Проект изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» (10 класс).

Проект изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства»
(10 класс).
Урок-лекция по теме «Решение уравнений и неравенств cos x=a(<,>).
Арккосинус числа. Свойство арккосинуса.»
[А. и н.а. 10-11], Г. VI
Выполнила студентка гр. МИ-10 ФЕМиКН НГПУ им. Козьмы Минина
Малышева Анна
Обзор математической и методической литературы по теме
1. Алгебра. 10 класс: поурочные планы к учебнику Ш.А. Алимова и др./авт. – сост. Е. Г. Лебедева.
– Волгоград: Учитель, 2007. – 207 с.
Издание представляет собой поурочные планы по алгебре для 10 класса и предназначено, в первую
очередь, для работы с учебником Ш.А. Алимова и др.
В теме «Тригонометрические уравнения» рассматриваются следующие дидактические единицы:
Понятия: уравнения cos x=a, sinx=a, tgx=a, решение уравнений : сводящиеся к квадратным, с
помощью замены переменной, разложения на множители, формул универсальной подстановки,
однородные и неоднородные тригонометрические уравнения.
2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. - М.: Учпедгиз, 1950.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы вопросов
связанных с построение курса тригонометрии в средней школе. Книга предназначена для учителей
математики, студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в V главе. Далее рассматриваются различные
приемы для решения тригонометрических уравнений.
3. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
математических специальностей педагогических вузов/Под ред. Т. А. Ивановой. 2-е изд.,
испр. и доп. – Н. Новгород: НГПУ, 2009. 355 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов.
В данном пособии рассматривается структура проведение урока семинар-практикум.
4. Кузнецова Л.И. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: Учебно-методическое
пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ,
2007, 60 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем выделены основные типы, методы и приемы решения
тригонометрических задач. В § 2.4. рассматриваются различные методы решения
тригонометрических уравнений.
5. Кузнецова Л.И. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть 1: Учебнометодическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики.
Н.Новгород: НГПУ, 2008, 56 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем содержится тематический план, основные теоретические
положения, выделены основные типы, методы и приемы решения тригонометрических
уравнений. В §3.1. рассматриваются тригонометрические уравнения sinx,cosx и отбор корней
алгебраическим и тригонометрическим способом. Далее в пособии рассматриваются методы
решения тригонометрических уравнений в общем виде с примером решения. Подробно
рассматривается свойство ограниченности множества значений sinx и cosx, свойство
монотонности.
6. В.В.Репьев. Методика тригонометрии .-М.:Учпедгиз, 1937.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы
вопросов связанных с построение курса тригонометрии в средней школе и так же
представлены фрагменты уроков. Книга предназначена студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в ХV главе. Далее рассматриваются
интересные тригонометрические решения для работе в кружке.
7. Элементарная математика: элементарные функции: Методические рекомендации для
студентов математического факультета/ авт. – сост. С.В. Кириллова, О. К. Огурцова. - Н.
Новгород: НГПУ, 2006.
Данное издание представляет собой методические рекомендации для студентов
математического факультета. Методические рекомендации содержат программу
дисциплины «Элементарная математика: элементарные функции», планы практических
занятий с выделением основных типов и методов решения задач, список рекомендуемой
литературы, список задач к зачёту.
Общая характеристика темы:
 особенности и роль темы в математике (включая историческую справку) и в
школьном курсе математики;
Тригонометрические уравнения является наиболее важным этапом изучения тригонометрии
и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры. При изучении
тригонометрических уравнений в школьном курсе математики постепенно расширяются
понятия, причем рассматриваются не уравнения, а вводится понятие тригонометрической
функции и построение графиков функций.
В настоящее время тригонометрию изучают в старших классах школы. Материал соответственно
разделен на три части, которые изучаются в разные периоды времени обучения. Впервые
тригонометрические выражения появляются в курсе планиметрии, после теоремы Пифагора или
непосредственно перед ней. Используются они преимущественно для решения плоских
треугольников. При этом отрабатываются первоначальные навыки работы с таблицами
тригонометрических функций. Ученики усваивают определения синуса, косинуса и тангенса острого
угла.
Во второй раз тригонометрические функции определяются с помощью производящей окружности.
Постепенно переходят к рассмотрению тригонометрических функций любого аргумента,
выраженного в радианах, и соотношений между ними. Школьников обучают строить графики
функций, рассматриваются некоторые свойства.
В третьей части изучаются решения тригонометрических уравнений и неравенств. Рассматривается
приложение тригонометрических функций в физике при изучении гармонических колебаниях.
Историческая справка:
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е.
определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое
количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и
других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии
понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами
треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием
Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами
начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани(850-929) и Абуль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с
точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти
неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274).
Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил
плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника
и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в
работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В
римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и
не приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на
которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т.
е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также
котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые
таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались
неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким
математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан
составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и
сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens
переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
 программа по математике: инвариантное содержание темы;
Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента
государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне.
Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного
стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в разделе тригонометрия.
Основное содержание раздела функции: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические
тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и
косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие
тригонометрические неравенства.
Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
В результате изучения данной темы ученик:
научится:




находить табличные значения, что необходимо для безошибочного решения
тригонометрических уравнений.
понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения);
строить графики тригонометрических функций; исследовать свойства
тригонометрических функций;
распознавать типы тригонометрических уравнений и методы их решения;
получит возможность научиться:
• проводить исследования, связанные с изучением свойств функций (область определения и
множество значений, четность, нечетность, периодичность), в том числе с использованием
компьютера; на основе графиков изученных функций строить обратные
тригонометрические функции;
• использовать функциональные представления и свойства функций в применении
производной к исследованию функций .
 сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках.
В учебнике Ш. А. Алимова и др. тема «Тригонометрия» отделена в отдельную главу VI главу
«Тригонометрические уравнения » и рассматривается после главы «Тригонометрические
формулы». Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение
которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено материалом главы
“Тригонометрические формулы”.
Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса вводятся до знакомства с обратными
тригонометрическими функциями (тригонометрические функции изучаются в 11 классе) и
иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много
внимания упражнениям на нахождение значений и использование свойств арксинуса, арккосинуса,
арктангенса: все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. При решении уравнений полезно
иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять
формулы корней.
Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах
уравнений, сводящихся к квадратным, уравнений вида a sin x + b cos x = c, уравнений,
решаемых разложением левой части на множители. Таким образом, схема изучения выглядит
так: функция → преобразования→ уравнения.
Совершенно другая структура изложена в учебнике Колмогоров А.Н. Учебник содержит 4
главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и
неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются
тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В
этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства
тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия
арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение
простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов
решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и
решения тригонометрических неравенств. Таким образом, схема изучения выглядит так:
преобразования → функции → уравнения.
Другая структура введения тригонометрических уравнений изложена в учебнике А. Г.
Мордковича. Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены
основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с
изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия
тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус,
основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших
уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся
после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются
свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические
уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического
уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В
этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение
новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие
методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование
тригонометрических выражений». Здесь схема изучения выглядит следующим
образом: функция → уравнения → преобразования.
Логико-дидактический анализ содержания темы
Анализ теоретического материала
Алгебра. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.
В. Сидоров и др.]. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2011 – 287 с. : ил. Глава 6, § 33 - 37
Выделим основные дидактические единицы:
- понятия: арксинус, арккосинус, арктангенс;
- формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс.
1. Определение арккосинуса.
Арккосинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[0; π], косинус которого равен а:
Arccos a= a, если сos a= a и а⋲[0; π]
2. Все корни уравнения сos х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X=±arccos a + 2 πn, n⋲Z
3. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcos(-a)= π- arcos a
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения
арккосинусов положительных чисел.
4. Арксинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[ π/2; π/2], синус которого равен а:
Arcsin a= a, если sin a= a и а⋲[ π/2; π/2],
5. Все корни уравнения sin х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X= (-1)ᶰarcsin a + πn, n⋲Z
6. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcsin(-a)= - arcsin a
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения
арксинусов положительных чисел.
7. Арктангенсом числа а⋲ R называется такое число a⋲( π/2; π/2), тангенс которого равен а:
Arctg a=a, если tg a=a и а⋲( π/2; π/2)
8. Все корни уравнения tg x= a, где а⋲ R.
X=±arctg a + πn, n⋲Z
9. Для любого a⋲R справедлива формула:
Arctg(-a)= - arctg a
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения
арктангенсов положительных чисел.
Вывод по анализу теоретического материала
Перед введением определений необходимо повторить определения: cинуса, косинуса, тангенса,
формулы приведения.
Ещё какие выводы?
Не все дидактические единицы рассмотрены: где анализ решения простейших
тригонометрических уравнений, их формул корней?
Анализ задачного материала
При изучении темы "Тригонометрические уравнения и неравенства" у школьников
необходимо сформировать следующие умения:
-безошибочно определять все основные элементы тригонометрических функций.
-исследовать свойства тригонометрических функций
- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, сводящиеся к
простейшим разными способами;
-решать тригонометрические неравенства методом введения новой переменной;
Анализ задач показал, что в теме "Тригонометрические уравнения и неравенства" можно
выделить следующие группы задач:
1. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
*Простейшие задачи на отработку определений и свойств.
К данной группе относятся задачи: 568,569,570,583,586,587,588,593,605,607,608,609,616,619
Ключевая задача №569
*Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
К данной группе относятся задачи:
571,572,573,575,577,578,579,580,581,584,585,589,590,591,597,598,599,600,604,606,610,611,613
,614,615,617
Ключевая задача №572
2.Тригонометрические уравнения на выделение простейшего тригонометрического
уравнения (Решение тригонометрического уравнения состоит из двух
этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида
и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует
семь основных методов решения тригонометрических уравнений.)
* Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической
функции с последующей заменой переменной
К данной группе относятся задачи: №620,621,622,623,634,636,641,646,647,656,657,658.
Ключевая задача №622
* Решение уравнений методом разложения на множители.
К данной группе относятся задачи: 582,603,631,635,637,638,639,642,643,648,653,654,664,665.
Ключевая задача №631
* Решение однородных уравнений.
К данной группе относятся задачи:
№576,596,612,624,625,628,629,632,644,651,652,655,662,663,688.
Ключевая задача №624
* Введение вспомогательного аргумента.
К данной группе относятся задачи:
574,592,594,595,601,602,618,626,627,630,633,640,645,649,650,659,660,661,687.
Ключевая задача №601
Выводы из анализа задачного материала:
В учебнике Ш.А.Алимова широко рассмотрены различные методы решения
тригонометрических уравнений и неравенств, формулы выведены на первое место, однако,
простейшим уравнениям внимания уделено недостаточно.
Вам нужно чётко выделить методы решения уравнений: общие и частные; и вот на основе этого
рассматривать группы задач
Постановка учебных задач, диагностируемых целей.
1.Учебная задача: Рассмотреть простейшее тригонометрическое уравнения и неравенства.
Дать определение arc числа a. Изучить основные свойства arc a и использования его для
записи решений тригонометрических уравнений и неравенств.
? См. замечания выше и думайте над учебными задачами
2. Диагностируемые цели.
В результате урока ученик
- знает
Формулы универсальной подстановки ;
Различные приемы решения тригонометрических уравнений:
приведение уравнения к квадратному уравнению относительно одной из функций,
приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса,
возведение обеих частей уравнения в квадрат, разложение левой части уравнения на множители ;
Формулы двойного угла;
Формулы половинного угла;
Формулы приведения
- понимает:
Как применять приемы решения тригонометрических уравнений,
Взаимосвязь тригонометрического уравнения и приема решения к нему;
- умеет:
Применять различные приемы для решения тригонометрических уравнений.
Тематическое планирование.
№
Тема урока
Тип урока
урока
1
Решение
Урок
уравнений и
изучения
неравенств sin
нового
x=a(<,>). Арксинус
числа. Свойство
арксинуса
2
3
4
5
Решение
уравнений и
неравенств sin
x=a(<,>). Арксинус
числа. Свойство
арксинуса
Решение
уравнений и
неравенств cos
x=a(<,>).
Арккосинус
числа. Свойство
арккосинуса
Урокпрактикум
Решение
уравнений и
неравенств cos
x=a(<,>).
Арккосинус числа.
Свойство
арккосинуса
Решение
уравнений и
неравенств tg x=a
Урокпрактикум
Урок
изучения
нового
Урок
изучения
нового
Учебная задача
урока
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения sin x=a и
неравенств sin x>a и
sin x<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arcsin a.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения cos x=a и
неравенств cos x>a и
cos x<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arccos a.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Методы
обучения
Эвристическая
беседа, УДЕ
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
Эвристическая
беседа, УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа, УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
(<,>). Арктангенса
числа. Свойство
арктангенса.
6
Уравнение
tg x=a
7
Решение
тригонометрическ
их уравнений
8
Решение
тригонометрическ
их уравнений
9
Решение
тригонометрическ
их уравнений
10
Основые приемы
решения
тригонометрическ
их уравнений
11
Примеры решения
простейших
тригонометрическ
их неравенств
12
Заключительный
урок
формулу решения
уравнения tg x=a и
неравенств tg x>a и tg
x<a, частные случаи
решения уравнения.
Изучить основные
свойства arctg a.
УрокОтработать умения и
практикум
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Урок
Отработать умение
усвоения
решать простейшие
теории
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Урок
Отработать умение
решения
решать различного
задач
вида
тригонометрических
уравнений и
неравенства.
Урок
Организовать
контроля
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
ходе выполнения
письменной работы
Урок
Введение некоторых
семинарвидов
практикум
тригонометрических
уравнений. В виде
докладов учащиеся
выявляют виды
тригонометрических
уравнений и методы,
приёмы их решения
Урок решения Отработать умение
решать простейшие
задач
тригонометрические
задачи, закрепить
умение решать
тригонометрические
уравнения по
алгоритму.
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые,
метод УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа,
репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые,
метод УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
ии
13
Заключительный
урок
14
Контрольная
работа
теме:
«Тригонометрические
уравнения и
неравенства.».
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
ии
теме:
«Тригонометрические
уравнения и
неравенства.».
Урок
Организовать
контроля
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
ходе выполнения
письменной работы
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Конспект урока по теме: «Решение уравнений и неравенств cos
x=a(<,>). Арккосинус числа. Свойство арккосинуса.»
Название учебника:
Алгебра: учеб. Для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М.
Колягин, Ю. В. Сидоров и др.-10-е изд. -М.:Просвещение, 2002.- 168стр. Глава 6, Пар.33.
Тип урока: Урок-лекция .
Цели урока:
Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися вывести формулы решения
простейших тригонометрических уравнений и неравенств cosx=a, cosx<a, cosx>a.
Сформулировать определение arccos a, изучить его основные свойства.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает: определение арккосинуса, формулу решения уравнения cos x=a и неравенств cosx<a,
cos x>a, частные случаи решения (а=1, а=-1, а=0)
Умеет:решать простейшие тригонометрические уравнения.
Понимает:связь между корнями тригонометрических уравнений и решениями неравенств.
Методы обучения:
 УДЕ
 Репродуктивный
 Частично-поисковые
 Эвристическая беседа
Формы работы: фронтальная.
Средства обучения: традиционные, презентация, раздаточный материал.
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный этап(5 мин),
Содержательный этап(37 мин),
Рефлексивно-оценочный этап(3 мин).
Ход урока:
1) Мотивационно-ориентировочный этап.
Действия учителя
Актуализация.
На прошлом уроке вы
изучали уравнение sin x=a
и рассматривали
неравенства sin x>a, sin
x<a.
Сформулируйте
определение sin угла х?
Что значит решить
тригонометрическое
уравнение?
Сформулируйте
определение cos угла х?
Как изменяется функция
соs x c изменением угла?
Ранее мы рассматривали
уравнения cos x=1, cos x=-1
и cos x=0. Вспомним, при
каких значениях х, cos x=1?
При каких значениях х cos
x=-1?
При каких значениях х cos
x=0?
Мотивация.
Сегодня на уроке мы
продолжим изучать
тригонометрические
уравнения и неравенства.
И рассмотрим уравнение
cos x=a и неравенства cos
x<a, cos x>a. Дадим
определение arccos a.
Изучим основные свойства
arccos a и использования
его для записи решений
тригонометрических
уравнений и неравенств.
Цель нашего урока будет..
Действия ученика
Записи на доске и в
тетрадях
Где ответы на вопросы?
Нельзя столько сразу целей
ставить, тем более говорить
об арккосинусе. Так в чём у
вас состоит мотивация?
2) Содержательный этап.
Действия учителя
Действия ученика
Записи на доске и в
Уравнение соs x=a при каких значениях При 1)a1; 1
а будет иметь корни?
Рассмотрим уравнение cos x=а и
неравенствах cos x>a и cos x<a, при
а=1/2.
Отметим на единичной окружности
точки, в которых cosx=1/2.
Сколько в результате точек мы
получили?
Каким углам эти точки соответствуют?
Абцисса , равная ½, имеет две точки
окружности М1 и М2. Так как ½=сos
П/3 , то точка М1 получается из точки
(1,0) поворотом на угол х1=П/3, а так
же углы х=П/3+2Пк, где к(Z. А точка М2
получается из точки (1,0) поворотом на
угол х2=-П/3, а так же углы х=П/3+2Пк. Итак, уравнение имеет два
множества корней х1=П/3+2Пк и х2=П/3+2Пк, к(Z. Оба эти значения х
можно объединить одной формулой:
П
х= ± + 2Пк , к∈ Z
3
Покажите(заштрихуйте)интервал на
котором cos x>1/2 .
Где начальная точка этого интервала?(П/3).
Где конечная?(П/3),
т.е. огсновной первый промежуток
П/3≤ х≤П/3.
Как найти следующий интервал?(на
полный оборот).
Поэтому все следующие промежутки
получаются прибавлением на целового
числа оборотов к конечному и
начальному значению интервала.
На каком интервале будет иметь
решение?
Тоесть –П/3+2Пк ≤ х≤П/3+2Пк, кєZ.
Покажите промежуток, где cos x<1/2.
Покажите точку, в которую мы входим
в этот промежуток?(П/3)
Покажите точку, в которой мы выходим
из промежутка?
Когда мы в ходим в интервал в точку
П/3 по пути нам попадаются точки П/2,
П, 3п/2. Какой угол поворота надо
выполнить, чтобы попасть в эту точку?
Будет ли это точка –П/3?
тетрадях
-Нет, т.к. у нас уже была точка 3П/2.
Значит на каком интервале будет
находится решение неравеснтва cos
x<1/2?
Таким образом решение данного
неравенство будет иметь вид:
П/3+2Пк ≤ х≤5П/3+2Пк, кєZ
Аналогично, рассмотрим уравнение cos
x=а, и неравенствах cos x>a и cos x<a,
при а=-1/2.
Отметим на единичной окружности
точки, в которых cos x=-1/2.
Сколько в результате точек мы
получили?
Каким углам эти точки соответствуют?
Абцисса, равная -½, имеет две точки
окружности М1 и М2. Так как ½=сos
П/3 , то точка М1 получается из точки
(1,0) поворотом на угол х1=2П/3, а так
же углы х=2П/3+2Пк, где к(Z. А точка
М2 получается из точки (1,0)
поворотом на угол х2=-2П/3, а так же
углы х= -2П/3+2Пк. Итак, уравнение cos
x=а имеет два множества корней
х1=П/3+2Пк и х2=-П/3+2Пк, к(Z. Как
оба эти значения х можно объединить
2П
х= ±
+ 2Пк , к∈ Z
3
одной формулой?(
)
Тогда какое решение будут иметь
неравенство cos x>a?
А cos x<a?
Таким образом, каждое из этих
уравнений cos x=1/2 и cos x=-1/2
имеет бесконечное множество корней.
Рассмотрим корни этих уравнений на
отрезке [0,П].
Сколько корней будет иметь каждое
уравнение на этом отрезке?
Чему будут равны эти корни?
А что, если значение cos x равен не
табличному значению?
Рассмотрим уравнение cos x=2/3.
Рассмотрим на единичной окружности,
точки, при которых абсцисса угла х
равна 2/3. Тогда, как будет выглядеть
наше решение?
x1= t+2Пк, к(Z и x2=-t+2Пк, к(Z.
П
0⩽t⩽
2 .
Отметим, что а
Теперь рассмотрим cos x=- 2/3.
П
⩽t⩽ П
В этом случае мы получаем 2
.
Объединим наши решения в одну общую
формулу:
х= ± t+ 2Пк , к∈ Z ,
Что же такое t?
Для записи решения нетабличных
значений а введем понятие —
арккосинус числа а.
НО уравнение сos x=a, где 1)a1; 1,
имеет на отрезке [0,П] только один
корень. Если а>=0, то корень заключен
в промежутке [0,П/2], но если а<0, то в
промежутке (П/2;П]. Этот корень
называют арккосинусом числа а и
обозначают arccos a.
Итак, арккосинусом числа а, модуль
которого не больше единицы,
называется такое число t из
промежутка 0⩽t⩽ П , косинус которого
равен а:
arccos a=t(*)
, если 0⩽t⩽ П и cos t=a.
Тогда решение уравнения cosx=а
запишется:
х= ± arccos a+ 2Пк , к ∈ Z .
А значит нереванство cos x>a какое
будет иметь решение?
(-arccos a+2Пк ≤ х≤arccos+2Пк, кєZ)
Нереванство cos x<a какое будет иметь
решение?
(arccos a+2Пк ≤ х≤-arccos+2Пк, кєZ).
Такое решение имеет значение при
a  1, a  0.
А если |a|>1, сколько тогда решений
будет иметь уравнение cosх=а?
Поставим уравнение * в уравнение cos
x=a.
Таким образом мы получаем, что
cos(arccos a)= а, если a  1, a  0.
Где общие выводы по решению
неравенств?
Обозначим arccos a=х. По определению
арккосинуса числа имеем:
1) 0≤ х≤П;
2) cos x=a;
В первом случае, по свойствам неравенств
получаем -П≤- х≤0, прибавим П:
- Не будет иметь
решений.
0≤П- х≤П;
Во втором случае, по формуле
приведения найдем значение cos(П-х)=
-cos(х)=-а.
Найдем по определению arcos(-a)=П-х=
П-arccos а.
Таким образом мы получили свойство
арккосинуса:
arcos(-a)= П-arccos а.
Где упражнения на отработку?
3) Рефлексивно-оценочный этап
Действия учителя
Действия ученика
Записи на доске и в
тетрадях
С каких традиционных
вопросов начинается этот
этап?
Что называется arcos числа
а?
При каких значениях а
имеет смысл равенство arcos
a=x?
Какое свойство arcos a вы
узнали на этом уроке?
Домашнее задание: № 569, №571(1)
Домашнее задание.
Вычислить:
571(1).
Где неравенства?