KrigerENx - Сибирский федеральный университет

УДК 517.9
О ЕДИНСТВЕННОСТИ ДВУХ ЗАДАЧ КОШИ
ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ НАГРУЖЕННЫХ
УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Кригер Е.Н.,
научные руководители д-р физ.-мат. наук Белов Ю. Я.,
канд. физ.-мат. наук Фроленков И. В.
Сибирский федеральный университет
В работе рассмотрены две задачи Коши: для неклассического нагруженного
уравнения и для системы нагруженных уравнений специального вида. Рассмотренные
задачи применяются при исследовании разрешимости обратных задач для
параболических уравнений специального вида с данными Коши в классах гладких
ограниченных функций (см. [1], [2]).
Одним из методов доказательства разрешимости обратной задачи является метод,
при котором исследуемая обратная задача с помощью дополнительных условий
(условий переопределения) приводится к вспомогательной прямой. Существование
решения прямой задачи можно доказать различными способами, например, методом
слабой аппроксимации (см. [3], [4]). После доказательства разрешимости прямой
задачи необходимо доказать выполнение для её решения условий переопределения, тем
самым обосновывая переход от обратной задачи к прямой. То есть решение
вспомогательной прямой задачи, удовлетворяющее условиям переопределения,
является решением исходной обратной задачи. Такой метод исследования применяется
для доказательства разрешимости обратных задач для параболических уравнений в
работах [1], [2], [5] и других.
В работе [1] исследована задача идентификации коэффициента специального вида
при нелинейном члене в двумерном полулинейном параболическом уравнении с
данными Коши. Неизвестный коэффициент в этой задаче зависит от всех переменных,
входящих в уравнение, и представим в виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит от временной и одной пространственной переменной.
Рассматриваются условия переопределения, заданные на гладких кривых.
Доказательство выполнения условий переопределения сводится к исследованию
единственности следующей задачи.
Задача 1. Рассмотрим в области P[0,T ]  (t, y ) 0  t  T , y  R задачу Коши для
уравнения
vt (t , y )  v yy (t , y )  a1  v y (t , y )  a 2 (t , y )  v (t , y )  a3 (t , y )  v yy t , d (t )  
 a4 (t , y )  v y t , d (t ) , (1)
с начальным условием
v (0, y )  r ( y ).
(2)
Предполагаем, что a1 – некоторая вещественная постоянная, функции a2 (t, y ) ,
a3 (t, y ) , a4 (t, y ) , r ( y ) и все их производные непрерывны и ограничены в P[ 0,T ] , d (t ) –
некоторая гладкая кривая, d (t )  C.
Лемма 1. Если решение
удовлетворяет условию
v(t, y )  Ct1,,y4 P[0,T ]  задачи (1), (2) существует и
4
k
 y
k 0
k
v (t , y )  C ,
то оно единственно. Здесь


k
Ct1,,y4 P[ 0,T ]   v (t , y ) vt (t , y ), k v (t , y )  C P[ 0,T ] , k  0,1,  ,4 .
y


Доказательство. Пусть существуют два различных решения задачи (1), (2):
v1 (t, y )  Ct1,,y4 P[0,T ]  и v2 (t, y )  Ct1,,y4 P[0,T ]  . Тогда разность w(t, y )  v1 (t, y )  v2 (t, y )
является решением задачи
wt (t , y )  w yy (t , y )  a1  w y (t , y )  a 2 (t , y )  w(t , y )  a3 (t , y )  w yy t , d (t )  
 a 4 (t , y )  w y t , d (t ) ,
w(0, y )  0.
Введём неотрицательные, неубывающие на [0, T ] функции
(3)
(4)
k
w( , y ) , k  0,1,2.
k
P[ 0 ,T ] y
В силу принципа максимума для уравнения (3) получим

 

w( , y )  exp    sup a2 (t, y )    sup a3 (t, y )  g 2 (t )  sup a4 (t, y )  g1 (t )    ,
p[ 0 ,t ]
 p[ 0 ,t ]
  p[ 0,t ]

( , y )  P[ 0,T ] , 0  t  T .
Справедливо следующее неравенство:
w( , y )  C  g 2 (t, y )  g1 (t, y )  t, ( , y )  P[0,T ] , 0  t  T .
g k (t )  sup
Возьмём от обеих частей этого неравенства sup . В силу неотрицательности
P[ 0 ,T ]
функций g k (t ), k  0,1,2, получим
g 0 (t )  C  g 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )   t, 0  t  T .
(5)
Дифференцируя (3), (4) один, а затем два раза по y , в силу принципа максимума
для уравнений
m
k
 k 1
 k 2
 k 1
 k m
m 
w
(
t
,
y
)

w
(
t
,
y
)

a

w
(
t
,
y
)

C
a
(
t
,
y
)

w(t, y ) 
 k y m 2
1
ty k
y k 2
y k 1
y k m
m 0
k
k
 k a3 (t, y )  w yy t, d (t )   k a4 (t, y )  w y t, d (t ) , k  1,2,
y
y
получим аналогичные оценки
g k (t )  C  g 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )   t, k  1,2, 0  t  T .
(6)
Складывая неравенства (5) и (6), имеем
g 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )  C  g 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )   t, 0  t  T .
Отсюда следует, что при t  [0,  ] , где   C1 , выполняется
g 0 (t )  g1 (t )  g 2 (t )  0.
Так как g k (t )  0 , то w(t , y )  0 при (t , y )  P[ 0, ] . Рассуждая аналогично, для
t  [ ,2 ] получим, что w(t , y )  0 при (t , y )  P[ , 2 ] . Продолжая рассуждения, через
конечное число шагов получим:
w(t , y )  0 в P[ 0,T ] .
(7)
Из обозначения на функцию w(t , y ) и равенства (7) следует, что предполагаемые
решения задачи (1), (2) совпадают во всей области P[ 0,T ] , то есть решение задачи (1), (2)
единственно. Лемма 1 доказана.
Однозначная разрешимость задачи идентификации функции источника
специального вида в многомерном параболическом уравнении с данными Коши
доказана в [2]. Здесь искомый коэффициент зависит от всех переменных, входящих в
уравнение, и представим в виде суммы n функций, каждая из которых зависит от
временной и только одной пространственной переменной. Условия переопределения
заданы на n гиперплоскостях. Доказательство их выполнения сводится к исследованию
единственности следующей задачи.
n
Задача 2. Рассмотрим в области  [ 0,T ]  (t , x ) 0  t  T , x  x1 , x2 ,  , xn   R


задачу Коши для системы уравнений

2

 1 (t , x1 )  b1 (t )  2  1 (t , x1 )  c1 (t )   1 (t , x1 )  c(t )  1 (t , x1 ) 
t
x1
x1


2

 (n  1)   0 t, a1 ( x1 )    b1 (t ) 2  1 (t, 1 )  c1 (t )
 1 (t, 1 )  
x1
x1


2
n




 (n  2)   0 t, a1 ( x1 )     bk (t ) 2  k (t,  k )  ck (t )
 k (t,  k ) ,
xk
xk
k 2 



2

 n (t , xn )  bn (t )  2  n (t , xn )  cn (t ) 
 n ( t , x n )  c ( t )  n ( t , x n ) 
t
xn
xn


2

 (n  1)   0 t, an ( xn )    bn (t ) 2  n (t,  n )  cn (t )
 n (t,  n )  
xn
xn


2
n 1




 (n  2)   0 t, an ( xn )     bk (t ) 2  k (t,  k )  ck (t )
 k (t,  k ) ,
xk
xk
k 1 

с начальным условием
 k (0, xk )  0, k  1,2,, n.
Здесь ak ( xk )  1 ,,  k 1 , xk ,  k 1 ,,  n , k  1,, n, a0  1 ,  2 ,,  n  ,
 j  const , j  1,, n.
(8)
(9)
Предполагаем, что коэффициенты bk (t )  b0  0, ck (t ), c(t ) – вещественнозначные,
непрерывные и ограниченные на [0, T ] функции, а  0 (t , x) и её производные
D s  0 (t , x ) , s  s1 ,, s n  , sr  0,1,,6 , r  1,  , n , непрерывны и ограничены в  [ 0 ,T ] .
Лемма 2. Если существует решение    1 , 2 ,, n  задачи (8), (9), где
функции  k (t , xk )  Ct1,,x4k [0,T ]  ограничены вместе со своими производными по x k до
четвертого порядка включительно, то это решение единственно. Здесь


 k (t , x k )  i k (t , x k )
1, 4


C t , xk  [ 0,T ]    k (t , x k )
,

C

,
i

0
,
1
,

,
4
 , k  1,, n.
[
0
,
T
]
t
x ki


Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1.
Библиографический список
1. Кригер Е. Н., Фроленков И. В. Об одной задаче идентификации коэффициента
специального вида при нелинейном члене в полулинейном уравнении
теплопроводности // Материалы XVII Международной научной конференции,
посвящённой памяти генерального конструктора ракетно-космических систем
академика М. Ф. Решетнёва (12 – 14 ноября 2013 г., Красноярск): в 2 ч.; под общ. ред.
Ю. Ю. Логинова. – Красноярск: Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т, 2013. – Ч. 2. – С. 106 – 107.
2. Frolenkov I. V., Kriger E. N. An Identification Problem of Coefficient in the Special
Form at Source Function for Multi-Dimensional Parabolic Equation with Cauchy Data //
Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. – 2013. – V. 6. – № 2. –
P. 186 – 199.
3. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физики. – Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1967.
4. Belov Yu. Ya. On Estimates of Solutions of the Split Problems for Some MultiDimensional Partial Differential Equations // Journal of Siberian Federal University.
Mathematics & Physics. – 2009. – V. 2. – № 3. – P. 258 – 270.
5. Frolenkov I. V., Kriger E. N. Existence of a Solution of the Problem of Identification
of a Coefficient at the Source Function // New York: Journal of Mathematical Sciences. –
2014. – V. 203. – № 4. – P. 464 – 477.