Ионные жидкости - Московский государственный университет

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА
Физический факультет
Курсовая работа
студента 2-го курса
Труля Аскольда Альбертовича
По теме:
ИОННАЯ ЖИДКОСТЬ У МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЫ ДВУХ НЕИОННЫХ
ЖИДКОСТЕЙ.
IONIC LIQUID NEAR PHASE BOUNDARY OF TWO NONIONIC LIQUIDS
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук А.А. Аэров
Москва 2011
1
СОДЕРЖАНИЕ
1.ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….....3
2.МОДЕЛЬ,
ИСПОЛЬЗУМАЕМАЯ
ПРИ
ОПИСАНИИ
СИСТЕМЫ……………………………………………………………………….4
3.РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ……………………...9
4.ВЫВОДЫ……………………………………………………………………...15
5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………...16
2
1. ВВЕДЕНИЕ.
Настоящая курсовая работа посвящена изучению ионных жидкостей, а именно
изучение профилей концентраций веществ у межфазной границы в смеси, образованной
ионной жидкостью и двумя неионными компонентами. Ионные жидкости – это вещества,
состоящие только из ионов, и являющиеся жидкостями при нормальных условиях.
Актуальность изучения свойств ионных жидкостей (или систем, содержащих
ионные жидкости) связана в первую очередь с их использованием в экологически чистых
технологиях. Например, наряду с водой и сверхкритическим диоксидом углерода, ионные
жидкости
рассматриваются
как
наиболее
перспективные
реакционные
среды,
позволяющие существенно снизить загрязнение окружающей среды, а также ускорить
протекание химических реакций (по сравнению с традиционными органическими
растворителями) и уменьшить их температуру.
Большинство из жидкостей, с которыми нам обычно приходится иметь дело в
повседневной жизни, имеют молекулярную структуру независимо от того, являются ли
они полярными или нет. Так как ИЖ состоят только из ионов то, естественно, можно
ожидать, что ионные жидкости могут обладать рядом свойств, которые не присущи
молекулярным жидкостям. И, действительно, ИЖ обладают низкой летучестью [1], что
снимает
проблему
герметизации
технологического
оборудования
и
повышает
экологическую безопасность технологических процессов. Данная особенность ИЖ
дополняется другим их важным свойством, заключающемся в том, что многие из них
хорошо растворяют различные вещества, причём, как полярные, так и неполярные, уже
одним только этим превосходя традиционные растворители [1]. Кроме того, имеются
широкие, возможности
получения ИЖ с нужными свойствами, поскольку можно
комбинировать различные пары катион-анион, синтезируя эти ионы независимо [1]. ИЖ
успешно применяются в двухфазном катализе, когда катализатор растворён в ИЖ, а
реагенты находятся в другой фазе. Одним из наиболее важных достижений химической
технологии в области применения ИЖ является изобретение нового процесса
производства целлюлозных волокон с использованием ИЖ в качестве растворителя
целлюлозы [1]. ИЖ также активно исследуются на предмет использования их для
создания топливных элементов – актуальной научно-технической задачи, и уже созданы
сверхвысокоёмкие конденсаторы на основе ИЖ.
3
Хотя первые ионные жидкости были известны уже в XIX веке, настоящую
популярность, как объект исследований, они получили только в XXI веке. Количество
публикаций по данной теме от года к году увеличивается колоссальными темпами, и
основную массу составляют работы по синтезу и экспериментальному изучению свойств
ИЖ. Теоретическое же изучение ИЖ находится пока только в стадии зарождения.
Например, пока не существует общепризнанная теоретическая модель, позволяющая
описывать некоторые свойства ИЖ в целом, как класса веществ. Большинство
теоретических работ, посвященных изучению электролитных систем, имеют дело с
малыми объёмными долями ионов, в то время как для теоретического описания ИЖ
необходимо учитывать то, что объёмная доля ионов в смеси может приближаться к
единице [1].
В настоящей курсовой работе была рассмотрена двухфазная система, состоящая
из двух неионных компонентов и ионной жидкости. Предполагалось, что фазовое
расслоение в системе происходит из-за того, что неионные компоненты несовместимы
друг с другом (т.е. они не могут образовать гомогенную смесь). Считалось что сродство
ИЖ как целого (т.е. её катионов и её анионов, вместе взятых) одинаково к смесям в
объёме каждой из фаз. Были исследованы распределение концентрации ионов вблизи
границы раздела фаз и их влияние на поверхностное натяжение межфазной границы.
Влияние примеси на поверхностное натяжение было уже достаточно хорошо
изучено. Вот уже около 100 лет известно, что ионные примеси увеличивают
поверхностное натяжение [5]. Экспериментальная работа [6] - одна из последних на эту
тему. Это явление уже давно привлекает интерес исследователей, т.к. есть ещё и
противоположное явление, заключающееся в уменьшении поверхностного натяжения
межфазной границы при добавлении в систему поверностно-активного вещества. Наша
система отличается от тех, где поверхностное натяжение увеличивается тем, что там смесь
представляется как кулоновская система, а мы изучаем частный случай сольвофобной
системы, в результате поверхностное натяжение уменьшается т.е ИЖ действует как ПАВ.
2.
МОДЕЛЬ,
СИСТЕМЫ
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ
ПРИ
ОПИСАНИИ
В настоящей курсовой работе для анализа системы, состоящей из ИЖ и двух
неионных компонент А и В использована теория, основанная на решёточной модели типа
4
Флори-Хаггинса. Предполагается, что ионы и молекулы A и B имеют одинаковый размер1
и каждая молекула или ион занимают элементарную ячейку кубической решётки. Ячейки
имеют размер a,
и все ячейки заполнены. Таким образом, в модели учтено, что
рассматривается несжимаемая смесь жидкостей,
а не газ. Анионы и катионы
принимаются в расчет как отдельные компоненты, которые движутся независимо. На
самом деле часть катионов и анионов образуют ионные пары и двигаются как одно целое,
и это снижает концентрацию свободных зарядов. Однако, образование пар не влияет
качественно на явление, описанное в работе, поэтому мы не учитываем образование
ионных пар в расчётах. Мы также не принимаем во внимание флуктуации концентрации
ионов. Этот
эффект является незначительным при малых концентрациях ионов,
поскольку энергия взаимодействия между ионами мала по сравнению с энергией
теплового движения. А при высоких концентрациях электростатические силы являются
короткодействующими, и они могут быть учтены в решёточной теории, которую мы
используем,
путём
перенормировки
параметров
взаимодействия.
Ещё
одно
незначительное явление, которым мы пренебрегаем, — это потенциал зарядов, наводимых
в диэлектрической среде на границе раздела. Но эти заряды появляются, если есть
неоднородность диэлектрической проницаемости в системе. Поэтому мы просто считаем,
что диэлектрическая проницаемость одинакова для всех компонент и не зависит от
состава смеси.
Каждой
паре
молекул,
находящихся
в
смежных
элементарных
ячейках,
приписывается энергия контакта, определяемая типами этих молекул, и вся эта энергия
суммируется для получения общей энергии взаимодействия молекул в системе. Чтобы
количественно охарактеризовать контакты различных компонентов друг с другом,
вводятся соответствующие параметры Флори-Хаггинса. Чем больше значение каждого
параметра Флори-Хаггинса, тем менее энергетически благоприятен контакт, ему
соответствующий. Параметр Флори-Хаггинса  AB , характеризующий контакт двух
молекул: типа А и типа В равен:
1
Разумеется, в действительности это не так. Известно, например, что ИЖ, на которых в наибольшей
степени сконцентрирован интерес экспериментальных и прикладных исследований, состоят из катиона
и аниона, значительно различающихся по размеру. Органический катион, как правило, больше
неорганического аниона. Однако разница в размерах молекул компонент смеси не является основной
причиной описываемого здесь явления, а её учёт усложнил бы теоретическое рассмотрение, но не
повлиял бы на основной результат качественно.
5
 AB
 AB
E AA  E BB

6 E


2





kT
(1)
где ЕАВ, ЕАА, и ЕВВ – энергии контакта находящихся в соседних ячейках молекул типов А и
В, А и А, и В и В, соответственно (смотри приложение работы [3]).
Энтропия определяется посредством расчёта числа расстановок данного набора
молекул по данным ячейкам.
Рассмотрим двухфазную систему как последовательность элементарных слоёв,
параллельных межфазной границе. Каждый из них состоит из элементарных кубических
ячеек и имеет толщину в одну ячейку. Обозначим как i ,  i ,  Ai ,  Bi объёмные доли
катионов, анионов, молекул А, и молекул В в i-том слое, соответственно. Пусть  i —
потенциал электростатического поля в центре i-того слоя. Введём безразмерный
потенциал ~ i   i (e / kT ) , где е - это элементарный заряд, k - константа Больцмана, а T абсолютная температура системы. Тогда мы можем записать следующим образом
свободную энергию F системы в расчете на единицу площади межфазной границы:
a2
1
F
  (i ln i  i ln i   Ai ln  Ai   Bi ln  Bi )  ~(i  i )  Fcontacts . (2)
kT
2 i
i
Первый член — это энтропийный вклад в свободную энергию. Второй член — это энергия
электростатического поля. Последний член — энергия контакта молекул. Она может быть
представлена в виде:
Fcontacts 
1
 pi  qi  pq   a 2 i (i 1) ,


2 i p ,q
i
(3)
где каждый из индексов p и q обозначает один из компонентов (+,-,А,В),  pq - параметр
Флори-Хаггинса, характеризующий взаимодействие компонента p c компонентом q, а
 i ( i 1) — это нормированная на kT поверхностная энергия контакта i-го элементарного
слоя с (i+1)-м.
В работе [7] доказано, что поверхностная энергия выражается следующим образом:
 i(i1) 
1
6a 2
 
p
q
pq
1
1
( pi  qi 1   qi  qi   pi 1 pi 1 ) .
2
2
(4)
Если градиент концентрации медленно меняется от слоя к слою, то мы можем
использовать следующую приближённую формулу:
6
pi 1   pi 1  2 pi
a2

 2 p ( z )
z 2
(5)
.
(координата z перпендикулярна межфазной границе). Подставляя (5) в (4), получим:
Fcontacts 
1
1
 pi  qi  pq    pi  qi 1  pq .

3 i p ,q
6 i p ,q
(6)
Следует отметить, что  pp  0 (см. выражение (1)).
Из граничных условий для электростатического поля следует:
~ i 1  ~ i 1  2~ i  4u(i  i ),
(7)
где u  e 2 / kTa ,  - диэлектрическая проницаемость среды. В непрерывном пределе
выражение (7) переходит в уравнение Пуассона.
Так как в каждой элементарной ячейке находится ровно одна молекула или один ион,
должно быть выполнено следующее условие:
i  i   Ai   Bi  1.
(8)
Химический потенциал  p каждой компоненты p в i-м слое равен:
F
 p.
 pi
(9)
Для расчета химического потенциала удобно применить формулу (9) для слоев далёких от
границы. Следует отметить, что   и   определены с точностью до константы вместе с
потенциалом
электростатического
поля.
Например,
если
определен
потенциал
электростатического поля при z   , мы можем посчитать   и   , используя (9), если
известны концентрации компонентов смеси при z   (в одной из фаз). После мы можем
посчитать
потенциал электростатического поля
концентрации
компонентов
в
другой
фазе.
и
при
Отсюда
z   , если известны
следует,
что
разность
электростатических потенциалов двух фаз определяется концентрацией компонентов при
z   , т.е. в этих двух фазах, и не зависит от профилей концентраций у межфазной
границе. Мы используем уравнение (8), чтобы исключить одну из неизвестных для
каждого из элементарных слоёв, а затем минимизируем численно свободную энергию
системы, чтобы определить концентрации компонентов в каждом из элементарных слоёв,
т.е. решаем уравнения (7) и (9) на электростатический и химический потенциал для
каждого из элементарных слоёв.
7
Как
только
профили
концентраций
ионов
и
неионных
компонентов,
и
электростатического потенциала вблизи межфазной границы определены, мы можем
вычислить её поверхностное натяжение. Поверхностная энергия – это разница между
свободной энергией рассматриваемой двухфазной системы с переходным слоем и
свободной энергией двух фаз отдельно, - как если бы переходного слоя не было, содержащих вместе те же количества компонентов. Итак, мы определяем поверхностное
натяжение  фазовой границы следующей формулой:
a 2
kT


 f
Fa 2
f
f 

 I  f   A
 ions
  
kT
A
ions  z  i   A

 Ai  ( i   i )
z  
f
ions

, (10)

z   
где I - это число элементарных слоев формирующих переходный слой, т.е. число
различных значений индекса i. Строго говоря, переходный слой простирается бесконечно
далеко от межфазной границы, поэтому величины F и I бесконечно велики. Но разность,
фигурирующая в выражении (10), - величина конечная, для определения которой с
достаточно большой точностью достаточно рассматривать некоторое конечное число
элементарных слоёв у межфазной границы и считать, что слои, лежащие более далеко от
середины межфазной границы, вносят нулевой вклад в данное выражение. В процессе
расчётов мы рассматривали до нескольких сотен слоёв.
В формуле (10) f - это нормированная на kT свободная энергия элементарной
ячейки в объёме одной из фаз (всё равно какой: одну мы обозначили как z   , другую –
как z   ), т.е. лежащей вдали от межфазной границы:
f  ions ln ions   A ln  A  (1   A  ions ) ln( 1   A  ions )   AB A (1   A  ions ) 
1
1
ions (   A    A ) A  ions (   B    B )(1   A  ions ),
2
2
(11)
где ions - объёмная доля ионов (достаточно далеко от границы раздела фаз объемная доля
катионов равна объёмной доле анионов; мы также приняли что    0 ) и  A — это
объёмная доля молекул А. Следует отметить, что число катионов в переходном слое равно
числу анионов в нем. Иначе энергия электростатического поля была бы бесконечно
большой. Уравнение (11) может быть получено из уравнений (2), (6) и (8). Функционал
f ions ,  A  определяет также и состав двух фаз.
8
3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Для простоты мы проанализировали только частный случай, в котором, однако,
проявляются основные особенности рассмотренной нами двухфазной системы (рисунок
1):
  A       B    
  A       B    
(12)
Рисунок 1
На бесконечности (то есть в объёме фаз) при таких параметрах Флори-Хаггинса ионная
жидкость воспринимает окружающую её смесь компонентов А и В одинаково, и
взаимодействие
ионной
жидкости
с
этой
смесью
характеризуется
параметром
  (     ) / 2 .
При таких параметрах система симметрична, т.е. если поместить z=0 в точку где
 A  B то:
 A z    B  z 
  z      z 
 z    0   0    z 
(13)

Так же в этом случае объёмные доли ионов в двух фазах определены значением ions
,
которое является свободным входным параметром (мы его не вычисляем через другие
параметры, а просто задаём) :

                        ions
1
2
(14)

Что касается  A и  A , то они удовлетворяют условию  A   A  1  ions
и являются
решениями уравнения для поиска бинодали (границы однородности):
A
f

  AB (1  ions
 2 A )  ln
0

 A
1  ions
 A
9
(15)
Уравнение (15) имеет два корня, когда выполнено условие:
 AB 
2
(16)

1  ions
В противном же случае, невозможно сосуществование двух фаз. (Мы игнорируем корень
1  ions  2 A , поскольку он не имеет физического смысла.
На рисунках 2,3,4,5,6 представлены профили концентраций и потенциала у
границы раздела фаз при разных величинах концентраций ионов на бесконечности и при
разных значениях параметров Флори-Хаггинса. А также зависимость поверхностного
натяжения от концентрации ионов на бесконечности и фазовая диаграмма смеси. Мы
видим что при   0 у межфазной границы образуется двойной электрический слой:
концентрация катионов выше со стороны той фазы, в которой выше концентрация
компонента, к которому сродство катионов больше (это компонент А), концентрация
анионов, соответственно, выше в другой фазе.
Профиль объёмной доли катионов (или анионов) может быть разделён на две части.
Первая часть – это область, где объёмные доли A и B меняются. В этой области градиент
объёмной доли катионов наибольший. Обычно эта область имеет толщину в несколько
молекул (см. рисунок 2,3). Вторая часть – это
область, где объёмные доли A и B
практически постоянны. В этой области объёмны доли у межфазной границе и в объёме
фаз различаются существенно только если объёмная доля ионов в фазе мала. Чем меньше
объёмная доля ионов в объёме фаз, тем шире эта область.
Так же легко видеть, что при увеличении объёмной доли ионов в фазе,
уменьшается отношение объёмной доли на границе к объёмной доле в фазе. Например, на
рисунке 2 мы видим, что это отношение меняется с 1000 до 5 при увеличении объёмной
доли с 0,001 до 0,1.
Что касается поверхностного натяжения, то оно уменьшается в увеличением
разницы родства между ионами и неионными компонентами т.е ИЖ ведет себя как ПАВ
(см.рисунок 5). Поверхностное натяжение также уменьшается при увеличении объёмной
доли ионов в фазах (см. рисунок 4). При объёмных долях меньше критического значения
поверхностное натяжение уже не может быть положительным и поэтому двухфазная
система существовать не может. Так как энергия системы стремится к минимуму, то в
этом случае площадь межфазной границы должна неограниченно возрастать т.е.
образуется микронеоднородная смесь.
10

ions
 10 3
1,2
A
A
B
1
0,61
0,51
  5
 1000
0,6
0,31
0,21
0,11
0,2
0,01
-16
0
-50
-30
-10
-0,2
10
z/a
30
50
~  0,1
от объёмной доли ионов в фазе

ions
при  AB
70
-11
-6
-0,09-1
-0,19
4
9
~  0,1
z/a
 , ,A ,B и электростатического потенциала ~
 3;   1;   1 .
Рисунок 2. Зависимость объёмных долей компонент смеси
11
  5
0,41
0,4
-70
B
0,71

ions
 0,1
0,8
  1000
0,81
14

ions
 0,05
0,59
1

ions
 0,2
0,49
(  0,1) 10  0,1
0,8
(  0,1) 10  0,3
0,39
0,6
B
 15
 15
0,29
0,4
A
0,19
B
0,09
A
0,2
0
-16
-11
-6
-20
-0,01
-1
4
-0,11
z/a
9
14
~  0,1
12

ions
при  AB
-10
-5
0
-0,2
z/a
5
10
15
~  0,1
 , ,A ,B и электростатического потенциала ~
 3;   1;   1 .
Рисунок 3.Зависимость объёмных долей компонент смеси
от объёмной доли ионов в фазе
-15
20
0,3
a 2
0,25
kT
0,3
a
2
kT
0,25
  1
0,2
0,15
0,2
0,15
  0
0,1
0,1
0,05
  3
0,05
0
  2
-0,05 0
0
-0,05
-0,05
0
0,05
0,1
  4
0,15
0,2

ions
0,25
0,3
0,35

ions
при  AB  3;   1;
13
2
3
-0,1
0,4
Рисунок 4. Зависимость поверхностного натяжения
1
4

5
-0,15

от
Рисунок 5. Зависимость поверхностного
натяжения

от  при

ions
 10 3 ;  AB  3;   1
6
7
8

ions
гомогенная
однородная
0,35
0,3
микронеодн ородная
0,25
макронеодн ородная
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,5
1
1,5

2
2,5
3
3,5
4
4,5

Рисунок 6. Фазовая диаграмма в координатах (ions ,  ) при  AB  3;   1;
Обобщая всё полученные данные мы можем построить фазовую диаграмму, на которой
мы можем выделить границы различных состояний смеси. Как границу однородной и
неоднородной
смеси
берем
условие
(16), а границей
микронеоднородности
марронеоднородности служит равенство нулю поверхностного натяжения.
14
и
4.ВЫВОДЫ
Мы рассмотрели теоретически двухфазную систему, состоящую из двух неионных
растворителей, несовместимых друг с другом, и ИЖ. Мы показали:
—на границе раздела фаз образуется двойной электростатический слой, толщиной до
нескольких сотен молекул.
—поверхностное натяжение уменьшается с возрастанием родства между ионами и
неионными компонентами и с увеличением концентрации ионов т.е. ИЖ ведет себя как
ПАВ.
—поверхностное натяжение может быть равным нулю не только в критической точке, что
означает, что смесь может быть микрогетерогенной.
15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аэров А.А Эффекты, связанные с равновесным распределение ионов в
низкомолекулярных ионных жидкостях и полиэлектролитных гелях: теоретическое
исследование// диссертация 2008
2. Aerov A.A., Khokhlov A.R., Potemkin I.I. Why Ionic Liquids Can Possess Extra Solvent
Power // J. Phys. Chem. B. 2006. V.110. PP. 16205 –16207.
3. Aerov A.A., Khokhlov A.R., Potemkin I.I. Interface between Ionic and Nonionic Liquids:
Theoretical Study // J. Phys. Chem. B. 2007. V. 111. PP. 3462 – 3468.
4. Aerov A.A., Khokhlov A.R., Potemkin I.I. Microphase Separation in a Mixture of Ionic and
Nonionic Liquids // J. Phys. Chem. B. 2007. V. 111. PP. 10189 – 10193.
5. Levin, Y.; Flores-Mena, J.E.// Europhys. Lett. 2001.V. 56. P. 187.
6. Matubayasi, N.; Matsuo, H.; Yamamoto, K.; Yamaguchi, S.; Matuzawa, A. J.// Colloid
Interface Sci. 1999. V. 209. P. 398.
7. Aerov, A. A.; Potemkin, I. I. //J. Phys. Chem. B. 2009.V. 113.P. 1883.
16
Запишем свободную энергию системы в пересчете на ячейку решётки:
F
 f  Фа ln( Фа )  Фb ln( Фb )  (1  Фа  Фb ) ln( 1  Фа  Фb )
kT
  abФаФb   aionsФа (1  Фа  Фb )   binosФb (1  Фа  Фb )
Где первые три члена это энтропийный вклад в энергию, а остальные три обусловлены
контактным взаимодействием между компонентами.
Для исследования на минимум необходимо приравнять нулю производные энергии по Фa
и по Фb:
f
f
0
0
Фa
Фb
нам нужен не минимум. Это было бы, если бы мы искали спинодаль. А мы ищем
бинодаль.
И получим систему:
Фa
f
 ln
  abФb   aions (1  2Фa  Фb )   bionsФb  0
Фa
(1  Фa  Фb )
Фb
f
 ln
  abФa   bions (1  Фa  2Фb )   aionsФa  0
Фb
(1  Фa  Фb )
 ab   aions   bions
17
Совершенно
случайно, при
  эта написанная Вами система совпадает с тем уравнением, которое
в действительности нужно решать, чтобы найти три точки касания плоскостью
поверхности-графика нашего функционала. Плоскость, как легко, доказать –
горизонтальная.
Для упрощения преобразуем систему – сложим и вычтем уравнения друг из друга:
Фa Фb
ln
  ab (Фa  Фb )   aions (1  3Фa  Фb )   bions (1  Фa  3Фb )  0
(1  Фa  Фb ) 2
Фa
  ab (Фb  Фa )  (1  Фa  Фb )(  aions   bions )  0
Фb
При  ab   aions   bions   получим:
Фa Фb
ln
  (2  3Фa  3Фb )  0
(1  Фa  Фb ) 2
(*)
Фa
ln
  (Фb  Фa )  0
Фb
При Фa  Фb нужно исследовать систему на совместность. Для этого поделим одно
уравнение на другое:
Фa Фb
ln
(1  Фa  Фb ) 2 (2  3Фa  3Фb )

Фa
(Фb  Фa )
ln
Фb
Видим что Фа зависит от Фb и не зависит от χ что не может быть. Почему? Вы перешли к
уравнению без χ , которое даёт значение Фа по известному Фb (но оно неизвестно!).
Оставшееся же независимое от него уравнение, в котором осталось χ, связывает Фа и Фb с
χ и позволяет найти эти величины. Тут Вы две нужных точки потеряли.
ln
Если Фa  Фb  Ф то второе уравнение системы это тождество. А первое принимает вид:
Ф2
 2  (1  3Ф)  0 (третью точку пока не потеряли)
(1  2Ф) 2
1 
Пусть Ф 
. Тогда уравнение имеет вид:
3
1 
ln
 
1  2
уравнение может быть решено численно.
  2,74  одна точка
У меня получилось что при 2,74    3  две точки (см. график)
  3  три точки
ln
Во втором случае тоже три точки – одна 1/3, а другая – близко к ней слева.
18

ions
 10 3 ;  AB  3;   1
8
6
4
2
ln
0
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-2
0,2
0,4
0,6
1 точка
2 точки
3 точки
-4
-6
-8
-10
2 f
1
 0 . Отсюда получим ещё условие на  :  
Так же у нас есть условие:
2,
2
3 (1  2 )

а не 3 в знаменателе.
Поэтому при   3 точка   1 / 3 не подходит. Точка   1 / 3 - левая в любом случае.
И в итоге получаем что у нас либо 1 решение, либо 2 решения.
И что же сии решения означают?
19