S). Ïóñòü Ui ∈ Part(Gi ; Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ S . Ïî ëåììå 1.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè U ∈ Part(Gi ; Si ) ãðàô G∗ (U ) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, à çíà÷èò, åãî íå ðàçäåëÿåò íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S, íå ëåæàùèõ â U . Ìíîæåñòâî S ëåæèò â ÷àñòè Ui , íî òàêæå íå ðàçäåëÿåò åå, òàê êàê Ui ⊂ Ai ∈ Part(G; S). 44 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Part(Gi ; Si ) ⊂ Part(G∗ ; S), ïðè÷åì èìåííî ÷àñòü Ui ñîäåðæèò S . Ñëåäîâàòåëüíî, ∗ Part(G ; S) = n [ Part(Gi ; Si ), i=1 ïðè÷åì îáúåäèíåíèå äèçúþíêòíîå, à ÷àñòè Part(S), ñîäåðæàùèå ìíîæåñòâî S ýòî U1 , . . . , Un . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå 2 òåîðåìû äîêàçàíî äëÿ ìíîæåñòâà S , äëÿ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Êàæäàÿ ÷àñòü Part(Gi ; Si ), êðîìå Ui , ñìåæíà â Ti = T (Gi , Si ) ñ òåìè æå âåðøèíàìè, ÷òî â T (G, S). Äëÿ ÷àñòè Ui â T (G, S) äîáàâëÿåòñÿ ðåáðî ê ìíîæåñòâó S . Ïîýòîìó T (G, S) − S ðàñïàäàåòñÿ ðîâíî íà n ñâÿçíûõ ïîäãðàôîâ: ýòî ãðàôû Ti , ãäå i ∈ {1, . . . , n} (ñì. ðèñóíîê 1.2). Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, âñå ýòè ãðàôû äåðåâüÿ, à çíà÷èò, âûïîëíåíû óòâåðæäåíèÿ ïóíêòîâ 1 è 3 òåîðåìû. Êàê ìû âèäèì, ñâîéñòâà äåðåâà ðàçáèåíèÿ àíàëîãè÷íû õîðîøî èçâåñòíûì íàì ñâîéñòâàì êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. 1.2 Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ìíîæåñòâà èç R2 (G). Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.3. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G. Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 1.4. 1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 45 2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G) íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G). Çàìå÷àíèå 1.1. 1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G). 2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G. Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå. Îïðåäåëåíèå 1.5. 1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab, ãäå {a, b} ∈ O(G). 2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A. Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ ëåìì. Ëåììà 1.2. Ïóñòü S îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, à x ∈ S . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî S èìååò ñòåïåíü dBT(G) (S) = d, òî dG (x) ≥ d. Åñëè dG (x) = d, òî âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû. 2) dG (x) ≥ 3. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïî òåîðåìå 1.1 ìû èìååì |Part(S)| = dBT(G) (S) = d, à âî âíóòðåííîñòè êàæäîé èç d ÷àñòåé Part(S) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x (èíà÷å ãðàô íåäâóñâÿçåí). Ïîýòîìó dG (x) ≥ d, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà âñå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû ëåæàò âî âíóòðåííîñòÿõ ÷àñòåé Part(S). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 46 2) Ïóñòü dG (x) = 2. Ïî ïóíêòó 1 òîãäà |Part(S)| = 2 è âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû. Çíà÷èò, NG (x) ∈ R2 (G) ìíîæåñòâî, çàâèñèìîå ñ S , ïðîòèâîðå÷èå. Òåïåðü íàøà çàäà÷à ïîíÿòü ñìûñë ÷àñòåé ãðàôà G. Îïèøåì âàæíîå ñâîéñòâî ÷àñòåé ãðàôà è îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëèò íàì ðàçðåçàòü äâóñâÿçíûé ãðàô ïî îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó. Ëåììà 1.3. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) Ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) ðàçäåëÿåò âåðøèíû a, b ∈ V (G) â ãðàôå G òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò èõ â G0 . Â ÷àñòíîñòè, R2 (G) = R2 (G0 ). 2) Ïóñòü S ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, S ⊂ A ∈ Part(G). Òîãäà S ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòî ìíîæåñòâî íåîäèíî÷íîå è â G0 (A). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïðè ïîñòðîåíèè G0 ìû ñîåäèíÿåì äîïîëíèòåëüíûìè ð¼áðàìè òîëüêî ïàðû âåðøèí, ñîñòàâëÿþùèõ îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, à òàêèå âåðøèíû íå ðàçäåëåíû íè îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà R2 (G). Îòñþäà ëåãêî ñëåäóþò äîêàçûâàåìûå óòâåðæäåíèÿ. 2) Ïóñòü S 0 ∈ R2 (G) çàâèñèìîå ñ S ìíîæåñòâî. Ïî ïóíêòó 1, ìû èìååì S, S 0 ∈ R2 (G0 ), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû è â ãðàôå G0 . Òàê êàê ãðàô G0 (A) äâóñâÿçåí, íåëüçÿ ðàçäåëèòü äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S ⊂ A â ãðàôå G0 , óäàëèâ ìåíåå äâóõ âåðøèí èç ÷àñòè A. Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 ⊂ A. Òîãäà S è S 0 ðàçäåëÿþò äðóã äðóãà è â ãðàôå G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, S, S 0 ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû. Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò íåîäèíî÷íûå ìíîæåñòâà. Ïîõîæóþ õàðàêòåðèñòèêó èñïîëüçîâàë â ñâîåé êíèãå [36] Òàòò. 47 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëåììà 1.4. Ïóñòü S = {a, b} ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî. Òî- ãäà |Part(S)| = 2, ïðè÷¼ì äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ãðàô G(A) íåäâóñâÿçåí è èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, îòäåëÿþùóþ a îò b. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê S íåîäèíî÷íîå, ñóùåñòâóåò çàâèñèìîå ñ íèì Çíà÷èò, íå ñóùåñòâóåò ab-ïóòè ïî âåðøèíàì ÷àñòè A â ãðàôå G, êîòîðûé íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ S 0. Îäíàêî, åñëè S 0 íå ïåðåñåêàåò Int(A), òî òàêîé ïóòü, î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî S 0 ∈ R2 (G). Ìíîæåñòâî S 0 , êàê ìû çíàåì, ðàçäåëÿåò S . ñóùåñòâóåò. Ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, S 0 ïåðåñåêàåò âíóòðåííîñòü êàæäîé ÷àñòè Part(S), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòåé ðîâíî äâå. Áîëåå òîãî, åñëè {x} = S 0 ∩ Int(A), òî x îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû a è b â G(A). Ëåììà 1.5. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Òî- ãäà ëèáî G òð¼õñâÿçåí, ëèáî G ýòî ïðîñòîé öèêë. Çàìå÷àíèå 1.2. Íàïîìíèì, ÷òî òð¼õñâÿçíûé ãðàô ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû. Â ÷àñòíîñòè, òðåóãîëüíèê íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì ãðàôîì è äâå àëüòåðíàòèâû èç ëåììû 1.5 âçàèìíî èñêëþ÷àþùèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø ãðàô G íåòð¼õ- Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.5. ñâÿçåí. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S = {a, b} ∈ R2 (G) è êàæäîé ÷à- ñòè A ∈ Part(S) ìû äîêàæåì, ÷òî G(A) ýòî ïðîñòîé ab-ïóòü. x b Ua Ra Ub Rb Ua b x S b a a b b Ra Rb b S b Ub a b b Ðèñ. 1.3: Äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 48 Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêöèåé ïî |A|, áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷àñòü A èìååò ðîâíî îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó, î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü ìû õîòèì äîêàçàòü óòâåðæäåíèå äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S), à äëÿ ìåíüøèõ ÷àñòåé óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Ïóñòü H = G(A). Òàê êàê ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå, ïî ëåììå 1.4 ãðàô H èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ x, îòäåëÿþùóþ a îò b. Ïóñòü Ua è Ub êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H − x, ñîäåðæàùèå a è b ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 1.3a). Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â ãðàôå H − x íåò (òàêàÿ êîìïîíåíòà âûäåëèëàñü áû è â G − x). Ïóñòü Ua0 = Ua \ {a} 6= ∅. Òîãäà Ra = {a, x} îòäåëÿåò Ua0 îò îñòàëüíûõ âåðøèí â ãðàôå G. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ãðàô G(Ua0 ∪ Ra ) = G(Ua ∪ {x}) ïðîñòîé ax-ïóòü. Åñëè Ua = {a}, òî NH (a) = {x} è G(Ua ∪ {x}) òàêæå ïðîñòîé ax-ïóòü. Àíàëîãè÷íî, ãðàô G(Ub ∪ {x}) ïðîñòîé bx-ïóòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G(A) ýòî ïðîñòîé ab-ïóòü (ñì. ðèñóíîê 1.3b). Ïî ëåììå 1.4 ìû çíàåì, ÷òî Part(S) = {A1 , A2 }. Êàê ìû äîêàçàëè, îáà ãðàôà G(A1 ) è G(A2 ) ïðîñòûå ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S , îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî G ïðîñòîé öèêë. Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë. 2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïî ëåììå 1.1 ìû çíàåì, ÷òî ãðàô G0 (A) äâóñâÿ- çåí. Ïðåäïîëîæèì, S ∈ R2 (G0 (A)). Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì S ∈ R2 (G). Ìíîæåñòâî S íå ìîæåò áûòü îäèíî÷íûì â G, òàê êàê ðàçäåëÿåò ÷àñòü A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà S íåîäèíî÷íîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, â G0 (A) íåò îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò, ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 49 ïî ëåììå 1.5 ýòîò ãðàô ëèáî òð¼õñâÿçåí, ëèáî ÿâëÿåòñÿ öèêëîì. Â ïåðâîì ñëó÷àå ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ áëîêîì, à âî âòîðîì öèêëîì. 2) ⇐. Ïóñòü A = {a1 , a2 , . . . , ak }, ïðè÷åì âåðøèíû óêàçàíû â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå, R = {a1 , am }, ãäå 2 < m < k . Òîãäà R ∈ R2 (G0 (A)) è äåëèò ãðàô G0 (A) ðîâíî íà äâå ÷àñòè: U1 = {a1 , a2 , . . . , am } è U2 = {am , am+1 , . . . , a1 }. Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì R ∈ R2 (G). Î÷åâèäíî, R ∈ / O(G). ⇒. Ìíîæåñòâî R íåçàâèñèìî ñî âñåìè îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè ãðàôà G, à ïîòîìó ëåæèò â îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà R ∈ R2 (G0 (A)). Èç ïóíêòà 1 òåîðåìû ÿñíî, ÷òî òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî R ñîñòîèò èç äâóõ íåñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî öèêëà. Â çàâåðøåíèè îòìåòèì åùå îäíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî. Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêë, òî âñå âåðøèíû èç Int(A) èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè x ∈ Int(A), òî ð¼áðà ãðàôà G âûõîäÿò èç x òîëü- êî ê âåðøèíàì ÷àñòè A, à òàêèõ ð¼áåð, î÷åâèäíî, ðîâíî äâà. Íà ýòîì çàêîí÷èì èçó÷åíèå ñîáñòâåííî äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ïåðåéä¼ì ê åãî ïðèìåíåíèþ. 1.3 1.3.1 Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ×àñòè ðàçáèåíèÿ è ïëàíàðíîñòü Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí ëþáîé åãî áëîê. Â ýòîì ðàçäåëå ìû îáñóäèì àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé ïëàíàðíîñòè äëÿ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ â òåðìèíàõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ýòîãî ãðàôà. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Îïðåäåëåíèå 1.6. 50 1) Ãðàô H 0 íàçûâàåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì ãðàôà H , åñ- ëè H 0 ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç H çàìåíîé íåêîòîðûõ ð¼áåð íà ïðîñòûå ïóòè. Ïðè ýòîì, âñå âíóòðåííèå âåðøèíû äîáàâëÿåìûõ ïóòåé ðàçëè÷íû, èìåþò ñòåïåíü 2 è íå ñîäåðæàòñÿ â ãðàôå H . 2) ×åðåç G ⊃ H áóäåì îáîçíà÷àòü, ÷òî ãðàô G ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäãðàôà ïîäðàçáèåíèå ãðàôà H . Ëåììà 1.6. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(G). Òîãäà G ⊃ G0 (A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðåáðî ab ∈ E(G0 (A))\E(G). Òîãäà a, b ∈ A è {a, b} ∈ O(G). Ïóñòü Ua,b ∈ Part({a, b}) ÷àñòü, íå ñîäåðæàùàÿ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ab-ïóòü Sa,b ïî âåðøèíàì ÷àñòè Ua,b â ãðàôå G. Çàìåíèì ðåáðî ab íà ïóòü Sa,b . Â ðåçóëüòàòå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàìåí ìû ïîëó÷èì ïîäãðàô H ãðàôà G. Ïóñòü ab è xy äâà ðàçíûõ çàìåíåííûõ ðåáðà (âîçìîæíî, îíè èìåþò îáùèé êîíåö). Òîãäà ÷àñòè Ua,b è Ux,y ðàçåäåëåíû ÷àñòüþ A â BT(G), ïîýòîìó íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íèêàêèå äâà äîáàâëåííûõ ïóòè íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû, à çíà÷èò, ãðàô H ÿâëÿåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì G0 (A). Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïî÷òè ïîâòîðÿåò òåîðåìó, äîêàçàííóþ Ìàêëåéíîì â 1937 ãîäó [20]. Òåîðåìà 1.3. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî áëîêà B ∈ Part(G) ãðàô G0 (B) ïëàíàðåí. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå íàøåé âåðñèè îò òåîðåìû Ìàêëåéíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó Ìàêëåéíà âìåñòî ïîäãðàôîâ âèäà G0 (B) ôèãóðèðóþò òàê íàçûâàåìûå àòîìû, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ïîäðàçáèåíèÿìè ïîäãðàôîâ G0 (B). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.3 íåñëîæíî ñëåäóåò èç òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.2 51 ×àñòè ðàçáèåíèÿ è õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî Òåîðåìà 1.4. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) χ(G) ≤ χ(G0 ) = max χ(G0 (A)). A∈Part(G) 2) χ(G) ≤ max χ(G(A)) + 1. A∈Part(G) 3) χ(G) ≤ max 3, Äîêàçàòåëüñòâî. max χ(G(A)) + 1 . A áëîê G Ðàçîáüåì äåðåâî BT(G) íà óðîâíè, ïóñòü óðîâåíü 0 ñî- ñòîèò èç ëþáîé ÷àñòè B ∈ Part(G), â êàæäûé ñëåäóþùèé óðîâåíü ` + 1 âîéäóò âåðøèíû, íå âîøåäøèå â óðîâíè 0, . . . , ` è ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ `. Ïî ïîñòðîåíèþ äåðåâà BT(G) ïîíÿòíî, ÷òî ÷åòíûå óðîâíè ñîñòîÿò èç ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ, à íå÷åòíûå èç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Ìû áóäåì êðàñèòü âåðøèíû ÷àñòåé ãðàôà G â ïîðÿäêå, çàäàííîì ðàçáèåíèåì íà óðîâíè. 1) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G0 â k= max χ(G0 (A)) A∈Part(G) öâåòîâ. Ãðàô G0 (B) ìû, î÷åâèäíî, ìîæåì ïîêðàñèòü â k öâåòîâ. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S , ïðè÷åì â ðàçíûå öâåòà, òàê êàê îíè ñìåæíû â G0 . Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà G0 (A) â k öâåòîâ. Ïîñêîëüêó âåðøèíû ìíîæåñòâà S â ýòîé ðàñêðàñêå ðàçíîöâåòíû, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èõ öâåòà èìåííî òàêèå, êàê â ðàñêðàñêå âåðøèí ÷àñòåé ïðåäûäóùèõ óðîâíåé. 2) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G â m+1= max χ(G(A)) + 1 A∈Part(G) ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 52 öâåòîâ. Ãðàô G(B) ìû ìîæåì ïîêðàñèòü äàæå â m öâåòîâ. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {a, b}. Ïóñòü âåðøèíû a è b ïîêðàøåíû â öâåòà i è j , âîçìîæíî, ñîâïàäàþùèå. Åñëè i = j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ, íå èñïîëüçóÿ öâåò i, à ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíû a è b â öâåò i. Åñëè i 6= j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ òàê, ÷òîáû a áûëà ïîêðàøåíà â öâåò i, íå èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì öâåò j , à ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíó b â öâåò j . Â ëþáîì ñëó÷àå ïîíÿòíî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ÷àñòè A, ñîãëàñîâàííàÿ ñ ðàñêðàñêîé âåðøèí ÷àñòåé ïðåäûäóùèõ óðîâíåé. 3) Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå îò ïóíêòà 2 ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòü A öèêë, ó êîòîðîãî êàê-òî ïîêðàøåíû äâå âåðøèíû, òî îñòàëüíûå âåðøèíû ÷àñòè A íåñëîæíî äîêðàñèòü, íå íàðóøàÿ ïðàâèëüíîñòü ðàñêðàñêè è èñïîëüçîâàâ ïðè ýòîì òðè öâåòà. Çàìå÷àíèå 1.3. Â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.4 ìû ìî- æåì ïðîèçâîëüíî âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ ýòîé ÷àñòè íå íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûé öâåò. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó ãðàôà G(A) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ). Àíàëîãè÷íî, â óòâåðæäåíèè 3 ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ. Ñëåäñòâèå 1.2. Åñëè âñå ÷àñòè äâóñâÿçíîãî ãðàôà G öèêëû, òî χ(G) ≤ 3. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 53 Ïåðåéäåì ê îöåíêàì íà ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Òåîðåìà 1.5. Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ. 1) ch(G) ≤ max ch(G(A)) + 2. A∈Part(G) 2) ch(G) ≤ max 3, Äîêàçàòåëüñòâî. max ch(G(A)) + 2 . A áëîê G 1) Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.4, ìû ðàçîáüåì âåðøèíû äå- ðåâà ðàçáèåíèÿ íà óðîâíè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ÷àñòè B , è áóäåì êðàñèòü ÷àñòè ïî óðîâíÿì. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {x, y}. Â ñïèñêå êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G(A) õîòÿ áû ch(G(A)) + 2 öâåòà. Óäàëèì èç ñïèñêîâ öâåòà âåðøèí x è y , îñòàâøèõñÿ öâåòîâ õâàòèò äëÿ ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêè îñòàâøèõñÿ âåðøèí ÷àñòè A. 2) Îòëè÷èå îò ïóíêòà 1 ñîñòîèò â ðàñêðàñêå ÷àñòåé-öèêëîâ. Ïóñòü A öèêë. Òîãäà ðàíåå ïîêðàøåíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A. Òåïåðü ïîêðàñèì îñòàëüíûå âåðøèíû: ýòî âîçìîæíî, òàê êàê â ìîìåíò ïîêðàñêè î÷åðåäíîé âåðøèíû ïîêðàøåíî íå áîëåå äâóõ åå ñîñåäåé, à â ñïèñêå åñòü òðè öâåòà. Çàìå÷àíèå 1.4. Â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5 ìû ìîæåì ïðîèçâîëüíî âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ ýòîé ÷àñòè íå íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå äâà öâåòà. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2 ê ch(G(A)) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ). 54 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.3 Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû Äåðåâî BT(G) ïîìîãàåò ïîíÿòü, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Ñëåäñòâèå 1.3. 1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Èç òåîðåìû 1.2 î÷åâèäíî, ÷òî âåðøèíû, íå âõîäÿ- ùèå â ìíîæåñòâà èç R2 (G) (òî åñòü âåðøèíû, óäàëåíèå êîòîðûõ íå íàðóøàåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G) ýòî êàê ðàç âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è òðåóãîëüíèêîâ ãðàôà G. b b b b b b b b b b S b b b b b b b b a b b b Ðèñ. 1.4: Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G. Ïî ïóíêòó 1, òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4, à S ñîñòîèò èç äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî öèêëà. Îñòàëüíûå (õîòÿ áû äâå) âåðøèíû A âíóòðåííèå è ïî ñëåäñòâèþ 1.1 èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G (ñì. ðèñóíîê 1.4a). Ñëåäñòâèå 1.4. Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô íà íå ìåíåå ÷åì 4 âåð- øèíàõ èìååò õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 4. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Äîêàçàòåëüñòâî. 55 Åñëè ãðàô G èìååò õîòÿ áû îäíî îäèíî÷íîå ìíîæå- ñòâî, òî ó ãðàôà G íå ìåíåå äâóõ êðàéíèõ ÷àñòåé, óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ïóíêòà 2 ñëåäñòâèÿ 1.3. Ïóñòü îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ó ãðàôà G íåò. Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì è ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû. Çíà÷èò, ïî ëåììå 1.5 ãðàô G öèêë äëèíû íå ìåíåå 4, â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Áîëåå òîãî, òåïåðü ïîíÿòíî, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, ó êîòîðûõ ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Âî-ïåðâûõ, ýòî öèêë èç ÷åòûðåõ âåðøèí. Òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ãðàô G íå ìåíåå ÷åì ñ ïÿòüþ âåðøèíàìè. Òîãäà äåðåâî BT(G) äîëæíî èìåòü ðîâíî äâå âèñÿ÷èå âåðøèíû è îíè ñîîòâåòñòâóþò öèêëàì äëèíû 4. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå íåêðàéíèå áëîêè è âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Çíà÷èò, êàæäîå îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå ÷àñòè (äëÿ íåîäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî âñåãäà òàê). Êðàéíèå ÷àñòè íàøåãî ãðàôà ñîäåðæàò ðîâíî 4 âíóòðåííèõ âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñëåäîâàòåëüíî, â íåêðàéíèõ ÷àñòÿõ âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò. Ðàññìîòðèì íåêðàéíþþ ÷àñòü A ∈ Part(G). Òàê êàê dBT(G) (A) = 2, ãðàíèöà A ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, òî åñòü, èìååò 3 èëè 4 âåðøèíû. Äîêàæåì, ÷òî Int(A) = ∅. Åñëè A áëîê, òî ýòî äîêàçàíî â òåîðåìå 1.3. Åñëè A öèêë, òî åãî âíóòðåííÿÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G, êàê óæå äîêàçûâàëîñü âûøå, òî åñòü, êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè äâà áóäåò áîëåå 4. Òàêèì îáðàçîì, íåêðàéíÿÿ ÷àñòü Part(G) ìîæåò áûòü òðåóãîëüíèêîì, ÷åòûð¼õóãîëüíèêîì èëè áëîêîì èç ÷åòûð¼õ âåðøèí, ïðè÷åì åå âåðøèíû ïîêðûâàþòñÿ äâóìÿ îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè, ñìåæíûìè ñ ýòîé ÷àñòüþ â äåðåâå BT(G). Ïðèìåð êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ñ 4 âåðøèíàìè ñòåïåíè 2 ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1.4á. 56 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.3.4 Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû Òåîðåìà 1.6. Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü- êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: (a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû; (b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Ïðåä- ïîëîæèì, ÷òî S = {a, b} ∈ R2 (G), ab ∈ E(G), Part(S) = {A1 , . . . , An }. Òàê êàê G äâóñâÿçåí, îáå âåðøèíû a è b ñìåæíû ñ Int(Aj ). Ãðàô G(Int(Aj )) ñâÿçåí, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ab-ïóòü, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â Int(Aj ) è èõ ìíîæåñòâî íåïóñòî. Òàêèì îáðàçîì, â ãðàôå G − ab ñóùåñòâóåò n ≥ 2 íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ab-ïóòåé, îòêóäà ñëåäóåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G − ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå (a) âûïîëíåíî. Ïóñòü A áëîê ãðàôà G; x, y ∈ A, xy ∈ E(G). Ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ìåíãåðà ñóùåñòâóåò òðè xy -ïóòè â ãðàôå G0 , íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïî ëåììå 1.6, ãðàô G ñîäåðæèò ïîäðàçáèåíèå G0 (A), ïîýòîìó òàêæå ñîäåðæèò òðè xy -ïóòè áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − xy ñîäåðæèò äâà òàêèõ ïóòè, à çíà÷èò, îí äâóñâÿçåí. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (b) âûïîëíåíî. ⇐. Ïóñòü G íå ìèíèìàëüíûé ãðàô, à ðåáðî xy ∈ E(G) òàêîâî, ÷òî ãðàô G−xy äâóñâÿçåí. Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(G), ÷òî x, y ∈ A. Èç óñëîâèÿ (b) ñëåäóåò, ÷òî A öèêë. Ïóñòü z ∈ A \ {x, y}. Òîãäà ìíîæåñòâî T = {z, xy} äåëèò öèêë G0 (A) íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Ux 3 x è Uy 3 y . Òàê êàê {x, y}, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì ãðàôà G, ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.1 ãðàô G − T íåñâÿçåí, à çíà÷èò, ãðàô G − xy íåäâó- ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 57 ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô G ìèíèìàëåí. Ñëåäñòâèå 1.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû- ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2. 3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü x ∈ Int(A), ðàññìîòðèì ðåáðî xy ∈ E(G). Ïîíÿòíî, ÷òî y ∈ A, òàêèì îáðàçîì, ãðàô G(A) èìååò ðåáðî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 1.6. 2) Òàê êàê A êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Int(A) 6= ∅. Çíà÷èò, A öèêë è óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. 3) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 1.2 è ïóíêòà 1. 1.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ Ìû íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ðàçðåçà k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâîì åãî ðàçðåçîâ. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò k -ñâÿçíûì. 1.4.1 Ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 58 2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T(G) îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí, âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T . Çàìå÷àíèå 1.5. 1) Íèêàêàÿ âåðøèíà ðàçðåçà T ∈ T(G) (òî åñòü, èç ìíî- æåñòâà V (T )) íå ìîæåò áûòü èíöèäåíòíà íèêàêîìó ðåáðó èç T . 2) Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G) ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1 è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e. Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà. Îïðåäåëåíèå 1.8. 1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(T ) = {A1 , A2 }. 2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ). Çàìå÷àíèå 1.6. Ïóñòü T ∈ T(G), Part(T ) = {A1 , A2 }. Òîãäà âûïîëíÿþò- ñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) A1 ∪ A2 = V (G), A1 ∩ A2 = V (T ). 2) Ãðàíèöû ðàçðåçà T ñîäåðæàò ïî k ýëåìåíòîâ. Êàæäàÿ èç ãðàíèö ðàçðåçà T ñîäåðæèò V (T ) è ïî îäíîìó êîíöó âñåõ âõîäÿùèõ â T ð¼áåð. 3) Åñëè ìíîæåñòâî A0 = A1 \ W (T ) íåïóñòî, òî A1 ∩ W (T ) ãðàíèöà ðàçðåçà T îòäåëÿåò A0 îò V (G) \ A1 , à êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ A1 ∩ W (T ) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç A0 . Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ãðàíèöà ðàçðåçà ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì â k -ñâÿçíîì ãðàôå G (òî åñòü, ïðèíàäëåæèò Rk (G)). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 1.4.2 59 ×àñòè ðàçáèåíèÿ Îïðåäåëèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâîì èç íåñêîëüêèõ ðàçðåçîâ. Îïðåäåëåíèå 1.9. Ïóñòü S ⊂ T(G). Íàçîâåì êâàçè÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìíîæåñòâà âèäà A= \ AS , ãäå AS ∈ Part(S). (1.1) S∈S ×àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìû íàçîâåì âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ êâàçè÷àñòè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S), à ìíîæåñòâî âñåõ êâàçè÷àñòåé ÷åðåç QPart(G; S). Â ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì ïèñàòü ïðîñòî Part(S) è QPart(S). Îïðåäåëåíèå 1.10. Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ QPart(S). 1) Ãðàíèöåé êâàçè÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé êâàçè÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S. 3) Âíóòðåííîñòü êâàçè÷àñòè A ýòî ìíîæåñòâî Int(A) = A \ Bound(A). 4) Oïðåäåëèì ãðàíè÷íûé ðàçðåç Cut(A) êâàçè÷àñòè A: îí ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà âåðøèí Bound(A) è âñåõ ð¼áåð, âõîäÿùèõ â ðàçðåçû ìíîæåñòâà S è èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(A). Çàìå÷àíèå 1.7. 1) Åñëè äâå ðàçëè÷íûå êâàçè÷àñòè A1 , A2 ∈ QPart(S) èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òî A1 ∩ A2 ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S. 2) Ãðàíè÷íûé ðàçðåç ÷àñòè íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàçðåçîì. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû Cut(A) ñîäåðæàë ðîâíî k ýëåìåíòîâ è ñðåäè íèõ áûëî õîòÿ áû îäíî ðåáðî. 60 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëåììà 1.7. Äëÿ ìíîæåñòâà ðàçðåçîâ S ⊂ T(G) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü êâàçè÷àñòü B ∈ QPart(S) íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S). Òîãäà B ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S. 2) Ïóñòü S = S1 ∪ S2 , ïðè÷åì S1 ∩ S2 = ∅. Òîãäà ÷àñòè Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âåðøèí, ïðåäñòàâèìûå â âèäå A = A1 ∩ A2 , Äîêàçàòåëüñòâî. B= \ Ai ∈ Part(Si ). (1.2) 1) Ïóñòü B ( B 0 ∈ Part(S), ïðè÷åì BS , S∈S ãäå B0 = \ BS0 , ãäå BS , BS0 ∈ Part(S). S∈S Cóùåñòâóåò òàêîå S ∈ S, ÷òî BS 6= BS0 . Òîãäà B ⊂ BS ∩ BS0 = V (S). 2) Ïóñòü A ∈ Part(S), òîãäà äëÿ i ∈ {1, 2} ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè Ai ∈ Part(Si ), ÷òî A ⊂ Ai . Ïóñòü A0 = A1 ∩ A2 . Òîãäà A0 ∈ QPart(S) è A ⊂ A0 , îòêóäà ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòè ñëåäóåò, ÷òî A = A0 . Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷àñòè Part(S) ïðåäñòàâèìû â âèäå (1.2). Ïóñòü A = A1 ∩A2 ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.2) èA∈ / Part(S). Î÷åâèäíî, A ∈ QPart(S). Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî A ( B . Êàê ìû çíàåì, ÷àñòü B ïðåäñòàâèìà â âèäå (1.2), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè A. Ëåììà 1.8. Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ Part(S), ïðè÷åì Int(A) 6= ∅. Îáî- çíà÷èì ÷åðåç A îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò A ÷àñòåé Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Cut(A) îòäåëÿåò A îò A. 2) Åñëè |Cut(A)| = k è Cut(A) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî, òî Cut(A) ðàçðåç ñ Part(Cut(A)) = {A, A}. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Îòìåòèì, ÷òî A ∩ A = Bound(A), A ∪ A = V (G). (1.3) 61 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Ëþáîå ðåáðî e ∈ E(G), âûõîäÿùåå èç Int(A) â A \ Bound(A), ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, ðàçäåëåííûå õîòÿ áû îäíèì èç ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S, à çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç ýòèõ ðàçðåçîâ. Íî òîãäà e ∈ Cut(A). 2) Èç óñëîâèÿ è ïóíêòà 1 ñëåäóåò, ÷òî Cut(A) ðàçðåç. Ñëåäîâàòåëüíî, |Part(Cut(A))| = 2. Â ñèëó (1.3) ïîíÿòíî, ÷òî Part(Cut(A)) = {A, A}. 1.4.3 Íåçàâèñèìûå ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 1.11. Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, ÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè- ìûìè. Ëåììà 1.9. Ïóñòü ðàçðåçû S, R, T ∈ T(G) òàêîâû, ÷òî S è R íåçàâè- ñèìû, à òàêæå T è R íåçàâèñèìû. Ïóñòü Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, Part(R) = {D1 , D2 }, ïðè÷åì D1 ⊃ A1 è D2 ⊃ B2 . Òîãäà ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è R ñëåäóåò, ÷òî A2 ⊃ D2 ⊃ B2 . Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ T è R ñëåäóåò, ÷òî B1 ⊃ D1 ⊃ A1 . Òàêèì îáðàçîì, S è T íåçàâèñèìû. Ëåììà 1.10. Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ T(G) íåçàâèñèìû, Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 } ïðè÷åì A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) A1 ⊃ Bound(B2 ), A2 6⊃ Bound(B2 ). 2) Åñëè S è T íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, òî A1 ⊃ W (T ) è A2 6⊃ Bound(B1 ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Î÷åâèäíî, A1 ⊃ B2 ⊃ Bound(B2 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A2 ⊃ Bound(B2 ). Òîãäà k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B2 )| = k, ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 62 ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Ïóñòü b1 b2 ∈ T , bi ∈ Int(Bi ). Ìû çíàåì, ÷òî b2 ∈ A1 . Åñëè b2 ∈ S , òî b2 ∈ A2 ⊂ B1 , ÷òî íåâåðíî. Çíà÷èò, b2 ∈ / S . Ïîñêîëüêó b1 b2 ∈ / S , òî âåðøèíû b1 è b2 íå ðàçäåëåíû ðàçðåçîì S , òî åñòü, b1 ∈ A1 . Ñëåäîâàòåëüíî, A1 ⊃ W (T ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A2 ⊃ Bound(B1 ). Òîãäà k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B1 )| = k, ÷òî íåâîçìîæíî. 1.4.4 Äåðåâî ðàçðåçîâ è åãî ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 1.12. 1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S . 2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé. Òåîðåìà 1.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî. 2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S). 3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S) åñëè è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå G. 4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T , òî A ∈ Part(T ). 63 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî êîëè÷åñòâó ðàçðåçîâ. Áàçà: ïðè |S| = 1 âñå ïÿòü óòâåðæäåíèé î÷åâèäíû. Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì S ìíîæåñòâà ðàçðåçîâ óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Âûáåðåì ðàçðåç T ∈ S òàê, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé B ∈ Part(T ) ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç S. Ïóñòü S0 = S \ {T }. Òîãäà ãðàô BT(G, S0 ) äåðåâî. Ïóñòü Part(T ) = {B, B 0 }. Ðàññìîòðèì ðàçðåç S ∈ S0 . Òàê êàê S è T íåçàâèñèìû è â ñèëó ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè B ∈ Part(T ), ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî B ⊂ AS . Ïóñòü Part(S) = {AS , A0S }. Òîãäà B 0 ⊃ A0S . Ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì A0S 6⊃ Bound(B). Ââåäåì îïèñàííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàçðåçîâ S ∈ S0 è ðàññìîòðèì êâàçè÷àñòü A= \ AS ∈ QPart(S0 ). S∈S0 Ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(S0 ) ëåæèò â A0S äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S0 è ïîòîìó A0 6⊃ Bound(B). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A ∈ Part(S0 ). Âñïîìíèì, ÷òî ïî ëåììå 1.7 ÷àñòè D ∈ Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà D = H ∩ F, ãäå H ∈ Part(T ) è F = \ FS ∈ Part(S0 ). (1.4) S∈S0 Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. a. Ïóñòü F ∈ Part(S0 ), F 6= A. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî S ∈ S0 ìû èìååì FS 6= AS è ïîýòîìó FS = A0S . Ñëåäîâàòåëüíî, B 0 ⊃ A0S ⊃ F . Ïîýòîìó B ∩ F ( F = B 0 ∩ F . Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà (1.4), ãäå F 6= A 64 ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß ýòî ÷àñòè F ∈ Part(S0 ) è òîëüêî îíè. Òàêèì îáðàçîì, âñå îòëè÷íûå îò A ÷àñòè Part(S0 ) ýòî ÷àñòè Part(S). Îòìåòèì, ÷òî ïî ëåììå 1.10 ÷àñòü FS = A0S íå ñîäåðæèò íè îäíî èç ìíîæåñòâ Bound(B) è Bound(B 0 ), ñëåäîâàòåëüíî, F íå ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T . Òàêèì îáðàçîì, NBT(G,S) (F ) = NBT(G,S0 ) (F ). D = H ∩ A. b. Åñëè H = B , òî D = A ∩ B = B . Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî B ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.4), à çíà÷èò, B ∈ Part(S). Ïî ëåììå 1.10, ÷àñòü B íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S0 , ñëåäîâàòåëüíî, B âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà BT(G, S), ñìåæíàÿ òîëüêî ñ ðàçðåçîì T . Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àé D = A ∩ B 0 . Êàê ìû çíàåì ïî ëåììå 1.10, ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò âñå ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , êîòîðûå ëåæàò â A. Êðîìå òîãî, äëÿ âñåõ S ∈ S0 ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì AS ⊃ Bound(B 0 ), à çíà÷èò, A ⊃ Bound(B 0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, D = A ∩ B 0 ñîäåðæèò Bound(B 0 ) è âñå ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , ëåæàùèå â A, à äðóãèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ èç S íå ñîäåðæèò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî NBT(G,S) (D) = NBT(G,S0 ) (A) ∪ {T }. b b rs b b rs rs rs rs b b rs b rs b b b b b rs b rs b b b rs b rs b rs b rs b b rs D rs rs rs b rs rs A rs b rs rs rs Bb T b Ðèñ. 1.5: Èíäóêöèîííûé øàã ïîñòðîåíèÿ äåðåâà T (G, S). Òàêèì îáðàçîì, ãðàô BT(G, S) ïîëó÷àåòñÿ èç BT(G, S0 ) ïåðåèìåíîâàíèåì âåðøèíû A â D, ïðèñîåäèíåíèåì ê D ðàçðåçà T , à ê T ÷àñòè B (ñì. ðèñóíîê 1.5). 1) è 2) Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî BT(G, S) äåðåâî. Îòìåòèì, ÷òî ðàçðåç T ñìåæåí â ýòîì äåðåâå ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè, ñîäåðæàùèìè åãî ãðàíèöû ýòî B è D ⊂ B 0 , è äðóãèõ òàêèõ ÷àñòåé íåò. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ äåðåâà BT(G, S) âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå 2. ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 65 3) Ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü B 0 ∈ Part(T ) ñîäåðæèò âñå îòëè÷íûå îò B ÷àñòè Part(S), à òàêæå äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà S ∈ S ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò ÷àñòü A0S ∈ Part(S). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçðåç T îòäåëÿåò êðàéíþþ ÷àñòü B îò âñåõ îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ êàê â BT(G, S), òàê è â ãðàôå G. Áîëåå òîãî, T íå îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà â ãðàôå G íèêàêèå îòëè÷íûå îò B ÷àñòè Part(S) è ðàçðåçû èç S0 , òàê êàê âñå ýòè ÷àñòè è ðàçðåçû ëåæàò â ÷àñòè B 0 ∈ Part(T ). Ðàññìîòðèì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S0 , íàïîìíèì, ÷òî Part(S) = {AS , A0S }, ïðè÷åì AS ⊃ B . Â ãðàôå G ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòè è ðàçðåçû, ñîäåðæàùèåñÿ â AS îò ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â A0S . Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ äåðåâà BT(G, S). Èç èíäóêöèîííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ äåðåâà BT(G, S0 ) ñëåäóåò, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ðàçðåçîâ èç S0 è ÷àñòåé Part(S), ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè Part(S0 ) à ïî äîêàçàííîìó âûøå ýòî âñå ÷àñòè Part(S), êðîìå B è D = A ∩ B 0 . Ðàçðåç S íå îòäåëÿåò â äåðåâå BT(G, S0 ) ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) îò îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ëåæàùèõ â AS . Îòìåòèì, ÷òî AS ⊃ A = D ∪ B . Ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì AS ⊃ T . Èç ïîñòðîåíèÿ BT(G, S) è ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. 4) Äëÿ êðàéíåé ÷àñòè B óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ëþáàÿ äðóãàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü H ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S0 ), à çíà÷èò, äëÿ íåå ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç T 0 ∈ S0 , ÷òî H ∈ Part(T 0 ). 5) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |S| > 1, èíà÷å óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Âñïîìíèì, ÷òî Part(T ) = {B, B 0 }, ïðè÷åì êðàéíÿÿ ÷àñòü B áûëà âûáðàíà êàê ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S, à ÷àñòü B 0 ïðè |S| > 1 òàêîâîé íå ÿâëÿåòñÿ. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ êðàéíèå ÷àñòè Part(S0 ) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S0 . Ðàññìîòðèì òàêóþ ÷àñòü H . Åñëè H 6= A, òî H ⊂ B 0 ∈ Part(T ), ïîýòîìó, ÷àñòü H ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß 66 ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ (íàïîìíèì, ÷òî A ⊃ B ) ñðåäè ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì ìíîæåñòâà S è íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé ÷àñòüþ Part(S). Îïðåäåëåíèå 1.13. Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà- âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì äâå ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S. Ñëåäñòâèå 1.6. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî- ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî. 2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S) ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S. 3) |Part(S)| = |S| + 1. 4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R. 5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S). 6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî |A ∩ B| = k − 1. 7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß Äîêàçàòåëüñòâî. 67 1) è 2) Ïî òåîðåìå 1.7 ãðàô BT(G, S) äåðåâî, ïðè÷åì âñå åãî âåðøèíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçðåçàì, èìåþò â BT(G, S) ñòåïåíü 2. Èç ïóíêòà 2 òåîðåìû 1.7 ïîíÿòíî, ÷òî çàìåíèâ â ýòîì äåðåâå êàæäûé ðàçðåç S ∈ S íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùèå äâå ñìåæíûå ñ íèì â BT(G, S) ÷àñòè Part(S), ìû ïîëó÷èì äåðåâî PT(G, S), ïðè÷åì äëÿ ýòîãî äåðåâà âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå 2. 3) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2. 4) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.7. 5) Ïî òåîðåìå 1.7 ÷àñòè A è B ñîäåðæàò ðàçíûå ãðàíèöû ðàçðåçà S , ïîýòîìó A ∩ B ⊃ V (S). Ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòü A îò ÷àñòè B , ïîýòîìó V (S) ⊃ A ∩ B . 6) Ïî îïðåäåëåíèþ è ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.7, ÷àñòè A è B ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S . Òàêèì îáðàçîì, ïóíêò 6 ñëåäóåò èç ïóíêòà 5. 7) Ïî îïðåäåëåíèþ äåðåâà ðàçðåçîâ, ÷àñòü A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö êàæäîãî ðàçðåçà, ñìåæíîãî ñ íåé â BT(G, S). Äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà S 0 ∈ S, íåñìåæíîãî ñ A, ñóùåñòâóåò ðàçðåç S ∈ S, ñìåæíûé â BT(G, S) ñ A è îòäåëÿþùèé S 0 îò A â äåðåâå BT(G, S). Ïî ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7 òîãäà S îòäåëÿåò S 0 îò A è â ãðàôå G, à çíà÷èò, A∩V (S 0 ) ⊂ A∩V (S). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Bound(A) ïðèíàäëåæàò ãðàíèöàì ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S). Ãëàâà 2 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû Â ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k . ×åðåç Vk ìû îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ ñòåïåíü k , ïóñòü Vk+1 = V (G) \ Vk , vk = |Vk |, vk+1 = |Vk+1 |, Gk+1 = G(Vk+1 ), Ek+1 = E(Gk+1 ). Ïóñòü ek êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â Vk . Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èç êîíòåêñòà íåÿñíî, î êàêîì ãðàôå èäåò ðå÷ü, ìû áóäåì ïðèìåíÿòü îáîçíà÷åíèÿ Vk (G), Vk+1 (G) è òàê äàëåå. Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ðàçðåçîâ. 2.1 Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì âåðøèí ñòåïåíè k Â 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë, ÷òî vk (G) ≥ (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 68 (2.1) ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 69 ÃÐÀÔÛ äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ìû áóäåì íàçûâàòü òàêèå ãðàôû ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè. Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T ñòðîèòñÿ èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }. Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô Gk,T ýêñòðåìàëüíûé. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b T b b b b b b b b b G 2, T Ðèñ. 2.1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T . Â ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò. Òåîðåìà 2.1. Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿþòñÿ ðàçðåçû. Ìû ïðîäîëæèì èçó÷åíèå èõ ñâîéñòâ, íà÷àòîå â ðàçäåëå 1.4 è èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.1.1 k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 70 Ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì âõîäÿùèå â íèõ ð¼áðà ðàçëè÷íû. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ Part(S) = {F1 , F2 }, Ti = Int(Fi ) ∩ T, Part(T ) = {H1 , H2 }, Sj = Int(Hj ) ∩ S è Gi,j = Fi ∩ Hj , P =T ∩S Int(Gi,j ) = Gi,j \ (P ∪ Ti ∪ Sj ). (2.2) Ïóñòü Ri,j = Cut(Gi,j ), a Gi,j îáúåäèíåíèå òð¼õ îòëè÷íûõ îò Gi,j ÷àñòåé. Â äàëüíåéøåì äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ïàð çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü èìåííî òàêèå îáîçíà÷åíèÿ. Çàìå÷àíèå 2.1. Ëåììà 2.1. Ìíîæåñòâî P â íàøåì ñëó÷àå ñîäåðæèò òîëüêî âåðøèíû. |Ri,j | + |R3−i,3−j | ≤ |S| + |T | = 2k. Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ri,j ñîñòîèò èç P ∪ Ti ∪ Sj è ð¼áåð ðàçðåçîâ T è S , èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(Gi,j ). Âåðøèíû èç P â îáåèõ ÷àñòÿõ ñ÷èòàþòñÿ äâàæäû, à îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà èç S è T â ëåâîé ÷àñòè ñ÷èòàþòñÿ íå áîëåå ÷åì îäèí ðàç, à â ïðàâîé ÷àñòè ðîâíî îäèí ðàç. 2.1.2 Ëåììû Ìàäåðà Ñëåäóþùèå ëåììà è ñëåäñòâèå ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿþò ðåçóëüòàòû èç ðàáîòû Ìàäåðà [22]. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ. Ëåììà 2.2. Ïóñòü ab, ac ∈ Ek+1 , Tab 3 ab è Tac 3 ac ðàçðåçû èç R, ïðè÷åì a ∈ Fa ∈ Part(Tab ) è c ∈ Hc ∈ Part(Tac ). Òîãäà |Int(Fa )| > |Int(Hc )|. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê |Fa | − |Int(Fa )| = k − 1 = |Hc | − |Int(Hc )|, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 71 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî |Fa | > |Hc |. Îòìåòèì, ÷òî c ∈ Fa . Åñëè ðàçðåçû Tab è Tac íåçàâèñèìû, òî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî Fa ⊃ Hc è a ∈ Fa \ Hc , à çíà÷èò, |Fa | > |Hc |. Åñëè ýòè ðàçðåçû çàâèñèìû, òî ïîëîæèì S = Tab , T = Tac è ïðèìåíèì ââåäåííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ (2.2). Ïóñòü F1 = Fa , H2 = Hc . Òîãäà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî a ∈ Int(G1,1 ), b ∈ Int(G2,1 ), c ∈ Int(G1,2 ). Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî |H2 | < |F1 |. Îïðåäåëåííûå âûøå ìíîæåñòâà èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.2. G 1,1 S b a S1 b F1 b T1 b T2 T c G 1,2 P G 2,1 S2 G 2,2 H2 Ðèñ. 2.2: Ìíîæåñòâà S , T è ÷àñòè ðàçáèåíèÿ. Âåðøèíà a ∈ Int(G1,1 ) ñìåæíà ñ b, c è âåðøèíàìè èç G1,1 . Çíà÷èò, åñëè Int(G1,1 ) = {a}, òî èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî R1,1 ñîäåðæèò õîòÿ áû k − 1 âåðøèíó. Åñëè æå A = Int(G1,1 ) \ {a} 6= ∅, òî ìíîæåñòâî âåðøèí V (R1,1 ) ∪ {a} îòäåëÿåò A îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí. Â ëþáîì ñëó÷àå ìû èìååì |V (R1,1 )| ≥ k − 1 è |R1,1 | ≥ k + 1. Èç ëåììû 2.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî |R1,1 | + |R2,2 | ≤ 2k . Ñëåäîâàòåëüíî, |R2,2 | ≤ k − 1, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Îòìåòèì, ÷òî F1 \ H2 = Int(G1,1 ) ∪ S1 è H2 \ F1 = Int(G2,2 ) ∪ T2 = T2 . Ïîñêîëüêó |S1 | + |P | + |S2 | = |V (S)| = k − 1 ≥ |R2,2 | ≥ |T2 | + |P | + |S2 |, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 72 òî |S1 | ≥ |T2 |. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |Int(G1,1 )| ≥ 1, ìû ïîëó÷àåì |F1 | > |H2 |. Ñëåäñòâèå 2.1. Ãðàô Gk+1 ëåñ. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ãðàô Gk+1 íå ëåñ, òî åñòü öèêë ñ ðåáðàìè èç Ek+1 , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 2.2. Ëåììà 2.3. Ïóñòü c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Òîãäà vk (G) ≥ Äîêàçàòåëüñòâî. (k − 1)v(G) + 2(c + ek ) . 2k − 1 Èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà Vk+1 âûõîäèò íå ìå- íåå ÷åì k + 1 ðåáðî, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí ëåñà Gk+1 ðàâíà 2vk+1 − 2c, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíåå ÷åì (k − 1)vk+1 + 2c ðåáåð âûõîäèò èç Vk+1 â Vk . Èç âåðøèí ìíîæåñòâà Vk âûõîäèò ðîâíî kvk − 2ek ð¼áåð ê âåðøèíàì ìíîæåñòâà Vk+1 . Ïîýòîìó (k − 1)vk+1 + 2c ≤ kvk − 2ek , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìàëüíîãî ãðàôà è ëåììû 2.3 ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä. Ñëåäñòâèå 2.2. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, òàêîé, ÷òî ek + c > k . Òîãäà ãðàô G íå ýêñòðåìàëüíûé. Çàìå÷àíèå 2.2. Íåðàâåíñòâî Ìàäåðà (2.1) ñëåäóåò èç ek + c ≥ k . Ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå è èññëåäóåì ñëó÷àè, êîãäà äîñòèãàåòñÿ ðàâåí- Îòìåòèì, ÷òî èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.3 ÿñíî, ÷òî ïðè ek + c = k ðàâåíñòâî â (2.1) ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ∆(G) ≤ k + 1. ñòâî. 2.1.3 Íîðìàëüíûå ðàçðåçû Îïðåäåëåíèå 2.2. Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(S) ñ |Int(A)| < k 2 è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå ñóùåñòâóåò. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 73 ÃÐÀÔÛ Ïóñòü îáà çàâèñèìûõ ðàçðåçà S, T ∈ R íîðìàëüíûå, Ëåììà 2.4. a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà äëÿ êàæäîãî èç ð¼áåð a1 a2 è b1 b2 ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ýòî ðåáðî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî |R1,1 | = k = |R2,2 | è R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T. Ñëåäîâàòåëüíî, R1,1 ∪R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅, òî åñòü, Int(F1 ) = T1 (ñì. ðèñóíîê 2.3à). Èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà S ñëåäóåò, ÷òî |T1 | ≥ k2 . S 0 G 2,1 a2 S1 b b1 b T2 b 0 P G 2,2 b b2 a1 T1 a T S b1 0 b S1 0 b a1 P T1 T 0 T2 a2 S2 b2 G 2,2 b S2 b b Ðèñ. 2.3: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé íîðìàëüíûõ çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä k − 1 è |R2,1 | + |R2,2 | ≤ |S| + 2|T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }| ≤ 2k. (2.3) 2 Åñëè Int(G2,1 ) = ∅ (ñì. ðèñóíîê 2.3b), òî èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà T |T2 ∪ P | ≤ ìû èìååì Int(H1 ) = |S1 | ≥ k2 , à ñëåäîâàòåëüíî, |S2 ∪ P | ≤ î÷åâèäíî ñëåäóåò |R2,2 | ≤ |S2 | + |T2 | + |P | + |{a1 a2 , b1 b2 }| ≤ k. k 2 − 1, îòêóäà ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 74 ÃÐÀÔÛ Åñëè è Int(G2,2 ) = ∅, òî Int(F2 ) = S2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà T . Çíà÷èò, Int(G2,2 ) 6= ∅, íî ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè |R2,2 | = k , ÷òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }. Òîãäà ðàçðåç R2,2 íàì ïîäõîäèò. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Int(G2,1 ) 6= ∅ è Int(G2,2 ) 6= ∅. Ïî íåðàâåíñòâó (2.3) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |R2,1 | = |R2,2 | = k . Òîãäà îáà ðàçðåçà R2,1 è R2,2 ñîäåðæàò ðåáðî b1 b2 è R2,1 ∪ R2,2 ⊃ S 3 a1 a2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îäèí èç ðàçðåçîâ R2,1 è R2,2 ñîäåðæèò îáà ðåáðà b1 b2 è a1 a2 , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì a1 a2 ∈ S Ëåììà 2.5. è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 , Ri,j 3 b1 b2 è |Ri,j | = k . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàçðåç R ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì: 1◦ Part(R) = {Gi,j , U }, ïðè÷¼ì ëèáî U = Gi,j , ëèáî U = Gi,j ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà a1 a2 , ëåæàùèé â Gi,j ; 2◦ R íåçàâèñèì è ñ S , è ñ T . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü i = j = 1. Ïî ïîñòðîåíèþ R1,1 , îäèí èç êîíöîâ ðåáðà b1 b2 ëåæèò â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî b1 . Çíà÷èò, Int(G1,1 ) 6= ∅ è ïî ëåììå 1.8 ìû çíàåì, ÷òî R1,1 ðàçðåç, Part(R1,1 ) = {G1,1 , G1,1 }. Åñëè a1 a2 ∈ / R1,1 , òî R1,1 ∈ R è ðàçðåç R = R1,1 íàì ïîäõîäèò. G 1,1 S a2 b a1 S1 b b G 1,2 T1 P G 2,1 T b1 b b2 T2 S2 G 2,2 a G 1,1 a1= b1 S a2 T b S1 b G 1,2 T1 P G 2,1 T2 G 2,2 b b2 S2 b Ðèñ. 2.4: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Ïóñòü a1 a2 ∈ R1,1 . Ïî ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà R1,1 ðåáðî a1 a2 èìååò êîíåö â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî a1 . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî R, ïîëó÷åííîå èç R1,1 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 75 çàìåíîé a1 a2 íà a1 . Åñëè Int(G1,1 ) 6= {a1 }, òî R ðàçðåç, Part(R) = {G1,1 , G1,1 ∪ {a1 }} (ñì. ðèñóíîê 2.4a), îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ðàçðåç íåçàâèñèì ñ S è T , à ñòàëî áûòü, îí íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü Int(G1,1 ) = {a1 }. Òîãäà, â ÷àñòíîñòè, a1 = b1 (ñì. ðèñóíîê 2.4b). Êðîìå a2 è b2 ýòà âåðøèíà ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç R1,1 . Òîãäà èç dG (a1 ) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî |V (R1,1 )| ≥ k − 1. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |R1,1 | ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà 2.6. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî E ⊂ Ek+1 òàêîâî, ÷òî âñå ðàçðåçû èç R, ñîäåðæàùèå ðåáðà èç E íîðìàëüíûå. Òîãäà cóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S = {Se }e∈E ⊂ R, ãäå e ∈ Se , ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîíóìåðóåì f1 , . . . , fm ðåáðà ìíîæåñòâà E . Ïóñòü S0 = {S1 , . . . , S`−1 } ⊂ R ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì fi ∈ Si . Ïóñòü f` ∈ T ∈ R. Äîêàæåì, ÷òî ìîæíî èçìåíèòü ðàçðåç T òàê, ÷òîáû îí ñòàë íåçàâèñèìûì ñî âñåìè ðàçðåçàìè èç S0 . Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêöèåé ïî |S0 |. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ |S0 | = 0 î÷åâèäíà. Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü ðàçðåç T íåçàâèñèì ñ ðàçðåçàìè S1 , . . . , Si−1 , íî çàâèñèì ñ Si . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ Part(T ) = {H1 , H2 }, Part(Si ) = {F1 , F2 }, Gx,y = Fx ∩ Hy . Òàê êàê ðàçðåçû Si è T íîðìàëüíû, ïî ëåììàì 2.4 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç R 3 f` , ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β , ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà f` = ab, ëåæàùèé â Gα,β . k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 76 ÃÐÀÔÛ Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì Sj ∈ S0 . Ïóñòü Part(Sj ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû Si è Sj íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû T è Si çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F1 ⊃ D2 , F2 ⊂ D1 , H1 ⊃ D2 , (2.4) H2 ⊂ D1 . Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. α = 2. Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5a), òî åñòü, ðàçðåçû R è Sj íåçàâèñèìû. R R G 1,2 b H2 T G 2,2 H2 F2 b b Si a G1,1 Si Sj b R F2 a b D2 b T T b G 2,1 b S j D2 b S j D2 b Si c Ðèñ. 2.5: Ðàçðåçû Si , Sj è T . 2. α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ. 2.1. β = 2. Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5b), ÷òî îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R. 2.2. β = 1. Â ñèëó (2.4) ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.5c). Òàê êàê ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò, D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U. Èç D2 ⊂ F1 è D2 ⊂ H1 ñëåäóåò, ÷òî D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 77 ÃÐÀÔÛ Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R. Ëåììà 2.7. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à P = a1 . . . an ïðîñòîé ïóòü, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó Vk+1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû S1 , . . . , Sn−1 ∈ R, ÷òî ai ai+1 ∈ Si , Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }, ïðè÷åì ai ∈ Int(Ai ) è ai+1 ∈ Int(Bi+1 ). Òîãäà B2 ⊃ NG (an ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè n = 2 ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 3. Äîêàæåì, ÷òî Bi ⊃ Bi+1 ïðè i ∈ {1, . . . , n−1}. Òàê êàê ðàçðåçû Si−1 è Si íåçàâèñèìû, ai ∈ Int(Bi ) è ai ai+1 ∈ / Si−1 , ìû èìååì ai+1 ∈ Bi . Çíà÷èò, íè îäíà èç ÷àñòåé Part(Si ) íå ìîæåò ñîäåðæàòü Bi 3 ai , ai+1 . Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si−1 è Si , òîãäà Bi ñîäåðæèò îäíó èç ÷àñòåé Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }. b ai–1 Si–1 b b Ai–1 ai+1 Si ai Ai Bi Ðèñ. 2.6: Ðàçðåçû Si−1 è Si . Cëó÷àé, êîãäà Bi ⊃ Ai . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi ⊃ Ai (ñì. ðèñóíîê 2.6). Òîãäà èç ai−1 ∈ / Bi ñëåäóåò ai−1 ∈ / Ai . Îäíàêî, âåðøèíà ai−1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ai ∈ Int(Ai ), ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, Bi ⊃ Bi+1 . Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî B2 ⊃ Bn . Òàê êàê an ∈ Int(Bn ), ìû èìååì NG (an ) ⊂ Bn ⊂ B2 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ Ëåììà 2.8. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 78 Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, E ⊂ Ek+1 , à ìíîæåñòâî S = {Se }e∈E ⊂ R, ãäå e ∈ Se , ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà Se ∈ S. Òîãäà ëþáîé ïðîñòîé ïóòü ñ êîíöàìè èç R ñîäåðæèò ðåáðî íå èç ìíîæåñòâà E . b a1 S1 b a2 B2 b R A1 b an Bn Ðèñ. 2.7: Ïóòü ïî ðåáðàì èç E . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé ïóòü a1 a2 . . . an ïî ð¼áðàì èç E , êîíöû êîòîðîãî a1 è an ëåæàò â R. Åñëè ïóòü P ñîäåðæèò âñåãî îäíî ðåáðî a1 a2 , òî a1 a2 6= e, òàê êàê ãðàíèöà R ðàçðåçà Se 3 e ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ðåáðà e. Åñëè æå n ≥ 3 è e = a1 a2 , òî ïåðåíóìåðóåì âåðøèíû ïóòè P â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå ìû äîáüåìñÿ òîãî, ÷òî e 6= a1 a2 . Ïóñòü Si = Sai ai+1 , Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }, ãäå ai ∈ Int(Ai ) è ai+1 ∈ Int(Bi+1 ). Òàê êàê ðàçðåçû Se è S1 íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùåãî ðåáðà, ïî ëåììå 1.10 îäíà èç ÷àñòåé U ∈ Part(S1 ) ñîäåðæèò W (Se ). Çíà÷èò, U ⊃ R 3 a1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî U = A1 . Ïî ëåììå 2.7 ìû èìååì NG (an ) ⊂ B2 (ñì. ðèñóíîê 2.7). Ïî çàìå÷àíèþ 1.6 ìû çíàåì, ÷òî R ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Èç R ⊂ A1 ñëåäóåò, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò B2 ∪ W (S1 ). Çíà÷èò, îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿíîñòè M ãðàôà G − R ëåæèò ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 79 â Int(A1 ). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà an ∈ R äîëæíà èìåòü ñìåæíóþ âåðøèíó â M ⊂ Int(A1 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó âûøå. 2.1.4 Êðèâûå ðàçðåçû Íàïîìíèì, ÷òî c ýòî êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , a ek êîëè÷åñòâî ð¼áåð, îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü k . Ëåììà 2.9. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì â ìíî- æåñòâå R åñòü êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ek + c ≥ k + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåçäå â äîêàçàòåëüñòâå ÷åðåç Se ìû îáîçíà÷àåì ðàçðåç èç R, ñîäåðæàùèé ðåáðî e ∈ Ek+1 . (Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 òàêîé ðàçðåç ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì, âîçìîæíî, íå îäèí.) 1. Ïóñòü e = a1 a2 ∈ Ek+1 , à ðàçðåç Se êðèâîé, ïðè÷åì k a1 ∈ A1 ∈ Part(Se ) è |Int(A1 )| < . 2 Ïóñòü U 3 a1 , a2 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à T = Gk+1 (U ). Òîãäà T äåðåâî ïî ñëåäñòâèþ 2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî dT (a1 ) > 1. Òîãäà â äåðåâå T ñóùåñòâóåò ïóòü îò a1 äî âèñÿ÷åé âåðøèíû a, íå ïðîõîäÿùèé ïî ðåáðó a1 a2 . Ïóñòü a0 a ïîñëåäíåå ðåáðî ýòîãî ïóòè, Saa0 ∈ R, ïðè÷åì a ∈ A ∈ Part(Saa0 ). Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì Int(A) < Int(A1 ) < k2 . Â ÷àñòíîñòè, ðàçðåç Saa0 òàêæå êðèâîé. 2. Ïóñòü a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T , k |Int(A1 )| = p < , 2 S = V (Sa1 a2 ). Îòìåòèì, ÷òî |S| = k − 1. Ïóñòü M = Int(A1 ) ∩ Vk , m = |M | (ñì. ðèñóíîê 2.8a). Î÷åâèäíî, âåðøèíà a1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ âåðøèíàìè èç Vk+1 ∩ A1 , ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà a1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ m k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 80 ÃÐÀÔÛ âåðøèíàìè èç Int(A1 ). Èç dG (a1 ) = k + 1 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà a1 íåñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ m − 1 âåðøèíàìè èç S . èìåþò ñòåïåíü k. Òàêèì îáðàçîì, |Int(A1 ) ∩ Vk+1 | = p − m, Âñå ñìåæíûå ñ a1 âåðøèíû èç S |S ∩ Vk+1 | ≤ m − 1 è |A1 ∩ Vk+1 | ≤ p − 1. Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ. m ≥ 2. 2.1. Âåðøèíà ìíîæåñòâà M ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç A1 . Ïîýòîìó, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà M ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ p − 1 âåðøèíàìè èç Vk+1 , à çíà÷èò, õîòÿ áû c k − p + 1 âåðøèíàìè èç Vk . Ïðîñóììèðîâàâ ð¼áðà, èñõîäÿùèå èç âñåõ âåðøèí M ê âåðøèíàì èç Vk , ìû ïîëó÷èì õîòÿ áû m(k − p + 1). Îäíàêî, ð¼áðà ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà M (êîòîðûõ íå áîëåå ÷åì m(m−1) ) 2 â ýòîé ñóììå ïîñ÷èòàíû äâàæäû, ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî ek ≥ m(k−p+1)− m(m − 1) m(m − 1) ≥ k+3+(m−2)(k−p+1)− ≥ k+2, 2 2 (2.5) ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. (Ïðè m = 2 íåðàâåíñòâî (2.5) î÷åâèäíî, à ïðè m ≥ 3 ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî k − p + 1 ≥ p ≥ m è m − 2 ≥ m−1 2 , à ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (2.5) íå ìåíåå ÷åì k + 3.) A1 a r r r M r r r r A1 r b a S b T’ b b x a2 b2 b r x r r a1b r b bb b1 b r r z a1 r bb S a2 b b r r r b b a1 r A1 b S a2 r r z c Ðèñ. 2.8: Êðèâîé ðàçðåç Sa1 a2 è ÷àñòü A1 . Íà ýòîì è ñëåäóþùèõ ðèñóíêàõ êðóæî÷êè îáîçíà÷àþò âåðøèíû èç Vk+1 , à êâàäðàòèêè âåðøèíû èç Vk . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.2. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 81 m = 1. Ïóñòü M = {x}. Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå a1 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 ) (c âåðøèíîé x), à çíà÷èò, a1 ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç S . Ñëåäîâàòåëüíî, S ⊂ Vk . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Y = (Int(A1 ) \ {a1 }) ∩ Vk+1 6= ∅. Ïî äîêàçàííîìó âûøå, òîãäà Y îäíà èëè íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Ïóñòü T 0 = Gk+1 (Y ). Ïî ñëåäñòâèþ 2.2, ãðàô T 0 ëåñ. Ïóñòü a ∈ Y , dT 0 (a) ≤ 1. Òîãäà èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî dT 0 (a) = 1, ïðè÷åì a äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ x è ñî âñåìè k −1 âåðøèíàìè èç S . Òàêèì îáðàçîì, ëåñ T 0 íå ñîäåðæèò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí. Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà T 0 , ñìåæíàÿ â T 0 ñ âåðøèíîé b ñòåïåíè dT 0 (b) = ` (ñì. ðèñóíîê 2.8b). Òîãäà â T 0 ñóùåñòâóþò ` − 1 íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ïóòè P1 , . . . , P`−1 îò b äî îòëè÷íûõ îò a âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1 ëåñà T 0 . Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sab ∈ R. Îòìåòèì, ÷òî âåðøèíà b ñìåæíà õîòÿ áû ñ k − ` + 1 âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S ∪ {x}, è âñå ýòè âåðøèíû äîëæíû áûòü â Sab . Ðàçðåç Sab ñîäåðæèò k − 1 âåðøèíó, à çíà÷èò, íå ñîäåðæèò íåêîòîðóþ âåðøèíó z ∈ S ∪ {x}. Êàê äîêàçàíî âûøå, âåðøèíà a è êàæäàÿ èç âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1 ñìåæíà ñ z , à çíà÷èò, ðàçäåëÿþùèé a è b ðàçðåç Sab äîëæåí ñîäåðæàòü ïî âåðøèíå êàæäîãî èç ïóòåé P1 , . . . , P`−1 . Íî òîãäà Sab ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí, ÷òî íå òàê. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, Int(A1 ) = {a1 , x} (ñì. ðèñóíîê 2.8c). Â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ek ≥ k − 1 (ñòîëüêî ð¼áåð âåäåò îò x äî âåðøèí èç S ). Åñëè óòâåðæäåíèå äðóãèõ ð¼áåð â Ek íåò, à ãðàô Gk+1 èìååò îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, òî åñòü, Gk+1 äåðåâî. Îñòàåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîñëåäíèé ñëó÷àé. Â ýòîì ñëó÷àå âñå ð¼áðà èç Ek ñîåäèíÿþò âåðøèíó x ∈ Int(A1) ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S . Îòìåòèì, ÷òî â NG(x) íåò îòëè÷íûõ îò a1 âåðøèí èç Vk+1. ëåììû íå âûïîëíåíî, òî ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 3. k -ÑÂßÇÍÛÅ 82 ÃÐÀÔÛ Äîêàæåì, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì n ≤ k−1 2 , à âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 . Ïóñòü c1 c2 ∈ E(Gk+1 ), Sc1 c2 ∈ R êðèâîé ðàçðåç, k c1 ∈ C1 ∈ Part(Sc1 c2 ) è |Int(C1 )| < . 2 Ðàññìîòðèì ëþáîé ïóòü â ãðàôå Gk+1 îò c1 äî íåêîòîðîé âèñÿ÷åé âåðøèíû a01 , íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç c2 (ñì. ðèñóíîê 2.9a). Ïóñòü a02 a01 ïîñëåäíåå ðåáðî ýòîãî ïóòè, Sa01 a02 ∈ R, a01 ∈ Int(A01 ) ∈ Part(Sa01 a02 ). Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A01 )| < |Int(C1 )| < k2 . Ïóñòü a01 6= a1 . Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñäåëàííîìó â ïóíêòàõ 1 è 2, äëÿ ÷àñòè A01 . Ìû íàéäåì íå ìåíåå ÷åì k − 1 ðåáåð èç Ek â ÷àñòè A01 . Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé, êîãäà ek = k − 1. Ïîýòîìó, â ÷àñòè A01 ðîâíî k−1 ðåáðî èç Ek , íî òîãäà âñå ýòè ð¼áðà èíöèäåíòíû ñìåæíîé ñ a01 âåðøèíå x0 . Î÷åâèäíî, x0 6= x. Òîãäà Ek ñîäåðæèò õîòÿ áû k ð¼áåð: ýòî k − 1 ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå x è õîòÿ áû îäíî îòëè÷íîå îò íèõ ðåáðî, èíöèäåíòíîå x0 . Â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî. Ñêàçàííîå âûøå îçíà÷àåò, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 . Ïóñòü ai ai+1 ∈ Si ∈ R, ai ∈ Ai ∈ Part(Si ). Ïî ëåììå 2.2, òîãäà 2 = Int(A1 ) < Int(A2 ) < · · · < Int(An−1 ) ≤ Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤ 4. k−1 . 2 k−1 2 . Ïóñòü E ìíîæåñòâî âñåõ ð¼áåð ãðàôà Gk+1 , êðîìå ð¼áåð ïóòè Q. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ T c1 C1 a’1 S b b v b d2 b b c2 u b r a’2 r b r a b d1 83 ÃÐÀÔÛ b d2 b b b b a1 r r r D1 b a1 d1 b w’ D1 r w r c b Ðèñ. 2.9: Ïóòü a1 . . . an è êðèâûå ðàçðåçû. 4.1 E 6= ∅. Ïî ëåììå 2.6 ìîæíî âûáðàòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû Se ∈ R äëÿ âñåõ ð¼áåð e ∈ E . Ïóñòü d1 d2 ∈ E(Gk+1 ), ïðè÷åì d1 îòëè÷íàÿ îò a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà Gk+1 , a d1 ∈ D1 ∈ Part(Sd1 d2 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v ∈ Sd1 d2 ∩ Vk+1 (ñì. ðèñóíîê 2.9b). Ïî ëåììå 2.8, ïóòü îò v äî d2 ïî äåðåâó Gk+1 äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû îäíî ðåáðî ïóòè Q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî v ∈ {a1 , . . . , an } è õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ). Ïóñòü u ∈ Int(D1 ) ∩ Vk+1 . Â ýòîì ñëó÷àå ïóòü îò u äî d2 ïî äåðåâó Gk+1 äîëæåí ïðîõîäèòü ÷åðåç âåðøèíó ðàçðåçà Sd1 d2 , à òîãäà, êàê ïîêàçàíî âûøå, ýòîò ïóòü ñîäåðæèò ðåáðî ïóòè Q. Ñëåäîâàòåëüíî, u ∈ {a1 , . . . , an } è õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû èç D1 ∩ Vk+1 , êðîìå d1 , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {a1 , . . . , an }, íî õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ïóòè Q íå ëåæèò â D1 . Ñëåäîâàòåëüíî, |Vk+1 ∩ D1 | ≤ n ≤ 4.2. k−1 . 2 (2.6) E = ∅. Â ýòîì ñëó÷àå Gk+1 = Q, à an âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ãðàôà Gk+1 . Ïóñòü d1 = an , à D1 ∈ Part(Sn−1 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ an . Òàê êàê an−1 ∈ / D1 , è â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.6). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 84 Ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îáîèõ ñëó÷àåâ. Âåðøèíà d1 ∈ Int(D1 ) âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Gk+1 , è ïîòîìó ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç Vk ∩ D1 , ñðåäè êîòîðûõ åñòü âåðøèíà w ∈ Int(D1 ) (ñì. ðèñóíîê 2.9c). Ïîñêîëüêó d1 6= a1 , òî x 6= w. Âåðøèíà w ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç D1 . Èç íåðàâåíñòâà (2.6) ñëåäóåò, ÷òî â NG (w) åñòü õîòÿ áû k+1 >1 2 âåðøèí ñòåïåíè k , ñðåäè êîòîðûõ ìîæíî íàéòè âåðøèíó w0 6= x (ñì. ðèk − |Vk+1 ∩ D1 | ≥ k − n ≥ ñóíîê 2.9ñ). Òîãäà ðåáðî ww0 äàåò íàì ek ≥ k è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. 2.1.5 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1 Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî k > 1, èíà÷å äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î÷åâèäíî. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. Ek+1 = ∅. Òîãäà vk+1 = c ≤ k . Åñëè vk+1 = k , òî ek = 0 è íàø ãðàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé k ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k + 1, ñ êàæäîé èç êîòîðûõ ñìåæíû k + 1 ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k . Ýòî ãðàô Kk,k+1 , êîòîðûé ðàâåí Gk,T äëÿ îäíîâåðøèííîãî äåðåâà T . Ïóñòü vk+1 < k . Òîãäà ëþáàÿ âåðøèíà x ∈ Vk ñìåæíà õîòÿ áû ñ k − vk+1 âåðøèíàìè ñòåïåíè k , îòêóäà ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî vk (k − vk+1 ) > k − vk+1 , 2 à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2. (Ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ek ≥ vk ≥ k + 1 > 2.) 2. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ek+1 6= ∅. Èç ëåììû 2.9 è ñëåäñòâèÿ 2.2 ïîíÿòíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ð¼áðà èç Ek+1 íå âõîäÿò â êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ïî ëåììå 2.6 äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìû ïîñòðîèì ðàçðåç Se 3 e òàê, ÷òîáû ýòè ðàçðåçû áûëè ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïóñòü S ìíîæåñòâî ïîñòðîåííûõ ðàçðåçîâ. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 85 ÃÐÀÔÛ Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü [ A= Part(S), S∈S à A1 , . . . , An âñå ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè èç A. Î÷åâèäíî, n ≥ 2. Ïóñòü Si ∈ S îòäåëÿþùèé ÷àñòü Ai ðàçðåç èç S, Ri = Ai ∩ W (Si ), pi = |Ri ∩ Vk |, Bi = Ai \ Ri . Ïóñòü ai ∈ Int(Ai ) êîíåö ðåáðà èç Ek+1 , âõîäÿùåãî â ðàçðåç Si (ñì. ðèñóíîê 2.10a). Òîãäà {ai } = Int(Ai ) ∩ Ri . Èçó÷èì ñâîéñòâà ÷àñòåé Ai . Ri b Si ai Ai b b Sxy ai b Ai b x a Si b Ai b R’ y ai Q’ Q b Si P’ b P c Ðèñ. 2.10: ×àñòü Ai . Ëåììà 2.10. Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Bi 6= ∅, ìíîæåñòâî Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà. Êàæäàÿ âåðøèíà èç Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi . 2) Åñëè x ∈ Bi ∩ Vk+1 , òî {x} êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . 3) Ïóñòü ci ýòî êîëè÷åñòâî ëåæàùèõ â Bi îäíîâåðøèííûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à ek,i ýòî êîëè÷åñòâî èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Bi ð¼áåð èç Ek . Òîãäà ci + ek,i ≥ pi . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Òàê êàê ðàçðåç Si íîðìàëåí, |Int(Ai )| > 1, à çíà÷èò, Bi = Int(Ai ) \ {ai } 6= ∅. Òîãäà Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G. Èç |Ri | = k è k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 86 2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y ∈ Vk+1 è xy ∈ E(G). Òîãäà y ∈ Ai , xy ∈ Ek+1 . Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxy ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.10b). Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si è Sxy è ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè Ai ñëåäóåò, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(Sxy ) äîëæíà ñîäåðæàòü Ai , ÷òî, î÷åâèäíî, íåâîçìîæíî: âåðøèíû x, y ∈ Ai ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(Sxy ). Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. 3) Ïóñòü P ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â Ri âåðøèí ñòåïåíè k , à Q ìíîæåñòâî âñåõ ñìåæíûõ ñ P âåðøèí èç Bi . Ïóñòü Vk+1 ∩ Q = Q0 , à P 0 ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç P , ñìåæíûõ â Int(Ai ) òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç Q0 . Íàïîìíèì, ÷òî |P | = pi . Òîãäà ci ≥ |Q0 | ïî ïóíêòó 2. Êàæäàÿ âåðøèíà èç P \ P 0 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ñòåïåíè k èç ìíîæåñòâà Q, îòêóäà ek,i ≥ |P | − |P 0 |. Åñëè |P 0 | ≤ |Q0 |, òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ek,i + ci ≥ pi , ÷òî íàì è íóæíî. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |P 0 | > |Q0 |. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi 6= Q0 . Òîãäà ìíîæåñòâî R0 = (R \ P 0 ) ∪ Q0 ñîñòîèò ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí è îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî Bi \ Q0 îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G (ñì. ðèñóíîê 2.10c). Â k -ñâÿçíîì ãðàôå òàêîå íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, Q0 = Bi 6= ∅. Êàê ìû çíàåì èç ïóíêòà 2, êàæäàÿ âåðøèíà èç Q0 ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç Ai ∩ Vk , à ýòî â íàøåì ñëó÷àå òîëüêî âåðøèíû ìíîæåñòâà P . Íî |P | < k , ïðîòèâîðå÷èå. Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Ïóñòü p1 = min(p1 , . . . pn ). Òîãäà ïî ëåììå 2.8 âåðøèíû èç Vk+1 ∩ (∪ni=1 Ri ) âõîäÿò õîòÿ áû â k − p1 ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Åñëè p1 > 0, òî â ñèëó ëåììû 2.10 ìû èìååì c + ek ≥ (k − p1 ) + n X j=1 pj ≥ k − p1 + 2p1 ≥ k + 1, ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 87 ÃÐÀÔÛ ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2. Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé, ñàìûé èíòåðåñíûé ñëó÷àé p1 = 0. Â ýòîì ñëó÷àå ïî ëåììå 2.8 âñå k âåðøèí èç R1 ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî c = k . Ïóñòü U1 , . . . , Uk êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , òîãäà Ti = G(Ui ) äåðåâüÿ. Ïî ñëåäñòâèþ 2.2 ìû èìååì ek = 0, òî åñòü, íèêàêèå äâå âåðøèíû ñòåïåíè k â ãðàôå G íå ñìåæíû. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì G ýêñòðåìàëüíîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Ïî ëåììå 2.8 êàæäîå èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé âåðøèíå ìíîæåñòâà R1 . Ïóñòü R1 = {b1 , . . . , bk }, ïðè÷åì bi ∈ V (Ti ). Îäíà èç ýòèõ âåðøèí ñîâïàäàåò ñ a1 êîíöîì âõîäÿùåãî â ðàçðåç S1 ðåáðà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî b1 = a1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî bi ñìåæíà ñ âåðøèíîé x ∈ B1 ∩ Vk+1 . Òîãäà ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxbi ∈ S. Ýòîò ðàçðåç ïî ïîñòðîåíèþ íåçàâèñèì ñ S1 . Ïóñòü A ∈ Part(Sxbi ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ x, íî íå ñîäåðæàùàÿ bi (ñì. ðèñóíîê 2.11a). Òîãäà A ( A1 ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ ÷àñòè A1 . A1 A R1 rb Sxbi A1 x bi rb br rb a b b b bb b bi b’i bb b bb b’1 b b bb br b b G’ b bb b’i b rb b b b R1 b’k c Ðèñ. 2.11: ×àñòü A1 è ãðàô G0 . Ïóñòü b1 b01 ∈ S1 è N1 = NG (b1 ) \ {b01 }. Òàê êàê b1 ∈ Int(A1 ), ìû èìååì N1 ⊂ A1 . Èç äîêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî N1 ⊂ Vk . Âìåñòå ñ R1 ⊂ Vk+1 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî N1 ⊂ B1 . Òàê êàê ek = 0, êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ N1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ k ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 88 âåðøèíàìè èç Vk+1 , è âñå ýòè âåðøèíû ëåæàò â ÷àñòè A1 . Èç c = k è äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî Vk+1 ∩ A1 = R1 , à çíà÷èò, NG (x) = R1 = {b1 , . . . , bk }. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî B1 = N1 è ýòî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç k âåðøèí ñòåïåíè k , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñìåæíà ñ âåðøèíàìè b1 , . . . , bk (ñì. ðèñóíîê 2.11b). Ïî çàìå÷àíèþ 2.2, âñå âåðøèíû b1 , . . . , bk èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü k + 1, à çíà÷èò, äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âåðøèíà bi âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Ti. Ïóñòü bi b0i ∈ E(Ti ) åäèíñòâåííîå èíöèäåíòíîå bi ðåáðî äåðåâà Ti . Òîãäà âñå âåðøèíû b01 ,. . . , b0k ðàçëè÷íû. Ïîñòðîèì íîâûé ãðàô G0 , äîáàâèâ ê ãðàôó G−R1 −B1 íîâóþ âåðøèíó b ñòåïåíè k ñ NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k } (ñì. ðèñóíîê 2.11c). Ïóñòü Ti0 = Ti − bi . Îòìåòèì, ÷òî vk (G0 ) = vk (G) − k + 1, Ëåììà 2.11. v(G0 ) = v(G) − 2k + 1. (2.7) Ïóñòü x ∈ Vk (G). Òîãäà NG (x) ñîäåðæèò ïî îäíîé âåðøèíå êàæäîãî èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ñìåæíà ñ âåðøèíàìè y1 è ym îäíîãî äåðåâà T` , à y1 y2 . . . ym ïóòü â T` ìåæäó íèìè. Ïóñòü Sy1 y2 ∈ S, Part(Sy1 y2 ) = {Y1 , Y2 }, Y1 3 y1 è Y2 3 y2 . Ïî ëåììå 2.7 ìû çíàåì, ÷òî NG (ym ) ⊂ Y2 . Ïîñêîëüêó y1 ∈ Int(Y1 ), ìû èìååì x ∈ Sy1 y2 (ñì. ðèñóíîê 2.12). Ðàçðåç Sy1 y2 ðàçäåëÿåò êàêèå-òî äâå ìèíèìàëüíûå ÷àñòè Ai è Aj , à èõ ãðàíèöû, êàê äîêàçàíî âûøå, ñîäåðæàò ïî âåðøèíå êàæäîãî èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk . Çíà÷èò, è Sy1 y2 äîëæåí ñîäåðæàòü ïî âåðøèíå êàæäîãî èç ýòèõ äåðåâüåâ, êðîìå T` , òî åñòü, íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíó x, ïðîòèâîðå÷èå. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b Ai b b y1 b k -ÑÂßÇÍÛÅ Sy1 y2 b y2 ÃÐÀÔÛ ym b b b b b b b Y1 r x Y2 89 Aj b Ðèñ. 2.12: Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîãî äåðåâà. Ëåììà 2.12. G0 ìèíèìàëüíûé k ñâÿçíûé ãðàô. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 k -ñâÿçíûé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî G0 èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî Q èç ìåíåå ÷åì k âåðøèí. Òîãäà Q íå ñîäåðæèò íè îäíîé âåðøèíû êàêîãî-òî èç äåðåâüåâ T10 , . . . , Tk0 . Ïóñòü Q ∩ V (T10 ) = ∅, à U êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G0 − Q, ñîäåðæàùàÿ âñå âåðøèíû äåðåâà T10 . Ïóñòü x ∈ Vk (G0 ) \ Q, x 6= b. Òîãäà ïî ëåììå 2.11 âåðøèíà x ñîåäèíåíà ðåáðîì ñ äåðåâîì T10 , ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ U . Åñëè b ∈ / Q, òî âåðøèíà b òàêæå ïðèíàäëåæèò U (òàê êàê ñìåæíà ñ T10 ). Ïóñòü x ∈ Vk+1 (G0 ) \ Q, x ∈ / U . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ V (T20 ). Ïóñòü dT20 (x) = m. Òîãäà â äåðåâå T20 ñóùåñòâóþò m íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçëè÷íûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí y1 , . . . , ym . Êàæäàÿ âåðøèíà yi ñìåæíà â ãðàôå G0 ñ âåðøèíîé zi ∈ Vk (G0 ). Êðîìå òîãî, âåðøèíà x ñìåæíà â G0 ñ âåðøèíàìè zm+1 , . . . , zk+1 ∈ Vk (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 2.13a). Ïî ëåììå 2.11, âñå âåðøèíû z1 ,. . . , zk+1 ðàçëè÷íû. Âûøå äîêàçàíî, ÷òî ýòè âåðøèíû ïðèíàäëåæàò êîìïîíåíòå U . Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , k + 1} ìíîæåñòâî Q äîëæíî ñîäåðæàòü îòëè÷íóþ îò x âåðøèíó, ëåæàùóþ íà ïóòè îò x äî zi . Íî òîãäà |Q| ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, U ⊃ V (G0 −Q), òî åñòü, ãðàô G0 −Q ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. 2. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé. Ïóñòü xy ∈ E(G0 ). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîíöîâ ýòîãî ðåáðà èìååò â G0 ñòåïåíü k , òî ãðàô G0 − xy íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b r r r z4 b b y 4 z1 r b y x 1 a r b z7 b b b y T2 y 2 b r b 3 r z3 y x Sxy Ux U b z5 z6 b b 90 ÃÐÀÔÛ b T1 b k -ÑÂßÇÍÛÅ A1 b1 T1 b b b B’ B b b S’ Uy b z2 b b Ðèñ. 2.13: Ðàçðåçû Sx è S 0 . ñëó÷àé, êîãäà xy ∈ Ek+1 (G0 ). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî xy ∈ E(T10 ). Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxy ∈ S ãðàôà G, îí äåëèò G íà äâå ÷àñòè Ux 3 x è Uy 3 y (ñì. ðèñóíîê 2.13b). Òàê êàê ðàçðåçû â S íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A1 ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ â A, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A1 ⊂ Ux . Åñëè Sxy ∩ R1 = ∅, òî Sxy ðàçðåç ãðàôà G0 , îòäåëÿþùèé Uy îò (Ux \ A1 ) ∪ {b}. Ïóñòü B = R1 ∩ Sxy è B 0 = {b0i : bi ∈ B}. Îòìåòèì, ÷òî b1 ∈ / B ïî ëåììå 2.8. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû bi ∈ B â ÷àñòè Uy äîëæíà áûòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ bi , íî òàêàÿ âåðøèíà ìîæåò áûòü òîëüêî îäíà ýòî b0i . Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 = (Sxy \ B) ∪ B 0 ðàçðåç ãðàôà G ñ Part(G; S 0 ) = {Ux ∪ B 0 , Uy \ B}. Òîãäà S 0 ðàçðåç ãðàôà G0 ñ Part(G0 ; S 0 ) = {(Ux ∪ B 0 ∪ {b}) \ A1 ), Uy \ B}. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé. Èòàê, ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô G0 . Èç vk (G) = (k − 1)v(G) + 2k 2k − 1 è ðàâåíñòâ (2.7) ñëåäóåò, ÷òî (k − 1)v(G0 ) + 2k vk (G ) = . 2k − 1 0 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 91 ÃÐÀÔÛ Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ G0 = Gk,T 0 äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T 0 c ∆(T 0 ) ≤ k + 1. Òîãäà T10 , . . . , Tk0 ýòî êîïèè äåðåâà T 0 . Òàê êàê b ∈ Vk (G0 ) è NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k }, ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà Gk,T 0 â äåðåâå T 0 åñòü âåðøèíà b0 , êîòîðàÿ ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíàì b01 , . . . , b0k . Íàïîìíèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 2.2 ìû èìååì ∆(G) = k + 1. Ïîýòîìó, dT 0 (b0 ) = dT10 (b01 ) = dT1 (b1 ) − 1 ≤ ∆(G) − 1 = k. (2.8) Ïóñòü äåðåâî T ïîëó÷åíî èç T 0 ïðèñîåäèíåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû ê b0 . Èç íåðàâåíñòâà (2.8) ñëåäóåò, ÷òî ∆(T ) ≤ k + 1. Âñïîìíèâ ïîñòðîåíèå ãðàôà G0 ïî ãðàôó G íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G = Gk,T . Òåîðåìà 2.1 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. 2.1.6 Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿç- íûõ ãðàôîâ Â 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíîñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû. Òàì æå äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà ãðàô K3,3 . Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ âñåõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè ïðîèçâîëüíîì k . Ñëåäñòâèå 2.3. Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 92 ÃÐÀÔÛ äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ). b b b b b br b rb b rb b b rb rb b b b b rb b b Ðèñ. 2.14: Îïåðàöèÿ çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ãðàô Kk,k . Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî ãðàô Kk,k+1 ýòî ãðàô Gk,T äëÿ îäíî- âåðøèííîãî äåðåâà T . Ïóñòü Gk,T ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, v(T ) > 1, a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T , à a1 , . . . , ak ñîîòâåòñòâóþùèå a âåðøèíû â êîïèÿõ äåðåâà T , íà êîòîðûõ ïîñòðîåí ãðàô Gk,T . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ ýòîãî ãðàôà îí ñîäåðæèò ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k , îäíà äîëÿ êîòîðîãî ýòî {a1 , . . . , ak }, à äðóãàÿ ýòî k ïðèñîåäèíåííûõ ê íèì âåðøèí ñòåïåíè k . Ïóñòü a0i åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà äåðåâà Ti , ñìåæíàÿ ñ ai . Ïðîèçâåäåì îïåðàöèþ, îáðàòíóþ ê îïèñàííîé â ôîðìóëèðîâêå ñëåäñòâèÿ: çàìåíèì íàéäåííûé ïîäãðàô Kk,k íà íîâóþ âåðøèíó b ñòåïåíè k , ñìåæíóþ ñ a01 , . . . , a0k . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ãðàô Gk,T 0 ãäå T 0 = T − a, òî åñòü, èç äåðåâà T ìû óäàëèëè âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ïîíÿòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå òàêèõ îïåðàöèé äåðåâî ñòàíåò îäíîâåðøèííûì, à çíà÷èò, íàø k -ñâÿçíûé ãðàô ïðåâðàòèòñÿ â Kk,k+1 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ 2.2 k -ÑÂßÇÍÛÅ 93 ÃÐÀÔÛ Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâçÿíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó v(G) + 4 . (2.9) 3 ×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëüv2 (G) ≥ Îïðåäåëåíèå 2.3. íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d v(G)+4 e 3 âåðøèí ñòåïåíè 2. Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) = v(G)+4 3 ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè v(G) = 3m + 2. ×àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 2.1 äëÿ k = 2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 2.4. Ìíîæåñòâî GM(3m + 2) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî, ÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ. Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå- íèÿ. 1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ). 2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 94 ÃÐÀÔÛ Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíó ñåðèþ ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2 (ñì. ðèñóíîê 2.15). b b x a b b b y b b b z b b b b b b b b b b Ry Rz b b b b b b b b b b b b b A Ry b Rz b b b GT– R a T b b b b Rx b b b b b b b b b Rx b b b b b b b b G T,a Ðèñ. 2.15: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a . Çàìå÷àíèå 2.3. Ïóñòü T äåðåâî ñ v(T ) = m, ∆(T ) = 3. 1) Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô GT,a äâóñâÿçåí. 2) Âåðøèíå a ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê, îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà GT,a ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, à âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè. Îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ãðàôà GT,a ñîîòâåòñòâóþò îòëè÷íûì îò a âåðøèíàì äåðåâà T , äâå âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà íåñìåæíû. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô GT,a ìèíèìàëåí. 3) Îòìåòèì, ÷òî v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m, v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2. Ïîýòîìó, GT,a ∈ GM(3m). 4) Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôà GT,a ìîæíî íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñîåäèíèòü â ãðàôå G2,T − Ra âåðøèíû èç Rx , Ry , Rz òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 95 ÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê. Îäíàêî íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì ãðàôû áóäóò èçîìîðôíû äðóã äðóãó. Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ. 1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3, xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû). 2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y . 3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T ) âåðøèíà ñòåïåíè 3. Äàëåå ìû äîêàæåì ýòè äâå òåîðåìû. Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ òåõíè÷åñêèõ ëåìì. Íàì ïîíàäîáèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïðåäûäóùåé ãëàâå è ðÿä åãî ñâîéñòâ. Ëåììà 2.13. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, S ∈ O(G) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, íå ñìåæíîå â BT(G) ñ áëîêàìè. Òîãäà dBT(G) (S) ≥ 3. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ýòî íå òàê è S = {x, y} ñìåæíî â BT(G) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè öèêëàìè B1 è B2 . Âûáåðåì îòëè÷íûå îò x, y âåðøèíû z1 ∈ B1 è z2 ∈ B2 . Äîêàæåì, ÷òî R = {z1 , z2 } îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå G0 − xy (à ñëåäîâàòåëüíî, è â ãðàôå G ïîäãðàôå G0 − xy .) Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå G0 − xy − R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó v ∈ / B1 ∪ B2 . Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ O(G), îòäåëÿþùåå v îò B1 ∪ B2 (ñì. ðèñóíîê 2.16). Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî S äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, îäíà èç êîòîðûõ ñîäåðæèò z1 , à äðóãàÿ z2 . Ïîýòîìó, T 6= S . Ïðè äâèæåíèè îò v k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b B1 b z1 b S x b b b z2 96 ÃÐÀÔÛ b y B2 P b v b b T Ðèñ. 2.16: Ïóòü P â ãðàôå G0 − xy . â îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â âåðøèíû ìíîæåñòâà T , êîòîðûå â ãðàôå G0 − xy − R ñìåæíû. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü: ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé v , íà ðåáðî ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà T . Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî V (P ) ⊂ B1 ∪ B2 , íî òàêîãî xy -ïóòè â G0 − xy − R, î÷åâèäíî, íåò. Çíà÷èò, R ðàçäåëÿåò â G ìíîæåñòâî S = {x, y}, òî åñòü, S è R çàâèñèìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû â òåðìèíàõ ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð. Ëåììà 2.14. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, âñå ÷àñòè êî- òîðîãî öèêëû, w ∈ V (G), dG (w) ≥ 4. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), òàêèe, ÷òî G = H · w1 w2 è ïðè ýòîì w = w1 · w2 . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïî ñëåäñòâèþ 1.5, âåðøèíà w âõîäèò â îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî R = {w, u} ãðàôà G. Âåðøèíû w è u ïî òåîðåìå 1.6 íåñìåæíû. Ñëåäîâàòåëüíî, N = NG (w) 63 u, à çíà÷èò, âñå (õîòÿ áû ÷åòûðå) âåðøèíû èç N ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû ÷àñòåé Part(R). Ïî ëåììå 2.13 â Part(R) õîòÿ áû òðè ÷àñòè. Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ ñîäåðæèò õîòÿ áû ïî îäíîé âåðøèíå èç N . Çíà÷èò, ìîæíî òàê ðàçáèòü ÷àñòè Part(R) íà äâå ãðóïïû, ÷òîáû ÷àñòè èç êàæäîé ãðóïïû ñîäåðæàëè õîòÿ áû äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà N . Ïóñòü N1 è N2 ýòî ìíîæåñòâà âåðøèí èç N , ñîäåðæàùèåñÿ â ÷àñòÿõ ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà N = N1 ∪ N2 . ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 97 ÃÐÀÔÛ Ìû èçìåíèì íàø ãðàô: çàìåíèì âåðøèíó w íà äâå ñìåæíûå âåðøèíû w1 è w2 (ñì. ðèñóíîê 2.17a). Â íîâîì ãðàôå H âåðøèíà w1 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç N1 è c w2 , à âåðøèíà w2 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç N2 è c w1 . Òîãäà dH (w1 ) ≥ 3 è dH (w2 ) ≥ 3. Î÷åâèäíî, G = H · w1 w2 è w = w1 · w2 . 2. Äîêàæåì, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê è ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèå áëîêè ãðàôà H . Èõ õîòÿ áû äâà. Îäèí èç íèõ íàçîâåì åãî B ñîäåðæèò ðåáðî w1 w2 . Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà w1 w2 îòëè÷íûå îò B áëîêè íå ìåíÿþòñÿ, íî ïîëó÷àåòñÿ äâóñâÿçíûé ãðàô G. Çíà÷èò, ó ãðàôà H âñåãî äâà áëîêà, ïðè÷¼ì áëîê B ñîñòîèò èç äâóõ âåðøèí w1 è w2 è ðåáðà ìåæäó íèìè. Òîãäà îäíà èç âåðøèí w1 è w2 äîëæíà èìåòü ñòåïåíü 1 â H , ÷òî íå òàê. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí. G N1 w b b b b R u b N1 N2 b w1 b w2 H G b b b b N2 U1 b a u b U2 b b b b b w H w1 b b U2 U1 b b b w2 b b Ðèñ. 2.17: Ïðåîáðàçîâàíèå âåðøèíû w. 3. Äîêàæåì, ÷òî H ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ãðàô H − w1 w2 íåäâóñâÿçåí: îí èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ u. Äåéñòâèòåëüíî, â ãðàôå H − {w1 , w2 , u} = G − {u, w} âåðøèíû èç N1 íå ñâÿçàíû ñ âåðøèíàìè èç N2 . Äîáàâèâ â ýòîò ãðàô âåðøèíó w1 (íå ñâÿçàííóþ ñ N2 ) è âåðøèíó w2 (íå ñâÿçàííóþ ñ N1 ) áåç ðåáðà w1 w2 , ìû íå ñäåëàåì ãðàô ñâÿçíûì. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ êàê ðàç íåñâÿçíûé ãðàô H − w1 w2 − u. Ïóñòü e 6= w1 w2 . Òàê êàê ãðàô G ìèíèìàëåí, â ãðàôå G − e åñòü òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ a. Åñëè a 6= w, òî w ñìåæíà òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòüþ ðàçáèåíèÿ Part(G − e; {a}), ïîýòîìó a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ è â H − e. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 98 Ïóñòü a = w, à Part(G − e; {w}) = {U1 , . . . Uk }. Òîãäà ãðàô H − e áóäåò äâóñâÿçíûì, åñëè è òîëüêî åñëè îáå âåðøèíû w1 è w2 ñìåæíû ñ êàæäîé èç ÷àñòåé U1 , . . . , Uk (ñì. ðèñóíîê 2.17b). Íî òîãäà ãðàô H − w1 w2 äâóñâÿçåí, òàê êàê â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò k ≥ 2 ïóòåé ìåæäó w1 è w2 : ïî êàæäîé èç ÷àñòåé U1 , . . . , Uk . Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. 1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç V20 (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ñòåïåíè 2, âõîäÿùèõ â êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G. 2) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(G) ïîëîæèì ( |A|, åñëè A áëîê s(A) = dBT(G) (A), åñëè A öèêë. Ëåììà 2.15. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, èìåþùèé k íåêðàéíèõ ÷àñòåé A1 , . . . , Ak , à H = G − V20 (G). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô H ëåñ ñ c= X k s(Ai ) − 2k + 2 (2.10) i=1 êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè. 2) Äëÿ ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà S äâå åãî âåðøèíû ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè H . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîíóìåðóåì âñå âåðøèíû äåðåâà T = BT(G) (êàê ñî- îòâåòñòâóþùèå ÷àñòÿì, òàê è ñîîòâåòñòâóþùèå îäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì) a1 , . . . , am , òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ âñåõ ` ãðàô T ({a1 , . . . , a` }) áûë äåðåâîì, à a` åãî âèñÿ÷åé âåðøèíîé. Ïóñòü íåêðàéíèå ÷àñòè Part(G) â íóìåðàöèè A1 , . . . , Ak èäóò â òîì æå ïîðÿäêå, êàê â íóìåðàöèè âñåõ âåðøèí äåðåâà T . Ïîëîæèì W` = ` [ i=1 Ai , H` = H(W` ). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 99 Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî Wk = V (H) è, ñëåäîâàòåëüíî, Hk = H . Èíäóêöèåé ïî ` ìû äîêàæåì, ÷òî H` îáúåäèíåíèå c` = X ` s(Ai ) − 2` + 2 i=1 äåðåâüåâ è óòâåðæäåíèå 2 âûïîëíåíî äëÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â W` . Áàçà ` = 1. Åñëè A1 áëîê, òî ãðàô G(A1 ) ïî òåîðåìå 1.6 íå èìååò ð¼áåð, à çíà÷èò, åñòü îáúåäèíåíèå s(A1 ) = |A1 | îäíîâåðøèííûõ äåðåâüåâ. Ïóñòü ÷àñòü A1 öèêë. Òîãäà G0 (A1 ) ýòî öèêë, ïðè÷åì äâå âåðøèíû ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà, ëåæàùåãî â A1 ñîñåäíèå â ýòîì öèêëå è ïî òåîðåìå 1.6 îíè íåñìåæíû â G. Ïîýòîìó H1 = H(A1 ) îáúåäèíåíèå dBT(G) (A1 ) = s(A1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì. Ïåðåõîä ` → ` + 1. Ìû òàê ïðîíóìåðîâàëè íåêðàéíèå ÷àñòè, ÷òî A`+1 ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â íåêîòîðîì ïîääåðåâå T 0 äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G), ïðè÷åì V (T 0 ) ñîäåðæèò âñå ÷àñòè A1 , . . . , A` . Òîãäà A`+1 ñìåæíà â T 0 ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé, è ýòà âåðøèíà ñîîòâåòñòâóåò îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó íàçîâåì åãî S . Ïî òåîðåìå 1.1, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò A`+1 îò A1 , . . . , A` . Òàêèì îáðàçîì, ðîâíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A`+1 âõîäÿò â W` = V (H`) ýòî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S è îíè ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè H` â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2. Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ. a. ×àñòü A`+1 áëîê. Âñå âåðøèíû áëîêà A`+1 â ãðàôå H`+1 ïîïàðíî íåñìåæíû. Â V (H`+1 ) äîáàâÿòñÿ |A`+1 | − 2 = s(A`+1 ) − 2 âåðøèíû ÷àñòè A`+1 , íå âõîäÿùèå â S , êàæäàÿ èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîâóþ îäíîâåðøèííóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 100 b b b b b b F1 b b b Wl S Al +1 b b F2 b b b Ðèñ. 2.18: Øàã ñ ÷àñòüþ-öèêëîì A`+1 . b. ×àñòü A`+1 öèêë. Ãðàô H` ëåñ. Ïóñòü U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` , êîòîðûå ñîäåðæàò âåðøèíû ìíîæåñòâà S (ïî óòâåðæäåíèþ 2 îíè ðàçëè÷íû). Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` áóäóò êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Ïóñòü Fi = H` (Ui ). Êàê ïîêàçàíî âûøå, H(A`+1 ) îáúåäèíåíèå s(A`+1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà (â òîì ÷èñëå, âåðøèíû S ) ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì (ñì. ðèñóíîê 2.18). Çíà÷èò, âåðøèíû äåðåâüåâ F1 è F2 ïîïàäàþò â ðàçíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Îñòàëüíûå s(A`+1 ) − 2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H(A`+1 ) ýòî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Ñëåäñòâèå 2.5. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, à ãðàô H = G − V20 (G) èìååò c êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè G èìååò õîòÿ áû îäèí áëîê, òî c ≥ 4. 2) Åñëè G èìååò ÷àñòü-öèêë A ñòåïåíè dBT(G) (A) = d, òî c ≥ d. 3) Åñëè c = 3, òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû, ðîâíî îäíà èç íèõ èìååò ñòåïåíü 3 â BT(G), à îñòàëüíûå ñòåïåíü 2. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Â áëîêå A ãðàôà G õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû, à ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 101 ãðàô G(A) ïóñò. Ñëåäîâàòåëüíî, áëîê ãðàôà G åãî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü. Ïî ôîðìóëå (2.10) òîãäà c ≥ |A| ≥ 4. 2) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10). 3) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10) è ïóíêòîâ 1 è 2. Îïðåäåëåíèå 2.6. 1) Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (G) íàçîâåì åå óìåíü- øåííîé ñòåïåíüþ âåëè÷èíó d0G (x) = dG (x) − 2. 2) ×åðåç s(G) îáîçíà÷èì ñóììó óìåíüøåííûõ ñòåïåíåé âåðøèí ãðàôà G. Çàìå÷àíèå 2.4. 1) Î÷åâèäíî, óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü ëþáîé âåðøèíû èç V3 (G) íå ìåíåå 1. 2) s(G) = 2e(G) − 2v(G). Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå áóäåì ïðèìåíÿòü äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: • t êîëè÷åñòâî êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G; • c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − V20 (G); • s = s(G). Ëåììà 2.16. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà 2t = s + 2c. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñìîòðèì íà ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû èç V3 (G) ñ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G. Ïóñòü èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî q . Äëÿ êàæäîé êðàéíåé ÷àñòè A îò åå âíóòðåííîñòè Int(A) âûõîäèò ðîâíî äâà ðåáðà â V3 (G) (ê âåðøèíàì èç Bound(A)). Ïîýòîìó q = 2t. Ïîñêîëüêó H îáúåäèíåíèå c äåðåâüåâ, òî e(H) = v(H) − c. Î÷åâèäíî, V3 (G) ⊆ V (H). Ìíîæåñòâî W = V (H) \ V3 (G) ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâà V2 (G), âõîäÿùèõ â íåêðàéíèå ÷àñòè òî åñòü, ïî ñëåäñòâèþ 1.5, èç ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 102 âíóòðåííèõ âåðøèí íåêðàéíèõ ÷àñòåé. Ïîýòîìó êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W èìååò ñòåïåíü 2 â ãðàôå H , à çíà÷èò, X 2|W | + dH (x) = X dH (x) + x∈W x∈V3 (G) X dH (x) = x∈V3 (G) X dH (x) = 2v(H) − 2c = 2v3 (G) + 2|W | − 2c, x∈V (H) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî X dH (x) = 2(v3 (G) − c). x∈V3 (G) Òåïåðü ïîñ÷èòàåì q ñ äðóãîé ñòîðîíû: q= X (dG (x) − dH (x)) = x∈V3 (G) X dG (x) − 2(v3 (G) − c) = x∈V3 (G) X dG (x) − 2v(G) + 2c = s + 2c. x∈V (G) Äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îïðåäåëèì f (G) = 3v2 (G) − (v(G) + 4) = 2v2 (G) − v3 (G) − 4. Çàìå÷àíèå 2.5. Ïóñòü G ∈ GM(n), n ≥ 5. Èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 ñëåäóåò, ÷òî f (G) ðàâíÿåòñÿ îñòàòêó îò äåëåíèÿ n + 4 íà òðè. Íåïîñðåäñòâåííî èç ëåììû 2.16 ñëåäóåò, ÷òî f (G) = 2(v2 (G) − t) + 2(c − 2) + (s − v3 (G)). Ëåììà 2.17. (2.11) Êàæäîå èç òðåõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.11) íåîòðèöàòåëüíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû îä- íó âåðøèíó èç V2 (G), ïîýòîìó v2 (G) ≥ t. Èç ëåììû 2.15 î÷åâèäíî, ÷òî c ≥ 2. Òàê êàê óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç V3 (G) íåîòðèöàòåëüíà, s ≥ v3 (G). ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 103 Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò êëàññèôèöèðîâàòü ãðàôû ñ ìàëûì çíà÷åíèåì f (G). Ëåììà 2.18. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè, à âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Åñëè c − 2 = 0, òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è èìåþò ñòåïåíü 2 â äåðåâå BT(G). 3) Åñëè s−v3 (G) = 0, òî âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3 â ãðàôå BT(G) è íå èìåþò îáùèõ âåðøèí. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî íåêðàéíèå ÷àñòè íå ñîäåð- æàò âåðøèí ñòåïåíè 2 (à çíà÷èò, ïî ñëåäñòâèþ 1.5 èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü), à êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ñòåïåíè 2 (òî åñòü, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì). 2) Ïî ïóíêòó 1 ñëåäñòâèÿ 2.5 âñå ÷àñòè Part(G) öèêëû. Òåïåðü èç ôîðìóëû (2.10) ñëåäóåò, ÷òî âñå îíè èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). 3) Ïî çàìå÷àíèþ 2.4, ðàâåíñòâî s = v3 (G) îçíà÷àåò, ÷òî âñå âåðøèíû èç V3 (G) èìåþò ñòåïåíü 3. Åñëè êàêîå-òî îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èìååò ñòåïåíü 4 â BT(G), òî ïî ëåììå 1.2 åãî âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 4. Çíà÷èò, âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3 â ãðàôå BT(G). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêèå-òî äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà S è S 0 ãðàôà G ïåðåñåêàþòñÿ ïî âåðøèíå a. Ïî ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî |Part(S)| = dBT(G) (S) = 3. Ïóñòü Part(S) = {A1 , A2 , A}, ïðè÷åì S 0 ⊂ A. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Part(S 0 ) = {A01 , A02 , A0 }, ïðè÷åì S ⊂ A0 . Òîãäà âíóòðåííîñòè Int(A1 ), Int(A2 ), Int(A01 ), Int(A02 ) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàê êàê a ∈ S , òî a ñìåæíà õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 ) è õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A2 ). Òàê êàê a ∈ S 0 , òî a ñìåæíà õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A01 ) è õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A02 ). Òàêèì îáðàçîì, dG (a) ≥ 4, ïðîòèâîðå÷èå. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 104 Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâàì òåîðåì. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2. 1) Åñëè G = G2,T · xy äëÿ äåðåâà T ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, òî ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé, v(G) = 3m + 1 è v2 (G) = m + 2. Ïîýòîìó, G ∈ GM(3m + 1). Ïóñòü G ∈ GM(3m + 1). Òîãäà v2 (G) = m + 2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû èìååì f (G) = 1, ÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) îçíà÷àåò v2 (G) = t, c = 2, s − v3 (G) = 1. Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû. Óñëîâèå s − v3 (G) = 1 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü ðîâíî îäíà âåðøèíà ñòåïåíè 4, îñòàëüíûå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 2 èëè 3. Òîãäà ïî ëåììå 2.14 ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), òàêèå, ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî v2 (H) = v2 (G) = m + 2, v(H) = v(G) + 1 = 3m + 2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 2), îòêóäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå 1 òåîðåìû. 2) Êàê ìû äîêàçàëè, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå G = G2,T · w1 w2 , ãäå w1 , w2 ∈ V3 (G2,T ). Ïóñòü w = w1 ·w2 . Ãðàô G2,T −V20 (G2,T ) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T1 è T2 , èçîìîðôíûõ T . Ïîíÿòíî, ÷òî âåðøèíû w1 è w2 ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå äåðåâó, ïóñòü ýòî T1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç u1 è u2 âåðøèíû äåðåâà T2 , ñîîòâåòñòâóþùèå w1 è w2 ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé äåðåâà T . Òîãäà ãðàô G − V20 (G) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T10 = T1 · w1 w2 è T2 (ñì. ðèñóíîê 2.19á). Òàêèì îáðàçîì, äåðåâî T â ïðåäñòàâëåíèè G = G2,T · w1 w2 èçîìîðôíî òîìó èç äâóõ äåðåâüåâ ãðàôà G − V20 (G), ÷òî ñîäåðæèò áîëüøå âåðøèí. Èòàê, ìû óæå îïðåäåëèëè äåðåâî T . Ó ãðàôà G åñòü ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A = {w, u1 , u2 } (ñì. ðèñóíîê 2.19à). Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ó ãðàôîâ G2,T è G = G2,T ·w1 w2 , î÷åâèäíî, èçîìîðôíû. Îïðåäåëèì ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ b b b b b b b b b b A w b b b b T’1 b b b b b b b b b b b b b 105 ÃÐÀÔÛ b b w b k -ÑÂßÇÍÛÅ b a b u2 b T2 b b u1 b b b b b b Ðèñ. 2.19: Ãðàôû G ∈ GM(3m + 1) è G − V20 (G). â BT(G2,T ) ÷àñòü A0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ A ïðè èçîìîðôèçìå äåðåâüåâ ðàçáèåíèÿ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ òî÷íîñòüþ äî àâòîìîðôèçìà ãðàôà G2,T ). Âåðøèíû w1 è w2 ýòî äâå ñìåæíûå âåðøèíû ÷àñòè A0 (ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ èç äâóõ òàêèõ ïàð). Çàìå÷àíèå 2.6. Òàêèì îáðàçîì, åñëè G ∈ GM(3m + 1), òî ó íåãî m îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G òðåóãîëüíèê, ýòî êàê ðàç ÷àñòü ñ ãðàíèöåé èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.19à. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.3. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðå- ìû 1.6, ÷òî âñå îïèñàííûå â óñëîâèè ãðàôû ïðèíàäëåæàò GM(3m). Ïóñòü G ∈ GM(3m). Òîãäà v2 (G) = m+2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû èìååì f (G) = 2, ÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) âîçìîæíî â òð¼õ ñëó÷àÿõ: 1. c = 2, v2 (G) = t, s = v3 (G) + 2; 2. c = 2, v2 (G) = t + 1, 3. c = 3, v2 (G) = t, s = v3 (G); s = v3 (G). Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè. 1. Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû. Óñëîâèå s − v3 (G) = 2 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 106 íå ìåíåå 4. Òîãäà ïî ëåììå 2.14 ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H , è òàêèå âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî v2 (H) = v2 (G) = m + 2, v(H) = v(G) + 1 = 3m + 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 1). Òåïåðü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2.2 ïîíÿòíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 1◦ . 2. Â ýòîì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè 2 áîëüøå êîëè÷åñòâà êðàé- íèõ ÷àñòåé íà 1, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèáî êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê, ëèáî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ñ âíóòðåííåé âåðøèíîé. Ïóñòü A òàêàÿ ÷àñòü, à v ∈ V2 (G)∩Int(A). Ïî ñëåäñòâèþ 2.5, ÷àñòü A öèêë. Òîãäà NG (v) = {x, y} ÿâëÿåòñÿ íåîäèíî÷íûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíû x è y íåcìåæíû. Çíà÷èò, ãðàô H = G − a + xy äâóñâÿçåí. Áîëåå òîãî, ó H òå æå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ÷òî y G è ïî÷òè ÷òî òå æå ÷àñòè: åäèíñòâåííîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî ÷àñòü A çàìåíåíà íà öèêë ìåíüøåé äëèíû. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô H ïî òåîðåìå 1.6 ìèíèìàëåí. Ïîñêîëüêó v2 (H) = v2 (G) − 1 = m + 1 è v(H) = v(G) − 1 = 3m − 1, òî H ∈ GM(3m − 1). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî H = G2,T äëÿ äåðåâà T c v(T ) = m − 1 è ∆(T ) = 3. Çíà÷èò, âûïîëíåíî óñëîâèå 2◦ . 3. Òàê êàê c = 3, ïî ñëåäñòâèþ 2.5 ó ãðàôà G âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è ñðåäè íèõ åñòü ÷àñòü A ñòåïåíè dBT(G) (A) = 3, à îñòàëüíûå ÷àñòè èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Èç s = v3 (G) ïî ëåììå 2.18 ñëåäóåò, ÷òî íèêàêèå äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ãðàôà G íå ïåðåñåêàþòñÿ è êàæäîå èç íèõ èìååò ñòåïåíü ðîâíî 3 â BT(G). Èç v2 (G) = t ñëåäóåò, ÷òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòü A øåñòèóãîëüíèê, ïðè÷åì ãðàíèöó ÷àñòè A îáðàçóþò òðè íåïåðåñåêàþùèõñÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ïóñòü ýòî Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 }. Íóìåðàöèÿ âåðøèí âûáðàíà òàê, ÷òî x1 y1 , y2 z2 , x2 z1 ∈ E(G). Èçìåíèì ãðàô G: óäàëèì ð¼áðà x1 y1 , y2 z2 è x2 z1 , äîáàâèì äâå íîâûå âåðøèíû ìíîæåñòâà Ra = {a1 , a2 } è ð¼áðà a1 x1 , a2 x2 , a1 y1 , a2 y2 , a1 z1 , a2 z2 (ñì. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ x1 b b x2 z1 b b b b b 2 b z2 b b Rx b b b y x2 z1 b b b b A Ry b Rz b b b x1 b b b b b b b b G Ry y Ra b b a2 b b y1 a1 Rz b b b 107 ÃÐÀÔÛ b b y1 Rx b k -ÑÂßÇÍÛÅ b b b b b b b b b 2 b b z2 H Ðèñ. 2.20: Ãðàôû G è H . ðèñóíîê 2.20). Ïîëó÷åííûé ãðàô H , î÷åâèäíî, äâóñâÿçåí. Âìåñòî ÷àñòè A äîáàâèëîñü íîâîå îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî Ra è òðè ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêà. Ïîýòîìó, ãðàô H ìèíèìàëåí. Êðîìå òîãî, v2 (H) = v2 (G) = m + 2 è v(H) = v(G) + 2 = 3k + 2. Ïîýòîìó H ∈ GM(3m + 2), à ñëåäîâàòåëüíî, H = G2,T äëÿ äåðåâà T c v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Êàæäîìó îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó ãðàôà H ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíà äåðåâà T . Ïóñòü äëÿ ìíîæåñòâ Ra , Rx , Ry , Rz ýòî âåðøèíû a, x, y , z ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà NT (a) = {x, y, z}. Òåïåðü èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà GT,a è èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H ïî ãðàôó G ñëåäóåò, ÷òî G = GT,a . b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b GT b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c Ðèñ. 2.21: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð. Çàìå÷àíèå 2.7. Ïóñòü G ∈ GM (3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò âåðøèíû ñòåïåíè 3. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 108 ÃÐÀÔÛ 1) Òîãäà â ãðàôå G âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. 2) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â ðàçíûõ ÷àñòÿõ, òî ðîâíî äâå íåêðàéíèõ ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè: ýòî ÷àñòè, ïîëó÷åííûå èç ÷àñòåé G2,T , ñîäåðæàùèõ ñòÿíóòûå ð¼áðà. Îñòàëüíûå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ãðàô G â ýòîì ñëó÷àå èìååò ðîâíî m îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.21b. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 2 òåîðåìû 2.2 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) åäèíñòâåíåí. 3) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â îäíîé ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêå A, òî ýòà ÷àñòü èñ÷åçíåò, à îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà Rx è Ry , ñîñòàâëÿþùèå ãðàíèöó A, ñêëåÿòñÿ â îäíî ìíîæåñòâî, êîòîðîå áóäåò èìåòü â BT(G) ñòåïåíü 4. Âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G â òàêîì ñëó÷àå ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.21c. Äëÿ òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) íååäèíñòâåíåí. b b GT b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c Ðèñ. 2.22: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m − 1) äîáàâëåíèåì âåðøèíû ñòåïåíè 2. Çàìå÷àíèå 2.8. Ïóñòü G ∈ GM(3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà G2,T ∈ GM(3m − 1) çàìåíîé ðåáðà íà ïóòü äëèíû 2, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç íîâóþ âåðøèíó ñòåïåíè 2. 1) Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî m − 1 îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, âñå îíè èìåþò ñòåïåíü 3. 2) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â íåêðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî â ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-ïÿòèóãîëüíèê, à äîáàâëåííàÿ âåð- ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 109 ÃÐÀÔÛ øèíà åäèíñòâåííàÿ âíóòðåííÿÿ âåðøèíà ýòîé ÷àñòè. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, îíè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22b. 3) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â êðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî â ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê ñ äâóìÿ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè. Îñòàëüíûå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè, à âñå íåêðàéíèå ÷àñòè G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè áåç âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22c. 4) Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ãðàô G2,T äëÿ ãðàôà G åäèíñòâåíåí. 2.3 k -ñâÿçíûõ Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ ãðàôîâ ïðè k≤5 Â òåîðåìå 2.1 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì k ýêñòðåìàëüíûå ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èìåþò äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó. Ïðè k ≤ 5 ìû ìîæåì ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó äëÿ ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíÿåòñÿ ýòà òåîðåìà. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî C = {Se }e∈Ek+1 ⊂ R, ãäå e ∈ Se ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ C ìîæíî îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæå- ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 110 íèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 . Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî, äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6. Òàêæå ìû äîêàæåì ðÿä ñâîéñòâ ÷àñòåé Part(C), èñïîëüçóþùèõ ìèíèìàëüíîñòü ãðàôà G. ×àñòíûì ñëó÷àåì ëåììû 2.6 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 2.6. Ïóñòü k ≤ 5, a G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà Se ∈ C. Òîãäà âñå âåðøèíû èç Vk+1 ∩ R ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Ñëåäñòâèå 2.7. Ïóñòü k ≤ 5, G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, C îïðåäåëåííîå âûøå ìíîæåñòâî ðàçðåçîâ, à A ∈ Part(C). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíû ìíîæåñòâà A ∩ Vk+1 ïîïàðíî íåñìåæíû. 2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü, ñìåæíàÿ â BT(G, C) ñ ðàçðåçîì Sab . Òîãäà A ∈ Part(Sab ). ×àñòü A ñîäåðæèò íå ìåíåå ÷åì k âåðøèí ñòåïåíè k , õîòÿ áû îäíà èç íèõ ïðèíàäëåæèò Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè âåðøèíû x, y ∈ A ∩ Vk+1 ñìåæíû, òî ðàçðåç Sxy ∈ C ðàçäåëÿåò äâå âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(C), ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Ïî ïóíêòó 4 òåîðåìû 1.7 ìû èìååì A ∈ Part(Sab ). Ïóñòü a ∈ Int(A). Òîãäà NG (a) \ {b} ⊂ A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ax ∈ Ek+1 , x 6= b. Ïî ñëåäñòâèþ 2.6 ìû çíàåì, ÷òî x∈ / Bound(A). Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ Int(A). Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçðåç Sax , ïóñòü x ∈ X ∈ Part(Sax ). Òîãäà Int(X) ∩ Int(A) 3 x, íî Int(X) 63 a. Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Sax è Sab ñëåäóåò, ÷òî X ( A, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 111 Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíà a ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè ÷àñòè A è âñå ýòè âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü k . Òàê êàê Sab ñîäåðæèò íå áîëåå k − 1 âåðøèíû, õîòÿ áû îäíà èç ñìåæíûõ ñ a âåðøèí ñòåïåíè k ëåæèò â Int(A). Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ðàçäåëà áóäåò ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.4. Ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â íà÷àëå ãëàâû. Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ðàçðåçîâ. Èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R. 2.3.1 Õîðîøèå è ïëîõèå ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé. Çàìå÷àíèå 2.9. Îòìåòèì, ÷òî íà ýòîò ðàç, èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè ðàáîòû ñ k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè ïðè k ≤ 5, ìû îïðåäåëèì êðèâûå è íîðìàëüíûå ðàçðåçû èíà÷å, ÷åì ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k â ðàçäåëå 2.1.3. Îïðåäåëåíèå 2.7. 1) Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(R) ñ |Int(A)| ≤ 2 è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå ñóùåñòâóåò. 2) Íàçîâåì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëî- õîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S), ÷òî Int(A) ⊂ T . 3) Íàçîâåì íåóïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøåé, åñëè îáå óïîðÿäî÷åííûå ïàðû (S, T ) è (T, S) íå ÿâëÿþòñÿ ïëîõèìè. Äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ (2.2). Ìû äîêàæåì äâå òåõíè÷åñêèå ëåììû, â öåëîì àíàëîãè÷íûå ëåììå 2.4, íî ó÷èòûâàþùèå ñïåöèôèêó ðàáîòû ñ êðèâûìè ðàçðåçàìè. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ Ëåììà 2.19. k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 112 Ïóñòü ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøàÿ, ðåáðî b1 b2 ∈ T íå ïðèíàäëåæèò ðàçðåçó S . Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî |R1,1 | = k = |R2,2 |. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì b1 b2 ∈ R1,1 . Òîãäà ðàçðåç R1,1 íàì ïîäõîäèò. Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅ èëè Int(G1,1 ) = Int(G2,1 ) = ∅. Â ïåðâîì ñëó÷àå Int(F1 ) = T1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (S, T ) ïëîõàÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå Int(H1 ) = S1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (T, S) ïëîõàÿ. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà 2.20. Ïóñòü k ≤ 5, à ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëîõàÿ. Ïóñòü a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1◦ Ðàçðåç S êðèâîé, à ðàçðåç T íîðìàëüíûé. 2◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç. Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(F1 ) ⊂ T , òî åñòü, Int(F1 ) = T1 . Òîãäà îäèí èç êîíöîâ ðåáðà a1 a2 ∈ S ëåæèò â T1 . Ïóñòü a1 ∈ T1 (ñì. ðèñóíîê 2.23a). Îòìåòèì, ÷òî dG (a1 ) ≥ k + 1 è âñå âåðøèíû, ñìåæíûå ñ a1 , ëåæàò â T1 ∪V (S)∪{a2 }. Ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | = t ≥ 2. Áîëåå òîãî, ðàçðåçà S . âåðøèíà a1 ìîæåò áûòü íåñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ t−2 âåðøèíàìè Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, ìû èìååì |T2 |+|P | = k−t−1 è |R2,1 |+|R2,2 | = |S|+2(|T2 |+|P |+|{b1 b2 }|) ≤ 3k−2t. (2.12) ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 113 ÃÐÀÔÛ Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. t = 2. Òîãäà a1 ñìåæíà ñî âñåìè k − 1 âåðøèíàìè ðàçðåçà S . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî b1 ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.23b). Òîãäà a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R. Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ b1 . Èç a1 a2 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî a2 ∈ / S , à çíà÷èò, b1 6= a2 . Òîãäà |Int(A)| < |Int(F1 )| = 2 ïî ëåììå 2.2, à çíà÷èò, Int(A) = {b1 }. Ñëåäîâàòåëüíî, dG (b1 ) ≤ k , ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, b1 ∈ / S è, àíàëîãè÷íî, b2 ∈ / S . Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî b1 ∈ Int(G2,1 ) è b2 ∈ Int(G2,2 ) (ñì. ðèñóíîê 2.23a). Â ýòîì ñëó÷àå |R2,1 | ≥ k è |R2,2 | ≥ k . Èç k ≤ 5 è íåðàâåíñòâà (2.12) ñëåäóåò, ÷òî |R2,1 | = k èëè |R2,2 | = k (ïóñòü âûïîëíåíî ïåðâîå ðàâåíñòâî). Òîãäà R2,1 ∈ R ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ðåáðî b1 b2 . Òàêèì îáðàçîì, R2,1 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ïóíêòà 2. S G 2,1 0 a2 S1 b b1 b T2 b b2 T1 0 P G 2,2 b a1 T a S2 S b1 0 b a2 S1 G 2,1 b b a1 T T1 0 P T2 S2 G 2,2 b S b1 0 b S1 0 b a1 G 2,2 T1 0 P T2 T b a2 S2 c Ðèñ. 2.23: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Òàê êàê |Int(F1 )| = 2, ðàçðåç S êðèâîé. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ðàçðåç T íîðìàëåí. Äîêàæåì, ÷òî |Int(H1 )| ≥ 3. Êàê ìû çíàåì, b1 ∈ Int(G2,1 ) è dG (b1 ) ≥ k + 1. Íå áîëåå äâóõ ð¼áåð ìîæåò âûõîäèòü èç b1 â âåðøèíû íå èç G2,1 : ýòî ðåáðî b1 b2 è, â ñëó÷àå, êîãäà a2 = b1 , ðåáðî b1 a1 . Ó÷èòûâàÿ ñàìó âåðøèíó b1 , ïîëó÷àåì |G2,1 | ≥ k . Ïðè ýòîì, |G2,1 ∩ T | = |T2 ∪ P | ≤ k − 3 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 114 ïî íåðàâåíñòâó (2.12). Çíà÷èò, |Int(H1 )| ≥ |G2,1 \ T | ≥ 3. Àíàëîãè÷íî, |Int(H2 )| ≥ 3 è ðàçðåç T íîðìàëåí. 2. t ≥ 3. Ïî íåðàâåíñòâó (2.12), òîãäà |R2,1 | + |R2,2 | < 2k , à çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî |R2,1 | < k . Â ýòîì ñëó÷àå Int(G2,1 ) = ∅ è Int(H1 ) = S1 . Òîãäà îäèí èç êîíöîâ ðåáðà b1 b2 ëåæèò â S1 , ïóñòü ýòî b1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíû b1 è a1 ñìåæíû (ñì. ðèñóíîê 2.23c). Òîãäà a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R. Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ b1 . Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 1, èç b1 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî b1 6= a2 . Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A)| < |Int(H1 )|. Êàê äîêàçûâàëîñü âûøå, |Int(A)| ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, |S1 | = |Int(H1 )| ≥ 3. Ïóñòü âåðøèíû b1 è a1 íåñìåæíû. Òàê êàê dG (b1 ) ≥ k+1, à âñå âåðøèíû, ñìåæíûå ñ b1 , ëåæàò â S1 ∪ (V (T ) ∪ {b2 }), ìû è â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì |S1 | ≥ 3. Ìíîæåñòâî R2,2 âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåðøèíû èç P , S2 , T2 è íå áîëåå ÷åì äâà ðåáðà. Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ, |R2,2 | ≤ (|S2 | + |P | + 1) + (|T2 | + 1) ≤ (k − |S1 |) + (k − |T1 |) ≤ 2k − 6 < k, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà b2 ∈ S2 è àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå ìû èìååì |S2 | ≥ 3, ÷òî íåâîçìîæíî. 2.3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4 Îïèøåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà ñ÷åò÷èêà p è q . Èçíà÷àëüíî ïîëîæèì p = q = 0. Øàã àëãîðèòìà. 1. Âûáîð ðåáðà e. ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 115 Ïóñòü ïåðåä øàãîì èìåþòñÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû: êðèâûå K1 , . . . , Kp è íîðìàëüíûå N1 , . . . , Nq (åñëè p = 0 èëè q = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçðåçîâ íåò). Ïóñòü ei ∈ Ki , fj ∈ Nj , ïðè÷åì e1 ,. . . , ep , f1 , . . . , fq ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Ïîëîæèì S = {K1 , . . . , Kp , N1 , . . . , Nq }, E 0 = Ek+1 \ {e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq }. Ðàññìîòðèì ðåáðî e ∈ E 0 , ïóñòü e ∈ T ∈ R. Ïîëîæèì S0 = ∅. Ìû áóäåì ïî î÷åðåäè ðàññìàòðèâàòü ðàçðåçû èç S, ñîâåðøàòü ñ íèìè ïîñëåäóþùèå øàãè, èçìåíÿþùèå ðàçðåç T , ïîñëå ÷åãî äîáàâëÿòü ðàcñìîòðåííûé ðàçðåç â ìíîæåñòâî S0 . Ïåðåéäåì ê âûáîðó ðàçðåçà S . 2. Âûáîð ðàçðåçà S. Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî âûáåðåì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S \ S0 (åñëè îí ñóùåñòâóåò). Åñëè ðàçðåç T êðèâîé, òî âûáåðåì ëþáîé êðèâîé ðàçðåç S ∈ S \ S0 (åñëè îí ñóùåñòâóåò). Â ñëó÷àÿõ, êîãäà íåâîçìîæíî âûáðàòü ðàçðåç S , ìû ïåðåéäåì ê îêîí÷àíèþ øàãà àëãîðèòìà. Ïóñòü ìû ñìîãëè âûáðàòü ðàçðåç S . Åñëè ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû, âûáîðó ñëåäóþùåãî ðàçðåçà S . Åñëè ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, òî ìû ïåðåéäåì ê ïðåîáðàçîâàíèþ ðàçðåçà T . òî ìû ïîìåñòèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê 3. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàçðåçà T. Ïóñòü Part(T ) = {H1 , H2 }, Part(S) = {F1 , F2 }, Gi,j = Fi ∩ Hj . Ïî âûáîðó ðàçðåçà S , óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ðàçðåçîâ (S, T ) íå ÿâëÿåòñÿ ïëîõîé. Òîãäà ïî ëåììàì 2.19, 2.20 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç R 3 e, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β , ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà e = ab, ëåæàùèé â Gα,β . Äîêàæåì, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì S 0 ∈ S0 . Ïóñòü Part(S 0 ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû S è S 0 íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è S 0 ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ 116 ÃÐÀÔÛ íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F 1 ⊃ D2 , F2 ⊂ D1 , H1 ⊃ D2 , (2.13) H2 ⊂ D1 . Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. a. α = 2. Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24a), òî åñòü, R è S 0 íåçàâèñèìû. R R T b F2 b b G 2,1 b H2 S’ D 2 G 2,2 H2 G 1,2 b b T b S’ D2 b S a a G1,1 S’ D2 T S b S b F2 R c Ðèñ. 2.24: Ðàçðåçû S , S 0 è T . b. α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ. b1. β = 2. Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24b), ÷òî îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R. b2. β = 1. Â ñèëó (2.13), ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.24c). Òàê êàê T è S 0 íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò, D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U . Èç D1 ⊃ F2 è íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è S 0 ñëåäóåò D2 ∩ Int(F2 ) = ∅. Çíà÷èò, D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R. Ïîëîæèì T = R, äîáàâèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê ðàçðåçà S . âûáîðó ñëåäóþùåãî ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ k -ÑÂßÇÍÛÅ ÃÐÀÔÛ 117 4. Îêîí÷àíèå øàãà àãîðèòìà. Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî ðàññìîòðåíû âñå ðàçðåçû èç S è T c íèìè íåçàâèñèì. Òîãäà ïîëîæèì Nq+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò ðàçðåç â S è ïîëîæèì q = q + 1. Ïóñòü ðàçðåç T êðèâîé. Òîãäà ðàññìîòðåíû âñå êðèâûå ðàçðåçû èç S è T ñ íèìè íåçàâèñèì. Â ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì Kp+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò ðàçðåç â S è ïîëîæèì p = p + 1. Êðîìå òîãî, ïîëîæèì q = 0 è óäàëèì âñå ðàçðåçû N1 , . . . , Nq èç S. Âåðíåìñÿ ê âûáîðó ñëåäóþùåãî ðåáðà e. Íà ýòîì îïèñàíèå øàãà àëãîðèòìà çàêîí÷åíî. Â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ êàæäîãî øàãà àëãîðèòìà ëèáî óâåëè÷èòñÿ p, ëèáî p íå èçìåíèòñÿ è ïðè ýòîì óâåëè÷èòñÿ q . Ïîýòîìó àëãîðèòì îáÿçàòåëüíî çàêîí÷èò ðàáîòó, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ èñêîìîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4 çàêîí÷åíî. Ãëàâà 3 Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ Â ýòîé ãëàâå ìû äîêàæåì òåîðåìó î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåðæäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé ñâîéñòâà ìíîæåñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. 3.1 Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ ãèïåðãðàôà è ãèïåðäåðåâà. Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ êàê è äëÿ ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H) è E(H) ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà â òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà. Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) ïóñòü dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð. Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H )), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû. Îïðåäåëåíèå 3.1. 1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 118 ðàçëè÷íûõ âåð- ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 119 øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå, ÷òî ai , ai+1 ∈ ei . 2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì 3) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ñâÿ- çàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì. 4) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí. Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ. Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü H ãèïåðãðàô. 1) Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí, íè îäíî åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ ëþáîãî öèêëà â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû. 2) Íàçîâåì âåðøèíó v ãèïåðäåðåâà H êðàéíåé, åñëè ãðàô H − v ñâÿçåí. 3) Ïî ãèïåðãðàôó H ïîñòðîèì äâóäîëüíûé ãðàô T (H), âåðøèíû îäíîé äîëè êîòîðîãî âåðøèíû H , à âåðøèíû äðóãîé äîëè ãèïåððåáðà H . Ãèïåððåáðî R ñîåäèíèì ñî âñåìè âåðøèíàìè, êîòîðûå îíî ñîäåðæèò. Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà. Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü H ãèïåðäåðåâî. Òoãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô T (H) äåðåâî. 2) Íèêàêèå äâà ãèïåððåáðà H íå èìåþò äâóõ îáùèõ âåðøèí. 3) Ïóñòü a ∈ V (H). Òîãäà dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W ãèïåðãðàôà H−a ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî R ∈ E(H), ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 120 ñîäåðæàùåå a è âåðøèíû èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ñîäåðæèò âåðøèí äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. 4) Êðàéíèå âåðøèíû ãèïåðäåðåâà H ýòî â òî÷íîñòè âñå åãî âåðøèíû, èìåþùèå còåïåíü 1. 5) Åñëè v(H) ≥ 2, òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà T (H) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êðàéíèõ âåðøèí ãèïåðäåðåâà H . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñâÿçíîñòü T (H) î÷åâèäíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðà- ôå T (H) åñòü ïðîñòîé öèêë a1 . . . an . Ïóñòü ãèïåðð¼áðà R1 , . . . , Rn òàêîâû, ÷òî Ri 3 ai , ai+1 (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1) è Rk0 = Rk \ k−1 [ ! Ri ∪ {a1 , . . . , an } . i=1 Âûïèøåì âåðøèíû â òàêîì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà âñå âåðøèíû èç R10 , çàòåì a1 , çàòåì âñå âåðøèíû èç R20 , çàòåì a2 , . . . , çàòåì âñå âåðøèíû èç Rn0 è, íàêîíåö, an . Ìû ïîëó÷èëè öèêë â ãèïåðäåðåâå H , ñîäåðæàùèé âñå âåðøèíû ãèïåððåáåð R1 , . . . , Rn , à çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî R, ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû ýòîãî öèêëà. Íî òîãäà R ) R1 , ÷òî íåâîçìîæíî. 2) Åñëè îáà ãèïåððåáðà E1 è E2 ñîäåðæàò âåðøèíû a è b, òî â ãðàôå T (H) åñòü öèêë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 1. 3) Òàê êàê H ñâÿçíûé ãèïåðãðàô, òî ñóùåñòâóåò åãî ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå a è íåñêîëüêî âåðøèí èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíû, îòëè÷íûå îò a è íå âõîäÿùèå â W (èíà÷å W íå áûëà áû êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a). Ïóñòü ñóùåñòâóåò äâà òàêèõ ãèïåððåáðà E1 è E2 . Òîãäà E1 ∩ E2 = {a} ïî ïóíêòó 2. Ðàññìîòðèì âåðøèíû b1 ∈ E1 \ {a} è b2 ∈ E2 \ {a}. Òàê êàê b1 , b2 ∈ W , ñóùåñòâóåò òàêîé ïðîñòîé ïóòü P îò b1 äî b2 , ÷òî âñå åãî ãèïåððåáðà ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû èç W . Çíà÷èò, â T (H) ñóùåñòâóåò íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç a ïóòü îò b1 äî b2 . Äîáàâèâ ê ýòîìó ïóòè ãèïåððåáðî E2 , âåðøèíó a è ãèïåððåáðî E1 , ìû ïîëó÷èì öèêë â T (H), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 121 ïóíêòó 1. Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. 4) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ïóíêòà 3. 5) Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T (H), à b åäèíñòâåííàÿ ñìåæíàÿ ñ íåé âåðøèíà. Åñëè a ñîîòâåòñòâóåò ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà H , òî R = {b}. Îäíàêî, ïî îïðåäåëåíèþ ãèïåðãðàôà äîëæíî áûòü |R| ≥ 2, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, a ∈ V (H) è ïî ïóíêòó 4 î÷åâèäíî, ÷òî ýòà âåðøèíà êðàéíÿÿ. Íàîáîðîò, ïóñòü a êðàéíÿÿ âåðøèíà ãèïåðäåðåâà H . Ïî ïóíêòó 4, îíà âõîäèò ðîâíî â îäíî ãèïåððåáðî R, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé â äåðåâå T (H). 3.2 Ãèïåðäåðåâî Struct(V ) Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæäîé âåðøèíå w ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1 è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw . Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V . Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V , ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå ýòà êîíñòðóêöèÿ èìååò ê òåîðèè ñâÿçíîñòè. Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2. ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ Òåîðåìà 3.2. 122 Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b íå ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. 2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) a. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå âåðøèíû a, b ∈ V , äëÿ êîòîðûõ |Va | = |Vb | = 1. Áàçà äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ âåðøèí, î÷åâèäíà. Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó c ∈ V , ïóñòü V 0 = V \ {c}. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ñóùåñòâóþò òàêèå äâå âåðøèíû a, b ∈ V 0 , ÷òî |Va0 | = |Vb0 | = 1. Åñëè |Va | = |Vb | = 1, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Va | > 1. Òîãäà âåðøèíà a ðàçäåëÿåò V 0 \ {a} 3 b è c, ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà b íå ìîæåò ðàçäåëÿòü a è c, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |Vb | = 1. Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V 0 \ {a} âåðøèíà a ðàçäåëÿåò c è x, ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà c íå ðàçäåëÿåò a è x. Òàêèì îáðàçîì, |Vc | = 1. Â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû b è c íàì ïîäõîäÿò. b. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí â ìíîæåñòâå V ñâÿçíîñòü ãðàôà Struct(V ). Áàçà äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ âåðøèí, î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì âåðøèíû a, b ∈ V òàêèå, ÷òî |Va | = |Vb | = 1. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ãèïåðãðàô Struct(V \{a}) ñâÿçåí. Òàê êàê |Va | = 1, òî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {a} ñâÿçàíû è â ãèïåðãðàôå Struct(V ). Ïî àíàëîãè÷íûì ïðè÷èíàì, âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {b} ñâÿçàíû â Struct(V ), ÷òî îçíà÷àåò ñâÿçíîñòü ãèïåðãðàôà Struct(V ). c. Ïóñòü a1 a2 . . . ak ïóòü â ãèïåðãðàôå Struct(V ), à âåðøèíà b íå ëåæèò íà íåì. Òîãäà b íå ðàçäåëÿåò ïàðû âåðøèí a1 è a2 ,. . . , ak−1 è ak . Ñëåäîâàòåëüíî, b íå ðàçäåëÿåò a1 è ak . ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ 123 Èç ýòîãî ôàêòà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, âõîäÿùèå â êàêîé-ëèáî öèêë ãðàôà Struct(V ), íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêîé îòëè÷íîé îò íèõ âåðøèíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû öèêëà ïðèíàäëåæàò îäíîìó ãèïåððåáðó. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. W1 W2 w2 w1 a w3 W3 w4 b b b b b W4 Ðèñ. 3.1: Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Struct(V ) − a. 2) Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Wi . Èç äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî a íå ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Wi , ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi ëåæàò â îäíîì êëàññå ðàçáèåíèÿ Va . Ðàññìîòðèì äâå ðàçíûõ êîìïîíåíòû Wi è Wj è âûáåðåì â íèõ ñìåæíûå ñ a âåðøèíû wi è wj ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 3.1). Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò wi , wj , a âåðøèíà íå ìîæåò ðàçäåëèòü ïàðû ñìåæíûõ âåðøèí {wi , a} è {wj , a}. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçäåëèòü âåðøèíû wi è wj ìîæåò òîëüêî a. Ïîñêîëüêó wi è wj íå ïðèíàäëåæàò îäíîìó ãèïåððåáðó, òî a èõ ðàçäåëÿåò, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi ëåæàò â îäíîì êëàññå Va , à âñå âåðøèíû èç Wj â äðóãîì. Ãëàâà 4 Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè Â ãëàâå 1 áûëè ïîñòðîåíû ñòðóêòóðíûå äåðåâüÿ äëÿ ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ è èçó÷àëèñü ñâîéñòâà òàêèõ äåðåâüåâ. Îäíàêî, k -ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìîãóò áûòü çàâèñèìû. Â ýòîé ãëàâå ìû ðàçîáüåì íàáîð ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ⊂ Rk (G) íà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè è èçó÷èì ñòðóêòóðó èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè. Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). 1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû. 2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S). 3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S. 124 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 4.1 125 Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû Ïåðåä îñíîâíûìè òåîðåìàìè ðàçäåëà íàì íåîáõîäèìî äîêàçàòü íåñêîëüêî ëåìì. Ëåììà 4.1. Ïóñòü íàáîðû S1 , . . . , Sn ⊂ Rk (G) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþò- ñÿ, S = ∪ni=1 Si . Ðàññìîòðèì âñå ìíîæåñòâà âåðøèí âèäà A= n \ Ai , (4.1) i=1 ãäå Ai ∈ Part(Si ). Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ëþáàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1). 2) Èç âñåõ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà G, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå (4.1), ÷àñòÿìè Part(S) ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûìè ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. 3) Åñëè ìíîæåñòâî âåðøèí A ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.1) è A 6∈ Part(S), òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü A ∈ Part(S). Äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, 2, . . . , n} íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Si íå ðàçäåëÿåò A, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ÷àñòü Ai ∈ Part(Si ), ñîäåðæàùàÿ A. Ïóñòü 0 A = n \ Ai . i=1 Âêëþ÷åíèå A ⊂ A0 î÷åâèäíî. Ïîíÿòíî, ÷òî íèêàêîå ìîæåñòâî íàáîðà S íå ðàçäåëÿåò A0 , ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî A0 ⊂ B . Òàêèì îáðàçîì, A ⊂ A0 ⊂ B , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî A = A0 = B . 2) Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ V (G), ïðåäñòàâèìîå â âèäå (4.1) ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. Òîãäà A íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S. Åñëè A 6∈ Part(S), òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ïî ïóíêòó 1 ÷àñòü B òàêæå ïðåäñòàâèìà â âèäå (4.1). Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ A. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 126 Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå A â âèäå (4.1) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî A íå ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. Ïóñòü ìíîæåñòâî B ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1) è A ( B . Òîãäà B íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S, ñëåäîâàòåëüíî, A íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S). Ïðîòèâîðå÷èå. 3) Ïóñòü A 6∈ Part(S) è A= n \ Ai ãäå Ai ∈ Part(Si ). i=1 Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå B= n \ Bi , ãäå Bi ∈ Part(Si ). i=1 Òàê êàê B 6= A, òî Aj 6= Bj äëÿ êàêîãî-òî j . Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ Aj ∩ Bj , à òàêîå ïåðåñå÷åíèå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Sj . Ëåììà 4.2. Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ R(G) íå ïåðåñåêàþòñÿ, à ÷àñòü A ∈ Part(S) òàêîâà, ÷òî íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T åå íå ðàçäåëÿåò. Òîãäà A ∈ Part(S ∪ T). Äîêàçàòåëüñòâî. Íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S ∪ T íå ðàçäåëÿåò A, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S ∪ T), ÷òî A ⊂ B . Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò ñîäåðæàùàÿ B ÷àñòü A0 ∈ Part(S). Òàêèì îáðàçîì, A ⊂ B ⊂ A0 , îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî A = B = A0 . Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ãðàíèöó ÷àñòè ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ. Ëåììà 4.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A, èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A. 127 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü âåðøèíà x ∈ A ñìåæíà ñ âåðøèíîé y ∈ V (G) \ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå y îò A 3 x, ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ Bound(A). Íàîáîðîò, ïóñòü x ∈ Bound(A). Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ S ∈ S. ×àñòü A ∈ Part(S) ñîäåðæèòñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(S). Èç |Part(S)| ≥ 2 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî Int(B) ⊂ V (G) \ A. Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(B), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. 2) Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïóíêòà 1. Ëåììà 4.4. 1) Ïóñòü S, T ∈ Rk (G) è ÷àñòü A ∈ Part(S) òàêîâû, ÷òî T ∩ Int(A) = ∅. Òîãäà S è T íåçàâèñèìû, ïðè÷åì T íå ðàçäåëÿåò ÷àñòü A. 2) Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîäåðæèò T . Òîãäà â Part(T ) åñòü ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ âñå îòëè÷íûå îò A ÷àñòè èç Part(S), à âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè A. Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåð- øèí Int(A) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà S = Bound(A) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A) è T ∩ Int(A) = ∅. Ïîýòîìó âñå âåðøèíû èç A \ T ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T , òî åñòü, T íå ðàçäåëÿåò A è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ðàçäåëÿåò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû. 2) Ïî ïóíêòó 1, ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò íèêàêîé îòëè÷íîé îò A ÷àñòè èç Part(S). Ïîñêîëüêó S \ T 6= ∅, âñå ýòè ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè èç Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ïîäìíîæåñòâà ÷àñòè A. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ Îïðåäåëåíèå 4.2. 128 Íàçîâåì íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è ëþáûå äâà ìíîæåñòâà S ∈ S è T ∈ T íåçàâèñèìû. Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáûå äâå êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè íàáîðà S íåçàâèñèìû. Ëåììà 4.5. Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ãðàô çàâèñè- ìîñòè Dep(S) ñâÿçåí. Òîãäà âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ëåæàò â îäíîé ÷àñòè A ∈ Part(T), à íèêàêàÿ äðóãàÿ ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ìíîæåñòâà íàáîðà S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî T ∈ T. Òàê êàê T è ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S íåçàâèñèìû, òî S ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé ÷àñòè èç Part(T ). Ïóñòü ìíîæåñòâà S1 , S2 ∈ S ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ A1 , A2 ∈ Part(T ), ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 4.1). Òîãäà S2 ∩Int(A1 ) = ∅, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S2 íå ðàçäåëÿåò ÷àñòü A1 , à çíà÷èò è ìíîæåñòâî S1 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâà S1 è S2 íåçàâèñèìû. A1 S1 T S2 A2 Ðèñ. 4.1: Ìíîæåñòâà S1 è S2 èç ðàçíûõ ÷àñòåé Part(T ). Îòñþäà â ñèëó ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S) ñëåäóåò, ÷òî âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè èç Part(T ). Òàê êàê ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà T ∈ T, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(T), ñîäåðæàùàÿ âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü B ∈ Part(T), ñîäåðæèò ìíîæåñòâî S ∈ S. Òîãäà S ⊂ A ∩ B , íî ïåðåñå÷åíèå A ∩ B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ Ëåììà 4.6. 129 Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S, à ÷àñòü B ∈ Part(S) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T. Òîãäà B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò A ÷àñòåé èç Part(T). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îòëè÷íóþ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(T). Åñ- ëè Int(A0 ) = ∅, òî ÷àñòü A0 ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, A0 ⊂ B . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà Int(A0 ) 6= ∅. Ïî ëåììå 4.1, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå A0 = \ ãäå AT ∈ Part(T ). AT , T ∈T Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S: îíî îòäåëåíî êàêèì-òî ìíîæåñòâîì T ∈ T îò ÷àñòè A0 , ñëåäîâàòåëüíî, S ∩ Int(AT ) = ∅. Ïî ëåììå 4.4, òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî AS ⊃ AT ⊃ A0 (ñì. ðèñóíîê 4.2). Ìíîæåñòâî âåðøèí M = ∩S∈S AS ñîäåðæèò A0 . Òàê êàê M íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì íàáîðà S, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü B 0 ∈ Part(S), ñîäåðæàùàÿ M , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàùàÿ A0 . AT AS S T A’ Ðèñ. 4.2: ×àñòè A0 , AT è AS . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B 0 6= B . Ãðàíèöà ÷àñòè A0 ∈ Part(T) ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèòñÿ â B . Òàêèì îáðàçîì, èç B 0 6= B ñëåäóåò Bound(A0 ) ⊂ B ∩ B 0 ⊂ S ∈ S, (4.2) Èç Int(A0 ) 6= ∅ ñëåäóåò, ÷òî |Bound(A0 )| ≥ k . Âìåñòå ñ (4.2) ýòî îçíà÷àåò, ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 130 ÷òî Bound(A0 ) = S . Ïî óñëîâèþ, S ⊂ A, ñëåäîâàòåëüíî, S ⊂ A ∩ A0 ⊂ T ∈ T, îòêóäà S ∈ T, ÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå íåâîçìîæíî è A0 ⊂ B . Äî êîíöà ýòîé ãëàâû ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Comp(S) = {S1 , . . . , Sm }. Îïðåäåëåíèå 4.3. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷àñòü Part(Si ) ñîäåðæèò êîì- ïîíåíòó çàâèñèìîñòè Sj , åñëè îíà ñîäåðæèò âñå âõîäÿùèå â Sj ìíîæåñòâà. Òàêàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïî ëåììå 4.5, îáîçíà÷èì åå ÷åðåç Ai⊃j . Ïåðåôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèå ëåììû 4.6 â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 4.3. Ñëåäñòâèå 4.1. ×àñòü Ai⊃j ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ ÷àñòåé Part(Sj ), êðîìå Aj⊃i . 4.2 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé êëàññ áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(T). Îïðåäåëåíèå 4.4. Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè- åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S). Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 131 2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j . 3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) è 2) Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ èç òåîðåìû 3.2 äëÿ îïèñàííîãî âûøå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà Comp(S). Ïóñòü êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè Si ðàçäåëÿåò Sj è S` , òî åñòü, ÷àñòè Ai⊃j è Ai⊃` ðàçëè÷íû. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.1 ìû èìååì Aj⊃i ⊃ Ai⊃` , òî åñòü, Sj íå ðàçäåëÿåò Si è S` . Òåïåðü óòâåðæäåíèå 1 è 2 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.2. 3) Êàê ïîêàçàíî âûøå, äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû èç Comp(S) ëèáî âñå åå ìíîæåñòâà ñîäåðæàòñÿ â A, ëèáî íè îäíî èç íèõ íå ëåæèò â A. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî CA ⊂ Comp(S) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âñå ìíîæåñòâà êîòîðûõ ñîäåðæàòñÿ â A, íåïóñòî. Èç ïóíêòîâ 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç CA îáðàçóþò êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òåïåðü ïóíêò 3 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç ïóíêòà 5 òåîðåìû 3.1. Äàëåå ìû îïèøåì ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåððåáåð ãèïåðäåðåâà Struct(S). Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ. Ëåììà 4.7. Ïóñòü T ⊂ Rk (G), ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(T) ñâÿçåí, ìíî- æåñòâî T ∈ Rk (G) \ T ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé ÷àñòè B ∈ Part(T), à âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â ÷àñòè F ∈ Part(T ). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) ×àñòü B ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé Part(T ). ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 132 2) Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî T . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Î÷åâèäíî, íàáîðû T è {T } íåçàâèñèìû. Ïî ëåì- ìå 4.6, ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé èç Part(T ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëþáàÿ ÷àñòü èç Part(T) ñ ãðàíèöåé T åñòü îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòåé èç Part(T ), ìû ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ïóíêòà 1. 2) Ïî ëåììå 4.5, íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî T , à âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â îäíîé ÷àñòè F ∈ Part(T ). Ëåììà 4.8. Ïóñòü ãðàôû çàâèñèìîñòè íåïåðåñåêàþùèõñÿ íàáîðîâ T1 , T2 ⊂ Rk (G) ñâÿçíû, à ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G) \ (T1 ∪ T2 ) òàêîâî, ÷òî âñå ìíîæåñòâà èç T1 è T2 ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè F ∈ Part(R). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü A ∈ Part(T1 ) ∩ Part(T2 ) ñ Bound(A) = R. Òîãäà íàáîðû T1 è T2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü íàáîðû T1 è T2 íåçà- âèñèìû. Ïî ëåììå 4.7, ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé èç Part(R). Ïî ëåììå 4.5, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â îäíîé ÷àñòè B ∈ Part(T2 ). Ïîñêîëüêó R⊂ [ T ⊂ B, T ∈T1 òî ïî ïóíêòó 2 ëåììû 4.7 èìååì A = B . Îäíàêî, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â F , ïðè÷åì F ∩ A = R. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ýòè ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò ñ R, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Ëåììà 4.9. Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S). Äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíî- 133 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ æåñòâà âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí A= n \ Ai i=1 âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé. 1◦ Ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S), ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí, ïðè÷åì Bound(A) = n [ Bound(Ai ). i=1 2◦ n = 2, Bound(A1 ) = Bound(A2 ) = A ∈ S, ïðè÷åì îäíà èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè S1 èëè S2 ýòî {A}. Äîêàçàòåëüñòâî. a. Ðàññìîòðèì ëþáóþ êîìïîíåíòó çàâèñèìîñòè S` , íå âõîäÿùóþ â R (åñëè òàêàÿ ñóùåñòâóåò). Ðàññìîòðèì âñå ïóòè â Struct(S) îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðûõ íå âõîäÿò â R è îòìåòèì ìíîæåñòâî âñåõ èõ êîíöîâ â ãèïåððåáðå R. Ïóñòü ìû îòìåòèëè õîòÿ áû äâå âåðøèíû (òî åñòü, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè) èç R. Òîãäà â Struct(V ) ñóùåñòâóåò öèêë Z , ñîäåðæàùèé äâå îòìå÷åííûå âåðøèíû è õîòÿ áû îäíó âåðøèíó íå èç R (ñì. ðèñóíîê 4.3a), à ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è ãèïåððåáðî E , ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû Z . Ýòî ãèïåððåáðî íå ñîâïàäàåò ñ R è |E ∩ R| ≥ 2, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 2 òåîðåìû 3.1. b R R b b b b b E b b b l b b b b b b b b b b i b b b l b b b b b a b Ðèñ. 4.3: Ãèïåðäåðåâî Struct(S) è åãî ãèïåððåáðî R. Çíà÷èò, êàæäûé ïóòü â Struct(S) îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî íå âõîäÿò â R, èìååò êîíöîì îäíó è òó æå êîìïîíåíòó ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 134 çàâèñèìîñòè ïóñòü ýòî Si (ãäå 1 ≤ i ≤ n). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Si îòäåëÿåò S` îò êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âõîäÿùèõ â R è îòëè÷íûõ îò Si (ñì. ðèñóíîê 4.3b). Òîãäà ïî óòâåðæäåíèþ 2 òåîðåìû 4.1 ìû èìååì Ai⊃` 6= Ai . Òàêèì îáðàçîì, íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S` íå ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â Ai, à ñòàëî áûòü, è â A. b. Ïî ñëåäñòâèþ 4.1, èç Ai⊃` 6= Ai ñëåäóåò, ÷òî A`⊃i ⊃ Ai ⊃ A. Ñëåäîâà- òåëüíî, ìíîæåñòâà êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, íå ïðèíàäëåæàùèõ ãèïåððåáðó R, íå ðàçäåëÿþò A. Òîãäà ïî ëåììå 4.1 ëèáî A ∈ Part(S), ëèáî A ïîäìíîæåñòâî îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ïóñòü R= n [ Bound(Aj ). j=1 Ïîñêîëüêó Ai ⊃ R äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}, òî A ⊃ R. Èç óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî Int(Aj ) 6= ∅ äëÿ êàæäîãî j , ïîýòîìó |Bound(Aj )| ≥ k . Ñëåäîâàòåëüíî, |R| ≥ k . Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ Bound(A). Ïî ëåììå 4.3 ñóùåñòâóåò âåðøèíà y 6∈ A, ñìåæíàÿ ñ x. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî y 6∈ Ai . Òîãäà ïî ëåììå 4.3 ìû èìååì x ∈ Bound(Ai ) ⊂ R. Íàîáîðîò, êàæäàÿ âåðøèíà èç R ïðèíàäëåæèò ÷àñòè A è êàêîìó-òî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Òàêèì îáðàçîì, Bound(A) = R. Ïóñòü A 6∈ Part(S). Ïî ïóíêòó 3 ëåììû 4.1, òîãäà R ⊂ A ⊂ S ∈ S. Òàê êàê |S| = k è |R| ≥ k , ìû èìååì R = A = S è, áîëåå òîãî, Bound(A1 ) = Bound(A2 ) · · · = Bound(An ) = A ∈ S. Èç ÷àñòè a äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî A ∈ S äîëæíî ïðèíàäëåæàòü îäíîé èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ãèïåððåáðà R. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A ∈ S1 . Òàê êàê A = Bound(A1 ) ãðàíèöà ÷àñòè Part(S1 ), òî A è ëþáîå ìíîæåñòâî íàáîðà S1 íåçàâèñèìû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî S1 = {A}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 3. Òîãäà ïî ëåììå 4.7 ìíîæåñòâî B , ðàâíîå îáúåäèíåíèþ 135 ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ âñåõ îòëè÷íûõ îò A1 ÷àñòåé èç Part(A), ïðèíàäëåæèò Part(S2 )∩Part(S3 ). Îäíàêî, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè S2 è S3 íåçàâèñèìûå íàáîðû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 4.8. Îïðåäåëåíèå 4.5. Îïðåäåëåííóþ â ëåììå 4.9 ÷àñòü A ìû íàçîâåì ÷à- ñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà A ∈ / Part(S)). Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ- þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S). 2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Òàê êàê ÷àñòü A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 , òî ïî ëåììå 4.6 íè îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå ðàçäåëÿåò A. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 ìû èìååì A ∈ Part(S). 2) Äîêàæåì óòâåðæäåíèå èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè â íàáîðå. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè îäíà, î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü T ∈ Comp(S) êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàéíåé âåðøèíå ãèïåðäåðåâà Struct(S); ýòà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè íå ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå äðóãèå è ïî òåîðåìå 3.1 ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S). Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 äëÿ íàáîðà T0 = S\T óæå äîêàçàíî. Ïóñòü ÷àñòü B ∈ Part(T) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T0 , à ÷àñòü B 0 ∈ Part(T0 ) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T (òàêèå ÷àñòè ñóùåñòâóþò ïî ëåììå 4.5). Ïî ëåììå 4.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè H ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå H = H1 ∩ H2 , ãäå H1 ∈ Part(T) è H2 ∈ Part(T0 ). Åñëè H1 = B è H2 = B 0 , òî H ÷àñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R. Ïî ëåììå 4.6 ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B 0 ÷àñòåé èç ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ 136 Part(T0 ), à ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B ÷àñòåé èç Part(T). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 îñòàëüíûå ÷àñòè èç Part(S) ýòî ëèáî ÷àñòè èç Part(T), ëèáî ÷àñòè èç Part(T0 ), îòêóäà ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. Ãëàâà 5 Óäàëåíèå âåðøèí èç 5.1 k -ñâÿçíîãî ãðàôà Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè Åñëè èç ñâÿçíîãî ãðàôà óäàëèòü ëþáóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ëþáîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü íå íàðóøèòñÿ. Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèí, óäàëåíèå êîòîðûõ íå ëèøàåò ãðàô äâóñâÿçíîñòè. Ëåììà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, a ∈ A ∈ Part(G). Òîãäà ãðàô G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A) è ÷àñòü A áëîê èëè òðåóãîëüíèê. Äîêàçàòåëüñòâî. Ãðàô G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a íå ïðè- íàäëåæèò ìíîæåñòâàì èç R2 (G). Âåðøèíà a íå ïðèíàäëåæèò îäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì åcëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A). Îñòàåòñÿ äîáàâèòü, ÷òî ïî ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.2 âñå âåðøèíû öèêëîâ äëèíû õîòÿ áû 4 ïðèíàäëåæàò íåîäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì, à âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è òðåóãîëüíèêîâ íå ïðèíàäëåæàò. Åñëè óäàëèòü èç ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåñêîëüêèõ âíóòðåííèõ âåðøèí áëîêîâ è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå 137 ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 138 êàæäîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü ñîõðàíèòñÿ. Â ñëåäóþùåé òåîðåìå áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ- ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W äâóñâÿçåí. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåâåðíî è ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî W , âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ íåïóñòûõ áëîêîâ è òàêîå, ÷òî ãðàô G∗ = G − W íåäâóñâÿçåí. Òàê êàê âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ íå âõîäÿò â ìíîæåñòâà èç R2 (G), ìû èìååì |W | ≥ 2. Òàê êàê âåðøèíû W ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ áëîêîâ, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S = {a, b} ∈ R2 (G), ðàçäåëÿþùåå W . Òàê êàê S íå ñîäåðæèò âåðøèí èç W è ðàçäåëÿåò W , ÷àñòè Part(S) ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû â êàæäîé ãðóïïå áûëà ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó èç W . Ïóñòü U1 è U2 îáúåäèíåíèÿ âåðøèí ýòèõ ÷àñòåé, U ∗ = V (G) \ W = V (G∗ ), U1∗ = U1 \ W, U2∗ = U2 \ W. Òàê êàê êàæäûé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû è íå áîëåå ÷åì îäíà èç íèõ óäàëåíà, ìíîæåñòâà âåðøèí U1∗ è U2∗ ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî òðè âåðøèíû. Ïîëîæèì G∗1 = G(U1∗ ), 2. G∗2 = G(U2∗ ), G1 = G∗1 + ab, G2 = G∗2 + ab. Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ U2 ∩W . Èç âûáîðà ìíîæåñòâà W ìû çíàåì, ÷òî ãðàô Gx = G − (W \ {x}) äâóñâÿçåí. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò U1∗ îò U2∗ ∪ {x} â äâóñâÿçíîì ãðàôå Gx . Ïîýòîìó, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ìåíãåðà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G1 íå èìååò òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Òàê êàê |U1∗ | ≥ 3, ãðàô G1 äâóñâÿçåí. Àíàëîãè÷íî, ãðàô G2 äâóñâÿçåí. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ 3. k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 139 Äîêàæåì, ÷òî îò ëþáîé âåðøèíû x ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò xa-ïóòü Pa è xb-ïóòü Pb , íå èìåþùèå îáùèõ âåðøèí, êðîìå x. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî x ∈ U1∗ . Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äâà èñêîìûõ ïóòè åñòü â äâóñâÿçíîì ãðàôå G1 , ýòè æå ïóòè åñòü è â G∗ . 4. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé âåðøèíû v ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ − v âñå âåðøèíû èç U ∗ \ {v} ñâÿçàíû, òî åñòü, ãðàô G∗ = G − W äâóñâÿçåí. Ðàññìîòðèì ëþáóþ âåðøèíó x ∈ / S . Ïî ïóíêòó 3, â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòè îò x äî âåðøèí ìíîæåñòâà S . Îäèí èç ýòèõ ïóòåé åñòü è â G∗ − v . Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðè v ∈ / S âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà S ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − v . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v ∈ U1∗ . Òîãäà ñóùåñòâóåò ab-ïóòü P â ãðàôå G∗ − v , ïðîõîäÿùèé ïî âåðøèíàì èç U2∗ , çíà÷èò, a è b ñâÿçàíû â G∗ − v . Äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G∗ ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − W äâóñâÿçåí äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà W , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ. b a b b b b c b Ðèñ. 5.1: Ãðàô òåðÿåò äâóñâÿçíîñòü ïðè óäàëåíèè âåðøèí a è c. Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íå ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ ÷àñòåé-òðåóãîëüíèêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G. Åñëè ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A èìååò âíóòðåííþþ âåðøèíó, òî ìû èìååì |Int(A)| = 1 è |Bound(A)| = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, Bound(A) ∈ O(G), à çíà÷èò, ÷àñòü A êðàéíÿÿ. Íà ðèñóíêå 5.1 èçîáðàæåí ãðàô, â êîòîðîì îòìå÷åíà âíóòðåííÿÿ âåðøèíà a êðàéíåé ÷àñòè-òðåóãîëüíèêà è âíóòðåííÿÿ âåðøèíà c ÷àñòè-áëîêà. Èõ îäíîâðåìåííîå óäàëåíèå äåëàåò ãðàô íåäâóñâÿçíûì. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ 5.2 Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ÑÂßÇÍÎÃÎ k -ñâÿçíîãî 140 ÃÐÀÔÀ ãðàôà ïðè k>2 Â ýòîì ðàçäåëå G ýòî k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ è ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàçäåëà. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì. Ìíîæåñòâî S áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöåé ôðàãìåíòà H è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(H). Ïîêàæåì, ÷òî ïîíÿòèÿ ôðàãìåíòà è åãî ãðàíèöû èìåþò ñàìîñòîÿòåëüíûé ñìûñë. Ëåììà 5.2. Ïóñòü H ôðàãìåíò â k -ñâÿçíîì ãðàôå G. Òîãäà Bound(H) = NG (H). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Bound(H) = S . Òîãäà H = Int(A) äëÿ íåêî- òîðîé ÷àñòè A ∈ Part(S). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà S ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H , òî åñòü, S ⊂ NG (H). Ïîñêîëüêó S = Bound(A) îòäåëÿåò H = Int(A) îò V (G) \ A, òî S = NG (A). Çàìå÷àíèå 5.1. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à H åãî ôðàãìåíò. Îò- ìåòèì, ÷òî èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(H) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà èç Bound(H) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H â ñèëó k -ñâÿçíîñòè G. Îïðåäåëåíèå 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)). 1) Íàçîâåì ÷àñòü A ïðàâèëüíîé, åñëè |Bound(A)| = k è Int(A) 6= ∅. 2) Ïóñòü Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè A, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S îò Int(A). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà. Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ Çàìå÷àíèå 5.2. ÃÐÀÔÀ 141 1) Âíóòðåííîñòü ïðàâèëüíîé ÷àñòè Part(Rk (G)) ýòî ôðàãìåíò ãðàôà G. 2) Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî øåé. k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ õîðî- Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ÷àñòü A ïðàâèëüíàÿ, òî ìíîæåñòâî Bound(A) ∈ Rk (G) îòäåëÿåò Int(A) îò ëþáîãî äðóãîãî ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), òî åñòü, Bound(A) åäèíñòâåííîå ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî äëÿ ïðàâèëüíîé ÷àñòè A. Ïîýòîìó Bound2 (A) = ∅. Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð- øèíû, âõîäÿùåé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå- ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì ðÿä òåõíè÷åñêèõ ëåìì. Ëåììà 5.3. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)), Int(A) 6= ∅, S ∈ Rk (G) íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå îòäåëÿåò S îò Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå îòäåëÿåò Int(A) îò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ðàçëè÷íûå ÷àñòè H, H 0 ∈ Part(T ), ÷òî Int(A) ⊂ H è S ⊂ H 0. Ìû âûáåðåì T òàê, ÷òîáû ÷àñòü H áûëà ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå T îò Int(A). Òî åñòü, ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè F, F 0 ∈ Part(R), ÷òî Int(A) ⊂ F è T ⊂ F 0. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 142 Åñëè ìíîæåñòâî R íå ëåæèò â ÷àñòè H , òî R ∩ Int(H) = ∅ è ïî ëåììå 4.4 ìû çíàåì, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò H è, â ÷àñòíîñòè, íå îòäåëÿåò T îò Int(A). Çíà÷èò, R ⊂ H . Òîãäà ÷àñòü F 0 ∈ Part(R), ñîäåðæàùàÿ T \ R, ñîäåðæèò è îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò H ÷àñòåé Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, F ( H , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó ìíîæåñòâà T . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî T ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A. Îïèøåì ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ èç Rk (G). Ëåììà 5.4. Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû, Part(S) = {A1 , . . . , Am }, P = T ∩ S, Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }, Ti = T ∩ Int(Ai ), Sj = S ∩ Int(Bj ), Gi,j = Ai ∩ Bj . Òîãäà âñå ìíîæåñòâà T1 , . . . , Tm ; S1 , . . . , Sn íåïóñòû, Part({S, T }) = {Gi,j }i∈{1,...,m}, j∈{1,...,n} , ïðè÷åì Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj . Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ëåììû 4.4 è çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâ S è T , Ti = T ∩ Int(Ai ) 6= ∅ è Sj = S ∩ Int(Bj ) 6= ∅. ×àñòè Part({S, T }) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ âèäà Gi,j . Äîêàæåì, ÷òî ýòî âñå òàêèå ìíîæåñòâà. Ïóñòü (α, β) 6= (γ, δ). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α 6= γ . Òîãäà Tα ⊂ Gα,β , è Tγ 6⊂ Gα,β , ñëåäîâàòåëüíî, Gα,β 6⊂ Gγ,δ . Óòâåðæäåíèå Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj î÷åâèäíî. Äàëåå äëÿ îïèñàíèÿ ðàçáèåíèÿ ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4. Ëåììà 5.5. áû ïî k+1 2 Ïóñòü âñå ôðàãìåíòû k -ñâÿçíîãî ãðàôà G ñîäåðæàò õîòÿ âåðøèí, à ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû. Òîãäà êàæäîå èç ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 143 íèõ äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, ïðè÷åì ìîæíî çàíóìåðîâàòü ýòè ÷àñòè òàê, ÷òî Part(S) = {A1 , A2 }, Part(T ) = {B1 , B2 }, |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k, Äîêàçàòåëüñòâî. 1. |T1 | = |S1 |, |T2 | = |S2 |. Ïóñòü Part(S) = {A1 , . . . , Am }, Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }. Èçîáðàçèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâàìè S è T â âèäå òàáëèöû m × n, ãäå êëåòêà ñ êîîðäèíàòàìè (i, j) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòè Gi,j = Ai ∩ Bj : ìû çàïèøåì â ýòîé êëåòêå êîëè÷åñòâî âåðøèí â Int(Gi,j ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü ñòîëáåö èëè ñòðîêà, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî íóëè (íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ïåðâûé ñòîëáåö). Òîãäà Int(G1,j ) = ∅ äëÿ âñåõ j ∈ {1, . . . , n} è [ Int(A1 ) = Bound(G1,j ) \ S = T1 , j∈{1,...,n} ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | ≥ |Ti | ≤ k−1 2 . k+1 2 . Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m} ìû èìååì Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì |S1 | ≥ |S2 |, òîãäà |S2 | ≤ k 2. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m} |T1 | + |S1 | + |P | + |Ti | + |S2 | + |P | ≤ |T | + |S| = 2k, ñëåäîâàòåëüíî, |Bound(Gi,2 )| = |Ti | + |S2 | + |P | < k. Åñëè Int(Gi,2 ) 6= ∅, òî ïî ëåììå 4.3 ñîñòîÿùåå ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî Bound(Gi,2 ) îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà íåïóñòîå ìíîæåñòâî Int(Gi,2 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, Int(Gi,2 ) = ∅ äëÿ âñåõ i ∈ {2, . . . , m}. Íàïîìíèì, ÷òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ Int(G1,2 ) = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ôðàãìåíò Int(B2 ) = [ i∈{1,...,m} Bound(Gi,2 ) \ T = S2 , è k |S2 | ≤ , 2 ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 144 ÃÐÀÔÀ ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. 2. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå åñòü õîòÿ áû îäèí íå íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïàðû èíäåêñîâ (α, β) è (γ, δ) òàêèå, ÷òî α 6= γ , β 6= δ , Int(Gα,β ) 6= ∅ è Int(Gγ,δ ) 6= ∅. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì α = δ = 1 è β = γ = 2. Òîãäà |Bound(G1,2 )| ≥ k è |Bound(G2,1 )| ≥ k. Çàìåòèì, ÷òî 2k ≤ |Bound(G1,2 )| + |Bound(G2,1 )| = 2|P | + |T1 | + |T2 | + |S1 | + |S2 | ≤ |S| + |T | = 2k. Çíà÷èò, îáà íåðàâåíñòâà îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî T = T1 ∪ T2 ∪ P è (5.1) S = S1 ∪ S2 ∪ P. Ïî ëåììå 5.4 èç (5.1) ñëåäóåò, ÷òî |Part(S)| = |Part(T )| = 2 è |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k. Òîãäà |T1 | + |S2 | + |P | = |Bound(G1,2 )| = k = |T | = |T1 | + |T2 | + |P |, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |S2 | = |T2 |. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî |S1 | = |T1 |. Ëåììà 5.6. Ïóñòü H ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ôðàãìåíò k -ñâÿç- íîãî ãðàôà G, âñå ôðàãìåíòû êîòîðîãî ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî k+1 2 âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü A ∈ Part(Rk (G)), ÷òî H = Int(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S = Bound(H), Part(S) = {A1 , . . . , Am } è H = Int(A1 ). ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 145 ÃÐÀÔÀ Ïîñêîëüêó S ∈ Rk (G), òî ëèáî A1 ∈ Part(Rk (G)), ëèáî A1 îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòåé Part(Rk (G)). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Rk (G) íå ðàçäåëÿåò A1 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G) ðàçäåëÿåò A1 . Èç ëåììû 4.4 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà T ∩ Int(A1 ) 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. Ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû. Èç íåçàâèñèìîñòè S è T ñëåäóåò, ÷òî T ⊂ A1 . Ïî ëåììå 4.4, òîãäà T íå ðàçäåëÿåò íè îäíîé èç ÷àñòåé A2 , . . . , Am . Òàê êàê S 0 = S \ T 6= ∅, ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò (V (G)\A1 )∪S 0 . Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(T ), ÷òî B ⊂ A \ S 0 . Îäíàêî, òîãäà ôðàãìåíò Int(B) ⊂ (A \ S 0 ) \ Bound(B) = A \ (S ∪ T ) ( H, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè H . 2. Ìíîæåñòâà S è T çàâèñèìû. Ïóñòü Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4. Ïî ëåììå 5.5 ìîæíî âûáðàòü íóìåðàöèþ ÷àñòåé Part(T ) òàê, ÷òî |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k . Òîãäà Int(G1,2 ) = ∅ (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Int(G1,2 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ñì. ðèñóíîê 5.2). S1 H T1 P 0 T2 S2 Ðèñ. 5.2: Ôðàãìåíò H è ìíîæåñòâî T . Ïî ëåììå 5.5, ìû èìååì |T1 | = |S1 |. Åñëè |T1 | < k2 , òî |R(G1,1 )| < k . Â ýòîì ñëó÷àå Int(G1,1 ) = ∅ è H = T1 , ÷òî íåâîçìîæíî: òîãäà |H| < Ïóñòü |T1 | = k 2. k+1 2 . Åñëè ïðè ýòîì Int(G1,1 ) 6= ∅, òî |Bound(G1,1 )| = k è Int(G1,1 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ÷òî íåâîçìîæíî. Åñëè æå Int(G1,1 ) = ∅, òî |H| = |T1 | < k+1 2 , ÷òî òàêæå íåâîçìîæíî. ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |T1 | > k2 . Òîãäà |T2 | = |S2 | < k 2 146 è |Bound(G2,2 )| = 2k − |T1 | − |S1 | < k, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà ôðàãìåíò Int(B2 ) = S2 ñîñòîèò ìåíåå ÷åì èç k+1 2 âåðøèí, ÷òî íåâîçìîæíî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò ðàçáîð ñëó÷àåâ. Ëåììà 5.7. Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ëþáîé ôðàãìåíò êîòîðîãî ñî- äåðæèò õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí. Ïóñòü ìíîæåñòâî W ⊂ V (G) ñîñòîèò èç âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé Part(Rk (G)), ïðè÷åì |W | ≥ 2 è íèêàêèå äâå åãî âåðøèíû íå ïðèíàäëåæàò îäíîé ÷àñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G−W íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, íî äëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî ïîäìíîæåñòâà W 0 ( W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïóñòü R1 , R2 , . . . , Rn âñå ìíîæåñòâà èç Rk (G), ðàçäåëÿþùèå W , à R= n \ Ri . i=1 Òîãäà ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáûõ k−1 âåðøèí èç ãðàôà G−W âñå âåðøèíû, íå âõîäÿùèå â R, ïîïàäóò â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Áîëåå òîãî, êîëè÷åñòâî íå âîøåäøèõ â ýòó êîìïîíåíòó âåðøèí èç ìíîæåñòâà R íå ïðåâîñõîäèò k−1 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Ri (ãäå i ∈ {1, . . . , n}), ïóñòü Part(Ri ) = {A1 , . . . , A` }. Ñóùåñòâóþò äâå âåðøèíû w1 , w2 ∈ W , ðàçäåëåííûå ìíîæåñòâîì Ri , ïóñòü w1 ∈ Int(A1 ) è w2 ∈ Int(A2 ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ A∗j = Aj \ W, G∗j = G(A∗j ), Uj = A∗j \ Ri , G∗ = G − W. Ïî óñëîâèþ, ãðàô G − (W \ {w1 }) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïðè ýòîì èç ÷àñòåé A2 , . . . , A` ìû óäàëèëè âñå âõîäÿùèå â íèõ âåðøèíû ìíîæåñòâà W . äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Uj â ãðàôå G∗j ñóùåñòâóåò k âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äëÿ êàæäîãî j ∈ {2, . . . , `} è ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 147 ðàçëè÷íûõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri. Ðàññìîòðåâ ãðàô G − (W \ {w2}), ìû ïîéìåì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî âåðíî è äëÿ j = 1. Ïóñòü T ⊂ V (G∗ ), |T | = k − 1. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ R∗ = Ri \ T, t0 = |T ∩ Ri |, tj = |T ∩ Uj |. Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç R∗ ñâÿçàíû è ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. Õîòÿ áû äâà èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòû. Ïóñòü x ∈ Up \T è y ∈ Uq \T , p 6= q . Ìû çíàåì, ÷òî â ãðàôå G∗ îò âåðøèíû x åñòü k íå èìåþùèõ îáùèõ âåðøèí ïóòåé äî âñåõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri . Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü õîòÿ áû k −tp −t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Àíàëîãè÷íî, â ãðàôå G∗ − T åñòü k − tq − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Òàê êàê tp + tq = |T ∩ Up | + |T ∩ Up | ≤ |T \ (T ∩ Ri )| = k − 1 − t0 < k − t0 = |R∗ |, â ãðàôå G∗ − T ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ . Òàêèì îáðàçîì, ëþáûå äâå íå ïðèíàäëåæàùèå Ri ∪ T âåðøèíû èç ðàçíûõ ÷àñòåé â ãðàôå G∗ −T ñâÿçàíû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − T . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì tp ≤ tq . Òîãäà âåðøèíà x ñâÿçàíà â ãðàôå G∗ − T áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . 2. Ðîâíî îäíî èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòî. Ïóñòü U1 \ T 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâå âåðøèíû x, y ∈ U1 \ T . Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 1 ïîëó÷àåì, ÷òî â ãðàôå G∗ − T åñòü õîòÿ áû k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ è õîòÿ áû k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Åñëè 2(k − t1 − t0 ) > |R∗ | = k − t0 , (5.2) ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 148 òî ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ , òî åñòü, x è y ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − T . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (5.2) íå âûïîëíåíî. Òîãäà t1 ≥ k−t0 2 è t2 ≤ |T \ (T ∩ Ri )| − t1 ≤ k − 1 − t0 − k − t0 k − t0 ≤ − 1. 2 2 (5.3) Èç U2 \ T = ∅ ñëåäóåò, ÷òî T ⊃ A2 \ (Ri ∪ W ) = Int(A2 ) \ W. Ôðàãìåíò Int(A2 ) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ôðàãìåíò H . Ïî ëåììå 5.6, òîãäà H = Int(B), ãäå B ∈ Part(Rk (G)). Ìíîæåñòâî W ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç H , íî òîãäà T ñîäåðæèò âñå îñòàëüíûå âåðøèíû èç H . Cëåäîâàòåëüíî, t2 ≥ |H| − 1 ≥ k−1 , 2 ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (5.3). Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (5.2) âûïîëíåíî, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû è ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà x, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ . Èòàê, â ëþáîì ñëó÷àå â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç ìíîæñòâà Ri ñâÿçàíû, ïóñòü îíè ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Èç âûïîëíåííîãî âûøå ðàçáîðà ñëó÷àåâ, êðîìå òîãî, ñëåäóåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (G∗ − T ) \ Ri , ñìåæíàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí ìíîæåñòâà R∗ = Ri \T . Çíà÷èò, â ãðàôå G∗ −T áîëåå ïîëîâèíû âåðøèí ìíîæåñòâà R∗ òàêæå ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G∗ − T , íå ïîïàâøèõ â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Ìû äîêàçàëè, ÷òî P ⊂ Ri è |R∗ \ P | > Ïîýòîìó k − t0 k |P | ≤ |Ri | − |Ri ∩ T | − |R \ P | < k − t − ≤ . 2 2 ∗ Ñëåäîâàòåëüíî, |P | ≤ k−1 2 . 0 k−t0 2 . ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 149 Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî P ⊂ R, òàê êàê P ⊂ Ri äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , `}. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.2. 1. Îïèøåì ïðîöåññ âûáîðà âåðøèíû â õîðîøåé ÷àñòè A ∈ Part(Rk (G)), ó êîòîðîé Bound2 (A) 6= ∅ (â ñëó÷àå, êîãäà Bound2 (A) = ∅, ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ÷àñòè A). Ïóñòü Bound2 (A) = {d1 , . . . , dq }. Ðàññìîòðèì âåðøèíó d1 è îòìåòèì â Int(A) îäíó èç ñìåæíûõ ñ íåé âåðøèí (åñëè òàêèå åñòü). Ïîòîì ðàññìîòðèì âåðøèíó d2 , è îòìåòèì â Int(A) îäíó èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí, cìåæíûõ ñ d2 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà åñòü). È òàê äàëåå, íà i øàãå ìû îòìåòèì â Int(A) îäíó èç åùå íå îòìå÷åííûõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ di (åñëè òàêèå âåðøèíû åñòü). Òàêèì îáðàçîì, îêàæóòñÿ îòìå÷åííûìè íå áîëåå, ÷åì |Bound2 (A)| âåðøèí èç Int(A), ñëåäîâàòåëüíî, îñòàíåòñÿ íåîòìå÷åííîé õîòÿ áû îäíà âåðøèíà. Ìû âûáåðåì ëþáóþ èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí â Int(A). âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà Bound2(A), íå èìåþùèå ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) ïîñëå óäàëåíèÿ èç Int(A) âûáðàííîé âåðøèíû, íå èìåëè ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) è äî óäàëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, 2. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ïðè óäàëåíèè íåêîòîðîãî ìíîæå- ñòâà èç âûáðàííûõ âåðøèí k -ñâÿçíîñòü íàðóøèòñÿ. Ïóñòü ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî èç âûáðàííûõ âåðøèí, ïðè óäàëåíèè êîòîðîãî òåðÿåòñÿ k -ñâÿçíîñòü ýòî W ∗ = {a1 , . . . , an }, ïðè÷åì ai ∈ Int(Ai ), Ai ∈ Part(Rk (G)). Òîãäà âåðøèíà ai íå âõîäèò â ìíîæåñòâà èç Rk (G), ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ k-ñâÿçíûì. Â ÷àñòíîñòè, n ≥ 2. ãðàô G − ai Ïóñòü S1 , S2 , . . . , Sm ∈ Rk (G) âñå ìíîæåñòâà, êîòîðûå ðàçäåëÿþò W ∗ . ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 150 Èç n ≥ 2 ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ìíîæåñòâà åñòü. Ïóñòü ∗ ∗ G =G−W , S = {S1 , . . . Sm }, P = m \ Si . i=1 Ðàññìîòðèì ÷àñòü Ai , ãäå i ∈ {1, . . . , n}. Òàê êàê Int(Ai ) 6= ∅ è S ⊂ Rk (G), ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü Bi ∈ Part(S), òàêàÿ, ÷òî Ai ⊂ Bi . Îòìåòèì, ÷òî ïðè i 6= j ÷àñòè Bi è Bj ðàçëè÷íû: ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå Ai îò Aj , îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû ai , aj ∈ W , à ïîòîìó S ∈ S. Ñëåäîâàòåëüíî, S îòäåëÿåò Bi îò Bj , òî åñòü, ýòè ÷àñòè ðàçëè÷íû. Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 5.8. Ïóñòü P 0 ⊂ P , p = |P 0 | è Int(Ai ) ñîäåðæèò âåðøèíó, ñìåæ- íóþ ñ P 0 â ãðàôå G. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Ïóñòü P 0 ⊂ Bound2 (Ai ), à ti êîëè÷åñòâî âåðøèí èç Int(Ai ) \ {ai }, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Òîãäà ti ≥ 1, à âåðøèíà ai ñìåæíà â G íå áîëåå ÷åì ñ ti âåðøèíàìè ìíîæåñòâà P 0 . 2) Ïóñòü P 0 6⊂ Bound2 (Ai ). Òîãäà Int(Bi ) \ {ai } ñîäåðæèò õîòÿ áû p âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Âñïîìíèì, êàê âûáèðàëàñü âåðøèíà ai â Int(Ai ) ïðè ïîñòðîåíèè ìíîæåñòâà W : òàê êàê â Int(Ai ) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ P 0 â ãðàôå G, â Int(Ai ) \ {ai } = Int(Ai ) \ W òàêàÿ âåðøèíà òîæå åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ti ≥ 1. Â ïðîöåññå âûáîðà âåðøèíû ai ìû â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ðàññìîòðåëè âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà P 0 è íà êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ ìû îòìå÷àëè îäíó èç åùå íå îòìå÷åííûõ ê ýòîìó ìîìåíòó âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ðàññìàòðèâàåìîé âåðøèíîé èç P 0 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà áûëà). Îòìå÷åííûå âåðøèíû ëåæàò â V (G∗ ) è ïîòîìó íå áîëåå ÷åì ti èç íèõ ñìåæíû ñ P 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû îòìå÷àëè âåðøèíû íå áîëåå ÷åì íà ti øàãàõ, ñäåëàííûõ ñ âåðøèíàìè èç P 0 . Åñëè â P 0 åñòü áîëåå ÷åì ti âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ai , òî ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîé èç ýòèõ âåðøèí ìû íå îòìåòèëè íè îäíîé âåðøèíû â Int(Ai ). Íî ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 151 ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò â Int(Ai ) áûëà íåîòìå÷åííàÿ âåðøèíà, ñìåæíàÿ c ðàññìàòðèâàåìîé (âåðøèíà ai ). 2) Òàê êàê âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàò P 0 è P 0 6⊂ Bound2 (Ai ), ðîâíî îäíî ìíîæåñòâî èç S ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè Ai îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç R. Ïóñòü Ai ⊂ H ∈ Part(R). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî S ∈ S, S 6= R. Òàê êàê S íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè Ai , ïî ëåììå 5.3 åñòü ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî R0 , îòäåëÿþùåå S îò Int(Ai ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R0 6= R. Ïóñòü Ai ⊂ H 0 ∈ Part(R0 ). Òîãäà R0 íå ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî âåðøèí W è W ∩ Int(Ai ) 6= ∅, ñëåäîâàòåëüíî, H 0 ⊃ W . Íî S ∩ Int(H 0 ) = ∅ è ïî ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S íå ìîæåò ðàçäåëÿòü H 0 , à ñëåäîâàòåëüíî, è W . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, èìåííî ìíîæåñòâî R ∈ S îòäåëÿåò Int(Aj ) îò âñåõ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S. Ñëåäîâàòåëüíî, H ∈ Part(S). Ïîñêîëüêó H ⊃ Int(Ai ) è Bi ⊃ Int(Ai ), òî Bi = H . Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü Bi ïðàâèëüíàÿ. Çíà÷èò, Int(Bi ) ôðàãìåíò ãðàôà G, êîòîðûé äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû k+1 2 âåðøèí ïî óñëîâèþ òåîðåìû. Ïóñòü F = Int(Bi ) \ {ai }, à Q ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç F , ñìåæíûõ ñ P 0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Q| ≤ p − 1. Î÷åâèäíî, |F \ Q| ≥ k+1 − 1 − (p − 1) ≥ 1. 2 Ãðàô G − ai , êàê óæå ñêàçàíî âûøå, k -ñâÿçåí. Îäíàêî, ñîñòîÿùåå ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî (R \ P 0 ) ∪ Q îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî F \ Q îò îñòàëüíûõ âåðøèí k -ñâÿçíîãî ãðàôà G − ai , ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, |Q| ≥ p, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 3. Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 5.2. Ïóñòü â ãðàôå G∗ ñóùåñòâó- åò ñîñòîÿùåå íå áîëåå ÷åì èç k − 1 âåðøèí ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî T . Ïî ëåììå 5.7, â ãðàôå G∗ − T â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè U ïîïàäóò âñå íåóäàëåííûå âåðøèíû, íå âõîäÿùèå â P , è áîëåå ïîëîâèíû íåóäàëåííûõ ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ 152 âåðøèí ìíîæåñòâà P . Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè P 0 ⊂ P , ïðè÷åì |P 0 | ≤ k−1 2 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííîñòè ÷àñòåé A1 , . . . , A` ñîäåðæàò âåðøèíû, ñìåæíûå ñ P 0 â èñõîäíîì ãðàôå G, à âíóòðåííîñòè ÷àñòåé A`+1 , . . . , An íå ñîäåðæàò. Ïî ëåììå 5.8, âíóòðåííîñòü êàæäîé èç ÷àñòåé B1 , . . . , B` ∈ Part(S) ñîäåðæèò ïî âåðøèíå, ñìåæíîé ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Âñå ýòè ` âåðøèí ðàçëè÷íû è äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ â T . Èç |T | ≤ k − 1 ñëåäóåò, ÷òî ` ≤ k − 1. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âêëþ÷åíèå P 0 ⊂ Bound2 (Ai ) âûïîëíÿåòñÿ â òî÷íîñòè äëÿ i ∈ {1, . . . , s}. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.8. Ïðè i ∈ {1, . . . , s} â Int(Ai ) \ {ai } åñòü ðîâíî ti âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Ïî ïóíêòó 2 ëåììû 5.8, ïðè i ∈ {s + 1, . . . , `} â Int(Bi ) \ {ai } åñòü õîòÿ áû p âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì íåðàâåíñòâî s X ti + p(` − s) ≤ k − 1. (5.4) k=1 Ïî ïóíêòó 1 ëåììû 5.8, äëÿ i ∈ {1, . . . , s} âåðøèíà ai ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ ti âåðøèíàìè èç P 0 . Äëÿ i ∈ {s + 1, . . . , `} âåðøèíà ai ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ |P 0 | = p âåðøèíàìè èç P 0 . Ïóñòü W 0 = {a1 , . . . , a` }. Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî (5.4), ïîëó÷àåì 0 0 eG (P , W ) ≤ s X ti + p(` − s) ≤ k − 1. (5.5) k=1 Òåïåðü îöåíèì ñóììó ñòåïåíåé âåðøèí ìíîæåñòâà P 0 . Íàïîìíèì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ íå ìåíåå 2k−1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåðøèíà ìíîæåñòâà P 0 ìîæåò áûòü ñìåæíà â ãðàôå G òîëüêî ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâ T , W 0 è äðóãèìè âåðøèíàìè èç P 0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |P 0 | = p è |T | ≤ k − 1, ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà (5.5) ïîëó÷àåì p(2k − 1) ≤ p(p − 1) + p(k − 1) + eG (P 0 , W 0 ) ≤ p(p − 1) + (p + 1)(k − 1). ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ k -ÑÂßÇÍÎÃÎ 153 ÃÐÀÔÀ Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî (5.6) p2 − (k + 1)p + k − 1 ≥ 0. Ìåíüøèé êîðåíü ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ìåíüøå 1, à áîëüøèé êîðåíü áîëüøå k . Ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå 1 ≤ p ≤ k−1 2 , íåðà- âåíñòâî (5.6) íå âûïîëíåíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G∗ ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ãëàâà 6 Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ Ãëàâà ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó íèæíèõ îöåíîê íà u(G) (òî åñòü, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà G). Äîêàçàòåëüñòâî êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Äëÿ êàæäîé îöåíêè áóäåò ïîñòðîåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ãðàôîâ ýêñòðåìàëüíûõ ïðèìåðîâ (ó êîòîðûõ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ðàâíÿåòñÿ âåëè÷èíå èç íèæíåé îöåíêè). 6.1 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4 Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå, ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 2 1 8 u(G) = t + s + α, ãäå α ≥ . 5 5 5 Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåð154 155 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß øèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 6.1. b b b b b b b b b b b b b r b b b C 62 b 2 C8 b b b b b G8 Ðèñ. 6.1: Ãðàôû-èñêëþ÷åíèÿ. Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.1. Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ. Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü H ïðîèçâîëüíûé ãðàô. ×åðåç S(H) îáîçíà- ÷èì ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè 3 â ãðàôå H , à ÷åðåç T (H) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå H . Ïóñòü x ∈ V (H). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà cH (x) âåðøèíû x â ãðàôå H ýòî cH (x) =     2 5 ïðè x ∈ T (H), ïðè x ∈ S(H),    1 5 0 ïðè x ∈ / T (H) ∪ S(H). Ñòîèìîñòüþ ãðàôà H íàçîâ¼ì âåëè÷èíó X 1 2 c(H) = cH (x) = |T (H)| + |S(H)|. 5 5 x∈V (H) Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåðøèí U ⊂ V (H) ìû îïðåäåëèì ñòîèìîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå H êàê cH (U ) = X cH (x). x∈U Äëÿ ëþáîãî äåðåâà F ïîäãðàôà ãðàôà H ìû îïðåäåëèì åãî ñòîè- ìîñòü â ãðàôå H êàê cH (F ) = cH (V (F )). 156 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ ëþáîãî îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà H ââåäåì îáîçíà÷åíèå α(F ) = u(F ) − c(H). Ïóñòü α(H) ýòî ìàêñèìóì α(F ) ïî âñåì îñòîâíûì äåðåâüÿì F ãðàôà H . Çàìå÷àíèå 6.1. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî u(G) = c(G) + α(G). Òàêèì îáðàçîì, ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ G, êðîìå òð¼õ èñêëþ÷åíèé. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ òåîðåìà óæå äîêàçàíà. 6.1.1 Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà Ñíà÷àëà ìû èçìåíèì ãðàô òàê, ÷òîáû ñ íèì áûëî óäîáíåå ðàáîòàòü. Îïèøåì äâà ðåäóêöèîííûõ ïðàâèëà. Ïóñòü x ∈ V (G), dG (x) = 2, NG (x) = {a, b}, ïðè÷¼ì a è b íåñìåæ- R1. íû. Ìû çàìåíèì ãðàô G íà ãðàô G0 = G − x + ab. Î÷åâèäíî, c(G0 ) = c(G). x R1 b a b b b b b b a b b b b a1 b b R2 b b a2 b b a b Ðèñ. 6.2: Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà. R2. Ïóñòü a1 , a2 ∈ S ñìåæíûå âåðøèíû, NG (a1 ) ∩ NG (a2 ) = ∅. Ìû çàìåíèì ãðàô G íà G0 = G · a1 a2 . Ïóñòü a = a1 · a2 . Ïîíÿòíî, ÷òî dG0 (a) = 4, à òîãäà c(G0 ) = c(G). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ îñòîâíîå äåðåâî F 0 ãðàôà G0 ìû áåç òðóäà ñìîæåì ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî F ãðàôà G c íåìåíüøèì ÷èñëîì âèñÿ÷èõ âåðøèí è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ α(F ) ≥ α(F 0 ). Òàêèì îáðàçîì, α(G) ≥ α(G0 ). ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.2. 157 Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäó- þùèì óñëîâèÿì: ëþáàÿ âåðøèíà ñòåïåíè 2 âõîäèò â òðåóãîëüíèê ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ñâîåé îêðåñòíîñòè; 2◦ íåò äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè 3, îêðåñòíîñòè êîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòñÿ. 1◦ 6.1.2 Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî, èñïîëüçóÿ ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí, êàê è â ðàáîòàõ [19, 9]. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïóñòü äåðåâî F ïîäãðàô ñâÿçíîãî ãðàôà G. Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x äåðåâà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè NG (x) ⊂ V (F ) è æèâîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí äåðåâà F ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç b(F ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå α0 (F ) = 2 13 u(F ) + b(F ) − cG (F ). 15 15 Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G îñòîâíîå äåðåâî ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî øàãàì äîáàâëÿÿ ê íåìó âåðøèíû. Ïóñòü S = S(G), à T = T (G). Ïîäðîáíåå îñòàíîâèìñÿ íà øàãå àëãîðèòìà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A). Ïóñòü ïåðåä øàãîì A ìû èìååì äåðåâî F (åñòåñòâåííî, F ïîäãðàô ãðàôà G). ×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â äåðåâå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â äåðåâî F âåðøèí èç T è èç S ñîîòâåòñòâåííî. Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó p(A) = 2 2 1 13 ∆u + ∆b − ∆t − ∆s. 15 15 5 5 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 158 Åñëè F1 äåðåâî, ïîëó÷åííîå ïîñëå øàãà A, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî α0 (F1 ) = α0 (F ) + p(A). Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ äîõîä íåîòðèöàòåëåí. Çàìå÷àíèå 6.3. 1) Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû áóäóò ì¼ðòâûìè. 2) Òàê êàê ó îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà G âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ì¼ðòâûå, â ýòîì ñëó÷àå α0 (F ) = α(F ). Ñíà÷àëà ìû îïèøåì âñå âîçìîæíûå øàãè, à ïîòîì ðàñcìîòðèì íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ è îöåíèì α(T ) äëÿ ïîñòðîåííîãî îñòîâíîãî äåðåâà T . Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí, íå âîøåäøèõ â äåðåâî F , ÷åðåç W . Âåðøèíû ìíîæåñòâà W , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Íå âîøåäøèå â óðîâåíü 1 âåðøèíû èç W , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ 1, íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 2. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x èç W ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x. 6.1.3 Øàã àëãîðèòìà Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé øàã àëãîðèòìà, ïåðåõîäÿ ê ñëåäóþùåìó âàðèàíòó, òîëüêî êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïðåäûäóùèõ. Äîïîëíèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå áóäåì. çàêîí÷åííîãî øàãà (òî åñòü øàãà, èìåþùåãî íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä) ìû áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà: ∆u, ∆b è äîõîä ñäåëàííîãî øàãà. Âñå ýòè ïàðàìåòðû ïîíàäîáÿòñÿ íàì â ïîñëåäíåì ðàçäåëå ðàáîòû. Êîëè÷åñòâî âåðøèí, äîáàâëåííûõ â äåðåâî íà øàãå, íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ýòîãî øàãà! Ïîñëå êàæäîãî 159 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Íà÷íåì ñ øàãà, êîòîðûé òàêîâûì ôàêòè÷åñêè íå ÿâëÿåòñÿ, íî ïîìîæåò íàì â îïèñàíèè äðóãèõ øàãîâ. Z0. Âèñÿ÷àÿ âåðøèíà v äåðåâà F , ïîñ÷èòàííàÿ ðàíåå êàê æèâàÿ, îêà- çàëàñü ì¼ðòâîé. Â ýòîì ñëó÷àå ìû íå áóäåì ìåíÿòü äåðåâî. Ó÷èòûâàÿ èíôîðìàöèþ î âåðøèíå v ìû ïîëó÷àåì ∆u = 0, ∆b = 1, p(Z0) = 2 . 15 Ïðè îïèñàíèè øàãîâ ìû áóäåì ñ÷èòàòü æèâûìè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íå ñêàçàíî, ÷òî îíè ì¼ðòâûå. Äîáàâëåíèå ëèøíåé ì¼ðòâîé âåðøèíû áóäåò îôîðìëåíî, êàê øàã Z0. Çàìå÷àíèå 6.4. Øàãè òèïà A Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü x ∈ V (G), W ⊂ V (G). ×åðåç dG,W (x) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî âåðøèí èç ìíîæåñòâà W , ñìåæíûõ ñ x. Â ïåðâûõ ÷åòûð¼õ âàðèàíòàõ â äåðåâî äîáàâëÿþòñÿ íîâûå âèñÿ÷èå âåðøèíû. A1. Â äåðåâå F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ W . Òîãäà ïðèñîåäèíèì y ê x. Òàê êàê cG (x) ≤ 52 , ìû ïîëó÷àåì ∆u = 1, A2. ∆b = 0, p(A1) ≥ 13 2 7 − = . 15 5 15 Â äåðåâå F åñòü òàêàÿ âåðøèíà x, ÷òî dG,W (x) ≥ 2. Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê x äâå ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû èç W . Òàê êàê ñòîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 2 · 52 , ìû ïîëó÷àåì ∆u = 1, ∆b = 0, p(A2) ≥ 13 2 1 −2· = . 15 5 15 160 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß A3. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) ≥ 3. Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíó x è çàòåì òðè ñìåæíûõ ñ x âåðøèíû ìíîæåñòâà W . Ñòîèìîñòü ÷åòûðåõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 4 · 2 5 è ìû èìååì ∆u = 2, x p(A3) ≥ 2 · ∆b = 0, b F b F b b b x b b 13 2 2 −4· = . 15 5 15 b b A2 b x y b b A4 A3 b b b Ðèñ. 6.3: Øàãè òèïà A. íåâèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F íå ñìåæíû ñ âåðøèíàìè èç W , êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç W è, íàêîíåö, êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Â ÷àñòíîñòè, åñëè x ∈ T âåðøèíà óðîâíÿ 1, òî |P (x)| ≥ 2 è ïðè ïðèñîåäèíåíèè âåðøèíû x ê äåðåâó õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) ñòàíåò ì¼ðòâîé. Çàìå÷àíèå 6.5. A4. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç W , ïðè÷¼ì ýòà âåðøèíà y ∈ T óðîâíÿ 2. Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíû x, y è òðè îòëè÷íûå îò x âåðøèíû èç W , ñìåæíûe ñ y (âåðøèíà y íå ñìåæíà ñ äåðåâîì F ). Ñòîèìîñòü ïÿòè äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå ∆u = 2, ∆b = 1, 1 5 +4· 2 5 = 9 5 p(A4) ≥ 2 · è ìû èìååì 13 2 9 1 + − = . 15 15 5 15 161 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàãè òèïîâ M è N Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé. M. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2. Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x. Öåíà ýòîé âåðøèíû ñîñòàâëÿåò 52 . Âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F (ñì. ðèñ. 6.4), îäíà èç íèõ òî÷íî ñòàíåò ìåðòâîé. Ïðèñîåäèíèì äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû y1 , y2 ∈ W , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã A2. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, ìû ïîëó÷èì ∆u = 1, N. ∆b = 1, p(M ) ≥ 2 3 2 − + p(A2) ≥ − . 15 5 15 Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2. Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x è äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû y1 , y2 ∈ W è ïîëó÷èì àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ ∆u = 1, ∆b = 0, 2 1 p(N ) = − + p(A2) ≥ − . 5 15 Øàãè M è N ìû íå ñ÷èòàåì çàêîí÷åííûìè. Ìû äîáàâèëè â äåðåâî âåðøèíû x, y1 , y2 , îäíàêî, ïóñòü F ïîêà ÷òî îáîçíà÷àåò äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïîñëå ïðåäûäóùåãî çàêîí÷åííîãî øàãà. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ øàãîâ M è N ìû ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà èç V (F ) ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç W ; êàæäàÿ âåðøèíà ïåðâîãî óðîâíÿ ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå 3 15 . íå âêëþ÷àþò â ñåáÿ âûïîëíåííûå ðàíåå øàãè M èëè N . Ïðè ïîäñ÷åòå ïàðàìåòðîâ øàãîâ âåðøèíû, äîáàâëåííûå íà ïðåäøåñòâóþùåì øàãå M èëè N , íå ó÷èòûâàþòñÿ. Øàãè, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì äàëåå â ýòîì ðàçäåëå, Ïðèñòóïèì ê ðàçáîðó ñëó÷àåâ. 162 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß y1 , y2 6∈ T . 1. Ýòè âåðøèíû ñòîÿò äåøåâëå, ÷åì áûëî ïîñ÷èòàíî, ÷òî äîáàâëÿåò äîõîä õîòÿ áû 25 . Ïîëó÷àåì 6 . 15 p(1) ≥ ∆u = ∆b = 0, Ïóñòü W1 = W \ {x, y1, y2}. Åñëè ðîâíî îäíà èç âåðøèí y1 è y2 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî ìû äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî y1 ∈ T . Åñëè æå y1, y2 ∈ T , òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî dG,W (y1) ≥ dG,W (y2). 1 b x b y 1 F b b M b b b y 2 y 1 F 1 x y b b N b y b 2 x b b b y y 1 b b 2 y b 3.1 b b x b F b b b b 2 b F b 1 2 y 1 b b x 3.2 y b 2 Ðèñ. 6.4: Øàãè M , N , 2, 3.1 è 3.2. 2. dG,W1 (y1 ) ≥ 3. Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó òðè ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W1 , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàãè A2 è A1. Ïîëó÷àåì ∆u = 2, 3. ∆b = 0, p(2) = p(A1) + p(A2) ≥ 8 . 15 dG,W1 (y1 ) ≤ 1. Âåðøèíà y1 ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ òðåìÿ íå âõîäÿùèìè â äåðåâî F âåðøèíàìè: ýòî x è, âîçìîæíî, y2 è îäíà âåðøèíà èç W1 . Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4, òî y1 âåðøèíà óðîâíÿ 1. Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 ìû èìååì |P (y1 )| ≥ 2, ÷òî äîáàâèò íàì õîòÿ áû äâå ì¼ðòâûõ âåðøèíû. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 3.1. Åñëè y2 ∈ T , òî ïî âûáîðó âåðøèíû y1 ìû èìååì dG,W1 (y2 ) ≤ 1. Àíàëîãè÷íî ñêàçàííîìó âûøå äëÿ âåðøèíû y1 , ìû ïîëó÷àåì åùå äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû. Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 0, ∆b = 4, p(3.1) = 4 · 2 8 = . 15 15 163 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 3.2. Åñëè y2 6∈ T , òî ýòî äîáàâèò íàì õîòÿ áû (âåðøèía y2 ñòîèò 1 5 äåøåâëå, ÷åì ïîñ÷èòàíî ðàíåå). Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 0, 2 7 1 +2· = . 5 15 15 p(3.2) ≥ ∆b = 2, dG,W1 (y1 ) = 2. 4. Ïóñòü z1 è z2 äâå ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû èç ìíîæåñòâà W1 . Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíû z1 è z2 (÷åðåç y1 ), âûïîëíèâ øàã A2 è ïîëó÷èì p(4) = p(A2) ≥ 1 . 15 Ïîñêîëüêó ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü ñëó÷àè. b x y 1 z1 b b y b b b b F b x b 1 z2 z1 4 F y y 2 b b b b b 4.1.1 z2 b b 1 z1 y y y 2 b x b b 2 b z1 z2 b 4.1.2 1 x b b b 4.3 y b 2 z2 Ðèñ. 6.5: Øàãè 4, 4.1.1, 4.1.2 è 4.3. 4.1. Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F . Ïóñòü, íàïðèìåð, âåðøèíà z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F , òî åñòü, âõîäèò â óðîâåíü 1. Äëÿ îñòàëüíûõ âåðøèí ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. 4.1.1. Åñëè z1 ∈ T , òî ïî çàìå÷àíèþ 6.5, âåðøèíà z1 äîëæíà áûòü ñìåæ- íà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû è îáåñïå÷èò ∆u = 1, 4.1.2. ∆b = 2, p(4.1.1) ≥ p(4) + 2 · 5 2 ≥ . 15 15 Åñëè z1 6∈ T , òî âåðøèíà z1 ñòîèò äåøåâëå ìèíèìóì íà 15 , íî äîáàâëÿåò ëèøü îäíó ì¼ðòâóþ âåðøèíó. Ïîýòîìó ∆u = 1, ∆b = 1, p(4.1.2) ≥ p(4) + 1 2 6 + ≥ . 5 15 15 164 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T . 4.2. Ýòî óâåëè÷èò äîõîä õîòÿ áû íà 15 , â ðåçóëüòàòå ∆u = 1, p(4.2) ≥ p(4) + ∆b = 0, 4 1 ≥ . 5 15 NG (y2 ) = {x, y1 , z1 , z2 }. 4.3. Òîãäà âåðøèíà y2 îêàçûâàåòñÿ ì¼ðòâîé, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ∆u = 1, p(4.3) ≥ p(4) + ∆b = 1, 2 3 = . 15 15 Â îñòàâøèõñÿ äî êîíöà ðàçáîðà øàãîâ M è N ñëó÷àÿõ âåðøèíû y1, y2, z1, z2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y1, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W1, à çíà÷èò, âåðøèíû y1 è y2 ñìåæíû, dG(y1) = dG(y2) = 4. Âåðøèíà y2 íå ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí z1, z2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà ñ z1. Òîãäà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W2 = W \ {x, y1, y2, z1, z2}. Çàìå÷àíèå 6.6. Èòàê, ïîäâåä¼ì èòîãè. dG,W2 (z1 ) ≥ 3. 4.4. Äîáàâèì òðè ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W2 â äåðåâî, ñäåëàâ øàã A2 è øàã A1. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ∆u = 3, b x y 1 b z1 b b 4.4 b y b b b b p(4.4) ≥ p(4) + p(A2) + p(A1) ≥ ∆b = 0, x y 2 1 z1 z2 p 1 b b b b b b p b b y F b b Ðèñ. 6.6: Øàãè 4.4, 4.5, 4.5.1. y 1 z2 4.5 x y 2 2 9 . 15 b p 1 b b z1 b b b 4.5.1 p 2 z2 2 165 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 4.5. dG,W2 (z1 ) = 2. Îáîçíà÷èì äâå ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû èç W2 ÷åðåç p1 è p2 è äîáàâèì â äåðåâî (ñì. ðèñóíîê 6.6), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ åùå îäèí øàã A2. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì p(4.5) ≥ p(4) + p(A2) ≥ 2 . 15 Ýòîãî íå õâàòàåò, ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ. 4.5.1. Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà, ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæå- ñòâó T è ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F . Ïóñòü ýòî âåðøèíà p1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû è îáåñïå÷èò ∆u = 2, Çàìå÷àíèå 6.7. âîì F . 4.5.2. ∆b = 2, p(4.5.1) ≥ p(4.5) + 2 · 6 2 ≥ . 15 15 Äàëåå âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 íå ñìåæíû ñ äåðå- Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T . Ýòî óâåëè÷èò äîõîä íà 15 , ïîëó÷èòñÿ ∆u = 2, 4.5.3. ∆b = 0, p(4.5.2) ≥ p(4.5) + 3 5 ≥ . 15 15 Ñðåäè âåðøèí y2 , z2 , p1 , p2 åñòü âåðøèíà, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøè- íàìè èç W3 = W \ {x, y1 , y2 , z1 , z2 , p1 , p2 }. Òîãäà â ïîñòðîåííîì äåðåâå ýòà âåðøèíà ì¼ðòâàÿ, ÷òî óâåëè÷èâàåò äîõîä îò øàãà íà 2 15 . Ïîýòîìó ∆u = 2, ∆b = 1, p(4.5.3) ≥ p(4.5) + 2 4 ≥ . 15 15 Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y2, z2, p1, p2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3. Çàìå÷àíèå 6.8. 166 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 4.5.4. dG,W3 (p1 ) ≥ 2 èëè dG,W3 (p2 ) ≥ 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî dG,W3 (p1 ) ≥ 2. Äîáàâèì äâå ñìåæíûå c p1 âåðøèíû q1 , q2 ∈ W3 â äåðåâî, âûïîëíèâ øàã A2. Ïîëó÷èòñÿ ∆u = 3, 4.5.5. 3 1 ≥ . 15 15 p(4.5.4) ≥ p(4.5) + ∆b = 0, dG,W3 (p1 ) = dG,W3 (p2 ) = 1. Òîãäà âåðøèíà p1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p2 , y2 , z2 , à âåðøèíà p2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p1 , y2 , z2 . Íàïîìíèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 6.6 âåðøèíû y1 è y2 cìåæíû è dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4. Ïîñêîëüêó y2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3 , òî y2 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà è ñ p1 , è ñ p2 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà ñ p1 . Òîãäà dG (p1 ) = 4, âåðøèíà p1 ñìåæíà ñ p2 è z2 (ñì. ðèñ. 6.7a). Çàìåòèì, ÷òî âåðøèíà z2 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ p2 . (Èíà÷å z2 áûëà áû ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè èç W \{x, y1 , y2 , z1 , z2 }: ýòî p1 , p2 è âåðøèíà èç W3 . Òîãäà ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü øàã, àíàëîãè÷íûé øàãó 4.4, äîáàâèâ ýòè òðè âåðøèíû ê z2 .) Çíà÷èò, âåðøèíà p2 ñìåæíà ñ y2 è dG (p2 ) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7b). Êðîìå òîãî, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W1 = W \{x, y1 , y2 } ïî çàìå÷àíèþ 6.6. Òàê êàê y2 ñìåæíà ñ p2 è âåðøèíîé èç W3 , îíà íå ñìåæíà íè ñ z1 , íè ñ z2 . Òîãäà z1 ñìåæíà ñ z2 è dG (z1 ) = dG (z2 ) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7c). b x y 1 z1 b y b b b 2 1 b z2 p 1 b b a x y p 2 z1 b y b y 2 b b 1 b z2 p b 1 b b x p 2 z1 y b b b 1 2 b z2 p b 1 b x b y p 2 z1 c y b b b 2 1 b z2 p 1 b b b x b y r d p 2 z1 y b b b 2 b z2 p b b 1 b r p 2 e Ðèñ. 6.7: Øàã 4.5.5. Îáîçíà÷èì ÷åðåç r åäèíñòâåííóþ ñìåæíóþ ñ y2 âåðøèíó èç ìíîæåñòâà W3 . Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå ñäåëàííûì âûøå äëÿ y1 ðàññóæ- 167 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåíèÿ øàãà 4 äëÿ âåðøèíû y2 . Îêàæåòñÿ, ÷òî ñìåæíûå ñ y2 âåðøèíû r è p2 ñìåæíû äðóã ñ äðóãîì è, êðîìå òîãî, dG (r) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7d). Ïðîäîëæàÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû p2 è ñìåæíûõ ñ íåé p1 è z1 ìû óáåäèìñÿ, ÷òî îäíà èç âåðøèí p1 è z1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ r. Ïîñêîëüêó z1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ r, òî âåðøèíû p1 è r ñìåæíû. Òåïåðü ïîíÿòíî (ñì. ðèñ. 6.7d), ÷òî z2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà W2 : ýòî p1 è íåêàÿ âåðøèíà r0 ∈ W3 . Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîâòîðèòü íàïèñàííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû z2 âìåñòî z1 è ïîëó÷èòü, ÷òî p1 ñìåæíà ñ r0 . Ñëåäîâàòåëüíî, r = r0 è z2 ñìåæíà ñ r. Ìû ïîëó÷èëè êîíôèãóðàöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 6.7e. Äîáàâèì â äåðåâî âåðøèíó r, ïðèñîåäèíèâ åå ê îäíîé èç ñìåæíûõ ñ íåé âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî íè îäíà èç äîáàâëåííûõ â äåðåâî âåðøèí â ýòîì ñëó÷àå íå èìååò ñìåæíûõ âåðøèí âíå äåðåâà. Ïðîèçâåä¼ì ïîäñ÷¼ò ïàðàìåòðîâ ýòîãî øàãà: ∆t = 5, ∆u = 2, Çàìå÷àíèå 6.9. ∆b = 4, p(4.5.5) ≥ 2 · 2 2 4 13 +4· −5· = . 15 15 5 15 1) Îêàçàëîñü, ÷òî â ïðîäîëæåíèè øàãîâ M è N âñåãäà ìîæíî âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå 3 15 , ÷òî â ñóììå äàåò íåîòðè- öàòåëüíûé äîõîä. Ïîñëå øàãîâ M è N ìû îáÿçàòåëüíî áóäåì âûïîëíÿòü îïèñàííûå âûøå øàãè è ïîëó÷àòü íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä. Îáîçíà÷åíèå M 4.2 áóäåò îçíà÷àòü øàã, ñîñòîÿùèé èç M è 4.2, àíàëîãè÷íî ñ îñòàëüíûìè øàãàìè. Íàçîâåì òàêèå øàãè M N -øàãàìè. Íóëåâîé äîõîä ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî â M N -øàãàõ M 4.3 è M 4.5.4. Â îñòàëüíûõ M N -øàãàõ äîõîä íå ìåíåå 151 . Âñå M N -øàãè, êðîìå M 4.5.5 è N 4.5.5, íå ìîãóò áûòü ïîñëåäíèìè, òàê êàê äîáàâëÿþò õîòÿ áû îäíó æèâóþ âåðøèíó. 2) Îñòàþòñÿ ëèøü âàðèàíòû, â êîòîðûõ êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé ìíîæåñòâà W (èíà÷å ìû âûïîëíèëè áû øàã A3 èëè îäèí èç M N -øàãîâ). 168 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàãè òèïà Z Â ñëåäóþùèõ âàðèàíòàõ êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí ïîñòðîåííîãî äåðåâà íå èçìåíÿåòñÿ, íî óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí. Z1. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà óðîâíÿ 1, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè èç W . Ïóñòü ýòî âåðøèíà w. Òîãäà NG (w) = P (w). Äîáàâèì âåðøèíó w â äåðåâî, â ðåçóëüòàòå âñå âåðøèíû èç NG (w), êðîìå îäíîé, ñòàíóò ì¼ðòâûìè, òàê æå êàê è âåðøèíà w. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∆b = dG (w). Z1.1. w ∈ T. Â ýòîì ñëó÷àå äîáàâèëîñü dG (w) ≥ 4 ìåðòâûõ âåðøèí. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ýòîì øàãå äîáàâèëîñü ðîâíî 4 ìåðòâûõ âåðøèíû, à åñëè èõ íà ñàìîì äåëå äîáàâèëîñü áîëüøå, îôîðìèì ýòî êàê dG (w) − 4 øàãîâ Z0. Òàêèì îáðàçîì äëÿ øàãà Z1.1 ìû èìååì ∆u = 0, Z1.2. ∆b = 4, p(Z1.1) = 4 · 2 2 2 − = . 15 5 15 p(Z1.2) = 3 · 2 1 3 − = . 15 5 15 w ∈ S. Â ýòîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû øàãà ∆u = 0, Z1.3. ∆b = 3, w 6∈ S ∪ T . Â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ p(Z1.3) = ∆b · 2 15 > 0. Ýòîò øàã ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, òàê êàê ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà â òî÷íîñòè ðàâíû ïàðàìåòðàì ∆b ïîñëåäîâàòåëüíûõ øàãîâ Z0. (Íàïîìíèì, ÷òî êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ âåðøèí íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì øàãà.) Z2. Ñóùåñòâóåò äâå ñìåæíûå âåðøèíû v è w ïåðâîãî óðîâíÿ. Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 òîãäà îñòàëüíûå ñìåæíûå ñ v è w âåðøèíû ýòî âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F . Î÷åâèäíî, dG (v) ≥ 2 è dG (w) ≥ 2. Åñëè, íàïðèìåð, dG (v) = 2 è NG (v) = {x, w}, òî x âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , ñìåæíàÿ ñ w (èíà÷å ìû ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1) è dG,W (x) ≥ 2, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàìå÷àíèþ 6.5. 169 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî v, w ∈ S ∪ T . Ñëó÷àé v, w ∈ S íåâîçìîæåí, â íåì ìû áû ïðèìåíèëè ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R2. Äîáàâèì âåðøèíû w è v â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ ê ñìåæíûì ñ íèìè âåðøèíàì, â ðåçóëüòàòå v è w ñòàíóò ì¼ðòâûìè è ∆b = dG (w) + dG (v) − 2. Êàê è â ñëó÷àå Z1.1, ìû áóäåì çàïèñûâàòü â ïàðàìåòðû øàãîâ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûå ∆b è ïðè íåîáõîäèìîñòè ïðèìåíÿòü øàãè Z0. Z2.1. Z2.2. Z3. Åñëè îäíà èç âåðøèí v è w ëåæèò â S , à äðóãàÿ â T , òî 2 1 2 1 ∆u = 0, ∆b = 5, p(Z2.1) = 5 · − − = . 15 5 5 15 Ïðè v, w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ 2 2 ∆u = 0, ∆b = 6, p(Z2.2) = 6 · − 2 · = 0. 15 5 Âåðøèíà w óðîâíÿ 1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W \ (S ∪ T ). Äîáàâèì âåðøèíû w è v â äåðåâî. Åñëè dG (v) = 2, òî ìû ëèáî ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1, ëèáî v ñìåæíà ñ P (w). Îáà ñëó÷àÿ íåâîçìîæíû, ïîýòîìó dG (v) = 1 è â ðåçóëüòàòå âåðøèíà v ñòàíåò ì¼ðòâîé. Çíà÷èò, ∆b = dG (w) − 1. Z3.1. Ïðè w ∈ S ïîëó÷àåòñÿ ∆u = 0, Z3.2. ∆b = 2, p(Z3.1) = 2 · 1 1 2 − = . 15 5 15 Ïðè w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ 2 2 − = 0. 15 5 Ïóñòü w âåðøèíà óðîâíÿ 1. Òîãäà w ∈ T , ïðè÷åì âåðøè∆u = 0, Ëåììà 6.1. ∆b = 3, p(Z3.2) = 3 · íà w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ S ∪ T óðîâíÿ 2 è íå ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 ìû èìååì dG,W (w) ≤ 1. Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z1, òî dG,W (w) = 1, òî åñòü, w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W . 170 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z2, òî v âåðøèíà óðîâíÿ 2. Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z3, òî v ∈ T ∪ S . Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1, òî w ∈ T ∪ S . Íàêîíåö, óñòàíîâèì, ÷òî w ∈ T . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà w ∈ S . Åñëè ïðè ýòîì v ∈ T , òî ìû âûïîëíèëè áû øàã A4. À â ñëó÷àå v ∈ S ìû âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2. Òàêèì îáðàçîì, w ∈ T . Òàê êàê dG,W (w) = 1, âåðøèíà w ñìåæíà íå ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . b b w b b F b b b Z2.1 v b b w b F b b b Z2.2 b b b v b b b w1 b b w2 Z4 b b F G2 b b b b wn Ðèñ. 6.8: Øàãè òèïà Z . Z4. Ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ â äåðåâî âåðøèíà. Ïóñòü w1 , . . . , wn âñå âåðøèíû óðîâíÿ 1. Ïî ëåììå 6.1 êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà õîòÿ áû ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . Âñåãî èìååì õîòÿ áû 3n ðàçëè÷íûõ æèâûõ âåðøèí, òî åñòü, u(F ) − b(F ) ≥ 3n è u(F ) = cG (F ) + α0 (F ) + 2 2n (u(F ) − b(F )) ≥ cG (F ) + α0 (F ) + . 15 5 (6.1) Ðàçðåæåì âñå ð¼áðà, âåäóùèå îò w1 , . . . , wn ê äåðåâó F , â ðåçóëüòàòå ãðàô G ðàñïàä¼òñÿ íà G1 = G(V (F )) è ãðàô G2 = G(W ). Ïîñêîëüêó cG (wi ) − cG2 (wi ) = 52 , òî 2 c(G2 ) = cG (W ) − n · . 5 (6.2) Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G2 ìîæåò áûòü íåñâÿçíûì, íî â êàæäîé åãî êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè åñòü õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû è ñðåäè íèõ åñòü âèñÿ÷àÿ (îäíà èç âåðøèí w1 , . . . , wn ), ïîýòîìó ê êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G2 ìîæíî ïðèìåíèòü óòâåðæäåíèå íàøåé òåîðåìû (îíà íå ÿâëÿåòñÿ 171 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß èñêëþ÷åíèåì è ñîäåðæèò ìåíüøå âåðøèí, ÷åì ãðàô G). Ïóñòü â ãðàôå G2 ðîâíî k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü â íåì îñòîâíûé ëåñ F 0 èç k äåðåâüåâ ñ u(F 0 ) ≥ c(G2 ) + 2k. (6.3) Ïðèñîåäèíèì ê F êàæäóþ èç k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F 0 ïðîèçâîëüíûì ðåáðîì, â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G. Îöåíèì u(T ) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (6.1), (6.2) è (6.3): 2n 0 0 + c(G2 ) = u(T ) = u(F ) + u(F ) − 2k ≥ cG (F ) + α (F ) + 5 cG (V (F )) + α0 (F ) + cG (W ) = c(G) + α0 (F ). Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì α(G) ≥ α(T ) ≥ α0 (F ). 6.1.4 Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ è îöåíêà α Ìû ïîñòàðàåìñÿ íà÷àòü ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 ñ êàê ìîæíî áîëüøèì α0 (F 0 ) è äîêàæåì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äëÿ ëþáîãî ãðàôà, êðîìå òð¼õ èñêëþ÷åíèé, ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî T ñ α(T ) ≥ 2. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, â êàæäîì èç íèõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ âñåõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ íå âûïîëíÿþòñÿ. Íà÷íåì ñî ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2 è, òåì ñàìûì, çàêîí÷èòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. B1. Â ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, a0 ∈ T , ó êîòîðûõ NG (a) ∩ NG (a0 ) = ∅. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è a0 ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå u(F 0 ) = u ≥ 6, 2 cG (F 0 ) ≤ (u + 2) è 5 α0 (F 0 ) ≥ 13 7u − 12 u − cG (F 0 ) ≥ ≥ 2. 15 15 172 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B2. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ∈ T , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå áîëåå 2. Ïóñòü v ∈ NG (a), dG (v) ≤ 2. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Åñëè dG (v) = 1, òî âåðøèíà v , î÷åâèäíî, ì¼ðòâàÿ. Åñëè æå dG (v) = 2, òî, òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1, âåðøèíû a è v âõîäÿò â òðåóãîëüíèê, òðåòüÿ âåðøèíà êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ëåæèò â NG (a). Çíà÷èò, è â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíà v ì¼ðòâàÿ. Òàêèì îáðàçîì, u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 4, 2 cG (F 0 ) ≤ u è 5 2 7u + 2 13 − cG (F 0 ) ≥ ≥ 2. α0 (F 0 ) ≥ u + 15 15 15 b(F 0 ) ≥ 1, Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ, â êîòîðûõ α0 (F 0 ) < 2. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îöåíêè α(G) ≥ 2 ìû îáðàòèì âíèìàíèå íà êîíåö ïîñòðîåíèÿ. Ëåììà 6.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðàôå íåò êîíôèãóðàöèé, îïèñàííûõ â ñëó÷àÿõ B1 è B2 è îïèñàííûì âûøå àëãîðèòìîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1) Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ñóùåñòâóåò áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2. 2) Åñëè íå âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ïîñëåäíèé øàã àëãîðèòìà íå äîáàâëÿåò æèâûõ âåðøèí è äà¼ò äîõîä íå ìåíåå Äîêàçàòåëüñòâî. 1 15 . 1) Âåðí¼ìñÿ ê øàãó Z4 è îòðåçàííîìó îò çàãîòîâêè äåðåâà F ãðàôó G2 (ñì. ðèñ 6.8), òî÷íåå, ê îäíîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè G0 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî â G0 ïîïàëè âåðøèíû w1 , . . . , wk è íå ïîïàëè âåðøèíû wk+1 , . . . , wn . Òàê êàê G0 ìåíüøèé ãðàô ñ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, â íåì åñòü îñòîâíîå äåðåâî T 0 c α(T 0 ) = u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) ≥ 2. 173 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ðàññìîòðèì äåðåâî T 0 êàê ïîäãðàô ãðàôà G. Ê ñîæàëåíèþ, âåðøèíû w1 , . . . , wk ñòîÿò â ãðàôå G íå ïî 0, êàê â ãðàôå G0 , à ïî 25 , òî åñòü, cG (T 0 ) = cG0 (T 0 ) + 2k . 5 Êðîìå òîãî, òåïåðü ýòè âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 íå ì¼ðòâûå (à îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû ìåðòâûå), òî åñòü, u(T 0 ) − b(T 0 ) = k . Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, â ãðàôå G ìû èìååì 2 · u(T 0 ) − b(T 0 ) = α0 (T 0 ) = u(T 0 ) − cG (T 0 ) − 15 2k 2k 2k 0 0 0 0 u(T ) − cG (T ) − = u(T ) − cG0 (T ) + ≥ − 15 5 15 8k 8k u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) − ≥2− . 15 15 Âñïîìíèì øàã Z4 è ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âûäåëèì äëÿ êàæäîé âåðøèíû wi òðè ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 ∈ V (F ). Òàêèå òðîéêè äëÿ ðàçíûõ âåðøèí íå ïåðåñåêàþòñÿ, âñå èõ âåðøèíû íå âõîäÿò â äåðåâî T 0 . Âûïîëíèì k ðàç ïî î÷åðåäè ñî âñåìè âåðøèíàìè w1 , . . . , wk øàã A2 è øàã A1, ïðèñîåäèíèâ ê wi âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 . Â ñóììå ìû ïîëó÷èì äîõîä k · 8 15 è ïîñòðîèì áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2. 2) Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé øàã. Íà ýòîì øàãå íå äîáàâèëîñü æèâûõ âåðøèí. Ïðîñìîòðåâ ïàðàìåòðû øàãîâ, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîñëåäíèì ìîã áûòü òîëüêî îäèí èç øàãîâ Z0, Z1.1, Z1.2, Z2.1, Z2.2, Z3.1, Z3.2, N 4.5.5 è M 4.5.5. Øàã Z2.2 íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B1, à øàã Z3.2 íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B2. Ëþáîé èç îñòàëüíûõ øàãîâ äà¼ò äîõîä õîòÿ áû 1 15 . íà øàãàõ, íà êîòîðûõ äîáàâëÿþòñÿ æèâûå âåðøèíû, áóäåò ïîñòðîåíî äåðåâî F c Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåéøåì íàì äîñòàòî÷íî äîêàçûâàòü, ÷òî α0 (F ) ≥ 29 15 . Ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ. 174 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B3. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè íå ìåíåå 5. Íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Î÷åâèäíî, u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 5, 2 cG (F 0 ) ≤ (u + 1) è 5 13 7u − 6 29 α0 (F 0 ) ≥ u − cG (F 0 ) ≥ ≥ . 15 15 15 Ïî ëåììå 6.2, ýòîãî äîñòàòî÷íî. B4. Â ãðàôå åñòü âåðøèíà x ∈ S , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå áîëåå 2. Ïóñòü v ∈ NG (x), dG (v) ≤ 2, NG (x) = {v, y1 , y2 }. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì x ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ B2, âåðøèíà v áóäåò ì¼ðòâîé. Òàêèì îáðàçîì, u(F 0 ) = 3, b(F 0 ) ≥ 1 è α0 (F 0 ) ≥ 13 2 41 ·3+ − cG (F 0 ) = − cG (F 0 ). 15 15 15 Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí y1 , y2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî cG (F 0 ) ≤ 2 · 1 2 4 + = 5 5 5 α0 (F 0 ) ≥ è 29 . 15 Ïî ëåììå 6.2 ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé y1 , y2 ∈ T . Òîãäà îáå âåðøèíû y1 , y2 æèâûå, cG (F 0 ) = 1 2 26 + 2 · = 1 è α0 (F 0 ) = . 5 5 15 Ïîñòðîåíèå íå çàêîí÷åíî, íà äàííûé ìîìåíò íàì íå õâàòàåò 4 15 . Ïðè ðàç- áîðå ñëó÷àåâ M è N ìû ðåøàëè àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó î íåäîñòàòêå äîõîäà â 3 15 (äàæå ñ òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè x, y1 , y2 ). Ïîâòîðèâ ýòè ðàññóæäåíèÿ è øàãè, ìû ïîëó÷èì äåðåâî F ∗ c α0 (F ∗ ) ≥ 29 15 . Áîëåå òîãî, α0 (F ∗ ) < 2 ìû ïîëó÷èì òîëüêî â êîíôèãóðàöèÿõ M 4.3 è M 4.5.4, íî â ýòèõ ñëó÷àÿõ â ïîñòðîåííûõ äåðåâüÿõ åñòü æèâûå âåðøèíû è ïî ëåììå 6.2 ïîñëåäíèé øàã ïîñòðîåíèÿ äàñò äîïîëíèòåëüíûé äîõîä â 1 15 è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. 175 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.10. Â ïóíêòàõ B2 è B4 ðàññìîòðåíû âñå ñëó÷àè, êîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå áîëåå 2. Â ïóíêòå B3 ðàññìîòðåí ñëó÷àé, Ïîýòîìó, äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àè, êîãäà â ãðàôå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ðàâíû 3 è 4. êîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè áîëåå 4. Â òàáëèöå 1 ïðèâåäåíà ñâîäêà äàííûõ ïî âñåì âîçìîæíûì øàãàì. Äëÿ ïðîñòîòû âîñïðèÿòèÿ äîõîäû âñåõ øàãîâ óìíîæåíû íà 15. A2, A4, Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 1 1 2 2 0 3 1 4 2 5 3 6 M 3.1 −4 5 N 3.1 −3 6 M 3.2 −2 4 N 3.2 −1 5 −1 2 M 4.3 0 0 N 4.4 4 7 N 4.5.2 3 3 M 4.5.4 3 0 N 4.5.4 4 1 M 4.5.5 −2 1 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 Z2.1 −5 1 M 4.2, A3, N 4.2, M 1, M 4.5.2, M 4.1.2, N 1, N 4.3, M 4.5.1, N 4.1.2, M 4.5.3 N 4.5.3 N 4.1.1 N 4.5.1 M2 N 2, M 4.1.1, M 4.4 N 4.5.5, Z0 Òàáëèöà 1. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 176 Ìû ó÷ëè íåâîçìîæíîñòü øàãîâ Z2.2, Z3.1, Z3.2 è Z4. (Ïðî øàãè Z2.2, Z3.2 è Z4 ñêàçàíî â ëåììå 6.2 è åå äîêàçàòåëüñòâå, øàã Z3.1 íåâîçìîæåí, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ãðàô, âñå âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíè íå ìåíåå 3.) Ñ òàêèì áîëüøèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ íåóäîáíî ðàáîòàòü è ñëåäóþùåé ëåììîé ìû çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèì êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ øàãîâ. Ëåììà 6.3. Åñëè â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (ñ íåêîòîðûì áàçîâûì äåðåâîì) õîòÿ áû ðàç âûïîëíÿëñÿ îäèí èç óêàçàííûõ íèæå øàãîâ, òî α(G) ≥ 2. 1) Øàã N 4.2, N 4.3, N 4.4, N 4.5.2, N 4.5.3, N 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ N 1, N 2, N 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . 2) Øàã M 4.2, M 4.3, M 4.4, M 4.5.2, M 4.5.3, M 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ M 1, M 2, M 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïåðåä øàãîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî F , ê êîòîðîìó ÷åðåç âåðøèíó x ∈ S ∪ T óðîâíÿ 1 äîáàâèëè ïîääåðåâî F0 èç íåñêîëüêèõ âåðøèí, ïðè÷¼ì äîõîä øàãà ðàâåí p. Îòìåòèì, ÷òî âî âñåõ óêàçàííûõ â óñëîâèè øàãàõ âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W = V (G)\V (F ), à âñå äîáàâëÿåìûå â ïîñòðîåííîå ðàíåå äåðåâî F âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ V (F ) ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü îïèñàíèå øàãîâ è óñëîâèå ëåììû. 1) Â ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíÿëèñü øàãè òèïà N , ìû èìååì x ∈ S . Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî äîõîä p ≥ 1 15 . Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò äîõîäà øàãà. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ åäèíñòâåííîé âåðøèíîé a ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 âåðøèíà a ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé âåðøèíîé, çà ýòî èç äîõîäà âû÷ëè 13 15 . Íîâûå ìåðòâûå âåðøèíû â èñõîäíîì äåðåâå F íå ïîÿâëÿëèñü, ïîýòîìó âñå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê ïðè 177 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó α0 (F0 ) = p + 13 14 ≥ . 15 15 Î÷åâèäíî, NG (a)∩NG (x) = ∅. Ïîýòîìó, â ñèëó çàìå÷àíèÿ 6.2 ìû èìååì a ∈ T . Ñëåäîâàòåëüíî, a ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè b1 , b2 , b3 ∈ V (F ), ýòè âåðøèíû íå âîøëè â äåðåâî F0 . Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê F0 ÷åðåç íåâèñÿ÷óþ âåðøèíó x âåðøèíû a, b1 , b2 , b3 (ñì. ðèñ. 6.9). Â ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí óâåëè÷èòñÿ íà 3. Ñëåäîâàòåëüíî, îò ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì äîõîä íå ìåíåå ÷åì 3 · ðåçóëüòàòå α0 (F1 ) ≥ 29 15 , 13 15 −4· 2 5 = 1, â ÷òî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2. b b b a b x b V(F) F0 Ðèñ. 6.9: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà N . 2) Îïèøåì îáùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áàçîâîãî äåðåâà äëÿ øàãîâ òèïà M . Â ýòîì ñëó÷àå x ∈ T . Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò äîõîäà øàãà. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè a1 , a2 ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) = {a1 , a2 } ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé âåðøèíîé, çà ÷òî âû÷ëè ÷òî ïðèáàâèëè 2 15 . 13 15 , à äðóãàÿ âåðøèíà èç P (x) ñòàëà ìåðòâîé, çà Âñå îñòàëüíûå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê ïðè ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó α0 (F0 ) = p + 11 . 15 Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê íåâèñÿ÷åé âåðøèíå x 178 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåðåâà F0 âåðøèíû a1 , a2 ∈ V (F ). Çà ýòîò øàã ìû ïîëó÷èëè äîõîä 2· 13 2 − 15 5 = 14 15 α0 (F1 ) ≥ è Ïðè a1 , a2 6∈ T ìû âûèãðàåì õîòÿ áû 2 5 25 + p. 15 è ïîëó÷èì α0 (F1 ) ≥ 31 15 , ÷òî íàì äîñòàòî÷íî. Ïóñòü a1 ∈ T , òîãäà dG (a1 ) = 4. Îòìåòèì, ÷òî a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , è ïîòîìó íå ñìåæíà ñ îòëè÷íûìè îò x âåðøèíàìè èç W , à çíà÷èò, ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ îòëè÷íûìè îò a2 âåðøèíàìè èç V (F ). Ýòèõ âåðøèí íåò â F1 , äîáàâèì èõ â äåðåâî è ïîëó÷èì íîâîå äåðåâî F2 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A2) + p(A1) ≥ 8 15 (äîáàâëåíèå ïåðâûõ äâóõ âåðøèí øàã A2, äîáàâëåíèå ñëåäóþùåé øàã A1) è α0 (F2 ) > 2. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà òàêèõ âåðøèí äâå, ïóñòü ýòî b1 , b2 . Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû a1 è a2 ñìåæíû. Äîáàâëåíèå äâóõ âåðøèí ýòî øàã A2 ñ äîõîäîì íå ìåíåå 1 15 , ïîýòîìó α0 (F2 ) ≥ Ïðè p ≥ 3 15 26 + p. 15 ýòîãî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî. Äëÿ îñòàâøèõñÿ øàãîâ ìû ðàçáåð¼ì äâà ñëó÷àÿ: a2 ì¼ðòâàÿ (ñì. ðèñ. 6.10à) è æèâàÿ (ñì. ðèñ. 6.11a) âåðøèíà äåðåâà F2 , ñîîòâåòñòâåííî. a. Ïóñòü a2 ì¼ðòâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 . Ýòî óâåëè÷èâàåò äîõîä íà 2 15 è îáåñïå÷èâàåò α0 (F2 ) ≥ 28 + p. 15 Îáå âåðøèíû b1 , b2 æèâûå âåðøèíû äåðåâà F2 , èíà÷å äîõîä âîçðàñòàåò õîòÿ áû íà 2 15 è ìû ïîëó÷àåì α0 (F2 ) ≥ 2. Ïðè p ≥ 1 15 â ñèëó ëåììû 6.2 ìû èìååì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ ëèøü øàãè ñ íóëåâûì äîõîäîì M 4.5.4 è M 4.3. Ðàçáåðåì ýòè äâà ñëó÷àÿ. 179 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàã M 4.5.4. a1. Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî b1 , b2 , y2 , z2 , p2 , q1 è q2 , ñì. ðèñóíîê 6.10c), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí. Ïîñìîòðèì íà òàáëèöó 1: ëþáîé øàã, 1 15 , óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû ïðè- ÷åì ðîâíî ñ òàêèì äîõîäîì ìîæíî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí òîëüêî íà 2 èëè íà 5, òî åñòü, ìåíüøå, ÷åì íà 7. Çíà÷èò, çà óìåðòâëåíèå íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû b1 b 2 V(F) a2 b b a1 b1 b2 V(F) a2 b b a1 b b b x b y b F0 a 1 z1 b b z2 a1 b q 1 z1 1 q b b b y F0 2 2 b b b 1 b b a2 b b b p b2 b x y F0 è α(G) ≥ 2. b x b b b1 V(F) b 2 15 y 2 z2 p 2 c Ðèñ. 6.10: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà M è ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 . a2. Øàã M 4.3. Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 4 æèâûå âåðøèíû (ýòî b1 , b2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.10b), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 4 æèâûõ âåðøèí. Íàì íóæíî îáåñïå÷èòü ñóììàðíûé äîõîä îñòàâøèõñÿ øàãîâ íå ìåíåå 2 15 . øèí âñåãäà ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû Óìåíüøåíèå êîëè÷åñòâà æèâûõ âåð1 15 . Åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, íå ìåíüøåå 4, çà óìåðòâëåíèå êîòîðûõ ìû ïîëó÷èì ìåíåå 2 15 ýòî 5. Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 5 æèâûõ âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè- 180 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. á. Ïóñòü a2 æèâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 . Òàê êàê a2 ñìåæíà ñ a1 è dG (a2 ) ≤ 4, â ýòîì ñëó÷àå õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí b1 è b2 íåñìåæíà ñ a2 (ïóñòü ýòî b1 ). Åñëè b1 6∈ T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 51 , â ðåçóëüòàòå α0 (F2 ) ≥ 29 15 è ïî ëåììå 6.2 ìû èìååì α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, b1 ∈ T . Âåðøèíû äåðåâà F0 íåñìåæíû ñ b1 ∈ V (F ), ïîýòîìó èç V (F2 ) âåðøèíà b1 ñìåæíà òîëüêî ñ a1 è, âîçìîæíî, ñ b2 . Ñëåäîâàòåëüíî, b1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè íå èç V (F2 ), êîòîðûå ìû è äîáàâèì â äåðåâî F2 , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F3 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A1) + p(A2) ≥ 8 15 . Â ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî α0 (F3 ) > 2. Çíà÷èò, äîáàâëåíî ðîâíî äâå âåðøèíû, ïóñòü ýòî c1 , c2 (ñì. ðèñ. 6.11a). Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî b2 , c1 , c2 æèâûå âåðøèíû äåðåâà F3 . Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ìåðòâûå, òî ìû ó÷òåì ýòî â êîíöå ïîñòðîåíèÿ ñ ïîìîùüþ øàãîâ Z0. Âûïîëíèâ ýòîò øàã A2, ìû ïîëó÷èëè äîõîä α0 (F3 ) ≥ Ïðè p ≥ 2 15 ìû èìååì α0 ≥ 29 15 ëèøü øàãè ñ äîõîäîì ìåíåå M 4.5.3, M 4.5.5 (ñ äîõîäîì á1. 1 15 è 27 + p. 15 è ïî ëåììå 6.2 ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ 2 15 : 1 15 ). ýòî M 4.5.4, M 4.3 (ñ äîõîäîì 0), M 4.2, Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè. Øàã M 4.5.4. Â ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 9 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 , z2 , p2 , q1 è q2 , ñì. ðèñóíîê 6.11b) è α0 (F3 ) ≥ 27 15 . Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïî- ñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Çà óìåðòâëåíèå îäíèì øàãîì ëþáîãî êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí, êðîìå 2 è 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 2 15 (ìîæíî óìåðòâèòü çà øàã 1, 2, 3, 4 èëè 5 âèñÿ÷èõ âåðøèí, ñì. òàáëèöó 1). Ïîýòîìó, åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî óìåðòâëåííûõ âåðøèí, íå ìåíüøåå 9, çà êîòîðîå äîõîä ìîæåò áûòü ìåíåå 3 15 ýòî 10 181 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß c1 b b b1 c2 V(F) b b a1 2b c1 c2 b2 b b x b b b1 V(F) a1 y1 F0 b F0 b q z1 1 q b 2 b p1 b b b b a2 b b b b b2 b x a2 a b y2 z2 p 2 c Ðèñ. 6.11: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãà M 4.5.4 è ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 . (äîõîä 2 15 ). Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè- âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Çàìå÷àíèå 6.11. Òåïåðü ñëó÷àè øàãîâ M 4.5.4 è N 4.5.4 â ëåììå 6.3 ïîë- íîñòüþ ðàçîáðàíû. Ïóñòü ñ ïîìîùüþ íàøåãî àëãîðèòìà áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî T ñ α(T ) < 2 è â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà âûïîëíÿëñÿ øàã M 4.5.4 èëè N 4.5.4. Ïóñòü F äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïåðåä øàãîì. Òîãäà õîòÿ áû îäíà èç äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå âåðøèí äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ äåðåâîì F . Ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî îäíà èç äâóõ äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ p1 (èíà÷å áûë áû âûïîëíåí îäèí èç ïðåäûäóùèõ øàãîâ, ñì. ðèñóíîê 6.6 è îïèñàíèÿ øàãîâ). Íàçîâ¼ì ýòó âåðøèíó q . Åñëè q ∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.1 è N 4.5.4.1), òî q ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) (ïî çàìå÷àíèþ 6.5), ÷òî äîáàâëÿåò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû. Òàêèì îáðàçîì, 2 4 ≥ , ∆u = 4, ∆b = 3, 15 15 2 5 p(N 4.5.4.1) ≥ p(N 4.5.4) + 2 · ≥ , ∆u = 4, ∆b = 2. 15 15 Åñëè q 6∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.2 è N 4.5.4.2), òî p(M 4.5.4.1) ≥ p(M 4.5.4) + 2 · 182 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äîáàâëÿåòñÿ îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è åùå íå ìåíåå 1 5 â äîõîä, òàê êàê öåíà âåðøèíû q óìåíüøàåòñÿ. Â ýòîì ñëó÷àå 1 5 2 + ≥ , ∆u = 4, ∆b = 2, 15 5 15 2 1 6 p(N 4.5.4.2) ≥ p(N 4.5.4) + + ≥ , ∆u = 4, ∆b = 1. 15 5 15 p(M 4.5.4.2) ≥ p(M 4.5.4) + Òåïåðü ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëþáîé óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí øàã ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 151 . Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ïîñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèÿõ. Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.3. Øàã M 4.3. á2. Â ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 6 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12a) è α0 (F3 ) ≥ 27 15 . Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå âåðøèí ìû ïîëó÷àåì õîòÿ áû 3 15 . 2 15 , ïðè÷¼ì çà 6 À ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûé äîõîä íå ìåíåå 1 15 . Â ëþáîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. c1 b b b1 c2 V(F) b b a1 x b b b b1 c2 V(F) b b a1 b2 b x b b z2 y2 F0 y1 z1 b c1 c2 b b b V(F) a1 y1 b b z2 y2 z1 F0 F0 b b b b y2 z2 p 2 c b b b b1 V(F) a1 b y1 F0 z1 b2 b b b x b b a2 c1 c2 b b b p1 b2 b x b b b1 a2 b b b a a2 b b y1 z1 b2 c1 a2 b b b b y2 b z2 b b p1 r p 2 b d Ðèñ. 6.12: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 è øàãîâ M 4.3, M 4.2, M 4.5.3 è M 4.5.5. á3. Øàãè M 4.2, M 4.5.3, M 4.5.5. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ α0 (F3 ) ≥ 28 . 15 183 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ øàãà M 4.2 â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 , z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12b). Äëÿ øàãà M 4.5.3 â äåðåâå F3 òàêæå ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 è êàêèå-òî òðè èç âåðøèí y2 , z2 , p1 è p2 , ñì. ðèñóíîê 6.12ñ) â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí. Çíà÷èò, íåîáõîäèìî óìåðòâèòü íå ìåíåå 7 æèâûõ âåðøèí, çà ÷òî ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû 2 15 (ñì. òàáëèöó 1) è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Â ñëó÷àå øàãà M 4.5.5 (ñì. ðèñóíîê 6.12d) â äåðåâå F3 ðîâíî 4 æèâûõ âåðøèíû: ýòî a2 , b2 , c1 è c2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû óìåðòâèòü m ≥ 4 æèâûõ âåðøèíû. Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî åñëè m 6= 5, òî ìû ïîëó÷èì äîõîä íå ìåíåå 2 15 è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m = 5. Â ýòîì ñëó÷àå çà óìåðòâëåíèå âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû 1 15 . Îäíàêî, íóæíî ñäåëàòü õîòÿ áû îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí, êîòîðûé äàñò äîõîä õîòÿ áû 1 15 è òàêæå îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. Òåïåðü â íàøåé òàáëèöå øàãîâ ïðîèçîøëè áîëüøèå èçìåíåíèÿ, íèæå ïðèâåä¼ì îáíîâëåííûé âàðèàíò òàáëèöó 2. Çàìå÷àíèå 6.12. 1) Àíàëèçèðóÿ òàáëèöó 2, ëåãêî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: çà ëþáîé øàã ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû 1 15 ; çà îäèí èëè íåñêîëüêî øàãîâ, óâåëè÷èâàþùèõ êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû 5 15 . øàã, íå ìåíÿþùèé êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 3 15 . øàã, óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí íà âåëè÷èíó, îòëè÷íóþ îò 5, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 2 15 . 2) Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ïî íàøåìó àëãîðèòìó çàêàí÷èâàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ïîñòðîåííîãî äåðåâà ó ïîñëåäíåãî øàãà ïîñòðîåíèÿ ïàðàìåòð ∆u − ∆b äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûì. ñòàíîâÿòñÿ ìåðòâûìè. Ïîýòîìó íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî 184 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 1 1 2 2 N 4.1.1 0 3 M 4.5.4.1 1 4 2 5 3 6 M 3.1 −4 5 N 3.1 −3 6 M 3.2 −2 4 N 3.2 −1 5 −1 2 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 Z2.1 −5 1 A2, A4 A3 M 1, N 1, M 4.1.2, N 4.1.2, M 2, M 4.5.1, N 4.5.1, N 4.5.4.1, N 2, M 4.5.4.2 N 4.5.4.2 M 4.1.1, Z0 Òàáëèöà 2. Ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå ñëó÷àåâ â ïîñòðîåíèè áàçîâîãî äåðåâà. B5. Â ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a ∈ T è b ∈ S , ó êîòîðûõ NG (a) ∩ NG (b) = ∅. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è b ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå u(F 0 ) = 5, cG (F 0 ) ≤ 1 2 13 +6· = 5 5 5 è α0 (F 0 ) ≥ 5 · 13 26 − cG (F 0 ) ≥ . 15 15 Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà F 0 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , ýòî óâåëè÷èò α0 (F 0 ) íà 1 5 è ñäåëàåò α0 (F 0 ) ≥ 29 15 , ÷åãî ñ ó÷¼òîì ëåììû 6.2 íàì äîñòàòî÷íî. Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà âñå ýòè âåðøèíû èç T , òî åñòü, èìåþò ñòåïåíü 4. Áóäåì äîñòðàèâàòü äåðåâî ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ðàññìîòðèì äâà 185 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âàðèàíòà. B5.1. Â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåð- øèí. Èçíà÷àëüíî ýòî êîëè÷åñòâî ðàâíî 5. Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷èì õîòÿ áû 2 15 , ïðè÷¼ì ðîâíî 2 15 ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî çà 10 âåðøèí. Äëÿ îñòàëüíûõ êîëè÷åñòâ ìû ïîëó÷èì çà óìåðòâëåíèå äîõîä õîòÿ áû 3 15 è åùå õîòÿ áû 1 15 çà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Ïóñòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí óâåëè÷èëîñü äî 10. Ïî çàìå÷àíèþ 6.12, ìû íà ýòîì ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû B5.2. 5 15 . Ñëåäîâàòåëüíî, α(G) > 2. Â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ íå óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áûë âûïîëíåí êàêîé-òî øàã, íå èçìåíèâøèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí è ìû ïîëó÷èëè äåðåâî F1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.12, ýòîò øàã íå ïîñëåäíèé, à åãî äîõîä áûë õîòÿ áû 3 15 . Çíà÷èò, α0 (F1 ) ≥ 29 15 , è ïî ëåììå 6.2 ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî α(G) ≥ 2. Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà ñ áàçîâûì äåðåâîì F 0 ïðîèçâîäèëèñü òîëüêî øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí. Íóæíî óìåðòâèòü 5 æèâûõ âåðøèí. Ëþáîé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî, êðîìå øàãà Z2.1, äàñò äîõîä õîòÿ áû 4 15 è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âûïîëíåí øàã Z2.1, äîáàâèâøèé äâå ñìåæíûå âåðøèíû a0 ñòåïåíè 4 è b0 ñòåïåíè 3. Òàêèì îáðàçîì, íàø ãðàô ñîñòîèò èç 9 âåðøèí: â íåì åñòü äâå êîïèè äåðåâà F 0 (ñ öåíòðàìè a, b è a0 , b0 ) ñ ïÿòüþ îáùèìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 , x2 , x3 ∈ NG (a) è y1 , y2 ∈ NG (b). Èç dG (x1 ) = dG (x2 ) = dG (x3 ) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4 ñëåäóåò, ÷òî G({x1 , x2 , x3 , y1 , y2 }) ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 2, òî åñòü, öèêë èç ïÿòè âåðøèí. Â ëþáîì ñëó÷àå, ñóùåñòâóþò äâà íåçàâèñèìûõ ðåáðà, ñîåäèíÿþùèõ {x1 , x2 , x3 } ñ {y1 , y2 }. Ïóñòü ýòî áóäóò ð¼áðà x1 y1 è x2 y2 . 186 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 è y2 íåñîñåäíèå âåðøèíû ýòîãî öèêëà èç 5 âåðøèí. (Åñëè âåðøèíû x1 è y2 ñîñåäíèå â öèêëå, òî x2 è y1 íåñîñåäíèå. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ñìåíèì íóìåðàöèþ âåðøèí.) Òîãäà a, b, x2 , x3 , y1 ∈ NG (x1 ) ∪ NG (y2 ), ïðè÷¼ì îäíà èç âåðøèí x2 , x3 , y1 âõîäèò â NG (x1 ) ∩ NG (y2 ). a b b b b b x1 b b a’ b b y 2 b b b’ a x1 a’ b b y 2 b b a b b b b z b b’ b Ðèñ. 6.13: Ñëó÷àé B5.2. Åñëè a0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ), òî ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî, ñîåäèíèâ a0 ñ x1 è y2 è ïðèñîåäèíèâ ê íèì âñå îñòàëüíûå âåðøèíû (âåðøèíó b0 ïðèñîåäíèì ê a0 , ñì. ðèñ. 6.13a). Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå b0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ). Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà îäíà èç âåðøèí a0 è b0 ñìåæíà ñ x1 , à äðóãàÿ ñ y2 . Òîãäà ñîåäèíèì x1 è y2 ñ âåðøèíîé èç NG (x1 )∩NG (y2 ) (âûøå ñêàçàíî, ïî÷åìó òàêàÿ åñòü, íàçîâ¼ì åå z ) è ïðèñîåäèíèì ê ýòèì äâóì âåðøèíàì âñå îñòàëüíûå (ñì. ðèñ. 6.13b). Â èòîãå ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî 6 > Çàìå÷àíèå 6.13. 2 5 · 7 + 15 · 2 + 2. 1) Â ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå ñëó÷àÿõ íå âûïîëíÿþòñÿ øàãè Z2.1 è A4 â âèäó îòñóòñòâèÿ ðàçîáðàííîé â ïóíêòå B5 êîíôèãóðàöèè. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ëþáûå äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G) èìåþò îáùóþ ñìåæíóþ âåðøèíó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ýòî íå òàê è 2) NG (a) ∩ NG (b) = ∅. Ñëó÷àé a, b ∈ S íåâîçìîæåí ìû âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2. Åñëè a, b ∈ T , òî ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B1. 187 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß À â ñëó÷àÿõ, êîãäà îäíà èç âåðøèí ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S , à äðóãàÿ ìíîæåñòâó T , ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B5. B6. Â ãðàôå íåò âåðøèí ñòåïåíè 4. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 3. Â ýòîì ñëó÷àå Êëåéòìàí è Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî â òàêîì ãðàôå u(G) ≥ s· 41 +2, îòêóäà ñëåäóåò ðåçóëüòàò íàøåé òåîðåìû. Ëåììà 6.4. Åñëè α(G) < 2, òî ïîñëå ëþáîãî èç øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2, M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2, M 4.1.1, N 4.1.1, M 4.1.2, N 4.1.2, M 4.5.1, N 4.5.1, M 4.5.4.1, N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 äîëæíà ïîÿâèòüñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ (ïî îòíîøåíèþ ê òàáëèöå 2) ì¼ðòâàÿ âåðøèíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Â êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ îäíà èç äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí v áûëà ñìåæíà ñ V (F ) (äëÿ øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2, M 4.5.4.1, N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 ýòî áûëî óñòàíîâëåíî â ëåììå 6.3, äëÿ øàãîâ M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2 ýòî óñòàíîâëåíî ñðàçó ïîñëå îïèñàíèÿ øàãà 3, äëÿ îñòàëüíûõ øàãîâ ñëåäóåò èç èõ îïèñàíèÿ). Âñïîìíèì äåòàëè øàãîâ. Âî âñåõ øàãàõ ìû ê äåðåâó F ïðèñîåäèíÿëè íåêîòîðîå ïîääåðåâî (íàçîâåì åãî F0 , ñì. ðèñóíîê 6.14) ÷åðåç êîðåíü x ∈ W , ãäå W = V (G)\V (F ). Íàïîìíèì, ÷òî âñå âåðøèíû èç W , ñìåæíûå ñ V (F ), íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. F b b x w F0 b b b b b b b v a Ðèñ. 6.14: Äîïîëíèòåëüíàÿ ìåðòâàÿ âåðøèíà. Îòìåòèì, ÷òî v 6= x (âåðøèíà x âî âñåõ øàãàõ íåâèñÿ÷àÿ). Òîãäà ñóùåñòâóåò w ∈ W ïðåäîê v â äîáàâëåííîì ïîääåðåâå F0 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.13 ìû èìååì NG (v) ∩ NG (w) 6= ∅. 188 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ïóñòü a âåðøèíà, ñìåæíàÿ è ñ v , è c w. Ïîíÿòíî, ÷òî a 6∈ V (F ), òàê êàê íè îäíà âåðøèíà èç V (F ) íå ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W ïî çàìå÷àíèþ 6.5. Âåðøèíà w íåâèñÿ÷àÿ â ïîëó÷åííîì ïîñëå øàãà äåðåâå. Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû ëåæàò â V (F ) ∪ V (F0 ) (â ýòîì íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ïðîñìîòðåâ äåòàëè øàãîâ). Ñëåäîâàòåëüíî, a ∈ V (F0 ). Òàêèì îáðàçîì, v èìååò äâå ñìåæíûå âåðøèíû w, a ∈ W , âîøåäøèå â ïîñòðîåííîå ïîñëå øàãà äåðåâî. Âåðøèíà v ∈ W âåðøèíà óðîâíÿ 1, òàê êàê ñìåæíà ñ V (F ). Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ 6.5 âåðøèíà v íå ìîæåò áûòü ñìåæíà áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Ïîýòîìó v ïîñëå îêîí÷àíèÿ øàãà áóäåò ì¼ðòâîé âåðøèíîé, êîòîðàÿ íå ó÷òåíà â ïàðàìåòðàõ øàãà. M 1, N 1, Øàã ∆u − ∆b 15·äîõîä A1 1 7 A2 1 1 A3 2 2 N 4.1.1 −1 5 M 4.5.4.1 0 6 1 7 2 8 M 3.1 −5 7 N 3.1 −4 8 M 3.2 −3 6 N 3.2 −2 7 M 4.1.1 −2 4 Z0 −1 2 Z1.1 −4 2 Z1.2 −3 3 M 4.1.2, N 4.1.2, M 4.5.1, N 4.5.1, M 2, N 4.5.4.1, N 2, M 4.5.4.2 N 4.5.4.2 Òàáëèöà 3. 189 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ïåðåä ïîñëåäíèì è ñàìûì ñëîæíûì ñëó÷àåì ïåðåïèøåì íàøó òàáëèöó øàãîâ, äîáàâèâ â óêàçàííûå â ëåììå 6.4 øàãè ïî ì¼ðòâîé âåðøèíå è äîõîä çà íåå. Êðîìå òîãî, óáåðåì øàãè Z2.1 è A4, íåâîçìîæíûå â âèäó çàìå÷àíèÿ 6.13. Îáíîâëåííûå ïàðàìåòðû øàãîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 3. B7. Ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ. Òîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 4. Åñëè ñîåäèíèòü a ñ âåðøèíàìè èç åå îêðåñòíîñòè, ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F 0 ñ 4 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè v1 , v2 , v3 , v4 . Ìû ñ÷èòàåì ýòè âåðøèíû æèâûìè. Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ì¼ðòâûå, ýòî áóäåò îôîðìëåíî ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ Z0 . Òîãäà α0 (F 0 ) ≥ 4 · 2 22 13 −5· = . 15 5 15 Ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ïîäñ÷èòàåì ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïðèáàâîê æèâûõ âåðøèí íà øàãàõ, êîãäà èõ èçìåíåíèå ïîëîæèòåëüíî è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç `. Øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, äîëæíû óìåðòâèòü ` + 4 âåðøèíû. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. B7.1. ` ≥ 2. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî äîáàâèâ ` æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èëè äîõîä íå ìåíåå ` 15 . Ïðè ` = 2 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 6 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî ðàâåí 6 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. Ïðè ` = 3 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 7 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî ðàâåí 5 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. Ïðè ` ≥ 4 ìû äîëæíû óìåðòâèòü íå ìåíåå 8 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî íå ìåíåå B7.2. 4 15 , ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2. ` = 0. Ïî çàìå÷àíèþ 6.12 ïîñëåäíèé øàã äîëæåí èìåòü îòðèöàòåëüíûé ïàðàìåòð ∆u − ∆b. Èç òàáëèöû 3 ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîé øàã äîáàâëÿåò â äîõîä íå ìåíåå 2 15 . Åñëè áûë ñäåëàí øàã, íå èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æè- âûõ âåðøèí, çà íåãî ïîëó÷åí äîõîä íå ìåíåå 6 15 , òîãäà α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âûïîëíÿëèñü òîëüêî øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ 190 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ñïîñîáà óìåðòâèòü 4 æèâûõ âåðøèíû, çàðàáîòàâ ìåíåå 8 15 (è íå îáåñïå÷èâ α(G) ≥ 2) ýòî øàã Z0 âìåñòå ñ øàãîì Z1.2 (ñóììàðíûé äîõîä B7.2.1. 5 15 ) è øàã Z1.1 (äîõîä 2 15 ). Âûïîëíåíû øàã Z0 è øàã Z1.2. Ìû ïîëó÷àåì äîõîä 5 15 , èòîãî α(G) ≥ 27 15 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà F 0 íå èç T , òî äîõîä âûðàñòåò õîòÿ áû íà 3 15 è ïîëó÷èòñÿ α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âñå ýòè âåðøèíû èç T è èìåþò ñòåïåíü 4 â ãðàôå G. Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî 6 âåðøèí: 5 âåðøèí ñòåïåíè 4 è îäíà âåðøèíà ñòåïåíè 3 (äîáàâëåííàÿ íà øàãå Z1.2). Î÷åâèäíî, ýòî íåâîçìîæíî. B7.2.2. Âûïîëíåí øàã Z1.1. Ìû ïîëó÷àåì äîõîä 2 15 , èòîãî α(G) ≥ 24 15 = 85 . Ãðàô â ýòîì ñëó÷àå èìååò 6 âåðøèí. Äîáàâëåííàÿ íà ïîñëåäíåì øàãå âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 4. Åñëè õîòÿ áû äâå èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 íå ïðèíàäëåæàò T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 6 15 è α(G) ≥ 2. Åñëè îäíà èç íèõ íå ïðèíàäëåæèò T , ìû ïîëó÷àåì ãðàô íà 5 âåðøèíàõ ñòåïåíè 4 è îäíîé âåðøèíå ñòåïåíè 3, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, α(G) < 2 ìîæåò áûòü òîëüêî ó ðåãóëÿðíîãî ãðàôà ñòåïåíè 4 íà 6 âåðøèíàõ, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åäèíñòâåííûé òàêîé ãðàô ýòî C62 , êîòîðûé äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãðàôîì-èñêëþ÷åíèåì (α(C62 ) = 58 ). B7.3. ` = 1. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, è óâåëè÷èëè åãî íà 1. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ëèáî ýòî øàã A2, ëèáî ìû ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû 7 15 è äåðåâî F1 ñ α0 (F1 ) ≥ 29 15 , ÷òî äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã A2 ñ äîõîäîì âî F1 ñ α0 (F1 ) ≥ 23 15 . 1 15 è ïîëó÷èëè äåðå- Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, åñëè ìû ñäåëàëè øàã, íå èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, òî α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, øàã A2 áûë åäèíñòâåííûì, êðîìå øàãîâ, óìåíüøàþùèõ ÷èñëî æèâûõ âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ñïîñîá óìåðòâèòü 5 æèâûõ âåðøèí, çàðàáîòàâ ìåíåå 7 15 (è íå îáåñïå÷èâ α ≥ 2) ýòî øàã Z0 âìåñòå 191 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ñ øàãîì Z1.1 (äîõîä 4 15 , äîáàâëÿåò âåðøèíó ñòåïåíè 4). Ñóììàðíûé äîõîä âñåõ ýòèõ øàãîâ îáåñïå÷èâàåò α(G) ≥ 27 15 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 èëè äâóõ âåðøèí, äîáàâëåííûõ íà øàãå A2, èìååò ñòåïåíü 3, òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 3 15 è îáåñïå- ÷èâàåò α(G) ≥ 2. Â îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 4 íà 8 âåðøèíàõ. Ïî çàìå÷àíèþ 6.13 êàæäîå ðåáðî ãðàôà G äîëæíî âõîäèòü â òðåóãîëüíèê. Óáåäèìñÿ, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñóùåñòâóåò äâà 4-ðåãóëÿðíûõ ãðàôà íà 8 âåðøèíàõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ. Åñëè G ÿâëÿåòñÿ âåðøèííî 4-ñâÿçíûì ãðàôîì, òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàáîòîé [27] òàì äîêàçàíî, ÷òî G ýòî Cn2 èëè ð¼áåðíûé ãðàô 4-öèêëè÷åñêè-ñâÿçíîãî êóáè÷åñêîãî ãðàôà. Âòîðàÿ âîçìîæíîñòü îòïàäàåò, òàê êàê êîëè÷åñòâî âåðøèí òàêîãî ð¼áåðíîãî ãðàôà äîëæíî äåëèòüñÿ íà 3, à ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü äà¼ò ãðàô C82 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì (α(C82 ) = 95 ). Ïóñòü G èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî R ìåíåå ÷åì èç 4 âåðøèí. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ìíîæåñòâî èç 4 − k âåðøèí íå ìîæåò îòäåëèòü â 4-ðåãóëÿðíîì ãðàôå êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ñîäåðæàùóþ ìåíåå k + 1 âåðøèíû, ïîýòîìó |R| ≥ 2. Åñëè |R| = 2, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: ìíîæåñòâî R äîëæíî ðàçäåëÿòü ãðàô íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè èç òð¼õ âåðøèí, ïðè÷¼ì âñå ýòè 6 âåðøèí äîëæíû áûòü ñìåæíû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà R. Òîãäà ñòåïåíè âåðøèí èç R áóäóò ïî 6, ïðîòèâîðå÷èå. a r1 b 1 r2 r a b b b 2 b r3 b b1 b b2 b b3 Ðèñ. 6.15: Ãðàô G8 . Ïóñòü |R| = 3, R = {r1 , r2 , r3 }. Òîãäà îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ñî- 192 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äåðæèò äâå âåðøèíû (ïóñòü ýòî a1 , a2 ), à äðóãàÿ òðè âåðøèíû (b1 , b2 , b3 ), ñì. ðèñóíîê 6.15. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî a1 è a2 ñìåæíû è êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà ñ r1 , r2 , r3 (èíà÷å dG (ai ) < 4). Îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò íå áîëåå, ÷åì ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 , çíà÷èò, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí â ãðàôå G({b1 , b2 , b3 }) íå ìåíåå 6, òî åñòü, ýòî òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò ðîâíî ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 , òî åñòü, âåðøèíû r1 , r2 , r3 ïîïàðíî íå ñìåæíû. Òåïåðü äâóäîëüíûé ãðàô ñ äîëÿìè {r1 , r2 , r3 } è {b1 , b2 , b3 } îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ýòî K3,3 áåç ïàðîñî÷åòàíèÿ. Ïîëó÷åííûé ãðàô ýòî ãðàô G8 , èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 6.15. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî α(G8 ) = 27 15 , òî åñòü, ýòîò ãðàô äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì. 6.1.5 Ðåäóêöèÿ è êîíòðïðèìåðû Äîêàæåì, ÷òî åñëè ê ãðàôó G õîòÿ áû îäèí ðàç áûëî ïðèìåíåíî ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1 èëè R2, òî G íå èñêëþ÷åíèå. Êàê ìû çíàåì, ïðèìåíåíèå ïðàâèë R1 è R2 íå ìîæåò óìåíüøèòü α(G). Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ ãðàôà G, èç êîòîðîãî ñ ïîìîùüþ R1 èëè R2 ïîëó÷åí îäèí èç ãðàôîâ C62 , C82 èëè G8 . Ðàññìîòðèì 6 ñëó÷àåâ. 1. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 . Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 a3 a4 a5 a6 ïîñëå òîãî, êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ëåãêî ïîñòðîèòü îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè: ñì. ðèñ. 6.16a è 6.16b. Çíà÷èò, u(G) ≥ 5 > 6 · 2. 2 + 2 è α(G) > 2. 5 Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ 193 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß a2 w a 1 a2 a3 b b b b b b a6 b b a a4 a a3 b b w b 1 a4 b a6 a5 b a2 w v b a6 b b b c a2 w b a5 b a3 b b b a4 v a3 b b b b b a5 a6 b b d a4 a5 Ðèñ. 6.16: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C62 . äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.16ñ. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a6 ñìåæíà â ãðàôå G ñ v , è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.16d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 5 è α(G) > 2. 3. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 . Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 . . . a8 ïîñëå òîãî, êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 . Â ïåðâîì ñëó÷àå ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17a, à âî âòîðîì ñëó÷àå êàê íà ðèñóíêå 6.17b. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 6 > 8 · a3 b b a 1 a3 a5 a b b a b 8 a a7 a 6 a1 a3 a4 b a5 w b b b a b 8 b a7 b b b b 2 b b b b b b 2 w a a4 2 + 2 è α(G) > 2. 5 a6 a w b a5 b v b b a b 8 b b b b 2 a3 a4 a7 c a6 a a5 b b 2 w a4 b b v b b a b 8 a6 a7 d Ðèñ. 6.17: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C82 . 4. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ 194 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17c. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a8 ñìåæíà â ãðàôå G ñ v è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. 5. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 . Áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ãðàôà G8 îáîçíà÷åíèÿ, êàê íà ðèñóíêå 6.15. Â ñèëó ñèììåòðèè äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåðøèíû w ãðàôà G íà îäíîì èç ðåáåð ãðàôà G8 : íà a1 a2 (îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 6.18a), b1 b3 (ðèñóíîê 6.18b), r3 b3 (ðèñóíîê 6.18c) è r3 a1 (ðèñóíîê 6.18d). Òåì ñàìûì, â ëþáîì cëó÷àå ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âåðøèíàìè, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. a r1 1 b w r2 b a b b b a 2 b r3 r1 1 r2 b b b b1 b a b b a 2 b r3 r1 1 r2 b b a b3 b1 w b b2 b b b b3 b1 b b2 c a 2 b b b b b b2 a b b b r3 r1 1 r2 b w b3 a b b w b 2 b b r3 b b1 b b2 b b3 d Ðèñ. 6.18: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R1. 6. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 . Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Â ñèëó ñèììåòðèè ãðàôà âîçìîæíû òðè ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ âàðèàíòà: ïîñëå ñêëåèâàíèÿ äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 â ãðàôå G îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , b1 , r1 ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , òî NG ({w, v}) = {a2 , r1 , r2 , r3 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F1 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19à. Â íåì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû a2 , r2 , r3 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà â ãðàôå G ñ îäíîé èç 195 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F1 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. a b r1 r2 b a 2 b b b2 b a r1 b a b b r2 b a 2 b r3 b b3 b v b b b1 r3 1 b2 1 w a b b r2 b 2 b r3 b b b b3 b1 b b b2 b c b3 Ðèñ. 6.19: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R2. Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà b1 , òî NG ({w, v}) = {b2 , b3 , r1 , r2 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F2 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19b. Â í¼ì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû b2 , b3 , r2 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà ñ îäíîé èç íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F2 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. Ïóñòü îáðàçîâàëàñü âåðøèíà r1 , òîãäà NG ({w, v}) = {a1 , a2 , b1 , b2 }. Â ñèëó ñèììåòðèè âîçìîæíû äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ ñëó÷àÿ: a1 , a2 ∈ NG (w), b1 , b2 ∈ NG (v); a1 , b2 ∈ NG (w), a2 , b1 ∈ NG (v). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âåðøèíàìè â ãðàôå G, êàê íà ðèñóíêå 6.19ñ. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå u(G) ≥ 6 è α(G) > 2. Òåïåðü ìû ïîëíîñòüþ äîêàçàëè òåîðåìó 6.1. 6.1.6 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ñóùåñòâóåò ìíîãî áåñêîíå÷íûõ ñåðèé ïðèìåðîâ ãðàôîâ G, ñîäåðæàùèõ s > 0 âåðøèí ñòåïåíè 3 è t > 0 âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 3, äëÿ êîòîðûõ 2 1 u(G) = t + s + 2. 5 4 196 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ìû ïðèâåä¼ì ïðèìåð ñåðèè ãðàôîâ, âñå âåðøèíû êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíè 3 è 4. Òàêèì îáðàçîì, ãðàôû ýòîé ñåðèè ÿâëÿþòñÿ òàêæå îáåùàííûìè âî ââåäåíèè êîíòðïðèìåðàìè ê ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà. Ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ. Êëþ÷åâîé äåòàëüþ íàøåãî ïîñòðîåíèÿ áóäåò ñëåäóþùèé ãðàô Di : ê ãðàôó K4 íà âåðøèíàõ xi , yi , zi , vi äîáàâëåíû âåðøèíà ai , ñìåæíàÿ ñ xi è yi , è âåðøèíà bi , ñìåæíàÿ ñ zi è vi . Ãðàôû D1 ,. . . , Dn (ãäå n > 1) ìû ðàñïîëîæèì ïî öèêëó è ñîåäèíèì ai+1 ñ bi (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1). Ïîëó÷åííûé ãðàô îáîçíà÷èì Hn (ñì. ðèñóíîê 6.20). Î÷åâèäíî, c(Hn ) = 2n · v(Hn ) = 6n, a1 x1 b b z1 b b y1 b b b b b v1 b b b1 x2 b b z2 b b a2 b y2 b b b b b b v2 b b2 b b b b b b b b 2 1 + 4n · = 2n. 5 5 b b b b b Ðèñ. 6.20: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû. Ïîêàæåì, ÷òî u(Hn ) = 2n + 2. Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà T íå ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùèì â ãðàôå Hn . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ öèêëè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 4n íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà Hn : {a1 }, {x1 , y1 }, {z1 , v1 }, {b1 }, {a2 }, {x2 , y2 }, {z2 , v2 }, {b2 }, ... {an }, {xn , yn }, {zn , vn }, {bn }. Ëþáûå äâà íåñîñåäíèõ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå ìíîæåñòâà â îáúåäèíåíèè äàþò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî ãðàôà G, ïîýòîìó ìíîæåñòâî U âèñÿ÷èõ âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà íå ìîæåò ñîäåðæàòü èõ îáúåäèíåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, U ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì äâà ìíîæåñòâà èç íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çíà÷èò, õîòÿ áû 4n − 2 èç ýòèõ ìíîæåñòâ ñîäåðæàò âåðøèíó, íå 197 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß âõîäÿùóþ â U , òî åñòü, |U | ≤ v(Hn ) − 4n + 2 = 2n + 2. Ïðèìåð îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà Hn ñ 2n+2 ëèñòüÿìè ïîñòðîèòü íåñëîæíî. 6.2 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4 Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà 1 3 1 u(G) ≥ t + s + . 3 4 2 Ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.2. Ïðè ïîñòðîåíèè èñêîìîãî îñòîâíîãî äåðåâà äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ (òî åñòü, ãðàôîâ, èìåþùèõ ìåíüøå âåðøèí èëè ñòîëüêî æå âåðøèí, íî ìåíüøå ð¼áåð) òåîðåìà óæå äîêàçàíà. Ïóñòü S(G) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à T (G) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå G, s(G) = |S(G)|, t(G) = |T (G)|. Îïðåäåëåíèå 6.4. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà âåðøèíû x ∈ V (G) ýòî cG (x) =     1 3 ïðè x ∈ T (G), 1 4 ïðè x ∈ S(G),    0 ïðè x ∈ / T (G) ∪ S(G). Ñòîèìîñòüþ ãðàôà G íàçîâ¼ì âåëè÷èíó X 1 1 c(G) = t(G) + s(G) = cG (x). 3 4 x∈V (G) Äëÿ ëþáîãî ïîäãðàôà F ãðàôà G îïðåäåëèì åãî ñòîèìîñòü â ãðàôå G êàê cG (F ) = X x∈V (F ) cG (x). ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 198 Ìû õîòèì äîêàçàòü íåðàâåíñòâî u(G) ≥ c(G) + 32 , î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíîå óòâåðæäåíèþ òåîðåìû 6.2. 6.2.1 Ðåäóêöèÿ Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìû áóäåì ñâîäèòü çàäà÷ó ê ìåíüøåìó ãðàôó. Äëÿ ðåäóêöèè íàì ïîíàäîáèòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé è óòâåðæäåíèé. Îïðåäåëåíèå 6.5. Ïóñòü äàíû äâà ãðàôà G1 è G2 , â êîòîðûõ âûäåëåíû âåðøèíû x1 ∈ V (G1 ) è x2 ∈ V (G2 ) ñîîòâåòñòâåííî, V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅. Ñêëåèòü ãðàôû G1 è G2 ïî âåðøèíàì x1 è x2 îçíà÷àåò ñêëåèòü äâå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x, êîòîðîé áóäóò ïåðåäàíû âñå âûõîäÿùèå èç x1 è x2 ð¼áðà îáîèõ ãðàôîâ. Îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà ãðàôîâ G1 è G2 âîéäóò â ïîëó÷åííûé ïðè ñêëåéêå ãðàô áåç èçìåíåíèé. Íàïîìíèì, ÷òî ìîñò ãðàôà G ýòî åãî ðåáðî, íå âõîäÿùåå íè â îäèí öèêë. Ëåììà 6.5. Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅, v(G1 ) ≥ 2, v(G2 ) ≥ 2 è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì íåñêîëüêèõ ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì. Òîãäà u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî x1 è x2 . Î÷åâèäíî, ìîñòû ãðàôà G0 âõîäÿò â ëþáîå åãî îñòîâíîå äåðåâî. Ïîýòîìó, ïðè ñòÿãèâàíèè ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì, íå ìåíÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, òî åñòü, u(G0 ) = u(G). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî u(G0 ) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 199 Ïóñòü x âåðøèíà ãðàôà G0 , ïîëó÷åííàÿ èç x1 è x2 â ðåçóëüòàòå ñêëåèâàíèÿ. ≥. Ðàññìîòðèì îñòîâíûå äåðåâüÿ T1 è T2 ãðàôîâ G01 è G02 c u(T1 ) = u(G01 ) è u(T2 ) = u(G02 ). Ñêëåèâ â íèõ âèñÿ÷èå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x, ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G0 c u(T ) = u(T1 ) + u(T2 ) − 2 (âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T1 è T2 , êðîìå x1 è x2 , îñòàëèñü âèñÿ÷èìè â äåðåâå T ). Ñëåäîâàòåëüíî, u(G0 ) ≥ u(G01 ) + u(G02 ) − 2. ≤. Òåïåðü ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ). Âåðøèíà x ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 è ïîòîìó íå ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé äåðåâà T 0 , çíà÷èò, dT 0 (x) = dG0 (x) = 2. Î÷åâèäíî, äåðåâî T 0 ñêëååíî ïî âåðøèíàì x1 è x2 èç îñòîâíîãî äåðåâà T10 ãðàôà G01 (â êîòîðîì âåðøèíà x1 âèñÿ÷àÿ) è îñòîâíîãî äåðåâà T20 ãðàôà G02 (â êîòîðîì âåðøèíà x2 âèñÿ÷àÿ). Âñå îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T10 è T20 ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 , ïîýòîìó u(G0 ) = u(T 0 ) = u(T10 ) + u(T20 ) − 2 ≤ u(G01 ) + u(G02 ) − 2. Çàìå÷àíèå 6.14. Â ðàçäåëå 6.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà- öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí. Ëåììà 6.6. Ïóñòü a, b ∈ V (G) ñìåæíûå âåðøèíû, à ïîäãðàô G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G−a, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó b. Òîãäà, åñëè b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òî u(G) ≥ u(G0 ) + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T 0 îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ). Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G, ïðèñîåäèíèâ âåðøèíó a ê b è äàëåå ïðèñîåäèíèâ ê âåðøèíå a âñå îòëè÷íûå îò G0 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G − a. Âåðøèíà b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïîýòîìó îíà íå ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â äåðåâå T 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, u(G) ≥ u(T ) ≥ u(T 0 ) + 1 = u(G0 ) + 1. 200 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îïèøåì ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà. Â êàæäîì ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî íå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ. R1. Â ãðàôå G åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 2. Åñëè a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî, ñòÿíóâ èíöèäåíòíîå åé ðåáðî, ìû ïîëó÷èì ìåíüøèé ãðàô G0 ñ c(G0 ) = c(G) è u(G0 ) = u(G). Åñëè æå a íå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî èíöèäåíòíîå åé ðåáðî ab íå ìîñò è ãðàô G0 = G − ab ñâÿçåí. Î÷åâèäíî, cG0 (a) − cG (a) = 1 4 è 1 cG (b) − cG0 (b) ≤ , 4 ïîýòîìó c(G0 ) ≥ c(G). Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, ìû èìååì u(G0 ) ≤ u(G). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ ìåíüøåãî ãðàôà G0 . Çàìå÷àíèå 6.15. Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G íåò âåðøèí ñòåïåíè 2. Ïóñòü U ìíîæåñòâî âñåõ âèñÿ÷èõ âåðøèí ãðàôà G. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî U 6= ∅ (ñëó÷àé ãðàôà áåç âèñÿ÷èõ âåðøèí ìû ðàçáåð¼ì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå). Åñëè êàêèå-òî äâå âåðøèíû èç U ñìåæíû, òî â ãðàôå åñòü òîëüêî ýòè äâå âåðøèíû, à äëÿ ãðàôà èç äâóõ âåðøèí óòâåðæäåíèå òåîðåìû 6.2 î÷å- Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå áîëåå äâóõ âåðøèí, ïîýòîìó, íèêàêèå äâå âåðøèíû èç U íå ñìåæíû. âèäíî. Ïóñòü W ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ âèñÿ÷èìè, à X ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ íå âîøåäøèõ â U è W âåðøèí, ñìåæíûõ ñ W. Ïóñòü H = G − U . Ïîíÿòíî, ÷òî ãðàô H ñâÿçåí. 201 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R2. Ãðàô H íåäâóñâÿçåí. Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H . Òîãäà a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G è ñóùåñòâóþò òàêèå ñâÿçíûå ãðàôû G1 è G2 , ÷òî V (G1 ) ∪ V (G2 ) = V (G), V (G1 ) ∩ V (G2 ) = {a} è v(G1 ), v(G2 ) > 2. Äëÿ i ∈ {1, 2} ðàññìîòðèì ãðàô G0i , ïîëó÷åííûé èç Gi ïðèñîåäèíåíèåì íîâîé âèñÿ÷åé âåðøèíû xi ê âåðøèíå a (ñì. ðèñóíîê 6.21). Òîãäà ãðàô G ïîëó÷àåòñÿ èç G01 è G02 ñêëåéêîé âåðøèí x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì äâóõ èíöèäåíòíûõ x ìîñòîâ (ïðè ýòîì äâå êîïèè âåðøèíû a â ãðàôàõ G01 è G02 ñêëåÿòñÿ â âåðøèíó a ãðàôà G). Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 6.5 è ìû èìååì u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2. G a b a G1 b b b G’1 G2 x1 a b x2 G’2 Ðèñ. 6.21: Ðåäóêöèÿ R2 Ïîñêîëüêó dG (a) = dG01 (a) + dG02 (a) − 2, òî íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî cG (a) ≤ cG01 (a) + cG02 (a). Òàê êàê âåðøèíû x1 ∈ V (G01 ) è x2 ∈ V (G02 ) (êîòîðûå ñòîÿò ïî 41 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G), à âñå îòëè÷íûå îò a âåðøèíû ãðàôà G âõîäÿò ðîâíî â îäèí èç ãðàôîâ G01 è G02 è èìåþò â ýòîì ãðàôå òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê â ãðàôå G, ìû èìååì 1 c(G) ≤ c(G01 ) + c(G02 ) − 2 · . 4 Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî v(G01 ) < v(G) è v(G02 ) < v(G). Òîãäà ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ u(G01 ) ≥ c(G01 ) + 3 2 è 3 u(G02 ) ≥ c(G02 ) + . 2 202 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òàêèì îáðàçîì, u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2 ≥ c(G01 ) + c(G02 ) − 1 3 3 + ≥ c(G) + , 2 2 2 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå 6.16. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå H íåò òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî âåðøèíû ìíîæåñòâà W (êàæäàÿ òàêàÿ âåðøèíà îòäåëÿåò ñìåæíûå ñ íåé âèñÿ÷èå âåðøèíû îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà). R3. Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû x, y ∈ V (G), ÷òî dG (x) ≥ 5 è dG (y) ≥ 5. Òîãäà ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G − xy . Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − U î÷åâèäíî ñëåäóåò ñâÿçíîñòü ãðàôà G0 , äëÿ íåãî óòâåðæäåíèå òåîðåìû óæå äîêàçàíî. Î÷åâèäíî, dG0 (x) ≥ 4 è dG0 (y) ≥ 4, ïîýòîìó cG (x) = cG0 (x), cG (y) = cG0 (y) è c(G0 ) = c(G). Òàê êàê îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì G, óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî è äëÿ G. Çàìå÷àíèå 6.17. Â ðàçäåëå 1.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà- öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí. R4. Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷- êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a è c(G0 ) ≥ c(G) − 1. Òàê êàê âåðøèíà b ∈ NG0 (a) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïî ëåììå 6.6 ìû èìååì u(G) ≥ u(G0 )+1. Äëÿ ìåíüøåãî ãðàôà G0 óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî, ïîýòîìó u(G) ≥ u(G0 ) + 1 ≥ c(G0 ) + 1 + ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 3 3 ≥ c(G) + , 2 2 203 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ëåììà 6.7. Eñëè ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé, òî ìîæíî ïðîâåñòè ðåäóêöèþ R4. 1◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a è dG (a) ≤ 3. 2◦ Cóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ w ∈ W âåðøèíà x òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 3. 3◦ Cóùåñòâóþò äâå âåðøèíû x, y ∈ U , ñìåæíûå ñ îäíîé âåðøèíîé w ∈ W. 4◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) ≤ 6 è x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç S(G). 5◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 4 è x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G). Äîêàçàòåëüñòâî. 1◦ Èç äâóñâÿçíîñòè H ñëåäóåò, ÷òî â G0 âõîäÿò âñå âåð- øèíû ãðàôà G − a, êðîìå ñìåæíûõ ñ a âèñÿ÷èõ âåðøèí. Îò óìåíüøåíèÿ ñòåïåíè íà 1 öåíà âåðøèíû óìåíüøàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà 41 . Ñìåæíûå ñ x âèñÿ÷èå âåðøèíû (åñëè òàêèå åñòü) òàêæå èìåþò öåíó 14 . Ïîýòîìó c(G) − c(G0 ) ≤ cG (a) + X (cG (v) − cG0 (v)) ≤ v∈NG (a) 1 1 +3· =1 4 4 è óñëîâèå R4 äëÿ âåðøèí a è b âûïîëíåíî. 2◦ è 3◦ . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Î÷åâèäíî, w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òàê êàê îòäåëÿåò ñìåæíóþ ñ íåé âèñÿ÷óþ âåðøèíó (îòëè÷íóþ îò x) îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 1◦ äëÿ a = x è b = w. 4◦ è 5◦ . Ïóñòü w ∈ W âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Êàê è âûøå, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G0 ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà G − x, êðîìå ñìåæíûõ ñ x âèñÿ÷èõ âåðøèí, à w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 . 204 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî c(G) − c(G0 ) ≤ 1. Îò óìåíüøåíèÿ ñòåïåíè íà 1 öåíà âåðøèíû èç S(G) óìåíüøàåòñÿ íà 14 , à öåíà ëþáîé äðóãîé âåðøèíû íå áîëåå, ÷åì íà 1 3 − 1 4 = c(G) − c(G0 ) ≤ cG (x) + 1 12 . Íàïèøåì îöåíêó äëÿ ñëó÷àÿ 4◦ : X (cG (y) − cG0 (y)) ≤ y∈NG (x) 1 1 1 + +5· = 1. 3 4 12 Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà âåðíà è â ñëó÷àå 5◦ : 0 c(G) − c(G ) ≤ cG (x) + X (cG (y) − cG0 (y)) ≤ y∈NG (x) 1 1 1 +2· +2· = 1. 3 4 12 Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî óñëîâèÿ ðåäóêöèè R4 äëÿ a = x è b = w âûïîëíåíû. Çàìå÷àíèå 6.18. Â äàëüíåéøåì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò íè îäíîìó èç óñëîâèé 1◦ − 5◦ ëåììû 6.7. Ëåììà 6.8. Åñëè íåëüçÿ ïðèìåíèòü ïðàâèëà R1 − R4, òî íèêàêèå äâå âåðøèíû èç W íå ñìåæíû â ãðàôå G. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ñóùåñòâóþò äâå ñìåæ- íûå âåðøèíû w, w0 ∈ W , dG (w) ≤ dG (w0 ). Òîãäà dG (w) ≤ 4 (èíà÷å ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü R3). Áîëåå òîãî, dG (w) = 4 (èíà÷å w è w0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 2◦ ëåììû 6.7). Âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû, êðîìå îäíîé âèñÿ÷åé, èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4, èíà÷å ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óñëîâèé 2◦ èëè 3◦ ëåììû 6.7. Íî â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 4◦ ëåììû 6.7 äëÿ x = w, ïðîòèâîðå÷èå. Çàìå÷àíèå 6.19. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ îäíîé âåðøèíîé èç U è dG (w) − 1 âåðøèíîé ìíîæåñòâà X . Â ÷àñòíîñòè, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X 6= ∅. Òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7, âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü õîòÿ áû 4. 205 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R5. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè w, w0 , ïðè- ÷¼ì w ∈ W , dG (w) = dG (w0 ) = 3 è â NG (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G). Çàìå÷àíèå 6.20. Òàê êàê X ∩ S(G) = ∅, â ñëó÷àå w0 ∈ W óñëîâèå R5 âûïîëíåíî. Ïóñòü NG (w) = {x, y, u}, ãäå u ∈ U . Îòìåòèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 6.19 ìû èìååì dG (y) ≥ 4. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G0 = G · wx ñâÿçåí. Ïóñòü x0 = x · w ∈ V (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 6.22). Ëþáàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ v 6= x0 ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G. Áîëåå òîãî, ïóñòü K êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè Çàìå÷àíèå 6.21. ãðàôà G0 − v . Åñëè K íå ñîäåðæèò x0 , òî K ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà G−v . Åñëè æå K ñîäåðæèò x0 , òî K ∪{x, w}\{x0 } êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G − v . y b b x y b b b b b w u x’ b b w’ b b b G w’ u b G’ Ðèñ. 6.22: Ãðàôû G è G0 . Åñëè w0 ∈ W , òî ãðàô G0 − w0 èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïðè÷åì îäíà èç íèõ ñîñòîèò èç âèñÿ÷åé âåðøèíû, ñìåæíîé ñ w0 . Ïóñòü G∗ äðóãàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G0 − w0 , êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îñòàëüíûå âåðøèíû. Åñëè w0 6∈ W , òî ãðàô G0 − w0 ñâÿçåí. Òîãäà ïîëîæèì G∗ = G0 − w0 . Î÷åâèäíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ c(G∗ ) = c(G0 − w0 ). Òàê êàê ñâÿçíûé ãðàô G∗ ìåíüøå G, äëÿ ýòîãî ãðàôà âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Âåðøèíà x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G∗ (ñ íåé ñìåæíà âèñÿ÷àÿ âåðøèíà u), ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 6.6 3 u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G∗ ) + 1 ≥ c(G∗ ) + 1 + . 2 206 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî c(G∗ ) = c(G0 − w0 ) ≥ c(G) − 1. Îòìåòèì, ÷òî dG0 (x0 ) ≥ 4, ïîýòîìó, cG0 (x0 ) = 1 3 = cG (x). Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw ñòåïåíü îòëè÷íîé îò x è w âåðøèíû ìîãëà óìåíüøèòüñÿ òîëüêî íà 1 (â ñëó÷àå, êîãäà ýòà âåðøèíà ñìåæíà â ãðàôå G è ñ x, è ñ w). Òàêîé âåðøèíîé ìîæåò áûòü òîëüêî y , ñëåäîâàòåëüíî, cG0 (y) ≥ cG (y) − 1 12 (òàê êàê y ∈ X ⊂ T (G) ïî çàìå÷àíèþ 6.19). Còåïåíè îòëè÷íûõ îò x, y, w âåðøèí â ãðàôàõ G è G0 îäèíàêîâû. Òàêèì îáðàçîì, 1 c(G0 ) ≥ c(G) − . 3 Ïîñêîëüêó dG0 (x0 ) ≥ 4, òî S(G) ⊃ S(G0 ). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â NG (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G), ïîýòîìó â NG0 (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, 0 0 0 0 c(G − w ) = c(G ) − c (w ) − G0 X (cG0 (v) − cG0 −w0 (v)) ≥ v∈NG0 (w0 ) 1 c(G0 ) − − 4 1 1 +2· 4 12 = c(G0 ) − 2 ≥ c(G) − 1, 3 ÷òî äëÿ íàñ äîñòàòî÷íî. R6. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , dG (x) ≤ 6. Ìû âûáåðåì âåðøèíó x ∈ X íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Òàê êàê âåðøèíà x íå äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 4◦ ëåììû 6.7, òî îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G). Òàê êàê x 6∈ W , îáå ýòè âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 3. Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü R5, òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ äâóõ âåðøèí íå ïðèíàäëåæèò W (ñì. çàìå÷àíèå 6.20) è èìååò äâóõ ñîñåäåé èç S(G). Îáîçíà÷èì ýòó âåðøèíó ÷åðåç y , ïóñòü NG (y) = {x, z, z 0 }. Òîãäà, òàê êàê y ∈ / W , ìû èìååì dG (z) = dG (z 0 ) = 3. Ïóñòü âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ x. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 207 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß R6.1. dG (x) = 4, dG (w) ≥ 4. Ïóñòü NG (x) = {w, y, y1 , y2 }. Òîãäà dG (y) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 3, èíà÷å âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 5◦ ëåììû 6.7. Íàøà ïåðâàÿ öåëü ïîñòðîèòü â ãðàôå G ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû y äî íåêîòîðîé âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G)∪NG(x) èëè q ∈ {y1, y2}), âñå âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â S(G) è íå ëåæàò â NG(x), à ãðàô G − E(P ) − x ñâÿçåí. Ðàññìîòðèì z ∈ NG (y), z 6= x. Ïî çàìå÷àíèþ 6.19 èç dG (y) = 3 ñëåäóåò, ÷òî y ∈ / X , òî åñòü, y íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ w ∈ W . Çíà÷èò, z 6= w. Åñëè ðåáðî yz ìîñò â G − x, òî x òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ãðàôå G − y è âûïîëíåíî óñëîâèå 1◦ ëåììû 6.7 äëÿ âåðøèí y è x, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ðåáðî yz íå ìîñò â G − x. y b b 2 b b w y 1 b z x b b b b t’ b v1 y b b t b q Ðèñ. 6.23: Ðåäóêöèÿ R6.1, ïóòü P . Â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî yz . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G − yz − x ñâÿçåí è dG (z) ≥ 3. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïóòü P 0 îò y äî t, ïðè÷¼ì ãðàô G − E(P 0 ) − x ñâÿçåí, dG (t) ≥ 3 è t 6= w (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = z è âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t ∈ S(G) (òî åñòü, dG (t) = 3) èt∈ / {y1 , y2 }, èíà÷å ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü NG (t) = {t0 , v1 , v2 }, ãäå t0 ïðåäûäóùàÿ âåðøèíà ïóòè P 0 . Òîãäà dG (t0 ) = 3. Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v1 6= w. Î÷åâèäíî, v1 6= x. Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G − E(P 0 ) − x − t0 (êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç ñâÿç- 208 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß íîãî ãðàôà G − E(P 0 ) − x óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Òîãäà u(G) ≥ u(G − E(P 0 )) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 (â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G − E(P 0 ) − x − t0 äîáàâèì äâå íîâûå âèñÿ÷èå âåðøèíû: x ïðèñîåäèíèì ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ w, à t0 ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ t). Îöåíèì c(G)−c(G−E(P 0 )−x−t0 ). Óäàëåíû âåðøèíû x è t0 ñóììàðíîé ñòîèìîñòüþ 1 3 + 14 . Òàê êàê öåíà âåðøèí ñòåïåíè 1 è 3 îäèíàêîâà, òî öåíà îòëè÷íûõ îò t0 è t âåðøèí ïóòè P 0 íå èçìåíèëàñü. Òîãäà â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ E(P 0 ), x è t0 èç ãðàôà G0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ëèøü ó òðåõ âåðøèí èç NG (x) \ {y} è äâóõ èç òð¼õ âåðøèí ìíîæåñòâà NG (t0 ) (êðîìå ïðåäøåñòâóþùåé t0 âåðøèíû ïóòè P 0 ), ÷òî äàåò íàì ìàêñèìóì 54 . Çíà÷èò, c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) ≥ c(G) − 1 1 5 − − > c(G) − 2 3 4 4 è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ ìû èìååì u(G) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 ≥ c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 + 3 3 > c(G) + . 2 2 Â ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà dG−E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, v1 6∈ V (P 0 ) è dG (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì ïóòü P 0 íà ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ïóòü P . Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G−E(P )−x. Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå, u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1 è íàì îñòàåòñÿ ëèøü îöåíèòü c(G) − c(G − E(P ) − x). Ìû óäàëèëè âåðøèíó x öåíîé 31 . Ïðè q ∈ / {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òðåõ îòëè÷íûõ îò y 1 âåðøèí èç NG (x) (ìàêñèìóì íà 2 · 14 + 12 , òàê êàê w 6∈ S(G)) è âåðøèíû q 209 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß (íà 1 12 ). Ïðè q ∈ {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òîëüêî äâóõ îòëè÷íûõ îò y è q âåðøèí èç NG (x), ìàêñèìóì íà 1 4 1 + 12 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì, ÷òî c(G) − c(G − E(P ) − x) ≤ 1 è u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1 ≥ c(G − E(P ) − x) + 1 + R6.2. 3 3 ≥ c(G) + . 2 2 Âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé: • dG (x) = 4 è dG (w) = 3; • dG (x) > 4. Êàê è â ïóíêòå R5, ìû ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G · xw è âåðøèíó x0 = x · w ∈ V (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 6.22). Ïîíÿòíî, ÷òî x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , îíà îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî dG0 (x0 ) ≥ dG (x) ≥ 4. (Âåðøèíà x0 ñìåæíà â ãðàôå G0 ñî âñåìè âåðøèíàìè èç NG (x), êðîìå w è, êðîìå òîãî, ñìåæíà ñ âèñÿ÷åé âåðøèíîé èç NG (w).) Çàìå÷àíèå 6.22. 1) Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw óìåíüøàþòñÿ, ïðè÷åì ðîâ- íî íà 1, ëèøü ñòåïåíè âåðøèí, âõîäÿùèõ â òðåóãîëüíèê ñ w è x, à òàêèå âåðøèíû ïðèíàäëåæàò X (â ñèëó ëåììû 6.8) è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4 (èíà÷å âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7). 2) Ïîýòîìó, èç dG (a) = 3 è a 6= w ñëåäóåò, ÷òî dG0 (a) = 3. Åñëè dG (w) = 3, òî c(G0 ) ≥ c(G) − 13 , êàê äîêàçàíî â ïóíêòå R5. Ïóñòü dG (x) > 4, òîãäà ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç X íå ìåíåå 5. Ïî çàìå÷àíèþ 6.22 ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw ìîãóò óìåíüøèòüñÿ ëèøü ñòåïåíè âåðøèí èç ìíîæåñòâà X , ïðè÷åì ðîâíî íà 1. Â íàøåì ñëó÷àå ñòåïåíü òàêèõ âåðøèí â ãðàôå G íå ìåíåå 5, ïîýòîìó öåíà ëþáîé òàêîé âåðøèíû â G è G0 îäíà è òà æå. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå 1 c(G) − c(G0 ) = cG (w) ≤ . 3 210 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Íàïîìíèì, ÷òî y òàêàÿ ñìåæíàÿ ñ x âåðøèíà ãðàôà G, ÷òî y∈ / W, NG (y) = {x, z, z 0 } è dG (z) = dG (z 0 ) = 3 (ñì. íà÷àëî ïóíêòà R6). Îòìåòèì, ÷òî NG0 (y) = {x0 , z, z 0 }. Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G0 ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû z äî íåêîòîðîé âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G0) ∪ NG(y) èëè q = z0), âñå âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â S(G0) è íå ëåæàò â NG (x0) è ãðàô G0 − E(P ) − y ñâÿçåí. 0 z’ y b b x’ z b b b t’ b v1 b b b v b b t b q Ðèñ. 6.24: Ðåäóêöèÿ R6.2: ãðàô G0 è ïóòü P . Ïóñòü v ∈ NG0 (z), v 6∈ {y, x0 }. Åñëè ðåáðî zv ìîñò â G0 − y , òî z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â G0 −y . Ïî çàìå÷àíèþ 6.21, òîãäà z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â G − y , òî åñòü, âåðøèíû y è z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 1◦ ëåììû 6.7, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ðåáðî zv íå ìîñò â G0 − y . Â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî zv . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí è dG0 (v) ≥ 3. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïðîñòîé ïóòü P 0 îò z äî t, ïðè÷¼ì ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí, t 6= x0 è dG0 (t) ≥ 3 (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = v è âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t 6= z 0 è t ∈ S(G0 ), èíà÷å ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, dG0 (t) = 3. Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî. Ïóñòü NG0 (t) = {t0 , v1 , v2 }, ãäå t0 ïðåäøåñòâóþùàÿ t âåðøèíà ïóòè P 0 è v1 6= x0 . Òîãäà dG0 (t0 ) = 3. Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y − t0 (ýòîò ãðàô ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç ñâÿçíîãî ãðàôà G0 −E(P 0 )−y óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Àíàëîãè÷íî 211 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß ïóíêòó R6.1, ìû ïîëó÷èì, ÷òî u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P 0 )) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2. Îöåíèì c(G) − c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ). Êàê ìû çíàåì, c(G) − c(G0 ) ≤ 31 . Èç ãðàôà G0 óäàëåíû âåðøèíû y è t0 ñóììàðíîé ñòîèìîñòüþ 21 . Ïðè óäàëåíèè èç G0 âåðøèí y è t0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ó äâóõ ñîñåäåé y è ó äâóõ ñîñåäåé t0 (ñòåïåíè ñîñåäåé y è t0 , ëåæàùèõ ìåæäó íèìè íà ïóòè P 0 , èçìåíèëèñü ñ 3 íà 1, ÷òî íå ìåíÿåò öåíó âåðøèíû). Ýòî äàåò íàì íå áîëåå ÷åì 4 · 41 . Çíà÷èò, c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) ≥ c(G0 ) − 1 1 11 − 4 · ≥ c(G) − 2 4 6 è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ èìååì u(G) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 ≥ c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 + 3 3 > c(G) + . 2 2 Â ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà dG0 −E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ïîýòîìó v1 ∈ / V (P 0 ) è dG0 (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì ïóòü P 0 íà ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ïóòü P . Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G0 −E(P )−y . Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå, u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P ) − y) + 1 è íàì îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî c(G0 − E(P ) − y) ≥ c(G0 ) − 2 ≥ c(G) − 1. 3 Íà ýòîò ðàç ìû óäàëèëè èç G0 âåðøèíó y öåíîé 41 . Ïðè q 6= z 0 ìû óìåíü1 øèëè öåíó äâóõ îòëè÷íûõ îò z âåðøèí èç NG0 (y) (ìàêñèìóì íà 14 + 12 , òàê êàê x0 6∈ S(G0 )) è âåðøèíû q (íà 1 12 ). Ïðè q = z 0 ìû óìåíüøèëè òîëüêî öåíó âåðøèíû x0 , ïðè÷åì íå áîëåå, ÷åì íà 1 12 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì c(G0 ) − c(G0 − E(P ) − x) ≤ 23 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ëåììà 6.9. 212 Åñëè â ñâÿçíîì ãðàôå G áîëåå äâóõ âåðøèí, åñòü âèñÿ÷èå âåðøèíû è íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïóíêòîâ R1 − R6, òî ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. 1◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà X ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7. 2◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü íå áîëåå 4. 3◦ Êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèía ãðàôà G ñìåæíà ñ âåðøèíîé ìíîæåñòâà W . Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âèñÿ÷åé âåðøèíîé ãðàôà G. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê â ãðàôå õîòÿ áû äâå âåðøèíû, òî íèêàêèå äâå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû íå ñìåæíû. Çíà÷èò, êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ñìåæíà ñ âåðøèíîé èç W . Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü R6, âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîïàðíî íåñìåæíû. Ïî ëåììå 6.8 âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è, êàê ìû çíàåì, îíè èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 3. Çíà÷èò, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ñ ìíîæåñòâîì X . Òàê êàê ñòåïåíè âñåõ âåðøèí èç X õîòÿ áû 7 è íåâîçìîæíî âûïîëíèòü R3, òî ñòåïåíè âåðøèí ìíîæåñòâà W íå ïðåâîñõîäÿò 4. 6.2.2 Ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí Ïóñòü íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ïðàâèë ðåäóêöèè R1 − R6. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî â ãðàôå G ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí. Íàøà ìîäèôèêàöèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà: ìû íà÷íåì ïîñòðîåíèå ñ ëåñà (íå îáÿçàòåëüíî äåðåâà). Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî øàãàì äîáàâëÿòü ê íåìó âåðøèíû è óìåíüøàòü êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. 213 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà H ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç k(H) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ýòîãî ãðàôà. Ïóñòü ïîñëå íåñêîëüêèõ øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ìû ïîëó÷èëè ëåñ F (ãäå V (F ) ⊂ V (G), E(F ) ⊂ E(G)). Âñå ð¼áðà ëåñà F îñòàíóòñÿ â íàøåì ëåñå íà ïîcëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ è âîéäóò â èòîãîâîå îñòîâíîå äåðåâî. Îïðåäåëåíèå 6.6. Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x ëåñà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè âñå âåðøèíû ãðàôà G, ñìåæíûå c x, âõîäÿò â ëåñ F , ïðè÷¼ì â òó æå êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ÷òî è x. Äëÿ ëåñà F ÷åðåç b(F ) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî åãî ì¼ðòâûõ âåðøèí. Çàìå÷àíèå 6.23. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû ñòàíóò ì¼ðòâûìè. Äëÿ ëåñà F ìû îïðåäåëèì 1 5 α(F ) = u(F ) + b(F ) − cG (F ) − 2(k(F ) − 1). 6 6 (6.4) Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ T = T (G) è S = S(G). Â íàøåì ñëó÷àå V (G) = S ∪ T. Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ Îòäåëüíî îïèøåì íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G áîëåå äâóõ âåðøèí. Íà ýòîì ýòàïå ìû ïîñòðîèì â ãðàôå G ëåñ F ∗ ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì α(F ∗ ), ñîäåðæàùèé âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. B1. Â ãðàôå G íåò âèñÿ÷èõ âåðøèí. Â ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñ dG (a) ≥ 4, èíà÷å íàøà òåîðåìà ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòà ðàáîòû [19]. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F ∗ , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñ 4 âåðøèíàìè èç 214 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß å¼ îêðåñòíîñòè. Òîãäà 5 1 5 ·4− ·5= . 6 3 3 α(F ∗ ) ≥ B2. Â ãðàôå G åñòü âèñÿ÷èå âåðøèíû, òî åñòü U 6= ∅. Â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå ëåììû 6.9. Ïóñòü Y ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ X è íå âîøåäøèõ â W . Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ íà âåðøèíàõ W ∪ X ∪ U ∪ Y , âñå ð¼áðà êîòîðîãî ýòî ð¼áðà ãðàôà G, èíöèäåíòíûå W èëè X . Èç ëåììû 6.9 ïîíÿòíî, ÷òî G∗ äâóäîëüíûé ãðàô ñ äîëÿìè W ∪ Y è X ∪ U . Ïóñòü G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G∗ . Ìû ïîñòðîèì â G0 îñòîâíîå äåðåâî F 0 ñ α(F 0 ) ≥ 2. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ïîäãðàô G00 = G0 −Y , ïóñòü â ýòîì ïîäãðàôå k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà G00 ñîåäèíÿþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç âåðøèíû ìíîæåñòâà Y (ñì. ðèñóíîê 6.25). U X X U W X U W W Y Ðèñ. 6.25: Áàçà B2, ãðàô G0 . Ïóñòü W 0 = W ∩ V (G0 ), X 0 = X ∩ V (G0 ), Y 0 = Y ∩ V (G0 ), U 0 = U ∩ V (G0 ). Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7 âåðøèíàìè èç W 0 ∪Y 0 . Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W 0 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç U è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ 2 èëè 3 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç W20 è W30 ìíîæåñòâà âåðøèí èç W 0 , ñìåæíûõ ñ 2 è 3 âåðøèíàìè èç X 0 , ñîîòâåòñòâåííî. Ïîíÿòíî, ÷òî W20 ⊂ S è W30 ⊂ T . 215 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà Y 0 ñìåæíà ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà X 0 , èìåþùèìè ñòåïåíü õîòÿ áû 7. Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü R3, âåðøèíû èç Y 0 èìåþò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî åñòü, êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Y40 ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç Y 0 , ñìåæíûõ ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 , ïóñòü Y30 = Y 0 \ Y40 . Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ x = |X 0 |, w2 = |W20 |, w3 = |W30 |, y3 = |Y30 |, y4 = |Y40 |. Òîãäà 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 . (6.5) 7 Âûäåëèì â ãðàôå G0 îñòîâíûé ëåñ F 0 , ïîäâåñèâ ê W 0 ∪ X 0 âåðøèíû èç |U 0 | = w2 + w3 , x≤ Y 0 ∪U 0 (ýòè âåðøèíû áóäóò âèñÿ÷èìè, èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî w2 +w3 +y3 +y4 ). Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî â òàêîì ëåñó k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (ñòîëüêî æå, ñêîëüêî â ãðàôå G00 = G0 − Y ). Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 , ñâÿçàâ ýòè k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â îäíó, äëÿ ÷åãî ïðîâåä¼ì k − 1 íîâîå ðåáðî ìåæäó Y 0 è X 0 . Â ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí èç Y 0 ∪ U 0 óìåíüøèòñÿ íå áîëåå ÷åì íà k − 1 è ïîëó÷èòñÿ u(T 0 ) ≥ w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1. (6.6) Îöåíèì còîèìîñòü äåðåâà T 0 : cG (T 0 ) ≤ 1 1 · (2w2 + w3 ) + · (w3 + x + y3 + y4 ). 4 3 (6.7) Âñå âåðøèíû èç U 0 , î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ì¼ðòâûìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 . Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåðøèíà èç Y èìååò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî òå âåðøèíû èç Y40 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â äåðåâå T 0 ì¼ðòâûå âåðøèíû ýòîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì, ìåíüøå âñåãî ì¼ðòâûõ âåðøèí ó äåðåâà T 0 â ñëó÷àå, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ëåñà F 0 , ïðîïàâøèå ïðè ñêëåéêå êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, ëåæàëè â Y40 è ìû èìååì b(T 0 ) ≥ |U 0 | + y4 − k + 1 = w2 + w3 + y4 − k + 1. (6.8) 216 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå âûøå íåðàâåíñòâà (6.6), (6.7) è (6.8), ïîëó÷àåì 1 5 α(T 0 ) = u(T 0 ) + b(T 0 ) − cG (T 0 ) ≥ 6 6 5 1 (w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1) + (w2 + w3 + y4 − k + 1) − cG (T 0 ) ≥ 6 6 5 w2 + w3 + y4 + y3 − cG (T 0 ) − k + 1 ≥ 6 5 1 2 1 1 + y3 · + y4 · − x · − k + 1. (6.9) w2 · + w 3 · 2 12 2 3 3 Äàëåå íàì íóæíî îöåíèòü k . Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G00 . Â G0 åñòü âåðøèíà v ∈ W20 ∪ W30 . Åñëè v ∈ W20 , òî â G0 õîòÿ áû äâå âåðøèíû èç X 0 , à åñëè v ∈ W30 òî õîòÿ áû òðè âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì îáðàçîì, 2k ≤ x. (6.10) Ïóñòü k2 êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà G00 , ñîäåðæàùèõ ïî äâå âåðøèíû èç X 0 . Â êàæäîé òàêîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè îáÿçàòåëüíî åñòü âåðøèíà èç W20 , ïîýòîìó k2 ≤ w2 . Òîãäà x ≥ 3(k − k2 ) + 2k2 = 3k − k2 ≥ 3k − w2 , ÷òî ìû ïåðåïèøåì â âèäå 3k ≤ x + w2 . Ñëîæèâ óìíîæåííîå íà 3 2 (6.11) íåðàâåíñòâî (6.10) è íåðàâåíñòâî (6.11) è ñî- êðàòèâ íà 6, ïîëó÷èì k≤ 5 1 x + w2 . 12 6 (6.12) Îòìåòèì, ÷òî X 0 6= ∅, à êàæäàÿ âåðøèíà èç X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7 âåðøèíàìè èç W 0 ∪ Y 0 . Ïîýòîìó, w2 + w3 + y3 + y4 ≥ 7. Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. (6.13) 217 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß B2.1. W30 = ∅. Âåðí¼ìñÿ ê íåðàâåíñòâó (6.9). C ó÷åòîì w3 = 0 è íåðàâåíñòâà (6.10) ïîëó÷àåì α(T 0 ) ≥ w2 · 1 2 1 1 + y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥ 2 2 3 3 1 1 2 5 w2 · + y3 · + y4 · − x · + 1. (6.14) 2 2 3 6 Ïîäñòàâèâ â (6.14) îöåíêó íà x èç (6.5), ó÷èòûâàÿ (6.13) è w3 = 0, ïîëó÷èì α(T 0 ) ≥ w2 · 1 4 1 11 + y3 · + y4 · + 1 ≥ (w2 + y3 + y4 ) · + 1 ≥ 2, 42 7 21 7 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. B2.2. W20 = ∅, k = 1. Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (6.9), w2 = 0 è k = 1 ïîëó÷àåì α(T 0 ) ≥ w3 · 5 1 2 1 + y3 · + y4 · − x · . 12 2 3 3 (6.15) Ïîäñòàâèâ â (6.15) îöåíêó íà x èç (6.5), ïîëó÷èì α(T 0 ) ≥ w3 · 5 10 23 5 23 + y3 · + y4 · ≥ w3 · + (y3 + y4 ) · . 84 14 21 84 14 (6.16) Åñëè y3 = y4 = 0, òî âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 ì¼ðòâûå, òî åñòü, G = G0 . Â ýòîì ñëó÷àå èç (6.13) èìååì w3 ≥ 7 è u(G) ≥ u(T 0 ) ≥ c(G) + 23 , 12 òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ïóñòü y3 + y4 ≥ 1. Òîãäà èç (6.16) è (6.13) ìû èìååì α(T 0 ) ≥ 6 · 23 5 + = 2, 84 14 ÷òî íàc óñòðàèâàåò. B2.3. k ≥ 2. Â îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî w3 6= 0, èíà÷å ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïóíêòîì B2.1. Â ãðàôå G00 õîòÿ áû äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Ñðåäè íèõ åñòü êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âåðøèíû èç W30 , â íåé õîòÿ áû 3 âåðøèíû èç X 0 . Â äðóãîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè íå ìåíåå ÷åì 2 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 218 âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì îáðàçîì, x ≥ 5. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (6.9), îöåíêîé íà k èç (6.12) è îöåíêîé íà x èç (6.5): 1 1 5 1 2 α(T 0 ) ≥ w2 · + w3 · + y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥ 2 3 3 2 12 5 1 2 1 5 1 1 − + w3 · + y3 · + y4 · − x · + +1≥ w2 · 2 6 12 2 3 3 12 1 5 1 2 3 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 w2 · + w3 · + y3 · + y4 · − +1≥ 3 12 2 3 4 7 2 5 5 5 + w3 · + y3 · + y4 · +1≥ w2 · 42 28 21 21 2 2 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4 + 1 ≥ x · + 1 > 2, 9 7 9 ÷òî íàì è íóæíî. Ëåììà 6.10. Åñëè ê ñâÿçíîìó ãðàôó G íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë, òî ñóùåñòâóåò ëåñ F ∗ ïîäãðàô ãðàôà G c α(F ∗ ) ≥ 23 . Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè v(G) = 2, òî G äåðåâî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, ñëåäîâàòåëüíî, 1 1 3 = , è α(G) = . 4 2 2 Äàëåå ïóñòü v(G) > 2. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ïðèìåíèì îïèñàííîå âûøå ïîu(G) = 2, c(G) = 2 · ñòðîåíèå áàçîâîãî ëåñà. Åñëè ãðàô G íå èìååò âèñÿ÷èõ âåðøèí, òî ïî ïóíêòó B1 ìîæíî ïîñòðîèòü äåðåâî F ∗ ñ α(F ∗ ) ≥ 53 . Â ñëó÷àå, êîãäà ãðàô G èìååò âèñÿ÷èå âåðøèíû, âûäåëèì â ãðàôå G∗ îñòîâíûé ëåñ F ∗ , äåéñòâóÿ îïèñàííûì â ïóíêòå B2 ñïîñîáîì. Òîãäà êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè F 0 ëåñà F ∗ èìååò α(F 0 ) ≥ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, α(F ∗ ) ≥ 2. Îòìåòèì, ÷òî â ýòîò ëåñ âîøëè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G. Øàã ïîñòðîåíèÿ Îïèøåì øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A). Ïóñòü ïåðåä øàãîì A ìû èìååì ëåñ F ïîäãðàô ãðàôà G. (Ïåðåä ïåðâûì ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 219 øàãîì ìû èìååì ëåñ F = F ∗ , ïîñòðîåííûé âûøå.) ×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â ëåñå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â ëåñ F âåðøèí èç T è èç S , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü F1 ëåñ, ïîëó÷åííûé ïîñëå øàãà A. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ∆k = k(F ) − k(F1 ). Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó 1 1 1 5 p(A) = ∆u + ∆b + 2∆k − ∆t − ∆s. 6 6 3 4 Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ äîõîä íåîòðèöàòåëåí. Èç ôîðìóëû (6.4) è îïðåäåëåíèÿ öåíû âåðøèíû íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî α(F1 ) = α(F ) + p(A). Îïèøåì âñå âîçìîæíûå âèäû øàãîâ. Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí, íå âîøåäøèõ â ëåñ F , ÷åðåç Z . Âåðøèíû ìíîæåñòâà Z , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x ∈ Z ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x. Çàìå÷àíèå 6.24. 1) Îòìåòèì, ÷òî âñå íå âîøåäøèå â F âåðøèíû ïðè- íàäëåæàò S ∪ T è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 3. Äåéñòâèòåëüíî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â ëåñ F ∗ , à âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò, èíà÷å ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1. 2) Ïðè îöåíêå äîõîäà øàãà ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå äîáàâëåííûå âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íåèçâåñòíà èõ ïðèíàäëåæíîñòü ìíîæåñòâó S , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T . Åñëè êàêàÿ-òî äîáàâëåííàÿ âåðøèíà ïîñ÷èòàíà êàê âåðøèíà èç T , íî íà ñàìîì äåëå ïðèíàäëåæèò S , òî äîõîä øàãà óâåëè÷èòñÿ íà 1 12 . 220 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Äàëåå ìû ïðåäñòàâèì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ âûïîëíåíèÿ øàãà àëãîðèò- Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé âàðèàíò øàãà àëãîðèòìà, òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïðåäûäóùèõ. Äîïîëìà. íèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå áóäåì. S1. Ñóùåñòâóåò ðåáðî xy , êîíöû êîòîðîãî âåðøèíû ðàçíûõ êîìïî- íåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F . Äîáàâèì â F ðåáðî xy , òåì ñàìûì óìåíüøèâ êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íà 1. Òàêèì îáðàçîì, ∆k ≥ 1 è ∆u ≥ −2. Ïîëó÷àåì p(S1) ≥ −2 · S2. 1 5 +2= . 6 3 Â F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ Z . Ïðèñîåäèíèì y ê x. Â ýòîì ñëó÷àå ∆u = 1, cG (y) ≤ 1 3 è 5 1 1 − = . 6 3 2 Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåâèñÿ÷èå âåðøèíû F p(S2) ≥ Çàìå÷àíèå 6.25. íåñìåæíû ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà Z è íèêàêîå ðåáðî íå ñîåäèíÿåò ðàçíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F . S3. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (F ), ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç Z . Äîáàâèì ýòè äâå âåðøèíû â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ èõ ê âåðøèíå x. Òîãäà ∆u = 1, còîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå p(S3) ≥ S4. 2 3 è 5 2 1 − = . 6 3 6 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè õîòÿ áû äâóõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F . Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ÷åðåç x, ïðîâåäÿ îò êàæäîé èç íèõ ïî îäíîìó ðåáðó ê x. Ïîëó÷èì ∆u ≥ −2, ∆k = 1 è, ïîñêîëüêó cG (x) ≤ 13 , òî p(S4) ≥ −2 · 5 1 + 2 − = 0. 6 3 221 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S5. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ m ≥ 3 âåðøèíàìè èç V (F ). Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü S4, âåðøèíà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F . Ïðèñîåäèíèì x ê îäíîé èç ýòèõ âåðøèí, äâå äðóãèå ñòàíóò ì¼ðòâûìè. Òîãäà ∆u = ∆k = 0, ∆b ≥ 2 è, òàê êàê cG (x) ≤ 13 , ìû ïîëó÷àåì 1 1 − = 0. 6 3 Çàìå÷àíèå 6.26. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ëåñà F p(S5) ≥ 2 · ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z è íå ñìåæíà ñ äðóãèìè êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ëåñà F . Êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) è, åñëè òàêèõ âåðøèí äâå, òî îíè ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ëåñà F . S6. Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1. Ïî çàìå÷àíèþ 6.26 âåðøèíà x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. S6.1. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (F ). Òîãäà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè, íå âîøåäøèìè â F . Äîáàâèì x è ýòè òðè âåðøèíû â F . Ïîëó÷èì ∆u = 2, ñòîèìîñòü ÷åòûð¼õ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 4 · 13 , ïîýòîìó p(S6.1) ≥ 2 · S6.2. 5 4 1 − = . 6 3 3 Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ). Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè y1 , y2 ∈ Z . Äîáàâèì x, y1 , y2 â ëåñ F è ïîëó÷èì ∆u = 1. Äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû èç V (F ) ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè, ïîýòîìó ∆b ≥ 1. Còîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F âåðøèí íå áîëåå 3 · 1 3 = 1 è ìû èìååì p(S6.2) ≥ S7. 5 1 + − 1 = 0. 6 6 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (F ). 222 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ íå âîøåäøèìè â F âåðøèíàìè y1 , y2 . Äîáàâèì x, y1 , y2 â ëåñ F è ïîëó÷èì ∆u = 1. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. S7.1. y1 , y2 ∈ S . Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 3 · p(S7.1) ≥ 1 4 è â ðåçóëüòàòå 5 1 1 −3· = , 6 4 12 ÷òî íàñ óñòðàèâàåò. S7.2. y1 ∈ T . Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F âåðøèí íå áîëåå 1 4 +2· 1 3 = 11 12 . Ïóñòü F1 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ëåñà F , ñ êîòîðîé ñìåæíà âåðøèíà x. Äîáàâèì â äåðåâî F1 âåðøèíû x, y1 , y2 . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì p(S7.2) ≥ 1 5 11 − =− , 6 12 12 ÷òî íàì íå ïîäõîäèò. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y1 , è â êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì. S7.2.1. Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F1 ). Òîãäà z â ðåçóëüòàòå ñäåëàííîãî øàãà ñòàëà ì¼ðòâîé âåðøèíîé (ñì. ðèñóíîê 6.26a), òî åñòü ∆b ≥ 1 è ìû èìååì p(S7.2.1) ≥ p(S7.2) + S7.2.2. 1 1 = . 6 12 Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F ) \ V (F1 ). Òîãäà äîáàâèì â F ðåáðî zy1 , ñîåäèíèâ äâå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F â îäíó, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.26b). Â ðåçóëüòàòå 1 p(S7.2.2) ≥ p(S7.2) + p(S1) ≥ . 4 223 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß b z F1 b b 1 b z b a F1 b x b y F2 b y y 2 b 1 b z x b F1 b b 1 y z2 2 b b b c y 1 x b y 2 Ðèñ. 6.26: Øàã S7.2. S7.2.3. Âåðøèíà y1 íåñìåæíà ñ V (F ). Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4, âåðøèíà y1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â F , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 (ñì. ðèñóíîê 6.26ñ), è ïîëó÷èì p(S7.2.3) ≥ p(S7.2) + p(S3) ≥ S8. 1 . 12 Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøè- íàìè èç V (F ). Îáå âåðøèíû èç P (x), êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè F1 ëåñà F . Äîáàâèì x â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) ñòàíåò ì¼ðòâîé. Ïîêà ÷òî ìû èìååì ∆s = 1, ∆b = 1. Âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z , ïóñòü ýòî âåðøèíà y . Äîáàâèì y â ëåñ. Ïîëó÷àåòñÿ p(S8) ≥ 1 1 1 − − cG (y) ≥ − − cG (y). 6 4 12 (6.17) Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y , è â êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì. S8.1. Âåðøèíà y ñìåæíà ñ V (F ). Ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî âûïîëíèòü øàãè S1 − S7 ñ âåðøèíîé y , òî y ∈ S è y ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè F2 ëåñà F . 224 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ó÷èòûâàÿ äàííûå î âåðøèíå y , ìû ïîëó÷èì cG (y) = 41 . Â ñèëó (6.17), òîãäà 1 p(S8) ≥ − . 3 Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. S8.1.1. F 2 = F1 . Òîãäà îáå âåðøèíû èç P (y) è ñàìà âåðøèíà y ñòàëè ì¼ðòâûìè (ñì. ðèñóíîê 6.27à) è ìû èìååì p(S8.1.1) ≥ p(S8) + 3 · F1 b b y b b b b F2 x 1 1 = . 6 6 b b b y b a b F1 x b Ðèñ. 6.27: Øàã S8.1. S8.1.2. F2 6= F1 . Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, äîáàâèâ ðåáðî ìåæäó y è îäíîé èç âåðøèí P (y), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.27b). Ïîëó÷èì p(S8.1.2) ≥ p(S8) + p(S1) ≥ 0. S8.2. Âåðøèíà y íåñìåæíà ñ V (F ). Òîãäà âñå ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, êðîìå x, åùå íå âîøëè â F . Ðàçáåð¼ì äâà ñëó÷àÿ. S8.2.1. y ∈ T. Òîãäà ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òðè ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 è øàã S2 (ñì. ðèñóíîê 6.28a). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è 5 òî, ÷òî cG (y) = 31 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 12 è 1 p(S8.2.1) ≥ p(S8) + p(S3) + p(S2) ≥ . 4 225 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S8.2.2. y ∈ S. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òîëüêî äâå ñìåæíûå ñ y âåðøèíû z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå âûïîëíèâ øàã S3 (ñì. ðèñóíîê 6.28b). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è òî, ÷òî cG (y) = 41 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 13 è 1 p(S8.2.2) ≥ p(S8) + p(S3) ≥ − . 6 Ïðîäîëæèì ðàññìàòðèâàòü âàðèàíòû. F1 b b b F1 x b y y b F1 b y b F2 b F1 b b x x b b b b y F1 b x b b b x b y b b b b b b b a z1 b b z2 z1 b b z2 c b z1 b d b z2 b b z1 e b z2 Ðèñ. 6.28: Øàã S8.2. S8.2.2.1. z1 , z2 ∈ S Òîãäà äâå äîáàâëåííûå â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü âåðøèíû ñòîÿò 2· 41 , à íå 2· 31 , êàê áûëî ïîñ÷èòàíî âûøå è p(S8.2.2.1) ≥ p(S8.2.2) + 1 ≥ 0, 6 ÷òî íàñ óñòðàèâàåò. S8.2.2.2. Âåðøèíà z1 ∈ T ñìåæíà ñ ëåñîì F . Åñëè z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F1 (ñì. ðèñóíîê 6.28c), òî ê ïàðàìåòðàì øàãà S8.2.2 äîáàâëÿåòñÿ åùå îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è 1 p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + ≥ 0. 6 Ïóñòü z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F2 6= F1 . Òîãäà ïðîâåä¼ì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå F2 ñ z1 (ñì. ðèñóíîê 6.28d), óìåíüøèâ ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F íà 1 è ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1. Ïîëó÷èì 1 p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + p(S1) ≥ . 6 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß S8.2.2.3. 226 Âåðøèíà z1 ∈ T íåñìåæíà ñ ëåñîì F . Òàê êàê dG (z1 ) ≥ 4, âåðøèíà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè. Äîáàâèì èõ â F (ñì. ðèñóíîê 6.28e), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 è ïîëó÷èì p(S8.2.2.3) ≥ p(S8.2.2) + p(S3) ≥ 0. 6.2.3 Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.2 Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ê ãðàôó íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë. Ïî ëåììå 6.10 ïîñòðîèì ëåñ F ∗ ïîäãðàô ãðàôà G ñ α(F ∗ ) ≥ 23 . Åñëè F ∗ íå ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, òî ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ñ ïîìîùüþ îïèñàííûõ âûøå øàãîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ îïèñàííîãî âûøå àëãîðèòìà ïîñòðîåíî äåðåâî F , ñ êîòîðûì íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç øàãîâ. Åñëè íå âñå âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â F , òî ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ â F âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ F . Ïî ïîñòðîåíèþ, åå ñòåïåíü õîòÿ áû 3, à çíà÷èò, ìîæíî âûïîëíèòü îäèí èç øàãîâ, ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, F îñòîâíûé ëåñ ãðàôà G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô F íåñâÿçåí. Òîãäà êàêèå-òî äâå åãî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ñîåäèíåíû ðåáðîì â ãðàôå G è ìîæíî âûïîëíèòü øàã S1. Çíà÷èò, F ñâÿçåí, òî åñòü, ýòî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F ì¼ðòâûå, â äåðåâå F ðîâíî îäíà êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè è 1 3 5 u(F ) = u(F ) + b(F ) ≥ cG (F ) + α(F ) ≥ cG (F ) + α(F ∗ ) ≥ cG (F ) + , 6 6 2 òàê êàê âñå âûïîëíåííûå øàãè èìåëè íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.2 çàêîí÷åíî. 6.2.4 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò íàì ñêëåèâàòü áîëüøèå ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû ê îöåíêå èç òåîðåìû 6.2 èç ìàëåíüêèõ. Ãëàâíîå òðåáîâàíèå ê îáúåê- 227 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß òàì ñêëåéêè íàëè÷èå âèñÿ÷èõ âåðøèí. Ëåììà 6.11. Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ v(G1 ) > 2, v(G2 ) > 2, V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅ è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 (ïóñòü â ðåçóëüòàòå èç x1 è x2 ïîëó÷èëàñü âåðøèíà x) è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì îäíîãî èíöèäåíòíîãî x ìîñòà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî 3 3 u(G1 ) = c(G1 ) + è u(G2 ) = c(G2 ) + . 2 2 Òîãäà 3 u(G) = c(G) + . 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî v(G) = v(G1 )+v(G2 )−2. Äåéñòâèòåëüíî, äâå âåðøèíû x1 è x2 ìû ñêëåèëè â îäíó âåðøèíó x, ïîñëå ÷åãî ñòÿãèâàíèå îäíîãî ðåáðà óìåíüøèëî ÷èñëî âåðøèí åùå íà îäíó (â ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ èñ÷åçëà âåðøèíà x ñòåïåíè 2). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû ãðàôà G ýòî âñå îòëè÷íûå îò x1 è x2 âåðøèíû ãðàôîâ G1 è G2 , ïðè÷åì ðîâíî ñ òàêèìè æå ñòåïåíÿìè, êàê â G1 è G2 . Êàê ìû çíàåì, âåðøèíû x1 ∈ V (G1 ) è x2 ∈ V (G2 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G) è cG1 (x1 ) = cG2 (x2 ) = 41 , ñëåäîâàòåëüíî, c(G) = c(G1 ) + c(G2 ) − 2 · 14 . Hàïèøåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ (â ïåðâîì ðàâåíñòâå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6.5): 3 u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2 = c(G1 ) + c(G2 ) + 1 = c(G) + . 2 Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð ê òåîðåìå 6.2, â êîòîðîì õîòÿ áû äâå âèñÿ÷èõ âåðøèíû è åñòü âåðøèíû ñòåïåíè íå ìåíåå 4, ÷òîáû îöåíêà èç òåîðåìû áûëà îñìûñëåííîé. Òàêîé ãðàô ìû âèäèì íà ðèñóíêå 6.29a. Â ýòîì ãðàôå G ïî òðè âåðøèíû ñòåïåíåé 1, 3 è 4, à çíà÷èò, t = 3, s = 6, è c(G) = 3 · 1 1 5 +6· = . 3 4 2 228 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b a b b b b b b Ðèñ. 6.29: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(G) = 4 (â îñòîâíîì äåðåâå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè òðè âèñÿ÷èõ âåðøèíû ãðàôà G è íå áîëåå ÷åì îäíà èç âåðøèí ñòåïåíè 4). Òàêèì îáðàçîì, 3 u(G) = 4 = c(G) + . 2 Ìû ìîæåì ñêëåèòü èç òàêèõ ãðàôîâ ñêîëü óãîäíî äëèííûå öåïî÷êè (ñì. ðèñóíîê 6.29b). Ïî ëåììå 6.11, íà ýòèõ ãðàôàõ áóäåò äîñòèãàòüñÿ îöåíêà íà êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå èç òåîðåìû 6.2. 6.3 Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G), ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû ñòåïåíè 2 Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1. Òîãäà u(G) ≥ 1 3 v(G) + . 2k + 4 2 Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.3. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì îñíîâíîé òåîðåìû ðàçäåëà ìû äîêàæåì äâå ëåììû. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G ñâÿçíûé. Íàïîìíèì, ÷òî âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí. Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. 229 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Çàìå÷àíèå 6.27. Åñëè v(G) ≥ 2, òî ëþáîé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õî- òÿ áû äâå âåðøèíû è ÿâëÿåòñÿ ëèáî äâóñâÿçíûì ãðàôîì, ëèáî ïîëíûì ãðàôîì íà äâóõ âåðøèíàõ. Îïðåäåëåíèå 6.7. Ïóñòü B áëîê ãðàôà G. 1) Ãðàíèöåé áëîêà B (îáîçíà÷åíèå: Bound(B)) íàçîâåì ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â íåãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìíîæåñòâî Int(B) = V (B) \ Bound(B) íàçîâåì âíóòðåííîñòüþ áëîêà B , à âñå âõîäÿùèå â íåãî âåðøèíû áëîêà âíóòðåííèìè. 2) Áëîê B íàçûâàåòñÿ êðàéíèì, åñëè îí ñîäåðæèò ðîâíî îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ (òî åñòü |Bound(B)| = 1). 3) Áëîê íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè ó íåãî íåò âíóòðåííèõ âåðøèí (òî åñòü, Int(B) = ∅.) Èíà÷å áëîê íàçûâàåòñÿ íåïóñòûì. 4) Áëîê B íàçûâàåòñÿ áîëüøèì, åñëè |Int(B)| > |Bound(B)|. Ëåììà 6.12. Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G, v(G) > 2. Òîãäà ñóùå- ñòâóåò íåïóñòîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1◦ ãðàô B − F ñâÿçåí; 2◦ äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Bound(B) âûïîëíÿåòñÿ dB−F (x) ≥ 2; 3◦ åñëè âåðøèíû y, z ∈ Int(B) ñìåæíû â B − F è dB−F (y) = dB−F (z) = 2, Äîêàçàòåëüñòâî. òî dB (y) = dB (z) = 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v(B) = 2. Òîãäà, òàê êàê áëîê B áîëüøîé, îáå åãî âåðøèíû äîëæíû áûòü âíóòðåííèìè, òî åñòü, B íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Èç ñâÿçíîñòè ãðàôà G òîãäà ñëåäóåò, ÷òî B = G. Ïðîòèâîðå÷èå ñ v(G) > 2. Òàêèì îáðàçîì, v(B) > 2 è â âèäó äâóñâÿçíîñòè ãðàôà B ìû èìååì dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (B). Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. 1. Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B), ïðè÷¼ì dG (u) = 2. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 230 Î÷åâèäíî, ãðàô B−uw ñâÿçåí, â ãðàôå B−uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B) òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Åñëè äëÿ íàáîðà F = {uw} âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ , òî ýòîò íàáîð ð¼áåð íàì ïîäõîäèò. Ïóñòü äëÿ íàáîðà F = {uw} íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ . Òîãäà â ãðàôå B − uw åñòü ïàðà ñìåæíûõ âåðøèí y, v ñòåïåíè 2 èç Int(B), ïðè÷¼ì dB (y) > 2. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî y = w, ïðè÷¼ì dB (w) = 3, dB (v) = 2 è vw ∈ E(B). Ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw, vw}. Âcå âåðøèíû èç Bound(B) èìåþò â ãðàôå B − F òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê è â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ïðè óäàëåíèè F , î÷åâèäíî, íå ïîÿâèëîñü, òàê êàê dB−F (u) = dB−F (v) = dB−F (w) = 1. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü ñâÿçíîñòü ãðàôà B − F . Ïóñòü w0 òðåòüÿ âåðøèíà ãðàôà B , ñìåæíàÿ c w. Îòìåòèì, ÷òî ãðàô B − w ñâÿçåí (â âèäó äâóñâÿçíîñòè B ). Òîãäà âåðøèíû èç V (B) \ {w} ñâÿçàíû â B − F , à, ïîñêîëüêó ww0 ∈ E(B − F ), òî ãðàô B − F ñâÿçåí. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð F = {uw, vw} íàì ïîäõîäèò. 2. Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B), íî ñòåïåíü êàæäîé âõîäÿùåé â òàêóþ ïàðó âåðøèíû íå ìåíåå òð¼õ. Òîãäà ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw}. Î÷åâèäíî, ãðàô B − uw ñâÿçåí, â ãðàôå B − uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B) òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Ïóñòü x, y ∈ Int(B), xy ∈ E(B − uw). Òîãäà õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí x è y (ïóñòü ýòî x) îòëè÷íà îò u è w, ñëåäîâàòåëüíî, dB−uw (x) ≥ 3. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð F = {uw} íàì ïîäõîäèò. 3. Ïóñòü â áëîêå B íåò ñìåæíûõ âåðøèí èç Int(B). Ïîñêîëüêó |Int(B)| > |Bound(B)| è dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Int(B), òî ñóùåñòâóåò âåðøèíà u ∈ Bound(B), ñìåæíàÿ õîòÿ áû ñ òðåìÿ âåðøèíàìè èç Int(B). Ïóñòü w ∈ Int(B), uw ∈ E(B). Òîãäà ãðàô B − uw ñâÿçåí, dB−uw (y) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû y ∈ Bound(B). Òàê ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 231 êàê íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Int(B) íå ñìåæíû â B − uw, íàáîð ð¼áåð F = {uw} íàì ïîäõîäèò. Ëåììà 6.13. Ïóñòü G ãðàô ñ áîëåå ÷åì äâóìÿ âåðøèíàìè. Òîãäà ñóùå- ñòâóåò íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1◦ ãðàô G − F ñâÿçåí; 2◦ ó ãðàôà G − F íåò áîëüøèõ áëîêîâ; 3◦ åñëè âåðøèíû x è y ñìåæíû â G − F è dG−F (x) = dG−F (y) = 2, òî dG (x) = dG (y) = 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîð ð¼áåð F1 ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 1◦ − 3◦ ëåììû 6.12. Òàê êàê ãðàô B − F1 ñâÿçåí, òî ñâÿçåí è ãðàô G − F1 . Ïóñòü xy ∈ E(G − F1 ), dG−F1 (y) = dG−F1 (x) = 2 è dG (y) > 2. Òîãäà âåðøèíà y èíöèäåíòíà ðåáðó èç F1 , ñëåäîâàòåëüíî, y ∈ V (B). Ïóñòü y ∈ Bound(B). Òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì dB−F1 (y) ≥ 2 è, òàê êàê y òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (G) \ V (B). Ñëåäîâàòåëüíî, dG−F1 (y) ≥ 3, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, y ∈ Int(B). Èç xy ∈ E(G) ñëåäóåò, ÷òî x ∈ V (B). Òåïåðü àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî x ∈ Int(B). Íî òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì dG (x) = dG (y) = 2, ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè â ãðàôå G1 = G−F1 åñòü áîëüøèå áëîêè, ïîâòîðèì îïåðàöèþ. Ïîíÿòíî, ÷òî ÷åðåç íåñêîëüêî òàêèõ îïåðàöèé áîëüøèõ áëîêîâ íå îñòàíåòñÿ è îáúåäèíåíèå âñåõ íàáîðîâ óäàë¼ííûõ èç ãðàôà G ð¼áåð áóäåò èñêîìûì íàáîðîì F . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.3. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v(G) > 2, èíà÷å óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G èìååò áîëüøèå áëîêè. Ïî ëåììå 6.13 ìû ìîæåì âûáðàòü òàêîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), ÷òî ãðàô G0 = G − F ñâÿçåí, íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ è äëÿ ëþáûõ äâóõ ñìåæíûõ 232 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß â G0 âåðøèí x è y èç dG0 (x) = dG0 (y) = 2 ñëåäóåò dG (x) = dG (y) = 2. Òîãäà `(G0 ) = max(`(G), 1) ≤ k. Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, òî u(G) ≥ u(G0 ). Ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ãðàô G íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ýòîò ñëó÷àé. 2. Ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôà G â ãðàô H . Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, âõîäÿùàÿ â áëîêè B1 , . . . , Bm , ãäå m ≥ 3. Çàìåíèì âåðøèíó a íà öèêë a1 a2 . . . am è ñîåäèíèì âåðøèíó ai ñ òåìè æå âåðøèíàìè áëîêà Bi , ñ êîòîðûìè áûëà ñîåäèíåíà âåðøèíà a. Â ðåçóëüòàòå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ çàìåíåíà íà áëîê ñ ïóñòîé âíóòðåííîñòüþ (ñì. ðèñóíîê 6.30). B2 a2 B2 B1 b a b B3 B1 a1 b b b B4 a3 B3 a4 B4 Ðèñ. 6.30: Çàìåíà òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ íà öèêë. Âûïîëíèì òàêèå çàìåíû äëÿ âñåõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, âõîäÿùèõ õîòÿ áû â òðè áëîêà è ïîëó÷èì íîâûé ãðàô H , â êîòîðîì êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà. Îòìåòèì, ÷òî v(H) ≤ v(G), `(H) = `(G) ≤ k, òàê êàê íà êàæäîì øàãå ìû ìåíÿëè îäíó âåðøèíó ñòåïåíè áîëåå 2 íà íåñêîëüêî âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 2. 3. Äîêàæåì, ÷òî u(H) ≥ u(G). 233 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà H ñ u(T ) = u(H). Ïóñòü A ìíîæåñòâî íîâûõ âåðøèí ãðàôà H , íà êîòîðûå áûëà çàìåíåíà òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ a ãðàôà G. Òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â åãî îñòîâíîì äåðåâå, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç A íåâèñÿ÷èå â äåðåâå T . Èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H è íåñâÿçíîñòè ãðàôà G − a ñëåäóåò, ÷òî ãðàô H − A òàêæå íåñâÿçåí. Ïîýòîìó, ïîäãðàô T (A) ñâÿçåí, òî åñòü, ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïóò¼ì (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô H(A) ïî ïîñòðîåíèþ ïðîñòîé öèêë). Ïîñëåäîâàòåëüíî ñòÿíóâ â äåðåâå T âñå ð¼áðà ïóòè T (A), ìû ïîëó÷èì âìåñòî ìíîæåñòâà A âåðøèíó a è íîâîå äåðåâî ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Âûïîëíèâ òàêèå îïåðàöèè äëÿ âñåõ çàìåíåííûõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Òàêèì îáðàçîì, u(H) ≥ u(T 0 ) = u(G). 4. Ïîñòðîèì ãðàô D, âåðøèíàìè êîòîðîãî áóäóò áëîêè ãðàôà H , à äâà áëîêà ñìåæíû åñëè è òîëüêî åñëè îíè èìåþò îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà, ãðàô D ïîëó÷àåòñÿ èç äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H çàìåíîé êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a è äâóõ èíöèäåíòíûõ åé ð¼áåð íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå äâà áëîêà, â êîòîðûå âõîäèò a. Ñëåäîâàòåëüíî, D äåðåâî, â êîòîðîì êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà êðàéíèé áëîê ãðàôà H . Ïóñòü V = V (D) ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ãðàôà H , v = |V|. Ñòåïå- íüþ áëîêà B ∈ V ìû áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó dD (B) = |Bound(B)| êîëè÷åñòâî âõîäÿùèõ â B òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: Vi ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ñòåïåíè i; Wi ìíîæåñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i; W ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ áëîêîâ; Ui ìíîæåñòâî ïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i. Ïîëîæèì vi = |Vi |, wi = |Wi |, w = |W|, ui = |Ui |. 234 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îòìåòèì, ÷òî wi + ui = vi . Î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà H ñ w âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè (ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîãî íåïóñòîãî áëîêà). Òàêèì îáðàçîì, (6.18) u(G) ≥ u(H) ≥ w. 5. Ïóñòü P = W1 ∪U2 , Q = V \P . Äîêàæåì, ÷òî áëîêè èç P ñîäåðæàò ðîâíî ïî äâå âåðøèíû, à áëîêè èç Q, ñîäåðæàò íå ìåíåå òð¼õ âåðøèí. Åñëè B ∈ U2 , òî áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è íè îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíû, òî åñòü, v(B) = 2. Ïóñòü B ∈ W1 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≥ 1. Îäíàêî, áëîê B íå ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≤ |Bound(B)| = 1. Òàêèì îáðàçîì, v(B) = 2. Ïóñòü B ∈ W2 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è õîòÿ áû îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó. Ñëåäîâàòåëüíî, v(B) ≥ 3. Åñëè B ∈ Vi è i ≥ 3, òî î÷åâèäíî, ÷òî v(B) ≥ 3. 6. Íàøåé öåëüþ áóäåò îöåíêà ñâåðõó êîëè÷åñòâà âåðøèí ãðàôà H ÷å- ðåç w. Íà÷í¼ì ñ äâóõ íåñëîæíûõ íåðàâåíñòâ. Òàê êàê âíóòðåííîñòü êðàéíåãî áëîêà íåïóñòà, W1 = V1 , U1 = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ïóñòûå áëîêè ëèáî âõîäÿò â U2 , ëèáî èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 3, îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ íåðàâåíñòâî v X i=1 iui ≥ 3 v X ui − u2 = 3(v − w) − u2 . (6.19) i=2 Ïðîñóììèðîâàâ ñòåïåíè âåðøèí äåðåâà D è âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì e(D) = v(D) − 1, ìû ïîëó÷èì v v X X (i − 2)vi = 2, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî v1 − 2 = (i − 2)vi . i=1 i=3 235 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß Îòìåòèì, ÷òî i i−2 ≤ 3 ïðè i ≥ 3. Ïîýòîìó v X i=3 7. ivi ≤ 3 v X (i − 2)vi = 3v1 − 6 = 3w1 − 6. (6.20) i=3 Îöåíèì u2 ÷åðåç êîëè÷åñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ. Ðàññìîòðèì ëþáóþ ìàêñèìàëüíóþ ïî âêëþ÷åíèþ öåïî÷êó L = B1 B2 . . . Bn ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ â äåðåâå D áëîêîâ èç P . Ïî äîêàçàííîìó âûøå, v(Bi ) = 2 äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}. Ïîñêîëüêó áëîêè èç W1 âèñÿ÷èå â äåðåâå D, òî B2 , . . . , Bn−1 ∈ U2 . Òàê êàê áëîêè Bi è Bi+1 èìåþò îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, ìû ìîæåì ïîëîæèòü V (Bi ) = {xi , xi+1 } (äëÿ i ∈ {1, . . . , n}). Îòìåòèì, ÷òî äâå âåðøèíû êàæäîãî èç áëîêîâ Bi ñìåæíû. Ïîýòîìó ïðè i ∈ {2, . . . , n − 1} âåðøèíà xi ñìåæíà â ãðàôå H ñ xi−1 è xi+1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì öåïî÷êó ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí x1 . . . xn+1 â ãðàôå H , ïðè÷¼ì dH (x2 ) = · · · = dH (xn ) = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤ k + 1. Ðàçðåæåì öåïî÷êó L íà äâå ïîëîâèíû ïî n 2 áëîêîâ: ëåâóþ, îò B1 äî ñå- ðåäèíû è ïðàâóþ, îò ñåðåäèíû äî Bn (â ñëó÷àå, êîãäà n íå÷åòíî, ìûñëåííî ðàçäåëèì ñðåäíèé áëîê L íà äâå ïîëîâèíêè). Åñëè B1 ∈ U2 , òî ëåâóþ ïîëîâèíó öåïî÷êè ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå áëîêó èç Q, ñìåæíîìó ñ B1 . Åñëè æå B1 ∈ W1 , òî ëåâàÿ ïîëîâèíà öåïî÷êè çà âû÷åòîì ñàìîãî áëîêà B1 áóäåò ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå êàê ðàç áëîêó B1 . Àíàëîãè÷íî, â çàâèñèìîñòè îò òèïà áëîêà Bn , ïîñòóïèì ñ ïðàâîé ïîëîâèíîé öåïî÷êè. Òàê æå ñäåëàåì ñî âñåìè îñòàëüíûìè ìàêñèìàëüíûìè öåïî÷êàìè áëîêîâ èç P . Îòìåòèì, ÷òî òàêèå öåïî÷êè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó áëîêó èç W1 cîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì k−1 n −1≤ 2 2 áëîêîâ èç U2 . Êàæäûé áëîê ñòåïåíè i èç Q ñìåæåí íå áîëåå, ÷åì ñ i áëîêàìè èç U2 , à çíà÷èò, åìó ñîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì i· n k+1 ≤i· 2 2 236 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß áëîêîâ èç U2 . Òåïåðü, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (6.20), íàïèøåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ: v X k−1 k+1 u2 ≤ w1 + (2w2 + ivi ) ≤ 2 2 i=3 k+1 k−1 w1 + (k + 1)w2 + (3w1 − 6) = 2 2 (k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3. (6.21) 8. Îöåíèì v(G) ÷åðåç ïàðàìåòð w. Ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà D, êîëè÷åñòâî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H ðàâíî e(D) = v − 1. Âñå îñòàëüíûå âåðøèíû ãðàôà H (îáîçíà÷èì èõ êîëè÷åñòâî ÷åðåç s) ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ áëîêîâ ãðàôà H . Èç îòñóòñòâèÿ áîëüøèõ áëîêîâ ñëåäóåò, ÷òî |Int(B)| ≤ |Bound(B)| = dD (B) äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî áëîêà B ãðàôà H . Ñëåäîâàòåëüíî, s≤ X dD (B) = v X i=1 B∈W iwi = v X i=1 ivi − v X iui = 2v − 2 − i=1 v X iui (6.22) i=1 (â ïîñëåäíåì ïåðåõîäå ìû èñïîëüçîâàëè òî, ÷òî D äåðåâî). Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâàìè (6.18) − (6.22) è òåì, ÷òî w1 + w2 ≤ w, íàïèøåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ: v(G) ≤ v(H) = v − 1 + s ≤ v − 1 + 2v − 2 − v X iui = i=1 3v − 3 − v X iui ≤ 3v − 3 − 3(v − w) − u2 = 3w − 3 + u2 ≤ i=1 3w − 3 + (k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3 ≤ (2k + 4)w − (3k + 6) ≤ (2k + 4)u(G) − (3k + 6), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. 237 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß 6.3.1 Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû Ìû ïðèâåäåì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, â êîòîðûõ ìàêñèìàëüíàÿ öåïî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ñîñòîèò èç k > 0 âåðøèí è îöåíêà èç òåîðåìû 6.3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì äåðåâî T , â êîòîðîì åñòü òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1 è 3, ïðè÷¼ì âåðøèí ñòåïåíè 3 ðîâíî n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè 1 òîãäà ðàâíî n + 2, à e(T ) = 2n + 1. Çàìåíèì êàæäîå ðåáðî äåðåâà T öåïî÷êîé äëèíû k + 1 (òî åñòü, äîáàâèì íà êàæäîì ðåáðå ïî k íîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2), ïîñëå ÷åãî êàæäóþ âåðøèíó x ñòåïåíè 3 çàìåíèì íà òðåóãîëüíèê, òðè âåðøèíû êîòîðîãî ñîåäèíèì ñ òðåìÿ äîáàâëåííûìè âåðøèíàìè ñòåïåíè 2, ñ êîòîðûìè áûëà ñîåäèíåíà âåðøèíà x (êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé). Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà äëÿ k = 2 è n = 5 èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 6.31. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Ðèñ. 6.31: Ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð. Â ïîëó÷åííîì ãðàôå G áóäåò n + 2 âèñÿ÷èõ âåðøèí, (2n + 1)k âåðøèí ñòåïåíè 2 è n òðåóãîëüíèêîâ, èòîãî v(G) = n + 2 + k(2n + 1) + 3n = (2k + 4)n + k + 2. Âñå íåâèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè îñòîâíîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì ëåãêî âèäåòü, ÷òî u(G) = n + 2 = 1 3 v(G) + . 2k + 4 2 Ëèòåðàòóðà [1] N. Alon. Transversal numbers of uniform hypergraphs.// Graphs and Combinatorics v. 6 (1990), p. 1-4. [2] P. S. Bonsma Spanning trees with many leaves in graphs with minimum degree three. // SIAM J. Discrete Math. v. 22, no. 3 (2008), p. 920-937. [3] P. S. Bonsma, F. Zickfeld Spanning trees with many leaves in graphs without diamonds and blossoms. // LATIN 2008: Theoretical informatics, p. 531-543, Lecture Notes in Comput. Sci., 4957, Springer, Berlin, 2008. [4] Y. Caro, D. B. West, R. Yuster. Connected domination and spanning trees with many leaves. // SIAM J. Discrete Math. v. 13, no. 2 (2000), p. 202-211. [5] G. Chartrand, A. Kaugars, D. R. Lick. Critically n-connected graphs. // Proc. of the Amer. Math. Soc., v. 32 (1972), p. 63-68. [6] G. Ding, T. Johnson, P. Seymour Spanning trees with many leaves. // J. Graph Theory v. 37 (2001), no. 4, p. 189-197. [7] G. A. Dirac. Minimally 2-connected graphs. // J. Reine and Angew. Math. v. 268 (1967), p.204-216. [8] J. R. Griggs, D. J. Kleitman, A. Shastri. Spanning trees with many leaves in cubic graphs. // J. Graph Theory v. 13, no. 6 (1989), p. 669-695. 238 239 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [9] J. R. Griggs, M. Wu. Spanning trees in graphs of minimum degree 4 or 5. // Discrete Math. v. 104 (1992), p. 167183. [10] R. Halin. A theorem on n-connected graphs. // Journal of Combinatorial Theory, v. 7 (1969), p. 150-154. [11] R. Halin. On the structure of n-connected graphs. // Recent Progress in Combinatorics (ed: W. T. Tutte), Academic Press, London New York, 1969, p. 91-102. [12] R. Halin. Zur Theorie der n-fach zusammenh angenden Graphen. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 7 (1969), p. 133-164. [13] R. Halin. Studies on minimally n-connected graphs. // Combinatorial Mathematics and its Applications (ed: D. J. A. Welsh), Academic Press, London New York, 1971, p. 129-136. [14] Y. O. Hamidoune. On critically h-connected simple graphs. // Discrete Mathematics, v. 32 (1980), p. 257-262. [15] F. Harary, Y. Kodama. On the genus of an n-connected graph. // Fund. Math., v. 54 (1964), p. 7-13. [16] S. Hedetniemi. Characterizations and constructions of minimally 2- connected graphs and minimally strong digraphs. // Proceedings of the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing, 1971, p. 257-282. [17] W. Hohberg. The decomposition of graphs into k -connected components. // Discrete Mathematics, v. 109 (1992), p. 133-145. [18] J. E. Hopcroft, R. E. Tarjan. Dividing a graph into triconnected components // SIAM J. Comput., v. 2 (1973), p. 135-158. [19] D. J. Kleitman, D. B. West. Spanning trees with many leaves.// SIAM J. Discrete Math. v. 4 (1991), no. 1, p. 99-106. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [20] 240 A structural characterizations of planar combinatorial S. MacLane. graphs. // Duke Math. J., v. 3 (1937), p. 460-472. [21] Eine Eigenschaft der Atome endlicher Graphen. // Arch. W. Mader. Math., v. 22 (1971), p. 333-336. [22] Ecken vom Grad n in minimalen n-fach zusammenhangen- W. Mader. den Graphen. // Arch. Math., v. 23 (1972), p. 219-224. [23] Endlichkeitssatze f ur k -kritische Graphen. // Math. Ann., W. Mader. v. 229 (1977), p. 143-153. [24] W. Mader. Zur Struktur minimal n-fach zusammenhangender Graphen. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 49 (1979), p. 49-69. [25] W. Mader. On vertices of degree n in minimally n-connected graphs and digraphs // Combinatorics, Paul Erdos is eighty (Volume 2) Keszthely (Hungray), 1993. Budapest: Janos Bolyai Mathematical Society, 1996, p. 423-449. [26] D. W. Matula. k -Blocks and Ultrablocks in Graphs. // Journal of Com- binatorial Theory, Series B, 1978, v. 24, p. 1-13. [27] N. Martinov. A recursive characterization of the 4-connected graphs. // Discrete Math. v. 84, no. 1 (1990), p. 105-108. [28] K. Menger. Zur allgemeinen Kurventheory. // Fund. Math., 1927, p. 10, p. 96-115. [29] L.Nebesky. On induced subgraphs of a block. // J. Graph Theory v. 1 (1977), 69-74. [30] J. G. Oxley. On some extremal connectivity results for graphs and matroids. Discrete Math.,v. 41 (1982), p. 181-198. 241 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [31] M. D. Plummer. On minimal blocks // Trans. Amer. Math. Soc., v. 134 (1968), p. 85-94. [32] A classication of 4-connected graphs. // Journal of Com- P. J. Slater. binatorial Theory, v. 17 (1974), p. 257-282. [33] P. J. Slater. Soldering and Point Splitting. // Journal of Combinatorial Theory, Ser. B, v. 24 (1974), p. 338-343. [34] J. A. Storer. Constructing full spanning trees for cubic graphs.// Inform. Process. Lett. v. 13 (1981), no. 1, p. 8-11. [35] W. T. Tutte. A theory of 3-connected graphs. // Indag. Math. v. 23 (1961), p. 441-455. [36] W. T. Tutte. Connectivity in graphs. // Toronto, Univ. Toronto Press, 1966. [37] H. J. Veldman. Non-κ-critical vertices in graphs. // Diskrete Mathematics, 1983, vol. 44, p. 105-110. [38] À. Â. Áàíêåâè÷. Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíûõ äåðåâüÿõ â ãðàôàõ áåç òðåóãîëüíèêîâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 391 (2011) ñòð. 5-17. [39] À. Â. Áàíêåâè÷, Ä. Â. Êàðïîâ. Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåð- øèí â îñòîâíûõ äåðåâüÿõ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 391 (2011) ñòð. 18-34. [40] Ê. Áåðæ. Òåîðèÿ ãðàôîâ è åå ïðèìåíåíèÿ. // Ìîñêâà, Èíîñòðàí- íàÿ ëèòåðàòóðà, 1962. (Ïåðåâîä ñ ôðàíöóçñêîãî. C. Berge, Theorie des graphes et ses applications. Dunod, Paris, 1958.) [41] Í. Â. Ãðàâèí. Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà ñ áîëüøèì êî- ëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 381 (2010), ñòð. 31-46. ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [42] Ä. Â. Êàðïîâ. 242 Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí. // Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà, ò. 13, â .1 (2001), ñòð. 63-72. [43] Ä. Â. Êàðïîâ. Áëîêè â k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíà- ðîâ ÏÎÌÈ, ò. 293 (2002), ñòð. 59-93. [44] Ä. Â. Êàðïîâ. Ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 33-60. [45] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 381 (2010) ñòð. 78-87. [46] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: íîâûå íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012), ñòð. 31-66. [47] Ä. Â. Êàðïîâ. Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012), ñòð. 67-94. [48] Ä. Â. Êàðïîâ. Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Çàïèñêè íàó÷- íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 86-105. [49] Ä. Â. Êàðïîâ. Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 106-127. [50] Ä. Â. Êàðïîâ. Äåðåâî ðàçðåçîâ è ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Çà- ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 22-40. [51] Ä. Â. Êàðïîâ. Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñ- ëîì âåðøèí ñòåïåíè k . Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 41-65. 243 ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß [52] Ä. Â. Êàðïîâ. Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíè- åì äâóñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 66-73. [53] Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð. Î ñòðóêòóðå k -ñâÿçíîãî ãðàôà. // Çà- ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 266 (2000), ñòð. 76-106. [54] Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð. Ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ òðåõñâÿçíîãî ãðàôà. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 391 (2011), ñòð. 90148. [55] Î. Îðå. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Íàóêà, 1968. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé- ñêîãî. O.Ore, Theory of graphs, 1962.) [56] Ó. Òàòò. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1988. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé- ñêîãî. W. T. Tutte, Graph theory. Enciclopedia of Mathematics and its Applications, v. 21, 1984.) [57] Ô. Õàðàðè. Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1973. (Ïåðåâîä ñ àí- ãëèéñêîãî. F.Harary, Graph theory, 1969.) [58] À. Ñ. ×óõíîâ. Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ áåç ïîòåðè k - ñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 103116.

Структура связности графа

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Структура связности графа

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib