ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЯ Аннотация

ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЯ
А.А. Ашимов, Ж.М. Адилов, Р.А. Алшанов, Ю.В. Боровский, Б.Т. Султанов
КазНТУ им. К.И. Сатпаева
Аннотация
В работе из трех частей представлены последние результаты разработки теории
параметрического регулирования макроэкономических систем и некоторые ее
приложения для решения ряда конкретных задач.
Введение
Развитие адекватных методов на базе математических моделей для
макроэкономического
анализа
и
оценки
оптимальных
значений
параметров - инструментов экономических политик регулирования макроэкономических
систем на уровнях национальных хозяйств, региональных экономических союзов и
мировой экономической системы является актуальной проблемой, острую необходимость
в решении которой почеркнул последний мировой кризис.
В настоящее время для макроэкономического анализа (в том числе сценарного
анализа) [1] – [8] и оценки оптимальных значений параметров экономической политики
[9] – [13] регулирования эволюции макроэкономических систем широко используются
математические модели соответствующих макроэкономических систем без всестороннего
тестирования на возможность их практического применения.
Настоящая работа посвящена развитию теории макроэкономического анализа и
оценке оптимальных значений параметров экономической политики регулирования
макроэкономических систем на базе тестируемых на возможность практического
применения соответствующих математических моделей, и она состоит из трех частей.
В первой части описываются состав теории параметрического регулирования и ее
алгоритмические основы. Во второй части описываются математические основы теории
параметрического регулирования, а в третьей части - приложения разработанной теории
для решения ряда прикладных задач на базе ряда математических моделей
макроэкономических систем.
Часть 1. Состав теории параметрического регулирования и ее алгоритмические
основы
Содержание
1.1. Состав теории параметрического регулирования макроэкономических систем
1.2
Алгоритм
параметрической
идентификации
большеразмерных
макроэкономических моделей
1.3. Методы оценки устойчивости математических моделей макроэкономических
систем
1.3.1 Методы оценки слабой структурной устойчивости динамических
моделей
1.3.2 Методы оценки показателей устойчивости отображений, определяемых
моделью
1.3.3 Методы оценки устойчивости отображений, определяемых моделью, в
смысле теории особенностей дифференцируемых отображений.
1
References
1.1. Состав теории параметрического регулирования макроэкономических
систем
На основе нижеперечисленных фактов:
- решение непрерывной или дискретной динамической системы [которая может
содержать как векторы управляемых параметров - инструментов государственной
политики (u), так и векторы неуправляемых параметров (a)] зависит от векторов
начальных условий и параметров (коэффициентов) этой системы;
- решение статической системы (например, статической модели малой открытой
экономики) зависит от параметров (коэффициентов) этой системы;
- для того чтобы по результатам исследований динамической системы судить об
описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства структурной устойчивости (или
грубости) этой системы [14];
- для того чтобы по результатам исследований (статической или динамической)
модели судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства устойчивости
отображения, задаваемого этой моделью [15];
- а также необходимость выполнения условий устойчивости макроэкономической
модели (представленной одной из динамических или статических систем) при малых
возмущениях исходных статистических данных для параметрической идентификации
модели (входных параметров) [16]
предложен следующий состав (компоненты) теории параметрического
регулирования [17].
1. Методы формирования набора (библиотеки) моделей макроэкономических
систем. Эти математические модели ориентированы на описание различных конкретных
социально-экономических ситуаций.
2. Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических
математических моделей, методы оценки показателей устойчивости и методы оценки
устойчивости отображений, задаваемых моделями экономической системы страны из
библиотеки (без параметрического регулирования).
3. Методы корректировки структурно неустойчивой динамической математической
модели с целью достижения ею свойства структурной устойчивости (методы подавления
структурной неустойчивости). Выбор (или синтез) алгоритмов подавления структурной
неустойчивости математической модели макроэкономической системы.
4. Методы выбора и синтеза законов параметрического регулирования
макроэкономической системы на базе ее динамических математических моделей. Методы
постановки и решения задач параметрического регулирования в виде соответствующих
задач математического программирования на базе статических математических моделей
макроэкономической системы.
5. Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических
математических моделей. Методы оценки показателей устойчивости и методы оценки
устойчивости отображений, задаваемых моделями макроэкономической системы (с
параметрическим регулированием).
6. Методы уточнения ограничений на параметрическое регулирование
макроэкономической системы в случае структурной неустойчивости ее математической
модели с параметрическим регулированием. Уточнение ограничений на параметрическое
регулирование макроэкономической системы.
7. Методы исследования влияний неуправляемых параметров и функций
(неуправляемых факторов) на результаты решения задач вариационного исчисления по
синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов
2
параметрического регулирования. Исследование точек бифуркаций экстремалей задач
вариационного исчисления по выбору оптимальных законов параметрического
регулирования. Методы исследования влияний изменения неуправляемых факторов на
результаты решения задач математического программирования на базе статических
математических моделей.
8. Подход выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках
применения законов параметрического регулирования макроэкономической системы на
основе анализа зависимостей оптимальных значений критериев соответствующих задач
параметрического регулирования от значений неуправляемых факторов.
В настоящей работе приводятся основные результаты покомпонентной разработки
теории параметрического регулирования (ее математические и алгоритмические основы).
- в рамках методов формирования набора (библиотеки) макроэкономических
математических моделей предложен алгоритм параметрической идентификации
большеразмерных макроэкономических моделей, использующий совместное применение
двух критериев идентификации;
- в рамках методов исследования устойчивости математических моделей
предлагаются численные алгоритмы для оценки показателей устойчивости и численные
алгоритмы для оценки устойчивости отображений, задаваемых моделью (в смысле теории
особенностей дифференцируемых отображений);
- в рамках методов исследования слабой структурной устойчивости описывается
предложенный численный алгоритм на базе теоремы Робинсона о достаточных условиях
слабой структурной устойчивости динамических математических моделей;
- в рамках методов выбора и синтеза параметрического регулирования национальной
экономики, на базе непрерывных и дискретных неавтономных динамических систем, а
также дискретных динамических систем с аддитивным шумом, сформулированы и
доказаны соответствующие теоремы об условиях существования решений задач
вариационного исчисления по синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора
алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования;
- в рамках методов исследования влияний изменения неуправляемых факторов на
результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору законов
параметрического регулирования сформулированы и доказаны теоремы об условиях
непрерывной зависимости оптимальных значений критериев рассматриваемых задач
вариационного исчисления от неуправляемых параметров (значений неуправляемых
функций);
- в рамках исследования бифуркаций экстремалей задач вариационного исчисления
по выбору оптимальных законов параметрического регулирования сформулированы и
доказаны теоремы о достаточных условиях существования соответственно определенной
точки бифуркации экстремалей рассматриваемой задачи вариационного исчисления.
- предложен подход выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках
применения соответствующих экономических инструментов регулирования национальной
экономики на основе анализа зависимостей оптимальных значений критериев
соответствующих задач параметрического регулирования от значений неуправляемых
факторов.
1.2
Алгоритм
параметрической
макроэкономических моделей
идентификации
большеразмерных
В рамках разработки 1 компоненты теории параметрического регулирования
предлагается следующий алгоритм параметрической идентификации большеразмерных
макроэкономических моделей [17].
Задача
параметрической
идентификации
дискретной
динамической
макроэкономической модели состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее
3
параметров (к которым относятся неизвестные значения экзогенных функций модели и
неизвестные начальные значения ее динамических уравнений), при которых достигается
минимальное значение целевой функции, характеризующей отклонения значений
выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных
статистических данных для промежутка времени t = t1, t1 + 1,… ,t2). Эта задача сводится к
нахождению минимального значения функции многих переменных (параметров) в
некоторой замкнутой области D евклидова пространства с ограничениями,
накладываемыми как на значения эндогенных переменных модели (ограничения E), так и
на искомые значения параметров (ограничения F). В случае большой размерности N этой
области, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают
неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции.
Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической
идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную
проблему «локальных экстремумов».
Ограничения E определяются экономическим смыслом эндогенных переменных
модели (например, их неотрицательностью). В качестве области, определяемой
ограничениями F для оценки возможных значений экзогенных параметров,
N1
рассматривалась область вида D   [a i , b i ] , где [ a i , b i ] - промежуток возможных
i 1
значений параметра p ; i = 1,…, N. При этом оценки параметров, для которых имелись
наблюдаемые значения, искались в промежутках [ a i , b i ] с центрами в соответствующих
наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках,
покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие
промежутки [ a i , b i ] для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их
возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции
нескольких переменных K: D → R в вычислительных экспериментах использовался
алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида [18]. Применение этого алгоритма для
начальной точки p1 ∈ D можно интерпретировать в виде (сходящейся к локальному
минимуму p 0  arg min K критерия 𝐾) последовательности {p1, p2, …}, где
i
D
K(pj+1) ≤ K(pj), pj ∈ D, j = 1, 2,… В описании следующего алгоритма мы будем считать, что
точка 𝑝0 может быть найдена достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой модели на
основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума
двух различных функций предложены два критерия следующего типа:
2
K A ( p) 
t2 n A
 y i (t )  y i* (t ) 
1
 ,
  αi 

nα (t2  t1  1) t  t1i 1 
y i* (t )

2
t 2 nB
 y i (t )  y i* (t ) 
1
 .
K B ( p) 
 β i 
nβ (t 2  t1  1) t t1 i 1 
y i* (t )

Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦 𝑖 (𝑡), 𝑦 𝑖∗ (𝑡) –
соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных модели, 𝐾𝐴 (𝑝)
– вспомогательный критерий, 𝐾𝐵 (𝑝) – основной критерий; 𝑛𝐵 > 𝑛𝐴 ; α𝑖 > 0 и β𝑖 > 0 –
некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения
𝑛𝐴
задачи параметрической идентификации динамической системы; ∑𝑖=1
α𝑖 = 𝑛α ,
𝑛𝐵
∑𝑖=1 β𝑖 = 𝑛β .
4
Задачи минимизации на базе модели соответствующих критериев (𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 ) в
области D будем называть задачей А и задачей B. Укрупненный алгоритм решения задачи
параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих шагов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров p1 ∈ D,
решаются задачи 𝐴 и 𝐵, в результате находятся точки 𝑝𝐴0 и 𝑝𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и
𝐾𝐵 соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа ε верно 𝐾𝐵 (𝑝𝐵0 ) < ε, то задача
параметрической идентификации модели решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки p1 точку p𝐵0 ,
решается задача 𝐴, и, используя в качестве начальной точки 𝑝1 точку 𝑝𝐴0 , решается задача
𝐵. Переход на шаг 2.
Достаточно большое число повторений шагов 1, 2, 3 дает возможность выходить
искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного
критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической
идентификации.
В рамках разработки 2 компоненты теории параметрического регулирования
предлагаются следующие методы оценки показателей устойчивости и структурной
устойчивости математических моделей.
1.3.
Методы
оценки
устойчивости
математических
моделей
макроэкономических систем
1.3.1 Методы оценки слабой структурной устойчивости динамических моделей
Методы исследования грубости (структурной устойчивости) математической модели
экономической системы страны базируется на:
- фундаментальных результатах теории динамических систем на плоскости;
- методах проверки условий принадлежности математических моделей к
определенным классам структурно устойчивых систем (Морса-Смейла, Ω-грубым
системам, У-системам, системам со слабой структурной устойчивостью).
В настоящее время теория параметрического регулирования развития рыночной
экономики располагает рядом теорем о структурной устойчивости конкретных
математических моделей (модель неоклассической теории оптимального роста, модели
экономической системы страны с учетом влияния доли государственных расходов и
ставки процента по государственным займам на экономический рост; модели
экономической системы страны с учетом влияния международной торговли и валютных
обменов на экономический рост и др.), сформулированных и доказанных на базе
указанных выше фундаментальных результатов.
Наряду с аналитическими возможностями исследования структурной устойчивости
конкретных математических моделей (без параметрического регулирования и с
параметрическим регулированием) на базе указанных результатов теории динамических
систем можно рассмотреть подходы исследования структурной устойчивости
математических моделей национального хозяйства с помощью вычислительных
экспериментов.
Ниже излагается возможность построения одного вычислительного алгоритма
оценки структурной устойчивости рассматриваемых математических моделей
экономической системы страны на базе следующей теоремы (теорема А) Робинсона [19] о
слабой структурной устойчивости.
Теорема. Пусть N  - некоторое многообразие и N - компактное подмножество в
N  такое, что замыкание внутренности N есть N. Пусть некоторое векторное поле
задано в окрестности множества N в N  , это поле определяет C 1 - поток f в этой
окрестности. Обозначим через R( f , N ) цепочно-рекуррентное множество потока f на N.
5
Пусть R( f , N ) содержится внутри N. Пусть оно имеет гиперболическую
структуру, кроме того, поток f на R( f , N ) удовлетворяет также условиям
трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда поток f на N слабо
структурно устойчив. В частности, если R( f , N ) - пустое множество, то поток f слабо
структурно устойчив на N. Аналогичный результат справедлив и для дискретной
динамической системы (каскада), задаваемого гомеоморфизмом (с образом) f : N  N  .
Отсюда следует, оценка слабой структурной устойчивости потока (или каскада) f с
помощью вычислительных алгоритмов на основе этой теоремы может быть проведена
путем численной оценки цепочно-рекуррентного множества R( f , N ) для некоторой
компактной области N фазового пространства исследуемой динамической системы.
На основе алгоритма построения символического образа [20], ниже предлагается
алгоритм локализации цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества
фазового пространства динамической системы, описываемой системой обыкновенных
дифференциальных (или разностных) и алгебраических уравнений. Для компьютерного
моделирования цепно-рекуррентного множества использовался ориентированный граф
(символический образ), являющийся дискретизацией отображения сдвига по траекториям,
определяемого этой динамической системой.
Пусть ищется оценка цепно-рекуррентного множества R( f , N ) некоторой
динамической системы в компактном множестве N ее фазового пространства. Для
конкретной математической модели экономической системы в качестве компакта N
можно взять, например, параллелепипед ее фазового пространства, включающий в себя
все возможные траектории эволюции экономической системы для рассматриваемого
промежутка времени.
Описание алгоритма локализации цепно-рекуррентного множества состоит в
следующем.
1. Определяется отображение f, определенное в N и задаваемое сдвигом по
траекториям динамической системы для фиксированного промежутка времени.
2. Строится разбиение С компакта N на ячейки Ni. Задается ориентированный граф
G, вершины которого соответствуют ячейкам, а ребра, соединяющие ячейки Ni с Nj
соответствуют условиям пересечения образа одной ячейки f(Ni) с другой ячейкой Nj.
3. В графе G находятся все возвратные вершины (вершины принадлежащие циклам).
Если множество таких вершин пустое, то R( f , N ) – пустое и процесс его локализации
завершается. Делается вывод о слабой структурной устойчивости динамической системы.
4. Ячейки соответствующие возвратным вершинам графа G разбиваются на ячейки
меньшего размера, и на их основе строится новый ориентированный граф G. (См. шаг 2
алгоритма).
5. Переход к пункту 3.
Пункты 3, 4, 5 повторяются до тех пор, пока диаметры ячеек разбиения не станут
меньше некоторого наперед заданного числа ε.
Последний набор ячеек и является оценкой цепно-рекуррентного множества R( f , N ) .
Разработанный метод оценки цепно-рекуррентного множества для компактного
подмножества фазового пространства динамической системы позволяет, в случае пустоты
найденного цепно-рекуррентного множества R( f , N ) , сделать вывод о слабой
структурной устойчивости динамической системы.
В случае если исследуемая дискретная динамическая система, априори, является
полукаскадом f, применению теоремы Робинсона A для оценки ее слабой структурной
устойчивости должна предшествовать проверка обратимости отображения f, заданного на
N (поскольку в этом случае полукаскад, задаваемый f будет являться каскадом).
Приведем численный алгоритм оценки обратимости дифференцируемого
отображения f : N  N  , где в качестве N используется некоторая замкнутая окрестность
6
t
дискретной траектории { f ( x0 ), t  0,..., T } в фазовом пространстве динамической
системы. Будем считать, что N содержит внутри себя непрерывную линию L,
t
последовательно соединяющую точки { f ( x0 ), t  0,..., T } . В качестве такой линии можно
взять, например, кусочно-линейную линию с узлами в точках указанной дискретной
траектории полукаскада.
Проверку обратимости отображения f : N  N  можно осуществить в следующие
два этапа.
1. Проверка обратимости ограничения отображения f : N  N  на линию L:
f : L  f ( L) . Эта проверка сводится установлению факта отсутствия точек
самопересечения у линии f (L) , то есть, ( x1  x2 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )); x1 , x2  L . Отсутствие
точек самопересечения f (L) можно установить, например, проверив монотонность
ограничения отображения f на L по какой-либо координате фазового пространства
полукаскада f.
1
2
n
Пусть выбраны достаточно большой набор точек вида xi  ( xi , xi ,..., xi )  L ,
yi  f ( xi ), yi  ( yi1 , yi2 ,..., yin ) и номер координаты этих точек (j). Если для всех чисел
xij , i  1,..., n
при
xi1j  xi2j
выполняется неравенство
yi1j  yi2j
(или при
xi1j  xi2j
выполняется неравенство yi1j  yi2j ), то отображение f : L  f ( L) оценивается как
обратимое.
2. Проверка обратимости отображения f в окрестностях точек линии L (локальная
обратимость). На основании теоремы об обратной функции такую проверку можно
провести следующим образом. Для достаточно большого количества выбранных точек
x  L с помощью разностных производных оцениваются Якобианы отображения f:
J ( x)  det(
f i
( x)), i, j  1,..., n. Здесь i, j – координаты векторов, n – размерность фазового
x j
пространства динамической системы. Если все найденные оценки Якобианов отличны от
нуля и имеют одинаковые знаки, то можно сделать вывод о том, что J ( x)  0 для всех
x  L и, следовательно, об обратимости отображения f в некоторой окрестности каждой
точки x  L .
Укрупненный алгоритм оценки слабой структурной устойчивости дискретной
динамической системы (полукаскада, задаваемого отображением f) с фазовым
пространством N   R n , определяемой непрерывно дифференцируемым отображением f
можно записать следующим образом.
t
1. Нахождение дискретной траектории { f ( x0 ), t  0,..., T } и линии L, в замкнутой
окрестности N которой необходимо оценить слабую структурную устойчивость
динамической системы.
2. Оценка обратимости отображения f окрестности линии L с использованием
приведенного выше алгоритма.
3. Оценка (локализация) цепно-рекуррентного множества R( f , N ) . При этом в силу
очевидного включения R( f , N1 )  R( f , N 2 ) при N1  N2  N  , в качестве компакта N
можно использовать любой параллелепипед, лежащий в N  и содержащий внутри себя L.
4. В случае если R ( f , N )  Ø, делается вывод о слабой структурной устойчивости
исследуемой динамической системы в N.
Этот укрупненный алгоритм применим и для оценки слабой структурной
устойчивости непрерывной динамической системы (потока f), если в качестве линии L
t
траекторию L  { f ( x0 ), 0  t  T } динамической системы, и пропустить пункт 2
7
укрупненного алгоритма. При этом в качестве отображения f в пункте 3 можно
использовать отображение f t для некоторого фиксированного t (t>0).
1.3.2 Методы оценки показателей устойчивости отображений, определяемых
моделью
Согласно определению Орлова [16], математической моделью экономической
системы в общем виде будем называть некоторое отображение вида 𝑦 = 𝑓(𝑝)
𝑓: 𝐴 → 𝐵,
переводящее значения исходных (экзогенных) данных 𝑝 ∈ 𝐴 в решения (значения
эндогенных переменных) 𝑦 ∈ 𝐵.
После построения математической модели некоторого реального явления или
процесса и определения с помощью известных наблюдаемых данных или решения задачи
параметрической идентификации фактического значения точки p, встает вопрос об
адекватности исследуемой модели. Одними из условий адекватности модели является
условие устойчивости модели относительно допустимых отклонений исходных данных
[16]. В случае такой устойчивости, малым изменениям исходных данных модели
соответствуют малые изменения ее решения. В указанной монографии вводятся
определения основных показателей устойчивости (эти определения приведены ниже),
однако в ней отсутствуют алгоритмы расчета рассматриваемых показателей устойчивости
математической модели.
Ниже приводится разработанные алгоритмы оценок показателей устойчивости
математической модели, характеризующих устойчивость решений математической
модели по отношению к изменениям исходных данных. Все параметры и переменные
модели при этом предварительно приводятся к безразмерному виду.
Пусть 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 ) - некоторый вектор значений экзогенных параметров
модели для промежутка времени 𝑡 ∈ {0, … , 𝑇}. Соответствующий вектор базовых
значений, для указанного промежутка времени обозначим через 𝑋0 = (𝑋01 , 𝑋02 , … , 𝑋0𝑘 ). В
качестве вектора X для динамических моделей рассматривается вектор значений
параметров и начальных значений переменных для дифференциальных (или разностных)
уравнений. В качестве вектора X для эконометрических моделей используется вектор
наблюдаемых статистических данных, используемых для нахождения коэффициентов
уравнений модели.
Пусть 𝑝 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 ) – вектор нормированных входных данных математической
модели; здесь 𝑝𝑖 =
𝑋𝑖
𝑋0𝑖
, 𝑖 = 1, … , 𝑘. Вектор 𝑝0 = (1, 1, … , 1).
Пусть А – пространство векторов нормированных входных данных, состоящее из
всех допустимых наборов p, 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑘 – метрическое пространство с евклидовой метрикой,
определяемой пространством 𝑅 𝑘 , 𝑝0 ∈ 𝐴.
Пусть 𝑌 = 𝑌(𝑝) = (𝑌1 , 𝑌 2 , … , 𝑌 𝑛 ) – выбранный вектор значений эндогенных
переменных для некоторого выбранного промежутка (или момента) времени, найденный
для выбранных значений p. В качестве вектора Y для динамических моделей
рассматривается вектор значений некоторого выбранного набора эндогенных переменных
модели для указанного промежутка (или момента) времени. В качестве вектора Y для
эконометрических моделей используется вектор значений коэффициентов уравнений
модели или вектор значений некоторого выбранного набора эндогенных переменных
модели для указанного промежутка (или момента) времени.
8
В частности, при 𝑝 = 𝑝0 , обозначим через 𝑌0 = 𝑌(𝑝0 ) = (𝑌01 , 𝑌02 , … , 𝑌0𝑛 ).
Нормированный вектор значений эндогенных переменных для момента времени 𝑇1
𝑌1 𝑌2
𝑌𝑛
обозначим через 𝑦 = 𝑦(𝑝) = (𝑌 1 , 𝑌 2 , … , 𝑌 𝑛); 𝑦0 = 𝑦(𝑝0 ) = (1, 1, … , 1).
0
0
0
Пусть 𝐵 ⊂ 𝑅 𝑛 – область, содержащая возможные выходные значения y для 𝑝 ∈ 𝐴,
снабженная евклидовой метрикой пространства 𝑅 𝑛 , 𝑦0 ∈ 𝐵. Исследуемая модель
определяет отображение f множества А в множество B.
Для выбранных точки 𝑝 ∈ 𝐴 и числа α>0 обозначим через 𝑈α (𝑝) пересечение
окрестности точки p радиуса α с множеством A:
𝑈𝛼 (𝑝) = {𝑝1 ∈ 𝐴: ρ(𝑝1 , 𝑝) ≤ α}.
Здесь и далее ρ(∙,∙) – евклидово расстояние между двумя точками эвклидова
пространства.
Для некоторого подмножества 𝐵1 ⊂ 𝐵 через 𝑑(𝐵1 ) обозначим диаметр множества 𝐵1,
то есть,
𝑑(𝐵1 ) = sup(ρ(𝑦1 , 𝑦2 ): 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝐵1 ).
Определение 1.1. Показателем устойчивости модели в точке 𝑋 ∈ 𝐴 для значения
α>0 называется число
𝛽(𝑝, α) = 𝑑(𝑓(𝑈α (𝑝)).
Алгоритм 1.1 оценки показателя устойчивости 𝛽(𝑝, α) модели методом МонтеКарло состоит в следующем.
1. Выбираются наборы входных параметров (X) и выходных переменных (Y), для
которых рассчитываются соответствующие нормированные величины.
2. Определяется вектор нормированных входных данных 𝑝 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 ), число
α>0 и множество 𝑈α (𝑝).
3. Генерируется набор из достаточно большого числа M псевдослучайных точек
(p1, p2, …, pM), равномерно распределенных в 𝑈α (𝑝).
Для этого с помощью датчика равномерно распределенных псевдослучайных чисел
последовательно генерируются координаты 𝑝𝑗𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑘; 𝑗 = 1, … , 𝑀) точки pj:
принадлежащие числовым промежуткам [𝑝𝑖 − α, 𝑝𝑖 + α] покрывающих 𝑈α (𝑝) и, в случае
выполнения неравенства ∑𝑘𝑖=1(𝑝𝑗𝑖 − 𝑝𝑖 )2 ≤ α2 , (т.е., 𝑥𝑗 ∈ 𝑈α (𝑝)), эта точка добавляется к
создаваемому набору.
4. Для каждой точки pj набора с помощью просчета модели определяется точка
yj=f(pj), 𝑗 = 1, … , 𝑀.
5. Вычисляется значение
β = max (𝜌(𝑦𝑖 , 𝑦𝑗 ): 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑀).
6. Останов.
При α = 0.01 найденное число β/2 характеризует, на сколько процентов
(максимально) изменятся значения выходных переменных модели при изменении
входных данных на 1%.
Определение 1.2. Абсолютным показателем устойчивости модели в точке 𝑥 ∈ 𝐴
называется число
𝛽(𝑥) = inf β(𝑝, α)
0<α≤α0
Здесь α0 - максимальное допустимое относительное отклонение значений входных
данных модели.
9
Алгоритм
1.2
оценки
абсолютного
показателя
устойчивости
β(𝑝)
эконометрической модели состоит в следующем.
Для выбранного значения α0 и чисел j = 0, 1, 2, … последовательно, с помощью
алгоритма 1, находятся числа β𝑗 = β(𝑝, α0 /2𝑗 ), и оценивается число
β(𝑝) =
inf
𝑗=0,1,2,…
β𝑗 .
Если число β(𝑝) окажется меньше некоторого наперед заданного малого числа ε (т.е.
β(𝑝) считается приблизительно равным нулю), то отображение f, задаваемое исследуемой
моделью оценивается в точке p как непрерывно зависящее от входных значений.
Определение 1.3. Максимальным абсолютным показателем устойчивости модели в
области A называется число
γ = sup β(𝑝).
𝑝∈𝐴
Алгоритм 1.3 оценки максимального абсолютного показателя устойчивости γ
модели методом Монте-Карло состоит в следующем.
1. Генерируется набор из достаточно большого числа M псевдослучайных точек
(p1, p2, …, pM), равномерно распределенных в А.
2. Для каждой точки pj набора и для выбранного α0 > 0 с помощью алгоритма 1.2
находятся числа β(𝑝𝑗 ), 𝑗 = 1, … , 𝑀.
3. Определяется число
γ = max β(𝑝𝑗 ).
𝑗=1,…,𝑀
4. Останов.
Если число γ окажется меньше некоторого наперед заданного малого числа ε (т.е. γ
считается приблизительно равным нулю), то отображение f, задаваемое исследуемой
моделью оценивается на множестве A как непрерывно зависящее от входных значений.
Разработанные алгоритмы применялись в частности для оценок эконометрической
модели малой открытой экономики и вычислимой модели общего равновесия отраслей
экономики.
1.3.3 Методы оценки устойчивости отображений, определяемых моделью, в
смысле теории особенностей дифференцируемых отображений
В этом разделе излагаются методы, позволяющих оценить в смысле определения
[15] устойчивость гладких отображений 𝐹: 𝐷 → 𝐸, определяемых с помощью статических
или динамических моделей. В качестве областей определения (D) рассматриваемых
отображений
используются
соответствующие
области
возможных
значений
неуправляемых, управляемых параметров, коэффициентов эконометрических уравнений
исследуемой модели, а также область возможных значений наблюдаемых
(статистических) данных, используемых при построении функций, задающих уравнения
эконометрических моделей модели. Область значений (E) отображения F содержит
множество возможных значений эндогенных переменных модели.
Наличие такого свойства устойчивости свидетельствует о сохранении качественных
свойств отображения, с помощью которого описывается модель, при малых изменениях
этого отображения. При адекватном описании реальных экономических явлений с
помощью математической модели, устойчивость (или неустойчивость) отображения,
представленного с помощью модели, может свидетельствовать об устойчивости (или
неустойчивости) соответствующих зависимостей возможных значений экономических
показателей от внешних (управляемых или неуправляемых) факторов при малых
10
изменениях этих зависимостей. Неустойчивость отображения, задаваемого моделью,
может также свидетельствовать о неадекватности исследуемой модели [15].
В рамках данного исследования устойчивости заданных отображений предлагается
алгоритм оценки множеств критических точек исследуемых отображений. Этот алгоритм,
в частности, позволяет оценить максимальность ранга матрицы Якоби отображения во
всех точках его области определения, то есть, проверить, является ли исследуемое
отображение иммерсией или субмерсией. Для случая иммерсии предлагается алгоритм
оценки инъективности исследуемого отображения.
Формулируются и доказываются утверждения, позволяющие оценить устойчивость
(а в некоторых случаях соотношений размерностей образа и прообраза - неустойчивость)
исследуемого отображения при выполнении условий иммерсии и инъективности или
условия субмерсии для исследуемого отображения.
Приводятся утверждения [21] об условиях устойчивости исследуемого отображения
в случае, если это отображение является субмерсией со складкой. Приводится алгоритм,
позволяющий оценить отображение как субмерсию со складкой и оценить устойчивость
исследуемого отображения в этом случае.
1.3.3.1 Алгоритм оценки множества
задаваемых моделью
В дальнейшем под отображением
критических
𝐹: 𝐷 → 𝐸
точек
отображений,
(1.1)
будем подразумевать определяемое математической моделью отображение.
Обозначим вектор аргументов отображения (1.1) через 𝑝 = (𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) ∈ 𝐷, а
соответствующий образ точки 𝑝 - вектор решений модели обозначим через 𝑦 = 𝑦(𝑝) =
(𝑦1 , … , 𝑦 𝑣 ) ∈ 𝐸, (𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛 и 𝐸 ⊂ 𝑅 𝑣 – некоторые области). В этом случае матрица Якоби
размера v×n для отображения (1.1) в точке p запишется в следующем виде:
𝜕𝑦 𝑖
𝐽(𝑝) = (𝜕𝑝𝑗 (𝑝))
(1.2)
𝑖=1,…,𝑣;𝑗=1,2,…,𝑛
Оценку матрицы Якоби (1.2) в некоторой точке 𝑝 ∈ 𝐷, полученную с помощью
численного дифференцирования из (1.1), также будем обозначать через 𝐽(𝑝).
В рамках решения задачи исследования устойчивости отображения F приведем
алгоритм, позволяющий оценить максимальность ранга матрицы 𝐽(𝑝) для 𝑝 ∈ 𝐷, то есть,
алгоритм оценки условия
rank(𝐽(𝑝)) = min(𝑣, 𝑛) для всех 𝑝 ∈ 𝐷.
(1.3)
При выполнении этого условия отображение F не будет иметь критических точек в
области D [15].
Для оценки условия (1.3) достаточно для каждого 𝑝 ∈ 𝐷 найти какой-либо
невырожденный минор порядка min(𝑣, 𝑛) матрицы J(p), учитывая, что общее количество
𝑣!
𝑛!
миноров максимального порядка в 𝐽 равно 𝑙 = 𝐶𝑣𝑛 = 𝑛!(𝑣−𝑛)!, если 𝑛 < 𝑣 и 𝑙 = 𝐶𝑛𝑣 = 𝑣!(𝑛−𝑣)!,
если 𝑛 ≥ 𝑣. Оценку значения определителя такого минора порядка min(𝑣, 𝑛) в 𝐽(𝑝) для
𝑝 ∈ 𝐷 обозначим через |𝑀𝑖 (𝑝)|, 𝑖 = 1, … , 𝑙.
Алгоритм 1.4. Укрупненный алгоритм для оценки условия (1.3) для оценки
множества критических точек отображения.
11
1) Область D разбивается на достаточно большое число (элементарных)
параллелепипедов 𝐷 𝑘 одинакового размера, и определяется сетка P из N точек,
являющимися вершинами выбранных параллелепипедов: 𝑃 = {𝑝𝑗 : 𝑗 = 1, … , 𝑁}.
2) Вычисляются значения всех элементов матриц 𝐽(𝑝𝑗 ) для 𝑗 = 1, … , 𝑁.
3) Для 𝑖 = 1, … , 𝑙, 𝑗 = 1, … , 𝑁 вычисляются определители |𝑀𝑖 (𝑝𝑗 )|.
4) Для каждого 𝑖 = 1, … , 𝑙 определяется множество D(i) следующим образом. D(i)
есть объединение всех (замкнутых) параллелепипедов 𝐷𝑘 , обладающих свойством: не все
значения |𝑀𝑖 (𝑝𝑗 )| в вершинах 𝐷𝑘 имеют одинаковый знак.
̃ = ⋂𝑙𝑖=1 𝐷(𝑖).
5) Находится множество 𝐷
̃ пусто, то условие (1.3) оценивается как выполненное. Останов.
6) Если множество 𝐷
7) В противном случае выполняются шаги 1) – 6) настоящего алгоритма c заменой
̃ и с уменьшением размеров параллелепипедов, участвующих в разбиении
области D на 𝐷
̃.
𝐷
Достаточно большое количество повторений шагов предложенного выше алгоритма
позволит либо оценить выполнение условия (1.3), либо получить оценку с помощью
̃ критических точек отображения F.
множества 𝐷
1.3.3.2 Алгоритм оценки нелокальной инъективности отображений, задаваемых
моделью
В этом разделе предполагается, что 𝑛 < 𝑣 (размерность области определения D
отображения (1.1) меньше размерности области E). В данном разделе приводится
алгоритм оценки условия нелокальной инъективности (отсутствие неблизких точек в D,
имеющих равные образы при отображении F) отображения (1.1), задаваемого моделью в
области D. Выполнения указанного условия нелокальной инъективности и условия (1.3),
гарантирующего локальную инъективность в окрестности каждой точки 𝑝 ∈ 𝑃, означает
существование обратного к F отображения, определенного на множестве 𝐹(𝐷).
Зафиксируем достаточно малое число ε > 0. Для каждой точки 𝑝𝑗 ∈ 𝑃 через 𝑑(𝑝𝑗 )
обозначим множество всех точек 𝑝𝑘 ∈ 𝑃 у которых |𝑝𝑗 − 𝑝𝑘 | > ε. Здесь |∙| - модуль
вектора.
Алгоритм 1.5 оценки условия нелокальной инъективности предлагается в виде
следующих шагов.
1) Для каждой точки 𝑝𝑗 ∈ 𝑃 вычисляются число
𝑚𝑗 =
2) Вычисляется
𝑚 = min 𝑚𝑗
𝑝𝑗 ∈𝑃
min |𝐹(𝑝𝑘 ) − 𝐹(𝑝𝑗 )|.
𝑝𝑘 ∈𝑑(𝑝𝑗 )
и определяются точки
𝑝𝑗 , 𝑝𝑘 ∈ 𝑃
такие, что
|𝐹(𝑝𝑘 ) − 𝐹(𝑝𝑗 )| = 𝑚.
3) Повторяются шаги 1) и 2) настоящего алгоритма с заменой сетки 𝑃 на сетку 𝑃1 ,
состоящую из вершин параллелепипедов меньшего размера и содержащую все точки
сетки P, отстоящие от одной из точек 𝑝𝑗 , 𝑝𝑘 на расстояние не превосходящее 2ε.
При достаточно большом количестве повторений шагов предложенного выше
алгоритма возможны два случая.
а) Последовательность получаемых значений 𝑚 убывает приблизительно
пропорционально шагу сетки 𝑃1 . В этом случае отображение F оценивается как
неинъективное
(другими
словами,
множество
𝐹(𝐷)
оценивается
как
самопересекающееся).
б) Для всех рассматриваемых сеток с достаточно малым шагом выполняется условие
𝑚 > ε. В этом случае отображение F оценивается как инъективное (другими словами,
множество 𝐹(𝐷) оценивается как не самопересекающееся).
12
1.3.3.3 Оценка устойчивости отображений, задаваемых моделью
В данном разделе приводятся утверждения о достаточных условиях устойчивости
отображения F в открытой области 𝐷0 = 𝐷\γ(𝐷), где γ(𝐷) – граница множества 𝐷, в
рамках определения устойчивого отображения [15]. Также приводится укрупненный
алгоритм оценки отображения 𝐹: 𝐷 → 𝐸, как устойчивой субмерсии со складкой.
Согласно теореме устойчивости Мазера [15] отображение F устойчиво в
многообразии 𝐷0 , если оно является инфинитезимально устойчивым в 𝐷0 . Условие
инфинитезимальной устойчивости отображения 𝐹 в 𝐷0 формулируется в виде
разрешимости в 𝐷0 относительно отображений ℎ(𝑝) и 𝑘(𝑦) следующего гомологического
уравнения [15].
𝑢(𝑝) = −𝐽(𝑝)ℎ(𝑝) + 𝑘(𝐹(𝑝)).
(1.4)
Здесь 𝑢(𝑝) - произвольная инфинитезимальная деформация отображения F, которая
представляется в виде гладкого соответствия каждой точке 𝑝 ∈ 𝐷0 касательного вектора к
многообразию E в точке 𝐹(𝑝); ℎ(𝑝) – гладкое векторное поле в 𝐷0 ; 𝑘(𝑦) – гладкое
векторное поле в E.
Рассмотрим два возможных случая.
1. Пусть 𝑛 < 𝑣. Пусть выполняется условие (1.3), то есть отображение F является
иммерсией в D. Согласно теореме об обратной функции (при выполнении условия
инъективности отображения F, проверяемого с помощью алгоритма, изложенного в
пункте 2) на множестве 𝐹(𝐷0 ) определено обратное к 𝐹 гладкое отображение
𝐹 −1 : 𝐹(𝐷0 ) → 𝐷0 . Если в уравнении (1.4) положить ℎ(𝑝) = 0, а 𝑘(𝑦) = 𝑢(𝐹 −1 (𝑦)), то это
уравнение превращается в тождество: 𝑢(𝑝) = 0 + 𝑢(𝐹 −1 (𝐹(𝑝))). Это означает, что
указанные отображения ℎ(𝑝) и 𝑘(𝑦) являются решениями гомологического уравнения
(1.4), то есть, это уравнение разрешимо. Следовательно, справедливо первое предложение
следующего утверждения.
Утверждение 1.3.1. Пусть при 𝑛 < 𝑣 для всех точек выбранного множества 𝐷
выполняются условие (1.3) для инъективного отображения (1.1). Тогда отображение
(1.1) является устойчивым в области 𝐷0 = 𝐷\γ(𝐷). Если условие (1.3) не выполняется для
какой-либо точки 𝑝 ∈ 𝐷0 , то отображение (1.1) не является устойчивым в его области
определения.
Второе предложение утверждения 1.3.1 следует из предложений 2.4 и 3.12 [21].
Сформулируем их.
Предложение 2.4. Пусть X компактно и dim𝑌 ≥ 2dim𝑋 + 1. Отображение 𝑓: 𝑋 → 𝑌
устойчиво тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначной иммерсией.
Предложение 3.12. Пусть X компактное многообразие и dim𝑌 = 2dim𝑋.
Отображение 𝑓: 𝑋 → 𝑌 устойчиво тогда и только тогда, когда оно является иммерсией
с нормальными пересечениями.
Из этих предложений следует, что при выполнении условия dim𝑌 ≥ 2dim𝑋 свойство
иммерсии является необходимым условием устойчивости, т.е. при невыполнении (1.3)
отображение f не может быть устойчивым.
Отметим, что хотя в формулировках указанных предложений используется условие
компактности многообразия X, доказательства свойств иммерсии для устойчивых
отображений при условии dim𝑌 ≥ 2dim𝑋 + 1 (или dim𝑌 = 2dim𝑋) основано на теоремах
5.6 и 5.7 [21], в которых не требуется компактность многообразия X. Утверждение 1.3.1
полностью доказано.
2. Пусть 𝑛 ≥ 𝑣. Пусть выполняется условие (1.3), то есть отображение F является
субмерсией в 𝐷0 . Проверим в этом случае разрешимость гомологического уравнения (1.4).
13
Рассмотрим сначала ситуацию, когда некоторый определитель минора v-го порядка
𝑀𝑖 (𝑝) матрицы Якоби имеет постоянный знак для 𝑝 ∈ D0 , то есть, |𝑀𝑖 (𝑝)| ≥ ε > 0 в 𝐷0 .
Пусть, для определенности, такой невырожденный минор 𝑀𝑖 (𝑝) состоит из первых шести
столбцов матрицы 𝐽(𝑝). Для произвольной деформации 𝑢(𝑝), записанной в виде v-мерного
вектора-столбца в уравнении (1.4) определим ℎ(𝑝) следующим образом. Первые v
координат n-мерного вектора-столбца ℎ(𝑝) зададим с помощью столбца −(𝑀𝑖 (𝑝))−1 𝑢(𝑝),
а все остальные координаты вектора ℎ(𝑝) положим равными нулям. Если положить
𝑘(𝑦) = 0, то уравнение (1.4) превращается в тождество:
𝑢(𝑝) = −𝐽(𝑝)ℎ(𝑝) + 0 = 𝑀𝑖 (𝑝)(𝑀𝑖 (𝑝))−1 𝑢(𝑝).
(1.5)
Рассмотрим теперь общий случай выполнения условия (1.3). Пусть для каждой
точки 𝑝 ∈ 𝐷 (и некоторой ее окрестности) найдется свой невырожденный минор 𝑀𝑖 (𝑝).
Выберем из таких окрестностей 𝑈𝑗 конечное покрытие области: 𝐷 ⊂ ⋃𝑠𝑗=1 𝑈𝑗 . Построим
подчиненное этому покрытию разбиение единицы [21] на области 𝐷 в виде s гладких
функций 𝜑𝑗 (𝑝) ≥ 0, где 𝜑𝑗 (𝑝) = 0 при 𝑝 ∈ 𝑅 𝑛 \𝑈𝑗 (𝑗 = 1, … , 𝑠) и ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝) = 1 для 𝑝 ∈ 𝐷.
Рассмотрим произвольную деформацию 𝑢(𝑝) в уравнении (1.4). Далее, для каждой
окрестности 𝑈𝑗 и соответствующего ей невырожденного минора 𝑀𝑖 (𝑝) построим
(согласно предложенному в предыдущем абзаце методу) векторное поле ℎ𝑗 (𝑝) в 𝑈𝑗
являющееся решением в 𝑈𝑗 уравнения (1.4) при 𝑘(𝑦) = 0. Определим векторное поле ℎ(𝑝)
в 𝐷0 с помощью формулы:
ℎ(𝑝) = ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝)ℎ𝑗 (𝑝).
Тогда, из (1.4) (где ℎ(𝑝) следует заменить на ℎ𝑗 (𝑝)) следует, что векторные поля ℎ(𝑝) и
𝑘(𝑦) = 0 являются решением (1.4):
−𝐽(𝑝)ℎ(𝑝) + 𝑘(𝐹(𝑝)) = −𝐽(𝑝) ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝)ℎ𝑗 (𝑝) + 0 =
= ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝)[−𝐽(𝑝)ℎ𝑗 (𝑝)] = ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝)𝑢(𝑝) = 𝑢(𝑝) ∑𝑠𝑗=1 𝜑𝑗 (𝑝) = 𝑢(𝑝).
Это означает, что уравнение (1.4) разрешимо. Следовательно, справедливо следующее
утверждение.
Утверждение 1.3.2. Пусть при 𝑛 ≥ 𝑣 для выбранного множества 𝐷 выполняются
условие (1.3) для отображения (1.1). Тогда отображение (1.1) является устойчивым в
области 𝐷0 = 𝐷\𝛾(𝐷).
3. Рассмотрим теперь случай, когда при 𝑛 ≥ 𝑣 условие (1.3) не выполняется для
некоторых точек области 𝐷0 (то есть, случай, когда область 𝐷0 содержит критические
точки отображения F). Обозначим через 𝑆1 (𝐹) множество точек области 𝐷0 , в которых
ранг матрицы Якоби отображения F на единицу меньше максимального, то есть,
𝑆1 (𝐹) = {𝑝 ∈ 𝐷: rank(𝐽(𝑝)) = 𝑣 − 1}.
Известно, что при выполнении дополнительного условия (𝑗 1 𝐹 ⋈ 𝑆1 , где 𝑗 1 𝐹 есть 1струя отображения F, 𝑆1 – подмногообразие в пространстве 1-струй 𝐽1 (𝐷0 , 𝐸) состоящее
из струй коранга 1, ⋈ - знак трансверсальности), множество 𝑆1 (𝐹) является
подмногообразием в 𝐷0 размерности 𝑣 − 1 [21].
Определение. Пусть отображение 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 удовлетворяет условию 𝑗 1 𝐹 ⋈ 𝑆1 .
Точка 𝑝 ∈ 𝑆1 (𝐹) называется точкой складки, если сумма касательного пространства к
14
𝑆1 (𝐹) и ядра касательного отображения dF в этой точке имеет размерность n, то есть,
если
𝑇𝑝 𝑆1 (𝐹) + Ker(𝑑𝐹)𝑝 = 𝑇𝑝 𝐷.
(1.6)
Поскольку сумма размерностей слагаемых левой части равна размерности правой
части (𝑣 − 1) + (𝑛 − 𝑣 + 1) = 𝑛, то условие (1.6) равносильно тому, что эти слагаемые
имеют единственную общую точку – начало координат и
cos ∠(𝑇𝑝 𝑆1 (𝐹), Ker(𝑑𝐹)𝑝 ) ≠ 1.
(1.7)
Определение. Отображение 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 называется субмерсией со складками, если
каждая его особая точка является точкой складки. Подмногообразие 𝑆1 (𝐹) в этом
случае называется складкой.
Известно, что если 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 - субмерсия со складкой, то ограничение отображения
F на складку 𝑆1 (𝐹) является иммерсией.
Справедлива следующая теорема [21].
Теорема 1.3.3. Пусть 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 - субмерсия со складкой. Отображение F
устойчиво тогда и только тогда, когда ограничение этого отображения на складку
𝐹| 𝑆1 (𝐹) является иммерсией с нормальными пересечениями.
В частности, верно следующее ее следствие.
Следствие 1.3.4. Если 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 - субмерсия со складкой и 𝐹| 𝑆1 (𝐹) инъективно
(взаимно однозначно со своим образом), то отображение 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 устойчиво.
Приведем алгоритм для оценки выполнения условий этого следствия.
Алгоритм 1.6. Укрупненный алгоритм оценки отображения 𝐹: 𝐷0 → 𝐸, как
устойчивой субмерсии со складкой.
Пусть при 𝑛 ≥ 𝑣 в результате применения алгоритма 1.4 найдена оценка множества
̃ ⊂ 𝐷 и множества 𝑃̃ вершин
особых точек отображения F в виде непустого множества 𝐷
̃
элементарных параллелепипедов, составляющих 𝐷. Шаги алгоритма для проверки
условия трансверсальности (𝑗 1 𝐹 ⋈ 𝑆1 ) в связи с громоздкостью здесь не приводятся.
Будем считать, что условие 𝑗 1 𝐹 ⋈ 𝑆1 оценено как выполненное.
̃ оценивается выполнения
1. Для каждого элементарного параллелепипеда 𝐷𝑘 ⊂ 𝐷
условия rank(𝐽(𝑝)) = 𝑣 − 1 следующим образом.
𝑛
Пусть {𝑝𝑗𝑘 }2𝑗=1 – набор вершин параллелепипеда 𝐷𝑘 ; {|𝑀𝑖 (𝑝𝑗𝑘 )|}𝑙𝑖=1 – набор значений
определителей миноров (𝑣 − 1)-го порядка матрицы Якоби 𝐽(𝑝𝑗𝑘 ) в точке 𝑝𝑗𝑘 ; 𝑙 = 𝐶𝑛𝑣−1 𝑛 =
𝑛!𝑛
. Если для выбранного 𝐷𝑘 найдется такой номер i, что все определители
(𝑣−1)!(𝑛−𝑣+1)!
|𝑀𝑖 (𝑝𝑗𝑘 )| для
𝑗 = 1, … , 2𝑛 имеют одинаковый знак, то rank(𝐽(𝑝)) оценивается числом 𝑣 −
̃ , то
1 в параллелепипеде 𝐷𝑘 . Если rank(𝐽(𝑝)) оценивается числом 𝑣 − 1 для всех 𝐷𝑘 ⊂ 𝐷
̃ считается оценкой подмногообразия 𝑆1 (𝐹). В противном случае, если
множество 𝐷
̃ , что для каждого выбранного 𝑖 = 1, … , 𝑙 числа
найдется такой параллелепипед 𝐷𝑘 ⊂ 𝐷
𝑘
̃ не оценивается
|𝑀𝑖 (𝑝𝑗 )| для 𝑗 = 1, … , 2𝑛 имеют неодинаковые знаки, то подмножество 𝐷
как складка. Останов.
2 Следующие шаги 3, 4, 5 выполняются для каждой точки 𝑝 сетки 𝑃̃.
3. Для 𝑝 ∈ 𝑃̃ оцениваются базисные векторы (𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 ) касательного пространства
𝑇𝑝 𝑆1 (𝐹) следующим образом. Выберем M (где 𝑀 ≫ 𝑣 − 1) ближайших (кроме самой этой
точки) к 𝑝 точек сетки 𝑃̃: {𝑝1 , … , 𝑝𝑀 }. Определим следующий набор M векторов
{𝑓𝑖 = 𝑝𝑖 − 𝑝: 𝑖 = 1, … , 𝑀}. Здесь точки 𝑝𝑖 и 𝑝 рассматриваются как радиус-вектора.
Линейную оболочку произвольного набора n-мерных векторов (𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 ) обозначим
15
через 𝑇 = 𝑇(𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 ). Расстояние от точки 𝑓𝑖 до плоскости T обозначим через 𝑑(𝑓𝑖 , 𝑇).
Сумму квадратов расстояний от точек 𝑓𝑖 до T обозначим через
2
𝑆(𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 ) = ∑𝑀
𝑖=1(𝑑(𝑓𝑖 , 𝑇)) .
(1.8)
Координаты искомых векторов 𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 определяются методом наименьших
квадратов из условия минимума функции 𝑆(𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1 ).
4. Для 𝑝 ∈ 𝑃̃ оцениваются базисные векторы (𝑔1 , … , 𝑔𝑛−𝑣+1 ) ядра Ker(𝑑𝐹)𝑝
следующим образом.
4.1. Поскольку матрица отображения (𝑑𝐹)𝑝 с теоретическим рангом (𝑣 − 1)
оценивается с помощью численно найденной матрицы Якоби 𝐽(𝑝), все миноры которой
(𝑣 − 1)-го порядка имеют определители, близкие к нулю, то вначале определим строку,
близкую к линейной комбинации остальных строк матрицы 𝐽(𝑝). В случае, если ранг
матрицы на единицу меньше числа ее строк, согласно теореме о базисном миноре, одна из
строк матрицы является линейной комбинацией остальных ее строк и ее удаление не
изменит ядра соответствующего этой матрице линейного оператора.
Пусть {𝐽1 , 𝐽2 , … , 𝐽𝑣 } – набор всех нормированных (элементы каждой строки делятся
на модуль этой строки, если модуль какой-либо строки равен 0, то задача пункта 4.1
решена) строк матрицы 𝐽(𝑝). Пусть 𝑃𝑖 , (𝑖 = 1, … , 𝑣) – линейная оболочка всех строк
указанного набора, кроме строки 𝐽𝑖 , рассматриваемая как плоскость в пространстве 𝑅 𝑛 .
Пусть 𝑚𝑖 – расстояние от точки 𝐽𝑖 ∈ 𝑅 𝑛 до плоскости 𝑃𝑖 : 𝑚𝑖 = 𝑑(𝐽𝑖 , 𝑃𝑖 ). Значение 𝑚𝑖
можно найти с помощью нахождения минимума функции (𝑣 − 1)-ой переменной
(α1 , … , α𝑖−1 , α𝑖+1 , … , α𝑣 ):
𝐷𝑖 (α1 , … , α𝑖−1 , α𝑖+1 , … , α𝑣 ) = | 𝐽𝑖 − ∑𝑣𝑗=1,𝑗≠𝑖 α𝑗 𝐽𝑗 |2 .
Выберем номер i соответствующий минимальному числу 𝑚𝑖 ; матрицу 𝐽(𝑝) размера
(𝑣 − 1) × 𝑛 с удаленной i-ой строкой обозначим через 𝐽̃(𝑝).
4.2. Методом Гаусса решим линейную однородную систему из (𝑣 − 1)-го уравнения
с 𝑛 неизвестными и с матрицей системы 𝐽̃(𝑝). При этом находится базис ее пространства
решений: (𝑔1 , … , 𝑔𝑛−𝑣+1 ).
5. Для 𝑝 ∈ 𝑃̃ оценим косинус угла (cosφ𝑝 ) между плоскостями 𝑇𝑝 𝑆1 (𝐹) и Ker(𝑑𝐹)𝑝 в
𝑛
𝑅 следующим образом.
Пусть (𝑒1 , … , 𝑒𝑣−1) и (𝑔1 , … , 𝑔𝑛−𝑣+1 ) найденные выше оценки базисов этих
плоскостей; (α1 , … , α𝑣−1 ) и (β1 , … , β𝑛−𝑣+1 ) – наборы переменных. Пусть вектор 𝑒 =
𝑣−1
∑𝑣−1
𝑖=1 α𝑖 𝑒𝑖 - произвольный вектор плоскости 𝑇𝑝 𝑆1 (𝐹), вектор 𝑔 = ∑𝑖=1 β𝑖 𝑔𝑖 - произвольный
вектор плоскости Ker(𝑑𝐹)𝑝 . Определим функцию f (выражающую косинус угла между
векторами e и g) от n переменных (α1 , … , α𝑣−1 , β1 , … , β𝑛−𝑣+1 ) в виде
𝑓𝑔
𝑦 = 𝑓(α1 , … , α𝑣−1 , β1 , … , β𝑛−𝑣+1 ) = |𝑓||𝑔|.
Наибольшее ее значение и принимается за значение искомого cosφ𝑝 .
6. Выберем малое число ε > 0. Если для всех 𝑝 ∈ 𝑃̃ выполняется условие
̃ является оценкой складки и
cosφ𝑝 < 1 − ε, то на основании определения, множество 𝐷
0
отображение 𝐹: 𝐷 → 𝐸 оценивается как субмерсия со складкой.
В противном случае, если найдется 𝑝 ∈ 𝑃̃, для которой cosφ𝑝 ≥ 1 − ε, то множество
̃ не оценивается как складка. Останов.
𝐷
7. Оценим инъективность (взаимную однозначность с образом) отображения 𝐹 на
̃ . Поскольку ограничение отображения F на складку является иммерсией, то
складке 𝐷
16
локальная инъективность этого ограничения гарантируется. Нелокальная инъективность
оценивается с помощью алгоритма 1.5, в котором сетку 𝑃 необходимо заменить на сетку
𝑃̃. Число 𝜀, использующееся в этом алгоритме, должно превосходить удвоенный диаметр
̃ . При достаточно большом количестве
элементарных параллелепипедов множества 𝐷
повторений шагов алгоритма 1.5 возможны два случая.
а) Последовательность получаемых значений 𝑚 убывает приблизительно
̃
пропорционально шагу сетки 𝑃̃1 . В этом случае ограничение отображения F на складке 𝐷
̃ ) оценивается как
оценивается как неинъективное (другими словами, множество 𝐹(𝐷
самопересекающееся).
Здесь
требуется
дополнительное
исследование
точек
̃
самопересечения 𝐹(𝐷 ) на нормальность.
б) Для всех рассматриваемых сеток с достаточно малым шагом выполняется условие
̃ оценивается как
𝑚 > ε. В этом случае ограничение отображения F на складке 𝐷
̃)
инъективное
(другими
словами,
множество
𝐹(𝐷
оценивается
как
не
самопересекающееся). На основании следствия 1.3.4 отображение 𝐹: 𝐷0 → 𝐸 в этом случае
оценивается как устойчивое.
References
1. Mundell R.A., A Reconsideration of the Twentieth Century, The American Economic
Review, Vol. 90, No. 3, 2000 макро
2. Frenkel J.A. and Razin A., The Mundell-Fleming model: a quarter century later,
National Bureau of economic research, Working paper № 2321, Cambridge, Massachusetts,
1987. макро
3. Erceg C., Guerrieri L., Christopher Gust, SIGMA: A New Open Economy Model for
Policy Analysis. Board of Governors of the Federal Reserve System, International Finance
Discussion Papers No 835, July 2005 макро
4. Andrés J., Burriel P., Estrada Á. BEMOD: a Dsge Model for the Spanish Economy and
the Rest of the Euro Area. Documentos de Trabajo N.º 0631 Banco de España. макро
5. Stähler N., Thomas C. FiMod – a DSGE model for fiscal policy simulations. Deutsche
Bundesbank Discussion Paper. Series 1: Economic Studies No 06/2011 макро
6. Paltsev, S., Reilly, J.M., Jacoby, H.D., Eckaus, R.S., McFarland, J., Sarofim, M.,
Asadoorian, M., Babiker, M.H.: The MIT Emissions Prediction and Policy Analysis (EPPA)
Model: Version 4. Report No. 125 (2005) http://globalchange.mit.edu/research/publications/697
макро.
7. Dixon, P.D., Rimmer, M.T.: Forecasting and Policy Analysis with a Dynamic CGE
Model
of
Australia.
Preliminary
Working
Paper
No.
OP-90
(1998)
http://www.monash.edu.au/policy/elecpapr/op-90.htm макро
8. Makarov V.L., Bahtizin A.R., and Sulakshin S.S., Application of computable models
in state administration. Moscow: Nauchniy expert, 2007 (in Russian). макро
9. Fair R.C., Estimating How the Macroeconomy Works (Cambridge, Massachusetts:
Harvard University Press, London, England 2004). оптим
10. Murchison S. and Rennison A. ToTEM: The Bank of Canada’s New Quarterly
Projection Model. Bank of Canada Technical Report No. 97, 2006. оптимал
11. Adolfson M., Laséen S., Lindé J., & Svensson L., Optimal Monetary Policy in an
Operational Medium Sized DSGE Model, Journal of Money, Credit and Banking, Blackwell
Publishing, vol. 43(7), pages 1287-1331, October 2011. оптимал
12. Acemoğlu D. Introduction to Modern Economic Growth. Princeton University Press,
2008. оптимал
13. André F.J., Cardenete M.A., and C. Romero, Designing public policies. An approach
based on multi-criteria analysis and computable general equilibrium modeling, in Lecture Notes
in Economics and Mathematical Systems, 1st ed. vol. 642. Springer, 2010. оптимал
17
14. Arnold V.I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New
York: Springer-Verlag, 1988.
15. Arnold V.I., Gusein-Zade S.M., Varchenko A.N., Singularities of differential Maps.
Volume I. Boston, Basel, Stuttgard: Birkhauser, 1985.
16. Orlov A.I. Econometrics. A Textbook. Moskow: Ekzamen, 2002 (in Russian).
17. Ashimov A.A., Sultanov B.T., Adilov Zh.M., Borovskiy Yu.V., Novikov D.A.,
Alshanov R.A., Ashimov As.A. Macroeconomic analysis and parametrical control of a national
economy. New York: Springer, 2013.
18. Nelder J.A., Mead R., A simplex method for function minimization, The Computer
Journal, №7, 1965, р. 308-313.
19. Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary// Journal of differential
equations. 1980. No. 37. Р. 1-11.
20. Petrenko E.I., Development and realization of the algorithms for constructing the
symbolic set. Differential Equations and Control Processes (electronic journal), №3, 2006, рр.
55–96 (in Russian).
21. Golubitsky М., Gueillemin V. Stable mappings and their singularities. New York,
Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1973.
18