3. Предел функции

3. Предел функции
В предыдущем разделе мы уже изучали предел функции, но там
ситуация была довольно специфической: речь шла о последовательности, т.е.
о функции дискретного аргумента. С другой стороны, очень многие функции
математически моделируют изменение той или иной величины в зависимости
от непрерывно меняющейся величины.
Поэтому теперь мы будем изучать функции вида
y= f(x): X→R
где X ⊂ R есть интервал или совокупность нескольких непересекающихся
интервалов числовой оси, т.е. множество, в котором независимая переменная
имеет возможность изменяться непрерывным образом.
3.1. Основные понятия
Пусть функция y= f(x) определена в некоторой выколотой окрестности
точки x0.
Определение предела функции. Число а называется пределом
функции f (x) при х, стремящемся к x0 , если разность между f (x) и а, с
приближением х к x0 , становится как угодно малой (см. рис. 1).
Точнее – если для любого заданного числа ε > 0 найдется число δ (ε) такое,
что при |x − x0| < δ (ε ) выполняется соотношение | f (x) − a | < ε .
Сокращенно:
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 :{x−x0 <δ(ε)}⇒{f (x)−a <ε}
Говоря геометрически, график функции, имеющей предел в точке x0 ,
вплотную приближается к точке ( x0 , а), когда х вплотную приближается к x0,
неважно с какой стороны.
Рис. 3.1. К определению предела функции в точке.
Если данное определение выполняется, то пишут
lim f ( x)  a
x  x0
15 x 2  2 x  1
 8 , найти δ(ε)
x  1/ 3
15 x 2  2 x  1
Для этого надо решить неравенство lim
8  8
x 1 / 3
x  1/ 3
Пример 3.1. Доказать, что lim
x 1 / 3
относительно переменной х. Упрощая выражение под знаком модуля,
получаем 5 
9x 2  6x  1
  . Разлагая на множители квадратный трехчлен в
3x  1
числителе, имеем
3x  12
3x  1


5
 3x  1 
Следовательно, можно положить    

15

5
 x
1 
 .
3 15
.
Существует другое определение предела функции в точке,
эквивалентное предыдущему. Оно звучит так:
Если для любой последовательности xn точек из области определения
функции f (x), такой что xn ≠ x0 и xn →x0 при п → ∞, соответствующая после
довательность f(xn) значений функции имеет один и тот же предел а, то
говорят, что f (x) имеет предел а при x→x0 .
Мы не будем приводить доказательство эквивалентности двух данных
определений. Заметим, что первое из них называется определением "на языке
ε – δ ", второе – определением "на языке последовательностей". На практике
иногда удобнее пользоваться одним определением, иногда – другим.
Конечный и бесконечный предел
В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает
(или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то
будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать
это в виде:
lim f(x) = 
x a
( lim f(x) = - ).
x a
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая
своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется
бесконечно большой величиной.
Односторонние пределы.
Определение. Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x
стремящимся к a, если
(
Обозначение
Теорема. Если
).
(
).
,то существует
. Верно и обратное утверждение.
3.2. Теоремы о пределах функции одной переменной
Теорема о единственности одного предела в данной точке.
Функция не может иметь более одного предела в данной точке.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Если
f(x)→a при x→x0 , то f (x) ограничена при x→x0.
Теорема (Признак Больцано-Коши существования предела функции).
Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный
необходимо и достаточно, чтобы
,
.
Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими
теоремами:
,
,
,
, если
Кроме того справедливы теоремы, аналогичные теоремам о двух
милиционерах и теореме о переходе к пределу в неравенствах, которые
рассматривались в разделе числовых последовательностей.
Предел монотонной функции.
Функция f(x) называется:
- монотонно возрастающей, если из x 1> x2 следует f(x1) f(x2);
- строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)> f(x2).
Оба эти случая объединяют символом f(x).
Функция f(x) называется:
- монотонно убывающей, если из x1>x2 следует f(x1) f(x2);
- строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)< f(x2).
Оба эти случая объединяют символом f(x).
Теорема.
Если f(x) при x<a и ограничена сверху то существует конечный
предел
.
Если f(x) при x<a но сверху не ограничена, то
.
Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей
функции.
3.3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при xa,
если
.
Пусть (x) и (x) – две бесконечно малые при xa. Тогда
1. Если существует
и
бесконечно малые одного порядка.
Обозначение: =O() или =O().
,
¸ то говорят, что (x) и (x) –
2. Если
(или, что то же самое,
), то говорят, что
(x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (x).
Обозначение =o().
3. Если
не существует, то говорят, что (x) и (x) несравнимы.
Имеется стандартная бесконечно малая величина (x)=x – a. Тогда, если
существует
, то говорят, что (x) является
бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так
.
Слагаемое
называется главной частью (x).
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при xa,
если
.
Пусть A(x) и B(x) – две бесконечно большие при xa. Тогда
1. Если существует
и
,
бесконечно большие одного порядка.
¸ то говорят, что A(x) и B(x) –
2. Если
(или, что то же самое,
), то говорят, что A(x)
есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).
3. Если
не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.
Имеется стандартная бесконечно большая величина
. Тогда, если
существует
и
,
¸ то говорят, что A(x) есть
бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом:
.
3.5. Виды неопределенностей
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (∞/∞); (∞ – ∞); (0 · ∞).
Степенно-показательные неопределенности (1∞); (∞0); (00).
В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному
числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела
(раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
Примеры.
1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].
х→ -2
Решение:
1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
х→ -2
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на
простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]= lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) =
х→ -2
-4/ -3= 4/3.
Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
х→ ∞
Решение:
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (∞/∞).
х→ ∞
Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из
знаменателя х в старшей степени, т.е. х2, получим:
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2 * (1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к.
lim 4/х2 = 4 / ∞= 0, lim 1/х = 1/∞= 0 и lim 2/х2 = 2/∞
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные
приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так
называемые замечательные пределы.
3.6. Первый и второй замечательный пределы
Первый замечательный предел .lim
х→ 0
sinx/х = 1, он раскрывает
неопределенность (0/0).
х
Второй замечательный предел. . х→
0lim
00 (1+1/х) = ℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание
логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется
натуральным логарифмом.
Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
х→ 0
Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
х→ 0
х→ 0
Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
х→ 0
Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]
х→ 0
х→ 0
= 5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2
х→ 0
х→ 0
Пример. 5 Найти lim (1+(1/2x))x = 100.
х→ 00
Решение: х→
lim0 (1+(1/2x))2x * (1/2) = ℮1/2=
℮
Пример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.
х→ 00
Решение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1 = lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-1)))1] = ℮*1 =
х→ 00
℮
х→ 00