Структура связности графа

реклама
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêè
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèå Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà
èìåíè Â. À. Ñòåêëîâà Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
Êàðïîâ Äìèòðèé Âàëåðüåâè÷
ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÃÐÀÔÀ
(01.01.09 äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà)
Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2015
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
4
Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü
. . . . . . . . . . . . . 10
Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
2
Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ
40
1.1
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ 40
1.2
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà
1.3
Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà . . . . . . 49
1.4
Äåðåâî ðàçðåçîâ
Ìèíèìàëüíûå
2.1
. . . . . . . . . . . . . 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
k -ñâÿçíûå
ãðàôû
68
Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì
âåðøèí ñòåïåíè k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
2.2
Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3
Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≤ 5 . . . . 109
Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ
118
3.1
Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2
Ãèïåðäåðåâî Struct(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2
3
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
4
5
Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè
124
4.1
Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè . . . . . . . 130
Óäàëåíèå âåðøèí èç
5.1
k -ñâÿçíîãî
ãðàôà
137
Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2
6
Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà ïðè k > 2 . . . . . . . 140
Îñòîâíûå äåðåâüÿ
6.1
Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé
3 è íå ìåíåå 4
6.2
154
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G) ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé
1, 3 è íå ìåíåå 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3
Íèæíÿÿ îöåíêà íà u(G), ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû ñòåïåíè 2 . 228
Ëèòåðàòóðà
238
Ââåäåíèå
Òåîðèÿ ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì, èíòåðåñíûì è äèíàìè÷íî ðàçâèâàþùèìñÿ ðàçäåëîì äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ èññëåäîâàíèÿ ïî âåðøèííîé
ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîíÿòèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Ýòî ïîä÷åðêèâàåò è êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ìåíãåðà, ñ êîòîðîé â 1927 ãîäó ôàêòè÷åñêè íà÷àëèñü èññëåäîâàíèÿ
ïî ñâÿçíîñòè. Èõ ïðîäîëæèëè Óèòíè, Òàòò, Ôîðä è Ôàëêåðñîí, Äèðàê,
Õàëèí, Ìàäåð è äðóãèå. Â 60-80 ãîäû XX âåêà áûë âñïëåñê èíòåðåñà ê
ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ñåé÷àñ ïðîäîëæàþò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå ðàáîòû ïî ýòîé
òåìàòèêå, ïóñòü è íå â òàêîì êîëè÷åñòâå, êàê 30 ëåò íàçàä.
Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ íàèìåíüøåãî ðàçìåðà â ãðàôå. Îñòàíîâèìñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àíàëîãàõ ðåøàåìûõ â äèññåðòàöèè çàäà÷. Ïîíÿòèÿ
áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà õîðîøî èçâåñòíû è âåñüìà ïîëåçíû, ñ èõ ïîìîùüþ äîêàçàíî íåìàëî óòâåðæäåíèé, ïðè÷åì íå òîëüêî î
ñâÿçíîñòè ãðàôîâ. Ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè ñòðóêòóðà äåðåâà áëîêîâ è
òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, îïèñàííàÿ, íàïðèìåð, â êëàññè÷åñêîé êíèãå Ô. Õàðàðè
Òåîðèÿ ãðàôîâ [57]. Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîçâîëÿåò óñïåøíî ïðèìåíÿòü áëîêè â äîêàçàòåëüñòâàõ.
Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè âîïðîñû îá àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðå
äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè. Íî äàæå ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà åãî äâóõâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè, ïîñòðîåíí4
5
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
íàÿ Â. T. Òàòòîì â 1966 ãîäó [36], íàìíîãî ñëîæíåå. Ãëàâíàÿ ïðè÷èíà â òîì,
÷òî óæå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü çàâèñèìû,
òî åñòü, ðàçáèâàòü äðóã äðóãà íà ÷àñòè. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü
äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâîäÿ ðàçðåçû äâóñâÿçíîãî
ãðàôà ïî äâóõâåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâàì: ðàçðåçàÿ ãðàô ïî
íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó, ìû òåðÿåì èíôîðìàöèþ îáî âñåõ çàâèñèìûõ ñ íèì
ìíîæåñòâàõ, à ñòðóêòóðà, çàâèñÿùàÿ îò ïîðÿäêà ðàçáèåíèÿ, áåñïîëåçíà. Ê
ñîæàëåíèþ, äåðåâî áëîêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîñòðîåííîå Òàòòîì, ïðàêòè÷åñêè íå íàøëî ïðèìåíåíèÿ. Îäíàêî, ìíîãèå ðàáîòû, âûøåäøèå ïîçæå,
ìîãëè áû áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíû ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ Òàòòà.
Ñ ïîâûøåíèåì âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ñëîæíîñòü ñòðóêòóðû âîçðàñòàåò
ìíîãîêðàòíî. Òîëüêî â 2011 ãîäó äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð [54] çàâåðøèëè ðàáîòó ïî ïîñòðîåíèþ àíàëîãè÷íîé ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ òð¼õñâÿçíîãî
ãðàôà åãî òð¼õâåðøèííûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè. Ýòà ñòðóêòóðà
íàìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå, ÷åì ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî
ãðàôà.
Èìåííî èññëåäîâàíèÿ ïî ñâÿçíîñòè ãðàôîâ ñïîñîáíû ïðèîòêðûòü íàì
íîâûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ, êîòîðûå áóäóò ïîëåçíû è â äðóãèõ îáëàñòÿõ
ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðîäîëæàòü òàêèå èññëåäîâàíèÿ, ñòðîèòü íîâûå ñòðóêòóðíûå èíâàðèàíòû ãðàôîâ è èçó÷àòü ïîñòðîåííûå ðàíåå.
Òàê êàê îñíîâíûå ïðîáëåìû â îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî
ãðàôà ïðè k ≥ 2 ïðåäñòàâëÿþò ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, â
ïåðâîé ãëàâå
äèññåðòàöèè ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà îïèñàíèè ñòðóêòóðû ðàçáèåíèÿ ãðàôà
íàáîðàìè èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k ). Ïîëó÷àåòñÿ äåðåâî, ïî ñâîéñòâàì âî ìíîãîì àíàëîãè÷íîå äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïîñòðîåííîé ñòðóêòóðû ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ïîõîæåå
íà êîíòðóêöèþ Òàòòà. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ïîñòðîåííûõ êîíñòðóêöèé
ïîêàçàíû â ïåðâîé ãëàâå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Âî
6
âòîðîé ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííûõ â ïåðâîé ãëàâå êîíñòðóêöèé èññëå-
äóþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû.
Â
òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð-
æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà.
Â
÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà
âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà
k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà.
Â
ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü-
êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè.
Â
øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà ìàêñèìàëüíîå êîëè÷å-
ñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Íîâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ
îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ, ïðåäëîæåííûé äèññåðòàíòîì, îñíîâàí êàê ðàç íà èñïîëüçîâàíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
Âìåñòå ñ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ýòî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü â îöåíêàõ âèñÿ÷èå âåðøèíû èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà, ÷òî íå ïîëó÷àëîñü ñäåëàòü ðàíåå.
Äàëåå ñëåäóþò îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è áîëåå ïîäðîáíûé ðàññêàç î ðåçóëüòàòàõ äèññåðòàöèè.
Îáîçíà÷åíèÿ
Ìû ðàññìàòðèâàåì íåîðèåíòèðîâàííûå ãðàôû áåç ïåòåëü è êðàòíûõ ð¼áåð.  ðàáîòå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ. Ìíîæåñòâî
âåðøèí ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (G). Ìíîæåñòâî ð¼áåð ãðàôà G ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç E(G).
Äëÿ êîëè÷åñòâà âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ
v(G) è e(G) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ìíîæåñòâ âåðøèí A, B ⊂ V (G) îáîçíà÷èì ÷åðåç eG (A, B) êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, ó êîòîðûõ îäèí êîíåö
7
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
ëåæèò â A, à äðóãîé â B .
Îïðåäåëåíèå 1.
Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G).
1) ×åðåç G − R ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âñåõ âåðøèí è ð¼áåð ìíîæåñòâà R, à òàêæå âñåõ ð¼áåð, èíöèäåíòíûõ
âåðøèíàì èç R.
2) Ïóñòü x, y ∈ V (G). Åñëè xy ∈
/ E(G), òî îáîçíà÷èì ÷åðåç G + xy
ãðàô G, ê êîòîðîìó äîáàâëåíî ðåáðî xy . Åñëè xy ∈ E(G), òî ãðàô G + xy
ñîâàäàåò ñ G.
3) Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî R ðàçäåëÿþùèì, åñëè ãðàô G − R íåñâÿçåí.
×åðåç R(G) îáîçíà÷èì íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G.
×åðåç dG (x) îáîçíà÷èì ñòåïåíü âåðøèíû x â ãðàôå G. Ìèíèìàëüíóþ
ñòåïåíü âåðøèíû ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç δ(G), à ìàêñèìàëüíóþ ñòåïåíü ÷åðåç ∆(G).
Âåðøèíà x ãðàôà G íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé, åñëè dG (x) = 1. Åñëè ãðàô G äåðåâî, åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû ÷àñòî íàçûâàþò ëèñòüÿìè.
Äëÿ ðåáðà e ∈ E(G) ÷åðåç G · e ìû îáîçíà÷èì ãðàô, ïîëó÷åííûé â
ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ ðåáðà e (êîíöû ðåáðà e = xy ñòÿãèâàþòñÿ â íîâóþ
âåðøèíó x · y , c êîòîðîé â ãðàôå G · e áóäóò ñìåæíû âñå îòëè÷íûå îò x
è y âåðøèíû, ñìåæíûå â G õîòÿ áû ñ îäíèì èç êîíöîâ ðåáðà e).
×åðåç χ(G) îáîçíà÷àåì õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà G, òî åñòü, íàèìåíüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ â ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêå âåðøèí
ýòîãî ãðàôà.
Äëÿ âåðøèíû x ∈ V (G) ÷åðåç NG (x) îáîçíà÷èì åå îêðåñòíîñòü â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, ñìåæíûõ ñ x.
Ïóñòü X ⊂ V (G). ×åðåç NG (X) îáîçíà÷èì îêðåñòíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå G, òî åñòü, ìíîæåñòâî âñåõ íå ïðèíàäëåæàùèõ X âåðøèí,
ñìåæíûõ õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç X .
8
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
×åðåç G(X) îáîçíà÷èì èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåðøèí X (òî åñòü, ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí X è âñåìè ð¼áðàìè
ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â X ).
×åðåç Kn îáîçíà÷èì ïîëíûé ãðàô íà n âåðøèíàõ.
Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü
Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé â òåîðèè ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñâÿçíî-
ñòè. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî âåðøèíàìè ñóùåñòâóåò ïóòü. Ìíîæåñòâî âåðøèí íåñâÿçíîãî ãðàôà ðàçáèâàåòñÿ íà
êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. (Ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà, ëþáûå äâå èç êîòîðûõ
ñâÿçàíû ïóòåì.)
Îïðåäåëåíèå 2.
1) Ãðàô íàçûâàåòñÿ (âåðøèííî) k -ñâÿçíûì, åñëè â íåì
íå ìåíåå k + 1 âåðøèí è ïðè óäàëåíèè ëþáûõ k − 1 âåðøèí ïîëó÷àåòñÿ
ñâÿçíûé ãðàô.
2) Ñâÿçíîñòüþ äâóõ âåðøèí x è y ãðàôà G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå
êîëè÷åñòâî âåðøèí, êîòîðîå íåîáõîäèìî óäàëèòü èç G äëÿ òîãî, ÷òîáû â
îñòàâøåìñÿ ãðàôå âåðøèíû x è y îêàçàëèñü â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõ ñâÿçíîñòè. Âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé +∞.
Îáîçíà÷àåòñÿ âåðøèííàÿ ñâÿçíîñòü x è y ÷åðåç κG (x, y).
Òàêèì îáðàçîì, ãðàô ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
â íåì õîòÿ áû k + 1 âåðøèíà è κG (x, y) ≥ k äëÿ ëþáûõ äâóõ âåðøèí x è y .
Íà÷àëî èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ âåðøèííîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ïîëîæèë â
1927 ãîäó Ê. Ìåíãåð [28], äîêàçàâøèé ñëåäóþùóþ òåîðåìó: äëÿ ëþáûõ
äâóõ íåñìåæíûõ âåðøèí x, y ñâÿçíîñòü κG (x, y) ðàâíÿåòñÿ íàèáîëüøåìó
êîëè÷åñòâó íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîñòûõ ïóòåé ìåæäó x è y â ãðàôå G. Ïîçæå, â 1932 ãîäó, Õ. Óèòíè äîêàçàë, ÷òî â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìåæäó ëþáûìè
äâóìÿ âåðøèíàìè åñòü k ïóòåé áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Îáðàòíîå
9
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Òåì ñàìûì, ïîíÿòèå âåðøèííîé k -ñâÿçíîñòè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñâÿçíîñòè. Ñ ýòèì ñâÿçàíû è ïîïûòêè îáîáùèòü
êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ íà ãðàôû áîëüøåé ñâÿçíîñòè.
Ïîíÿòíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñòåïåíü âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà íå ìåíåå k .  ñâÿçè ñ ýòèì ìíîãèå èññëåäîâàòåëè èçó÷àëè âåðøèíû ñòåïåíè k â
k -ñâÿçíîì ãðàôå. Ñóùåñòâåííàÿ ÷àñòü äèññåðòàöèè òàêæå ïîñâÿùåíà ýòîìó. Îïðåäåëèì äâà âàæíûõ ïîíÿòèÿ.
Îïðåäåëåíèå 3.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô.
1) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì, åñëè v(G) ≥ k + 2 è äëÿ ëþáîé
âåðøèíû x ∈ V (G) ãðàô G − x íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì.
2) Ãðàô G íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ðåáðà e ∈ E(G)
ãðàô G − e íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì.
Êðèòè÷åñêèå k -ñâÿçíûå ãðàôû èññëåäîâàëèñü, íà÷èíàÿ ñ 70-õ ãîäîâ 20
âåêà, â ðàáîòàõ [5, 14, 29].  îñíîâíîì, èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû äîêàçàòåëüñòâó íàëè÷èÿ âåðøèí ñòåïåíè k â êðèòè÷åñêèõ ãðàôàõ è îöåíêå
êîëè÷åñòâà òàêèõ âåðøèí.
Ïðî ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èçâåñòíî äîâîëüíî ìíîãî. Îíè èçó÷àëèñü ñ êîíöà 60-õ ãîäîâ 20 âåêà â ðàáîòàõ [7, 31, 24, 25, 30] è äðóãèõ.
Èññëåäîâàíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ òàêæå â îñíîâíîì ïîñâÿùåíû îöåíêå êîëè÷åñòâà âåðøèí ñòåïåíè k â òàêèõ ãðàôàõ. Ïîäðîáíåå î
ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ ìû ñêàæåì ïîçæå.
Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ
Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ äåðåâüåâ, â òîé èëè èíîé ñòåïåíè îòîáðàæàþùèõ ñòðóêòóðó ñâÿçíîñòè ãðàôà. Íàèáîëåå êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì
òàêîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìû íàïîìíèì ïîíÿòèÿ áëîêà è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, à òàêæå ðÿä èõ ñâîéñòâ.
10
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîäðîáíåå î íèõ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â êíèãå [57].
Îïðåäåëåíèå 4.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâà-
åòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí.
Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî êàê ðàç îäíîâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà. Áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ýòî ìîùíûé è ïîëåçíûé
èíñòðóìåíò ðàáîòû ñ ãðàôàìè, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîêàçàíî ìíîæåñòâî
ôàêòîâ, ïðè÷åì íå òîëüêî èç òåîðèè ñâÿçíîñòè.  äîêàçàòåëüñòâàõ ÷àñòî
èñïîëüçóåòñÿ äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, êîòîðîå ìû ñåé÷àñ îïðåäåëèì.
Îïðåäåëåíèå 5.
Äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî äâó-
äîëüíûé ãðàô B(G), âåðøèíû îäíîé äîëè êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò âñåì
òî÷êàì ñî÷ëåíåíèÿ a1 , . . . , an ãðàôà G, à äðóãîé âñåì åãî áëîêàì B1 , . . . ,
Bn (ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè âåðøèíû òàê æå, êàê è áëîêè). Âåðøèíû ai
è Bj ñìåæíû, åñëè è òîëüêî åñëè ai ∈ V (Bj ).
Íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ýòî äåéñòâèòåëüíî äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò áëîêàì
(äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [57]). Èìåííî ñòðóêòóðà äåðåâà ïîìîãàåò ðàáîòàòü ñ áëîêàìè è òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé
ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó áëîêîâ è
òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Íåêîòîðûå èç òàêèõ ñòðóêòóð îïèñûâàþòñÿ â ïåðâîé
ãëàâå äèññåðòàöèè.
×àñòè ðàçáèåíèÿ, ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü
Ïåðåä îïèñàíèåì ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè îïðåäåëèì íåîáõîäèìûå íàì
ïîíÿòèÿ. Âïåðâûå îïðåäåëåííûå äèññåðòàíòîì â [43], îíè îêàçàëèñü óäîá-
11
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
íû äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ãðàôå.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G.
Îïðåäåëåíèå 6.
Ïóñòü S ⊂ Rk (G).
1) Ìíîæåñòâî A ⊂ V (G) íàçîâåì ÷àñòüþ S-ðàçáèåíèÿ, åñëè íèêàêèå
äâå âåðøèíû èç A íåëüçÿ ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç S, íî ëþáàÿ
äðóãàÿ âåðøèíà ãðàôà G îòäåëåíà îò ìíîæåñòâà A õîòÿ áû îäíèì èç
ìíîæåñòâ íàáîðà S.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G íàáîðîì ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(S). ( ñëó÷àå, êîãäà íåî÷åâèäíî,
êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, ìû áóäåì ïèñàòü Part(G; S).)
2) Âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(S) íàçîâåì âíóòðåííèìè, åñëè îíè íå
âõîäÿò íè â îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ìíîæåñòâî òàêèõ âåðøèí íàçîâåì
âíóòðåííîñòüþ ÷àñòè A è áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Int(A).
Âåðøèíû, âõîäÿùèå â êàêèå-ëèáî ìíîæåñòâà èç S ìû áóäåì íàçûâàòü
ãðàíè÷íûìè, à âñå èõ ìíîæåñòâî ãðàíèöåé è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(A).
Çàìå÷àíèå.
Åñëè A, B ∈ Part(S) äâå ðàçëè÷íûå ÷àñòè, òî ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå A îò B . Ïîíÿòíî, ÷òî òîãäà A ∩ B ⊂ S .
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîíÿòèÿ ãðàíèöû è âíóòðåííîñòè
÷àñòè ðàçáèåíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû íåçàâèñèìî îò íàáîðà ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû íåñëîæíî è ïðèâåäåíî â ãëàâå 4.
Ëåììà 4.3.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S).
Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A,
èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A.
2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A.
12
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ýòèõ ïîíÿòèé ñàìûé ïðîñòîé, è
â òî æå âðåìÿ î÷åíü âàæíûé ñëó÷àé: ðàçáèåíèå k -ñâÿçíîãî ãðàôà îäíèì k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì S . ×òî òàêîå òîãäà ÷àñòü
A ∈ Part(S)? Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åå âíóòðåííîñòü Int(A) ýòî êîìïîíåíòà
ñâÿçíîñòè ãðàôà G − S , à ñàìà ÷àñòü A ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì ê ýòîé
êîìïîíåíòå âåðøèí ìíîæåñòâà S . Ñëåäîâàòåëüíî, èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(A) ñâÿçåí è èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà S âûõîäèò õîòÿ áû
îäíî ðåáðî ê âåðøèíàì èç Int(A).
Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ k = 1 è îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî
ãðàôà G ýòî åãî ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, èç íèõ ñîñòîèò R1 (G). Ìíîæåñòâà âåðøèí âñåõ áëîêîâ ýòî ÷àñòè Part(R1 (G)). Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ
÷àñòè ðàçáèåíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü ñâîéñòâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ
Íåîäíîêðàòíî âîçíèêàëè è âîçíèêàþò ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ äëÿ ãðàôîâ
áîëüøåé ñâÿçíîñòè ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íîé ïî ñâîèì ñâîéñòâàì äåðåâó
áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
 ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ìû ïðåäëîæèì íàø âçãëÿä íà ýòó ïðîáëåìó è ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ
k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â k -ñâÿçíîì ãðàôå. ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà êîíñòðóêöèÿ, â öåëîì àíàëîãè÷íàÿ äåðåâó, ïîñòðîåííîìó Òàòòîì [36]. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðû ìû èñïîëüçóåì îïðåäåëåííîå âûøå ïîíÿòèå ÷àñòè
ðàçáèåíèÿ. Íà÷íåì ñ íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå 7.
Ïóñòü R ⊂ V (G) ∪ E(G).
1) Ïóñòü X, Y ⊂ V (G), X 6⊂ R, Y 6⊂ R. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R îòäå-
ëÿåò ìíîæåñòâî X îò ìíîæåñòâà Y , åñëè íèêàêèå äâå âåðøèíû vx ∈ X
13
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
è vy ∈ Y íå ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R.
2) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî R ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî X ⊂ V (G), åñëè íå
âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X \ R ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − R.
Îïðåäåëåíèå
8.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàçîâåì ìíîæåñòâà
S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè S íå ðàçäåëÿåò T è T íå ðàçäåëÿåò S .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû áóäåì íàçûâàòü ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìûìè.
Ê ñîæàëåíèþ, ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç k ≥ 2 âåðøèí,
ìîãóò áûòü çàâèñèìûìè. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíû îñíîâíûå òðóäíîñòè â
èçó÷åíèè k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè k ≥ 2.  ðàáîòàõ [17, 53] äîêàçàíî, ÷òî
äëÿ ìíîæåñòâ S, T ∈ Rk (G) âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî îíè íåçàâèñèìû, ëèáî êàæäîå èç íèõ ðàçäåëÿåò äðóãîå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà î÷åíü ïðîñòîå.
Íàëè÷èå ïàð çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ ìåøàåò ïîñòðîèòü íà ìíîæåñòâàõ
èç Rk (G) è ÷àñòÿõ èç Part(Rk (G)) îòîáðàæàþùåå èõ ñòðóêòóðó äåðåâî,
ïîõîæåå íà äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Îäíàêî, òàêóþ ñòðóêòóðó
ìîæíî ïîñòðîèòü äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, ÷òî ìû
ïîêàæåì äàëåå.
Îïðåäåëåíèå 9.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì âñå
ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ
T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí
ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è òîëüêî
åñëè S ⊂ A.
Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà.
14
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Òåîðåìà 1.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ-
ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ.
1) T (G, S) ýòî äåðåâî.
2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
dT (G,S) (S) = |Part(S)|.
Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ
÷àñòü B ∈ Part(S), òàêàÿ ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå
âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S).
3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S).
Òåîðåìà âêëþ÷åíà â ãëàâó 1 äèññåðòàöèè.
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà
×àñòíûì ñëó÷àåì äåðåâà ðàçáèåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Äàëåå äî êîíöà ðàçäåëà
ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ìíîæåñòâà
èç R2 (G).
Îïðåäåëåíèå 10.
Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî
íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì
÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G.
 1966 ãîäó Â. Ò. Òàòò [36] îïèñàë ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ
äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå èìåííî ñ ïîìîùüþ äåðåâà, êîòîðîå îí íàçâàë T (G). Ýòî äåðåâî ïî÷òè ÷òî äåðåâî
ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà îäèíî÷íûìè ðàçäåëÿþùèìè ìíîæåñòâàìè
(òîëüêî ýòè ìíîæåñòâà è ñàìî äåðåâî áûëè îïðåäåëåíû â êíèãå Òàòòà áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì).
15
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìû ïîñòðîèì ïîõîæåå äåðåâî ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé âûøå òåõíèêè.
Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò
íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 11.
1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)).
2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G)
íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G).
Çàìå÷àíèå.
1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå âèñÿ÷èå
âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G).
2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G.
Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå.
Îïðåäåëåíèå 12.
1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô,
ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab,
ãäå {a, b} ∈ O(G).
2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë
è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì
íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A.
Òåîðåìà 1.2.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ-
ùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë.
2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû
íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà.
16
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Òàêèì îáðàçîì, íåîäèíî÷íûå äâóõâåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà
ãðàôà G ñîîòâåòñòâóþò äèàãîíàëÿì ÷àñòåé-öèêëîâ, èìåþùèõ äëèíó õîòÿ
áû 4.
Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà
Âàæíî íå òîëüêî ïîñòðîèòü ñòðóêòóðó, íî è ïîêàçàòü, êàê îíà ïðèìåíÿåòñÿ. Óäèâèòåëüíî, íî ñòðóêòóðà Òàòòà ïðàêòè÷åñêè íå íàøëà ïðèìåíåíèÿ çà ñòîëüêî ëåò. Ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû ïîä÷åðêíóò àíàëîãèþ ìåæäó
êëàññè÷åñêèìè äâóñâÿçíûìè áëîêàìè ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Ìû ïðèìåíèì äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà äëÿ îöåíêè åãî õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ
ìû ïîéìåì, êàê âûãëÿäÿò êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû.
Î÷åâèäíî, íåñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô íà êàæäîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè.
Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí
ëþáîé åãî áëîê. Â 1937 ãîäó Ìàêëåéí [20] èññëåäîâàë ïðîöåññ ðàçáèåíèÿ
äâóñâÿçíîãî ãðàôà íà àòîìû è ïîêàçàë ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ, ÷òî äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðíû âñå åãî àòîìû. Ìû ïîêàæåì ñâÿçü
ìåæäó àòîìàìè è ÷àñòÿìè äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ïåðåôîðìóëèðóåì òåîðåìó Ìàêëåéíà â íàøèõ òåðìèíàõ: äâóñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí åñëè è òîëüêî
åñëè ïëàíàðíû èíäóöèðîâàííûå ïîäãðàôû íà âñåõ åãî ÷àñòÿõ-áëîêàõ.
Ïîíÿòíî, ÷òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ñâÿçíîãî ãðàôà ðàâíî ìàêñèìóìó
õðîìàòè÷åñêèõ ÷èñåë åãî äâóñâÿçíûõ áëîêîâ. Ìû äîêàæåì âåðõíèå îöåíêè
íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà ÷åðåç õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà åãî ïîäãðàôîâ,
èíäóöèðîâàííûõ íà ÷àñòÿõ ðàçáèåíèÿ.
Òåîðåìà 1.4.
æäåíèÿ.
Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð-
17
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
1)
χ(G) ≤ χ(G0 ) =
max χ(G0 (A)).
A∈Part(G)
2)
χ(G) ≤
max χ(G(A)) + 1.
A∈Part(G)
max χ(G(A)) + 1 .
A áëîê G
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñè-
3)
χ(G) ≤ max 3,
ìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ ìîæíî íå
ïðèáàâëÿòü 1, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî.
Ñïèñî÷íûå ðàñêðàñêè (list colorings) ïîÿâèëèñü îòíîñèòåëüíî íåäàâíî è
ÿâëÿþòñÿ ñåé÷àñ âåñüìà ïîïóëÿðíûì îáúåêòîì äëÿ èññëåäîâàíèé. Êàæäîé âåðøèíå ãðàôà v ∈ V (G) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ñïèñîê L(v) èç k
öâåòîâ, ïîñëå ÷åãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí, â êîòîðîé êàæäàÿ âåðøèíà v äîëæíà áûòü ïîêðàøåíà â öâåò èç ñïèñêà L(v).
Ìèíèìàëüíîå òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k , ÷òî äëÿ ëþáûõ ñïèñêîâ èç k
öâåòîâ ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ãðàôà G, îáîçíà÷àåòñÿ
÷åðåç ch(G) (è íîñèò íàçâàíèå choice number èëè ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî). Î÷åâèäíî, ch(G) ≥ χ(G). Ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ ìû
äîêàæåì îöåíêó íà ch(G).
Òåîðåìà 1.5.
Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ.
1)
ch(G) ≤
max ch(G(A)) + 2.
A∈Part(G)
max ch(G(A)) + 2 .
A áëîê G
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò ïîíÿòíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìàê2)
ch(G) ≤ max 3,
ñèìóìà â ïóíêòàõ 2 è 3 ê ñïèñî÷íîìó õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç
áëîêîâ ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2, ïðè÷åì ýòîò áëîê ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî.
Êðîìå òîãî, ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà ìû äîêàæåì íåñêîëüêî ôàêòîâ î ñòðóêòóðå êðèòè÷åñêèõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ.
Ñëåäñòâèå 1.3.
1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è
18
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò
ïóñòóþ âíóòðåííîñòü.
2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî
ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë
äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S ,
èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2.
 ðàáîòå [29] áûëî äîêàçàíî, ÷òî â êðèòè÷åñêîì äâóñâÿçíîì ãðàôå íà íå
ìåíåå ÷åì 6 âåðøèíàõ åñòü õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Èç ñëåäñòâèÿ 1.3
î÷åâèäíî ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ãðàôîâ íà íå ìåíåå ÷åì 4
âåðøèíàõ. Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 1.3 è äåðåâà ðàçáèåíèÿ áóäóò îïèñàíû
âñå êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, èìåþùèå ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2.
 ãëàâå 1 ìû õàðàêòåðèçóåì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ïîìîùüþ äåðåâà ðàçáèåíèÿ.
Òåîðåìà 1.6. Äâóñâÿçíûé
ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû;
(b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà .
Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.6 ìîæíî âûÿñíèòü íåìàëî ôàêòîâ î ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôàõ.
Ñëåäñòâèå 1.5.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû-
ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅.
2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì
ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí
ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2.
3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ
âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2.
19
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äåðåâî ðàçðåçîâ
Ïåðåä îïèñàíèåì ýòîãî îáúåêòà íàì íåîáõîäèìî äàòü îïðåäåëåíèå ðàçðåçà
è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì.
Îïðåäåëåíèå 13.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô.
1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç
âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ
ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G).
2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí,
âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T .
Ðàçðåç îáúåêò, ïî ñâîéñòâàì ïîõîæèé íà âåðøèííîå ðàçäåëÿþùåå
ìíîæåñòâî, íî èìåþùèé ñâîþ ñïåöèôèêó. Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G)
ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ
êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1 è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e.
Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà.
Îïðåäåëåíèå 14.
1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè
ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ
ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå
Part(T ) = {A1 , A2 }.
2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí
A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ).
Îïðåäåëåíèå 15.
Ïóñòü S ⊂ T(G).
Íàçîâåì ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà
A=
\
S∈S
AS ,
ãäå AS ∈ Part(S).
20
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì
îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S).  ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî, êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå Part(S).
3) Ãðàíèöåé ÷àñòè A ∈ Part(S) áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé ÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S. Âíóòðåííîñòüþ
÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Int(A) = A \ Bound(A).
Îïðåäåëåíèå 16.
Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñ-
ëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ
Part(S) = {A1 , A2 },
Part(T ) = {B1 , B2 },
÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè-
ìûìè.
Îïðåäåëåíèå 17.
1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâè-
ñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé
ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè èç
Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S .
2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà
BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé.
Êàê ìû âèäèì, îïðåäåëåíèå äåðåâà ðàçðåçîâ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ
äåðåâà ðàçáèåíèÿ, êîòîðîå äàíî â íà÷àëå ðàçäåëà, è îïðåäåëåíèþ êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî
äåðåâî ðàçðåçîâ îáëàäàåò ïîõîæèìè ñâîéñòâàìè.
Òåîðåìà 1.7.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî-
ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ
îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî.
2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè
Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S).
21
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S),
åñëè è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå
G.
4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T ,
òî A ∈ Part(T ).
5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç
ìíîæåñòâà S.
Ó÷òåì ñïåöèôèêó ðàçðåçîâ êàæäûé èç íèõ äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå
÷àñòè è îïðåäåëèì ñîêðàùåííûé âàðèàíò äåðåâà ðàçðåçîâ.
Îïðåäåëåíèå 18.
Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà-
âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì
îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì ÷àñòè
A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû
îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S.
Ñëåäñòâèå 1.6.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî-
ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ
îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî.
2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S)
ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî
îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S.
3) |Part(S)| = |S| + 1.
4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò
ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R.
5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì
ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S).
22
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî
|A ∩ B| = k − 1.
7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå
ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S).
Îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ âàæíî, íàïðèìåð, äëÿ èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ, â êîòîðûõ êàæäîå
ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí ðàçðåç. Ýòî áóäåò ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â ãëàâå 2 äèññåðòàöèè.
Ìèíèìàëüíûå
k -ñâÿçíûå
ãðàôû
Âî âòîðîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîé â ïåðâîé ãëàâå òåõíèêè èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû. Íàïîìíèì, ÷òî k -ñâÿçíûé ãðàô
íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè îí òåðÿåò k -ñâÿçíîñòü ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáîãî ñâîåãî ðåáðà.
Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k .
×åðåç Vk (G) ìû îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ
ñòåïåíü k , ïóñòü
Vk+1 (G) = V (G) \ Vk (G),
vk (G) = |Vk (G)| è vk+1 (G) = |Vk+1 (G)|.
Äèðàê [7] â 1967 ãîäó è Ïëàììåð [31] â 1968 ãîäó èññëåäîâàëè ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Èç ðåçóëüòàòîâ ýòèõ ðàáîò ìîæíî âûâåñòè, ÷òî
v2 (G) ≥
v(G)+4
3
äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G.
 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë î÷åíü ñèëüíûé ðåçóëüòàò, îáîáùàþùèé íàïèñàííîå âûøå:
vk (G) ≥
(k − 1)v(G) + 2k
2k − 1
(1)
äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî
k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ,
23
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì òàêèå ãðàôû è áóäåì íàçûâàòü èõ ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè
k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè.
Îïðåäåëåíèå 19.
Ïóñòü k ≥ 2, à T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T
ñòðîèòñÿ èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j
íîâûõ âåðøèí ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }.
Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ýêñòðåìàëüíûé.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
G 2, T
Ðèñ. 1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T .
Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, â êîòîðîé äîêàçàíî, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ
k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò.
Òåîðåìà 2.1.
Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1.
 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé
ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç
ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíî-
24
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
ñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû (ñì. ðèñóíîê 2a). Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî
ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà ãðàô
K3,3 (ñì. ðèñóíîê 2b).
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Ðèñ. 2: Îïåðàöèè çàìåíû.
Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ
âñåõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ.
Ñëåäñòâèå 2.3.
Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé
ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû
âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ).
Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ñ ìàëûì ÷èñëîì âåðøèí ñòåïåíè 2
Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè
êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
v2 (G) ≥
Îïðåäåëåíèå 20.
v(G) + 4
.
3
×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëü-
íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d n+4
3 e âåðøèí
ñòåïåíè 2.
25
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) =
v(G)+4
3
ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè
v(G) = 3m+2. Èç òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî GM(3m+2) ñîñòîèò
èç ãðàôîâ âèäà G2,T , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3.
Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ
ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî,
÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû
âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå
ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ.
Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð.
Òåîðåìà 2.2.
Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå-
íèÿ.
1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ
v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ).
2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy
èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà.
Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíó
ñåðèþ ãðàôîâ.
Îïðåäåëåíèå 21.
Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà
ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü
Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà,
ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì
GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2
(ñì. ðèñóíîê 3).
Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3,
òî GT,a ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ñ
v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m è v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2.
26
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
b
b
x
a
b
b
b
y
b
b
b
z
b
b
b
b
b
b
Rz
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A Ry
b
Rz
b
b
b
GT– R a
T
b
b
b
b
Rx
b
Ry
b
b
b
b
b
b
b
Rx
b
b
b
b
b
b
b
b
G T,a
Ðèñ. 3: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a .
Ïîýòîìó GT,a ∈ GM(3m).
Òåîðåìà 2.3.
Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ
ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ.
1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3,
xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû).
2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî
ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû
ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y .
3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T )
âåðøèíà ñòåïåíè 3.
Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì â äîêàçàòåëüñòâàõ ïîñëåäíèõ äâóõ òåîðåì áóäåò äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïåðâîé ãëàâå.
Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ
k -ñâÿçíûõ
ãðàôîâ ïðè
k≤5
 ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ êàæäîå ðåáðî âõîäèò õîòÿ áû â îäèí
ðàçðåç. Ïîýòîìó îïèñàíèå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðàçðåçîâ
âàæíî äëÿ èçó÷åíèÿ òàêèõ ãðàôîâ. Êàê âèäíî åùå èç êëàññè÷åñêèõ ðàáîò
Ìàäåðà [22]-[24], íàèáîëåå âàæíî èçó÷èòü â ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå
ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ð¼áåð Ek+1 (îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü õîòÿ
áû k + 1).  äèññåðòàöèþ âêëþ÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 2.4.
Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà
27
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R
òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Äàëåå ê îïèñàííîìó ìíîæåñòâó ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ íàçîâåì åãî S ìîæíî ïðèìåíèòü êîíñòðóêöèþ äåðåâà ðàçðåçîâ è îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå
ðàñïîëîæåíèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 . Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå
ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî,
äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6.
Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ
Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ, êàê è äëÿ
ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H) è
E(H), ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà â
òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå
õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê
ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà.
Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) îáîçíà÷èì ÷åðåç dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð.
Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ
ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H)), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû.
Îïðåäåëåíèå 22.
1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ðàçëè÷íûõ âåð-
øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå,
÷òî ai , ai+1 ∈ ei .
28
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Îïðåäåëåíèå 23.
ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì
1) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî
âåðøèíû ñâÿçàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì.
2) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è
êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí.
Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ.
Îïðåäåëåíèå 24.
Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí
ñâÿçåí, íè îäíî åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ
ëþáîãî öèêëà â ýòîì ãèïåðãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå
åãî âåðøèíû.
Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà, ýòè ñâîéñòâà îïèñàíû â òåîðåìå 3.1. Äàëåå â òðåòüåé ãëàâå
ñòðîèòñÿ àáñòðàêòíàÿ ñòðóêòóðà, îáîáùàþùàÿ ñâîéñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ
ñâÿçíîãî ãðàôà.
Îïðåäåëåíèå 25.
Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæ-
äîé âåðøèíå w ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà
íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí).
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1
è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw .
Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ
îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V .
Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V ,
ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí.
Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå èìååò ýòà êîíñòðóêöèÿ ê òåîðèè ñâÿçíîñòè.
29
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ,
à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a
ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a.
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãèïåððåáðà Struct(R1 (F )) ýòà ìíîæåñòâà âñåõ
òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â êàêîì-ëèáî íåêðàéíåì áëîêå. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ãèïåðãðàô Struct(R1 (F )) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî
ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2.
Òåîðåìà 3.2.
Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V
åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b íå
ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì.
2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }.
Îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3.2 ìîæíî äîêàçàòü ïðèâåäåííûå
â ãëàâå 1 äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû î ñòðóêòóðíûõ äåðåâüÿõ (òåîðåìû 1.1
è 1.7): äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü äëÿ ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ
(ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ) óñëîâèå èç
òåîðåìû 3.2, ïîñëå ÷åãî ìîæíî ïåðåéòè îò ãèïåðäåðåâà ê äåðåâó ñ ïîìîùüþ
êîíñòðóêöèè, îïèñàííîé â òåîðåìå 3.1. Ìû äàëè â ýòèõ òåîðåìàõ áîëåå
ýëåìåíòàðíûå äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî, èíîãäà îáîéòèñü áåç òåîðåìû 3.2
ãîðàçäî ñëîæíåå íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, î êîòîðûõ
èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [54] äèññåðòàíò è À. Â. Ïàñòîð èìåííî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè îïèñàëè ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òð¼õâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â òð¼õñâÿçíîì ãðàôå.
Ýòà ñòðóêòóðà ìíîãî ñëîæíåå è ðàçíîîáðàçíåå ñòðóêòóðû âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â äâóñâÿçíîì ãðàôå,
30
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
îïèñàííîé â äèññåðòàöèè.
Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè
Îïðåäåëåíèå 26.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G).
1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû.
2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì
îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S).
3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè
íàáîðà S.
 ÷åòâåðòîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîcòè íàáîðà S.
Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè
T, T0 ∈ Comp(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü A ∈ Part(T), êîòîðàÿ
ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà êîìïîíåíòû T0 , à ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü
Part(T) íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ìíîæåñòâà èç T0 .
Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé
êëàññ áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(T).
Îïðåäåëåíèå 27.
Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè-
åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S
è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S).
Òåîðåìà 4.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
31
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì.
2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci
ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j .
3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî
ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü
ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A.
Ìû èìååì äåëî ñ áîëåå îáùåé ñèòóàöèåé, ÷åì â ãëàâå 2: òàì ðàññìàòðèâàëñÿ íàáîð èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò, åãî êîìïîíåíòàìè çàâèñèìîñòè áûëè ñàìè ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å
âîçíèêàåò áîëüøå òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé ïðè èçó÷åíèè ÷àñòåé Part(S)
ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà Struct(S).
Îïðåäåëåíèå 28.
Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî Struct(S). Äëÿ
âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâà
âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà ìíîæåñòâî âåðøèí
A=
n
\
Ai
i=1
íàçîâåì ÷àñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà
A∈
/ Part(S)).
Èìåííî èç-çà òîãî, ÷òî íå êàæäîìó ãèïåððåáðó Struct(S) ñîîòâåòñòâóåò
÷àñòü Part(S), íå ïîëó÷àåòñÿ ââåñòè íà êîìïîíåíòàõ çàâèñèìîñòè è ÷àñòÿõ
Part(S) ñòðóêòóðó äåðåâà, êàê â ñëó÷àå ñ íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ
ìíîæåñòâ. Áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ÷àñòü A, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R
ãèïåðäåðåâà Struct(S) íå ïðèíàäëåæèò Part(S) òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå:
A ∈ S è ãèïåððåáðî R ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè,
îäíà èç êîòîðûõ ýòî {A}, à äðóãàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè èìååò ÷àñòü
ðàçáèåíèÿ ñ ãðàíèöåé A.
32
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåðäåðåâà
Struct(S).
Òåîðåìà 4.2.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå
ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S).
2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ).
Óäàëåíèå íåñêîëüêèõ âåðøèí ñ ñîõðàíåíèåì
k -ñâÿçíîñòè
Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî êëàññè÷åñêèõ áëîêîâ ñâÿçíîãî ãðàôà.
Ïóñòü W ìíîæåñòâî âåðøèí, íå ÿâëÿþùèõñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è
ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì áëîêàì. Òîãäà íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî ãðàô
G − W ñâÿçåí.
 ïÿòîé ãëàâå äèññåðòàöèè áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå
äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà è ñäåëàíà ïîïûòêà îáîáùèòü ýòè ñâîéñòâà äëÿ ãðàôîâ áîëüøåé ñâÿçíîñòè.
Òåîðåìà 5.1.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ-
ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W
äâóñâÿçåí.
Ïåðåéäåì ê îäíîâðåìåííîìó óäàëåíèþ íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî
ãðàôà.  äèññåðòàöèþ âêëþ÷åíà òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â ñîâìåñòíîé ðàáîòå
äèññåðòàíòà è À. Â. Ïàñòîðà [53]. Ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è ñàìó òåîðåìó.
Îïðåäåëåíèå 29.
Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà
G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì.
33
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îïðåäåëåíèå 30.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)). Ïóñòü
Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè A,
åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S îò Int(A).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà.
Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|.
Òåîðåìà 5.2.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð-
øèíû, âõîäÿùèé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû
k+1
2
âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå-
ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ
k -ñâÿçíûì.
Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [58], îïóáëèêîâàííîé ïîñëå [53], À. Ñ. ×óõíîâ
äîêàçàë äâà ïîõîæèõ óòâåðæäåíèÿ îá óäàëåíèè íåñêîëüêèõ âåðøèí èç k ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè, íî òàêæå ëèøü äëÿ ãðàôîâ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì: ñòåïåíè âñåõ âåðøèí (â òîì ÷èñëå, íå âõîäÿùèõ
â k -âåðøèííûå ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà) äîëæíû áûòü íå ìåíåå ÷åì
3k−1
2 .
Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ
 øåñòîé ãëàâå äèññåðòàöèè èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î ïîñòðîåíèè â ñâÿçíîì ãðàôå îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Îòìåòèì, ÷òî ê
êëàññè÷åñêèì ìåòîäàì ïîñòðîåíèÿ äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà. Èìåííî
ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü íîâûå íèæíèå îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, ó÷èòûâàþùèå âèñÿ÷èå âåðøèíû è äàæå âåðøèíû
ñòåïåíè 2 èñõîäíîãî ñâÿçíîãî ãðàôà.
Îïðåäåëåíèå 31.
Äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç u(G) ìàêñè-
ìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà G.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
34
Çàìå÷àíèå.
Åñëè F äåðåâî, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(F ) êîëè÷åñòâî
åãî ëèñòüåâ.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô. Ñ 1981 ãîäà, êîãäà Äæ. Ñòîðåð [34] ïðåäïîëîæèë, ÷òî u(G) >
v(G)
4 ,
åñëè âñå âåðøèíû ãðàôà G èìåþò ñòåïåíü 3, áûëî
îïóáëèêîâàíî íåìàëî ðàáîò î íèæíèõ îöåíêàõ u(G).
 1981 ãîäó Í. Ëèíèàë âûñêàçàë ãèïîòåçó:
d−2
v(G) + c ïðè δ(G) ≥ d ≥ 3,
d+1
ãäå êîíñòàíòà c > 0 çàâèñèò òîëüêî îò d. Ýòà ãèïîòåçà ïîÿâèëàñü íå íà
u(G) ≥
ïóñòîì ìåñòå: äëÿ ëþáîãî d ≥ 3 íåñëîæíî ïðèäóìàòü áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ
ïðèìåðîâ ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíîé ñòåïåíüþ d, äëÿ êîòîðûõ
ñòðåìèòñÿ ê
u(G)
v(G)
d−2
d+1 .
b
b
b
b
b
b
b
b
b
–
Kd+1
Kd+1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
–
Kd+1
b
b
b
b
Kd+1
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí òàêîé ïðèìåð: êðàéíèå áëîêè â öåïî÷êå ýòî
ïîëíûå ãðàôû íà d + 1 âåðøèíå, îñòàëüíûå áëîêè ýòî ïîëíûå ãðàôû
íà d + 1 âåðøèíå, èç êîòîðûõ óäàëåíî ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû, èç
êîòîðûõ âûõîäÿò ð¼áðà â ñîñåäíèå áëîêè öåïî÷êè. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
åñëè Gn òàêàÿ öåïî÷êà èç n áëîêîâ, òî
v(Gn ) = n(d + 1) è u(Gn ) = n(d − 2) + 4.
 1991 ãîäó Ä. Êëåéòìàí è Ä. Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî u(G) ≥ 41 ·v(G)+2
ïðè δ(G) ≥ 3 è
2
8
· v(G) +
ïðè δ(G) ≥ 4.
(2)
5
5
 1992 ãîäó Äæ. Ãðèããñ è Ì. Âó [9] åùå ðàç äîêàçàëè îöåíêó (2) è äîêàçàëè,
u(G) ≥
÷òî u(G) ≥
1
2
· v(G) + 2 ïðè δ(G) ≥ 5. Â îáåèõ ðàáîòàõ ïðèìåíÿëñÿ ìåòîä
35
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
ì¼ðòâûõ âåðøèí, êîòîðûé áóäåò ïðèìåíåí è â íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâàõ
ýòîé äèññåðòàöèè. Äåòàëüíîå îïèñàíèå ìåòîäà ìîæíî íàéòè â øåñòîé ãëàâå
äèññåðòàöèè.
Ñ ðàçâèòèåì ýòîãî ìåòîäà äëÿ d ≥ 6 åñòü çíà÷èòåëüíûå ïðîáëåìû, äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ íà íàñòîÿùèé ìîìåíò íåò. Èç ðàáîò [1, 4, 6] ñëåäóåò,
÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ d ãèïîòåçà Ëèíèàëà íåâåðíà. Îäíàêî, äëÿ
ìàëûõ çíà÷åíèé d > 5 âîïðîñ îñòàåòñÿ îòêðûòûì.
 ðàáîòå [19] ñêàçàíî î åùå îäíîé, áîëåå ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà:
X dG (x) − 2
dG (x) + 1
u(G) ≥
x∈V (G)
äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ δ(G) ≥ 2. Ïîíÿòíî, ÷òî ðàç äëÿ áîëüøèõ ñòåïåíåé
íåâåðíà áîëåå ñëàáàÿ ãèïîòåçà, òî íåâåðíà è ýòà. Îäíàêî, îíà ñòèìóëèðóåò
ïîïûòêè ïîëó÷èòü îöåíêó íà u(G), â êîòîðóþ êàæäàÿ âåðøèíà âíîñèò
âêëàä, çàâèñÿùèé îò åå ñòåïåíè.
Í. Â. Ãðàâèí â ðàáîòå [41] äîêàçàë, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñâÿçíîãî
ãðàôà G, â êîòîðîì s âåðøèí ñòåïåíè 3 è t âåðøèí ñòåïåíè õîòÿ áû 4,
u(G) ≥ 25 t +
2
15 s.
 ýòîé ðàáîòå äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòå-
ïåíè 1 è 2. Òî÷íîñòü êîíñòàíòû
2
5
íå âûçûâàåò ñîìíåíèé (ñì. ñåðèþ ïðè-
ìåðîâ, îïèñàííóþ âûøå), à âîò êîíñòàíòó
2
15
ìîæíî çàìåíèòü íà áîëüøóþ.
 ðàáîòå [47] äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 6.1.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè
íå ìåíåå 4. Òîãäà
2
1
u(G) = t + s + α,
5
5
ãäå
8
α≥ .
5
Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû
öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåðøèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå.
36
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
C 62
b
b
r
b
b
b
b
b
b
b
2
C8
b
G8
Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Ïðèâåäåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî.
Êëåéòìàí è Âåñò [19] ïðåäïîëîæèëè, ÷òî â íåðàâåíñòâå (2) àääèòèâíóþ
êîíñòàíòó
ìîæíî çàìåíèòü íà 2 äëÿ âñåõ ãðàôîâ, êðîìå äâóõ èñêëþ÷å-
íèé: ýòî
è C82 (êâàäðàòû öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ). Îäíàêî, áûëî
8
5
C62
äîêàçàíî ëèøü, ÷òî ãðàô-èñêëþ÷åíèå äîëæåí áûòü ðåãóëÿðíûì ãðàôîì
ñòåïåíè 4, êàæäîå ðåáðî êîòîðîãî âõîäèò â òðåóãîëüíèê. Èç ðåçóëüòàòîâ
äèññåðòàöèè ñëåäóåò, ÷òî íà ñàìîì äåëå äëÿ çàäà÷è, èññëåäîâàííîé Êëåéòìàíîì è Âåñòîì, ðàâíî êàê è äëÿ áîëåå îáùåé çàäà÷è, èññëåäîâàííîé â
òåîðåìå 6.1, èñêëþ÷åíèé òðè (ñì. ðèñóíîê). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû èñïîëüçóåò êëàññè÷åñêèé ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí.
Îòìåòèì, ÷òî â òåîðåìå 6.1 äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå âåðøèí ñòåïåíè 1 è 2. Îäíàêî, ýòè âåðøèíû íå ó÷èòûâàþòñÿ â îöåíêå íà u(G).
 ñîâìåñòíîé ðàáîòå [39] äèññåðòàíò è À. Â. Áàíêåâè÷ äîêàçàëè ðÿä îöåíîê íà u(G), â êîòîðûõ ó÷èòûâàþòñÿ âåðøèíû ñòåïåíè 1.  ÷àñòíîñòè,
òàì áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G ñ áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, èìåþùåãî s âåðøèí ñòåïåíè, îòëè÷íîé îò 2, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
u(G) ≥ 14 s + 32 . Òî÷íîñòü îöåíêè ïîäòâåðæäåíà áåñêîíå÷íîé ñåðèåé ïðèìåðîâ. Ìåòîä ìåðòâûõ âåðøèí íå ìîæåò ó÷èòûâàòü â îöåíêå íà u(G) âèñÿ÷èå
âåðøèíû, ïîýòîìó â ðàáîòå [39] äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îöåíêè áûëà ïðèäóìàíà íîâàÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà. Ýòà òåîðåìà íå âêëþ÷åíà â äèññåðòàöèþ.
Ïîçæå, â ðàáîòå [46] äèññåðòàíò äîêàçàë áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 6.2.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s
37
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí
ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà
1
1
3
u(G) ≥ t + s + .
3
4
2
Ýòà òåîðåìà âõîäèò â ïåðâóþ ãëàâó äèññåðòàöèè. Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ ãðàôîâ, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà äîñòèãàåòñÿ. Ìû ïðèâåä¼ì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ, â êîòîðîé ãðàôû ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1, 3 è 4. Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò öåëûé
ðÿä ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí: èñïîëüçóåòñÿ ðåäóêöèîííàÿ òåõíèêà, îñíîâàííàÿ íà ïðèìåíåíèè áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ (êàê ðàçðàáîòàííàÿ â [39], òàê è íîâàÿ),
à â îñòàâøèõñÿ ïîñëå ðåäóêöèè ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ìåðòâûõ âåðøèí (ãëàâíîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî áàçîâàÿ
êîíñòðóêöèÿ, ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîñòðîåíèå íå äåðåâî, êàê â êëàññè÷åñêîì âàðèàíòå ìåòîäà, à ëåñ, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû
ãðàôà).
Èíòåðåñíî, ÷òî ìîãóò óâåëè÷èòü êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì
äåðåâå è âåðøèíû ñòåïåíè 2: íåòðóäíî ïðèäóìàòü ïðèìåðû ãðàôîâ, â êîòîðûõ ïðè çàìåíå âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå äâå ñìåæíûå ñ
íåé âåðøèíû, óìåíüøàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì
äåðåâå.
Îïðåäåëåíèå 32.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç `(G) êîëè÷åñòâî âåðøèí â ìàêñè-
ìàëüíîé öåïî÷êå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 â ãðàôå G.
Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå â ãðàôå G äëèííûõ öåïî÷åê èç ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ìîæåò ñäåëàòü âåëè÷èíó u(G) ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê 0: íå áîëåå ÷åì äâå âåðøèíû èç êàæäîé òàêîé öåïî÷êè ìîãóò
38
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
áûòü âèñÿ÷èìè â îñòîâíîì äåðåâå ãðàôà. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå íà ãðàô: íóæíî îãðàíè÷èòü ñâåðõó `(G).  ðàáîòå [45]
äèññåðòàíò äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 6.3.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1. Òîãäà
u(G) ≥
3
1
v(G) + .
2k + 4
2
 êîíöå ãëàâû 6 ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ïðèìåðîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü îöåíêè èç òåîðåìû 6.3.
Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè
Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è øåñòè ãëàâ.
Â
ïåðâîé ãëàâå ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ k-ñâÿçíîãî ãðàôà íàáîðîì,
ñîñòîÿùèì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ.
 êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ýòîãî äåðåâà ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà,
èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ.
Êðîìå òîãî, ñòðîèòñÿ äåðåâî ðàçðåçîâ è äîêàçûâàþòñÿ åãî ñâîéñòâà.
Âî
âòîðîé ãëàâå èçó÷àþòñÿ ìèíèìàëüíûå k-ñâÿçíûå ãðàôû. Èññëåäó-
åòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì
âåðøèí ñòåïåíè k , çàòåì èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ
ãðàôîâ ñ ìàëûì (íî íå îáÿçàòåëüíî ìèíèìàëüíûì âîçìîæíûì) ÷èñëîì
âåðøèí ñòåïåíè k . Âñå òàêèå ãðàôû ïîäðîáíî îïèñàíû ñ ïîìîùüþ äåðåâüåâ. Îòäåëüíî èññëåäóåòñÿ ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ
ïðè k ≤ 5.
Â
òðåòüåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåð-
æäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé êëàññè÷åñêîå äåðåâî áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Â
39
÷åòâåðòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè èçó÷àåòñÿ ñòðóêòó-
ðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé, íà
êîòîðûå ìíîæåñòâà ýòîãî íàáîðà ðàçáèâàþò ãðàô.
Â
ïÿòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû îá îäíîâðåìåííîì óäàëåíèè íåñêîëü-
êèõ âåðøèí èç k -ñâÿçíîãî ãðàôà áåç ïîòåðè k -ñâÿçíîñòè. Áîëåå äåòàëüíî
ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äâóñâÿçíîãî ãðàôà.
Â
øåñòîé ãëàâå äîêàçûâàþòñÿ íèæíèå îöåíêè íà u(G) ìàêñèìàëü-
íîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà. Äîêàçàòåëüñòâî
êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. Áóäóò ïîñòðîåíû áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ, ïîäòâåðæäàþùèå òî÷íîñòü äîêàçûâàåìûõ îöåíîê.
Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [42] -[53].
Íóìåðàöèÿ îïðåäåëåíèé, òåîðåì, ëåìì, çàìå÷àíèé, ðèñóíêîâ è ôîðìóë
â äèññåðòàöèè âåä¼òñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ãëàâû.
Ãëàâà 1
Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ
Â
ïåðâîé ãëàâå
ñòðîÿòñÿ äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ñòðóêòóðû, àíàëîãè÷íûå
äåðåâó áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, íî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ â ãðàôàõ áîëüøåé ñâÿçíîñòè: íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ k ñâÿçíîãî ãðàôà. Îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî
ãðàôà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èçó÷àåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ: äîêàçûâàþòñÿ îöåíêè íà õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà, èçó÷àåòñÿ ñòðóêòóðà
êðèòè÷åñêèõ è ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ.
1.1
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äëÿ íàáîðà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ
Íàïîìíèì, ÷òî R(G) ýòî íàáîð èç âñåõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ãðàôà G,
êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü êàê âåðøèíû, òàê è ð¼áðà ãðàôà.  ýòîì ðàçäåëå
ãðàô G áóäåò k -ñâÿçíûì. ×åðåç Rk (G) îáîçíà÷àåòñÿ íàáîð, ñîñòîÿùèé èç
âñåõ k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Ïîäðîáíåå
âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ äàíû âî ââåäåíèè.
Îïðåäåëåíèå 1.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G), ïðè÷åì
âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Ïîñòðîèì äåðåâî ðàçáèå40
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
41
íèÿ T (G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåðøèíû îäíîé äîëè T (G, S) ýòî
ìíîæåñòâà èç S, à âåðøèíû äðóãîé äîëè ÷àñòè Part(S). Îáîçíà÷àòü
âåðøèíû T (G, S) ìû áóäåì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Âåðøèíû S ∈ S è A ∈ Part(S) ñìåæíû â T (G, S), åñëè è
òîëüêî åñëè S ⊂ A.
Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì ãðàô äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Ïîñòðîåíèå T (G, S) àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþ äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Àíàëîãè÷íûìè áóäóò è åãî ñâîéñòâà. Íà÷íåì ñî âñïîìîãàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ è òåõíè÷åñêîé ëåììû.
Îïðåäåëåíèå 1.2.
Ïîñòðîèì ãðàô GS íà ìíîæåñòâå âåðøèí V (G) ñëåäó-
þùèì îáðàçîì: âîçüìåì ãðàô G è äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S äîáàâèì
âñå îòñóòñòâóþùèå â E(G) ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû íåñìåæíûõ â G âåðøèí ìíîæåñòâà S .
Îòìåòèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ãðàôà GS .
Ëåììà 1.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ-
ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ.
1) S ⊂ Rk (GS ). Áîëåå òîãî, Part(G; S) = Part(GS ; S).
2) Ïóñòü T ⊂ S, B ∈ Part(G; T), à ìíîæåñòâî R ∈ R(GS (B)) íå
ñîäåðæèò ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû âåðøèí, âõîäÿùèõ â êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî íàáîðà S. Òîãäà R ∈ R(G).  ÷àñòíîñòè, ãðàô GS (B) ÿâëÿåòñÿ
k -ñâÿçíûì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S. Òàê êàê ìíî-
æåñòâà íàáîðà S ïîïàðíî íåçàâèñèìû, íèêàêîå ðåáðî èç E(GS ) \ E(G)
íå ìîæåò ñîåäèíÿòü âíóòðåííèå âåðøèíû äâóõ ðàçíûõ ÷àñòåé Part(G; S).
Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíû ðàçäåëåíû îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà S â ãðàôå G åñëè è òîëüêî åñëè îíè ðàçäåëåíû ýòèì ìíîæåñòâîì â GS , îòêóäà
î÷åâèäíî ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ ïóíêòà 1.
42
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
x
b
b
B
b
b
y
a
b
b
z
T
Ðèñ. 1.1: Ïîñòðîåíèå ïóòè â ãðàôå GS (B).
2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R ∈
/ R(G). Ïóñòü x, y ∈ B , à ìíîæåñòâî R îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå GS (B). Îäíàêî, R íå îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå G, à ñëåäîâàòåëüíî, è â GS . Ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå GS − R.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó z ∈
/ B (ñì. ðèñóíîê 1.1). Òîãäà
ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ T, îòäåëÿþùåå z îò B . Ïðè äâèæåíèè îò z â
îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â ðàçëè÷íûå âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà T , êîòîðûå â GS ñìåæíû. Ïî óñëîâèþ, ab ∈
/ R. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò
áîëåå êîðîòêèé ïóòü: ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé z , íà
ðåáðî ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî V (P ) ⊂ B , à
çíà÷èò, P ïóòü â GS (B) − R. Íî òàêîãî ïóòè íåò ïî óñëîâèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, R ∈ R(G).
 çàâåðøåíèè äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ îòìåòèòü, ÷òî Rk−1 (G) = ∅
(ãðàô G k -ñâÿçíûé), à çíà÷èò è Rk−1 (GS (B)) = ∅, òî åñòü, ãðàô GS (B)
òàêæå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì.
Òåîðåìà 1.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G) íàáîð, ñîñòîÿ-
ùèé èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ.
1) T (G, S) ýòî äåðåâî.
2) Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ∈ S âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
dT (G,S) (S) = |Part(S)|.
Áîëåå òîãî, äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ
òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ⊂ A è B ñìåæíà ñ S â T (G, S). Âñå
43
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T (G, S) ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòÿì Part(S).
3) Ìíîæåñòâî S ðàçäåëÿåò â ãðàôå G ÷àñòè B, B 0 ∈ Part(S) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò B è B 0 â T (G, S).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì äîêàçûâàòü âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû èíäóê-
öèåé ïî êîëè÷åñòâó ìíîæåñòâ â íàáîðå S, ïðè÷åì
ãðàô G. Áàçà äëÿ ïóñòîãî íàáîðà î÷åâèäíà.
íå ôèêñèðóÿ k-ñâÿçíûé
Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ = GS . Èç ëåììû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî ðàçáèåíèÿ ãðàôîâ G è G∗ íàáîðîì S îäèíàêîâû, áóäåì
îáîçíà÷àòü ýòî ðàçáèåíèå ÷åðåç Part(S). Áîëåå òîãî, òîãäà
T (G, S) = T (G∗ , S).
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ ãðàôà G∗ . Ïóñòü
S ∈ S,
Part(S) = {A1 , . . . , An },
Gi = G∗ (Ai ).
Ïî ëåììå 1.1, âñå ãðàôû G1 , . . . , Gn ÿâëÿþòñÿ k -ñâÿçíûìè. Ïóñòü íàáîð Si
ñîñòîèò èç âñåõ ìíîæåñòâ íàáîðà S, ëåæàùèõ â Ai è îòëè÷íûõ îò S . Òîãäà
êàæäîå ìíîæåñòâî èç S\{S} ëåæèò ðîâíî â îäíîì èç íàáîðîâ S1 , . . . , Sn .
T2
T1
U1
U2
S
T3
U3
T4
U4
Ðèñ. 1.2: Äåðåâî T (G, S).
Ïóñòü Ui ∈ Part(Gi ; Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ S . Ïî ëåììå 1.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè U ∈ Part(Gi ; Si ) ãðàô G∗ (U ) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, à çíà÷èò, åãî
íå ðàçäåëÿåò íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S, íå ëåæàùèõ â U . Ìíîæåñòâî S ëåæèò â ÷àñòè Ui , íî òàêæå íå ðàçäåëÿåò åå, òàê êàê
Ui ⊂ Ai ∈ Part(G; S).
44
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Part(Gi ; Si ) ⊂ Part(G∗ ; S), ïðè÷åì èìåííî ÷àñòü Ui
ñîäåðæèò S . Ñëåäîâàòåëüíî,
∗
Part(G ; S) =
n
[
Part(Gi ; Si ),
i=1
ïðè÷åì îáúåäèíåíèå äèçúþíêòíîå, à ÷àñòè Part(S), ñîäåðæàùèå ìíîæåñòâî S ýòî U1 , . . . , Un . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå 2 òåîðåìû äîêàçàíî äëÿ ìíîæåñòâà S , äëÿ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S äîêàçàòåëüñòâî
àíàëîãè÷íî.
Êàæäàÿ ÷àñòü Part(Gi ; Si ), êðîìå Ui , ñìåæíà â Ti = T (Gi , Si ) ñ òåìè
æå âåðøèíàìè, ÷òî â T (G, S). Äëÿ ÷àñòè Ui â T (G, S) äîáàâëÿåòñÿ ðåáðî
ê ìíîæåñòâó S . Ïîýòîìó T (G, S) − S ðàñïàäàåòñÿ ðîâíî íà n ñâÿçíûõ
ïîäãðàôîâ: ýòî ãðàôû Ti , ãäå i ∈ {1, . . . , n} (ñì. ðèñóíîê 1.2). Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, âñå ýòè ãðàôû äåðåâüÿ, à çíà÷èò, âûïîëíåíû
óòâåðæäåíèÿ ïóíêòîâ 1 è 3 òåîðåìû.
Êàê ìû âèäèì, ñâîéñòâà äåðåâà ðàçáèåíèÿ àíàëîãè÷íû õîðîøî èçâåñòíûì íàì ñâîéñòâàì êëàññè÷åñêîãî äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
1.2
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà
 ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò äâóñâÿçíûì. Îáúåêòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò
ìíîæåñòâà èç R2 (G). Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.3.
Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) îäèíî÷íûì, åñëè îíî
íåçàâèñèìî ñî âñåìè äðóãèìè ìíîæåñòâàìè èç R2 (G). Îáîçíà÷èì
÷åðåç O(G) íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ãðàôà G.
Ïîíÿòíî, ÷òî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 1.4.
1) Äåðåâî ðàçáèåíèÿ BT(G) äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ýòî äåðåâî T (G, O(G)).
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
45
2) Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Part(G) âìåñòî Part(O(G)) è íàçûâàòü ÷àñòè ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîñòî ÷àñòÿìè ãðàôà G. ×àñòü A ∈ Part(G)
íàçîâåì êðàéíåé, åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G).
Çàìå÷àíèå 1.1.
1) Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî BT(G) äåðåâî, âñå
âèñÿ÷èå âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò êðàéíèì ÷àñòÿì Part(G).
2) Åñëè A ∈ Part(G) êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Bound(A) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî ãðàôà G.
Äàëåå ìû õàðàêòåðèçóåì ÷àñòè ãðàôà G è èçó÷èì ðàñïîëîæåíèå íåîäèíî÷íûõ äâóõâåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ â ýòîì ãðàôå.
Îïðåäåëåíèå 1.5.
1) Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç G0 ãðàô,
ïîëó÷åííûé èç G äîáàâëåíèåì âñåõ îòñóòñòâóþùèõ â E(G) ðåáåð âèäà ab,
ãäå {a, b} ∈ O(G).
2) Íàçîâ¼ì ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêëîì, åñëè ãðàô G0 (A) ïðîñòîé öèêë
è áëîêîì, åñëè ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí. Åñëè ÷àñòü A öèêë, òî ìû áóäåì
íàçûâàòü |A| äëèíîé öèêëà A.
Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ ëåìì.
Ëåììà 1.2.
Ïóñòü S îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G,
à x ∈ S . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî S èìååò ñòåïåíü dBT(G) (S) = d, òî
dG (x) ≥ d. Åñëè dG (x) = d, òî âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû.
2) dG (x) ≥ 3.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïî òåîðåìå 1.1 ìû èìååì |Part(S)| = dBT(G) (S) = d,
à âî âíóòðåííîñòè êàæäîé èç d ÷àñòåé Part(S) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x
(èíà÷å ãðàô íåäâóñâÿçåí). Ïîýòîìó dG (x) ≥ d, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà âñå
ñìåæíûå ñ x âåðøèíû ëåæàò âî âíóòðåííîñòÿõ ÷àñòåé Part(S).
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
46
2) Ïóñòü dG (x) = 2. Ïî ïóíêòó 1 òîãäà |Part(S)| = 2 è âåðøèíû ìíîæåñòâà S íåñìåæíû. Çíà÷èò, NG (x) ∈ R2 (G) ìíîæåñòâî, çàâèñèìîå ñ S ,
ïðîòèâîðå÷èå.
Òåïåðü íàøà çàäà÷à ïîíÿòü ñìûñë ÷àñòåé ãðàôà G. Îïèøåì âàæíîå ñâîéñòâî ÷àñòåé ãðàôà è îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâó
áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëèò íàì ðàçðåçàòü äâóñâÿçíûé ãðàô ïî îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó.
Ëåììà 1.3.
Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ.
1) Ìíîæåñòâî S ∈ R2 (G) ðàçäåëÿåò âåðøèíû a, b ∈ V (G) â ãðàôå G
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ðàçäåëÿåò èõ â G0 .  ÷àñòíîñòè,
R2 (G) = R2 (G0 ).
2) Ïóñòü S ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, S ⊂ A ∈ Part(G).
Òîãäà S ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòî ìíîæåñòâî íåîäèíî÷íîå è â G0 (A).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïðè ïîñòðîåíèè G0 ìû ñîåäèíÿåì äîïîëíèòåëüíûìè
ð¼áðàìè òîëüêî ïàðû âåðøèí, ñîñòàâëÿþùèõ îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, à òàêèå âåðøèíû íå ðàçäåëåíû íè îäíèì èç ìíîæåñòâ íàáîðà R2 (G). Îòñþäà
ëåãêî ñëåäóþò äîêàçûâàåìûå óòâåðæäåíèÿ.
2) Ïóñòü S 0 ∈ R2 (G) çàâèñèìîå ñ S ìíîæåñòâî. Ïî ïóíêòó 1, ìû
èìååì S, S 0 ∈ R2 (G0 ), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû è â ãðàôå G0 .
Òàê êàê ãðàô G0 (A) äâóñâÿçåí, íåëüçÿ ðàçäåëèòü äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà
S ⊂ A â ãðàôå G0 , óäàëèâ ìåíåå äâóõ âåðøèí èç ÷àñòè A. Ñëåäîâàòåëüíî,
S 0 ⊂ A. Òîãäà S è S 0 ðàçäåëÿþò äðóã äðóãà è â ãðàôå G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, S, S 0 ∈ R2 (G0 (A)), ïðè÷åì ýòè ìíîæåñòâà çàâèñèìû.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò íåîäèíî÷íûå ìíîæåñòâà. Ïîõîæóþ
õàðàêòåðèñòèêó èñïîëüçîâàë â ñâîåé êíèãå [36] Òàòò.
47
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Ëåììà 1.4.
Ïóñòü S = {a, b} ∈ R2 (G) íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî. Òî-
ãäà |Part(S)| = 2, ïðè÷¼ì äëÿ êàæäîé ÷àñòè A ∈ Part(S) ãðàô G(A)
íåäâóñâÿçåí è èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, îòäåëÿþùóþ a îò b.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê S íåîäèíî÷íîå, ñóùåñòâóåò çàâèñèìîå ñ íèì
Çíà÷èò,
íå ñóùåñòâóåò ab-ïóòè ïî âåðøèíàì ÷àñòè A â ãðàôå G, êîòîðûé íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ S 0. Îäíàêî, åñëè S 0 íå ïåðåñåêàåò Int(A), òî òàêîé ïóòü, î÷åâèäíî,
ìíîæåñòâî S 0 ∈ R2 (G). Ìíîæåñòâî S 0 , êàê ìû çíàåì, ðàçäåëÿåò S .
ñóùåñòâóåò. Ïðîòèâîðå÷èå.
Òàêèì îáðàçîì, S 0 ïåðåñåêàåò âíóòðåííîñòü êàæäîé ÷àñòè Part(S), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòåé ðîâíî äâå. Áîëåå òîãî, åñëè {x} = S 0 ∩ Int(A),
òî x îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû a è b â G(A).
Ëåììà 1.5.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Òî-
ãäà ëèáî G òð¼õñâÿçåí, ëèáî G ýòî ïðîñòîé öèêë.
Çàìå÷àíèå 1.2.
Íàïîìíèì, ÷òî òð¼õñâÿçíûé ãðàô ñîäåðæèò õîòÿ áû 4
âåðøèíû.  ÷àñòíîñòè, òðåóãîëüíèê íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì ãðàôîì è
äâå àëüòåðíàòèâû èç ëåììû 1.5 âçàèìíî èñêëþ÷àþùèå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø ãðàô G íåòð¼õ-
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.5.
ñâÿçåí. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S = {a, b} ∈ R2 (G) è êàæäîé ÷à-
ñòè A ∈ Part(S) ìû äîêàæåì, ÷òî G(A) ýòî ïðîñòîé ab-ïóòü.
x
b
Ua
Ra
Ub
Rb
Ua
b
x
S
b
a
a
b
b
Ra
Rb
b
S
b
Ub
a
b
b
Ðèñ. 1.3: Äâóñâÿçíûé ãðàô áåç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
48
Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò èíäóêöèåé ïî |A|, áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷àñòü A
èìååò ðîâíî îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó, î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü
ìû õîòèì äîêàçàòü óòâåðæäåíèå äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S), à äëÿ ìåíüøèõ
÷àñòåé óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Ïóñòü H = G(A). Òàê êàê ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå, ïî ëåììå 1.4 ãðàô H èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ x,
îòäåëÿþùóþ a îò b. Ïóñòü Ua è Ub êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H − x,
ñîäåðæàùèå a è b ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 1.3a). Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â ãðàôå H − x íåò (òàêàÿ
êîìïîíåíòà âûäåëèëàñü áû è â G − x).
Ïóñòü Ua0 = Ua \ {a} 6= ∅. Òîãäà Ra = {a, x} îòäåëÿåò Ua0 îò îñòàëüíûõ
âåðøèí â ãðàôå G. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ,
ãðàô G(Ua0 ∪ Ra ) = G(Ua ∪ {x}) ïðîñòîé ax-ïóòü. Åñëè Ua = {a}, òî
NH (a) = {x} è G(Ua ∪ {x}) òàêæå ïðîñòîé ax-ïóòü. Àíàëîãè÷íî, ãðàô
G(Ub ∪ {x}) ïðîñòîé bx-ïóòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G(A) ýòî ïðîñòîé
ab-ïóòü (ñì. ðèñóíîê 1.3b).
Ïî ëåììå 1.4 ìû çíàåì, ÷òî Part(S) = {A1 , A2 }. Êàê ìû äîêàçàëè, îáà
ãðàôà G(A1 ) è G(A2 ) ïðîñòûå ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S ,
îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî G ïðîñòîé öèêë.
Òåîðåìà 1.2.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ-
ùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Êàæäàÿ ÷àñòü ãðàôà G áëîê èëè öèêë.
2) Ìíîæåñòâî R = {a, b} íåîäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èç R2 (G), åñëè è òîëüêî åñëè a è b íåñîñåäíèå â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå âåðøèíû
íåêîòîðîé ÷àñòè-öèêëà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïî ëåììå 1.1 ìû çíàåì, ÷òî ãðàô G0 (A) äâóñâÿ-
çåí. Ïðåäïîëîæèì, S ∈ R2 (G0 (A)). Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì S ∈ R2 (G).
Ìíîæåñòâî S íå ìîæåò áûòü îäèíî÷íûì â G, òàê êàê ðàçäåëÿåò ÷àñòü
A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà S íåîäèíî÷íîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â G0 (A). Ñëåäîâàòåëüíî, â G0 (A) íåò îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, à çíà÷èò,
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
49
ïî ëåììå 1.5 ýòîò ãðàô ëèáî òð¼õñâÿçåí, ëèáî ÿâëÿåòñÿ öèêëîì. Â ïåðâîì
ñëó÷àå ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ áëîêîì, à âî âòîðîì öèêëîì.
2) ⇐. Ïóñòü A = {a1 , a2 , . . . , ak }, ïðè÷åì âåðøèíû óêàçàíû â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå, R = {a1 , am }, ãäå 2 < m < k . Òîãäà R ∈ R2 (G0 (A)) è äåëèò
ãðàô G0 (A) ðîâíî íà äâå ÷àñòè:
U1 = {a1 , a2 , . . . , am } è U2 = {am , am+1 , . . . , a1 }.
Ïî ëåììå 1.1 ìû èìååì R ∈ R2 (G). Î÷åâèäíî, R ∈
/ O(G).
⇒. Ìíîæåñòâî R íåçàâèñèìî ñî âñåìè îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè ãðàôà G, à ïîòîìó ëåæèò â îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G). Ïî ëåììå 1.3 òîãäà
R ∈ R2 (G0 (A)). Èç ïóíêòà 1 òåîðåìû ÿñíî, ÷òî òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî R ñîñòîèò èç äâóõ íåñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî
öèêëà.
 çàâåðøåíèè îòìåòèì åùå îäíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî.
Ñëåäñòâèå 1.1.
Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(G) öèêë, òî âñå âåðøèíû èç
Int(A) èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå G.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè x ∈ Int(A), òî ð¼áðà ãðàôà G âûõîäÿò èç x òîëü-
êî ê âåðøèíàì ÷àñòè A, à òàêèõ ð¼áåð, î÷åâèäíî, ðîâíî äâà.
Íà ýòîì çàêîí÷èì èçó÷åíèå ñîáñòâåííî äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî
ãðàôà è ïåðåéä¼ì ê åãî ïðèìåíåíèþ.
1.3
1.3.1
Ïðèìåíåíèå äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà
×àñòè ðàçáèåíèÿ è ïëàíàðíîñòü
Ïîíÿòíî, ÷òî ñâÿçíûé ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëàíàðåí ëþáîé åãî áëîê.  ýòîì ðàçäåëå ìû îáñóäèì àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé
ïëàíàðíîñòè äëÿ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ â òåðìèíàõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ýòîãî
ãðàôà.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Îïðåäåëåíèå 1.6.
50
1) Ãðàô H 0 íàçûâàåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì ãðàôà H , åñ-
ëè H 0 ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç H çàìåíîé íåêîòîðûõ ð¼áåð íà ïðîñòûå
ïóòè. Ïðè ýòîì, âñå âíóòðåííèå âåðøèíû äîáàâëÿåìûõ ïóòåé ðàçëè÷íû,
èìåþò ñòåïåíü 2 è íå ñîäåðæàòñÿ â ãðàôå H .
2) ×åðåç G ⊃ H áóäåì îáîçíà÷àòü, ÷òî ãðàô G ñîäåðæèò â êà÷åñòâå
ïîäãðàôà ïîäðàçáèåíèå ãðàôà H .
Ëåììà 1.6.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(G). Òîãäà G ⊃ G0 (A).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ðåáðî ab ∈ E(G0 (A))\E(G). Òîãäà a, b ∈ A
è {a, b} ∈ O(G). Ïóñòü Ua,b ∈ Part({a, b}) ÷àñòü, íå ñîäåðæàùàÿ A.
Òîãäà ñóùåñòâóåò ab-ïóòü Sa,b ïî âåðøèíàì ÷àñòè Ua,b â ãðàôå G. Çàìåíèì
ðåáðî ab íà ïóòü Sa,b .
 ðåçóëüòàòå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàìåí ìû ïîëó÷èì ïîäãðàô H ãðàôà G.
Ïóñòü ab è xy äâà ðàçíûõ çàìåíåííûõ ðåáðà (âîçìîæíî, îíè èìåþò
îáùèé êîíåö). Òîãäà ÷àñòè Ua,b è Ux,y ðàçåäåëåíû ÷àñòüþ A â BT(G),
ïîýòîìó íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íèêàêèå
äâà äîáàâëåííûõ ïóòè íå èìåþò îáùåé âíóòðåííåé âåðøèíû, à çíà÷èò,
ãðàô H ÿâëÿåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì G0 (A).
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïî÷òè ïîâòîðÿåò òåîðåìó, äîêàçàííóþ Ìàêëåéíîì
â 1937 ãîäó [20].
Òåîðåìà 1.3.
Äâóñâÿçíûé ãðàô G ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äëÿ ëþáîãî áëîêà B ∈ Part(G) ãðàô G0 (B) ïëàíàðåí.
Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå íàøåé âåðñèè îò òåîðåìû Ìàêëåéíà ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ó Ìàêëåéíà âìåñòî ïîäãðàôîâ âèäà G0 (B) ôèãóðèðóþò òàê íàçûâàåìûå àòîìû, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ïîäðàçáèåíèÿìè ïîäãðàôîâ G0 (B). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.3 íåñëîæíî ñëåäóåò èç òåîðåìû
Êóðàòîâñêîãî î õàðàêòåðèçàöèè íåïëàíàðíûõ ãðàôîâ.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
1.3.2
51
×àñòè ðàçáèåíèÿ è õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî
Òåîðåìà 1.4.
Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ.
1)
χ(G) ≤ χ(G0 ) =
max χ(G0 (A)).
A∈Part(G)
2)
χ(G) ≤
max χ(G(A)) + 1.
A∈Part(G)
3)
χ(G) ≤ max 3,
Äîêàçàòåëüñòâî.
max χ(G(A)) + 1 .
A áëîê G
Ðàçîáüåì äåðåâî BT(G) íà óðîâíè, ïóñòü óðîâåíü 0 ñî-
ñòîèò èç ëþáîé ÷àñòè B ∈ Part(G), â êàæäûé ñëåäóþùèé óðîâåíü ` + 1
âîéäóò âåðøèíû, íå âîøåäøèå â óðîâíè 0, . . . , ` è ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ `. Ïî ïîñòðîåíèþ äåðåâà BT(G) ïîíÿòíî, ÷òî ÷åòíûå
óðîâíè ñîñòîÿò èç ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ, à íå÷åòíûå èç îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ. Ìû áóäåì êðàñèòü âåðøèíû ÷àñòåé ãðàôà G â ïîðÿäêå, çàäàííîì
ðàçáèåíèåì íà óðîâíè.
1) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G0 â
k=
max χ(G0 (A))
A∈Part(G)
öâåòîâ. Ãðàô G0 (B) ìû, î÷åâèäíî, ìîæåì ïîêðàñèòü â k öâåòîâ. Ïóñòü
âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì
÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì
îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî
äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S , ïðè÷åì â ðàçíûå öâåòà, òàê êàê îíè ñìåæíû
â G0 . Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà G0 (A) â k
öâåòîâ. Ïîñêîëüêó âåðøèíû ìíîæåñòâà S â ýòîé ðàñêðàñêå ðàçíîöâåòíû,
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èõ öâåòà èìåííî òàêèå, êàê â ðàñêðàñêå âåðøèí ÷àñòåé
ïðåäûäóùèõ óðîâíåé.
2) Äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ãðàôà G â
m+1=
max χ(G(A)) + 1
A∈Part(G)
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
52
öâåòîâ. Ãðàô G(B) ìû ìîæåì ïîêðàñèòü äàæå â m öâåòîâ. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü
A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A ïîêðàøåíû òîëüêî äâå
âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {a, b}. Ïóñòü âåðøèíû a è b ïîêðàøåíû â öâåòà i
è j , âîçìîæíî, ñîâïàäàþùèå.
Åñëè i = j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ, íå èñïîëüçóÿ öâåò i, à ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíû a è b â öâåò i.
Åñëè i 6= j , òî ïîêðàñèì âåðøèíû G(A) ïðàâèëüíûì îáðàçîì â m öâåòîâ
òàê, ÷òîáû a áûëà ïîêðàøåíà â öâåò i, íå èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì öâåò j , à
ïîòîì ïåðåêðàñèì âåðøèíó b â öâåò j .  ëþáîì ñëó÷àå ïîíÿòíî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà âåðøèí ÷àñòè A, ñîãëàñîâàííàÿ ñ ðàñêðàñêîé
âåðøèí ÷àñòåé ïðåäûäóùèõ óðîâíåé.
3) Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå îò ïóíêòà 2 ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòü A öèêë, ó êîòîðîãî êàê-òî ïîêðàøåíû äâå âåðøèíû, òî
îñòàëüíûå âåðøèíû ÷àñòè A íåñëîæíî äîêðàñèòü, íå íàðóøàÿ ïðàâèëüíîñòü ðàñêðàñêè è èñïîëüçîâàâ ïðè ýòîì òðè öâåòà.
Çàìå÷àíèå 1.3.
 äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.4 ìû ìî-
æåì ïðîèçâîëüíî âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ
ýòîé ÷àñòè íå íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûé öâåò. Ïîýòîìó ïðè
âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó
ãðàôà G(A) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî
áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ).
Àíàëîãè÷íî, â óòâåðæäåíèè 3 ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 1 ê õðîìàòè÷åñêîìó ÷èñëó îäíîãî èç áëîêîâ.
Ñëåäñòâèå 1.2.
Åñëè âñå ÷àñòè äâóñâÿçíîãî ãðàôà G öèêëû, òî
χ(G) ≤ 3.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
53
Ïåðåéäåì ê îöåíêàì íà ñïèñî÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî äâóñâÿçíîãî
ãðàôà.
Òåîðåìà 1.5.
Äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ.
1)
ch(G) ≤
max ch(G(A)) + 2.
A∈Part(G)
2)
ch(G) ≤ max 3,
Äîêàçàòåëüñòâî.
max ch(G(A)) + 2 .
A áëîê G
1) Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.4, ìû ðàçîáüåì âåðøèíû äå-
ðåâà ðàçáèåíèÿ íà óðîâíè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ÷àñòè B , è áóäåì êðàñèòü
÷àñòè ïî óðîâíÿì. Ïóñòü âåðøèíû ÷àñòåé èç óðîâíåé ìåíåå 2` > 0 óæå
ïîêðàøåíû. Ðàññìîòðèì ÷àñòü A ∈ Part(G) óðîâíÿ 2`, òîãäà îíà ñìåæíà â
BT(G) ðîâíî ñ îäíèì îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S óðîâíÿ 2` − 1 è â ÷àñòè A
ïîêðàøåíû òîëüêî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S = {x, y}.
 ñïèñêå êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G(A) õîòÿ áû ch(G(A)) + 2 öâåòà.
Óäàëèì èç ñïèñêîâ öâåòà âåðøèí x è y , îñòàâøèõñÿ öâåòîâ õâàòèò äëÿ
ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêè îñòàâøèõñÿ âåðøèí ÷àñòè A.
2) Îòëè÷èå îò ïóíêòà 1 ñîñòîèò â ðàñêðàñêå ÷àñòåé-öèêëîâ. Ïóñòü A
öèêë. Òîãäà ðàíåå ïîêðàøåíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A. Òåïåðü ïîêðàñèì
îñòàëüíûå âåðøèíû: ýòî âîçìîæíî, òàê êàê â ìîìåíò ïîêðàñêè î÷åðåäíîé
âåðøèíû ïîêðàøåíî íå áîëåå äâóõ åå ñîñåäåé, à â ñïèñêå åñòü òðè öâåòà.
Çàìå÷àíèå 1.4.
 äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5 ìû ìîæåì ïðîèçâîëüíî
âûáðàòü ÷àñòü B , ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ïîêðàñêà, à äëÿ ýòîé ÷àñòè íå
íóæíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå äâà öâåòà. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè ìàêñèìóìà ìîæíî íå ïðèáàâëÿòü 2 ê ch(G(A)) äëÿ îäíîé èç ÷àñòåé
A ∈ Part(G) (èìåííî ýòó ÷àñòü íóæíî áóäåò âûáðàòü â êà÷åñòâå B ).
54
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
1.3.3
Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû
Äåðåâî BT(G) ïîìîãàåò ïîíÿòü, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå
ãðàôû.
Ñëåäñòâèå 1.3.
1) Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ÷àñòè-áëîêè è ÷àñòè-òðåóãîëüíèêè èìåþò
ïóñòóþ âíóòðåííîñòü.
2) Ïóñòü A ∈ Part(S) êðàéíÿÿ ÷àñòü êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî
ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë
äëèíû õîòÿ áû 4 è âñå âåðøèíû A, êðîìå äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâà S ,
èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Èç òåîðåìû 1.2 î÷åâèäíî, ÷òî âåðøèíû, íå âõîäÿ-
ùèå â ìíîæåñòâà èç R2 (G) (òî åñòü âåðøèíû, óäàëåíèå êîòîðûõ íå íàðóøàåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G) ýòî êàê ðàç âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è
òðåóãîëüíèêîâ ãðàôà G.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
S
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
Ðèñ. 1.4: Êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû.
2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G. Ïî ïóíêòó 1, òîãäà A öèêë äëèíû õîòÿ áû 4, à S ñîñòîèò èç äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèí ýòîãî öèêëà. Îñòàëüíûå (õîòÿ áû äâå) âåðøèíû A âíóòðåííèå è ïî ñëåäñòâèþ 1.1 èìåþò
ñòåïåíü 2 â ãðàôå G (ñì. ðèñóíîê 1.4a).
Ñëåäñòâèå 1.4.
Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô íà íå ìåíåå ÷åì 4 âåð-
øèíàõ èìååò õîòÿ áû 4 âåðøèíû ñòåïåíè 4.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Äîêàçàòåëüñòâî.
55
Åñëè ãðàô G èìååò õîòÿ áû îäíî îäèíî÷íîå ìíîæå-
ñòâî, òî ó ãðàôà G íå ìåíåå äâóõ êðàéíèõ ÷àñòåé, óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî
ñëåäóåò èç ïóíêòà 2 ñëåäñòâèÿ 1.3. Ïóñòü îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ ó ãðàôà G
íåò. Êðèòè÷åñêèé äâóñâÿçíûé ãðàô, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õñâÿçíûì è
ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû. Çíà÷èò, ïî ëåììå 1.5 ãðàô G öèêë äëèíû
íå ìåíåå 4, â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Áîëåå òîãî, òåïåðü ïîíÿòíî, êàê óñòðîåíû êðèòè÷åñêèå äâóñâÿçíûå ãðàôû, ó êîòîðûõ ðîâíî 4 âåðøèíû ñòåïåíè 2. Âî-ïåðâûõ, ýòî öèêë èç ÷åòûðåõ âåðøèí. Òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ãðàô G íå ìåíåå ÷åì ñ ïÿòüþ âåðøèíàìè. Òîãäà äåðåâî BT(G) äîëæíî èìåòü ðîâíî äâå âèñÿ÷èå âåðøèíû
è îíè ñîîòâåòñòâóþò öèêëàì äëèíû 4. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå íåêðàéíèå áëîêè è âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Çíà÷èò, êàæäîå
îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî äåëèò ãðàô ðîâíî íà äâå ÷àñòè (äëÿ íåîäèíî÷íûõ
ìíîæåñòâ ýòî âñåãäà òàê).
Êðàéíèå ÷àñòè íàøåãî ãðàôà ñîäåðæàò ðîâíî 4 âíóòðåííèõ âåðøèíû
ñòåïåíè 2, ñëåäîâàòåëüíî, â íåêðàéíèõ ÷àñòÿõ âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò. Ðàññìîòðèì íåêðàéíþþ ÷àñòü A ∈ Part(G). Òàê êàê dBT(G) (A) = 2, ãðàíèöà A ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, òî åñòü, èìååò 3 èëè 4
âåðøèíû. Äîêàæåì, ÷òî Int(A) = ∅. Åñëè A áëîê, òî ýòî äîêàçàíî â
òåîðåìå 1.3. Åñëè A öèêë, òî åãî âíóòðåííÿÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 2 â
ãðàôå G, êàê óæå äîêàçûâàëîñü âûøå, òî åñòü, êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè
äâà áóäåò áîëåå 4.
Òàêèì îáðàçîì, íåêðàéíÿÿ ÷àñòü Part(G) ìîæåò áûòü òðåóãîëüíèêîì,
÷åòûð¼õóãîëüíèêîì èëè áëîêîì èç ÷åòûð¼õ âåðøèí, ïðè÷åì åå âåðøèíû
ïîêðûâàþòñÿ äâóìÿ îäèíî÷íûìè ìíîæåñòâàìè, ñìåæíûìè ñ ýòîé ÷àñòüþ â
äåðåâå BT(G). Ïðèìåð êðèòè÷åñêîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G ñ 4 âåðøèíàìè
ñòåïåíè 2 ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1.4á.
56
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
1.3.4
Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû
Òåîðåìà 1.6.
Äâóñâÿçíûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:
(a) åñëè {a, b} ∈ R2 (G), òî âåðøèíû a è b íåñìåæíû;
(b) äëÿ ëþáîãî áëîêà A ãðàôà G ãðàô G(A) íå èìååò íè îäíîãî ðåáðà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
⇒. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî
S = {a, b} ∈ R2 (G),
ab ∈ E(G),
Part(S) = {A1 , . . . , An }.
Òàê êàê G äâóñâÿçåí, îáå âåðøèíû a è b ñìåæíû ñ Int(Aj ). Ãðàô G(Int(Aj ))
ñâÿçåí, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ab-ïóòü, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò
â Int(Aj ) è èõ ìíîæåñòâî íåïóñòî. Òàêèì îáðàçîì, â ãðàôå G − ab ñóùåñòâóåò n ≥ 2 íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ab-ïóòåé, îòêóäà
ñëåäóåò äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G − ab. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G
ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå (a) âûïîëíåíî.
Ïóñòü A áëîê ãðàôà G; x, y ∈ A, xy ∈ E(G). Ãðàô G0 (A) òð¼õñâÿçåí,
ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ìåíãåðà ñóùåñòâóåò òðè xy -ïóòè â ãðàôå G0 ,
íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïî ëåììå 1.6, ãðàô G ñîäåðæèò
ïîäðàçáèåíèå G0 (A), ïîýòîìó òàêæå ñîäåðæèò òðè xy -ïóòè áåç îáùèõ âíóòðåííèõ âåðøèí. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − xy ñîäåðæèò äâà òàêèõ ïóòè, à
çíà÷èò, îí äâóñâÿçåí. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ G. Òàêèì îáðàçîì,
óñëîâèå (b) âûïîëíåíî.
⇐. Ïóñòü G íå ìèíèìàëüíûé ãðàô, à ðåáðî xy ∈ E(G) òàêîâî, ÷òî
ãðàô G−xy äâóñâÿçåí. Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(G),
÷òî x, y ∈ A. Èç óñëîâèÿ (b) ñëåäóåò, ÷òî A öèêë. Ïóñòü z ∈ A \ {x, y}.
Òîãäà ìíîæåñòâî T = {z, xy} äåëèò öèêë G0 (A) íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Ux 3 x è Uy 3 y .
Òàê êàê {x, y}, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ îäèíî÷íûì ìíîæåñòâîì ãðàôà G,
ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.1 ãðàô G − T íåñâÿçåí, à çíà÷èò, ãðàô G − xy íåäâó-
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
57
ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô G ìèíèìàëåí.
Ñëåäñòâèå 1.5.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âû-
ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè A áëîê ãðàôà G, òî Int(A) = ∅.
2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G, ñìåæíàÿ â BT(G) ñ îäèíî÷íûì
ìíîæåñòâîì S . Òîãäà A öèêë, à âñå åãî âåðøèíû, êðîìå äâóõ âåðøèí
ìíîæåñòâà S , èìåþò ñòåïåíü 2.
3) Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé ãðàôà G ñîñòîèò èç âñåõ
âåðøèí ýòîãî ãðàôà, èìåþùèõ ñòåïåíü 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïóñòü x ∈ Int(A), ðàññìîòðèì ðåáðî xy ∈ E(G).
Ïîíÿòíî, ÷òî y ∈ A, òàêèì îáðàçîì, ãðàô G(A) èìååò ðåáðî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 1.6.
2) Òàê êàê A êðàéíÿÿ ÷àñòü, òî Int(A) 6= ∅. Çíà÷èò, A öèêë è
óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
3) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 1.2 è ïóíêòà 1.
1.4
Äåðåâî ðàçðåçîâ
Ìû íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ðàçðåçà k -ñâÿçíîãî ãðàôà è ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ
k -ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâîì åãî ðàçðåçîâ. Â ýòîì ðàçäåëå ãðàô G áóäåò
k -ñâÿçíûì.
1.4.1
Ðàçðåçû
Îïðåäåëåíèå 1.7.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô.
1) Áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçîì k -ýëåìåíòíîå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî èç
âåðøèí è ð¼áåð ãðàôà G, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ðåáðî. Ìíîæåñòâî âñåõ
ðàçðåçîâ ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç T(G).
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
58
2) Äëÿ ðàçðåçà T ∈ T(G) îáîçíà÷èì ÷åðåç V (T ) ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â T âåðøèí, à ÷åðåç W (T ) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåðøèí,
âõîäÿùèõ â ðàçðåç T è âñåõ âåðøèí, èíöèäåíòíûõ ð¼áðàì ðàçðåçà T .
Çàìå÷àíèå 1.5.
1) Íèêàêàÿ âåðøèíà ðàçðåçà T ∈ T(G) (òî åñòü, èç ìíî-
æåñòâà V (T )) íå ìîæåò áûòü èíöèäåíòíà íèêàêîìó ðåáðó èç T .
2) Äëÿ ëþáîãî ðàçðåçà T ∈ T(G) ãðàô G − T èìååò äâå êîìïîíåíòû
ñâÿçíîñòè, ïóñòü ýòî U1 è U2 . Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ T êîìïîíåíòû U1
è U2 ñîäåðæàò ïî îäíîìó êîíöó e.
Òåïåðü îïðåäåëèì ÷àñòè ðàçáèåíèÿ ãðàôà ðàçðåçîì è ãðàíèöû ðàçðåçà.
Îïðåäåëåíèå 1.8.
1) Ïóñòü T ∈ T(G), à U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè
ãðàôà G − T . Íàçîâåì ìíîæåñòâà Ai = Ui ∪ V (T ) ÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ
ãðàôà G ðàçðåçîì T . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå
Part(T ) = {A1 , A2 }.
2) Ãðàíèöàìè ðàçðåçà T ìû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâà âåðøèí
A1 ∩ W (T ) è A2 ∩ W (T ).
Çàìå÷àíèå 1.6.
Ïóñòü T ∈ T(G), Part(T ) = {A1 , A2 }. Òîãäà âûïîëíÿþò-
ñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) A1 ∪ A2 = V (G), A1 ∩ A2 = V (T ).
2) Ãðàíèöû ðàçðåçà T ñîäåðæàò ïî k ýëåìåíòîâ. Êàæäàÿ èç ãðàíèö
ðàçðåçà T ñîäåðæèò V (T ) è ïî îäíîìó êîíöó âñåõ âõîäÿùèõ â T ð¼áåð.
3) Åñëè ìíîæåñòâî A0 = A1 \ W (T ) íåïóñòî, òî A1 ∩ W (T ) ãðàíèöà
ðàçðåçà T îòäåëÿåò A0 îò V (G) \ A1 , à êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ A1 ∩ W (T )
ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç A0 . Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ãðàíèöà ðàçðåçà ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì
â k -ñâÿçíîì ãðàôå G (òî åñòü, ïðèíàäëåæèò Rk (G)).
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
1.4.2
59
×àñòè ðàçáèåíèÿ
Îïðåäåëèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâîì èç íåñêîëüêèõ ðàçðåçîâ.
Îïðåäåëåíèå 1.9.
Ïóñòü S ⊂ T(G).
Íàçîâåì êâàçè÷àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S
ìíîæåñòâà âèäà
A=
\
AS ,
ãäå AS ∈ Part(S).
(1.1)
S∈S
×àñòÿìè ðàçáèåíèÿ ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S ìû íàçîâåì âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ êâàçè÷àñòè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ
ãðàôà G ìíîæåñòâîì ðàçðåçîâ S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Part(G; S), à
ìíîæåñòâî âñåõ êâàçè÷àñòåé ÷åðåç QPart(G; S).  ñëó÷àå, êîãäà ÿñíî,
êàêîé ãðàô ðàçáèâàåòñÿ, áóäåì ïèñàòü ïðîñòî Part(S) è QPart(S).
Îïðåäåëåíèå 1.10.
Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ QPart(S).
1) Ãðàíèöåé êâàçè÷àñòè A áóäåò ìíîæåñòâî Bound(A) âñåõ âåðøèí ýòîé
êâàçè÷àñòè, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ðàçðåçîâ èç S.
3) Âíóòðåííîñòü êâàçè÷àñòè A ýòî ìíîæåñòâî
Int(A) = A \ Bound(A).
4) Oïðåäåëèì ãðàíè÷íûé ðàçðåç Cut(A) êâàçè÷àñòè A: îí ñîñòîèò èç
ìíîæåñòâà âåðøèí Bound(A) è âñåõ ð¼áåð, âõîäÿùèõ â ðàçðåçû ìíîæåñòâà S è èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(A).
Çàìå÷àíèå 1.7.
1) Åñëè äâå ðàçëè÷íûå êâàçè÷àñòè A1 , A2 ∈ QPart(S)
èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òî A1 ∩ A2 ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S.
2) Ãðàíè÷íûé ðàçðåç ÷àñòè íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàçðåçîì. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû Cut(A) ñîäåðæàë ðîâíî k ýëåìåíòîâ è ñðåäè íèõ
áûëî õîòÿ áû îäíî ðåáðî.
60
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Ëåììà 1.7.
Äëÿ ìíîæåñòâà ðàçðåçîâ S ⊂ T(G) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþ-
ùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ïóñòü êâàçè÷àñòü B ∈ QPart(S) íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S).
Òîãäà B ⊂ V (S) äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S.
2) Ïóñòü S = S1 ∪ S2 , ïðè÷åì S1 ∩ S2 = ∅. Òîãäà ÷àñòè Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âåðøèí, ïðåäñòàâèìûå â
âèäå
A = A1 ∩ A2 ,
Äîêàçàòåëüñòâî.
B=
\
Ai ∈ Part(Si ).
(1.2)
1) Ïóñòü B ( B 0 ∈ Part(S), ïðè÷åì
BS ,
S∈S
ãäå
B0 =
\
BS0 ,
ãäå BS , BS0 ∈ Part(S).
S∈S
Cóùåñòâóåò òàêîå S ∈ S, ÷òî BS 6= BS0 . Òîãäà B ⊂ BS ∩ BS0 = V (S).
2) Ïóñòü A ∈ Part(S), òîãäà äëÿ i ∈ {1, 2} ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè
Ai ∈ Part(Si ), ÷òî A ⊂ Ai . Ïóñòü A0 = A1 ∩ A2 . Òîãäà A0 ∈ QPart(S) è
A ⊂ A0 , îòêóäà ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòè ñëåäóåò, ÷òî A = A0 . Òàêèì îáðàçîì,
âñå ÷àñòè Part(S) ïðåäñòàâèìû â âèäå (1.2).
Ïóñòü A = A1 ∩A2 ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.2)
èA∈
/ Part(S). Î÷åâèäíî, A ∈ QPart(S). Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü
B ∈ Part(S), ÷òî A ( B . Êàê ìû çíàåì, ÷àñòü B ïðåäñòàâèìà â âèäå (1.2),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè A.
Ëåììà 1.8.
Ïóñòü S ⊂ T(G), A ∈ Part(S), ïðè÷åì Int(A) 6= ∅. Îáî-
çíà÷èì ÷åðåç A îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò A ÷àñòåé Part(S). Òîãäà
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Cut(A) îòäåëÿåò A îò A.
2) Åñëè |Cut(A)| = k è Cut(A) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî, òî
Cut(A) ðàçðåç ñ Part(Cut(A)) = {A, A}.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Îòìåòèì, ÷òî
A ∩ A = Bound(A),
A ∪ A = V (G).
(1.3)
61
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Ëþáîå ðåáðî e ∈ E(G), âûõîäÿùåå èç Int(A) â A \ Bound(A), ñîåäèíÿåò
äâå âåðøèíû, ðàçäåëåííûå õîòÿ áû îäíèì èç ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S, à
çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç ýòèõ ðàçðåçîâ. Íî òîãäà e ∈ Cut(A).
2) Èç óñëîâèÿ è ïóíêòà 1 ñëåäóåò, ÷òî Cut(A) ðàçðåç. Ñëåäîâàòåëüíî,
|Part(Cut(A))| = 2. Â ñèëó (1.3) ïîíÿòíî, ÷òî Part(Cut(A)) = {A, A}.
1.4.3
Íåçàâèñèìûå ðàçðåçû
Îïðåäåëåíèå 1.11.
Ðàçðåçû S, T ∈ Tk (G) íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,
åñëè ìîæíî ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ
Part(S) = {A1 , A2 },
Part(T ) = {B1 , B2 },
÷òî A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Èíà÷å ìû áóäåì íàçûâàòü ðàçðåçû S è T çàâèñè-
ìûìè.
Ëåììà 1.9.
Ïóñòü ðàçðåçû S, R, T ∈ T(G) òàêîâû, ÷òî S è R íåçàâè-
ñèìû, à òàêæå T è R íåçàâèñèìû. Ïóñòü
Part(S) = {A1 , A2 },
Part(T ) = {B1 , B2 },
Part(R) = {D1 , D2 },
ïðè÷åì D1 ⊃ A1 è D2 ⊃ B2 . Òîãäà ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è R ñëåäóåò, ÷òî A2 ⊃
D2 ⊃ B2 . Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ T è R ñëåäóåò, ÷òî B1 ⊃ D1 ⊃ A1 .
Òàêèì îáðàçîì, S è T íåçàâèñèìû.
Ëåììà 1.10.
Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ T(G) íåçàâèñèìû, Part(S) = {A1 , A2 },
Part(T ) = {B1 , B2 } ïðè÷åì A1 ⊃ B2 è B1 ⊃ A2 . Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) A1 ⊃ Bound(B2 ),
A2 6⊃ Bound(B2 ).
2) Åñëè S è T íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, òî A1 ⊃ W (T ) è A2 6⊃ Bound(B1 ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Î÷åâèäíî, A1 ⊃ B2 ⊃ Bound(B2 ). Ïðåäïîëîæèì,
÷òî A2 ⊃ Bound(B2 ). Òîãäà
k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B2 )| = k,
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
62
÷òî íåâîçìîæíî.
2) Ïóñòü b1 b2 ∈ T , bi ∈ Int(Bi ). Ìû çíàåì, ÷òî b2 ∈ A1 . Åñëè b2 ∈ S ,
òî b2 ∈ A2 ⊂ B1 , ÷òî íåâåðíî. Çíà÷èò, b2 ∈
/ S . Ïîñêîëüêó b1 b2 ∈
/ S , òî
âåðøèíû b1 è b2 íå ðàçäåëåíû ðàçðåçîì S , òî åñòü, b1 ∈ A1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
A1 ⊃ W (T ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A2 ⊃ Bound(B1 ). Òîãäà
k − 1 = |V (S)| = |A1 ∩ A2 | ≥ |Bound(B1 )| = k,
÷òî íåâîçìîæíî.
1.4.4
Äåðåâî ðàçðåçîâ è åãî ñâîéñòâà
Îïðåäåëåíèå 1.12.
1) Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà-
âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Äåðåâî ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S ýòî äâóäîëüíûé ãðàô BT(G, S): îäíó äîëþ îáðàçóþò ðàçðåçû èç S, à âòîðóþ ÷àñòè
èç Part(S), ïðè÷åì ìíîæåñòâî S ∈ S è ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö ðàçðåçà S .
2) Åñëè ÷àñòü A ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà
BT(G, S), òî íàçîâåì òàêóþ ÷àñòü êðàéíåé.
Òåîðåìà 1.7.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî-
ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ
îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô BT(G, S) äåðåâî.
2) Ëþáîé ðàçðåç S ∈ S ñìåæåí â BT(G, S) ðîâíî ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè
Part(S), ïðè÷åì ýòè äâå ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(S).
3) Ðàçðåç S ∈ S îòäåëÿåò âåðøèíó B îò âåðøèíû C â BT(G, S) åñëè
è òîëüêî åñëè S îòäåëÿåò ìíîæåñòâî B îò ìíîæåñòâà C â ãðàôå G.
4) Åñëè êðàéíÿÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ñìåæíà â BT(G, S) ñ ðàçðåçîì T ,
òî A ∈ Part(T ).
63
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
5) Êðàéíèå ÷àñòè Part(S) ýòî â òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç
ìíîæåñòâà S.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èíäóêöèÿ ïî êîëè÷åñòâó ðàçðåçîâ. Áàçà: ïðè |S| = 1
âñå ïÿòü óòâåðæäåíèé î÷åâèäíû.
Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì S ìíîæåñòâà
ðàçðåçîâ óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Âûáåðåì ðàçðåç T ∈ S òàê, ÷òî îäíà
èç ÷àñòåé B ∈ Part(T ) ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé
ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç S. Ïóñòü S0 = S \ {T }. Òîãäà ãðàô
BT(G, S0 ) äåðåâî. Ïóñòü Part(T ) = {B, B 0 }.
Ðàññìîòðèì ðàçðåç S ∈ S0 . Òàê êàê S è T íåçàâèñèìû è â ñèëó ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè B ∈ Part(T ), ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî
B ⊂ AS . Ïóñòü Part(S) = {AS , A0S }. Òîãäà B 0 ⊃ A0S . Ïî ëåììå 1.10 ìû
èìååì A0S 6⊃ Bound(B).
Ââåäåì îïèñàííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàçðåçîâ S ∈ S0 è ðàññìîòðèì êâàçè÷àñòü
A=
\
AS
∈
QPart(S0 ).
S∈S0
Ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(S0 ) ëåæèò â A0S äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S ∈ S0 è ïîòîìó A0 6⊃ Bound(B). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A ∈ Part(S0 ).
Âñïîìíèì, ÷òî ïî ëåììå 1.7 ÷àñòè D ∈ Part(S) ýòî ìàêñèìàëüíûå
ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà
D = H ∩ F,
ãäå H ∈ Part(T )
è
F =
\
FS ∈ Part(S0 ).
(1.4)
S∈S0
Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
a.
Ïóñòü F ∈ Part(S0 ), F 6= A.
Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî S ∈ S0 ìû èìååì FS 6= AS è ïîýòîìó FS = A0S .
Ñëåäîâàòåëüíî, B 0 ⊃ A0S ⊃ F . Ïîýòîìó B ∩ F ( F = B 0 ∩ F . Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà âèäà (1.4), ãäå F 6= A 64
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
ýòî ÷àñòè F ∈ Part(S0 ) è òîëüêî îíè. Òàêèì îáðàçîì, âñå îòëè÷íûå îò A
÷àñòè Part(S0 ) ýòî ÷àñòè Part(S).
Îòìåòèì, ÷òî ïî ëåììå 1.10 ÷àñòü FS = A0S íå ñîäåðæèò íè îäíî èç
ìíîæåñòâ Bound(B) è Bound(B 0 ), ñëåäîâàòåëüíî, F íå ñìåæíà â BT(G, S)
ñ ðàçðåçîì T . Òàêèì îáðàçîì, NBT(G,S) (F ) = NBT(G,S0 ) (F ).
D = H ∩ A.
b.
Åñëè H = B , òî D = A ∩ B = B . Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî B ìàêñèìàëüíîå ïî
âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî âèäà (1.4), à çíà÷èò, B ∈ Part(S). Ïî ëåììå 1.10,
÷àñòü B íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà S0 , ñëåäîâàòåëüíî, B âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà BT(G, S), ñìåæíàÿ òîëüêî ñ ðàçðåçîì T .
Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àé D = A ∩ B 0 . Êàê ìû çíàåì ïî ëåììå 1.10,
÷àñòü B 0 ñîäåðæèò âñå ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , êîòîðûå ëåæàò â A. Êðîìå
òîãî, äëÿ âñåõ S ∈ S0 ïî ëåììå 1.10 ìû èìååì AS ⊃ Bound(B 0 ), à çíà÷èò,
A ⊃ Bound(B 0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, D = A ∩ B 0 ñîäåðæèò Bound(B 0 ) è âñå
ãðàíèöû ðàçðåçîâ èç S0 , ëåæàùèå â A, à äðóãèõ ãðàíèö ðàçðåçîâ èç S íå
ñîäåðæèò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî NBT(G,S) (D) = NBT(G,S0 ) (A) ∪ {T }.
b
b
rs
b
b
rs
rs
rs
rs
b
b
rs
b
rs
b
b
b
b
b
rs
b
rs
b
b
b
rs
b
rs
b
rs
b
rs
b
b
rs
D
rs
rs
rs
b
rs
rs
A
rs
b
rs
rs
rs
Bb
T
b
Ðèñ. 1.5: Èíäóêöèîííûé øàã ïîñòðîåíèÿ äåðåâà T (G, S).
Òàêèì îáðàçîì, ãðàô BT(G, S) ïîëó÷àåòñÿ èç BT(G, S0 ) ïåðåèìåíîâàíèåì âåðøèíû A â D, ïðèñîåäèíåíèåì ê D ðàçðåçà T , à ê T ÷àñòè B
(ñì. ðèñóíîê 1.5).
1) è 2) Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî BT(G, S) äåðåâî. Îòìåòèì,
÷òî ðàçðåç T ñìåæåí â ýòîì äåðåâå ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè, ñîäåðæàùèìè åãî
ãðàíèöû ýòî B è D ⊂ B 0 , è äðóãèõ òàêèõ ÷àñòåé íåò. Òåïåðü ïîíÿòíî,
÷òî äëÿ äåðåâà BT(G, S) âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå 2.
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
65
3) Ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü B 0 ∈ Part(T ) ñîäåðæèò âñå îòëè÷íûå îò B
÷àñòè Part(S), à òàêæå äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà S ∈ S ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò
÷àñòü A0S ∈ Part(S). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçðåç T îòäåëÿåò êðàéíþþ ÷àñòü B
îò âñåõ îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ êàê â BT(G, S), òàê è â ãðàôå G.
Áîëåå òîãî, T íå îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà â ãðàôå G íèêàêèå îòëè÷íûå
îò B ÷àñòè Part(S) è ðàçðåçû èç S0 , òàê êàê âñå ýòè ÷àñòè è ðàçðåçû
ëåæàò â ÷àñòè B 0 ∈ Part(T ).
Ðàññìîòðèì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S0 , íàïîìíèì, ÷òî Part(S) = {AS , A0S },
ïðè÷åì AS ⊃ B .  ãðàôå G ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòè è ðàçðåçû, ñîäåðæàùèåñÿ â AS îò ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â A0S . Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ äåðåâà BT(G, S). Èç èíäóêöèîííîãî
ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ äåðåâà BT(G, S0 ) ñëåäóåò, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî
äëÿ ðàçðåçîâ èç S0 è ÷àñòåé Part(S), ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè Part(S0 ) à ïî äîêàçàííîìó âûøå ýòî âñå ÷àñòè Part(S), êðîìå B è D = A ∩ B 0 .
Ðàçðåç S íå îòäåëÿåò â äåðåâå BT(G, S0 ) ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) îò îñòàëüíûõ ÷àñòåé è ðàçðåçîâ, ëåæàùèõ â AS . Îòìåòèì, ÷òî AS ⊃ A = D ∪ B .
Ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì AS ⊃ T . Èç ïîñòðîåíèÿ BT(G, S) è
ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå.
4) Äëÿ êðàéíåé ÷àñòè B óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ëþáàÿ äðóãàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü H ∈ Part(S) ñîîòâåòñòâóåò âèñÿ÷åé âåðøèíå äåðåâà BT(G, S0 ),
à çíà÷èò, äëÿ íåå ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç T 0 ∈ S0 , ÷òî H ∈ Part(T 0 ).
5) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |S| > 1, èíà÷å óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Âñïîìíèì, ÷òî Part(T ) = {B, B 0 }, ïðè÷åì êðàéíÿÿ ÷àñòü B áûëà âûáðàíà êàê
ìèíèìàëüíàÿ ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì
ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S, à ÷àñòü B 0 ïðè |S| > 1 òàêîâîé íå ÿâëÿåòñÿ.
Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ êðàéíèå ÷àñòè Part(S0 ) ýòî â
òî÷íîñòè ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç ìíîæåñòâà S0 . Ðàññìîòðèì òàêóþ ÷àñòü H . Åñëè H 6= A, òî H ⊂ B 0 ∈ Part(T ), ïîýòîìó, ÷àñòü H ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
66
ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì èç
ìíîæåñòâà S. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ (íàïîìíèì, ÷òî A ⊃ B ) ñðåäè ÷àñòåé
ðàçáèåíèÿ ãðàôà G îäíèì ðàçðåçîì ìíîæåñòâà S è íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé
÷àñòüþ Part(S).
Îïðåäåëåíèå 1.13.
Ïóñòü S ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçà-
âèñèìûõ ðàçðåçîâ ãðàôà G. Ìû ïîñòðîèì ãðàô PT(G, S) ñëåäóþùèì îáðàçîì: âåðøèíû ýòîãî ãðàôà ýòî ÷àñòè èç Part(S), ïðè÷åì äâå ÷àñòè
A, B ∈ Part(S) ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîäåðæàò ãðàíèöû
îäíîãî è òîãî æå ðàçðåçà èç S.
Ñëåäñòâèå 1.6.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ T(G) íàáîð èç ïî-
ïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì â S íåò äâóõ ðàçðåçîâ, ñîäåðæàùèõ
îäíî è òî æå ðåáðî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô PT(G, S) äåðåâî.
2) Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó AB äåðåâà PT(G, S)
ðàçðåç èç S, ãðàíèöû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ â ÷àñòÿõ A è B . Òîãäà ýòî
îòîáðàæåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, S) è ðàçðåçàìè èç S.
3) |Part(S)| = |S| + 1.
4) Ïóñòü R ãðàíèöà îäíîãî èç ðàçðåçîâ íàáîðà S. Òîãäà ñóùåñòâóåò
ðîâíî îäíà ÷àñòü Part(S), ñîäåðæàùàÿ R.
5) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì
ðàçðåçîì S , òî A ∩ B = V (S).
6) Åñëè ÷àñòè A, B ∈ Part(S) ñìåæíû â äåðåâå PT(G, S), òî
|A ∩ B| = k − 1.
7) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(S) åå ãðàíèöà Bound(A) ýòî îáúåäèíåíèå
ñîäåðæàùèõñÿ â A ãðàíèö ðàçðåçîâ, ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S).
ÃËÀÂÀ 1. ÄÅÐÅÂÜß ÐÀÇÁÈÅÍÈß
Äîêàçàòåëüñòâî.
67
1) è 2) Ïî òåîðåìå 1.7 ãðàô BT(G, S) äåðåâî, ïðè÷åì
âñå åãî âåðøèíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçðåçàì, èìåþò â BT(G, S) ñòåïåíü 2.
Èç ïóíêòà 2 òåîðåìû 1.7 ïîíÿòíî, ÷òî çàìåíèâ â ýòîì äåðåâå êàæäûé
ðàçðåç S ∈ S íà ðåáðî, ñîåäèíÿþùèå äâå ñìåæíûå ñ íèì â BT(G, S)
÷àñòè Part(S), ìû ïîëó÷èì äåðåâî PT(G, S), ïðè÷åì äëÿ ýòîãî äåðåâà
âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå 2.
3) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2.
4) Íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2 òåîðåìû 1.7.
5) Ïî òåîðåìå 1.7 ÷àñòè A è B ñîäåðæàò ðàçíûå ãðàíèöû ðàçðåçà S ,
ïîýòîìó A ∩ B ⊃ V (S). Ðàçðåç S îòäåëÿåò ÷àñòü A îò ÷àñòè B , ïîýòîìó
V (S) ⊃ A ∩ B .
6) Ïî îïðåäåëåíèþ è ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.7, ÷àñòè A è B ñìåæíû â
äåðåâå BT(G, S) ñ îäíèì ðàçðåçîì S . Òàêèì îáðàçîì, ïóíêò 6 ñëåäóåò èç
ïóíêòà 5.
7) Ïî îïðåäåëåíèþ äåðåâà ðàçðåçîâ, ÷àñòü A ñîäåðæèò îäíó èç ãðàíèö êàæäîãî ðàçðåçà, ñìåæíîãî ñ íåé â BT(G, S). Äëÿ êàæäîãî ðàçðåçà
S 0 ∈ S, íåñìåæíîãî ñ A, ñóùåñòâóåò ðàçðåç S ∈ S, ñìåæíûé â BT(G, S)
ñ A è îòäåëÿþùèé S 0 îò A â äåðåâå BT(G, S). Ïî ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7
òîãäà S îòäåëÿåò S 0 îò A è â ãðàôå G, à çíà÷èò, A∩V (S 0 ) ⊂ A∩V (S). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Bound(A) ïðèíàäëåæàò ãðàíèöàì ðàçðåçîâ,
ñìåæíûõ ñ A â BT(G, S).
Ãëàâà 2
Ìèíèìàëüíûå
k -ñâÿçíûå
ãðàôû
 ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, âñå âåðøèíû k -ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå k . ×åðåç Vk ìû îáîçíà÷èì
ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G, èìåþùèõ ñòåïåíü k , ïóñòü
Vk+1 = V (G) \ Vk ,
vk = |Vk |,
vk+1 = |Vk+1 |,
Gk+1 = G(Vk+1 ),
Ek+1 = E(Gk+1 ).
Ïóñòü ek êîëè÷åñòâî ð¼áåð ãðàôà G, îáà êîíöà êîòîðûõ ëåæàò â Vk .
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èç êîíòåêñòà íåÿñíî, î êàêîì ãðàôå èäåò ðå÷ü, ìû
áóäåì ïðèìåíÿòü îáîçíà÷åíèÿ Vk (G), Vk+1 (G) è òàê äàëåå.
Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò
ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ
ðàçðåçîâ.
2.1
Ìèíèìàëüíûå
k -ñâÿçíûå
ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì
êîëè÷åñòâîì âåðøèí ñòåïåíè
k
 1979 ãîäó Â. Ìàäåð [24, 25] äîêàçàë, ÷òî
vk (G) ≥
(k − 1)v(G) + 2k
2k − 1
68
(2.1)
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
69
ÃÐÀÔÛ
äëÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà G. Ýòà îöåíêà òî÷íàÿ: äëÿ ëþáîãî k ≥ 2 ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ñåðèè ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ,
äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ìû áóäåì íàçûâàòü òàêèå ãðàôû ýêñòðåìàëüíûìè ìèíèìàëüíûìè k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè.
Îïðåäåëåíèå 2.1.
Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) ≤ k + 1. Ãðàô Gk,T ñòðîèòñÿ
èç k êîïèé T1 , . . . , Tk äåðåâà T ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè âåðøèí.
Äëÿ êàæäîé âåðøèíû a ∈ V (T ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ñîîòâåòñòâóþùóþ
âåðøèíó êîïèè Ti . Åñëè dG (a) = j , òî ìû äîáàâèì k + 1 − j íîâûõ âåðøèí
ñòåïåíè k , ñìåæíûõ ñ {a1 , . . . , ak }.
Î÷åâèäíî, åñëè v(T ) = n, òî v(Gk,T ) = (2k − 1)n + 2. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Gk,T ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî (2.1) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô Gk,T ýêñòðåìàëüíûé.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
G 2, T
Ðèñ. 2.1: Äåðåâî T è ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô G2,T .
 ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ
k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ íåò.
Òåîðåìà 2.1.
Ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô ýòî ãðàô Gk,T äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T ñ ∆(T ) ≤ k + 1.
Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì èçó÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà ÿâëÿþòñÿ ðàçðåçû. Ìû ïðîäîëæèì èçó÷åíèå èõ ñâîéñòâ, íà÷àòîå â ðàçäåëå 1.4 è èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
2.1.1
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
70
Ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ
Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì âõîäÿùèå â íèõ ð¼áðà ðàçëè÷íû. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
Part(S) = {F1 , F2 },
Ti = Int(Fi ) ∩ T,
Part(T ) = {H1 , H2 },
Sj = Int(Hj ) ∩ S
è
Gi,j = Fi ∩ Hj ,
P =T ∩S
Int(Gi,j ) = Gi,j \ (P ∪ Ti ∪ Sj ).
(2.2)
Ïóñòü Ri,j = Cut(Gi,j ), a Gi,j îáúåäèíåíèå òð¼õ îòëè÷íûõ îò Gi,j ÷àñòåé.
 äàëüíåéøåì äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ïàð çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì
óïîòðåáëÿòü èìåííî òàêèå îáîçíà÷åíèÿ.
Çàìå÷àíèå 2.1.
Ëåììà 2.1.
Ìíîæåñòâî P â íàøåì ñëó÷àå ñîäåðæèò òîëüêî âåðøèíû.
|Ri,j | + |R3−i,3−j | ≤ |S| + |T | = 2k.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ri,j ñîñòîèò èç P ∪ Ti ∪ Sj è
ð¼áåð ðàçðåçîâ T è S , èíöèäåíòíûõ âåðøèíàì èç Int(Gi,j ). Âåðøèíû èç P
â îáåèõ ÷àñòÿõ ñ÷èòàþòñÿ äâàæäû, à îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà èç S è T
â ëåâîé ÷àñòè ñ÷èòàþòñÿ íå áîëåå ÷åì îäèí ðàç, à â ïðàâîé ÷àñòè ðîâíî
îäèí ðàç.
2.1.2
Ëåììû Ìàäåðà
Ñëåäóþùèå ëåììà è ñëåäñòâèå ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿþò ðåçóëüòàòû èç ðàáîòû Ìàäåðà [22]. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïîëíîòû
èçëîæåíèÿ.
Ëåììà 2.2.
Ïóñòü ab, ac ∈ Ek+1 , Tab 3 ab è Tac 3 ac ðàçðåçû èç R,
ïðè÷åì a ∈ Fa ∈ Part(Tab ) è c ∈ Hc ∈ Part(Tac ). Òîãäà
|Int(Fa )| > |Int(Hc )|.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê
|Fa | − |Int(Fa )| = k − 1 = |Hc | − |Int(Hc )|,
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
71
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî |Fa | > |Hc |.
Îòìåòèì, ÷òî c ∈ Fa . Åñëè ðàçðåçû Tab è Tac íåçàâèñèìû, òî ëåãêî
ïîíÿòü, ÷òî Fa ⊃ Hc è a ∈ Fa \ Hc , à çíà÷èò, |Fa | > |Hc |.
Åñëè ýòè ðàçðåçû çàâèñèìû, òî ïîëîæèì S = Tab , T = Tac è ïðèìåíèì
ââåäåííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ (2.2). Ïóñòü
F1 = Fa , H2 = Hc . Òîãäà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
a ∈ Int(G1,1 ),
b ∈ Int(G2,1 ),
c ∈ Int(G1,2 ).
Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî |H2 | < |F1 |. Îïðåäåëåííûå âûøå ìíîæåñòâà èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.2.
G 1,1
S
b
a
S1
b
F1
b
T1
b
T2
T
c
G 1,2
P
G 2,1
S2
G 2,2
H2
Ðèñ. 2.2: Ìíîæåñòâà S , T è ÷àñòè ðàçáèåíèÿ.
Âåðøèíà a ∈ Int(G1,1 ) ñìåæíà ñ b, c è âåðøèíàìè èç G1,1 . Çíà÷èò, åñëè
Int(G1,1 ) = {a}, òî èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî R1,1 ñîäåðæèò õîòÿ áû
k − 1 âåðøèíó. Åñëè æå A = Int(G1,1 ) \ {a} 6= ∅, òî ìíîæåñòâî âåðøèí
V (R1,1 ) ∪ {a} îòäåëÿåò A îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî,
ñîäåðæèò õîòÿ áû k âåðøèí.  ëþáîì ñëó÷àå ìû èìååì |V (R1,1 )| ≥ k − 1
è |R1,1 | ≥ k + 1.
Èç ëåììû 2.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî |R1,1 | + |R2,2 | ≤ 2k . Ñëåäîâàòåëüíî,
|R2,2 | ≤ k − 1, à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Îòìåòèì, ÷òî
F1 \ H2 = Int(G1,1 ) ∪ S1 è H2 \ F1 = Int(G2,2 ) ∪ T2 = T2 .
Ïîñêîëüêó
|S1 | + |P | + |S2 | = |V (S)| = k − 1 ≥ |R2,2 | ≥ |T2 | + |P | + |S2 |,
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
72
òî |S1 | ≥ |T2 |. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |Int(G1,1 )| ≥ 1, ìû ïîëó÷àåì |F1 | > |H2 |.
Ñëåäñòâèå 2.1.
Ãðàô Gk+1 ëåñ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè ãðàô Gk+1 íå ëåñ, òî åñòü öèêë ñ ðåáðàìè
èç Ek+1 , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 2.2.
Ëåììà 2.3.
Ïóñòü c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 .
Òîãäà
vk (G) ≥
Äîêàçàòåëüñòâî.
(k − 1)v(G) + 2(c + ek )
.
2k − 1
Èç êàæäîé âåðøèíû ìíîæåñòâà Vk+1 âûõîäèò íå ìå-
íåå ÷åì k + 1 ðåáðî, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí ëåñà Gk+1 ðàâíà 2vk+1 − 2c,
ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíåå ÷åì (k − 1)vk+1 + 2c ðåáåð âûõîäèò èç Vk+1 â Vk .
Èç âåðøèí ìíîæåñòâà Vk âûõîäèò ðîâíî kvk − 2ek ð¼áåð ê âåðøèíàì ìíîæåñòâà Vk+1 . Ïîýòîìó
(k − 1)vk+1 + 2c ≤ kvk − 2ek ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìàëüíîãî ãðàôà è ëåììû 2.3
ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä.
Ñëåäñòâèå 2.2.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, òàêîé, ÷òî
ek + c > k . Òîãäà ãðàô G íå ýêñòðåìàëüíûé.
Çàìå÷àíèå 2.2.
Íåðàâåíñòâî Ìàäåðà (2.1) ñëåäóåò èç ek + c ≥ k . Ìû
äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå è èññëåäóåì ñëó÷àè, êîãäà äîñòèãàåòñÿ ðàâåí-
Îòìåòèì, ÷òî èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.3 ÿñíî, ÷òî ïðè ek + c = k
ðàâåíñòâî â (2.1) ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ∆(G) ≤ k + 1.
ñòâî.
2.1.3
Íîðìàëüíûå ðàçðåçû
Îïðåäåëåíèå 2.2.
Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ÷àñòü
A ∈ Part(S) ñ |Int(A)| <
k
2
è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå ñóùåñòâóåò.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
73
ÃÐÀÔÛ
Ïóñòü îáà çàâèñèìûõ ðàçðåçà S, T ∈ R íîðìàëüíûå,
Ëåììà 2.4.
a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà äëÿ êàæäîãî èç
ð¼áåð a1 a2 è b1 b2 ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ýòî ðåáðî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1
ñëåäóåò, ÷òî
|R1,1 | = k = |R2,2 | è R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T.
Ñëåäîâàòåëüíî, R1,1 ∪R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå
óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅, òî åñòü,
Int(F1 ) = T1 (ñì. ðèñóíîê 2.3à). Èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà S ñëåäóåò,
÷òî |T1 | ≥ k2 .
S
0
G 2,1
a2 S1
b
b1
b
T2
b
0
P
G 2,2
b
b2
a1
T1
a
T
S
b1
0
b
S1
0
b
a1
P
T1
T
0
T2
a2 S2
b2
G 2,2
b
S2
b
b
Ðèñ. 2.3: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé íîðìàëüíûõ çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä
k
− 1 è |R2,1 | + |R2,2 | ≤ |S| + 2|T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }| ≤ 2k. (2.3)
2
Åñëè Int(G2,1 ) = ∅ (ñì. ðèñóíîê 2.3b), òî èç íîðìàëüíîñòè ðàçðåçà T
|T2 ∪ P | ≤
ìû èìååì Int(H1 ) = |S1 | ≥ k2 , à ñëåäîâàòåëüíî, |S2 ∪ P | ≤
î÷åâèäíî ñëåäóåò
|R2,2 | ≤ |S2 | + |T2 | + |P | + |{a1 a2 , b1 b2 }| ≤ k.
k
2
− 1, îòêóäà
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
74
ÃÐÀÔÛ
Åñëè è Int(G2,2 ) = ∅, òî Int(F2 ) = S2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íîðìàëüíîñòè
ðàçðåçà T . Çíà÷èò, Int(G2,2 ) 6= ∅, íî ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè |R2,2 | = k ,
÷òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî R2,2 ⊃ {a1 a2 , b1 b2 }. Òîãäà ðàçðåç R2,2 íàì
ïîäõîäèò.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Int(G2,1 ) 6= ∅ è Int(G2,2 ) 6= ∅. Ïî íåðàâåíñòâó (2.3) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |R2,1 | = |R2,2 | = k . Òîãäà îáà ðàçðåçà R2,1
è R2,2 ñîäåðæàò ðåáðî b1 b2 è R2,1 ∪ R2,2 ⊃ S 3 a1 a2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îäèí
èç ðàçðåçîâ R2,1 è R2,2 ñîäåðæèò îáà ðåáðà b1 b2 è a1 a2 , îòêóäà ñëåäóåò
óòâåðæäåíèå ëåììû.
Ïóñòü ðàçðåçû S, T ∈ R çàâèñèìû, ïðè÷åì a1 a2 ∈ S
Ëåììà 2.5.
è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 , Ri,j 3 b1 b2 è |Ri,j | = k . Òîãäà
ñóùåñòâóåò ðàçðåç R ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
1◦ Part(R) = {Gi,j , U }, ïðè÷¼ì ëèáî U = Gi,j , ëèáî U = Gi,j ∪ {a},
ãäå a êîíåö ðåáðà a1 a2 , ëåæàùèé â Gi,j ;
2◦ R íåçàâèñèì è ñ S , è ñ T .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü i = j = 1. Ïî ïîñòðîåíèþ R1,1 , îäèí èç êîíöîâ
ðåáðà b1 b2 ëåæèò â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî b1 . Çíà÷èò, Int(G1,1 ) 6= ∅ è ïî
ëåììå 1.8 ìû çíàåì, ÷òî R1,1 ðàçðåç, Part(R1,1 ) = {G1,1 , G1,1 }. Åñëè
a1 a2 ∈
/ R1,1 , òî R1,1 ∈ R è ðàçðåç R = R1,1 íàì ïîäõîäèò.
G 1,1
S
a2
b
a1
S1
b
b
G 1,2
T1
P
G 2,1
T
b1
b
b2
T2
S2
G 2,2
a
G 1,1 a1= b1
S
a2
T
b
S1
b
G 1,2
T1
P
G 2,1
T2
G 2,2
b
b2
S2
b
Ðèñ. 2.4: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Ïóñòü a1 a2 ∈ R1,1 . Ïî ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà R1,1 ðåáðî a1 a2 èìååò êîíåö â Int(G1,1 ), ïóñòü ýòî a1 . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî R, ïîëó÷åííîå èç R1,1
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
75
çàìåíîé a1 a2 íà a1 . Åñëè Int(G1,1 ) 6= {a1 }, òî R ðàçðåç,
Part(R) = {G1,1 , G1,1 ∪ {a1 }}
(ñì. ðèñóíîê 2.4a), îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ðàçðåç íåçàâèñèì
ñ S è T , à ñòàëî áûòü, îí íàì ïîäõîäèò.
Ïóñòü Int(G1,1 ) = {a1 }. Òîãäà, â ÷àñòíîñòè, a1 = b1 (ñì. ðèñóíîê 2.4b).
Êðîìå a2 è b2 ýòà âåðøèíà ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç R1,1 .
Òîãäà èç dG (a1 ) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî |V (R1,1 )| ≥ k − 1. Íî ýòî îçíà÷àåò,
÷òî |R1,1 | ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå.
Ëåììà 2.6.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî
E ⊂ Ek+1 òàêîâî, ÷òî âñå ðàçðåçû èç R, ñîäåðæàùèå ðåáðà èç E íîðìàëüíûå. Òîãäà cóùåñòâóåò ìíîæåñòâî
S = {Se }e∈E ⊂ R,
ãäå
e ∈ Se ,
ñîñòîÿùåå èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîíóìåðóåì f1 , . . . , fm ðåáðà ìíîæåñòâà E . Ïóñòü
S0 = {S1 , . . . , S`−1 } ⊂ R
ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ, ïðè÷åì fi ∈ Si .
Ïóñòü f` ∈ T ∈ R. Äîêàæåì, ÷òî ìîæíî èçìåíèòü ðàçðåç T òàê, ÷òîáû
îí ñòàë íåçàâèñèìûì ñî âñåìè ðàçðåçàìè èç S0 . Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò
èíäóêöèåé ïî |S0 |. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ |S0 | = 0 î÷åâèäíà.
Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü ðàçðåç T íåçàâèñèì ñ ðàçðåçàìè S1 , . . . , Si−1 , íî çàâèñèì ñ Si . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
Part(T ) = {H1 , H2 },
Part(Si ) = {F1 , F2 },
Gx,y = Fx ∩ Hy .
Òàê êàê ðàçðåçû Si è T íîðìàëüíû, ïî ëåììàì 2.4 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé
ðàçðåç R 3 f` , ÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β , ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà f` = ab, ëåæàùèé â Gα,β .
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
76
ÃÐÀÔÛ
Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì Sj ∈ S0 .
Ïóñòü Part(Sj ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû Si è Sj íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû T è Si çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî
F1 ⊃ D2 ,
F2 ⊂ D1 ,
H1 ⊃ D2 ,
(2.4)
H2 ⊂ D1 .
Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
1.
α = 2.
Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5a), òî åñòü, ðàçðåçû R è Sj íåçàâèñèìû.
R
R
G 1,2
b
H2
T
G 2,2
H2
F2
b
b
Si
a
G1,1
Si
Sj
b
R
F2
a
b
D2
b
T
T
b
G 2,1
b
S j D2
b
S j D2
b
Si
c
Ðèñ. 2.5: Ðàçðåçû Si , Sj è T .
2.
α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ.
2.1.
β = 2.
Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.5b), ÷òî
îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R.
2.2.
β = 1.
 ñèëó (2.4) ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.5c). Òàê êàê
ðàçðåçû T è Sj íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ëåììå 1.10 ìû
èìååì D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò,
D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U.
Èç D2 ⊂ F1 è D2 ⊂ H1 ñëåäóåò, ÷òî
D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
77
ÃÐÀÔÛ
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ Sj è R.
Ëåììà 2.7.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, à P = a1 . . . an ïðîñòîé ïóòü, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó Vk+1 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû
S1 , . . . , Sn−1 ∈ R, ÷òî
ai ai+1 ∈ Si ,
Part(Si ) = {Ai , Bi+1 },
ïðè÷åì ai ∈ Int(Ai )
è
ai+1 ∈ Int(Bi+1 ).
Òîãäà B2 ⊃ NG (an ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè n = 2 ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî n ≥ 3. Äîêàæåì, ÷òî Bi ⊃ Bi+1 ïðè i ∈ {1, . . . , n−1}. Òàê êàê ðàçðåçû
Si−1 è Si íåçàâèñèìû, ai ∈ Int(Bi ) è ai ai+1 ∈
/ Si−1 , ìû èìååì ai+1 ∈ Bi .
Çíà÷èò, íè îäíà èç ÷àñòåé Part(Si ) íå ìîæåò ñîäåðæàòü Bi 3 ai , ai+1 . Â
ñèëó íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si−1 è Si , òîãäà Bi ñîäåðæèò îäíó èç ÷àñòåé
Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }.
b
ai–1
Si–1
b
b
Ai–1
ai+1
Si
ai
Ai
Bi
Ðèñ. 2.6: Ðàçðåçû Si−1 è Si . Cëó÷àé, êîãäà Bi ⊃ Ai .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi ⊃ Ai (ñì. ðèñóíîê 2.6). Òîãäà èç ai−1 ∈
/ Bi ñëåäóåò
ai−1 ∈
/ Ai . Îäíàêî, âåðøèíà ai−1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ai ∈ Int(Ai ), ÷òî
íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, Bi ⊃ Bi+1 .
Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî B2 ⊃ Bn . Òàê êàê an ∈ Int(Bn ), ìû èìååì
NG (an ) ⊂ Bn ⊂ B2 .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
Ëåììà 2.8.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
78
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, E ⊂ Ek+1 , à
ìíîæåñòâî
S = {Se }e∈E ⊂ R,
ãäå
e ∈ Se ,
ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ. Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà
Se ∈ S. Òîãäà ëþáîé ïðîñòîé ïóòü ñ êîíöàìè èç R ñîäåðæèò ðåáðî íå
èç ìíîæåñòâà E .
b
a1
S1
b
a2
B2
b
R
A1
b
an
Bn
Ðèñ. 2.7: Ïóòü ïî ðåáðàì èç E .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé
ïóòü a1 a2 . . . an ïî ð¼áðàì èç E , êîíöû êîòîðîãî a1 è an ëåæàò â R. Åñëè
ïóòü P ñîäåðæèò âñåãî îäíî ðåáðî a1 a2 , òî a1 a2 6= e, òàê êàê ãðàíèöà R
ðàçðåçà Se 3 e ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ðåáðà e. Åñëè æå n ≥ 3
è e = a1 a2 , òî ïåðåíóìåðóåì âåðøèíû ïóòè P â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Òàêèì
îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå ìû äîáüåìñÿ òîãî, ÷òî e 6= a1 a2 . Ïóñòü
Si = Sai ai+1 ,
Part(Si ) = {Ai , Bi+1 }, ãäå ai ∈ Int(Ai ) è ai+1 ∈ Int(Bi+1 ).
Òàê êàê ðàçðåçû Se è S1 íåçàâèñèìû è íå èìåþò îáùåãî ðåáðà, ïî ëåììå 1.10 îäíà èç ÷àñòåé U ∈ Part(S1 ) ñîäåðæèò W (Se ). Çíà÷èò, U ⊃ R 3 a1 ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî U = A1 . Ïî ëåììå 2.7 ìû èìååì NG (an ) ⊂ B2 (ñì.
ðèñóíîê 2.7).
Ïî çàìå÷àíèþ 1.6 ìû çíàåì, ÷òî R ÿâëÿåòñÿ k -âåðøèííûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Èç R ⊂ A1 ñëåäóåò, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò
B2 ∪ W (S1 ). Çíà÷èò, îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿíîñòè M ãðàôà G − R ëåæèò
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
79
â Int(A1 ). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà an ∈ R äîëæíà
èìåòü ñìåæíóþ âåðøèíó â M ⊂ Int(A1 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó
âûøå.
2.1.4
Êðèâûå ðàçðåçû
Íàïîìíèì, ÷òî c ýòî êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , a ek
êîëè÷åñòâî ð¼áåð, îáà êîíöà êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü k .
Ëåììà 2.9.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì â ìíî-
æåñòâå R åñòü êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ek + c ≥ k + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âåçäå â äîêàçàòåëüñòâå ÷åðåç Se ìû îáîçíà÷àåì ðàçðåç
èç R, ñîäåðæàùèé ðåáðî e ∈ Ek+1 . (Äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 òàêîé
ðàçðåç ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì, âîçìîæíî, íå îäèí.)
1.
Ïóñòü e = a1 a2 ∈ Ek+1 , à ðàçðåç Se êðèâîé, ïðè÷åì
k
a1 ∈ A1 ∈ Part(Se ) è |Int(A1 )| < .
2
Ïóñòü U 3 a1 , a2 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à T = Gk+1 (U ).
Òîãäà T äåðåâî ïî ñëåäñòâèþ 2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî dT (a1 ) > 1. Òîãäà
â äåðåâå T ñóùåñòâóåò ïóòü îò a1 äî âèñÿ÷åé âåðøèíû a, íå ïðîõîäÿùèé
ïî ðåáðó a1 a2 . Ïóñòü a0 a ïîñëåäíåå ðåáðî ýòîãî ïóòè, Saa0 ∈ R, ïðè÷åì
a ∈ A ∈ Part(Saa0 ). Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì Int(A) < Int(A1 ) < k2 . Â
÷àñòíîñòè, ðàçðåç Saa0 òàêæå êðèâîé.
2.
Ïóñòü a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T ,
k
|Int(A1 )| = p < ,
2
S = V (Sa1 a2 ).
Îòìåòèì, ÷òî |S| = k − 1. Ïóñòü
M = Int(A1 ) ∩ Vk ,
m = |M |
(ñì. ðèñóíîê 2.8a). Î÷åâèäíî, âåðøèíà a1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ âåðøèíàìè èç Vk+1 ∩ A1 , ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà a1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ m
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
80
ÃÐÀÔÛ
âåðøèíàìè èç Int(A1 ). Èç dG (a1 ) = k + 1 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà a1 íåñìåæíà
íå áîëåå ÷åì ñ m − 1 âåðøèíàìè èç S .
èìåþò ñòåïåíü k. Òàêèì îáðàçîì,
|Int(A1 ) ∩ Vk+1 | = p − m,
Âñå ñìåæíûå ñ a1 âåðøèíû èç S
|S ∩ Vk+1 | ≤ m − 1 è |A1 ∩ Vk+1 | ≤ p − 1.
Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ.
m ≥ 2.
2.1.
Âåðøèíà ìíîæåñòâà M ìîæåò áûòü ñìåæíà òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç A1 .
Ïîýòîìó, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà M ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ p − 1
âåðøèíàìè èç Vk+1 , à çíà÷èò, õîòÿ áû c k − p + 1 âåðøèíàìè èç Vk . Ïðîñóììèðîâàâ ð¼áðà, èñõîäÿùèå èç âñåõ âåðøèí M ê âåðøèíàì èç Vk , ìû
ïîëó÷èì õîòÿ áû m(k − p + 1). Îäíàêî, ð¼áðà ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà M (êîòîðûõ íå áîëåå ÷åì
m(m−1)
)
2
â ýòîé ñóììå ïîñ÷èòàíû äâàæäû,
ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî
ek ≥ m(k−p+1)−
m(m − 1)
m(m − 1)
≥ k+3+(m−2)(k−p+1)−
≥ k+2,
2
2
(2.5)
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. (Ïðè m = 2 íåðàâåíñòâî (2.5) î÷åâèäíî, à ïðè
m ≥ 3 ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî k − p + 1 ≥ p ≥ m è m − 2 ≥
m−1
2 ,
à
ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (2.5) íå ìåíåå ÷åì k + 3.)
A1
a
r
r
r
M
r
r
r
r
A1
r
b
a
S
b
T’
b
b
x
a2
b2
b
r
x
r
r
a1b
r
b
bb
b1
b
r
r
z
a1
r
bb
S a2
b
b
r
r
r
b
b
a1
r
A1
b
S a2
r
r
z
c
Ðèñ. 2.8: Êðèâîé ðàçðåç Sa1 a2 è ÷àñòü A1 . Íà ýòîì è ñëåäóþùèõ ðèñóíêàõ
êðóæî÷êè îáîçíà÷àþò âåðøèíû èç Vk+1 , à êâàäðàòèêè âåðøèíû èç Vk .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
2.2.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
81
m = 1.
Ïóñòü M = {x}. Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå a1 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 ) (c âåðøèíîé x), à çíà÷èò, a1 ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè
èç S . Ñëåäîâàòåëüíî, S ⊂ Vk .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Y = (Int(A1 ) \ {a1 }) ∩ Vk+1 6= ∅. Ïî äîêàçàííîìó
âûøå, òîãäà Y îäíà èëè íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 .
Ïóñòü T 0 = Gk+1 (Y ). Ïî ñëåäñòâèþ 2.2, ãðàô T 0 ëåñ.
Ïóñòü a ∈ Y , dT 0 (a) ≤ 1. Òîãäà èç dG (a) ≥ k + 1 ñëåäóåò, ÷òî dT 0 (a) = 1,
ïðè÷åì a äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ x è ñî âñåìè k −1 âåðøèíàìè èç S . Òàêèì
îáðàçîì, ëåñ T 0 íå ñîäåðæèò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí.
Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà T 0 , ñìåæíàÿ â T 0 ñ âåðøèíîé b ñòåïåíè
dT 0 (b) = ` (ñì. ðèñóíîê 2.8b). Òîãäà â T 0 ñóùåñòâóþò ` − 1 íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âíóòðåííèì âåðøèíàì ïóòè P1 , . . . , P`−1 îò b äî îòëè÷íûõ îò a
âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1 ëåñà T 0 .
Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sab ∈ R. Îòìåòèì, ÷òî âåðøèíà b ñìåæíà õîòÿ áû
ñ k − ` + 1 âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S ∪ {x}, è âñå ýòè âåðøèíû äîëæíû
áûòü â Sab . Ðàçðåç Sab ñîäåðæèò k − 1 âåðøèíó, à çíà÷èò, íå ñîäåðæèò
íåêîòîðóþ âåðøèíó z ∈ S ∪ {x}.
Êàê äîêàçàíî âûøå, âåðøèíà a è êàæäàÿ èç âèñÿ÷èõ âåðøèí b1 ,. . . , b`−1
ñìåæíà ñ z , à çíà÷èò, ðàçäåëÿþùèé a è b ðàçðåç Sab äîëæåí ñîäåðæàòü ïî
âåðøèíå êàæäîãî èç ïóòåé P1 , . . . , P`−1 . Íî òîãäà Sab ñîäåðæèò õîòÿ áû k
âåðøèí, ÷òî íå òàê. Ïðîòèâîðå÷èå.
Çíà÷èò, Int(A1 ) = {a1 , x} (ñì. ðèñóíîê 2.8c).  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì
ek ≥ k − 1 (ñòîëüêî ð¼áåð âåäåò îò x äî âåðøèí èç S ). Åñëè óòâåðæäåíèå
äðóãèõ ð¼áåð â Ek íåò, à ãðàô Gk+1 èìååò îäíó
êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, òî åñòü, Gk+1 äåðåâî.
Îñòàåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîñëåäíèé ñëó÷àé.  ýòîì ñëó÷àå âñå ð¼áðà
èç Ek ñîåäèíÿþò âåðøèíó x ∈ Int(A1) ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà S . Îòìåòèì,
÷òî â NG(x) íåò îòëè÷íûõ îò a1 âåðøèí èç Vk+1.
ëåììû íå âûïîëíåíî, òî
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
3.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
82
ÃÐÀÔÛ
Äîêàæåì, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì n ≤
k−1
2 ,
à
âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 .
Ïóñòü c1 c2 ∈ E(Gk+1 ), Sc1 c2 ∈ R êðèâîé ðàçðåç,
k
c1 ∈ C1 ∈ Part(Sc1 c2 ) è |Int(C1 )| < .
2
Ðàññìîòðèì ëþáîé ïóòü â ãðàôå Gk+1 îò c1 äî íåêîòîðîé âèñÿ÷åé âåðøèíû a01 , íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåç c2 (ñì. ðèñóíîê 2.9a). Ïóñòü a02 a01 ïîñëåäíåå
ðåáðî ýòîãî ïóòè,
Sa01 a02 ∈ R,
a01 ∈ Int(A01 ) ∈ Part(Sa01 a02 ).
Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A01 )| < |Int(C1 )| < k2 .
Ïóñòü a01 6= a1 . Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñäåëàííîìó â
ïóíêòàõ 1 è 2, äëÿ ÷àñòè A01 . Ìû íàéäåì íå ìåíåå ÷åì k − 1 ðåáåð èç Ek
â ÷àñòè A01 . Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé, êîãäà ek = k − 1. Ïîýòîìó, â ÷àñòè A01 ðîâíî k−1 ðåáðî èç Ek , íî òîãäà âñå ýòè ð¼áðà èíöèäåíòíû ñìåæíîé
ñ a01 âåðøèíå x0 . Î÷åâèäíî, x0 6= x. Òîãäà Ek ñîäåðæèò õîòÿ áû k ð¼áåð:
ýòî k − 1 ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå x è õîòÿ áû îäíî îòëè÷íîå îò íèõ
ðåáðî, èíöèäåíòíîå x0 .  ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî.
Ñêàçàííîå âûøå îçíà÷àåò, ÷òî âñå ð¼áðà ãðàôà Gk+1 , âõîäÿùèå â êðèâûå ðàçðåçû ýòî ð¼áðà íåêîòîðîãî ïðîñòîãî ïóòè Q = a1 a2 . . . an , ïðè÷åì
âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ýòîãî ïóòè èìåþò ñòåïåíü 2 â ãðàôå Gk+1 . Ïóñòü
ai ai+1 ∈ Si ∈ R,
ai ∈ Ai ∈ Part(Si ).
Ïî ëåììå 2.2, òîãäà
2 = Int(A1 ) < Int(A2 ) < · · · < Int(An−1 ) ≤
Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤
4.
k−1
.
2
k−1
2 .
Ïóñòü E ìíîæåñòâî âñåõ ð¼áåð ãðàôà Gk+1 , êðîìå ð¼áåð ïóòè Q.
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
T
c1
C1
a’1
S
b
b
v
b
d2
b
b
c2
u
b
r
a’2
r
b
r
a
b
d1
83
ÃÐÀÔÛ
b
d2
b
b
b
b
a1
r
r
r
D1
b
a1
d1
b
w’ D1
r
w
r
c
b
Ðèñ. 2.9: Ïóòü a1 . . . an è êðèâûå ðàçðåçû.
4.1
E 6= ∅.
Ïî ëåììå 2.6 ìîæíî âûáðàòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû Se ∈ R äëÿ
âñåõ ð¼áåð e ∈ E . Ïóñòü d1 d2 ∈ E(Gk+1 ), ïðè÷åì d1 îòëè÷íàÿ îò a1
âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà Gk+1 , a d1 ∈ D1 ∈ Part(Sd1 d2 ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v ∈ Sd1 d2 ∩ Vk+1 (ñì. ðèñóíîê 2.9b). Ïî ëåììå 2.8,
ïóòü îò v äî d2 ïî äåðåâó Gk+1 äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû îäíî ðåáðî
ïóòè Q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî v ∈ {a1 , . . . , an } è õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí
a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ).
Ïóñòü u ∈ Int(D1 ) ∩ Vk+1 .  ýòîì ñëó÷àå ïóòü îò u äî d2 ïî äåðåâó Gk+1
äîëæåí ïðîõîäèòü ÷åðåç âåðøèíó ðàçðåçà Sd1 d2 , à òîãäà, êàê ïîêàçàíî âûøå, ýòîò ïóòü ñîäåðæèò ðåáðî ïóòè Q. Ñëåäîâàòåëüíî, u ∈ {a1 , . . . , an } è
õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí a1 ,. . . , an ëåæèò â Int(D2 ).
Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû èç D1 ∩ Vk+1 , êðîìå d1 , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {a1 , . . . , an }, íî õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ïóòè Q íå ëåæèò â D1 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
|Vk+1 ∩ D1 | ≤ n ≤
4.2.
k−1
.
2
(2.6)
E = ∅.
 ýòîì ñëó÷àå Gk+1 = Q, à an âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ãðàôà Gk+1 . Ïóñòü
d1 = an , à D1 ∈ Part(Sn−1 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ an . Òàê êàê an−1 ∈
/ D1 , è
â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.6).
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
84
Ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îáîèõ ñëó÷àåâ. Âåðøèíà d1 ∈ Int(D1 ) âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Gk+1 , è ïîòîìó ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç Vk ∩ D1 , ñðåäè
êîòîðûõ åñòü âåðøèíà w ∈ Int(D1 ) (ñì. ðèñóíîê 2.9c). Ïîñêîëüêó d1 6= a1 ,
òî x 6= w. Âåðøèíà w ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè èç D1 . Èç íåðàâåíñòâà (2.6)
ñëåäóåò, ÷òî â NG (w) åñòü õîòÿ áû
k+1
>1
2
âåðøèí ñòåïåíè k , ñðåäè êîòîðûõ ìîæíî íàéòè âåðøèíó w0 6= x (ñì. ðèk − |Vk+1 ∩ D1 | ≥ k − n ≥
ñóíîê 2.9ñ). Òîãäà ðåáðî ww0 äàåò íàì ek ≥ k è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî
ëåììû.
2.1.5
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1
Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî k > 1, èíà÷å äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î÷åâèäíî. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
1.
Ek+1 = ∅.
Òîãäà vk+1 = c ≤ k . Åñëè vk+1 = k , òî ek = 0 è íàø ãðàô ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé k ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k + 1, ñ êàæäîé èç êîòîðûõ
ñìåæíû k + 1 ïîïàðíî íåñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè k . Ýòî ãðàô Kk,k+1 ,
êîòîðûé ðàâåí Gk,T äëÿ îäíîâåðøèííîãî äåðåâà T .
Ïóñòü vk+1 < k . Òîãäà ëþáàÿ âåðøèíà x ∈ Vk ñìåæíà õîòÿ áû ñ k − vk+1
âåðøèíàìè ñòåïåíè k , îòêóäà ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî
vk (k − vk+1 )
> k − vk+1 ,
2
à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2. (Ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî
ek ≥
vk ≥ k + 1 > 2.)
2.
Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ek+1 6= ∅. Èç ëåììû 2.9 è ñëåäñòâèÿ 2.2
ïîíÿòíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ð¼áðà èç Ek+1 íå âõîäÿò â êðèâûå ðàçðåçû. Òîãäà ïî ëåììå 2.6 äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìû
ïîñòðîèì ðàçðåç Se 3 e òàê, ÷òîáû ýòè ðàçðåçû áûëè ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Ïóñòü S ìíîæåñòâî ïîñòðîåííûõ ðàçðåçîâ.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
85
ÃÐÀÔÛ
Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü
[
A=
Part(S),
S∈S
à A1 , . . . , An âñå ìèíèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ÷àñòè èç A. Î÷åâèäíî,
n ≥ 2. Ïóñòü Si ∈ S îòäåëÿþùèé ÷àñòü Ai ðàçðåç èç S,
Ri = Ai ∩ W (Si ),
pi = |Ri ∩ Vk |,
Bi = Ai \ Ri .
Ïóñòü ai ∈ Int(Ai ) êîíåö ðåáðà èç Ek+1 , âõîäÿùåãî â ðàçðåç Si (ñì.
ðèñóíîê 2.10a). Òîãäà {ai } = Int(Ai ) ∩ Ri .
Èçó÷èì ñâîéñòâà ÷àñòåé Ai .
Ri
b
Si
ai
Ai
b
b
Sxy
ai
b
Ai
b
x
a
Si
b
Ai
b
R’
y
ai
Q’
Q
b
Si
P’
b
P
c
Ðèñ. 2.10: ×àñòü Ai .
Ëåììà 2.10.
Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Bi 6= ∅, ìíîæåñòâî Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà.
Êàæäàÿ âåðøèíà èç Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi .
2) Åñëè x ∈ Bi ∩ Vk+1 , òî {x} êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 .
3) Ïóñòü ci ýòî êîëè÷åñòâî ëåæàùèõ â Bi îäíîâåðøèííûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , à ek,i ýòî êîëè÷åñòâî èíöèäåíòíûõ
âåðøèíàì èç Bi ð¼áåð èç Ek . Òîãäà ci + ek,i ≥ pi .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Òàê êàê ðàçðåç Si íîðìàëåí, |Int(Ai )| > 1, à çíà÷èò,
Bi = Int(Ai ) \ {ai } 6= ∅. Òîãäà Ri îòäåëÿåò Bi îò îñòàëüíûõ âåðøèí
ãðàôà G. Èç |Ri | = k è k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà
ìíîæåñòâà Ri ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Bi .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
86
2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y ∈ Vk+1 è xy ∈ E(G). Òîãäà y ∈ Ai , xy ∈ Ek+1 .
Ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxy ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.10b). Èç íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Si è Sxy è ìèíèìàëüíîñòè ÷àñòè Ai ñëåäóåò, ÷òî îäíà èç ÷àñòåé
Part(Sxy ) äîëæíà ñîäåðæàòü Ai , ÷òî, î÷åâèäíî, íåâîçìîæíî: âåðøèíû
x, y ∈ Ai ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ Part(Sxy ). Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
3) Ïóñòü P ìíîæåñòâî âñåõ âõîäÿùèõ â Ri âåðøèí ñòåïåíè k , à Q ìíîæåñòâî âñåõ ñìåæíûõ ñ P âåðøèí èç Bi . Ïóñòü Vk+1 ∩ Q = Q0 , à P 0
ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç P , ñìåæíûõ â Int(Ai ) òîëüêî ñ âåðøèíàìè
èç Q0 . Íàïîìíèì, ÷òî |P | = pi .
Òîãäà ci ≥ |Q0 | ïî ïóíêòó 2. Êàæäàÿ âåðøèíà èç P \ P 0 ñìåæíà ñ âåðøèíîé ñòåïåíè k èç ìíîæåñòâà Q, îòêóäà ek,i ≥ |P | − |P 0 |. Åñëè |P 0 | ≤ |Q0 |,
òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ek,i + ci ≥ pi , ÷òî íàì è íóæíî.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |P 0 | > |Q0 |. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Bi 6= Q0 . Òîãäà ìíîæåñòâî R0 = (R \ P 0 ) ∪ Q0 ñîñòîèò ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí è îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî Bi \ Q0 îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G (ñì.
ðèñóíîê 2.10c). Â k -ñâÿçíîì ãðàôå òàêîå íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî,
Q0 = Bi 6= ∅.
Êàê ìû çíàåì èç ïóíêòà 2, êàæäàÿ âåðøèíà èç Q0 ìîæåò áûòü ñìåæíà
òîëüêî ñ âåðøèíàìè èç Ai ∩ Vk , à ýòî â íàøåì ñëó÷àå òîëüêî âåðøèíû
ìíîæåñòâà P . Íî |P | < k , ïðîòèâîðå÷èå.
Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Ïóñòü
p1 = min(p1 , . . . pn ).
Òîãäà ïî ëåììå 2.8 âåðøèíû èç Vk+1 ∩ (∪ni=1 Ri ) âõîäÿò õîòÿ áû â k − p1
ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 . Åñëè p1 > 0, òî â ñèëó ëåììû 2.10 ìû èìååì
c + ek ≥ (k − p1 ) +
n
X
j=1
pj ≥ k − p1 + 2p1 ≥ k + 1,
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
87
ÃÐÀÔÛ
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñëåäñòâèþ 2.2.
Îñòàåòñÿ ïîñëåäíèé, ñàìûé èíòåðåñíûé ñëó÷àé p1 = 0.  ýòîì ñëó÷àå
ïî ëåììå 2.8 âñå k âåðøèí èç R1 ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî c = k . Ïóñòü U1 , . . . , Uk êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 , òîãäà Ti = G(Ui ) äåðåâüÿ. Ïî ñëåäñòâèþ 2.2
ìû èìååì ek = 0, òî åñòü, íèêàêèå äâå âåðøèíû ñòåïåíè k â ãðàôå G íå
ñìåæíû.
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìåíüøåãî ÷åì G ýêñòðåìàëüíîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
Ïî ëåììå 2.8 êàæäîå èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé
âåðøèíå ìíîæåñòâà R1 . Ïóñòü R1 = {b1 , . . . , bk }, ïðè÷åì bi ∈ V (Ti ). Îäíà
èç ýòèõ âåðøèí ñîâïàäàåò ñ a1 êîíöîì âõîäÿùåãî â ðàçðåç S1 ðåáðà.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî b1 = a1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî bi ñìåæíà ñ âåðøèíîé
x ∈ B1 ∩ Vk+1 . Òîãäà ðàññìîòðèì ðàçðåç Sxbi ∈ S. Ýòîò ðàçðåç ïî ïîñòðîåíèþ íåçàâèñèì ñ S1 . Ïóñòü A ∈ Part(Sxbi ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ x, íî
íå ñîäåðæàùàÿ bi (ñì. ðèñóíîê 2.11a). Òîãäà A ( A1 ïðîòèâîðå÷èå ñ
ìàêñèìàëüíîñòüþ ÷àñòè A1 .
A1
A
R1
rb
Sxbi
A1
x
bi
rb
br
rb
a
b
b
b
bb
b
bi
b’i
bb
b
bb
b’1
b
b
bb
br
b
b
G’
b
bb
b’i
b
rb
b
b
b
R1
b’k
c
Ðèñ. 2.11: ×àñòü A1 è ãðàô G0 .
Ïóñòü b1 b01 ∈ S1 è N1 = NG (b1 ) \ {b01 }. Òàê êàê b1 ∈ Int(A1 ), ìû èìååì
N1 ⊂ A1 . Èç äîêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî N1 ⊂ Vk . Âìåñòå ñ R1 ⊂ Vk+1 ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî N1 ⊂ B1 .
Òàê êàê ek = 0, êàæäàÿ âåðøèíà x ∈ N1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ k
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
88
âåðøèíàìè èç Vk+1 , è âñå ýòè âåðøèíû ëåæàò â ÷àñòè A1 . Èç c = k è
äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî Vk+1 ∩ A1 = R1 , à çíà÷èò,
NG (x) = R1 = {b1 , . . . , bk }.
Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî B1 = N1 è ýòî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç k âåðøèí ñòåïåíè k , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñìåæíà ñ âåðøèíàìè b1 , . . . , bk (ñì. ðèñóíîê 2.11b).
Ïî çàìå÷àíèþ 2.2, âñå âåðøèíû b1 , . . . , bk èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü
k + 1, à çíà÷èò,
äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âåðøèíà bi âèñÿ÷àÿ â äåðåâå Ti.
Ïóñòü bi b0i ∈ E(Ti ) åäèíñòâåííîå èíöèäåíòíîå bi ðåáðî äåðåâà Ti . Òîãäà
âñå âåðøèíû b01 ,. . . , b0k ðàçëè÷íû.
Ïîñòðîèì íîâûé ãðàô G0 , äîáàâèâ ê ãðàôó G−R1 −B1 íîâóþ âåðøèíó b
ñòåïåíè k ñ NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k } (ñì. ðèñóíîê 2.11c). Ïóñòü Ti0 = Ti − bi .
Îòìåòèì, ÷òî
vk (G0 ) = vk (G) − k + 1,
Ëåììà 2.11.
v(G0 ) = v(G) − 2k + 1.
(2.7)
Ïóñòü x ∈ Vk (G). Òîãäà NG (x) ñîäåðæèò ïî îäíîé âåðøèíå
êàæäîãî èç äåðåâüåâ T1 , . . . , Tk .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x ñìåæíà ñ âåðøèíàìè y1 è ym îäíîãî äåðåâà T` ,
à y1 y2 . . . ym ïóòü â T` ìåæäó íèìè. Ïóñòü
Sy1 y2 ∈ S,
Part(Sy1 y2 ) = {Y1 , Y2 },
Y1 3 y1 è Y2 3 y2 .
Ïî ëåììå 2.7 ìû çíàåì, ÷òî NG (ym ) ⊂ Y2 . Ïîñêîëüêó y1 ∈ Int(Y1 ), ìû
èìååì x ∈ Sy1 y2 (ñì. ðèñóíîê 2.12).
Ðàçðåç Sy1 y2 ðàçäåëÿåò êàêèå-òî äâå ìèíèìàëüíûå ÷àñòè Ai è Aj , à èõ
ãðàíèöû, êàê äîêàçàíî âûøå, ñîäåðæàò ïî âåðøèíå êàæäîãî èç äåðåâüåâ
T1 , . . . , Tk . Çíà÷èò, è Sy1 y2 äîëæåí ñîäåðæàòü ïî âåðøèíå êàæäîãî èç ýòèõ
äåðåâüåâ, êðîìå T` , òî åñòü, íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíó x, ïðîòèâîðå÷èå.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
b
Ai
b
b
y1
b
k -ÑÂßÇÍÛÅ
Sy1 y2
b
y2
ÃÐÀÔÛ
ym
b
b
b
b
b
b
b
Y1
r
x
Y2
89
Aj
b
Ðèñ. 2.12: Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîãî äåðåâà.
Ëåììà 2.12.
G0 ìèíèìàëüíûé k ñâÿçíûé ãðàô.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1.
Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 k -ñâÿçíûé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî G0 èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî Q èç ìåíåå ÷åì k
âåðøèí. Òîãäà Q íå ñîäåðæèò íè îäíîé âåðøèíû êàêîãî-òî èç äåðåâüåâ
T10 , . . . , Tk0 . Ïóñòü Q ∩ V (T10 ) = ∅, à U êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà
G0 − Q, ñîäåðæàùàÿ âñå âåðøèíû äåðåâà T10 .
Ïóñòü x ∈ Vk (G0 ) \ Q, x 6= b. Òîãäà ïî ëåììå 2.11 âåðøèíà x ñîåäèíåíà
ðåáðîì ñ äåðåâîì T10 , ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ U . Åñëè b ∈
/ Q, òî âåðøèíà b
òàêæå ïðèíàäëåæèò U (òàê êàê ñìåæíà ñ T10 ).
Ïóñòü x ∈ Vk+1 (G0 ) \ Q, x ∈
/ U . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ V (T20 ). Ïóñòü
dT20 (x) = m. Òîãäà â äåðåâå T20 ñóùåñòâóþò m íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x
äî ðàçëè÷íûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí y1 , . . . , ym . Êàæäàÿ âåðøèíà yi ñìåæíà â
ãðàôå G0 ñ âåðøèíîé zi ∈ Vk (G0 ). Êðîìå òîãî, âåðøèíà x ñìåæíà â G0 ñ
âåðøèíàìè zm+1 , . . . , zk+1 ∈ Vk (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 2.13a). Ïî ëåììå 2.11, âñå
âåðøèíû z1 ,. . . , zk+1 ðàçëè÷íû. Âûøå äîêàçàíî, ÷òî ýòè âåðøèíû ïðèíàäëåæàò êîìïîíåíòå U . Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , k + 1} ìíîæåñòâî Q
äîëæíî ñîäåðæàòü îòëè÷íóþ îò x âåðøèíó, ëåæàùóþ íà ïóòè îò x äî zi .
Íî òîãäà |Q| ≥ k + 1, ïðîòèâîðå÷èå.
Òàêèì îáðàçîì, U ⊃ V (G0 −Q), òî åñòü, ãðàô G0 −Q ñâÿçåí. Ïîëó÷åííîå
ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
2.
Äîêàæåì, ÷òî ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé.
Ïóñòü xy ∈ E(G0 ). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîíöîâ ýòîãî ðåáðà èìååò â G0
ñòåïåíü k , òî ãðàô G0 − xy íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
b
b
r
r
r
z4
b
b
y
4
z1
r
b
y
x
1
a
r
b
z7
b
b
b
y
T2
y
2
b
r
b
3
r
z3
y
x Sxy
Ux
U
b
z5 z6
b
b
90
ÃÐÀÔÛ
b
T1
b
k -ÑÂßÇÍÛÅ
A1
b1
T1
b
b
b
B’
B
b
b
S’
Uy
b
z2
b
b
Ðèñ. 2.13: Ðàçðåçû Sx è S 0 .
ñëó÷àé, êîãäà xy ∈ Ek+1 (G0 ).
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî xy ∈ E(T10 ). Ðàññìîòðèì ðàçðåç
Sxy ∈ S ãðàôà G, îí äåëèò G íà äâå ÷àñòè Ux 3 x è Uy 3 y (ñì. ðèñóíîê 2.13b). Òàê êàê ðàçðåçû â S íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A1 ìèíèìàëüíàÿ
ïî âêëþ÷åíèþ â A, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A1 ⊂ Ux . Åñëè Sxy ∩ R1 = ∅, òî
Sxy ðàçðåç ãðàôà G0 , îòäåëÿþùèé Uy îò (Ux \ A1 ) ∪ {b}.
Ïóñòü
B = R1 ∩ Sxy
è
B 0 = {b0i : bi ∈ B}.
Îòìåòèì, ÷òî b1 ∈
/ B ïî ëåììå 2.8. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû bi ∈ B â ÷àñòè Uy
äîëæíà áûòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ bi , íî òàêàÿ âåðøèíà ìîæåò áûòü òîëüêî
îäíà ýòî b0i . Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 = (Sxy \ B) ∪ B 0 ðàçðåç ãðàôà G ñ
Part(G; S 0 ) = {Ux ∪ B 0 , Uy \ B}.
Òîãäà S 0 ðàçðåç ãðàôà G0 ñ
Part(G0 ; S 0 ) = {(Ux ∪ B 0 ∪ {b}) \ A1 ), Uy \ B}.
Òàêèì îáðàçîì, ãðàô G0 ìèíèìàëüíûé.
Èòàê, ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô G0 . Èç
vk (G) =
(k − 1)v(G) + 2k
2k − 1
è ðàâåíñòâ (2.7) ñëåäóåò, ÷òî
(k − 1)v(G0 ) + 2k
vk (G ) =
.
2k − 1
0
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
91
ÃÐÀÔÛ
Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ G0 = Gk,T 0 äëÿ íåêîòîðîãî äåðåâà T 0
c ∆(T 0 ) ≤ k + 1. Òîãäà T10 , . . . , Tk0 ýòî êîïèè äåðåâà T 0 . Òàê êàê b ∈ Vk (G0 )
è NG0 (b) = {b01 , . . . , b0k }, ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà Gk,T 0 â äåðåâå T 0 åñòü âåðøèíà b0 , êîòîðàÿ ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíàì b01 , . . . , b0k .
Íàïîìíèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 2.2 ìû èìååì ∆(G) = k + 1. Ïîýòîìó,
dT 0 (b0 ) = dT10 (b01 ) = dT1 (b1 ) − 1 ≤ ∆(G) − 1 = k.
(2.8)
Ïóñòü äåðåâî T ïîëó÷åíî èç T 0 ïðèñîåäèíåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû ê b0 .
Èç íåðàâåíñòâà (2.8) ñëåäóåò, ÷òî ∆(T ) ≤ k + 1. Âñïîìíèâ ïîñòðîåíèå
ãðàôà G0 ïî ãðàôó G íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G = Gk,T .
Òåîðåìà 2.1 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
2.1.6
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ
k -ñâÿç-
íûõ ãðàôîâ
 1982 Îêñëè [30] ïðåäñòàâèë àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ è òð¼õñâÿçíûõ ãðàôîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé
ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç
ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K2,3 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 , ïðèñîåäèíåííûé ê äâóì âåðøèíàì èç îêðåñòíîñòè çàìåíÿåìîé âåðøèíû. Òàì æå äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé ýêñòðåìàëüíûé
ìèíèìàëüíûé òð¼õñâÿçíûé ãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ïîëíîãî äâóäîëüíîãî ãðàôà K3,4 íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè 3 íà
ãðàô K3,3 . Èç òåîðåìû 2.1 íåñëîæíî âûâåñòè àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ âñåõ ýêñòðåìàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ ïðè ïðîèçâîëüíîì k .
Ñëåäñòâèå 2.3.
Ïóñòü G ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé
ãðàô. Òîãäà G ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Kk,k+1 ñåðèåé îïåðàöèé çàìåíû
âåðøèíû ñòåïåíè k íà ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k (â õîäå îïåðàöèè
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
92
ÃÐÀÔÛ
äîáàâëÿåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå, ñîåäèíÿþùåå k âåðøèí îäíîé äîëè Kk,k c
âåðøèíàìè, âõîäÿùèìè â îêðåñòíîñòü çàìåíÿåìîé âåðøèíû ñòåïåíè k ).
b
b
b
b
b
br
b
rb
b
rb
b
b
rb
rb
b
b
b
b
rb
b
b
Ðèñ. 2.14: Îïåðàöèÿ çàìåíû âåðøèíû ñòåïåíè k íà ãðàô Kk,k .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îòìåòèì, ÷òî ãðàô Kk,k+1 ýòî ãðàô Gk,T äëÿ îäíî-
âåðøèííîãî äåðåâà T .
Ïóñòü Gk,T ýêñòðåìàëüíûé ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, v(T ) > 1,
a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T , à a1 , . . . , ak ñîîòâåòñòâóþùèå a âåðøèíû
â êîïèÿõ äåðåâà T , íà êîòîðûõ ïîñòðîåí ãðàô Gk,T . Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ
ýòîãî ãðàôà îí ñîäåðæèò ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Kk,k , îäíà äîëÿ êîòîðîãî ýòî {a1 , . . . , ak }, à äðóãàÿ ýòî k ïðèñîåäèíåííûõ ê íèì âåðøèí
ñòåïåíè k .
Ïóñòü a0i åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà äåðåâà Ti , ñìåæíàÿ ñ ai . Ïðîèçâåäåì îïåðàöèþ, îáðàòíóþ ê îïèñàííîé â ôîðìóëèðîâêå ñëåäñòâèÿ: çàìåíèì íàéäåííûé ïîäãðàô Kk,k íà íîâóþ âåðøèíó b ñòåïåíè k , ñìåæíóþ
ñ a01 , . . . , a0k . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ãðàô Gk,T 0 ãäå T 0 = T − a, òî
åñòü, èç äåðåâà T ìû óäàëèëè âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ïîíÿòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå
òàêèõ îïåðàöèé äåðåâî ñòàíåò îäíîâåðøèííûì, à çíà÷èò, íàø k -ñâÿçíûé
ãðàô ïðåâðàòèòñÿ â Kk,k+1 .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
2.2
k -ÑÂßÇÍÛÅ
93
ÃÐÀÔÛ
Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû
Ìû áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èì ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû ïðè ïîìîùè
êîíñòðóêöèè äåðåâà ðàçáèåíèÿ äâóñâçÿíîãî ãðàôà. Íàïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äâóñâçÿíûé ãðàô G óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
v(G) + 4
.
(2.9)
3
×åðåç GM(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ìèíèìàëüv2 (G) ≥
Îïðåäåëåíèå 2.3.
íûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ íà n âåðøèíàõ, â êîòîðûõ ðîâíî d
v(G)+4
e
3
âåðøèí
ñòåïåíè 2.
Ïîíÿòíî, ÷òî ðàâåíñòâî v2 (G) =
v(G)+4
3
ìîæåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî ïðè
v(G) = 3m + 2. ×àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 2.1 äëÿ k = 2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 2.4.
Ìíîæåñòâî GM(3m + 2) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T ,
ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3.
Îêñëè â ñòàòüå [30] ècñëåäîâàë ñòðóêòóðó ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ
ãðàôîâ èç GM(n). Äëÿ n ñðàâíèìûõ ñ 0 è 1 ïî ìîäóëþ 3 â [30] äîêàçàíî,
÷òî ãðàôû èç GM(n) ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè îïåðàöèÿìè çàìåíû
âåðøèíû ñòåïåíè 2 íà ãðàô K2,2 èç îäíîãî èç íà÷àëüíûõ ãðàôîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â ðàáîòå. Íà÷àëüíûå ãðàôû ýòî K3 , òðè ãðàôà íåñêîëüêî áîëåå
ñëîæíîé ñòðóêòóðû è äâå áåñêîíå÷íûå ñåðèè ãðàôîâ.
Ìû äàäèì îïèñàíèå ìèíèìàëüíûõ äâóñâÿçíûõ ãðàôîâ èç GM(n) ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ âèäà G2,T è ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð.
Òåîðåìà 2.2.
Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäå-
íèÿ.
1) GM(3m + 1) ñîñòîèò èç ãðàôîâ âèäà G2,T · xy , ãäå T äåðåâî ñ
v(T ) = m è ∆(T ) = 3, x, y ∈ V3 (G2,T ) è xy ∈ E(G2,T ).
2) Äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ∈ GM(3m + 1) ïðåäñòàâëåíèå â âèäå G2,T · xy
èç ïóíêòà 1 åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
94
ÃÐÀÔÛ
Äëÿ îïèñàíèÿ ãðàôîâ èç GM(3m) íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü åùå
îäíó ñåðèþ ãðàôîâ.
Îïðåäåëåíèå 2.4.
Ïóñòü T äåðåâî ñ ∆(T ) = 3 è a ∈ V (T ) âåðøèíà
ñòåïåíè dT (a) = 3. Ïóñòü NT (a) = {x, y, z}. Ðàññìîòðèì ãðàô G2,T : ïóñòü
Ra , Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 } åãî îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà,
ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì a, x, y , z . Ïîëîæèì
GT,a = (G2,T − Ra ) + x1 y2 + y1 z2 + z1 x2
(ñì. ðèñóíîê 2.15).
b
b
x
a
b
b
b
y
b
b
b
z
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Ry
Rz
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A Ry
b
Rz
b
b
b
GT– R a
T
b
b
b
b
Rx
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Rx
b
b
b
b
b
b
b
b
G T,a
Ðèñ. 2.15: Ïîñòðîåíèå ãðàôà GT,a .
Çàìå÷àíèå 2.3.
Ïóñòü T äåðåâî ñ v(T ) = m, ∆(T ) = 3.
1) Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô GT,a äâóñâÿçåí.
2) Âåðøèíå a ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê, îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà GT,a ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, à âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè. Îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà ãðàôà GT,a ñîîòâåòñòâóþò îòëè÷íûì
îò a âåðøèíàì äåðåâà T , äâå âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà
íåñìåæíû. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô GT,a ìèíèìàëåí.
3) Îòìåòèì, ÷òî
v(GT,a ) = v(G2,T ) − 2 = 3m,
v2 (GT,a ) = v2 (G2,T ) = m + 2.
Ïîýòîìó, GT,a ∈ GM(3m).
4) Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôà GT,a ìîæíî íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñîåäèíèòü â ãðàôå G2,T − Ra âåðøèíû èç Rx , Ry , Rz òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
95
÷àñòü-øåñòèóãîëüíèê. Îäíàêî íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì ãðàôû áóäóò èçîìîðôíû äðóã äðóãó.
Òåîðåìà 2.3.
Ïóñòü m ≥ 2. Òîãäà GM(3m) ñîñòîèò èç ãðàôîâ òð¼õ
ïåðå÷èñëåííûõ íèæå âèäîâ.
1◦ Ãðàôû G2,T · xy · zt, ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3,
xy, zt ∈ E(G2,T ) äâà ðàçëè÷íûõ ðåáðà, êîíöû êîòîðûõ èìåþò â ãðàôå G2,T ñòåïåíü 3 (ó âûáðàííûõ ð¼áåð ìîãóò áûòü ñîâïàäàþùèå êîíöû).
2◦ Ãðàôû, ïîëó÷åííûå èç ãðàôîâ âèäà G2,T − xy ãäå T äåðåâî
ñ v(T ) = m − 1 è ∆(T ) ≤ 3, à xy ∈ E(G2,T ), äîáàâëåíèåì íîâîé âåðøèíû
ñòåïåíè 2, ñìåæíîé ñ x è y .
3◦ Ãðàôû âèäà GT,a , ãäå T äåðåâî ñ v(T ) = m è ∆(T ) = 3, à a ∈ V (T )
âåðøèíà ñòåïåíè 3.
Äàëåå ìû äîêàæåì ýòè äâå òåîðåìû. Íà÷íåì ñ íåñêîëüêèõ òåõíè÷åñêèõ
ëåìì. Íàì ïîíàäîáèòñÿ äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà, îïðåäåëåííîå â ïðåäûäóùåé ãëàâå è ðÿä åãî ñâîéñòâ.
Ëåììà 2.13.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, S ∈ O(G) îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, íå ñìåæíîå â BT(G) ñ áëîêàìè. Òîãäà
dBT(G) (S) ≥ 3.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ýòî íå òàê è S = {x, y} ñìåæíî â BT(G) ðîâíî
ñ äâóìÿ ÷àñòÿìè öèêëàìè B1 è B2 . Âûáåðåì îòëè÷íûå îò x, y âåðøèíû
z1 ∈ B1 è z2 ∈ B2 . Äîêàæåì, ÷òî R = {z1 , z2 } îòäåëÿåò x îò y â ãðàôå
G0 − xy (à ñëåäîâàòåëüíî, è â ãðàôå G ïîäãðàôå G0 − xy .)
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ðàññìîòðèì êðàò÷àéøèé xy -ïóòü P â ãðàôå
G0 − xy − R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîäåðæèò âåðøèíó v ∈
/ B1 ∪ B2 . Òîãäà
ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî T ∈ O(G), îòäåëÿþùåå v îò B1 ∪ B2 (ñì. ðèñóíîê 2.16). Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî S äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, îäíà èç
êîòîðûõ ñîäåðæèò z1 , à äðóãàÿ z2 . Ïîýòîìó, T 6= S . Ïðè äâèæåíèè îò v
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
b
b
B1
b
z1
b
S
x
b
b
b
z2
96
ÃÐÀÔÛ
b
y B2
P
b
v
b
b
T
Ðèñ. 2.16: Ïóòü P â ãðàôå G0 − xy .
â îáå ñòîðîíû ïî ïóòè P ìû ïîïàäåì â âåðøèíû ìíîæåñòâà T , êîòîðûå
â ãðàôå G0 − xy − R ñìåæíû. Íî òîãäà ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü:
ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòîê ïóòè, ñîäåðæàùèé v , íà ðåáðî ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà T . Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì ïóòè P ïîêàçûâàåò, ÷òî
V (P ) ⊂ B1 ∪ B2 , íî òàêîãî xy -ïóòè â G0 − xy − R, î÷åâèäíî, íåò.
Çíà÷èò, R ðàçäåëÿåò â G ìíîæåñòâî S = {x, y}, òî åñòü, S è R çàâèñèìû.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî S íåîäèíî÷íîå. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû â
òåðìèíàõ ñòÿãèâàíèÿ ð¼áåð.
Ëåììà 2.14.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, âñå ÷àñòè êî-
òîðîãî öèêëû, w ∈ V (G), dG (w) ≥ 4. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé
äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), òàêèe, ÷òî G = H · w1 w2
è ïðè ýòîì w = w1 · w2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1.
Ïî ñëåäñòâèþ 1.5, âåðøèíà w âõîäèò â îäèíî÷íîå
ìíîæåñòâî R = {w, u} ãðàôà G. Âåðøèíû w è u ïî òåîðåìå 1.6 íåñìåæíû.
Ñëåäîâàòåëüíî, N = NG (w) 63 u, à çíà÷èò, âñå (õîòÿ áû ÷åòûðå) âåðøèíû
èç N ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû ÷àñòåé Part(R). Ïî ëåììå 2.13 â Part(R)
õîòÿ áû òðè ÷àñòè. Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ
ñîäåðæèò õîòÿ áû ïî îäíîé âåðøèíå èç N . Çíà÷èò, ìîæíî òàê ðàçáèòü
÷àñòè Part(R) íà äâå ãðóïïû, ÷òîáû ÷àñòè èç êàæäîé ãðóïïû ñîäåðæàëè
õîòÿ áû äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà N . Ïóñòü N1 è N2 ýòî ìíîæåñòâà âåðøèí èç N , ñîäåðæàùèåñÿ â ÷àñòÿõ ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà N = N1 ∪ N2 .
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
97
ÃÐÀÔÛ
Ìû èçìåíèì íàø ãðàô: çàìåíèì âåðøèíó w íà äâå ñìåæíûå âåðøèíû w1 è w2 (ñì. ðèñóíîê 2.17a). Â íîâîì ãðàôå H âåðøèíà w1 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç N1 è c w2 , à âåðøèíà w2 áóäåò ñìåæíà ñî âñåìè
âåðøèíàìè èç N2 è c w1 . Òîãäà dH (w1 ) ≥ 3 è dH (w2 ) ≥ 3. Î÷åâèäíî,
G = H · w1 w2 è w = w1 · w2 .
2.
Äîêàæåì, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê è ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèå áëîêè ãðàôà H .
Èõ õîòÿ áû äâà. Îäèí èç íèõ íàçîâåì åãî B ñîäåðæèò ðåáðî w1 w2 .
Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà w1 w2 îòëè÷íûå îò B áëîêè íå ìåíÿþòñÿ, íî ïîëó÷àåòñÿ äâóñâÿçíûé ãðàô G. Çíà÷èò, ó ãðàôà H âñåãî äâà áëîêà, ïðè÷¼ì
áëîê B ñîñòîèò èç äâóõ âåðøèí w1 è w2 è ðåáðà ìåæäó íèìè. Òîãäà îäíà
èç âåðøèí w1 è w2 äîëæíà èìåòü ñòåïåíü 1 â H , ÷òî íå òàê. Ïîëó÷åííîå
ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàô H äâóñâÿçåí.
G
N1
w
b
b
b
b
R
u
b
N1
N2
b
w1
b
w2
H
G
b
b
b
b
N2
U1
b
a
u
b
U2
b
b
b
b
b
w
H
w1
b
b
U2
U1
b
b
b
w2
b
b
Ðèñ. 2.17: Ïðåîáðàçîâàíèå âåðøèíû w.
3.
Äîêàæåì, ÷òî H ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô.
Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ãðàô H − w1 w2 íåäâóñâÿçåí: îí èìååò òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ u. Äåéñòâèòåëüíî, â ãðàôå H − {w1 , w2 , u} = G − {u, w} âåðøèíû
èç N1 íå ñâÿçàíû ñ âåðøèíàìè èç N2 . Äîáàâèâ â ýòîò ãðàô âåðøèíó w1
(íå ñâÿçàííóþ ñ N2 ) è âåðøèíó w2 (íå ñâÿçàííóþ ñ N1 ) áåç ðåáðà w1 w2 ,
ìû íå ñäåëàåì ãðàô ñâÿçíûì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ êàê ðàç íåñâÿçíûé
ãðàô H − w1 w2 − u.
Ïóñòü e 6= w1 w2 . Òàê êàê ãðàô G ìèíèìàëåí, â ãðàôå G − e åñòü òî÷êà
ñî÷ëåíåíèÿ a. Åñëè a 6= w, òî w ñìåæíà òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòüþ ðàçáèåíèÿ
Part(G − e; {a}), ïîýòîìó a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ è â H − e.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
98
Ïóñòü a = w, à Part(G − e; {w}) = {U1 , . . . Uk }. Òîãäà ãðàô H − e áóäåò
äâóñâÿçíûì, åñëè è òîëüêî åñëè îáå âåðøèíû w1 è w2 ñìåæíû ñ êàæäîé èç
÷àñòåé U1 , . . . , Uk (ñì. ðèñóíîê 2.17b). Íî òîãäà ãðàô H − w1 w2 äâóñâÿçåí,
òàê êàê â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò k ≥ 2 ïóòåé ìåæäó w1 è w2 : ïî êàæäîé
èç ÷àñòåé U1 , . . . , Uk . Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Îïðåäåëåíèå 2.5.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô.
1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç V20 (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ñòåïåíè 2, âõîäÿùèõ
â êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G.
2) Äëÿ ÷àñòè A ∈ Part(G) ïîëîæèì
(
|A|, åñëè A áëîê
s(A) =
dBT(G) (A), åñëè A öèêë.
Ëåììà 2.15.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, èìåþùèé k
íåêðàéíèõ ÷àñòåé A1 , . . . , Ak , à H = G − V20 (G). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô H ëåñ ñ
c=
X
k
s(Ai ) − 2k + 2
(2.10)
i=1
êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè.
2) Äëÿ ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà S äâå åãî âåðøèíû ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè H .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîíóìåðóåì âñå âåðøèíû äåðåâà T = BT(G) (êàê ñî-
îòâåòñòâóþùèå ÷àñòÿì, òàê è ñîîòâåòñòâóþùèå îäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì)
a1 , . . . , am , òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ âñåõ ` ãðàô T ({a1 , . . . , a` }) áûë äåðåâîì, à a` åãî âèñÿ÷åé âåðøèíîé. Ïóñòü íåêðàéíèå ÷àñòè Part(G) â
íóìåðàöèè A1 , . . . , Ak èäóò â òîì æå ïîðÿäêå, êàê â íóìåðàöèè âñåõ âåðøèí äåðåâà T . Ïîëîæèì
W` =
`
[
i=1
Ai ,
H` = H(W` ).
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
99
Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî Wk = V (H) è, ñëåäîâàòåëüíî, Hk = H .
Èíäóêöèåé ïî ` ìû äîêàæåì, ÷òî H` îáúåäèíåíèå
c` =
X
`
s(Ai ) − 2` + 2
i=1
äåðåâüåâ è óòâåðæäåíèå 2 âûïîëíåíî äëÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â W` .
Áàçà ` = 1. Åñëè A1 áëîê, òî ãðàô G(A1 ) ïî òåîðåìå 1.6 íå èìååò
ð¼áåð, à çíà÷èò, åñòü îáúåäèíåíèå s(A1 ) = |A1 | îäíîâåðøèííûõ äåðåâüåâ.
Ïóñòü ÷àñòü A1 öèêë. Òîãäà G0 (A1 ) ýòî öèêë, ïðè÷åì äâå âåðøèíû
ëþáîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà, ëåæàùåãî â A1 ñîñåäíèå â ýòîì öèêëå
è ïî òåîðåìå 1.6 îíè íåñìåæíû â G. Ïîýòîìó H1 = H(A1 ) îáúåäèíåíèå dBT(G) (A1 ) = s(A1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî
ìíîæåñòâà ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì.
Ïåðåõîä ` → ` + 1.
Ìû òàê ïðîíóìåðîâàëè íåêðàéíèå ÷àñòè, ÷òî A`+1 ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â íåêîòîðîì ïîääåðåâå T 0 äåðåâà ðàçáèåíèÿ BT(G), ïðè÷åì V (T 0 )
ñîäåðæèò âñå ÷àñòè A1 , . . . , A` . Òîãäà A`+1 ñìåæíà â T 0 ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé, è ýòà âåðøèíà ñîîòâåòñòâóåò îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó íàçîâåì
åãî S . Ïî òåîðåìå 1.1, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò A`+1 îò A1 , . . . , A` .
Òàêèì îáðàçîì, ðîâíî äâå âåðøèíû ÷àñòè A`+1 âõîäÿò â W` = V (H`)
ýòî äâå âåðøèíû ìíîæåñòâà S è îíè ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì
ñâÿçíîñòè H` â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2. Ðàçáåðåì äâà ñëó÷àÿ.
a.
×àñòü A`+1 áëîê.
Âñå âåðøèíû áëîêà A`+1 â ãðàôå H`+1 ïîïàðíî íåñìåæíû. Â V (H`+1 )
äîáàâÿòñÿ |A`+1 | − 2 = s(A`+1 ) − 2 âåðøèíû ÷àñòè A`+1 , íå âõîäÿùèå
â S , êàæäàÿ èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîâóþ îäíîâåðøèííóþ êîìïîíåíòó
ñâÿçíîñòè. Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è
óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
100
b
b
b
b
b
b
F1
b
b
b
Wl
S
Al +1
b
b
F2
b
b
b
Ðèñ. 2.18: Øàã ñ ÷àñòüþ-öèêëîì A`+1 .
b.
×àñòü A`+1 öèêë.
Ãðàô H` ëåñ. Ïóñòü U1 è U2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` , êîòîðûå ñîäåðæàò âåðøèíû ìíîæåñòâà S (ïî óòâåðæäåíèþ 2 îíè ðàçëè÷íû).
Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H` áóäóò êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Ïóñòü Fi = H` (Ui ).
Êàê ïîêàçàíî âûøå, H(A`+1 ) îáúåäèíåíèå s(A`+1 ) äåðåâüåâ, ïðè÷åì âåðøèíû êàæäîãî îäèíî÷íîãî ìíîæåñòâà (â òîì ÷èñëå, âåðøèíû S )
ïðèíàäëåæàò ðàçíûì äåðåâüÿì (ñì. ðèñóíîê 2.18). Çíà÷èò, âåðøèíû äåðåâüåâ F1 è F2 ïîïàäàþò â ðàçíûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 .
Îñòàëüíûå s(A`+1 ) − 2 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H(A`+1 ) ýòî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà H`+1 . Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 1 äëÿ ãðàôà H`+1 è óòâåðæäåíèå 2 äëÿ ñîäåðæàùèõñÿ â W`+1 îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ.
Ñëåäñòâèå 2.5.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô, à ãðàô
H = G − V20 (G) èìååò c êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè G èìååò õîòÿ áû îäèí áëîê, òî c ≥ 4.
2) Åñëè G èìååò ÷àñòü-öèêë A ñòåïåíè dBT(G) (A) = d, òî c ≥ d.
3) Åñëè c = 3, òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû, ðîâíî îäíà èç íèõ
èìååò ñòåïåíü 3 â BT(G), à îñòàëüíûå ñòåïåíü 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1)  áëîêå A ãðàôà G õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû, à
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
101
ãðàô G(A) ïóñò. Ñëåäîâàòåëüíî, áëîê ãðàôà G åãî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü. Ïî
ôîðìóëå (2.10) òîãäà c ≥ |A| ≥ 4.
2) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10).
3) Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.10) è ïóíêòîâ 1 è 2.
Îïðåäåëåíèå 2.6.
1) Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (G) íàçîâåì åå óìåíü-
øåííîé ñòåïåíüþ âåëè÷èíó d0G (x) = dG (x) − 2.
2) ×åðåç s(G) îáîçíà÷èì ñóììó óìåíüøåííûõ ñòåïåíåé âåðøèí ãðàôà G.
Çàìå÷àíèå 2.4.
1) Î÷åâèäíî, óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü ëþáîé âåðøèíû
èç V3 (G) íå ìåíåå 1.
2) s(G) = 2e(G) − 2v(G).
Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå áóäåì ïðèìåíÿòü äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî
ãðàôà G ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
• t êîëè÷åñòâî êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G;
• c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − V20 (G);
• s = s(G).
Ëåììà 2.16.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà
2t = s + 2c.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñìîòðèì íà ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû èç V3 (G)
ñ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè êðàéíèõ ÷àñòåé ãðàôà G. Ïóñòü èõ êîëè÷åñòâî
ðàâíî q . Äëÿ êàæäîé êðàéíåé ÷àñòè A îò åå âíóòðåííîñòè Int(A) âûõîäèò
ðîâíî äâà ðåáðà â V3 (G) (ê âåðøèíàì èç Bound(A)). Ïîýòîìó q = 2t.
Ïîñêîëüêó H îáúåäèíåíèå c äåðåâüåâ, òî e(H) = v(H) − c. Î÷åâèäíî,
V3 (G) ⊆ V (H). Ìíîæåñòâî W = V (H) \ V3 (G) ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâà V2 (G), âõîäÿùèõ â íåêðàéíèå ÷àñòè òî åñòü, ïî ñëåäñòâèþ 1.5, èç
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
102
âíóòðåííèõ âåðøèí íåêðàéíèõ ÷àñòåé. Ïîýòîìó êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W èìååò ñòåïåíü 2 â ãðàôå H , à çíà÷èò,
X
2|W | +
dH (x) =
X
dH (x) +
x∈W
x∈V3 (G)
X
dH (x) =
x∈V3 (G)
X
dH (x) = 2v(H) − 2c = 2v3 (G) + 2|W | − 2c,
x∈V (H)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
X
dH (x) = 2(v3 (G) − c).
x∈V3 (G)
Òåïåðü ïîñ÷èòàåì q ñ äðóãîé ñòîðîíû:
q=
X
(dG (x) − dH (x)) =
x∈V3 (G)
X
dG (x) − 2(v3 (G) − c) =
x∈V3 (G)
X
dG (x) − 2v(G) + 2c = s + 2c.
x∈V (G)
Äëÿ ìèíèìàëüíîãî äâóñâÿçíîãî ãðàôà G îïðåäåëèì
f (G) = 3v2 (G) − (v(G) + 4) = 2v2 (G) − v3 (G) − 4.
Çàìå÷àíèå 2.5.
Ïóñòü G ∈ GM(n), n ≥ 5. Èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 ñëåäóåò,
÷òî f (G) ðàâíÿåòñÿ îñòàòêó îò äåëåíèÿ n + 4 íà òðè.
Íåïîñðåäñòâåííî èç ëåììû 2.16 ñëåäóåò, ÷òî
f (G) = 2(v2 (G) − t) + 2(c − 2) + (s − v3 (G)).
Ëåììà 2.17.
(2.11)
Êàæäîå èç òðåõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.11)
íåîòðèöàòåëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû îä-
íó âåðøèíó èç V2 (G), ïîýòîìó v2 (G) ≥ t. Èç ëåììû 2.15 î÷åâèäíî, ÷òî
c ≥ 2. Òàê êàê óìåíüøåííàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç V3 (G) íåîòðèöàòåëüíà, s ≥ v3 (G).
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
103
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò êëàññèôèöèðîâàòü ãðàôû ñ ìàëûì çíà÷åíèåì f (G).
Ëåììà 2.18.
Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà âûïîë-
íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè,
à âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü.
2) Åñëè c − 2 = 0, òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è èìåþò
ñòåïåíü 2 â äåðåâå BT(G).
3) Åñëè s−v3 (G) = 0, òî âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3
â ãðàôå BT(G) è íå èìåþò îáùèõ âåðøèí.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Åñëè v2 (G) − t = 0, òî íåêðàéíèå ÷àñòè íå ñîäåð-
æàò âåðøèí ñòåïåíè 2 (à çíà÷èò, ïî ñëåäñòâèþ 1.5 èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü), à êàæäàÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü ñîäåðæèò ðîâíî îäíó âåðøèíó ñòåïåíè 2
(òî åñòü, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì).
2) Ïî ïóíêòó 1 ñëåäñòâèÿ 2.5 âñå ÷àñòè Part(G) öèêëû. Òåïåðü èç
ôîðìóëû (2.10) ñëåäóåò, ÷òî âñå îíè èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G).
3) Ïî çàìå÷àíèþ 2.4, ðàâåíñòâî s = v3 (G) îçíà÷àåò, ÷òî âñå âåðøèíû
èç V3 (G) èìåþò ñòåïåíü 3. Åñëè êàêîå-òî îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî èìååò ñòåïåíü 4 â BT(G), òî ïî ëåììå 1.2 åãî âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 4.
Çíà÷èò, âñå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòåïåíü 3 â ãðàôå BT(G).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêèå-òî äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà S è S 0 ãðàôà G
ïåðåñåêàþòñÿ ïî âåðøèíå a. Ïî ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.1 íàì èçâåñòíî, ÷òî
|Part(S)| = dBT(G) (S) = 3. Ïóñòü Part(S) = {A1 , A2 , A}, ïðè÷åì S 0 ⊂ A.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Part(S 0 ) = {A01 , A02 , A0 }, ïðè÷åì S ⊂ A0 .
Òîãäà âíóòðåííîñòè Int(A1 ), Int(A2 ), Int(A01 ), Int(A02 ) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàê êàê a ∈ S , òî a ñìåæíà õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A1 )
è õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A2 ). Òàê êàê a ∈ S 0 , òî a ñìåæíà õîòÿ
áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A01 ) è õîòÿ áû c îäíîé âåðøèíîé èç Int(A02 ).
Òàêèì îáðàçîì, dG (a) ≥ 4, ïðîòèâîðå÷èå.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
104
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâàì òåîðåì.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2.
1) Åñëè G = G2,T · xy äëÿ äåðåâà T ñ
v(T ) = m è ∆(T ) = 3, òî ïî òåîðåìå 1.6 ãðàô G ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé, v(G) = 3m + 1 è v2 (G) = m + 2. Ïîýòîìó, G ∈ GM(3m + 1).
Ïóñòü G ∈ GM(3m + 1). Òîãäà v2 (G) = m + 2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû
èìååì f (G) = 1, ÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) îçíà÷àåò
v2 (G) = t,
c = 2,
s − v3 (G) = 1.
Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû.
Óñëîâèå s − v3 (G) = 1 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü ðîâíî îäíà âåðøèíà
ñòåïåíè 4, îñòàëüíûå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 2 èëè 3. Òîãäà ïî ëåììå 2.14
ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé ãðàô H è âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H),
òàêèå, ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî
v2 (H) = v2 (G) = m + 2,
v(H) = v(G) + 1 = 3m + 2.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 2), îòêóäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåì
óòâåðæäåíèå 1 òåîðåìû.
2) Êàê ìû äîêàçàëè, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå
G = G2,T · w1 w2 ,
ãäå w1 , w2 ∈ V3 (G2,T ).
Ïóñòü w = w1 ·w2 . Ãðàô G2,T −V20 (G2,T ) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T1
è T2 , èçîìîðôíûõ T . Ïîíÿòíî, ÷òî âåðøèíû w1 è w2 ïðèíàäëåæàò îäíîìó
è òîìó æå äåðåâó, ïóñòü ýòî T1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç u1 è u2 âåðøèíû äåðåâà T2 , ñîîòâåòñòâóþùèå w1 è w2 ïðè èçîìîðôèçìå êîïèé äåðåâà T . Òîãäà
ãðàô G − V20 (G) ýòî îáúåäèíåíèå äâóõ äåðåâüåâ T10 = T1 · w1 w2 è T2 (ñì.
ðèñóíîê 2.19á). Òàêèì îáðàçîì, äåðåâî T â ïðåäñòàâëåíèè G = G2,T · w1 w2
èçîìîðôíî òîìó èç äâóõ äåðåâüåâ ãðàôà G − V20 (G), ÷òî ñîäåðæèò áîëüøå
âåðøèí.
Èòàê, ìû óæå îïðåäåëèëè äåðåâî T . Ó ãðàôà G åñòü ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A = {w, u1 , u2 } (ñì. ðèñóíîê 2.19à). Äåðåâüÿ ðàçáèåíèÿ ó ãðàôîâ G2,T è G = G2,T ·w1 w2 , î÷åâèäíî, èçîìîðôíû. Îïðåäåëèì
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A
w
b
b
b
b
T’1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
105
ÃÐÀÔÛ
b
b
w
b
k -ÑÂßÇÍÛÅ
b
a
b
u2
b
T2
b
b
u1
b
b
b
b
b
b
Ðèñ. 2.19: Ãðàôû G ∈ GM(3m + 1) è G − V20 (G).
â BT(G2,T ) ÷àñòü A0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ A ïðè èçîìîðôèçìå äåðåâüåâ ðàçáèåíèÿ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ òî÷íîñòüþ äî àâòîìîðôèçìà ãðàôà G2,T ).
Âåðøèíû w1 è w2 ýòî äâå ñìåæíûå âåðøèíû ÷àñòè A0 (ìîæíî âûáðàòü
ëþáóþ èç äâóõ òàêèõ ïàð).
Çàìå÷àíèå 2.6.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè G ∈ GM(3m + 1), òî ó íåãî m
îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Âñå
êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå ÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ðîâíî îäíà íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ãðàôà G òðåóãîëüíèê, ýòî êàê
ðàç ÷àñòü ñ ãðàíèöåé èç äâóõ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî
ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.19à.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.3.
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðå-
ìû 1.6, ÷òî âñå îïèñàííûå â óñëîâèè ãðàôû ïðèíàäëåæàò GM(3m). Ïóñòü
G ∈ GM(3m). Òîãäà v2 (G) = m+2. Ïî çàìå÷àíèþ 2.5 ìû èìååì f (G) = 2,
÷òî ââèäó ôîðìóëû (2.11) âîçìîæíî â òð¼õ ñëó÷àÿõ:
1.
c = 2,
v2 (G) = t,
s = v3 (G) + 2;
2.
c = 2,
v2 (G) = t + 1,
3.
c = 3,
v2 (G) = t,
s = v3 (G);
s = v3 (G).
Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè.
1.
Óñëîâèÿ c = 2 è v2 (G) = t îçíà÷àþò, ÷òî âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû.
Óñëîâèå s − v3 (G) = 2 îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
106
íå ìåíåå 4. Òîãäà ïî ëåììå 2.14 ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé äâóñâÿçíûé
ãðàô H , è òàêèå âåðøèíû w1 , w2 ∈ V3 (H), ÷òî G = H · w1 w2 . Ïîíÿòíî, ÷òî
v2 (H) = v2 (G) = m + 2,
v(H) = v(G) + 1 = 3m + 1.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî H ∈ GM(3m + 1). Òåïåðü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2.2 ïîíÿòíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 1◦ .
2.
 ýòîì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíè 2 áîëüøå êîëè÷åñòâà êðàé-
íèõ ÷àñòåé íà 1, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèáî êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê,
ëèáî íåêðàéíÿÿ ÷àñòü ñ âíóòðåííåé âåðøèíîé. Ïóñòü A òàêàÿ ÷àñòü, à
v ∈ V2 (G)∩Int(A). Ïî ñëåäñòâèþ 2.5, ÷àñòü A öèêë. Òîãäà NG (v) = {x, y}
ÿâëÿåòñÿ íåîäèíî÷íûì ðàçäåëÿþùèì ìíîæåñòâîì ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíû x è y íåcìåæíû. Çíà÷èò, ãðàô H = G − a + xy äâóñâÿçåí.
Áîëåå òîãî, ó H òå æå îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà, ÷òî y G è ïî÷òè ÷òî òå æå
÷àñòè: åäèíñòâåííîå îòëè÷èå â òîì, ÷òî ÷àñòü A çàìåíåíà íà öèêë ìåíüøåé
äëèíû. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô H ïî òåîðåìå 1.6 ìèíèìàëåí. Ïîñêîëüêó
v2 (H) = v2 (G) − 1 = m + 1 è v(H) = v(G) − 1 = 3m − 1,
òî H ∈ GM(3m − 1). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî H = G2,T
äëÿ äåðåâà T c v(T ) = m − 1 è ∆(T ) = 3. Çíà÷èò, âûïîëíåíî óñëîâèå 2◦ .
3.
Òàê êàê c = 3, ïî ñëåäñòâèþ 2.5 ó ãðàôà G âñå ÷àñòè ãðàôà G öèêëû è ñðåäè íèõ åñòü ÷àñòü A ñòåïåíè dBT(G) (A) = 3, à îñòàëüíûå ÷àñòè
èìåþò ñòåïåíü 2 â BT(G). Èç s = v3 (G) ïî ëåììå 2.18 ñëåäóåò, ÷òî íèêàêèå
äâà îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ãðàôà G íå ïåðåñåêàþòñÿ è êàæäîå èç íèõ èìååò ñòåïåíü ðîâíî 3 â BT(G). Èç v2 (G) = t ñëåäóåò, ÷òî âñå íåêðàéíèå ÷àñòè
èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòü A øåñòèóãîëüíèê,
ïðè÷åì ãðàíèöó ÷àñòè A îáðàçóþò òðè íåïåðåñåêàþùèõñÿ îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâà ïóñòü ýòî Rx = {x1 , x2 }, Ry = {y1 , y2 }, Rz = {z1 , z2 }. Íóìåðàöèÿ
âåðøèí âûáðàíà òàê, ÷òî x1 y1 , y2 z2 , x2 z1 ∈ E(G).
Èçìåíèì ãðàô G: óäàëèì ð¼áðà x1 y1 , y2 z2 è x2 z1 , äîáàâèì äâå íîâûå âåðøèíû ìíîæåñòâà Ra = {a1 , a2 } è ð¼áðà a1 x1 , a2 x2 , a1 y1 , a2 y2 , a1 z1 , a2 z2 (ñì.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
x1
b
b
x2
z1
b
b
b
b
b
2
b
z2
b
b
Rx
b
b
b
y
x2
z1
b
b
b
b
A Ry
b
Rz
b
b
b
x1
b
b
b
b
b
b
b
b
G
Ry
y
Ra
b
b
a2
b
b
y1
a1
Rz
b
b
b
107
ÃÐÀÔÛ
b
b
y1
Rx
b
k -ÑÂßÇÍÛÅ
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2
b
b
z2
H
Ðèñ. 2.20: Ãðàôû G è H .
ðèñóíîê 2.20). Ïîëó÷åííûé ãðàô H , î÷åâèäíî, äâóñâÿçåí. Âìåñòî ÷àñòè A
äîáàâèëîñü íîâîå îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî Ra è òðè ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêà.
Ïîýòîìó, ãðàô H ìèíèìàëåí. Êðîìå òîãî,
v2 (H) = v2 (G) = m + 2 è v(H) = v(G) + 2 = 3k + 2.
Ïîýòîìó H ∈ GM(3m + 2), à ñëåäîâàòåëüíî, H = G2,T äëÿ äåðåâà T
c v(T ) = m è ∆(T ) ≤ 3. Êàæäîìó îäèíî÷íîìó ìíîæåñòâó ãðàôà H ñîîòâåòñòâóåò âåðøèíà äåðåâà T . Ïóñòü äëÿ ìíîæåñòâ Ra , Rx , Ry , Rz ýòî
âåðøèíû a, x, y , z ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà NT (a) = {x, y, z}. Òåïåðü èç
ïîñòðîåíèÿ ãðàôà GT,a è èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H ïî ãðàôó G ñëåäóåò,
÷òî G = GT,a .
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
GT
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c
Ðèñ. 2.21: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð.
Çàìå÷àíèå 2.7.
Ïóñòü G ∈ GM (3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà
G2,T ∈ GM(3m + 2) ñòÿãèâàíèåì äâóõ ð¼áåð, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò âåðøèíû ñòåïåíè 3.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
108
ÃÐÀÔÛ
1) Òîãäà â ãðàôå G âñå êðàéíèå ÷àñòè òðåóãîëüíèêè, âñå íåêðàéíèå
÷àñòè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü.
2) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â ðàçíûõ ÷àñòÿõ, òî ðîâíî
äâå íåêðàéíèõ ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè: ýòî ÷àñòè, ïîëó÷åííûå èç
÷àñòåé G2,T , ñîäåðæàùèõ ñòÿíóòûå ð¼áðà. Îñòàëüíûå ÷àñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ãðàô G â ýòîì ñëó÷àå èìååò ðîâíî m îäèíî÷íûõ ìíîæåñòâ è
ñòåïåíü êàæäîãî èç íèõ â BT(G) ðàâíà 3. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí
íà ðèñóíêå 2.21b. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 2 òåîðåìû 2.2 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
äëÿ òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) åäèíñòâåíåí.
3) Åñëè ñòÿíóòûå ð¼áðà ãðàôà G2,T ëåæàëè â îäíîé ÷àñòè-÷åòûð¼õóãîëüíèêå A, òî ýòà ÷àñòü èñ÷åçíåò, à îäèíî÷íûå ìíîæåñòâà Rx è Ry , ñîñòàâëÿþùèå ãðàíèöó A, ñêëåÿòñÿ â îäíî ìíîæåñòâî, êîòîðîå áóäåò èìåòü
â BT(G) ñòåïåíü 4. Âñå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G â òàêîì ñëó÷àå ÷åòûð¼õóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.21c. Äëÿ
òàêîãî ãðàôà G ãðàô G2,T ∈ GM(3m + 2) íååäèíñòâåíåí.
b
b
GT
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c
Ðèñ. 2.22: Ãðàôû èç GM(3m), ïîëó÷åííûå èç G2,T ∈ GM(3m − 1) äîáàâëåíèåì âåðøèíû ñòåïåíè 2.
Çàìå÷àíèå 2.8.
Ïóñòü G ∈ GM(3m) ãðàô, ïîëó÷åííûé èç ãðàôà
G2,T ∈ GM(3m − 1) çàìåíîé ðåáðà íà ïóòü äëèíû 2, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç
íîâóþ âåðøèíó ñòåïåíè 2.
1) Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî m − 1 îäèíî÷íîå ìíîæåñòâî, âñå îíè èìåþò
ñòåïåíü 3.
2) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â íåêðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî
â ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ íåêðàéíÿÿ ÷àñòü-ïÿòèóãîëüíèê, à äîáàâëåííàÿ âåð-
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
109
ÃÐÀÔÛ
øèíà åäèíñòâåííàÿ âíóòðåííÿÿ âåðøèíà ýòîé ÷àñòè. Îñòàëüíûå íåêðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè, îíè èìåþò ïóñòóþ âíóòðåííîñòü.
Âñå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22b.
3) Åñëè âåðøèíà ñòåïåíè 2 äîáàâëåíà â êðàéíþþ ÷àñòü ãðàôà G2,T , òî â
ãðàôå G ïîëó÷àåòñÿ êðàéíÿÿ ÷àñòü-÷åòûð¼õóãîëüíèê ñ äâóìÿ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè. Îñòàëüíûå êðàéíèå ÷àñòè ãðàôà G òðåóãîëüíèêè, à âñå
íåêðàéíèå ÷àñòè G ÷åòûð¼õóãîëüíèêè áåç âíóòðåííèõ âåðøèí. Ïðèìåð
òàêîãî ãðàôà èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2.22c.
4)  îáîèõ ñëó÷àÿõ ãðàô G2,T äëÿ ãðàôà G åäèíñòâåíåí.
2.3
k -ñâÿçíûõ
Ñòðóêòóðà ìèíèìàëüíûõ
ãðàôîâ ïðè
k≤5
 òåîðåìå 2.1 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì k ýêñòðåìàëüíûå ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû èìåþò äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó. Ïðè k ≤ 5
ìû ìîæåì ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó äëÿ ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
Òåîðåìà 2.4.
Ïóñòü k ≤ 5, à G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Òîãäà
äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ìîæíî âûáðàòü ñîäåðæàùèé e ðàçðåç Se ∈ R
òàê, ÷òî âñå âûáðàííûå ðàçðåçû ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíÿåòñÿ ýòà òåîðåìà. Ïóñòü G ìèíèìàëüíûé
k -ñâÿçíûé ãðàô, à ìíîæåñòâî
C = {Se }e∈Ek+1 ⊂ R,
ãäå e ∈ Se
ñîñòîèò èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Äëÿ íàáîðà èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ C ìîæíî îïðåäåëèòü äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C). Ýòè äåðåâüÿ ïîêàçûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæå-
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
110
íèå ðàçðåçîâ ìíîæåñòâà C è ÷àñòåé èç Part(C). Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ð¼áðàìè äåðåâà PT(G, C) è ð¼áðàìè èç Ek+1 .
Ïîýòîìó, äåðåâüÿ BT(G, C) è PT(G, C) ïîêàçûâàþò òàêæå ñòðóêòóðó âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ð¼áåð èç ìíîæåñòâà Ek+1 . Êðîìå òîãî, äëÿ èçó÷åíèÿ
ñòðóêòóðû ìèíèìàëüíîãî k -ñâÿçíîãî ãðàôà òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü
ìíîãî÷èñëåííûå ñâîéñòâà, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1.7 è ñëåäñòâèè 1.6.
Òàêæå ìû äîêàæåì ðÿä ñâîéñòâ ÷àñòåé Part(C), èñïîëüçóþùèõ ìèíèìàëüíîñòü ãðàôà G. ×àñòíûì ñëó÷àåì ëåììû 2.6 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 2.6.
Ïóñòü k ≤ 5, a G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô.
Ïóñòü R ãðàíèöà ðàçðåçà Se ∈ C. Òîãäà âñå âåðøèíû èç Vk+1 ∩ R ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êîìïîíåíòàì ñâÿçíîñòè ãðàôà Gk+1 .
Ñëåäñòâèå 2.7.
Ïóñòü k ≤ 5, G ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô, C îïðåäåëåííîå âûøå ìíîæåñòâî ðàçðåçîâ, à A ∈ Part(C). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Âåðøèíû ìíîæåñòâà A ∩ Vk+1 ïîïàðíî íåñìåæíû.
2) Ïóñòü A êðàéíÿÿ ÷àñòü, ñìåæíàÿ â BT(G, C) ñ ðàçðåçîì Sab . Òîãäà A ∈ Part(Sab ). ×àñòü A ñîäåðæèò íå ìåíåå ÷åì k âåðøèí ñòåïåíè k ,
õîòÿ áû îäíà èç íèõ ïðèíàäëåæèò Int(A).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Åñëè âåðøèíû x, y ∈ A ∩ Vk+1 ñìåæíû, òî ðàçðåç
Sxy ∈ C ðàçäåëÿåò äâå âåðøèíû ÷àñòè A ∈ Part(C), ÷òî íåâîçìîæíî.
2) Ïî ïóíêòó 4 òåîðåìû 1.7 ìû èìååì A ∈ Part(Sab ). Ïóñòü a ∈ Int(A).
Òîãäà NG (a) \ {b} ⊂ A.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ax ∈ Ek+1 , x 6= b. Ïî ñëåäñòâèþ 2.6 ìû çíàåì, ÷òî
x∈
/ Bound(A). Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ Int(A). Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçðåç Sax ,
ïóñòü x ∈ X ∈ Part(Sax ). Òîãäà Int(X) ∩ Int(A) 3 x, íî Int(X) 63 a. Èç
íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ Sax è Sab ñëåäóåò, ÷òî X ( A, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
ïóíêòó 3 òåîðåìû 1.7.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
111
Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíà a ñìåæíà ñ k âåðøèíàìè ÷àñòè A è âñå ýòè
âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü k . Òàê êàê Sab ñîäåðæèò íå áîëåå k − 1 âåðøèíû,
õîòÿ áû îäíà èç ñìåæíûõ ñ a âåðøèí ñòåïåíè k ëåæèò â Int(A).
Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ðàçäåëà áóäåò ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.4.
Ìû áóäåì âåñòè ðàçãîâîð î ìèíèìàëüíîì k -ñâÿçíîì ãðàôå G è èñïîëüçîâàòü äëÿ íåãî îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â íà÷àëå ãëàâû.
Ïîñêîëüêó ãðàô G ìèíèìàëåí, òî äëÿ êàæäîãî ðåáðà e ∈ Ek+1 ñóùåñòâóåò
ðàçðåç, ñîäåðæàùèé e è k − 1 âåðøèíó. Ïóñòü R ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ
ðàçðåçîâ.
Èçó÷èì ñâîéñòâà ðàçðåçîâ èç R.
2.3.1
Õîðîøèå è ïëîõèå ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ
Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé.
Çàìå÷àíèå 2.9.
Îòìåòèì, ÷òî íà ýòîò ðàç, èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè ðàáîòû
ñ k -ñâÿçíûìè ãðàôàìè ïðè k ≤ 5, ìû îïðåäåëèì êðèâûå è íîðìàëüíûå
ðàçðåçû èíà÷å, ÷åì ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k â ðàçäåëå 2.1.3.
Îïðåäåëåíèå 2.7.
1) Íàçîâåì ðàçðåç S ∈ R êðèâûì, åñëè ñóùåñòâóåò
÷àñòü A ∈ Part(R) ñ |Int(A)| ≤ 2 è íîðìàëüíûì, åñëè òàêîé ÷àñòè íå
ñóùåñòâóåò.
2) Íàçîâåì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëî-
õîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S), ÷òî Int(A) ⊂ T .
3) Íàçîâåì íåóïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøåé, åñëè
îáå óïîðÿäî÷åííûå ïàðû (S, T ) è (T, S) íå ÿâëÿþòñÿ ïëîõèìè.
Äëÿ ïàðû çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ (2.2).
Ìû äîêàæåì äâå òåõíè÷åñêèå ëåììû, â öåëîì àíàëîãè÷íûå ëåììå 2.4, íî
ó÷èòûâàþùèå ñïåöèôèêó ðàáîòû ñ êðèâûìè ðàçðåçàìè.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
Ëåììà 2.19.
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
112
Ïóñòü ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ S, T èç R õîðîøàÿ,
ðåáðî b1 b2 ∈ T íå ïðèíàäëåæèò ðàçðåçó S . Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå
i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü Int(G1,1 ) 6= ∅, Int(G2,2 ) 6= ∅. Òîãäà èç ëåììû 2.1
ñëåäóåò, ÷òî |R1,1 | = k = |R2,2 |. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî
R1,1 ∪ R2,2 = S ∪ T.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì b1 b2 ∈ R1,1 . Òîãäà ðàçðåç R1,1 íàì ïîäõîäèò.
Ñëó÷àé Int(G1,2 ) 6= ∅, Int(G2,1 ) 6= ∅ ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü óñëîâèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àåâ íå âûïîëíåíû. Òîãäà íå
óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
Int(G1,1 ) = Int(G1,2 ) = ∅ èëè Int(G1,1 ) = Int(G2,1 ) = ∅.
 ïåðâîì ñëó÷àå Int(F1 ) = T1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (S, T ) ïëîõàÿ. Âî
âòîðîì ñëó÷àå Int(H1 ) = S1 , ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (T, S) ïëîõàÿ.  îáîèõ
ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå.
Ëåììà 2.20.
Ïóñòü k ≤ 5, à ïàðà çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ (S, T ) èç R ïëîõàÿ. Ïóñòü a1 a2 ∈ S è b1 b2 ∈ T ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Òîãäà
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1◦ Ðàçðåç S êðèâîé, à ðàçðåç T íîðìàëüíûé.
2◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå i, j ∈ {1, 2}, ÷òî Ri,j 3 b1 b2 ðàçðåç.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Int(F1 ) ⊂ T ,
òî åñòü, Int(F1 ) = T1 . Òîãäà îäèí èç êîíöîâ ðåáðà a1 a2 ∈ S ëåæèò â T1 .
Ïóñòü a1 ∈ T1 (ñì. ðèñóíîê 2.23a). Îòìåòèì, ÷òî dG (a1 ) ≥ k + 1 è âñå âåðøèíû, ñìåæíûå ñ a1 , ëåæàò â T1 ∪V (S)∪{a2 }. Ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | = t ≥ 2.
Áîëåå òîãî,
ðàçðåçà S .
âåðøèíà a1 ìîæåò áûòü íåñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ t−2 âåðøèíàìè
Òàê êàê T = T1 ∪ T2 ∪ P ∪ {b1 b2 }, ìû èìååì
|T2 |+|P | = k−t−1 è |R2,1 |+|R2,2 | = |S|+2(|T2 |+|P |+|{b1 b2 }|) ≤ 3k−2t.
(2.12)
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
113
ÃÐÀÔÛ
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
1.
t = 2.
Òîãäà a1 ñìåæíà ñî âñåìè k − 1 âåðøèíàìè ðàçðåçà S . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
b1 ∈ S (ñì. ðèñóíîê 2.23b). Òîãäà a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R.
Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ b1 . Èç a1 a2 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî
a2 ∈
/ S , à çíà÷èò, b1 6= a2 . Òîãäà |Int(A)| < |Int(F1 )| = 2 ïî ëåììå 2.2, à
çíà÷èò, Int(A) = {b1 }. Ñëåäîâàòåëüíî, dG (b1 ) ≤ k , ïðîòèâîðå÷èå.
Çíà÷èò, b1 ∈
/ S è, àíàëîãè÷íî, b2 ∈
/ S . Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
b1 ∈ Int(G2,1 ) è b2 ∈ Int(G2,2 )
(ñì. ðèñóíîê 2.23a).  ýòîì ñëó÷àå |R2,1 | ≥ k è |R2,2 | ≥ k . Èç k ≤ 5 è
íåðàâåíñòâà (2.12) ñëåäóåò, ÷òî |R2,1 | = k èëè |R2,2 | = k (ïóñòü âûïîëíåíî
ïåðâîå ðàâåíñòâî). Òîãäà R2,1 ∈ R ðàçðåç, ñîäåðæàùèé ðåáðî b1 b2 . Òàêèì
îáðàçîì, R2,1 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ïóíêòà 2.
S
G 2,1
0
a2 S1
b
b1
b
T2
b
b2
T1
0
P
G 2,2
b
a1
T
a
S2
S
b1
0
b
a2 S1
G 2,1
b
b
a1
T
T1
0
P
T2
S2
G 2,2
b
S
b1
0
b
S1
0
b
a1
G 2,2
T1
0
P
T2
T
b
a2
S2
c
Ðèñ. 2.23: Ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Òàê êàê |Int(F1 )| = 2, ðàçðåç S êðèâîé. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ðàçðåç T íîðìàëåí. Äîêàæåì, ÷òî |Int(H1 )| ≥ 3. Êàê ìû çíàåì, b1 ∈ Int(G2,1 )
è dG (b1 ) ≥ k + 1. Íå áîëåå äâóõ ð¼áåð ìîæåò âûõîäèòü èç b1 â âåðøèíû
íå èç G2,1 : ýòî ðåáðî b1 b2 è, â ñëó÷àå, êîãäà a2 = b1 , ðåáðî b1 a1 . Ó÷èòûâàÿ
ñàìó âåðøèíó b1 , ïîëó÷àåì |G2,1 | ≥ k . Ïðè ýòîì,
|G2,1 ∩ T | = |T2 ∪ P | ≤ k − 3
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
114
ïî íåðàâåíñòâó (2.12). Çíà÷èò, |Int(H1 )| ≥ |G2,1 \ T | ≥ 3. Àíàëîãè÷íî,
|Int(H2 )| ≥ 3 è ðàçðåç T íîðìàëåí.
2.
t ≥ 3.
Ïî íåðàâåíñòâó (2.12), òîãäà |R2,1 | + |R2,2 | < 2k , à çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî |R2,1 | < k .  ýòîì ñëó÷àå Int(G2,1 ) = ∅ è Int(H1 ) = S1 . Òîãäà îäèí èç
êîíöîâ ðåáðà b1 b2 ëåæèò â S1 , ïóñòü ýòî b1 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíû b1 è a1 ñìåæíû (ñì. ðèñóíîê 2.23c). Òîãäà
a1 b1 ∈ Ek+1 , ñëåäîâàòåëüíî, a1 b1 ∈ T 0 ∈ R. Ïóñòü A ∈ Part(T 0 ) ÷àñòü,
ñîäåðæàùàÿ b1 . Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 1, èç b1 ∈ S ñëåäóåò, ÷òî b1 6= a2 .
Òîãäà ïî ëåììå 2.2 ìû èìååì |Int(A)| < |Int(H1 )|. Êàê äîêàçûâàëîñü âûøå,
|Int(A)| ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, |S1 | = |Int(H1 )| ≥ 3.
Ïóñòü âåðøèíû b1 è a1 íåñìåæíû. Òàê êàê dG (b1 ) ≥ k+1, à âñå âåðøèíû,
ñìåæíûå ñ b1 , ëåæàò â S1 ∪ (V (T ) ∪ {b2 }), ìû è â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì
|S1 | ≥ 3.
Ìíîæåñòâî R2,2 âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåðøèíû èç P , S2 , T2 è íå áîëåå ÷åì
äâà ðåáðà. Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ,
|R2,2 | ≤ (|S2 | + |P | + 1) + (|T2 | + 1) ≤ (k − |S1 |) + (k − |T1 |) ≤ 2k − 6 < k,
à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà b2 ∈ S2 è àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå
ìû èìååì |S2 | ≥ 3, ÷òî íåâîçìîæíî.
2.3.2
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4
Îïèøåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ
ðàçðåçîâ. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà ñ÷åò÷èêà p è q . Èçíà÷àëüíî ïîëîæèì
p = q = 0.
Øàã àëãîðèòìà.
1. Âûáîð ðåáðà
e.
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
115
Ïóñòü ïåðåä øàãîì èìåþòñÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàçðåçû: êðèâûå K1 ,
. . . , Kp è íîðìàëüíûå N1 , . . . , Nq (åñëè p = 0 èëè q = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçðåçîâ íåò). Ïóñòü ei ∈ Ki , fj ∈ Nj , ïðè÷åì e1 ,. . . , ep , f1 , . . . , fq ðàçëè÷íûå ð¼áðà èç Ek+1 . Ïîëîæèì
S = {K1 , . . . , Kp , N1 , . . . , Nq },
E 0 = Ek+1 \ {e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq }.
Ðàññìîòðèì ðåáðî e ∈ E 0 , ïóñòü e ∈ T ∈ R. Ïîëîæèì S0 = ∅. Ìû áóäåì
ïî î÷åðåäè ðàññìàòðèâàòü ðàçðåçû èç S, ñîâåðøàòü ñ íèìè ïîñëåäóþùèå
øàãè, èçìåíÿþùèå ðàçðåç T , ïîñëå ÷åãî äîáàâëÿòü ðàcñìîòðåííûé ðàçðåç
â ìíîæåñòâî S0 .
Ïåðåéäåì ê
âûáîðó ðàçðåçà S .
2. Âûáîð ðàçðåçà
S.
Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî âûáåðåì ëþáîé ðàçðåç S ∈ S \ S0 (åñëè
îí ñóùåñòâóåò). Åñëè ðàçðåç T êðèâîé, òî âûáåðåì ëþáîé êðèâîé ðàçðåç
S ∈ S \ S0 (åñëè îí ñóùåñòâóåò).  ñëó÷àÿõ, êîãäà íåâîçìîæíî âûáðàòü
ðàçðåç S , ìû ïåðåéäåì ê
îêîí÷àíèþ øàãà àëãîðèòìà.
Ïóñòü ìû ñìîãëè âûáðàòü ðàçðåç S . Åñëè ðàçðåçû S è T íåçàâèñèìû,
âûáîðó ñëåäóþùåãî ðàçðåçà S . Åñëè
ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, òî ìû ïåðåéäåì ê ïðåîáðàçîâàíèþ ðàçðåçà T .
òî ìû ïîìåñòèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê
3. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàçðåçà
T.
Ïóñòü
Part(T ) = {H1 , H2 },
Part(S) = {F1 , F2 },
Gi,j = Fi ∩ Hj .
Ïî âûáîðó ðàçðåçà S , óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ðàçðåçîâ (S, T ) íå ÿâëÿåòñÿ
ïëîõîé. Òîãäà ïî ëåììàì 2.19, 2.20 è 2.5 ñóùåñòâóåò òàêîé ðàçðåç R 3 e,
÷òî îäíà èç ÷àñòåé Part(R) ýòî Gα,β , à äðóãàÿ ÷àñòü U ëèáî Gα,β ,
ëèáî Gα,β ∪ {a}, ãäå a êîíåö ðåáðà e = ab, ëåæàùèé â Gα,β .
Äîêàæåì, ÷òî R íåçàâèñèì ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçðåçîì S 0 ∈ S0 . Ïóñòü
Part(S 0 ) = {D1 , D2 }. Òàê êàê ðàçðåçû S è S 0 íåçàâèñèìû, ðàçðåçû T è S 0
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
116
ÃÐÀÔÛ
íåçàâèñèìû, à ðàçðåçû S è T çàâèñèìû, ïî ëåììå 1.9 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
F 1 ⊃ D2 ,
F2 ⊂ D1 ,
H1 ⊃ D2 ,
(2.13)
H2 ⊂ D1 .
Ðàçáåðåì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
a.
α = 2.
Òîãäà G2,β ⊂ F2 ⊂ D1 è U ⊃ F1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24a), òî åñòü, R è S 0
íåçàâèñèìû.
R
R
T
b
F2
b
b
G 2,1
b
H2
S’ D
2
G 2,2
H2
G 1,2
b
b
T
b
S’
D2
b
S
a
a
G1,1
S’ D2
T
S
b
S
b
F2
R
c
Ðèñ. 2.24: Ðàçðåçû S , S 0 è T .
b.
α = 1. Ðàçáåðåì äâà ïîäñëó÷àÿ.
b1.
β = 2.
Òîãäà Gα,β = G1,2 ⊂ H2 ⊂ D1 è U ⊃ H1 ⊃ D2 (ñì. ðèñóíîê 2.24b), ÷òî
îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R.
b2.
β = 1.
 ñèëó (2.13), ìû èìååì D1 ⊃ H2 ∪ F2 = G1,1 (ñì. ðèñóíîê 2.24c). Òàê
êàê T è S 0 íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð, ïî ïóíêòó 2 ëåììû 1.10 ìû èìååì
D1 ⊃ W (T ) 3 a. Çíà÷èò, D1 ⊃ G1,1 ∪ {a} ⊃ U .
Èç D1 ⊃ F2 è íåçàâèñèìîñòè ðàçðåçîâ S è S 0 ñëåäóåò D2 ∩ Int(F2 ) = ∅.
Çíà÷èò, D2 ⊂ H1 \ Int(F2 ) = G1,1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè íåçàâèñèìîñòü ðàçðåçîâ S 0 è R.
Ïîëîæèì T = R, äîáàâèì S â S0 è âåðíåìñÿ ê
ðàçðåçà S .
âûáîðó ñëåäóþùåãî
ÃËÀÂÀ 2. ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÅ
k -ÑÂßÇÍÛÅ
ÃÐÀÔÛ
117
4. Îêîí÷àíèå øàãà àãîðèòìà.
Åñëè ðàçðåç T íîðìàëüíûé, òî ðàññìîòðåíû âñå ðàçðåçû èç S è T c
íèìè íåçàâèñèì. Òîãäà ïîëîæèì Nq+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò ðàçðåç â S è
ïîëîæèì q = q + 1.
Ïóñòü ðàçðåç T êðèâîé. Òîãäà ðàññìîòðåíû âñå êðèâûå ðàçðåçû èç S
è T ñ íèìè íåçàâèñèì.  ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì Kp+1 = T , ïîìåñòèì ýòîò
ðàçðåç â S è ïîëîæèì p = p + 1. Êðîìå òîãî, ïîëîæèì q = 0 è óäàëèì âñå
ðàçðåçû N1 , . . . , Nq èç S.
Âåðíåìñÿ ê
âûáîðó ñëåäóþùåãî ðåáðà e.
Íà ýòîì îïèñàíèå øàãà àëãîðèòìà çàêîí÷åíî.
 ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ êàæäîãî øàãà àëãîðèòìà ëèáî óâåëè÷èòñÿ p, ëèáî p íå èçìåíèòñÿ è ïðè ýòîì óâåëè÷èòñÿ q . Ïîýòîìó àëãîðèòì îáÿçàòåëüíî çàêîí÷èò ðàáîòó, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ èñêîìîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî
íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ.
Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.4 çàêîí÷åíî.
Ãëàâà 3
Ãèïåðäåðåâî è òåîðåìà ðàçáèåíèÿ
 ýòîé ãëàâå ìû äîêàæåì òåîðåìó î ðàçáèåíèè àáñòðàêòíîå óòâåðæäåíèå î ñòðóêòóðå, îáîáùàþùåé ñâîéñòâà ìíîæåñòâà òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà.
3.1
Ãèïåðãðàô è ãèïåðäåðåâî
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ ãèïåðãðàôà è ãèïåðäåðåâà.
Äëÿ ãèïåðãðàôà H ìû áóäåì ïðèìåíÿòü òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ êàê è
äëÿ ãðàôà: ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåððåáåð áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç V (H)
è E(H) ñîîòâåòñòâåííî. Ãëàâíîå îòëè÷èå ãèïåðãðàôà îò îáû÷íîãî ãðàôà
â òîì, ÷òî ãèïåððåáðî ýòî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî V (H), ñîñòîÿùåå
õîòÿ áû èç äâóõ âåðøèí. Ïîýòîìó óäîáíî îïåðèðîâàòü ñ ãèïåðð¼áðàìè êàê
ñ ìíîæåñòâàìè âåðøèí ãðàôà.
Äëÿ âåðøèíû v ∈ V (H) ïóñòü dH (v) åå ñòåïåíü â ãèïåðãðàôå H , òî
åñòü, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõ v ãèïåððåáåð.
Äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí X ⊂ V (H) îïðåäåëèì ãèïåðãðàô H − X ñëåäóþùèì îáðàçîì: V (H − X) = V (H) \ X , à E(H − X) ñîñòîèò èç âñåõ
ìíîæåñòâ âèäà R \ X (ãäå R ∈ E(H )), ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû äâå âåðøèíû.
Îïðåäåëåíèå 3.1.
1) Áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
118
ðàçëè÷íûõ âåð-
ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ
119
øèí a1 a2 . . . ak ïóò¼ì, åñëè ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðà e1 , e2 , . . . , ek−1 òàêèå,
÷òî ai , ai+1 ∈ ei .
2) Åñëè, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî ek 3 ak , a1 , òî ìû íàçîâåì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ðàçëè÷íûõ âåðøèí a1a2 . . . ak öèêëîì
3) Ãèïåðãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû ñâÿ-
çàíû, òî åñòü, ñîåäèíåíû ïóò¼ì.
4) Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è
êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâa ïîïàðíî ñâÿçàííûõ âåðøèí.
Ãëàâà 3 íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðäåðåâà è èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ.
Îïðåäåëåíèå 3.2.
Ïóñòü H ãèïåðãðàô.
1) Áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàô H ãèïåðäåðåâîì, åñëè îí ñâÿçåí, íè îäíî
åãî ãèïåððåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî è äëÿ ëþáîãî öèêëà
â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî, ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû.
2) Íàçîâåì âåðøèíó v ãèïåðäåðåâà H êðàéíåé, åñëè ãðàô H − v ñâÿçåí.
3) Ïî ãèïåðãðàôó H ïîñòðîèì äâóäîëüíûé ãðàô T (H), âåðøèíû îäíîé
äîëè êîòîðîãî âåðøèíû H , à âåðøèíû äðóãîé äîëè ãèïåððåáðà H .
Ãèïåððåáðî R ñîåäèíèì ñî âñåìè âåðøèíàìè, êîòîðûå îíî ñîäåðæèò.
Ãèïåðäåðåâî èìååò ìíîæåñòâî ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì îáû÷íîãî äåðåâà.
Òåîðåìà 3.1.
Ïóñòü H ãèïåðäåðåâî. Òoãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô T (H) äåðåâî.
2) Íèêàêèå äâà ãèïåððåáðà H íå èìåþò äâóõ îáùèõ âåðøèí.
3) Ïóñòü a ∈ V (H). Òîãäà dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò
ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W ãèïåðãðàôà H−a ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî R ∈ E(H),
ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ
120
ñîäåðæàùåå a è âåðøèíû èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ñîäåðæèò âåðøèí
äðóãèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a.
4) Êðàéíèå âåðøèíû ãèïåðäåðåâà H ýòî â òî÷íîñòè âñå åãî âåðøèíû, èìåþùèå còåïåíü 1.
5) Åñëè v(H) ≥ 2, òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà T (H) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êðàéíèõ âåðøèí ãèïåðäåðåâà H .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ñâÿçíîñòü T (H) î÷åâèäíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðà-
ôå T (H) åñòü ïðîñòîé öèêë a1 . . . an . Ïóñòü ãèïåðð¼áðà R1 , . . . , Rn òàêîâû,
÷òî Ri 3 ai , ai+1 (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1) è
Rk0 = Rk \
k−1
[
!
Ri ∪ {a1 , . . . , an } .
i=1
Âûïèøåì âåðøèíû â òàêîì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà âñå âåðøèíû èç R10 , çàòåì a1 ,
çàòåì âñå âåðøèíû èç R20 , çàòåì a2 , . . . , çàòåì âñå âåðøèíû èç Rn0 è, íàêîíåö, an . Ìû ïîëó÷èëè öèêë â ãèïåðäåðåâå H , ñîäåðæàùèé âñå âåðøèíû
ãèïåððåáåð R1 , . . . , Rn , à çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ãèïåððåáðî R, ñîäåðæàùåå
âñå âåðøèíû ýòîãî öèêëà. Íî òîãäà R ) R1 , ÷òî íåâîçìîæíî.
2) Åñëè îáà ãèïåððåáðà E1 è E2 ñîäåðæàò âåðøèíû a è b, òî â ãðàôå T (H) åñòü öèêë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 1.
3) Òàê êàê H ñâÿçíûé ãèïåðãðàô, òî ñóùåñòâóåò åãî ãèïåððåáðî,
ñîäåðæàùåå a è íåñêîëüêî âåðøèí èç W . Ýòî ãèïåððåáðî íå ìîæåò ñîäåðæàòü âåðøèíû, îòëè÷íûå îò a è íå âõîäÿùèå â W (èíà÷å W íå áûëà áû
êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a).
Ïóñòü ñóùåñòâóåò äâà òàêèõ ãèïåððåáðà E1 è E2 . Òîãäà E1 ∩ E2 = {a}
ïî ïóíêòó 2. Ðàññìîòðèì âåðøèíû b1 ∈ E1 \ {a} è b2 ∈ E2 \ {a}. Òàê
êàê b1 , b2 ∈ W , ñóùåñòâóåò òàêîé ïðîñòîé ïóòü P îò b1 äî b2 , ÷òî âñå åãî
ãèïåððåáðà ñîäåðæàò òîëüêî âåðøèíû èç W . Çíà÷èò, â T (H) ñóùåñòâóåò íå
ïðîõîäÿùèé ÷åðåç a ïóòü îò b1 äî b2 . Äîáàâèâ ê ýòîìó ïóòè ãèïåððåáðî E2 ,
âåðøèíó a è ãèïåððåáðî E1 , ìû ïîëó÷èì öèêë â T (H), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ
121
ïóíêòó 1. Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî dH (a) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà H − a.
4) Ïðÿìîå ñëåäñòâèå ïóíêòà 3.
5) Ïóñòü a âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà T (H), à b åäèíñòâåííàÿ ñìåæíàÿ ñ íåé âåðøèíà. Åñëè a ñîîòâåòñòâóåò ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà H ,
òî R = {b}. Îäíàêî, ïî îïðåäåëåíèþ ãèïåðãðàôà äîëæíî áûòü |R| ≥ 2,
ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, a ∈ V (H) è ïî ïóíêòó 4 î÷åâèäíî, ÷òî ýòà âåðøèíà êðàéíÿÿ.
Íàîáîðîò, ïóñòü a êðàéíÿÿ âåðøèíà ãèïåðäåðåâà H . Ïî ïóíêòó 4,
îíà âõîäèò ðîâíî â îäíî ãèïåððåáðî R, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé â äåðåâå T (H).
3.2
Ãèïåðäåðåâî
Struct(V )
Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí V . Ïóñòü êàæäîé âåðøèíå w ∈ V
ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå Vw ìíîæåñòâà V \ {w} íà íåñêîëüêî êëàññîâ (âîçìîæíî, òàêîé êëàññ âñåãî îäèí). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåðøèíà w ðàçäåëÿåò
âåðøèíû v1 è v2 , åñëè v1 è v2 ëåæàò â ðàçíûõ êëàññàõ Vw .
Íàçîâåì âåðøèíû v1 , v2 ∈ V ñîñåäíèìè, åñëè èõ íå ðàçäåëÿåò íèêàêàÿ
îòëè÷íàÿ îò íèõ âåðøèíà ìíîæåñòâà V . Ïîñòðîèì ãèïåðãðàô ðàçáèåíèÿ
Struct(V ) íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V , ãèïåððåáðà êîòîðîãî ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâà ïîïàðíî ñîñåäíèõ âåðøèí.
Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâà âåðøèí è ãèïåðãðàôà ðàçáèåíèÿ, ïîêàçûâàþùèé, êàêîå îòíîøåíèå ýòà êîíñòðóêöèÿ èìååò ê òåîðèè ñâÿçíîñòè.
Ïóñòü F ñâÿçíûé ãðàô, R1 (F ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ,
à äëÿ êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a ∈ R1 (F ) êëàññû ðàçáèåíèÿ (R1 (F ))a
ñîñòîÿò èç òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, ëåæàùèõ â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà F − a. Èìåííî êëàññè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê
ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà ïîäñêàçûâàåò íàì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.2.
ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ
Òåîðåìà 3.2.
122
Ïóñòü äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ V åñëè a ðàçäåëÿåò b è c, òî b
íå ðàçäåëÿåò a è c. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì.
2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé âåðøèíû a ∈ V ãèïåðãðàô Struct(V )−a ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè W1 , . . . , W` . Òîãäà Va = {W1 , . . . , W` }.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1)
a.
Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí, ÷òî
ñóùåñòâóþò òàêèå âåðøèíû a, b ∈ V , äëÿ êîòîðûõ |Va | = |Vb | = 1. Áàçà
äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ âåðøèí, î÷åâèäíà.
Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó c ∈ V , ïóñòü V 0 = V \ {c}. Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ñóùåñòâóþò òàêèå äâå âåðøèíû a, b ∈ V 0 , ÷òî |Va0 | = |Vb0 | = 1. Åñëè
|Va | = |Vb | = 1, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Va | > 1. Òîãäà âåðøèíà a ðàçäåëÿåò V 0 \ {a} 3 b
è c, ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà b íå ìîæåò ðàçäåëÿòü a è c, à ýòî îçíà÷àåò,
÷òî |Vb | = 1. Äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V 0 \ {a} âåðøèíà a ðàçäåëÿåò c è x,
ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèíà c íå ðàçäåëÿåò a è x. Òàêèì îáðàçîì, |Vc | = 1. Â
ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû b è c íàì ïîäõîäÿò.
b.
Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó âåðøèí â ìíîæåñòâå V ñâÿçíîñòü
ãðàôà Struct(V ). Áàçà äëÿ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî íå áîëåå ÷åì èç òðåõ
âåðøèí, î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì âåðøèíû a, b ∈ V òàêèå, ÷òî
|Va | = |Vb | = 1.
Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ãèïåðãðàô Struct(V \{a}) ñâÿçåí. Òàê
êàê |Va | = 1, òî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {a} ñâÿçàíû è â ãèïåðãðàôå Struct(V ). Ïî àíàëîãè÷íûì ïðè÷èíàì, âåðøèíû ìíîæåñòâà V \ {b}
ñâÿçàíû â Struct(V ), ÷òî îçíà÷àåò ñâÿçíîñòü ãèïåðãðàôà Struct(V ).
c.
Ïóñòü a1 a2 . . . ak ïóòü â ãèïåðãðàôå Struct(V ), à âåðøèíà b íå
ëåæèò íà íåì. Òîãäà b íå ðàçäåëÿåò ïàðû âåðøèí a1 è a2 ,. . . , ak−1 è ak .
Ñëåäîâàòåëüíî, b íå ðàçäåëÿåò a1 è ak .
ÃËÀÂÀ 3. ÃÈÏÅÐÄÅÐÅÂÎ È ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÐÀÇÁÈÅÍÈÈ
123
Èç ýòîãî ôàêòà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, âõîäÿùèå â
êàêîé-ëèáî öèêë ãðàôà Struct(V ), íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêîé îòëè÷íîé îò íèõ âåðøèíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû öèêëà ïðèíàäëåæàò
îäíîìó ãèïåððåáðó. Òàêèì îáðàçîì, ãðàô Struct(V ) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì.
W1
W2
w2
w1 a
w3
W3
w4
b
b
b
b
b
W4
Ðèñ. 3.1: Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè Struct(V ) − a.
2) Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Wi . Èç äîêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî a íå
ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Wi , ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi
ëåæàò â îäíîì êëàññå ðàçáèåíèÿ Va .
Ðàññìîòðèì äâå ðàçíûõ êîìïîíåíòû Wi è Wj è âûáåðåì â íèõ ñìåæíûå
ñ a âåðøèíû wi è wj ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 3.1). Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ
îò wi , wj , a âåðøèíà íå ìîæåò ðàçäåëèòü ïàðû ñìåæíûõ âåðøèí {wi , a}
è {wj , a}. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçäåëèòü âåðøèíû wi è wj ìîæåò òîëüêî a.
Ïîñêîëüêó wi è wj íå ïðèíàäëåæàò îäíîìó ãèïåððåáðó, òî a èõ ðàçäåëÿåò,
ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç Wi ëåæàò â îäíîì êëàññå Va , à âñå âåðøèíû
èç Wj â äðóãîì.
Ãëàâà 4
Êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè
 ãëàâå 1 áûëè ïîñòðîåíû ñòðóêòóðíûå äåðåâüÿ äëÿ ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî
ãðàôà íàáîðîì èç ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ èëè ðàçðåçîâ è èçó÷àëèñü ñâîéñòâà òàêèõ äåðåâüåâ. Îäíàêî, k -ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå ìîãóò áûòü çàâèñèìû.  ýòîé ãëàâå ìû ðàçîáüåì
íàáîð ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ S ⊂ Rk (G) íà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè è
èçó÷èì ñòðóêòóðó èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ðàçáèåíèè.
Îïðåäåëåíèå 4.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G).
1) Ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(S) íàáîðà S ýòî ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì íàáîðà, à äâå âåðøèíû ñìåæíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìíîæåñòâà çàâèñèìû.
2) Áóäåì íàçûâàòü êîìïîíåíòîé çàâèñèìîñòè íàáîðà S ëþáîé íàáîð T ⊂ S, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì
îäíîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S).
3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Comp(S) ìíîæåñòâî âñåõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè
íàáîðà S.
124
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
4.1
125
Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ëåììû
Ïåðåä îñíîâíûìè òåîðåìàìè ðàçäåëà íàì íåîáõîäèìî äîêàçàòü íåñêîëüêî
ëåìì.
Ëåììà 4.1.
Ïóñòü íàáîðû S1 , . . . , Sn ⊂ Rk (G) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþò-
ñÿ, S = ∪ni=1 Si . Ðàññìîòðèì âñå ìíîæåñòâà âåðøèí âèäà
A=
n
\
Ai ,
(4.1)
i=1
ãäå Ai ∈ Part(Si ). Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ëþáàÿ ÷àñòü A ∈ Part(S) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1).
2) Èç âñåõ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà G, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå (4.1),
÷àñòÿìè Part(S) ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûìè ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà.
3) Åñëè ìíîæåñòâî âåðøèí A ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.1) è A 6∈ Part(S),
òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïóñòü A ∈ Part(S). Äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, 2, . . . , n}
íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Si íå ðàçäåëÿåò A, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò
÷àñòü Ai ∈ Part(Si ), ñîäåðæàùàÿ A. Ïóñòü
0
A =
n
\
Ai .
i=1
Âêëþ÷åíèå A ⊂ A0 î÷åâèäíî. Ïîíÿòíî, ÷òî íèêàêîå ìîæåñòâî íàáîðà S
íå ðàçäåëÿåò A0 , ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S),
÷òî A0 ⊂ B . Òàêèì îáðàçîì, A ⊂ A0 ⊂ B , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî A = A0 = B .
2) Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ V (G), ïðåäñòàâèìîå â âèäå (4.1) ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî âèäà. Òîãäà A íåâîçìîæíî
ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S. Åñëè A 6∈ Part(S), òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ïî ïóíêòó 1 ÷àñòü B òàêæå
ïðåäñòàâèìà â âèäå (4.1). Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ A.
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
126
Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå A â âèäå (4.1) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî A íå ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ òàêîãî
âèäà. Ïóñòü ìíîæåñòâî B ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (4.1) è A ( B . Òîãäà B
íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì èç íàáîðà S, ñëåäîâàòåëüíî, A íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S). Ïðîòèâîðå÷èå.
3) Ïóñòü A 6∈ Part(S) è
A=
n
\
Ai ãäå Ai ∈ Part(Si ).
i=1
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî B ) A. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå
B=
n
\
Bi ,
ãäå Bi ∈ Part(Si ).
i=1
Òàê êàê B 6= A, òî Aj 6= Bj äëÿ êàêîãî-òî j . Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ Aj ∩ Bj ,
à òàêîå ïåðåñå÷åíèå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Sj .
Ëåììà 4.2.
Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ R(G) íå ïåðåñåêàþòñÿ, à ÷àñòü
A ∈ Part(S) òàêîâà, ÷òî íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T åå íå ðàçäåëÿåò. Òîãäà A ∈ Part(S ∪ T).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S ∪ T íå ðàçäåëÿåò A,
ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S ∪ T), ÷òî A ⊂ B . Êðîìå òîãî,
î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò ñîäåðæàùàÿ B ÷àñòü A0 ∈ Part(S). Òàêèì îáðàçîì,
A ⊂ B ⊂ A0 , îòêóäà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî A = B = A0 .
Ñëåäóþùàÿ ëåììà õàðàêòåðèçóåò ãðàíèöó ÷àñòè ðàçáèåíèÿ k -ñâÿçíîãî
ãðàôà íàáîðîì k -âåðøèííûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ.
Ëåììà 4.3.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G) è A ∈ Part(S).
Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Âåðøèíà x ∈ Int(A) íå ñìåæíà íè ñ îäíîé èç âåðøèí ìíîæåñòâà V (G) \ A. Ãðàíèöà Bound(A) ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ÷àñòè A,
èìåþùèõ ñìåæíûå âåðøèíû â V (G) \ A.
127
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
2) Åñëè Int(A) 6= ∅, òî Bound(A) îòäåëÿåò Int(A) îò V (G) \ A.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïóñòü âåðøèíà x
∈
A ñìåæíà ñ âåðøèíîé
y ∈ V (G) \ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S ∈ S, îòäåëÿþùåå y îò A 3 x,
ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ Bound(A).
Íàîáîðîò, ïóñòü x ∈ Bound(A). Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x ∈ S ∈ S.
×àñòü A ∈ Part(S) ñîäåðæèòñÿ â îäíîé èç ÷àñòåé Part(S). Èç |Part(S)| ≥ 2
ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü B ∈ Part(S), ÷òî Int(B) ⊂ V (G) \ A.
Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé
âåðøèíîé èç Int(B), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå.
2) Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïóíêòà 1.
Ëåììà 4.4.
1) Ïóñòü S, T ∈ Rk (G) è ÷àñòü A ∈ Part(S) òàêîâû,
÷òî T ∩ Int(A) = ∅. Òîãäà S è T íåçàâèñèìû, ïðè÷åì T íå ðàçäåëÿåò
÷àñòü A.
2) Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ÷àñòü A ∈ Part(S)
ñîäåðæèò T . Òîãäà â Part(T ) åñòü ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ âñå îòëè÷íûå
îò A ÷àñòè èç Part(S), à âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè A.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô ãðàôà G íà ìíîæåñòâå âåð-
øèí Int(A) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà S = Bound(A) ñìåæíà
õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç Int(A) è T ∩ Int(A) = ∅. Ïîýòîìó âñå âåðøèíû èç A \ T ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà G − T , òî åñòü, T
íå ðàçäåëÿåò A è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ðàçäåëÿåò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû.
2) Ïî ïóíêòó 1, ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò íèêàêîé îòëè÷íîé îò A ÷àñòè èç Part(S). Ïîñêîëüêó S \ T 6= ∅, âñå ýòè ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ â îäíîé
÷àñòè èç Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå îñòàëüíûå ÷àñòè Part(T ) ïîäìíîæåñòâà ÷àñòè A.
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
Îïðåäåëåíèå 4.2.
128
Íàçîâåì íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìûìè, åñëè
îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è ëþáûå äâà ìíîæåñòâà S ∈ S è T ∈ T íåçàâèñèìû.
Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáûå äâå êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè íàáîðà S íåçàâèñèìû.
Ëåììà 4.5.
Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, à ãðàô çàâèñè-
ìîñòè Dep(S) ñâÿçåí. Òîãäà âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ëåæàò â îäíîé
÷àñòè A ∈ Part(T), à íèêàêàÿ äðóãàÿ ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò íè
îäíîãî ìíîæåñòâà íàáîðà S.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî T ∈ T. Òàê êàê T
è ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S íåçàâèñèìû, òî S ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé
÷àñòè èç Part(T ). Ïóñòü ìíîæåñòâà S1 , S2 ∈ S ëåæàò â ðàçíûõ ÷àñòÿõ
A1 , A2 ∈ Part(T ), ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê 4.1). Òîãäà S2 ∩Int(A1 ) = ∅,
ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S2 íå ðàçäåëÿåò ÷àñòü A1 , à çíà÷èò
è ìíîæåñòâî S1 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâà S1 è S2 íåçàâèñèìû.
A1
S1
T
S2
A2
Ðèñ. 4.1: Ìíîæåñòâà S1 è S2 èç ðàçíûõ ÷àñòåé Part(T ).
Îòñþäà â ñèëó ñâÿçíîñòè ãðàôà çàâèñèìîñòè Dep(S) ñëåäóåò, ÷òî âñå
ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè èç Part(T ). Òàê êàê ýòî
óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà T ∈ T, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü
A ∈ Part(T), ñîäåðæàùàÿ âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòëè÷íàÿ îò A ÷àñòü B ∈ Part(T), ñîäåðæèò ìíîæåñòâî S ∈ S. Òîãäà S ⊂ A ∩ B , íî ïåðåñå÷åíèå A ∩ B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà T, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå
ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
Ëåììà 4.6.
129
Ïóñòü íàáîðû S, T ⊂ Rk (G) íåçàâèñèìû, ÷àñòü A ∈ Part(T)
ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S, à ÷àñòü B ∈ Part(S) ñîäåðæèò âñå
ìíîæåñòâà íàáîðà T. Òîãäà B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò
A ÷àñòåé èç Part(T).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì îòëè÷íóþ îò A ÷àñòü A0 ∈ Part(T). Åñ-
ëè Int(A0 ) = ∅, òî ÷àñòü A0 ñîñòîèò èç âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, A0 ⊂ B . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà Int(A0 ) 6= ∅.
Ïî ëåììå 4.1, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå
A0 =
\
ãäå AT ∈ Part(T ).
AT ,
T ∈T
Ðàññìîòðèì ëþáîå ìíîæåñòâî S ∈ S: îíî îòäåëåíî êàêèì-òî ìíîæåñòâîì T ∈ T îò ÷àñòè A0 , ñëåäîâàòåëüíî, S ∩ Int(AT ) = ∅. Ïî ëåììå 4.4,
òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü AS ∈ Part(S), ÷òî AS ⊃ AT ⊃ A0 (ñì. ðèñóíîê 4.2). Ìíîæåñòâî âåðøèí M = ∩S∈S AS ñîäåðæèò A0 . Òàê êàê M íåâîçìîæíî ðàçäåëèòü íèêàêèì ìíîæåñòâîì íàáîðà S, òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü
B 0 ∈ Part(S), ñîäåðæàùàÿ M , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàùàÿ A0 .
AT
AS
S
T
A’
Ðèñ. 4.2: ×àñòè A0 , AT è AS .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B 0 6= B . Ãðàíèöà ÷àñòè A0 ∈ Part(T) ñîñòîèò èç
âåðøèí ìíîæåñòâ íàáîðà T è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèòñÿ â B . Òàêèì îáðàçîì, èç B 0 6= B ñëåäóåò
Bound(A0 ) ⊂ B ∩ B 0 ⊂ S ∈ S,
(4.2)
Èç Int(A0 ) 6= ∅ ñëåäóåò, ÷òî |Bound(A0 )| ≥ k . Âìåñòå ñ (4.2) ýòî îçíà÷àåò,
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
130
÷òî Bound(A0 ) = S . Ïî óñëîâèþ, S ⊂ A, ñëåäîâàòåëüíî,
S ⊂ A ∩ A0 ⊂ T ∈ T,
îòêóäà S ∈ T, ÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå íåâîçìîæíî è A0 ⊂ B .
Äî êîíöà ýòîé ãëàâû ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Comp(S) = {S1 , . . . , Sm }.
Îïðåäåëåíèå 4.3.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷àñòü Part(Si ) ñîäåðæèò êîì-
ïîíåíòó çàâèñèìîñòè Sj , åñëè îíà ñîäåðæèò âñå âõîäÿùèå â Sj ìíîæåñòâà. Òàêàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïî ëåììå 4.5, îáîçíà÷èì åå
÷åðåç Ai⊃j .
Ïåðåôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèå ëåììû 4.6 â îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëåíèÿ 4.3.
Ñëåäñòâèå
4.1.
×àñòü Ai⊃j ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ ÷àñòåé
Part(Sj ), êðîìå Aj⊃i .
4.2
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè
Êàæäîé êîìïîíåíòå çàâèñèìîñòè T ∈ Comp(S) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
ðàçáèåíèå îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íà êëàññû: êàæäûé êëàññ
áóäóò îáðàçîâûâàòü êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè, ñîäåðæàùèåñÿ â îäíîé èç
÷àñòåé Part(T).
Îïðåäåëåíèå 4.4.
Ãèïåðãðàô Struct(Comp(S)) îïèñàííîãî âûøå ðàçáè-
åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïåðãðàôîì êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè íàáîðà S
è äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àòü ÷åðåç Struct(S).
Òåîðåìà 4.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîë-
íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ãèïåðãðàô êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè Struct(S) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðäåðåâîì.
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
131
2) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à C1 , . . . , Cn êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òîãäà êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç ìíîæåñòâà Ci
ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè Bi ∈ Part(T), ïðè÷åì Bi 6= Bj ïðè i 6= j .
3) Ïóñòü T ∈ Comp(S), à ÷àñòü A ∈ Part(T) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî
ìíîæåñòâî èç S \ T. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S), âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ T è íåñêîëüêî (áûòü
ìîæåò, îäíà) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, ëåæàùèõ â ÷àñòè A.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) è 2) Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ èç òåîðåìû 3.2
äëÿ îïèñàííîãî âûøå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà Comp(S). Ïóñòü êîìïîíåíòà
çàâèñèìîñòè Si ðàçäåëÿåò Sj è S` , òî åñòü, ÷àñòè Ai⊃j è Ai⊃` ðàçëè÷íû.
Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.1 ìû èìååì Aj⊃i ⊃ Ai⊃` , òî åñòü, Sj íå ðàçäåëÿåò Si
è S` . Òåïåðü óòâåðæäåíèå 1 è 2 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.2.
3) Êàê ïîêàçàíî âûøå, äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû èç Comp(S) ëèáî âñå
åå ìíîæåñòâà ñîäåðæàòñÿ â A, ëèáî íè îäíî èç íèõ íå ëåæèò â A. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî CA ⊂ Comp(S) êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âñå
ìíîæåñòâà êîòîðûõ ñîäåðæàòñÿ â A, íåïóñòî. Èç ïóíêòîâ 1 è 2 ñëåäóåò,
÷òî êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè èç CA îáðàçóþò êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ãèïåðãðàôà Struct(S) − T. Òåïåðü ïóíêò 3 íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò èç
ïóíêòà 5 òåîðåìû 3.1.
Äàëåå ìû îïèøåì ÷àñòè Part(S) ñ ïîìîùüþ ãèïåððåáåð ãèïåðäåðåâà
Struct(S). Íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 4.7.
Ïóñòü T ⊂ Rk (G), ãðàô çàâèñèìîñòè Dep(T) ñâÿçåí, ìíî-
æåñòâî T ∈ Rk (G) \ T ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé ÷àñòè B ∈ Part(T), à âñå
ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â ÷àñòè F ∈ Part(T ). Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) ×àñòü B ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F
÷àñòåé Part(T ).
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
132
2) Íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî T .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Î÷åâèäíî, íàáîðû T è {T } íåçàâèñèìû. Ïî ëåì-
ìå 4.6, ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò F ÷àñòåé èç
Part(T ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëþáàÿ ÷àñòü èç Part(T) ñ ãðàíèöåé T åñòü îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòåé èç Part(T ), ìû ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ïóíêòà 1.
2) Ïî ëåììå 4.5, íèêàêàÿ îòëè÷íàÿ îò B ÷àñòü èç Part(T) íå ìîæåò
ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî T , à âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T ëåæàò â îäíîé ÷àñòè
F ∈ Part(T ).
Ëåììà
4.8.
Ïóñòü ãðàôû çàâèñèìîñòè íåïåðåñåêàþùèõñÿ íàáîðîâ
T1 , T2 ⊂ Rk (G) ñâÿçíû, à ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G) \ (T1 ∪ T2 ) òàêîâî,
÷òî âñå ìíîæåñòâà èç T1 è T2 ñîäåðæàòñÿ â îäíîé ÷àñòè F ∈ Part(R).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòü
A ∈ Part(T1 ) ∩ Part(T2 ) ñ Bound(A) = R.
Òîãäà íàáîðû T1 è T2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü íàáîðû T1 è T2 íåçà-
âèñèìû. Ïî ëåììå 4.7, ÷àñòü A ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ îòëè÷íûõ îò F
÷àñòåé èç Part(R). Ïî ëåììå 4.5, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â îäíîé
÷àñòè B ∈ Part(T2 ). Ïîñêîëüêó
R⊂
[
T ⊂ B,
T ∈T1
òî ïî ïóíêòó 2 ëåììû 4.7 èìååì A = B . Îäíàêî, âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T1 ëåæàò â F , ïðè÷åì F ∩ A = R. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ýòè ìíîæåñòâà
ñîâïàäàþò ñ R, ÷òî íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåììà 4.9.
Ïóñòü R = {S1 , . . . Sn } ãèïåððåáðî ãèïåðãðàôà Struct(S).
Äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n} ïóñòü Ai ∈ Part(Si ) ÷àñòü, ñîäåðæàùàÿ ìíî-
133
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
æåñòâà âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè èç R. Òîãäà äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèí
A=
n
\
Ai
i=1
âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé.
1◦ Ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ Part(S), ñîäåðæèò õîòÿ áû k
âåðøèí, ïðè÷åì
Bound(A) =
n
[
Bound(Ai ).
i=1
2◦ n = 2, Bound(A1 ) = Bound(A2 ) = A ∈ S, ïðè÷åì îäíà èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè S1 èëè S2 ýòî {A}.
Äîêàçàòåëüñòâî. a.
Ðàññìîòðèì ëþáóþ êîìïîíåíòó çàâèñèìîñòè S` , íå
âõîäÿùóþ â R (åñëè òàêàÿ ñóùåñòâóåò). Ðàññìîòðèì âñå ïóòè â Struct(S)
îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðûõ íå âõîäÿò â R è
îòìåòèì ìíîæåñòâî âñåõ èõ êîíöîâ â ãèïåððåáðå R. Ïóñòü ìû îòìåòèëè õîòÿ áû äâå âåðøèíû (òî åñòü, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè) èç R. Òîãäà
â Struct(V ) ñóùåñòâóåò öèêë Z , ñîäåðæàùèé äâå îòìå÷åííûå âåðøèíû è
õîòÿ áû îäíó âåðøèíó íå èç R (ñì. ðèñóíîê 4.3a), à ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è ãèïåððåáðî E , ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû Z . Ýòî ãèïåððåáðî íå
ñîâïàäàåò ñ R è |E ∩ R| ≥ 2, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïóíêòó 2 òåîðåìû 3.1.
b
R
R
b
b
b
b
b
E
b
b
b
l
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
i
b
b
b
l
b
b
b
b
b
a
b
Ðèñ. 4.3: Ãèïåðäåðåâî Struct(S) è åãî ãèïåððåáðî R.
Çíà÷èò, êàæäûé ïóòü â Struct(S) îò S` äî ãèïåððåáðà R, âíóòðåííèå
âåðøèíû êîòîðîãî íå âõîäÿò â R, èìååò êîíöîì îäíó è òó æå êîìïîíåíòó
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
134
çàâèñèìîñòè ïóñòü ýòî Si (ãäå 1 ≤ i ≤ n). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Si îòäåëÿåò S` îò êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, âõîäÿùèõ â R è îòëè÷íûõ îò Si (ñì.
ðèñóíîê 4.3b). Òîãäà ïî óòâåðæäåíèþ 2 òåîðåìû 4.1 ìû èìååì Ai⊃` 6= Ai .
Òàêèì îáðàçîì, íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S` íå ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â Ai,
à ñòàëî áûòü, è â A.
b.
Ïî ñëåäñòâèþ 4.1, èç Ai⊃` 6= Ai ñëåäóåò, ÷òî A`⊃i ⊃ Ai ⊃ A. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ìíîæåñòâà êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè, íå ïðèíàäëåæàùèõ ãèïåððåáðó R, íå ðàçäåëÿþò A. Òîãäà ïî ëåììå 4.1 ëèáî A ∈ Part(S), ëèáî A ïîäìíîæåñòâî îäíîãî èç ìíîæåñòâ íàáîðà S. Ïóñòü
R=
n
[
Bound(Aj ).
j=1
Ïîñêîëüêó Ai ⊃ R äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}, òî A ⊃ R. Èç óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî Int(Aj ) 6= ∅ äëÿ êàæäîãî j , ïîýòîìó |Bound(Aj )| ≥ k .
Ñëåäîâàòåëüíî, |R| ≥ k .
Ïóñòü A ∈ Part(S). Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ Bound(A). Ïî ëåììå 4.3
ñóùåñòâóåò âåðøèíà y 6∈ A, ñìåæíàÿ ñ x. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî y 6∈ Ai . Òîãäà ïî ëåììå 4.3 ìû èìååì x ∈ Bound(Ai ) ⊂ R.
Íàîáîðîò, êàæäàÿ âåðøèíà èç R ïðèíàäëåæèò ÷àñòè A è êàêîìó-òî èç
ìíîæåñòâ íàáîðà S. Òàêèì îáðàçîì, Bound(A) = R.
Ïóñòü A 6∈ Part(S). Ïî ïóíêòó 3 ëåììû 4.1, òîãäà R ⊂ A ⊂ S ∈ S. Òàê
êàê |S| = k è |R| ≥ k , ìû èìååì R = A = S è, áîëåå òîãî,
Bound(A1 ) = Bound(A2 ) · · · = Bound(An ) = A ∈ S.
Èç ÷àñòè a äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî A ∈ S äîëæíî ïðèíàäëåæàòü îäíîé èç êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè ãèïåððåáðà R. Òîãäà íå óìàëÿÿ
îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A ∈ S1 .
Òàê êàê A = Bound(A1 ) ãðàíèöà ÷àñòè Part(S1 ), òî A è ëþáîå ìíîæåñòâî íàáîðà S1 íåçàâèñèìû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî S1 = {A}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 3. Òîãäà ïî ëåììå 4.7 ìíîæåñòâî B , ðàâíîå îáúåäèíåíèþ
135
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
âñåõ îòëè÷íûõ îò A1 ÷àñòåé èç Part(A), ïðèíàäëåæèò Part(S2 )∩Part(S3 ).
Îäíàêî, êîìïîíåíòû çàâèñèìîñòè S2 è S3 íåçàâèñèìûå íàáîðû, ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 4.8.
Îïðåäåëåíèå 4.5.
Îïðåäåëåííóþ â ëåììå 4.9 ÷àñòü A ìû íàçîâåì ÷à-
ñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåððåáðó R (äàæå â ñëó÷àå, êîãäà A ∈
/ Part(S)).
Òåîðåìà 4.2.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, S ⊂ Rk (G). Òîãäà âûïîëíÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ïóñòü S0 ∈ Comp(S) è ÷àñòü A ∈ Part(S0 ) òàêîâû, ÷òî A íå
ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 . Òîãäà A ∈ Part(S).
2) Ïóñòü H ∈ Part(S). Òîãäà ëèáî ÷àñòü H ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S), ëèáî cóùåñòâóåò òàêàÿ êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè S0 ∈ Comp(S), ÷òî H ∈ Part(S0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Òàê êàê ÷àñòü A íå ñîäåðæèò ìíîæåñòâ èç S \ S0 ,
òî ïî ëåììå 4.6 íè îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå ðàçäåëÿåò A. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 ìû èìååì A ∈ Part(S).
2) Äîêàæåì óòâåðæäåíèå èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó êîìïîíåíò çàâèñèìîñòè â íàáîðå. Áàçà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè îäíà,
î÷åâèäíà. Äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü T ∈ Comp(S) êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàéíåé âåðøèíå ãèïåðäåðåâà Struct(S); ýòà êîìïîíåíòà çàâèñèìîñòè íå ðàçäåëÿåò íèêàêèå äâå äðóãèå è ïî òåîðåìå 3.1
ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó ãèïåððåáðó R ãèïåðäåðåâà Struct(S).
Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 äëÿ íàáîðà T0 = S\T óæå äîêàçàíî. Ïóñòü ÷àñòü
B ∈ Part(T) ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T0 , à ÷àñòü B 0 ∈ Part(T0 )
ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà íàáîðà T (òàêèå ÷àñòè ñóùåñòâóþò ïî ëåììå 4.5).
Ïî ëåììå 4.1, äëÿ ëþáîé ÷àñòè H ∈ Part(S) ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå
H = H1 ∩ H2 ,
ãäå H1 ∈ Part(T)
è
H2 ∈ Part(T0 ).
Åñëè H1 = B è H2 = B 0 , òî H ÷àñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïåððåáðó R.
Ïî ëåììå 4.6 ÷àñòü B ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B 0 ÷àñòåé èç
ÃËÀÂÀ 4. ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÛ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
136
Part(T0 ), à ÷àñòü B 0 ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò B ÷àñòåé èç
Part(T). Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 4.2 îñòàëüíûå ÷àñòè èç Part(S) ýòî ëèáî
÷àñòè èç Part(T), ëèáî ÷àñòè èç Part(T0 ), îòêóäà ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå
óòâåðæäåíèå.
Ãëàâà 5
Óäàëåíèå âåðøèí èç
5.1
k -ñâÿçíîãî
ãðàôà
Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíèåì äâóñâÿçíîñòè
Åñëè èç ñâÿçíîãî ãðàôà óäàëèòü ëþáóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ëþáîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü íå íàðóøèòñÿ. Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèí,
óäàëåíèå êîòîðûõ íå ëèøàåò ãðàô äâóñâÿçíîñòè.
Ëåììà 5.1.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, a ∈ A ∈ Part(G). Òîãäà ãðàô
G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A) è ÷àñòü A áëîê èëè
òðåóãîëüíèê.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ãðàô G − a äâóñâÿçåí åñëè è òîëüêî åñëè a íå ïðè-
íàäëåæèò ìíîæåñòâàì èç R2 (G). Âåðøèíà a íå ïðèíàäëåæèò îäèíî÷íûì
ìíîæåñòâàì åcëè è òîëüêî åñëè a ∈ Int(A). Îñòàåòñÿ äîáàâèòü, ÷òî ïî
ïóíêòó 2 òåîðåìû 1.2 âñå âåðøèíû öèêëîâ äëèíû õîòÿ áû 4 ïðèíàäëåæàò
íåîäèíî÷íûì ìíîæåñòâàì, à âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ è òðåóãîëüíèêîâ
íå ïðèíàäëåæàò.
Åñëè óäàëèòü èç ñâÿçíîãî ãðàôà ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåñêîëüêèõ
âíóòðåííèõ âåðøèí áëîêîâ è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå
137
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
138
êàæäîãî áëîêà, òî ñâÿçíîñòü ñîõðàíèòñÿ.  ñëåäóþùåé òåîðåìå áóäåò äîêàçàíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà.
Òåîðåìà 5.1.
Ïóñòü G äâóñâÿçíûé ãðàô, à W ìíîæåñòâî, ñîñòîÿ-
ùåå èç âíóòðåííèõ âåðøèí íåïóñòûõ ÷àñòåé-áëîêîâ ãðàôà G è ñîäåðæàùåå íå áîëåå ÷åì ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîãî áëîêà. Òîãäà ãðàô G − W
äâóñâÿçåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåâåðíî
è ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî W , âåðøèíû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ íåïóñòûõ áëîêîâ è òàêîå, ÷òî
ãðàô G∗ = G − W íåäâóñâÿçåí. Òàê êàê âíóòðåííèå âåðøèíû áëîêîâ
íå âõîäÿò â ìíîæåñòâà èç R2 (G), ìû èìååì |W | ≥ 2. Òàê êàê âåðøèíû W ïðèíàäëåæàò âíóòðåííîñòÿì ðàçíûõ áëîêîâ, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî
S = {a, b} ∈ R2 (G), ðàçäåëÿþùåå W .
Òàê êàê S íå ñîäåðæèò âåðøèí èç W è ðàçäåëÿåò W , ÷àñòè Part(S)
ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû â êàæäîé ãðóïïå áûëà ÷àñòü,
ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó èç W . Ïóñòü U1 è U2 îáúåäèíåíèÿ âåðøèí ýòèõ
÷àñòåé,
U ∗ = V (G) \ W = V (G∗ ),
U1∗ = U1 \ W,
U2∗ = U2 \ W.
Òàê êàê êàæäûé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 âåðøèíû è íå áîëåå
÷åì îäíà èç íèõ óäàëåíà, ìíîæåñòâà âåðøèí U1∗ è U2∗ ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî
òðè âåðøèíû. Ïîëîæèì
G∗1 = G(U1∗ ),
2.
G∗2 = G(U2∗ ),
G1 = G∗1 + ab,
G2 = G∗2 + ab.
Ðàññìîòðèì âåðøèíó x ∈ U2 ∩W . Èç âûáîðà ìíîæåñòâà W ìû çíàåì,
÷òî ãðàô Gx = G − (W \ {x}) äâóñâÿçåí. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî S îòäåëÿåò
U1∗ îò U2∗ ∪ {x} â äâóñâÿçíîì ãðàôå Gx . Ïîýòîìó, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû
Ìåíãåðà íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G1 íå èìååò òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Òàê
êàê |U1∗ | ≥ 3,
ãðàô G1 äâóñâÿçåí. Àíàëîãè÷íî, ãðàô G2 äâóñâÿçåí.
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
3.
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
139
Äîêàæåì, ÷òî îò ëþáîé âåðøèíû x ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò
xa-ïóòü Pa è xb-ïóòü Pb , íå èìåþùèå îáùèõ âåðøèí, êðîìå x.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî x ∈ U1∗ . Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äâà
èñêîìûõ ïóòè åñòü â äâóñâÿçíîì ãðàôå G1 , ýòè æå ïóòè åñòü è â G∗ .
4.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé âåðøèíû v ∈ U ∗ â ãðàôå G∗ − v
âñå âåðøèíû èç U ∗ \ {v} ñâÿçàíû, òî åñòü, ãðàô G∗ = G − W äâóñâÿçåí.
Ðàññìîòðèì ëþáóþ âåðøèíó x ∈
/ S . Ïî ïóíêòó 3, â ãðàôå G∗ ñóùåñòâóåò
äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòè îò x äî âåðøèí ìíîæåñòâà S . Îäèí èç ýòèõ
ïóòåé åñòü è â G∗ − v .
Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðè v ∈
/ S âåðøèíû a è b ìíîæåñòâà S ñâÿçàíû
â ãðàôå G∗ − v . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v ∈ U1∗ . Òîãäà
ñóùåñòâóåò ab-ïóòü P â ãðàôå G∗ − v , ïðîõîäÿùèé ïî âåðøèíàì èç U2∗ ,
çíà÷èò, a è b ñâÿçàíû â G∗ − v .
Äâóñâÿçíîñòü ãðàôà G∗ ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G − W äâóñâÿçåí äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà W , óäîâëåòâîðÿþùåãî
óñëîâèþ.
b
a
b
b
b
b
c
b
Ðèñ. 5.1: Ãðàô òåðÿåò äâóñâÿçíîñòü ïðè óäàëåíèè âåðøèí a è c.
Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íå ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî
íà âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ ÷àñòåé-òðåóãîëüíèêîâ äâóñâÿçíîãî ãðàôà G. Åñëè ÷àñòü-òðåóãîëüíèê A èìååò âíóòðåííþþ âåðøèíó, òî ìû èìååì
|Int(A)| = 1 è |Bound(A)| = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, Bound(A) ∈ O(G), à çíà÷èò, ÷àñòü A êðàéíÿÿ. Íà ðèñóíêå 5.1 èçîáðàæåí ãðàô, â êîòîðîì îòìå÷åíà âíóòðåííÿÿ âåðøèíà a êðàéíåé ÷àñòè-òðåóãîëüíèêà è âíóòðåííÿÿ
âåðøèíà c ÷àñòè-áëîêà. Èõ îäíîâðåìåííîå óäàëåíèå äåëàåò ãðàô íåäâóñâÿçíûì.
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
5.2
Óäàëåíèå âåðøèí èç
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
k -ñâÿçíîãî
140
ÃÐÀÔÀ
ãðàôà ïðè
k>2
 ýòîì ðàçäåëå G ýòî k -ñâÿçíûé ãðàô. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ è ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàçäåëà.
Îïðåäåëåíèå 5.1.
Ïóñòü S ∈ Rk (G), à H êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà
G − S . Ìû áóäåì íàçûâàòü H ôðàãìåíòîì. Ìíîæåñòâî S áóäåì íàçûâàòü
ãðàíèöåé ôðàãìåíòà H è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Bound(H).
Ïîêàæåì, ÷òî ïîíÿòèÿ ôðàãìåíòà è åãî ãðàíèöû èìåþò ñàìîñòîÿòåëüíûé ñìûñë.
Ëåììà 5.2.
Ïóñòü H ôðàãìåíò â k -ñâÿçíîì ãðàôå G. Òîãäà
Bound(H) = NG (H).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü Bound(H) = S . Òîãäà H = Int(A) äëÿ íåêî-
òîðîé ÷àñòè A ∈ Part(S). Èç k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ
âåðøèíà ìíîæåñòâà S ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H , òî åñòü,
S ⊂ NG (H). Ïîñêîëüêó S = Bound(A) îòäåëÿåò H = Int(A) îò V (G) \ A,
òî S = NG (A).
Çàìå÷àíèå 5.1.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, à H åãî ôðàãìåíò. Îò-
ìåòèì, ÷òî èíäóöèðîâàííûé ïîäãðàô G(H) ñâÿçåí, à êàæäàÿ âåðøèíà èç
Bound(H) ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç H â ñèëó k -ñâÿçíîñòè G.
Îïðåäåëåíèå 5.2.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)).
1) Íàçîâåì ÷àñòü A ïðàâèëüíîé, åñëè |Bound(A)| = k è Int(A) 6= ∅.
2) Ïóñòü Int(A) 6= ∅. Íàçîâåì ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G) ñóùåñòâåííûì
äëÿ ÷àñòè A, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà T ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåãî S
îò Int(A).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bound2 (A) ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ âåðøèí ÷àñòè A, âõîäÿùèõ â äâà è áîëåå ñóùåñòâåííûõ äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâà.
Íàçîâåì ÷àñòü A õîðîøåé, åñëè |Int(A)| > |Bound2 (A)|.
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
Çàìå÷àíèå 5.2.
ÃÐÀÔÀ
141
1) Âíóòðåííîñòü ïðàâèëüíîé ÷àñòè Part(Rk (G)) ýòî
ôðàãìåíò ãðàôà G.
2) Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî
øåé.
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ õîðî-
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ÷àñòü A ïðàâèëüíàÿ, òî ìíîæåñòâî
Bound(A) ∈ Rk (G) îòäåëÿåò Int(A) îò ëþáîãî äðóãîãî ìíîæåñòâà
T ∈ Rk (G), òî åñòü, Bound(A) åäèíñòâåííîå ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî
äëÿ ïðàâèëüíîé ÷àñòè A. Ïîýòîìó Bound2 (A) = ∅.
Òåîðåìà 5.2.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ïðè÷åì ñòåïåíü ëþáîé âåð-
øèíû, âõîäÿùåé â îäíî èç ìíîæåñòâ Rk (G), íå ìåíåå 2k − 1, à ëþáîé ôðàãìåíò èìååò õîòÿ áû
k+1
2
âåðøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæå-
ñòâî W , ñîäåðæàùåå ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîé õîðîøåé ÷àñòè Part(Rk (G)), òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî W 0 ⊂ W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ
k -ñâÿçíûì.
Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì ðÿä òåõíè÷åñêèõ ëåìì.
Ëåììà 5.3.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, A ∈ Part(Rk (G)), Int(A) 6= ∅,
S ∈ Rk (G) íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå
îòäåëÿåò S îò Int(A).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G), êîòîðîå îòäåëÿåò
Int(A) îò S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ðàçëè÷íûå ÷àñòè
H, H 0 ∈ Part(T ),
÷òî
Int(A) ⊂ H
è
S ⊂ H 0.
Ìû âûáåðåì T òàê, ÷òîáû ÷àñòü H áûëà ìèíèìàëüíîé ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T íåñóùåñòâåííîå
äëÿ ÷àñòè A ìíîæåñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî R ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå T îò Int(A). Òî åñòü, ñóùåñòâóþò òàêèå ÷àñòè
F, F 0 ∈ Part(R),
÷òî
Int(A) ⊂ F
è
T ⊂ F 0.
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
142
Åñëè ìíîæåñòâî R íå ëåæèò â ÷àñòè H , òî R ∩ Int(H) = ∅ è ïî ëåììå 4.4
ìû çíàåì, ÷òî R íå ðàçäåëÿåò H è, â ÷àñòíîñòè, íå îòäåëÿåò T îò Int(A).
Çíà÷èò, R ⊂ H . Òîãäà ÷àñòü F 0 ∈ Part(R), ñîäåðæàùàÿ T \ R, ñîäåðæèò è
îáúåäèíåíèå âñåõ îòëè÷íûõ îò H ÷àñòåé Part(T ). Ñëåäîâàòåëüíî, F ( H ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó ìíîæåñòâà T . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî T ñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè A.
Îïèøåì ðàçáèåíèå ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ìíîæåñòâ èç Rk (G).
Ëåììà 5.4.
Ïóñòü ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû,
Part(S) = {A1 , . . . , Am },
P = T ∩ S,
Part(T ) = {B1 , . . . , Bn },
Ti = T ∩ Int(Ai ),
Sj = S ∩ Int(Bj ),
Gi,j = Ai ∩ Bj .
Òîãäà âñå ìíîæåñòâà T1 , . . . , Tm ; S1 , . . . , Sn íåïóñòû,
Part({S, T }) = {Gi,j }i∈{1,...,m}, j∈{1,...,n} , ïðè÷åì Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj .
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó ëåììû 4.4 è çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâ S è T ,
Ti = T ∩ Int(Ai ) 6= ∅ è Sj = S ∩ Int(Bj ) 6= ∅.
×àñòè Part({S, T }) ýòî ìàêñèìàëüíûå ïî âêëþ÷åíèþ ñðåäè ìíîæåñòâ
âèäà Gi,j . Äîêàæåì, ÷òî ýòî âñå òàêèå ìíîæåñòâà. Ïóñòü (α, β) 6= (γ, δ).
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α 6= γ . Òîãäà
Tα ⊂ Gα,β ,
è
Tγ 6⊂ Gα,β ,
ñëåäîâàòåëüíî, Gα,β 6⊂ Gγ,δ . Óòâåðæäåíèå Bound(Gi,j ) = P ∪ Ti ∪ Sj î÷åâèäíî.
Äàëåå äëÿ îïèñàíèÿ ðàçáèåíèÿ ãðàôà ïàðîé çàâèñèìûõ ðàçäåëÿþùèõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4.
Ëåììà 5.5.
áû ïî
k+1
2
Ïóñòü âñå ôðàãìåíòû k -ñâÿçíîãî ãðàôà G ñîäåðæàò õîòÿ
âåðøèí, à ìíîæåñòâà S, T ∈ Rk (G) çàâèñèìû. Òîãäà êàæäîå èç
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
143
íèõ äåëèò ãðàô íà äâå ÷àñòè, ïðè÷åì ìîæíî çàíóìåðîâàòü ýòè ÷àñòè
òàê, ÷òî
Part(S) = {A1 , A2 },
Part(T ) = {B1 , B2 },
|Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k,
Äîêàçàòåëüñòâî. 1.
|T1 | = |S1 |,
|T2 | = |S2 |.
Ïóñòü
Part(S) = {A1 , . . . , Am },
Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }.
Èçîáðàçèì ðàçáèåíèå ãðàôà ìíîæåñòâàìè S è T â âèäå òàáëèöû m × n,
ãäå êëåòêà ñ êîîðäèíàòàìè (i, j) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòè Gi,j = Ai ∩ Bj : ìû
çàïèøåì â ýòîé êëåòêå êîëè÷åñòâî âåðøèí â Int(Gi,j ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü ñòîëáåö èëè ñòðîêà, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî íóëè (íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ïåðâûé ñòîëáåö). Òîãäà
Int(G1,j ) = ∅ äëÿ âñåõ j ∈ {1, . . . , n} è
[
Int(A1 ) =
Bound(G1,j ) \ S = T1 ,
j∈{1,...,n}
ñëåäîâàòåëüíî, |T1 | ≥
|Ti | ≤
k−1
2 .
k+1
2 .
Çíà÷èò, äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m} ìû èìååì
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì |S1 | ≥ |S2 |, òîãäà |S2 | ≤
k
2.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî i ∈ {2, . . . , m}
|T1 | + |S1 | + |P | + |Ti | + |S2 | + |P | ≤ |T | + |S| = 2k,
ñëåäîâàòåëüíî,
|Bound(Gi,2 )| = |Ti | + |S2 | + |P | < k.
Åñëè Int(Gi,2 ) 6= ∅, òî ïî ëåììå 4.3 ñîñòîÿùåå ìåíåå ÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî Bound(Gi,2 ) îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà íåïóñòîå ìíîæåñòâî Int(Gi,2 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò k -ñâÿçíîñòè ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, Int(Gi,2 ) = ∅ äëÿ âñåõ i ∈ {2, . . . , m}. Íàïîìíèì, ÷òî ïî
ïðåäïîëîæåíèþ Int(G1,2 ) = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, ôðàãìåíò
Int(B2 ) =
[
i∈{1,...,m}
Bound(Gi,2 ) \ T = S2 ,
è
k
|S2 | ≤ ,
2
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
144
ÃÐÀÔÀ
÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
2.
Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå åñòü õîòÿ áû
îäèí íå íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïàðû èíäåêñîâ (α, β) è (γ, δ) òàêèå, ÷òî α 6= γ , β 6= δ , Int(Gα,β ) 6= ∅ è Int(Gγ,δ ) 6= ∅. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè,
ïîëîæèì α = δ = 1 è β = γ = 2. Òîãäà
|Bound(G1,2 )| ≥ k è |Bound(G2,1 )| ≥ k.
Çàìåòèì, ÷òî
2k ≤ |Bound(G1,2 )| + |Bound(G2,1 )| =
2|P | + |T1 | + |T2 | + |S1 | + |S2 | ≤ |S| + |T | = 2k.
Çíà÷èò, îáà íåðàâåíñòâà îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
T = T1 ∪ T2 ∪ P
è
(5.1)
S = S1 ∪ S2 ∪ P.
Ïî ëåììå 5.4 èç (5.1) ñëåäóåò, ÷òî
|Part(S)| = |Part(T )| = 2 è |Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k.
Òîãäà
|T1 | + |S2 | + |P | = |Bound(G1,2 )| = k = |T | = |T1 | + |T2 | + |P |,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |S2 | = |T2 |. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî |S1 | = |T1 |.
Ëåììà 5.6.
Ïóñòü H ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ôðàãìåíò k -ñâÿç-
íîãî ãðàôà G, âñå ôðàãìåíòû êîòîðîãî ñîäåðæàò õîòÿ áû ïî
k+1
2
âåðøèí.
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü A ∈ Part(Rk (G)), ÷òî
H = Int(A).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
S = Bound(H),
Part(S) = {A1 , . . . , Am } è H = Int(A1 ).
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
145
ÃÐÀÔÀ
Ïîñêîëüêó S ∈ Rk (G), òî ëèáî A1 ∈ Part(Rk (G)), ëèáî A1 îáúåäèíåíèå
íåñêîëüêèõ ÷àñòåé Part(Rk (G)). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî
íè îäíî èç ìíîæåñòâ íàáîðà Rk (G) íå ðàçäåëÿåò A1 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ìíîæåñòâî T ∈ Rk (G) ðàçäåëÿåò A1 . Èç ëåììû 4.4 ñëåäóåò,
÷òî òîãäà T ∩ Int(A1 ) 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
1.
Ìíîæåñòâà S è T íåçàâèñèìû.
Èç íåçàâèñèìîñòè S è T ñëåäóåò, ÷òî T ⊂ A1 . Ïî ëåììå 4.4, òîãäà T
íå ðàçäåëÿåò íè îäíîé èç ÷àñòåé A2 , . . . , Am . Òàê êàê S 0 = S \ T 6= ∅,
ìíîæåñòâî T íå ðàçäåëÿåò (V (G)\A1 )∪S 0 . Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòü
B ∈ Part(T ), ÷òî B ⊂ A \ S 0 . Îäíàêî, òîãäà ôðàãìåíò
Int(B) ⊂ (A \ S 0 ) \ Bound(B) = A \ (S ∪ T ) ( H,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè H .
2.
Ìíîæåñòâà S è T çàâèñèìû.
Ïóñòü Part(T ) = {B1 , . . . , Bn }. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.4. Ïî ëåììå 5.5 ìîæíî âûáðàòü íóìåðàöèþ ÷àñòåé Part(T ) òàê, ÷òî
|Bound(G1,2 )| = |Bound(G2,1 )| = k . Òîãäà Int(G1,2 ) = ∅ (â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå Int(G1,2 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ñì. ðèñóíîê 5.2).
S1
H
T1
P
0
T2
S2
Ðèñ. 5.2: Ôðàãìåíò H è ìíîæåñòâî T .
Ïî ëåììå 5.5, ìû èìååì |T1 | = |S1 |. Åñëè |T1 | < k2 , òî |R(G1,1 )| < k . Â
ýòîì ñëó÷àå Int(G1,1 ) = ∅ è H = T1 , ÷òî íåâîçìîæíî: òîãäà |H| <
Ïóñòü |T1 | =
k
2.
k+1
2 .
Åñëè ïðè ýòîì Int(G1,1 ) 6= ∅, òî |Bound(G1,1 )| = k è
Int(G1,1 ) ( H ñòðîãî ìåíüøèé ôðàãìåíò, ÷òî íåâîçìîæíî. Åñëè æå
Int(G1,1 ) = ∅, òî |H| = |T1 | <
k+1
2 ,
÷òî òàêæå íåâîçìîæíî.
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà |T1 | > k2 . Òîãäà |T2 | = |S2 | <
k
2
146
è
|Bound(G2,2 )| = 2k − |T1 | − |S1 | < k,
à çíà÷èò, Int(G2,2 ) = ∅. Íî òîãäà ôðàãìåíò Int(B2 ) = S2 ñîñòîèò ìåíåå
÷åì èç
k+1
2
âåðøèí, ÷òî íåâîçìîæíî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò ðàçáîð
ñëó÷àåâ.
Ëåììà 5.7.
Ïóñòü G k -ñâÿçíûé ãðàô, ëþáîé ôðàãìåíò êîòîðîãî ñî-
äåðæèò õîòÿ áû
k+1
2
âåðøèí. Ïóñòü ìíîæåñòâî W ⊂ V (G) ñîñòîèò
èç âíóòðåííèõ âåðøèí ÷àñòåé Part(Rk (G)), ïðè÷åì |W | ≥ 2 è íèêàêèå
äâå åãî âåðøèíû íå ïðèíàäëåæàò îäíîé ÷àñòè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G−W íå ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì, íî äëÿ ëþáîãî
ñîáñòâåííîãî ïîäìíîæåñòâà W 0 ( W ãðàô G − W 0 ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì.
Ïóñòü R1 , R2 , . . . , Rn âñå ìíîæåñòâà èç Rk (G), ðàçäåëÿþùèå W , à
R=
n
\
Ri .
i=1
Òîãäà ïîñëå óäàëåíèÿ ëþáûõ k−1 âåðøèí èç ãðàôà G−W âñå âåðøèíû,
íå âõîäÿùèå â R, ïîïàäóò â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè. Áîëåå òîãî,
êîëè÷åñòâî íå âîøåäøèõ â ýòó êîìïîíåíòó âåðøèí èç ìíîæåñòâà R íå
ïðåâîñõîäèò
k−1
2 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Ri (ãäå i ∈ {1, . . . , n}), ïóñòü
Part(Ri ) = {A1 , . . . , A` }. Ñóùåñòâóþò äâå âåðøèíû w1 , w2 ∈ W , ðàçäåëåííûå ìíîæåñòâîì Ri , ïóñòü w1 ∈ Int(A1 ) è w2 ∈ Int(A2 ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
A∗j = Aj \ W,
G∗j = G(A∗j ),
Uj = A∗j \ Ri ,
G∗ = G − W.
Ïî óñëîâèþ, ãðàô G − (W \ {w1 }) ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì. Ïðè ýòîì èç
÷àñòåé A2 , . . . , A` ìû óäàëèëè âñå âõîäÿùèå â íèõ âåðøèíû ìíîæåñòâà W .
äëÿ ëþáîé âåðøèíû
x ∈ Uj â ãðàôå G∗j ñóùåñòâóåò k âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî
Òîãäà ïî òåîðåìå Ìåíãåðà äëÿ êàæäîãî j ∈ {2, . . . , `} è
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
147
ðàçëè÷íûõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri. Ðàññìîòðåâ ãðàô G − (W \ {w2}), ìû
ïîéìåì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî âåðíî è äëÿ j = 1.
Ïóñòü T ⊂ V (G∗ ), |T | = k − 1. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
R∗ = Ri \ T,
t0 = |T ∩ Ri |,
tj = |T ∩ Uj |.
Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç R∗ ñâÿçàíû è
ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ .
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
1.
Õîòÿ áû äâà èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòû.
Ïóñòü x ∈ Up \T è y ∈ Uq \T , p 6= q . Ìû çíàåì, ÷òî â ãðàôå G∗ îò âåðøèíû x
åñòü k íå èìåþùèõ îáùèõ âåðøèí ïóòåé äî âñåõ âåðøèí ìíîæåñòâà Ri .
Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü õîòÿ áû k −tp −t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé
îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Àíàëîãè÷íî, â ãðàôå G∗ − T åñòü k − tq − t0
âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ . Òàê êàê
tp + tq = |T ∩ Up | + |T ∩ Up | ≤ |T \ (T ∩ Ri )| = k − 1 − t0 < k − t0 = |R∗ |,
â ãðàôå G∗ − T ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ . Òàêèì
îáðàçîì, ëþáûå äâå íå ïðèíàäëåæàùèå Ri ∪ T âåðøèíû èç ðàçíûõ ÷àñòåé
â ãðàôå G∗ −T ñâÿçàíû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû
â ãðàôå G∗ − T .
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì tp ≤ tq . Òîãäà âåðøèíà x ñâÿçàíà â
ãðàôå G∗ − T áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí èç R∗ .
2.
Ðîâíî îäíî èç ìíîæåñòâ U1 \ T , . . . , U` \ T íåïóñòî.
Ïóñòü U1 \ T 6= ∅. Ðàññìîòðèì äâå âåðøèíû x, y ∈ U1 \ T . Àíàëîãè÷íî
ïóíêòó 1 ïîëó÷àåì, ÷òî â ãðàôå G∗ − T åñòü õîòÿ áû k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò x äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ è õîòÿ áû
k − t1 − t0 âåðøèííî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé îò y äî ðàçíûõ âåðøèí èç R∗ .
Åñëè
2(k − t1 − t0 ) > |R∗ | = k − t0 ,
(5.2)
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
148
òî ñóùåñòâóþò ïóòè îò x è y äî îáùåé âåðøèíû èç R∗ , òî åñòü, x è y ñâÿçàíû â ãðàôå G∗ − T . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (5.2) íå âûïîëíåíî.
Òîãäà t1 ≥
k−t0
2
è
t2 ≤ |T \ (T ∩ Ri )| − t1 ≤ k − 1 − t0 −
k − t0
k − t0
≤
− 1.
2
2
(5.3)
Èç U2 \ T = ∅ ñëåäóåò, ÷òî
T ⊃ A2 \ (Ri ∪ W ) = Int(A2 ) \ W.
Ôðàãìåíò Int(A2 ) ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ìèíèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ
ôðàãìåíò H . Ïî ëåììå 5.6, òîãäà H = Int(B), ãäå B ∈ Part(Rk (G)). Ìíîæåñòâî W ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç H , íî òîãäà T ñîäåðæèò
âñå îñòàëüíûå âåðøèíû èç H . Cëåäîâàòåëüíî,
t2 ≥ |H| − 1 ≥
k−1
,
2
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (5.3). Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (5.2) âûïîëíåíî, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç Ri ñâÿçàíû
è ñðåäè íèõ åñòü âåðøèíà x, ñâÿçàííàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí
èç R∗ .
Èòàê, â ëþáîì ñëó÷àå â ãðàôå G∗ − T âñå âåðøèíû íå èç ìíîæñòâà Ri
ñâÿçàíû, ïóñòü îíè ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Èç âûïîëíåííîãî
âûøå ðàçáîðà ñëó÷àåâ, êðîìå òîãî, ñëåäóåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (G∗ − T ) \ Ri , ñìåæíàÿ áîëåå ÷åì ñ ïîëîâèíîé âåðøèí ìíîæåñòâà
R∗ = Ri \T . Çíà÷èò, â ãðàôå G∗ −T áîëåå ïîëîâèíû âåðøèí ìíîæåñòâà R∗
òàêæå ïîïàëè â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ãðàôà G∗ − T , íå ïîïàâøèõ
â êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè Y . Ìû äîêàçàëè, ÷òî P ⊂ Ri è |R∗ \ P | >
Ïîýòîìó
k − t0
k
|P | ≤ |Ri | − |Ri ∩ T | − |R \ P | < k − t −
≤ .
2
2
∗
Ñëåäîâàòåëüíî, |P | ≤
k−1
2 .
0
k−t0
2 .
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
149
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî P ⊂ R,
òàê êàê P ⊂ Ri äëÿ êàæäîãî i ∈ {1, . . . , `}.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.2. 1.
Îïèøåì ïðîöåññ âûáîðà âåðøèíû â
õîðîøåé ÷àñòè A ∈ Part(Rk (G)), ó êîòîðîé Bound2 (A) 6= ∅ (â ñëó÷àå,
êîãäà Bound2 (A) = ∅, ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ âíóòðåííþþ âåðøèíó ÷àñòè A).
Ïóñòü Bound2 (A) = {d1 , . . . , dq }. Ðàññìîòðèì âåðøèíó d1 è îòìåòèì
â Int(A) îäíó èç ñìåæíûõ ñ íåé âåðøèí (åñëè òàêèå åñòü). Ïîòîì ðàññìîòðèì âåðøèíó d2 , è îòìåòèì â Int(A) îäíó èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí,
cìåæíûõ ñ d2 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà åñòü). È òàê äàëåå, íà i øàãå ìû îòìåòèì â Int(A) îäíó èç åùå íå îòìå÷åííûõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ di (åñëè
òàêèå âåðøèíû åñòü). Òàêèì îáðàçîì, îêàæóòñÿ îòìå÷åííûìè íå áîëåå,
÷åì |Bound2 (A)| âåðøèí èç Int(A), ñëåäîâàòåëüíî, îñòàíåòñÿ íåîòìå÷åííîé õîòÿ áû îäíà âåðøèíà. Ìû âûáåðåì ëþáóþ èç íåîòìå÷åííûõ âåðøèí
â Int(A).
âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà Bound2(A), íå èìåþùèå ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) ïîñëå óäàëåíèÿ èç Int(A) âûáðàííîé âåðøèíû, íå èìåëè
ñìåæíûõ âåðøèí â Int(A) è äî óäàëåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì,
2.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ïðè óäàëåíèè íåêîòîðîãî ìíîæå-
ñòâà èç âûáðàííûõ âåðøèí k -ñâÿçíîñòü íàðóøèòñÿ.
Ïóñòü ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî èç âûáðàííûõ âåðøèí, ïðè
óäàëåíèè êîòîðîãî òåðÿåòñÿ k -ñâÿçíîñòü ýòî
W ∗ = {a1 , . . . , an },
ïðè÷åì
ai ∈ Int(Ai ),
Ai ∈ Part(Rk (G)).
Òîãäà âåðøèíà ai íå âõîäèò â ìíîæåñòâà èç Rk (G), ïîýòîìó
ÿâëÿåòñÿ k-ñâÿçíûì.  ÷àñòíîñòè, n ≥ 2.
ãðàô G − ai
Ïóñòü S1 , S2 , . . . , Sm ∈ Rk (G) âñå ìíîæåñòâà, êîòîðûå ðàçäåëÿþò W ∗ .
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
150
Èç n ≥ 2 ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ìíîæåñòâà åñòü. Ïóñòü
∗
∗
G =G−W ,
S = {S1 , . . . Sm },
P =
m
\
Si .
i=1
Ðàññìîòðèì ÷àñòü Ai , ãäå i ∈ {1, . . . , n}. Òàê êàê Int(Ai ) 6= ∅ è S ⊂ Rk (G),
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ÷àñòü Bi ∈ Part(S), òàêàÿ, ÷òî Ai ⊂ Bi . Îòìåòèì, ÷òî ïðè i 6= j ÷àñòè Bi è Bj ðàçëè÷íû: ìíîæåñòâî S ∈ Rk (G), îòäåëÿþùåå Ai îò Aj , îòäåëÿåò äðóã îò äðóãà âåðøèíû ai , aj ∈ W , à ïîòîìó
S ∈ S. Ñëåäîâàòåëüíî, S îòäåëÿåò Bi îò Bj , òî åñòü, ýòè ÷àñòè ðàçëè÷íû.
Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 5.8.
Ïóñòü P 0 ⊂ P , p = |P 0 | è Int(Ai ) ñîäåðæèò âåðøèíó, ñìåæ-
íóþ ñ P 0 â ãðàôå G. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ïóñòü P 0 ⊂ Bound2 (Ai ), à ti êîëè÷åñòâî âåðøèí èç Int(Ai ) \ {ai },
ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Òîãäà ti ≥ 1, à âåðøèíà ai ñìåæíà â G íå áîëåå
÷åì ñ ti âåðøèíàìè ìíîæåñòâà P 0 .
2) Ïóñòü P 0 6⊂ Bound2 (Ai ). Òîãäà Int(Bi ) \ {ai } ñîäåðæèò õîòÿ áû p
âåðøèí, ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Âñïîìíèì, êàê âûáèðàëàñü âåðøèíà ai â Int(Ai ) ïðè
ïîñòðîåíèè ìíîæåñòâà W : òàê êàê â Int(Ai ) åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ P 0
â ãðàôå G, â Int(Ai ) \ {ai } = Int(Ai ) \ W òàêàÿ âåðøèíà òîæå åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ti ≥ 1.
 ïðîöåññå âûáîðà âåðøèíû ai ìû â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ðàññìîòðåëè âñå
âåðøèíû ìíîæåñòâà P 0 è íà êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ ìû îòìå÷àëè îäíó èç
åùå íå îòìå÷åííûõ ê ýòîìó ìîìåíòó âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ðàññìàòðèâàåìîé
âåðøèíîé èç P 0 (åñëè òàêàÿ âåðøèíà áûëà). Îòìå÷åííûå âåðøèíû ëåæàò
â V (G∗ ) è ïîòîìó íå áîëåå ÷åì ti èç íèõ ñìåæíû ñ P 0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
ìû îòìå÷àëè âåðøèíû íå áîëåå ÷åì íà ti øàãàõ, ñäåëàííûõ ñ âåðøèíàìè
èç P 0 .
Åñëè â P 0 åñòü áîëåå ÷åì ti âåðøèí, ñìåæíûõ ñ ai , òî ïðè ðàññìîòðåíèè
îäíîé èç ýòèõ âåðøèí ìû íå îòìåòèëè íè îäíîé âåðøèíû â Int(Ai ). Íî
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
151
ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò â Int(Ai ) áûëà íåîòìå÷åííàÿ
âåðøèíà, ñìåæíàÿ c ðàññìàòðèâàåìîé (âåðøèíà ai ).
2) Òàê êàê âñå ìíîæåñòâà íàáîðà S ñîäåðæàò P 0 è P 0 6⊂ Bound2 (Ai ),
ðîâíî îäíî ìíîæåñòâî èç S ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè Ai îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç R. Ïóñòü Ai ⊂ H ∈ Part(R).
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî S ∈ S, S 6= R. Òàê êàê S íåñóùåñòâåííîå äëÿ ÷àñòè Ai , ïî ëåììå 5.3 åñòü ñóùåñòâåííîå ìíîæåñòâî R0 , îòäåëÿþùåå S îò Int(Ai ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî R0 6= R. Ïóñòü
Ai ⊂ H 0 ∈ Part(R0 ). Òîãäà R0 íå ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî âåðøèí W è
W ∩ Int(Ai ) 6= ∅, ñëåäîâàòåëüíî, H 0 ⊃ W . Íî S ∩ Int(H 0 ) = ∅ è ïî
ëåììå 4.4 ìíîæåñòâî S íå ìîæåò ðàçäåëÿòü H 0 , à ñëåäîâàòåëüíî, è W .
Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, èìåííî ìíîæåñòâî R ∈ S îòäåëÿåò Int(Aj ) îò
âñåõ îñòàëüíûõ ìíîæåñòâ èç S. Ñëåäîâàòåëüíî, H ∈ Part(S). Ïîñêîëüêó
H ⊃ Int(Ai ) è Bi ⊃ Int(Ai ), òî Bi = H .
Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ÷àñòü Bi ïðàâèëüíàÿ. Çíà÷èò, Int(Bi ) ôðàãìåíò ãðàôà G, êîòîðûé äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû
k+1
2
âåðøèí ïî óñëîâèþ
òåîðåìû. Ïóñòü F = Int(Bi ) \ {ai }, à Q ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç F ,
ñìåæíûõ ñ P 0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |Q| ≤ p − 1. Î÷åâèäíî,
|F \ Q| ≥
k+1
− 1 − (p − 1) ≥ 1.
2
Ãðàô G − ai , êàê óæå ñêàçàíî âûøå, k -ñâÿçåí. Îäíàêî, ñîñòîÿùåå ìåíåå
÷åì èç k âåðøèí ìíîæåñòâî (R \ P 0 ) ∪ Q îòäåëÿåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî
F \ Q îò îñòàëüíûõ âåðøèí k -ñâÿçíîãî ãðàôà G − ai , ÷òî íåâîçìîæíî.
Ñëåäîâàòåëüíî, |Q| ≥ p, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
3.
Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 5.2. Ïóñòü â ãðàôå G∗ ñóùåñòâó-
åò ñîñòîÿùåå íå áîëåå ÷åì èç k − 1 âåðøèí ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî T . Ïî
ëåììå 5.7, â ãðàôå G∗ − T â îäíó êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè U ïîïàäóò âñå
íåóäàëåííûå âåðøèíû, íå âõîäÿùèå â P , è áîëåå ïîëîâèíû íåóäàëåííûõ
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
ÃÐÀÔÀ
152
âåðøèí ìíîæåñòâà P . Çíà÷èò, â G∗ −T åñòü êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè P 0 ⊂ P ,
ïðè÷åì |P 0 | ≤
k−1
2 .
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííîñòè ÷àñòåé A1 , . . . ,
A` ñîäåðæàò âåðøèíû, ñìåæíûå ñ P 0 â èñõîäíîì ãðàôå G, à âíóòðåííîñòè
÷àñòåé A`+1 , . . . , An íå ñîäåðæàò.
Ïî ëåììå 5.8, âíóòðåííîñòü êàæäîé èç ÷àñòåé B1 , . . . , B` ∈ Part(S) ñîäåðæèò ïî âåðøèíå, ñìåæíîé ñ P 0 â ãðàôå G∗ . Âñå ýòè ` âåðøèí ðàçëè÷íû
è äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ â T . Èç |T | ≤ k − 1 ñëåäóåò, ÷òî ` ≤ k − 1.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âêëþ÷åíèå P 0 ⊂ Bound2 (Ai )
âûïîëíÿåòñÿ â òî÷íîñòè äëÿ i ∈ {1, . . . , s}. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ èç ëåììû 5.8. Ïðè i ∈ {1, . . . , s} â Int(Ai ) \ {ai } åñòü ðîâíî ti âåðøèí,
ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Ïî ïóíêòó 2
ëåììû 5.8, ïðè i ∈ {s + 1, . . . , `} â Int(Bi ) \ {ai } åñòü õîòÿ áû p âåðøèí,
ñìåæíûõ ñ P 0 â ãðàôå G∗ , è âñå ýòè âåðøèíû âõîäÿò â T . Òàêèì îáðàçîì,
ìû èìååì íåðàâåíñòâî
s
X
ti + p(` − s) ≤ k − 1.
(5.4)
k=1
Ïî ïóíêòó 1 ëåììû 5.8, äëÿ i ∈ {1, . . . , s} âåðøèíà ai ñìåæíà íå áîëåå
÷åì ñ ti âåðøèíàìè èç P 0 . Äëÿ i ∈ {s + 1, . . . , `} âåðøèíà ai ñìåæíà íå
áîëåå ÷åì ñ |P 0 | = p âåðøèíàìè èç P 0 . Ïóñòü W 0 = {a1 , . . . , a` }. Ó÷èòûâàÿ
íåðàâåíñòâî (5.4), ïîëó÷àåì
0
0
eG (P , W ) ≤
s
X
ti + p(` − s) ≤ k − 1.
(5.5)
k=1
Òåïåðü îöåíèì ñóììó ñòåïåíåé âåðøèí ìíîæåñòâà P 0 . Íàïîìíèì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ íå ìåíåå 2k−1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåðøèíà ìíîæåñòâà P 0 ìîæåò
áûòü ñìåæíà â ãðàôå G òîëüêî ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâ T , W 0 è äðóãèìè
âåðøèíàìè èç P 0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |P 0 | = p è |T | ≤ k − 1, ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà (5.5) ïîëó÷àåì
p(2k − 1) ≤ p(p − 1) + p(k − 1) + eG (P 0 , W 0 ) ≤ p(p − 1) + (p + 1)(k − 1).
ÃËÀÂÀ 5. ÓÄÀËÅÍÈÅ ÂÅÐØÈÍ ÈÇ
k -ÑÂßÇÍÎÃÎ
153
ÃÐÀÔÀ
Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî
(5.6)
p2 − (k + 1)p + k − 1 ≥ 0.
Ìåíüøèé êîðåíü ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ìåíüøå 1, à
áîëüøèé êîðåíü áîëüøå k . Ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå 1 ≤ p ≤
k−1
2 ,
íåðà-
âåíñòâî (5.6) íå âûïîëíåíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô G∗ ÿâëÿåòñÿ k -ñâÿçíûì.
Ýòî ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ãëàâà 6
Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì
êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ
Ãëàâà ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó íèæíèõ îöåíîê íà u(G) (òî åñòü, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ñâÿçíîãî ãðàôà G). Äîêàçàòåëüñòâî êàæäîé îöåíêè áóäåò ñîïðîâîæäåíî àëãîðèòìîì
ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì ëèñòüåâ.
Äëÿ êàæäîé îöåíêè áóäåò ïîñòðîåíà áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ ãðàôîâ ýêñòðåìàëüíûõ ïðèìåðîâ (ó êîòîðûõ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå ðàâíÿåòñÿ âåëè÷èíå èç íèæíåé îöåíêè).
6.1
Íèæíÿÿ îöåíêà íà
u(G)
÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí
ñòåïåíåé 3 è íå ìåíåå 4
Òåîðåìà 6.1.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô ñ áîëåå, ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíè
íå ìåíåå 4. Òîãäà
2
1
8
u(G) = t + s + α, ãäå α ≥ .
5
5
5
Áîëåå òîãî, α ≥ 2, êðîìå òð¼õ ãðàôîâ-èñêëþ÷åíèé: C62 , C82 (êâàäðàòû
öèêëîâ íà 6 è 8 âåðøèíàõ) è ðåãóëÿðíîãî ãðàôà G8 ñòåïåíè 4 íà 8 âåð154
155
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
øèíàõ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 6.1.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
r
b
b
b
C 62
b
2
C8
b
b
b
b
b
G8
Ðèñ. 6.1: Ãðàôû-èñêëþ÷åíèÿ.
Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.1. Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 6.1.
Ïóñòü H ïðîèçâîëüíûé ãðàô. ×åðåç S(H) îáîçíà-
÷èì ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíè 3 â ãðàôå H , à ÷åðåç T (H) ìíîæåñòâî
âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå H .
Ïóñòü x ∈ V (H). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà cH (x) âåðøèíû x â ãðàôå H ýòî
cH (x) =




2
5
ïðè x ∈ T (H),
ïðè x ∈ S(H),



1
5
0
ïðè x ∈
/ T (H) ∪ S(H).
Ñòîèìîñòüþ ãðàôà H íàçîâ¼ì âåëè÷èíó
X
1
2
c(H) =
cH (x) = |T (H)| + |S(H)|.
5
5
x∈V (H)
Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåðøèí U ⊂ V (H) ìû îïðåäåëèì ñòîèìîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà â ãðàôå H êàê
cH (U ) =
X
cH (x).
x∈U
Äëÿ ëþáîãî äåðåâà F ïîäãðàôà ãðàôà H ìû îïðåäåëèì åãî ñòîè-
ìîñòü â ãðàôå H êàê
cH (F ) = cH (V (F )).
156
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Äëÿ ëþáîãî îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà H ââåäåì îáîçíà÷åíèå
α(F ) = u(F ) − c(H).
Ïóñòü α(H) ýòî ìàêñèìóì α(F ) ïî âñåì îñòîâíûì äåðåâüÿì F ãðàôà H .
Çàìå÷àíèå 6.1.
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
u(G) = c(G) + α(G).
Òàêèì îáðàçîì, ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ G, êðîìå òð¼õ èñêëþ÷åíèé.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ
âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ òåîðåìà óæå äîêàçàíà.
6.1.1
Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà
Ñíà÷àëà ìû èçìåíèì ãðàô òàê, ÷òîáû ñ íèì áûëî óäîáíåå ðàáîòàòü. Îïèøåì äâà ðåäóêöèîííûõ ïðàâèëà.
Ïóñòü x ∈ V (G), dG (x) = 2, NG (x) = {a, b}, ïðè÷¼ì a è b íåñìåæ-
R1.
íû.
Ìû çàìåíèì ãðàô G íà ãðàô G0 = G − x + ab. Î÷åâèäíî, c(G0 ) = c(G).
x
R1
b
a
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a1
b
b
R2
b
b
a2
b
b
a
b
Ðèñ. 6.2: Ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà.
R2.
Ïóñòü a1 , a2 ∈ S ñìåæíûå âåðøèíû, NG (a1 ) ∩ NG (a2 ) = ∅.
Ìû çàìåíèì ãðàô G íà G0 = G · a1 a2 . Ïóñòü a = a1 · a2 . Ïîíÿòíî, ÷òî
dG0 (a) = 4, à òîãäà c(G0 ) = c(G).
 îáîèõ ñëó÷àÿõ îñòîâíîå äåðåâî F 0 ãðàôà G0 ìû áåç òðóäà ñìîæåì
ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî F ãðàôà G c íåìåíüøèì ÷èñëîì âèñÿ÷èõ
âåðøèí è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ α(F ) ≥ α(F 0 ). Òàêèì îáðàçîì, α(G) ≥ α(G0 ).
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Çàìå÷àíèå 6.2.
157
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäó-
þùèì óñëîâèÿì:
ëþáàÿ âåðøèíà ñòåïåíè 2 âõîäèò â òðåóãîëüíèê ñ äâóìÿ âåðøèíàìè
ñâîåé îêðåñòíîñòè;
2◦ íåò äâóõ ñìåæíûõ âåðøèí ñòåïåíè 3, îêðåñòíîñòè êîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòñÿ.
1◦
6.1.2
Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî, èñïîëüçóÿ ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí, êàê è â ðàáîòàõ [19, 9].
Îïðåäåëåíèå 6.2.
Ïóñòü äåðåâî F ïîäãðàô ñâÿçíîãî ãðàôà G.
Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x äåðåâà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè NG (x) ⊂ V (F )
è æèâîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí äåðåâà F ìû
áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç b(F ).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
α0 (F ) =
2
13
u(F ) + b(F ) − cG (F ).
15
15
Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G îñòîâíîå äåðåâî ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî øàãàì äîáàâëÿÿ ê íåìó âåðøèíû. Ïóñòü S = S(G), à T = T (G).
Ïîäðîáíåå îñòàíîâèìñÿ íà øàãå àëãîðèòìà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A). Ïóñòü
ïåðåä øàãîì A ìû èìååì äåðåâî F (åñòåñòâåííî, F ïîäãðàô ãðàôà G).
×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â äåðåâå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t
è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â äåðåâî F âåðøèí èç T è
èç S ñîîòâåòñòâåííî.
Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó
p(A) =
2
2
1
13
∆u + ∆b − ∆t − ∆s.
15
15
5
5
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
158
Åñëè F1 äåðåâî, ïîëó÷åííîå ïîñëå øàãà A, òî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
α0 (F1 ) = α0 (F ) + p(A). Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ
äîõîä íåîòðèöàòåëåí.
Çàìå÷àíèå 6.3.
1) Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ
ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ.
Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî
âèñÿ÷èå âåðøèíû áóäóò ì¼ðòâûìè.
2) Òàê êàê ó îñòîâíîãî äåðåâà F ãðàôà G âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ì¼ðòâûå, â ýòîì ñëó÷àå α0 (F ) = α(F ).
Ñíà÷àëà ìû îïèøåì âñå âîçìîæíûå øàãè, à ïîòîì ðàñcìîòðèì íà÷àëî
ïîñòðîåíèÿ è îöåíèì α(T ) äëÿ ïîñòðîåííîãî îñòîâíîãî äåðåâà T .
Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí,
íå âîøåäøèõ â äåðåâî F , ÷åðåç W . Âåðøèíû ìíîæåñòâà W , ñìåæíûå õîòÿ
áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Íå âîøåäøèå
â óðîâåíü 1 âåðøèíû èç W , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé óðîâíÿ 1,
íàçîâåì âåðøèíàìè óðîâíÿ 2.
Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x èç W ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ
âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x.
6.1.3
Øàã àëãîðèòìà
Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé øàã àëãîðèòìà, ïåðåõîäÿ ê
ñëåäóþùåìó âàðèàíòó, òîëüêî êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç
ïðåäûäóùèõ. Äîïîëíèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå
áóäåì.
çàêîí÷åííîãî øàãà (òî åñòü øàãà, èìåþùåãî íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä) ìû áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà: ∆u, ∆b è
äîõîä ñäåëàííîãî øàãà. Âñå ýòè ïàðàìåòðû ïîíàäîáÿòñÿ íàì â ïîñëåäíåì
ðàçäåëå ðàáîòû. Êîëè÷åñòâî âåðøèí, äîáàâëåííûõ â äåðåâî íà øàãå, íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ýòîãî øàãà!
Ïîñëå êàæäîãî
159
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Íà÷íåì ñ øàãà, êîòîðûé òàêîâûì ôàêòè÷åñêè íå ÿâëÿåòñÿ, íî ïîìîæåò
íàì â îïèñàíèè äðóãèõ øàãîâ.
Z0.
Âèñÿ÷àÿ âåðøèíà v äåðåâà F , ïîñ÷èòàííàÿ ðàíåå êàê æèâàÿ, îêà-
çàëàñü ì¼ðòâîé.
 ýòîì ñëó÷àå ìû íå áóäåì ìåíÿòü äåðåâî. Ó÷èòûâàÿ èíôîðìàöèþ î âåðøèíå v ìû ïîëó÷àåì
∆u = 0,
∆b = 1,
p(Z0) =
2
.
15
Ïðè îïèñàíèè øàãîâ ìû áóäåì ñ÷èòàòü æèâûìè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íå ñêàçàíî, ÷òî îíè ì¼ðòâûå. Äîáàâëåíèå ëèøíåé
ì¼ðòâîé âåðøèíû áóäåò îôîðìëåíî, êàê øàã Z0.
Çàìå÷àíèå 6.4.
Øàãè òèïà
A
Îïðåäåëåíèå 6.3.
Ïóñòü x ∈ V (G), W ⊂ V (G). ×åðåç dG,W (x) îáîçíà÷èì
êîëè÷åñòâî âåðøèí èç ìíîæåñòâà W , ñìåæíûõ ñ x.
 ïåðâûõ ÷åòûð¼õ âàðèàíòàõ â äåðåâî äîáàâëÿþòñÿ íîâûå âèñÿ÷èå âåðøèíû.
A1. Â
äåðåâå F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ W .
Òîãäà ïðèñîåäèíèì y ê x. Òàê êàê cG (x) ≤ 52 , ìû ïîëó÷àåì
∆u = 1,
A2.
∆b = 0,
p(A1) ≥
13 2
7
− = .
15 5 15
 äåðåâå F åñòü òàêàÿ âåðøèíà x, ÷òî dG,W (x) ≥ 2.
Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê x äâå ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû èç W . Òàê êàê ñòîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 2 · 52 , ìû ïîëó÷àåì
∆u = 1,
∆b = 0,
p(A2) ≥
13
2
1
−2· = .
15
5 15
160
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
A3.
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) ≥ 3.
Òîãäà ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíó x è çàòåì òðè ñìåæíûõ ñ x âåðøèíû ìíîæåñòâà W . Ñòîèìîñòü ÷åòûðåõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 4 ·
2
5
è ìû èìååì
∆u = 2,
x
p(A3) ≥ 2 ·
∆b = 0,
b
F
b
F
b
b
b
x
b
b
13
2
2
−4· = .
15
5 15
b
b
A2
b
x
y
b
b
A4
A3
b
b
b
Ðèñ. 6.3: Øàãè òèïà A.
íåâèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F íå
ñìåæíû ñ âåðøèíàìè èç W , êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ñìåæíà íå áîëåå ÷åì
ñ îäíîé âåðøèíîé èç W è, íàêîíåö, êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå
áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W .
 ÷àñòíîñòè, åñëè x ∈ T âåðøèíà óðîâíÿ 1, òî |P (x)| ≥ 2 è ïðè
ïðèñîåäèíåíèè âåðøèíû x ê äåðåâó õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x)
ñòàíåò ì¼ðòâîé.
Çàìå÷àíèå 6.5.
A4.
Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ðîâíî ñ îäíîé
âåðøèíîé èç W , ïðè÷¼ì ýòà âåðøèíà y ∈ T óðîâíÿ 2.
Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó F âåðøèíû x, y è òðè îòëè÷íûå îò x âåðøèíû
èç W , ñìåæíûe ñ y (âåðøèíà y íå ñìåæíà ñ äåðåâîì F ). Ñòîèìîñòü ïÿòè
äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå
∆u = 2,
∆b = 1,
1
5
+4·
2
5
=
9
5
p(A4) ≥ 2 ·
è ìû èìååì
13
2
9
1
+
− = .
15 15 5 15
161
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Øàãè òèïîâ
M
è
N
Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé.
M.
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2.
Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x. Öåíà ýòîé âåðøèíû ñîñòàâëÿåò 52 .
Âåðøèíà x ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F (ñì.
ðèñ. 6.4), îäíà èç íèõ òî÷íî ñòàíåò ìåðòâîé. Ïðèñîåäèíèì äâå ñìåæíûå ñ x
âåðøèíû y1 , y2 ∈ W , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã A2. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå
âûøå, ìû ïîëó÷èì
∆u = 1,
N.
∆b = 1,
p(M ) ≥
2
3
2
− + p(A2) ≥ − .
15 5
15
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ÷òî dG,W (x) = 2.
Ìû ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó âåðøèíó x è äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû y1 , y2 ∈ W
è ïîëó÷èì àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ
∆u = 1,
∆b = 0,
2
1
p(N ) = − + p(A2) ≥ − .
5
15
Øàãè M è N ìû íå ñ÷èòàåì çàêîí÷åííûìè. Ìû äîáàâèëè â äåðåâî
âåðøèíû x, y1 , y2 , îäíàêî, ïóñòü F ïîêà ÷òî îáîçíà÷àåò äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïîñëå ïðåäûäóùåãî
çàêîí÷åííîãî øàãà. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ øàãîâ M
è N ìû ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà èç V (F ) ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç W ;
êàæäàÿ âåðøèíà ïåðâîãî óðîâíÿ ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W .
Òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå
3
15 .
íå âêëþ÷àþò
â ñåáÿ âûïîëíåííûå ðàíåå øàãè M èëè N . Ïðè ïîäñ÷åòå ïàðàìåòðîâ øàãîâ
âåðøèíû, äîáàâëåííûå íà ïðåäøåñòâóþùåì øàãå M èëè N , íå ó÷èòûâàþòñÿ.
Øàãè, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì äàëåå â ýòîì ðàçäåëå,
Ïðèñòóïèì ê ðàçáîðó ñëó÷àåâ.
162
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
y1 , y2 6∈ T .
1.
Ýòè âåðøèíû ñòîÿò äåøåâëå, ÷åì áûëî ïîñ÷èòàíî, ÷òî äîáàâëÿåò äîõîä
õîòÿ áû 25 . Ïîëó÷àåì
6
.
15
p(1) ≥
∆u = ∆b = 0,
Ïóñòü W1 = W \ {x, y1, y2}.
Åñëè ðîâíî îäíà èç âåðøèí y1 è y2 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî ìû
äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî y1 ∈ T .
Åñëè æå y1, y2 ∈ T , òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî dG,W (y1) ≥ dG,W (y2).
1
b
x
b
y
1
F
b
b
M
b
b
b
y
2
y
1
F
1
x
y
b
b
N
b
y
b
2
x
b
b
b
y
y
1
b
b
2
y
b
3.1
b
b
x
b
F
b
b
b
b
2
b
F
b
1
2
y
1
b
b
x
3.2
y
b
2
Ðèñ. 6.4: Øàãè M , N , 2, 3.1 è 3.2.
2.
dG,W1 (y1 ) ≥ 3.
Ïðèñîåäèíèì ê äåðåâó òðè ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W1 , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàãè A2 è A1. Ïîëó÷àåì
∆u = 2,
3.
∆b = 0,
p(2) = p(A1) + p(A2) ≥
8
.
15
dG,W1 (y1 ) ≤ 1.
Âåðøèíà y1 ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ òðåìÿ íå âõîäÿùèìè â äåðåâî F âåðøèíàìè: ýòî x è, âîçìîæíî, y2 è îäíà âåðøèíà èç W1 . Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4,
òî y1 âåðøèíà óðîâíÿ 1. Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 ìû èìååì |P (y1 )| ≥ 2, ÷òî
äîáàâèò íàì õîòÿ áû äâå ì¼ðòâûõ âåðøèíû. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
3.1.
Åñëè y2 ∈ T , òî ïî âûáîðó âåðøèíû y1 ìû èìååì dG,W1 (y2 ) ≤ 1.
Àíàëîãè÷íî ñêàçàííîìó âûøå äëÿ âåðøèíû y1 , ìû ïîëó÷àåì åùå äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû.  ýòîì ñëó÷àå
∆u = 0,
∆b = 4,
p(3.1) = 4 ·
2
8
= .
15 15
163
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
3.2.
Åñëè y2 6∈ T , òî ýòî äîáàâèò íàì õîòÿ áû
(âåðøèía y2 ñòîèò
1
5
äåøåâëå, ÷åì ïîñ÷èòàíî ðàíåå).  ýòîì ñëó÷àå
∆u = 0,
2
7
1
+2·
= .
5
15 15
p(3.2) ≥
∆b = 2,
dG,W1 (y1 ) = 2.
4.
Ïóñòü z1 è z2 äâå ñìåæíûå ñ y1 âåðøèíû èç ìíîæåñòâà W1 . Ïðèñîåäèíèì
ê äåðåâó âåðøèíû z1 è z2 (÷åðåç y1 ), âûïîëíèâ øàã A2 è ïîëó÷èì
p(4) = p(A2) ≥
1
.
15
Ïîñêîëüêó ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü ñëó÷àè.
b
x
y
1
z1
b
b
y
b
b
b
b
F
b
x
b
1
z2
z1
4
F
y
y
2
b
b
b
b
b
4.1.1
z2
b
b
1
z1
y
y
y
2
b
x
b
b
2
b
z1
z2
b
4.1.2
1
x
b
b
b
4.3
y
b
2
z2
Ðèñ. 6.5: Øàãè 4, 4.1.1, 4.1.2 è 4.3.
4.1.
Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F .
Ïóñòü, íàïðèìåð, âåðøèíà z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F , òî åñòü, âõîäèò â óðîâåíü 1. Äëÿ îñòàëüíûõ âåðøèí ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû.
4.1.1.
Åñëè z1 ∈ T , òî ïî çàìå÷àíèþ 6.5, âåðøèíà z1 äîëæíà áûòü ñìåæ-
íà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå
âåðøèíû è îáåñïå÷èò
∆u = 1,
4.1.2.
∆b = 2,
p(4.1.1) ≥ p(4) + 2 ·
5
2
≥ .
15 15
Åñëè z1 6∈ T , òî âåðøèíà z1 ñòîèò äåøåâëå ìèíèìóì íà 15 , íî
äîáàâëÿåò ëèøü îäíó ì¼ðòâóþ âåðøèíó. Ïîýòîìó
∆u = 1,
∆b = 1,
p(4.1.2) ≥ p(4) +
1
2
6
+
≥ .
5 15 15
164
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ñðåäè âåðøèí y2 , z1 , z2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T .
4.2.
Ýòî óâåëè÷èò äîõîä õîòÿ áû íà 15 , â ðåçóëüòàòå
∆u = 1,
p(4.2) ≥ p(4) +
∆b = 0,
4
1
≥ .
5 15
NG (y2 ) = {x, y1 , z1 , z2 }.
4.3.
Òîãäà âåðøèíà y2 îêàçûâàåòñÿ ì¼ðòâîé, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ
∆u = 1,
p(4.3) ≥ p(4) +
∆b = 1,
2
3
= .
15 15
 îñòàâøèõñÿ äî êîíöà ðàçáîðà
øàãîâ M è N ñëó÷àÿõ âåðøèíû y1, y2, z1, z2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è
íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y1, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ
âåðøèíàìè èç W1, à çíà÷èò, âåðøèíû y1 è y2 ñìåæíû, dG(y1) = dG(y2) = 4.
Âåðøèíà y2 íå ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí z1, z2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà ñ z1. Òîãäà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ
âåðøèíàìè èç W2 = W \ {x, y1, y2, z1, z2}.
Çàìå÷àíèå 6.6.
Èòàê, ïîäâåä¼ì èòîãè.
dG,W2 (z1 ) ≥ 3.
4.4.
Äîáàâèì òðè ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû ìíîæåñòâà W2 â äåðåâî, ñäåëàâ øàã A2
è øàã A1.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
∆u = 3,
b
x
y
1
b
z1
b
b
4.4
b
y
b
b
b
b
p(4.4) ≥ p(4) + p(A2) + p(A1) ≥
∆b = 0,
x
y
2
1
z1
z2
p
1
b
b
b
b
b
b
p
b
b
y
F
b
b
Ðèñ. 6.6: Øàãè 4.4, 4.5, 4.5.1.
y
1
z2
4.5
x
y
2
2
9
.
15
b
p
1
b
b
z1
b
b
b
4.5.1
p
2
z2
2
165
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
4.5.
dG,W2 (z1 ) = 2.
Îáîçíà÷èì äâå ñìåæíûå ñ z1 âåðøèíû èç W2 ÷åðåç p1 è p2 è äîáàâèì â
äåðåâî (ñì. ðèñóíîê 6.6), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ åùå îäèí øàã A2.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
p(4.5) ≥ p(4) + p(A2) ≥
2
.
15
Ýòîãî íå õâàòàåò, ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ.
4.5.1.
Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà, ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæå-
ñòâó T è ñìåæíàÿ ñ äåðåâîì F .
Ïóñòü ýòî âåðøèíà p1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.5 îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ
âåðøèíàìè äåðåâà F , ÷òî äîáàâèò íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû è îáåñïå÷èò
∆u = 2,
Çàìå÷àíèå 6.7.
âîì F .
4.5.2.
∆b = 2,
p(4.5.1) ≥ p(4.5) + 2 ·
6
2
≥ .
15 15
Äàëåå âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 íå ñìåæíû ñ äåðå-
Ñðåäè âåðøèí p1 , p2 åñòü âåðøèíà íå èç ìíîæåñòâà T .
Ýòî óâåëè÷èò äîõîä íà 15 , ïîëó÷èòñÿ
∆u = 2,
4.5.3.
∆b = 0,
p(4.5.2) ≥ p(4.5) +
3
5
≥ .
15 15
Ñðåäè âåðøèí y2 , z2 , p1 , p2 åñòü âåðøèíà, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøè-
íàìè èç W3 = W \ {x, y1 , y2 , z1 , z2 , p1 , p2 }.
Òîãäà â ïîñòðîåííîì äåðåâå ýòà âåðøèíà ì¼ðòâàÿ, ÷òî óâåëè÷èâàåò äîõîä îò øàãà íà
2
15 .
Ïîýòîìó
∆u = 2,
∆b = 1,
p(4.5.3) ≥ p(4.5) +
2
4
≥ .
15 15
Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû y1, y2, z1, z2, p1, p2 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T è íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F . Êàæäàÿ èç âåðøèí y2, z2, p1, p2
ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3.
Çàìå÷àíèå 6.8.
166
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
4.5.4.
dG,W3 (p1 ) ≥ 2 èëè dG,W3 (p2 ) ≥ 2.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî dG,W3 (p1 ) ≥ 2. Äîáàâèì äâå ñìåæíûå c p1 âåðøèíû q1 , q2 ∈ W3 â äåðåâî, âûïîëíèâ øàã A2. Ïîëó÷èòñÿ
∆u = 3,
4.5.5.
3
1
≥ .
15 15
p(4.5.4) ≥ p(4.5) +
∆b = 0,
dG,W3 (p1 ) = dG,W3 (p2 ) = 1.
Òîãäà âåðøèíà p1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p2 , y2 , z2 , à âåðøèíà p2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ èç âåðøèí p1 , y2 , z2 . Íàïîìíèì, ÷òî ïî
çàìå÷àíèþ 6.6 âåðøèíû y1 è y2 cìåæíû è dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4. Ïîñêîëüêó y2 ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç W3 , òî y2 íå ìîæåò áûòü
ñìåæíà è ñ p1 , è ñ p2 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî y2 íå ñìåæíà
ñ p1 . Òîãäà dG (p1 ) = 4, âåðøèíà p1 ñìåæíà ñ p2 è z2 (ñì. ðèñ. 6.7a).
Çàìåòèì, ÷òî âåðøèíà z2 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ p2 . (Èíà÷å z2 áûëà
áû ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè èç W \{x, y1 , y2 , z1 , z2 }: ýòî p1 , p2 è âåðøèíà
èç W3 . Òîãäà ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü øàã, àíàëîãè÷íûé øàãó 4.4, äîáàâèâ ýòè òðè âåðøèíû ê z2 .) Çíà÷èò, âåðøèíà p2 ñìåæíà ñ y2 è dG (p2 ) = 4
(ñì. ðèñ. 6.7b).
Êðîìå òîãî, y2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W1 = W \{x, y1 , y2 }
ïî çàìå÷àíèþ 6.6. Òàê êàê y2 ñìåæíà ñ p2 è âåðøèíîé èç W3 , îíà íå ñìåæíà
íè ñ z1 , íè ñ z2 . Òîãäà z1 ñìåæíà ñ z2 è dG (z1 ) = dG (z2 ) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7c).
b
x
y
1
z1
b
y
b
b
b
2
1
b
z2
p
1
b
b
a
x
y
p
2
z1
b
y
b
y
2
b
b
1
b
z2
p
b
1
b
b
x
p
2
z1
y
b
b
b
1
2
b
z2
p
b
1
b
x
b
y
p
2
z1
c
y
b
b
b
2
1
b
z2
p
1
b
b
b
x
b
y
r
d
p
2
z1
y
b
b
b
2
b
z2
p
b
b
1
b
r
p
2
e
Ðèñ. 6.7: Øàã 4.5.5.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç r åäèíñòâåííóþ ñìåæíóþ ñ y2 âåðøèíó èç ìíîæåñòâà W3 . Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå ñäåëàííûì âûøå äëÿ y1 ðàññóæ-
167
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
äåíèÿ øàãà 4 äëÿ âåðøèíû y2 . Îêàæåòñÿ, ÷òî ñìåæíûå ñ y2 âåðøèíû r
è p2 ñìåæíû äðóã ñ äðóãîì è, êðîìå òîãî, dG (r) = 4 (ñì. ðèñ. 6.7d).
Ïðîäîëæàÿ ýòè ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû p2 è ñìåæíûõ ñ íåé p1 è z1
ìû óáåäèìñÿ, ÷òî îäíà èç âåðøèí p1 è z1 äîëæíà áûòü ñìåæíà ñ r. Ïîñêîëüêó z1 íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ r, òî âåðøèíû p1 è r ñìåæíû.
Òåïåðü ïîíÿòíî (ñì. ðèñ. 6.7d), ÷òî z2 ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè
ìíîæåñòâà W2 : ýòî p1 è íåêàÿ âåðøèíà r0 ∈ W3 .  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî
ïîâòîðèòü íàïèñàííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåðøèíû z2 âìåñòî z1 è
ïîëó÷èòü, ÷òî p1 ñìåæíà ñ r0 . Ñëåäîâàòåëüíî, r = r0 è z2 ñìåæíà ñ r. Ìû
ïîëó÷èëè êîíôèãóðàöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 6.7e.
Äîáàâèì â äåðåâî âåðøèíó r, ïðèñîåäèíèâ åå ê îäíîé èç ñìåæíûõ ñ
íåé âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî íè îäíà èç äîáàâëåííûõ â äåðåâî âåðøèí â
ýòîì ñëó÷àå íå èìååò ñìåæíûõ âåðøèí âíå äåðåâà. Ïðîèçâåä¼ì ïîäñ÷¼ò
ïàðàìåòðîâ ýòîãî øàãà: ∆t = 5,
∆u = 2,
Çàìå÷àíèå 6.9.
∆b = 4,
p(4.5.5) ≥ 2 ·
2
2
4
13
+4·
−5· = .
15
15
5 15
1) Îêàçàëîñü, ÷òî â ïðîäîëæåíèè øàãîâ M è N âñåãäà
ìîæíî âûïîëíèòü øàã ñ äîõîäîì íå ìåíåå
3
15 ,
÷òî â ñóììå äàåò íåîòðè-
öàòåëüíûé äîõîä. Ïîñëå øàãîâ M è N ìû îáÿçàòåëüíî áóäåì âûïîëíÿòü
îïèñàííûå âûøå øàãè è ïîëó÷àòü íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä. Îáîçíà÷åíèå
M 4.2 áóäåò îçíà÷àòü øàã, ñîñòîÿùèé èç M è 4.2, àíàëîãè÷íî ñ îñòàëüíûìè
øàãàìè. Íàçîâåì òàêèå øàãè M N -øàãàìè.
Íóëåâîé äîõîä ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî â M N -øàãàõ M 4.3 è M 4.5.4.  îñòàëüíûõ M N -øàãàõ äîõîä íå ìåíåå 151 . Âñå M N -øàãè, êðîìå M 4.5.5 è N 4.5.5,
íå ìîãóò áûòü ïîñëåäíèìè, òàê êàê äîáàâëÿþò õîòÿ áû îäíó æèâóþ âåðøèíó.
2) Îñòàþòñÿ ëèøü âàðèàíòû, â êîòîðûõ êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà
íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé ìíîæåñòâà W (èíà÷å ìû âûïîëíèëè áû
øàã A3 èëè îäèí èç M N -øàãîâ).
168
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Øàãè òèïà
Z
 ñëåäóþùèõ âàðèàíòàõ êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí ïîñòðîåííîãî äåðåâà
íå èçìåíÿåòñÿ, íî óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ì¼ðòâûõ âåðøèí.
Z1.
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà óðîâíÿ 1, íå ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè èç W .
Ïóñòü ýòî âåðøèíà w. Òîãäà NG (w) = P (w). Äîáàâèì âåðøèíó w â äåðåâî,
â ðåçóëüòàòå âñå âåðøèíû èç NG (w), êðîìå îäíîé, ñòàíóò ì¼ðòâûìè, òàê
æå êàê è âåðøèíà w. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∆b = dG (w).
Z1.1.
w ∈ T.
 ýòîì ñëó÷àå äîáàâèëîñü dG (w) ≥ 4 ìåðòâûõ âåðøèí. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî íà ýòîì øàãå äîáàâèëîñü ðîâíî 4 ìåðòâûõ âåðøèíû, à åñëè èõ íà
ñàìîì äåëå äîáàâèëîñü áîëüøå, îôîðìèì ýòî êàê dG (w) − 4 øàãîâ Z0.
Òàêèì îáðàçîì äëÿ øàãà Z1.1 ìû èìååì
∆u = 0,
Z1.2.
∆b = 4,
p(Z1.1) = 4 ·
2
2
2
− = .
15 5 15
p(Z1.2) = 3 ·
2
1
3
− = .
15 5 15
w ∈ S.
 ýòîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû øàãà
∆u = 0,
Z1.3.
∆b = 3,
w 6∈ S ∪ T .
 ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ p(Z1.3) = ∆b ·
2
15
> 0. Ýòîò øàã ìîæíî íå
ðàññìàòðèâàòü, òàê êàê ïàðàìåòðû ýòîãî øàãà â òî÷íîñòè ðàâíû ïàðàìåòðàì ∆b ïîñëåäîâàòåëüíûõ øàãîâ Z0. (Íàïîìíèì, ÷òî êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ âåðøèí íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì øàãà.)
Z2.
Ñóùåñòâóåò äâå ñìåæíûå âåðøèíû v è w ïåðâîãî óðîâíÿ.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 òîãäà îñòàëüíûå ñìåæíûå ñ v è w âåðøèíû ýòî âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà F . Î÷åâèäíî, dG (v) ≥ 2 è dG (w) ≥ 2. Åñëè, íàïðèìåð,
dG (v) = 2 è NG (v) = {x, w}, òî x âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , ñìåæíàÿ
ñ w (èíà÷å ìû ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1) è dG,W (x) ≥ 2,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàìå÷àíèþ 6.5.
169
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî v, w ∈ S ∪ T . Ñëó÷àé v, w ∈ S íåâîçìîæåí, â íåì ìû áû ïðèìåíèëè ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R2. Äîáàâèì âåðøèíû
w è v â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ ê ñìåæíûì ñ íèìè âåðøèíàì, â ðåçóëüòàòå v
è w ñòàíóò ì¼ðòâûìè è
∆b = dG (w) + dG (v) − 2.
Êàê è â ñëó÷àå Z1.1, ìû áóäåì çàïèñûâàòü â ïàðàìåòðû øàãîâ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûå ∆b è ïðè íåîáõîäèìîñòè ïðèìåíÿòü øàãè Z0.
Z2.1.
Z2.2.
Z3.
Åñëè îäíà èç âåðøèí v è w ëåæèò â S , à äðóãàÿ â T , òî
2
1 2
1
∆u = 0, ∆b = 5, p(Z2.1) = 5 ·
− − = .
15 5 5 15
Ïðè v, w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ
2
2
∆u = 0, ∆b = 6, p(Z2.2) = 6 ·
− 2 · = 0.
15
5
Âåðøèíà w óðîâíÿ 1 ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W \ (S ∪ T ).
Äîáàâèì âåðøèíû w è v â äåðåâî. Åñëè dG (v) = 2, òî ìû ëèáî ïðèìåíèëè áû ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1, ëèáî v ñìåæíà ñ P (w). Îáà ñëó÷àÿ
íåâîçìîæíû, ïîýòîìó dG (v) = 1 è â ðåçóëüòàòå âåðøèíà v ñòàíåò ì¼ðòâîé.
Çíà÷èò, ∆b = dG (w) − 1.
Z3.1.
Ïðè w ∈ S ïîëó÷àåòñÿ
∆u = 0,
Z3.2.
∆b = 2,
p(Z3.1) = 2 ·
1
1
2
− = .
15 5 15
Ïðè w ∈ T ïîëó÷àåòñÿ
2
2
− = 0.
15 5
Ïóñòü w âåðøèíà óðîâíÿ 1. Òîãäà w ∈ T , ïðè÷åì âåðøè∆u = 0,
Ëåììà 6.1.
∆b = 3,
p(Z3.2) = 3 ·
íà w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ S ∪ T óðîâíÿ 2 è íå ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ
âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.9 ìû èìååì dG,W (w) ≤ 1. Ïîñêîëüêó
íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z1, òî dG,W (w) = 1, òî åñòü, w ñìåæíà ñ âåðøèíîé v ∈ W .
170
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z2, òî v âåðøèíà óðîâíÿ 2. Òàê êàê
íåëüçÿ âûïîëíèòü øàã Z3, òî v ∈ T ∪ S . Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü
ðåäóêöèþ R1, òî w ∈ T ∪ S .
Íàêîíåö, óñòàíîâèì, ÷òî w ∈ T . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà w ∈ S .
Åñëè ïðè ýòîì v ∈ T , òî ìû âûïîëíèëè áû øàã A4. À â ñëó÷àå v ∈ S ìû
âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2.
Òàêèì îáðàçîì, w ∈ T . Òàê êàê dG,W (w) = 1, âåðøèíà w ñìåæíà íå
ìåíåå, ÷åì ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F .
b
b
w
b
b
F
b
b
b
Z2.1
v
b
b
w
b
F
b
b
b
Z2.2
b
b
b
v
b
b
b
w1
b
b
w2
Z4
b
b
F
G2
b
b
b
b
wn
Ðèñ. 6.8: Øàãè òèïà Z .
Z4.
Ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ â äåðåâî âåðøèíà.
Ïóñòü w1 , . . . , wn âñå âåðøèíû óðîâíÿ 1. Ïî ëåììå 6.1 êàæäàÿ èç íèõ
ñìåæíà õîòÿ áû ñ òðåìÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà F . Âñåãî èìååì õîòÿ
áû 3n ðàçëè÷íûõ æèâûõ âåðøèí, òî åñòü, u(F ) − b(F ) ≥ 3n è
u(F ) = cG (F ) + α0 (F ) +
2
2n
(u(F ) − b(F )) ≥ cG (F ) + α0 (F ) + .
15
5
(6.1)
Ðàçðåæåì âñå ð¼áðà, âåäóùèå îò w1 , . . . , wn ê äåðåâó F , â ðåçóëüòàòå
ãðàô G ðàñïàä¼òñÿ íà G1 = G(V (F )) è ãðàô G2 = G(W ). Ïîñêîëüêó
cG (wi ) − cG2 (wi ) = 52 , òî
2
c(G2 ) = cG (W ) − n · .
5
(6.2)
Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G2 ìîæåò áûòü íåñâÿçíûì, íî â êàæäîé åãî êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè åñòü õîòÿ áû ÷åòûðå âåðøèíû è ñðåäè íèõ åñòü âèñÿ÷àÿ (îäíà èç âåðøèí w1 , . . . , wn ), ïîýòîìó ê êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè
ãðàôà G2 ìîæíî ïðèìåíèòü óòâåðæäåíèå íàøåé òåîðåìû (îíà íå ÿâëÿåòñÿ
171
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
èñêëþ÷åíèåì è ñîäåðæèò ìåíüøå âåðøèí, ÷åì ãðàô G). Ïóñòü â ãðàôå G2
ðîâíî k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü â íåì îñòîâíûé
ëåñ F 0 èç k äåðåâüåâ ñ
u(F 0 ) ≥ c(G2 ) + 2k.
(6.3)
Ïðèñîåäèíèì ê F êàæäóþ èç k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F 0 ïðîèçâîëüíûì ðåáðîì, â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G.
Îöåíèì u(T ) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (6.1), (6.2) è (6.3):
2n
0
0
+ c(G2 ) =
u(T ) = u(F ) + u(F ) − 2k ≥ cG (F ) + α (F ) +
5
cG (V (F )) + α0 (F ) + cG (W ) = c(G) + α0 (F ).
Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì α(G) ≥ α(T ) ≥ α0 (F ).
6.1.4
Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ è îöåíêà
α
Ìû ïîñòàðàåìñÿ íà÷àòü ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 ñ êàê ìîæíî áîëüøèì α0 (F 0 ) è äîêàæåì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äëÿ ëþáîãî ãðàôà, êðîìå òð¼õ
èñêëþ÷åíèé, ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî T ñ α(T ) ≥ 2.
Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, â êàæäîì èç íèõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ âñåõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ íå âûïîëíÿþòñÿ. Íà÷íåì ñî ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2 è, òåì ñàìûì,
çàêîí÷èòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
B1.
 ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, a0 ∈ T , ó êîòîðûõ
NG (a) ∩ NG (a0 ) = ∅.
Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è a0 ñîåäèíåíû
äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå
u(F 0 ) = u ≥ 6,
2
cG (F 0 ) ≤ (u + 2) è
5
α0 (F 0 ) ≥
13
7u − 12
u − cG (F 0 ) ≥
≥ 2.
15
15
172
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
B2.
 ãðàôå åñòü âåðøèíà a ∈ T , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå
áîëåå 2.
Ïóñòü v ∈ NG (a), dG (v) ≤ 2. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Åñëè
dG (v) = 1, òî âåðøèíà v , î÷åâèäíî, ì¼ðòâàÿ. Åñëè æå dG (v) = 2, òî, òàê
êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1, âåðøèíû a è v âõîäÿò â òðåóãîëüíèê, òðåòüÿ âåðøèíà êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ëåæèò â NG (a). Çíà÷èò, è
â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíà v ì¼ðòâàÿ.
Òàêèì îáðàçîì,
u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 4,
2
cG (F 0 ) ≤ u è
5
2
7u + 2
13
− cG (F 0 ) ≥
≥ 2.
α0 (F 0 ) ≥ u +
15
15
15
b(F 0 ) ≥ 1,
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ, â êîòîðûõ α0 (F 0 ) < 2. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îöåíêè α(G) ≥ 2 ìû îáðàòèì âíèìàíèå
íà êîíåö ïîñòðîåíèÿ.
Ëåììà 6.2.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãðàôå íåò êîíôèãóðàöèé, îïèñàííûõ â
ñëó÷àÿõ B1 è B2 è îïèñàííûì âûøå àëãîðèòìîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ñóùåñòâóåò áàçîâîå
äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2.
2) Åñëè íå âûïîëíÿëñÿ øàã Z4, òî ïîñëåäíèé øàã àëãîðèòìà íå äîáàâëÿåò æèâûõ âåðøèí è äà¼ò äîõîä íå ìåíåå
Äîêàçàòåëüñòâî.
1
15 .
1) Âåðí¼ìñÿ ê øàãó Z4 è îòðåçàííîìó îò çàãîòîâêè
äåðåâà F ãðàôó G2 (ñì. ðèñ 6.8), òî÷íåå, ê îäíîé èç åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè G0 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî â G0 ïîïàëè âåðøèíû w1 , . . . , wk
è íå ïîïàëè âåðøèíû wk+1 , . . . , wn . Òàê êàê G0 ìåíüøèé ãðàô ñ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, â íåì åñòü îñòîâíîå äåðåâî T 0 c
α(T 0 ) = u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) ≥ 2.
173
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ðàññìîòðèì äåðåâî T 0 êàê ïîäãðàô ãðàôà G. Ê ñîæàëåíèþ, âåðøèíû
w1 , . . . , wk ñòîÿò â ãðàôå G íå ïî 0, êàê â ãðàôå G0 , à ïî 25 , òî åñòü,
cG (T 0 ) = cG0 (T 0 ) +
2k
.
5
Êðîìå òîãî, òåïåðü ýòè âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 íå ì¼ðòâûå (à
îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû ìåðòâûå), òî åñòü, u(T 0 ) − b(T 0 ) = k . Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, â ãðàôå G ìû èìååì
2
· u(T 0 ) − b(T 0 ) =
α0 (T 0 ) = u(T 0 ) − cG (T 0 ) −
15
2k
2k
2k
0
0
0
0
u(T ) − cG (T ) −
= u(T ) − cG0 (T ) +
≥
−
15
5
15
8k
8k
u(T 0 ) − cG0 (T 0 ) −
≥2− .
15
15
Âñïîìíèì øàã Z4 è ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , k} âûäåëèì äëÿ êàæäîé âåðøèíû wi òðè ñìåæíûå ñ íåé âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 ∈ V (F ). Òàêèå òðîéêè äëÿ
ðàçíûõ âåðøèí íå ïåðåñåêàþòñÿ, âñå èõ âåðøèíû íå âõîäÿò â äåðåâî T 0 .
Âûïîëíèì k ðàç ïî î÷åðåäè ñî âñåìè âåðøèíàìè w1 , . . . , wk øàã A2
è øàã A1, ïðèñîåäèíèâ ê wi âåðøèíû xi1 , xi2 , xi3 .  ñóììå ìû ïîëó÷èì äîõîä k ·
8
15
è ïîñòðîèì áàçîâîå äåðåâî F 0 ñ α0 (F 0 ) ≥ 2.
2) Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé øàã. Íà ýòîì øàãå íå äîáàâèëîñü æèâûõ âåðøèí. Ïðîñìîòðåâ ïàðàìåòðû øàãîâ, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîñëåäíèì
ìîã áûòü òîëüêî îäèí èç øàãîâ Z0, Z1.1, Z1.2, Z2.1, Z2.2, Z3.1, Z3.2,
N 4.5.5 è M 4.5.5. Øàã Z2.2 íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B1, à øàã Z3.2
íåâîçìîæåí, òàê êàê äëÿ ýòîãî øàãà â ãðàôå äîëæíà áûòü êîíôèãóðàöèÿ,
ðàññìîòðåííàÿ â ïóíêòå B2. Ëþáîé èç îñòàëüíûõ øàãîâ äà¼ò äîõîä õîòÿ
áû
1
15 .
íà øàãàõ, íà êîòîðûõ äîáàâëÿþòñÿ æèâûå âåðøèíû, áóäåò ïîñòðîåíî äåðåâî F c
Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåéøåì íàì äîñòàòî÷íî äîêàçûâàòü, ÷òî
α0 (F ) ≥
29
15 .
Ïðîäîëæèì ðàçáîð ñëó÷àåâ.
174
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
B3.
 ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè íå ìåíåå 5.
Íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñî âñåìè
âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Î÷åâèäíî,
u(F 0 ) = dG (a) = u ≥ 5,
2
cG (F 0 ) ≤ (u + 1) è
5
13
7u − 6 29
α0 (F 0 ) ≥ u − cG (F 0 ) ≥
≥ .
15
15
15
Ïî ëåììå 6.2, ýòîãî äîñòàòî÷íî.
B4.
 ãðàôå åñòü âåðøèíà x ∈ S , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé ñòåïåíè íå
áîëåå 2. Ïóñòü
v ∈ NG (x),
dG (v) ≤ 2,
NG (x) = {v, y1 , y2 }.
Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì x ñîåäèíåíà ñî
âñåìè âåðøèíàìè èç å¼ îêðåñòíîñòè. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ B2, âåðøèíà v
áóäåò ì¼ðòâîé. Òàêèì îáðàçîì, u(F 0 ) = 3, b(F 0 ) ≥ 1 è
α0 (F 0 ) ≥
13
2
41
·3+
− cG (F 0 ) =
− cG (F 0 ).
15
15
15
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí y1 , y2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , òî
cG (F 0 ) ≤ 2 ·
1 2 4
+ =
5 5 5
α0 (F 0 ) ≥
è
29
.
15
Ïî ëåììå 6.2 ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé y1 , y2 ∈ T . Òîãäà îáå âåðøèíû y1 , y2 æèâûå,
cG (F 0 ) =
1
2
26
+ 2 · = 1 è α0 (F 0 ) = .
5
5
15
Ïîñòðîåíèå íå çàêîí÷åíî, íà äàííûé ìîìåíò íàì íå õâàòàåò
4
15 .
Ïðè ðàç-
áîðå ñëó÷àåâ M è N ìû ðåøàëè àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó î íåäîñòàòêå äîõîäà
â
3
15
(äàæå ñ òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè x, y1 , y2 ). Ïîâòîðèâ ýòè ðàññóæäåíèÿ
è øàãè, ìû ïîëó÷èì äåðåâî F ∗ c α0 (F ∗ ) ≥
29
15 .
Áîëåå òîãî, α0 (F ∗ ) < 2 ìû
ïîëó÷èì òîëüêî â êîíôèãóðàöèÿõ M 4.3 è M 4.5.4, íî â ýòèõ ñëó÷àÿõ â ïîñòðîåííûõ äåðåâüÿõ åñòü æèâûå âåðøèíû è ïî ëåììå 6.2 ïîñëåäíèé øàã
ïîñòðîåíèÿ äàñò äîïîëíèòåëüíûé äîõîä â
1
15
è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2.
175
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Çàìå÷àíèå 6.10.
 ïóíêòàõ B2 è B4 ðàññìîòðåíû âñå ñëó÷àè, êîãäà â
ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå áîëåå 2.  ïóíêòå B3 ðàññìîòðåí ñëó÷àé,
Ïîýòîìó, äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àè, êîãäà â ãðàôå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ðàâíû 3 è 4.
êîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè áîëåå 4.
 òàáëèöå 1 ïðèâåäåíà ñâîäêà äàííûõ ïî âñåì âîçìîæíûì øàãàì. Äëÿ
ïðîñòîòû âîñïðèÿòèÿ äîõîäû âñåõ øàãîâ óìíîæåíû íà 15.
A2,
A4,
Øàã
∆u − ∆b
15·äîõîä
A1
1
7
1
1
2
2
0
3
1
4
2
5
3
6
M 3.1
−4
5
N 3.1
−3
6
M 3.2
−2
4
N 3.2
−1
5
−1
2
M 4.3
0
0
N 4.4
4
7
N 4.5.2
3
3
M 4.5.4
3
0
N 4.5.4
4
1
M 4.5.5
−2
1
Z1.1
−4
2
Z1.2
−3
3
Z2.1
−5
1
M 4.2,
A3, N 4.2,
M 1,
M 4.5.2,
M 4.1.2,
N 1,
N 4.3,
M 4.5.1,
N 4.1.2,
M 4.5.3
N 4.5.3
N 4.1.1
N 4.5.1
M2
N 2,
M 4.1.1,
M 4.4
N 4.5.5, Z0
Òàáëèöà 1.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
176
Ìû ó÷ëè íåâîçìîæíîñòü øàãîâ Z2.2, Z3.1, Z3.2 è Z4. (Ïðî øàãè Z2.2,
Z3.2 è Z4 ñêàçàíî â ëåììå 6.2 è åå äîêàçàòåëüñòâå, øàã Z3.1 íåâîçìîæåí,
òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ãðàô, âñå âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíè íå
ìåíåå 3.)
Ñ òàêèì áîëüøèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ íåóäîáíî ðàáîòàòü è ñëåäóþùåé
ëåììîé ìû çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèì êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ øàãîâ.
Ëåììà 6.3.
Åñëè â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (ñ íåêîòîðûì
áàçîâûì äåðåâîì) õîòÿ áû ðàç âûïîëíÿëñÿ îäèí èç óêàçàííûõ íèæå øàãîâ, òî α(G) ≥ 2.
1) Øàã N 4.2, N 4.3, N 4.4, N 4.5.2, N 4.5.3, N 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ N 1,
N 2, N 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû,
êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F .
2) Øàã M 4.2, M 4.3, M 4.4, M 4.5.2, M 4.5.3, M 4.5.5. Îäèí èç øàãîâ
M 1, M 2, M 4.5.4 ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå äîáàâëåííûå íà ýòîì øàãå âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ äåðåâîì F .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ïåðåä øàãîì áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî F ,
ê êîòîðîìó ÷åðåç âåðøèíó x ∈ S ∪ T óðîâíÿ 1 äîáàâèëè ïîääåðåâî F0 èç
íåñêîëüêèõ âåðøèí, ïðè÷¼ì äîõîä øàãà ðàâåí p. Îòìåòèì, ÷òî âî âñåõ
óêàçàííûõ â óñëîâèè øàãàõ âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè
èç W = V (G)\V (F ), à âñå äîáàâëÿåìûå â ïîñòðîåííîå ðàíåå äåðåâî F âåðøèíû, êðîìå x, íå ñìåæíû ñ V (F ) ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî
ïîñìîòðåòü îïèñàíèå øàãîâ è óñëîâèå ëåììû.
1)  ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíÿëèñü øàãè òèïà N , ìû èìååì x ∈ S . Èç
òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî äîõîä p ≥
1
15 .
Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò
äîõîäà øàãà. Âåðøèíà x ñìåæíà ñ åäèíñòâåííîé âåðøèíîé a ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 âåðøèíà a ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé âåðøèíîé, çà
ýòî èç äîõîäà âû÷ëè
13
15 .
Íîâûå ìåðòâûå âåðøèíû â èñõîäíîì äåðåâå F íå
ïîÿâëÿëèñü, ïîýòîìó âñå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê ïðè
177
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó
α0 (F0 ) = p +
13 14
≥ .
15 15
Î÷åâèäíî, NG (a)∩NG (x) = ∅. Ïîýòîìó, â ñèëó çàìå÷àíèÿ 6.2 ìû èìååì
a ∈ T . Ñëåäîâàòåëüíî, a ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè b1 , b2 , b3 ∈ V (F ), ýòè
âåðøèíû íå âîøëè â äåðåâî F0 . Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê F0 ÷åðåç íåâèñÿ÷óþ âåðøèíó x âåðøèíû a, b1 , b2 , b3 (ñì. ðèñ. 6.9).
 ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí óâåëè÷èòñÿ íà 3. Ñëåäîâàòåëüíî, îò ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì äîõîä íå ìåíåå ÷åì 3 ·
ðåçóëüòàòå α0 (F1 ) ≥
29
15 ,
13
15
−4·
2
5
= 1, â
÷òî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2.
b
b
b
a
b
x
b
V(F)
F0
Ðèñ. 6.9: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà N .
2) Îïèøåì îáùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ áàçîâîãî äåðåâà äëÿ øàãîâ
òèïà M .
 ýòîì ñëó÷àå x ∈ T . Âñïîìíèì, êàê ïðîèçâîäèëñÿ ïîäñ÷åò äîõîäà øàãà.
Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè a1 , a2 ∈ V (F ). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ F0 îäíà èç âåðøèí ìíîæåñòâà P (x) = {a1 , a2 } ïåðåñòàëà áûòü âèñÿ÷åé
âåðøèíîé, çà ÷òî âû÷ëè
÷òî ïðèáàâèëè
2
15 .
13
15 ,
à äðóãàÿ âåðøèíà èç P (x) ñòàëà ìåðòâîé, çà
Âñå îñòàëüíûå íîâûå âèñÿ÷èå è ìåðòâûå âåðøèíû ýòî
âåðøèíû äåðåâà F0 , ó÷òåííûå ðîâíî ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè, êàê
ïðè ïîäñ÷åòå α0 (F0 ). Ïîýòîìó
α0 (F0 ) = p +
11
.
15
Ïîñòðîèì íîâîå áàçîâîå äåðåâî F1 , ïðèñîåäèíèâ ê íåâèñÿ÷åé âåðøèíå x
178
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
äåðåâà F0 âåðøèíû a1 , a2 ∈ V (F ). Çà ýòîò øàã ìû ïîëó÷èëè äîõîä
2·
13 2
−
15 5
=
14
15
α0 (F1 ) ≥
è
Ïðè a1 , a2 6∈ T ìû âûèãðàåì õîòÿ áû
2
5
25
+ p.
15
è ïîëó÷èì α0 (F1 ) ≥
31
15 ,
÷òî íàì
äîñòàòî÷íî.
Ïóñòü a1 ∈ T , òîãäà dG (a1 ) = 4. Îòìåòèì, ÷òî a1 âèñÿ÷àÿ âåðøèíà äåðåâà F , è ïîòîìó íå ñìåæíà ñ îòëè÷íûìè îò x âåðøèíàìè èç W , à çíà÷èò,
ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ îòëè÷íûìè îò a2 âåðøèíàìè èç V (F ). Ýòèõ âåðøèí íåò â F1 , äîáàâèì èõ â äåðåâî è ïîëó÷èì íîâîå äåðåâî F2 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A2) + p(A1) ≥
8
15
(äîáàâëåíèå ïåðâûõ äâóõ âåðøèí øàã A2, äîáàâëåíèå ñëåäóþùåé øàã A1) è α0 (F2 ) > 2.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà òàêèõ âåðøèí äâå, ïóñòü ýòî b1 , b2 . Îòìåòèì,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðøèíû a1 è a2 ñìåæíû. Äîáàâëåíèå äâóõ âåðøèí ýòî øàã A2 ñ äîõîäîì íå ìåíåå
1
15 ,
ïîýòîìó
α0 (F2 ) ≥
Ïðè p ≥
3
15
26
+ p.
15
ýòîãî â âèäó ëåììû 6.2 äîñòàòî÷íî. Äëÿ îñòàâøèõñÿ øàãîâ ìû
ðàçáåð¼ì äâà ñëó÷àÿ: a2 ì¼ðòâàÿ (ñì. ðèñ. 6.10à) è æèâàÿ (ñì. ðèñ. 6.11a)
âåðøèíà äåðåâà F2 , ñîîòâåòñòâåííî.
a.
Ïóñòü a2 ì¼ðòâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 .
Ýòî óâåëè÷èâàåò äîõîä íà
2
15
è îáåñïå÷èâàåò
α0 (F2 ) ≥
28
+ p.
15
Îáå âåðøèíû b1 , b2 æèâûå âåðøèíû äåðåâà F2 , èíà÷å äîõîä âîçðàñòàåò
õîòÿ áû íà
2
15
è ìû ïîëó÷àåì α0 (F2 ) ≥ 2. Ïðè p ≥
1
15
â ñèëó ëåììû 6.2 ìû
èìååì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ ëèøü øàãè ñ íóëåâûì äîõîäîì M 4.5.4 è M 4.3.
Ðàçáåðåì ýòè äâà ñëó÷àÿ.
179
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Øàã M 4.5.4.
a1.
Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî b1 , b2 , y2 , z2 , p2 , q1 è
q2 , ñì. ðèñóíîê 6.10c), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí. Ïîñìîòðèì íà òàáëèöó 1: ëþáîé øàã,
1
15 ,
óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû
ïðè-
÷åì ðîâíî ñ òàêèì äîõîäîì ìîæíî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí
òîëüêî íà 2 èëè íà 5, òî åñòü, ìåíüøå, ÷åì íà 7. Çíà÷èò, çà óìåðòâëåíèå
íå ìåíåå ÷åì 7 æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû
b1
b 2 V(F)
a2
b
b
a1
b1
b2 V(F)
a2
b
b
a1
b
b
b
x
b
y
b
F0
a
1
z1
b
b
z2
a1
b
q
1
z1
1
q
b
b
b
y
F0
2
2
b
b
b
1
b
b
a2
b
b
b
p
b2
b
x
y
F0
è α(G) ≥ 2.
b
x
b
b
b1
V(F)
b
2
15
y
2
z2
p
2
c
Ðèñ. 6.10: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãîâ òèïà M è ì¼ðòâîé
âåðøèíû a2 .
a2.
Øàã M 4.3.
Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå
àëãîðèòìîì. Ó äåðåâà F2 ðîâíî 4 æèâûå âåðøèíû (ýòî b1 , b2 , z1 è z2 ,
ñì. ðèñóíîê 6.10b), ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ñòàëè ì¼ðòâûìè íå ìåíåå ÷åì 4 æèâûõ âåðøèí. Íàì íóæíî îáåñïå÷èòü ñóììàðíûé
äîõîä îñòàâøèõñÿ øàãîâ íå ìåíåå
2
15 .
øèí âñåãäà ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû
Óìåíüøåíèå êîëè÷åñòâà æèâûõ âåð1
15 .
Åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî æèâûõ
âåðøèí, íå ìåíüøåå 4, çà óìåðòâëåíèå êîòîðûõ ìû ïîëó÷èì ìåíåå
2
15
ýòî 5. Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 5 æèâûõ âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè-
180
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå
1
15 .
 ëþáîì
ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2.
á.
Ïóñòü a2 æèâàÿ âåðøèíà äåðåâà F2 .
Òàê êàê a2 ñìåæíà ñ a1 è dG (a2 ) ≤ 4, â ýòîì ñëó÷àå õîòÿ áû îäíà èç
âåðøèí b1 è b2 íåñìåæíà ñ a2 (ïóñòü ýòî b1 ). Åñëè b1 6∈ T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà 51 , â ðåçóëüòàòå α0 (F2 ) ≥
29
15
è ïî ëåììå 6.2 ìû èìååì α(G) ≥ 2.
Çíà÷èò, b1 ∈ T . Âåðøèíû äåðåâà F0 íåñìåæíû ñ b1 ∈ V (F ), ïîýòîìó
èç V (F2 ) âåðøèíà b1 ñìåæíà òîëüêî ñ a1 è, âîçìîæíî, ñ b2 . Ñëåäîâàòåëüíî, b1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè íå èç V (F2 ), êîòîðûå ìû è
äîáàâèì â äåðåâî F2 , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F3 . Åñëè ìû äîáàâèëè áîëåå äâóõ âåðøèí, òî ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû p(A1) + p(A2) ≥
8
15 .
Â
ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî α0 (F3 ) > 2. Çíà÷èò, äîáàâëåíî ðîâíî äâå âåðøèíû, ïóñòü ýòî c1 , c2 (ñì. ðèñ. 6.11a). Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî b2 , c1 , c2 æèâûå
âåðøèíû äåðåâà F3 . Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ìåðòâûå, òî ìû ó÷òåì ýòî â êîíöå
ïîñòðîåíèÿ ñ ïîìîùüþ øàãîâ Z0.
Âûïîëíèâ ýòîò øàã A2, ìû ïîëó÷èëè äîõîä
α0 (F3 ) ≥
Ïðè p ≥
2
15
ìû èìååì α0 ≥
29
15
ëèøü øàãè ñ äîõîäîì ìåíåå
M 4.5.3, M 4.5.5 (ñ äîõîäîì
á1.
1
15
è
27
+ p.
15
è ïî ëåììå 6.2 ïîëó÷èì α(G) ≥ 2. Îñòàþòñÿ
2
15 :
1
15 ).
ýòî M 4.5.4, M 4.3 (ñ äîõîäîì 0), M 4.2,
Ðàçáåð¼ì ýòè ñëó÷àè.
Øàã M 4.5.4.
 ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 9 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 , z2 ,
p2 , q1 è q2 , ñì. ðèñóíîê 6.11b) è α0 (F3 ) ≥
27
15 .
Ðàññìîòðèì äàëüíåéøåå ïî-
ñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà óêàçàííûì âûøå àëãîðèòìîì. Çà óìåðòâëåíèå
îäíèì øàãîì ëþáîãî êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí, êðîìå 2 è 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå
2
15
(ìîæíî óìåðòâèòü çà øàã 1, 2, 3, 4 èëè 5 âèñÿ÷èõ
âåðøèí, ñì. òàáëèöó 1). Ïîýòîìó, åäèíñòâåííîå êîëè÷åñòâî óìåðòâëåííûõ
âåðøèí, íå ìåíüøåå 9, çà êîòîðîå äîõîä ìîæåò áûòü ìåíåå
3
15
ýòî 10
181
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
c1
b
b
b1
c2
V(F)
b
b
a1
2b
c1
c2
b2
b
b
x
b
b
b1
V(F) a1
y1
F0
b
F0
b
q
z1
1
q
b
2
b
p1
b
b
b
b
a2
b
b
b
b
b2
b
x
a2
a
b
y2
z2
p
2
c
Ðèñ. 6.11: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé øàãà M 4.5.4 è ì¼ðòâîé
âåðøèíû a2 .
(äîõîä
2
15 ).
Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 âåðøèí íóæíî äîáàâèòü ðîâíî îäíó æè-
âóþ âåðøèíó, à çà ýòó îïåðàöèþ ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå
1
15 .
 ëþáîì
ñëó÷àå, ìû ïîëó÷èì α(G) ≥ 2.
Çàìå÷àíèå 6.11.
Òåïåðü ñëó÷àè øàãîâ M 4.5.4 è N 4.5.4 â ëåììå 6.3 ïîë-
íîñòüþ ðàçîáðàíû.
Ïóñòü ñ ïîìîùüþ íàøåãî àëãîðèòìà áûëî ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî T
ñ α(T ) < 2 è â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà âûïîëíÿëñÿ øàã
M 4.5.4 èëè N 4.5.4. Ïóñòü F äåðåâî, ïîñòðîåííîå ïåðåä øàãîì. Òîãäà
õîòÿ áû îäíà èç äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå âåðøèí äîëæíà áûòü ñìåæíà
ñ äåðåâîì F . Ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî îäíà èç äâóõ äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ
âåðøèí, ñìåæíûõ ñ p1 (èíà÷å áûë áû âûïîëíåí îäèí èç ïðåäûäóùèõ øàãîâ, ñì. ðèñóíîê 6.6 è îïèñàíèÿ øàãîâ). Íàçîâ¼ì ýòó âåðøèíó q .
Åñëè q ∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.1 è N 4.5.4.1), òî q
ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) (ïî çàìå÷àíèþ 6.5), ÷òî äîáàâëÿåò
íàì äâå ì¼ðòâûå âåðøèíû. Òàêèì îáðàçîì,
2
4
≥ , ∆u = 4, ∆b = 3,
15 15
2
5
p(N 4.5.4.1) ≥ p(N 4.5.4) + 2 ·
≥ , ∆u = 4, ∆b = 2.
15 15
Åñëè q 6∈ T (â ýòîì ñëó÷àå ìû íàçîâ¼ì øàãè M 4.5.4.2 è N 4.5.4.2), òî
p(M 4.5.4.1) ≥ p(M 4.5.4) + 2 ·
182
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
äîáàâëÿåòñÿ îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è åùå íå ìåíåå
1
5
â äîõîä, òàê êàê öåíà
âåðøèíû q óìåíüøàåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå
1
5
2
+ ≥ , ∆u = 4, ∆b = 2,
15 5 15
2
1
6
p(N 4.5.4.2) ≥ p(N 4.5.4) +
+ ≥ , ∆u = 4, ∆b = 1.
15 5 15
p(M 4.5.4.2) ≥ p(M 4.5.4) +
Òåïåðü ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëþáîé óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí øàã ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû 151 . Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ïîñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèÿõ.
Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.3.
Øàã M 4.3.
á2.
 ýòîì ñëó÷àå â äåðåâå F3 ðîâíî 6 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , z1
è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12a) è α0 (F3 ) ≥
27
15 .
Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà
æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä íå ìåíåå
âåðøèí ìû ïîëó÷àåì õîòÿ áû
3
15 .
2
15 ,
ïðè÷¼ì çà 6
À ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà æèâûõ
âåðøèí ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûé äîõîä íå ìåíåå
1
15 .
 ëþáîì ñëó÷àå, ìû
ïîëó÷èì α(G) ≥ 2.
c1
b
b
b1
c2
V(F)
b
b
a1
x
b
b
b
b1
c2
V(F)
b
b
a1
b2
b
x
b
b
z2
y2
F0
y1
z1
b
c1
c2
b
b
b
V(F) a1
y1
b
b
z2
y2
z1
F0
F0
b
b
b
b
y2
z2
p
2
c
b
b
b
b1
V(F) a1
b
y1
F0
z1
b2
b
b
b
x
b
b
a2
c1
c2
b
b
b
p1
b2
b
x
b
b
b1
a2
b
b
b
a
a2
b
b
y1
z1
b2
c1
a2
b
b
b
b
y2
b
z2
b
b
p1
r
p
2
b
d
Ðèñ. 6.12: Ïîñòðîåíèå áàçîâîãî äåðåâà. Ñëó÷àé ì¼ðòâîé âåðøèíû a2 è øàãîâ M 4.3, M 4.2, M 4.5.3 è M 4.5.5.
á3.
Øàãè M 4.2, M 4.5.3, M 4.5.5.  ýòèõ ñëó÷àÿõ
α0 (F3 ) ≥
28
.
15
183
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Äëÿ øàãà M 4.2 â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 , y2 ,
z1 è z2 , ñì. ðèñóíîê 6.12b). Äëÿ øàãà M 4.5.3 â äåðåâå F3 òàêæå ðîâíî 7
æèâûõ âåðøèí (ýòî a2 , b2 , c1 , c2 è êàêèå-òî òðè èç âåðøèí y2 , z2 , p1 è p2 ,
ñì. ðèñóíîê 6.12ñ) â äåðåâå F3 ðîâíî 7 æèâûõ âåðøèí. Çíà÷èò, íåîáõîäèìî
óìåðòâèòü íå ìåíåå 7 æèâûõ âåðøèí, çà ÷òî ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû
2
15
(ñì. òàáëèöó 1) è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2.
 ñëó÷àå øàãà M 4.5.5 (ñì. ðèñóíîê 6.12d) â äåðåâå F3 ðîâíî 4 æèâûõ
âåðøèíû: ýòî a2 , b2 , c1 è c2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû óìåðòâèòü m ≥ 4
æèâûõ âåðøèíû. Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî åñëè m 6= 5, òî ìû ïîëó÷èì
äîõîä íå ìåíåå
2
15
è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m = 5.  ýòîì
ñëó÷àå çà óìåðòâëåíèå âåðøèí ìû ïîëó÷èì äîõîä õîòÿ áû
1
15 .
Îäíàêî,
íóæíî ñäåëàòü õîòÿ áû îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé ÷èñëî æèâûõ âåðøèí,
êîòîðûé äàñò äîõîä õîòÿ áû
1
15
è òàêæå îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2.
Òåïåðü â íàøåé òàáëèöå øàãîâ ïðîèçîøëè áîëüøèå èçìåíåíèÿ, íèæå
ïðèâåä¼ì îáíîâëåííûé âàðèàíò òàáëèöó 2.
Çàìå÷àíèå 6.12.
1) Àíàëèçèðóÿ òàáëèöó 2, ëåãêî ñäåëàòü ñëåäóþùèå
âûâîäû:
çà ëþáîé øàã ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû
1
15 ;
çà îäèí èëè íåñêîëüêî øàãîâ, óâåëè÷èâàþùèõ êîëè÷åñòâî æèâûõ
âåðøèí 5, ìû ïîëó÷àåì äîõîä õîòÿ áû
5
15 .
øàã, íå ìåíÿþùèé êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ
áû
3
15 .
øàã, óìåíüøàþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí íà âåëè÷èíó, îòëè÷íóþ îò 5, ïðèíîñèò äîõîä õîòÿ áû
2
15 .
2) Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ïî íàøåìó àëãîðèòìó çàêàí÷èâàåòñÿ
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ïîñòðîåííîãî äåðåâà
ó ïîñëåäíåãî øàãà
ïîñòðîåíèÿ ïàðàìåòð ∆u − ∆b äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûì.
ñòàíîâÿòñÿ ìåðòâûìè. Ïîýòîìó íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
184
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Øàã
∆u − ∆b
15·äîõîä
A1
1
7
1
1
2
2
N 4.1.1
0
3
M 4.5.4.1
1
4
2
5
3
6
M 3.1
−4
5
N 3.1
−3
6
M 3.2
−2
4
N 3.2
−1
5
−1
2
Z1.1
−4
2
Z1.2
−3
3
Z2.1
−5
1
A2,
A4
A3
M 1,
N 1,
M 4.1.2,
N 4.1.2,
M 2,
M 4.5.1,
N 4.5.1,
N 4.5.4.1,
N 2,
M 4.5.4.2
N 4.5.4.2
M 4.1.1,
Z0
Òàáëèöà 2.
Ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå ñëó÷àåâ â ïîñòðîåíèè áàçîâîãî äåðåâà.
B5.
 ãðàôå åñòü äâå ñìåæíûå âåðøèíû a ∈ T è b ∈ S , ó êîòîðûõ
NG (a) ∩ NG (b) = ∅.
Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F 0 , â êîòîðîì a è b ñîåäèíåíû
äðóã ñ äðóãîì è ñî âñåìè âåðøèíàìè èç èõ îêðåñòíîñòåé. Â òàêîì äåðåâå
u(F 0 ) = 5,
cG (F 0 ) ≤
1
2 13
+6· =
5
5
5
è
α0 (F 0 ) ≥ 5 ·
13
26
− cG (F 0 ) ≥ .
15
15
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ âåðøèí äåðåâà F 0 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó T , ýòî óâåëè÷èò α0 (F 0 ) íà
1
5
è ñäåëàåò α0 (F 0 ) ≥
29
15 ,
÷åãî ñ ó÷¼òîì
ëåììû 6.2 íàì äîñòàòî÷íî.
Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà âñå ýòè âåðøèíû èç T , òî åñòü, èìåþò ñòåïåíü 4. Áóäåì äîñòðàèâàòü äåðåâî ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ðàññìîòðèì äâà
185
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
âàðèàíòà.
B5.1.
 ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåð-
øèí.
Èçíà÷àëüíî ýòî êîëè÷åñòâî ðàâíî 5. Çà óìåðòâëåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà
æèâûõ âåðøèí, áîëüøåãî 5, ìû ïîëó÷èì õîòÿ áû
2
15 ,
ïðè÷¼ì ðîâíî
2
15
ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî çà 10 âåðøèí. Äëÿ îñòàëüíûõ êîëè÷åñòâ ìû ïîëó÷èì çà óìåðòâëåíèå äîõîä õîòÿ áû
3
15
è åùå õîòÿ áû
1
15
çà óâåëè÷åíèå
êîëè÷åñòâà æèâûõ âåðøèí è îáåñïå÷èì α(G) ≥ 2.
Ïóñòü êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí óâåëè÷èëîñü äî 10. Ïî çàìå÷àíèþ 6.12,
ìû íà ýòîì ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû
B5.2.
5
15 .
Ñëåäîâàòåëüíî, α(G) > 2.
 ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ íå óâåëè÷èâàëîñü êîëè÷åñòâî æèâûõ
âåðøèí.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áûë âûïîëíåí êàêîé-òî øàã, íå èçìåíèâøèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí è ìû ïîëó÷èëè äåðåâî F1 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.12, ýòîò
øàã íå ïîñëåäíèé, à åãî äîõîä áûë õîòÿ áû
3
15 .
Çíà÷èò, α0 (F1 ) ≥
29
15 ,
è ïî
ëåììå 6.2 ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî α(G) ≥ 2.
Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà ñ áàçîâûì äåðåâîì F 0 ïðîèçâîäèëèñü òîëüêî
øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí. Íóæíî óìåðòâèòü 5 æèâûõ âåðøèí. Ëþáîé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî, êðîìå øàãà Z2.1, äàñò äîõîä õîòÿ
áû
4
15
è îáåñïå÷èò α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âûïîëíåí øàã Z2.1, äîáàâèâøèé äâå
ñìåæíûå âåðøèíû a0 ñòåïåíè 4 è b0 ñòåïåíè 3.
Òàêèì îáðàçîì, íàø ãðàô ñîñòîèò èç 9 âåðøèí: â íåì åñòü äâå êîïèè
äåðåâà F 0 (ñ öåíòðàìè a, b è a0 , b0 ) ñ ïÿòüþ îáùèìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè
x1 , x2 , x3 ∈ NG (a) è y1 , y2 ∈ NG (b).
Èç dG (x1 ) = dG (x2 ) = dG (x3 ) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 4 ñëåäóåò, ÷òî
G({x1 , x2 , x3 , y1 , y2 }) ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 2, òî åñòü, öèêë èç ïÿòè
âåðøèí.  ëþáîì ñëó÷àå, ñóùåñòâóþò äâà íåçàâèñèìûõ ðåáðà, ñîåäèíÿþùèõ {x1 , x2 , x3 } ñ {y1 , y2 }. Ïóñòü ýòî áóäóò ð¼áðà x1 y1 è x2 y2 .
186
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 è y2 íåñîñåäíèå âåðøèíû ýòîãî öèêëà èç 5 âåðøèí. (Åñëè âåðøèíû x1 è y2 ñîñåäíèå â öèêëå, òî x2 è y1 íåñîñåäíèå.
 ýòîì ñëó÷àå ìû ñìåíèì íóìåðàöèþ âåðøèí.) Òîãäà
a, b, x2 , x3 , y1 ∈ NG (x1 ) ∪ NG (y2 ),
ïðè÷¼ì îäíà èç âåðøèí x2 , x3 , y1 âõîäèò â NG (x1 ) ∩ NG (y2 ).
a
b
b
b
b
b
x1
b
b
a’
b
b
y
2
b
b
b’
a
x1
a’
b
b
y
2
b
b
a
b
b
b
b
z
b
b’
b
Ðèñ. 6.13: Ñëó÷àé B5.2.
Åñëè a0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ), òî ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî, ñîåäèíèâ a0
ñ x1 è y2 è ïðèñîåäèíèâ ê íèì âñå îñòàëüíûå âåðøèíû (âåðøèíó b0 ïðèñîåäíèì ê a0 , ñì. ðèñ. 6.13a). Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå b0 ∈ NG (x1 ) ∩ NG (y2 ).
Îñòà¼òñÿ ñëó÷àé, êîãäà îäíà èç âåðøèí a0 è b0 ñìåæíà ñ x1 , à äðóãàÿ ñ y2 . Òîãäà ñîåäèíèì x1 è y2 ñ âåðøèíîé èç NG (x1 )∩NG (y2 ) (âûøå ñêàçàíî,
ïî÷åìó òàêàÿ åñòü, íàçîâ¼ì åå z ) è ïðèñîåäèíèì ê ýòèì äâóì âåðøèíàì
âñå îñòàëüíûå (ñì. ðèñ. 6.13b).  èòîãå ïîëó÷èòñÿ îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè. Îñòàåòñÿ ëèøü îòìåòèòü, ÷òî 6 >
Çàìå÷àíèå 6.13.
2
5
· 7 + 15 · 2 + 2.
1)  ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå ñëó÷àÿõ íå âûïîëíÿþòñÿ
øàãè Z2.1 è A4 â âèäó îòñóòñòâèÿ ðàçîáðàííîé â ïóíêòå B5 êîíôèãóðàöèè.
Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ëþáûå äâå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G) èìåþò îáùóþ ñìåæíóþ âåðøèíó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ýòî íå òàê è
2)
NG (a) ∩ NG (b) = ∅. Ñëó÷àé a, b ∈ S íåâîçìîæåí ìû âûïîëíèëè áû ðåäóêöèþ R2. Åñëè a, b ∈ T , òî ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B1.
187
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
À â ñëó÷àÿõ, êîãäà îäíà èç âåðøèí ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S , à äðóãàÿ
ìíîæåñòâó T , ãðàô óäîâëåòâîðÿë áû óñëîâèþ ïóíêòà B5.
B6.
 ãðàôå íåò âåðøèí ñòåïåíè 4.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 3.  ýòîì ñëó÷àå Êëåéòìàí è Âåñò [19] äîêàçàëè, ÷òî â òàêîì ãðàôå u(G) ≥ s· 41 +2, îòêóäà ñëåäóåò
ðåçóëüòàò íàøåé òåîðåìû.
Ëåììà 6.4.
Åñëè α(G) < 2, òî ïîñëå ëþáîãî èç øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2,
M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2, M 4.1.1, N 4.1.1, M 4.1.2, N 4.1.2, M 4.5.1, N 4.5.1,
M 4.5.4.1, N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 äîëæíà ïîÿâèòüñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ (ïî îòíîøåíèþ ê òàáëèöå 2) ì¼ðòâàÿ âåðøèíà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
 êàæäîì èç ýòèõ øàãîâ îäíà èç äîáàâëåííûõ âèñÿ÷èõ
âåðøèí v áûëà ñìåæíà ñ V (F ) (äëÿ øàãîâ M 1, N 1, M 2, N 2, M 4.5.4.1,
N 4.5.4.1, M 4.5.4.2, N 4.5.4.2 ýòî áûëî óñòàíîâëåíî â ëåììå 6.3, äëÿ øàãîâ
M 3.1, N 3.1, M 3.2, N 3.2 ýòî óñòàíîâëåíî ñðàçó ïîñëå îïèñàíèÿ øàãà 3, äëÿ
îñòàëüíûõ øàãîâ ñëåäóåò èç èõ îïèñàíèÿ).
Âñïîìíèì äåòàëè øàãîâ. Âî âñåõ øàãàõ ìû ê äåðåâó F ïðèñîåäèíÿëè
íåêîòîðîå ïîääåðåâî (íàçîâåì åãî F0 , ñì. ðèñóíîê 6.14) ÷åðåç êîðåíü x ∈ W ,
ãäå W = V (G)\V (F ). Íàïîìíèì, ÷òî âñå âåðøèíû èç W , ñìåæíûå ñ V (F ),
íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè óðîâíÿ 1.
F
b
b
x
w
F0
b
b
b
b
b
b
b
v
a
Ðèñ. 6.14: Äîïîëíèòåëüíàÿ ìåðòâàÿ âåðøèíà.
Îòìåòèì, ÷òî v 6= x (âåðøèíà x âî âñåõ øàãàõ íåâèñÿ÷àÿ). Òîãäà
ñóùåñòâóåò w ∈ W ïðåäîê v â äîáàâëåííîì ïîääåðåâå F0 . Ïî çàìå÷àíèþ 6.13 ìû èìååì NG (v) ∩ NG (w) 6= ∅.
188
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ïóñòü a âåðøèíà, ñìåæíàÿ è ñ v , è c w. Ïîíÿòíî, ÷òî a 6∈ V (F ), òàê
êàê íè îäíà âåðøèíà èç V (F ) íå ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W ïî
çàìå÷àíèþ 6.5. Âåðøèíà w íåâèñÿ÷àÿ â ïîëó÷åííîì ïîñëå øàãà äåðåâå.
Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû ëåæàò â V (F ) ∪ V (F0 )
(â ýòîì íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ïðîñìîòðåâ äåòàëè øàãîâ). Ñëåäîâàòåëüíî,
a ∈ V (F0 ). Òàêèì îáðàçîì, v èìååò äâå ñìåæíûå âåðøèíû w, a ∈ W ,
âîøåäøèå â ïîñòðîåííîå ïîñëå øàãà äåðåâî. Âåðøèíà v ∈ W âåðøèíà
óðîâíÿ 1, òàê êàê ñìåæíà ñ V (F ). Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ 6.5 âåðøèíà v íå
ìîæåò áûòü ñìåæíà áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç W . Ïîýòîìó v ïîñëå
îêîí÷àíèÿ øàãà áóäåò ì¼ðòâîé âåðøèíîé, êîòîðàÿ íå ó÷òåíà â ïàðàìåòðàõ
øàãà.
M 1,
N 1,
Øàã
∆u − ∆b
15·äîõîä
A1
1
7
A2
1
1
A3
2
2
N 4.1.1
−1
5
M 4.5.4.1
0
6
1
7
2
8
M 3.1
−5
7
N 3.1
−4
8
M 3.2
−3
6
N 3.2
−2
7
M 4.1.1
−2
4
Z0
−1
2
Z1.1
−4
2
Z1.2
−3
3
M 4.1.2,
N 4.1.2,
M 4.5.1,
N 4.5.1,
M 2, N 4.5.4.1,
N 2,
M 4.5.4.2
N 4.5.4.2
Òàáëèöà 3.
189
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ïåðåä ïîñëåäíèì è ñàìûì ñëîæíûì ñëó÷àåì ïåðåïèøåì íàøó òàáëèöó øàãîâ, äîáàâèâ â óêàçàííûå â ëåììå 6.4 øàãè ïî ì¼ðòâîé âåðøèíå è
äîõîä çà íåå. Êðîìå òîãî, óáåðåì øàãè Z2.1 è A4, íåâîçìîæíûå â âèäó
çàìå÷àíèÿ 6.13. Îáíîâëåííûå ïàðàìåòðû øàãîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 3.
B7.
Ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ.
Òîãäà â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 4. Åñëè ñîåäèíèòü a ñ âåðøèíàìè èç
åå îêðåñòíîñòè, ïîëó÷èòñÿ äåðåâî F 0 ñ 4 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè v1 , v2 , v3 , v4 .
Ìû ñ÷èòàåì ýòè âåðøèíû æèâûìè. Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ì¼ðòâûå, ýòî
áóäåò îôîðìëåíî ñîîòâåòñòâóþùèì êîëè÷åñòâîì øàãîâ Z0 . Òîãäà
α0 (F 0 ) ≥ 4 ·
2 22
13
−5· = .
15
5 15
Ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ïî íàøåìó àëãîðèòìó. Ïîäñ÷èòàåì ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïðèáàâîê æèâûõ âåðøèí íà øàãàõ, êîãäà èõ èçìåíåíèå ïîëîæèòåëüíî è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç `. Øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ
âåðøèí, äîëæíû óìåðòâèòü ` + 4 âåðøèíû. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
B7.1.
` ≥ 2.
Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî äîáàâèâ ` æèâûõ âåðøèí ìû ïîëó÷èëè äîõîä íå
ìåíåå
`
15 .
Ïðè ` = 2 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 6 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé
äîõîä çà ýòî ðàâåí
6
15 ,
ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2.
Ïðè ` = 3 ìû äîëæíû óìåðòâèòü 7 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä
çà ýòî ðàâåí
5
15 ,
ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2.
Ïðè ` ≥ 4 ìû äîëæíû óìåðòâèòü íå ìåíåå 8 æèâûõ âåðøèí, ìèíèìàëüíûé äîõîä çà ýòî íå ìåíåå
B7.2.
4
15 ,
ïîëó÷àåì α(G) ≥ 2.
` = 0.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.12 ïîñëåäíèé øàã äîëæåí èìåòü îòðèöàòåëüíûé ïàðàìåòð ∆u − ∆b. Èç òàáëèöû 3 ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîé øàã äîáàâëÿåò â
äîõîä íå ìåíåå
2
15 .
Åñëè áûë ñäåëàí øàã, íå èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æè-
âûõ âåðøèí, çà íåãî ïîëó÷åí äîõîä íå ìåíåå
6
15 ,
òîãäà α(G) ≥ 2.
Çíà÷èò, âûïîëíÿëèñü òîëüêî øàãè, óìåíüøàþùèå êîëè÷åñòâî æèâûõ
190
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ñïîñîáà óìåðòâèòü 4
æèâûõ âåðøèíû, çàðàáîòàâ ìåíåå
8
15
(è íå îáåñïå÷èâ α(G) ≥ 2) ýòî øàã
Z0 âìåñòå ñ øàãîì Z1.2 (ñóììàðíûé äîõîä
B7.2.1.
5
15 )
è øàã Z1.1 (äîõîä
2
15 ).
Âûïîëíåíû øàã Z0 è øàã Z1.2.
Ìû ïîëó÷àåì äîõîä
5
15 ,
èòîãî α(G) ≥
27
15 .
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âèñÿ÷èõ
âåðøèí äåðåâà F 0 íå èç T , òî äîõîä âûðàñòåò õîòÿ áû íà
3
15
è ïîëó÷èòñÿ
α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, âñå ýòè âåðøèíû èç T è èìåþò ñòåïåíü 4 â ãðàôå G.
Òîãäà â ãðàôå G ðîâíî 6 âåðøèí: 5 âåðøèí ñòåïåíè 4 è îäíà âåðøèíà
ñòåïåíè 3 (äîáàâëåííàÿ íà øàãå Z1.2). Î÷åâèäíî, ýòî íåâîçìîæíî.
B7.2.2.
Âûïîëíåí øàã Z1.1.
Ìû ïîëó÷àåì äîõîä
2
15 ,
èòîãî α(G) ≥
24
15
= 85 . Ãðàô â ýòîì ñëó÷àå èìååò 6
âåðøèí. Äîáàâëåííàÿ íà ïîñëåäíåì øàãå âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 4. Åñëè
õîòÿ áû äâå èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 íå ïðèíàäëåæàò T , òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà
6
15
è α(G) ≥ 2. Åñëè îäíà èç íèõ íå ïðèíàäëåæèò T , ìû ïîëó÷àåì
ãðàô íà 5 âåðøèíàõ ñòåïåíè 4 è îäíîé âåðøèíå ñòåïåíè 3, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, α(G) < 2 ìîæåò áûòü òîëüêî ó ðåãóëÿðíîãî ãðàôà ñòåïåíè 4
íà 6 âåðøèíàõ, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åäèíñòâåííûé òàêîé ãðàô ýòî C62 ,
êîòîðûé äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãðàôîì-èñêëþ÷åíèåì (α(C62 ) = 58 ).
B7.3.
` = 1.
 ýòîì ñëó÷àå ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã, óâåëè÷èâàþùèé êîëè÷åñòâî
æèâûõ âåðøèí, è óâåëè÷èëè åãî íà 1. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ëèáî ýòî
øàã A2, ëèáî ìû ïîëó÷èëè äîõîä õîòÿ áû
7
15
è äåðåâî F1 ñ α0 (F1 ) ≥
29
15 ,
÷òî
äîñòàòî÷íî äëÿ α(G) ≥ 2.
Çíà÷èò, ìû ñäåëàëè ðîâíî îäèí øàã A2 ñ äîõîäîì
âî F1 ñ α0 (F1 ) ≥
23
15 .
1
15
è ïîëó÷èëè äåðå-
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, åñëè ìû ñäåëàëè øàã, íå
èçìåíÿþùèé êîëè÷åñòâî æèâûõ âåðøèí, òî α(G) ≥ 2. Çíà÷èò, øàã A2 áûë
åäèíñòâåííûì, êðîìå øàãîâ, óìåíüøàþùèõ ÷èñëî æèâûõ âåðøèí. Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ñïîñîá óìåðòâèòü 5 æèâûõ
âåðøèí, çàðàáîòàâ ìåíåå
7
15
(è íå îáåñïå÷èâ α ≥ 2) ýòî øàã Z0 âìåñòå
191
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
ñ øàãîì Z1.1 (äîõîä
4
15 ,
äîáàâëÿåò âåðøèíó ñòåïåíè 4). Ñóììàðíûé äîõîä
âñåõ ýòèõ øàãîâ îáåñïå÷èâàåò α(G) ≥
27
15 .
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí v1 , v2 , v3 , v4 èëè äâóõ âåðøèí, äîáàâëåííûõ íà øàãå A2, èìååò ñòåïåíü 3, òî äîõîä óâåëè÷èâàåòñÿ íà
3
15
è îáåñïå-
÷èâàåò α(G) ≥ 2.  îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå G ðåãóëÿðíûé ãðàô ñòåïåíè 4
íà 8 âåðøèíàõ.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.13
êàæäîå ðåáðî ãðàôà G äîëæíî âõîäèòü â òðåóãîëüíèê.
Óáåäèìñÿ, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñóùåñòâóåò äâà 4-ðåãóëÿðíûõ
ãðàôà íà 8 âåðøèíàõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ. Åñëè G ÿâëÿåòñÿ âåðøèííî 4-ñâÿçíûì ãðàôîì, òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàáîòîé [27] òàì
äîêàçàíî, ÷òî G ýòî Cn2 èëè ð¼áåðíûé ãðàô 4-öèêëè÷åñêè-ñâÿçíîãî êóáè÷åñêîãî ãðàôà. Âòîðàÿ âîçìîæíîñòü îòïàäàåò, òàê êàê êîëè÷åñòâî âåðøèí
òàêîãî ð¼áåðíîãî ãðàôà äîëæíî äåëèòüñÿ íà 3, à ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü äà¼ò
ãðàô C82 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì (α(C82 ) = 95 ).
Ïóñòü G èìååò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî R ìåíåå ÷åì èç 4 âåðøèí.
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ìíîæåñòâî èç 4 − k âåðøèí íå ìîæåò îòäåëèòü â
4-ðåãóëÿðíîì ãðàôå êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ñîäåðæàùóþ ìåíåå k + 1 âåðøèíû, ïîýòîìó |R| ≥ 2.
Åñëè |R| = 2, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: ìíîæåñòâî R
äîëæíî ðàçäåëÿòü ãðàô íà äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè èç òð¼õ âåðøèí,
ïðè÷¼ì âñå ýòè 6 âåðøèí äîëæíû áûòü ñìåæíû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà R. Òîãäà ñòåïåíè âåðøèí èç R áóäóò ïî 6, ïðîòèâîðå÷èå.
a
r1
b
1
r2
r
a
b
b
b
2
b
r3
b
b1
b
b2
b
b3
Ðèñ. 6.15: Ãðàô G8 .
Ïóñòü |R| = 3, R = {r1 , r2 , r3 }. Òîãäà îäíà èç êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ñî-
192
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
äåðæèò äâå âåðøèíû (ïóñòü ýòî a1 , a2 ), à äðóãàÿ òðè âåðøèíû (b1 , b2 , b3 ),
ñì. ðèñóíîê 6.15. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî a1 è a2 ñìåæíû è êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà ñ r1 , r2 , r3 (èíà÷å dG (ai ) < 4). Îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò
íå áîëåå, ÷åì ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 , çíà÷èò, ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí â
ãðàôå G({b1 , b2 , b3 }) íå ìåíåå 6, òî åñòü, ýòî òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, îò êàæäîé èç âåðøèí r1 , r2 , r3 âûõîäèò ðîâíî ïî äâà ðåáðà ê b1 , b2 , b3 ,
òî åñòü, âåðøèíû r1 , r2 , r3 ïîïàðíî íå ñìåæíû. Òåïåðü äâóäîëüíûé ãðàô
ñ äîëÿìè {r1 , r2 , r3 } è {b1 , b2 , b3 } îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ýòî K3,3 áåç
ïàðîñî÷åòàíèÿ. Ïîëó÷åííûé ãðàô ýòî ãðàô G8 , èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 6.15. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî α(G8 ) =
27
15 ,
òî åñòü, ýòîò ãðàô
äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì.
6.1.5
Ðåäóêöèÿ è êîíòðïðèìåðû
Äîêàæåì, ÷òî åñëè ê ãðàôó G õîòÿ áû îäèí ðàç áûëî ïðèìåíåíî ðåäóêöèîííîå ïðàâèëî R1 èëè R2, òî G íå èñêëþ÷åíèå.
Êàê ìû çíàåì, ïðèìåíåíèå ïðàâèë R1 è R2 íå ìîæåò óìåíüøèòü α(G).
Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî α(G) ≥ 2 äëÿ ãðàôà G, èç êîòîðîãî ñ
ïîìîùüþ R1 èëè R2 ïîëó÷åí îäèí èç ãðàôîâ C62 , C82 èëè G8 . Ðàññìîòðèì 6
ñëó÷àåâ.
1.
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 .
Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 a3 a4 a5 a6 ïîñëå
òîãî, êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ
îáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 .  îáîèõ ñëó÷àÿõ ëåãêî ïîñòðîèòü îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè:
ñì. ðèñ. 6.16a è 6.16b. Çíà÷èò,
u(G) ≥ 5 > 6 ·
2.
2
+ 2 è α(G) > 2.
5
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C62 .
Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ
193
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
a2
w
a
1
a2
a3
b
b
b
b
b
b
a6
b
b
a
a4
a
a3
b
b
w
b
1
a4
b
a6
a5
b
a2
w
v
b
a6
b
b
b
c
a2
w
b
a5
b
a3
b
b
b
a4
v
a3
b
b
b
b
b
a5
a6
b
b
d
a4
a5
Ðèñ. 6.16: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C62 .
äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w. Åñëè a3 ñìåæíà
â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà
ðèñóíêå 6.16ñ. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a6 ñìåæíà â ãðàôå G
ñ v , è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 5 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.16d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 5 è α(G) > 2.
3.
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 .
Ïóñòü èç íàøåãî ãðàôà G ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò öèêëà a1 a2 . . . a8 ïîñëå òîãî,
êàê íà îäíîì èç ð¼áåð óáðàëè âåðøèíó w ñòåïåíè 2. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè
ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà w áûëà íà ðåáðå a1 a2 èëè a1 a3 .  ïåðâîì ñëó÷àå
ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17a,
à âî âòîðîì ñëó÷àå êàê íà ðèñóíêå 6.17b. Òàêèì îáðàçîì,
u(G) ≥ 6 > 8 ·
a3
b
b
a
1
a3
a5
a
b
b
a
b
8
a
a7
a 6 a1
a3
a4
b
a5
w
b
b
b
a
b
8
b
a7
b
b
b
b
2
b
b
b
b
b
b
2
w
a
a4
2
+ 2 è α(G) > 2.
5
a6
a
w
b
a5
b
v
b
b
a
b
8
b
b
b
b
2
a3
a4
a7
c
a6
a
a5
b
b
2
w
a4
b
b
v
b
b
a
b
8
a6
a7
d
Ðèñ. 6.17: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé C82 .
4.
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô C82 .
Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïóñòü ïîñëå ñêëåèâàíèÿ
194
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
äâóõ âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà a2 ñìåæíà â ãðàôå G ñ w.
Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ v , ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè
âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17c. Åñëè a3 ñìåæíà â G ñ w, òî âåðøèíà a8 ñìåæíà â ãðàôå G ñ v è ìû ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âèñÿ÷èìè
âåðøèíàìè, êàê íà ðèñóíêå 6.17d. Òàêèì îáðàçîì, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2.
5.
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R1 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 .
Áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ãðàôà G8 îáîçíà÷åíèÿ, êàê íà ðèñóíêå 6.15. Â
ñèëó ñèììåòðèè äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåðøèíû w ãðàôà G íà îäíîì èç ðåáåð ãðàôà G8 : íà a1 a2 (îñòîâíîå äåðåâî ñ 6
âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 6.18a), b1 b3 (ðèñóíîê 6.18b),
r3 b3 (ðèñóíîê 6.18c) è r3 a1 (ðèñóíîê 6.18d). Òåì ñàìûì, â ëþáîì cëó÷àå
ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âåðøèíàìè, u(G) ≥ 6 è α(G) > 2.
a
r1
1
b
w
r2
b
a
b
b
b
a
2
b
r3
r1
1
r2
b
b
b
b1
b
a
b
b
a
2
b
r3
r1
1
r2
b
b
a
b3
b1 w
b
b2
b
b
b
b3
b1
b
b2
c
a
2
b
b
b
b
b
b2
a
b
b
b
r3
r1
1
r2
b
w
b3
a
b
b
w
b
2
b
b
r3
b
b1
b
b2
b
b3
d
Ðèñ. 6.18: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R1.
6.
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ R2 ïîëó÷èëñÿ ãðàô G8 .
Îáîçíà÷åíèÿ îñòàâèì, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.  ñèëó ñèììåòðèè ãðàôà
âîçìîæíû òðè ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ âàðèàíòà: ïîñëå ñêëåèâàíèÿ äâóõ
âåðøèí v è w ñòåïåíè 3 â ãðàôå G îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , b1 , r1 ñîîòâåòñòâåííî.
Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà a1 , òî NG ({w, v}) = {a2 , r1 , r2 , r3 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F1 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19à.  íåì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû a2 , r2 , r3 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà â ãðàôå G ñ îäíîé èç
195
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F1 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G
ñ 6 âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè.
a
b
r1
r2
b
a
2
b
b
b2
b
a
r1
b
a
b
b
r2
b
a
2
b
r3
b
b3
b
v
b
b
b1
r3
1
b2
1
w
a
b
b
r2
b
2
b
r3
b
b
b
b3
b1
b
b
b2
b
c
b3
Ðèñ. 6.19: Ðåäóêöèÿ: ñëó÷àé ãðàôà G8 è ïðàâèëà R2.
Åñëè îáðàçîâàëàñü âåðøèíà b1 , òî NG ({w, v}) = {b2 , b3 , r1 , r2 }. Ðàññìîòðèì äåðåâî F2 , èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6.19b.  í¼ì òðè íåâèñÿ÷èõ âåðøèíû b2 , b3 , r2 è êàæäàÿ èç âåðøèí w è v ñìåæíà ñ îäíîé èç íèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, F2 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G ñ 6 âèñÿ÷èìè
âåðøèíàìè.
Ïóñòü îáðàçîâàëàñü âåðøèíà r1 , òîãäà NG ({w, v}) = {a1 , a2 , b1 , b2 }. Â
ñèëó ñèììåòðèè âîçìîæíû äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ ñëó÷àÿ:
a1 , a2 ∈ NG (w),
b1 , b2 ∈ NG (v);
a1 , b2 ∈ NG (w),
a2 , b1 ∈ NG (v).
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî ñ 6 âåðøèíàìè â ãðàôå G, êàê
íà ðèñóíêå 6.19ñ.
Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîì ñëó÷àå u(G) ≥ 6 è α(G) > 2.
Òåïåðü ìû ïîëíîñòüþ äîêàçàëè òåîðåìó 6.1.
6.1.6
Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû
Ñóùåñòâóåò ìíîãî áåñêîíå÷íûõ ñåðèé ïðèìåðîâ ãðàôîâ G, ñîäåðæàùèõ
s > 0 âåðøèí ñòåïåíè 3 è t > 0 âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 3, äëÿ êîòîðûõ
2
1
u(G) = t + s + 2.
5
4
196
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ìû ïðèâåä¼ì ïðèìåð ñåðèè ãðàôîâ, âñå âåðøèíû êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíè 3 è 4. Òàêèì îáðàçîì, ãðàôû ýòîé ñåðèè ÿâëÿþòñÿ òàêæå îáåùàííûìè
âî ââåäåíèè êîíòðïðèìåðàìè ê ñèëüíîé ãèïîòåçå Ëèíèàëà.
Ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ. Êëþ÷åâîé äåòàëüþ íàøåãî ïîñòðîåíèÿ áóäåò
ñëåäóþùèé ãðàô Di : ê ãðàôó K4 íà âåðøèíàõ xi , yi , zi , vi äîáàâëåíû âåðøèíà ai , ñìåæíàÿ ñ xi è yi , è âåðøèíà bi , ñìåæíàÿ ñ zi è vi . Ãðàôû D1 ,. . . ,
Dn (ãäå n > 1) ìû ðàñïîëîæèì ïî öèêëó è ñîåäèíèì ai+1 ñ bi (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî n + 1 = 1). Ïîëó÷åííûé ãðàô îáîçíà÷èì Hn (ñì. ðèñóíîê 6.20).
Î÷åâèäíî,
c(Hn ) = 2n ·
v(Hn ) = 6n,
a1
x1
b
b
z1
b
b
y1
b
b
b
b
b
v1
b
b
b1
x2
b
b
z2
b
b
a2
b
y2
b
b
b
b
b
b
v2
b
b2
b
b
b
b
b
b
b
b
2
1
+ 4n · = 2n.
5
5
b
b
b
b
b
Ðèñ. 6.20: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû.
Ïîêàæåì, ÷òî u(Hn ) = 2n + 2. Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà T íå ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëÿþùèì â ãðàôå Hn . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ öèêëè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 4n íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà Hn :
{a1 }, {x1 , y1 }, {z1 , v1 }, {b1 },
{a2 }, {x2 , y2 }, {z2 , v2 }, {b2 },
...
{an }, {xn , yn }, {zn , vn }, {bn }.
Ëþáûå äâà íåñîñåäíèõ â öèêëè÷åñêîì ïîðÿäêå ìíîæåñòâà â îáúåäèíåíèè
äàþò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî ãðàôà G, ïîýòîìó ìíîæåñòâî U âèñÿ÷èõ
âåðøèí îñòîâíîãî äåðåâà íå ìîæåò ñîäåðæàòü èõ îáúåäèíåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, U ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì äâà ìíîæåñòâà èç íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çíà÷èò, õîòÿ áû 4n − 2 èç ýòèõ ìíîæåñòâ ñîäåðæàò âåðøèíó, íå
197
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
âõîäÿùóþ â U , òî åñòü,
|U | ≤ v(Hn ) − 4n + 2 = 2n + 2.
Ïðèìåð îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà Hn ñ 2n+2 ëèñòüÿìè ïîñòðîèòü íåñëîæíî.
6.2
Íèæíÿÿ îöåíêà íà
u(G)
÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí
ñòåïåíåé 1, 3 è íå ìåíåå 4
Òåîðåìà 6.2.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô c áîëåå ÷åì îäíîé âåðøèíîé, s
êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à t êîëè÷åñòâî åãî âåðøèí
ñòåïåíè íå ìåíåå 4. Òîãäà
1
3
1
u(G) ≥ t + s + .
3
4
2
Ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.2.
Ïðè ïîñòðîåíèè èñêîìîãî îñòîâíîãî äåðåâà äëÿ ãðàôà G ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ ìåíüøèõ ãðàôîâ (òî åñòü, ãðàôîâ, èìåþùèõ ìåíüøå
âåðøèí èëè ñòîëüêî æå âåðøèí, íî ìåíüøå ð¼áåð) òåîðåìà óæå äîêàçàíà.
Ïóñòü S(G) ìíîæåñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1 è 3, à T (G) ìíîæåñòâî
âåðøèí ñòåïåíè íå ìåíåå 4 â ãðàôå G, s(G) = |S(G)|, t(G) = |T (G)|.
Îïðåäåëåíèå 6.4.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíà âåðøèíû x ∈ V (G) ýòî
cG (x) =




1
3
ïðè x ∈ T (G),
1
4
ïðè x ∈ S(G),



0
ïðè x ∈
/ T (G) ∪ S(G).
Ñòîèìîñòüþ ãðàôà G íàçîâ¼ì âåëè÷èíó
X
1
1
c(G) = t(G) + s(G) =
cG (x).
3
4
x∈V (G)
Äëÿ ëþáîãî ïîäãðàôà F ãðàôà G îïðåäåëèì åãî ñòîèìîñòü â ãðàôå G
êàê
cG (F ) =
X
x∈V (F )
cG (x).
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
198
Ìû õîòèì äîêàçàòü íåðàâåíñòâî u(G) ≥ c(G) + 32 , î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíîå óòâåðæäåíèþ òåîðåìû 6.2.
6.2.1
Ðåäóêöèÿ
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìû áóäåì ñâîäèòü çàäà÷ó ê ìåíüøåìó ãðàôó. Äëÿ ðåäóêöèè íàì ïîíàäîáèòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé è óòâåðæäåíèé.
Îïðåäåëåíèå 6.5.
Ïóñòü äàíû äâà ãðàôà G1 è G2 , â êîòîðûõ âûäåëåíû
âåðøèíû x1 ∈ V (G1 ) è x2 ∈ V (G2 ) ñîîòâåòñòâåííî, V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅.
Ñêëåèòü ãðàôû G1 è G2 ïî âåðøèíàì x1 è x2 îçíà÷àåò ñêëåèòü äâå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x, êîòîðîé áóäóò ïåðåäàíû âñå âûõîäÿùèå
èç x1 è x2 ð¼áðà îáîèõ ãðàôîâ. Îñòàëüíûå âåðøèíû è ð¼áðà ãðàôîâ G1
è G2 âîéäóò â ïîëó÷åííûé ïðè ñêëåéêå ãðàô áåç èçìåíåíèé.
Íàïîìíèì, ÷òî ìîñò ãðàôà G ýòî åãî ðåáðî, íå âõîäÿùåå íè â îäèí
öèêë.
Ëåììà 6.5.
Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅,
v(G1 ) ≥ 2, v(G2 ) ≥ 2 è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô,
ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 è ïîñëåäóþùèì
ñòÿãèâàíèåì íåñêîëüêèõ ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì.
Òîãäà
u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü G0 ãðàô, ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì
ïî x1 è x2 . Î÷åâèäíî, ìîñòû ãðàôà G0 âõîäÿò â ëþáîå åãî îñòîâíîå äåðåâî.
Ïîýòîìó, ïðè ñòÿãèâàíèè ìîñòîâ, íå èíöèäåíòíûõ âèñÿ÷èì âåðøèíàì, íå
ìåíÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ëèñòüåâ â îñòîâíîì äåðåâå, òî
åñòü, u(G0 ) = u(G). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî
u(G0 ) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
199
Ïóñòü x âåðøèíà ãðàôà G0 , ïîëó÷åííàÿ èç x1 è x2 â ðåçóëüòàòå ñêëåèâàíèÿ.
≥. Ðàññìîòðèì îñòîâíûå äåðåâüÿ T1 è T2 ãðàôîâ G01 è G02 c u(T1 ) = u(G01 )
è u(T2 ) = u(G02 ). Ñêëåèâ â íèõ âèñÿ÷èå âåðøèíû x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x,
ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G0 c u(T ) = u(T1 ) + u(T2 ) − 2 (âñå
âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T1 è T2 , êðîìå x1 è x2 , îñòàëèñü âèñÿ÷èìè â
äåðåâå T ). Ñëåäîâàòåëüíî, u(G0 ) ≥ u(G01 ) + u(G02 ) − 2.
≤. Òåïåðü ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ).
Âåðøèíà x ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 è ïîòîìó íå ÿâëÿåòñÿ
âèñÿ÷åé âåðøèíîé äåðåâà T 0 , çíà÷èò, dT 0 (x) = dG0 (x) = 2. Î÷åâèäíî, äåðåâî T 0 ñêëååíî ïî âåðøèíàì x1 è x2 èç îñòîâíîãî äåðåâà T10 ãðàôà G01 (â
êîòîðîì âåðøèíà x1 âèñÿ÷àÿ) è îñòîâíîãî äåðåâà T20 ãðàôà G02 (â êîòîðîì âåðøèíà x2 âèñÿ÷àÿ). Âñå îñòàëüíûå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâüåâ T10
è T20 ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 , ïîýòîìó
u(G0 ) = u(T 0 ) = u(T10 ) + u(T20 ) − 2 ≤ u(G01 ) + u(G02 ) − 2.
Çàìå÷àíèå 6.14.
 ðàçäåëå 6.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà-
öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî
âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí.
Ëåììà 6.6.
Ïóñòü a, b ∈ V (G) ñìåæíûå âåðøèíû, à ïîäãðàô G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G−a, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó b. Òîãäà, åñëè b
òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òî u(G) ≥ u(G0 ) + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü T 0 îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ñ u(T 0 ) = u(G0 ).
Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà G, ïðèñîåäèíèâ âåðøèíó a ê b è äàëåå ïðèñîåäèíèâ ê âåðøèíå a âñå îòëè÷íûå îò G0 êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè
ãðàôà G − a. Âåðøèíà b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïîýòîìó îíà íå
ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé âåðøèíîé â äåðåâå T 0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
u(G) ≥ u(T ) ≥ u(T 0 ) + 1 = u(G0 ) + 1.
200
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Îïèøåì ðåäóêöèîííûå ïðàâèëà.  êàæäîì ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî íå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íè îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ.
R1.
 ãðàôå G åñòü âåðøèíà a ñòåïåíè 2.
Åñëè a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî, ñòÿíóâ èíöèäåíòíîå åé ðåáðî, ìû ïîëó÷èì
ìåíüøèé ãðàô G0 ñ c(G0 ) = c(G) è u(G0 ) = u(G).
Åñëè æå a íå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ, òî èíöèäåíòíîå åé ðåáðî ab íå
ìîñò è ãðàô G0 = G − ab ñâÿçåí. Î÷åâèäíî,
cG0 (a) − cG (a) =
1
4
è
1
cG (b) − cG0 (b) ≤ ,
4
ïîýòîìó c(G0 ) ≥ c(G). Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ
îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, ìû èìååì u(G0 ) ≤ u(G).  îáîèõ ñëó÷àÿõ
óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ãðàôà G ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äëÿ
ìåíüøåãî ãðàôà G0 .
Çàìå÷àíèå 6.15.
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G íåò âåðøèí
ñòåïåíè 2.
Ïóñòü U ìíîæåñòâî âñåõ âèñÿ÷èõ âåðøèí ãðàôà G. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî U 6= ∅ (ñëó÷àé ãðàôà áåç âèñÿ÷èõ âåðøèí ìû ðàçáåð¼ì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå).
Åñëè êàêèå-òî äâå âåðøèíû èç U ñìåæíû, òî â ãðàôå åñòü òîëüêî ýòè
äâå âåðøèíû, à äëÿ ãðàôà èç äâóõ âåðøèí óòâåðæäåíèå òåîðåìû 6.2 î÷å-
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå áîëåå äâóõ âåðøèí, ïîýòîìó,
íèêàêèå äâå âåðøèíû èç U íå ñìåæíû.
âèäíî.
Ïóñòü W ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ âèñÿ÷èìè, à
X ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ íå âîøåäøèõ â U è W âåðøèí, ñìåæíûõ
ñ W.
Ïóñòü H = G − U . Ïîíÿòíî, ÷òî ãðàô H ñâÿçåí.
201
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
R2.
Ãðàô H íåäâóñâÿçåí.
Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H . Òîãäà a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ
ãðàôà G è ñóùåñòâóþò òàêèå ñâÿçíûå ãðàôû G1 è G2 , ÷òî
V (G1 ) ∪ V (G2 ) = V (G),
V (G1 ) ∩ V (G2 ) = {a} è v(G1 ), v(G2 ) > 2.
Äëÿ i ∈ {1, 2} ðàññìîòðèì ãðàô G0i , ïîëó÷åííûé èç Gi ïðèñîåäèíåíèåì
íîâîé âèñÿ÷åé âåðøèíû xi ê âåðøèíå a (ñì. ðèñóíîê 6.21). Òîãäà ãðàô G
ïîëó÷àåòñÿ èç G01 è G02 ñêëåéêîé âåðøèí x1 è x2 â îäíó âåðøèíó x è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì äâóõ èíöèäåíòíûõ x ìîñòîâ (ïðè ýòîì äâå êîïèè
âåðøèíû a â ãðàôàõ G01 è G02 ñêëåÿòñÿ â âåðøèíó a ãðàôà G). Òàêèì
îáðàçîì, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 6.5 è ìû èìååì
u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2.
G
a
b
a
G1
b
b
b
G’1
G2
x1
a
b
x2
G’2
Ðèñ. 6.21: Ðåäóêöèÿ R2
Ïîñêîëüêó dG (a) = dG01 (a) + dG02 (a) − 2, òî íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
cG (a) ≤ cG01 (a) + cG02 (a). Òàê êàê âåðøèíû x1 ∈ V (G01 ) è x2 ∈ V (G02 )
(êîòîðûå ñòîÿò ïî 41 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G), à âñå îòëè÷íûå îò a âåðøèíû
ãðàôà G âõîäÿò ðîâíî â îäèí èç ãðàôîâ G01 è G02 è èìåþò â ýòîì ãðàôå
òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê â ãðàôå G, ìû èìååì
1
c(G) ≤ c(G01 ) + c(G02 ) − 2 · .
4
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî v(G01 ) < v(G) è v(G02 ) < v(G). Òîãäà ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ
u(G01 ) ≥ c(G01 ) +
3
2
è
3
u(G02 ) ≥ c(G02 ) + .
2
202
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Òàêèì îáðàçîì,
u(G) = u(G01 ) + u(G02 ) − 2 ≥ c(G01 ) + c(G02 ) −
1 3
3
+ ≥ c(G) + ,
2 2
2
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Çàìå÷àíèå 6.16.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå H íåò
òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G ýòî
âåðøèíû ìíîæåñòâà W (êàæäàÿ òàêàÿ âåðøèíà îòäåëÿåò ñìåæíûå ñ íåé
âèñÿ÷èå âåðøèíû îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà).
R3.
Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû x, y ∈ V (G), ÷òî
dG (x) ≥ 5 è dG (y) ≥ 5.
Òîãäà ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G − xy . Èç äâóñâÿçíîñòè ãðàôà H = G − U
î÷åâèäíî ñëåäóåò ñâÿçíîñòü ãðàôà G0 , äëÿ íåãî óòâåðæäåíèå òåîðåìû óæå
äîêàçàíî. Î÷åâèäíî, dG0 (x) ≥ 4 è dG0 (y) ≥ 4, ïîýòîìó
cG (x) = cG0 (x),
cG (y) = cG0 (y) è c(G0 ) = c(G).
Òàê êàê îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì G, óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî è äëÿ G.
Çàìå÷àíèå 6.17.
 ðàçäåëå 1.2, â îòëè÷èå îò îñòàëüíîé ÷àñòè äèññåðòà-
öèè, ïîä êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà ìû ïîíèìàåì ìàêñèìàëüíûé ïî
âêëþ÷åíèþ äâóñâÿçíûé ïîäãðàô, à íå ìíîæåñòâî åãî âåðøèí.
R4.
Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷-
êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a è
c(G0 ) ≥ c(G) − 1.
Òàê êàê âåðøèíà b ∈ NG0 (a) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , ïî
ëåììå 6.6 ìû èìååì u(G) ≥ u(G0 )+1. Äëÿ ìåíüøåãî ãðàôà G0 óòâåðæäåíèå
óæå äîêàçàíî, ïîýòîìó
u(G) ≥ u(G0 ) + 1 ≥ c(G0 ) + 1 +
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
3
3
≥ c(G) + ,
2
2
203
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ëåììà 6.7.
Eñëè ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé, òî
ìîæíî ïðîâåñòè ðåäóêöèþ R4.
1◦ Ñóùåñòâóþò òàêèå ñìåæíûå âåðøèíû a, b ∈ V (G), ÷òî b òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ñîäåðæàùåé åå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − a
è dG (a) ≤ 3.
2◦ Cóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ w ∈ W âåðøèíà x òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 3.
3◦ Cóùåñòâóþò äâå âåðøèíû x, y ∈ U , ñìåæíûå ñ îäíîé âåðøèíîé
w ∈ W.
4◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) ≤ 6 è x
ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ îäíîé âåðøèíîé èç S(G).
5◦ Ñóùåñòâóåò ñìåæíàÿ ñ W âåðøèíà x, òàêàÿ, ÷òî dG (x) = 4 è x
ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1◦ Èç äâóñâÿçíîñòè H ñëåäóåò, ÷òî â G0 âõîäÿò âñå âåð-
øèíû ãðàôà G − a, êðîìå ñìåæíûõ ñ a âèñÿ÷èõ âåðøèí. Îò óìåíüøåíèÿ
ñòåïåíè íà 1 öåíà âåðøèíû óìåíüøàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà 41 . Ñìåæíûå ñ x
âèñÿ÷èå âåðøèíû (åñëè òàêèå åñòü) òàêæå èìåþò öåíó 14 . Ïîýòîìó
c(G) − c(G0 ) ≤ cG (a) +
X
(cG (v) − cG0 (v)) ≤
v∈NG (a)
1
1
+3· =1
4
4
è óñëîâèå R4 äëÿ âåðøèí a è b âûïîëíåíî.
2◦ è 3◦ .  îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Î÷åâèäíî, w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , òàê
êàê îòäåëÿåò ñìåæíóþ ñ íåé âèñÿ÷óþ âåðøèíó (îòëè÷íóþ îò x) îò îñòàëüíûõ âåðøèí ãðàôà G. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàô óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 1◦ äëÿ
a = x è b = w.
4◦ è 5◦ . Ïóñòü w ∈ W âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ x.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G − x, ñîäåðæàùóþ w. Êàê è
âûøå, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî G0 ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà G − x, êðîìå
ñìåæíûõ ñ x âèñÿ÷èõ âåðøèí, à w òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 .
204
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî c(G) − c(G0 ) ≤ 1. Îò óìåíüøåíèÿ ñòåïåíè íà 1
öåíà âåðøèíû èç S(G) óìåíüøàåòñÿ íà 14 , à öåíà ëþáîé äðóãîé âåðøèíû
íå áîëåå, ÷åì íà
1
3
−
1
4
=
c(G) − c(G0 ) ≤ cG (x) +
1
12 .
Íàïèøåì îöåíêó äëÿ ñëó÷àÿ 4◦ :
X
(cG (y) − cG0 (y)) ≤
y∈NG (x)
1 1
1
+ +5·
= 1.
3 4
12
Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà âåðíà è â ñëó÷àå 5◦ :
0
c(G) − c(G ) ≤ cG (x) +
X
(cG (y) − cG0 (y)) ≤
y∈NG (x)
1
1
1
+2· +2·
= 1.
3
4
12
Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî óñëîâèÿ ðåäóêöèè R4 äëÿ a = x è b = w âûïîëíåíû.
Çàìå÷àíèå 6.18.
 äàëüíåéøåì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ãðàô íå óäîâëåòâîðÿåò
íè îäíîìó èç óñëîâèé 1◦ − 5◦ ëåììû 6.7.
Ëåììà 6.8.
Åñëè íåëüçÿ ïðèìåíèòü ïðàâèëà R1 − R4, òî íèêàêèå äâå
âåðøèíû èç W íå ñìåæíû â ãðàôå G.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ñóùåñòâóþò äâå ñìåæ-
íûå âåðøèíû w, w0 ∈ W , dG (w) ≤ dG (w0 ). Òîãäà dG (w) ≤ 4 (èíà÷å ìîæíî
áûëî áû âûïîëíèòü R3). Áîëåå òîãî, dG (w) = 4 (èíà÷å w è w0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 2◦ ëåììû 6.7). Âñå ñìåæíûå ñ w âåðøèíû, êðîìå îäíîé
âèñÿ÷åé, èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4, èíà÷å ãðàô óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç
óñëîâèé 2◦ èëè 3◦ ëåììû 6.7. Íî â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 4◦
ëåììû 6.7 äëÿ x = w, ïðîòèâîðå÷èå.
Çàìå÷àíèå 6.19.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ
îäíîé âåðøèíîé èç U è dG (w) − 1 âåðøèíîé ìíîæåñòâà X .  ÷àñòíîñòè,
îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X 6= ∅. Òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7,
âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò â ãðàôå G ñòåïåíü õîòÿ áû 4.
205
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
R5.
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè w, w0 , ïðè-
÷¼ì w ∈ W , dG (w) = dG (w0 ) = 3 è â NG (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû
èç S(G).
Çàìå÷àíèå 6.20.
Òàê êàê X ∩ S(G) = ∅, â ñëó÷àå w0 ∈ W óñëîâèå R5
âûïîëíåíî.
Ïóñòü NG (w) = {x, y, u}, ãäå u ∈ U . Îòìåòèì, ÷òî ïî çàìå÷àíèþ 6.19
ìû èìååì dG (y) ≥ 4. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ãðàô G0 = G · wx ñâÿçåí. Ïóñòü
x0 = x · w ∈ V (G0 ) (ñì. ðèñóíîê 6.22).
Ëþáàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ v 6= x0 ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G. Áîëåå òîãî, ïóñòü K êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè
Çàìå÷àíèå 6.21.
ãðàôà G0 − v . Åñëè K íå ñîäåðæèò x0 , òî K ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà G−v . Åñëè æå K ñîäåðæèò x0 , òî K ∪{x, w}\{x0 } êîìïîíåíòà
ñâÿçíîñòè ãðàôà G − v .
y
b
b
x
y
b
b
b
b
b
w
u
x’
b
b
w’
b
b
b
G
w’
u
b
G’
Ðèñ. 6.22: Ãðàôû G è G0 .
Åñëè w0 ∈ W , òî ãðàô G0 − w0 èìååò äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, ïðè÷åì
îäíà èç íèõ ñîñòîèò èç âèñÿ÷åé âåðøèíû, ñìåæíîé ñ w0 . Ïóñòü G∗ äðóãàÿ
êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G0 − w0 , êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îñòàëüíûå âåðøèíû. Åñëè w0 6∈ W , òî ãðàô G0 − w0 ñâÿçåí. Òîãäà ïîëîæèì G∗ = G0 − w0 .
Î÷åâèäíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ c(G∗ ) = c(G0 − w0 ). Òàê êàê ñâÿçíûé ãðàô G∗
ìåíüøå G, äëÿ ýòîãî ãðàôà âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Âåðøèíà x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G∗ (ñ íåé ñìåæíà âèñÿ÷àÿ âåðøèíà u), ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 6.6
3
u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G∗ ) + 1 ≥ c(G∗ ) + 1 + .
2
206
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî
c(G∗ ) = c(G0 − w0 ) ≥ c(G) − 1.
Îòìåòèì, ÷òî dG0 (x0 ) ≥ 4, ïîýòîìó, cG0 (x0 ) =
1
3
= cG (x). Ïðè ñòÿãèâàíèè
ðåáðà xw ñòåïåíü îòëè÷íîé îò x è w âåðøèíû ìîãëà óìåíüøèòüñÿ òîëüêî íà 1 (â ñëó÷àå, êîãäà ýòà âåðøèíà ñìåæíà â ãðàôå G è ñ x, è ñ w).
Òàêîé âåðøèíîé ìîæåò áûòü òîëüêî y , ñëåäîâàòåëüíî, cG0 (y) ≥ cG (y) −
1
12
(òàê êàê y ∈ X ⊂ T (G) ïî çàìå÷àíèþ 6.19). Còåïåíè îòëè÷íûõ îò x, y, w
âåðøèí â ãðàôàõ G è G0 îäèíàêîâû. Òàêèì îáðàçîì,
1
c(G0 ) ≥ c(G) − .
3
Ïîñêîëüêó dG0 (x0 ) ≥ 4, òî S(G) ⊃ S(G0 ). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â NG (w0 )
íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G), ïîýòîìó â NG0 (w0 ) íå áîëåå îäíîé âåðøèíû èç S(G0 ). Ñëåäîâàòåëüíî,
0
0
0
0
c(G − w ) = c(G ) − c (w ) −
G0
X
(cG0 (v) − cG0 −w0 (v)) ≥
v∈NG0 (w0 )
1
c(G0 ) − −
4
1
1
+2·
4
12
= c(G0 ) −
2
≥ c(G) − 1,
3
÷òî äëÿ íàñ äîñòàòî÷íî.
R6.
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ X , dG (x) ≤ 6.
Ìû âûáåðåì âåðøèíó x ∈ X íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Òàê êàê âåðøèíà x
íå äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 4◦ ëåììû 6.7, òî îíà ñìåæíà õîòÿ áû
ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç S(G). Òàê êàê x 6∈ W , îáå ýòè âåðøèíû èìåþò
ñòåïåíü 3. Ïîñêîëüêó íåëüçÿ âûïîëíèòü R5, òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ äâóõ
âåðøèí íå ïðèíàäëåæèò W (ñì. çàìå÷àíèå 6.20) è èìååò äâóõ ñîñåäåé
èç S(G). Îáîçíà÷èì ýòó âåðøèíó ÷åðåç y , ïóñòü NG (y) = {x, z, z 0 }. Òîãäà,
òàê êàê y ∈
/ W , ìû èìååì dG (z) = dG (z 0 ) = 3.
Ïóñòü âåðøèíà w ∈ W ñìåæíà ñ x. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
207
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
R6.1.
dG (x) = 4, dG (w) ≥ 4.
Ïóñòü NG (x) = {w, y, y1 , y2 }. Òîãäà dG (y) = dG (y1 ) = dG (y2 ) = 3, èíà÷å
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 5◦ ëåììû 6.7.
Íàøà ïåðâàÿ öåëü ïîñòðîèòü â ãðàôå G ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû y äî
íåêîòîðîé âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G)∪NG(x) èëè q ∈ {y1, y2}), âñå âíóòðåííèå
âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò â S(G) è íå ëåæàò â NG(x), à ãðàô G − E(P ) − x
ñâÿçåí.
Ðàññìîòðèì z ∈ NG (y), z 6= x. Ïî çàìå÷àíèþ 6.19 èç dG (y) = 3 ñëåäóåò,
÷òî y ∈
/ X , òî åñòü, y íå ìîæåò áûòü ñìåæíà ñ w ∈ W . Çíà÷èò, z 6= w.
Åñëè ðåáðî yz ìîñò â G − x, òî x òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â ãðàôå G − y è
âûïîëíåíî óñëîâèå 1◦ ëåììû 6.7 äëÿ âåðøèí y è x, ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,
ðåáðî yz íå ìîñò â G − x.
y
b
b
2
b
b
w
y
1
b
z
x
b
b
b
b
t’
b
v1
y
b
b
t
b
q
Ðèñ. 6.23: Ðåäóêöèÿ R6.1, ïóòü P .
 íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî yz . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G − yz − x ñâÿçåí è dG (z) ≥ 3.
Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïóòü P 0 îò y äî t, ïðè÷¼ì ãðàô
G − E(P 0 ) − x ñâÿçåí, dG (t) ≥ 3 è t 6= w (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = z è
âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t ∈ S(G) (òî åñòü, dG (t) = 3)
èt∈
/ {y1 , y2 }, èíà÷å ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò.
Ïóñòü NG (t) = {t0 , v1 , v2 }, ãäå t0 ïðåäûäóùàÿ âåðøèíà ïóòè P 0 . Òîãäà dG (t0 ) = 3. Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî.
Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v1 6= w. Î÷åâèäíî, v1 6= x.
Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà
G − E(P 0 ) − x − t0 (êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç ñâÿç-
208
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
íîãî ãðàôà G − E(P 0 ) − x óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Òîãäà
u(G) ≥ u(G − E(P 0 )) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2
(â îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G − E(P 0 ) − x − t0 äîáàâèì äâå íîâûå âèñÿ÷èå
âåðøèíû: x ïðèñîåäèíèì ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ w, à t0 ê òî÷êå ñî÷ëåíåíèÿ t).
Îöåíèì c(G)−c(G−E(P 0 )−x−t0 ). Óäàëåíû âåðøèíû x è t0 ñóììàðíîé
ñòîèìîñòüþ
1
3
+ 14 . Òàê êàê öåíà âåðøèí ñòåïåíè 1 è 3 îäèíàêîâà, òî öåíà
îòëè÷íûõ îò t0 è t âåðøèí ïóòè P 0 íå èçìåíèëàñü. Òîãäà â ðåçóëüòàòå
óäàëåíèÿ E(P 0 ), x è t0 èç ãðàôà G0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ëèøü ó òðåõ
âåðøèí èç NG (x) \ {y} è äâóõ èç òð¼õ âåðøèí ìíîæåñòâà NG (t0 ) (êðîìå
ïðåäøåñòâóþùåé t0 âåðøèíû ïóòè P 0 ), ÷òî äàåò íàì ìàêñèìóì 54 . Çíà÷èò,
c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) ≥ c(G) −
1 1 5
− − > c(G) − 2
3 4 4
è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ ìû èìååì
u(G) ≥ u(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 ≥ c(G − E(P 0 ) − x − t0 ) + 2 +
3
3
> c(G) + .
2
2
 ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G − E(P 0 ) − x. Òîãäà
dG−E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ñëåäîâàòåëüíî, v1 6∈ V (P 0 ) è dG (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì
ïóòü P 0 íà ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è
ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ïóòü P .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G−E(P )−x. Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå,
u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1
è íàì îñòàåòñÿ ëèøü îöåíèòü c(G) − c(G − E(P ) − x). Ìû óäàëèëè âåðøèíó x öåíîé 31 . Ïðè q ∈
/ {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òðåõ îòëè÷íûõ îò y
1
âåðøèí èç NG (x) (ìàêñèìóì íà 2 · 14 + 12
, òàê êàê w 6∈ S(G)) è âåðøèíû q
209
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
(íà
1
12 ).
Ïðè q ∈ {y1 , y2 } ìû óìåíüøèëè öåíó òîëüêî äâóõ îòëè÷íûõ îò y
è q âåðøèí èç NG (x), ìàêñèìóì íà
1
4
1
+ 12
.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì, ÷òî
c(G) − c(G − E(P ) − x) ≤ 1 è
u(G) ≥ u(G − E(P ) − x) + 1 ≥ c(G − E(P ) − x) + 1 +
R6.2.
3
3
≥ c(G) + .
2
2
Âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé:
• dG (x) = 4 è dG (w) = 3;
• dG (x) > 4.
Êàê è â ïóíêòå R5, ìû ðàññìîòðèì ãðàô G0 = G · xw è âåðøèíó
x0 = x · w ∈ V (G0 )
(ñì. ðèñóíîê 6.22). Ïîíÿòíî, ÷òî x0 òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G0 , îíà
îòäåëÿåò îò îñòàëüíûõ âåðøèí âèñÿ÷óþ âåðøèíó. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
dG0 (x0 ) ≥ dG (x) ≥ 4.
(Âåðøèíà x0 ñìåæíà â ãðàôå G0 ñî âñåìè âåðøèíàìè èç NG (x), êðîìå w
è, êðîìå òîãî, ñìåæíà ñ âèñÿ÷åé âåðøèíîé èç NG (w).)
Çàìå÷àíèå 6.22.
1) Ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw óìåíüøàþòñÿ, ïðè÷åì ðîâ-
íî íà 1, ëèøü ñòåïåíè âåðøèí, âõîäÿùèõ â òðåóãîëüíèê ñ w è x, à òàêèå
âåðøèíû ïðèíàäëåæàò X (â ñèëó ëåììû 6.8) è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 4
(èíà÷å âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2◦ ëåììû 6.7).
2) Ïîýòîìó, èç dG (a) = 3 è a 6= w ñëåäóåò, ÷òî dG0 (a) = 3.
Åñëè dG (w) = 3, òî c(G0 ) ≥ c(G) − 13 , êàê äîêàçàíî â ïóíêòå R5.
Ïóñòü dG (x) > 4, òîãäà ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû èç X íå ìåíåå 5.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.22 ïðè ñòÿãèâàíèè ðåáðà xw ìîãóò óìåíüøèòüñÿ ëèøü
ñòåïåíè âåðøèí èç ìíîæåñòâà X , ïðè÷åì ðîâíî íà 1.  íàøåì ñëó÷àå
ñòåïåíü òàêèõ âåðøèí â ãðàôå G íå ìåíåå 5, ïîýòîìó öåíà ëþáîé òàêîé
âåðøèíû â G è G0 îäíà è òà æå. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå
1
c(G) − c(G0 ) = cG (w) ≤ .
3
210
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Íàïîìíèì, ÷òî y òàêàÿ ñìåæíàÿ ñ x âåðøèíà ãðàôà G, ÷òî
y∈
/ W,
NG (y) = {x, z, z 0 } è dG (z) = dG (z 0 ) = 3
(ñì. íà÷àëî ïóíêòà R6). Îòìåòèì, ÷òî NG0 (y) = {x0 , z, z 0 }.
Ìû áóäåì ñòðîèòü â ãðàôå G0 ïðîñòîé ïóòü P îò âåðøèíû z äî íåêîòîðîé
âåðøèíû q (ãäå q 6∈ S(G0) ∪ NG(y) èëè q = z0), âñå âíóòðåííèå âåðøèíû
êîòîðîãî ëåæàò â S(G0) è íå ëåæàò â NG (x0) è ãðàô G0 − E(P ) − y ñâÿçåí.
0
z’
y
b
b
x’
z
b
b
b
t’
b
v1
b
b
b
v
b
b
t
b
q
Ðèñ. 6.24: Ðåäóêöèÿ R6.2: ãðàô G0 è ïóòü P .
Ïóñòü v ∈ NG0 (z), v 6∈ {y, x0 }. Åñëè ðåáðî zv ìîñò â G0 − y , òî z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ â G0 −y . Ïî çàìå÷àíèþ 6.21, òîãäà z òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ
â G − y , òî åñòü, âåðøèíû y è z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 1◦ ëåììû 6.7,
ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ðåáðî zv íå ìîñò â G0 − y .
 íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïóòü P 0 , ñîäåðæàùèé åäèíñòâåííîå ðåáðî zv . Îòìåòèì, ÷òî ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí è dG0 (v) ≥ 3.
Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñòðîåí ïðîñòîé ïóòü P 0 îò z äî t, ïðè÷¼ì
ãðàô G0 − E(P 0 ) − y ñâÿçåí, t 6= x0 è dG0 (t) ≥ 3 (â íà÷àëå ïîñòðîåíèÿ t = v
è âñå ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû). Ïîíÿòíî, ÷òî t 6= z 0 è t ∈ S(G0 ), èíà÷å
ïóòü P = P 0 íàì ïîäõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, dG0 (t) = 3.
Ïîïðîáóåì ïðîäëèòü ïóòü P 0 íà îäíî ðåáðî. Ïóñòü NG0 (t) = {t0 , v1 , v2 },
ãäå t0 ïðåäøåñòâóþùàÿ t âåðøèíà ïóòè P 0 è v1 6= x0 . Òîãäà dG0 (t0 ) = 3.
Ïóñòü tv1 ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà t òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ
ñâÿçíîãî ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y − t0 (ýòîò ãðàô ñâÿçåí, òàê êàê ïîëó÷åí èç
ñâÿçíîãî ãðàôà G0 −E(P 0 )−y óäàëåíèåì âèñÿ÷åé âåðøèíû t0 ). Àíàëîãè÷íî
211
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
ïóíêòó R6.1, ìû ïîëó÷èì, ÷òî
u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P 0 )) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2.
Îöåíèì c(G) − c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ). Êàê ìû çíàåì, c(G) − c(G0 ) ≤ 31 .
Èç ãðàôà G0 óäàëåíû âåðøèíû y è t0 ñóììàðíîé ñòîèìîñòüþ 21 . Ïðè óäàëåíèè èç G0 âåðøèí y è t0 öåíà ìîãëà èçìåíèòüñÿ ó äâóõ ñîñåäåé y è ó
äâóõ ñîñåäåé t0 (ñòåïåíè ñîñåäåé y è t0 , ëåæàùèõ ìåæäó íèìè íà ïóòè P 0 ,
èçìåíèëèñü ñ 3 íà 1, ÷òî íå ìåíÿåò öåíó âåðøèíû). Ýòî äàåò íàì íå áîëåå
÷åì 4 · 41 . Çíà÷èò,
c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) ≥ c(G0 ) −
1
1
11
− 4 · ≥ c(G) −
2
4
6
è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ èìååì
u(G) ≥ u(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 ≥ c(G0 − E(P 0 ) − y − t0 ) + 2 +
3
3
> c(G) + .
2
2
 ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà.
Îñòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà tv1 íå ìîñò ãðàôà G0 − E(P 0 ) − y . Òîãäà
dG0 −E(P 0 ) (v1 ) ≥ 2, ïîýòîìó v1 ∈
/ V (P 0 ) è dG0 (v1 ) ≥ 3. Ìû ïðîäëèì ïóòü P 0 íà
ðåáðî tv1 è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ ñ íîâûì ïóò¼ì è åãî êîíöîì v1 . Ðàíî
èëè ïîçäíî ïðîöåññ â âèäó êîíå÷íîñòè ãðàôà çàêîí÷èòñÿ è ìû ïîëó÷èì
èñêîìûé ïóòü P .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô G0 −E(P )−y . Àíàëîãè÷íî äîêàçàííîìó âûøå,
u(G) ≥ u(G0 ) ≥ u(G0 − E(P ) − y) + 1 è íàì îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
c(G0 − E(P ) − y) ≥ c(G0 ) −
2
≥ c(G) − 1.
3
Íà ýòîò ðàç ìû óäàëèëè èç G0 âåðøèíó y öåíîé 41 . Ïðè q 6= z 0 ìû óìåíü1
øèëè öåíó äâóõ îòëè÷íûõ îò z âåðøèí èç NG0 (y) (ìàêñèìóì íà 14 + 12
, òàê
êàê x0 6∈ S(G0 )) è âåðøèíû q (íà
1
12 ).
Ïðè q = z 0 ìû óìåíüøèëè òîëüêî
öåíó âåðøèíû x0 , ïðè÷åì íå áîëåå, ÷åì íà
1
12 .
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì
c(G0 ) − c(G0 − E(P ) − x) ≤ 23 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ëåììà 6.9.
212
Åñëè â ñâÿçíîì ãðàôå G áîëåå äâóõ âåðøèí, åñòü âèñÿ÷èå
âåðøèíû è íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïóíêòîâ R1 − R6, òî
ãðàô óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
1◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà X ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7.
2◦ Âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è èìåþò ñòåïåíü íå
áîëåå 4.
3◦ Êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèía ãðàôà G ñìåæíà ñ âåðøèíîé ìíîæåñòâà W . Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âèñÿ÷åé
âåðøèíîé ãðàôà G.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê â ãðàôå õîòÿ áû äâå âåðøèíû, òî íèêàêèå
äâå åãî âèñÿ÷èå âåðøèíû íå ñìåæíû. Çíà÷èò, êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà
ñìåæíà ñ âåðøèíîé èç W .
Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü R6, âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X èìåþò ñòåïåíü õîòÿ áû 7 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîïàðíî íåñìåæíû. Ïî ëåììå 6.8
âåðøèíû ìíîæåñòâà W ïîïàðíî íåñìåæíû è, êàê ìû çíàåì, îíè èìåþò
ñòåïåíü õîòÿ áû 3. Çíà÷èò, êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W ñìåæíà ñ ìíîæåñòâîì X . Òàê êàê ñòåïåíè âñåõ âåðøèí èç X õîòÿ áû 7 è íåâîçìîæíî
âûïîëíèòü R3, òî ñòåïåíè âåðøèí ìíîæåñòâà W íå ïðåâîñõîäÿò 4.
6.2.2
Ìåòîä ì¼ðòâûõ âåðøèí
Ïóñòü íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî èç ïðàâèë ðåäóêöèè R1 − R6. Â
ýòîì ñëó÷àå ìû ïîñòðîèì èñêîìîå îñòîâíîå äåðåâî â ãðàôå G ñ ïîìîùüþ
ìåòîäà ì¼ðòâûõ âåðøèí.
Íàøà ìîäèôèêàöèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà: ìû íà÷íåì ïîñòðîåíèå ñ ëåñà (íå îáÿçàòåëüíî äåðåâà). Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî,
ïî øàãàì äîáàâëÿòü ê íåìó âåðøèíû è óìåíüøàòü êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò
ñâÿçíîñòè.
213
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà H ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç k(H) êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ýòîãî ãðàôà.
Ïóñòü ïîñëå íåñêîëüêèõ øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ìû ïîëó÷èëè ëåñ F (ãäå
V (F ) ⊂ V (G), E(F ) ⊂ E(G)). Âñå ð¼áðà ëåñà F îñòàíóòñÿ â íàøåì ëåñå
íà ïîcëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ è âîéäóò â èòîãîâîå îñòîâíîå äåðåâî.
Îïðåäåëåíèå 6.6.
Âèñÿ÷óþ âåðøèíó x ëåñà F íàçîâåì ìåðòâîé, åñëè
âñå âåðøèíû ãðàôà G, ñìåæíûå c x, âõîäÿò â ëåñ F , ïðè÷¼ì â òó æå
êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè, ÷òî è x.
Äëÿ ëåñà F ÷åðåç b(F ) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî åãî ì¼ðòâûõ âåðøèí.
Çàìå÷àíèå 6.23.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ìåðòâûå âåðøèíû îñòàíóòñÿ
ìåðòâûìè âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ.
Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîåíèÿ, êîãäà áóäåò ïîñòðîåíî îñòîâíîå äåðåâî, âñå åãî
âèñÿ÷èå âåðøèíû ñòàíóò ì¼ðòâûìè.
Äëÿ ëåñà F ìû îïðåäåëèì
1
5
α(F ) = u(F ) + b(F ) − cG (F ) − 2(k(F ) − 1).
6
6
(6.4)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ T = T (G) è S = S(G).  íàøåì ñëó÷àå
V (G) = S ∪ T.
Íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ
Îòäåëüíî îïèøåì íà÷àëî ïîñòðîåíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå G áîëåå
äâóõ âåðøèí. Íà ýòîì ýòàïå ìû ïîñòðîèì â ãðàôå G ëåñ F ∗ ñ äîñòàòî÷íî
áîëüøèì α(F ∗ ), ñîäåðæàùèé âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G. Ðàññìîòðèì
äâà ñëó÷àÿ.
B1.
 ãðàôå G íåò âèñÿ÷èõ âåðøèí.
 ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ãðàôå åñòü âåðøèíà a ñ dG (a) ≥ 4,
èíà÷å íàøà òåîðåìà ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòà ðàáîòû [19]. Ìû íà÷í¼ì ïîñòðîåíèå ñ áàçîâîãî äåðåâà F ∗ , â êîòîðîì a ñîåäèíåíà ñ 4 âåðøèíàìè èç
214
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
å¼ îêðåñòíîñòè. Òîãäà
5
1
5
·4− ·5= .
6
3
3
α(F ∗ ) ≥
B2.
 ãðàôå G åñòü âèñÿ÷èå âåðøèíû, òî åñòü U 6= ∅.
 ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå ëåììû 6.9.
Ïóñòü Y ⊂ V (G) ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, ñìåæíûõ ñ X è íå âîøåäøèõ â W . Ðàññìîòðèì ãðàô G∗ íà âåðøèíàõ W ∪ X ∪ U ∪ Y , âñå ð¼áðà
êîòîðîãî ýòî ð¼áðà ãðàôà G, èíöèäåíòíûå W èëè X . Èç ëåììû 6.9
ïîíÿòíî, ÷òî G∗ äâóäîëüíûé ãðàô ñ äîëÿìè W ∪ Y è X ∪ U .
Ïóñòü G0 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ãðàôà G∗ . Ìû ïîñòðîèì â G0 îñòîâíîå
äåðåâî F 0 ñ α(F 0 ) ≥ 2. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ïîäãðàô G00 = G0 −Y , ïóñòü
â ýòîì ïîäãðàôå k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè
ãðàôà G00 ñîåäèíÿþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç âåðøèíû ìíîæåñòâà Y (ñì.
ðèñóíîê 6.25).
U
X
X
U
W
X
U
W
W
Y
Ðèñ. 6.25: Áàçà B2, ãðàô G0 .
Ïóñòü
W 0 = W ∩ V (G0 ),
X 0 = X ∩ V (G0 ),
Y 0 = Y ∩ V (G0 ),
U 0 = U ∩ V (G0 ).
Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7 âåðøèíàìè èç W 0 ∪Y 0 .
Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà W 0 ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç U è,
ñëåäîâàòåëüíî, ñ 2 èëè 3 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç W20 è W30 ìíîæåñòâà âåðøèí èç W 0 , ñìåæíûõ ñ 2 è 3 âåðøèíàìè èç X 0 , ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîíÿòíî, ÷òî W20 ⊂ S è W30 ⊂ T .
215
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Êàæäàÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà Y 0 ñìåæíà ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà X 0 ,
èìåþùèìè ñòåïåíü õîòÿ áû 7. Òàê êàê íåëüçÿ âûïîëíèòü R3, âåðøèíû
èç Y 0 èìåþò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî åñòü, êàæäàÿ èç íèõ ñìåæíà íå áîëåå,
÷åì ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Y40 ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí
èç Y 0 , ñìåæíûõ ñ 4 âåðøèíàìè èç X 0 , ïóñòü Y30 = Y 0 \ Y40 . Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ
x = |X 0 |,
w2 = |W20 |,
w3 = |W30 |,
y3 = |Y30 |,
y4 = |Y40 |.
Òîãäà
2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4
.
(6.5)
7
Âûäåëèì â ãðàôå G0 îñòîâíûé ëåñ F 0 , ïîäâåñèâ ê W 0 ∪ X 0 âåðøèíû èç
|U 0 | = w2 + w3 ,
x≤
Y 0 ∪U 0 (ýòè âåðøèíû áóäóò âèñÿ÷èìè, èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî w2 +w3 +y3 +y4 ).
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî â òàêîì ëåñó k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (ñòîëüêî æå,
ñêîëüêî â ãðàôå G00 = G0 − Y ). Ïîñòðîèì îñòîâíîå äåðåâî T 0 ãðàôà G0 ,
ñâÿçàâ ýòè k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè â îäíó, äëÿ ÷åãî ïðîâåä¼ì k − 1 íîâîå
ðåáðî ìåæäó Y 0 è X 0 .  ðåçóëüòàòå êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí èç Y 0 ∪ U 0
óìåíüøèòñÿ íå áîëåå ÷åì íà k − 1 è ïîëó÷èòñÿ
u(T 0 ) ≥ w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1.
(6.6)
Îöåíèì còîèìîñòü äåðåâà T 0 :
cG (T 0 ) ≤
1
1
· (2w2 + w3 ) + · (w3 + x + y3 + y4 ).
4
3
(6.7)
Âñå âåðøèíû èç U 0 , î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ì¼ðòâûìè âåðøèíàìè äåðåâà T 0 .
Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåðøèíà èç Y èìååò ñòåïåíü íå áîëåå 4, òî òå âåðøèíû
èç Y40 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â äåðåâå T 0 ì¼ðòâûå
âåðøèíû ýòîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì, ìåíüøå âñåãî ì¼ðòâûõ âåðøèí ó
äåðåâà T 0 â ñëó÷àå, êîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ëåñà F 0 , ïðîïàâøèå ïðè
ñêëåéêå êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, ëåæàëè â Y40 è ìû èìååì
b(T 0 ) ≥ |U 0 | + y4 − k + 1 = w2 + w3 + y4 − k + 1.
(6.8)
216
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå âûøå íåðàâåíñòâà (6.6), (6.7) è (6.8), ïîëó÷àåì
1
5
α(T 0 ) = u(T 0 ) + b(T 0 ) − cG (T 0 ) ≥
6
6
5
1
(w2 + w3 + y3 + y4 − k + 1) + (w2 + w3 + y4 − k + 1) − cG (T 0 ) ≥
6
6
5
w2 + w3 + y4 + y3 − cG (T 0 ) − k + 1 ≥
6
5
1
2
1
1
+ y3 · + y4 · − x · − k + 1. (6.9)
w2 · + w 3 ·
2
12
2
3
3
Äàëåå íàì íóæíî îöåíèòü k . Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè G0 ãðàôà G00 . Â G0 åñòü âåðøèíà v ∈ W20 ∪ W30 . Åñëè v ∈ W20 , òî â G0 õîòÿ áû äâå
âåðøèíû èç X 0 , à åñëè v ∈ W30 òî õîòÿ áû òðè âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì
îáðàçîì,
2k ≤ x.
(6.10)
Ïóñòü k2 êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàôà G00 , ñîäåðæàùèõ ïî
äâå âåðøèíû èç X 0 . Â êàæäîé òàêîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè îáÿçàòåëüíî
åñòü âåðøèíà èç W20 , ïîýòîìó k2 ≤ w2 . Òîãäà
x ≥ 3(k − k2 ) + 2k2 = 3k − k2 ≥ 3k − w2 ,
÷òî ìû ïåðåïèøåì â âèäå
3k ≤ x + w2 .
Ñëîæèâ óìíîæåííîå íà
3
2
(6.11)
íåðàâåíñòâî (6.10) è íåðàâåíñòâî (6.11) è ñî-
êðàòèâ íà 6, ïîëó÷èì
k≤
5
1
x + w2 .
12
6
(6.12)
Îòìåòèì, ÷òî X 0 6= ∅, à êàæäàÿ âåðøèíà èç X 0 ñìåæíà õîòÿ áû ñ 7
âåðøèíàìè èç W 0 ∪ Y 0 . Ïîýòîìó,
w2 + w3 + y3 + y4 ≥ 7.
Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
(6.13)
217
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
B2.1.
W30 = ∅.
Âåðí¼ìñÿ ê íåðàâåíñòâó (6.9). C ó÷åòîì w3 = 0 è íåðàâåíñòâà (6.10) ïîëó÷àåì
α(T 0 ) ≥ w2 ·
1
2
1
1
+ y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥
2
2
3
3
1
1
2
5
w2 · + y3 · + y4 · − x · + 1. (6.14)
2
2
3
6
Ïîäñòàâèâ â (6.14) îöåíêó íà x èç (6.5), ó÷èòûâàÿ (6.13) è w3 = 0, ïîëó÷èì
α(T 0 ) ≥ w2 ·
1
4
1
11
+ y3 · + y4 ·
+ 1 ≥ (w2 + y3 + y4 ) · + 1 ≥ 2,
42
7
21
7
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
B2.2.
W20 = ∅, k = 1.
Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (6.9), w2 = 0 è k = 1 ïîëó÷àåì
α(T 0 ) ≥ w3 ·
5
1
2
1
+ y3 · + y4 · − x · .
12
2
3
3
(6.15)
Ïîäñòàâèâ â (6.15) îöåíêó íà x èç (6.5), ïîëó÷èì
α(T 0 ) ≥ w3 ·
5
10
23
5
23
+ y3 ·
+ y4 ·
≥ w3 ·
+ (y3 + y4 ) · .
84
14
21
84
14
(6.16)
Åñëè y3 = y4 = 0, òî âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû äåðåâà T 0 ì¼ðòâûå, òî
åñòü, G = G0 .  ýòîì ñëó÷àå èç (6.13) èìååì w3 ≥ 7 è
u(G) ≥ u(T 0 ) ≥ c(G) +
23
,
12
òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ïóñòü y3 + y4 ≥ 1. Òîãäà èç (6.16) è (6.13)
ìû èìååì
α(T 0 ) ≥ 6 ·
23
5
+
= 2,
84 14
÷òî íàc óñòðàèâàåò.
B2.3.
k ≥ 2.
 îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî w3 6= 0, èíà÷å ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïóíêòîì B2.1.  ãðàôå G00 õîòÿ áû äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.
Ñðåäè íèõ åñòü êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âåðøèíû èç W30 , â íåé õîòÿ áû 3 âåðøèíû èç X 0 .  äðóãîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè íå ìåíåå ÷åì 2
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
218
âåðøèíû èç X 0 . Òàêèì îáðàçîì, x ≥ 5. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (6.9),
îöåíêîé íà k èç (6.12) è îöåíêîé íà x èç (6.5):
1
1
5
1
2
α(T 0 ) ≥ w2 · + w3 ·
+ y3 · + y4 · − x · − k + 1 ≥
2
3
3 2 12
5
1
2
1
5
1 1
−
+ w3 ·
+ y3 · + y4 · − x ·
+
+1≥
w2 ·
2 6
12
2
3
3 12
1
5
1
2 3 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4
w2 · + w3 ·
+ y3 · + y4 · −
+1≥
3
12
2
3 4
7
2
5
5
5
+ w3 ·
+ y3 ·
+ y4 ·
+1≥
w2 ·
42
28
21
21
2
2 2w2 + 3w3 + 3y3 + 4y4
+ 1 ≥ x · + 1 > 2,
9
7
9
÷òî íàì è íóæíî.
Ëåììà 6.10.
Åñëè ê ñâÿçíîìó ãðàôó G íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè îäíî
èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë, òî ñóùåñòâóåò ëåñ F ∗ ïîäãðàô ãðàôà G c
α(F ∗ ) ≥ 23 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè v(G) = 2, òî G äåðåâî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè,
ñëåäîâàòåëüíî,
1 1
3
= , è α(G) = .
4 2
2
Äàëåå ïóñòü v(G) > 2.  ýòîì ñëó÷àå ìû ïðèìåíèì îïèñàííîå âûøå ïîu(G) = 2,
c(G) = 2 ·
ñòðîåíèå áàçîâîãî ëåñà. Åñëè ãðàô G íå èìååò âèñÿ÷èõ âåðøèí, òî ïî ïóíêòó B1 ìîæíî ïîñòðîèòü äåðåâî F ∗ ñ α(F ∗ ) ≥ 53 .  ñëó÷àå, êîãäà ãðàô G
èìååò âèñÿ÷èå âåðøèíû, âûäåëèì â ãðàôå G∗ îñòîâíûé ëåñ F ∗ , äåéñòâóÿ
îïèñàííûì â ïóíêòå B2 ñïîñîáîì. Òîãäà êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè F 0
ëåñà F ∗ èìååò α(F 0 ) ≥ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, α(F ∗ ) ≥ 2. Îòìåòèì, ÷òî â ýòîò
ëåñ âîøëè âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G.
Øàã ïîñòðîåíèÿ
Îïèøåì øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà (íàçîâ¼ì ýòîò øàã A).
Ïóñòü ïåðåä øàãîì A ìû èìååì ëåñ F ïîäãðàô ãðàôà G. (Ïåðåä ïåðâûì
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
219
øàãîì ìû èìååì ëåñ F = F ∗ , ïîñòðîåííûé âûøå.)
×åðåç ∆u è ∆b ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðèðîñò êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí è êîëè÷åñòâà ìåðòâûõ âèñÿ÷èõ âåðøèí â ëåñå F íà øàãe A, ÷åðåç ∆t
è ∆s êîëè÷åñòâî äîáàâëåííûõ íà ýòîì øàãå â ëåñ F âåðøèí èç T è èç S ,
ñîîòâåòñòâåííî.
Ïóñòü F1 ëåñ, ïîëó÷åííûé ïîñëå øàãà A. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
∆k = k(F ) − k(F1 ).
Íàçîâ¼ì äîõîäîì øàãà A âåëè÷èíó
1
1
1
5
p(A) = ∆u + ∆b + 2∆k − ∆t − ∆s.
6
6
3
4
Ìû áóäåì âûïîëíÿòü òîëüêî øàãè, äëÿ êîòîðûõ äîõîä íåîòðèöàòåëåí. Èç
ôîðìóëû (6.4) è îïðåäåëåíèÿ öåíû âåðøèíû íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
α(F1 ) = α(F ) + p(A).
Îïèøåì âñå âîçìîæíûå âèäû øàãîâ. Äëÿ óäîáñòâà ìû â îïèñàíèè øàãà
áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âåðøèí, íå âîøåäøèõ â ëåñ F , ÷åðåç Z . Âåðøèíû ìíîæåñòâà Z , ñìåæíûå õîòÿ áû ñ îäíîé èç âåðøèí V (F ), íàçîâåì
âåðøèíàìè óðîâíÿ 1. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû x ∈ Z ÷åðåç P (x) îáîçíà÷èì
ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí èç V (F ), ñìåæíûõ ñ x.
Çàìå÷àíèå 6.24.
1) Îòìåòèì, ÷òî âñå íå âîøåäøèå â F âåðøèíû
ïðè-
íàäëåæàò S ∪ T è èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå 3. Äåéñòâèòåëüíî, âñå âèñÿ÷èå
âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â ëåñ F ∗ , à âåðøèí ñòåïåíè 2 íåò, èíà÷å ìîæíî
áûëî áû âûïîëíèòü ðåäóêöèþ R1.
2) Ïðè îöåíêå äîõîäà øàãà ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå äîáàâëåííûå
âåðøèíû, ïðî êîòîðûå íåèçâåñòíà èõ ïðèíàäëåæíîñòü ìíîæåñòâó S , ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó T . Åñëè êàêàÿ-òî äîáàâëåííàÿ âåðøèíà ïîñ÷èòàíà
êàê âåðøèíà èç T , íî íà ñàìîì äåëå ïðèíàäëåæèò S , òî äîõîä øàãà óâåëè÷èòñÿ íà
1
12 .
220
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Äàëåå ìû ïðåäñòàâèì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ âûïîëíåíèÿ øàãà àëãîðèò-
Ìû áóäåì ïûòàòüñÿ âûïîëíèòü î÷åðåäíîé âàðèàíò øàãà àëãîðèòìà, òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç ïðåäûäóùèõ. Äîïîëìà.
íèòåëüíî îá ýòîì óïîìèíàòü â îïèñàíèè øàãîâ ìû íå áóäåì.
S1.
Ñóùåñòâóåò ðåáðî xy , êîíöû êîòîðîãî âåðøèíû ðàçíûõ êîìïî-
íåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F .
Äîáàâèì â F ðåáðî xy , òåì ñàìûì óìåíüøèâ êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íà 1. Òàêèì îáðàçîì, ∆k ≥ 1 è ∆u ≥ −2. Ïîëó÷àåì
p(S1) ≥ −2 ·
S2.
1
5
+2= .
6
3
 F åñòü íåâèñÿ÷àÿ âåðøèíà x, ñìåæíàÿ ñ âåðøèíîé y ∈ Z .
Ïðèñîåäèíèì y ê x.  ýòîì ñëó÷àå ∆u = 1, cG (y) ≤
1
3
è
5 1 1
− = .
6 3 2
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåâèñÿ÷èå âåðøèíû F
p(S2) ≥
Çàìå÷àíèå 6.25.
íåñìåæíû ñ âåðøèíàìè ìíîæåñòâà Z è íèêàêîå ðåáðî íå ñîåäèíÿåò ðàçíûå
êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F .
S3.
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ V (F ), ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè
èç Z .
Äîáàâèì ýòè äâå âåðøèíû â äåðåâî, ïðèñîåäèíèâ èõ ê âåðøèíå x. Òîãäà
∆u = 1, còîèìîñòü äâóõ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå
p(S3) ≥
S4.
2
3
è
5 2 1
− = .
6 3 6
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ âåðøèíàìè õîòÿ áû äâóõ
êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ëåñà F .
Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ÷åðåç x, ïðîâåäÿ îò êàæäîé èç íèõ
ïî îäíîìó ðåáðó ê x. Ïîëó÷èì ∆u ≥ −2, ∆k = 1 è, ïîñêîëüêó cG (x) ≤ 13 ,
òî
p(S4) ≥ −2 ·
5
1
+ 2 − = 0.
6
3
221
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
S5. Ñóùåñòâóåò
âåðøèíà x ∈ Z , ñìåæíàÿ ñ m ≥ 3 âåðøèíàìè èç V (F ).
Òàê êàê íåâîçìîæíî âûïîëíèòü S4, âåðøèíà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F . Ïðèñîåäèíèì x ê îäíîé èç ýòèõ
âåðøèí, äâå äðóãèå ñòàíóò ì¼ðòâûìè. Òîãäà ∆u = ∆k = 0, ∆b ≥ 2 è, òàê
êàê cG (x) ≤ 13 , ìû ïîëó÷àåì
1 1
− = 0.
6 3
Çàìå÷àíèå 6.26. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà ëåñà F
p(S5) ≥ 2 ·
ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z è íå ñìåæíà ñ äðóãèìè êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ëåñà F . Êàæäàÿ âåðøèíà óðîâíÿ 1 ñìåæíà íå áîëåå ÷åì ñ
äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ) è, åñëè òàêèõ âåðøèí äâå, òî îíè ïðèíàäëåæàò
îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ëåñà F .
S6.
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ T óðîâíÿ 1.
Ïî çàìå÷àíèþ 6.26 âåðøèíà x ñìåæíà íå áîëåå, ÷åì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè
èç V (F ). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
S6.1.
Âåðøèíà x ñìåæíà ñ îäíîé âåðøèíîé èç V (F ).
Òîãäà x ñìåæíà ñ òðåìÿ âåðøèíàìè, íå âîøåäøèìè â F . Äîáàâèì x è
ýòè òðè âåðøèíû â F . Ïîëó÷èì ∆u = 2, ñòîèìîñòü ÷åòûð¼õ äîáàâëåííûõ
âåðøèí íå áîëåå 4 · 13 , ïîýòîìó
p(S6.1) ≥ 2 ·
S6.2.
5 4 1
− = .
6 3 3
Âåðøèíà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç V (F ).
Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè y1 , y2 ∈ Z . Äîáàâèì x, y1 , y2 â ëåñ F è
ïîëó÷èì ∆u = 1. Äâå ñìåæíûå ñ x âåðøèíû èç V (F ) ïðèíàäëåæàò îäíîé
êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè, ïîýòîìó ∆b ≥ 1. Còîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F
âåðøèí íå áîëåå 3 ·
1
3
= 1 è ìû èìååì
p(S6.2) ≥
S7.
5 1
+ − 1 = 0.
6 6
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ îäíîé âåðøèíîé
èç V (F ).
222
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Òîãäà x ñìåæíà ñ äâóìÿ íå âîøåäøèìè â F âåðøèíàìè y1 , y2 . Äîáàâèì
x, y1 , y2 â ëåñ F è ïîëó÷èì ∆u = 1. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
S7.1.
y1 , y2 ∈ S .
Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ âåðøèí íå áîëåå 3 ·
p(S7.1) ≥
1
4
è â ðåçóëüòàòå
5
1
1
−3· = ,
6
4 12
÷òî íàñ óñòðàèâàåò.
S7.2.
y1 ∈ T .
Òîãäà ñòîèìîñòü òð¼õ äîáàâëåííûõ â F âåðøèí íå áîëåå
1
4
+2·
1
3
=
11
12 .
Ïóñòü F1 êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ëåñà F , ñ êîòîðîé ñìåæíà âåðøèíà x.
Äîáàâèì â äåðåâî F1 âåðøèíû x, y1 , y2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
p(S7.2) ≥
1
5 11
−
=− ,
6 12
12
÷òî íàì íå ïîäõîäèò. Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y1 , è â êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä
íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì.
S7.2.1.
Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F1 ).
Òîãäà z â ðåçóëüòàòå ñäåëàííîãî øàãà ñòàëà ì¼ðòâîé âåðøèíîé (ñì. ðèñóíîê 6.26a), òî åñòü ∆b ≥ 1 è ìû èìååì
p(S7.2.1) ≥ p(S7.2) +
S7.2.2.
1
1
= .
6 12
Âåðøèíà y1 ñìåæíà ñ z ∈ V (F ) \ V (F1 ).
Òîãäà äîáàâèì â F ðåáðî zy1 , ñîåäèíèâ äâå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ëåñà F â îäíó, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.26b). Â
ðåçóëüòàòå
1
p(S7.2.2) ≥ p(S7.2) + p(S1) ≥ .
4
223
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
b
z
F1
b
b
1
b
z
b
a
F1
b
x
b
y
F2
b
y
y
2
b
1
b
z
x
b
F1
b
b
1
y
z2
2
b
b
b
c
y
1
x
b
y
2
Ðèñ. 6.26: Øàã S7.2.
S7.2.3.
Âåðøèíà y1 íåñìåæíà ñ V (F ).
Òàê êàê dG (y1 ) ≥ 4, âåðøèíà y1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â F , ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ
øàã S3 (ñì. ðèñóíîê 6.26ñ), è ïîëó÷èì
p(S7.2.3) ≥ p(S7.2) + p(S3) ≥
S8.
1
.
12
Ñóùåñòâóåò âåðøèíà x ∈ S óðîâíÿ 1, ñìåæíàÿ ñ äâóìÿ âåðøè-
íàìè èç V (F ).
Îáå âåðøèíû èç P (x), êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå
ñâÿçíîñòè F1 ëåñà F . Äîáàâèì x â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå îäíà èç âåðøèí
ìíîæåñòâà P (x) ñòàíåò ì¼ðòâîé. Ïîêà ÷òî ìû èìååì ∆s = 1, ∆b = 1.
Âåðøèíà x ñìåæíà ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç Z , ïóñòü ýòî âåðøèíà y .
Äîáàâèì y â ëåñ. Ïîëó÷àåòñÿ
p(S8) ≥
1 1
1
− − cG (y) ≥ − − cG (y).
6 4
12
(6.17)
Ðàçáåð¼ì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ, ñ ÷åì ìîæåò áûòü ñìåæíà âåðøèíà y , è â
êàæäîì èç íèõ ïðîäîëæèì øàã äî òåõ ïîð, ïîêà äîõîä íå ñòàíåò íåîòðèöàòåëüíûì.
S8.1.
Âåðøèíà y ñìåæíà ñ V (F ).
Ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî âûïîëíèòü øàãè S1 − S7 ñ âåðøèíîé y , òî y ∈ S
è y ñìåæíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè F2 ëåñà F .
224
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ó÷èòûâàÿ äàííûå î âåðøèíå y , ìû ïîëó÷èì cG (y) = 41 .  ñèëó (6.17), òîãäà
1
p(S8) ≥ − .
3
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
S8.1.1.
F 2 = F1 .
Òîãäà îáå âåðøèíû èç P (y) è ñàìà âåðøèíà y ñòàëè ì¼ðòâûìè (ñì. ðèñóíîê 6.27à) è ìû èìååì
p(S8.1.1) ≥ p(S8) + 3 ·
F1
b
b
y
b
b
b
b
F2
x
1 1
= .
6 6
b
b
b
y
b
a
b
F1
x
b
Ðèñ. 6.27: Øàã S8.1.
S8.1.2.
F2 6= F1 .
Òîãäà ñîåäèíèì ýòè äâå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè, äîáàâèâ ðåáðî ìåæäó y è
îäíîé èç âåðøèí P (y), ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1 (ñì. ðèñóíîê 6.27b).
Ïîëó÷èì
p(S8.1.2) ≥ p(S8) + p(S1) ≥ 0.
S8.2.
Âåðøèíà y íåñìåæíà ñ V (F ).
Òîãäà âñå ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, êðîìå x, åùå íå âîøëè â F . Ðàçáåð¼ì
äâà ñëó÷àÿ.
S8.2.1.
y ∈ T.
Òîãäà ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òðè ñìåæíûå ñ y âåðøèíû, ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S3 è øàã S2 (ñì. ðèñóíîê 6.28a). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è
5
òî, ÷òî cG (y) = 31 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 12
è
1
p(S8.2.1) ≥ p(S8) + p(S3) + p(S2) ≥ .
4
225
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
S8.2.2.
y ∈ S.
 ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì äîáàâèòü â äåðåâî F1 òîëüêî äâå ñìåæíûå ñ y
âåðøèíû z1 , z2 . Äîáàâèì èõ â äåðåâî F1 , â ðåçóëüòàòå âûïîëíèâ øàã S3 (ñì.
ðèñóíîê 6.28b). Ó÷èòûâàÿ (6.17) è òî, ÷òî cG (y) = 41 , ïîëó÷èì p(S8) ≥ − 13 è
1
p(S8.2.2) ≥ p(S8) + p(S3) ≥ − .
6
Ïðîäîëæèì ðàññìàòðèâàòü âàðèàíòû.
F1
b
b
b
F1
x
b
y
y
b
F1
b
y
b
F2
b
F1
b
b
x
x
b
b
b
b
y
F1
b
x
b
b
b
x
b
y
b
b
b
b
b
b
b
a
z1
b
b
z2
z1
b
b
z2
c
b
z1
b
d
b
z2
b
b
z1
e
b
z2
Ðèñ. 6.28: Øàã S8.2.
S8.2.2.1.
z1 , z2 ∈ S
Òîãäà äâå äîáàâëåííûå â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü âåðøèíû ñòîÿò 2· 41 , à íå 2· 31 ,
êàê áûëî ïîñ÷èòàíî âûøå è
p(S8.2.2.1) ≥ p(S8.2.2) +
1
≥ 0,
6
÷òî íàñ óñòðàèâàåò.
S8.2.2.2.
Âåðøèíà z1 ∈ T ñìåæíà ñ ëåñîì F .
Åñëè z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F1 (ñì. ðèñóíîê 6.28c), òî ê ïàðàìåòðàì øàãà
S8.2.2 äîáàâëÿåòñÿ åùå îäíà ì¼ðòâàÿ âåðøèíà è
1
p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + ≥ 0.
6
Ïóñòü z1 ñìåæíà ñ äåðåâîì F2 6= F1 . Òîãäà ïðîâåä¼ì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå F2 ñ z1 (ñì. ðèñóíîê 6.28d), óìåíüøèâ ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè
ëåñà F íà 1 è ôàêòè÷åñêè âûïîëíèâ øàã S1. Ïîëó÷èì
1
p(S8.2.2.2) ≥ p(S8.2.2) + p(S1) ≥ .
6
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
S8.2.2.3.
226
Âåðøèíà z1 ∈ T íåñìåæíà ñ ëåñîì F .
Òàê êàê dG (z1 ) ≥ 4, âåðøèíà z1 ñìåæíà õîòÿ áû ñ äâóìÿ åùå íå äîáàâëåííûìè â F âåðøèíàìè. Äîáàâèì èõ â F (ñì. ðèñóíîê 6.28e), ôàêòè÷åñêè
âûïîëíèâ øàã S3 è ïîëó÷èì
p(S8.2.2.3) ≥ p(S8.2.2) + p(S3) ≥ 0.
6.2.3
Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.2
Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ê ãðàôó íåâîçìîæíî ïðèìåíèòü íè
îäíî èç ðåäóêöèîííûõ ïðàâèë. Ïî ëåììå 6.10 ïîñòðîèì ëåñ F ∗ ïîäãðàô
ãðàôà G ñ α(F ∗ ) ≥ 23 . Åñëè F ∗ íå ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G,
òî ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå ñ ïîìîùüþ îïèñàííûõ âûøå øàãîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ îïèñàííîãî âûøå àëãîðèòìà
ïîñòðîåíî äåðåâî F , ñ êîòîðûì íåâîçìîæíî âûïîëíèòü íè îäèí èç øàãîâ.
Åñëè íå âñå âåðøèíû ãðàôà G âîøëè â F , òî ñóùåñòâóåò íå âîøåäøàÿ
â F âåðøèíà, ñìåæíàÿ ñ F . Ïî ïîñòðîåíèþ, åå ñòåïåíü õîòÿ áû 3, à çíà÷èò, ìîæíî âûïîëíèòü îäèí èç øàãîâ, ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, F îñòîâíûé ëåñ ãðàôà G.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô F íåñâÿçåí. Òîãäà êàêèå-òî äâå åãî êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ñîåäèíåíû ðåáðîì â ãðàôå G è ìîæíî âûïîëíèòü øàã S1.
Çíà÷èò, F ñâÿçåí, òî åñòü, ýòî îñòîâíîå äåðåâî. Òîãäà âñå âèñÿ÷èå âåðøèíû
äåðåâà F ì¼ðòâûå, â äåðåâå F ðîâíî îäíà êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè è
1
3
5
u(F ) = u(F ) + b(F ) ≥ cG (F ) + α(F ) ≥ cG (F ) + α(F ∗ ) ≥ cG (F ) + ,
6
6
2
òàê êàê âñå âûïîëíåííûå øàãè èìåëè íåîòðèöàòåëüíûé äîõîä.
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.2 çàêîí÷åíî.
6.2.4
Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîìîæåò íàì ñêëåèâàòü áîëüøèå ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû ê îöåíêå èç òåîðåìû 6.2 èç ìàëåíüêèõ. Ãëàâíîå òðåáîâàíèå ê îáúåê-
227
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
òàì ñêëåéêè íàëè÷èå âèñÿ÷èõ âåðøèí.
Ëåììà 6.11.
Ïóñòü G1 è G2 ñâÿçíûå ãðàôû ñ v(G1 ) > 2, v(G2 ) > 2,
V (G1 ) ∩ V (G2 ) = ∅ è âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè x1 è x2 . Ïóñòü G ãðàô,
ïîëó÷åííûé èç G1 è G2 ñêëåèâàíèåì ïî âåðøèíàì x1 è x2 (ïóñòü â ðåçóëüòàòå èç x1 è x2 ïîëó÷èëàñü âåðøèíà x) è ïîñëåäóþùèì ñòÿãèâàíèåì
îäíîãî èíöèäåíòíîãî x ìîñòà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
3
3
u(G1 ) = c(G1 ) +
è u(G2 ) = c(G2 ) + .
2
2
Òîãäà
3
u(G) = c(G) + .
2
Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî v(G) = v(G1 )+v(G2 )−2. Äåéñòâèòåëüíî,
äâå âåðøèíû x1 è x2 ìû ñêëåèëè â îäíó âåðøèíó x, ïîñëå ÷åãî ñòÿãèâàíèå
îäíîãî ðåáðà óìåíüøèëî ÷èñëî âåðøèí åùå íà îäíó (â ðåçóëüòàòå ñòÿãèâàíèÿ èñ÷åçëà âåðøèíà x ñòåïåíè 2). Òàêèì îáðàçîì, âñå âåðøèíû ãðàôà G
ýòî âñå îòëè÷íûå îò x1 è x2 âåðøèíû ãðàôîâ G1 è G2 , ïðè÷åì ðîâíî ñ
òàêèìè æå ñòåïåíÿìè, êàê â G1 è G2 . Êàê ìû çíàåì, âåðøèíû x1 ∈ V (G1 )
è x2 ∈ V (G2 ) íå ïðèíàäëåæàò V (G) è cG1 (x1 ) = cG2 (x2 ) = 41 , ñëåäîâàòåëüíî, c(G) = c(G1 ) + c(G2 ) − 2 · 14 .
Hàïèøåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ (â ïåðâîì ðàâåíñòâå âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6.5):
3
u(G) = u(G1 ) + u(G2 ) − 2 = c(G1 ) + c(G2 ) + 1 = c(G) + .
2
Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð ê òåîðåìå 6.2, â êîòîðîì õîòÿ
áû äâå âèñÿ÷èõ âåðøèíû è åñòü âåðøèíû ñòåïåíè íå ìåíåå 4, ÷òîáû îöåíêà
èç òåîðåìû áûëà îñìûñëåííîé.
Òàêîé ãðàô ìû âèäèì íà ðèñóíêå 6.29a. Â ýòîì ãðàôå G ïî òðè âåðøèíû
ñòåïåíåé 1, 3 è 4, à çíà÷èò,
t = 3,
s = 6,
è
c(G) = 3 ·
1
1 5
+6· = .
3
4 2
228
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
Ðèñ. 6.29: Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû.
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî u(G) = 4 (â îñòîâíîì äåðåâå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè
âåðøèíàìè òðè âèñÿ÷èõ âåðøèíû ãðàôà G è íå áîëåå ÷åì îäíà èç âåðøèí
ñòåïåíè 4). Òàêèì îáðàçîì,
3
u(G) = 4 = c(G) + .
2
Ìû ìîæåì ñêëåèòü èç òàêèõ ãðàôîâ ñêîëü óãîäíî äëèííûå öåïî÷êè (ñì.
ðèñóíîê 6.29b). Ïî ëåììå 6.11, íà ýòèõ ãðàôàõ áóäåò äîñòèãàòüñÿ îöåíêà
íà êîëè÷åñòâî âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíîì äåðåâå èç òåîðåìû 6.2.
6.3
Íèæíÿÿ îöåíêà íà
u(G),
ó÷èòûâàþùàÿ âåðøèíû
ñòåïåíè 2
Òåîðåìà 6.3.
Ïóñòü G ñâÿçíûé ãðàô, v(G) ≥ 2, `(G) ≤ k , k ≥ 1.
Òîãäà
u(G) ≥
1
3
v(G) + .
2k + 4
2
Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.3. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì îñíîâíîé òåîðåìû ðàçäåëà ìû äîêàæåì äâå ëåììû.
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü áëîêè è òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ.  ýòîì ðàçäåëå
ãðàô G ñâÿçíûé. Íàïîìíèì, ÷òî âåðøèíà a ∈ V (G) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé
ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè ãðàô G − a íåñâÿçåí. Áëîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþ ïîäãðàô ãðàôà G, íå èìåþùèé òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ.
229
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Çàìå÷àíèå 6.27.
Åñëè v(G) ≥ 2, òî ëþáîé áëîê ãðàôà G ñîäåðæèò õî-
òÿ áû äâå âåðøèíû è ÿâëÿåòñÿ ëèáî äâóñâÿçíûì ãðàôîì, ëèáî ïîëíûì
ãðàôîì íà äâóõ âåðøèíàõ.
Îïðåäåëåíèå 6.7.
Ïóñòü B áëîê ãðàôà G.
1) Ãðàíèöåé áëîêà B (îáîçíà÷åíèå: Bound(B)) íàçîâåì ìíîæåñòâî âñåõ
âõîäÿùèõ â íåãî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ìíîæåñòâî Int(B) = V (B) \ Bound(B)
íàçîâåì âíóòðåííîñòüþ áëîêà B , à âñå âõîäÿùèå â íåãî âåðøèíû áëîêà
âíóòðåííèìè.
2) Áëîê B íàçûâàåòñÿ êðàéíèì, åñëè îí ñîäåðæèò ðîâíî îäíó òî÷êó
ñî÷ëåíåíèÿ (òî åñòü |Bound(B)| = 1).
3) Áëîê íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè ó íåãî íåò âíóòðåííèõ âåðøèí (òî
åñòü, Int(B) = ∅.) Èíà÷å áëîê íàçûâàåòñÿ íåïóñòûì.
4) Áëîê B íàçûâàåòñÿ áîëüøèì, åñëè |Int(B)| > |Bound(B)|.
Ëåììà 6.12.
Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G, v(G) > 2. Òîãäà ñóùå-
ñòâóåò íåïóñòîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì:
1◦ ãðàô B − F ñâÿçåí;
2◦ äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ Bound(B) âûïîëíÿåòñÿ dB−F (x) ≥ 2;
3◦ åñëè âåðøèíû y, z ∈ Int(B) ñìåæíû â B − F è
dB−F (y) = dB−F (z) = 2,
Äîêàçàòåëüñòâî.
òî
dB (y) = dB (z) = 2.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî v(B) = 2. Òîãäà, òàê êàê áëîê B áîëüøîé, îáå åãî âåðøèíû äîëæíû áûòü âíóòðåííèìè, òî åñòü, B íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Èç ñâÿçíîñòè ãðàôà G òîãäà ñëåäóåò,
÷òî B = G. Ïðîòèâîðå÷èå ñ v(G) > 2.
Òàêèì îáðàçîì, v(B) > 2 è â âèäó äâóñâÿçíîñòè ãðàôà B ìû èìååì
dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû x ∈ V (B). Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.
1.
Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B),
ïðè÷¼ì dG (u) = 2.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
230
Î÷åâèäíî, ãðàô B−uw ñâÿçåí, â ãðàôå B−uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B)
òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Åñëè äëÿ íàáîðà F = {uw} âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ , òî ýòîò íàáîð ð¼áåð íàì ïîäõîäèò.
Ïóñòü äëÿ íàáîðà F = {uw} íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 3◦ . Òîãäà â ãðàôå B − uw åñòü ïàðà ñìåæíûõ âåðøèí y, v ñòåïåíè 2 èç Int(B), ïðè÷¼ì
dB (y) > 2. Òîãäà íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî y = w, ïðè÷¼ì
dB (w) = 3,
dB (v) = 2 è vw ∈ E(B).
Ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw, vw}. Âcå âåðøèíû èç Bound(B) èìåþò â
ãðàôå B − F òàêóþ æå ñòåïåíü, êàê è â B , òî åñòü, íå ìåíåå äâóõ. Íîâûõ
âåðøèí ñòåïåíè 2 ïðè óäàëåíèè F , î÷åâèäíî, íå ïîÿâèëîñü, òàê êàê
dB−F (u) = dB−F (v) = dB−F (w) = 1.
Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü ñâÿçíîñòü ãðàôà B − F . Ïóñòü w0 òðåòüÿ âåðøèíà
ãðàôà B , ñìåæíàÿ c w. Îòìåòèì, ÷òî ãðàô B − w ñâÿçåí (â âèäó äâóñâÿçíîñòè B ). Òîãäà âåðøèíû èç V (B) \ {w} ñâÿçàíû â B − F , à, ïîñêîëüêó
ww0 ∈ E(B − F ), òî ãðàô B − F ñâÿçåí. Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð
F = {uw, vw} íàì ïîäõîäèò.
2.
Ïóñòü â áëîêå B ñóùåñòâóþò ñìåæíûå âåðøèíû u, w ∈ Int(B), íî
ñòåïåíü êàæäîé âõîäÿùåé â òàêóþ ïàðó âåðøèíû íå ìåíåå òð¼õ.
Òîãäà ðàññìîòðèì íàáîð F = {uw}. Î÷åâèäíî, ãðàô B − uw ñâÿçåí, â
ãðàôå B − uw ñòåïåíè âåðøèí èç Bound(B) òàêèå æå, êàê â B , òî åñòü, íå
ìåíåå äâóõ. Ïóñòü x, y ∈ Int(B), xy ∈ E(B − uw). Òîãäà õîòÿ áû îäíà èç
âåðøèí x è y (ïóñòü ýòî x) îòëè÷íà îò u è w, ñëåäîâàòåëüíî, dB−uw (x) ≥ 3.
Òàêèì îáðàçîì, íàáîð ð¼áåð F = {uw} íàì ïîäõîäèò.
3.
Ïóñòü â áëîêå B íåò ñìåæíûõ âåðøèí èç Int(B).
Ïîñêîëüêó |Int(B)| > |Bound(B)| è dB (x) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû
x ∈ Int(B), òî ñóùåñòâóåò âåðøèíà u ∈ Bound(B), ñìåæíàÿ õîòÿ áû ñ
òðåìÿ âåðøèíàìè èç Int(B). Ïóñòü w ∈ Int(B), uw ∈ E(B). Òîãäà ãðàô
B − uw ñâÿçåí, dB−uw (y) ≥ 2 äëÿ ëþáîé âåðøèíû y ∈ Bound(B). Òàê
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
231
êàê íèêàêèå äâå âåðøèíû èç Int(B) íå ñìåæíû â B − uw, íàáîð ð¼áåð
F = {uw} íàì ïîäõîäèò.
Ëåììà 6.13.
Ïóñòü G ãðàô ñ áîëåå ÷åì äâóìÿ âåðøèíàìè. Òîãäà ñóùå-
ñòâóåò íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1◦ ãðàô G − F ñâÿçåí;
2◦ ó ãðàôà G − F íåò áîëüøèõ áëîêîâ;
3◦ åñëè âåðøèíû x è y ñìåæíû â G − F è dG−F (x) = dG−F (y) = 2, òî
dG (x) = dG (y) = 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü B áîëüøîé áëîê ãðàôà G. Òîãäà ñóùåñòâóåò
íàáîð ð¼áåð F1 ⊂ E(B), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 1◦ − 3◦ ëåììû 6.12.
Òàê êàê ãðàô B − F1 ñâÿçåí, òî ñâÿçåí è ãðàô G − F1 . Ïóñòü
xy ∈ E(G − F1 ),
dG−F1 (y) = dG−F1 (x) = 2 è dG (y) > 2.
Òîãäà âåðøèíà y èíöèäåíòíà ðåáðó èç F1 , ñëåäîâàòåëüíî, y ∈ V (B).
Ïóñòü y ∈ Bound(B). Òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì dB−F1 (y) ≥ 2 è, òàê
êàê y òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, îíà ñìåæíà õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé
èç V (G) \ V (B). Ñëåäîâàòåëüíî, dG−F1 (y) ≥ 3, ïðîòèâîðå÷èå.
Çíà÷èò, y ∈ Int(B). Èç xy ∈ E(G) ñëåäóåò, ÷òî x ∈ V (B). Òåïåðü
àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî x ∈ Int(B). Íî òîãäà ïî ëåììå 6.12 ìû èìååì
dG (x) = dG (y) = 2, ïðîòèâîðå÷èå.
Åñëè â ãðàôå G1 = G−F1 åñòü áîëüøèå áëîêè, ïîâòîðèì îïåðàöèþ. Ïîíÿòíî, ÷òî ÷åðåç íåñêîëüêî òàêèõ îïåðàöèé áîëüøèõ áëîêîâ íå îñòàíåòñÿ
è îáúåäèíåíèå âñåõ íàáîðîâ óäàë¼ííûõ èç ãðàôà G ð¼áåð áóäåò èñêîìûì
íàáîðîì F .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.3.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v(G) > 2, èíà÷å
óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî.
1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô G èìååò áîëüøèå áëîêè.
Ïî ëåììå 6.13 ìû ìîæåì âûáðàòü òàêîé íàáîð ð¼áåð F ⊂ E(G), ÷òî ãðàô
G0 = G − F ñâÿçåí, íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ è äëÿ ëþáûõ äâóõ ñìåæíûõ
232
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
â G0 âåðøèí x è y èç dG0 (x) = dG0 (y) = 2 ñëåäóåò dG (x) = dG (y) = 2. Òîãäà
`(G0 ) = max(`(G), 1) ≤ k.
Òàê êàê ëþáîå îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà G0 ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà G, òî u(G) ≥ u(G0 ). Ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà
ãðàô G íå èìååò áîëüøèõ áëîêîâ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ýòîò ñëó÷àé.
2.
Ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôà G â ãðàô H .
Ïóñòü a òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, âõîäÿùàÿ â áëîêè B1 , . . . , Bm , ãäå
m ≥ 3. Çàìåíèì âåðøèíó a íà öèêë a1 a2 . . . am è ñîåäèíèì âåðøèíó ai
ñ òåìè æå âåðøèíàìè áëîêà Bi , ñ êîòîðûìè áûëà ñîåäèíåíà âåðøèíà a.
 ðåçóëüòàòå òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ çàìåíåíà íà áëîê ñ ïóñòîé âíóòðåííîñòüþ
(ñì. ðèñóíîê 6.30).
B2
a2
B2
B1
b
a
b
B3
B1
a1
b
b
b
B4
a3
B3
a4
B4
Ðèñ. 6.30: Çàìåíà òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ íà öèêë.
Âûïîëíèì òàêèå çàìåíû äëÿ âñåõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ, âõîäÿùèõ õîòÿ áû
â òðè áëîêà è ïîëó÷èì íîâûé ãðàô H , â êîòîðîì êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ
âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà. Îòìåòèì, ÷òî
v(H) ≤ v(G),
`(H) = `(G) ≤ k,
òàê êàê íà êàæäîì øàãå ìû ìåíÿëè îäíó âåðøèíó ñòåïåíè áîëåå 2 íà
íåñêîëüêî âåðøèí ñòåïåíè áîëåå 2.
3.
Äîêàæåì, ÷òî u(H) ≥ u(G).
233
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Ðàññìîòðèì îñòîâíîå äåðåâî T ãðàôà H ñ u(T ) = u(H). Ïóñòü A ìíîæåñòâî íîâûõ âåðøèí ãðàôà H , íà êîòîðûå áûëà çàìåíåíà òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ a ãðàôà G. Òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè â åãî îñòîâíîì äåðåâå, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåðøèíû èç A íåâèñÿ÷èå
â äåðåâå T . Èç ïîñòðîåíèÿ ãðàôà H è íåñâÿçíîñòè ãðàôà G − a ñëåäóåò,
÷òî ãðàô H − A òàêæå íåñâÿçåí. Ïîýòîìó, ïîäãðàô T (A) ñâÿçåí, òî åñòü,
ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïóò¼ì (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô H(A) ïî ïîñòðîåíèþ ïðîñòîé öèêë). Ïîñëåäîâàòåëüíî ñòÿíóâ â äåðåâå T âñå ð¼áðà ïóòè T (A),
ìû ïîëó÷èì âìåñòî ìíîæåñòâà A âåðøèíó a è íîâîå äåðåâî ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Âûïîëíèâ òàêèå îïåðàöèè äëÿ âñåõ
çàìåíåííûõ òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà G, ìû ïîëó÷èì îñòîâíîå äåðåâî T 0
ãðàôà G ñ òåì æå ìíîæåñòâîì âèñÿ÷èõ âåðøèí, ÷òî è T . Òàêèì îáðàçîì,
u(H) ≥ u(T 0 ) = u(G).
4.
Ïîñòðîèì ãðàô D, âåðøèíàìè êîòîðîãî áóäóò áëîêè ãðàôà H , à äâà
áëîêà ñìåæíû åñëè è òîëüêî åñëè îíè èìåþò îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ.
Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H âõîäèò ðîâíî â äâà áëîêà,
ãðàô D ïîëó÷àåòñÿ èç äåðåâà áëîêîâ è òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H çàìåíîé êàæäîé òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ a è äâóõ èíöèäåíòíûõ åé ð¼áåð íà ðåáðî,
ñîåäèíÿþùåå äâà áëîêà, â êîòîðûå âõîäèò a. Ñëåäîâàòåëüíî, D äåðåâî,
â êîòîðîì êàæäàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà êðàéíèé áëîê ãðàôà H .
Ïóñòü V = V (D) ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ãðàôà H , v = |V|. Ñòåïå-
íüþ áëîêà B ∈ V ìû áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó dD (B) = |Bound(B)| êîëè÷åñòâî âõîäÿùèõ â B òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ:
Vi ìíîæåñòâî âñåõ áëîêîâ ñòåïåíè i;
Wi ìíîæåñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i;
W ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ áëîêîâ;
Ui ìíîæåñòâî ïóñòûõ áëîêîâ ñòåïåíè i.
Ïîëîæèì
vi = |Vi |,
wi = |Wi |,
w = |W|,
ui = |Ui |.
234
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Îòìåòèì, ÷òî wi + ui = vi .
Î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò îñòîâíîå äåðåâî ãðàôà H ñ w âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè (ïî îäíîé âíóòðåííåé âåðøèíå êàæäîãî íåïóñòîãî áëîêà). Òàêèì
îáðàçîì,
(6.18)
u(G) ≥ u(H) ≥ w.
5.
Ïóñòü P = W1 ∪U2 , Q = V \P . Äîêàæåì, ÷òî áëîêè èç P ñîäåðæàò
ðîâíî ïî äâå âåðøèíû, à áëîêè èç Q, ñîäåðæàò íå ìåíåå òð¼õ âåðøèí.
Åñëè B ∈ U2 , òî áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è íè îäíîé
âíóòðåííåé âåðøèíû, òî åñòü, v(B) = 2.
Ïóñòü B ∈ W1 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≥ 1. Îäíàêî, áëîê B íå ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì, ñëåäîâàòåëüíî, |Int(B)| ≤ |Bound(B)| = 1. Òàêèì îáðàçîì,
v(B) = 2.
Ïóñòü B ∈ W2 . Òîãäà áëîê B ñîäåðæèò äâå òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ è õîòÿ
áû îäíó âíóòðåííþþ âåðøèíó. Ñëåäîâàòåëüíî, v(B) ≥ 3. Åñëè B ∈ Vi
è i ≥ 3, òî î÷åâèäíî, ÷òî v(B) ≥ 3.
6.
Íàøåé öåëüþ áóäåò îöåíêà ñâåðõó êîëè÷åñòâà âåðøèí ãðàôà H ÷å-
ðåç w.
Íà÷í¼ì ñ äâóõ íåñëîæíûõ íåðàâåíñòâ. Òàê êàê âíóòðåííîñòü êðàéíåãî
áëîêà íåïóñòà,
W1 = V1 ,
U1 = ∅.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïóñòûå áëîêè ëèáî âõîäÿò â U2 , ëèáî èìåþò ñòåïåíü õîòÿ
áû 3, îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ íåðàâåíñòâî
v
X
i=1
iui ≥ 3
v
X
ui − u2 = 3(v − w) − u2 .
(6.19)
i=2
Ïðîñóììèðîâàâ ñòåïåíè âåðøèí äåðåâà D è âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì
e(D) = v(D) − 1, ìû ïîëó÷èì
v
v
X
X
(i − 2)vi = 2, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî v1 − 2 =
(i − 2)vi .
i=1
i=3
235
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
Îòìåòèì, ÷òî
i
i−2
≤ 3 ïðè i ≥ 3. Ïîýòîìó
v
X
i=3
7.
ivi ≤ 3
v
X
(i − 2)vi = 3v1 − 6 = 3w1 − 6.
(6.20)
i=3
Îöåíèì u2 ÷åðåç êîëè÷åñòâî íåïóñòûõ áëîêîâ.
Ðàññìîòðèì ëþáóþ ìàêñèìàëüíóþ ïî âêëþ÷åíèþ öåïî÷êó L = B1 B2 . . . Bn
ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ â äåðåâå D áëîêîâ èç P . Ïî äîêàçàííîìó
âûøå, v(Bi ) = 2 äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}. Ïîñêîëüêó áëîêè èç W1 âèñÿ÷èå â äåðåâå D, òî B2 , . . . , Bn−1 ∈ U2 . Òàê êàê áëîêè Bi è Bi+1 èìåþò
îáùóþ òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, ìû ìîæåì ïîëîæèòü V (Bi ) = {xi , xi+1 } (äëÿ
i ∈ {1, . . . , n}).
Îòìåòèì, ÷òî äâå âåðøèíû êàæäîãî èç áëîêîâ Bi ñìåæíû. Ïîýòîìó ïðè
i ∈ {2, . . . , n − 1} âåðøèíà xi ñìåæíà â ãðàôå H ñ xi−1 è xi+1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì öåïî÷êó ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí x1 . . . xn+1
â ãðàôå H , ïðè÷¼ì dH (x2 ) = · · · = dH (xn ) = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, n ≤ k + 1.
Ðàçðåæåì öåïî÷êó L íà äâå ïîëîâèíû ïî
n
2
áëîêîâ: ëåâóþ, îò B1 äî ñå-
ðåäèíû è ïðàâóþ, îò ñåðåäèíû äî Bn (â ñëó÷àå, êîãäà n íå÷åòíî, ìûñëåííî
ðàçäåëèì ñðåäíèé áëîê L íà äâå ïîëîâèíêè). Åñëè B1 ∈ U2 , òî ëåâóþ ïîëîâèíó öåïî÷êè ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå áëîêó èç Q, ñìåæíîìó ñ B1 . Åñëè
æå B1 ∈ W1 , òî ëåâàÿ ïîëîâèíà öåïî÷êè çà âû÷åòîì ñàìîãî áëîêà B1 áóäåò
ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå êàê ðàç áëîêó B1 . Àíàëîãè÷íî, â çàâèñèìîñòè
îò òèïà áëîêà Bn , ïîñòóïèì ñ ïðàâîé ïîëîâèíîé öåïî÷êè. Òàê æå ñäåëàåì
ñî âñåìè îñòàëüíûìè ìàêñèìàëüíûìè öåïî÷êàìè áëîêîâ èç P . Îòìåòèì,
÷òî òàêèå öåïî÷êè íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó áëîêó èç W1 cîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì
k−1
n
−1≤
2
2
áëîêîâ èç U2 . Êàæäûé áëîê ñòåïåíè i èç Q ñìåæåí íå áîëåå, ÷åì ñ i áëîêàìè èç U2 , à çíà÷èò, åìó ñîîòâåòñòâóåò íå áîëåå ÷åì
i·
n
k+1
≤i·
2
2
236
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
áëîêîâ èç U2 . Òåïåðü, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (6.20), íàïèøåì öåïî÷êó
íåðàâåíñòâ:
v
X
k−1
k+1
u2 ≤
w1 +
(2w2 +
ivi ) ≤
2
2
i=3
k+1
k−1
w1 + (k + 1)w2 +
(3w1 − 6) =
2
2
(k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3. (6.21)
8.
Îöåíèì v(G) ÷åðåç ïàðàìåòð w.
Ïî ïîñòðîåíèþ ãðàôà D, êîëè÷åñòâî òî÷åê ñî÷ëåíåíèÿ ãðàôà H ðàâíî
e(D) = v − 1. Âñå îñòàëüíûå âåðøèíû ãðàôà H (îáîçíà÷èì èõ êîëè÷åñòâî ÷åðåç s) ýòî âíóòðåííèå âåðøèíû íåïóñòûõ áëîêîâ ãðàôà H . Èç
îòñóòñòâèÿ áîëüøèõ áëîêîâ ñëåäóåò, ÷òî
|Int(B)| ≤ |Bound(B)| = dD (B)
äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî áëîêà B ãðàôà H . Ñëåäîâàòåëüíî,
s≤
X
dD (B) =
v
X
i=1
B∈W
iwi =
v
X
i=1
ivi −
v
X
iui = 2v − 2 −
i=1
v
X
iui
(6.22)
i=1
(â ïîñëåäíåì ïåðåõîäå ìû èñïîëüçîâàëè òî, ÷òî D äåðåâî). Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâàìè (6.18) − (6.22) è òåì, ÷òî w1 + w2 ≤ w, íàïèøåì
öåïî÷êó íåðàâåíñòâ:
v(G) ≤ v(H) = v − 1 + s ≤ v − 1 + 2v − 2 −
v
X
iui =
i=1
3v − 3 −
v
X
iui ≤ 3v − 3 − 3(v − w) − u2 = 3w − 3 + u2 ≤
i=1
3w − 3 + (k + 1)w2 + (2k + 1)w1 − 3k − 3 ≤
(2k + 4)w − (3k + 6) ≤ (2k + 4)u(G) − (3k + 6),
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
237
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
6.3.1
Ýêñòðåìàëüíûå ïðèìåðû
Ìû ïðèâåäåì áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ïðèìåðîâ ãðàôîâ, â êîòîðûõ ìàêñèìàëüíàÿ öåïî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2 ñîñòîèò èç
k > 0 âåðøèí è îöåíêà èç òåîðåìû 6.3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.
Ðàññìîòðèì äåðåâî T , â êîòîðîì åñòü òîëüêî âåðøèíû ñòåïåíåé 1 è 3,
ïðè÷¼ì âåðøèí ñòåïåíè 3 ðîâíî n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîëè÷åñòâî âåðøèí
ñòåïåíè 1 òîãäà ðàâíî n + 2, à e(T ) = 2n + 1. Çàìåíèì êàæäîå ðåáðî
äåðåâà T öåïî÷êîé äëèíû k + 1 (òî åñòü, äîáàâèì íà êàæäîì ðåáðå ïî k
íîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ âåðøèí ñòåïåíè 2), ïîñëå ÷åãî êàæäóþ âåðøèíó x ñòåïåíè 3 çàìåíèì íà òðåóãîëüíèê, òðè âåðøèíû êîòîðîãî
ñîåäèíèì ñ òðåìÿ äîáàâëåííûìè âåðøèíàìè ñòåïåíè 2, ñ êîòîðûìè áûëà
ñîåäèíåíà âåðøèíà x (êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ðîâíî ñ îäíîé
âåðøèíîé). Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà äëÿ k = 2 è n = 5 èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 6.31.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Ðèñ. 6.31: Ýêñòðåìàëüíûé ïðèìåð.
 ïîëó÷åííîì ãðàôå G áóäåò n + 2 âèñÿ÷èõ âåðøèí, (2n + 1)k âåðøèí
ñòåïåíè 2 è n òðåóãîëüíèêîâ, èòîãî
v(G) = n + 2 + k(2n + 1) + 3n = (2k + 4)n + k + 2.
Âñå íåâèñÿ÷èå âåðøèíû ãðàôà G ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ñî÷ëåíåíèÿ è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü âèñÿ÷èìè âåðøèíàìè îñòîâíîãî äåðåâà. Òàêèì îáðàçîì
ëåãêî âèäåòü, ÷òî
u(G) = n + 2 =
1
3
v(G) + .
2k + 4
2
Ëèòåðàòóðà
[1]
N. Alon.
Transversal numbers of uniform hypergraphs.// Graphs and
Combinatorics v. 6 (1990), p. 1-4.
[2]
P. S. Bonsma
Spanning trees with many leaves in graphs with minimum
degree three. // SIAM J. Discrete Math. v. 22, no. 3 (2008), p. 920-937.
[3]
P. S. Bonsma, F. Zickfeld
Spanning trees with many leaves in graphs
without diamonds and blossoms. // LATIN 2008: Theoretical informatics,
p. 531-543, Lecture Notes in Comput. Sci., 4957, Springer, Berlin, 2008.
[4]
Y. Caro, D. B. West, R. Yuster.
Connected domination and spanning
trees with many leaves. // SIAM J. Discrete Math. v. 13, no. 2 (2000),
p. 202-211.
[5]
G. Chartrand,
A. Kaugars,
D. R. Lick.
Critically n-connected
graphs. // Proc. of the Amer. Math. Soc., v. 32 (1972), p. 63-68.
[6]
G. Ding, T. Johnson, P. Seymour
Spanning trees with many leaves.
// J. Graph Theory v. 37 (2001), no. 4, p. 189-197.
[7]
G. A. Dirac.
Minimally 2-connected graphs. // J. Reine and Angew.
Math. v. 268 (1967), p.204-216.
[8]
J. R. Griggs, D. J. Kleitman, A. Shastri.
Spanning trees with many
leaves in cubic graphs. // J. Graph Theory v. 13, no. 6 (1989), p. 669-695.
238
239
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
[9]
J. R. Griggs, M. Wu.
Spanning trees in graphs of minimum degree 4 or
5. // Discrete Math. v. 104 (1992), p. 167183.
[10]
R. Halin.
A theorem on n-connected graphs. // Journal of Combinatorial
Theory, v. 7 (1969), p. 150-154.
[11]
R. Halin.
On the structure of n-connected graphs. // Recent Progress in
Combinatorics (ed: W. T. Tutte), Academic Press, London New York,
1969, p. 91-102.
[12]
R. Halin.
Zur Theorie der n-fach zusammenh
angenden Graphen. //
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 7 (1969), p. 133-164.
[13]
R. Halin.
Studies on minimally n-connected graphs. // Combinatorial
Mathematics and its Applications (ed: D. J. A. Welsh), Academic Press,
London New York, 1971, p. 129-136.
[14]
Y. O. Hamidoune.
On critically h-connected simple graphs. // Discrete
Mathematics, v. 32 (1980), p. 257-262.
[15]
F. Harary, Y. Kodama.
On the genus of an n-connected graph. //
Fund. Math., v. 54 (1964), p. 7-13.
[16]
S. Hedetniemi.
Characterizations and constructions of minimally 2-
connected graphs and minimally strong digraphs. // Proceedings of
the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and
Computing, 1971, p. 257-282.
[17]
W. Hohberg.
The decomposition of graphs into k -connected compo-
nents. // Discrete Mathematics, v. 109 (1992), p. 133-145.
[18]
J. E. Hopcroft,
R. E. Tarjan.
Dividing a graph into triconnected
components // SIAM J. Comput., v. 2 (1973), p. 135-158.
[19]
D. J. Kleitman, D. B. West.
Spanning trees with many leaves.// SIAM
J. Discrete Math. v. 4 (1991), no. 1, p. 99-106.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
[20]
240
A structural characterizations of planar combinatorial
S. MacLane.
graphs. // Duke Math. J., v. 3 (1937), p. 460-472.
[21]
Eine Eigenschaft der Atome endlicher Graphen. // Arch.
W. Mader.
Math., v. 22 (1971), p. 333-336.
[22]
Ecken vom Grad n in minimalen n-fach zusammenhangen-
W. Mader.
den Graphen. // Arch. Math., v. 23 (1972), p. 219-224.
[23]
Endlichkeitssatze f
ur k -kritische Graphen. // Math. Ann.,
W. Mader.
v. 229 (1977), p. 143-153.
[24]
W. Mader.
Zur Struktur minimal n-fach zusammenhangender Graphen.
// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 49 (1979), p. 49-69.
[25]
W. Mader.
On vertices of degree n in minimally n-connected graphs and
digraphs // Combinatorics, Paul Erdos is eighty (Volume 2) Keszthely
(Hungray), 1993. Budapest: Janos Bolyai Mathematical Society, 1996,
p. 423-449.
[26]
D. W. Matula.
k -Blocks and Ultrablocks in Graphs. // Journal of Com-
binatorial Theory, Series B, 1978, v. 24, p. 1-13.
[27]
N. Martinov.
A recursive characterization of the 4-connected graphs. //
Discrete Math. v. 84, no. 1 (1990), p. 105-108.
[28]
K. Menger.
Zur allgemeinen Kurventheory. // Fund. Math., 1927, p. 10,
p. 96-115.
[29]
L.Nebesky.
On induced subgraphs of a block. // J. Graph Theory v. 1
(1977), 69-74.
[30]
J. G. Oxley.
On some extremal connectivity results for graphs and
matroids. Discrete Math.,v. 41 (1982), p. 181-198.
241
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
[31]
M. D. Plummer.
On minimal blocks // Trans. Amer. Math. Soc., v. 134
(1968), p. 85-94.
[32]
A classication of 4-connected graphs. // Journal of Com-
P. J. Slater.
binatorial Theory, v. 17 (1974), p. 257-282.
[33]
P. J. Slater.
Soldering and Point Splitting. // Journal of Combinatorial
Theory, Ser. B, v. 24 (1974), p. 338-343.
[34]
J. A. Storer.
Constructing full spanning trees for cubic graphs.//
Inform. Process. Lett. v. 13 (1981), no. 1, p. 8-11.
[35]
W. T. Tutte.
A theory of 3-connected graphs. // Indag. Math. v. 23
(1961), p. 441-455.
[36] W. T. Tutte. Connectivity in graphs. // Toronto, Univ. Toronto Press,
1966.
[37]
H. J. Veldman.
Non-κ-critical
vertices
in
graphs.
//
Diskrete
Mathematics, 1983, vol. 44, p. 105-110.
[38]
À. Â. Áàíêåâè÷.
Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåðøèí â îñòîâíûõ
äåðåâüÿõ â ãðàôàõ áåç òðåóãîëüíèêîâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ
ÏÎÌÈ ò. 391 (2011) ñòð. 5-17.
[39]
À. Â. Áàíêåâè÷, Ä. Â. Êàðïîâ.
Îöåíêè êîëè÷åñòâà âèñÿ÷èõ âåð-
øèí â îñòîâíûõ äåðåâüÿõ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ
ò. 391 (2011) ñòð. 18-34.
[40]
Ê. Áåðæ.
Òåîðèÿ ãðàôîâ è åå ïðèìåíåíèÿ. // Ìîñêâà, Èíîñòðàí-
íàÿ ëèòåðàòóðà, 1962. (Ïåðåâîä ñ ôðàíöóçñêîãî. C. Berge, Theorie des
graphes et ses applications. Dunod, Paris, 1958.)
[41]
Í. Â. Ãðàâèí.
Ïîñòðîåíèå îñòîâíîãî äåðåâà ãðàôà ñ áîëüøèì êî-
ëè÷åñòâîì ëèñòüåâ. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 381
(2010), ñòð. 31-46.
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
[42]
Ä. Â. Êàðïîâ.
242
Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ
âåðøèí. // Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà, ò. 13, â .1 (2001), ñòð. 63-72.
[43]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Áëîêè â k -ñâÿçíûõ ãðàôàõ. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíà-
ðîâ ÏÎÌÈ, ò. 293 (2002), ñòð. 59-93.
[44]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâà â k -ñâÿçíîì ãðàôå. Çàïèñêè
íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 33-60.
[45]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Îñòîâíîå äåðåâî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ
âåðøèí. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ ò. 381 (2010) ñòð. 78-87.
[46]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ
âåðøèí: íîâûå íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé
3 è íå ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012),
ñòð. 31-66.
[47]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Îñòîâíûå äåðåâüÿ ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âèñÿ÷èõ
âåðøèí: íèæíèå îöåíêè ÷åðåç êîëè÷åñòâî âåðøèí ñòåïåíåé 1, 3 è íå
ìåíåå 4. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 406 (2012), ñòð. 67-94.
[48]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Äåðåâî ðàçáèåíèÿ äâóñâÿçíîãî ãðàôà. Çàïèñêè íàó÷-
íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 86-105.
[49]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Ìèíèìàëüíûå äâóñâÿçíûå ãðàôû. Çàïèñêè íàó÷íûõ
ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 417 (2013), ñòð. 106-127.
[50]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Äåðåâî ðàçðåçîâ è ìèíèìàëüíûé k -ñâÿçíûé ãðàô. Çà-
ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014), ñòð. 22-40.
[51]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Ìèíèìàëüíûå k -ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñ-
ëîì âåðøèí ñòåïåíè k . Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427
(2014), ñòð. 41-65.
243
ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÒÎÂÍÛÅ ÄÅÐÅÂÜß
[52]
Ä. Â. Êàðïîâ.
Óäàëåíèå âåðøèí èç äâóñâÿçíîãî ãðàôà ñ ñîõðàíåíè-
åì äâóñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 427 (2014),
ñòð. 66-73.
[53]
Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð.
Î ñòðóêòóðå k -ñâÿçíîãî ãðàôà. // Çà-
ïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 266 (2000), ñòð. 76-106.
[54]
Ä. Â. Êàðïîâ, À. Â. Ïàñòîð.
Ñòðóêòóðà ðàçáèåíèÿ òðåõñâÿçíîãî
ãðàôà. // Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 391 (2011), ñòð. 90148.
[55]
Î. Îðå.
Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Íàóêà, 1968. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé-
ñêîãî. O.Ore, Theory of graphs, 1962.)
[56]
Ó. Òàòò.
Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1988. (Ïåðåâîä ñ àíãëèé-
ñêîãî. W. T. Tutte, Graph theory. Enciclopedia of Mathematics and its
Applications, v. 21, 1984.)
[57]
Ô. Õàðàðè.
Òåîðèÿ ãðàôîâ. // Ìîñêâà, Ìèð, 1973. (Ïåðåâîä ñ àí-
ãëèéñêîãî. F.Harary, Graph theory, 1969.)
[58]
À. Ñ. ×óõíîâ.
Óäàëåíèå âåðøèí èç k -ñâÿçíûõ ãðàôîâ áåç ïîòåðè k -
ñâÿçíîñòè. Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, ò. 340 (2006), ñòð. 103116.
Скачать