Энергетика

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2009. № 2 (24)
Энергетика
УДК 538.12
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПОЛЕЙ И ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ
В МНОГОСЛОЙНЫХ РАДИОПРОЗРАЧНЫХ УКРЫТИЯХ
Б.В. Аверин1
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Разработана математическая модель, позволяющая находить распределение
электрических полей в п-слойном плоском РПУ для ТЕ- и ТМ-поляризаций. По
найденным значениям составляющих Е определены внутренние источники теплоты в
каждом слое РПУ.
Ключевые слова: аналитические решения, радиопрозрачные укрытия, многослойные
конструкции, электромагнитное поле, внутренние источники теплоты.
Радиопрозрачные
укрытия
(РПУ)
предназначены
для
защиты
радиолокационных станций (РЛС) на основе фазированных антенных решеток
(ФАР) от влияния внешних факторов. Создаваемые в России и за рубежом РЛС на
основе ФАР [1 – 4] представляют собой крупногабаритные радиоэлектронные
системы, состоящие из сотен тысяч элементов. Особенностью станций данного типа
является высокий уровень мощности электромагнитного излучения со средней
плотностью потока от 20 кВт/м2 и выше, высокая скорость перемещения антенного
луча согласно заданной на ЭВМ программе, и обзор широкого сектора пространства
при большой ширине полосы частот излучения сигналов.
Рассмотрим многослойную плоскую среду, состоящую из п параллельных слоев
толщиной hi (i  1,2...., n) . Пусть материал каждого слоя характеризуется
комплексными диэлектрической  i   i  j i
и магнитной i  i  ji
проницаемостями и на границу среды падает под произвольным углом 0 плоская
электромагнитная волна.
Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость ХОУ совпадала с
границей раздела сред, а плоскость ХОZ – с плоскостью падения волны (рис. 1).
Многослойную
среду
приведем
к
однослойной,
представляя
ее
электрофизические характеристики через асимметричную единичную функцию
1
192
Аверин Борис Викторович – кандидат технических наук, доцент
е-mail: totig@yandex.ru
n 1
 ( z )  1   ( i 1   i )S _( z  zi ) ,
(1)
i 1
n 1
 ( z )  1   ( Ei 1  Ei )S _( z  zi ) ,
(2)
i 1
0, если z  zi
– асимметричная единичная функция.
1, если z  zi
где S _( z  zi )  
Р и с. 1. Расчетная схема n-слойного РПУ
Уравнение Гельмгольца для неоднородной среды с разрывными физическими
свойствами имеет вид [5]
 ( õ, z)  2
 ( õ, z)
 2
 ( õ, z)  0 ,

 K 2 ( z )
2
2
x
z
(3)
 ( õ , z )  Å ( õ , z ) – комплексная амплитуда электрического поля; 
 ( õ , z )  Í –
где 
y
y
комплексная амплитуда магнитного поля; K ( z )  K 0 E ( z )  ( z ) – коэффициент
распространения волны; K 0  / ñ – волновое число в свободном пространстве; с –
скорость света; j 2  1 .
Решение уравнения (3) находим методом разделения переменных в виде
 ( х , z)  Х ( x)Ф
 ( z) .

(4)
Подставив (4) в (3), получим два дифференциальных уравнения
 ( z ) / dz 2  [ K 2 ( z )  a 2 ]Ф
 (z )  0 ;
d 2Ф
 ( õ) / d 2 x  a2 Õ
 ( õ)  0 .
d2Õ
(5)
(6)
Общее решение уравнения (6) имеет вид
 ( õ)  A å jax  B å jax ,
Õ
1
1
(7)
где а – некоторая постоянная.
193
Вдали от многослойной стенки, где среда является однородной, падающую
плоскую волну записать в виде
 ( õ, z)  Ñå jK0 ( xsin 0 z cos0 ) ,

(8)
где С – постоянная интегрирования.
Отраженная волна будет
ÑVå jK0 ( x sin z cos0 ) .
(9)
Таким образом, зависимость электромагнитного поля от координаты х вне
стенки будет характеризоваться функцией å j sin 0 õ .
Сравнивая выражения (8), (9) с (7), получаем В1=0.
Так как а является константой, то можно положить à  sin 0 .
Подставляя (7) в (4) и относя постоянную А1 к функции Ô ( z ) , которая пока еще
неизвестна, получаем
 ( õ, z )  Ô
 ( z ) óåjK 0 sin 0 õ .

(10)
Волновое дифференциальное уравнение (5) запишем в виде
 ( z ) / dz2   2 ( z)Ô
 (z )  0 ,
d 2Ô
(11)
где  ( z )  K 0  ( z )  ( z )  sin 0 .
Коэффициент распространения волны  (z ) с учетом (1) и (2) представим как
n 1
 ( z )   1   ( i 1   i )S _( z  zi ) .
(12)
i 1
Подставляя (12) в (11), получаем
коэффициентами типа ступенчатых функций
дифференциальное
уравнение
n 1
d 2Ô ( z ) 

  1   ( i 1   i )S _( z  zi ) Ô ( z )  0 .
2
dz
i

1


с
2
(13)
В настоящей работе разработан метод получения замкнутого аналитического
решения уравнения (13), сущность которого заключается в следующем. Вместо z
введем новую независимую переменную  , вычисляемую по формуле
z
n 1
0
i 1
    ( z )dz   1 z   ( i 1   i )( z  zi )S _( z  zi ) .
Тогда дифференциальное (13) в новой переменной запишется в виде
n 1
 ( ) / d 2  Ô
 ( )      i i 1  1 _(   ) ,
d 2Ô
i


i 1   i 1 i

где  _(  i ) 
194
dS _(  i )
– асимметричная импульсная функция.
d
(14)
Граничные условия в новой переменной на «входе»
электромагнитной волны (14) (рис. 1) имеют следующий вид:
и
«выходе»
d Ô 0 (0)
d Ô 1 (0)
 j
j
Ô ( )  A1å 0  B1å 0 ; Ô 0 (0)  Ô 1 (0); v1 0
 v 1
;
d
d
(15)
d Ô n ( n )
d Ô n 1 ( )
j
Ô n 1  An 1å n1( n ) ; Ô n ( n )  Ô n 1 ( n ); vn 1 n
 vn n 1
,
d
d
где  0   0 ;  1  1 ;  n   n ;  n1   n1 – для TМ-волны (параллельно поляризованная
волна);  0  0 ;  1  1 ;  n  n ;  n1  n1 – для TЕ-волны (перпендикулярная
поляризация).
Дифференциальное уравнение (14) является линейным неоднородным
уравнением с особенностью в правой части импульсного типа. Его общее решение,
используя метод вариации произвольных постоянных [6], находим в виде

 v 
 1  v  
Ô  An 1  1  n n 1 å j ( n  ) 1  n n 1 å j ( n  )  
 2  vn 1 n 

 vn 1 n 
(17)
v
 d Ô (i )
  åi i  i i 1  1
Sin (  i )1  S _(  i ),
i 1
 vi 1 i  d
n 1
1 

где An 1  A1  1 

4 
 ( ) 
v0 1  vn n 1  i n 1 n 1 i i  vi i 1  d Ô
i
1 
å   å 


1

v1 0  vn 1 n 
j i 1  vi 1 i  d 

1
1  v    v  
 1  0 1  1  n n 1 å i n
4  v1 0   vn 1 n 

1 n 1  i i  vi i 1  d Ô (i )  
  å 
 1
 ;
j i 1
 vi 1 i  d  

А1 – комплексная амплитуда поля в падающей волне; Аn+1 – соответственно в
прошедшей волне через многослойную систему (рис.1).
Неизвестные производные в точках  i находятся по рекуррентной формуле
 1 n1
 v 
1  v  
 1  n n1 l i (n ê ) 1  n n1 l i (n ê )    åi (i k ) 
2  vn1 n 
 2 i1
 vn1 n 

d Ô
d
  k
 ( )
v
dФ
i
1  S _( k   i )
 е i ( i  k )  i i 1  1
v

d

 i 1 i 
(к = 1, 2,…,n-1).
(18)
C учетом (18) составляющая электрического поля для ТЕ волны имеет вид
1   n1  i (n  )   n1   j (n  ) 
 ( )  A 

å
å
Å
1 

n1  1 
 n 
 n 
 2 


 ( )
n 1

dÅ
i
  åi i  i 1  1
Sin (   i )1  S _(  i ).

d

i 1
 i

(19)
195
В выражении (19) магнитная проницаемость слоев принята равной единице (для
диэлектриков, применяемых в РПУ).
Определим теперь электрическую компоненту электромагнитного поля для ТМполяризации. Запишем комплексную амплитуду магнитной составляющей поля в
виде (10)


 ( x,  )  A  1 1   n n1 å j (n  ) 1   n n1 å (n  )  
H
n 1
   
 2   n1 n 
n 1 n 


 ( )
n1
 
dH
i
  åii  i i1  1
Sin (   i )1  S _(   i )å jKoSin 0 x .


d

i 1
 i1 i

(20)
 x ( x,  ) для параллельной поляризации
Тангенциальную составляющую Å
найдем из соотношения Максвелла, записанного в новой переменной
 ( )  1   n n1  j (n  )   n n1   j (n  ) 
 ( x,  )  A
å
å
Å
1 

 1 
x
n1


Êî  ( ) 
2






n

1
n
n

1
n




 
 ( )
1 n 1  i i 1  d H
ó
i
(21)
 1
Cos(  i )1  S _(  i )å jKoSin  0 x .
 
j i 1   i 1 i  d
 ( x,  ) , определяемая из
Нормальная составляющая электрического поля Å
z

соотношения
 (õ,  )/    jKî  ( ) Å
 ( x,  ) ,
H
y
z
приводится к виду
 z ( x,  )  A sin  0
Å
n1
 ( )
 1     j (  )

   
n n1
e n   1  n n1 e  j (n  )  
 1 

   
 2   n1 n 
n1 n 


 ( )
n 1  
dH
y
i
   i i 1  1
Sin (  i )1 S _(  i )e jKoSin  0 x .
d

i 1   i 1 i

(21)
Результирующую электрического поля для ТМ-поляризации найдем как
сумму векторов, не зависящих от х:
 p ( )  Å
 x ( )  Å
 z ( ) .
Å
(22)
Закон распределения мощности объемных источников теплоты по толщине
многослойного укрытия найдем по аналогии с однородным РПУ [1]:
q ( ) 
2
2 ( ) Pz 
Å ó ( ) / À1
ýì Cos0
– для ТЕ-
q ( ) 
2
2 ( ) 
ÅP ( ) / À1 – для ТМýì Cos 0
поляризации
,
где
n 1
 ( )   tg1   ( i1tg i 1   i tg i )S _(  i ) ;
i 1
196
поляризации,
 i – относительная диэлектрическая проницаемость i-того слоя укрытия; tg i –
тангенс диэлектрических потерь в i-том слое РПУ; Pz – плотность падающего
электрического излучения Âò/ì 2 ; ýì – длина падающей на РПУ электромагнитной
волны.
Среднюю (интегральную) мощность внутреннего источника теплоты в к-том
слое (к = 1, 2,…,n) укрытия вычислим как
k
2Pz
1
(23)
q ê 
  ( ) Å ( ) / À1 d ,
ýì Cos0  k   k 1  k 1
ê
где  ê    i hi .
i 1
Среднюю мощность внутреннего источника теплоты по всей толщине nслойного укрытия найдем из выражения
q 
2
2Pz
1 n
 ( ) Å ( ) / À1 d ,

ýì Cos0  n 0
(24)
n
где  n    i hi .
i 1
Распределение тепловых потерь Ròï ( ) по толщине укрытия найдем по формуле
RÒï ( ) 
2
2 ( ) 
Å ( ) / À1 .
ýì Cos0
(25)
Средний коэффициент тепловых потерь к-том слое имеет вид
RÒï 
ê
2
  ( ) Å ( ) / À1 d .
ýì Cos0  ê 1
(26)
Средний (интегральный) коэффициент тепловых потерь по всей толщине nслойного укрытия определим из выражения
RÒï 
ê
2
2
 ( ) Å ( ) / À1 d .

ýì Cos0 0
(37)
В качестве примера найдем распределение интегральных тепловых потерь в
трехслойном и пятислойном РПУ по формуле (27) в зависимости от угла падения
луча на границу сред и длины TE- и ТМ-поляризованной волны (рис. 2).
Несущие слои (обшивки) у трехслойного и пятислойного укрытия выполнены
из стеклотекстолита марки СК-9 ХК, который имеет следующие диэлектрические и
геометрические характеристики:    3,3 ; tg  0,008 ; толщина обшивок – 1,2 10 3 ì .
Заполнитель – пенопласт ППИ-2 толщиной 60 10 3 ì с параметрами:    1,26 ,
tg  0,0016 . В пятислойном РПУ, в отличие от трехслойного, учтены клеевые
прослойки, выполненные из клея марки ВК-46 А толщиной 0,3  10 3 ì с
параметрами:    3,6 , tg  0,0013 .
Как видно из графиков, интегральные тепловые потери в пятислойном укрытии
превышают потери в трехслойном, причем, у TЕ-волны потери для обоих укрытий
больше, чем у ТМ-волны. С увеличением угла падения волны тепловые потери
возрастают.
197
Р и с. 2. Распределение интегральных тепловых потерь в трехслойном и пятислойном РПУ (ýì  1 ì ) .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в
многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. дис. … канд.
техн. наук. – М.: МИТХТ, 1999. – 22 с.
2. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток:
Автореф. дис. … канд. техн. наук. – М.: НИИРФ, 1984. – 18 с.
3. Гулабянц Л.А. Теплофизические основы проектирования ограждающих конструкций
радиотехнических комплексов с высоким уровнем излучаемой мощности: Автореф. дис. … канд.
техн. наук. – М.: НИИСФ, 1987. – 42 с.
4. Справочник по радиолокации: Пер. с англ. Т.2 / Под общей ред. К.Н. Трофимова, М. Сколника. В 4х т. – Нью-Йорк, 1970.
5. Радиолокационные антенные устройства / Под ред. П.И. Дудника. – М.: Сов. радио, 1974. – 408 с.
6. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – М.: Изд-во АН СССР, 1957.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука,
1977. – 831 с.
Статья поступила в редакцию 2 апреля 2009 г.
UDC 538.12
MATHEMATICAL MODELLING OF ELECTROMAGNETIC
FIELDS AND INTERNAL HEAT SOURCES IN RADOMES.
B.V. Averin1
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100
A mathematical model, allowing one to find out distribution of electric fields in n-layer flat radomes is developed for TE- and TM-polarization. The internal heat sources in every layer of a
radome are identified using the obtained values of E-components.
Key words: analytical solution, radome, multilayer design, electromagnetic field, internal heat
sources.
1
198
Вoris V.Averin – Candidate of Technical Sciences, Associate professor.
УДК 621.431.73
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ДУГООБРАЗОВАНИЯ В СИСТЕМЕ ЗАЖИГАНИЯ АВТОМОБИЛЯ
С.В. Петровский1
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Приводится сравнение математических моделей электрической дуги (модели Майра,
Касси и обобщенной модели) для исследования процессов в системе зажигания
автомобиля.
Ключевые слова: электрическая дуга, математическая модель, система зажигания.
Для надежного воспламенения топливно-воздушной смеси в камере сгорания
двигателя внутреннего сгорания необходимо, чтобы разряд между электродами
свечи зажигания был устойчивым. При исследовании энергетической устойчивости
дугового разряда, в том числе и разряда между электродами свечи зажигания,
необходимо иметь математическое описание электрической дуги как элемента
электрической цепи.
В данном случае величинами, которые полностью характеризуют дугу,
являются ток и напряжение. Зависимость, связывающая ток и напряжение дуги, и
будет ее энергетической моделью. При моделировании необходимо предварительно
выбрать вид уравнения, связывающего ток и напряжение, а затем по опытным
данным определить коэффициенты или параметры этого уравнения.
Выбор структуры определяет возможности дальнейшего моделирования.
Следовательно, он должен быть проведен с максимальной тщательностью. Здесь
требуется использовать все имеющиеся в распоряжении сведения о наиболее общих
свойствах объекта моделирования и, в первую очередь, результаты его
аналитического исследования.
Аналитическое исследование процессов, происходящих в дуге, на данный
момент не дает надежных количественных данных о параметрах моделей дуги, но
может быть опорой при определении ее структуры. Аналитическая модель дуги как
элемента электрической цепи базируются на исследовании уравнения переноса
энергии. Это связано с тем, что тепловые процессы в дуге относятся к наиболее
инерционным, и в основном они определяют ее динамические свойства.
Рассмотрим, следуя подходу, предложенному Брауном, один из методов
получения структуры модели дуги:
dQ
WP,
(1)
dt
где Q – теплосодержание , W и P – мощности тепловыделения и теплоотвода.
В дуговом стволе не происходит накопления энергии электромагнитного поля,
поэтому описание дугового разряда в интегральных параметрах при переходном
режиме удобно вести через активную проводимость разрядного канала, которая
является функцией теплосодержания
1
Петровский Сергей Валерьевич – ассистент.
199
g  F(Q) .
(2)
Учитывая, что тепловыделение в дуге можно считать функцией только
протеканющего по ней тока i , после некоторых преобразований получим
математическую модель дуги в следующей форме:
1 dg
1
dF (Q)
(3)
*

*
* (u * i  P).
g dt F (Q)
dQ
Известен ряд динамических моделей, основанных на различных представлениях
механизма переноса энергии в стволе дуги.
В данной работе рассмотрены три наиболее распространенные на практике
модели дугообразования в системе зажигания и проведено их сравнение с
экспериментальными данными.
Математическое описание модели Майра получено из рассмотрения процессов в
дуге при допущении, что рассеивание тепловой энергии в радиальном направлении
обусловлено только теплопроводностью. Этот подход базируется на предположении
термической ионизации и постоянства диаметра ствола дуги в переходном режиме.
Иными словами, мощность, выделяющаяся в дуге, постоянна и не зависит от
изменения тока, а с током изменяется температура дуги.
При
Q
0
F
(Q
)g0*e Q
(4)
P  P0 ,
(5)
где g0 , Q0 , P0 – постоянные, мы получим модель Майра. В результате получена
модель дуги в следующей форме:
 dg u*i
* 

1
,
g dt P
0

Так как
Q0
P0 .
i
g ,
u
duci
i
а dt  c ,
i
(6)
(7)
(8)
(9)
то с учетом этого уравнение (3) в параметрах U, I можно записать в следующем
виде:

du
1
di
1
1
u
*
i 


*
*c
*

1
.


i dt
udt

P
0 

(10)
Математическое описание процессов дугообразования на основании модели
Касси получено в предположении, что в процессе охлаждения продольно
обдуваемой дуги преобладает конвекционный отвод тепла, пропорциональный
сечению дуги, при фиксированной температуре в пространстве и времени. Иными
словами, этот анализ основан на предположении, что температура в стволе дуги
постоянна и не зависит от тока, в то время как мощность в стволе дуги изменяется с
током. В результате была получена модель дуги в следующей форме:
2
dgu
*  
1
.

g dt 
0
u
200
(11)
По аналогии в параметрах U, I можно записать:
2

du
1
di
1
1
u


*
*c
*
[
1
]
,


i dt
udt

u
0


(12)
где u0 – напряжение на дуге в установившемся режиме.
В качестве исходного уравнения для адаптивного моделирования дуги на основе
обобщенной модели вводится уравнение вида
*
dg
1 dg
d (ui)
 Q* *  *
 u *i  P  g * K .
dt
g dt
dt
(13)
При этом динамические свойства дуги определяются коэффициентами  ,Q,  , а
статическая вольтамперная характеристика имеет следующий вид:
u *i  P  g * K ,
(14)
где u , i, g соответственно напряжение, ток, проводимость, а P, K – коэффициенты.
Выбор структуры подобного описания удовлетворяет следующим требованиям:
a) широта охвата известных моделей дуги;
b) удобство реализации;
c) ограничение сложности модели.
В частности, эта модель при   0,   0 обобщает модель Майра, а при
Q  0,   0 – модель Касси.
Приведем сравнение различных подходов, применяемых к анализу процессов
дугообразования. В случае с системой зажигания, которая воспламеняет рабочую
смесь в камере сгорания двигателя, теория Касси менее правдоподобна из-за того,
что условия зажигания рабочей смеси и нагрузка постоянно меняются (пуск, разгон,
движение с постоянной скоростью при постоянной нагрузке и тому подобное). А так
как давление в камере сгорания постоянно меняется, то условия горения и
теплоотвода дуги тоже будут меняться. Поэтому утверждение, что температура в
стволе дуги постоянна и не зависит от тока, практически необоснованно.
По многочисленным опытным данным, которые получены в самых различных
условиях и для различных значений U и I, можно сказать, что теория Касси
подтверждается при больших токах (сотни ампер), а теория Майра – при малых
токах. Поэтому для систем зажигания, где токи в условиях горения дуги составляют
20-40 mA, модель Майра подходит больше. Но есть еще и другие модели –
например, обобщенная модель, которая, как уже было указано, обобщает и модель
Майра, и модель Касси; ее также необходимо проверить на соответствие
применительно к системам зажигания.
Решение уравнения математической модели
Математическое моделирование дуги производится по методу Рунге-Кутта в
среде MathCAD, где дуга моделируется системой из пяти дифференциальных
уравнений, которые были составлены на основе схемы замещения СЗ (рис. 1).
В данную схему входят:
- катушка зажигания, моделируемая посредством эквивалентной схемы
замещения;
- дуговой промежуток между электродами свечи зажигания;
201
- распределитель, сигнал которого поступает на вход катушки зажигания; он
выполняет функцию распределения высоковольтных импульсов по проводам;
- высоковольтные провода, рассматриваемые как проводниковый материал.
Р и с. 1. Схема замещения СЗ
Исходя из схемы замещения составляются пять дифференциальных уравнений
по числу неизвестных величин, для которых необходимо получить их зависимость
от времени (i1(t), Uс1(t), i2(t), Uс2(t), i5(t)). Причем i1(t) – ток в первичной обмотке
катушки зажигания, Uс1(t) – напряжение на первичной обмотке катушки зажигания,
i2(t) – ток во вторичной обмотке катушки зажигания, Uс2(t) – напряжение на
вторичной обмотке катушки зажигания, i5(t) – ток дуги. Первые четыре уравнения
составляются на основе токов и напряжений первичной и вторичной обмоток
катушки зажигания. Пятое уравнение составляется для дугового промежутка и, как
следствие этого, является нелинейным [4].
Сама система дифференциальных уравнений имеет вид




di1'
 k1 * uc' 1  i1' * r1'  k 2 * uc 2  i2 * r2 ;
dt
duc' 1
dt


1
c1'
* i1' ;
 

di
'
' '
2

k
*
u

i
*
r

k
*
u

i*
r;
3
c
1
1
4
c
2 22
dt 1
du
1
c
2
i2i5;
 *
dt c
2
2
u

*
i

di
i

i
*
i
5
2
5
51
2 5
 c




i
5
,



dt
c
*
u

U
*
i

P
2
c
0
5
0
2


где k1 = - 0.5885; k2 = - 0.5859; k3 = - 0.586; k4 = - 0.626 – коэффициенты, P0 –
мощность, выделяемая в дуге, а θ – постоянная времени дуги, при этом начальные
условия для данных токов и напряжений берутся из расчета 1% от номинальных
значений.
Последнее, пятое, уравнение получено по модифицированной модели Майра
путем подстановки формулы (9) в формулу (10); аналогично в двух других случаях
202
это уравнение заменяется уравнением, написанным по модели Касси или по
обобщенной модели.
Результаты экспериментальных исследований, направленных на подтверждение
достоверности построенных математических моделей, были получены при помощи
многофункциональной платы АЦП L-783 c разрядностью 12 бит и тактовой частотой
3 МГц, установленной в компьютер, и производились на стенде марки СПЗ-16,
моделирующем работу системы зажигания. Плата имеет 16 каналов ввод/вывод, из
которых в ходе эксперимента использовалось только три. Пропускная способность
установки, таким образом, составляла около 1 МГц на канал (948 кГц на канал –
реальное, более устойчивое состояние системы). В данной части работы были
изучены следующие зависимости:
- зависимость напряжения на свече зажигания от времени (Uсв(t));
- зависимость напряжения на вторичной обмотке катушки зажигания от
времени (U2m(t));
- а также зависимость тока, проходящего через электроды свечи зажигания, как
функции времени (Iсв(t)).
Р и с. 2. Экспериментальная кривая временной характеристики напряжения на вторичной
обмотке катушки зажигания (1), модель Майра (2), модель Касси (3) и обобщенная
модель (4)
В ходе исследования производились измерения трех вышеописанных величин с
заданной частотой дискретизации. Ранее те же величины измерялись с помощью
звуковой карты. Аналоговый сигнал при помощи звуковой карты представлялся в
цифровом виде и записывался в файл. Обработка файла осуществлялась редактором
CooL Edit 96, где его можно представить в виде графика или спектра. В плане
качества результат аналогичен полученному ниже. Кроме того, достоверность
опытных данных подтверждается также в учебной и научной литературе [2].
Результатом экспериментальных исследований явилось подтверждение с
приемлемой
для
инженерных
расчетов
погрешностью
разработанных
математических моделей и экспериментальных данных, что иллюстрируется
графиком, показанным на рис. 2.
203
Выводы
1. Анализ кривых, приведенных на рис. 2, показывает, что между кривыми,
записанными при помощи АЦП и промоделированными на MathCAD, практически
достигнуто соответствие. Детальное их сравнение показывает близкое соответствие
при различных искажениях участка горения дуги и участка затухания.
2. На экспериментальной кривой эти участки более четко выражены по
отношению к кривым, полученным по математическим моделям, которые описаны в
данной статье. Модель Майра наиболее близка к экспериментальной кривой
(погрешность 15%), так как на ней участок горения дуги более стабилен, но при
этом участок затухания выражен слабо (погрешность 25%).
3. В модели Касси (3) и обобщенной модели (4) участок горения дуги менее
стабилен по отношению к экспериментальной кривой (погрешность соответственно
25-35%),
но
обобщенная
модель
дает
наиболее
приближенный
к
экспериментальному участок затухания (погрешность 15%), который в модели
Касси выражен менее точно (погрешность 25%).
4. Таким образом, исходя из изложенного выше можно сделать заключение,
что модель Майра наиболее точно описывает процессы, происходящие в системе
зажигания при горении дуги между электродами свечи зажигания. Это создает
практическую основу для исследований по улучшению системы зажигания.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Isermann, R., Muller, N. Design of computer controlled combustion engines // Mechatronics, 13 (2003),
pp. 1067-1089.
2. Новиков, О. Я., Петровский, С. В., Путько, В. Ф. Математическое моделирование системы
зажигания автомобильного двигателя.
3. Kalogirou, S. Artificial Intelligence for the modelling and control of combustion processes: a review. //
Processes in Energy and Combustion Science, 29 (2003), pp. 515-566.
4. Петровский С. В., Кириллов, А. В. Использование звуковой карты для исследования напряжения на
свече зажигания.
5. Ribbens, W. Understanding Automotive Electronics. 7th Edition: Newnes, 2003. ISBN 0-7506-7599-3.
Статья поступила в редакцию20 мая 2009 г.
UDC 621.431.73
MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESSESIN
IN ELECTRIC ARCH OF THE CAR IGNITION SYSTEM
S.V.Petrovski1
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100
In the presented paper a comparison of mathematical models of an electric arch (Majra’s
model, Kassi’s model, and the generalized model) is done that can be used for the investigation
of processes in automobile ignition system.
Keywords: electric arch, mathematical model, ignition system.
1
204
Sergey V.Petrovski – Assistant.
УДК 536.2 (075)
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО И ТЕПЛОВОГО
ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
Е.В. Стефанюк, И.В. Кудинов1
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Используя математические модели динамического и теплового пограничного слоя,
представленные в виде интегральных уравнений (Кармана и Г.Н. Кружилина), на основе
введения дополнительных граничных условий разработана методика получения
приближенных аналитических решений исходных дифференциальных уравнений
(Прандтля – для гидродинамического и Польгаузена – для теплового) пограничных
слоев, позволяющая получать решения практически с заданной степенью точности.
Так, уже в четвертом приближении отличие полученных аналитических решений от
точных, найденных путем численного интегрирования соответствующих краевых
задач, не превышает 0,01%.
Ключевые слова: динамический и тепловой пограничные слои, интегральные уравнения,
приближенное аналитическое решение, дополнительные граничные условия.
1. Введение
При обтекании тела потоком жидкости, имеющей скорость  (скорость
невозмущенного потока), вблизи поверхности тела образуется динамический
пограничный слой, в пределах которого скорость течения изменяется от нуля на
стенке до скорости невозмущенного потока.
При наличии разности температур между стенкой и набегающим потоком
вблизи стенки наряду с динамическим образуется также тепловой пограничный
слой, в пределах которого температура среды изменяется от t x,0 до температуры
невозмущенного потока t ср .
Теория пограничного слоя была предложена Л. Прандтлем в 1904 г., и в
настоящее время на ней базируются основные современные представления о
процессах переноса теплоты и массы. Теория пограничного слоя связана с
гидродинамической теорией теплообмена, основывающейся на идее О. Рейнольдса о
единстве механизма конвективного переноса тепла и механической энергии в
пограничном слое. Такое представление позволяет установить связь между
теплоотдачей и гидравлическим сопротивлением трения, что, в свою очередь, дает
возможность на основе гидродинамических расчетов или экспериментов получать
формулы для определения коэффициентов теплоотдачи [1−3].
Для теоретического определения коэффициентов теплоотдачи и сопротивления
трения необходимо иметь описание скоростного и температурного полей в виде
аналитических зависимостей  x  f1 x, y  и t  f 2 x, y  . Таким образом, для
1
Стефанюк Екатерина Васильевна – кандидат технических наук, старший преподаватель.
e-mail: stef-kate@yandex.ru
Кудинов Игорь Васильевич – аспирант.
205
расчета коэффициента теплоотдачи необходимо иметь аналитическое решение
задачи теплового пограничного слоя, а для его получения нужно иметь
аналитическое решение задачи динамического пограничного слоя. Получение
аналитических решений таких задач рассматривается ниже.
2. Приближенное решение динамической задачи
Математическая постановка задачи для динамического слоя включает систему
уравнений Прандтля с соответствующими граничными условиями [1–3]:
 x
 x
2x
 x  y
;
(1)
(2)
x
 y
ν

 0;
x
y
x
y
y 2
x
y 0
 y
y 0
 0;
x
(3)
y   x 
   const ;
(4)
 2  x x,0 y 2  0 ,
(5)
(6)
где  x ,  y – составляющие скорости по соответствующим координатным осям; x, y
 x x,   y  0 ;
– координаты;  x  – толщина динамического пограничного слоя;  – скорость
невозмущенного потока вдоль оси x ;    /  – кинематическая вязкость жидкости.
Применительно к тепловому пограничному слою уравнение энергии приводится
к виду (уравнение Польгаузена)
x
t x, y 
t x, y 
 2 t  x, y 
y
a
x
y
y 2
0  y  x;
0  x  ,
(7)
где t – температура; a – коэффициент температуропроводности;   x  – толщина
теплового пограничного слоя.
Граничные условия для уравнения (7) имеют вид
t x,0 
(8)
 t x,0  tср1 ;
y

t x,    tср ;
(9)

t x,   y  0 ;

(10)
 2t x,0 y 2  0 ,
(11)
где  – коэффициент теплоотдачи;  – коэффициент теплопроводности жидкости;
tср – температура невозмущенного потока; tср1 – температура среды с
противоположной поверхности стенки  y  0  (теплопроводность стенки принимаем
бесконечной, а ее толщиной пренебрегаем).
При использовании рассматриваемых ниже методов получения решений задач
(1)-(6) и (7)-(11) предполагается, что толщины гидродинамического и теплового
пограничных слоев должны подчинятся условию x   x  [1-4].
Ввиду нелинейности задач (1)-(6) и (7)-(11) их точные аналитические решения в
настоящее время не получены. Решения этих задач найдены лишь путем численного
интегрирования [1-3].
Для получения приближенных аналитических решений дифференциальные
уравнения задач (1)-(6), (7)-(11) путем их осреднения в пределах толщин
соответствующих слоев сводятся к интегральным уравнениям, решение которых
существенно упрощается. Определяя интегралы от уравнений (1), (2) в пределах от
206
y  0 до y   x  , после некоторых преобразований с учетом закона Ньютона для
касательного напряжения в жидкости приходим к следующему интегральному
уравнению для динамического пограничного слоя, впервые полученному Карманом
в 1921 г.:
d
dx

  x   x dy  
0
 x x,0
.
y
(12)
Осредняя уравнение (7) в пределах толщины теплового пограничного слоя,
получаем интегральное уравнение (уравнение Г.Н. Кружилина):
d
t x,0
.
 x tср  t x, y  dy  a
dx
y

 

(13)
0
Рассмотрим применение интегрального метода к решению задачи (1)-(6) с
использованием уравнения (12). Решение задачи принимается в виде ряда
x 
n
 ak y k ,
(14)
k 0
где ak   k  0, 1, 2  – неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных
условий (3)-(6).
После определения неизвестных a k и подстановки их в (14) находим
x 3 y 1  y 
(15)

  .
 2  2  
Подставляя (15) в интегральное уравнение (12), относительно неизвестной
функции  x  будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка. Его решение при начальном условии 0  0 имеет вид
x   4,64 x /   4,64 x
x   4,64 x
Re x ,
(16)
где Re x  x /  .
Соотношения (15), (16) представляют решение задачи (1)-(6) в первом
приближении с использованием одного дополнительного граничного условия вида
(6). Результаты расчетов безразмерной скорости  x  по формуле (15) в сравнении
с результатами точного решения (численное интегрирование уравнений) [1]
позволяют заключить, что максимальное расхождение составляет 11%.
Для повышения точности решения задачи (1)-(6) следует увеличивать степень
аппроксимирующего полинома (14). Для определения возникающих при этом
неизвестных коэффициентов ak   будем привлекать дополнительные граничные
условия [3, 4]. Принцип их нахождения заключается в следующем. Для получения
первого из них уравнение (1) применяется в точке y  0 . Именно таким путем было
получено первое дополнительное граничное условие (6). Для получения второго
дополнительного граничного условия применим уравнение (1) в точке y   x :
 
  x 
 x
   y x
x  y  
y

  2 x 

 .
  
2 
 y   y  y 
(17)
Продифференцируем граничное условие (4) по переменной х . Так как из (4)
требуется находить значение  x  y  в точке y   x  , то y является функцией х , и,
207
следовательно,  x  y  будет сложной функцией. Тогда по правилу определения
производной от сложной функции будем иметь

 x  y y    x  y  dy    x  y   0 .
x
 y
x
dx  y 
y 
Последнее соотношение с учетом граничного условия (5) примет вид
 x xy  0 .
(18)
Уравнение (17) с учетом (15) и (18) запишется как
 
2
x
y 2

y 
0.
(19)
Соотношение (19) представляет второе дополнительное граничное условие, из
которого следует, что подчинение решения вида (14) этому условию равносильно
выполнению уравнения (1) во всех точках y   x  .
Для получения последующих дополнительных граничных условий необходимо
дифференцировать (многократно) уравнение (1) по переменной y , а граничные
условия (основные и дополнительные) – по переменной х . Сравнивая
получающиеся при этом соотношения, можно получить какое угодно количество
дополнительных граничных условий, необходимых для получения как можно более
точных аналитических решений уравнений (1), (2).
Решение задачи (1)-(6) во втором приближении имеет вид
x 5 y
3 y
 y
 y

 5   5     .
 2
2 
 
 
3
4
5
(20)
Подставляя (20) в интегральное уравнение (19), относительно неизвестной
функции  x  будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

d 99 

.
dx
2 
(21)
Интегрируя уравнение (21), при начальном условии  0  0 находим
 x   7,0356  x /   7,0356 x / Re x .
(22)
Соотношения (20), (22) представляют решение задачи (1)-(6) во втором
приближении. Результаты расчетов по формуле (20) в сравнении с точным
решением [1] позволяют сделать вывод о том, что их расхождение составляет около
2%.
Аналогично были получены решения в третьем и четвертом приближениях.
Результаты расчетов безразмерных скоростей в четвертом приближении в сравнении
с точным решением [1] даны в табл. 1. Их анализ позволяет заключить, что
расхождение результатов не превышает 0,01%.
Таблица 1

по
x /
формуле (29)
 x /  точное
решение [1]
208
1
0,3312
2
0,6312
3
0,8444
4
0,9539
5
0,9918
6
0,9994
7
0,99999
0,3298
0,6298
0,8461
0,9555
0,9916
0,9989
0,99992
3. Приближенное решение тепловой задачи
Аналогичным способом решается и задача для теплового пограничного слоя с
использованием в качестве  x в уравнении (13) соотношений (15), (20).
Применительно к интегральному уравнению (13) с граничными условиями (8)(11) с целью приведения граничного условия (8) к однородному введем избыточную
температуру по формуле T  t  tср1 . Тогда Tср  tср  tср1 . Уравнение (13) и
граничные условия (8)-(11) примут вид
d
T x, 0
;
 x Tср  T x, y  dy  a
dx
y

 
0

T x, 0 
 T x, 0  0 ;
y

T x,    Tср ;
T x,  y  0 ;
 2T x, 0 y 2  0 .
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Решение задачи (23)-(27) принимается в виде следующего полинома:
T  x, y  
n
 ak  y k .
(28)
k 0
После определения неизвестных a k    k  0, 1, 2  из граничных условий (24)(27) соотношение (28) примет вид

T
1
y 2 
(29)
 3  y  3  2  ,

Tср A 
 

где A  3  2 x  .
Подставляя (15) и (29) в интегральное уравнение (13), относительно неизвестной
функции   x  получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:


d  3 2  14 2 
140 a
.
(30)


3
dx 
A
 A

Так как    , то первым членом в левой части уравнения (30) можно
пренебречь. Подставляя (16) в (30), а также учитывая, что   x  x   сonst [1, 2],
получаем соотношение для толщины теплового пограничного слоя
1  A12 A22  2733A3 10a



,
(31)
  xR  2 R1 
RA4
A
A1  0,0538793103 44 ;
A2  0,1212284482 75 ;
A3  55,68  74,24  ;
где


2
A4  111,36 3R  74,24 4 R2  R ; R  x  ; R1 
x 3
; R2  x  .
Соотношение (31) для любых конкретных исходных данных позволяет найти
x  .
Соотношения (29), (31) представляют решение задачи (23)-(27) в первом
приближении. Результаты расчетов по формуле (29) в сравнении с точным
решением [2] (численное интегрирование уравнения (7)) позволяют заключить, что
их максимальное расхождение не превышает 7%.
209
Отметим, что аналитическое или приближенное аналитическое решение задачи
(23)-(27) в известной литературе отсутствует. Решение этой задачи найдено лишь
для случая, когда вместо граничного условия третьего рода вида (24) используется
граничное условие первого рода T ( x,0)  t ср1 , и к тому же это решение получено
лишь в первом приближении.
Для задачи (23)-(27) было также найдено решение во втором, третьем и
четвертом приближениях. Дополнительные граничные условия определялись так же,
как и для динамической задачи.
Результаты решения задачи (23)-(27) в четвертом приближении в сравнении с
точным решением [2] даны в табл. 2. Анализ результатов позволяет сделать вывод о
том, что их расхождение не превышает 0,01%.
Таблица2
Bi
 четвертое приближение
 точное решение [2]
0,05
0,1395
0,1447
0,1
0,2449
0,2528
0,4
0,5648
0,5750
0,8
0,7219
0,7302
5
0,9419
0,9441
10
0,9701
0,9713
20
0,9848
0,9854
Если положить    , то t x,0  tср1 , т.е. получаем граничное условие первого
рода. Результаты расчетов для этого случая отличаются от точного решения не
более чем на 0,01%.
В случае граничных условий первого рода для определения коэффициентов
теплоотдачи в четвертом приближении получено критериальное уравнение
(32)
Nu x  0,3432 Re x 3 Pr ,
где Nu x  x /  – критерий Нуссельта;  – коэффициент теплопроводности
жидкости; Pr   a .
В критериальном уравнении (32) числовой коэффициент, полученный на основе
решения в первом приближении, составляет 0,3233 (приведен в известной
литературе [1, 2]). Расхождение коэффициентов первого и четвертого приближений
составляет 2,01%.
Выводы
1. На основе математических моделей динамического и теплового пограничных
слоев, включающих интегральные уравнения Кармана и Г.Н. Кружилина, путем
использования дополнительных граничных условий получены уточненные
аналитические решения исходных дифференциальных уравнений пограничного
слоя, предложенных Прандтлем и Польгаузеном.
2. Дополнительные граничные условия находятся из дифференциальных
уравнений Прандтля и Польгаузена с использованием основных граничных условий
краевых задач динамического и теплового пограничных слоев. Подчинение решения
дополнительным граничным условиям равносильно выполнению уравнений
Прандтля и Польгаузена в граничной точке y  0 и на фронте гидравлического
(теплового) возмущения (на границе пограничных слоев). Ввиду того, что
диапазоны изменения фронтов возмущения охватывают весь диапазон изменения
координаты у, с увеличением числа приближений (числа дополнительных условий)
210
точность выполнения дифференциальных уравнений Прандтля и Польгаузена
возрастает.
3. С использованием полученных в настоящей работе решений в четвертом
приближении выполнено уточнение числового коэффициента в формуле для
определения коэффициентов теплоотдачи (на 2,01%) (для случая теплообмена с
внешней средой при граничных условиях первого рода).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1969. – 742 с.
Abdul Aziz A similarity solution for laminar thermal doundary layer over a flat plate with a convective
surface boundary condition // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009). – 1064-1068.
Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Кудинов И.В. Получение аналитического решения уравнений
гидродинамического пограничного слоя на основе введения дополнительных граничных условий //
Известия СНЦ РАН. Спец. выпуск «Актуальные вопросы тепло- и массообмена,
энергоэффективность, исследование вихревых закрученных потоков». – Самара: Изд–во СНЦ РАН,
2008. – С. 39-46.
Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных
конструкциях. – М.: Высшая школа, 2008. – 391 с.
Статья поступила в редакцию 30 марта 2009 г.
UDC 536.2 (075)
ANALYTICAL SOLUTIONS OF DYNAMIC AND THERMAL BOUNDARY
LAYER EQUATIONS WITH BOUNDARY CONDITIONS OF THE FIRST
AND THE THIRD KIND
EV. Stefanjuk, IV. Kudinov1
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100
The method of obtaining of the analytical solutions of initial differential equation for boundary
layers (the equations of Prandtl is for hydrodynamic boundary layer, the equations of Polgausen is for thermal boundary layer) is developed based on introduction of additional boundary conditions using the mathematical model of a hydrodynamic and thermal boundary layer,
presented in the form of integral equations (equations of Karman and Krugilin). It allows obtaining solutions practically with the set accuracy degree. So, in the third and fourth approximation differences of the obtained analytical solution for hydrodynamic boundary layer from
the exact one is about 0,01 % and for thermal boundary layer is less than 0,01%.
Keywords: dynamic and thermal boundary layer, the integral equations, the approximated analytical solution, additional boundary conditions.
E.V. Stefanjuk – Candidate of Technical Sciences, Senior Lecture.
I.V. Kudinov – Assistant.
1
211