Математическое моделирование. Рекомендации и задания по выполнению контрольной работы

Математическое моделирование.
Рекомендации и задания по выполнению контрольной работы
По дисциплине «Математическое моделирование» для студентов
предусмотрено выполнение одной контрольной работы, в которой должны
быть раскрыты один теоретический вопрос и два практических вопроса
(задачи). Вариант одной контрольной работы соответствует двум последним
цифрам номера зачетной книжки студента и определяется с помощью
таблицы 1:
а) предпоследняя цифра шифра приведена по вертикали;
б) последняя цифра шифра – по горизонтали.
Каждый вариант контрольной работы включает три числа: первые два
числа соответствуют задачам, которые необходимо
решить, третий –
теоретическому вопросу.
Предпоследняя
цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
Последняя цифра шифра
0
1.1,
4.1,
1
2.1,
5.1,
11
3.1,
6.1,
21
4.1,
1.1
31
1
1.2,
4.2,
2
1.1,
6.6,
12
2.1,
5.1,
22
5.1,
1.2
32
2
1.3,
4.3,
3
3.1,
1.1,
13
1.1,
4.1,
23
6.5,
1.3
33
3
2.1,
4.3,
4
1.1,
2.1
14
6.6,
4.1,
24
2.1,
6.2
34
4
2.2,
5.1
5
4.1,
3.2
15
1.3,
6.3
25
3.1,
6.3
35
5
2.3,
5.2
6
5.1
6.2
16
4.1,
6.2
26
4.1,
6.4
36
6
3.1
6.1
7
6.1,
1.2
17
5.1.
6.1
27
5.1,
6.5
37
7
3.2
1.1
8
4.1,
3.1
18
6.1,
1.3
28
6.4,
2.1
38
8
3.3
6.2
9
5.1,
3.2
19
4.1,
2.2
29
5.2,
2.2
39
9
5.1
1.2
10
1.2,
4.3,
20
5.1.
2.3
30
5.3,
2.3
40
6.1,
2.1
41
6.2,
4.1,
1
2.1,
4.4,
11
2.2,
4.1,
5.1,
2.2
42
6.3,
4.2,
2
2.2,
4.5,
12
2.3,
4.3
4.1,
2.3
43
1.1,
4.1,
3
2.3,
4.1,
13
3.1,
4.1,
3.1
4.1
44
1.1,
4.3,
4
3.1,
4.1,
14
3.2,
4.1,
2.1,
3.1
45
6.4,
2.1
5
3.2,
4.2,
15
5.1,
1.1
4.1,
3.2
46
4.1,
2.2
6
6.1,
4.1,
16
6.6,
1.2
5.1,
4.1
47
5.1,
2.3
7
3.1,
4.2,
17
6.2,
2.1
5.2,
4.2,
48
1.1,
4.1,
8
1.2,
4.3,
18
6.3,
4.1,
5.3,
4.3,
49
1.2,
4.2,
9
1.3,
4.4,
19
6.4,
4.2,
6.6,
4.1,
50
1.3,
4.3,
10
2.1,
4.1,
21
6.5,
4.3,
20
1.1,
2.1,
30
3.1,
4.5,
39
8
9
22
1.2,
3.1,
31
5.1,
4.4,
40
23
1.3,
4.1,
32
6.1,
4.2,
41
24
2.1,
4.2,
32
1.1,
3.1,
42
22
2.2,
4.3,
33
2.1,
4.3,
43
25
2.3
4.4,
34
3.2,
5.1,
44
26
3.1,
4.1,
35
6.5,
4.5,
45
27
3.2,
4.5,
36
3.2,
4.3,
46
28
5.1,
4.1,
37
3.1,
4.2,
47
29
6.6,
4.1,
38
1.1,
4.4,
48
Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех
студентов, однако цифровые данные зависят от личного шифра студента,
выполняющего работу. Числовые данные параметров m и n определяются
также по двум последним цифрам номера зачетной книжки (А предпоследняя и цифра, В – последняя цифра). Значение параметра m
выбираетcя из таблицы 1, а значение параметра n - из таблицы 2. Эти два
числа m и n нужно подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1
Выбор параметра m
А
m
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
Таблица 2
Выбор параметра n
B
n
0
5
1
3
2
2
3
4
4
1
5
4
6
5
7
2
8
3
9
1
Например, если шифр студента – 037, то А=3, В=7, и из таблиц
находим, что m=4, n=2. Полученные m=4 и n=2, подставляются в условия
всех задач контрольной работы этого студента.
Качественно выполненная контрольная работа, не имеющая серьезных
замечаний, допускается к защите. Защита контрольных работ проводится в
межсессионный период или в первые три дня экзаменационной сессии. Без
защиты контрольной работы студент не допускается к экзамену по курсу.
Работы, выполненные не по своему варианту или не в полном объёме,
рецензированию не подлежат.
Вопросы теоретической части контрольной работы:
1.
Общая задача линейного программирования.
2.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
3.
Метод модифицированных жордановых исключений.
4.
Двойственные задачи линейного
программирования и их
свойства. Объективно обусловленные оценки и их смысл.
5.
Экономико-математическая модель транспортной задачи.
6.
Методы решения транспортной задачи. Метод наименьших
коэффициентов.
7.
Метод Фогеля.
8.
Метод потенциалов.
9.
Сбалансированные и несбалансированные транспортные задачи.
10. Задача межотраслевого баланса.
11. Задача о назначениях. Венгерский метод.
i.
Технология
планирования
деловой
карьеры
персонала
организации.
12. Максимаксное решение.
13. Максиминное решение.
14. Минимаксное решение.
15. Критерий Гурвица.
16. Правило максимальной вероятности.
17. Максимизация ожидаемого дохода.
18. Имитационное моделирование.
19. Применение имитационных моделей в СМО.
20. Основные понятия теории игр.
21. Системы массового обслуживания (на примере поликлиники).
22. Матричные игры.
Платежная матрица. Нижняя цена игры.
Верхняя цена игры.
a.
Седловая точка. Цена игры. Устойчивость оптимальных стратегий
в случае седловой точки.
23. Смешанные стратегии. Решение матричной игры в смешанных
стратегиях.
24. Теорема фон Неймана. Активные стратегии. Сведение матричной
игры к матричной игре меньшей размерности.
25. Оптимальные смешанные стратегии.
26. Дублирование и доминирование стратегий.
27. Решение матричной игры 2х2.
28. Решение матричной игры 2хn.
29. Решение матричной игры mx2.
a.
Биматричные игры. Смешанные стратегии. Средний выигрыш
игроков. Ситуация равновесия.
b.
Примеры экономических задач линейного
программирования
(задача о диете).
c.
Общая задача линейного
программирования. Стандартная и
каноническая задачи.
d.
Геометрический
метод
решения
задачи
линейного
программирования.
e.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
Критерий оптимальности для решения задачи линейного программирования.
30. Открытая модель транспортной задачи.
31. Одноканальная СМО. Параметры ее работы.
32. Критерий Гурвица.
33. Правило максимальной вероятности.
34. Метод модифицированных жордановых исключений.
35. Общая
задача линейного программирования. Стандартная и
каноническая задачи.
36. Двойственные задачи линейного программирования, их свойства.
37. Excel (поиск решения).
38. Основное неравенство теории двойственности.
39. Первая и вторая теорема двойственности.
40. Сведение
задачи
теории
игр
к
задаче
линейного
программирования.
41. Закрытая модель транспортной задачи.
42. Параметры работ.
43. Распределительный метод решения транспортной задачи.
44. Система массового обслуживания с бесконечной очередью.
Вопросы практической части контрольной работы
Линейное программирование
1.1. Задача оптимального производства продукции
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на
производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность аij
на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi
соответствующего вида сырья и прибыль ci от реализации единицы j-го вида
продукции заданы таблицей:
Виды сырья
А
В
С
прибыль
план (ед.)
Виды продукции
I
а11 = n
a21=1
a31= 2
c1= m+2
x1
Виды продукции
II
а11= n
a22=1
a32= m+1
c2= n+1
x2
Запасы сырья
b1= mn+5n
b2= m+n+3
b3= mn+4m+n+4
1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2
единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему
ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в
сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
1.2. В условиях предыдущей задачи составить оптимальный план (x1,
x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax.
Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом)
Построить по полученной системе ограниченный многоугольник
допустимых
решений
и
найти
оптимальный
план
производства
геометрическим путём. Определить соответствующую прибыль Zmax.
2. Транспортная задача
На трёх складах А1, А2 и А3 хранится а1=100, а2=200, а3=60+10n единиц
одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трём потребителям В1,
В2 и В3, заказы которых составляют b1=190, b2=120, b3=10m единиц груза
соответственно. Стоимость перевозок сij единицы груза с i-го склада j-му
потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток
транспортной таблицы:
потребности
В1
В2
В3
b1=190
b2=120
запасы
b3=10m
А1 а1=100
4
А2 а2=200
n
5
3
А3 а3=60+10n
1
m+1
6
2
n
2.1. Сравнивая суммарный запас, а = ∑аi и суммарную потребность b =
∑bi в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная
этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее
– a в
случае a<b или фиктивного потребителя с потребностью a – b в случае a>b
и положив соответствующие им тарифы нулевыми.
2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется
воспользоваться методом наименьших затрат).
2.3. Проверить, является пи первоначальный план оптимальным в
смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить
оптимальный план обеспечивающий минимальную стоимость перевозок,
Smin
= ∑ cij xij . Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться
методом Фогеля).
Хопт =
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
3. Матричные игры
3.1. Игра 2х2 задана матрицей
С=
m+6 n
m
m+n
Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для
получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом).
3.2. Игра задана матрицами
С1 =
С2 =
0
m+n
m+4 n-1
n-1
n+m
n
n+m
n+3
0
n+2
n
n-1 m+3
n+1
n
для n – четного
для n – нечетного
Найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить
цену игры.
4. Сетевое планирование
Процесс производства сложной продукции разбивается на отдельные
этапы, зашифрованные номерами 1,2,….,10.
1 – начальный этап производства продукции, 10 – завершающий.
Переход от i – го этапа к j- му этапу назовем операцией. Возможны
выполнение операций (i → j) и их продолжительности tij задаются таблицей:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Шифр
операции
i→j
1→2
1→3
1→4
2→3
2→6
4→3
4→6
3→5
3→7
5→9
6→7
6→8
7→8
7→9
7 → 10
8 → 10
9 → 10
Продолжительность операции
tij
m
4
n
3
5
2
6
3
n+1
m+1
4
3
7
m
5
4
n
4.1.Составьте и упорядочите по
слоям
сетевой
производства
этапов
график
работ.
Номера
необходимо
обвести
кружками, а операции i → j
обозначить
стрелками,
проставляя
над
ними
продолжительность
tij
операции.
4.2. Считая, что начало работы
происходит
во
время
t1=0,
определите время tj окончания
каждого j-го этапа и проставьте
его
над
соответствующим
4.3. Найдите критическое время завершения
процесса
работ Ткр и
кружком.
выделите стрелки, лежащие на критическом пути.
4.4. Для каждой некритической операции i → j определите резервы
свободного времени pcij и проставьте их над стрелками рядом с tij в скобках.
4.5.Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на
критическом пути, подчеркните. (В табличном методе кроме резервов
свободного времени pcij необходимо также найти полные резервы времени
pcij для каждого этапа)
5. Системы массового обслуживания (СМО)
В парикмахерский салон приходит в среднем m+2 клиента в час (т.е.
интенсивность λ поступления заявок в систему равна (m+2)/час), а среднее
время обслуживания одного клиента равно 1/m часов. Содержание одного
рабочего места обходится в n тысяч рублей за 1 час, а доход от обслуживания
одного клиента составляет n+2 тысяч рублей в час.
5.1. Найти относительную пропускную способность СМО Q2 (т.е.
вероятность того, что поступившая заявка будет обслужена) и абсолютную
пропускную способность СМО А2= λ· Q2 (число заявок, обслуживаемых за 1
час), если салон обслуживает два мастера.
5.2. Найти доход D2, полученный за 1 час работы двух мастеров.
5.3. Найти аналогичные характеристики СМО Q3, А3 и D3, когда салон
обслуживают три мастера, и определить, выгодно ли принять на работу
третьего мастер с точки зрения общего дохода, полученного за 1 час работы
салона.
6. Задача межотраслевого баланса
Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в
то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь
определяет матрица коэффициентов прямых затрат
А=
0,2
0
0,4
0,1-m 0,1
0,3 0,1-n
0,1 0,2
в которой число аij, стоящее на пересечении i-ой строки и j-го столбца равно
xij/Xj, где xij-поток средств производства из i-ой отрасли в j-ую, а Xj-валовой
объём продукции j-ой отрасли (все объёмы продукции выражаются в
единицах стоимости).
Задан также вектор Y=
продукции.
y1
y2
y3
=
1000
500+100n
400+100m
объёмов
конечной
6.1. Составить уравнение межотраслевого баланса.
6.2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, т.е. найти
объёмы валовой продукции каждой отрасли X1, X2, X3, обеспечивающие
потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчёты
рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой)
6.3. Составить таблицу Х потоков средств производства xij.
6.4. Определите общие доходы каждой отрасли Pj=Xj - х ij
6.5. Результаты расчётов оформить в виде таблицы межотраслевого
баланса:
Потребляющие
отр
I
II
III
x11
x12
x22
x32
P2
X2
x13
x23
x33
P3
X3
Отрасли
производящие
I
II
III
Общий доход
Валовой продукт
x21
x31
P1
X1
Конечный
продукт
y1
y2
y3
Валовой
продукт
X1
X2
X3
6.6. Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле:
Аij = (E –A)-1 , где Е – единичная матрица размера 3х3.