ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРИРУЮЩИХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРИРУЮЩИХ
И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИХ ЦЕПЕЙ
Цель работы: Изучение процесса прохождения сигналов через простейшие RC-цепи.
Измерение и вычисление основных параметров, частотных и фазовых
характеристик RC-цепей. Освоение вопросов синтеза и анализа
радиоэлектронных схем с помощью ЭВМ.
Введение. Теоретическая часть
Основные понятия радиоэлектронных цепей
Радиоэлектронное устройство независимо от конструкции и технологии его
изготовления представляет собой некоторое соединение элементов – резисторов,
конденсаторов, диодов, источников электрической энергии и др. Совокупность
соединенных
определенным
образом
элементов
устройства
называется
радиоэлектронной цепью.
Элементы цепи подразделяются на активные и пассивные. Основной признак
активного элемента - это его способность отдавать электрическую энергию. К
пассивным элементам относятся потребители и накопители электрической энергии.
В теории цепей рассматриваются идеализированные элементы, обладающие
каким-нибудь одним свойством, - это, например, сопротивление, емкость,
индуктивность, источники тока и напряжения.
Сопротивление – идеализированный элемент, в котором электрическая энергия
преобразуется в тепловую, механическую или световую. Сила тока в сопротивлении
связана с напряжением на нем законом Ома: U = R i. Величину 1/R = G - называют
проводимостью. Форма тока, проходящего через сопротивление, всегда совпадает с
формой приложенного к нему напряжения, поэтому всегда положительна мгновенная
мощность Р = U i = R i2 = G U2.
Емкость – идеализированный элемент, обладающий свойством запасать энергию
электрического поля. Ток в емкости и напряжение на ее зажимах связаны
соотношением i = C dU/dt.
Мгновенная мощность Р = U i = UC dU/dt может быть как положительной (когда
знаки напряжения и его производной одинаковы), так и отрицательной. Если
мощность положительна, то емкость накапливает энергию, а заряд q = CU на нем
увеличивается. Если же мощность отрицательна, то емкость разряжается и отдает
энергию. Накопленная за промежуток времени t2 – t1 энергия
W (t1, t2) = C ∫ U dU/dt dt = С∫UdU = ½ CU2 (t2) – ½ CU2 (t1).
t
t
Индуктивность – идеализированный элемент, обладающий способностью запасать
энергию магнитного поля. Ток в индуктивности с напряжением на её зажимах связаны
соотношением U = L di/dt. Мгновенная мощность на индуктивности
P = U i = L i di/dt, как и для ёмкости может быть положительной и отрицательной.
Каждый элемент к цепи подключается двумя выводами – полюсами, поэтому
простейшая электрическая цепь является двухполюсником.
Цепь, в которой выделены вход и выход и, таким образом имеет четыре полюса,
называется четырёхполюсником. Цепи, размеры которых значительно меньше длины
волны электрических сигналов, считают цепями с сосредоточенными параметрами. В
таких цепях сопротивления, ёмкости и индуктивности сосредоточены в отдельных
элементах.
Цепи, размеры которых соизмеримы с длинной волны электрических сигналов или
больше её, относятся к цепям с распределенными параметрами. Каждый элемент
конструкции такой цепи обладает сопротивлением, емкостью, индуктивностью.
По признаку зависимости параметров элементов цепи от приложенных
напряжений и протекающих токов различаются линейные и нелинейные цепи.
Радиоэлектронная цепь считается линейной, если параметры ее элементов не
зависят от токов и напряжений. Примером линейной цепи может быть цепь, состоящая
из идеализированных элементов ни один из которых не зависит от протекающих токов
и напряжений.
Цепь считается нелинейной, если параметры ее элементов зависят от токов и
напряжений. Такими являются цепи, содержащие элементы сопротивления с
нелинейными вольтамперными характеристиками, а также цепи с диодами,
транзисторами и конденсаторами в виде p-n – перехода.
Цепи, параметры элементов которых меняются во времени по заданному закону,
считаются параметрическими. Такие цепи чаще всего создаются из нелинейных
элементов, параметры которых изменяются с помощью управляющих сигналов.
По признаку наличия или отсутствия источников электрической энергии внутри
цепи различают активные или пассивные цепи. Активная – это цепь, содержащая
внутренние источники энергии, например усилитель. Пассивная - это цепь, не
содержащая внутренних источников энергии, например цепь, состоящая только из
пассивных элементов – резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности.
Задачи теории цепей делятся на две группы: задачи анализа и задачи синтеза. Цель
анализа – исследование процессов в цепи с заданной структурой и заданными
характеристиками всех элементов цепи, например расчёт реакции заданной цепи на
известные воздействия. Цель синтеза – отыскание структуры цепи и параметров её
элементов, при которых электрический процесс будет удовлетворять заданным
требованиям. Синтез цепей основывается на общих свойствах электрических цепей.
Эти свойства выясняются в процессе анализа, поэтому синтезу должен
предшествовать анализ.
Задача синтеза значительно более сложная и трудоемкая по сравнению с задачей
анализа, поэтому в инженерной практике часто используют нестрогий синтез,
заключающийся в выборе нужной цепи из множества подробно исследованных.
2. Гармонические колебания и их представление
Электрическое колебание, которое описывается гармоническими (sin и cos)
функциями времени, называется гармоническим. Такое колебание можно записать S
(t) = Am cos (ωt – φ).
Здесь Am – амплитуда, ωt – φ = θ(t) – фаза. Величину ω = 2πf = 2π/T называют угловой
частотой. Гармонические колебания в радиоэлектронике занимают исключительное
место благодаря:
- простоте технической реализации генератора;
- неизменности формы гармонических колебаний при прохождении через линейную
цепь с постоянными параметрами (меняется только амплитуда и фаза).
Гармоническое колебание полностью характеризуется двумя величинами:
амплитудой Am и фазой θ. Как известно, аналогичными величинами определяется
положение вектора на плоскости. Используя эту аналогию, гармоническое колебание
можно условно изображать вектором на плоскости.
Наряду с векторным представлением гармонические колебания можно
представлять комплексными числами. Как известно, комплексное число
a + jb = Am ejα = Amcos(α) + jAmsin(α)
полностью характеризуется модулем Am и аргументом α, аналогичными амплитуде и
фазе гармонического колебания. Комплексное число Ám = Ame­jφ называют
комплексной амплитудой гармонического колебания.
Метод расчета цепей, базирующихся на понятии комплексной амплитуды,
называют методом комплексных амплитуд. Метод комплексных амплитуд в
электротехнике впервые в 1883 году применил немецкий ученый Ч.Штейнмец. В
России этот метод широко использовал академик В.Ф. Миткевич.
Переход от временной функции к комплексной амплитуде обратим: S(t) =
 . Очевидно, что при всех математических преобразованиях, где
Amcos(ωt – φ)  A
m
вещественная и мнимая части комплексного числа преобразуются независимо одна от
другой, этот метод может быть использован без каких-либо ограничений. Примерами
таких математических операций, называемых линейными, являются сложение,
вычитание, умножение на постоянную величину, дифференцирование и
интегрирование.
Операции умножения и деления являются нелинейными. Для получения
правильного результата приходится использовать искусственный прием: один из
переменных множителей брать комплексно сопряженным. Примером может служить
 * . Практически
нахождение мощности переменного тока по формуле P=IUcos(φ)=Re IU
важным случаем нелинейной операции является введение комплексных изображений
для сопротивлений. Учитывая закон Ома Z  U I , найдем символические изображения
для простых случаев чисто активного, чисто емкостного и чисто индуктивного
сопротивлений.
 r = R I .
U
 c = 1/C Idt = (1/jωC) · imejωt = (1/jωС) I
U

 L = L di/dt = L d(imejωt)/dt = jωLimejωt = jωL I .
U
Из этих соотношений непосредственно следуют выражения для Z
r R
Z
C X
 C  1/jωС = (1/j) XC
Z
L X
 L  jωL = jXL .
Z
Следует особо подчеркнуть, определение комплексных изображений для
 U
 I . Поэтому соотношение
сопротивлений включает в себя нелинейную операцию Z
между сопротивлением и его комплексным изображением имеет другой характер, чем
в случае тока и напряжений. Сопротивление равно не вещественной или мнимой
части, а модулю своего символического изображения.
3. Прохождение гармонического сигнала
по элементам электрической цепи
Рассмотрим явления при прохождении гармонического тока по элементам
электрической цепи.
Для резистора
R
Ir
Ir
Ur
Ur
Ur = Um sin(ωt),
Ir = Um/R sin(ωt).
Ток и напряжение в цепи активного элемента – сопротивления совпадают по фазе.
Для емкости
С
Ic
Ic
Uc
Uc
Uc = Um sin(ωt)
Ic = C d (Um sinωt)/dt = C ω Um cos(ωt)
или
Ic = Um/(1/ωC) sin(ωt + π/2),
где Xc = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление.
Из приведенных соотношений видно, что ток в цепи конденсатора опережает
падение напряжение на нем на π/2.
Для индуктивности
L
UL
IL
IL
UL
UL = Umsinωt, IL = (- 1/L) · Um ∫ sinωt dt = (- 1/ωL) · Um cosωt,
IL = (Um/ωL) · sin(ωt – π/2),
где XL = ωL – реактивное индуктивное сопротивление. Ток в цепи катушки
индуктивности отстает от падения напряжения на ней на π/2.
4. Интегрирующие и дифференцирующие цепи
CR – цепь.
U1
C
R
U2
Напряжение на резисторе Ur = U2 = IR, где I=C dUc/dt, тогда
U2 = CR dUc/dt.
Зная, что Uc = U1 – U2, получим для U2 =CR dU1/dt – CR dU2/dt.
При малых частотах и постоянных токах Ur – величина малая, тогда
U2=CR dU/dt,
т.е. напряжение на выходе цепи пропорционально дифференциалу U1, поэтому ее
называют дифференцирующей.
RC – цепь.
R
U1
C
U2
Ток в цепи конденсатора I = C dUc/dt, а напряжение Uc = 1/C ∫ Idt, где I =Ur/R, тогда
Uc  1 CR  U r dt  1 RC U1dt  1 RC Uc dt . При R » 1/ωC, U 2  1 CR  U1dt , т.е.
напряжение на выходе RC – цепи пропорционально интегралу от входного
напряжения. Такая RC – цепь именуется интегрирующей.
5. Переходные характеристики CR - и RC – цепей
Анализируемая цепь описывается переходной характеристикой, равной реакции
цепи на единичный скачек воздействия. Схема цепи изображена на рис.1
Ur
I
R
e (t)
C
Uc
Рис. 1
Воздействие e(t) – скачек напряжения в момент времени t = 0 на величину Е. Согласно
закону Кирхгофа запишем уравнение Ur + Uc = e(t). Так как Ur = iR, a i = CdUc/dt,
то уравнение примет вид RC dUc/dt + Uc = e(t). При e(t) = 0 решение однородного
уравнения цепи Uc(t) = Аe –t/RC.
Частное решение неоднородного уравнения описывает стационарный режим. В
рассматриваемом примере с течением времени емкость зарядится до стационарного
значения Uc= E. Константу А можно найти из начального условия: Uc = 0 при t = 0.
Поэтому А = - Е. Окончательное выражение для напряжения Uc(t) = E [1 – exp(-t/RC)],
t ≥ 0. Переходная характеристика RC – цепи hc(t) = 1 – exp( - t/RC ), t ≥ 0.
График зависимости напряжения Uc(t) от времени представлен на рис. 2.
Uc
Е
0,63E
τ
t
Рис. 2
τ = RC – называется постоянной времени, которая означает время, в течение
которого напряжение на конденсаторе изменится в e раз. Например: за время τ
напряжение Uc возрастает до 63% от Е, а за время 3τ до 95%.
Форму сигнала, как отклик системы на импульсное воздействие можно
исследовать с помощью преобразования Фурье. Применим его для импульсного
сигнала, U1 = e(t) = E при 0 ≤ t ≤ t1, U1 = e(t) = 0 при t < 0, t > t1,
подаваемого на цепь, приведенной на рис. 3.
С
U1
R
U2
Рис. 3
Введем понятие коэффициента передачи рассматриваемой цепи:

U
jRC

.
K()  2 
 1 (1  jRC)
U
1. Находим спектральную функцию сигнала:

t1
E
(1  e  jt 1 ) .

j

0
2. Определим измененную спектральную функцию сигнала после прохождения через
цепь:
1
e  jt 1
 ()  ERC(
S * ()  S ()K

).
1  jRC 1  jRC
3. По измененной спектральной функции сигнала находим сигнал на выходе цепи:
1  *
E   e jt d
E   e j( t  t 1 ) d
*
jt
e (t) 
 S ()e d  2  (1 RC)  j  2  (1 RC)  j
2  


После интегрирования получаем:
U2 = e*(t) = Ee –t/RC при t < t1
U 2  e* (t )  E(e  t1 / RC  1)e ( t  t1 ) / RC при t > t1.
S () 
e( t ) e
1.0 U1/E
 jt
 E  e  jt 
1.0 U2/E
t = t1
t=0
t = t1
t
t=0
Рис. 4
t
Первая часть решения, при 0 ≤ t ≤t1, соответствует переходному процессу в цепи
при включении Е; вторая часть, при t > t1, при выключении Е. На рис.4 представлены
входной сигнал прямоугольной формы и форма сигнала на выходе СR-цепи при
различных τ.
1. Частотные характеристики RC – и CR – цепей
RC – цепь. Комплексная функция входного сопротивления:
 вх ( j)  R вх  jX вх  R  1 jC  R (1  j RC) .
Комплексная
Z
передаточная функция напряжения:

1
  U вых  1 j C
.
K

 вх R (1  j RC) (1  jRC)
U
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики примут вид:
1
u 
K u ()  K
.
(1  2  2 )1 2
 ( j)
Im K
()  arctq
 arctq( ) .
 ( j)
Re K
Графики амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик показаны на
рис.5.
Ku
1
1/ 2
0
ωc
ω
0
ω
- π/4
- π/2

Рис. 5
Из графиков видно, что RC – цепь пропускает низкочастотные колебания, и не
пропускает высокочастотные. На частоте среза полосы пропускания ωс получаем
K u ()  1 1  c2  2  1 2 .
Отсюда, частота среза ωс = 1/ τ. Ширина полосы пропускания RC – цепи равна частоте
среза. Рассмотренная RC – цепь может быть использована как фильтр низких частот.
СR – цепь
Входное сопротивление CR – цепи такое же, как и RC – цепи. Комплексная
R
1
 ( j) 
передаточная функция напряжения: K

R (1  1 jCR ) 1  1 j 
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики:
1
1
K u () 
;
.


(

)

arctq
2 12


[1  (1  ) ]
Ku
1
1/ 2
0
1/
ω
0
1/ τ
ω
φ
π/2
π/4
Рис. 6.
CR – цепь пропускает колебания с частотами выше частоты среза ωгр = 1/ τ. Сверху
полоса пропускания не ограничена. CR – цепь часто используют в качестве фильтра
высоких частот. На рис.6 приведены графики амплитудно-частотной и фазовочастотной характеристик пассивного фильтра высоких частот.
П. Экспериментальная часть
Для исследования простейших радиоэлектронных цепей используется
лабораторный стенд, который включает в себя три основных устройства:
- источник стабилизированного напряжения (+10В).
- релаксационный генератор на операционном усилителе К140 УД608 с двумя
фиксированными частотами 500 Гц и 2 кГц и регулируемой скважностью.
- дифференцирующие и интегрирующие цепочки с фиксированными параметрами R
и С. (R=20 кОм, 10 кОм, 5 кОм. С= 100 нФ, 10 нФ, 1 нФ.)
На рис.7 приведена схема релаксационного генератора.
R1 10k
R3
20k
R4
20k
Un
+10B
R5 37k
11k
D1
K
C
C
D2
R2 11k
Рис. 7. Принципиальная схема релаксационного генератора.
Тумблер К1 переключает частоту генерации, резисторы R1 и R2 регулируют
скважность выходного сигнала.
Устройство работает следующим образом. При включении питания на выходе
операционного усилителя устанавливается напряжение близкое к напряжению
питания +10 В. Через резистор 11кОм и диод Д1 начинается зарядка конденсатора С2.
При достижении на нем напряжения U’пор. операционный усилитель переключается и
на выходе устанавливается Uвых.= 0. Конденсатор разряжается через резистор R2 и диод
Д2. При достижении на нем U”пор. происходит обратное переключение операционного
усилителя с установкой на выходе напряжения близкого к напряжению питания, что
приводит к новой зарядке конденсатора. Эти процессы повторяются пока подано
напряжение питания. Частота колебательного процесса определяется из соотношения:
f
1
.
2R 2 C ln (1  2R 4 (R 1  R 5 ))
Уменьшение времени разрядки конденсатора С2 резистором R2 изменяет скважность
выходного сигнала.
На рис. 8 приведена схема расположения основных блоков, управляющих
элементов и выводов для подключения измерительных приборов лабораторного
стенда.
2
1
3
11
10
4
7
8
5
6
9
Рис. 8.
1- Сетевой трансформатор блока питания.
2- Стабилизатор напряжения +10 В.
3- Плата релаксационного генератора и переключатель частоты генерации
прямоугольных импульсов.
4- Переключатель выхода (6) на работу от внутреннего или от внешнего генераторов.
5- Резистор регулировки скважности выходного сигнала.
6- Клеммы выхода внутреннего генератора и подключения внешнего.
7- Плата конденсаторов с переключателем номиналов конденсаторов RC и CR –
цепей.
8- Плата резисторов с переключателем номиналов резисторов RC и CR- цепей.
9- Клеммы для выходного сигнала с RC и CR – цепей.
10- Тумблер переключения дифференцирующей и интегрирующей цепей.
11- Тумблер и сигнальный светодиод питания.
Ш. Порядок выполнения работы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Задание1. Исследование переходных характеристик дифференцирующих и
интегрирующих цепей
Выходные клеммы “Общий”, “Вых. генер.” подключить, соблюдая полярность,
коаксиальным кабелем к входу первого канала осциллографа С1 – 118А.
Выходные клеммы “Общий”, “Выход” подключить, соблюдая полярность,
коаксиальным кабелем к входу второго канала осциллографа.
Тумблер 4 (рис.8) поставить в положение “Внутренний генератор”.
Тумблер 3 (рис.8) поставить в положение 2 кГц.
Тумблер 10 (рис.8) поставить в положение “Диф. цепь”.
Установить минимальную чувствительность по входам первого и второго каналов
осциллографа.
Включить сетевое питание лабораторного стенда и осциллографа.
Ручками управления осциллографа установить рациональные по длительности и
амплитуде осциллограммы входного и выходного сигналов.
Переключая номиналы R и С (7 и 8) (рис.8), пронаблюдать и зарисовывать входной
сигнал и девять видов осциллограмм выходного сигнала.
10.Измерить по осциллограммам постоянную времени “τ” для четырех комбинаций
номиналов R и С. При затруднении измерения больших “τ” перейти на меньшую
частоту следования импульсов – 500 Гц и меньшую длительность импульсов (ручка
“Скважность”). Сравнить измеренные значения постоянной времени с расчетными.
11.Переключить тумблер 10 (рис.8) в положение “Интегр. цепь”. Повторить
аналогичные наблюдения и измерения.
12.Проанализировать полученные результаты и сделать соответствующие выводы.
Задание 2. Исследование частотных и фазовых характеристик
RC – и CR – цепей
1. Переключить тумблер 4 (рис.8) в положение "Внешний генератор".
2. Коаксиальным кабелем соединить вход генератора ГЗ-112 со входом
6
лабораторного стенда, с первым каналом осциллографа С1-118А и первым входом
фазометра.
3. Вход 9 лабораторного стенда соединить со вторыми каналами осциллографа и
фазометра, а также вольтметром В7-35.
4. Поставить ручки переключателей 7 и 8 в положение R=10kOм, C=10нФ, а тумблер
10 в положение "Интегр. цепь".
5. Установив частоту 20 Гц и полагая, что для интегрирующей цепи коэффициент
передачи при малых частотах равен "единице", подстроить амплитуду выходного
сигнала Uвых.= 2В.
6. Изменяя частоту входного сигнала, измерять вольтметром В7-35 Uвых., а
фазометром разность фаз  между входным и выходным сигналами. Наблюдать
на экране осциллографа форму входного и выходного сигналов.
7. Повторить измерения при С = 1нФ и R = 20кОм. Данные занести в таблицу 1.
8. По результатам эксперимента построить графики К(f) – АЧХ и (f) – ФЧХ в
логарифмическом масштабе. По графикам измерить частоту среза fср. и сравнить её
с расчетной.
Таблица 1
С = 10 нФ,
№
1
2
…
n
U1, В
f, Гц
R = 10 кОм
U2, В U2/U1 Δφ
1
2
…
n
С = 1 нФ,
№
U1, В
f, Гц
R = 20 кОм
U2, В
U2/U1 Δφ
9. Повторить аналогичные измерения, построения и расчеты для дифференцирующей
цепи. Учесть, что коэффициент передачи для дифференцирующей цепи равен
"единице" при высоких частотах.
10.Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.
Задание 3. Компьютерное проектирование RC- и CR-цепей
и анализ их работы.
1. Используя программное обеспечение, предлагаемое преподавателем (Electronics
Workbench 3.0E или CircutMaker v.5.0), построить на экране компьютера
интегрирующую цепь.
2. Подключить к этой цепи генератор, осциллограф и измеритель АЧХ.
3. Задавая параметры R и С соответствующие тем, что использовались в
эксперименте, наблюдать переходные характеристики и сравнить их с
экспериментальными.
4. Используя возможности компьютерного измерителя АЧХ и ФЧХ, наблюдать
амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики при R =10 кОм, С=10
нФ и R=20 кОм, С=1 нФ. Измерить частоты среза и сравнить с экспериментом и
расчетами.
5. Провести аналогичный компьютерный анализ для дифференцирующей цепи.
6. Графический материал распечатать на принтере и приложить к отчету.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники: Учебное пособие для студентов вузов. М.:
Высш.шк., 1988. 464с.; ил.
2. Молчанов А.П., Занадворов П.Н. Курс электротехники и радиотехники. М.: Наука,
1976.
3. Основы радиоэлектроники: Учебное пособие / Ю.Н. Волощенко, Ю.Ю. Мартюшев
и др. М.: Изд-во МАИ, 1993. 416с.; ил.
4. Радиотехника: Учебное пособие для вузов / Е.М. Гершензон, Г.Д. Полянина, Н.В.
Соина. М.: Просвещение, 1986. 319с.; ил.
5. Сингхал К., Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных
схем. М.: Радио и связь, 1988.