УДК 624.04 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ УСИЛИВАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев, Х. А. Абрагим Казанский государственный технологический университет. Казань, Россия Изложим вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния стержневых систем, усиливаемых под нагрузкой с учетом пластических свойств материала. Расчеты основываются на алгоритме, описанном в работе [1] применительно к упругим системам. В данной работе предполагается, что за пределом упругости материал является идеально пластическим. Отличительная особенность описанной в [1] и представленной здесь методик состоит в том, что они позволяют рассчитывать сложные (криволинейные, естественно закрученные) стержневые системы на основе соотношений для прямолинейного стержня. Используем основные допущения и соотношения теории стержней с учетом сдвигов [2]. Рассмотрим деформирование стержневых систем, при котором превалирующими являются нормальные напряжения. Поэтому полагаем, что для касательных напряжений справедлив закон Гука, а связь между нормальными напряжениями и деформациями описывается диаграммой Прандтля. Следовательно, в области упругих деформаций x E x , xy G xy , xz G xz . В области пластических деформаций x т , xy G xy , xz G xz . Вариационное уравнение Лагранжа для стержневой системы можно представить в виде: отс U уобщ U уотс U пл W 0 , (1) где U уобщ – вариация потенциальной энергии стержневой системы при упругом деформировании; U уотс – вариация потенциальной энергии системы в зоне отс пластических деформаций в предположении упругого деформирования; U пл – вариация потенциальной энергии части сечения стержня в пластической стадии деформирования, W – вариация работы внешних сил. В выражении (1) (2) U уобщ E x x G xy xy G xz xz dA dl , l A (3) U уотс E x x dA dl , U плотс т x dA dl , lпл Aпл lпл Aпл W q1 u1 q2 u2 q3 u3 dl l (4) F1i u1 xi F2i u2 xi F3i u3 xi m1k1k xk m2 k 2 k xk m3k3k xk , du1 d d du d du d y 3 z 2 , xy 2 3 z 1 , xz 3 2 y 1 . (5) dx dx dx dx dx dx dx В формулах (2) деформации вычисляются в локальной ортогональной системе координат 0xyz , с осью 0x , направленной по касательной к продольной оси стержня; x 1 u1 , u2 , u3 , 1 , 2 , 3 – перемещения и углы поворота в этой системе координат, т – предел текучести. При решении задачи на основе условия (1) вводится глобальная ортогональная т система координат 0xyz , векторы перемещения u u1 , u2 , u3 и углов поворота 1 , 2 , 3 с компонентами относительно осей 0x , 0 y , 0z . Стержневая система разбивается на N участков, на каждом из которых компоненты векторов u и представляются в следующем виде [3]: т M M m 1 m 1 i i uk uki Ckm f m t , k ki Dkm fm t , (6) i i где k 1, 2, 3 , i 1, N , C km , Dkm – неизвестные постоянные на участке с номером i ; t s / li 0 t 1 , s – длина продольной оси стержня, отсчитываемая от начала участка до точки, в которой вычисляются перемещения, деформации и напряжения, li – длина стержня на участке с номером i f1 t 1 t , f 2 t t , f m t 1 t t m2 , m 3, M . Перемещения и углы поворота в локальной и глобальной системах координат связаны соотношениями 3 3 k 1 k 1 u j n jk uk , j n jk k , j 1, 2, 3 , (7) где n jk – направляющие косинусы локальной системы координат. Удовлетворяя кинематическим граничным условиям и условиям стыковки участков стержней, после подстановки (2) – (7) в условие (1) и интегрирования, получаем систему алгебраических уравнений K C F , где K – матрица жесткости стержневой конструкции, постоянных, F – вектор внешних нагрузок. C – вектор неизвестных i i Решая эту систему, находим неизвестные коэффициенты C km , Dkm . Отметим, что при вычислении слагаемых, входящих в условие (1), интегрирование по длине стержней проводится численно. Для определения решения при наличии пластических деформаций используется итерационный метод. На первой итерации деформации считаются упругими, на последующих (при численном интегрировании) в каждой точке интегрирования проверяется выполнение условия x т . Если это условие выполняется, то Aпл 0 , если не выполняется – нужно находить Aпл . При этом, на первой итерации полагается 1 n используется условие Aпл Aпл 0 , а на последующих при определении Aпл n 1 n 1 n 1 n1 N пл N n , M пл M n , n 1, 2, 3,... (8) Здесь N пл , M пл – продольная сила и изгибающий момент, выражения для которых записываются с учетом того, что поперечное сечение в точке интегрирования состоит n 1 n 1 из двух подобластей – области упругих деформаций Aуп и области Aпл , в которой n возникают пластические деформации; N n , M – усилие и моменты, определенные из n n решения задачи (1) в предположении, что Aуп Aуп , Aпл Aпл . Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия заданная величина погрешности. 2 A n пл Aплn1 Aплn1 100% , где – Отметим, что в силу принятых гипотез при нахождении Aпл кроме равенств (8) используется условие, что линия, отсекающая площадь Aпл , параллельна нулевой линии для напряжения x в сечении. В некоторых частных случаях для определения величины Aпл из уравнений (8) получаются аналитические выражения, а в ряде случаев целесообразно использовать численные методы нахождения Aпл . При расчете конструкций, усиливаемых под нагрузкой с учетом пластических деформаций, величины, входящие в условие (8), в соответствии с [3] необходимо выразить в виде N пл n 1 M пл n 1 N р N N пл n 1 M р M M пл , N n N р N N пл , n 1 n n , M M р M M пл , n (9) (10) где N р , M р – продольная сила и изгибающий момент, действующие в сечении стержня в период ремонта (усиления); N , M – добавочные продольная сила и изгибающий момент, воспринимаемое областью упругих деформаций сечения стержня после ремонта (усиления); N пл , M пл – то же, воспринимаемое областью пластических деформаций сечения. Усилия и моменты, входящие в выражения (9) и (10), определяем в соответствии с методикой, приведенной в [3]. Для иллюстрации достоверности и точности полученных результатов рассмотрен расчет усиления защемленной на одном конце балки, которая повреждена по всей длине. Усиление балки прямоугольного сечения производилось до первоначальных размеров при уровне ремонтных напряжений 0.6 . Длина балки l 1 м , ширина сечения b 5 см , высота сечения h 8 см высота сечения в поврежденном состоянии hп 7 см , характеристики основного и ремонтного материалов: E 2 105 МПа , т 240 МПа . Нагрузка, действующая в период ремонта Fр 3.92 кН . По результатам расчетов изгибающий момент, воспринимаемый сечением балки после восстановления M ус 13.31кНм , что совпадает с результатом, полученным по методике, приведенной в работе [3] (расхождение составляет 0,54%). ЛИТЕРАТУРА 1. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней // Строительство и архитектура. – 1991. – № 5. – С. 104–108. 2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 672 с. 3. Убайдуллоев М.Н., Серазутдинов М.Н. Оценка эффективности усиления нагруженных конструкций с учетом пластических деформаций // Изв. ВУЗов. Строительство. – 2009. – № 1. – С. 106–111. 3