банк заданий для подготовки к егэ-2014

Теплоход рассчитан на 950 пассажиров и 110 членов команды. Каждая спасательная шлюпка
может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе,
чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов
команды?
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Петрозаводск
Белгород
Новосибирск
Пшеничный хлеб (батон)
13
11
15
Молоко (1 литр)
26
23
25
Картофель (1 кг)
14
10
17
Сыр (1 кг)
230
205
255
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг сыра, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора
продуктов в этом городе (в рублях).
Найдите cosα, если sinα=−215 и α∈(π;3π2).
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Сырок стоит 6 рублей 70 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Кострома
Краснодар
Петрозаводск
Пшеничный хлеб (батон)
11
14
13
Молоко (1 литр)
26
23
26
Картофель (1 кг)
17
12
14
Сыр (1 кг)
240
265
230
Мясо (говядина, 1 кг)
285
280
280
Подсолнечное масло (1 литр)
52
44
38
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного
набора продуктов в этом городе (в рублях).
Найдите sinα, если cosα=1910 и α∈(0;π2).
1
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 750 г клубники. Сколько рублей
сдачи она должна получить с 200 рублей?
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Новгород
Курск
Екатеринбург
Пшеничный хлеб (батон)
13
10
16
Молоко (1 литр)
25
21
27
Картофель (1 кг)
9
13
16
Сыр (1 кг)
260
220
270
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 3
батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
Найдите sinα, если cosα=265 и α∈(0;π2).
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой
последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Шоколадка стоит 31 рубль. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение:
заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок
можно получить на 170 рублей в воскресенье?
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать
поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 770 рублей.
Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно
700 километров, а цена бензина равна 17,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за
наиболее дешёвую поездку на троих?
Найдите cosα, если sinα=−5110 и α∈(π;3π2).
2
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой
последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в
квартире 45. На каком этаже живёт Петя?
В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 15 фунтов
— за 696 рублей. В третьем банке 22 фунта стоят 1067 рублей. Какую наименьшую сумму (в
рублях) придётся заплатить за 10 фунтов стерлингов?
Найдите значение выражения 12sin150°·cos120°.
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно
720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Пакет молока стоит 40 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 15%. Сколько рублей
заплатит пенсионер за пакет молока?
Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а
можно – на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 940 рублей. Автомобиль
расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена
бензина равна 29 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую
поездку на троих?
Найдите значение выражения log27·log74.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
а) Решите уравнение log4(sinx+sin2x+16)=2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π;−5π2].
3
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 2%. Книга
стоит 150 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
Чтобы связать свитер, хозяйке нужно 900 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю
пряжу по цене 70 рублей за 100 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 60 рублей за
100 г и окрасить её. Один пакетик краски стоит 40 рублей и рассчитан на окраску 300 г пряжи.
Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.
Найдите значение выражения log814log6414.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того,
что орёл не выпадет ни разу.
а) Решите уравнение log7(2cos2x+3cosx−1)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π2;−2π].
Поезд Москва–Ижевск отправляется в 17:41, а прибывает в 10:41 на следующий день (время
московское). Сколько часов поезд находится в пути?
В таблице даны тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70
минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей
будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
Продолжительность и
стоимость минимальной
поездки*
Стоимость 1 минуты сверх
продолжительности минимальной
поездки
А
300 руб.
Нет
14 руб.
Б
Бесплатно
15 мин. – 225 руб.
17 руб.
В
120 руб.
20 мин. – 350 руб.
16 руб.
*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости
минимальной поездки.
Найдите tgα, если sinα=22929 и α∈(0;π2).
В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите
вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
а) Решите уравнение 4sin3x=cos(x−5π2).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;5π2].
Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка
может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе,
4
чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов
команды?
Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
(в месяц)
Плата за 1 минуту разговора
«Повременный»
Нет
0,35 руб.
«Комбинированный»
140 руб.
за 350 мин.
0,3 руб.
(сверх 350 мин. в месяц)
«Безлимитный»
200 руб.
–
Абонент выбрал самый дешёвый тарифный план исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен
заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет
равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.
Найдите cosα, если sinα=215 и α∈(π2;π).
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные
из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π2].
Найдите значение выражения log2240−log23,75.
Найдите значение выражения log6135−log63,75.
Найдите значение выражения log5312,5−log52,5.
Найдите значение выражения log367,5−log32,5.
Найдите значение выражения 30tg3°·tg87°−43.
Найдите tgα, если cosα=52929 и α∈(3π2;2π).
Найдите tgα, если cosα=−21313 и α∈(π;3π2).
Теплоход рассчитан на 950 пассажиров и 110 членов команды. Каждая спасательная шлюпка
может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе,
чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов
команды?
Найдите корень уравнения 32−4x=4.
5
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Петрозаводск
Белгород
Новосибирск
Пшеничный хлеб (батон)
13
11
15
Молоко (1 литр)
26
23
25
Картофель (1 кг)
14
10
17
Сыр (1 кг)
230
205
255
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг сыра, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора
продуктов в этом городе (в рублях).
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m0·2−tT, где
m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента,
T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0=200 мг.
Период его полураспада T=3 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали мотоциклист
и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 30 км больше, чем
велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на
1,5 часа позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
Решите уравнение (4sin2x+12sinx+5)·−17cosx=0.
Решите неравенство 9log12(x2−3x−4)≤10+log12(x+1)9x−4.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
{(|x|−5)2+(y−4)2=9,(x+2)2+y2=a2
имеет единственное решение.
Сырок стоит 6 рублей 70 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?
Найдите корень уравнения 24−4x=4.
Уравнения и неравенства (138)
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Пшеничный хлеб (батон)
Молоко (1 литр)
Картофель (1 кг)
Кострома
11
26
17
Краснодар
14
23
12
Петрозаводск
13
26
14
6
Сыр (1 кг)
240
265
230
Мясо (говядина, 1 кг)
285
280
280
Подсолнечное масло (1 литр)
52
44
38
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного
набора продуктов в этом городе (в рублях).
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m0·2−tT, где
m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента,
T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0=250 мг.
Период его полураспада T=3 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 31,25 мг?
Решите уравнение (2sin2x+11sinx+5)·log15(−cosx)=0.
Решите неравенство 11log11(x2+x−20)≤12+log11(x+5)11x−4.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
{(|x|−6)2+(y−12)2=4,(x+1)2+y2=a2
имеет единственное решение.
Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 750 г клубники. Сколько рублей
сдачи она должна получить с 200 рублей?
Найдите корень уравнения 28−3x=4.
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Новгород
Курск
Екатеринбург
Пшеничный хлеб (батон)
13
10
16
Молоко (1 литр)
25
21
27
Картофель (1 кг)
9
13
16
Сыр (1 кг)
260
220
270
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 3
батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m0·2−tT, где
m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента,
T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0=50 мг.
Период его полураспада T=5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали мотоциклист
и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 50 км больше, чем
велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на
5 часов позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
7
Решите уравнение (2cos2x+11cosx+5)·log18(sinx)=0.
Решите неравенство 2log5(x2−5x)log5x2≤1.
Поезд Москва–Ижевск отправляется в 17:41, а прибывает в 10:41 на следующий день (время
московское). Сколько часов поезд находится в пути?
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{(x−4)2+(y−4)2=9,y=|x−a|+1
имеет ровно три различных решения.
Шоколадка стоит 31 рубль. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение:
заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок
можно получить на 170 рублей в воскресенье?
Найдите корень уравнения 28−2x=2.
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать
поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 770 рублей.
Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно
700 километров, а цена бензина равна 17,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за
наиболее дешёвую поездку на троих?
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m0·2−tT, где
m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента,
T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0=90 мг.
Период его полураспада T=3 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 11,25 мг
Решите уравнение (10cos2x−7cosx−6)·log8(−sinx)=0.
Решите неравенство 2log9(x2+4x)log9x2≤1.
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{(x−3)2+(y−6)2=25,y=|x−a|+1
имеет ровно три различных решения.
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в
квартире 45. На каком этаже живёт Петя?
Найдите корень уравнения log2(4−x)=8.
В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 15 фунтов
— за 696 рублей. В третьем банке 22 фунта стоят 1067 рублей. Какую наименьшую сумму (в
рублях) придётся заплатить за 10 фунтов стерлингов?
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента
некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура
8
вычисляется по формуле T(t)=T0+bt+at2, где t — время в минутах, T0=1300 К, a=−143 К/мин2,
b=98 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1720 К прибор может
испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после
начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник
подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем
при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в
понедельник?
Решите уравнение (3sinx−2sin2x)·log6(−tgx)=0.
Решите неравенство logx2x−1·logx2x2log2xx·log2x−2x<40.
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{y=5+4x−x2+2,y=9−a2+2ax−x2+a
имеет единственное решение.
Пакет молока стоит 40 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 15%. Сколько рублей
заплатит пенсионер за пакет молока?
Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а
можно – на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 940 рублей. Автомобиль
расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена
бензина равна 29 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую
поездку на троих?
Найдите корень уравнения 2x+31=9.
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана,
согласно которому мощность излучения P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна
площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σST4, где σ=5,7·10−8 —
постоянная, площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в
градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S=118·1021 м 2,
а излучаемая ею мощность P равна 4,104·1027 Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте
ответ в градусах Кельвина.
В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества,
добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
а) Решите уравнение log4(sinx+sin2x+16)=2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π;−5π2].
Решите систему неравенств
{3·9−x−28·3−x+9≤0,logx2(x+1)2≤1.
9
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x)=4x2−4ax+a2+2a+2
на множестве |x|≥1 не меньше 6.
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному
каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а
полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 2%. Книга
стоит 150 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
Чтобы связать свитер, хозяйке нужно 900 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю
пряжу по цене 70 рублей за 100 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 60 рублей за
100 г и окрасить её. Один пакетик краски стоит 40 рублей и рассчитан на окраску 300 г пряжи.
Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.
Найдите корень уравнения (x+7)3=216.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента
некоторого прибора получена экспериментально: T=T0+bt+at2, где t — время в минутах,
T0=1450 К, a=−30 К/мин 2, b=180 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше
1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после
начала работы нужно отключить прибор?
В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества,
добавили 8 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
а) Решите уравнение log7(2cos2x+3cosx−1)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π2;−2π].
Решите систему неравенств
{4x−6·2x+8≥0,log32x2+3x−5x+1≤1
10
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x2−3x−2|=a−2x2−8x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля
начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к
двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз ( N – натуральное число)
больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
В таблице даны тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70
минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей
будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
Продолжительность и
стоимость минимальной
поездки*
Стоимость 1 минуты сверх
продолжительности минимальной
поездки
А
300 руб.
Нет
14 руб.
Б
Бесплатно
15 мин. – 225 руб.
17 руб.
В
120 руб.
20 мин. – 350 руб.
16 руб.
*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости
минимальной поездки.
Найдите корень уравнения log3(x+2)=2.
Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=120−10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.)
вычисляется по формуле r(p)=pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная
выручка r(p) составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй
рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10
деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
а) Решите уравнение 4sin3x=cos(x−5π2).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;5π2].
11
Решите систему неравенств
{5x+2+2·5−x≤51,log2x0,25≥log232x−1.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x−3|=5x+2
на промежутке [0;+∞) имеет ровно два корня.
Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см
(назовём такие куски стандартными).
а) Некоторый моток верёвки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски
разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы
разрезать тот же моток верёвки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток верёвки, длина которого больше l см,
можно разрезать на стандартные куски.
Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка
может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе,
чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов
команды?
Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
(в месяц)
Плата за 1 минуту разговора
«Повременный»
Нет
0,35 руб.
«Комбинированный»
140 руб.
за 350 мин.
0,3 руб.
(сверх 350 мин. в месяц)
«Безлимитный»
200 руб.
–
Абонент выбрал самый дешёвый тарифный план исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен
заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет
равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.
Найдите корень уравнения log4(x+7)=2.
Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от
цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=65−5p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.)
вычисляется по формуле r(p)=pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная
выручка r(p) составит 150 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали
больше?
12
а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π2].
Решите систему неравенств
{320−4−x64−2−x≥5,log0,25x2(x+64)≤1.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|5x−3|=ax−2
на промежутке (0;+∞) имеет более двух корней.
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них
мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 413 от общего
числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 25 от общего
числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было
20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно,
что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без
дополнительного условия пунктов а и б?
Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до
6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки.
Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в
течение суток?
Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе
коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F,
качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый
рейтинг вычисляется по формуле
R=4(2F+2Q+D)−0,01P.
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей
электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей
электрических чайников.
Модель чайника
Средняя цена
Функциональность
Качество
Дизайн
13
А
Б
В
Г
4000
4500
4400
4200
1
4
2
2
0
3
3
3
0
0
0
4
Найдите корень уравнения 6−6+x=36.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые
импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется
по формуле v=c·f−f0f+f0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых
импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в
МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость
погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц
Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте
В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась
в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если
известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.
а) Решите уравнение 15cosx=3cosx·5sinx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π;13π2].
Решите систему неравенств
{log3−xx+4(x−3)2≥−2,x3+6x2+21x2+3x−12x−4≤3.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax+−7−8x−x2=2a+3
имеет единственный корень.
Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 9% активного вещества. Ребёнку в возрасте до
6 месяцев врач прописывает 1,35 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки.
Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг
в течение суток?
Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе
коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F,
качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый
рейтинг вычисляется по формуле
14
R=4(2F+2Q+D)−0,01P.
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей вафельниц.
Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей вафельниц.
Модель вафельницы
А
Б
В
Г
Средняя цена
4100
4700
5500
5400
Функциональность
3
0
3
0
Качество
2
2
1
2
Дизайн
4
2
1
0
Найдите корень уравнения 4−5+x=64.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые
импульсы частотой 558 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется
по формуле v=c·f−f0f+f0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых
импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в
МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость
погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.
Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте
В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась
в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если
известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
а) Решите уравнение 14cosx=2cosx·7−sinx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π2;2π].
Решите систему неравенств
{log7−xx+3(x−7)8≥−8,x3+6x2+40x2+3x−24x−8≤3.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax+−3−4x−x2=3a+1
имеет единственный корень.
В квартире, где проживает Анастасия, установлен прибор учёта расхода холодной воды
(счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 122 куб. м воды, а 1 октября — 142 куб. м.
Какую сумму должна заплатить Анастасия
за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 9 руб. 90 коп.?
Ответ дайте в рублях.
15
Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности
S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель
оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле
R=3S+2C+2F+2Q+D50.
В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите
наивысший рейтинг представленных в таблице автомобилей.
Модель
автомобиля
А
Б
В
Безопасность
Комфорт
Функциональность
Качество
Дизайн
1
5
2
4
4
5
5
5
4
4
4
2
2
1
5
Найдите корень уравнения 59+x=125.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые
импульсы частотой 247 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется
по формуле v=c·f−f0f+f0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых
импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в
МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость
погружения батискафа не должна превышать 18 м/с.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется
для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит
19% воды?
а) Решите уравнение (16sinx)cosx=43sinx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;9π2].
Решите систему неравенств
{log7−x(14+5x−x2)≤1,x−5−11x+12x2+2x≥−5x+2.
Найдите все значения a, при которых уравнение
6a+5+4x−x2=ax+3
имеет единственный корень.
В квартире, где проживает Ася, установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). 1 мая
счётчик показывал расход 84 куб. м воды, а 1 июня — 96,5 куб. м. Какую сумму должна
16
заплатить Ася за горячую воду за май, если цена 1 куб. м горячей воды составляет 72 руб.
60 коп.? Ответ дайте в рублях.
Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности
S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель
оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле
R=3S+2C+2F+2Q+D50.
В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите
наивысший рейтинг представленных в таблице автомобилей.
Модель
автомобиля
А
Б
В
Безопасность
Комфорт
Функциональность
Качество
Дизайн
2
5
4
5
3
3
3
2
5
5
4
2
4
4
2
Найдите корень уравнения 56+x=5.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые
импульсы частотой 370 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется
по формуле v=c·f−f0f+f0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых
импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в
МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость
погружения батискафа не должна превышать 20 м/с.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется
для получения 38 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит
19% воды?
а) Решите уравнение (36sinx)−cosx=6sinx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π2;−2π].
Решите систему неравенств
{log4−x(28−3x−x2)≤1,x+7+14x−24x2−4x+3≥5x−1
Найдите все значения a, при которых уравнение
10a+−35+12x−x2=ax+1
имеет единственный корень.
17
1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября
показывал 669 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно
заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 310 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 415 рублей на звонки в другие регионы и
560 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
Найдите корень уравнения log2(−3x+8)=7.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по
прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не
совпадает с частотой исходного сигнала f0=170 Гц и определяется следующим выражением:
f=f0·c+uc−v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=12 м/с и
v=6 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой
максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике
f будет не менее 180 Гц?
Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких
же рубашек дороже куртки?
а) Решите уравнение sin2x=cos(3π2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;5π2].
Решите систему неравенств
{log8−x(x−8)10x−1≥10,x2−9x+15x−2+x2−7x+4x−7≤2x−7.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2+(2−a)2=|x−2+a|+|x−a+2|
имеет единственный корень.
1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 30 копеек. Счётчик электроэнергии 1 сентября
показывал 63618 киловатт-часов, а 1 октября показывал 63782 киловатт-часа. Какую сумму
нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь? Ответ дайте в рублях.
18
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 5% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 30% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 580 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 155 рублей на звонки в другие регионы и
110 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
Найдите корень уравнения log3(−10x−14)=4.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по
прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не
совпадает с частотой исходного сигнала f0=170 Гц и определяется следующим выражением:
f=f0·c+uc−v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=11 м/с и
v=13 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой
максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике
f будет не менее 180 Гц?
Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов пятнадцать
таких же рубашек дороже куртки?
а) Решите уравнение sin2x=3sin(3π2−x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;4π].
Решите систему неравенств
{log3−x(x−3)4x≥4,x2−12x+10x−1+x2−5x+5x−5≤2x−11.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2+(a+4)2=|x−4−a|+|x+a+4|
имеет единственный корень.
В квартире, где проживает Валерий, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик).
1 марта счётчик показывал расход 182 куб. м воды, а 1 апреля — 192 куб. м. Какую сумму
должен заплатить Валерий
за холодную воду за март, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 23 руб. 10 коп.? Ответ
дайте в рублях.
19
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 10% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 200 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 245 рублей на звонки в другие регионы и
510 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
Найдите корень уравнения log2(12−4x)=5.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по
прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не
совпадает с частотой исходного сигнала f0=120 Гц и определяется следующим выражением:
f=f0·c+uc−v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=6 м/с и v=7 м/с
— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой
максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике
f будет не менее 125 Гц?
Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 6%. На сколько процентов пятнадцать таких же
рубашек дороже куртки?
а) Решите уравнение 2cos2x=3sin(3π2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π2].
Решите систему неравенств
{log7−x1−xx−7≤−1,x2−4x+3x−2+4x−22x−7≤x+2.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2−|x+2+a|=|x−a−2|−(a+2)2
имеет единственный корень.
В квартире, где проживает Анастасия, установлен прибор учёта расхода горячей воды
(счётчик). 1 января счётчик показывал расход 89,4 куб. м воды, а 1 февраля — 91,9 куб. м.
Какую сумму должна заплатить Анастасия
за горячую воду за январь, если цена 1 куб. м горячей воды составляет 103 руб. 60 коп.? Ответ
дайте в рублях.
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 10% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 15% на звонки в другие регионы, либо скидку 20% на услуги мобильного интернета.
20
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 490 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 320 рублей на звонки в другие регионы и
235 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
Найдите корень уравнения log5(−10−3x)=3.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по
прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не
совпадает с частотой исходного сигнала f0=160 Гц и определяется следующим выражением:
f=f0·c+uc−v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=6 м/с и
v=14 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой
максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике
f будет не менее 170 Гц?
Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов семь таких же
рубашек дороже куртки?
а) Решите уравнение 2cos2x=sin(π2−x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π2;4π].
Решите систему неравенств
{log−1−x−4−xx+1≤−1,x2+6x+7x+2+2−6xx≤x−2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2−|x−5+a|=|x−a+5|−(5−a)2
имеет единственный корень.
На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
21
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
{(|x|−5)2+(y−4)2=9,(x+2)2+y2=a2
имеет единственное решение.
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за унцию).
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
22
{(|x|−6)2+(y−12)2=4,(x+1)2+y2=a2
имеет единственное решение.
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за унцию).
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{(x−4)2+(y−4)2=9,y=|x−a|+1
имеет ровно три различных решения.
На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
23
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{(x−3)2+(y−6)2=25,y=|x−a|+1
имеет ровно три различных решения.
На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена нефти на момент закрытия
торгов составила 24 доллара за баррель.
Найдите все значения a, при каждом из которых система
24
{y=5+4x−x2+2,y=9−a2+2ax−x2+a
имеет единственное решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x)=4x2−4ax+a2+2a+2
на множестве |x|≥1 не меньше 6.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x2−3x−2|=a−2x2−8x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x−3|=5x+2
на промежутке [0;+∞) имеет ровно два корня.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|5x−3|=ax−2
на промежутке (0;+∞) имеет более двух корней.
Найдите наименьшее значение функции y=x2+441x на отрезке [2;32].
Найдите наибольшее значение функции y=x2+25x на отрезке [−12;−1].
Найдите точку максимума функции y=−x2+36x.
Найдите точку минимума функции y=−x2+196x.
Найдите наименьшее значение функции y=69cosx+71x+48 на отрезке [0;3π2].
Найдите наименьшее значение функции y=111cosx+113x+69 на отрезке [0;3π2].
Найдите наибольшее значение функции y=99x−97sinx+62 на отрезке [−π2;0].
Найдите наибольшее значение функции y=101x−99sinx+63 на отрезке [−π2;0].
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
25
Найдите наибольшее значение функции y=x3−9x2+24x−7 на отрезке [−1;3].
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Найдите наименьшее значение функции y=x3+6x2+9x+21 на отрезке [−3;0].
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
26
Найдите наименьшее значение функции y=x3−x2−8x+4 на отрезке [1;7].
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в
точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Найдите наибольшее значение функции y=x3−6x2+9x+5 на отрезке [0;3].
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале
(−9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3;3].
27
Найдите наибольшее значение функции y=x3+2x2+x−7 на отрезке [−3;−0,5].
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на
оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции
f(x) положительна?
Найдите наибольшее значение функции y=11·ln(x+4)−11x−5 на отрезке [−3,5;0].
На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
28
Найдите наибольшее значение функции y=12·ln(x+2)−12x+7 на отрезке [−1,5;0].
На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Найдите наименьшее значение функции y=(x−9)2(x+4)−4 на отрезке [7;16].
На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на
интервале (−3;8). Найдите точку минимума функции f(x).
29
Найдите наименьшее значение функции y=(x−10)2(x+10)−7 на отрезке [8;18].
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−9;5). Найдите
количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−5;9). Найдите
количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
30
На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале
(−2;9). В какой точке отрезка [2;8] функция f(x) принимает наименьшее значение?
На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале
(−8;4). В какой точке отрезка [−2;3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
31
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
32
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 103°, угол CAD равен 4°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
33
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого
равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 2,
найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него
четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если
отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов
треугольника равно 512.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 105°, угол CAD равен 7°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
34
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой
равны 4, а боковые рёбра равны 3, найдите расстояние от точки B до прямой C1D1.
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него
четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если
отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании
равен 45
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 102°, угол CAD равен 2°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
35
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3.
Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой
равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки A до прямой E1D1.
Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая,
проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник.
Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 5°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
36
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой
равны 3, а боковые рёбра равны 13, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать
окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая,
проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник.
Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD.
Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
37
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки
A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого
AB=3, AD=4, AA1=5.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми AA1 и BC1.
Точки M, K и N лежат на сторонах соответственно AB, BC и AC треугольника ABC, причём
AMKN — параллелограмм, площадь которого составляет 49 площади треугольника ABC.
Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно, что AB=21, AC=12 и ∠BAC=120°.
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
38
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 15 окружности. Ответ дайте в
градусах.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания,
SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
39
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите
расстояние от точки B до плоскости FB1C1.
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые
KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь
заштрихованного кругового сектора.
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B,
составляет 200°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите
вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а диаметр основания равен 6.
Найдите высоту цилиндра.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все
двугранные углы – прямые).
40
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2, AD=AA1=1. Найдите угол между
прямой A1B1 и плоскостью AB1D1.
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом
C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное 26. Найдите площадь
треугольника BCE, если BC=5, AC=12.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите
угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей – 25. Найдите высоту конуса.
41
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 98 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра
равны 3, точка D – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся
окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы
окружностей
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В треугольнике ABC угол A равен 56°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в
точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=16, A1B1=2, A1D1=8.
Найдите длину диагонали AC1.
42
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а
боковые рёбра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE:EA1=3:1. Найдите угол
между плоскостями ABC и BED1.
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=9, AC=10. Окружность, проходящая через
точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин
треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину
отрезка KL
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8.
Найдите синус угла BAC.
43
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса.
Радиус сферы равен 102. Найдите образующую конуса.
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди
которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того,
что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1,
F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой
равна 12, а боковое ребро равно 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6,
а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая,
проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую —
в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=30°.
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то
число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое
число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то
на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1,
3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
44
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10,
11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7.
Найдите синус угла ACB.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса.
Радиус сферы равен 512. Найдите образующую конуса.
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
спортсменов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Георгий Бочкин. Найдите
вероятность того, что в первом туре Георгий Бочкин будет играть с каким-либо спортсменом из
России.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F,
D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой
равна 8, а боковое ребро равно 6.
45
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4,
а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Окружности радиусов 5 и 8 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая,
проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую —
в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то
число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое
число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то
на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1,
3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 5, 6, 8,
10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 29.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC AC=BC, AB=15, AH — высота, BH=6.
46
Найдите косинус угла BAC.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса.
Образующая конуса равна 502. Найдите радиус сферы.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии
и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D1, E1,
F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой
равна 8, а боковое ребро равно 9.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18,
а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру MB, причём MR:RB=2:1. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и R параллельно прямой
BD.
Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая,
проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую —
в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.
а) Чему равно число способов записать число 1193 в виде 1193=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где
числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде
N=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3, ровно 120 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде
N=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3, ровно 120 способами?
47
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
В треугольнике ABC AC=BC, AB=14, AH — высота, BH=7.
Найдите косинус угла BAC.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса.
Образующая конуса равна 802. Найдите радиус сферы.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, B1, C1,
D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания
к
оторой равна 6, а боковое ребро равно 12.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12,
а боковые рёбра равны 24. Точка G принадлежит ребру MA, причём MG:GA=2:1. Найдите
48
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и G параллельно прямой
AC.
Окружности радиусов 9 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая,
проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую —
в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=15°.
а) Чему равно число способов записать число 1595 в виде 1595=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где
числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде
N=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3, ровно 160 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде
N=a3·103+a2·102+a1·10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0;1;2;3, ровно 160 способами?
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°.
Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29.
Найдите диаметр основания конуса.
49
В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про
Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной
треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно
9.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 22, а
боковое ребро AA1=7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6:5, считая
от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки
B, D и K
Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в
точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°.
Найдите AB.
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и
т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на
доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −9, −6, −4, −3, −1, 2, 5. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно 5 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно
однозначно определить задуманные числа?
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
50
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 103°, угол CAD равен 7°.
Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41.
Найдите диаметр основания конуса.
В сборнике билетов по биологии всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по
членистоногим. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику не достанется вопрос по членистоногим.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной
треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно
6.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 10, а
боковое ребро AA1=2. Точка O принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 4:1, считая
от вершины A1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки
A, C и O.
Окружности радиусов 13 и 35 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в
точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°.
Найдите AB.
51
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и
т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на
доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −13, −8, −6, −5, −1, 2, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно
однозначно определить задуманные числа?
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 41.
Найдите высоту конуса.
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по
логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по логарифмам.
52
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной
треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно
9.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=4, AD=3, AA1=7.
Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 3:4, считая от вершины B. Найдите
площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1
Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним
образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём
∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и
т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на
доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −5, −2, 1, 3, 4, 6, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно
однозначно определить задуманные числа?
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 31°. Найдите угол
B. Ответ дайте в градусах.
53
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 65.
Найдите высоту конуса.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по
логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по логарифмам
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной
треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно
9.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=5, AD=3, AA1=8.
Точка R принадлежит ребру AA1 и делит его в отношении 3:5, считая от вершины A. Найдите
площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, R и D1.
Окружности радиусов 1 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом
в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°.
Найдите MN
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и
т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на
доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −3, −1, 1, 2, 3, 4, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно 5 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно
однозначно определить задуманные числа?
На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
54
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Петрозаводск
Белгород
Новосибирск
Пшеничный хлеб (батон)
13
11
15
Молоко (1 литр)
26
23
25
Картофель (1 кг)
14
10
17
Сыр (1 кг)
230
205
255
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг сыра, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора
продуктов в этом городе (в рублях).
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за унцию).
55
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Кострома
Краснодар
Петрозаводск
Пшеничный хлеб (батон)
11
14
13
Молоко (1 литр)
26
23
26
Картофель (1 кг)
17
12
14
Сыр (1 кг)
240
265
230
Мясо (говядина, 1 кг)
285
280
280
Подсолнечное масло (1 литр)
52
44
38
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:
3 л молока, 1 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного
набора продуктов в этом городе (в рублях).
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за унцию).
56
В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Новгород
Курск
Екатеринбург
Пшеничный хлеб (батон)
13
10
16
Молоко (1 литр)
25
21
27
Картофель (1 кг)
9
13
16
Сыр (1 кг)
260
220
270
Мясо (говядина, 1 кг)
280
240
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 3
батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите
стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать
поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 770 рублей.
Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно
700 километров, а цена бензина равна 17,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за
наиболее дешёвую поездку на троих?
На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена нефти на момент закрытия
торгов составила 24 доллара за баррель.
57
В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 15 фунтов
— за 696 рублей. В третьем банке 22 фунта стоят 1067 рублей. Какую наименьшую сумму (в
рублях) придётся заплатить за 10 фунтов стерлингов?
На рисунке жирными точками показана цена унции золота на момент закрытия биржевых
торгов во все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали – цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена унции золота на момент
закрытия торгов была наибольшей за указанный период.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
На рисунке жирными точками показана цена тонны олова на момент закрытия биржевых торгов
во все рабочие дни с 12 по 28 ноября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
58
вертикали – цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену тонны олова на момент закрытия
торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того,
что орёл не выпадет ни разу.
На рисунке жирными точками показана цена тонны никеля на момент закрытия биржевых
торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца,
по вертикали – цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну
В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите
вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
59
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Хабаровске
по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда
среднемесячная температура в Хабаровске отрицательна
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные
из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за
2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое
место — Казахстан. Какое место занимала Канада?
Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе
коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F,
качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый
рейтинг вычисляется по формуле
R=4(2F+2Q+D)−0,01P.
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей
электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей
электрических чайников.
60
Модель чайника
А
Б
В
Г
Средняя цена
4000
4500
4400
4200
Функциональность
1
4
2
2
Качество
0
3
3
3
Дизайн
0
0
0
4
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за
2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимала Папуа – Новая
Гвинея, одиннадцатое место — Индия. Какое место занимал Лаос?
Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе
коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F,
качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый
рейтинг вычисляется по формуле
R=4(2F+2Q+D)−0,01P.
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей вафельниц.
Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей вафельниц.
Модель вафельницы
А
Б
В
Г
Средняя цена
4100
4700
5500
5400
Функциональность
3
0
3
0
Качество
2
2
1
2
Дизайн
4
2
1
0
На диаграмме показано распределение выплавки цинка в 11 странах мира (в тысячах тонн) за
2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке цинка занимали США,
одиннадцатое место — Иран. Какое место занимал Казахстан?
61
Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности
S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель
оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле
R=3S+2C+2F+2Q+D50.
В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите
наивысший рейтинг представленных в таблице автомобилей.
Модель
автомобиля
А
Б
В
Безопасность
Комфорт
Функциональность
Качество
Дизайн
1
5
2
4
4
5
5
5
4
4
4
2
2
1
5
На диаграмме показано распределение выплавки цинка в 11 странах мира(в тысячах тонн) за
2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке цинка занимало Марокко,
одиннадцатое место — Болгария. Какое место занимала Греция?
Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности
S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель
оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле
R=3S+2C+2F+2Q+D50.
62
В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите
наивысший рейтинг представленных в таблице автомобилей.
Модель
автомобиля
А
Б
В
Безопасность
Комфорт
Функциональность
Качество
Дизайн
2
5
4
5
3
3
3
2
5
5
4
2
4
4
2
На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн)
за 2009 год. Среди представленных стран первое место по объёму выплавки занимал Бахрейн,
десятое место — Новая Зеландия. Какое место среди представленных стран занимала
Венесуэла?
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 310 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 415 рублей на звонки в другие регионы и
560 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 11 странах мира (в тысячах тонн)
за 2009 год. Среди представленных стран первое место по объёму выплавки занимала Франция,
одиннадцатое место — Казахстан. Какое место среди представленных стран занимала
Словакия?
63
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 5% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 30% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 580 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 155 рублей на звонки в другие регионы и
110 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах
мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму
выбросов занимал Пакистан, десятое место — Нигерия. Какое место среди представленных
стран занимал Ирак?
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 10% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 200 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 245 рублей на звонки в другие регионы и
64
510 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 11 странах
мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму
выбросов занимала Румыния, одиннадцатое место — Болгария. Какое место среди
представленных стран занимал Кувейт
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 10% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо
скидку 15% на звонки в другие регионы, либо скидку 20% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 490 рублей на
звонки абонентам других компаний в своём регионе, 320 рублей на звонки в другие регионы и
235 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты
будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем
объёме?
65