Н.А.Зайцев, Ю. Г. Рыков ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОДНОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИЮ МЕТАЛЛОВ I.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНТСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М. В. КЕЛДЫША
Н.А.Зайцев, Ю. Г. Рыков
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОДНОЙ МОДЕЛИ,
ОПИСЫВАЮЩЕЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИЮ МЕТАЛЛОВ I.
ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Москва, 2007
2
Н.А.Зайцев, Ю.Г. Рыков. Численный расчет одной
описывающей кристаллизацию металлов I. Одномерный случай.
модели,
Аннотация. В препринте описана недавно появившаяся в литературе
модель кристаллизации металлов [5] и приведены численные расчеты,
выполненные в соответствии с этой моделью. Пока рассмотрен только
одномерный случай. Модель кристаллизации представляет собой
преимущественно сочетание модели Био распространения возмущений в
пористых средах и модели Кана-Хилларда, описывающей развитие
зародышей кристаллизации. Расчеты выполнены по неявной схеме, которая
описана в препринте. Для сравнения также произведены расчеты по
соответствующей явной схеме. Показано, что результаты расчетов по обеим
методологиям совпадают, но неявная схема естественно работает намного
быстрее. Можно видеть, что полученные функции допускают осмысленную
физическую интерпретацию, которая подтверждается опытными данными.
N.A.Zaitsev, Yu.G. Rykov. The numerical calculation of some model, which
describes the metals’ crystallization process I. 1-D case.
Abstract. The preprint describes recently proposed model of metals’
crystallization [5] and shows the numerical calculations performed with respect to
this model. Up to now only 1-D case is considered. The crystallization model is
mainly the coupling of Biot’s model for perturbations propagation in porous media
and Kahn-Hillard model for crystallization germs growth. The numerical scheme
used for calculations and described in preprint is implicit. For the sake of
comparison the calculations with respect to appropriate explicit scheme are also
included. It is shown that the results for implicit and explicit schemes coincide, but
naturally explicit scheme is working much faster. It also can be seen that obtained
functions allow reasonable physical interpretation that is confirmed by physical
experimenting and industrial experience.
__________________________________________________________________
Авторы выражают благодарность Е.В.Радкевичу и Н.Н.Яковлеву,
познакомивших авторов с моделью, за интенсивные и плодотворные
обсуждения.
3
Введение
Целью настоящего препринта является численное исследование недавно
появившейся в литературе [5, Гл.7] модели, описывающей процесс
кристаллизации в эвтектических сплавах, не образующих твердых растворов.
Эта модель является расширением широко известной модели Кана-Хилларда
[3], [4] и ее модификаций, см., например, [2].
В предлагаемой работе мы приводим расчеты, визуализирующие
процесс кристаллизации. Модель, представленная в [5], является довольно
сложной моделью, описывающей реальный процесс кристаллизации,
протекающий в трехмерном пространстве. В настоящем препринте мы
выпишем лишь одномерный вариант модели, построим для него устойчивую
численную схему и приведем демонстрационные расчеты. Поскольку
соответствующая система уравнений в частных производных является
сложной нелинейной системой, то для обоснования устойчивости мы
привлекаем стандартные теоретические соображения для упрощающих
линеаризаций и экспериментальный расчетный материал для численной
схемы в целом.
Используемая нами численная схема в целом является неявной схемой,
что позволяет использовать довольно большой шаг по времени. В то же время
мы приведем сравнение расчетов по неявной схеме с расчетами по чисто
явной схеме с маленьким временным шагом и покажем совпадение
результатов. Это является лишним аргументом в пользу того, что численный
алгоритм уместен и работает правильно.
Стоит сразу отметить, что настоящее исследование является
предварительным и математически ориентированным. Надежной физической
интерпретацией в данной области обладают только многомерные расчеты.
Например, введение в одномерном случае члена, моделирующего силу
тяжести (что является очень существенным в реальных физических
процессах), приводит к появляению в уравнениях однонаправленной внешней
силы, что ведет к эффекту распространения фронта кристаллизации при
любых изменениях температуры и других параметров. Однако, локальная
структура решения всегда имеет смысл и должна правильно моделировать
поведение величин в реальных многомерных задачах. Мы предполагаем
посвятить двумерным и трехмерным задачам последующие публикации.
§1. Постановка задачи о кристаллизации и математическая
формулировка модели
Будем считать, что имеется расплав двух металлов. При понижении
температуры один из металлов начинает переходить из жидкой фазы в
твердую, при этом в расплаве возникает некоторая структура, состоящая из
затвердевших участков этого металла и меняющаяся с течением времени.
Возникновение и эволюцию такой структуры мы будем описывать с помощью
следующих параметров, которые являются независимыми переменными:
4
c — мольная концентрация кристаллизующегося металла в жидкой фазе,
z — усадка, т.е. изменение объема при изменении состава жидкой фазы и
фазовом переходе,
wl — скорость конвекции в жидкой фазе,
u — осреднённое смещение твёрдой фазы,
ws — средняя скорость нарастания твёрдой фазы (осреднённая скорость
микрофронтов),
v — осреднённое условное смещение жидкости относительно твёрдой фазы,
T — температура.
За основу модели в [5] принята макромодель, которая опирается на модель
Био насыщенной пористой среды [1] и закон сохранения массы жидкой фазы,
а также микромодель ликвации Канна-Хилларда [3], [4], которая расширена
учетом конвекции и теплопереноса. Таким образом, при моделировании
необходимо учитывать несколько масштабных уровней.
Обозначим wl  ws  w . Тогда система одномерных уравнений,
моделирующих процесс кристаллизации, может быть записана в следующем
виде:


 ut  ws ,

  vt  w,

2
    ws t   l wt     2    M  u x   Mv x  x    g ,

   l  ws t   add wt   Dw   Mu x  Mv x x   l  g ,

   l t    l w  x   s  ws  x  0,

  ct  w  f  c, T  x  M D  F  c, T    2  F1  c, u, T  c x  
x



 4  F2  c, u, T  cxx  xx 



 
 ux2    2    ,

c
 x x

 T   c   D T
(1.1)
0 xx ,
t

Система (1.1) записана как объединение трех подсистем, выделенных
квадратными скобками. Эти подсистемы представляют собой описания
основных физических процессов, участвующих в создании модели и о
которых мы говорили выше. Первая подсистема представляет собой модель
распространения волн в пористом «каркасе», заполненным жидкой фазой, –
упрощенный вариант так называемой модели Био. Вторая подсистема,
состоящая из одного уравнения, представляет собой просто уравнение

5
неразрывности для жидкой фазы и управляет эволюцией усадки z , поскольку
 l является функцией c и z (см. ниже). Третья подсистема является
расширенной моделью Кана-Хилларда образования и роста зародышей,
включающей конвективный перенос и теплопередачу.
Приведем описание параметров и функций, включенных в (1.1).
Следующие величины в (1.1) являются постоянными, определяемыми из
конкретной физики происходящих процессов:  – средняя плотность;  s –
плотность твердой фазы (служит нормирующей величиной и часто полагается
равной 1); M – подвижность в жидкости; g – параметр, моделирующий
интенсивность внешней силы (например, силы тяжести); D0 – коэффициент
диффузии;  – внутренняя теплота плавления;  – обратная величина времени
релаксации;  – параметр масштаба.
Теперь дадим пояснения относительно вида функциональных
зависимостей, присутствующих в (1.1): плотность жидкой фазы
q  y c
qc
 l   l  c, z  
R , где y ( c ) 
, а q, Q, R являются
1  z  R 1  y  c  
1  c  Q
некоторыми постоянными параметрами, определяемыми в каждой конкретной
физической
ситуации;
присоединенная
плотность
1/ 3
 l z
 add   add  c, z  
, где  опять же является физическим
1/ 3
1  y  c  
параметром; диффузионная подвижность M D 
D
 1 T 
1  y  c  
2/3
1
; сила межфазного трения
T
, где  1 является функциональным параметром; модуль
упругости   2    c, T  , в настоящей работе мы будем использовать лишь
линейную зависимость модуля упругости от концентрации c ; f  c, T  имеет
вид квадратичного по c потока; F  c, T  имеет вид кубического по c
полинома; F2  0 , а F1  const представляет собой коэффициент для
моделирования вязких сил.
Дальнейшие пояснения и интерпретации указанных констант и функций
см. в [5].
Также скажем несколько слов относительно краевых условий,
используемых нами при решении системы (1.1):
Функции u и v .
Начальные условия:
u  0, x   v  0, x   0 , что соответствует ws  0, x   w  0, x   0 ;
краевые условия:
6
u  t,0   vx  t,0   ux  t,1  v x  t,1  0 , что соответствует
ws  t ,0   wx  t ,0    ws  x  t ,1  wx  t ,1  0 .
Усадка z .
Начально-краевые условия:
z  0, x   0; z x  t,0   z x  t,1  0 .
Концентрация c .
Константы
здесь
c  t,0  const1 ; c  t ,1  const2 ;
cx  t ,0  cx  t ,1  0 .
необходимо выбирать в соответствии с начальными данными для c , чтобы
обеспечить непрерывность. Начальные данные для c выбираются, исходя из
конкретной физической ситуации.
Температура T .
T  0, x   Tmin  Tmax  Tmin  x ; T  t,0  Tmin  Tmax  Tmin  /  t  1 ; T  t ,1  Tmin ,
где Tmin  233.15K , Tmax  456.15K ,   100 является некоторым параметром
скорости остывания.
§2. Численная схема для решения системы уравнений, моделирующей
процесс кристаллизации
Как можно видеть, система (1.1) содержит подсистемы разного
характера: первая подсистема, вообще говоря, представляет собой систему
уравнений первого порядка (в области допустимости модели эта подсистема
должна быть гиперболической); вторая подсистема – это уравнение переноса;
а третья подсистема является подсистемой уравнений высокого порядка
(первое уравнение при наших предположениях имеет четвертый порядок, а
второе уравнение имеет второй порядок). Математическая форма системы
(1.1) подсказывает, что наиболее удобным способом решения будет метод
расщепления, когда «гиперболическая» и «переносная» подсистемы решаются
с помощью использования явных схем (учитывая возможное появление
разрывов), а «диффузионно-дисперсионная» подсистема решается с помощью
использования неявной схемы (учитывая возможное расширение методики на
многомерный случай). При этом нелинейный конвективный член в уравнении
Кана-Хилларда трактуется в рамках технологии TVD-схем, принимая во
внимание возможность распространения разрывов концентрации, которые в
некоторых режимах могут не сглаживаться «диффузионно-дисперсионными»
членами.
Для реализации изложенных общих замечаний по конструированию
разностной схемы выполним дифференцирование в первой подсистеме
системы (1.1), приводя ее таким образом к недивергентному виду, и получим
7
u
 ws ,
t
v
 w,
t
ws
 2u
2v
 Asu  c, l  2  Asv  c, l  2  Fws  c, w, l  ,
t
x
x
2
w
u
 2v
 Au  c, l  2  Av  c, l  2  Fw  c, w, l  ,
t
x
x
l
 w
w
  l  s s ,
t
x
x
2
 
f  c, T    1  
c
c 
 u  
2  
 w
 
  c, T    ,
 F  c, T   
 F1     
t
x
x  T x 
x  x 
 x  c
 
T
 2T
c
 D0 2   ,
t
x
t
(2.1)
где
Asu  c, l   Rsu / Rst , Rsu     c, T    2 M   add   M l ,
Asv  c, l   Rsv / Rst , Rsv  M  l   add  ,
  c  T
Fws  c, w, l   Rsf / Rst , Rsf  l D  c, T  w   add u x 
 

 c x T x
Au  c, l   Ru / Rst , Ru   M      c, T    2 M  l ,

  Rst g ,

Av  c, l   Rv / Rst , Rv  M l    ,
  c  T
Fw  c, w, l   R f / Rst , R f    D  c, T  w  l u x 
 

 c x T x
Rst   add  l2 .

,

(2.2)
Рассмотрим гиперболическую часть системы (2.1) (а значит первую
подсистему системы (1.1)) более подробно. Введем обозначения U  u / x ,
V  v / x . Тогда рассматриваемая гиперболическая часть (без правых частей)
будет выглядеть следующим образом
8
 U ws
 t  x

 V  w
 t x
,
(2.3)


w

U

V
 s A
 Asv
su
 t
x
x
 w
U
V

 Au
 Av
x
x
 t
где коэффициенты взяты из (2.2). Как легко проверить, квазилинейная система
(2.3) имеет, вообще говоря, четыре собственных числа, удовлетворяющих
уравнению
Rst  4   2  add     2 M    M   M   0 .
(2.4)
Обозначив эти собственные числа через i , i  1, 2,3, 4 , мы легко найдем
соответствующие собственные направления
1
2
3
4
xi   Asv ; xi   i2  Asu ; xi   i Asv ; xi   i  i2  Asu  .
Заметим при этом, что наша модель будет иметь смысл только если все
четыре собственных значения будут действительными, в противном случае
мы будем считать, что модель выходит за рамки применимости.
Итак, напомним, что для решения системы (2.1) (а значит и для (1.1)) мы
будем использовать метод расщепления. Для первых двух подсистем системы
(1.1) возьмем явную схему, которая будет выглядеть так
umn1  2umn  umn1
2
vmn1  2vmn  vmn1
2
n
n
n
n
umn 1  2umn  umn 1
n vm 1  2vm  vm 1

A
 Fws ;
 sv m
2
2
m
h
h
n
n
n
n
n
n
n um 1  2um  um 1
n vm 1  2vm  vm 1
n
  Au m
  Av m
  Fw m ;
2
2
h
h
umn1  umn
  ws m ,
vmn1  vmn
  w m ,


 l m
n 1
n
n 1
(2.5)
n 1
  l m

 
  Asu m
n
 l wm   l wmsign( w)
n
  sign  w 
n
h
 ws m1   ws m1
n
 s
n
2h
.
Здесь  и h представляют собой шаги по времени и пространству
соответственно, а индексы n и m относятся к величинам в n -ый момент
времени в m -ой точке расчетной сетки по пространству. Схема (2.5) является
схемой первого порядка, реализующей принципы TVD-схем для последнего
уравнения переноса. Естественно она дополняется соответствующими
краевыми условиями.
9
Стандартными методами можно показать, что (2.5) будет устойчивой
при выполнении следующих ограничений на временной шаг
(2.6)
 max i   h i  1,2,3,4;  max w   h ,
где i являются корнями уравнения (2.4).
Разностная схема для последнего уравнения системы (2.1) будет
выглядеть следующим образом (неявная схема, в предположении, что c n1 уже
найдено)
Tmn1  Tmn
Tmn11  2Tmn1  Tmn11
cmn1  cmn
.
(2.7)
 D0


h2

Получающаяся система линейных уравнений для определения температуры на
верхнем слое решается стандартным методом прогонки с учетом
поставленных начально-краевых условий.
Уравнение Кана-Хилларда для эволюции концентрации c имеет
наиболее сложную структуру, и должно быть рассмотрено более подробно.
Напомним, как выглядит уравнение Кана-Хилларда (см. (1.1) или (2.1))
2
f  c, T   
c
 
c   u    c,T   
2  
w
  M D  F  c, T   
  . (2.8)
 F1     
t
x
x 
x 
x  x   x 
c  
Мы хотим сделать схему для этого уравнения неявной для старших
производных от c , чтобы при измельчении сетки шаг по времени не убывал
слишком быстро. При аппроксимации переносного члена в левой части,
напротив, неявность ни к чему, т.к. в решении возможны, вообще говоря,
"разрывы" по c , и они должны переноситься максимально аккуратно. Для
реализации этого подхода уравнение (2.8) необходимо линеаризовать по c .
Заметим, что в настоящем препринте мы рассматриваем   c, T  как линейную
функцию по c , поэтому обозначим   c,T  / c  G T . Кроме того,
напомним, что F1  c, u,T   F1  const. Тогда получим следующее уравнение
вместо (2.8)
2
 
f  c,T   
 c
c
T
 3c
   u 

2
w
  M D  Fc  FT
  F1 3     G T     . (2.9)

t
x
x 
x
x
x   x 
 x
 

Производя необходимые дифференцирования и группируя члены при
различных производных от c получим из (2.9)
10
f  c, T 
c
 4c
 3c
 2c
2
2
w
   M D F1  4    M D , x F1  3   M D Fc  2
t
x
x
x
x
T  c

 c 
  M D , x Fc  2M D FcT
  M D Fcc  
x  x

 x 
2
. (2.10)
 T
 
  u 
 M D , x  FT
    G  T   

x
x  x 
 

2
  T  2
 
 2T
 2  u 
 M D  FTT 

F


G
T
     
T

x 2
x 2  x 
  x 
 
Заметим теперь, что переносный член в (2.10) для правильного расчета
распространения разрыва с точки зрения теории TVD схем необходимо
записывать в дивергентной форме, т.е. (2.10) окончательно преобразуется к
виду
2
c F
c
 2c
 3c
 4c
 c 

 a1  a2 2  a3 3  a4 4  a12    a0 ,
(2.11)
t x
x
x
x
x
 x 
где
2
2
2
 
 
  u 
T
 2T 
  T 
a0  fwx    M D   G T     M D , x FT
 M D  FTT 
  FT 2   ,
x 
x  x 
x
x 
 
  x 
T
a1  M D , x Fc  2M D FcT
, F  wf ,
x
a2  M D Fc ,
a3   2 M D , x F1 ,
a4   2 M D F1 ,
a12  M D Fcc .
Для уравнения (2.11) будем использовать следующую разностную схему
cmn1  cmn
F mn1/ 2  F mn1/ 2
cmn11  cmn11
cmn11  2cmn1  cmn11

 a1
 a2


h
2h
h2
cmn12  2cmn11  2cmn11  cmn12
cmn12  4cmn11  6cmn1  4cmn11  cmn12
a3
 a4
 . (2.12)
2h3
h4
2
 cmn 1  cmn 1 
a12 
  a0
2h


Соберем коэффициенты при неизвестных на новом слое
11
cmn1  q1  cmn11  cmn11   q2  cmn11  2cmn1  cmn11   q3  cmn12  2cmn11  2cmn11  cmn12 
 q4  c
n 1
m2
где
q1 
 a1
2h
, q2 
 a2
h2
n 1
m1
 4c
, q3 
n 1
m
 6c
n 1
m 1
 4c
 a3
 a4
2h
h4
, q4 
3
n 1
m2
c
c
n 1
m
,
,
а
2
 cmn 1  cmn 1 
F mn1/ 2  F mn1/ 2
c  c 
  a12 
   a0
h
2h


можно считать решением по явной TVD-схеме уравнения
2
c F
 c 

 a12    a0 .
t x
 x 
После перегруппировки система уравнений (2.12) может быть решена
стандартным методом прогонки.
n 1
m
n
m
§3. Результаты расчетов.
Как уже говорилось выше, представленная модель (даже в одномерном
случае) с математической и вычислительной точек зрения является
конгломератом сложных нелинейных и разномасштабных процессов. Поэтому
представляет определенный интерес просто проверить работоспособность
модели и возможность производить расчеты по представленной выше
численной методологии. (Это является особенно важным при переходе к
моделированию в двух- и трехмерном случаях, когда физическая
интерпретация полученных результатов приобретет более осмысленный
характер.) Поэтому далее мы приведем демонстрационный расчет, где будем
следить только за математической эволюцией основной неизвестной функции
– концентрации – без детальной привязки к какому-либо физическому опыту.
Единственная физическая интерпретация, которую мы будем использовать,
состоит в следующем: если выделить некоторое промежуточное значение
концентрации c , которое мы обозначим как «критическую» концентрацию
cкр . , то будем считать, что кристаллизующийся металл находится в жидком
состоянии при c  cкр. и в твердом состоянии при c  cкр. .
Итак, рисунок 1 ниже представляет собой начальные данные для
температуры, концентрации и плотности жидкой фазы в демонстрационном
расчете, который проводился на одномерной сетке, состоящей из 400 точек.
Расчет проводился как по неявной, так и по явной схемам. Штриховые линии
на рисунке 1 представляют собой корни уравнения F  c,T   0 , они приведены
для большей наглядности интерпретации начальных данных.
12
n=0 t=0
450
400
T
350
300
250
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
c
0.5
0
0.8
0.78

0.76
0.74
0.72
Рисунок 1. Начальные функции температуры, концентрации и плотности
жидкой фазы для демонстрационного расчета.
Рисунок 2 демонстрирует эволюцию во времени функции
концентрации. Для каждого момента времени приведены последовательно две
картинки: первая – это расчет по явной схеме, вторая – расчет по неявной
схеме. Можно заметить, что обе картинки совпадают с высокой точностью.
При этом величина шага по времени для этой сетки, в согласии с
теоретическими представлениями, увеличивается для неявной схемы
примерно в 70-80 раз, что обуславливает затрату значительно меньшего
времени на один расчет.
Рисунок 3 демонстрирует вид других функций модели, которые
расчитаны по неявной схеме на момент t  3 .
Приведенная визуализация отражает эффект возникновения областей
затвердевания в жидком расплаве, что выражается в осцилляционном
характере поведения функции c . Причем осцилляции возникают именно из
уравнений, т.к. на один период осцилляций попадает много точек, и эти
осцилляции устойчивы к методу расчета.
13
t=1
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
x
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1
t=0.99998
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
x
14
t=2
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1
x
t=2
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
x
15
t=3
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
x
0.
7
0.
8
0.
9
1
t=3
0.
9
0.
8
0.
7
0.
6
0.
5
c
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1
0
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1
x
Рисунок 2. Эволюция во времени функции концентрации, расчитанная
по явной и неявной схемам .
16
t=3
234
233.8
233.6
T
233.4
233.2
233
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.3
1.25
1.2

1.15
1.1
1.05
1
0.95
0
Рисунок 1. Другие функции модели, расчитанные по неявной схеме к
моменту времени t = 3 .
Список Литературы
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
M.A.Biot, Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous
media. J. Appl. Phys., v.33 (4), pp. 1482 – 1498 (1962).
Васильева О.А., Лукашев Е.А., Радкевич Е.В., Яковлев Н.Н.,
Неизотермическая модель Кана-Хилларда с конвекцией. Труды
международной научно-технической конференции, посвященной 100летию С.Т.Кишкина, с. 157 – 160, Москва (2006).
J.W. Cahn, J.E. Hillard, Free energy of a nonuniform system III: Nucleation
in a two-component incompressible fluid. J. Chemical Physics, v.31, pp.
688 – 699 (1959).
J.W. Cahn, J.E. Hillard, Hoffman D.W., A vector thermodynamics for
anisotropic surfaces I: Fundamentals and applications to plane surface
junctions. Surface Sciences, v.31 (1972).
Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов.
Издат. Тамара Рожковская, Белая серия, т. 4, Новосибирск (2007).