УДК 519.1+621.3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕЖЕНИЯ: НОРМАЛЬНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

УДК 519.1+621.3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕЖЕНИЯ:
НОРМАЛЬНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
Блюмин С.Л., Погодаев А.К., Сараев П.В.
Россия, Липецк, ЛГТУ
Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений
представлено как оптимальное энергоресурсосберегающее управление энергетической
системой.
Normal pseudosolution for system of linear algebraic equations is presented as optimal
energy-resource-saving control by power system.
Работа поддержана РФФИ, проект № 11-07-97504-р_центр_а
В [1] обосновано использование нейросетевых и теоретико-графовых моделей
сложных энергетических систем как основы оперативного принятия эффективных
решений по оптимальному управлению ими. Существенным является информационнологическое
обеспечение
аналитических
систем
информационных
сред
крупномасштабных систем [2], к которым относятся и энергетические системы,
использование интеллектуальных методов в оперативной аналитической обработке
данных и прогнозировании [3].
Многие задачи управления динамикой сложных систем могут быть сведены к
решению системы линейных алгебраических уравнений, которая в векторно-матричной
форме записывается в виде Ax  b и в случае допускающей обращение матрицы А
имеет решение x  A1b .
В реальных прикладных задачах матрица А, как правило, не допускает
обращение, но любая матрица допускает псевдообращение [4]; с использованием
псевдообратной матрицы A нормальное псевдорешение системы линейных
алгебраических уравнений записывается в виде
xn  A b ,
(1)
вполне аналогичном представленному выше.
Нормальное псевдорешение алгебраической задачи решения, вообще говоря,
неразрешимой системы линейных алгебраических уравнений является решением
двойной оптимизационной задачи: 1) минимизирует норму невязки Ax  b ; 2) среди
всех векторов, минимизирующих норму невязки (образующих общее псевдорешение
x p  Ab  ( I  A A) y , где у – произвольный вектор той же размерности, что и х), имеет
минимальную собственную норму.
Широкий класс реальных систем автоматического управления, к которым
относятся и энергетические системы, может быть представлен моделями, в которые
управление входит линейно. Таковы, в частности, дискретно-временные линейные
системы автоматического управления
x[t  1]  A[t ]x[t ]  B[t ]u[t ], x[0]  x0 , t  0,1,... .
Широкий класс задач управления может трактоваться как траекторное
управление, когда требуется синтезировать алгоритм управления u*[t], реализующий
назначенную траекторию x*[t] состояния системы, x*[0]=x0. Нормальное оптимальное
(в указанном выше смысле) управление в соответствии с (1) синтезируется в виде
u *[t ]  B[t ] ( x *[t  1]  A[t ]x *[t ]) .
(2)
При этом, поскольку норма вектора в прикладных задачах интерпретируется как его
энергия, затрачиваемый ресурс на его реализацию, то синтезированное в виде (2)
управление минимальной нормы обеспечивает энергоресурсосбережение при решении
поставленной задачи.
В [5] представленный подход применен к анализу задачи управления запасами
как динамической транспортной задачи; при этом матрица В является стандартной
матрицей
инцидентности
двудольного
графа
и
допускает
стандартное
псевдообращение. Постановка задачи траекторного управления обосновывается тем,
что задание динамики запасов может служить для поддержания уровня страхового
запаса, обеспечивающего гарантию удовлетворения спроса; оперативное планирование
на текущий этап в системе производства и потребления связано с будущим состоянием
системы через накопление переходящих остатков, задающих начальные условия
работы системы на следующий этап; при назначении запасов есть возможность
удовлетворить требуемым ограничениям на них.
Эти соображения в полной мере могут быть интерпретированы в задачах
энергетики как обоснование задачи траекторного управления запасами и
распределением энергии между потребителями, а ее решение – как
энергоресурсосберегающее управление.
Представленный подход применим к адаптации и оптимизации широких классов
сложных систем автоматизации и управления [4].
Литература
1. Блюмин С.Л., Погодаев А.К., Сараев П.В. Перспективное математическое
обеспечение автоматизированных систем управления энергосбережением // Сб.
тр. 9-ой Междунар. науч.-прак. Интернет-конф. «Энерго- и ресурсосбережение –
XXI век». – Орел: ООО ПФ «Картуш», 2011. – С. 262-265.
2. Блюмин С.Л., Погодаев А.К., Сараев П.В. Информационно-логическое
обеспечение аналитических систем информационных сред крупномасштабных
производств // Сб. тр. 3-й Междунар. конф. «Управление развитием
крупномасштабных систем». – Т. II. – М.: ИПУ РАН, 2009. – С. 209-212.
3. Сараев П.В. Интеллектуальные методы в оперативной аналитической обработке
данных // Сб. тр. 16-й Междунар. откр. науч. конф. «Современные проблемы
информатизации в экономике и обеспечении безопасности». – Воронеж: Науч.
книга, 2011. – С. 120-122.
4. Погодаев А.К., Блюмин С.Л. Адаптация и оптимизация в системах
автоматизации и управления. – Липецк: ЛЭГИ, 2003. – 128 с.
5. Блюмин С.Л., Миловидов С.П. Обратные задачи динамики и динамические
транспортные задачи // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1987. - № 5.
– С. 209 (анн. статьи, деп. в ВИНИТИ, № 7527-В, 56 с.)
Блюмин Семен Львович, д. ф.-м. н., проф., Липецкий государственный
технический университет, профессор кафедры прикладной математики,
398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, slb@stu.lipetsk.ru , (4742)307934
Погодаев Анатолий Кирьянович, д. т. н., проф., Липецкий государственный
технический университет, ректор, заведующий кафедрой прикладной математики,
398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, pak@stu.lipetsk.ru , (4742)328000
Сараев Павел Викторович, к. т. н., доц., Липецкий государственный
технический университет, декан факультета автоматизации и информатики,
доцент кафедры прикладной математики,
398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, psaraev@yandex.ru , (4742)328002