Временные и операторные методы анализа электрических цепей

Министерство транспорта и связи Украины
Государственный департамент по вопросам связи
Одесская национальная академия связи им. А. С. Попова
Кафедра теории электрических цепей
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И СИГНАЛОВ
Модуль 3
Временные и операторные методы
анализа электрических цепей
Часть 1 и 2
Учебно-методическое пособие
для бакалавров
Телекоммуникация
Телекоммуникационные системы и сети
Информационные сети связи
Одесса 2008
2
УДК 621372
План УМИ 2007/08 уч. г.
Арбузникова Н.Ф., Калашников А.Ю., Шкулипа А.В. Временные и
операторные методы анализа электрических цепей: Учебное пособие по
дисциплине «Теория электрических цепей и сигналов». – Одесса: ИЦ ОНАС
им. А. С. Попова, 2008 . – Ч. 1 и 2. – 92 с.
Учебное пособие содержит две части. В первой части дано краткое
содержание теоретического материала модуля 3. Рассмотрены временные и
операторные методы анализа электрических цепей. Часть вторая посвящена
методическим указаниям к выполнению лабораторных работ. В приложениях
представлены тест-вопросы для выявления готовности к выполнению
лабораторных работ, а также примеры решения типовых задач.
ОДОБРЕНО
к изданию
на заседании кафедры
теории электрических цепей
Протокол № 1
от 28.08.2008 г
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ 1 Временные и операторные методы анализа электрических цепей…...4
Содержание модуля 3………………………………………………………………..4
1 Временные методы анализа электрических цепей……..……..………...……5
1.1 Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные
положения и правила…………...........……………………………………5
1.2 Расчет переходных процессов классическим методом………………...7
1.2.1 Основные положения расчета……………………………...……….7
1.2.2 Цепи первого порядка……………………………………….............8
1.2.3 Цепи второго порядка.......................................................................14
1.3 Временные функции электрических цепей..………………………..….19
1.3.1 Виды временных функций………………………………………...19
1.3.2 Определение отклика методом наложения.....................................20
1.3.3 Определение отклика при произвольных воздействиях.....….......22
1.3.4 Дифференцирующие и интегрирующие цепи.................................24
2 Операторные методы анализа линейных электрических цепей......………..26
2.1 Прямое преобразование Лапласа и его свойства........……..………......26
2.2 Обратное преобразование Лапласа. Теорема разложения.....…..……..30
2.3 Законы теории электрических цепей в операторной форме. Схемы
замещения двухполюсных элементов...........................................….......32
2.4 Операторные передаточные функции электрических цепей и их
свойства.......................................................................................................35
2.4.1 Виды операторных передаточных функций…………...………….35
2.4.2 Свойства операторных передаточных функций………..………...36
2.5 Связь временных, частотных и операторных функций цепей и
сигналов......................................................................................................37
2.6 Анализ цепей с обратной связью. Критерии устойчивости……....…....40
2.6.1 Цепи с обратной связью……………………………………………40
2.6.2 Критерии устойчивости…………………………………………….43
2.7 Условия стационарности автоколебаний………………………………..45
Контрольные вопросы……………………………………………………………..47
Список литературы.......………………………………............................………….48
ЧАСТЬ 2 Методические указания к выполнению лабораторных работ..…...….49
Лабораторная работа № 3.1а Исследование переходных процессов в цепях
первого порядка...........................................…....49
Лабораторная работа № 3.1б Исследование переходных процессов в цепях
второго порядка...........................................…....51
Лабораторная работа № 3.2 Исследование частотных и временных
характеристик электрических цепей первого
порядка.................................................................54
Лабораторная работа № 3.3 Исследование отклика цепи при различных
видах ступенчатого воздействия….........……..59
Лабораторная работа № 3.4 Исследование устойчивости электрической
цепи...……………………..…………………….65
ПРИЛОЖЕНИЕ А Тест-вопросы к лабораторным работам.………..…….....…68
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Примеры решения задач по темам модуля 3.........................73
4
ЧАСТЬ 1
′ и операторные методы
Временные
анализа электрических цепей
Содержание модуля 3
Семестр
Часов
Лк
22
Пр
12
Лб
12
Сам. раб.
30
Кредитов
2
∑ час
Контроль
46 + 30 = 76 экзамен
Темы лекций
1 Временны9е методы анализа электрических цепей:
– классический метод расчета процессов в электрических цепях;
– временны9е функции цепей, переходная и импульсная характеристики;
– нахождение отклика цепи на воздействия произвольной формы, интегралы
наложения.
2 Операторные методы анализа процессов в электрических цепях:
– преобразование сигналов по Лапласу;
– операторные функции, их свойства;
– операторные методы расчета цепей;
– анализ цепей с обратной связью;
– критерии устойчивости цепей.
Лабораторные работы
1
2
3
4
5
Исследование переходных процессов в цепях первого порядка.
Исследование переходных процессов в цепях второго порядка.
Исследование временны9х и частотных характеристик цепей первого порядка.
Исследование отклика цепи9 при различных видах ступенчатого воздействия.
Исследование устойчивости электрической цепи.
Комплексные задания
1 Расчет переходных процессов в ЛЭЦ классическим методом.
2 Расчет переходных процессов в ЛЭЦ операторным методом.
3 Расчет временных характеристик электрической цепи. Определение отклика
ЛЭЦ методом наложения (интеграл Дюамеля).
5
' МЕТОДЫ АНАЛИЗА
1 ВРЕМЕННЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В предыдущих разделах курса (модули 1 и 2) рассматривались
электрические цепи, в которых напряжения и токи элементов были неизменны
во времени (це9пи при постоянных воздействиях), либо были периодическими
функциями времени (це9пи при гармонических или периодических
воздействиях). При таких воздействиях состояние (режим) цепи называют
установившимся, или стационарным. Если электрическая цепь подвергается
постоянному или периодическому воздействию, при котором токи и
напряжения в элементах будут непериодическими функциями, то такая цепь
находится в переходном, или нестационарном состоянии (режиме).
1.1 Переходные процессы в линейных электрических цепях.
Основные положения и правила
Отличием временных методов анализа от рассмотренных ранее (в модулях
1 и 2) является то, что параметры цепи (токи, напряжения или их отношения)
являются функциями времени и их можно определить в любой фиксированный
момент. При этом необходимо избрать начальную точку отсчета. Временные
методы применяются при анализе переходных процессов в электрических
цепях, а также при определении отклика тракта передачи на воздействия
различной формы.
Рассмотрим способы расчета цепей в переходном режиме.
Любое скачкообразное изменение параметров цепи, ее конфигурации,
подключения или отключения источников принято называть коммутацией.
Считают, что коммутация происходит мгновенно (t = 0).
Коммутация осуществляется с помощью идеального ключа К (рис. 1.1),
сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно велико, а в
замкнутом – равно нулю.
Теоретически переходный процесс длится
К
бесконечно (tпп → ∞), но практически время
переходного процесса конечно и зависит от
а)
параметров цепи.
Стационарный
режим
цепи,
К
предшествующий
коммутации,
называют
“старым” стационарным режимом (ССР), а
б)
стационарный режим, имеющий место после
окончания переходного процесса, называют Рисунок 1.1– Коммутатор:
“новым” стационарным режимом (НСР). а – разомкнут; б – замкнут
Режим перехода цепи из ССР в НСР называют
переходным (ПР).
Если коммутация в цепи осуществляется при t = 0, то последнее мгновение
перед коммутацией обозначается t = 0–, а первое мгновение после коммутации –
t = 0+. На временной оси состояние цепи можно изобразить так, как показано на
6
рис. 1.2, где tуст – практическое время завершения переходного процесса,
отличающееся от теоретического tпп → ∞.
момент
коммутации
ССР
НСР
ПР
0
t
tуст
t(0 –)
t(0+ )
Рисунок 1.2 – Временны9е режимы состояния цепи
При расчетах переходных процессов используют два правила коммутации,
вытекающие из закона сохранения энергии. Первое правило: ток в
индуктивности iL не может изменяться скачком в момент коммутации,
т.е.
(1.1)
iL(0–) = iL(0+),
что обусловлено невозможностью скачкообразного изменения магнитного поля
индуктивности при коммутации.
Второе правило: напряжение на емкости uС не может изменяться
скачком в момент коммутации, т. е.
(1.2)
uС (0–) = uС (0+),
что обусловлено невозможностью скачкообразного изменения электрического
поля емкости в момент коммутации.
Значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях до начала
коммутации образуют начальные условия состояния цепи, которые называют
независимыми, так как они не зависят от коммутации в цепи.
Все значения токов и напряжений после коммутации, а также производные
всех токов и напряжений по времени называют зависимыми условиями.
Независимые начальные условия цепи различают нулевые, когда iL(0–) = 0
или uС (0–) = 0, и ненулевые, когда iL (0–) ≠ 0 и uС (0–) ≠ 0, что обусловлено
энергетическим состоянием цепи. Зависимые условия определяются с помощью
законов Кирхгофа и правил коммутации.
Переходные процессы во многих устройствах телекоммуникации являются
естественным состоянием цепи, например в системах автоматического
регулирования, в релейных системах. В то же время в ряде случаев переходные
процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как
возникновение очень больших токов или напряжений, особенно в силовых
установках. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа
переходных процессов в электрических цепях.
Если цепь имеет нулевые начальные условия, то согласно правилу
коммутации в индуктивности, в момент коммутации ток в индуктивности
отсутствует, а это означает, что при t = 0+ сопротивление индуктивности
бесконечно велико. Бесконечно большое сопротивление любого элемента
7
означает разрыв (холостой ход) в цепи. Таким образом, индуктивность при
t = 0+ эквивалентна разрыву в цепи. Согласно правилу коммутации в емкости, в
момент коммутации (t = 0+) в цепи с нулевыми начальными условиями емкость
эквивалентна короткому замыканию. При ненулевых начальных условиях
можно утверждать, что:
1) индуктивность при t = 0+ эквивалентна источнику тока с задающим
током, равным току в индуктивности перед коммутацией;
2) емкость при t = 0+ эквивалентна источнику напряжения с задающим
напряжением, равным напряжению на емкости перед коммутацией.
1.2 Расчет переходных процессов
классическим методом
1.2.1 Основные положения расчета
В основе классического метода расчета переходных процессов лежит
составление интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений
токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа.
Обычно
интегро-дифференциальные
уравнения
сводят
к
одному
дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно
выбранной переменной. Для удобства решения дифференциальные уравнения
составляют относительно переменной iL или uС, так как эти величины
подчиняются правилам коммутации (1.1) и (1.2).
Порядок
дифференциального
уравнения
соответствует
порядку
электрической цепи, в которой имеет место переходный процесс, т. е. порядок
дифференциального уравнения определяется количеством независимых
накопителей энергии (индуктивностей и емкостей). Обозначим переменную iL
или uС через x(t). Дифференциальное уравнение n-го порядка, описывающее
переходной процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием f(t),
имеет вид
d nx
d ( n−1) x
dx
an n + a( n−1) ( n−1) + K + a1
+ a 0 = f (t ) ,
dt
dt
dt
(1.3)
где an, а(n–1), …, a1, a0 – постоянные вещественные коэффициенты,
которые зависят от параметров цепи (R, L, C).
Дифференциальное уравнение (1.3) является линейным неоднородным
уравнениям n-го порядка. Его решение представляет собой сумму общего
решения xобщ однородного дифференциального уравнения и частного решения
x част неоднородного дифференциального уравнения
x = xобщ + xчаст .
В теории электрических цепей общее решение xобщ (ток iL или
напряжение uС) называют свободной составляющей xсв , так как оно
определяет свободные процессы в цепи без участия источника f (t ) . Частное
8
решение xчаст называют принужденной составляющей xпр , так как оно
зависит от действия источника f (t ) . Таким образом, решение уравнения (1.3)
принимает вид
n
x ( t ) = x св ( t ) + x пр ( t ) =
∑
A k e p k t + x пр ( t ),
(1.4)
k =1
где Аk – k-тая постоянная интегрирования, значение тока или напряжения
в момент времени t = 0;
pk – k-тый корень характеристического уравнения, составленного по
дифференциальному (1.3) и имеющего вид
an p n + a(n−1) p (n−1) + K + a1 p + a0 = 0 .
1.2.2 Цепи первого порядка
В цепях первого порядка переходные процессы описываются
дифференциальными уравнениями первого порядка
dx
a1 + a0 = f (t ) .
dt
Рассмотрим расчет цепей на
K
примерах.
R
Пример 1. Подключение RL
iL(t)
цепи к источнику постоянного
U
uL(t) напряжения. Из рисунка 1.3
L
следует, что до коммутации ключ
К разомкнут, поэтому
iL(0–) = 0,
(1.5)
Рисунок 1.3 – Подключение RL цепи
т. е. цепь находится в нулевом
к источнику напряжения
начальном состоянии.
После замыкания ключа (коммутации) в цепи начинается переходный
процесс. В качестве переменной дифференциального уравнения выберем ток в
цепи, который совпадает с током в индуктивности iL(t), и составим уравнение
по второму закону Кирхгофа u R + u L = U , или в дифференциальной форме
di
RiL + L L = U .
(1.6)
dt
Решение уравнения (1.6) запишем по
R
форме (1.4), т. е.
+
iL (t) = iпр + iсв,
(1.7)
U
iпр
где iпр определяем в НСР цепи (рис. 1.4):
U
iпр = ,
R
Рисунок 1.4 – Эквивалентная
а iсв определим как общее решение
схема замещения цепи рис. 1.3
дифференциального уравнения первого
при t → ∞
порядка:
iсв = Ae pt .
(1.8)
9
В (1.8) А – постоянная интегрирования, которая находится на
основании правила коммутации (1.1) и начального условия цепи (1.5)
iL(0–) = iL(0+) = iпр + A = 0,
откуда
U
A = −iпр = − .
R
В выражении (1.8) р – корень характеристического уравнения
R + pL = 0,
откуда
R
p=− .
L
При расчетах удобно пользоваться величиной
1
τ= ,
(1.9)
p
которую называют постоянной времени цепи,
L
τ= .
(1.10)
R
Таким образом, ток iL(t) при t ≥ 0+, т. е. в любой момент после
коммутации,
t
R
R
− 
− t U 
U U − L t U 
τ
L
i L (t ) = − e =
1 − e  = 1 − e .
(1.11)
 R

R R
R 



Определим напряжение на резисторе R и индуктивности L в переходном
режиме:
t

− 
u R (t ) = RiL (t ) = U 1 − e τ ,
(1.12)




t
R
−
− t
di (t )
u L (t ) = L L = Ue L = Ue τ .
(1.13)
dt
Формулам (1.11)...(1.13) соответствуют временные диаграммы этих
величин, приведенные на рис. 1.5 и 1.6.
uR(t), uL(t)
uR(t)
U
0,633 U
iL(t)
U
R
uL(t)
0,633
U
R
0,367 U
0
t /τ
4
1
2
3
Рисунок 1.5 – Временные
диаграммы напряжений цепи
0
4 t /τ
1
2
3
Рисунок 1.6 – Временн áя
диаграмма тока цепи
10
Из рис. 1.5 видно, что при любом значении t сумма напряжений uR и uL
составляет величину входного напряжения U, что подтверждает закон
Кирхгофа для контура.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных
условиях в момент t(0+) индуктивность ведет себя как бесконечно большое
сопротивление (разрыв цепи), а при t → ∞ – как бесконечно малое
сопротивление (короткое замыкание цепи).
В разветвленной RL цепи постоянная времени определяется
L
τ=
,
Rэкв
где Rэкв – эквивалентное сопротивление цепи относительно точек
подключения индуктивного элемента, при этом источники в цепи после
коммутации (t ≥ 0+) заменяются своими внутренними сопротивлениями, а
постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная
составляющая iсв изменяется в “e” раз. Для доказательства сравним два
значения iсв для двух моментов времени, взятых через интервал t = τ:
iсв (t )
=
iсв (t + τ)
−
Ae
−
t
τ
(t + τ )
τ
−
=
Ae
−
t
τ
t
τ e −1
= e ≈ 2,72.
Ae
Ae
Таким образом, величина τ
R1
i1
характеризует крутизну временной
iL
характеристики переходного процесса
L
в цепи. Через (4…5)τ переходный
+
R2
процесс практически заканчивается
K
–5
(е
= 0,0067). В свою очередь,
R3
U
величина τ зависит от величин
элементов цепи (1.10), изменяя
Рисунок 1.7 – Отключение цепи
которые можно менять практическое
время переходного процесса (tуст на
от источника напряжения
рис. 1.2).
Пример 2. Отключение разветвленной RL цепи (рис. 1.7) от источника
постоянного напряжения.
При t = 0 ключ К замыкается, отключая при этом от RL цепи источник
напряжения U. Определим начальное
iпр
условие для тока в индуктивности
R2
R2
R3
i L (0 − ) = i1
,
R2 + R3
где
U
i1 =
.
R2 R3
Рисунок 1.8 – Эквивалентная
R1 +
схема замещения цепи рис. 1.7
R2 + R3
в НСР при t → ∞
11
Определим принужденную составляющую тока iпр в индуктивности L (в
НСР) из схемы рис. 1.8, откуда видно, что iпр = 0, так как в этой цепи нет
источника электрической энергии.
Определим свободную составляющую тока iсв в индуктивности L:
iсв = Ae pt ,
где
R
1
p = − = − экв ,
τ
L
а Rэкв определим согласно правилам, изложенным выше. Для этого изобразим
схему рис. 1.7 после коммутации, источник U заменим коротким замыканием и
относительно точек включения индуктивности L (точки а и б) рис. 1.9
определим Rэкв. В результате получим схему, изображенную на рис. 1.9.
Rэкв = Rаб = R3 .
Постоянную интегрирования А определим таким же образом, как и в
примере 1:
i L ( 0 − ) = i L (0 + ) =
а
= iпр + A =
R2
U
,
R2 R3 R2 + R 3
R1 +
R2 + R3
R2
б
R3
откуда
A=
U
R2
=
R2 R3 ( R2 + R3 )
R1 +
R2 + R3
Рисунок 1.9 – Схема замещения
цепи для определения Rэкв
(1.14)
U R2
.
R1 (R2 + R3 ) + R2 R3
Таким образом, получим выражение для iL(t) в переходном режиме:
t
R
R
−
− экв t
− экв t
U ⋅ R2
τ
i L (t ) =
e L = i L (0 − )e L = i L (0 − )e .
(1.15)
R1 ( R2 + R3 ) + R2 R3
Напряжение на индуктивности L:
Rэкв
R
t
− экв t
−
diL (t )
L
 Rэкв  − L t
u L (t ) = L
= Li L (0 − ) −
= −iL (0 − ) Rэкв e
= −i L (0 − ) Rэкв e τ . (1.16)
e
dt
L


Выражениям (1.15) и (1.16) соответствуют графики рис. 1.10 и 1.11:
=
12
uL(t)
iL(t)
iL(0-)
0
1
2
3
4
t/τ
–0,367iL(0–)Rэкв
0,367iL(0–)
0
t/τ
1
2 3 4
Рисунок 1.10 – Диаграмма тока
индуктивности
– iL(0-)Rэкв
Рисунок 1.11 – Диаграмма
напряжения индуктивности
Пример 3. Подключение RC цепи к источнику постоянного напряжения
(рис. 1.12).
Из рис. 1.12 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому
(1.17)
uC (0–) = 0,
т.е. цепь находится в нулевом
R
K
iC
начальном состоянии.
+
После коммутации (замыкания
uC ключа К) начинается переходный проU
C
цесс. В качестве переменной дифференциального
уравнения
выберем
Рисунок 1.12 – Подключение
напряжение на емкости uC и составим
RC цепи к источнику напряжения
уравнение по закону Кирхгофа:
R iC + uC = U.
(1.18)
Если учесть, что
du
iC = C C ,
dt
то уравнение (1.18) примет вид
du
RC C + uC = U .
(1.19)
dt
Решение уравнения (1.19) найдем в форме (1.4):
uC (t) = uCпр + uCсв,
где uCпр определяется в НСР цепи
рис. 1.12 (рис. 1.13):
іC = 0; uR = 0, uCпр = U.
Свободную
составляющую
uCсв
определим
как
общее
решение
дифференциального уравнения первого
порядка:
u Cсв = Ae pt ,
(1.20)
iC
+ U
R
uCпр=U
Рисунок 1.13 – Эквивалентная схема
замещения RC цепи при t → ∞
(1.21)
где р – корень характеристического уравнения:
13
RCp + 1 = 0,
1
.
RC
Согласно (1.9), постоянная времени RC цепи
1
τ = = RC .
p
Для разветвленной RC цепи τ = RэквC, где Rэкв определяется согласно правилам,
изложенным выше для RL цепи.
Постоянную интегрирования А определим из уравнения (1.4) при t = 0+,
учитывая правило коммутации (1.2) и начальное условие (1.17):
откуда p = −
uC (0–) = uC (0+) = uCпр+ A = 0, откуда A = – uCпр = – U.
Таким образом,
uC (t ) = U − Ue
−
1
t
RC
t

− 
τ

=U 1− e ,




(1.22)
ток в цепи
−
iC (t ) = C
t
τ
duC Ue
=
,
dt
R
(1.23)
напряжение на резисторе R
u R (t ) = iC (t ) R = Ue
−
t
τ.
(1.24)
Формулам (1.22)...(1.24) соответствуют временные диаграммы этих
величин на рис. 1.14 и 1.15.
uC(t)
uC, uR
iC(t)
U
R
U
uR(t)
0
0
t/τ
Рисунок 1.14 – Временные
диаграммы напряжений цепи
1 2 3
4
t/τ
Рисунок 1.15 – Временная
диаграмма тока цепи
1 2 3
4
Из рис. 1.14 видно, что в любой момент времени выполняется закон
Кирхгофа для контура
uR(t) + uC(t) = U.
14
1.2.3 Цепи второго порядка
При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии (L и C)
переходные процессы в ней описываются дифференциальным уравнением
второго порядка. Данную цепь называют цепью второго порядка. Примером
цепи второго порядка является последовательный колебательный контур (рис.
1.16, а).
Составим
для
цепи
Rг
R
R
K
второго порядка дифференK
циальное уравнение, описы+ uRг 1
2
2 uR i
вающее переходный процесс в
0
0 +
U
u
L
L L
цепи после коммутации (пере+ C
uC(0–)
C uC
–
ключение с К0-1 на К0-2). После
–
–
i
переключения создается конб)
а)
тур, содержащий последовательное соединение элементов
Рисунок 1.16 – Цепь второго порядка:
R, L, C (рис. 1.16, б). Для этого
а – до коммутации; б – после коммутации
контура
имеет
место
уравнение
uR + uL – uC = 0 .
В качестве переменной положим ток iC = i R = iL = i , тогда это уравнение
можно представить как
di 1
(1.25)
iR + L + ∫ idt = 0 ,
dt C
так как для схемы рис. 1.16, б
du
iC = −C C ,
dt
откуда
1
uC = − ∫ iC dt .
C
Продифференцируем уравнение (1.25):
1
Li ′′ + Ri ′ + i = 0,
(1.26)
C
и разделим все слагаемые уравнения (1.26) на L:
R
1
i ′′ + i ′ +
i =0.
(1.27)
L
LC
Введем обозначение
R
= 2δ ,
L
где δ – коэффициент затухания, а
1
= ω 02 ,
LC
где ω0 – собственная (резонансная) частота контура.
15
Тогда уравнение (1.27) примет вид
i ′′ + 2δi ′ + ω02 i = 0 .
(1.28)
Решение уравнения (1.28):
i = iпр + iсв;
так как iпр = 0, то
i = i св = A1e p1t + A2e p2t .
(1.29)
Решив характеристическое уравнение второй степени
p 2 + 2δp + ω 02 = 0,
найдем корни
p1, 2 = −δ ± δ 2 − ω02 .
(1.30)
Значения корней p1 и p2 зависят от соотношения коэффициента затухания δ
и частоты ω0.
Так, если
δ > ω0 ,
(1.31)
то оба корня p1 и p2 отрицательны, вещественны и различны.
Если
δ = ω0 ,
(1.32)
то p1 = p2 = – δ = p, т. е. корни равны и отрицательны.
Если
δ < ω0 ,
(1.33)
то корни p1 и p2 – комплексно-сопряженные:
p1, 2 = – δ ± j ωсв,
(1.34)
2
2
где ωсв = ω0 − δ – частота свободных колебаний.
В зависимости от вида корней p1 и p2 различают три режима переходных
процессов.
Апериодический режим. Условием возникновения апериодического
режима является (1.31):
R
1
>
2L
LC
или
L
R>2
,
C
L
где
= ρ – волновое сопротивление контура. Величина 2ρ называется
C
L
критическим сопротивлением Rкр, т. е. Rкр = 2ρ = 2
.
C
Таким образом, условие (1.31) можно заменить условием
R > Rкр..
При этом свободная составляющая iсв определяется согласно (1.29). В
выражении (1.29) корни p1 и p2 уже найдены согласно (1.30), а для определения
16
постоянных интегрирования А1 и А2 составим систему из двух уравнений при
t= 0+:
iсв(0+) = i(0+) = A1+ A2 = i(0–) = 0,
откуда А1 + А2 = 0 – первое уравнение. Второе получим, продифференцировав
выражение (1.29), а затем переписав его при t = 0+:
i 'св (t ) = i ' (t ) = p1 A1e p1t + p 2 A2 e p2t ,
откуда i ′(0 + ) = p1 A1 + p 2 A2 – второе уравнение.
Итак, получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными А1 и А2:
 A1 + A2 = 0, A1 = − A2 ;
(1.35)

′
p
A
+
p
A
=
i
(
0
).
 1 1
2 2
+
Прежде, чем решать систему (1.35), определим из второго закона
Кирхгофа для колебательного контура (см. рис. 1.16) значение i ′(0 + ) . Для этого
уравнение (1.25) перепишем при t(0+ ):
Ri (0 + ) + Li ′(0 + ) + u C (0 + ) = 0,
или
Li ′(0 + ) − U = 0,
так как i (0 + ) = iL (0 − ) = i L (0 + ) = 0 .
Тогда
U
i ′(0 + ) = .
L
Решив систему (1.35), определим А1 и А2:
U
U
A1 =
; A2 = −
.
2
2
2
2
2 L δ − ω0
2 L δ − ω0
Таким образом, ток i, согласно (1.29), запишем следующим образом:
U
p t
i=
e 1 − e p2t ;
(1.36)
2
2
2 L δ − ω0
напряжение на резисторе R
Uδ
pt
p t
u R = Ri =
e 1 −e 2 ,
δ 2 − ω02
напряжение на индуктивности L:
(
)
(
uL = L
)
di
U
=
p1e p1t − p 2 e p2t ,
2
2
dt 2 δ − ω0
(
)
(1.37)
напряжение на емкости С:
uC = u R + u L =
U
2
ω 02
(p e
1
p2 t
)
− p 2 e p1t .
(1.38)
2 δ −
На рис. 1.17 изображены временные диаграммы тока i (а), напряжения uC
(б) и напряжения uL (в) в переходном режиме. Графики построены по
выражениям (1.36), (1.37) и (1.38) соответственно.
17
Критический режим. Условием возникновения критического режима
является соотношение (1.32), из которого вытекает R = Rкр. При этом свободная
составляющая iсв определяется как
iсв(t) = (B1 + B2 t) ept,
где В1 и В2 – неизвестные постоянные интегрирования, которые можно
определять аналогично тому, как это выполнено в апериодическом переходном
режиме:
U
В1= 0; В2 = .
(1.39)
L
С учетом (1.39), выражение для тока i в переходном режиме будет иметь
вид
U
i = iсв = te −δt ; (1.40)
L
i
напряжение на
U
резисторе R
А1
e p1t
UR −δt
2 L δ 2 − ω 02
te ;
u R = iR =
а)
L
0
напряжение на
t
индуктивности L:
U
А2
di
−δt
−
e p2t
;
uL = L = Ue (1− δt)
2
2
2 L δ − ω0
dt
uC
(1.41)
U
А
−
p e p1t
1
напряжение на емкости
2
2 2
2 δ − ω0
С:
0
uС = u R + u L =
б)
(1.42)
t
−δt
= Ue (1 + δt ).
Графики,
построенные по выражениям (1.40)...(1.42),
аналогичны тем же графикам, построенным в
апериодическом режиме.
Колебательный
режим. Условием возникновения
колебательного режима является условие (1.33),
которое можно преобразовать в
R < Rкр.
А2
U
2 δ 2 − ω02
uL
А1
в)
U
0
−
U
2 L δ2 − ω02
p1e p 2 t
p2e p 2 t
t
А2
U
2L δ2 − ω02
p1e p1t
Рисунок 1.17 – Примерные временные диаграммы:
а –тока контура; б – напряжения емкости;
в – напряжения индуктивности
18
В этом случае корни p1 и p2 (1.34) являются комплексно-сопряженными,
выражение δ 2 − ω 2 преобразуется в ± jωсв , а свободную составляющую iсв
(1.29) удобнее преобразовать следующим образом:
iсв = A1e p1t + A2 e p 2 t =
=
U
2L δ
2
− ω02
(e
p1t
)
− e p2t =
U
U
e ( − δ+ jωсв )t − e ( − δ− jωсв )t =
e −δt e jωсвt − e −δt e − jωсвt =
2 L jωсв
2 jωсв L
(
)
(
)
U e −δt jωсвt
U e −δt
U e −δt
− jωсвt
=
e
−e
=
2 j sin ωсвt =
sin ωсвt = Ie −δt sin ωсвt ,
2 jωсв L
2 jωсв L
ωсв L
(
)
где
I=
U
.
ωсв L
Так как iпр = 0, то ток в контуре
i(t) = iсв(t) = I e– δt sin ωсв t.
(1.43)
Напряжение на емкости C (см. рис. 1.16, б) можно получить также из
выражения (1.38), записанного для апериодического режима, преобразовав его
в другую форму, аналогично тому, как это сделано здесь для тока i.
Эти преобразования предлагается выполнить самостоятельно.
Таким же образом можно получить выражения для uR и uL.
Выражению (1.43) соответствует график тока i(t) (рис. 1.18).
График тока i представляет
i
Ie– δt
собой “затухающую” синусоиду,
sin ωсв t
так как это затухающая функция с
i(t)
I
периодическим повторением ну1
лей. Поэтому есть смысл говорить
о периоде изменении тока i(t). Этот
период носит название периода
0
t свободных колебаний Tсв, причем
Tсв
2π
T
=
.
св
–1
ωсв
– Ie– δt
–I
Сама же функция i(t) не является
строго периодической, так как
Рисунок 1.18 – Квазигармоническое
амплитуды
не
остаются
колебание
постоянными
в
последующих
периодах. Такую функцию можно называть квазипериодической.
Проанализируем, во сколько раз изменится величина тока i через t = Tсв.
Для этого сравним два значения тока i:
Ie − δt sin ωсв t
i (t )
=
= e δTсв .
−δ(t + T )
i(t + Tсв )
св sin (ω t + T )
Ie
св
св
19
Величину e δTсв называют декрементом колебания ∆:
∆ = e δTсв .
(1.44)
Декремент колебания ∆ характеризует скорость убывания процесса через
Tсв, а коэффициент затухания δ показывает зависимость убывания процесса от
величины сопротивления R (чем больше R, тем быстрее процесс).
Если прологарифмировать выражение (1.44), то получим выражение
ln e δTсв = δTсв ,
(1.45)
которое называют логарифмическим декрементом колебания.
В заключение следует отметить, что с ростом порядка цепи существенно
возрастает трудность определения постоянных интегрирования. Поэтому для
расчета переходных процессов в цепях выше второго порядка пользуются
другими методами расчета.
1
2
3
4
5
6
7
Алгоритм анализа электрической цепи классическим методом
Определяют независимые начальные условия цепи при t < 0 (старый
стационарный режим).
Определяют принужденную составляющую решения при t → ∞ (новый
стационарный режим).
Записывают полное решение искомой функции (ток iL или напряжение uC)
согласно (1.4) в переходном режиме.
Определяют свободную составляющую решения согласно (1.8) или (1.43) в
зависимости от того, какого порядка цепь и какого типа режим в цепях
второго порядка.
На основании пунктов 2 и 4 записывают полное решение искомой функции.
С помощью законов Кирхгофа и Ома определяют остальные токи и
напряжения цепи (при необходимости).
Производят расчет и построение временных диаграмм.
'
1.3 ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.3.1 Виды временных функций
Переходная функция цепи h(t). Переходной функцией h(t) цепи
называют отклик цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции
1(t) (функция Хэвисайда).
В зависимости от типа воздействия и отклика цепи переходная функция
цепи h(t) может быть четырех видов:
1 huu (t ) – переходная функция напряжения, величина безразмерная;
2 hui (t ) – переходное сопротивление цепи, имеет размерность Ом;
3 hiu (t ) – переходная проводимость цепи, имеет размерность сименс (См);
4 hii (t ) – переходная функция тока, величина безразмерная.
20
Импульсная функция цепи g(t). Импульсной функцией цепи g(t)
называют отклик цепи на воздействие в виде δ-функции (функция Дирака) δ(t ) .
Согласно рисунку 1.19 можно записать:
∞ при t = 0,
δ(t ) = 
(1.46)
δ (t )
 0 при t ≠ 0.
Импульсная функция g(t) также
бывает четырех видов в зависимости от
типа воздействия и отклика цепи: g uu (t ) ,
g ui (t ) , g iu (t ) и g ii (t ) .
∞
0
t
Рисунок 1.19 – Изображение
δ-функции
Связь переходной и импульсной
функций цепи. δ-импульс δ(t ) является
производной
единичной
ступенчатой
функции:
δ(t ) = 1′(t ) ,
(1.47)
хотя это утверждение требует специального доказательства [1].
Вследствие линейности электрических цепей и в силу выражения (1.47)
есть основание полагать, что импульсная функция может быть получена как
производная переходной функции
g (t ) = h′(t ) + h(0) .
(1.48)
Этой формулой пользуются, если переходная функция h(0) ≠ 0 при h(0) = 0,
g (t ) = h′(t ) .
Формула (1.48) выражает связь переходной и импульсной функций цепи, а
также позволяет определить импульсную функцию g(t) по известной
переходной функции h(t). Для нахождения переходной функции h(t) можно
использовать как классический, так и операторный методы.
Для построения графика импульсной функции многие авторы [1, 4]
настоятельно рекомендуют нормировать импульсную функцию, так как δимпульс δ(t ) имеет размерность с–1, поэтому нормирование производят по
времени. Примеры рассмотрены в приложении Б.
1.3.2 Определение отклика методом наложения
Известно, что любой тракт передачи можно представить в виде
четырехполюсника, на вход которого
i1(t)
i2(t)
подается информационный сигнал.
h(t)
u2(t)
Пройдя через тракт, этот сигнал u1(t)
g(t)
появляется на выходе. На практике
зачастую
требуется
определить
Рисунок 1.20 – Тракт передачи
параметры сигнала на выходе (отклика).
с временными параметрами
Чтобы определить параметры отклика,
21
необходимо знать (определить) свойства тракта передачи. При временном
анализе цепей все функции (входные, выходные) являются функциями времени
(t) (рис. 1.20).
Если
u1 (t ) = 1(t ) ,
то
u 2 (t ) ≡ h(t )
по
С
определению; если u1 (t ) = U 1 ⋅ 1(t ) , то в силу
линейности цепи u 2 (t ) = U 1 ⋅ h(t ) . Таким образом,
u1(t)
u2(t)
R
отклик можно определить, зная переходную
функцию цепи. Если воздействием оказывается
n
сложная функция u1 (t ) = ∑U 1k (t − t k ) , то, исходя
Рисунок 1.21 – RC
четырехполюсник
k =0
из линейности цепей, можно применить принцип
суперпозиции и записать отклик как сумму
u1(t)
откликов на каждое элементарное воздействие
U
1
n
u 2 (t ) = ∑U 1k (t − t k ) h(t − t k ) . (1.49)
k =0
t
0
tи
Рисунок 1.22 – Видеоимпульс
Проиллюстрируем
примере.
это
на
простом
Пример 1. Определить отклик цепи рис. 1.21 на сигнал в виде П-образного
импульса напряжения рис. 1.22 (видеоимпульс)
t < 0;
 0,

u1 (t ) = U1 , 0 ≤ t ≤ tи ;
 0,
t > tи .

Решение
1
Определим
переходную
функцию напряжения huu (t ) цепи
рис. 1.21. По определению huu (t ) –
отклик u 2 (t ) при u1 (t ) = 1(t ) . Можно
воспользоваться
классическим
методом. В примере 3 (см. раздел
t
−
τ
e
(1.24),
1.2.1) u R (t ) = U
положить U = U 1 = 1 , то
u R (t ) ≡ huu (t ) ≡ 1 e
−
если
t
τ,
1
– постоянная
RC
времени цепи. Положим, что t и = τ .
где
τ=
u1 (t )
U1
а)
t
0
U1
u1 (t )
tи
u1(1) (t )
б)
t
0
tи
u1( 2) (t )
– U1
Рисунок 1.23 – П-образный импульс (а)
и его представление в виде
двух ступенчатых функций (б)
22
2 Исходя из выражения (1.49) можно определить отклик u2 (t ) , применив
метод наложения. Воздействие в виде П-импульса можно представить как
сумму двух ступенчатых разнополярных функций, сдвинутых по времени (рис.
1.23):
 0, t < 0;
u1(1) (t ) = 
U 1, t ≥ 0;
 0, t < t и ;
u1( 2) (t ) = 
−U 1, t ≥ t и .
u1 (t ) = u1(1) (t ) + u1( 2) (t ) = U 1 (t ) − U 1 (t − t и ). Отклик u2 (t ) будет содержать две
составляющие:
1) при 0 ≤ t < t и
u 2 (t ) = U 1 ⋅ h(t ) = U 1 e −t / τ ;
2) при t ≥ t и
u 2 (t ) = U 1 ⋅ h(t ) − U 1 ⋅ h(t − t и ) ,
где h(t − t и ) = 1e
−
t − tи
τ
u 2 (t ) = U 1 e
−
=e
t
τ
−
t
t
+и
τe τ
− U1 e
−
, тогда
t tи
τe τ
= U1 e
−
t
τ
= U1 e
−
t
τ (1 −
U1
0
2
= U1 e
(− 1,72) = −1,72U1 e
u2(t)
0,37U1
t
τ
e )
3
1
– 0,63U1
Рисунок 1.24 – Временнáя диаграмма
отклика цепи рис. 1.21 на П-импульс
t/tи
−
−
t
τ (1 − e1 )
=
t
τ.
Временнáя
диаграмма
отклика u2 (t ) будет состоять
из двух частей для двух
временных
интервалов
соответственно (см. выше).
Если положить, что t и = τ , то
примерный
вид
отклика
изображен на рис. 1.24.
Предлагается самостоятельно
произвести расчеты, задавшись числовыми значениями
параметров цепи (R и C) рис.
1.21 и воздействия U1 .
1.3.3 Определение отклика при произвольных воздействиях
Для определения отклика цепи на сигнал произвольной формы
применяют интегралы наложения (Дюамеля).
23
Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять, если легко
находится переходная функция цепи, а воздействующая функция имеет
гладкую форму (рис. 1.25).
Для
получения
формулы
интеграла
Дюамеля
представим
f1(t)
k
воздействие в виде суммы ступенчатых
воздействий,
сдвинутых
друг
(3)
относительно друга на время ∆t.
3
∆f
(2)
Тогда f1 (t ) можно записать в
2
∆f
(1)
виде
1
f
∆
f1 ≅ f1 (0) ⋅1(t ) + ∆f
(1)
+ ∆f ⋅1(t − 2∆t )K ∆f
⋅1(t − ∆t ) +
(k )
(1.50)
⋅1(t − k∆t ),
f1(0)
где f1(0) – скачок функции при t = 0;
∆tk t
0 ∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4
Рисунок 1.25 – Произвольное
воздействие
∆f ( k ) ⋅ 1(t − k∆t ) – величина скачка при
t = t – k∆t.
Отклик цепи на скачок определяется по формуле f 2 (t ) = f1 (t ) ⋅ h(t ) , поэтому отклик цепи на воздействие
f1 (t ) можно найти на основании принципа наложения:
f 2 (t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) + ∆f (1) ⋅ h(t − ∆t ) + ∆f (2 ) ⋅ h(t − 2∆t ) + ...
n
... ∆f ( n ) ⋅ h(t − n∆t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) + ∑ f ( k ) ⋅ h(t − k∆t ).
k =1
Если устремить ∆t → 0, то k ∆ t , вместо дискретного, становится
непрерывным (т. е. k ∆ t = t k ), операция суммирования превращается в
операцию интегрирования по переменной t, а ∆f (k ) – в производную f1′(t ) .
Произведя соответствующую замену, получим [1]
t
f 2 (t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) +
∫ f1′( x) ⋅ h(t − x)dx .
(1.51)
x =0
Существуют другие формы записи интеграла Дюамеля, основанные на
замене переменной
t
∫
f 2 (t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) +
f1′(t − x) ⋅ h( x) dx;
(1.51а)
f1 ( x) ⋅ h′(t − x)dx;
(1.51б)
f1 (t − x) ⋅ h′( x)dx.
(1.51в)
x =0
t
f 2 (t ) = f1 (t ) ⋅ h(0) +
∫
x =0
t
f 2 (t ) = f1 (t ) ⋅ h(0) +
∫
x =0
24
f1(t)
f1(t1)
f1(0)
0
t1
t
Рисунок 1.28 – Сигнал
с разрывом
Если воздействие f1 (t ) непериодический
сигнал и имеет разрывы первого рода, то в
интегралах Дюамеля (1.51) и в других формах
записи добавляются слагаемые, отображающие
действия разрывов. Например, пусть сигнал f1 (t )
при t = t1 имеет разрыв первого рода. В этом случае
отклик записывают для отдельных интервалов
непрерывности воздействия f1 (t ) :
1) при 0 ≤ t < t1 отклик цепи имеет вид
t1
f 2 (t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) +
∫
f1′( x) ⋅ h(t1 − x)dx ; (1.52)
x =0
2) при t ≥ t1 отклик цепи имеет вид
t1
f 2 (t ) = f1 (0) ⋅ h(t ) +
∫
f1′( x) ⋅ h(t1 − x)dx − f1 (t1 ) ⋅ h(t − t1 ) ;
(1.53)
x =0
В правой части выражения (1.53) третье слагаемое f1 (t1 ) ⋅ h(t − t1 ) имеет
отрицательный знак, так как скачок (разрыв первого рода) воздействия f1 (t )
при t = t1 направлен вниз. При скачках воздействия, направленных вверх,
подобные слагаемые должны быть положительными.
1.3.4 Дифференцирующие и интегрирующие цепи
Дифференцирующие цепи (ДЦ) и интегрирующие цепи (ИЦ) широко
применяются в радиотехнических устройствах, в импульсной технике и
системах телекоммуникации.
Цепь называют дифференцирующей, если отклик u2(t) пропорционален
производной от приложенного к цепи
С
iC(t)
воздействия u1(t): u 2 (t ) ≅ α1 ⋅ u1′ (t ) .
Цепь называют интегрирующей,
если отклик u2(t) пропорционален
R
u1(t)
u2(t)
интегралу от приложенного к цепи
воздействия u1(t): u 2 (t ) ≅ α 2 ∫ u1 (t ) dt .
Коэффициенты α1 и α 2 зависят от Рисунок 1.29 – Дифференцирующая
элементов цепей.
цепь
Проанализируем простейшую ДЦ
(рис. 1.29).
Дифференцирование выполняется при условии
1
>> R .
ωC
25
Тогда напряжение на емкости u C (t ) ≈ u1 (t ) , а ток в емкости iC = C
Напряжение u2(t) найдем по закону Ома
duC (t )
.
dt
du C (t )
du (t )
≅ RC 1 .
(1.54)
dt
dt
Согласно (1.54) отклик цепи u2(t) действительно пропорционален
производной от приложенного воздействия
R
iC(t)
с
коэффициентом
пропорциоu1(t)
нальности α1 , равным постоянной времени
C
u1(t)
u2(t)
рассматриваемой ДЦ:
u 2 (t ) = iC (t ) R ≅ RC
α1 = RC .
Проанализируем простейшую интегрирующую цепь (рис. 1.30). Инте-
Рисунок 1.30 – Интегрирующая
цепь
u (t )
1
. Тогда ток в цепи iC (t ) ≅ 1 ,
R
ωC
а напряжение на емкости определяется по формуле
грирование выполняется при условии: R >>
uC (t ) = u 2 (t ) =
1
1
iC (t )dt ≅
u1 (t )dt .
∫
C
RC ∫
(1.55)
Согласно (1.55), отклик цепи u2(t) действительно пропорционален
интегралу от приложенного воздействия u1(t) с коэффициентом
пропорциональности α 2 , равным величине, обратной постоянной времени
рассматриваемой ИЦ:
α2 =
1
.
RC
Таким образом, чем меньше постоянная времени ДЦ, тем качественнее
выполняется дифференцирование входного сигнала (воздействия). Чем больше
постоянная времени ИЦ, тем качественнее выполняется интегрирование
входного сигнала.
Кроме рассмотренных цепей, операции дифференцирования и
интегрирования могут выполнять также цепи, содержащие индуктивность (рис.
1.31).
L
R
u1(t)
L
u2(t)
u1(t)
R
u2(t)
б)
а)
Рисунок 1.31 – Дифференцирующая (а) и интегрирующая (б) цепи
26
На рис. 1.31, а изображена ДЦ с коэффициентом пропорциональности α1 ,
равным постоянной времени цепи:
α1 =
L
.
R
На рис. 1.31, б изображена ИЦ с коэффициентом пропорциональности
α 2 , равным величине, обратной постоянной времени цепи:
R
α2 = .
L
2 ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Анализ электрических цепей классическим методом сводится к решению
дифференциальных уравнений. Основные трудности такого анализа
заключаются в определении постоянных интегрирования. По мере усложнения
цепей и возрастания порядка дифференциальных уравнений трудности,
связанные с определением постоянных интегрирования, увеличиваются.
Значительно большими возможностями обладает операторный метод
анализа переходных процессов. Операторный метод также, как и метод
комплексных амплитуд, относится к символическим методам. Сущность
операторного метода заключается в том, что решение задачи анализа цепи
переносится из области функций действительного переменного t в область
функций комплексного переменного p = σ + jω. В результате система интегродифференциальных уравнений переменной t заменяется системой
алгебраических уравнений комплексной переменной p. Далее по полученному
результату решения алгебраических уравнений выполняется обратный переход
в область функций действительного переменного. Базируется операторный
метод на преобразованиях Лапласа.
2.1 Прямое преобразование Лапласа и его свойства
Пусть некоторая функция времени f(t) (ток или напряжение) удовлетворяет
следующим условиям:
1) f(t) = 0 при t < 0;
2) функция f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции
M e σ0t , т. е.
f (t ) < M e σ0t ,
где М > 0; σ0 ≥ 0 (положительные постоянные числа). Принято говорить,
что функция имеет ограниченный рост, если показатель роста σ0 конечен.
Из курса математического анализа известно, что если f(t) имеет
ограниченный рост, то интеграл
∞
F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
0
(2.1)
27
сходится абсолютно и является аналитической
jω
функцией
комплексного
переменного
p = σ + jω в полуплоскости Re [p] = σ > σ0
(рис. 2.1).
0
Интегральное уравнение (2.1) является
σ
σ0
прямым преобразованием Лапласа; функция
f(t) называется оригиналом, а F(p) –
изображением по Лапласу.
Рисунок 2.1 – Комплексная
В литературе используются следующие
плоскость
виды символов, связывающих оригинал с его
изображением:
L[ f (t )] = F ( p );
f (t ) ⇔ F ( p );
.
f (t ) .= F ( p ).
При анализе переходных процессов часто полагают, что в некоторый
момент времени, принятый за начало отсчета (t = 0), в электрическую цепь
включается источник постоянного, гармонического или иной формы
напряжения (тока). Обозначим это напряжение (ток) функцией f(t). Для всех
значений t < 0 функция f(t) принимается равной нулю. Простейшими
оригиналами являются единичная и показательная функции.
Единичная
ступенчатая
функция
1(t)
[f(t) = 1(t)].
Графическое представление единичной
1
ступенчатой функции приведено на рис. 2.2.
Аналитическое
представление
единичной
t
0
ступенчатой функции:
1 при t ≥ 0;
Рисунок 2.2 – Диаграмма
f (t ) = 
функции 1(t)
0 при t < 0.
Единичная
ступенчатая
функция
отображает включение постоянного напряжения, равного 1 В (или постоянного
тока, равного 1 А) в момент t = 0.
Согласно (2.1), изображение единичной ступенчатой функции имеет вид
e − pt
− pt
F ( p ) = ∫1(t )e dt =
−p
0
∞
∞
=
0
1
.
p
Следовательно
1
.
(2.2)
p
Изображение постоянной А, возникающей в момент времени t = 0, легко
найти, если представить ее с помощью единичной функции как f(t) = A·1(t).
Тогда
А
f(t) = A·1(t) ⇔ .
(2.3)
р
1(t ) ⇔
28
Показательная функция [f(t) = eαt]
Умножение любой функции времени на единичную функцию оставляет
первую без изменения при t > 0 и дает нулевое значение при t < 0.
Так, умножив показательную функцию eat на единичную функцию,
получают функцию-оригинал
e at при t ≥ 0;
f (t ) = 
0 при t < 0.
Пусть а – произвольное число. Тогда изображение этого оригинала будет
∞
e −( p − a ) t
1
,
F ( p ) = ∫ e at e − pt dt = −
=
(
)
p
−
a
p
−
a
0
0
∞
следовательно
1
.
(2.4)
p−a
Полученное выражение справедливо для действительных и мнимых
значений а.
Операциям над оригиналами соответствуют операции над изображениями
и наоборот. Применение свойств преобразования Лапласа существенно
упрощает эти операции (особенно на этапе определения искомого оригинала по
вычисленному изображению). Основные свойства преобразования Лапласа,
известные из курса математического анализа, достаточно широко приведены в
рекомендованной литературе. Далее будут рассмотрены те из свойств, которые
используются при анализе электрических цепей.
1 Умножение функции времени f(t) на постоянное число А соответствует
умножению на это же число ее изображения:
A ⋅ f (t ) ⇔ A ⋅ F ( p ).
(2.5)
2 Изображение линейной комбинации оригиналов есть линейная
комбинация изображений:
e at ⇔
n
n
∑ a k f k (t ) ⇔ ∑ a k Fk ( p).
k =1
(2.6)
k =1
При анализе переходных процессов особенно важны преобразования,
связанные с дифференцированием и интегрированием оригиналов (теоремы
дифференцирования и интегрирования).
3 По теореме дифференцирования,
f ′(t ) ⇔ pF ( p ) − f (0) .
(2.7)
В случае, когда оригинал в начальной точке непрерывен, т. е.
f(0) = f(0–) = 0, его дифференцированию соответствует операция умножения
изображения на р:
f ′(t ) ⇔ pF ( p ).
(2.8)
Повторное применение операции, выраженной формулой (2.8), дает
изображение производных функции f(t) высших порядков, т. е. n-кратному
29
дифференцированию оригинала соответствует
n-кратное умножение
изображения на р (если все производные при t = 0 равны нулю):
f n (t ) ⇔ p n F ( p ).
(2.9)
4 По теореме интегрирования,
t
F ( p)
(2.10)
∫ f (t )dt ⇔ p .
0
Повторное применение операции, выраженной формулой (2.10), дает
t
t
F ( p)
n
...
f
(
t
)(
dt
)
⇔
.
(2.11)
∫ ∫
pn
0
0
Согласно теоремам дифференцирования и интегрирования, комплексную
переменную р можно рассматривать как оператор (отсюда название
операторный метод).
5 По теореме запаздывания (смещения в области действительного
переменного),
f (t − t з ) ⇔ e − ptз F ( p ).
(2.12)
pt
Из (2.12) следует, что умножение изображения на e– з сдвигает оригинал
f(t) по оси времени вправо на tз.
6 Теорема смещения (смещение в области комплексного переменного):
e ± αt f (t ) ⇔ F ( p m α).
(2.13)
Умножение оригинала на показательную функцию e±αt соответствует
смещению изображения на комплексной плоскости на m α. При этом α может
быть как действительным, так и комплексным.
7 Теорема умножения изображений (теорема свертывания):
tk
F1 ( p) ⋅ F2 ( p) ⇔
∫ f1 ( x) f 2 (tk − x)dx.
(2.14)
x =0
Из (2.14) следует, что умножению в области комплексного переменного
соответствует свертывание в области действительного переменного.
8 Предельные соотношения:
начальное значение оригинала
lim f (t ) = lim pF ( p ) ;
(2.15)
конечное значение оригинала
lim f (t ) = lim pF ( p ).
(2.16)
t →0
t →∞
p →∞
p →0
Предельные соотношения (2.15) и (2.16) используются для проверки
вычислений с помощью преобразований Лапласа.
30
2.2 Обратное преобразование Лапласа.
Теорема разложения
Решение интегрального уравнения (2.1) относительно функции f(t) дает
обратное преобразование Лапласа:
1 σ 0 + j∞
f (t ) =
F ( p )e pt dp.
∫
2πj σ0 − j∞
(2.17)
При использовании обратного преобразования Лапласа (2.17) были
получены оригиналы некоторых изображений. Они приводятся в справочниках
по операционному счислению, в рекомендованной литературе и содержат пары
оригинал–изображение.
Фрагмент такой таблицы для наиболее часто используемых при анализе
функций приведен ниже (таблица 2.1). Данные таблицы 2.1 будут использованы
далее при решении примеров анализа ПП операторным методом.
Таблица 2.1 – Таблица преобразований Лапласа (фрагмент)
№ п.п.
f(t) – оригинал
F(p) – изображение
A
1
A(t) = const
p
A
2
Ae m at
p±a
A
A
(1 − e − at )
3
p( p + a)
a
1
1
(e − bt − e − at )
4
( p + a )( p + b)
a −b
ω0
sin ω0 t
5
2
p + ω02
Теорема разложения
Для нахождения оригинала f(t) по изображению F(p) можно
воспользоваться таблицами, если изображение достаточно простое и имеется в
таблицах. Если же полученное в результате анализа операторным методом
изображение отсутствует в таблицах, то его находят при помощи теоремы
разложения. Обычно такие изображения, представляют собой дробнорациональные функции.
Дробно-рациональными называются функции комплексной переменной
р с вещественными коэффициентами:
(m −1) + ... + b p + b
m
M ( p ) bm p + b(m −1) p
1
0
.
F ( p) =
=
n
(
n
−
1
)
N ( p)
a n p + a (n −1) p
+ ... + a1 p + a 0
(2.18)
31
Любая дробно-рациональная функция может быть представлена
следующим образом:
m
(m −1)
+ ... + b1 p + b0
M ( p ) bm p + b(m−1) p
. (2.19)
F ( p) =
=
N ( p)
( p − p1 )( p − p 2 )...( p − p n )
Пусть изображение по Лапласу F(p) некоторой искомой функции f(t)
является правильной дробно-рациональной функцией с вещественными
коэффициентами и простыми полюсами. Тогда функция F(p) может быть
единственным образом разложена на сумму простых дробей:
An
A1
A2
.
(2.20)
F ( p) =
+
+ .... +
p − p1 p − p2
p − pn
Оригиналом этого изображения (см. строку 2 табл. 2.1) является сумма
экспоненциальных функций:
f (t ) = A1e p1t + A2 e p2t + ... + An e pnt .
(2.21)
Определение коэффициентов А1, А2, …, Аn предлагается проследить на
примере получения коэффициента А1. Для этого обе части выражения (2.20)
умножаются на (р – р1).
Тогда
 A2
An
( p − p1 ) F ( p) = A1 + ( p − p1 )
+ ... +
p − pn
 p − p2

.

При р → р1
A1 = lim ( p − p1 ) F ( p) = lim ( p − p1 )
p → p1
p → p1
M ( p)
.
N ( p)
В последнем выражении множитель (р – р1) и знаменатель N(p) одновременно стремятся к нулю при р → р1. Эта неопределенность раскрывается по
правилу Лопиталя.
В результате:
d
( p − p1 )
M ( p1 )
dp
A1 = M ( p1 )
=
.
d
N ′( p1 )
N ( p)
dp
p = p1
Очевидно,
выражением
что
любой
другой
коэффициент
M ( pk )
.
N ′( p k )
(некоторая искомая
будет
определяться
Ak =
Следовательно, оригинал
напряжения) будет иметь вид
функция
тока или
n
M ( p k ) pk t
e .
k =1 N ′( p k )
f (t ) = ∑
(2.22)
32
Учитывая соответствие выражений (2.19) и (2.22), можно записать:
(m−1) + ... + b
m
M ( p ) bm p + b(m −1) p
0
=
⇔
N ( p ) α n p n + α (n −1) p (n−1) + ... + α 0
n
M(p )
∑ N ′( pk ) e p t .
k =1
k
(2.23)
k
Если знаменатель функции F(p) имеет один корень, равный нулю, то
оригинал f(t) находится следующим образом:
M ( p) M ( p)
M (0) n M ( p k ) pk t
=
⇔
+∑
e .
N ( p ) pN1 ( p )
N (0) k =1 pk N ′( p k )
(2.24)
В литературе зачастую выражения (2.23) и (2.24) называют формулами
разложения.
2.3 Законы теории электрических цепей в операторной форме.
Схемы замещения двухполюсных элементов
Сумме функций оригиналов соответствует сумма изображений этих
функций, поэтому от записи уравнений по законам Кирхгофа, составленных
для мгновенных значений токов и напряжений (оригиналов), легко перейти к
записи уравнений по тем же законам для изображений токов и напряжений:
N
∑ I k ( p) = 0
(2.25)
k =1
и
N
∑ U k ( p) = 0 .
(2.26)
k =1
Выражения (2.25) и (2.26) называют законами Кирхгофа в операторной
форме. По аналогии с понятиями комплексного входного сопротивления Z(jω) и
комплексной входной проводимости Y(jω), вводятся понятия операторного
входного сопротивления Z(р) и операторной входной проводимости Y(р).
Операторным входным сопротивлением пассивного линейного
двухполюсника называется отношение операторного изображения напряжения
на входе двухполюсника к операторному изображению входного тока при
нулевых начальных условиях
U ( p)
Z ( p) =
.
(2.27)
I ( p)
В дальнейшем вместо „операторное изображение тока (напряжения)”
будет использоваться термин „изображение”.
В (2.27)
I ( p ) ⇔ i (t )
и
U ( p ) ⇔ u (t )
– изображение тока и напряжения на входе некоторого пассивного
двухполюсника при t ≥ 0. Величина, обратная Z(р), является операторной
входной проводимостью двухполюсника
33
1
I ( p)
=
.
(2.28)
Z ( p) U ( p)
Операторные схемы замещения идеальных двухполюсных элементов
цепи зависят от начальных условий цепи.
При нулевых начальных условиях цепи каждый пассивный линейный
двухполюсник (R, L или C) представляется своим операторным входным
сопротивлением Z(p) или операторной входной проводимостью Y(p).
В таблице 2.2 представлены операторные схемы замещения идеальных
резисторов, емкостей и индуктивностей при нулевых начальных условиях цепи.
Таблица 2.2 – Закон Ома в операторной форме для элементов R, L, C при
нулевых начальных условиях
Элементы
Z(p)
Y(p)
U(p)
I(p)
после коммутации
Y ( p) =
iR R, G
R
G
IR(p) R
UG(p) G
pL
1 / pL
IL(p) pL
UL(p)(1 / pL)
1 / pC
pC
IC(p) (1 / pC)
UC(p) pC
Z(p)
Y(p)
I(p) Z(p)
U(p) Y(p)
uG
iL
L
uL
iС
С
uС
i
Д
u
Рассмотрим операторные схемы замещения идеальных емкостей и
индуктивностей, которые находятся в цепях с ненулевыми начальными
условиями. В этом случае операторные схемы замещения емкости и
индуктивности должны содержать независимые источники напряжения или
тока, отражающие начальный запас энергии в цепи.
Емкость. Мгновенные значения
uC (0) / p
IC(p)
+
тока и напряжения емкости связаны
+
соотношениями
1
UC(p)
1t
Z
(
p
)
=
C
uC (t ) = uС (0) + ∫ iC (t )dt ;
pС
C0
du (t )
iC (t ) = C C ,
Рисунок 2.3 – Операторная схема
dt
замещения заряженной емкости
где u C (0) ≠ 0 .
с источником напряжения
34
Применив теоремы дифференцирования (2.7) и интегрирования (2.10),
получим
u (0)
1
U C ( p) = C
+
I C ( p ).
(2.29)
p
pC
I C ( p ) = pCU C ( p ) − Cu C (0);
(2.30)
По структуре формулы (2.29) можно изобразить операторную схему
замещения емкости при ненулевых начальных условиях (рис. 2.3).
Схема, изображенная на рис. 2.3, представляет собой последовательное
соединение „незаряженной” емкости (емкости при нулевых начальных
условиях) со своим операторным сопротивлением Z C ( p) и идеального
независимого источника напряжения с задающим напряжением, равным
uC (0) / p .
Уравнению (2.30) соответствует операторная схема замещения емкости
(рис. 2.4), представляющая паIC(p)
+
раллельное
соединение
“незаряженной” емкости и идеального
UC(p)
CuC(0)
независимого источника тока с
YC(p) = pC
задающим током C uC (0) .
Индуктивность.
Мгновенные
значения
тока
и
напряжения
Рисунок 2.4 – Операторная схема
замещения емкости с источником тока индуктивности в цепи с ненулевыми
начальными
условиями
связаны
соотношениями
diL (t )
1t
u L (t ) = L
,
iL (t ) = iL (0) + ∫ u L (t )dt ,
dt
L0
где i L (0) ≠ 0 .
Применив теоремы дифференцирования (2.7) и интегрирования (2.10),
получим:
U L ( p ) = pL ⋅ I L ( p ) − L i L (0) ;
(2.31)
i L (0) 1
+
u L ( p) .
(2.32)
p
pL
По структурам формул (2.31) и (2.32) можно изобразить соответственно
две операторные схемы замещения индуктивности при ненулевых начальных
условиях (рис. 2.5 и 2.6).
Обе схемы содержат “незаряженные” индуктивности и независимые
идеальные источники.
I L ( p) =
35
+
UL(p
)
IL(p)
IL(p)
LiL(0)
+
Z L ( p) = pL
Рисунок 2.5 – Операторная схема
замещения индуктивности
с источником напряжения
UL(p
)
1
YL ( p) =
pL
iL (0)
p
Рисунок 2.6 – Операторная схема
замещения индуктивности
с источником тока
Используя операторные схемы замещения идеальных пассивных
элементов (R, L, C), можно построить операторную схему замещения
произвольной цепи. При этом в операторной схеме замещения содержатся
дополнительные источники энергии, характеризующие запас энергии в
реактивных элементах (L, C) в момент времени t(0–), непосредственно
предшествующий коммутации.
2.4 Операторные передаточные функции
электрических цепей и их свойства
2.4.1 Виды операторных передаточных функций
Операторная
передаточная
I1(p)
I2(p)
функция (ОПФ) цепи
H ( p)
представляет собой отношение U (p)
H(p)
U2(p)
1
изображений отклика цепи к
воздействию (рис. 2.7).
Поскольку
воздействиями
Рисунок 2.7 – Тракт передачи
являются напряжения и токи на
с операторными параметрами
входе цепи, а откликами – на
выходе, соответственно можно записать четыре вида операторных
передаточных функций:
U ( p)
1 H uu ( p ) = 2
– операторная передаточная функция напряжения –
U 1 ( p)
отношение изображения отклика цепи U2(p) в виде напряжения к изображению
воздействия U1(p) в виде напряжения;
(2.33)
U ( p)
2 H ui ( p ) = 2
– операторное сопротивление цепи – отношение
I1 ( p)
изображения отклика цепи U2(p) в виде напряжения к изображению
воздействия I1(p) в виде тока;
(2.34)
I ( p)
3 H ii ( p ) = 2
– операторная передаточная функция тока – отношение
I1 ( p)
изображений токов на выходе и входе цепи;
(2.35)
36
I 2 ( p)
– операторная проводимость цепи – отношение
U 1 ( p)
изображения отклика цепи I2(p) в виде тока к изображению воздействия U1(p) в
виде напряжения.
(2.36)
Операторные передаточные функции играют важную роль в методах
анализа и синтеза электрических цепей при нулевых начальных условиях. Зная
операторную передаточную функцию цепи H ( p ) , с помощью выражений
(2.33)...(2.36) нетрудно найти изображение отклика цепи, а следовательно и сам
отклик цепи на заданное воздействие.
Операторную передаточную функцию H ( p ) для пассивной цепи можно
представить как дробно-рациональную функцию с вещественными
коэффициентами:
bm p m + b(m −1) p (m −1) + ... + b1 p + b0
Н ( p) =
,
(2.37)
an p n + a(n −1) p (n −1) + ... + a1 p + a0
или в виде
( p − p01 )( p − p02 )K( p − p0 m )
Н ( p) = Н
,
(2.38)
( p − p1 )( p − p2 )K( p − p n )
4 H iu ( p ) =
где р01, р02,…, р0m – нули операторной передаточной функции H ( p ) . При
подстановке нулей в выражение (2.38) операторная передаточная функция
H ( p ) обращается в ноль; р1, р2,…, рn – полюсы операторной передаточной
функции H ( p ) . При подстановке полюсов в выражение (2.38) значение H ( p )
стремится к бесконечности.
В выражении (2.38) коэффициент
b
H= m.
an
Степень полинома числителя m и знаменателя n зависят от числа
реактивных элементов цепи.
Заменив в (2.33)...(2.36) оператор р на jω, получим комплексную
передаточную функцию цепи H ( jω) . Таким образом, заменяя jω на р, можно
автоматически получить законы теории электрических цепей и методы расчета
в операторной форме.
2.4.2 Свойства операторных передаточных функций
1 Операторная передаточная функция является дробно-рациональной
функцией с вещественными коэффициентами (2.37). Вещественность
коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами цепи.
2 Степень полинома числителя не превышает степени полинома
знаменателя: m ≤ n .
3 Нули и полюсы операторной передаточной функции H ( p ) являются
либо вещественными числами, либо комплексно-сопряженными.
37
4 Полюсы операторной передаточной функции пассивной цепи
располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости р. На
расположение нулей ограничений нет.
Последнее свойство затрагивает вопросы устойчивости ЛЭЦ. Для
устойчивых ЛЭЦ полюсы операторной передаточной функции находятся в
левой полуплоскости (рис. 2.8).
j
Цепь является устойчивой, если после
jω0
прекращения действия источника свободные
p2
jω2
pt
колебания будут затухающими: e , где
p = −σ ± jω .
σ
Если полюсы операторной передаточной
p1= – σ1 – σ2,3
0
функции находятся в правой полуплоскости
рисунка 2.8, то такая цепь является
pt
–jω3
неустойчивой: e , где p = + σ ± jω .
p3
–jω0
При чисто мнимых полюсах (полюсы
расположены на оси мнимых чисел),
Рисунок 2.8 – Расположение
состояние
цепи
называют
условно
полюсов устойчивой цепи
pt
устойчивой: e , где p = ± jω .
Для выявления устойчивости цепей существуют методы, которые
называют критериями устойчивости. Они изложены в подразделе 2.6.
1
2
3
4
Алгоритм анализа электрических цепей операторным методом
Определяются независимые начальные условия цепи до коммутации iL(0–),
uC(0–).
Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации.
Находятся изображения исходных токов и напряжений с использованием
при этом законов Ома и Кирхгофа в операторной форме, а также любых
известных методов расчета (метод законов Кирхгофа, метод узловых
напряжений и т. д.) в операторной форме.
По полученным изображениям определяются оригиналы (искомые токи и
напряжения). Чаще всего при этом используются таблицы соответствий по
Лапласу. Если же изображение представляет собой дробно-рациональную
функцию и отсутствует в таблицах, то для перехода к оригиналу следует
применить теорему разложения (2.23), (2.24).
2.5 Связь временных, частотных и операторных
функций цепей и сигналов
По определению, операторная передаточная функция
H ( p) =
X 2 ( p)
,
X 1 ( p)
где Х2(р) – изображение отклика цепи (U2(р) или I2(р));
Х1(р) – изображение воздействия цепи (U1(р) или I1(р)).
(2.39)
38
Из (2.39) следует, что:
X 2 ( p ) = X 1( p ) ⋅ H ( p ) .
(2.40)
Если в качестве воздействия на цепь подать единичную ступенчатую
1
функцию 1(t), то ее изображением будет F ( p) =
согласно (2.2). При этом
p
откликом цепи будет переходная функция h(t), а ее изображением – h(р). Тогда,
согласно (2.5) и таблице преобразований Лапласа, имеем
h (t ) ⇔ h ( p ) =
1
H ( p) .
p
(2.41)
Формула (2.41) выражает связь между переходной функцией цепи h(t) и
операторной передаточной функцией H ( p ) , а также позволяет определять
переходную функцию цепи h(t) по известной операторной передаточной
функции H ( p ) . Применив теорему дифференцирования (2.7), можно получить
изображение импульсной характеристики цепи g(t).
Если
1
g (t ) = h′(t ) , а h(t ) ⇔ H ( p) ,
p
то
h ′(t ) ⇔ p
1
H ( p) = H ( p) .
p
Таким образом
g (t ) ⇔ H ( p ) .
f(t)
Лаплас
F(p)
Фурье
F(jω)
Рисунок 2.9 – Связь функций
сигнала
КПФ заменить jω на p, то H ( jω)
(2.42)
Выражение
(2.42)
позволяет
определить импульсную функцию цепи
g(t)
по
известной
операторной
передаточной функции H ( p ) . Для этого
достаточно перейти от изображения H ( p )
к оригиналу g(t).
Комплексная и операторная функции
связаны соотношением p ≡ jω . Если в
jω= p =
H ( p ) . Например, для цепи первого
порядка КПФ H ( jω) имеет вид:
jωb1 + b0
.
jω + a 0
Для этой же цепи ОПФ H ( p ) имеет вид:
pb + b0
H ( p) = 1
.
p + a0
H ( jω) =
39
Таким образом, частотные, операторные и временные функции цепей
связаны между собой (рис. 2.9 и 2.10).
Применив прямое преобраh(t)
f1(t)
f2(t)
зование Фурье, можно получить
H(p)
F1(p)
F2(p)
спектральную плотность единичH(jω)
F1(jω)
F2(jω)
ной ступенчатой функции 1(t):
1
Рисунок 2.10 – Связь функций
1( jω) =
+ π δ(ω),
(2.43)
jω
сигналов и цепи
а согласно обратному
преобразованию Фурье
∞
1
1(t ) =
1( jω)e jωt dω .
∫
2π − ∞
(2.44)
Подставив (2.43) в (2.44), получим:
∞
1
 jωt
1
1(t ) =
+
π
δ
(
ω
)
 e dω .
2π −∫∞  jω

(2.45)
Выражение (2.45) можно преобразовать в
∞
1 1
1 jωt
1(t ) = +
e dω .
2 2π −∫∞ jω
(2.46)
Тогда, согласно принципу суперпозиции (наложения) и выражению (2.46),
получим связь между переходной функцией цепи h(t) и комплексной
передаточной функцией H(jω):
∞
1
1
H ( jω) jωt
h(t ) = H (0) +
e dω.
2
2π −∫∞ jω
(2.47)
Используя связь между единичной ступенчатой функцией 1(t) и функцией
Дирака δ(t), можно показать, что
1 ∞ jωt
δ(t ) =
e dω .
2π −∫∞
(2.48)
Согласно принципу суперпозиции, можно доказать связь между
импульсной функцией g(t) и комплексной передаточной функцией H(jω):
1 ∞
g (t ) =
H ( jω)e jωt dω .
(2.49)
∫
2π − ∞
Выражение (2.49) представляет собой обратное преобразование Фурье, где
H(jω) является спектральной плотностью импульсной характеристики цепи.
На основании прямого преобразования Фурье,
∞
H ( jω) =
∫ g (t )e
−∞
jωt
dt .
(2.50)
40
Выражения (2.47)…(2.50) показывают связи между временными и
частотными функциями цепи.
2.6 Анализ цепей с обратной связью. Критерии устойчивости
2.6.1 Цепи с обратной связью
Рассматриваемые ранее методы анализа электрических цепей
(суперпозиции, узловых напряжений, эквивалентного генератора и др.) хорошо
“работают” в цепях, представленных в виде соединений двухполюсников. Для
цепей, составленных из четырехполюсников, удобно пользоваться матричными
методами анализа.
В телекоммуникационных системах прохождение сигналов часто
происходит таким образом, что часть сигнала с выхода какого-либо блока
подается обратно на вход. Эта операция производится с целью изменения
свойств устройств передачи и улучшения качества передаваемых сигналов.
Цепи с такими свойствами называются цепями, или системами с обратной
связью. Теория этих цепей весьма обширна и разрабатывается давно [4]. Наша
задача дать краткое представление этой теории. Чтобы проанализировать
работу системы с обратной связью необходим метод. Рассмотрим
взаимодействие двух четырехполюсников: активного, усилителя с
коэффициентом усиления К(р), и пассивного (R, L, C) с передаточной функцией
Т(р). Соединим эти два четырехполюсника так, чтобы часть энергии с выхода
усилителя попадала на вход пассивного четырехполюсника. Способы
соединения четырехполюсников между собой были рассмотрены в первом
модуле, в разделе «Матричные методы анализа цепей». С выхода пассивного
четырехполюсника часть энергии, в зависимости от коэффициента передачи Т,
поступает обратно на вход усилителя. Получили своеобразное кольцо. На рис.
2.11, а изображена функциональная схема описанной системы с обратной
связью.
U1(p)
U1K(p)
+
U2(p)
К (р )
U1
U1K
K(p)
+1
RLC
U2(p) Т(p)
–1
U2
Т(p)
Т( р )
б)
a)
Рисунок 2.11 – Цепь с обратной связью:
функциональная схема (а) и сигнальный граф
этой системы (б)
На рис. 2.11, а изображены два функциональных блока: верхний усилитель
с усилением К(р), нижний – пассивный блок с передаточной функцией Т(р). На
41
схеме условно изображен сумматор в виде кружка, в котором происходит
суммирование входного напряжения U1(р) с выходным напряжением
пассивного блока U2(р) Т(р). Это суммарное напряжение поступает на вход
усилителя.
Опишем данную схему с помощью параметров, которые были получены
ранее. Передаточная функция усилительного блока записывается как
U 2 ( p)
= K ( p), передаточная функция пассивного блока – U 2 ( p )T ( p ) = T ( p ),
U1K ( p)
U 2 ( p)
где воздействием является U2(р), а откликом U2(р)Т(р).
На сумматор поступают два напряжения: U1 ( p) + U 2 ( p)T ( p) = U1K ( p) . Эта
сумма является воздействием на усилительный блок с усилением К(р) и
откликом U2(р). На основании этого можно записать:
U 2 ( p)
= K ( p), откуда
U1K ( p )
U 2 ( p) = K ( p)U1K ( p) = K ( p)(U1 ( p ) + U 2 ( p)T ( p) ) = K ( p)U1 ( p ) + K ( p )U 2 ( p)T ( p ).
Из этого выражения можно вывести передаточную функцию всей системы
Н(р): так как U 2 ( p ) − K ( p)U 2 ( p )T ( p ) = K ( p )U1 ( p), то
H ( p) =
U 2 ( p)
K ( p)
M ( p)
=
=
.
U1 ( p ) 1 − K ( p)T ( p ) N ( p )
(2.51)
Цепь вида рис. 2.11, а называется системой с замкнутым контуром, а
передаточная функция К(р)Т(р) – передаточной функцией разомкнутой
системы, где К(р) называют усилением в прямом направлении, Т(р) –
передаточной функции цепи обратной связи.
При соединении четырехполюсников между собой необходимо соблюдать
правило “регулярности” соединения. Например, при последовательнопараллельном соединении двух четырехполюсников рис. 2.12 необходимо
общие “заземленные” зажимы четырехполюсников соединить вместе [5].
Из рис. 2.12 видно, что
+
+
+
U1 = U1K − U 2T .
К
U
U1
1K
U2
Функция вида (2.51) – функция
изображения. Система рис. 2.11, а
может быть представлена в виде
+
+
Т
U2
U2Т
функции частоты или времени. В
анализе цепей с обратной связью
+
можно
использовать
теорию
Рисунок 2.12 – Регулярное соединение
сигнальных
линейных
графов.
двух четырехполюсников
Функциональная схема системы с
обратной связью в виде сигнального графа изображена на рис. 2.11, б. Более
подробно о применении сигнальных линейных графов в системах с обратной
связью студент найдет в соответствующей литературе [6].
Проанализируем выражение (2.51). Для этого перейдем от операторных
функций к комплексным:
42
H ( jω) =
K ( jω)
.
1 − K ( jω)T ( jω)
(2.51а)
Если 1 − K ( jω)T ( jω) > 1 , то говорят, что система с отрицательной
обратной связью (ООС). В этом случае H (ω) < K (ω) , обратная связь
уменьшает модуль передаточной функции системы (амплитуды выходного
сигнала уменьшаются).
Если 1 − K ( jω)T ( jω) < 1, имеет место положительная обратная связь
(ПОС). В этом случае H (ω) > K (ω) . Обратная связь увеличивает модуль
передаточной функции системы. Положительная обратная связь может стать
причиной неустойчивости системы (может появиться сигнал на выходе при
отсутствии сигнала на входе).
В случае, когда 1 − K ( jω)T ( jω) = 1 , возникают автоколебания.
Отрицательная
обратная
связь используется
для
улучшения
характеристик и параметров схем: стабилизация усиления, увеличение
входного и выходного сопротивлений, расширение полосы пропускания
активных фильтров и т. д. Положительная обратная связь используется
преимущественно в схемах автогенераторов.
2.6.2 Критерии устойчивости
Для определения электрической устойчивости цепей существуют методы, с
помощью которых можно определять, где располагаются корни
характеристического уравнения системы с обратной связью N(p) = 0.
Критерий Рауса-Гурвица (алгебраический) позволяет, не решая
характеристического уравнения, по его виду и величине коэффициентов при
членах с разной степенью р сделать вывод о наличии мнимых или комплексносопряженных корней с положительными вещественными составляющими,
иными словами, найти корни, лежащие на мнимой оси или в правой
полуплоскости. Если передаточная функция цепи H ( p) =
характеристическое
уравнение
U2 ( p) M ( p)
=
, то
U1( p) N ( p)
записывается
как
N( p) = an pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 = 0 . Для того чтобы корни этого уравнения
располагались в левой полуплоскости (условие устойчивости), все
коэффициенты an, …, а0 должны быть ненулевыми и иметь одинаковый
алгебраический знак. Коэффициенты характеристического уравнения
выписываются в такой последовательности:
43
an
an −1
b1
a n −2
a n−3
b2
a n−4 ...a1
an −5 ...a0
b3 ...
c1
c2
c3 ...
d1
d2
d 3 ...
...
...
...
где коэффициенты bi, ci, di образуются по правилу
b1 =
(2.52)
a n−1a n−2 − a n a n−3
a a
− a n a n −5
; b2 = n−1 n− 4
;
a n−1
a n−1
с1 =
b1a n−3 − a n −1b2
− a n −1b3
ba
; с1 = 1 n −5
;
b1
b1
(2.53)
c1b2 − b1c3
c1
Если знак членов первой колонки (2.52) не изменяется, все корни
уравнения (2.51) лежат в левой полуплоскости и цепь устойчива. Критерий
утверждает, что передаточная функция цепи имеет столько полюсов в правой
полуплоскости, сколько раз изменяется знак в ряде an, an-1, b1, c1, d1, …
Критерий Михайлова (частотный). Суть метода заключается в том, что
на основе характеристического уравнения цепи N(р) = 0 строится частотный
годограф. Цепь будет устойчива, если годограф при изменении частоты ω от 0
до ∞ последовательно пройдет n квадрантов против часовой стрелки, начиная с
положительной вещественной оси, где n – степень характеристического
уравнения. На рис. 2.13 приведен годограф Михайлова для устойчивой цепи
пятого порядка.
Im
Критерий легко доказывается на
ω2
основе векторного метода построения
амплитуднои
фазо-частотных
характеристик по карте нулей и
ω5 Re
ω3
ω1 = 0
полюсов. Если функция Т(р) имеет n
корней,
лежащих
в
левой
полуплоскости,
то
суммарный
ω4
фазовый сдвиг на частоте ω → ∞
Рисунок 2.13 – Годограф Михайлова
π
будет равен n . Если корни для устойчивой цепи пятого порядка
2
попадают на мнимую ось или в правую полуплоскость, то монотонный
характер характеристики функции N(р) нарушится и ход годографа Михайлова
изменится. Для устойчивой цепи частоты, при которых годограф пересекает
вещественную и мнимую оси рис. 2.13, должны удовлетворять неравенству
d1 =
ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ω5 .
(2.54)
44
Критерий устойчивости Найквиста. В литературе по автоматическому
управлению критерий Найквиста называют амплитудно-фазовым критерием.
Данный критерий может быть применен только тогда, когда предварительно
проверено отсутствие полюсов в правой полуплоскости возвратной разности
N ( p ) = 1 − K ( p )T ( p) знаменателя передаточной функции системы.
Критерий устойчивости Найквиста служит для проверки устойчивости
системы (предложен в 1930 г.). Он позволил разработать различные способы
анализа и синтеза систем. Хорошо работает в тех случаях, когда частотные
характеристики системы заданы графически. Критерий основан на теореме
функции комплексного переменного о конформном преобразовании замкнутых
кривых из р-плоскости в плоскость функции N(р).
Строгий вывод критерия Найквиста можно выполнить с помощью теории
вычетов.
Критерий корневого годографа. Корневым годографом называют
траекторию перемещения корней характеристического уравнения системы с
обратной связью N ( p ) = 1 − K ( p )T ( p ) в комплексной плоскости при
изменении коэффициента усиления К(р) от 0 до ∞. Для устойчивой системы
траектория корней лежит в левой полуплоскости при всех заданных значениях.
Передаточные функции усилителя К(р) и цепи обратной связи Т(р) можно
записать в виде
P1 ( p)
,
(2.55)
Q1 ( p)
P ( p)
T ( p) = T1 2
.
(2.56)
Q2 ( p)
На комплексную плоскость наносят карту нулей и полюсов функций К(р) и
Т(р) на основании полиномов P1(p), P2(p), Q1(p) и Q2(p). Возвратное отношение
системы K ( p )T ( p ) = F ( p ) можно записать в общем виде:
K ( p) = K1
F ( p) = K 0
( p − p10 )( p − p20 ) K ( p − pm )
( p − p1 )( p − p2 ) K ( p − pn )
(2.57)
или
p m + am−1 p m−1 + K + a0
F ( p) = K 0 n
,
p + bn−1 p n−1 + K + b0
(2.58)
где K 0 = K1T1 .
Разделив знаменатель (2.58) на числитель, получим
F ( p) =
p
n− m
K0
,
+ (bn−1 − am−1 ) p n−m+1 + K
(2.59)
из чего следует, что при n > m функции F(р) имеет (n – m) нулей,
расположенных на бесконечности.
45
Характеристическое уравнение системы N(р) запишется так:
N ( p) = 1 − K 0
( p − p10 )( p − p20 ) K ( p − pm )
= 0,
( p − p1 )( p − p2 ) K ( p − pn )
или
N ( p) = ( p − p1 )( p − p2 ) K ( p − pn ) − K 0 [( p − p10 )( p − p20 ) K ( p − pm )] = 0.
Из этого выражения следует, что корни характеристического уравнения
системы, полюсы функции Н(р) зависят от значения К0. Например, если К0 → 0,
корни приближаются по значениям к р1, р2, …, рn, т. е. полюсы передаточной
функции Н(р) совпадают с полюсами возвратного отношения F(р). При
увеличении К0 → ∞ корни характеристического уравнения Н(р) приближаются
по значениям к р10, р20, …, рm, соответствующим нулям возвратного отношения
системы.
Более подробно о практическом применении критерия корневого метода
можно прочитать в соответствующей литературе [6].
2.7 Условия стационарности автоколебаний
Система с обратной связью является автоколебательной системой, если на
ее выходе появляются периодические колебания, при отсутствии воздействия.
Все автоколебательные схемы являются безусловно нелинейными системами,
но условия стационарности (условия возбуждения) могут быть найдены на
основе линейной теории. В автоколебательном режиме передаточная функция
замкнутой системы Н(р) → ∞ из условия, что U1(p) = 0 и корни
характеристического уравнения N(р) = 0 располагаются в правой
полуплоскости с вещественными положительными частями pi = + σ i ± jωi .
Причем, система начнет генерировать, если функция Н(р) имеет хотя бы пару
комплексно-сопряженных полюсов на мнимой оси комплексной плоскости, а
остальные полюсы, если они имеются, могут лежать в левой полуплоскости.
Автоколебательные свойства системы определяются структурой
передаточных функций К(р) и Т(р), картой их нулей и полюсов, а также знаком
обратной связи.
Для анализа условий возбуждения можно использовать любой критерий
устойчивости. Оптимальным, по мнению некоторых авторов, является
критерий корневого годографа, с помощью которого определяются условие
неустойчивости системы, вид возникающих автоколебаний (гармонических или
импульсных). Условие стационарности находят из выражения N(р) = 0 для
нагруженной системы. Выражение N(р) можно представить в алгебраической
форме:
46
N ( jω) = Re[N ( jω)] + j Im[N ( jω)] = A(ω) + jB (ω)
и тогда
А(ω) = 0 и В(ω) = 0.
Последние два равенства называют условиями баланса амплитуд
(А(ω) = 0) и фаз (В(ω) = 0). Из этих условий находят значения частоты ω и
усиления усилителя К.
47
Контрольные вопросы
1 В чем заключаются трудности использования классического метода при
анализе переходных процессов (ПП)?
2 В чем состоит сущность операторного метода анализа цепей?
3 Охарактеризуйте
интегральное
уравнение,
называемое
прямым
преобразованием Лапласа. Как связаны между собой оригинал и
изображение?
4 Перечислите основные свойства и теоремы преобразования Лапласа.
5 Сформулируйте теорему разложения. В каких случаях и для чего она
используется?
6 Приведите операторные схемы замещения индуктивности и емкости при
нулевых и ненулевых начальных условиях.
7 Каков порядок расчета ПП в ЛЭЦ операторным методом?
8 Что называется операторной передаточной функцией цепи?
9 Сколько типов операторных передаточных функций известно, и что они
собой представляют?
10 Перечислите свойства операторной передаточной функции цепи. В чем
заключается критерий устойчивости ЛЭЦ (критерий Гурвица)?
11 Что называется ПП или переходным режимом (ПР) в ЛЭЦ?
12 Каковы причины появления ПП в ЛЭЦ?
13 В каких ЛЭЦ не возникают ПП?
14 Сколько практически длится ПП в ЛЭЦ?
15 Как формулируется правило коммутации для элемента С?
16 Как формулируется правило коммутации для элемента L?
17 Какие бывают независимые начальные условия цепи?
18 Что лежит в основе классического метода анализа ПП в ЛЭЦ?
19 Как связаны между собой порядок цепи и порядок дифференциального
уравнения, описывающего ПП в цепи?
20 Что называется постоянной времени цепи τ?
21 Как связана постоянная времени цепи τ с корнем характеристического
уравнения р для цепей первого порядка?
22 Какие типы ПП могут возникать в ЛЭЦ второго порядка, содержащей
разнохарактерные реактивные элементы (L и C)?
23 Как записать выражение для определения критического сопротивления (Rкр)
последовательного колебательного контура?
24 Как записать выражение для определения коэффициента затухания
последовательного колебательного контура?
25 Как записать выражение для определения частоты свободных колебаний
(ωсв) и периода свободных колебаний (Тсв) в последовательном контуре?
26 Как записать выражения для определения декремента колебания (∆) и
логарифмического декремента колебания (ln ∆)?
27 Каков порядок расчета ПП в ЛЭЦ классическим методом?
28 Что называется переходной функцией цепи?
29 Назовите и охарактеризуйте четыре типа переходных функций цепи.
48
30 Что называется импульсной функцией цепи?
31 Назовите и охарактеризуйте четыре типа импульсных функций цепи.
32 Какова связь между переходной и импульсной функцией цепи?
33 Какова связь между переходной функции цепей и операторной
передаточной функцией цепи?
34 Какова связь между импульсной и операторной передаточной функциями
цепи?
35 В каких случаях используют интегралы наложения (Дюамеля)?
36 Приведите одну из форм записи интеграла Дюамеля.
37 Какая цепь называется дифференцирующей? Приведите пример.
38 Какая цепь называется интегрирующей? Приведите пример.
39 Как
связаны
между
собой
величина
постоянной
времени
дифференцирующей цепи и качество дифференцирования входного сигнала?
40 Как связаны между собой величина постоянной времени интегрирующей
цепи и качество интегрирования входного сигнала?
41 Какова связь между переходной функцией цепи и комплексной
передаточной функцией?
42 Какова связь между импульсной и комплексной передаточной функциями
цепи?
Список литературы
1 Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и
связь, 1986.
2 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей.
– М.: Радио и связь, 1998.
3 Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке,
П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В Страхов. – М.: Энергия, 1975.
4 Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. –
ГИИЛ, 1948.
5 Зелях Э.В. Двухполюсники и четырехполюсники: Учебное пособие. –
Одесса, 1976.
6 Горовиц А.М. Синтез систем с обратной связью. – М.: Сов. радио, 1970.
49
ЧАСТЬ 2
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Лабораторная работа № 3.1а
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1 Цель работы
Исследовать цепи с одним накопителем энергии в переходном режиме на
виртуальном макете.
2 Список литературы
2.1 Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов.
– М.: Радио и связь, 1986.
2.2 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей:
Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.
3 Тест-вопросы
3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности
лабораторной работы приведены в Приложении А.
к
выполнению
4 Домашнее задание
4.1 Подготовить ответы на тест-вопросы.
4.2 Изучить теоретический материал по рекомендованной литературе и
конспекту лекций.
4.3 Для схем рис. 4.1 определить uC(t), iC(t), iL(t), uL(t) и построить временные
диаграммы в интервале времени 0 ≤ t ≤ 4τ .
R1
K
R1
K
+
+
E
R2
C
E
R2
C
+
б)
a)
R1
K
+
E
R2
R1
K
L
E
в)
Рисунок 4.1 – Цепи первого порядка:
а – разряд емкости; б – заряд емкости;
в – разряд индуктивности; г – заряд индуктивности
Данные для расчетов:
E = n, В; R1 = 20 Ом; R2 = 10 n, Oм; С =
100
, мкФ; L = n, мГн .
т
R2
г)
L
50
5 Лабораторное задание
5.1 Зарисовать временные диаграммы: uCз (t ) , iCз (t ) , uCр (t ) , iCр (t ) , iLз (t ) , u Lз (t ) ,
iLр (t ) , u Lр (t ) и сравнить их с аналогичными расчетами.
5.2 По экспериментальным диаграммам uCз (t ) , u Cp (t ) и i Lз , iLр определить
постоянные времени цепей при заряде и разряде τCз ,τCp, τLз, τLp.
5.3 Сравнить значения величин, которые были рассчитаны в домашнем
задании, с величинами, полученными в эксперименте.
5.4 Изменяя величины элементов, определить их влияние на длительность
переходного процесса (величину τ).
6 Порядок выполнения работы
6.1 С помощью ползунков, расположенных в середине нижней части макета,
установить заданные параметры элементов (рис. 6.1).
Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследуемой цепи
6.2 Включить виртуальный макет, нажав кнопку включения в правом верхнем
углу макета.
6.3 Переводя ключ на схеме макета из положения „1” в положение „2”,
пронаблюдать и зарисовать кривые переходного процесса. Пример
выполнения работы для исследования разряда индуктивности приведен на
рис. 6.2.
6.4 По осциллограммам переходного процесса определить постоянную времени
цепи.
6.5 Повторить п.п. 6.3...6.4 для всех случаев, приведенных на рис. 4.1.
51
Рисунок 6.2 – Пример выполнения работы
для исследования разряда индуктивности
6.6 По указанию преподавателя, аналогично п. 6.1, изменить параметры
элементов одной из схем и повторить п.п. 6.3...6.4. Оценить влияние
элементов на величину τ.
7 Содержание протокола
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Тема и цель работы.
Схемы измерений.
Результаты выполнения домашнего задания.
Осциллограммы токов и напряжений.
Расчеты величин τ по результатам эксперимента.
Выводы.
Лабораторная работа № 3.1б
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1 Цель работы
Исследовать цепь с двумя накопителями энергии в переходном режиме на
виртуальном макете.
2.1
2.2
2.3
2 Список литературы
Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник для
ВУЗов. – М.: Радио и связь, 1986.
Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей: Учебное
пособие для ВУЗов – М.: Радио и связь, 1989.
Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей:
Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.
52
3.1
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
3 Тест-вопросы
Тест-вопросы для выявления степени готовности к выполнению
лабораторной работы приведены в Приложении А.
4 Домашнее задание
Подготовить ответы на тест-вопросы.
Изучить теоретический материал по рекомендованной литературе и
конспекту лекций.
Вычислить критическое сопротивление Rкр.
Рассчитать частоту собственных колебаний колебательного контура.
Для каждого из заданных значений R (рис. 4.1) вычислить:
1) коэффициент затухания δ;
2) частоту свободных колебаний ωсв;
3) период свободных колебаний Тсв;
4) декремент колебаний ∆;
5) логарифмический декремент колебаний ln ∆.
Результаты вычислений занести в табл. 4.1.
Таблица 4.1 – Результаты вычислений
№
R, Ом
δ ωсв, рад/с Т, мс
пп.
1
2
3
4
5
∆
ln ∆ Эксперимент
Т, мс
∆
Данные для расчетов:
L = n мГн; C = 4 n нФ; R = 2 n Ом.
При расчетах необходимо менять сопротивление цепи от 0 до R = 5 ρ, где
L
ρ=
– волновое сопротивление RLC-контура.
C
R
Rг
4.7
+
Е
1
2
С
L
Рисунок 4.1 – Схема исследуемой цепи
53
5 Лабораторное задание
5.1 Установить заданные значения элементов исследуемой схемы.
5.2 С помощью осциллографа определить величины Тсв и ∆ для разных
значений сопротивлений.
5.3 Сравнить значения величин, рассчитанных в домашнем задании, с
величинами, полученными в эксперименте.
6 Порядок выполнения работы
6.1 С помощью ползунков, расположенных в середине нижней части макета,
установить заданные параметры элементов (рис. 6.1).
Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследуемой цепи
6.2 Включить виртуальный макет, нажав кнопку включения в правом верхнем
углу макета.
6.3 Переводя ключ на схеме макета из положения „1” в положение „2”,
пронаблюдать кривые переходного процесса. Выбор кривой осуществлять
путем нажатия соответствующей кнопки в правом верхнем углу экрана.
Пример выполнения работы для колебательного режима приведен на рис.
6.2.
6.4 По осциллограмме переходного процесса определить период свободных
колебаний Тсв и декремент колебания ∆. Результаты измерений занести в
таблицу.
6.5 Повторить пп. 6.3 и 6.4 для всех значений сопротивления R.
54
Рисунок 6.2 – Пример выполнения работы для колебательного режима
6.6 Изменяя величину сопротивления R, определить критическое сопротивление цепи Rкр (при этом кривая на осциллографе принимает характерный
вид).
6.7 Зарисовать кривые напряжения на емкости и индуктивности и тока в цепи
для значений сопротивления, указанных преподавателем.
7 Содержание протокола
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Тема и цель работы.
Схема измерений.
Результаты выполнения домашнего задания.
Таблицы измерений и графики.
Расчеты величин по результатам эксперимента.
Выводы.
Лабораторная работа № 3.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ И ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1 Цель работы
Выявить связь частотных и временных характеристик электрических
цепей. Приобрести навыки в исследовании частотных и временных
зависимостей электрических цепей первого порядка.
55
2 Список литературы
2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей:
Учебник для вузов. – М: Радио и связь, 1988.
2.2 Временные и операторные методы анализа цепей: Учебное пособие для
бакалавров. Одесса.: ОНАС им. А.С. Попова, 2008. – Ч.1.
3 Тест-вопросы
3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности
лабораторной работы приведены в Приложении А.
к
выполнению
4 Домашнее задание
4.1 Изучить теоретический материал по рекомендованной литературе и по
конспекту лекций.
4.2 Подготовить ответы на тест-вопросы.
4.3 Для приведенных схем таблицы 4.1 необходимо:
1) получить выражения модулей комплексных передаточных функций
напряжения Η(ω) и построить амплитудно-частотные характеристики;
2) получить выражения переходных функций напряжения huu (t ) и
построить переходные характеристики huu (t / τ) ;
3) получить выражения импульсных функций g (t ) и построить
∧
импульсные характеристики g (t / τ) .
4.4 Исходные данные для расчетов:
R1 = n, Ом; R2 = 10 n, Ом; С = 100 / m, мкФ; L = n, мГн.
Вычисления занести в таблицу, по данным таблицы построить графики:
частотные в пределах 0 ≤ (ωτ) ≤ 4, временные в пределах 0 ≤ (t/τ) ≤ 4.
5 Лабораторное задание
5.1 Составить анализируемую схему, установить значения элементов согласно
домашнему заданию.
5.2 Исследовать и зарисовать частотные и временные характеристики заданной
схемы.
5.3 Сравнить характеристики, полученные опытным путем и расчетные.
56
Таблица 4.1 – Исследуемые схемы первого порядка и их функции
напряжения
№
пп.
Схемы
L1
2
 1 
1+  
 ωτ 
R1
Постоянная
времени τ
∧
функция g (t )
t
τ
e
−
L1
R1
t
τ
−
t
τ
1− e
2
∧
δ(t ) − e
−
t
τ
e
−
−
L2
R1
t
τ
t
τ
R1C 2
1
 1 
1+  
 ωτ 
R2
R1
С1
R2
R1
С2
6
e
1 + (ωτ )
С1
5
2
1
С2
4
−
Импульсная
1
L2
3
1− e
1 + (ωτ )
R1
2
Переходная
функция h(t)
1
R1
1
Модуль
передаточной
функции Н(ω)
R2
R2
R1 + R2
R2
R1 + R2
+
2
e
1
t
τ
∧
δ (t ) − e
t
 1 
1+  
 ωτ 
 1 
1+  
 ωτ 
1
2
2
−
t
τ
R2 C1
− 
−
R2  ∧
R2
δ(t ) − e τ  (R1 + R2 )C1
e τ

R1 + R 2 
R1 + R2

2
1
1 + (ωτ )
−
+
1− e
−
t
τ
+
t
−
R2
+
e τ
R1 + R2
t
R2
R1 + R 2
t
∧
− 
 δ (t ) − e τ  +




+e
−
t
τ
(R1 + R2 )C 2
57
Окончание таблицы 4.1
№
пп.
Модуль
передаточной
функции Н(ω)
Схемы
R1
Импульсная
∧
функция g (t )
Постоянная
времени τ
L1
7
R2
R1 + R2
R2
R2
R1 + R2
R1
L2
8
+
R2
R1 + R2
L1
R1
R2
+
R1
10
L2
1
1 + (ωτ )
1 + (ωτ )
R2
R2
R1 + R2
R2
R1 + R2
С1
R1
11
+
R2
+
2
t

− 
1 − e τ  +




R2
R1 + R 2
1
2
+e
1
 1 
1+  
 ωτ 
t

− 
1 − e τ 




R2
R1 + R2
2
1
 1 
1+  
 ωτ 
R2
9
Переходная
функция h(t)
−
1− e
t
τ
2
−
t
τ
∧
+
1
t
2
1
−
R2
e τ
R1 + R2
+
2
t

− 
1 − e τ  +




R2
R1 + R 2
1
 1 
1+  
 ωτ 
t
L2
R1 + R 2
+ δ (t )
t
1 + (ωτ )
t
−
−
R2
e τ −e τ +
R1 + R 2
R2
R1 + R 2
−
R2
+
e τ
R1 + R2
 1 
1+  
 ωτ 
L1
R1 + R 2
+
2
1
1 + (ωτ )
t
−
R2
e τ
R1 + R2
2
+e
−
t
τ
t
∧
− 
 δ(t ) − e τ  +
L1 (R1 + R 2 )




+e
R2
R1 + R 2
−
R1 R 2
t
τ
t
∧
− 
 δ(t ) − e τ 




t
L2 (R1 + R2 )
R1 R 2
t
−
−
R2
e τ −e τ +
R1 + R 2
∧
R1 R2 С1
R1 + R 2
+ δ (t )
R1
12
С2
R2
R2
R1 + R2
1
1 + (ωτ )
2
R2
R1 + R2
t

− 
1 − e τ 




t
−
R2
e τ
R1 + R2
R1 R2 С 2
R1 + R2
58
6 Порядок выполнения работы
6.1 Составить анализируемую схему. Для этого каждому из двухполюсников
(Z1, Z2) поставить в соответствие пассивные элементы согласно
домашнему заданию.
6.2 Установить значения элементов непосредственно с клавиатуры (ввести
численные значения в соответствующее окно) или с помощью стрелок “ ”
и “ ” рядом с соответствующими окнами.
6.3 Для наблюдения частотных и временных характеристик поставить галочку
радом с необходимой характеристикой и нажать кнопку “Расчет”. Пример
выполнения работы для цепи первого порядка приведен на рис. 6.1.
Рисунок 6.1 – Пример выполнения лабораторной работы
7 Содержание протокола
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Тема и цель работы.
Схема измерений.
Результаты выполнения домашнего задания.
Таблицы измерений и графики.
Расчеты величин по результатам эксперимента.
Выводы.
59
Лабораторная работа № 3.3
ИСЛЕДОВАНИЕ ОТКЛИКА ЦЕПИ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ СТУПЕНЧАТОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
1 Цель работы
Приобрести навыки определения отклика цепи на заданные воздействия,
используя метод наложения и переходную функцию цепи.
2 Список литературы
2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей:
Учебник для вузов. – М: Радио и связь, 1988.
2.2 Временные и операторные методы анализа цепей: Учебное пособие для
бакалавров. Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2008. – Часть 1.
3 Тест-вопросы
3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности
лабораторной работы приведены в Приложении А.
к
выполнению
4 Домашнее задание
4.1 Изучить теоретический материал по рекомендованной литературе и
конспекту лекций.
4.2 Подготовить ответы на тест-вопросы.
4.3 Из таблицы 4.1 выбрать схему и для нее определить переходную функцию
h(t).
4.4 Из таблицы 4.2 выбрать сигнал воздействия u1(t).
4.5 Определить отклик u2(t) при заданном воздействии, рассчитать и построить
временную диаграмму этого отклика.
4.6 Данные для расчетов:
R1 = n, Ом; R2 = 10 Ом; С = 100 / m, мкФ; L = n, мГн.
Все вычисления занести в таблицу. По данным таблицы построить график
u2(t) в диапазоне 0 ≤ t / τ ≤ 6.
5 Лабораторное задание
5.1 Составить анализируемую схему, установить значения элементов и вид
воздействия согласно домашнему заданию.
5.2 Пронаблюдать отклик цепи на заданное воздействие. Сравнить полученные
данные с расчетными.
5.3 Пронаблюдать отклик цепи на воздействия другого вида (по заданию
преподавателя).
60
6 Порядок выполнения работы
6.1 Выбрать анализируемую схему. Для этого нужно нажать кнопку «Выбрать
схему». В открывшемся окне поставить галочку рядом со схемой, согласно
домашнему заданию (рис. 6.1).
Рисунок 6.1 – Пример выбора схемы
6.2 Установить значения элементов можно непосредственно с клавиатуры
(ввести численные значения в соответствующее окно).
6.3 Для выбора входного воздействия нужно нажать кнопку «Определить
воздействие». Установить необходимое воздействие, согласно домашнему
заданию (ввести численные значения в соответствующее окно интервала
времени), нажать кнопку «Предпросмотр воздействия», а затем кнопку
«Применить». Для того, чтобы сделать воздействие бесконечным,
необходимо поставить галочку в «Infinity» (рис. 6.2).
Рисунок 6.2 – Пример выбора воздействия
61
6.4 Для исследования отклика цепи необходимо нажать кнопку «Построить
график» (рис. 6.3).
Рисунок 6.3 – Пример построения отклика цепи
7 Содержание протокола
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Тема и цель работы.
Схема измерений.
Результаты выполнения домашнего задания.
Таблицы измерений и графики.
Расчеты величин по результатам эксперимента.
Выводы.
62
Таблица 4.1 – Исследуемые схемы и их функции
№
пп.
Переходная
функция h(t)
Схемы
L1
Отклик u2(t) на u1(t) диаграммы 21, Постоянная
табл. 4.2
времени τ
t
а) 0 ≤ ≤ 1
τ
R2
1
1− e
б) 1 ≤
1− e
R1
−
С2
2
t
τ
а) 0 ≤
−
L2
−
e
С1
4
t
τ
e
−
e
t
τ
L1
−
−2 e
t
в) > 2
τ
−2 e
R2
R1 + R2
−
t −τ
τ
+e
;
R2 C1
−
t − 2τ
τ
t
≤1
τ
t 

1 − e − τ  ;




L1
R1 + R 2
t
≤2
τ
t
t −τ 
t
− 
−
− 
R2 
R2 
R2 


τ
1 − e τ  R + R 1 − e  − 2 R + R 1 − e τ ;


1
2
1
2
R1 + R2 





R1
в)
С2
t −τ
τ
R1C 2
L2
R1
t
τ
−
б) 1 ≤
6
t
≤1
τ
t
τ
а) 0 ≤
R2
5
t
≤2
τ
e ;
t
б) 1 ≤ ≤ 2
τ
R2
R1
L1
R2
t
τ;
t
t −τ
−
−


1 − e τ − 21 − e τ  ;


t
в) > 2
τ
t
t −τ
t − 2τ


−
−
−
τ
τ


1− e − 2 1− e
+1− e τ




R1
3
−
R2
t
>2
τ
t
− 
R 2 
R2
1− e τ  − 2


R1 + R 2
R1 + R 2


+
R2
R1 + R 2
t −τ 

1 − e − τ 




t −2 τ 

1 − e − τ 




R1 R2 С 2
R1 + R2
63
Окончание таблица 4.1
№
пп.
Переходная
функция h(t)
Схемы
R1
Отклик u2(t) на u1(t) диаграммы 21, табл. 4.2
Постоянная
времени τ
а) 0 ≤ t ≤ 1
L2
7
t
−
e τ
R2
τ
t
− 
R2 
+
1− e τ  ;

R1 + R2 


L2
R1 + R 2
б) 1 ≤ t ≤ 2
t
τ
− 
R2 
τ +
t
t 
t −τ
t −τ 
1
−
e

−
−
−
−

R2 
R2 
R1 + R2 
τ +
τ  − 2e τ − 2
τ ;
e
−
e
−
e
1
1




R1 + R2 
R1 + R2 




t
−
τ
t
+e
С1
R1
в)
8
R2
R1
−
e
t
τ
τ
>2
t
t −τ
t −τ 
− 
−
−
R2 
R2 
τ  − 2e τ − 2
τ 
1
e
1
e
+
−
−
R1 + R2 
R1 + R2 






t − 2τ
t − 2τ 

−
−
R2 
+e τ +
1 − e τ 
R1 + R2 



R1 R2 С1
R1 + R 2
а) 0 ≤ t ≤ 1
С1
τ
t
−
R2
e τ;
R1 + R2
б) 1 ≤ t ≤ 2
τ
R2
9
t
−
R2
e τ
R1 + R2
t
−
−
R2
R2
e τ −2
e
R1 + R2
R1 + R2
R1
L2
10
в)
R2
t
;
L2 (R1 + R2 )
R1 R2
t −τ
τ
+
−
R2
e
R1 + R2
t − 2τ
τ
t
а) 0 ≤ ≤ 1
τ
R1
t
t

−
− ;
R2
e τ + 1 − e τ 


R1 + R2


t
б) 1 ≤ ≤ 2
τ
С2
R2
t
−
R2
e τ+
R1 + R2
L1
R1 R2
12
t −τ
τ
t
>2
τ
−
−
R2
R2
e τ −2
e
R1 + R2
R1 + R2
11
(R1 + R2 )C1
t

− 

τ
+ 1− e 




t
−
R2
e τ
R1 + R2
(R1 + R2 )C 2
t
t −τ 
t −τ  

 R
− 
−
−

2
+ 1 − e τ  − 2
e τ + 1 − e τ  ;

  R1 + R2



 


в) t > 2
τ
R2
R1 + R2
t
−
τ
e
t
t −τ 
t −τ  
 R

− 
−
−





2
τ
τ
e
+ 1 − e τ   +
+ 1 − e  − 2

  R1 + R2



 


+
−
R2
e
R1 + R2
t − 2τ
τ
t − 2τ 

−
+ 1 − e τ 




L1 (R1 + R 2 )
R1 R 2
64
Таблица 4.2 – Временные диаграммы воздействия
u1(t)
1
u1(t)
2
3
u1(t)
2U
3
2
1
1
4
t/τ
–U
4
u1(t)
1
2
4 t/τ
5
u1(t)
2
3
t/τ
4
u1(t)
7
6
U
1
t/τ
–U
1
t/τ
u1(t)
4
3
2
1
2U
U
3
4
3
–U
–2U
–U
– 2U
2
3
2
4
t/τ
–U
–2U
u1(t)
8
u1(t)
9
U
4 t/τ
3
2
1
U
–U
–U
1
4 t/τ
3
2
10
u1(t)
2U
11
u1(t)
12
u1(t)
U
U
1
2
3
4
u1(t)
t/τ
–U
13
u1(t)
2
4
3
t/τ
14
U
U
2
3
4 t/τ
–U
u1(t)
16
U
3
3
–U
u1(t)
4
U
–U
–U
t/τ
–U
u1(t)
17
u1(t)
18
U
1
2
3
–U
u1(t)
4 t/τ
20
U
4
t/τ
2
–U
1
4
2
t/τ
–U
u1(t)
21
U
1
3
4
3
2
1
3
19
2
15
4
t/τ
1
u1(t)
t/τ
1
U
2
1
t/τ
–U
U
2
1
4
3
2
1
U
1
4 t/τ
3
2
1
3
1
4 t/τ
2
3
4
t/τ
–U
65
Лабораторная работа № 3.4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1 Цель работы
Исследовать электрическую цепь с обратной связью на предмет ее
устойчивости.
2 Список литературы
2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей:
Учебник для вузов. – М: Радио и связь, 1988.
2.2 Временные и операторные методы анализа цепей: Учебное пособие для
бакалавров. Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2008. – Ч 1.
3 Тест-вопросы
3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности
лабораторной работы приведены в Приложении А.
к
выполнению
4 Домашнее задание
4.1 Изучить теоретический материал по рекомендованной литературе и
конспекту лекций.
4.2 Подготовить ответы на тест-вопросы.
4.3 Для цепи рис. 4.1 определить корни характеристического уравнения,
заданного выражением
1
1
p2 + p
+
= 0.
RC LC
Рассчитать корни для трех случаев:
1) R → ∞;
L
;
2) R > 2
C
L
3) − R > 2
.
C
Rг
іR
+
u
e (t )
L
іL
C
іC
Рисунок 4.1 – Исследуемая цепь
R
66
Данные для расчета цепи обратной связи (на рис. 4.1 обведена штриховой
10
линией): L = n, мГн ; С = , мкФ.
m
4.4 Изобразить корни, рассчитанные в пункте 4.3, на комплексной плоскости.
5.1
5.2
5.3
5.4
5 Лабораторное задание
Установить значения элементов цепи обратной связи.
Для трех значений сопротивления R, определенных в домашнем задании
(п. 4.3), исследовать временные характеристики цепи и зафиксировать
корни характеристического уравнения.
Сравнить домашние расчеты с экспериментальными диаграммами.
Рассмотреть временные зависимости для трех случаев (корни на мнимой
оси, корни в левой полуплоскости, корни в правой полуплоскости).
6 Порядок выполнения работы
6.1 С помощью ползунков или стрелочек “ ” и “ ” в левом верхнем углу
макета установить необходимые величины элементов цепи обратной связи
(R, L, C).
6.2 Для просмотра временных характеристик необходимо нажать кнопку
«Graph» на лабораторном макете.
Рисунок 6.1 – Пример выполнения лабораторной работы
6.3 В
верхней
части
макета
приведено
расположение
корней
характеристического уравнения (см. п. 4.3) на комплексной плоскости и
векторные диаграммы для произвольного момента времени (закладка
“положение указателя времени” над графиком).
67
6.4 Для изменения вида колебания необходимо изменить значения элементов
согласно домашнему заданию (п. 6.1) и повторить пп. 6.2 и 6.3.
7 Содержание протокола
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Тема и цель работы.
Схема измерений.
Результаты выполнения домашнего задания.
Таблицы измерений и графики.
Расчеты величин по результатам эксперимента.
Выводы.
68
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Тест-вопросы к лабораторным работам
Лабораторная работа № 3.1а
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1 Какой режим цепи называется стационарным?
2 Какой режим цепи называется переходным?
3 Какие условия необходимы, чтобы в цепи возник переходный процесс?
4 В каких электрических цепях отсутствует переходный процесс?
5 Что понимают под коммутацией?
6 Что такое идеальный ключ?
7 Что такое старый стационарный режим (ССР) электрической цепи?
8 Что такое новый стационарный режим (НСР) электрической цепи?
9 Как долго длится переходный процесс теоретически?
10 Как долго длится переходный процесс практически?
11 Как записать правило коммутации для индуктивности?
12 Как записать правило коммутации для емкости?
13 Что понимают под начальными условиями цепи?
14 Что является основой классического метода расчета переходных процессов?
15 Как связаны порядок дифференциального уравнения и порядок цепи?
16 Какие составляющие имеет решение дифференциального уравнения?
17 Какие составляющие имеет ток или напряжение в переходном режиме?
18 Как записать характеристическое уравнение цепи?
19 Как записать уравнение мгновенного значения напряжения на
индуктивности?
20 Как записать уравнение мгновенного значения тока в индуктивности?
21 Как записать уравнение мгновенного значения напряжения на емкости?
22 Как записать уравнение мгновенного значения тока в емкости?
23 Что такое постоянная времени цепи?
24 Как постоянная времени связана с корнем характеристического уравнения?
25 Какой характер носят временные диаграммы токов и напряжений в цепях
первого порядка в переходном режиме?
26 Как ведет себя индуктивность при нулевых начальных условиях?
27 Как ведет себя емкость при нулевых начальных условиях?
28 Чему равно сопротивление индуктивности после окончания переходного
процесса ( t → ∞ )?
29 Чему равно сопротивление емкости после окончания переходного процесса
( t → ∞ )?
30 Как записать постоянную времени RL цепи?
31 Как записать постоянную времени RС цепи?
69
Лабораторная работа № 3.1б
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1 Какой прибор можно использовать для наблюдения временных зависимостей
токов и напряжений?
2 Какие условия называются ненулевыми?
3 Какие условия называются нулевыми начальными?
4 Оказывают ли влияние численные значения величин источников на порядок
расчетов переходных процессов?
5 Какого порядка цепь, если в решении дифуравнения есть две экспоненты?
6 Чем необходимо воспользоваться, чтобы определить постоянные
интегрирования A (начальные значения экспонент)?
7 Как находится свободная составляющая (icв ,ucв)?
8 От чего зависят корни характеристического уравнения?
9 Как находится принужденная составляющая iпр , uпр ?
10 Как записать операторное изображение источника постоянного напряжения?
11 Справедливо ли утверждение, что операторная схема замещения
электрической цепи может быть получена, если цепь изображена до
коммутации?
12 Корни p1 и p2 характеристического уравнения вещественны, при этом
переходный процесс колебательный. Верно ли это утверждение?
13 Корни p1 и p2 характеристического уравнения комплексно-сопряженные, при
этом переходный процесс апериодический. Верно ли это утверждение?
14 Каково условие апериодического переходного процесса относительно
волнового сопротивления цепи?
15 Как связаны операторные величины сопротивлений и проводимостей с
комплексными?
16 Что такое начальные условия?
17 Что такое свободная составляющая?
18 Что такое порядок цепи?
19 Чем характеризуется стационарный режим электрической цепи, если в цепи
источник постоянного воздействия?
20 Какова причина возникновения переходных процессов в электрических
цепях, содержащих элементы R, L, C?
21 Как записать магнитную энергию индуктивности wL, по которой протекает
ток і?
22 Как записать электрическую энергию емкости wС, на зажимах которой есть
напряжение u?
23 Что характеризует принужденная составляющая iпр или uпр?
24 Что является решением дифуравнения?
25 В чем суть правила коммутации для элемента С?
26 В чем суть правила коммутации для элемента L?
70
27 Какие корни характеристического уравнения цепи второго порядка, если
R < 2 ρ?
28 Как записать операторное сопротивление последовательного RLC контура?
29 Каковы условие критического режима переходного процесса для цепи
второго порядка?
30 Каково условие апериодического режима переходного процесса для цепи
второго порядка?
Лабораторная работа № 3.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ И ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1. Что представляет собой частотная характеристика?
2. Что представляет собой временная характеристика?
3. Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)?
4. Что такое фазо-частотная характеристика (ФЧХ)?
5. Что называется передаточной функцией цепи?
6. Что называется комплексной передаточной функцией (КПФ) цепи?
7. Что называется операторной передаточной функцией (ОПФ) цепи?
8. Что такое переходная функция цепи?
9. Как связаны КПФ цепи с ОПФ этой же цепи?
10. Как записать переходную функцию по операторной передаточной функции
цепи?
11. Как записать переходную функцию по КПФ?
12. Что представляет собой переходная характеристика цепи?
13. Сколько переходных функций можно представить для четырехполюсной
цепи?
14. Как записать постоянную времени цепи, состоящей из элементов R и С?
15. Как записать постоянную времени цепи, состоящей из элементов R и L?
16. Как графически выглядит амплитудно-частотная характеристика цепи
первого порядка?
17. Как графически выглядит переходная характеристика цепи первого
порядка?
18. Как связаны графики переходной и амплитудно-частотной характеристик
четырехполюсной цепи?
19. Что такое импульсная функция цепи?
20. Сколько импульсных функций можно представить для четырехполюсной
цепи?
21. Как графически выглядит импульсная характеристика цепи первого
порядка?
22. Как связаны графики переходной и импульсной функций цепи первого
порядка?
23. Как связаны графики АЧХ и импульсной функции цепи первого порядка?
71
24. Как записать операторную переходную функцию цепи, если известна
комплексная функция?
25. Как записать КПФ, если известна ОПФ?
26. Как записать импульсную функцию цепи, если известна КПФ?
27. Как записать КПФ, если известна импульсная функция?
28. Как записать переходную функцию цепи, если известна КПФ?
29.Как записать импульсную функцию цепи, если известна переходная?
30.Как записать переходную функцию цепи, если известна импульсная?
Лабораторная работа № 3.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКЛИКА ЦЕПИ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ СТУПЕНЧАТОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Что называют воздействием на цепь?
Что называют откликом цепи?
Какие воздействия называются периодическими?
Какие воздействия называются регулярными?
Какой спектр имеют непериодические воздействия?
Каков спектр у периодических колебаний?
Что называется переходной функцией цепи?
Сколько
видов переходных функций
можно определить для
четырехплюсной цепи?
9 Как определить отклик цепи, если воздействие – ступенчатая функция
 0, t < 0;
u1 (t ) = 
?
U
,
t
>
0
.

10 Воздействие – сложная ступенчатая функция. Каким принципом
необходимо воспользоваться при расчете отклика цепи?
11 Воздействие запаздывает на время t0. Как записать переходную функцию в
этом случае?
12 Как определить постоянную времени цепи, содержащей элементы R и C?
13 Как определить постоянную времени цепи, содержащей элементы R и L?
14 Как определить переходную функцию цепи, если известна операторная
функция этой цепи?
15 Как определить переходную функцию цепи, если известна комплексная
передаточная функция этой цепи?
16 Как определить переходную функцию цепи, если задана схема цепи?
17 Чем отличаются переходная и амплитудно-частотная характеристики цепи
первого порядка?
18 Имеет ли размерность переходная функция напряжения и, если да, то
какую?
19 Имеет ли размерность переходная функция тока и, если да, то какую?
20 Имеет ли размерность переходная функция сопротивления и, если да, то
какую?
1
2
3
4
5
6
7
8
72
21 Имеет ли размерность переходная функция проводимости и, если да, то
какую?
22 Имеет ли размерность операторная передаточная функция напряжения и,
если да, то какую?
23 Имеет ли размерность операторная передаточная функция тока и, если да,
то какую?
24 Как называется метод определения переходной функции цепи, если
воздействие представляет собой произвольную функцию времени?
25 В каких случаях пользуются интегралом наложения для определения
переходной функции цепи?
Лабораторная работа № 3.4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
1. Что такое цепь обратной связи?
2. При каких условиях электрическая цепь с обратной связью будет
генерировать колебания?
3. Что является основным элементом цепи с обратной связью?
4. Что собой представляет четырехполюсник обратной связи?
5. Что такое “петлевое усиление”?
6. Что такое положительная обратная связь?
7. Что такое отрицательная обратная связь?
8. Что такое годограф передаточной функции?
9. В какой полуплоскости должен расположиться годограф передаточной
функции при положительной обратной связи?
10.В какой полуплоскости должен расположиться годограф передаточной
функции при отрицательной обратной связи?
11.Что такое самовозбуждение цепи с обратной связью?
12.Сколько способов соединений четырехполюсников для создания цепи с
обратной связью можно представить?
13.Что такое устойчивая электрическая цепь?
14.Что можно сказать об устойчивости электрической цепи, если корни
характеристического уравнения этой цепи расположены в левой
полуплоскости?
15.Как записать выходное напряжение цепи, если известны корни
характеристического уравнения р1 и р2?
16.Какая цепь называется абсолютно устойчивой?
17.Какая цепь называется автоколебательной?
18.Что называется стационарным режимом работы генератора?
19.При какого рода обратной связи наступает баланс фаз?
20.Что можно сказать об устойчивости системы, если корни
характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть?
73
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Примеры решения задач по темам модуля 3
Классический метод расчета ПП в ЛЭЦ первого порядка
Задача 1 Для цепи рис. 1.1 задано:
Е =1 В; R1 = R2 = 50 Ом; L = 100 мГн.
Определить:
1)
независимое
начальное условие цепи iL(0–);
2) постоянную времени цепи τ.
R1
К
+
E
L
R2
Рисунок 1.1 – Исследуемая цепь
Решение
1 Определим ток в индуктивности L до коммутации. Эквивалентная схема
замещения при этом имеет вид рис. 1.2.
E
5
i L (0 − ) =
=
= 0,1 А.
R1
К
iR2 = 0
R1 50
+
iL(0_)
Для цепи рис. 1.1 можно записать:
iL(0–) = iL(0+).
E
L
R2
E
Таким образом, iL (0 + ) =
= 0,1 А.
R1
Рисунок 1.2 – Схема замещения
2 Постоянная времени цепи
цепи до коммутации
L
τ=
определяется в режиме после
Rэкв
коммутации.
3 Определим Rэкв : Rэкв = R2 .
100 ⋅ 10 −3
Таким образом, τ =
= 2 ⋅ 10 −3 с.
50
Задача 2 Для цепи рис. 2.1 задано:
Е = 1 В; R1 = 5 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 20 Ом;
L = 20 мГн.
Определить: 1) ток в индуктивности
iL(t) после коммутации; 2) построить
временнýю диаграмму тока iL(t).
К
+
R2
E
R3
iL(t)
R1
L
Рисунок 2.1 – Исследуемая цепь
74
Решение
1 Определим
величину
тока
в
+
индуктивности до коммутации (t < 0).
R2
Эквивалентная схема замещения при этом
E
имеет вид рис. 2.2
iL(0_)
1
E
R1
L
=
≅ 0,067 А.
i L (0 − ) =
R1 + R2 5 + 10
2 Определим значение принужденной
Рисунок 2.2 – Схема замещения
составляющей тока в индуктивности iLпр. Для
цепи до коммутации
этого изобразим схему рис. 2.1 в новом
iпрЕ
стационарном режиме (рис. 2.3).
+
Величина тока в ветви с источником
напряжения
E
R2
R3
1
E
=
= 0,085 A .
iпр Е =
10 ⋅ 20
R2 R3
R1
5+
R1 +
L iLпр
10 + 20
R2 + R3
Величина тока в индуктивности
Рисунок 2.3 – Эквивалентная
R3
20
схема замещения цепи в НСР
iLпр = iпрЕ
= 0,085
= 0,056A .
R2 + R3
10+ 20
3 Запишем общий вид решения уравнения:
i L (t ) = i Lпр (t ) + i Lсв (t ) .
(2.1)
4 Определим значение свободной составляющей тока в индуктивности
iLсв(t):
iLсв = А еpt.
1
L
Значение корня р: p = − , где τ =
.
Rэкв
τ
RR
5 ⋅ 20
Величина Rэкв = R2 + 1 3 = 10 +
= 14 Ом является эквивалентным
R1 + R3
5 + 20
сопротивлением цепи относительно зажимов индуктивности.
20 ⋅ 10 −3
iL(t), А
Тогда τ =
= 1,43 ⋅ 10 −3 с;
0,1
14
1
p=−
= −700 с -1 .
0,067
−3
1,43 ⋅10
Постоянную интегрирования А
0,056
определим,
используя
правило
коммутации для индуктивности. Для
0 1 2 3 4 5
t/ τ
этого перепишем уравнение (2.1) при
Рисунок 2.4 – Временная
t = 0:
диаграмма тока индуктивности
iL(0–) = iL(0+) = 0,056 + А = 0,067,
откуда А = 0,067 – 0,056 = 0,011.
75
Запишем выражение тока в индуктивности iL(t) после коммутации:
iL (t ) = 0,056 + 0,011e −700 t А.
(2.2)
По выражению (2.2) определим iL(t) при t = 0; τ; 2τ; 3τ; ∞. Результаты
занесем в таблицу 2.1.
По данным таблицы 2.1 построим график (рис. 2.4).
Таблица 2.1 – Расчетные величины
0
1
2
3
t/τ
iL(t), А 0,067 0,059 0,057 0,0565
∞
0,056
К
Задача 3 Для цепи рис. 3.1 задано:
J = 0,2 A; R1 = R2 = R3 = 10 Ом;
C = 50 мкФ.
Определить: 1) напряжение на
емкости uC(t); 2) построить график
изменения напряжения на емкости uC(t).
R2
+
R1
J
C
uC(t)
R3
Рисунок 3.1 – Исследуемая цепь
Решение
1 Определим величину напряжения на емкости до коммутации uC(0–). Для
этого изобразим эквивалентную
R2
схему (рис. 3.2).
Очевидно, что uC(0–) = R3 ·i3(0–),
i3(0-)
+
где
R1
R3
J
uC (0-) C
R1
i3 (0 − ) = J
=
R1 + R2 + R3
Рисунок 3.2 – Эквивалентная схема
10
= 0,2
= 0,067 A,
замещения исходной цепи
10 + 10 + 10
до коммутации
а u (0 ) = 10 ⋅ 0,067 = 0,67 B .
C
−
2 Определим значение принужденной составляющей напряжения на емкости uCпр. Для этого
изобразим исходную схему в новом
стационарном режиме (рис. 3.3).
Величина напряжения
uCпр = i3пр R3 .
i3пр = J
i3пр
+
J
R1
uCпр
C
R3
Рисунок 3.3 – Эквивалентная схема
замещения цепи в НСР
R1
10
= 0,2
= 0,1 A ;
R1 + R3
10 + 10
а uCпр = 0,1 ⋅ 10 = 1 B .
3 Запишем общий вид решения уравнения:
uC (t ) = uCпр + uCсв (t ) .
(3.1)
Определим значение свободной составляющей напряжения на емкости:
76
uСсв (t ) = Ae pt .
Значение корня:
1
p=− ,
τ
где τ = Rэкв С – постоянная времени цепи.
Величина
RR
10 ⋅ 10
Rэкв = 1 3 =
= 5 Ом ,
R1 + R3 10 + 10
где Rэкв – эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов
τ = 5 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 = 0,25 ⋅ 10 −3 с.
Корень
1
характеристического уравнения p = −
= −4000 с–1.
−3
0,25 ⋅ 10
Постоянную интегрирования А определим, используя правило коммутации
для емкости. Для этого перепишем
uC(t), В
уравнение (3.1) для t = 0:
u C (0 − ) = uC (0 + ) = 1 + A ≅ 0,67 В,
1
откуда А = 0,67 – 1 = – 0,33.
0,67
4 Запишем выражение напряжения на
емкости uC(t) в переходном режиме:
u C (t ) = 1 − 0,33 e −4000 t B .
t
0
По этой формуле построим примерный
Рисунок 3.4 – Примерная диаграмма график (рис. 3.4).
напряжения емкости
емкости.
Постоянная
времени
Классический метод расчета ПП в ЛЭЦ второго порядка
R3
Задача 4 Для цепи рис. 4.1 задано:
Е = 5 В; R1 = 20 Ом; R2 = 40 Ом;
R1
C
R3 = 15 Ом; R4 = 10 Ом; C = 30 мкФ;
+
L = 40 мГн.
R2
Определить:
К
iL
R4
1) iL(0–), uC(0–);
Е
t=0
2) iLпр, uCпр.
L
Рисунок 4.1 – Исследуемая цепь
77
Решение
1 Для определения значений
R3
тока индуктивности iL(0–) и
i1(0–) R1
напряжения емкости uC(0–) до
i3(0–)
iL(0–)
+
С
коммутации изобразим схему рис.
R2
4.1 в старом стационарном режиме
uС(0–)
Е
R4
(рис. 4.2).
L
Ток индуктивности можно
определить по правилу „чужого”
Рисунок 4.2 –Эквивалентная схема
сопротивления:
замещения цепи до коммутации
R3 + R4
iL (0− ) = i1 (0− )
,
R2 + R3 + R4
где
E
5
i1 (0− ) =
=
= 0,14 A .
R2 ( R3 + R4 )
40 (15 + 10)
20 +
R1 +
R2 + R3 + R4
40 + 15 + 10
Тогда
15 + 10
iL (0 − ) = 0,14
= 0,0538 А ,
40 + 15 + 10
а
i3 (0− ) = i1 (0− ) − iL (0 − ) = 0,14 − 0,0538 = 0,086 А .
Напряжение емкости
uC (0− ) = i3 (0 − ) R3 = 0,086 ⋅ 15 = 1,29 B .
2
Для
определения
R3
принужденных значений iLпр и uCпр
i1пр R1
изобразим схему рис. 4.1 в новом
+
С
стационарном режиме (рис. 4.3).
R2
uСпр
Е
i3пр
Ток источника
i
L Lпр
E
5
i1пр =
=
= 0,16 A;
R2 R3
40⋅15
20 +
R1 +
Рисунок 4.3 –Эквивалентная
40 + 15
R2 + R3
схема замещения цепи в НСР
ток индуктивности:
R3
15
iLпр = i1пр
= 0,16
= 0,044 A ;
R2 + R3
40 + 15
ток резистора R3
R2
40
i3пр = i1пр
= 0,16 = 0,116 А ;
R2 + R3
55
напряжение емкости
uСпр = i3пр R3 = 0,116 ⋅ 15 = 1,74 В .
78
Прямое преобразование Лапласа
u(t)
1
-atи
e
t
0
tи
Рисунок 5.1 – Импульс
напряжения
Задача 5 Используя прямое преобразование
Лапласа, определить изображение U(p) сигнала
u(t) рис. 5.1 в виде экспоненциального импульса:
0, t < 0;

u (t ) = e -at , 0 ≤ t ≤ t и ;
0, t > t ,
и

где а – положительное действительное число.
Решение:
На
основании
прямого
преобразования Лапласа можно записать:
∞
tи
0
0
U ( p ) = ∫ u (t ) e -pt = ∫ e −at e − pt dt =
u(t)
1
u1(t)
1
tи
1 − e − ( p + a ) tи .
0
t
p+a
-atи
u
(t)
2
Такой же результат можно получить – e
Рисунок 5.2 – Исследуемый сигнал
другим способом. Для этого можно
в виде суммы двух функций
представить исходную функцию u(t) как
сумму двух функций (рис. 5.2):
u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ),
=
(
)
где u1 (t ) = e − at , u 2 (t ) = −e − a (t −tи )
Изображение u1(t) имеет вид (см. таблицу 2.1 преобразования Лапласа
данного методруководства):
1
U1 ( p) =
.
p+a
Изображение u2(t), в соответствии с теоремой запаздывания:
1
U 2 ( p) = −
e −atи e − ptи .
p+a
В силу линейности преобразования Лапласа изображение функции U(p)
будет равно сумме изображений:
U ( p ) = U 1 ( p ) + U 2 ( p );
U ( p) =
1
1
1
−
e −atи e − ptи =
1 − e −( p+ a )tи .
p+a p+a
p+a
(
)
79
Операторный метод расчета ПП в ЛЭЦ
Задача 6 В цепи рис. 6.1 срабатывает
ключ К в момент времени t = 0 и вводит
резистор
R2.
Операторным
методом
определить iL(t) при t ≥ 0, если известны E,
R1, R2, L. Построить график iL(t).
R1
+
E = const
L
R2
iL(t)
К
Рисунок 6.1 – Исследуемая
цепь
Решение:
1 Цепь рис. 6.1 рассматривается в старом стационарном режиме (t < 0)
(рис. 6.2).
Так как в цепи действует источник
R1
постоянного
напряжения
Е,
то
+
сопротивление индуктивности эквивалентно
нулю и ток в этом случае можно записать как
E
L
E
i L (0 − ) =
– ненулевое начальное
iL(0_)
R1
Рисунок 6.2 – Эквивалентная
условие.
схема замещения цепи
2 Составим
операторную
схему
до коммутации
замещения (цепь рассматриваем после
коммутации) (рис. 6.3).
3 По закону Ома определим изображение тока индуктивности:
E
+ LiL (0− )
E + pL ⋅ iL (0− )
p
I L ( p) =
=
.
R1 + R2 + pL p[ pL + ( R1 + R2 )]
R1
IL(p)
4 Используя таблицу соответствий
по Лапласу, определим оригинал iL(t).
+ E/p
Для этого изображение IL(р) представим
pL
в виде суммы изображений:
E
LiL (0− )
I L ( p) =
+
.
LiL(0–)
p[ pL + ( R1 + R2 )] [ pL + ( R1 + R2 )]
R2
Чтобы
получить
изображение
+
табличного
вида,
числитель
и Рисунок 6.3 – Операторная схема
знаменатель каждой дроби разделим на
замещения цепи
L:
E
1
iL (0− )
I L ( p) =
+
.
( R1 + R2 )  
( R1 + R2 ) 
L 
p p +
  p +

L
L

80
Так как iL (0 − ) =
E
, то
R1
I L ( p) =
1
1
E
E
+
.
( R1 + R2 )  R1 
( R1 + R2 ) 
L 
p p +
p+



L
L



Изображение тока индуктивности представлено в виде суммы
изображений. Оригинал iL(t) будет определяться как сумма оригиналов,
соответствующих каждому изображению:
(R +R )
( R +R )

− 1 2 t
− 1 2 t
E
L
E
L
1 − e
+ e L
i L (t ) =
=

 R1
L ( R1 + R2 ) 

−
E
E
=
−
e
R1 + R2 R1 + R2
E
E
E  −
e
=
+  −
R1 + R2  R1 R1 + R2 
R1
+
E
L
R2
iLпр
Рисунок 6.4 – Эквивалентная
схема замещения цепи в НСР
( R1 + R2 )
t
L
+
( R1 + R2 )
t
L
( R1 + R2 )
t
L
=
−
E ⋅ R2
E
=
+
e
R1 + R2 R1 ( R1 + R2 )
(6.1)
( R1 + R2 )
t
L
.
Проверка. Положим t = 0–, что
соответствует начальным условиям (см. рис.
6.2).
E
ER2
E
iL ( 0 − ) =
+
= .
R1 + R2 R1 ( R1 + R2 ) R1
Положим t → ∞, что соответствует
новому стационарному режиму (см. рис. 6.4).
E
iLПР =
. Построим примерный
R1 + R2
L
.
R1 + R2
Пункт 4 (определение оригинала)
можно выполнить, используя теорему
разложения. Полученное в пункте 3
изображение тока индуктивности имеет
нулевой корень в знаменателе. Поэтому
при определении оригинала используем
выражение
(2.24)
данного
методруководства:
график iL(t) (рис. 6.5), где τ =
E −
e
R1
iL(t)
E / R1
E
R1 + R2
0 1 2 3 4 5 t/τ
Рисунок 6.5 – Примерная временная
диаграмма тока индуктивности
81
E
E + pL ⋅ i L (0)
R1
I L ( p) =
=
,
p[ pL + (R1 + R2 )] p[ pL + ( R1 + R2 )]
M ( p)
т. е. I L ( p ) =
.
pN1 ( p )
Корни знаменателя
R + R2
p0 = 0 и p1 = − 1
.
L
Производная N′1(p) = L
M (0)
E
=
.
N1 (0) R1 + R 2
Тогда
 R + R2  E
E + − 1
L
( R1 + R2 )
L
E
E

 R1 − L t
e
i L (t ) =
+
=
+
R1 + R2
R1 + R2
 R1 + R2 
−
L
L 

E + pL
(R + R )
(6.2)
(R + R )
− 1 2 t
ER − ER1 − ER2 − 1 L 2 t
ER2
E
e
e L .
+ 1
=
+
− R1 (R1 + R2 )
R1 + R2 R1 ( R1 + R2 )
Выражения (6.1) и (6.2) совпадают. Таким образом, результат решения
задачи не зависит от способа ее решения.
Задача 7 Для цепи рис. 7.1
составить уравнения по методу
узловых
напряжений
в
операторной форме.
R1
+
К
L
R3
U = const
C
R2
Рисунок 7.1 – Исследуемая цепь
Решение:
iL(0–) R1
+
U
L
R3
+
uC(0–) C
Рисунок 7.2 – Эквивалентная схема
замещения цепи до коммутации
R2
Это пример цепи с ненулевыми
начальными
условиями.
Для
определения начальных условий
рассмотрим
цепь
в
старом
стационарном режиме (рис. 7.2).
Ток индуктивности (в цепи)
U
i L (0 − ) =
;
R1 + R2 + R3
напряжение емкости
uC (0 − ) = iL (0 − ) ⋅ R2 .
82
Таким образом, операторная схема замещения для заданной цепи имеет
вид рис. 7.3.
Цепь рис. 7.3 содержит два неустранимых узла. Выбрав в качестве
базисного узла 0-й, составим
уравнение по методу узловых
LiL(0–)
pL
напряжений для узла 1. В общем
IL(p) R1
+ 1
виде:
I2(p)
+ U/p
U 10 ( p ) ⋅ Y11 ( p ) = J11 ( p ),
1/ pС
R
2
+
и для искомой цепи
uC (0 − )

1
1 
IC(p)
=
U 10 ( p )
+ pC +
p
R2 
 R1 + pL
0
U

1
Рисунок 7.3 – Операторная схема
=  + Li L (0 − ) 
+
замещения цепи
p
 ( R1 + pL)
+
u C (0 − )
pC.
p
Переходная функция цепи
i(t)
L
R
u1(t)
Задача 8 Для цепи рис. 8.1 определить
переходную функцию напряжения huu(t) и
u2(t) построить график.
Решение
1 По определению переходной функции,
Рисунок 8.1 – Исследуемая
цепь
если
то
I(p) рL
u1(t) = 1(t),
u2(t) ≡ h(t).
R
2 Переходную функцию найдем
операторным методом. Для этого изобразим
операторную схему замещения для цепи
Рисунок 8.2 – Цепь
рис. 8.1 учитывая, что начальные условия
в операторном виде
нулевые (рис. 8.2).
3 Изображение единичной функции 1(t):
1
u1 (t ) ≡ 1(t ) ⇔ U 1 ( p ) = .
p
4 По закону Ома, изображение напряжения на выходе четырехполюсника
U1(p)
U2(p)
U 2 ( p ) = I ( p ) R,
где
83
I ( p) =
1/ p
.
R + pL
Тогда
R
R
1
=
.
R
p (R + pL ) L 
p p + 
L

5 Оригинал u2(t) найдем по таблице Лапласа:
U 2 ( p) =
R
− t
e L .
h(t ) ≡ u 2 (t ) = 1 −
(7.1)
6 Примерный график переходной
huu(t)
характеристики цепи h(t) по (7.1) имеет
вид приведенной на рис. 8.3.
1
Следует отметить, что рассматриваемая цепь рис. 8.1 является
интегрирующей цепью, для которой в
разделе „Комплексная передаточная
0
t
функция цепи” представлен график
Рисунок
Переходная
8
.
3
–
АЧХ.
Из
сравнения
графиков
характеристика цепи
переходной характеристики и АЧХ
можно записать:
huu (0) = H (∞) ,
huu (∞) = H (0) .
Доказано, что для любой ЛЭЦ первого порядка переходная характеристика
h(t) и частотная Н(ω) имеют взаимообратный характер.
Операторная передаточная функция цепи
Задача
9
Заданы
операторная
передаточная функция напряжения цепи рис.
u1(t)
ЛЭЦ
u2(t)
9.1
b p
H uu ( p ) = 1
и
изображение
p + a0
Рисунок 9.1 – Исследуемая
U
цепь
воздействия u1 (t ) ⇔ U 1 ( p ) = .
p
Определить отклик цепи u2(t) и построить график u2(t).
Решение
1 Определим изображение U2(p) отклика цепи u2(t):
U b1
U b1 p
U 2 ( p ) = U 1 ( p ) ⋅ H uu ( p ) =
=
.
(9.1)
p p + a 0 p + a0
2 Перейдем от изображения (9.1) к оригиналу u2(t), используя таблицу
преобразования Лапласа:
84
U b1
⇔ U b1e −a0t = u 2 (t ) . (9.2)
p + a0
3 Согласно (9.2) построим примерный
график u2(t) (рис. 9.2).
U 2 ( p) =
u2(t)
Ub1
Импульсная функция цепи
t
0
Задача 10. Для цепи рис. 8.1 данного
Рисунок 9.2 – Временная
раздела определить импульсную функцию
диаграмма отклика
напряжения guu(t) и построить ее график.
Решение
1 Для определения импульсной функции цепи используем ее переходную
R
− t
e L ,
′ (t ) + h(0) .
функцию, определенную в задаче 8: huu (t ) = 1 −
а g uu (t ) = huu
2 Продифференцируем выражение переходной функции:
R
R − Lt
′ (t ) = e .
huu
L
0
Так как h(0) = 1 − e = 1 − 1 = 0 , то окончательно получим
R
R − t
′ (t ) = e L .
g uu (t ) = huu
L
Произведем нормирование импульсной функции:
∧
g uu (t / τ)
1
(10.1)
−t
∧
−t
L R τ
g (t ) = τ ⋅ g (t ) =
e =e τ .
R L
3 По этому выражению построим
примерный
график
импульсной
∧
характеристики цепи g uu (t ) , задавая значения:
t/τ = 0, 1, 2,… (рис. 10.1).
0 1 2 3 4 5
t/τ
Примечание. Задачи 8 и 10 можно также
Рисунок 10.1 – Импульсная решить,
используя
операторную
характеристика цепи
передаточную функцию H(p), особенно, если
она заранее известна для анализируемой цепи.
В таких случаях определяют изображение переходной функции:
1
h(t ) ⇔ H ( p ) ,
p
затем от изображения переходят к оригиналу h(t) известными способами.
Изображением импульсной функции является операторная функция
(подраздел 2.5):
g (t ) ⇔ H ( p ) .
85
От изображения переходят к оригиналу, определяя таким образом
импульсную функцию цепи g(t). Импульсную функцию следует нормировать, а
затем строить характеристику.
Определение отклика цепи методом наложения
Задача 11. На вход цепи рис. 11.1 подается напряжение u1(t) (рис. 11.2).
 U , 0 ≤ t < t1 ;

u1 (t ) = 2U , t1 ≤ t < 2t1 ;
 0, t ≥ 2t .
1

u1(t)
2U
R
U
u1(t)
L
u2(t)
Рисунок 11.1 – Исследуемая
цепь
t
0
t1
2t1
Рисунок 11.2 – Функция
воздействия
Требуется: 1) определить отклик u2(t) методом наложения;
2) построить график u2(t).
Решение
1 Входное напряжение u1(t) можно с помощью единичной функции 1(t)
представить в виде трех ступенчатых составляющих (рис. 11.3):
u1 (t ) = u1(1) + u1( 2) + u1(3) = U ⋅ 1(t ) + U ⋅ 1(t − t1 ) − 2U ⋅ 1(t − 2t1 ).
2 Отклик цепи на указанные составляющие воздействия соответственно
равен:
u 2 (t ) = U ⋅ huu (t ) для 0 ≤ t < t1 ;
u 2 (t ) = U ⋅ huu (t ) + U ⋅ huu (t − t1 )
для t1 ≤ t < 2t1 ;
u 2 (t ) = U ⋅ huu (t ) + U ⋅ huu (t − t1 ) − 2U ⋅ huu (t − 2t1 )
для t ≥ 2t1 ,
где huu(t) – переходная функция напряжения цепи;
huu(t – t1) – переходная функция напряжения цепи, сдвинутая на время t1;
huu(t – 2 t1) – переходная функция напряжения цепи, сдвинутая на время 2t1.
86
3 Определим переходную функцию напряжения цепи операторным
методом:
u1(1) (t )
huu (t ) ⇔
U
Для этого необходимо определить
операторную передаточную функцию
напряжения цепи Huu(p):
t
0
t1
2t1
H uu ( p ) =
u1( 2 ) (t )
U
=
t
0
t1
2t1
2t1
U 2 ( p)
I ( p ) pL
=
=
U 1 ( p ) I ( p )( pL + R )
pL
p
=
.
pL + R p + R
L
Тогда:
u1(3) (t )
t1
1
H uu ( p ) .
p
1
p
1
=
. (11.1)
p p+ R p+ R
L
L
Изображению (11.1) в таблице
h(t ) ⇔
t
0
–U
Лапласа соответствует оригинал
R
− t
e L .
Таким образом:
– 2U
Рисунок 11.3 – Разложение функции
воздействия на три составляющие
h(t ) =
R
− t
e L
−
t
τ
=e ,
где τ – постоянная времени цепи τ =
L
.
R
4 Зададим следующие численные значения для этой цепи: R = 10 Ом ;
L = 0,1Гн ; U = 10 B ; t1 = 10 −2 c . Отклик цепи ищем отдельно на каждом из
интервалов непрерывности воздействия u1(t):
1) 0 ≤ t < t1 :
2
u 2 (t ) = 10 e −10 t , B ;
(11.2)
при t = 0
u 2 (0) = 10 B;
при t = t1
u 2 (t1 ) = 10 е −10
2
⋅10−2
= 10 e −1 = 3,67 B .
2) t1 ≤ t < 2t1 :
2
u 2 (t1 ) = 10 е −10 t + 10 е −10
2
(t −10−2 )
,B ;
(11.3)
87
при t = t1
u 2 (t1 ) = 10 e −10
при t = 2 t1
2
u 2 (2t1 ) = 10 e −10
3) t ≥ 2t1 :
⋅10−2
2
+ 10 e −10
⋅2⋅10−2
2
(10−2 −10−2 )
+ 10 e −10
2
= 10 e −1 + 10 e 0 = 3,67 + 10 = 13,67 B;
( 2⋅10−2 −10−2 )
= 10 e −2 + 10 e 0 = 1,35 + 3,67 = 5,02 B .
2
2
u 2 (t1 ) = 10 е −10 t + 10 е −10
(t −10−2 )
− 2 ⋅ 10 е −10
2
(t −2⋅10−2 )
,B;
(11.4)
при t = 2 t1
u 2 (2t1 ) = 10 е −10
2
⋅2⋅10−2
+ 10 е −10
2
( 2⋅10−2 −10−2 )
− 2 ⋅ 10 е −10
2
( 2⋅10−2 − 2⋅10−2 )
=
= 10 e −2 + 10 e −1 + 20 e 0 = 1,35 + 3,67 − 20 = −14,98 B;
при t → ∞
u2(∞) = 0.
5 Результаты численных расчетов (п. 4) сводим в таблицу 11.1. По данным
табл. 11.1 строим график отклика u2(t) (рис. 11.4).
Таблица 11.1 – Результаты расчетов отклика
t / t1
t, с
u2(t), В
0
0
10
0,5
0,5·10–2
6,07
1
10–2
3,67
1
10–2
13,67
1,5
1,5·10–2
8,3
2
2·10–2
5,02
2
2·10–2
– 14,98
2,5
2,5·10–2
– 9,09
∞
∞
0
Расчетные
формулы
(11.2)
(11.3)
(11.4)
88
u 2(t) , В
13,67
10
8,3
6,07
5,02
3,67
0
0,5
1
2
1,5
2,5
3
t /t1
– 5,49
– 9,09
– 10
– 14,98
Рисунок 11.4 – Временная диаграмма отклика
Задача 12. На вход цепи рис. 12.1 подается напряжение u1(t) в виде
экспоненциального импульса рис. 12.2, где tи – длительность импульса, а –
действительное положительное число.
t < 0;
 0,
 −at
u1 (t ) = U e , 0 ≤ t < t и ;
 0,
t ≥ tи .

u1(t)
R
U
u1(t)
L
u2(t)
u1(tи)
Рисунок 12.1 – Исследуемая
цепь
t
0
tи
Рисунок 12.2 – Входное
воздействие
Требуется: 1) определить отклик цепи u2(t);
2) построить график u2(t).
Решение
1 Определим отклик цепи u2(t) с помощью интеграла Дюамеля. Для этого
необходимо знать переходную функцию напряжения huu(t) цепи. Эта функция
89
R
− t
e L
−
t
τ.
уже определена в задаче 11: huu (t ) =
=e
Так как воздействие u1(t) имеет
один разрыв первого рода при t = tи, то отклик цепи определяем для двух
интервалов непрерывности воздействия отдельно (1.30):
1) 0 ≤ t < t и :
tи
u 2 (t ) = u1 (0) huu (t ) + ∫ u1′ ( x) huu (t − x)dx,
0
2) t ≥ t и :
tи
u 2 (t ) = u1 (0) huu (t ) + ∫ u1′ ( x) huu (t − x)dx − u1 (t и ) huu (t − t и ).
0
В данной задаче u1 (0) = U ; u1′ ( x) = −aUe ; u1 (t и ) = Ue
− ax
R
− (t − x )
e L
;
huu (t − x) =
huu (t − t и ) =
Тогда для интервала 1
u 2 (t )
R
− t
= Ue L
t
(
+ ∫ − aUe
− atи
; huu (t ) =
R
− t
e L
;
R
− ( t − tи )
e L
.
−ax
)
R
− (t − x )
e L
dx
=
R
− t
−Ue L
0
R − aL 

t
aL 
1 − e L   ; (12.1)
1 +

 R − aL 

для интервала 2
u 2 (t )
R
− t
= Ue L
tи
+
∫ (− aUe
0
−ax
)
R
− (t − x)
e L
dx
− Ue
− atи
R
− ( t −tи )
e L
=
(12.2)
R − aL
R − aL 

tи 
tи
aL 
1 − e L  − e L .
1 +


R
−
aL




2 Зададим следующие численные значения для этой задачи: R = 10 Ом ;
L = 0,1Гн ; а = 2; U = 2 В; tи = 10–2 с.
Для интервала 1 выражение отклика цепи, согласно (12.1):
10-2⋅0,1 


t
-100t
0,1

, B.
1 + 0,0204 1 − e
u 2 (t ) = 2 e





При t = 0
u2(0) = 2 B;
при t = tи
u2(tи) = 0,744 B.
Для интервала 2 выражение отклика цепи, согласно (12.2):
10-2⋅0,1

t
10
-100t 
u 2 (t ) = 2
e
1 − e 0,1 , B.


10 − 2 ⋅ 0,1


При t = tи
u2(tи) = – 1,247 B;
при t → ∞
R
− t
= Ue L
90
u2(∞) = 0.
3 Результаты расчетов (п. 2) сводим в таблицу 12.1. По данным таблицы
строим график отклика (рис. 12.3).
Таблица 12.1 – Результаты
расчетов отклика
t / tи
0
0,5
1
1
1,5
2
∞
t, с
0
0,5·10–2
–2
10
10–2
1,5·10–2
2·10
∞
–2
u2(t), В
Расчетные
формулы
u2(t), В
2
1,2
0,744
– 1,247
– 0,755
– 0,45
0
(12.1)
(12.2)
2
1,2
1
0,744
2
t / tи
1,5
0
0,5
1
– 0,45
– 0,75
–1
–1,247
Рисунок 12.3 – Временнáя диаграмма
отклика
u 2(t), В
2
1
0,014
0
1,5
0,5
1
2
t / tи
–1
–1,833
–2
Рисунок 12.4 – Временная диаграмма
отклика при увеличении длительности
импульса в пять раз
4 При увеличении длительности импульса tи входного напряжения u1(t)
временная диаграмма рис. 12.3 изменится: при t = tи скачок отклика u2(t)
опустится ниже. Например, пусть длительность импульса входного напряжения
увеличится в 5 раз: tи = 5·10–2 с.
91
Получим результаты расчетов, аналогичных п. 3, которые сведем в таблицу
12.2.
Таблица 12.2 – результаты расчетов, при увеличении длительности
импульса в 5 раз
t / tи
t, мс
u2(t), В
0
1
1
∞
0
50
50
∞
2
0,014
– 1,833
0
По данным табл. 12.2 построим временную диаграмму отклика u2(t) (рис.
12.4).
5 Если не увеличивать длительность импульса tи входного напряжения
u1(t), но увеличить коэффициент а показателя экспоненты входного напряжения
u1(t), то временная диаграмма отклика будет выглядеть аналогично рис. 12.4.
Предлагается самостоятельно проверить это утверждение.
92
Учебно-методическое издание
Наталия Федоровна Арбузникова
Анатолий Юрьевич Калашников
Альфред Васильевич Шкулипа
Теория электрических цепей и сигналов
Модуль 3
Временные и операторные методы
анализа электрических цепей
Часть 1 и 2
Учебно-методическое пособие
для бакалавров
Редактор И. В. Ращупкина
Компьютерное макетирование Ж.А. Гардыман