Готовимся к ЕГЭ Тригонометрические функции и тригонометрические выражения. Цель: Актуализировать знания о тригонометрических функциях, тригонометрических выражениях и способах их упрощения. Справочный материал. 1. Рисунок единичной окружности с основными обозначениями, который используется в качестве опорного материала 2 tg = sin cos x(-) 2 3 2 ctg cos sin tg ctg 1 sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 2. Таблица значений тригонометрических функций Задание: Вычислить: sin2 45o +cos60o +ctg2 30° 2 2 1 Разбор задания: sin 45 cos 60 ctg 30 2 2 Ответ: 4 Задание: 2 o o Вычислить самостоятельно: cos 2 o 3 2 1 1 3 4 2 2 1 2 sin tg 2 ctg 6 2 3 4 3 2 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 После выполнения этого обучающиеся возвращаются к анализу рисунка единичной окружности: записывается теорема Пифагора в тригонометрической форме sin2α +cos2α=1 (основное тригонометрическое тождество), а затем формулы для вычисления синуса и косинуса, получаемые из нее: Разбор задания: sin 1 cos 2 ; cos 1 sin 2 Задание: 4 и 5 2 Разбор задания: используем формулу Вычислить cos , если sin cos 1 sin 2 1 т.к. 2 16 9 3 25 25 5 угол α находится в 3 четверти, значит, знак косинуса отрицательный. Ответ: cos α = 3 5 Задание: 5 3 и 12 2 Разбор задания: Среди повторенных формул нет такой, которая связывает синус и тангенс угла. Обратимся к формуле sin2α +cos2α = 1 разделим обе части уравнения почленно сначала на sin2α, а затем на соs2α, получим две новые формулы, одна из которых связывает косинус и тангенс, а вторая — синус и котангенс: sin 2 cos 2 1: sin 2 0 Вычислить sin α, если tg α = 1 * sin 2 sin 2 cos 2 1: cos 2 0 1 ctg 2 1 tg 2 1 * * cos 2 Если tg 5 12 , то ctg . Тогда, используя формулу (*), можем вычислить 12 5 sin α: 144 1 169 1 25 5 sin 2 sin 2 2 25 sin 25 sin 169 13 3 Поскольку , угол α находится в 3 четверти, где его синус отрицателен. 2 5 Ответ: sin α = 13 Задание: 1 Вычислить tgα, если cos α = 1 5 и 2 0 (ЕГЭ, демонстрационный вариант) Разбор задания: Используя формулу(**):1+ tg α = 1 tg 2 1 2 1 cos 2 1 tg 2 5 tg 2 4 tg 2 1 5 Поскольку 0 , угол α расположен в 4 четверти, значит его тангенс 2 отрицателен. Ответ: tg α = -2. Задания: 1) 1 sin 2 tg 2 1 sin 2 2) sin (ЕГЭ 2001, А6) sin 2 6 4 3) sin 3 sin cos 2 3 sin 2 cos 4 cos 6 (ЕГЭ 2003, А6) cos sin sin 4) (ЕГЭ 2003, А7) cos 5) 2 sin 2 3 2 cos 2 (ЕГЭ 2004, А2) Разбор задания: 1 1 (формулы * и **) 1) 1 sin 2 tg 2 1 cos 2 cos 2 sin 2 2) sin - для упрощения этого выражения понадобится формула двойного sin 2 аргумента: sin 2 2 sin cos (* * *) ; cos 2 cos 2 sin 2 (* * **) 2 sin cos sin 2 cos sin . по формуле (***) sin 2 2 Далее понадобится применение формул приведения. 3 Если необходимо изменить аргумент тригонометрической функции на или , 2 2 то ее название изменится на название ко функции (sin на cos и т.п.), а знак новой функции следует ставить по приводимой функции 9по первоначальной). Если же аргумент изменится на π или 2π, то название не изменится. Знак ставится таким же образом (по первоначальной функции). Например: sin cos (аргумент первоначальной функции находился во 2 2 четверти, где sin положителен); cos cos (аргумент первоначальной функции находился в 3 четверти, где cos отрицателен). Применяя эти правила к заданию, получаем: 2 cos sin 2 cos cos cos 2 6 4 2 3) sin 3 sin cos 3 sin 2 cos 4 cos 6 - задание содержит формулу куба суммы в применении к тригонометрическим составляющим. После применения к этому выражению, оно «сворачивается» в выражение: (sin2α + cos2α)3 = 1/ cos sin sin 4) - задание требует применение формул сложения: косинус cos суммы. Поскольку в 2005 году эти формулы даны как справочный аппарат к экзамену, используем их в готовом виде: cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos 5) 2 sin 2 3 2 cos 2 = 2 sin 2 cos 2 3 2 3 5 Дополнительное задание: 1) Вычислить: tg(-1035o) 3 2) Упростить выражение: sin2(π-α)+sin2 2 tg tg 2 3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x = Ответы: 1) 1; 2) 0; 3) 4 3 7 . 18 Разбор заданий: 1) tg(-1035o) – исключим из данного значения аргумента сколько возможно периодов, при этом функция не изменится. Период тангенса равен 180о. 2) tg(-1035o) = tg(-1035o + 180o . 6) = tg(-1035o + 180o) = tg 45o = 1 3 sin 2 sin 2 tg - по формуле приведения: 2 2 sin 2 cos 2 tg ctg 1 1 0 4 4) 3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x = 3 4 Задание требует неожиданного хода: (sin x cos x)2 = 3 16 16 sin 2 x 2 sin x cos cos 2 x 1 2 sin x cos 9 9 16 7 7 2 sin x cos 1 sin x cos x 9 9 18 2 Дополнительное задание: 3 5 , а cos и 0; . Найти cos β. 5 13 2 Разбор задания: 1) Используем формулу синуса разности, для чего представим 15о в виде разности (45о – 30о), для которых значения синуса и косинуса известны: sin 15o = sin(45o – 30o) = sin 45o cos 30o – sin 30o cos 45o = 2 3 2 1 6 2 2 2 2 2 4 2 2 sin 27 sin 63 sin 27 sin 63 sin 27 sin 63 2) - на первом шаге была sin 18 cos18 sin 18 cos18 применена формула разности квадратов, далее применим формулу разности синусов и суммы синусов: 2 2 2 2 2 sin 18 cos 45 2 sin 45 cos 18 2 2 2 1 sin 18 cos18 поскольку синус – функция нечетная (минус выводится вперед), а косинус – функция четная (минус опускается). 2 sin 31cos 31 sin 62 3)Найти: 1 sin 38 sin 66 cos 38 sin 24 1 cos 28 cos104 sin 62 sin 14 2 2 На первом шаге применялась формула двойного аргумента для синуса и мало известные формулы: sin cos 0,5(sin( ) sin( )) sin sin 0,5(cos( ) cos( )) Эти формулы можно вывести на доске, поскольку они легко получаются из суммы и разности формул синуса суммы и синуса разности, а также косинуса суммы и косинуса разности. Вывод формул очевиден, поэтому здесь приводиться не будет. Конечно, запомнить эти формулы трудно, но возможно, сильный школьник предпочтет вывести их в трудный момент, помня, каким образом это делается. В этом задании можно было пойти и другим путем: дадим замену sin 38 sin 66 Известно, что cos 2 2 1 sin cos 2 66 132 2 2 208 104 28 . 76 38 2 Таким образом, выражение sin 38 sin 66 можно заменить на выражение 1 сos 28 cos104. 2 Далее повторим этот прием cos 38 sin 24 2 2 1 sin sin 2 2 38 76 2 124 62 14 . 24 48 2 Таким образом, выражение sin24 cos38 можно заменить на выражение 1 sin 62 sin 14. 2 Внесем результаты замен в исходное выражение, выполнив замены sin 62 преобразуем числитель и знаменатель, чтобы 1 1 cos 28 cos 104 sin 62 sin 14 2 2 убрать из знаменателя дробные коэффициенты, раскроем скобки и представим полученные значения аргументов в виде сумм и разностей, удобных для дальнейшего 2 sin 62 применения формул приведения: . cos 90 62 cos 90 14 sin 62 sin 14 Далее применяем формулы приведения: 2 sin 62 2 sin 62 1 Ответ: 1 sin 62 sin 14 sin 62 sin 14 2 sin 62 Необходимо запомнить следующие формулы.