МулляджановЯворский

О КОНИЧЕСКОМ МГД ТЕЧЕНИИ
Р.И. Мулляджанов1, Н.И. Яворский1,2
Институт теплофизики СО РАН им. акад. С.С. Кутателадзе, 2Новосибирский государственный
университет, Новосибирск
1
В работе представлено точное решение МГД уравнений в бесконечном пространстве. Стационарное
течение вызвано точечным источником импульса и электродом, испускающим электрический ток J, оба из
которых расположены на конце тонкого полубесконечного изолированного проводника. Решение имеет
автомодельный вид, когда скорость и магнитное поле уменьшаются обратно пропорционально расстоянию
от источника. Если проводник бесконечно тонкий, то условие прилипания не может быть выполнено. В этом
случае у радиальной компоненты скорости имеется логарифмическая особенность на проводнике; однако,
величина J не является функцией осевого гидродинамического импульса струи и может быть установлена
независимо. С увеличением J вдоль проводника появляется возвратное течение, которое является причиной
запирания плотности тока в заданной точке пространства. При больших J найдено решение типа
пограничного слоя. Получено, что толщина пограничного слоя около проводника имеет масштаб J−1/f(Bt) (0 <f
≤ 1/2). Bt - число Бэтчелора. Для Bt = 0 точное решение существует только при конечных значениях J. Для
объяснения причины возникновения возвратного течения рассмотрен баланс сил около проводника.
Показано, что силы вязкости, давления и Лоренца компенсируются в ведущих порядках.
Найдена бифуркация полоидального магнитного поля, приводящая к возникновению вращения
жидкости. Продемонстрирован физический механизм бифуркации. Согласно теории бифуркаций решение
без вращения теряет устойчивость, в то время как новое решение с вращением будет устойчиво.
Возникновение вращения устраняет эффект запирания электрического тока.
Рассмотрена задача в пределе узкого конуса, стремящегося к линейному проводнику при заданном
условии скольжения на стенке конуса. В этом случае в области течения нет сингулярностей, в отличие от
случая, когда конус становится линейным проводником. Радиальная скорость на конусе увеличивается как
J2 при больших J. Условие же прилипания на стенке (для конечного угла конуса) приводит к следующему.
Ток определяет значение источника импульса. Когда конус стремится к линейному проводнику, влияние
магнитного поля на течении устраняется, а условие прилипания на стенке стирается. Решение задачи о МГД
течение превращается в решение Слезкина-Ландау-Сквайра [1-3] для затопленной струи. Эти результаты
подчеркивают уместность существующей формулировки, когда течение определено числом Рейнольдса и
током в проводнике, которые можно задавать независимо.
ЛИТЕРАТУРА.
1. Слезкин Н. А. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой
жидкости // Ученые записки МГУ. 1934. Т. 2. С. 89.
2. Ландау Л. Д. Об одном новом точном решении уравнений Навье-Стокса // Доклады АН СССР. 1944. Т.
43. С. 299.
3. Squire H. B. The round laminar jet // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951. Vol. 4. P. 321.
ON CONICAL MHD FLOW
R.I. Mullyadzhanov1, N.I. Yavorsky1,2
Institute of Thermophysics SB RAS, 2Novosibirsk State University, Novosibirsk
1
The work presents the exact solution of the MHD equations in infinite space. The steady flow is induced by
the point source of momentum and point electrode discharging the electric current J, which are both located at the
end of a thin semi-infinite insulated wire. The solution has a self-similar form when the velocity and magnetic field
decrease as the inverse distance from the origin. If the wire is infinitely thin, then the no-slip condition cannot be
satisfied. In this case, the radial velocity has a logarithmic singularity on the wire; however, the current magnitude J
is not a function of the axial momentum of the jet flow and can be set independently. With the increase in J, a
reverse flow occurs along the wire, which causes the confinement of the current density in a certain point of space.
At large J the solution of the boundary layer type is derived. It is found that the boundary layer thickness near the
wire scales as J−1/f(Bt) (0 < f ≤ 1/2). Bt – Batchelor number. For Bt = 0 the exact solution exists only at finite values
of J. We consider the balance of the forces in the vicinity of the wire so as to explain the reverse flow. It is shown
that viscous, pressure, and Lorentz forces compensate each other in the leading orders.
A pitchfork bifurcation of the poloidal magnetic field is found, which leads to the arising of rotation of the
fluid. A physical mechanism of the bifurcation is demonstrated. According to the bifurcation theory, the solution
without rotation is likely to lose stability, while a new solution with rotation is expected to be stable. The generation
of rotation eliminates the current confinement effect.
The limit of the problem is considered when a narrow cone tends to the wire while the slip condition is set on
the wall of the cone. No singularities in the flow region occur, unlike when the cone appears to be a wire (a line).
The radial velocity on the cone increases as J2 at large J. The no-slip condition on the wall (for finite cone angle)
results in the following. The current determines the value of the momentum source. When the cone tends to a wire,
the effect of the magnetic field on the flow is eliminated and the no-slip condition on the wall vanishes. The solution
of the MHD problem approaches the Slezkin-Landau-Squire solution. These findings emphasize the relevance of the
present formulation when the flow is determined by the Reynolds number and the current, which can be set
independently.
REFERENCES.
1. Slezkin, M. A. 1934 On a case of integrability of the complete differential equations of a viscous fluid // Uc. Zap.
MGU 2, 89–90.
2. Landau, L. D. 1944 On a new exact solution of the Navier-Stokes equations // Dokl. Akad. Nauk SSSR 43, 299–
301.
3. Squire H. B. The round laminar jet // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951. Vol. 4. P. 321.