можливості обійтися без складних комутаційних пристроїв

Наукові записки УНДІЗ, №6(8), 2008
12
УДК 62-55:681.515
Гостев В.И., д.т.н., проф.; Кунах Н.И., д.т.н., доц.;
Дробик А.В., к.т.н., доц.; Неволько В.А., аспирант
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ЧАСТОТНОЙ И ФАЗОВОЙ
АВТОПОДСТРОЙКИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ ШУМОВ
Гостєв В.І., Кунах Н.І., Дробик О.В., Неволько В.А. Дослідження процесів в системах частотного і
фазового автопідстроювання за наявності внутрішніх шумів. У роботі методом математичного
моделювання в інтерактивній системі MATLAB досліджені процеси в системах частотного і фазового
автопідстроювання (у системах ФАП) за наявності внутрішніх шумів на виході дискримінаторів. Показано, що
стаціонарний білий шум певної інтенсивності в незначній мірі впливає на вихід систем, але робить значний
вплив на динамічну помилку.
Гостев В.И., Кунах Н.И., Дробик А.В., Неволько В.А.
Исследование процессов в системах
частотной и фазовой автоподстройки при наличии внутренних шумов. В работе методом математического
моделирования в интерактивной системе MATLAB исследованы процессы в системах частотной и фазовой
автоподстройки (в системах ФАП) при наличии внутренних шумов на выходе дискриминаторов. Показано, что
стационарный белый шум определенной интенсивности незначительно влияет на выход систем, но оказывает
значительное влияние на динамическую ошибку.
Hostyev V.I., Kunakh N.I., Drobyk O.V., Nevol'ko V.A. Research of processes in frequency controlled and
phase locked loop systems in the presence of internal noises. Using the method of mathematical simulation in
interactive MATLAB-based system the processes are investigated in the PLL systems in the presence of internal noises
at the discriminator outputs. It is shown that stationary white noise of certain intensity does little influence on the system
output but influences greatly on a dynamic error.
Системам частотной и фазовой автоподстройки ФАП (ФАПЧ) посвящено большое
количество работ, например, [1…7]. В работах [8…13] рассмотрены системы частотной и
фазовой автоподстройки ФАП (ФАПЧ), которые являются основным элементом систем
тактовой синхронизации, и методом математического моделирования в интерактивной
системе MATLAB исследованы процессы в системах ФАП (ФАПЧ) при наличии входных
воздействий без учета внутренних шумов этих систем. В системах фазовой автоподстройки
осуществляется согласование фаз двух колебаний – текущая фаза управляемых колебаний
подстраивается под текущую фазу задающих колебаний так, что в идеальном случае разность
фаз этих колебаний сохраняет постоянное значение. Так как постоянство разности фаз
возможно только при равенстве частот колебаний, то в системах фазовой автоподстройки
частота управляемых колебаний в идеальном случае устанавливается равной частоте
задающих колебаний. Это свойство систем фазовой автоподстройки определяет их двоякое
назначение – как систем автоподстройки частоты и как систем автоподстройки фазы. В
первом случае непосредственной целью применения системы является установление
требуемого соответствия между частотами двух колебаний, а во втором – установление
требуемого соответствия между фазами двух колебаний. Системы фазовой автоподстройки,
непосредственной целью которых является установление требуемого соответствия между
частотами двух колебаний, получили название систем фазовой автоподстройки частоты
(ФАПЧ). Если же непосредственной целью функционирования системы является
согласование фаз двух колебаний, то ее называют так же, как и весь класс рассматриваемых
систем – системой фазовой автоподстройки (ФАП). Различие названий (ФАПЧ или ФАП)
отражает только различие в непосредственном предназначении и не означает различий в
принципах действий. Принципы действия систем ФАПЧ и ФАП одинаковы. Именно система
ФАП определяет точность и быстродействие всей системы тактовой синхронизации.
Объектом управления в системе ФАП является тактовый генератор управляемый
напряжением (ГУН), который можно описать передаточной функцией
G(s)   [ s( s  a)]1
(1)
Технологічні засоби телекомунікацій
13
(если выходной переменной генератора является фаза колебаний), или передаточной
функцией
(2)
G ( s )   /( s  a)
(если выходной переменной генератора является частота колебаний),
где   K / T , a  1 / T , К  коэффициент усиления, Т  постоянная времени генератора.
1. Исследование процессов в системе частотной автоподстройки
при наличии внутренних шумов
Частотный дискриминатор можно представить последовательным соединением
устройства сравнения, нелинейности K ( ) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной
функцией, определяемой формулой
(3)
GФ (s)  КФ /(TФ s  1)  k /( s  b) ,
где k  КФ / TФ , b  1 / TФ , КФ  коэффициент усиления, TФ – постоянная времени фильтра.
Математическую модель нелинейности K ( ) для частотного дискриминатора обычно
можно описать выражением
K ( )  K д exp{
2 ,
}
(4)
2
где Kд – коэффициент преобразования дискриминатора; а  – полуширина
дискриминационной
характеристики,
определяющая
разрешающую
способность
дискриминатора;   пр – расстройка относительно номинальной промежуточной
частоты пр0  const .
Для придания системе частотной автоподстройки астатизма первого порядка (что
позволяет уменьшить динамическую ошибку в системе) используют электронный интегратор
или электромеханический двигатель. Поэтому передаточную функцию объекта управления
можно упрощенно описать выражением (1).
Структурную схему системы частотной автоподстройки в интерактивной системе
MATLAB представим в виде рис.1. Для обеспечения требуемой динамики системы
используем нечеткий и ПИД- регуляторы [14] (Fuzzy controller и PID на рис.1).
Рис. 1.
Cледует подчеркнуть, что на выходе блока нелинейности на структурной схеме ошибка
рассогласования определяется как K [ (t )]  K [e(t )] , где  (t )  e(t ) – ошибка
рассогласования на входе частотного дискриминатора.
Наукові записки УНДІЗ, №6(8), 2008
14
Частотный дискриминар (ЧД) на рис. 1 представлен схемой сравнения на сумматоре и
дискриминационной характеристикой Discrim – K ( ) . Фильтр нижних частот ФНЧ описан
звеном Transfer Fcn1 с передаточной функцией GФ (s) . Объект управления – интегратор и
тактовый генератор с управляющим элементом – с передаточной функцией G0 ( s )
представлен звеньями Integrator и Transfer Fcn2.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.1) выполнен по структурной
схеме, приведенной на рис. 3.86,a в работе [14], с идентичными возведенными в степень
треугольными функциями принадлежности (см. рис.3.41 [14]) и состоит из блока
формирователя величин A(t) и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59
[7]), блока сравнения величин А и В и расчета u c (блока 2, собранного по схеме,
приведенной на рис. 3.74(а) [14]) и блока нормировки выходной переменной (блока 3,
собранного по схеме, приведенной на рис. 3.85 [14]).
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в значения элементов единого
универсального множества) диапазоны изменения входных и выходного сигналов
(параметров нечеткого регулятора) принимаем симметричными:
 max   min ; max  min ; max  min ; mmax  mmin .
Тогда пересчет значений сигналов в значения элементов единого универсального
множества выпоняем по формулам (3.41) в [14]). Значения диапазонов ( Am   max   min ;
Bm  
  ; Cm  
  ; Dm  m
 m ) при настройке нечеткого
max
min
max
min
max
min
регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем решения
оптимизационной задачи.
Система (см. рис.1) исследована в работах [8, 9] при воздействии на входе системы
u (t )  1  0,5 sin 2Ft , с несущей частотой
эквивалентного гармонического сигнала
F  0,1Гц . При исследовании системы методом математического моделирования выбраны
следующие параметры: k  1; a  10 c 1 ; b  12,5 c 1 ; c  1; α  alf  15; Δ  1; K д  1.
Настройка нечеткого регулятора осуществлена по критерию минимума динамической
ошибки. Получены следующие оптимальные параметры нечеткого регулятора:
Am   max  0,05; Bm  max  0,4; Cm  max  10; Dm  mmax  150 .
Передаточная функция цифрового ПИД-регулятора (PID на рис.1) имеет вид
Kh
K
z 1
z 1
W ( z )  G1  G2
 G3
, где G1  K , G 2  i 0 , G 3  d , h0 – шаг дискретизации.
z 1
z
2
h0
В результате настройки ПИД-регулятора при указанных выше параметрах системы и
входного эквивалентного гармонического сигнала получены следующие оптимальные
параметры регулятора при h0 =0.01с: G1  171,2; G2  0,48; G3  1800 .
В результате исследования процессов в системе с нечетким регулятором установлено, что
максимальная динамическая ошибка (за исключением начального выброса в момент захвата
сигнала) не превышает 0,7 % от амплитуды синусоиды. Система отрабатывает входное
воздействие за время, не превышающее 0,16 с, без перерегулирования.
Установлено, что в системе частотной автоподстройки с ПИД-регулятором максимальная
динамическая ошибка системы (за исключением начального выброса в момент захвата
сигнала) не превышает 2,4% от амплитуды синусоиды. Переходной процесс системы с ПИДрегулятором – колебательный, с перерегулированием более 20%. Система отрабатывает
входное воздействие за время, превышающее 0,4 с.
Максимальная динамическая ошибка в системе частотной автоподстройки с ПИДрегулятором в 3,5 раза больше максимальной динамической ошибки в системе частотной
автоподстройки с нечетким регулятором. Время регулирования в системе частотной
Технологічні засоби телекомунікацій
15
автоподстройки с ПИД-регулятором примерно в 2,5 раза больше времени регулирования в
системе с нечетким регулятором.
Таким образом, нечеткий регулятор обеспечивает точность отработки входных
воздействий и быстродействие системы частотной автоподстройки значительно лучше, чем
ПИД-регулятор.
Исследование системы с указанными выше параметрами без регуляторов показывает, что
система не обладает устойчивостью.
Ниже система (см. рис.1) с цифровым нечетким регулятором исследована при наличии
стационарного белого шума
(Band-Limited White Noise) на выходе частотного
дискриминатора. Реализация белого шума v (t ) показана на рис.2,а. Ошибка рассогласования
на входе частотного дискриминатора e(t ) и выход нечеткого регулятора m(t ) при этом
являются случайными процессами (см. рис.2,б и в). Исследования системы при наличии
стационарного белого шума показывают, что шум такой интенсивности (см. рис.2,а)
незначительно влияет на выход системы x(t ) (см. рис.2,г), однако ошибка системы возрастает
(см. рис.2,б), поэтому при малых входных воздействиях (при малых отклонениях частоты
генератора от заданной) шум на выходе частотного дискриминатора будет оказывать
значительное влияние на динамическую ошибку системы.
а)
б)
в)
г)
Рис. 2.
Cистема (см. рис.1) с цифровым ПИД-регулятором исследована также при наличии
стационарного белого шума на выходе частотного дискриминатора. Реализация белого шума
v (t ) показана на рис.3,а. Исследования системы при наличии стационарного белого шума
показывают, что шум такой интенсивности (см. рис.3,а) незначительно влияет на выход
системы x(t ) (см. рис.3,г), однако ошибка системы возрастает (см. рис.3,б), поэтому при
малых входных воздействиях (при малых отклонениях частоты генератора от заданной) шум
на выходе частотного дискриминатора будет оказывать значительное влияние на
динамическую ошибку системы.
16
Наукові записки УНДІЗ, №6(8), 2008
а)
б)
в)
г)
Рис. 3.
2. Исследование процессов в системе фазовой автоподстройки
при наличии внутренних шумов
Структурная схема (математическая модель) системы фазовой автоподстройки,
представленная в интерактивной системе MATLAB, показана на рис. 4. Схема на рис. 4
отличается от схемы на рис. 1 только моделью дискриминатора (Discrim).
Рис. 4.
Математическую модель фазового дискриминатора (детектора) можно представить
последовательным соединением устройства сравнения, нелинейности K ( ) и фильтра
нижних частот ФНЧ с передаточной функцией, определяемой формулой (3).
Математическую модель нелинейности K ( ) типа “дискриминационная характеристика”
для фазового детектора обычно можно описать выражением
K ( )  K д sin  ,
(5)
Технологічні засоби телекомунікацій
17
где K д – коэффициент преобразования фазового детектора;  (t ) – ошибка рассогласования
на входе фазового детектора.
Кривую K ( ) принято называть статической
дискриминационной характеристикой.
Для обеспечения требуемой динамики системы, структурная схема которой приведена на
рис. 4. используем такие же нечеткий и ПИД- регуляторы (Fuzzy controller и PID на рис. 4)
как и в системе, структурная схема которой приведена на рис.1.
Система (см. рис. 4) исследована при тех же параметрах и при воздействии на входе
такого же эквивалентного гармонического сигнала, как и система, приведенная на рис.1. При
настройке нечеткого регулятора по критерию минимума динамической ошибки получены
такие же оптимальные параметры нечеткого регулятора как и в системе на рис.1.
В результате настройки ПИД-регулятора при указанных выше параметрах системы и
входного эквивалентного гармонического сигнала получены следующие оптимальные
параметры регулятора при h0 =0.01с: G1  130; G2  0,48; G3  2000 .
Как показали исследования системы, максимальная динамическая ошибка (за
исключением начального выброса в момент захвата сигнала) не превышает 0,7 % от
амплитуды синусоиды. Система отрабатывает входное воздействие за время, не
превышающее 0,22 с, с перерегулированием не более 10%.
Таким образом, цифровой нечеткий регулятор обеспечивает не только большую точность
отработки входного воздействия, но и высокое быстродействие системы при скачкообразном
воздействии. Следует отметить, что, как показали исследования, система без регулятора не
обладает устойчивостью.
Ниже (рис. 5) представлены результаты исследования системы с нечетким регулятором
(см. рис. 4) при наличии стационарного белого шума на выходе фазового детектора.
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.
Реализация белого шума v (t ) показана на рис. 5,а. Ошибка рассогласования на входе
фазового детектора e(t ) и выход нечеткого регулятора m(t ) при этом являются случайными
процессами (см. рис. 5,б и в). Исследования системы при наличии стационарного белого
шума показывают, что шум такой интенсивности незначительно влияет на выход системы
Наукові записки УНДІЗ, №6(8), 2008
18
x(t ) (см. рис. 5,г), однако ошибка системы возрастает (см. рис. 5,б), поэтому при малых
входных воздействиях (при малых отклонениях фазы напряжения несущей частоты
генератора от заданной) шум на выходе фазового детектора будет оказывать значительное
влияние на динамическую ошибку системы.
Максимальная динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-регулятором (за
исключением начального выброса в момент захвата сигнала) достигает 2,8% от амплитуды
синусоиды. Максимальная динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-регулятором в 4
раза больше максимальной динамической ошибки в системе ФАП с нечетким регулятором.
Переходной процесс – колебательный, с перерегулированием 20%. Система отрабатывает
входное воздействие за время регулирования 0,31 с. Перерегулирование в системе ФАП с
ПИД-регулятором в 2 раза, а
время регулирования примерно в 1,4 раза больше
соответствующих параметров в системе ФАП с нечетким регулятором. При уменьшении
динамической ошибки
в системе ФАП с ПИД-регулятором увеличивавется
перерегулирование и время регулирования, а при уменьшении этих параметров переходного
процесса увеличивается динамическая ошибка.
Таким образом, нечеткий регулятор обеспечивает точность отработки входных
воздействий и быстродействие системы ФАП значительно лучше, чем ПИД-регулятор.
Ниже (рис. 6) представлены результаты исследования системы с ПИД-регулятором
(см. рис. 4) при наличии стационарного белого шума на выходе фазового детектора.
а)
б)
в)
г)
Рис. 6.
Реализация белого шума v (t ) показана на рис.6,а. Ошибка рассогласования на входе
фазового детектора e(t ) и выход нечеткого регулятора m(t ) при этом являются случайными
процессами (см. рис. 6,б и в). Исследования системы при наличии стационарного белого
шума показывают, что шум такой интенсивности незначительно влияет на выход системы
x(t ) (см. рис. 6,г), однако ошибка системы возрастает (см. рис. 6,б), поэтому при малых
Технологічні засоби телекомунікацій
19
входных воздействиях (при малых отклонениях фазы напряжения несущей частоты
генератора от заданной) шум на выходе фазового детектора будет оказывать значительное
влияние на динамическую ошибку системы. Отметим, что процессы, показанные на рис. 6,
весьма близки к процессам, приведенным на рис. 3.
3. Исследование процессов в системе фазовой автоподстройки частоты генератора
с цифровым нечетким регулятором при наличии внутренних шумов
Рассмотрим систему фазовой автоподстройки частоты генератора (ФАПЧ) с цифровым
нечетким регулятором. Одним из основных элементов системы фазовой автоподстройки
частоты генератора является аналоговый фазовый детектор, статическая дискриминационная
характеристика которого может быть записана в виде [12]
UФД  КФД cos  ,
(6)
где К ФД – постоянный коэффициент, равный максимальному значению напряжения на
выходе детектора;  – разность фаз колебаний одинаковой частоты, подаваемых на первый
и второй входы детектора (при равенстве частот двух колебаний разность фаз этих
колебаний постоянна).
При изменении частот входных сигналов разность фаз становится функцией времени:
 (t )   н  2  f (t )dt ,
(7)
где  н - начальное значение разности фаз в момент t  0 , когда f  f1  f 2  0 .
С учетом выражений (6) и (7) структурная схема фазового детектора при изменяющихся
частотах f1 и f 2 входных сигналов будет иметь вид, изображенный на рис. 7 [5].
Рис. 7.
На основании структурной схемы фазового детектора с учетом инерционностей фильтра
на выходе детектора и управляющего элемента на входе генератора (фильтр на выходе
детектора и управляющий элемент обычно описывают апериодическими звеньями) можно
составить математическую модель системы фазовой автоподстройки частоты генератора
(ФАПЧ).
Математическая модель системы ФАПЧ с цифровым нечетким регулятором,
составленная с использованием интерактивной системы MATLAB, представлена на рис. 8.
Рис. 8.
20
Наукові записки УНДІЗ, №6(8), 2008
Фильтр на выходе детектора и управляющий элемент генератора опишем передаточными
функциями
G1 (s)  k /( s  b)  10 /( s  12,5) и G2 (s)  alf /( s  a)  3 /( s  20) .
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.1) выполнен по структурной
схеме, приведенной на рис.3.86,a в работе [14], с идентичными возведенными в степень
треугольными функциями принадлежности (см. рис.3.41 [14]) и состоит из блока
формирователя величин A(t) и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59
[14]), блока сравнения величин А и В и расчета u c (блока 2, собранного по схеме,
приведенной на рис.3.74(а) [14]) и блока нормировки выходной переменной (блока 3,
собранного по схеме, приведенной на рис.3.85 [14]).
Шаг дискретизации (шаг поступления данных в нечеткий регулятор) выбран 0,001с.
Значения диапазонов
( Am   max   min ; Bm  max  min ; Cm  max  min ; Dm  mmax  mmin )
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем
решения оптимизационной задачи.
Система исследована при условии, что разность частот двух колебаний изменяется по
синусоидальному закону:
f  0,2 sin(  / 5) либо f  0,2 sin(  / 10) ,
(т.е. максимальное отклонение частоты генератора от заданной достигает  20% ). Система
ФАПЧ компенсирует отклонение частоты генератора, поэтому нечеткий регулятор
необходимо настраивать на минимальную текущую ошибку рассогласования в системе. В
результате настройки получаем следующие оптимальные параметры нечеткого регулятора:
Am=0,03; Bm=0.5; Cm=10; Dm=20; c=1.
Как показали исследования системы, приведенные в работе [12], независимо от частоты
входного сигнала переходной процесс в системе заканчивается за 3 с. Максимальная
динамическая ошибка рассогласования по частоте на входе фазового детектора при входном
воздействии 0,2 sin(  / 5) не превышает 2,8  10 3 (1,4% от амплитуды входного воздействия),
а при входном воздействии 0,2 sin(  / 10) равна примерно 1,4  10 3 (0,7% от амплитуды
входного воздействия). Нечеткий регулятор позволяет увеличить точность системы ФАПЧ
практически на два порядка по сравнению с системой без регулятора.
Ниже (рис. 9) представлены результаты исследования системы с нечетким регулятором
(см. рис. 8) при наличии стационарного белого шума (Band-Limited White Noise) на выходе
фазового детектора.
Реализация белого шума v (t ) показана на рис. 9,а. Ошибка рассогласования на входе
фазового детектора e(t ) и выход нечеткого регулятора m(t ) при этом являются случайными
процессами (см. рис.9,б и в). Исследования системы при наличии стационарного белого
шума показывают, что шум такой интенсивности незначительно влияет на выход системы
x(t ) (см. рис. 9,г), однако ошибка системы возрастает (см. рис. 9,б), поэтому при малых
входных воздействиях (при малых отклонениях фазы напряжения несущей частоты
генератора от заданной) шум на выходе фазового детектора будет оказывать значительное
влияние на динамическую ошибку системы.
Технологічні засоби телекомунікацій
а)
б)
в)
г)
21
Рис. 9.
Литература
1. Капланов М.Р., Левин В.А. Автоматическая подстройка частоты. – М.: Связь, 1962. – 320 с.
2. Клеппер Дж., Френк Дж. Системы фазовой и частотной автоподстройки частоты. – М.:
Энергия, 1977. – 440 с.
3. Захарченко Н.В., Созонник Г.Д., Стеклов В.К. Системы фазовой синхронизации,
малочувствительные к изменениям параметров. – Одесса: ОЭИС, 1986. – 45 с.
4. Нетудыхата Л.И., Стеклов В.К. Системы фазовой автоматической подстройки в устройствах
связи. – Київ: Теніка, 2003. – 368 с.
5. Стеклов В.К., Скляренко С.Н., Костик Б.Я. Системы фазовой автоподстройки с
дифференциальными связями. – Київ: Техника, 2003. –328 с.
6. Стефано Брени. Синхронизация цифровых сетей связи // Москва: Мир. – 2003.
7. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. – Москва: Связь,
1972. – 448 с.
8. Гостев В.И., Сторчак К.П., Успенський А.А. Система тактовой синхронизации с ПИДрегулятором // Вісник Державного університету інформаційно-комунікаційних технологій. – 2006.
– Т.4, №4. – С.228-232.
9. Гостев В.И., Баранов А.А. Сторчак К.П. Система тактовой синхронизации с цифровым
нечетким регулятором // Зв’язок. – 2007. – № 3 (71). – С.51-54.
10. Гостев В.И., Криховецкий Г.Я., Сторчак К.П. Система тактовой синхронизации с цифровым
ПИД-регулятором при случайных изменениях фазы входного воздействия // Вісник Державного
університету інформаційно-комунікаційних технологій. – 2007. – Спец. вип., – С.72-75.
11. Gostev V., Кunakh N., Storchak K. Fuzzy-system of clock synchronization at random changes of
the phase of input action // Proceedings of the International Conference TCSET-2008 “Modern problems of
radio engineering, telecommunication and computer science”, February 19-23, 2008. Lviv-Slavsko, Ukraine.
– P.269-271.
12. Гостев В.И. Фаззи-система фазовой автоподстройки частоты генератора // Зв’язок. – 2008. –
№ 4 (80). – С.68-69.
13. Гостев В.И., Кунах Н.И., Дробик А.В. Устройства тактовой синхронизации с фаззисистемами ФАПЧ // Матеріали ІV Міжнародної НТК “Сучасні інформаційно-комунікаційні
технології /COMINFO2008/”, 15-19 вересня 2008 р. Стм. Лівадія. – 2008. – С.103-104.
14. Гостев В.И. Нечеткие регуляторы в системах автоматического управления. – К.:
Издательство “Радіоаматор”, 2008. – 972 с.