Исследование операций для ЭЖД

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ
СООБЩЕНИЯ
Забайкальский институт железнодорожного транспорта
Кафедра «Высшая математика
и прикладная информатика»
С.В.Панова
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Методические указания
по выполнению контрольных работ
Чита 2012
МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ
СООБЩЕНИЯ
Забайкальский институт железнодорожного транспорта
Кафедра «Высшая математика
и прикладная информатика»
С.В.Панова
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Методические указания
по выполнению контрольных работ
для студентов 3 курса заочной формы обучения
специальности 190401.65 «Эксплуатация железных дорог»
Чита 2012
УДК 51
ББК В 11
П 16
Рецензент:
доцент кафедры «Высшая математика и прикладная информатика» Забайкальского института железнодорожного транспорта
к.ф-м.н, доцент Н.В.Пешков
С.В.Панова
П 16
Исследование операций: методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 3 курса заочной формы обучения
специальности 190401.65 «Эксплуатация железных дорог». – Чита: ЗабИЖТ, 2012. – 24 с.
В работе приведены сведения по исследованию операций и задания
контрольной работы по основным разделам курса.
© Забайкальский институт железнодорожного
транспорта (ЗабИЖТ), 2012
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Исследование операций» входит в вариативную
часть математического и естественнонаучного цикла специальности
190401.65 «Эксплуатация железных дорог». Необходимым условием для
освоения дисциплины является знание основ элементарной и высшей
математики.
Целью изучения дисциплины «Исследование операций» является
формирование представлений о методах, моделях и приёмах теории исследования операций с их последующим применением в решении практических задач. Исследование операций - математическая основа усвоения специальных дисциплин на старших курсах.
В соответствии с действующим учебным планом студенты заочной
формы обучения специальности 190401.65 «Эксплуатация железных
дорог» изучают исследование операций в 5 семестре и выполняют контрольную работу, к которой предъявляются следующие требования:
 работа выполняется в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента,
его инициалы, полный шифр, наименование дисциплины контрольной
работы;
 контрольные задачи следует располагать в порядке номеров,
указанных в заданиях, перед решением каждой задачи необходимо полностью записать ее условия в соответствии с вариантом;
 на каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя;
 студент выполняет тот вариант контрольной работы, который
совпадает с номером его фамилии в ведомости.
Методические указания содержат обзор рассматриваемой дисциплины и задачи для самостоятельного решения по основным разделам
курса: линейное программирование, нелинейное программирование,
теория игр. Каждая задача составлена в 25 вариантах.
3
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Исследование операций – область науки, занимающаяся решением
задач эффективного (оптимального) управления. Методы, разработанные в этой области, применяются к широкому кругу задач, в частности,
на железнодорожном транспорте к исследованию операций относятся
следующие задачи:
 анализ перевозки грузов и пассажиров;
 расчет пропускной способности сортировочной станции;
 выбор оптимальных сроков ремонта и замены оборудования;
 оптимальное проведение погрузо-разгрузочных работ.
Для решения подобных задач применяют математические методы.
Поэтому данную дисциплину можно рассматривать как раздел математики, в котором изучаются способы построения, разработки и приложения математических моделей принятия оптимальных решений. Содержанием дисциплины «Исследование операций» является анализ и решение математических задач о выборе такого элемента в заданном
множестве допустимых решений, который удовлетворяет поставленным
критериям оптимальности. Такой элемент называют оптимальным решением задачи.
Если критерий оптимальности состоит в том, чтобы минимизировать
(или максимизировать) значения некоторой числовой функции, называемой целевой, на множестве допустимых решений, то рассматриваемую
задачу называют задачей математического программирования.
В общем виде задача математического программирования записывается следующим образом:
f (X)  max (min), X  W ,
(1)
где f (X) – целевая функция, X  (x1, x 2 , ..., xn ), W – область допустимых
значений переменных x1, x2, ..., xn .
Методы решения задач (1) зависят как от вида целевой функции f (X) ,
так и от строения допустимого множества W .
Линейное программирование (ЛП) – область математического программирования, посвященная теории и методам решения задач (1), характеризующихся линейной зависимостью между переменными (все
ограничения и целевая функция – линейные).
Математическая модель задачи ЛП имеет вид:
n
f (X)   c j x j  max (min),
j 1
n
a x
j 1
4
ij
j
 bi , i  1,2,..., k;
(2)
(3)
n
a x
j 1
ij
 bi , i  k  1,..., m;
j
x j  0 , j  1,2,..., n.
где
(4)
(5)
и a ij , bi , c j - заданные числа.
Система линейных уравнений (4) и неравенств (3), (5), определяющая допустимое множество решений W , называется системой ограничений задачи ЛП, а целевую функцию f (X) называют критерием оптимальности. Допустимое решение (план) – это совокупность чисел
X  (x1, x 2 , ..., xn ), удовлетворяющих ограничениям (3)-(5). Оптимальное
решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Если математическая модель задачи ЛП имеет вид:
km
n
f (X)   c j x j  min,
j1
n
a x
j 1
ij
j
 bi , i  1,2,..., m;
(6)
(7)
x j  0 , j  1,2,..., n,
(8)
то говорят, что задача представлена в канонической (основной) форме.
Любую задачу ЛП можно свести к задаче ЛП в канонической форме.
Для этого задачу максимизации целевой функции сводят к задаче ее
минимизации, от ограничений в виде неравенств (3) переходят к ограничениям в виде равенств (7) путем введения дополнительных неотрицательных переменных и заменяют те переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности (6). Максимизация некоторой функции
эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным
знаком, и наоборот.
В теории ЛП доказаны следующие утверждения:
I. Множество всех допустимых решений задачи ЛП является выпуклым множеством, называемым многогранником решений (планов).
II. Линейная функция (2) достигает своего минимального (максимального) значения в угловой точке (вершине) многогранника решений.
При решении задач ЛП применяют графический метод, симплекс метод, двойственный симплекс метод. Графический метод используют, если число переменных в задаче не более трех, а ограничения имеют вид
неравенств (3). В случае двух переменных ( n  2 ) геометрическая интерпретация задачи ЛП следующая: неравенства (5) означают, что допустимые планы принадлежат первой четверти координатной плоско5
сти; каждое из неравенств системы (3) определяет полуплоскость, ограниченную прямой ai1x1  ai2 x2  bi ; пересечение этих плоскостей, являющееся выпуклым многоугольником, - допустимое множество решений W .
Целевая функция (2) принимает значение L  c1x1  c 2 x2 . Прямая, уравнение которой c1x1  c 2 x2  0 , перпендикулярна вектору c  (c1, c 2 ) . Придавая
параметру L различные значения, получают семейство параллельных
прямых. Переход от одной прямой этого семейства к другой в направ
лении, осуществляемом вектором c , приводит к возрастанию линейной
формы L . Поэтому, для решения задачи ЛП достаточно графически
найти ту прямую из указанного семейства, которая имеет общие точки с
многоугольником решений W , а линейная форма L принимает искомое
экстремальное значение.
Симплекс метод применяют к задачам ЛП в канонической форме.
Рассмотрим общую идею симплекс метода. Для начала необходимо,
чтобы в системе ограничений (7) были выделены базисные переменные.
Решение задачи при помощи симплекс метода распадается на ряд шагов. На каждом шаге от данного базиса переходят к другому, новому базису с таким расчетом, чтобы значение функции f(X) уменьшалось. Для
перехода к новому базису из старого базиса удаляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из числа свободных. После конечного числа шагов находится некоторый базис, при котором достигается
минимум для линейной функции f(X) , а соответствующее базисное решение является оптимальным, либо выясняется, что задача не имеет
решения. Для реализации симплекс метода составляют последовательность симплексных таблиц.
Для каждой задачи ЛП можно построить двойственную задачу. Задача, двойственная к основной задаче
n
f (X)   c j x j  max ,
j 1
n
a x
j 1
ij
j
 bi , i  1,2,..., m;
x j  0 , j  1,2,..., n
имеет вид:
m
g(Y)   bi y i  min,
i 1
m
a y
ij
i
 c j , j  1,2,..., n;
i1
y i  0 , i  1,2,..., m.
6
(9)
(10)
(11)
Основное свойство двойственных задач определяется теоремой
двойственности: если решения прямой и двойственной задач существуют, то значения их оптимальных планов совпадают, т.е.
min g (Y )  max f ( X ). В двойственном симплекс методе решения задачи
ЛП начинается с допустимого базисного плана двойственной задачи.
Одной из наиболее распространенных специальных задач линейного
программирования является транспортная задача. Частные постановки
этой задачи рассмотрены рядом специалистов по транспорту, например
О.Н.Толстым. Под термином "транспортные задачи" понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Различают два типа
транспортных задач: по критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию
времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).
Рассмотрим транспортную задачу в формулировке прикрепления
пунктов отправления к пунктам назначения. Имеются m пунктов А1, А2,
…, Аm и объемы имеющихся грузов по каждому пункту a1, a2 ,..., am соответственно. Известна потребность в грузах b1, b2 ,..., bn по каждому из n
пунктов назначения В1, В2, …, Вn (соответственно). Задана матрица стоимостей доставки: элемент этой матрицы cij - стоимость доставки единицы груза из пункта отправления Аi в пункт назначения Вj. В задачах исходные данные представляют в виде таблицы. Необходимо рассчитать
оптимальный план перевозок, т.е. определить, сколько груза должно
быть отправлено из каждого пункта отправления (от поставщика) Аi в
каждый пункт назначения (до потребителя) Вj с минимальными транспортными издержками.
Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем
отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих
грузах по пунктам назначения. Если такого равенства нет (потребности
выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.
Обозначим x ij - количество единиц груза, доставляемого из пункта
отправления Аi в пункт назначения Вj, где i  1,2,..., m , j  1,2,..., n . Тогда математическая модель закрытой транспортной задачи имеет вид:
n
x
j1
ij
 a i , i  1,2,..., m;
(12)
 b j , j  1,2,..., n;
(13)
m
x
i1
ij
m
n
i1
j1
 bi   a j
x ij  0 , i  1,2,..., m, j  1,2,..., n;
(14)
(15)
7
m
f (X)  
i1
n
c x
j1
ij
ij
 min.
(16)
Система уравнений (12) означает, что все грузы из всех пунктов А1,
А2, …, Аm должны быть отправлены. Система уравнений (13) означает,
что все пункты назначения (потребители) В1, В2, …, Вn должны быть
обеспечены грузами в плановом объеме. Суммарные объемы отправления должны равняться суммарным объемам назначения (14). Система
уравнений (15) - условие неотрицательности переменных. Перевозки
необходимо осуществить с минимальными суммарными транспортными
издержками (16).
Вместо матрицы стоимостей перевозок (cij) может быть задана матрица расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы.
Из равенства (14) следует, что уравнение баланса является обязательным условием решения транспортной задачи. Поэтому для решения
открытой задачи ее необходимо привести к закрытой форме следующим
образом:
 если потребности по пунктам назначения превышают запасы
пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;

если запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом
потребления.
Стоимости перевозок из фиктивного пункта в реальные (из реального
пункта в фиктивный – для второго случая) равны нулю. После введения
фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Опорный план - допустимое решение транспортной задачи, которое
используется в качестве начального базисного решения при нахождении
оптимального решения методом потенциалов. Применяют различные
методы нахождения опорных планов: метод северо-западного угла, метод минимального элемента и метод двойного предпочтения.
В некоторых случаях в формулировку общей задачи математического
программирования (1) включают некоторые дополнительные требования. В частности, требование целочисленности переменных
x1, x2, ..., xn приводит к целочисленному программированию. Один из
алгоритмов решения задач целочисленного программирования – метод
Гомори. Этот метод основан на идее «метода отсечений», предложенный Дж.Данцигом.
Если в задаче математического программирования (1) целевая
функция или хотя бы одно из ограничений не являются линейными, то
задача относится к нелинейному программированию. Эти задачи с
двумя переменными, как и в случае ЛП, тоже можно решать графиче8
ски: пусть f ( x1, x2 )  С . Тогда каждому фиксированному значению параметра С соответствует определенная линия уровня функции f ( x1, x2 ).
Поэтому среди линий уровня, пересекающих допустимое множество решений, необходимо найти ту линию, для которой параметр С принимает
наибольшее (наименьшее) значение.
К некоторым задачам математического программирования (1) применим классический метод решения задач поиска условного экстремума
функции нескольких переменных – метод множителей Лагранжа. Экономическая интерпретация вектора множителей Лагранжа зависит от вида
задачи оптимизации и от ее трактовки. В частности, в задаче потребительского выбора с двумя видами товара множитель Лагранжа представляет собой предельную полезность (с противоположным знаком),
получаемую потребителем от дополнительной единицы дохода.
Общепринятое понятие оптимальности расширяет теория игр, предметом изучения которой являются конфликтные ситуации. Конфликтная
ситуация порождается различием интересов участников (игроков) и
стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые
реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями
других игроков, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти
игроки будут принимать. Математическую модель конфликтной ситуации называют игрой.
Теория игр – раздел исследования операций, в котором рассматриваются вопросы поведения и вырабатываются оптимальные правила
(стратегии) для каждого игрока в игре.
Реальные конфликтные ситуации приводят к различным видам игр,
от вида игры зависит метод ее решения. Пусть участников конфликта
два – I и II; каждый из них располагает конечным числом действий (стратегий) – у игрока I имеется m различных стратегий, а у игрока II – n
стратегий. Перенумеруем стратегии игрока I индексами i  1,2,..., m, стратегии игрока II – индексами j  1,2,..., n. Если цели игроков противоположны
(выигрыш одного равен проигрышу другого), то рассматриваемая игра
называется антагонистической матричной игрой. Такая игра задается в
виде матрицы выигрышей:
 a11 a12

a22
a
A   21
.
.

a
 m1 am 2
a1n 

... a2n 
.
...
. 

... amn 
...
(17)
Строки матрицы (17) соответствуют стратегиям игрока I, а ее столбцы
- стратегиям игрока II. Если игрок I выбрал стратегию i, а игрок II - стратегию j, то выигрыш игрока I в этой ситуации равен элементу матрицы
9
a ij , выигрыш II равен - a ij ( игрок II проигрывает значение a ij ). Каждый игрок стремиться максимизировать свой выигрыш, минимизировав выигрыш противника.
Обозначим v  max min aij - нижнее значение игры, v  min
max a ij j
i
j
i
верхнее значение игры. В любой матричной игре справедливо соотношение v  v . Значениям v и v соответствуют некоторые элементы матрицы выигрышей. Если в матричной игре выполняется равенство v  v  ai j ,
* *
то элемент ai j матрицы А называют седловым элементом, а пару чи* *
стых стратегий (i* , j* ) - седловой точкой. В этом случае величина v  v  v
называется ценой игры, сама игра – игрой с седловой точкой, стратегии
i * и j * – чистые оптимальные стратегии игроков I и II соответственно.
Для игр, матрицы которых не содержат седлового элемента, возникает необходимость рассмотрения смешанных стратегий игроков. Смешанная стратегия игрока I состоит в применении чистых стратегий
1,2,..., m соответственно c вероятностями x1, x 2 , ..., x m , где xi  0 , i  1,2,..., m,
и
m
x
i
 1,
а cмешанная стратегия игрока II - в применении чистых страте-
i1
гий 1,2,..., n с вероятностями y1, y 2 , ..., y n , где y j  0 , j  1,2,..., n, и
n
y
j1
j
 1. .
В теории игр доказана основная теорема матричных игр: в любой
матричной игре существует решение в классе смешанных стратегий. Игры, в которых хотя бы у одного игрока 2 чистые стратегии ( m  2 или
n  2 ) решаются графическим способом. В общем случае матричная
игра сводится к задаче ЛП, решаемой симплекс методом.
2. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1. Постановка задачи линейного программирования. Основные теоремы линейного программирования.
2. Графический метод решения задач линейного программирования.
3. Симплекс метод. Симплекс таблицы.
4. Двойственные задачи линейного программирования. Теоремы
двойственности.
5. Анализ устойчивости оптимальных решений. Двойственный симплекс метод.
6. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. Закрытая транспортная задача. Оптимальный план транспортной задачи.
7. Методы построения опорного решения транспортной задачи: метод «северо-западного угла», метод минимального элемента матрицы транспортных издержек.
10
8. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
9. Открытая транспортная задача. Транспортная задача с вырождением. Случай неоднозначности оптимального решения транспортной задачи.
10.
Задача о назначениях. Алгоритм решения (Венгерский метод). Случай несоответствия числа предлагаемых рабочих мест и
числа претендентов. Случаи определения наибольшего и
наименьшего значения суммы баллов.
11.
Постановка задач целочисленного программирования, их
экономическая интерпретация.
12.
Методы решения задач целочисленного программирования:
графический метод, метод ветвей и границ, метод Гомори.
13.
Задача нелинейного программирования. Особенности графического метода в нелинейных задачах.
14.
Метод множителей Лагранжа.
15.
Задача оптимального потребительского выбора.
16.
Постановка задач дробно-линейного программирования, их
экономическая интерпретация. Графический метод решения дробно-линейных задач.
17.
Элементы теории игр: понятие игры, игроков, выигрыша, антагонистической матричной игры. Состояние равновесия в матричной игре; чистые и смешанные стратегии; активные и пассивные
стратегии. Экономическая интерпретация.
18.
Решение антагонистической игры с применением принципа
доминирования, симплекс-метода.
3. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
1.1.–1.25. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x 1, x 2 ) .
2х1  3;


1.1. 8х 1  2х 2  90;
8х  6х  60;
2
 1
f(x1, x2 )  9x1  5x2.
 2х1  4х 2  5;

1.2.  5х1  х 2  35;
 3х  5х  15;
2
 1
f(x 1, x 2 )  6x1  4x 2 .
11
  2х1  х 2  4;

4х1  х 2  16;
1.3. 
 х  х  8;
1
2

f(x1, x2 )  3x1  2х2 .
 1  х1  х 2  5;
1.4. 
0  2х 2  х1  4;
 х1  2х 2  2;

1.5.  2  х 2  х1  1;

х 2  3;

f(x1, x2 )  3x1  4х2 .
 х1  х 2  16;

1.6. - 4  х1  х 2  8;

х 2  0;

 х1  11х 2  11;

1.7.  3х1  х 2  21;
 5х  13х  11;
1
2

f(x 1, x 2 )  8x1  2x 2 .
 8 х1  14х 2  14;

1.8. 13х1  5х 2  100;
 5х  9х  35;
1
2

f(x 1, x 2 )  11x1  7x 2 .
 х1  3х 2  2;

1.9.  4х1  2х 2  35;
 5х  13х  18;
1
2

f(x 1, x 2 )  7x1  x 2 .
 3х1  5х 2  2;

1.10.  17х1  х 2  153;
 8х  14х  28;
1
2

 2х1  4х 2  1;

1.11.  5х1  х 2  35;
 3х  5х  11;
1
2

f(x 1, x 2 )  7x1  5x 2 .
 х1  11х 2  11;

1.12.  3х1  х 2  28;
 5х  13х  26;
1
2

f(x 1, x 2 )  10x1  8х 2 .
 х1  3х 2  1;

1.12.  4х1  2х 2  34;
 5х  13х  17;
1
2

f(x1, x2 )  5x1  2х2 .
 5 х1  3х 2  52;

х 2  34;
1.14. 
 10х  4х  70;
1
2

f(x1, x2 )  5x1  6х2 .
 11х1  17х 2  72;

1.15.   х1  11х 2  20;
 5х  3х  15;
1
2

 9х1  11х 2  46;

5х1  х 2  35;
1.16. 
  х  13х  4;
1
2

f(x 1, x 2 )  5x1  х 2 .
f(x 1, x 2 )  9x1  7х 2 .
12
f(x1, x2 )  2x1  3х2 .
f(x1, x2 )  2x1  5х2.
f(x 1, x 2 )  2x1 .
 х1  9х 2  16;

1.17.  2х1  4х 2  1;
 7х  3х  27;
1
2

f(x1, x2 )  x1  2х2 .
 х1  х 2  1;

1.18.  х 2  2  2х1;
  х  х  4;
1
2

f(x 1, x 2 )  3x1  6х 2 .
  х1  х 2  3;

1.19.  5х1  3х 2  90;
 х  7х  77;
2
 1
f(x 1, x 2 )  7x1  2х 2 .
 3х1  х 2  9;

1.20.  2х1  3х 2  50;
  х  4х  20;
1
2

 х1  4х 2  56;

х1  х 2  3;
1.21. 
 7х  3х  63;
1
2

f(x 1, x 2 )  x1  7х 2 .
 6х1  5х 2  15;

1.22.  х1  2х 2  34;
  4х  9х  18;
1
2

f(x 1, x 2 )  x1  9х 2 .
 х1  4х 2  52;

х1  х 2  3;
1.23. 
 7х  3х  42;
1
2

f(x 1, x 2 )  x1  7х 2 .
 11х1  3х 2  33;

1.24.  9х1  4х 2  108;
 2х  7х  14;
1
2

f(x 1, x 2 )  7x1  х 2 .
f(x 1, x 2 )  6x1  х 2 .
  х1  х 2  2;

1.25.  х1  2х 2  4;
  2х  х  12;
1
2

f(x 1, x 2 )  3x1  3х 2 .
2.1.–2.25. Предприятию необходимо перевезти со склада по железной дороге продукцию трех видов: продукции первого вида не более c1
изделий, продукции второго вида не более c2 изделий и продукции третьего вида не более c3 изделий. Для этой перевозки подразделение железной дороги может выделить специально оборудованные вагоны двух
типов А и В. Для полной загрузки вагона в него следует помещать продукцию всех трех видов. При этом в вагон типа А входят a1 изделий
первого вида, a2 изделий второго вида и a3 изделий третьего вида. В вагон типа В входят b1 изделий первого вида, b2 изделий второго вида и
13
b3 изделий третьего вида. Экономия от перевозки в вагоне типа А составляет  руб., в вагоне типа В -  руб.
Сколько вагонов каждого типа следует выделить для этой перевозки,
чтобы суммарная экономия от перевозки была наибольшей?
Найти решение двумя способами: геометрически и симплекс методом.
14
2.1.
a1 = 7,
a2 = 4,
a3 = 9,
b1 = 8,
b2 = 9,
b3 = 5,
c1 = 346,
c2 = 280,
c3 = 392,
 = 6,
 = 4.
2.2.
a1 = 14,
a2 = 12,
a3 = 8,
b1 = 8,
b2 = 4,
b3 = 2,
c1 = 624,
c2 = 360,
c3 = 220,
 = 15,
 = 4.
2.3.
a1 = 12,
a2 = 10,
a3 = 3,
b1 = 3,
b2 = 5,
b3 = 6,
c1 = 684,
c2 = 690,
c3 = 558,
 = 6,
 = 2.
2.4.
a1 = 9,
a2 = 6,
a3 = 3,
b1 = 4,
b2 = 7,
b3 = 8,
c1 = 801,
c2 = 807,
c3 = 768,
 = 3,
 = 2.
2.5.
a1 = 11,
a2 = 8,
a3 = 5,
b1 = 3,
b2 = 4,
b3 = 3,
c1 = 671,
c2 = 588,
c3 = 423,
 = 5,
 = 2.
2.6.
a1 = 19,
a2 = 16,
a3 = 15,
b1 = 26,
b2 = 17,
b3 = 7,
c1 = 853,
c2 = 640,
c3 = 525,
 = 5,
 = 6.
2.7.
a1 = 6,
a2 = 4,
a3 = 3,
b1 = 2,
b2 = 3,
b3 = 4,
c1 = 600,
c2 = 520,
c3 = 600,
 = 6,
 = 3.
2.8.
a1 = 5,
a2 = 4,
a3 = 3,
b1 = 3,
b2 = 3,
b3 = 4,
c1 = 750,
c2 = 630,
c3 = 700,
 = 5,
 = 6.
2.9.
a1 = 8,
a2 = 6,
a3 = 3,
b1 = 2,
b2 = 3,
b3 = 2,
c1 = 840,
c2 = 870,
c3 = 560,
 = 6,
 = 2.
2.10.
a1 = 3,
a2 = 3,
a3 = 2,
b1 = 2,
b2 = 3,
b3 = 5,
c1 = 273,
c2 = 300,
c3 = 380,
 = 4,
 = 5.
2.11.
a1 = 2,
a2 = 3,
a3 = 3,
b1 = 1,
b2 = 6,
b3 = 7,
c1 = 438,
c2 = 747,
c3 = 812,
 = 7,
 = 5.
2.12.
a1 = 4,
a2 = 3,
a3 = 2,
b1 = 3,
b2 = 4,
b3 = 6,
c1 = 480,
c2 = 444,
c3 = 546,
 = 2,
 = 4.
2.13.
a1 = 8,
a2 = 7,
a3 = 16,
b1 = 12,
b2 = 9,
b3 = 13,
c1 = 612,
c2 = 493,
c3 = 1036,
 = 11,
 = 9.
2.14.
a1 = 2,
a2 = 3,
a3 = 2,
b1 = 3,
b2 = 6,
b3 = 8,
c1 = 428,
c2 = 672,
c3 = 672,
 = 3,
 = 8.
2.15.
a1 = 16,
a2 = 8,
a3 = 5,
b1 = 4,
b2 = 7,
b3 = 9,
c1 = 784,
c2 = 552,
c3 = 567,
 = 4,
 = 6.
2.16.
a1 = 15,
a2 = 11,
a3 = 9,
b1 = 4,
b2 = 5,
b3 = 10,
c1 = 1095,
c2 = 865,
c3 = 1080,
 = 3,
 = 2.
2.17.
a1 = 6,
a2 = 5,
a3 = 3,
b1 = 3,
b2 = 10,
b3 = 12,
c1 = 714,
c2 = 910,
c3 = 948,
 = 3,
 = 9.
2.18.
a1 = 3,
a2 = 4,
a3 = 3,
b1 = 5,
b2 = 8,
b3 = 11,
c1 = 453,
c2 = 616,
c3 = 627,
 = 2,
 = 5.
2.19.
a1 = 7,
a2 = 6,
a3 = 1,
b1 = 3,
b2 = 3,
b3 = 2,
c1 = 1365,
c2 = 1245,
c3 = 650,
 = 6,
 = 5.
2.20.
a1 = 8,
a2 = 7,
a3 = 4,
b1 = 3,
b2 = 6,
b3 = 9,
c1 = 864,
c2 = 864,
c3 = 945,
 = 2,
 = 3.
15
2.21.
a1 = 9,
a2 = 7,
a3 = 4,
b1 = 5,
b2 = 8,
b3 = 16,
c1 = 1431,
c2 = 1224,
c3 = 1328,
 = 3,
 = 2.
2.22.
a1 = 10,
a2 = 5,
a3 = 4,
b1 = 9,
b2 = 11,
b3 = 15,
c1 = 1870,
c2 = 1455,
c3 = 1815,
 = 7,
 = 9.
2.23.
a1 = 8,
a2 = 14,
a3 = 11,
b1 = 7,
b2 = 8,
b3 = 17,
c1 = 417,
c2 = 580,
c3 = 935,
 = 5,
 = 5.
2.24.
a1 = 5,
a2 = 6,
a3 = 7,
b1 = 7,
b2 = 6,
b3 = 15,
c1 = 254,
c2 = 283,
c3 = 522,
 = 6,
 = 9.
2.25.
a1 = 7,
a2 = 6,
a3 = 5,
b1 = 8,
b2 = 3,
b3 = 13,
c1 = 466,
c2 = 357,
c3 = 650,
 = 11,
 = 10.
3.1.–3.25. Имеются три пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и
пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1, А2
и А3 находится груз в количестве соответственно а1, а2 и а3 т. В пункты
В1, В2, В3, В4 и В5 требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4 и b5 т
груза. Расстояния между пунктами поставки и пунктами потребления
приведены в следующей таблице.
Пункты
поставки
А1
А2
А3
В1
d11
d21
d31
В2
d12
d22
d32
Пункты потребления
В3
d13
d23
d33
В4
d14
d24
d34
В5
d15
d25
d35
Составить такой план закрепления потребителей за поставщиками,
чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.
3.1. а1 = 250,
а2 = 250,
а3 = 200,
b1 = 120,
13
 20

 2
16
b2 = 110,
b3 = 85,
b4 = 195,
b5 = 190,
7 16 4 11
9 6 10 9 
4 7
3 6 
3.2. а1 = 250,
а2 = 180,
а3 = 270,
b1 = 160,
b2 = 120,
b3 = 100,
b4 = 150,
b5 = 170,
 14 11 9 13 18 
6
5 14 4 14 


 7 19 11 6 13 
3.3. а1 = 350,
а2 = 300,
а3 = 350,
b1 = 160,
b2 = 160,
b3 = 180,
b4 = 220,
b5 = 280,
 6 11 10 14 18 
 17 6 4 11 9 


 12 8 19 10 13 
3.5. а1 = 300,
а2 = 330,
а3 = 370,
b1 = 190,
b2 = 150,
b3 = 240,
b4 = 200,
b5 = 220,
12 5 16 8 11 
 21 10 8 15 23 


 19 10 4 9 17 
3.7. а1 = 200,
а2 = 175,
а3 = 225,
b1 = 100,
b2 = 130,
b3 = 80,
b4 = 190,
b5 = 100,
5 7 4 2 5 
 7 1 3 1 10 


2 3 6 8 7
3.13. а1 = 250,
а2 = 200,
а3 = 200,
b1 = 120,
 27
 22

 35
36
23
42
3.11. а1 = 350,
а2 = 200,
а3 = 300,
b1 = 170,
b2 = 130,
b3 = 100,
b4 = 160,
b5 = 140,
35 31 29 
26 32 35 
38 32 39 
b2 = 140,
b3 = 200,
b4 = 195,
b5 = 145,
 4 8 13 2 7 
 9 4 11 9 17 


 3 16 10 1 4 
3.4. а1 = 250,
а2 = 350,
а3 = 300,
b1 = 150,
b2 = 170,
b3 = 190,
b4 = 210,
b5 = 180,
 9 6 17 11 8 
 13 4 9 5 7 


 6 7 14 10 6 
3.6. а1 = 280,
а2 = 340,
а3 = 280,
b1 = 170,
b2 = 160,
b3 = 190,
b4 = 200,
b5 = 180,
 4 7 8 14 9 
 15 11 6 17 11 


13 18 10 12 22 
3.8. а1 = 300,
а2 = 280,
а3 = 220,
b1 = 180,
b2 = 140,
b3 = 190,
b4 = 120,
b5 = 170,
 12 21 9 10 16 
13 15 11 13 21


19 26 12 17 20 
3.10. а1 = 350,
а2 = 330,
а3 = 270,
b1 = 210,
b2 = 170,
b3 = 220,
b4 = 150,
b5 = 200,
 3 12 9 1 7 
 2 4 11 2 10 


 7 14 12 5 8 
3.12. а1 = 200,
а2 = 250,
а3 = 150,
b1 = 120,
b2 = 180,
b3 = 105,
b4 = 90,
b5 = 105,
 22 14 16 28 30 
 19 17 26 36 36 


 37 30 31 39 41
17
3.13. а1 = 200,
а2 = 250,
а3 = 200,
b1 = 190,
b2 = 100,
b3 = 120,
b4 = 110,
b5 = 130,
 28 27 18 27 24 
 18 26 27 32 21


 27 33 23 31 34 
3.15. а1 = 200,
а2 = 300,
а3 = 250,
b1 = 210,
 20 10
 27 19

 26 17
3. 17. а1 = 150,
а2 = 150,
а3 = 200,
b1 = 100,
b2 = 150,
b3 = 120,
b4 = 135,
b5 = 135,
13 13 18 
20 16 22 
19 21 23 
b2 = 70,
b3 = 130,
b4 = 110,
b5 = 90,
 20 3 9 15 35 
14 10 12 20 46 


 25 11 16 19 48 
3.19. а1 = 150,
а2 = 200,
а3 = 100,
b1 = 90,
b2 = 150,
b3 = 75,
b4 = 60,
b5 = 75,
15 23 28 19 17 
 17 13 14 12 20 


 13 21 24 13 12 
3.21. а1 = 300,
а2 = 300,
а3 = 250,
b1 = 150,
b2 = 140,
b3 = 115,
b4 = 225,
b5 = 220,
 20 23 20 15 24 
 23 15 16 19 29 


 6 11 10 9 8 
18
3.14. а1 = 230,
а2 = 250,
а3 = 170,
b1 = 140,
b2 = 90,
b3 = 160,
b4 = 110,
b5 = 150,
 40 19 25 25 35 
 49 26 27 18 38 


 46 27 36 40 45 
3.16. а1 = 200,
а2 = 350,
а3 = 300,
b1 = 270,
b2 = 130,
b3 = 190,
b4 = 150,
b5 = 110,
 24 50 55 27 16 
 50 47 23 17 21


 35 59 55 27 41
3.18. а1 = 330,
а2 = 270,
а3 = 350,
b1 = 220,
b2 = 170,
b3 = 210,
b4 = 150,
b5 = 200,
10 12 24 50 42 
 13 22 49 66 32 


 26 27 35 67 63 
3.20. а1 = 300,
а2 = 350,
а3 = 200,
b1 = 145,
b2 = 195,
b3 = 200,
b4 = 140,
b5 = 170,
18 31 35 25 13 
 16 25 21 9 9 


 45 30 25 33 41
3.22. а1 = 300,
а2 = 230,
а3 = 320,
b1 = 190,
b2 = 150,
b3 = 130,
b4 = 180,
b5 = 200,
 25 20 22 31 32 
 11 19 18 18 20 


 26 30 17 19 20 
3.23. а1 = 300,
а2 = 250,
а3 = 300,
b1 = 130,
b2 = 130,
b3 = 150,
b4 = 190,
b5 = 250,
3.24. а1 = 200,
а2 = 300,
а3 = 250,
b1 = 120,
17 21 24 32 24 
 23 10 15 20 26 


 20 27 29 23 25 
3.25. а1 = 270,
а2 = 450,
а3 = 330,
b1 = 190,
b2 = 140,
b3 = 160,
b4 = 180,
b5 = 150,
 16 25 26 26 23 
 25 30 30 32 33 


 34 25 23 26 32 
b2 = 210,
b3 = 200,
b4 = 230,
b5 = 220,
 37 30 15 19 37 
 16 19 13 19 21


 10 20 19 29 26 
4.1.–4.25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(x1, x2 ) в заданной области графическим методом. Применить метод
множителей Лагранжа для поиска наименьшего значения этой функции.
4.1.
 2x1  x 2  12;

 x1  3x 2  9;
6x  2x  24;
2
 1
4.2.
 x1  2x 2  6;

 2x1  x 2  8;
x  4 x  4;
2
 1
 (x1, x 2 )  (x1  3)2  (x 2  5)2 .
4.4.
x1  x 2  2;

 0  x1  2;
 x  x  4;
2
 1
 (x1, x 2 )  x1  (x 2  4)2 .
2
4.3.
 2x 1  x 2  4;

 x 1  x 2  4;
x  x  3;
1
 2
 (x 1, x 2 )  (x 1  3) 2  x 22 .
4.5.
 2x 1  x 2  2;

 x 1  x 2  7;
x  2 x  6;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  3)2  (x 2  4)2 .
4.6.
 (x 1, x 2 )  (x 1  6) 2  (x 2  4) 2 .
4.7.
 x1  x 2  2;

 x1  x 2  4;
x  3 x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  2)2  (x 2  4)2 .
 x1  2x 2  4;

 2x1  x 2  2;
x  2 x  4 ;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  3)2  (x 2  4)2 .
4.8.
 x1  x 2  2;

 2x 2  x1  2;
x  2 x  2;
1
 2
 (x 1, x 2 )  (x 1  1)2  (x 2  3)2 .
19
4.9.
 x1  x 2  2;
 3x  x  10;
 1
2
 x  3x  0;
2
 1
x1  0, x 2  0;
4.10.
 (x1, x 2 )  (x1  4)2  (x 2  4)2 .
4.11.
 3x1  x 2  12;
x  2x  10;
 1
2
 3x  2x  6;
2
 1
 x1  0, x 2  0;
 (x1, x 2 )  (x1  2)2  (x 2  2)2 .
4.12.
 (x1, x 2 )  (x1  7)2  (x 2  3)2 .
4.13.
2x1  x 2  3;
 2x  2;

2
2x  x  12;
2
 1

x1  0;
4.14.
5x1  2x 2  10;
  x  x  4;
 1
2
 x  4x  24;
2
 1
 x1  0, x 2  0;
4.16.
 x1  2x 2  8;
 3x  x  15;
 1
2
 x  x  1;
2
 1
x1  0, x 2  0;
20
2
 x1  2x 2  12;

 x1  x 2  9;
x  0, x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  3)2  (x 2  8)2 .
 x1  x 2  2;

 2x1  3x 2  12;
x  0, x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  4)2  (x 2  5)2 .
 (x1, x 2 )  (x1  6)  (x 2  2) .
4.19.
 3x1  x 2  1;
 2x  x  6;
 1
2
 3x  x  19;
2
 1
x1  0, x 2  0;
 (x1, x 2 )  (x1  5)2  (x 2  1)2 .
4.18.
2
 x1  3x 2  3;

x 1  6;

 x  2x  4;
2
 1
x1  0, x 2  0;
 (x1, x 2 )  (x1  2)2  (x 2  5)2 .
 (x1, x 2 )  (x1  7)2  (x 2  1)2 .
4.17.
 3x1  x 2  26;
 x  2x  4;
 1
2
 3x  x  2;
2
 1
x1  0, x 2  0;
 (x1, x 2 )  (x1  3)2  (x 2  2)2 .
 (x1, x 2 )  (x1  1)2  (x 2  6)2 .
4.15.
 2x1  x 2  1;
 x  5x  4;
 1
2
4x  7x  43;
2
 1
 x1  0, x 2  0;
4.20.
 2x 1  5x 2  30;

 2x 1  x 2  14;
x  0, x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  4) 2  (x 2  8) 2
4.21.
 2x1  5x 2  30;

 2x1  x 2  14;
x  0, x  0;
2
 1
4.22.
 (x 1, x 2 )  (x 1  4)2  (x 2  8)2 .
 (x 1, x 2 )  (x 1  6)2  (x 2  3)2 .
4.23.
 2x1  5x 2  30;

 2x1  x 2  14;
x  0, x  0;
2
 1
4.24.
 (x 1, x 2 )  (x 1  7)2  (x 2  3)2 .
4.25.
 2x1  5x 2  30;

 2x1  x 2  14;
x  0, x  0;
2
 1
 x1  x 2  1;

 2x1  3x 2  12;
x  0, x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  4)2  (x 2  2)2 .
 x1  x 2  5;

 x1  2x 2  4;
x  0, x  0;
2
 1
 (x 1, x 2 )  (x 1  6)2  (x 2  3)2 .
5.1.–5.25. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, найти оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей.
6 0

3 9
5.1. 
5 2

3 7
5.6. 
 4 1

 2 5
5.11. 
7 5

8 6
5.16. 
15 12 

 11 10 
5.21. 
17 12 

15 7 
5.3. 
5 6

3 7
5.8. 
5.2. 
5.7. 
8 1

9 7
5.12. 
 6 3

 4 8
5.17. 
3 2

1 6
5.4. 
1 2

3 4
5.9. 
5.5. 
7 6

9 7
5.10. 
9 6

4 7
5.15. 
10 7 

 3 4
5.19. 
5.13. 
5.18. 
15 12 
 2 3
 5.23. 

13 17 
 0 4
5.22. 
 6 8

7 9
7 2

 3 5
8 9

9 7
8 6

5 4
5.15. 
 4 2

 3 5
5.20. 
 4 5

 3 6
5.25. 
5.24. 
3 1

 2 4
14 13 

16 17 
5 2

8 9
6.1.–6.25. Предприятие может оказывать транспортные услуги трех
видов А1, А2, А3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может находиться в одном из четырех состояний В1, В2, В3, В4.
Виды
услуг
А1
А2
А3
В1
a11
a21
a31
Возможные состояния спроса
В2
В3
a12
a13
a22
a23
a32
a33
В4
a14
a24
a34
21
Элементы матрицы характеризуют величину прибыли aij, которую получит предприятие, если будет оказывать i-й вид транспортных услуг
при j-м состоянии спроса на эти услуги.
Необходимо определить оптимальные пропорции оказываемых
предприятием видов услуг, реализация которых обеспечила бы ему максимально возможную выручку независимо от состояния спроса.
 3 2 3 1
6.1 .  2 3 5 4 
 1 4 0 2
2 3 1 4
6.2 .  3 5 2 3 
 1 2 4 1
 7 9 6 10 
6.3.  6 4 8 7 
10 7 1 5 
4 7 6 9 
6.4.  7 6 10 11
8 5 4 3 
 4 9 5 6
6.5.  7 8 3 9 
8 3 4 7
 4 5 3 2
6.6.  6 7 4 3 
5 2 3 8
 4 5 8 7
6.7.  3 0 9 5 
 7 6 5 2
 4 3 4 2
6.8.  3 4 6 5 
 2 5 1 3
 6 5 7 10 
6.9.  2 0 6 8 
 9 7 10 5 
5 7 0 6
6.10.  3 8 12 5 
10 3 6 14 
 2 5 9 11
6.11.  7 6 10 3 
12 10 8 6 
 4 0 6 1
6.12.  2 - 1 3 2 
 1 3 7 4
7 6 7 5
6.13.  6 7 9 8 
5 8 4 6
 3 4 2 1
6.14.  5 2 0 3 
0 3 5 4
6 8 5 9
6.15.  5 3 7 6 
9 6 0 4
10 3 6 14 
6.16.  5 7 6 6 
 3 8 12 5 
5 3 7 6
6.17.  6 8 5 9 
9 6 0 4
7 2 1 3
6.18.  2 6 4 5 
 5 3 6 2
 8 3 6 2
3 4 0
5
2 6 4 5
6.19.  4 5 6 5 
1 7 4 7
6.20.  4 3 5 2 
5 0 1 -1
6.21.  5 3 6 2 
7 2 1 3
6 5 7 4
6.22.  6 8 3 9 
 9 11 0 7 
5 7 0 6
6.23.  3 8 12 5 
10 3 6 14 
7 6 8 5
6.24.  7 9 4 10 
10 12 1 8 


 1 5 3 4
6.25.  4 2 5 1 
6 1 0 2

22





БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Акулиничев, В. М. Математические методы в эксплуатации железных дорог / В. М. Акулиничев, В. А. Кудрявцев, А. Н. Корешков. – М.:
Транспорт, 1981. – 225 с.
2. Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.
3. Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике:
Учебник / С.Н. Грицюк, Е.В. Мирзоева, В.В. Лысенко. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 348 с.
4. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы: Учеб. пособие.
– М.: Финансы и статистика, 2006. – 288 с.
5. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /
под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007. – 407 с.
6. Каплан А.В. Решение оптимизационных задач в экономике: Учеб.
пособие / А.В. Каплан, В.Е. Каплан, М.В. Мащенко, Е.В. Овечкина – Ростов н/Д : Феникс, 2007. – 541 с.
7. Лабскер Л. Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие / Л. Г. Лабскер, Л. О. Бабешко. – М.: Дело, 2001. –
464 с.
8. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование / Под общ. ред. А.В. Кузнецова: учебник.– СПб.: Издательство «Лань», 2010. – 352 с.
9. Математические и инструментальные методы экономики: Учеб.
пособие / коллектив авторов – М.: КНОРУС, 2012. – 232 с.
10. Орлова И.В. Экономико-математические моделирование: Практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2008. –
144 с.
11. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике:
задачи и решения : Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство
«Альфа-пресс», 2008. – 344 с.
12. Шапкин А.С. Математические методы и модели исследования
опенаций: Учебник / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин – М.: Издательскоторговая корпорация «Дашков и КΟ», 2009. – 400 с.
13. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели
в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2004. – 440 с.
14. Экономико-математические методы и модели: учебник для бакалавров / А.М. Попов, В.Н. Сотников; под ред А.М. Попова. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 479 с.
15. Юденков А.В. Математическое программирование в экономике:
учеб. пособие / А.В. Юденков, М.И Дли, В.В. Круглов – М.: Финансы и
статистика, 2010. – 240 с.
23
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………3
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ….……………………………………4
2. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ……………………….……10
3. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ……………………………11
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………..……….23
24