Министерство образования и науки Красноярского края КГБОУ СПО «Сосновоборский автомеханический техникум»

Министерство образования и науки Красноярского края
КГБОУ СПО «Сосновоборский автомеханический техникум»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНА: МАТЕМАТИКА
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 190631 Техническое обслуживание и ремонт
автомобильного транспорта;
151901 Технология машиностроения;
151031 Монтаж и техническая эксплуатация оборудования.
2012
2
РАССМОТРЕНО
Цикловая комиссия
Протокол № ______
от _______________ 2012
Председатель ЦК
________________
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по учебной
работе
_____________ Н.Г.Петрова
_________________ 2012
Организация-разработчик: краевое государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное
учебное заведение) «Сосновоборский автомеханический техникум»
Разработчики:
Петрова Н.Г., преподаватель первой квалификационной категории
3
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
3
4
5
6
Пояснительная записка
Содержание дисциплины
Перечень практических работ
Контрольные задания
Методические указания
Литература
4
6
8
9
19
30
4
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящее методическое пособие предназначено для студентов-заочников
по специальностям 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного
транспорта, 151901 Технология машиностроения, 151031 Монтаж и техническая
эксплуатация оборудования. Данное пособие ставит своей целью оказание
помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой
знаний и умений в объеме действующей программы. Учебная дисциплина
Математика является естественнонаучной, формирующей базовые знания для
освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения
дисциплины:
В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:
уметь:
решать обыкновенные дифференциальные уравнения;
знать:
основные понятия и методы математического анализа, дискретной
математики, теории вероятностей и математической статистики; основные
численные методы решения прикладных задач.
Основной формой учебного процесса является индивидуальная
самостоятельная работа с учебной литературой.
Изучать
дисциплину
математика
необходимо
в
логической
последовательности:
1. Усвоить учебные материалы согласно программы.
2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.
3. Выполнить контрольную работу.
Все непонятные вопросы студент может выяснить в индивидуальной
консультации
у преподавателя.
В соответствии с учебным планом студент должен в семестре выполнить
одну контрольную работу, которая охватывает все темя программы, итоговая
аттестация в виде зачета. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради.
Содержанием каждого вопроса и условия задачи необходимо переписывать
полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны быть
полными, конкретными, по существу заданного вопроса. Решения задач должны
быть подробно расписаны с пояснениями, ответами и выводами.
5
Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:
151901 Технология машиностроения, 151031 Монтаж и техническая эксплуатация
оборудования: максимальной учебной нагрузки обучающегося 72 часов, в том
числе: обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 48 часа;
самостоятельной работы обучающегося 24 часа;
190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта:
максимальной учебной нагрузки обучающегося
81 часов, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 54 часа;
самостоятельной работы обучающегося 27 часа.
6
2.СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Введение
История возникновения, развития и становления математики как
основополагающей дисциплины, необходимой для изучения профессиональных
дисциплин.
Цели,
задачи
математики.
Связь
математики
с
общепрофессиональными и специальными дисциплинами.
Раздел 1 Математический анализ.
Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функции, ее смысл в
различных задачах. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правила
нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной
Дифференцирование функций, заданных параметрической.
Практическое занятие
Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Практическое занятие
Тема 1.3 Дифференциальные уравнения в частных производных
Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных.
Дифференциальные
уравнения
линейные
относительно
частных
производных.
Практическое занятие
Тема 1.4 Ряды
Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак
сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость рядов. Разложение элементарных функций в ряд Макларена.
Тема 2.1 Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над
множествами
7
Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами.
Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.
Тема 2.2. Основные понятия теории графов.
Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции
над ними.
Практическое занятие
Тема 3.1 Основы теории вероятностей и математической статистики.
Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные
события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения
вероятностей. Теорема умножения вероятностей.
Тема 3.2 Случайная величина, ее функция распределения
Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон
распределения случайной величины.
Тема 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание дискретной величины. Дисперсия случайной
величины. Среднее квадратичное отклонение случайное величины.
Тема 4.1. Численное интегрирование.
Формулы прямоугольников. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность
при численном интегрировании.
Практическое занятие
Тема 4.2. Численное дифференцирование
Численное
дифференцирование.
Формулы
приближенного
дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.
Погрешность в определении производной.
Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.
Практическое занятие
8
3.Примерный перечень практических занятий
Тема 1.1. Вычисление пределов с использованием первого и второго
замечательного пределов. Исследование функции на непрерывность. Нахождение
по алгоритму производных. Вычисление производной сложных функций.
Интегрирование простейших определенных интегралов. Решение прикладных
задач. Нахождение частных производных.
Тема 1.2. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами. Решение прикладных задач.
Тема 1.3. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных
относительно частных производных.
Тема 3.1. Решение простейших задач на определение вероятности с
использованием теоремы сложения вероятностей.
Тема 4.1. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и
формуле Симпсона. Оценка погрешности.
Тема 4.3. Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.
9
4.Контрольные задания
Вариант 1
1. Понятие предела функции. Теоремы о пределах функций.
2. Вычислите:
3x 2  x  5
а) xlim
1
б)
в)
lim
x5  x  1
 x3  1
x 1
lim
x 1 x  1
x 1 x 6
3
3. Общая схема исследования функций и построения графиков.
4. Найти производную
а) y = ln (sin x ·
б) y = 2x  sin 2x
1  x2
)
в) y = tg4 (x2 – 3x)
г) y = 2 x
2
 sin 3 
x
2
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = 12 x – x3
б) f(x) = x4 – 2x3 + 6x – 4
6. Вычислить:
а) ∫ (x2 + 3x2 + x + 1) dx
б) ∫ (2x + 3x) dx
0
в) ∫ (
x  x2
) dx
1
7. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
8. Элементы и множества. Задания множеств. Операции над множествами.
9. Численное интегрирование. Способы представления функции в виде
прямоугольников и трапеций.
10
Вариант 2
1. Что называется приращением аргумента х и приращением функции f(x) в
точке xo ? Раскройте геометрический смысл этих приращений и
сформулируйте соответствующее определение непрерывности функции.
2. Вычислите:
а)
б)
в)
x3  1
x  1 x  1
lim
lim
x3  x 2  x  1
x 1 x 3
lim
 x2  x  1
x  h 2  x 2
h 1
h
3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
4. Найти производную
а) y = √2x – sin 2x
б) y = e x
7
2
в) y = 1/3 x3 · cos x/3
г) y = 3x · log2 (x-1)
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x3/3 + x2
б) f(x) = x3 – 6x2 + 2x – 6
6. Вычислить:
а) ∫ (x4 +
б)
в)

2

x
+3
x
(2/1 + x2 – 3/
+1/х2+1/х) dx
1  x2
) dx
x(3 – x) dx
0
7. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
8. Свойства операций над множествами отношения. Свойства отношений.
9. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Формула трапеций.
11
Вариант 3
1. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на
отрезке.
2. Вычислите:
а)
б)
в)
lim
x 2  2x  8
x3  8
x 2
(4 x2 – 2x + 1)
lim
x 1
lim
x 2
x  5x  6
x 2  12  20
3. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
4. Найти производную
а) y =
б) y =
7
x
в) y =
3
x
г) y =
+ 5/х2 – 3/х3 + 2
x3
· ln x
· arcctg x
1
3
sin 4 2x
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x3/3 - x2 – 3x
б) f(x) = 6x - x3
6. Вычислить:
а) ∫ (sin x + 5 cos x) dx
б) ∫ 2 dx / sin2 x/2
1
в) ∫ dx / √4-x2
0
7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
8. Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции
над ними.
9. Численное интегрирование. Формула Симпсона.
12
Вариант 4
1. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
2. Вычислите:
x 2 + 6x + 8
а) lim
x  2
x2 + 8
9 – х2
б)
lim
x 3
√3x - 3
(x + h)3 – x3
в)
lim
h 0
h
3. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла.
4. Найти производную
а) y = b/a · √a2 - x2
б) y = ¼ cos4 4x
в) y = arcsin · √1-2x
г) y = еcos x + (x-3)4
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x3 + 6x2 + 9x
б) f(x) = x3 - x
6. Вычислить:
а) ∫ cos x/2 dx
в)
3
 dx /
1  x2
0
б) ∫ (
3
x
– 2x) dx
7 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
8 Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные
события..
9 Абсолютная погрешность при численном интегрировании.
13
Вариант 5
1. Уравнения касательной и нормали к кривой. Производная сложной
функции.
2. Вычислите:
а)
lim
x  1
(x3 + 5x2 + 6x + 1)
х2 - 25
б)
lim
x 5
x-5
в)
x
lim
x 1 1
x 0
3. Возрастание и убывание функций. Какие точки называются критическими?
4. Найти производную
а) y = ln √ 2x - 1
б) y = sin5 (1-3x2) 4
x
в) y =
√a2 + x2
г) y =
1
4
x  3x
2
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x4/ 4 + x2
б) f(x) = x4 – 8 x3 + 24 x2
6. Вычислить:
а) ∫ dx/ 2 cos2 x/4
б) ∫ (2x – sin 3x) dx
2
в) ∫ (x2 + 1/x4) dx
1
7. Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных.
8. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
9. Численное дифференцирование. Интерполяционные формулы Ньютона.
14
Вариант 6
1. Вычисления производных. Правила и формулы дифференцирования.
Физический смысл производной.
2. Вычислите:
x3 + 4x - 1
а) lim
x 1
3x2 + x + 2
х2 – 5x + 6
б)
lim
x 3
x-3
x2
в)
lim
x 0
√ x2 + 1 - 1
3. Дайте определение неопределенного
интегралов (доказать).
4. Найти производную
интеграла.
Таблица
основных
а) y = (x + 1)2 · √ x - 1
б) y = arcctg √x2 + 2x
в) y = lg √x2+ 4
г) y = е sin 2x · 2x
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x4/ 4 - x3 /3
6. Вычислить:
б) f(x) = x4 – 8 x2 - 9
а) ∫ (x4 – cos 2x) dx
б) ∫ (е2x + sin x/4) dx
4
в) ∫ dx/ x · x
1
7.
Дифференциальные уравнения линейные относительно частных
производных.
8. Классическое определение вероятностей. Теорема умножения вероятностей.
9. Формулы
приближенного
дифференцирования,
основанные
на
интерполяционных формулах Ньютона.
15
Вариант 7
1. Понятие о производных высших порядков. Механический смысл второй
производной.
2. Вычислите:
х2 - x - 2
а) lim
x  1
x3 + 1
х2 + 3x + 2
б)
lim
x  2
x2 – x - 6
в)
x2  4  2
lim
x 0
x2  9  3
3. Дайте определение первообразной для функции f(x) на промежутке.
Приведите примеры функций, имеющих первообразные. В чем состоит
смысл действия интегрирования.
4. Найти производную
а) y = arcsin x
1
б) y =
(x3 – 1)4
в) y =
г) y =
3
x 3  2x  1
1
3
sin 5 2x
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x4/ 4 - 2x2
6. Вычислить:
а) ∫ (x4 – 2/x3 + x6/6) dx
б) f(x) = x3 – 4 x2 – 3x + 6
б) ∫ (sin 3x + cos x/4) dx
4
в) ∫ (2x2 – 3x – ½ x ) dx
1
7. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.
8. Способы задания случайной величины. Определения непрерывной и
дискретной случайных величин.
16
Вариант 8
1. Понятие производной функции в точке. Признаки возрастания и убывания
функции.
2. Вычислите:
x4 - 2x2 - 3
а) lim
x 1
x2 - 3x + 2
х2 + 6x + 8
б)
lim
x  2
x3 + 8
в)
2x  1  3
lim
x2  2
x 2
3. Основные методы интегрирования. Понятие определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
4. Найти производную
arccos x
а) y =
x
3x2 – 2x - 4
б) y =
2x - 1
в) y = cos4 (x2 – x + 1)3
г) y = 4x · sin 2 x/3
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = 3x5 - 5x3
б) f(x) = 3 + 2x2 – 8 x3
6. Вычислить:
а) ∫ (1 – 3 cos x/4) dx
б) ∫ √ 1-x dx
1
в) ∫ (1 -
3
x2
) dx
-1
7. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды
8. Случайная величина. Закон распределения случайной величины.
9. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
17
Вариант 9
1. Понятие
экстремума функции. Необходимые условия существования
экстремума. Достаточные условия существования экстремума.
2. Вычислите:
а)
б)
в)
1 x  1 x
x
lim
x 0
x2  5  3
x2
x2
tgx
lim
x  0 sin x
lim
3. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Таблица
основных интегралов (докажите одну из них).
4. Найти производную
а) f(x) = x-2 · x  3 x
б) y =
1 x
1 x
в) y = x · arcsin x +
1  x2
г) y = 4cos x/4 · sin 3 x
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x5 /5 - x4 + x3
б) f(x) = 1/3 x3 – 1/2 x2 – 2x + 1
6. Вычислить:
а) ∫ (x/2 - sin2x/2) dx
б) ∫
(sin 3x – ½ x4) dx
8
в) ∫ (4x – 1/ 3
3
x2
) dx
1
7. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды.
8. определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной
величины.
9. Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.
18
Вариант 10
1. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривой.
2. Вычислите:
√1 + x - 1
а) lim
x 0
x
б)
x 2  3x  2
lim
x2  x  6
x  2
tg 4x
в)
lim
x 0
x
3. Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного
интеграла.
4. Найти производную
3
а) y = x · 3 x 2 + x2 / x - 2 3
б) y = arctg
x
4  x2
в) y = (x3 – 1) (x2 + x + 1)
г) y = 5x · ln sin x/3
5. Исследовать функцию и построить ее график
а) f(x) = x3 - 6x2 + x
б) f(x) = 2 – 3x + x3
6. Вычислить:
а) ∫ (x4 + 2/x3 – sin3x) dx
б) ∫
(cos 4x – e3x) dx
3
в) ∫ (sin x + 2/cos2 x) dx
0
7. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
8. Математическое определение дискретной случайной величины. Дисперсия
случайной величины.
9. Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.
19
5.Методические указания
Раздел 1. Математический анализ.
Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Определение: пусть f(x) - функция определена в некоторой проколотой
окрестности точки а. Если она непрерывна в точке а, то назовем ее значение в
точке а пределом при стремлении х к а и будем писать lim f(x) = f(a). Если
функция
разрывна в точке а, то может случится, что этот разрыв
устранимый. Тогда можно изменить значение функции в точке а или
доопределить ее в этой точке так, что в результате получится функция y= f(x),
непрерывная в точке а:
f(x), если x ≠ a
F(x) =
b, если х = а
Число b = f(а) называется пределом функции у = f(x) при х→ а. В этом случае
пишут
lim f(x) = b.
x a
Пример.
Вычислите:
х2 - 5х + 1
непрерывна в точке х = 1, то предел функции при
lim
х→ 1 равен
x →1
3х+5
ее значению в этой точке, т.е.
х2 - 5х + 1
1–5+1
lim
=
x →1
3х+5
3+5
3
= 8
Правила вычисления предела функции.
1. Если lim f(x) = b и lim h(x) = c, то
x →a
x →a
lim (f(x) ± h (x)) = b ± c
20
x →a
lim (f(x) x h (x)) = b x c
x →a
lim k x f(x) = k x lim f(x)
x →a
x →a
lim f(x)/h(x) = b/c
x →a
2.
lim
x 0
sin x/ x = 1
3. .
lim
cos x = 1
4. .
lim
(1 + 1/x)x = l
x →0
x →∞
(c ≠ 0)
Определение: Производной функции f(x) в точке хо называется предел
отношения приращения функции f(хо) к приращению аргумента х при х→0,
если этот предел существует. И обозначается f '(хо).
f(x) – f(хо)
f(хо)
Итак f '(хо) =
lim
=
x  0
x
lim
xx 0
=
х - хо
Операция нахождения производной называется дифференцированием
функции
Правила дифференцирования
1. (с)'= 0
2. (u ±v)'= u'±v'
3. (u ∙ v)'= u' ∙ v + u ∙ v'
u' ∙ v – u ∙ v'
4. (u/v) ' =
v2
Формулы дифференцирования
1. (f(h(x))) ' = f' (h(x)) x ∙ h'(x)
2. (sin x) ' = cos x
3. (cos x) ' = - sin x
4. (tg x) ' = 1/cos2 x
5. (ctg x) ' = 1/sin 2 x
6. (ax) ' = ax ∙ ln a
21
7. (е ) ' = е
8. (ln x) ' = 1/x
9. (loga x) ' = 1/ x ∙ lnaа
10. (arcsin x) ' = 1/ 1  х 2
11. (arccos x) ' = -1/ 1  х 2
12. (arctg x) ' = 1/ 1+x2
13. (arcctg x) ' = -1/1+x2
x
x
Пример. Вычислите производную
y = sin 3 (1-x2)
y'= (sin3 (1-x2))'* (sin (1-x2))'* (1-x2)' = 3 sin2 (1-x2 ) * cos (1-x2 ) * (-2x) =
= -6x * sin2(1-x2) * cos (1-x2)
Определение. Пусть функция y = f(x), x Є(a;b) дифференцируема в
некоторой точке xo Є(a;b), т.е. в точке xo существует предел lim
Δf(xo) /
Δx = f'’ (xo)
Δx → 0
Отсюда имеем Δ f(xo) / Δx = f’(xo) + α , где α - величина бесконечно малая
при Δ x→0, т.е. lim α = 0
Δ x→0
Значит Δ f(xo) = f'' (xo) ∙ Δx + α∙ Δx.
Второе слагаемое бесконечно малое при Δx→0, поэтому d f(xo )= f ' (xo )∙ Δx
или
dy = y'∙Δ x.
Пример. Вычислите дифференциал функции y = x2 + cos 3x - 5
Dy = (x2 + cos 3x – 5)'dx = (2x – 3 sin 3x) dx.
Определение. Дифференциальная функция f(x) , определенная на некотором
промежутке x, называется первообразной для функции f(x), определенной на
том же промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x) или d
F(x) = f(x) * dx
Определение. Совокупность всех первообразных для функции
f(x),
определенных на некотором промежутке x, называется неопределенным
интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом
∫ f(x) dx = f(x) + C, где F(x) - первообразная
C– производная постоянная.
Для вычисления неопределенного интеграла существует таблица основных
интегралов (см.учебник Математика для техникумов И.И.Валуцэ), стр.251).
Пример. Найти
1. ∫(4x3 – 6x2 + 2x + 3)dx = ∫4x3 dx - ∫6x2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x4/4 – 6 x3/3 + 2
x2/2 +
22
+3x + C.
2. ∫(5x4 – 8/cos2x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x4 dx – ∫8/cos2x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =
= 5 * x5/5 – 8 * tg x + 3 x3/2/ 3/2 + x + C = x5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.
3. ∫23x * 3x dx = ∫(23 * 3)x dx = ∫ 24 x dx = 24x / ln 24 + C.
Определение. Приращения F(b) – F (a) любой из первообразных функций
f(x) + C при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным
интегралом от а до b функции f(x), и обозначается
b

b
f(x) dx = F(x)
a

= F(b) –
a
F(a), и называется формулой Ньютона-Лейбница.
Пример. Вычислить
2
2
1. ∫ (x – 3x + 7)dx =
2
(1
3
x - 3/2 x + 7x) | = (1/3 * 23 – 3/2 * 22 + 7*2) – (1/3
3
2
*(-1) 3 -1
-1
- 3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5
Определение. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x), отрезком
[a;b] и прямыми х = а и х = b называется криволинейной трапецией.
b
S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)
a
Пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной y = ½ x2 + 1
2 x=3
y
3
y=0
x=-
3
S= ∫ (1/2 x + 1) dx = (1/6 x + x) | = (1/6 *
2
3
3
3 +3) -2
-2
- (1/6 (-2)3 – 2) = 10 5/6
-2
0
3
x
Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение различных задач методом математического моделирования
сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего
23
независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.
Такое уравнение называется дифференциальным.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая
функция, которая обращает данное уравнение в тождество.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F(x, y, y' , y'', .....y (h)) = 0
2x + y – 3y'= 0
y'2 – 4 = 0, sin y'= cos xy, y'' = 2x являются
дифференциальными уравнениями.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называются
наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.
xy' + y – 2 = 0 – уравнение первого порядка
y'' + 7y'- 3y = 0 – уравнение третьего порядка
Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида F(x, y, y') = 0
y'= f(x, y) – уравнение первого порядка, разрешенное относительно
производной.
Определение 4. Всякое отдельно взятое решение дифференциального
уравнения называется его частным решением.
Определение 5. Функция, заданная формулой y = (e (x,C) или y = y(x,C) –
представляет общее решение дифференциального решения F(x, y, y') = 0 или
y' = f(x,y).
Задача Коши. При решении конкретных задач часто необходимо выделить
из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное
решение, которое является ответом на поставленный вопрос. Для того чтобы из
всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую,
задают так называемые начальные условия.
В случае дифференциальных уравнений первого порядка y' = f(x, y) под
начальным условием для его решения y = y(x) понимают условия, состоящие в
том, что y = yo при х = хо т.е. y (хо) = yo, где xo и yo
- заданные числа
(начальные данные), такие, что при х = хо и y = yo функция f(x, y) имеет
смысл, т.е. существует f(xо, yо).
Определение 6. Задача нахождения частного решения дифференциального
уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется
задачей Коши.
В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши
формулируется следующим образом: найти решение y = y(x) уравнения y' =
f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных (xо, yо) начальному
условию
24
y (хо) = yo, или, в другой записи, yх=х0 = yo , где xо, yо – заданные числа.
Определение 7. Дифференциальное уравнение называется уравнением с
разделяющимися переменными, если имеет следующий вид: y'= f1(x) f2(y) или
dy/f2(y) = f1(x) dx.
Теорема: Если существуют интегралы ∫dy/f2(y) и ∫ f1(x) dx, то общий интеграл
уравнения с разделенными переменными задается уравнением
F2 (y) = F1(x) + C, где F2(y) и F1(x) – некоторые первообразные соответственно
функций 1/f2 (y) и f1 (x).
При решении дифференциальных уравнения с разделяющими переменными
можно руководствоваться следующим алгоритмом:
1) разделить переменные (с учетом условий, когда это можно делать);
2) интегрируя почленно полученные уравнения с разделенными
переменными, найти его общий интеграл;
3) выяснить, имеет ли уравнение решения, не получающиеся из общего
интеграла;
4) найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным
условиям (если это требуется).
Пример. Найти частное решение уравнения 2yy' = 1-3x2 если yo = 3 при x o
=1
Это уравнение с разделенными переменными. Представим его в
дифференциалах:
dy
= 1- 3x2
2y
dx
Отсюда 2y * dy = (1-3 x2 ) dx
Интегрируем обе части последнего равенства, найдем ∫ 2y * dy = ∫ (12
3x ) dx получаем у2 = x – x3 + C. Подставив начальные значения yo = 3 x o =1
найдем
С : 9 = 1-1+С т.е. С = 9.
Следовательно, искомый частный интеграл будет y2 = x – x3 + 9 или
x3 + y2 – x – 9 = 0
Тема 1.4. Ряды.
Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида
а1 + а2 + …аn + ………., где а1, а2, ……аn – числа, принадлежащие некоторой
определенной числовой системе.
Для
сокращенного
обозначения рядов
используется
знак
суммирования Σ , а
25
∞
именно а1 + а2 + …аn + ……….= Σ an
n=1
Определение 2. Числа а1,а2,
называется общим членом ряда.
…аn, …..называются членами ряда; аn –
Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его
частных сумм S1, S2, S3.........Sn, ...... сходится, т.е. если существует конечный
предел
Lim Sn = S
h→∞
Число S называется суммой ряда. Если Lim Sn не существует или Lim Sn = ∞,
то ряд
h→∞
h→∞
называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.
Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член аn стремится к нулю.
Если Lim аn ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.
h→∞
Теорема 2. Пусть дан ряд а1 + а2 + …аn + ……….,с положительными
членами.
аn + 1
аn + 1
Допустим, что Lim
существует и Lim
=Р
h→∞
h→∞
аn
аn
Тогда:
1) если Р<1, то ряд сходится
2) если Р>1, то ряд расходится.
Определение 3. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные
члены, называются закономерными.
Определение 4. Закономерный ряд называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
|а1 | + |а2 | + …+ | аn | + ………., составленный из модулей его членов.
Определение 5. Ряд а1 + а2 + …аn + ………., называется условно сходящимся,
если он сходится, а ряд |а1 | + |а2 | + …+ | аn | + ………., составленный из модулей
его членов, расходится.
Определение 6. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и
отрицательные члены следуют друг за другом поочередно (а1 + а2 + а3 – а4 +…..+(1)n+1 *
26
*an + ....)
Теорема 3. Знакочередующимся ряд сходится, если:
1) его члены убывают по модулю,
а1≥ а2 ≥ … ≥аn ≥ ……..
2) его общий член стремится к нулю,
lim аn = 0
h→∞
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенством 0≤ S ≤a1
Определение 7.
Пусть
последовательность функций.
u1 (x), u2 (x),.....un (x) ... - некоторая
∞
Выражение вида Σ un(x) = u1 (x), u2 (x),.....un (x) + называется функциональным
рядом.
n=1
Определение 8. Функциональный ряд называется сходящимся в точке xo ,
если
∞
числовой ряд Σ un(xo) = u1 (xo), u2 (xo),.....un (xo) + ......
n=1
полученный из функционального ряда подстановкой x = xo , является
сходящимся рядом. При этом называется точкой сходимости ряда.
Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∞
Σ an(x-xo)n = ao + a1 (x-xo), a2 (x-xo)2,.....an (x-xo)n + ......
n=1
где х – независимая переменная, хo - фиксированное число, аo, а1, а2, … а n…..
– постоянные коэффициенты.
Раздел 2.1. Основы дискретной математики.
Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над
множествами.
Множество – основное понятие а теории множеств, которое вводится без
определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из
элементов.
Множество А называется
подмножеством множества В и обознаВ
чается А  В, если всякий элемент из А
является элементом В (рис.1)
А
27
рисунок 1
Способы задания множеств:
1. Перечислением, т.е. списком своих элементов.
2. Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов
множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком
случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть
построены с помощью такой процедуры.
3. Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его
элементы.
Пример 1
Задать различными способами множество N всех натуральных чисел 1, 2,
3…..
а) списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.
б) порождающая процедура содержит два правила:
1) 1  N ;
2) если n  N, то n + 1  N
в) описание характеристического свойства элементов множества N:
N = {х; х – целое положительное число}
Операции над множествами.
1. Объединением множеств А и В называется
множество состоящее из всех тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из множеств
А, В. (рисунок 2)
Рисунок 2
2. Пересечением множеств А и В называется
множество, состоящее из всех тех и только тех элементов,
которые принадлежат и А и В. ( рисунок 3)
Рисунок 3
3. Разностью множеств А и В называется множество
всех тех и только тех элементов А, которые
не содержатся в В. (рис.4)
4. Дополнением
(до
В)
множества
А
В
множество всех элементов, не принадлежащих А (рис.5) А
Рисунок 4
называется
Рисунок 5
28
Пример 2
Осуществить операции над множествами А= {a, b, c, d} и B = {c,d,f.g,h}
A U B ={a, b, c, d, e, f.g,h}
A ∩ B = {c, d}
Операции дополнения над множествами А и В не могут быть выполнены т.е.
универсальное множество не определено.
Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами
множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так
называемые упарные и бипарные отношения.
Отношения можно задать:
- списком;
- матрицей.
Свойства отношений.
Пусть R - отношение на множестве М, R ≤ М х М, тогда:
1. R – рефлексивно, если имеет место а R а для любого а  М.
2. R – антирефлексивно, если ни для каждого а  М не выполняется а R а.
3. R – симметрично, если а R b влечет bRа.
4. R – антисемметрично, если aRb и bRa влекут a=b, т.е. ни для каких
различающихся элементов a и b (a≠b) не выполняется одновременно aRb и
bRa .
5. R– транзитивно, если aRb и bRa влекут aRc.
Тема 2.2 Основные понятия теории графов
Графические представления в широком смысле – любые наглядные
отображения исследуемой системы, процесса, явления на плоскости. К ним
могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик,
план-карты местностей, блок-схемы процессов, диаграммы и т.п.
Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания
различных понятий, относящихся к другим способам формализованных
представлений.
Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к
графическим представлениям, являются так называемые графы.
Теория графов имеет огромные приложения, так как ее язык, с одной
стороны, нагляден и понятен, а с другой – удобен в формальном исследовании.
Графические представления в узком смысле – это описание исследуемой
системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности
двух классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг.
Определение: графом Д называется совокупность двух множеств: вершин V
и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности –
29
каждое ребро е Е инцидентно равно двум вершинам v', v'' V, которые оно
соединяет.
Так же о теории графов, об элементах графов, ознакомится с видами графов
и рассмотреть операции над ними, вы можете изучая раздел 3 «Теория графов»,
стр.195-214 в учебнике для ХХ1 века под редакцией Г.И.Москинова
«Дискретная математика».
Для самостоятельного изучения темы 3.1. Основы теории вероятностей и
математической статистики. Вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Темы 3.2. Случайная величина, ее функция распределения. Темы
3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Можно
использовать следующую литературу: В.С.Щипачева
«Основы высшей
математики», а так же И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики или
Н.В.Богомолов Практическое занятие по математике.
30
6.Перечень рекомендуемых учебных
изданий, Интернет-ресурсов,
дополнительной литературы
Основные источники:
1. Богомолов, Н. В., Самойленко, П. И. Математика: Учеб. пособие для
средних проф. учеб. Заведений / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. – М.:
Дрофа, 2010 – 400 с.
2. Богомолов, Н.В. Задачи по математике с решениями: Учеб. пособие для
средних проф. учеб. Заведений / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. Шк., 2006 –
640с.
3. Григорьев, С. Г., Иволгина, С. В. Математика: Учеб. пособие для средних
проф. учеб. Заведений / С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина. – М.: Академия,
2010 - 384 с.
4. Дадаян, А. А. Сборник задач по математике.: Учеб. пособие для средних
проф. учеб. Заведений / А. А. Дадаян. – М.: Форум, Инфра-М, 2010 - 352 с.
5. Калягин, Ю. М., Луканкин, Г. Л., Яковлев, Г. Н. Математика (комплект из 2
книг): Учеб. пособие для средних проф. учеб. Заведений / Ю. М. Калягин, Г.
Л. Луканкин, Г. Н. Яковлев. – Новая Волна, Умеренков., 2008 – 1248 с.
6. Омельченко, В. П., Курбатова, Э. В. Математика: Учеб. пособие для
средних проф. учеб. Заведений / В. П. Омельченко, Э. В. Курбатова. – М.:
Феникс, 2011 – 384 с.
Дополнительные источники:
1. Амосов, А.А., Дубинский, Ю.А., Копченова, Н.В. Вычислительные методы
для инженеров / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н.В. Копченова. - М.,
Высшая школа, 1994 (2003).
2. Бахвалов, Н.С., Лапин, А.В., Чижонков, Е.В. Численные методы в задачах и
упражнениях / Н. С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - М., Высшая
школа, 2000.
3. Подольский, В.А., Суходский, А.М., Мироненко, Е.С. Сборник задач по
математике: учеб. пособие / В.А. Подольский,
А.М. Суходский, Е.С.
Мироненко. - М.: Высш.шк., 1999 – 495 с.
4. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков. СПб.: Питер, 2002.
5. Соловейчик, И.Л. Сборник задач по математике с решениями для
техникумов / И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: ООО «Мир и
Образование», 2003. – 464с.
6. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление /
Л.Э. Эльсгольц. - М., Эдиториал УРСС, 2000.
31
Интернет-ресурсы
Сайт «Прикладная математика» http://www.pm298.ru/linpr.php
Сайт «Вопросы математики» http://www.twirpx.com/files/mathematics/mopt/
Сайт «Банк задач» http://bankzadach.ru/
Электронный учебник Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская ДИСКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИКА http://dvo.sut.ru/libr/himath/w163rabk/index.htm
5. Сайт
«Прикладная
математика»
http://meu.rsuh.ru/kurenkova/inform/inform_rtetr.htm
6. Сайт «Математический анализ» http://www.integraloff.net/integral/Oct_2010/
7. Сайт «Всё о математике» http://allmatematika.ru/page.php?25.7
1.
2.
3.
4.