Линейная алгебра - Финансовый Университет при

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по
заочной форме по направлениям 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»
и 38.03.05 «Бизнес-информатика»
Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера
Факультет «Прикладная математика и информационные технологии»
Кафедры «Математика-1», «Математика-2»
Москва – 2014
ББК 22.3
Введение, методические указания и рекомендации
по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер
Варианты контрольных работ подготовили:
lоц. Борисова Л.Р., доц. Путко Б.А., ст. преп. Федорова Н.И.,
доц. Шевелев А.Ю.
Учебно-методическое пособие обсуждено на заседаниях
кафедр «Математика-1». «Математика-2»
Зав. кафедрой «Математика-1» профессор В.Б.Гисин
Зав. кафедрой «Математика-2» доцент В.Г.Феклин
Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов
первого курса бакалавриата, обучающихся заочной форме по
направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03
«Управление персоналом» и 38.03.05 «Бизнес-информатика» / Под ред.
проф. Н.Ш. Кремера ‒ М.: Финуниверситет, 2014.
В учебно-методическом пособии приведен обзор основных понятий
и положений дисциплины «Линейная алгебра», даны методические
рекомендации по их изучению, выделены типовые задачи с решениями,
представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для
самоподготовки по данным дисциплинам, приведены варианты
контрольных работ (с примерами их решений) для студентов первого
курса
бакалавриата
направлений «Экономика»,
«Менеджмент»,
«Управление персоналом» и «Бизнес-информатика», а также методические
указания по их выполнению.
ББК 22.3
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
В соответствии с федеральными государственными стандартами
(ФГОС-3) студенты первого курса бакалавриата направлений
«Экономика», «Управление персоналом», «Менеджмент» и «Бизнесинформатика» изучают дисциплину математического цикла «Линейная
алгебра».
Цель изучения дисциплины состоит в освоении математического
аппарата линейной алгебры, позволяющего анализировать, моделировать и
решать прикладные (экономические) задачи, при необходимости с
применением ПЭВМ.
Из требований к результатам освоения и условиям реализации
основной образовательной программы и компетенций, установленных
ФГОС-3 по указанным направлениям вытекают следующие задачи
изучения дисциплины
«Линейная алгебра»: выработка навыков
моделирования реальных (экономических) объектов и процессов с
использованием математического аппарата линейной алгебры, освоение
приемов исследования и решения математически формализованных задач;
развитие логического и алгоритмического мышления студентов;
повышение уровня их математической культуры; развитие навыков
самостоятельной работы по изучению учебной и научной литературы.
В соответствии с ФГОС-3 по направлениям «Экономика»,
«Менеджмент», «Управление персоналом» «Бизнес-информатика»,
квалификация (степень) бакалавр, в процессе изучения дисциплины
«Линейная алгебра» предполагается формирование ряда общекультурных
компетенций (ОК):
– владеть культурой мышления, способностью к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановки цели и выбору путей ее
достижения1 (ОК-1);
– способность логически верно, аргументированно и ясно строить
устную и письменную речь (ОК-6) и др.
В соответствии с ФГОС-3 по направлению «Экономика» процесс
изучения дисциплины «Математический анализ» направлен на
формирование следующих профессиональных компетенций (ПК):
в области расчетно-экономической деятельности –
способность собрать и проанализировать исходные данные,
необходимые для расчета экономических и социально-экономических
показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов
(ПК-1);
В ФГОС-3 по направлениям «Управление персоналом» и «Бизнес-информатика» эта компетенция
имеет код «ОК-5».
1
3
способность
выполнять
необходимые
для
составления
экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять
результаты работы в соответствии с принятыми в организации
стандартами (ПК-3);
в области аналитической, научно-исследовательской деятельности –
способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных,
необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способность выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы
(ПК-5);
способность на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели,
анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты
(ПК-6);
способность использовать для решения аналитических и
исследовательских задач современные технические средства и
информационные технологии (ПК-10);
в области организационно-управленческой деятельности –
способность использовать для решения коммуникативных задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК12);
в области педагогической деятельности –
способность
преподавать
экономические
дисциплины
в
образовательных
учреждениях
различного
уровня,
используя
существующие программы и учебно-методические материалы (ПК-14);
способность принять участие в совершенствовании и разработке
учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).
В соответствии с ФГОС-3 по направлениям «Менеджмент» и
«Управление персоналом» процесс изучения дисциплины «Линейная
алгебра» направлен на формирование не отмеченной выше
общекультурной компетенции –
владение методами количественного анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования (ОК-16 (ОК-15))
и профессиональной компетенции
в области информационно-аналитической деятельности –
умение применять количественные и качественные методы анализа
при принятии управленческих решений … (ПК-31);
методами оценки и прогнозирования профессиональных рисков (ПК45).
В соответствии с ФГОС-3 по направлению «Бизнес-информатика»
процесс изучения дисциплины «Линейная алгебра» направлен на
формирование следующих профессиональных компетенций (ПК) –
4
в области научно-исследовательской деятельности
– использование основных методов естественно-научных дисциплин
для теоретического и экспериментального исследования (ПК-19);
– использование соответствующих математического аппарата и
инструментальных средств для обработки, анализа и систематизации
информации по теме исследования (ПК-20);
– подготовка научно-технических отчетов, презентаций, научных
публикаций по результатам выполненных исследований (ПК-21).
В результате изучения дисциплины студент должен:
а) знать основные понятия матричного анализа, векторной алгебры и
аналитической геометрии, используемые в экономических исследованиях
и при изучении других дисциплин естественнонаучного и
профессионального циклов;
б) уметь применять методы линейной алгебры и строить
математические модели прикладных (экономических) задач;
в) владеть навыками решения задач линейной алгебры.
Знания, полученные студентами в процессе изучения дисциплины
«Линейная
алгебра»,
необходимы
для
изучения
дисциплин
математического и естественнонаучного цикла («Математический анализ»,
«Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы
оптимальных решений», «Исследование операций», «Эконометрика»), а
также ряда дисциплин профессионального цикла.
Для освоения данной дисциплины в вузе читаются лекции и
проводятся практические занятия. В то же время основной формой
обучения в условиях заочного вуза является самостоятельная работа с
учебником и учебными пособиями (с. 45). Дополнительно для
самостоятельного
изучения
дисциплины
«Линейная
алгебра»
рекомендуются интернет-ресурсы: компьютерная обучающая программа
(КОПР), обзорная лекция, электронная учебно-методическая литература и
др., размещенные на сайте университета.
По дисциплине «Линейная алгебра» студенты бакалавриата всех
направлений должны выполнить две контрольные работы № 1 и № 2
(задания к которым приводятся в данном пособии). Контрольная работа
№1 (в соответствии с учебным графиком) может быть существенно
дополнена за счет частичного
использования (КОПР). По каждой
контрольной работе проводится собеседование. В процессе изучения
дисциплины студенты проходят компьютерное тестирование (если оно
предусмотрено учебным планом) и сдают курсовой экзамен.
При выставлении итоговой оценки студента по данной дисциплине
учитываются балльная оценка текущей
успеваемости (качество
подготовки и работа на практических занятиях, выполнение контрольных
работ и собеседований по ним, компьютерное тестирование, посещение
занятий) и результаты экзамена.
5
Содержание дисциплины и
методические рекомендации по ее изучению
.
Ниже по каждой теме приводится учебно-программный материал,
который должен изучить студент со ссылками на рекомендованные (в
качестве основной литературы) учебники и учебные пособия.
Контрольные вопросы по каждой теме представлены ниже в
разделе «Вопросы для самопроверки».
Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для
самостоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для
самоподготовки».
Вопросы организации компьютерного тестирования, основные типы
и примеры тестовых заданий по данной дисциплине рассматриваются в
брошюре «Математический анализ и линейная алгебра. Методические
указания по компьютерному тестированию» ([Электронные ресурсы, 3]).
Вопросы
выполнения
контрольных
работ
с
частичным
использованием КОПР рассматриваются в брошюре «Математика.
Методические указания по проведению и выполнению контрольных работ
с использованием КОПР» ([Электронные ресурсы, 4]).
Тема 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Действия с
матрицами. Транспонирование матриц. Квадратные матрицы.
Определители квадратных матриц 2-го, 3-го и n-го порядков.
Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Теорема Лапласа.
Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятия минора n-го
порядка матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью
элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная
зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о
ранге матрицы максимальном числе ее линейно-независимых строй
(столбцов)1 ([1или 5, § 1.1–1.6]; [2 или 6, § 1.1 – 1.4], или [3, § 1.1 – 1.11],
или [4, § 1.1 – 1.11] ).
Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица,
составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах.
Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок,
уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над
ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение
матриц).
Здесь и далее в тексте все указанные в скобках номера формул, страниц и задач относятся к учебникам
и учебным пособиям [1] или [5] , [2] или [6], или [3], или [4], приведенным в разделе «Литература» (с.
45) и рассматриваемым в качестве основной литературы.
1
6
Относительные трудности возникают при усвоении операции
умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило
умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ
матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк
матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в
том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е.
АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так
как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА –
матрицы разных размеров. Даже если А и В — квадратные матрицы, в
общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном
примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что
произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой матрицы
может оказаться нулевой матрицей.
Например, можно легко показать, что произведение матриц
1  0 0 
 3  1 0  2


 

3   0 0 
 9  3 0  6
6
1 1  18  9   0 0 

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел
произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из
сомножителей равен нулю).
Следует четко уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то
определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту
матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по
этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков.
При изучении свойств определителей особое внимание следует
обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, или 5,
или 3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при
вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.
Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь
их вычислять. Следует знать, что для существования матрицы А–1,
обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была
невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления
обратной матрицы можно, составив произведение АА–1 или А–1А. Если оно
является единичной матрицей Е, то в соответствии с определением
матрица А–1 вычислена правильно.
7
Ранг матрицы вводится в курсе как наивысший порядок отличных от
 4 0 2
 равен
нуля миноров этой матрицы. Например, ранг матрицы А  
 2 0 1
1, т.е. r  A  1 , так как все миноры 2-го порядка
4 0 4 2 0 2
,
,
равны
2 0 2 1 0 1
нулю, а среди миноров 1-го порядка 4 , 0 , 2 и т.д. есть отличные от нуля.
При этом надо учитывать, что введенный ранее и используемый в
теореме Лапласа минор элемента квадратной матрицы n-го порядка есть
минор (n–1)-го порядка данной матрицы.
В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется
использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с
помощью элементарных преобразований данную матрицу А приводят к
ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой
матрицы есть искомый ранг матрицы А (см. [1, или 5, или 3, пример 1.13] ).
Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой
следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно
независимых строк (или столбцов), через которые линейно выражаются
все остальные ее строки (столбцы).
Тема 2. Системы линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n переменными (общий вид).
Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных
уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и
несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n
линейных уравнений с n переменными. Решение такой системы: а) по
формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом
Гаусса. Понятие о методе Жордана-Гаусса. Теорема КронекераКапелли. Условие определенности и неопределенности любой
совместной системы линейных уравнений. Базисные (основные) и
свободные (неосновные) переменные. Базисное решение. Система
линейных однородных уравнений и ее решения. Понятие о модели
Леонтьева. ([1или 5, § 2.1 – 2.7]; [2 или 6, § 2.1, 2.5], или [3, § 2.1 – 2.8],
или [4, § 2.1 – 2.8]).
При изучении материала темы следует освоить матричную форму
записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь
переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо
знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются
8
совместными (определенными и неопределенными) и несовместными.
Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы n линейных
уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера
([1, или 5, или 3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными
способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и
методом Гаусса. Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий
по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее
трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система
определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности
системы – определить число ее линейно независимых уравнений и
исключить «лишние».
Метод Жордана–Гаусса [2 или 5, § 2.3, пример 2.49] или [3, § 2.8,
пример 2.44] позволяет быстрее, чем классический, решать систему
уравнений и потому востребован в прикладных математических курсах.
При этом следует иметь в виду, что в реальных прикладных задачах
системы уравнений с достаточно большим числом уравнений и
переменных решаются с помощью пакетов прикладных программ,
например, Excel, MathCAD и др.
Практический интерес в приложениях представляет случай, когда
число m уравнений системы меньше числа n переменных m  n.
Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на
базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные и выделению
из общего числа решений системы базисных решений, в которых все
свободные (неосновные) переменные равны нулю.
Согласно теореме Кронекера – Капелли система линейных
уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А
равен рангу расширенной матрицы А В , т.е. r  A  r A B  r . При этом, если
r  n (n – число переменных), то система определенная, если r  n –
неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Для решения системы m линейных уравнений с n переменными
m  n вовсе не требуется находить специально ранги r  A и r A B , а
достаточно применить метод Гаусса. Если хотя бы одно из уравнений
системы на «прямом ходе» метода Гаусса приводится к виду 0  bi bi  0 ,
то система несовместная, если к виду 0=0, то система совместная и
неопределенная. В последнем случае уравнения вида 0=0 исключаются из
системы, а члены уравнения с n  r свободными переменными переносятся
9
в правые части уравнений. Далее, используя «обратный ход» метода
Гаусса, получают выражения r базисных переменных
через n  r
свободных, т.е. общее решение системы (см. [1 или 5, пример 2.4], [2 или
6, пример 2.36] или [3, примеры 2.4, 2.44]).
Следует иметь ввиду, что общее число решений совместной
системы линейных уравнений m  n бесконечно, в то время как число ее
базисных решений конечно и не превосходит числа сочетаний C nm (а
точнее C nr , где r – ранг матрицы системы).
Особенностью рассматриваемых далее систем однородных
уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по
крайней мере, нулевое решение (0, 0, ..., 0). Ненулевое решение такие
системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа
переменных, т.е. r  A  n , или, что то же самое, когда определитель
матрицы А равен нулю: A  0 .
Следует отметить, что матричное уравнение AX  B , к которому
сводится система линейных уравнений (А – матрица системы, Х –
неизвестный столбец переменных, В – столбец свободных членов) может
рассматриваться и в случае, когда Х – неизвестная матрица. Вообще
матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют
вид AX  B (1), XA  B (2), AXC  B (3), где А, В, С, Х – матрицы таких
размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые
части этих матричных уравнений представляют матрицы одинаковых
размеров.
Решения матричных уравнений (1) и (2) соответственно X  A1 B и
X  BA 1 (если А – квадратная матрица, A  0 ), а матричного уравнения (3)
X  A 1 BС 1 (если А и С – квадратные матрицы и A  0 , С  0 ).
Тема 3. Векторные пространства
Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные
векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух
векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол
между векторами. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная
зависимость и независимость векторов. Векторное (линейное)
пространство; его размерность и базис. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово
10
пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы.
Ортогональный и ортонормированный базисы. ([1 или 5, § 3.1 – 3.3, 3.5 –
3.8]; [2 или 6, § 3.1 – 3.5], или [3, § 3.1–3.3, 3.5−3.8, 3.10 – 3.14], или [4, §
3.1 – 3.3, 3.6, 3.8, 3.10, 3.11, 3.13, 3.15–3.20]).
В школьном курсе математики рассматривалось понятие вектора как
направленного отрезка, т.е. множества точек, заключенных между двумя
точками прямой с указанным направлением. Там же определялись
операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на
число), вводились координаты и понятие длины вектора.
Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых
определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора
на число, являются простейшими примерами векторных (линейных)
пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дается
определение векторного пространства, являющегося основным объектом
линейной алгебры.
Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной
зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это
было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Обращаем внимание
на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из
векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных
векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы
всегда линейно зависимы.
Нужно четко знать понятие базиса n-мерного пространства,
представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При
этом любой вектор линейного пространства может быть представлен
единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Надо уяснить, что, например, три пространственных (два плоских)
вектора
могут
образовать
базис,
если
они
некомпланарны
(неколлинеарны). Если же они компланарны, т.е. лежат в одной плоскости
(коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой), то любая их линейная
комбинация представляет вектор, лежащий в той же плоскости (на той же
прямой), следовательно, по таким векторам не может быть разложен
другой вектор, не лежащий в той же плоскости (на той же прямой), а это
значит, что компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного
(двумерного) пространства не образуют.
Векторное пространство, как отмечено выше, представляет
множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и
11
умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин
векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением
скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним
понятия евклидова пространства.
Скалярное произведение двух векторов надо знать в двух формах
(как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как
сумма произведений соответствующих координат (компонент) этих
векторов). Обратите внимание на приведенные с решениями задачи [1, или
5, или 3, примеры 3.1– 3.3].
В конце темы вводятся понятия ортогональных векторов. Это
позволяет в евклидовом пространстве выделить среди всех базисов
ортогональные и ортонормированные базисы, которые более удобны и
играют в линейной алгебре роль, аналогичную
прямоугольной
(декартовой) системе координат в аналитической геометрии (см. тему 6).
Тема 4. Линейные операторы
Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора.
Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный
операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы.
Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из
его собственных векторов. ([1 или 5, § 3.6, 3.7]; [2 или 6, § 3.3, 3.4], или [3,
§ 3.6, 3.7, 3.12,3.13], или [4, § 3.8, 3.10, 3.18, 3.19]).
.
В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной
алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения),
представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х nмерного пространства R n ставится в соответствие один вектор y m-мерного
пространства R m . При m  n оператор обращает R n в себя.
Линейность оператора определяется выполнением свойств
аддитивности и однородности оператора [1, или 5, или 3, § 3.6]. Нужно
~
знать, что каждому линейному оператору A соответствует матрица А в
~
~
некотором базисе А  A . Верно и обратное утверждение А  А  . С
помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ –
вектор y.
12
Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы,
~
которые под воздействием линейного оператора A преобразуются в новые
векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название
~
собственных векторов оператора A (матрицы А), а соответствующие им
~
числа – собственных значений оператора A (матрицы А). Точные
определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в
[1, или 5, или 3, пример 3.7].
Если базис линейного оператора составить из собственных векторов,
то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой
диагональную матрицу, а соответствующая операция называется
приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, или 5, или 3,
пример 3.8]).
Тема 5. Квадратичные формы
Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг
квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно
и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы.
Критерий определенности квадратичной формы через собственные
значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 5, § 3.8]; [2 или 6,
§ 3.5], или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).
Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении
прикладных задач. Если в n-мерном линейном пространстве выбрать
некоторый
базис,
то
квадратичную
форму
n
n
L   aij xi x j
можно
i 1 j 1
рассматривать
как
некоторую
функцию
векторного
аргумента
x  x1 , x2 , ..., xn  .
Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной
формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях
квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это
возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при
этом не меняется.
Студент должен владеть двумя способами исследования на
знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных
значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что
квадратичная форма L  2 x12  4 x1 x2  5x22 (т.е. L  2x1  x 2 2  3x 22 ) является
знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных
13
 2  2
 , как нетрудно
критериев, ибо матрица квадратичной формы A  
5 
 2
показать, имеет положительные собственные значения 1  1 , 2  6 , а
угловые
(главные)
миноры
1  2  2 ,
2 
2 2
6
2
5
также
положительные. А квадратичная форма L1  x12  6 x1 x2  x22 не является
 1  3
 имеет разные по

3
1


знаку собственные значения 1  2 и 2  4 , а угловые миноры 1  1  1 ,
знакоопределенной, так как ее матрица A1  
2 
1 3
 8 чередуются по знаку, начиная с положительного значения
3
1
(при 1  0 ,  2  0 квадратичная форма была бы знакоотрицательной) –
(см. [1 или 5, примеры 3.11, 3.12], или [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109,
3.110]).
Тема 6. Элементы аналитической геометрии
Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его
исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой,
проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две
данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка,
их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Канонические
уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Уравнение плоскости в
пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух
плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между
плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. ([1 или 5, § 4.1 – 4.7]; [2 или
6, § 4.1 – 4.3], или [3, § 4.2 – 4.6, 4.8 – 4.10, 4.12], или [4, § 4.2 – 4.6, 4.8 ,
4.12, 4.13, 4.15].
По используемым методам аналитическая геометрия существенно
отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода
аналитической геометрии – метода координат позволяет значительно
продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и
поверхности, важные для практических приложений.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение
линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки
данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей
на этой линии. Из этого определения следует два важных для практики
положения.
14
1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит
ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить
координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если
окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит
линии, в противном случае – не принадлежит.
2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими
уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения
координат точки пересечения двух линий нужно решить систему,
составленную из их уравнений.
Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии
проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут
служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические
построения служат вспомогательным средством, облегчающим решение
задачи, делающим его наглядным, помогающим наметить план решения
задачи. Поэтому рекомендуется сопровождать решение чертежами.
Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее
обобщение в n-мерном пространстве) является графиком линейной
функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике
линейных экономико-математических моделях, которые будут изучаться в
курсах «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».
Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом
и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой,
проходящей через данную точку в заданном направлении и через две
данные точки, общее уравнение прямой [1, или 5, или 3, § 4.1]. Обратите
внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на
нахождение уравнения прямых; параллельной и перпендикулярной данной
прямой [1, или 5, или 3, пример 4.5].
Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из
этих кривых выражается уравнением второй степени
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0,
(*)
которое определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу в
зависимости от соотношений между его коэффициентами. В то же время
не каждое уравнение (*) (при условии А2+В2+С2≠0) определяет кривую
второго порядка (например, уравнение х2+y2+1=0 не определяет никакой
линии, уравнение х2+y2=0 определяет единственную точку (0;0),, уравнение
х2‒y2=0 задает две пересекающиеся в начале координат прямые х‒y=0 и
х+y=0 и т.п.
15
Студенту надо знать нормальное уравнение окружности,
канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический
смысл их параметров. Уметь приводить уравнение кривой второго порядка
к каноническому виду, используя операцию «выделения полного
квадрата» ( см. [1, или 5, или 3, примеры 4.7, 4.8]), а также находить точки
пересечения различных линий (например, кривой второго порядка и
прямой).
Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение
плоскости в пространстве Ax  By  Cz  D  0 (обобщением которого, в свою
очередь, является уравнение гиперплоскости в n-мерном пространстве,
рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл
его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора
плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например, уравнение
плоскости: проходящей через начало координат, Ax  By  Cz  0 ( D  0 );
параллельной оси Оу, Ax  Cz  D  0 ( B  0 ); проходящей через ось Оу,
Ax  Cz  0 ( B  C  0 ); параллельной плоскости Oxz, By  D  0 ( A  С  0 );
совпадающей с плоскостью Oxz, Вy  0 , т.е. y  0 , ( A  C  D  0 ) и т.д.
Уравнение прямой в пространстве рассматривается в двух формах –
как линии пересечения двух плоскостей и в виде канонических уравнений.
Обращаем внимание на то, что направление плоскости и прямой
определяются соответственно нормальным и направляющим векторами,
поэтому углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и
плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между
этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей, прямых, прямой и плоскости.
Основные типы задач на прямую и плоскость в пространстве
представлены задачами с решениями [1 или 5, примеры 4.87 – 4.92] или [3,
примеры 4.108 – 4.113]. Решение отдельных задач предполагает знание
скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного
и смешанного произведения векторов, не входящими в программу).
16
Вопросы для самопроверки
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы.
Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами:
умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства).
Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или
столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная
данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение).
Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Пример.
5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о
ранге матрицы.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид).
Матричная форма записи такой системы. Решение системы
(определение). Совместные и несовместные, определенные и
неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п
переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема
Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности
любой системы линейных уравнений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные
системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
существования ненулевых решений такой системы.
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на
число). Коллинеарные и компланарные векторы.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его
выражение в координатной форме. Угол между векторами.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и
независимость векторов.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис.
Теорема о существовании и единственности разложения вектора
линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.
Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
17
16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в
евклидовом пространстве.
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и
прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между
вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными
операторами. Нулевой и тождественный операторы.
~
19. Собственные векторы и собственные значения оператора A
(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его
характеристическое уравнение.
20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его
собственных значений. Пример.
21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
Ранг квадратичной формы. Пример.
22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение
квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции
квадратичных форм.
23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной
формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию
Сильвестра).
24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий.
Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное
уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
смысл параметров окружности и эллипса.
27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический
смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратнопропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи.
Нормальный
вектор
плоскости.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности двух плоскостей.
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор
прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве.
30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и
плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.
18
Задачи для самоподготовки
Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для
самостоятельного выполнения по учебникам [1или 5], практикумам [2
или 6], или учебнику [3], или учебнику [4], рассматриваемых в качестве
основной литературы.
Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большинство
(часть) задач с решениями (их номера выделены жирным шрифтом).
Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным
шрифтом) решать выборочно (в зависимости от лимита времени –
например, каждую вторую задачу из списка задач по теме, или каждую
третью, и т.д.).
Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по
приводимым в практикумах [2или 6], или учебнике [3], или учебнике [4],
тематическим и итоговым контрольным заданиям и тестам, решая задания
в соответствии с учебно – программным материалом по каждой теме.
№
те
мы
1
2
Название
темы
Матрицы и
определители
по учебникам
[1]или [5]
1.1 – 1.13
1.14 –
1.20,1.22–
– 1.29
2.1 – 2.7,
2.10
Системы 2.11, 2.12,
линейных 2.15– 2.19,
уравнений 2.21 –2.26
3.1 – 3.3
3
Векторные
пространства
3.14 –
3.20, 3.22,
3.24, 3.26
– 3.36
Н О М Е Р А
по практикумам
[2]или [6]
1.1 – 1.5, 1.24 –
1.27, 1.51 –
–1.53
1.6 – 1.23, 1.29 –
1.50, 1.54 – –
1.65, 1.77 – 1.84
2.1 – 2.4, 2.29,
2.35, 2.36
2.6 – 2.32
(четные), 2.38 –
–2.48 (четные),
2.67 – 2.70, 2.72,
2.74
3.1, 3.2, 3.24 –
3.26а, 3.29
3.5 – 3.9, 3.11,
3.14, 3.37–3.43,
3.52, 3.53, 3.130,
3.131, 3.133,
3.137a, 3.138
З А Д А Ч
по учебнику
по учебнику
[3]
[4]
1.1 – 1.6, 1.8 –
1.15; 1.37 – 1.39,
1.68 – 1.70
1.16 –1.29, 1.40 –
1.48, 1.51– – 1.57,
1.60 – 1.67, 1.71 –
–1.87
2.1 – 2.5, 2.8 –
2.11
2.14 – 2.42
(четные), 2.46 – –
2.49, 2.52 – 2.58
(четные), 2.62–
2.77
3.1 – 3.3, 3.7–
3.12, 3.14– 3.17,
3.37, 3.38, 3.42
3.18, 3.19, 3.22,
3.26, 3.27, 3.30,
3.50−3.55a, 3.56,
3.57, 3.65, 3.66
1.1 – 1.6, 1.8 –
1.15; 1.37 – 1.39,
1.68 – 1.70
1.16 –1.29, 1.40
–1.48, 1.51–
– 1.57, 1.60 –
1.67, 1.71 –
–1.87
2.1 – 2.5, 2.8 –
2.11
2.14 – 2.42
(четные), 2.46 –
–2.49, 2.52 –
2.58 (четные),
2.67–2.73
3.1 – 3.3, 3.12–
–3.16, 3.20–3.23,
3.43, 3.44, 3.69
3.24, 3.25, 3.28,
3.32, 3.33, 3.36,
3.55–3.59а, 3.60,
3.61, 3.75, 3.76
19
4
5
Линейные
операторы
Квадратичные
формы
3.5, 3.7,
3.8
3.24, 3.26,
3.27– –
3.30
3.9 – 3.12
3.31 –
3.35
4.2, 4.3,
4.5,
4.7 – 4.12
6
Элементы
аналитической
геометрии
4.15 –
4.19, 4.21,
4.22–4.24,
4.26–4.30,
4.31
3.54 – 3.56
3.58, 3.59, 3.64 –
3.66, 3.140, 3.142
3.80, 3.90, 3.92,
3.93,
3.94 – 3.100,
3.104 – 3.120
(четные), 3.144 –
3.146
4.1 – 4.5, 4.7.
4.47 – 4.54
4.23 – 4.26, 4.28
– 4.31, 4.34 – –
4.43, 4.58 – 4.63,
4.66, 4.70, 4.72,
4.79 – 4.81, 4.83
3.5, 3.7, 3.8, 3.67 –
−3.69, 3.84, 3.85
3.71, 3.72, 3.77 –
–3.79, 3.87 –3.92,
3.95, 3.96
3.10 – 3.12, 3.108
– 3.110
3.111 –3.122,
3.124−3.138
(четные)
3.5, 3.7, 3.8, 3.67
– 3.69, 3.84, 3.85
3.71, 3.72, 3.77 –
3.79, 3.87 – 3.92,
3.95, 3.96
3.14 – 3.16, 3.18,
3.134, 3.135,
3.137
3.138 – 3.149,
3.155 – 3.169
(четные)
4.2, 4.3, 4.5, 4.7 –
4.11, 4.18, 4.59 –
4.62, 4.108 –
4.111, 4.113
4.36 – 4.38, 4.40 –
–4.43, 4.45– 4.55,
4.68 – 4.76, 4.79,
4.84, 4.85. 4.88,
4.92 – 4.94, 4.96,
4.114, 4.115, .117,
4.119 – 4.128
4.2, 4.3, 4.5, 4.7
– 4.11, 4.18, 4.59
– 4.62, 4.108 –
4.111, 4.113
4.36 – 4.38, 4.40
–4.43, 4.45–4.55,
4.68 – 4.76, 4.79,
4.84, 4.85. 4.88,
4.92 – 4.94, 4.96,
4.114, .115,
4.117,4.119–.128
|
20
Методические указания по выполнению
контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Линейная
алгебра» каждый студент должен выполнить две контрольные работы (№1
и №2) в сроки, установленные учебным графиком, по приведенным в
данном учебно-методическом пособии вариантам.
По каждой контрольной работе проводится собеседование. На
собеседовании выясняется, насколько глубоко усвоен пройденный
материал и соответствуют ли знания студента и его навыки в решении
задач качеству представленной работы. Зачет по каждой контрольной
работе студенты получают лишь после успешного(прохождения
собеседования.
Номер варианта любой контрольной работы определяется по
последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с
номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в
индивидуальном графике студента. Для студентов трехсесионных групп
эти сроки сообщаются во время установочной сессии. Однако эти сроки
являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при
необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить
значительно раньше указанного срока. Студентам трехсессионных групп
рекомендуется свои контрольные работы выполнять (хотя бы частично) во
время сессии, на которой излагается учебный материал. Это даст
возможность студенту использовать свое пребывание в институте для
консультаций по всем возникшим при выполнении работы вопросам.
После окончания сессии в течение двух недель работу необходимо
окончательно завершить, а затем представить на проверку.
Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или
затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться
в институт за устной или письменной консультацией (например, по
электронной почте ).
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным
работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия,
Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также
данную брошюру.
После проверки контрольная работа студента получает оценку
«Допускается к собеседованию» или «Не допускается собеседованию».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при
выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.
1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие
(не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.
21
2. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество
(полностью), факультет, направление подготовки, курс, номер личного
дела (студенческого билета), вариант контрольной (расчетноаналитической) работы, а также фамилию преподавателя, к которому
направляется данная работа на проверку.
3. Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать)
полностью ее условие.
4. Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в
какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию
примеров (задач).
5. Не допускается замена задач контрольной работы другими заданиями.
6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями,
нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением
употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.
7. Чертежи к задачам (там где это возможно) должны быть выполнены в
прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными
условиями задач и теми результатами, которые получены.
8. В конце работы приводится список использованной литературы
(указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата
окончания работы и подпись.
9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то
следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые
приведены в [3, §5.7].
Если работа получила в целом положительную оценку («Допускается к
собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради),
то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же
тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и
предъявить доработку на собеседовании.
Если работа «Не допускается собеседованию», ее необходимо в
соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью
переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть
место) или в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию
преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с
незачтенной работой повторную работу направить снова на проверку.
Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с
последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена
повариантам прошлых лет.
Если контрольная работа № 1 проводится с частичным использованием
КОПР, то необходимо дополнительно представить протокол ответа
студента о работе с КОПР. Контрольные работы предъявляются на
экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.
22
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
1 −2 3
10 20 20
𝐴 = (3 −1 0) и 𝐵 = ( 5
0 20).
−10 10 10
1 −2 1
−1
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵.
2. По формулам Крамера решить систему:
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
{ 𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 13,
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −15.
3. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 5,
{2𝑥1 + 7𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 10,
3𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 = 7.
Найти какое-нибудь базисное решение.




4. Найти длину вектора a  b , если a = (–1; 4; –2); b = (2; 3; –1).
5. Даны четыре вектора
a1 =(2;4; – 6); a2 =(1;3;5); a3 =(0; – 3;7); a4 =(3;2;52)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 2 2
оператора А , заданного матрицей А= 
.
2 5
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=2x12+5x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат);
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12– 3x32– 4x1x2+4x1x3–8x2x3.
23
Контрольная работа №2
1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5 x  2 y  7  0 ,
5 x  2 y  15  0 и уравнение его диагонали x  2 y  1  0 . Составить уравнения
остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать
чертеж.
2. Убедившись, что точка M  5; 2,25 лежит на гиперболе
x2 y2

1,
16 9
определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса.
3. Центр окружности лежит на прямой x  y  0 . Составить уравнение
этой окружности, если она проходит через точки пересечения двух
окружностей ( x  1) 2  ( y  5) 2  50 , ( x  1) 2  ( y  1) 2  10 .
4. Найти расстояние от плоскости 2 x  2 y  z  15 до начала координат
5. Найти угол между плоскостью y  3z  3
плоскостей x  2  0 и y  4 .
и линией пересечения
24
ВАРИАНТ 2
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1
2
2
3 1 2
−1
2
−1
𝐴=(
) и 𝐵 = (−1 1 0 −2).
1 2
3
−2 −2 2 1
0 1
2
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
5𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 7,
{ 4𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 6,
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 4.
3. Определить, имеет ли однородная система
𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 − 5𝑥4 = 0,
2𝑥 − 1𝑥2 − 7𝑥3 + 4𝑥4 = 0,
{ 1
5𝑥1 + 8𝑥2 − 19𝑥3 − 11𝑥4 = 0,
5𝑥1 + 1𝑥2 − 18𝑥3 + 3𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.




4. Найти длину
вектора c  4a  3b , если длина вектора
a равна 3,



длина вектора b равна 4, угол между векторами a и b равен 1200.
5. Даны четыре вектора
a1 =(4;3;–1); a2 =(5;0;4); a3 =(2;1;2); a4 =(0;12;– 6)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис,
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
и
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 17
6 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 6 22 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= ) f(x1, x2)=3x12+ x22-x1x2 ) f(x1, x2)=x12+5x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ 3x22+ 4x32 +2x1x2+2x1x3 +6x2x3..
25
Контрольная работа №2
1. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого
угла треугольника C4; 3 и центр описанной окружности, если координаты
остальных вершин треугольника A 1; 9 и B7; 5 . Сделать чертеж.
2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его малая ось
равна 24, а расстояние между фокусами равно 10.
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка
x  4 x  2 y  10  0 , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить
уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с
ординатой, равной 5.
2
4. Найти расстояние от плоскости 2 x  y  2 z  6 до начала координат.
5. Найти угол между плоскостью y  3z  1
плоскостей x  3 и y  6 .
и линией пересечения
26
ВАРИАНТ 3
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
1
2 1
𝐴 = (3 −2 1).
1 −2 3
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴2 + 2𝐴 − 4𝐸.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 12,
{ 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 11,
5𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = −1.
3. Определить, имеет ли однородная система
𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 = 0,
2𝑥 − 7𝑥2 + 2𝑥3 − 5𝑥4 = 0,
{ 1
4𝑥1 − 𝑥2 + 12𝑥3 − 𝑥4 = 0,
5𝑥1 − 18𝑥2 + 9𝑥3 − 8𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Вычислить:

a
2

2
   


 c  (a , b )(b , c ) , если a = (–2; 0; 3); b = (2; –2; 0); c = (2; –2; 3).
5. Даны четыре вектора
a1 =(1;3;5); a2 =(0;2;0); a3 =(5;7;9); a4 =(0;4;16)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 21
12 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 12 31 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму)
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= x12+ 2x22+ 7x32 +2x1x2+2x1x3 +4x2x3.
27
Контрольная работа №2
1. Точки A3;  2 , B 2; 1 и C4; 0 являются вершинами треугольника
ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на
сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН
треугольника АВС. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A1; 1,
B1;  1 и C2; 0 .
3. Убедившись, что точка M 10;  5 лежит на гиперболе
x2 y2

1,
80 20
составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы
гиперболы.
4. Определить, находятся ли точки A(2, 5,1) , B(1, 2, 0) , C (1, 2,1) и
D(2, 7, 7) на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой
плоскости.
5.
Найти расстояние от точки пересечения прямых x  1 
x  2 y  2 z 1


до плоскости 2 x  2 y  z  0 .
4
3
2
y
z
2
и
28
ВАРИАНТ 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
1. Решить матричное уравнение
где
и
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.


4. Найти вектор c , коллинеарный вектору a =(–1; –1; 5) и такой, что

(b , c )  2 , где b = (3; –2; –-2).
5. Даны четыре вектора
a1 =(2;3;7); a2 =(3;–2;4); a3 =(–1;1;–1); a4 =(1;1;3)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 25
15 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 15 15 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=3x12–x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32 +2x1x2–4x1x3 –2x2x3.
29
Контрольная работа №2
1. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали
параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых 2 x  y  3  0 и
x  3 y  2  0 , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты 3;  1 .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси
абсцисс, вершина которой находится в начале координат, проходящей
через точку A9; 6 .
5
x2 y2

3. Убедившись, что точка M  2;   лежит на эллипсе

 1,

3
9
5
составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы
эллипса.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, 1, 4)
и линию пересечения плоскостей 2 x  y  4 z  2 и z  1 .
4x  4 y  z
5. Верно ли, что прямая
параллельна плоскости
2 x  2 y  z  9 ? Если да, то найти расстояние между этими прямой и
плоскостью.
30
ВАРИАНТ 5
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
Найти ранг матрицы
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Вычислить:

2


2
a  c  (a, b )(a, c ) , если a = (–2;1; –4); b = (1; –2; 0); c = (0; –1; 3).
5. Даны четыре вектора
a1 =(3;4; – 3); a2 =(2;1; – 4); a3 =(– 5;5;0); a4 =(8; – 16;17)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 30 60 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 60 5 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=2x12+ x22–6x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12– 5x22+8x32– 4x1x2+2x1x3+6x2x3.
31
Контрольная работа №2
1. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты
прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого
угла находится в точке C 2; 5 , а гипотенуза лежит на оси абсцисс.
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A2; 6 ,
если ее центр совпадает с точкой C  1; 2 .
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка
x  2 y 2  2 x  8 y  16  0 , приведя ее уравнение к каноническому виду.
Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр параллельно
прямой 3x  y  5  0 . Сделать чертеж.
2
Определить, находятся ли точки A(1,1,1) , B(4, 2,8) , C (2, 0, 5) ,
D(0, 2, 2) на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой
плоскости.
4.
5. Найти расстояние от точки пересечения прямых x  2 y   z и
x  2 y 1 z  2


до плоскости 2 x  y  2 z  0 .
4
5
2
32
ВАРИАНТ 6
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 −2 2
2
1
2 1
𝐴=( 1 1
1 1) и 𝐵 =( 3
4 −2 2).
4 2
2 3
−2 −2 −1 1
𝑇
Установить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1,
{ 6𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5.
3. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 7𝑥2 + 9𝑥3 + 4𝑥4 = 8,
{ 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 4,
5𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 12𝑥4 = 8.
Найти какое-нибудь базисное решение.


4. Найти a  3b , если a  5 , b  4 , векторы a и b
перпендикулярны.
5. Даны четыре вектора
a1 =(– 2;1;7); a2 =(3; – 3;8); a3 =(5;4;1); a4 =(18;25;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы
13 4 
линейного оператора А , заданного матрицей А= 
.
 4 7
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего
преобразования координат).
б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= 2x12+x22+3x32 +2x1x2–2x1x3 –2x2x3..
33
Контрольная работа №2
1. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у
которого две биссектрисы лежат на прямых x  y  3  0 и 2 x  y  0 , а одна
из его сторон на прямой x  4 y  1  0 . Сделать чертеж.
2. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между ее
вершинами равно 24, а координаты ее фокусов F1  10; 2 , F2 16; 2 .
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка
y  4 x  2 y  5  0 , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить
уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с
абсциссой, равной 0.
2
4. Найти угол между плоскостями x  y  2 z  7 и x  y  2 .
5. Лежат ли прямые
x 1 y  2 z

 ,
3
2
2
x 1 y  2 z
x 1 y  2 z

 и


2
4
3
7
2
3
в одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.
34
ВАРИАНТ 7
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2
2
1
4 3
𝐴 = ( 2 −1 −2 1) и 𝐵 = ( 4
−1
1
0
3 2
−1
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵.
1
1 1
−2
3 −4).
0 −2 3
2
1 −2
2. Методом обратной матрицы решить систему:
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 12,
2𝑥2 + 𝑥3 = 5,
{
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8.
3. Установить, имеет ли однородная система
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = 0,
𝑥 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 0,
{ 1
𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 − 8𝑥4 = 0,
𝑥1 + 𝑥2 − 9𝑥3 − 14𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Найти значение параметра α,  при котором векторы

перпендикулярны, если a = (6; –3; 5) и b = (–1; –3; 2).

a и a  b
5. Даны четыре вектора
a1 =(2;1;0); a2 =(1;–1;2); a3 =(2;2;–1); a4 =(3;7;– 7)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
9
2 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 2 6 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=4x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= –2x12+5x22+3x32 +2x1x2–2x1x3 –2x2x3.
35
Контрольная работа №2
1. Точки A 3;  2 , B0;  1 и C2; 5 являются вершинами
треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы
АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника,
опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, если уравнения ее
асимптот y   2,4 x , а расстояние между вершинами равно 48.
3. Составить уравнение диаметра окружности x 2  y 2  4 x  6 y  17  0 ,
перпендикулярного к прямой 5 x  2 y  13  0 .
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, 1, 4)
и линию пересечения плоскостей 2 x  3 y  z  2 и x  1 .
5. Верно ли, что прямая
2x  y  2z  9 ?
x
y z
 
4
2 3
параллельна плоскости
Если да, то найти расстояние между этими прямой и
плоскостью.
36
ВАРИАНТ 8
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 1 −2
3
2 1 −2
𝐴 = ( 1 2 3 1 ) и 𝐵 = (−3 −1 4
1 ).
1
3 2 −4
−2 2 1 3
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 обратную.
2. По формулам Крамера решить систему:
2𝑥1 + 𝑥3 = 6,
{3𝑥1 − 4𝑥2 = −2,
2𝑥2 − 𝑥3 = 2.
3. Решить систему линейных уравнений:
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 = 2;
{6𝑥1 − 4𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 3;
9𝑥1 − 6𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 4.
Найти какое-нибудь базисное решение.


4. Найти вектор c , коллинеарный вектору a =(1; 1; –2) и такой, что

(b , c )  3 , где b = (–3; 1; 2).
5. Даны четыре вектора
a1 =(1;1;1); a2 =(0;2;3); a3 =(0;1;5); a4 =(2; –1;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6.Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 57
2
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 2 43 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=–x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ x22+ x32 +4x1x2+6x1x3 +4x2x3..
37
Контрольная работа №2
1.
Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на
прямых 2 x  y  2  0 , 2 x  y  1  0 .
2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его большая
ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.
3. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами
гиперболы
x2 y2

 1 и прямой 9 x  2 y  24  0 .
4
9
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам e1  (1, 2, 2) и e2  (3,1,5) .
A(1, 0, 0)
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно прямой, проходящей через точки (2, 1, 0) и (1,1,1) .
38
ВАРИАНТ 9
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 1
−1
1
1
1
1
1
5
𝐴=(
) и 𝐵 = ( 2 −4
5
2 ).
1 4 2
−1
2 −2 −1
−2 2 1
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 обратную.
2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = −10,
{ 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 13,
𝑥1
+ 𝑥3 = 0.
3 Решить систему линейных уравнений.
2𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 3,
𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = −2,
{ 1
3𝑥1 − 6𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 = 5,
4𝑥1 − 8𝑥2 − 3𝑥3 − 4𝑥4 = −3.
Найти какое-нибудь базисное решение.


4. Найти длину вектора 2a  5b , если a = (1;3; -2); b = (–2;1; –1).
5. Даны четыре вектора a1 =(1; –1;3); a2 =(2;0;1); a3 =(3;4; –5); a4
=(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют
базис, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 59 12 
оператора , заданного матрицей А= 
.
 12 66 
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= –2x12+5 x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=3x12– 3x32– 4x1x2+4x1x3–2x2x3.
39
Контрольная работа №2
1. Точка M 1;  1 является центром квадрата, одна из сторон которого
лежит на прямой 3x  4 y  24  0 . Составить уравнение прямой, на которой
лежит параллельная ей сторона этого квадрата.
2. Убедившись, что точка M  4; 2,4 лежит на эллипсе
x2 y2

 1,
25 16
определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса.
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка
2 x  y 2  8 x  2 y  0 , приведя ее уравнение к каноническому виду.
Составить уравнение прямой, проходящей
через ее центр
перпендикулярно прямой x  3 y  1  0 . Сделать чертеж.
2
4. Найти угол между плоскостями
5. Лежат ли прямые
x 1 y  2 z

 ,
2
4
5
3x  y  2 z  1
и
x 1 y  2 z

 и
3
4
2
3x  y  1 .
x 1 y  2

 z в
4
4
одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.
40
ВАРИАНТ 10
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 −1 1
1
2
1
1 3
3 ) и 𝐵 = ( −2
𝐴 = ( 2 −1
).
−4
2 2
1 4 −2
2 3 −1
2 −1 −3
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑇 обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = 12,
{3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = −10,
2𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 = 6.
3. Определить, имеет ли однородная система
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 0,
3𝑥 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 0,
{ 1
𝑥1 + 4𝑥2 − 7𝑥3 + 13𝑥4 = 0,
3𝑥1 + 5𝑥2 − 10𝑥3 + 18𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Вычислить:

2
2


a  b  (a , b )(b , c ) , если a = (1; 0; 3); b = (3; –2; 0); c = (2; 1; –4).
5. Даны четыре вектора
a1 =(4;5;2); a2 =(3;0;1); a3 =(–1;4;2); a4 =(5;7;8).
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 29
3
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 3 21
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= –2x12+6 x22–8x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12 +3x32–2x1x2+4x1x3–8x2x3.
41
Контрольная работа №2
1. Найти координаты вершин углов прямоугольного треугольника,
если его катет и гипотенуза лежат на прямых 2 x  3 y  1  0 и 3x  y  3  0
соответственно, а одна из вершин, лежащих на этом катете имеет абсциссу,
равную 2. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, если расстояние
между фокусами равно 10, а длина оси, расположенной на оси ординат,
равна 8.
3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A3; 1 ,
B 1; 3 , а ее центр лежит на прямой 3x  y  2  0 .
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам e1  (0, 0, 2) и e2  (3, 2, 7) .
A(1, 0, 0)
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно прямой, проходящей через точки (2,1, 2) и (1, 3,1) .
42
Примеры выполнения заданий контрольных работ
Ниже представлены типовые варианты расчетно-аналитической и
контрольных работ по линейной алгебре, составленных из задач,
приведенных с решениями в учебниках [1] или [5] , [3] , [4] и в
практикумах [2] или [6]
(рассматриваемым в качестве основной
литературы).
№
задания
Номера задач (с решениями)
по учебникам
по практикумам
[1] или [5]
[2] или [6]
по учебнику[3]
по учебнику[4]
Контрольная работа № 1
1
1.13
1.50
1.15
1.15
2
2.1
2.1
2.1
2.1
3
2.4
2.35
2.4
2.4
4
3.1
3.2
3.15
3.21
5
3.4
3.24
3.39
3.44
6
3.7
3.71
3.7
3.12
Контрольная работа № 2
1
4.5
4.5
4.5
4.5
2
4.9
4.51
4.9
4.9
3
4.13
4.53
4.67
4.67
4
‒
4.88
4.109
4.109
5
‒
4.90
4.111
4.111
43
ЛИТЕРАТУРА
Основная1
1. Высшая математика для экономистов. Учебник /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
2. Высшая математика для экономистов. Практикум /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник и
практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
4. Кремер Н.Ш., Фридман М.Н. Линейная алгебра. Учебник и
практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
5. Математика для экономистов и менеджеров. Учебник /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2014.
6. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2014.
Дополнительная
7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для
экономистов: от Арифметики до Эконометрики. Учебно-справочное
пособие / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
8. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в
экономике. – М: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2011, ч. 1.
9. Малугин В.А. Линейная алгебра. – М.: РидГрупп, 2011.
10. Идельсон А.В., Блюмкина И.А. Аналитическая геометрия.
Линейная алгебра. Т.1. – М.: ИНФРА-М, 2000.
11. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2005.
Электронные ресурсы
1. Компьютерная обучающая программа для студентов 1 курса по
дисциплине
«Математика»
(КОПР1-М);
зарегистрирована
в
Информационно-библиотечном фонде РФ, рег. №50200000053 от
08.06.2000.
Студенту предлагается на выбор учебники (пособия) [1] и [2], или [3], или [4], или [5] и [6], при этом
возможно использование указанных учебников и пособий предыдущих лет издания.
1
44
2. Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие /под ред. Н.Ш.
Кремера – М.: ВЗФЭИ, 2011 (электронная версия в разделе «Учебные
ресурсы» на сайте ВЗФЭИ). (http://repository.vzfei.ru ).
3. И.М Эйсымонт, Н.Ш. Кремер. Математический анализ и
линейная алгебра. Методические указания по компьютерному
тестированию – М.: Вузовский учебник, 2007 (электронная версия в
разделе «Учебные ресурсы» на сайте ВЗФЭИ) (http://repository.vzfei.ru ).
4 Н.Ш. Кремер, И.М Эйсымонт. Математика. Методические
указания по проведению и выполнению контрольных работ с частичным
использованием КОПР – М.: ВЗФЭИ, 2009 (электронная версия в разделе
«Учебные ресурсы» на сайте ВЗФЭИ) (http://repository.vzfei.ru ).
5. Электронные тестовые базы LAN-TESTING и STELLUS
(http://stellus ).
6. Электронные ресурсы в системе STELLUS (http://stellus ).
7. Электронная библиотека (www.bibliotekar.ru ).
45
Содержание
Предисловие……………………………………………………………………3
Содержание дисциплины и методические рекомендации по ее изучению..5
Тема 1. Матрицы и определители………………………………………...5
Тема 2. Системы линейных уравнений…………………………………. 8
Тема 3. Векторные пространства…….…………………………………. 10
Тема 4. Линейные операторы………………………………………........ 12
Тема 5. Квадратичные формы………………………………………… 13
Тема 6. Элементы аналитической геометрии…..………….…………... 14
Вопросы для самопроверки .............................................................................17
Задачи для самоподготовки..............................................................................19
Методические указания по выполнению контрольных работ......................21
Варианты контрольных работ… .… … ………………………….…..….… 24
Вариант 1……………………………………………………..…………. 24
Вариант 2…………………………………………………………………. 26
Вариант 3 ………………………………………………………………… 28
Вариант 4…………………………………………………………………. 30
Вариант 5……………………………………………………………….. 32
Вариант 6………………………………………………………………… 34
Вариант 7…………………………………………………………………. 36
Вариант 8…………………………………………………………………. 38
Вариант 9 ……………………………………………………………… .40
Вариант 10……………………………………………………………….. 42
Примеры выполнения заданий контрольных работ .…………………. … 44
Литература ..................................................................................................... 45
46
Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие
Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие. Для студентов
первого курса бакалавриата, обучающихся по направлениям 38.03.01
«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»
и 38.03.05 «Бизнес-информатика» / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:
Финуниверситет, 2014.
47