Личная олимпиада. Задачи с решениями.

ìÉÞÎÁÑ ÏÌÉÍÐÉÁÄÁ. úÁÄÁÞÉ Ó ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ.
19.09.2011
1. ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒ£ÈÞÌÅÎ f (x) = ax2 + bx + c ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
f (x) = x ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
f (f (x)) = x ÔÁËÖÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ.
òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ f (x) − x ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÏÌØ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ
×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÁ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÉÂÏ ÔÏÌØËÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÌÉÂÏ ÔÏÌØËÏ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ. ÷ ÐÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f (x) >
x ÐÒÉ ×ÓÅÈ x, ÚÎÁÞÉÔ f (f (x)) > f (x) > x, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ f (f (x)) = x ÎÅ
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÉ ÐÒÉ ËÁËÏÍ x. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f (f (x)) < x
ÐÒÉ ×ÓÅÈ x.
2. äÁÎÙ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ a, b É c ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ a2 = b2 + c2 − bc.
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (a − b)(a − c) ≤ 0.
c(c − b)
ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a − b =
:
a+b
b(b − c)
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, a − Ó =
: ðÅÒÅÍÎÏÖÉ× Ä×Á ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á,
a+c
ÐÏÌÕÞÁÅÍ
bc(b − c)2
(a − b)(a − c) = −
:
(a + b)(a + c)
÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÎÅÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ É ÌÅ×ÁÑ.
÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ
ÒÁ×ÎÙ b É c, Á ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÅÎ 60◦ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ×,
ÔÒÅÔØÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ a. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÉÎÕÓÏ× | × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÐÒÏÔÉ× ÂÏÌØÛÅÇÏ ÕÇÌÁ ÌÅÖÉÔ ÂÏÌØÛÁÑ
ÓÔÏÒÏÎÁ. õÇÏÌ 60◦ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÉÍ ÐÏ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÕÇÌÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.
úÎÁÞÉÔ, ÐÒÏÔÉ× ÎÅÇÏ ÌÅÖÉÔ ÓÒÅÄÎÑÑ ÐÏ ÄÌÉÎÅ ÓÔÏÒÏÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÉÎ ÉÚ
ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ a − b É a − b ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌÅÎ, Á ×ÔÏÒÏÊ | ÎÅÐÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ.
úÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ.
3. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
r
q
1
√
1 + 1 + 1 + ::: = 1 +
√
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ' =
1
1+
1
1 + :::
5+1
ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ë×Á2
ÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 − x − 1 = 0. âÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÁ×ÎÙ '.
÷ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ √ÐÒÅÄÅÌ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ: x0 = 1, xn+1 = 1 + xn . ðÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ
xn < xn+1 < '. ûÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ (ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ) ÆÕÎË√
ÃÉÉ 1 + x. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁ Ó×ÅÒÈÕ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÈÏÄÑÝÁÑÓÑ.
å£ ÐÒÅÄÅÌ√x ÌÅÇËÏ ÎÁÊÔÉ, ÐÅÒÅÊÄÑ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ: x = 1 + x, ÏÔËÕÄÁ x2 − x − 1 = 0, É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÐÒÅÄÅÌ ÏÂÑÚÁÎ
ÂÙÔØ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, x = '.
÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÐÒÅÄÅÌ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÅ1
ËÕÒÒÅÎÔÎÏ: x0 = 1, xn+1 = 1 + . ðÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ
x
xn < xn+2 < ' ÐÒÉ Þ£ÔÎÙÈ n É xn > xn+2 > ' ÐÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÙÈ n. ûÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ
1
(ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ) ÆÕÎËÃÉÉ 1 + . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
x
ÐÏÄÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó Þ£ÔÎÙÍÉ É ÎÅÞ£ÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÍÉ (×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ É ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ) É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ (Ó×ÅÒÈÕ É ÓÎÉÚÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ). úÎÁÞÉÔ, ÏÎÉ ÏÂÅ ÓÈÏÄÑÔÓÑ. éÈ
ÐÒÅÄÅÌÙ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ É ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
1
x=1+
1:
1+
x
üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÓÁÍÏÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÚÎÁÞÉÔ ÏÂÁ ÐÒÅÄÅÌÁ ÒÁ×ÎÙ ', ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÅÍÕ ÖÅ ÒÁ×ÅÎ ÐÒÅÄÅÌ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.
4. ÷ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÅ ABCDEF ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÏÐÁÒÎÏ
ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ: AB ||DE , BC ||EF , CD||F A. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÌÏÝÁÄØ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÊ ÐÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ACE .
òÅÛÅÎÉÅ. äÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABC , CDE É EF A ÄÏ ÐÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏ×, ÏÔÒÁÚÉ× ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÃÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎÙ AC , CE É EA ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ACE ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÚÁÎ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ôÒÉ ÉÚ ÎÉÈ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÏÌÏ×ÉÎËÁÍÉ ÏÔ ÔÒ£È ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÐÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏ×, Á ÞÅÔ×£ÒÔÙÊ | €ÃÅÎÔÒÁÌØÎÙʁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ×ÙÒÏÖÄÁÔØÓÑ
× ÔÏÞËÕ). þÁÓÔØ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCDEF , ÌÅÖÁÝÁÑ ×ÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
2
ACE , ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒ£È ×ÔÏÒÙÈ ÐÏÌÏ×ÉÎÏË ÐÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏ×. éÚ ÜÔÏÇÏ
ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ
ÃÅÎÔÒÁÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÕ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÐÏÐÁÒÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ.
5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÒÉ ×ÓÅÈ x > 0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
√
(1 + x)
3
√
> 1 + 3x:
òÅÛÅÎÉÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ 0 < c < x
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ
√
(1 + x)
3
√
√
= 1 + 3(1 + c)
√
3−1 x
√
> 1 + 3x;
ÔÁË ËÁË (1 + c) 3−1 > 1.
6. á×ÔÏÂÕÓÎÁÑ ËÏÍÐÁÎÉÑ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÁÑ ÒÅÊÓÙ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ (ÂÅÚ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË), ÒÅÛÉÌÁ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ
ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÑÓÎÉÔØ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ Á×ÔÏÂÕÓÏ×. äÌÑ ÜÔÏÇÏ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÍÅÓÑÃÁ ËÁÖÄÏÍÕ ÐÁÓÓÁÖÉÒÕ ×ÙÄÁ×ÁÌÁÓØ ÁÎËÅÔÁ Ó ÏÄÎÉÍ ×ÏÐÒÏÓÏÍ:
€óËÏÌØËÏ ÐÁÓÓÁÖÉÒÏ× (×ËÌÀÞÁÑ ÷ÁÓ) ÅÈÁÌÏ × Á×ÔÏÂÕÓÅ? úÁÔÅÍ, ÓÏÂÒÁ×
ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÏÔ×ÅÔÙ, ÐÏÓÞÉÔÁÌÉ ÉÈ ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ. ðÒÁ×ÉÌØÎÏ
ÌÉ ÂÙÌÁ ÐÏÄÓÞÉÔÁÎÁ ÓÒÅÄÎÑÑ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ ÒÅÊÓÏ×? íÏÖÎÏ ÌÉ ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ
ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ? åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ËÁË?
ëÁË ÂÙ ÷Ù ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÌÉ ÔÁËÏÊ ÏÐÒÏÓ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÐÅÒÅÄ ÷ÁÍÉ ÐÏÓÔÁ×ÉÌÉ
ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÎÀÀ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ Á×ÔÏÂÕÓÏ×?
òÅÛÅÎÉÅ. óÒÅÄÎÑÑ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ ÒÅÊÓÏ× ÐÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÌÁÓØ ÎÅÐÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÐÒÉ ÐÏÄÓÞ£ÔÅ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÅÊÓ
ÂÒÁÌÓÑ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ, ÓËÏÌØËÏ × Î£Í ÂÙÌÏ ÐÁÓÓÁÖÉÒÏ× (×ÍÅÓÔÏ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ).
åÓÌÉ ÂÙÌÉ ÐÕÓÔÙÅ ÒÅÊÓÙ (ÂÅÚ ÐÁÓÓÁÖÉÒÏ×), ÔÏ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÌÉÑÌÏ
ÎÁ ÓÒÅÄÎÀÀ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ ÒÅÊÓÏ×, ÎÏ ÎÅ ×ÌÉÑÌÏ ÎÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÐÒÏÓÁ.
ôÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÐÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÏÐÒÏÓÁ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÐÕÓÔÙÈ ÒÅÊÓÏ× ÎÅ ÂÙÌÏ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ
ÏÐÒÏÓÁ ÄÁÀÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÒÅÄÎÀÀ ÚÁÐÏÌÎÑÅÍÏÓÔØ ÒÅÊÓÏ× |
ÓÕÍÍÁÒÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÁÓÓÁÖÉÒÏ× ×ÓÅÈ ÒÅÊÓÏ×, ÄÅÌ£ÎÎÏÅ ÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÒÅÊÓÏ×. äÅÌÉÍÏÅ | ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÎËÅÔ. þÔÏÂÙ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÄÅÌÉÔÅÌØ,
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÓÞÉÔÁÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÎËÅÔ Ó ÏÔ×ÅÔÏÍ k É ÄÅÌÉÍ ÅÇÏ ÎÁ k,
Á ÚÁÔÅÍ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÐÏ ×ÓÅÍ k.
ïÄÎÉÍ ÉÚ ÒÁÚÕÍÎÙÈ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÔÁËÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÉÔÓÑ
ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÇÏ ÁÎËÅÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÏÄÉÔÅÊ, Á ÎÅ ÐÁÓÓÁÖÉÒÏ×.
3
7. ÷ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÁÎÞÕÒÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÅÓÔØ ÌÉÛØ ÔÒÉ ÂÕË×Ù: A, B É C .
ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ×Á ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÐÏÎÑÔÉÅ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÉÚ ÄÒÕÇÏÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÏÄÉÔØ × ÌÀÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É × ÌÀÂÙÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÁÈ:
I) × ÌÀÂÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÌÏ×Á ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ
ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ ÂÕË×: ABA ÎÁ BAB , ACA ÎÁ CAC ÉÌÉ BC ÎÁ CB (É ÎÁÏÂÏÒÏÔ).
II) ÉÚ ÌÀÂÏÇÏ ÍÅÓÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙËÉÄÙ×ÁÔØ Ä×Å ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù, ÉÄÕÝÉÅ ÐÏÄÒÑÄ, Á ÔÁËÖÅ × ÌÀÂÏÅ ÍÅÓÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÓÔÁ×ÌÑÔØ Ä×Å ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ
ÂÕË×Ù.
Á) ëÏÎÅÞÎÏÅ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÏÎÑÔÉÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ? åÓÌÉ ËÏÎÅÞÎÏÅ, ÔÏ ÓËÏÌØËÏ?
Â) ôÏÔ ÖÅ ×ÏÐÒÏÓ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÁ BC ÎÁ CB ÚÁÐÒÅÝÅÎÁ, ÏÄÎÁËÏ ÒÁÚÒÅÛÅÎÁ ÚÁÍÅÎÁ BCB ÎÁ CBC .
ïÔ×ÅÔ. Á) 24; Â) ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ.
òÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ Â) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÏÎÑÔÉÊ
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÏÂØ£Í ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÔÒÅÍÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÐÒÑÍÙÈ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÕÇÌÙ
60◦ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. ÷ÙÄÅÌÉÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÎÁÚÏ×£Í ÅÇÏ ÉÓÈÏÄÎÙÍ. ðÒÑÍÙÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ a, b É c, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÂÕË×ÁÍ A, B É
C ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ëÁÖÄÏÍÕ ÓÌÏ×Õ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÓÔ×ÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÚÅÒËÁÌØÎÙÍÉ
ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÑÍÙÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÂÕË×ÁÍ ÓÌÏ×Á. ðÒÉ
ÜÔÏÍ ÓÌÏ×ÁÍ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÍ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ, ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÓÌÏ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ
ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×, ÏÚÎÁÞÁÅÔ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÄÎÏÊ
ÐÒÑÍÏÊ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ. æÒÁÇÍÅÎÔ ABA
ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÐÒÑÍÙÈ a É b É ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ Ó ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÕÇÏÌ 60◦ . ôÏ
ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÒÁÇÍÅÎÔ BAB . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÐÁÒÙ
(ACA, CAC ) É (BCB , CBC ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÏ×Á, ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ
ÓÌÏ×Ï. úÎÁÞÉÔ, ×ÚÑ× ÐÏ ÓÌÏ×Õ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÌÏ×, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ.
ôÅÐÅÒØ ÐÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÏÎÑÔÉÊ × ÓÌÕÞÁÅ a) ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏ4
ÄÉÔ 24. ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÒÁÎÅÅ ÓÌÕÞÁÅ, ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÂÕË×ÁÍ ÓÌÏ×Á ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÅ×ÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ïÓÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÂÕË×ÁÍ A É B , Á ÔÁËÖÅ ÂÕË×ÁÍ A É C , ÄÏÌÖÎÙ ÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÔØ
ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÕÇÏÌ 60◦ . ïÓÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÂÕË×ÁÍ B É C , ÄÏÌÖÎÙ
ÂÙÔØ ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÊ ÉÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË
ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÕÇÌÙ 60◦ , 60◦ É 90◦ . òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÔÁËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÄÎÁËÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ
ÎÁ ÓÆÅÒÅ. ïÔÒÁÖÁÑ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÏÒÏÎ, ÐÏÌÕÞÉÍ
ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÐÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ, ÓÌÏ×Á, ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. òÁÚÌÉÞÉÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁ×ÎÏ 24. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÊ ÑÚÙËÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 24.
÷ÙÐÉÛÅÍ ÐÏ ÏÄÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ: ∅, A, B , C , AB , BA, AC , CA, BC , ABA, ACA, ABC ,
BAC , BCA, CAB , ABAC , ABCA, ACAB , BACA, BCAB , ABACA,
ABCAB , BACAB , ABACAB . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÓÌÏ×Ï
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ, ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÐÒÁÖÎÅÎÉÑ.
8. ëÁËÕÀ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÁÔÒÉà ÒÁÚÍÅÒÁ n × n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ,
ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉÃ?
ïÔ×ÅÔ. n2 − n.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ
ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÚÁÄÁÞÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÁÔÒÉÃ Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ.
äÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ n. ðÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
k ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. âÁÚÉÓÏÍ ÓÞÉÔÁÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÅÄÉÎÉÃ. õ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ k
ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ,
ÞÔÏ k < n, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÔÒÏË
É ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÏËÁÚÁÌÉÓØ
ÐÏÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ (ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÐÒÁÖÎÅÎÉÑ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ ×
ÄÒÕÇÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÔÏÊ ÖÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, É ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏ5
ÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ, ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ. îÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÓ×ÏÉÔØ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÄÉÎÉÃÙ ÎÁ
ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É ÎÕÌÉ ÎÁÄ ÎÅÊ. ðÏÌÕÞÉÍ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ
× ÎÁÛÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
6