УДК 519.63 НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПОЛЯ

УДК 519.63
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ТОЧЕЧНЫХ
ИСТОЧНИКОВ ПОЛЯ
С.Ю. Князев, Е.Е. Щербакова, А.А. Щербаков
Донской государственный технический университет, ДГТУ
Sherbakovaee@mail.ru
Дается краткое описание метода точечных источников поля.
На примере численного решения двумерных краевых задач для
уравнения Лапласа обсуждаются некоторые особенности МТИ,
связанные с устойчивостью решения и его сходимости. Показано,
что если детерминант матрицы системы МТИ равен нулю, то
достаточно произвести небольшое изменение положения хотя бы
одного из узлов коллокации или зарядов, чтобы детерминант
матрицы оказался неравным нулю и погрешность численного
решения резко уменьшится. Показано также, что, несмотря на
неустойчивость задачи нахождения моделирующих зарядов, задача
нахождения потенциала поля с заданной точностью остается вполне
разрешимой.
Ключевые слова: метод фундаментальных решений, метод точечных
источников, краевые задачи, уравнения эллиптического типа
Метод точечных источников поля (МТИ) является одним из
эффективных численных методов решения краевых задач для
уравнений эллиптического типа, таких как уравнение Лапласа,
уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца [1- 5]. Для этого метода
характерна весьма быстрая сходимость, позволяющая, в ряде
случаев, получать численное решение с относительной
погрешностью
10-15.
Следует
также
отметить
простоту
компьютерной реализации метода и быстрое время счета, что
особенно важно при решении задач в режиме реального времени.
Однако некоторые качества метода вызывают к нему скептическое
отношение у потенциальных пользователей и разработчиков. В
первую очередь это относится к возможности проявления
неустойчивости МТИ. Причину этого можно понять, дав общую
постановку решения краевой задачи с помощью МТИ,
ограничившись для простоты двумерным случаем.
Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область
Ω, ограниченная контуром S. В этой области определено однородное
линейное дифференциальное уравнение в частных производных
(1)
Lˆ U  0 ,
а на граничном контуре S задано условие
(2)
lˆU  f ,
S
где L̂ и lˆ - линейные операторы; U – искомый потенциал поля.
Разместим на вспомогательном замкнутом контуре Sq, целиком
охватывающем S и не имеющем с ним общих точек, заряд с
линейной плотностью σ(R). Решение исходной задачи представим в
виде
U r     R  R, r dSq ,
(3)
Sq
где  R, r  - фундаментальное решение уравнения (1), которое
можно рассматривать как потенциал поля, созданного в точке с
радиус– вектором r единичным положительным зарядом,
помещенным в точку с радиус– вектором R. Для двумерного
уравнения Лапласа:  R, r   ln R  r . Подставив (3) в граничное


условие (2), получим интегральное уравнение
  R lˆ R, r dS
q
 f r  S ,
(4)
Sq
тождественное решаемой задаче. Таким образом, решение краевой
задачи (1), (2) (если оно существует) сводится к нахождению
плотности заряда σ(R), удовлетворяющей интегральному уравнению
(4). МТИ можно рассматривать как один из вариантов численного
решения уравнения (4). Однако, уравнение (4) является уравнением
Фредгольма первого типа, задача численного решение которого, как
известно, является классическим примером некорректной задачи,
приводящей к неустойчивости решения [6]. Тем не менее,
неустойчивость МТИ проявляется далеко не всегда.
Для приближенного решения уравнения (4) необходимо,
прежде всего, каким либо образом аппроксимировать распределение
плотности зарядов σ(R) на контуре Sq. В МТИ распределение
плотности зарядов аппроксимируется следующим соотношением:
2
N
 N R    qi R  R i  ,
(5)
i 1
где N – количество определенным образом размещенных на контуре
Sq зарядов qi в точках с координатами R i ;  R  - определенная на
контуре Sq. δ– функция Дирака. Подставляя (5) в формулу (3),
получим приближенное значение потенциала в виде соотношения
N
U r   U N r     N R g R, r dSq   qi g R i , r  . (6)
i 1
Sq
Теперь для нахождения неизвестных зарядов qi потенциал (6)
подставляется в граничное условие (2) и требуется выполнение этого
граничного условия в N определенным образом размещенных на
контуре S точек коллокации с координатами rj. В результате
получается система линейных алгебраических уравнений, система
МТИ
 q lˆg R , r   f r  ,
N
i 1
i
i
j
j
(7)
решая которую находят заряды qi, после чего с помощью формулы
(6) можно найти приближенное значение поля U N r  в любой точке
области Ω.
Неустойчивость МТИ есть следствие неустойчивости решения
системы линейных алгебраических уравнений (7), которая должна
наблюдаться при больших значения числа обусловленности системы
МТИ [7, 8]. Действительно, численные эксперименты показывают,
что число обусловленности системы МТИ растет с увеличением
числа
зарядов
N,
моделирующих
искомое
поле,
по
экспоненциальному закону и уже при умеренных значения N может
значительно превышать 1020 [9]. Тем не менее, даже при столь
высоких значениях числа обусловленности относительная
погрешность численного решения может быть весьма низкой. Более
того, увеличение числа обусловленность может сопровождаться
повышением точности решения [10, 11].
В некоторых, весьма редких случаях детерминант системы
МТИ может обратиться в ноль, что соответствует обращению числа
обусловленности системы в бесконечность. Однако в этом случае
достаточно произвести небольшое изменение положения хотя бы
3
одного из моделирующих зарядов и (или) узлов коллокации, чтобы
детерминант измененной системы оказался отличным от нуля и
погрешность МТИ резко уменьшилась. Проиллюстрируем это
следующим примером. Если заряды, моделирующие поле,
располагаются на окружности единичного радиуса, то при
использовании фундаментальных решений  R, r   ln R  r


потенциал поля в начале координат, независимо от решаемой задачи,
оказывается равным нулю. Это происходит вследствие равенства
нулю детерминанта системы МТИ и соответственно обращения
числа обусловленности системы в бесконечность. При этом,
естественно, получить достаточно точное численное решение
краевой задачи с помощью МТИ практически невозможно. Но если
немного изменить радиус вспомогательной окружности, то ситуация
резко изменится.
На рисунке 1 представлена зависимость погрешности МТИ от
радиуса вспомогательной окружности. Искомое поле создавалось
точечным зарядом, отстоящим от центра области решения на
расстоянии, равном 2,0r0, где r0=2/3 радиус области Ω. Радиус
вспомогательной окружности менялся в пределах от 1–10-8 до 1+10-8.
Число моделирующих зарядов равнялось N= 50.
Относительная погрешность
1,5E+00
1,0E+00
5,0E-01
1,0E-04
-10
-5
0
5
10
(R-1)/1E9
Рисунок 1. Зависимость относительной погрешности от
радиуса вспомогательной окружности R.
Из рисунка 1 видно, что при радиусе вспомогательной
окружности R=1 относительная погрешность превосходит 150%.
Однако незначительное изменение радиуса вспомогательной
4
окружности всего на одну миллиардную долю своего
первоначального значения приводит к резкому паданию
погрешности до значения порядка 10-4. Такое поведение
погрешности МТИ, как показывают вычислительные эксперименты,
является типичным. Если при некотором расположении узлов и
зарядов наблюдается аномально большая погрешность, то обычно
достаточно незначительного изменения их положения, чтобы
исправить ситуацию.
Для линейных уравнений эллиптического типа в качестве
тестовых задач для численного метода следует использовать задачи
моделирования полей, создаваемых точечными зарядами при их
различном положении. При этом наблюдается существенное
различие между двумя ситуациями [12]. Первая ситуация возникает,
когда заряд, создающий поле находится за пределами
вспомогательного контура Sq. Рассмотрим, как распределены на
вспомогательной окружности заряды, моделирующие поле,
созданное точечным зарядом Q.
Если заряд Q, создающий поле, расположен в точке, с
полярными координатами (ρ, 0), а радиус вспомогательной
окружности R<ρ, то очевидно, что в точке (R, 0) будет располагаться
наибольший по величине заряд q1 из числа зарядов qi,
моделирующих поле. По мере роста угла φ величина зарядов qi,
расположенных в этом направлении, убывает и принимает
минимальное значение при φ=π для заряда с номером, близким к
N/2. Очевидно также, что чем ближе вспомогательная окружность
находится к заряду Q, тем более резким становится максимум в
точке φ=0. Это видно из рисунка 2, на котором представлена
зависимость величины зарядов, расположенных на вспомогательной
окружности Sq, от угловой координаты заряда φ .
Заряд, создающий поле, располагался в точке, с угловой
координатой φ0=0 на расстоянии ρ=1,5r0 от центра области S,
радиусом r= r0, т.е. в точке с координатами (1,5r0, 0). Сплошная
линия на рисунке 2 представляет распределение заряда на
вспомогательной окружности радиусом R=1,35r0, пунктирная линия
- на вспомогательной окружности радиусом R=1,1r0.
Ситуация резко изменяется, если радиус вспомогательной
окружности превышает радиальную координату заряда, создающего
поле, т.е. если R>ρ. В этом случае с ростом числа зарядов их
5
распределение не стремится к какой- либо фиксированной
зависимости. Это свидетельствует о неустойчивости задачи
нахождения зарядов, моделирующих искомое поле. При этом знаки
зарядов от узла к узлу меняются, и с ростом общего числа зарядов
наблюдается увеличение абсолютных значений величин зарядов.
Заряд
1,0E+00
R=1,35r
1,0E-01
R=1,1r
1,0E-02
-180
-130
-80
-30
20
70
120
170
Угол в градусах
Рисунок 2. Распределение зарядов на вспомогательной
окружности
На рисунке 3 показана зависимость величины заряда от его
угловой координаты при радиусе вспомогательной окружности
R=1,5r0, превышающем радиальную координату ρ=1,2 r0 заряда,
создающего поле. Количество зарядов составляло N=50.
Из рисунка 3 видно, что максимальные по величине заряды
располагаются в окрестности заряда q1, ближайшего к заряду Q,
создающему поле. По мере удаления от заряда q1 знак зарядов
периодически изменяется при переходе от заряда к заряду, в то
время как величина зарядов qi, моделирующих поле, быстро падает.
Это вполне согласуется с интуитивно ожидаемым результатом.
В действительности при R>ρ характер зависимости
погрешности от числа зарядов изменяется, быстрота убывания
погрешности МТИ с ростом N заметно уменьшается, поэтому
достижение заданной высокой точности вычислений в некоторых
случаях может оказаться проблематичным (из-за накапливающейся
погрешности округления при вычислениях).
6
2,0E+02
1,5E+02
Величина заряда
1,0E+02
5,0E+01
0,0E+00
-5,0E+01
-1,0E+02
-1,5E+02
-2,0E+02
-170
-120
-70
-20
30
80
130
Угол в градусах
Рисунок 3. Зависимость величины заряда от угловой
координаты.
Необходимо подчеркнуть, что, несмотря на то, что при R>ρ
задача нахождения зарядов, моделирующих искомое поле,
становится неустойчивой и распределение точечных зарядов при
N   не стремится к некоторому фиксированному
распределению зарядов на вспомогательной окружности (поэтому
задача нахождения этого распределения становится некорректной),
тем не менее, задача нахождения потенциала поля с заданной
точностью остается вполне разрешимой.
Литература
1. Алексидзе, М.А. Фундаментальные функции в приближенных
решениях граничных задач. - М.: Наука, 1991.
2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic
boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Ad. Vol. Comput.
Math. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.
3. Князев, С.Ю. Решение граничных задач математической физики с
помощью метода точечных источников поля / С.Ю. Князев, Е.Е. Щербакова
// Изв. вузов. Электромеханика.- 2007.- № 3.
4. Князев, С.Ю. Моделирование полей упругих деформаций с
применением метода точечных источников / С.Ю. Князев, В.Н. Пустовойт,
Е.Е. Щербакова //Вестник Донского государственного технического
университета. 2015. Т. 15. № 1 (80). С. 29- 38.
5. Князев, С.Ю.
Численное решение краевых задач для
неоднородных уравнений Гельмгольца методом точечных источников поля
7
/ С.Ю. Князев, Е.Е. Щербакова, А.Н. Заиченко // Изв. вузов.
Электромеханика. 2014. № 4. С. 14-19.
6. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.
Тихонов, В.Я.Арсенин. - М. : Наука, 1979. - 286 с.
7. The method of fundamental solutions and condition number analysis for
inverse problems of Laplace equation / D.L. Young, C.C. Tsai, C.W. Chen, C.M.
Fan // Comput. and Math. Appl. - 2008. - Vol. 55. - P. 1189-1200.
8. Barnett, A.H. Stability and convergence of the method of fundamental
solutions for Helmholtz problems on analytic domains / A.H. Barnett, T. Betcke
// J. Comput. Phys. - 2008. - Vol. 227. - P. 7003-7026.
9. Smyrlis, Y.S. Some aspects of the method of fundamental solutions for
certain harmonic problems / Y.S. Smyrlis, A. Karageorghis // J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 16 (3). - P. 341 -371.
10. Drombosky, T.W. Applicability of the method of fundamental
solutions / T.W.Drombosky, A.L. Meyer, L. Ling // Eng. Anal. Bound. Elem. 2009. - Vol. 33. - P. 637-643.
11. Li, Z.C. Study on effective condition number for collocation methods /
Z.C. Li, H.T.Huang // Eng. Anal. Bound. Elem. - 2008. - Vol. 32. - P. 839-848.
12. Князев, С.Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных
источников поля при численном решении краевых задач для уравнения
Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 1. - С. 312.
SOME FEATURES OF THE POINT SOURCE METHOD
S. Yu. Knyazev, E. E. Shcherbakova, A. A. Shcherbakov
Don State Technical University, Rostov-on-Don
A brief description of the point source method (PSM) was analyzed. On
the example of the numerical solution of two-dimensional boundary value
problems for the Laplace equation discusses some features of the PSM, related to
its sustainability and convergence solutions. It has been shown that even if
determinant of the matrix the PSM system is zero, it is enough to make a small
change in the position of at least one of the collocation points or charges to allow
for new, modified position of collocation points or charges and matrix
determinant proved to unequal to zero and the error of the numerical solution
sharply reduced. It is also shown that, despite the instability of the problem of
finding modeling charges, the problem of finding the potential field the problems
we discuss some features of the system.
Keywords: the field Point-Source method, method of fundamental solutions,
boundary value problems, elliptic equation.
8