получить

ДИАГРАММЫ, РЕЗОЛЬВЕНТА, ВЕРОЯТНОСТЬ
IV. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС И ИНТЕГРАЛ ПО ПУТЯМ
С.В. Ганцевич
ФТИ РАН, СПБ, e-mail sergei.elur@pop.ioffe.rssi.ru
УДК: 530.145
Ключевые слова:
вероятность, случайный процесс,
интеграл по путям Фейнмана, физическая кинетика,
статистическая механика, квантовая механика,
операционное исчисление Хевисайда
Введение
В первой части данной работы было показано как “рисовать формулы” - представлять
итеративные решения математических уравнений в виде несложных рисунков-диаграмм.
Для удобства пользования этими рисунками-диаграммами мы ставили им в соответствие случайные процессы пуассоновского типа. Во второй части работы были приведены примеры применения такого подхода в квантовой механике и физической кинетике.
Следует заметить, что соответствие между диаграммой в виде линии времени с точками-событиями на ней и пуассоновский процессом носило до некоторой степени
условный характер, поскольку величины, соответствующие точкам-событиям на диаграмме, вообще говоря, не были положительными действительными числами, и их
нельзя было непосредственно интерпретировать как вероятности этих событий. С
другой стороны, диаграммы для итеративных решений дифференциальных уравнений выглядели в точности как реализации случайного пуассоновского процесса: на оси
времени мгновенные события в виде точек разделялись произвольными временными интервалами. Отсюда естественным образом появилась проблема вероятностного истолкования любых величин, возникающих при решении дифференциальных уравнений методом итераций и соответствующих точкам-событиям на диаграмме. Прежде всего следовало как-то связать с вероятностями отрицательные и мнимые числа. Эту проблему
мы рассмотрели в третьей части работы, где попытались связать непротиворечивым
образом случайный процесс и произвольное дифференциальное уравнение с независимой переменной - временем. Оказалось, что в малой окрестности некоторой временной точки всегда можно определенным образом связать дифференциальное уравнение
первого порядка по времени с обычным пуассоновским процессом в случае, если коэффициенты уравнения вблизи выбранной точки будут действительными числами.
В качестве примеров для такого случая мы рассмотрели уравнения, описывающие хорошо известные физические процессы, такие как радиоактивный распад и диффузию,
а также процесс бактериального размножения. Пуассоновский характер событий при
процессах такого рода вполне очевиден.
Иная ситуация возникает при мнимых коэффициентах, примером чего может служить
уравнение Шредингера в квантовой механике. В этом случае “пуассоновская” интерпретация решения также оказывается возможной, однако сам случайный процесс существенно отличается от обычного пуассоновского процесса тем, что становится колеблющимся и обратимым во времени, а не апериодическим и необратимым.
Заметим, что во всех случаях дифференциальное уравнение можно было назвать
управляющим уравнением для случайного процесса. Оно описывало плавное изменение
констант этого процесса при большом числе событий. При малом числе событий изменение констант во времени должно было происходить заметными скачками, и при этом
оказывалось, что такого рода случайный процесс может более адекватно описывать
реальный физический процесс, чем соответствующее ему уравнение.
Рассмотренные нами в третьей части работы в качестве примеров уравнение диффузии и уравнение Шредингера являются уравнениями в частных производных. Однако, в
целях большей ясности и простоты при изложении нашего подхода, мы сводили их к
уравнениям первого порядка по времени, выбирая в качестве начальных условий собственные функции в координатном пространстве. Задача при этом существенно упро-
1
щалась, но одновременно сам сопоставляемый уравнению пуассоновский процесс становился слишком абстрактным, теряя непосредственную связь с тем физическим процессом, который уравнение должно описывать. Поэтому в этой части работы мы рассмотрим в рамках нашего подхода случай временной и координатной зависимости решений этих двух уравнений. При этом мы будем по возможности использовать аналогию между уравнением диффузии с его физически ясным подтекстом в виде картины
случайного блуждания броуновской частицы и уравнением Шредингера для квантовой
частицы, где подобной наглядной картины до сих пор не существует.
В свое время Р.Фейнман ввел так называемые интегралы по путям для решения ряда
квантово-механических задач. Эта конструкция позднее рассматривалась также в ряде математических работ. Поскольку мнимая единица в уравнении Шредингера создавала определенные трудности для математически строгого определения интеграла по
путям в смысле интеграла Лебега, квантово-механический интеграл по путям в этих
работах при помощи замены t -> it обычно сводился к интегралу по путям для уравнения диффузии, где его строгое определение особых трудностей не вызывает.
Как мы увидим, нечто подобное интегралу по путям возникает более или менее
естественным образом при “пуассоновской” интерпретации решений этих двух уравнений с начальным условием в виде точки в координатном пространстве. При этом для
уравнения диффузии мы получаем обычный пуассоновский процесс, а для уравнения
Шредингера с мнимой единицей – обратимый пуассоновский процесс, введенный в части III данной работы.
Для удобства чтения данной части работы мы будем повторять при изложении
некоторые рассуждения и формулы из предыдущих частей, не делая специальных ссылок на них.
1. Необратимый и обратимый пуассоновские процессы и управляющие уравнения.
Случайный процесс пуассоновского типа представляет собой цепочку мгновенных
событий (точечных на оси времени), разделенных произвольными временными интервалами. Стандартный пуассоновский процесс описывается формулами для вероятностей,
которые можно получить из тождества:
(1.1)

1  e e  e
 at at
n 0
 at
(at )n 
  wn (t )
n!
n 0
где
(at ) n at
wn (t ) 
e
n!
(1.2)
- вероятность того, что за время наблюдения произойдет n событий.
Среднее число событий за время t дается формулой
(1.3)
(at ) n at
 n   nwn (t )   n
e  at
n!
n
n
Таким образом, при пуассоновском процессе события в среднем происходят равномерно во времени с интервалом между ними, равным =1/a .
Формулу (1.2) можно получить также, определив вероятность осуществления события dp за малый интервал времени dt как
dp  adt
(1.4)
Вероятность однократного события при этом оказывается пропорциональной интегралу
по полному времени наблюдения t, а вероятность n–кратного события соответственно
n–кратному последовательному интегралу:
t
(1.5)
w   adt 
0
(1.6)
a
(t )  at(t )
t
t
t
t
0
0
0
w   adt  adt... adt 
an
(at ) n

(
t
)

(t )
n!
 tn
2
Здесь (t) - функция Хевисайда, равная нулю при t<0 и единице при t0. Часто ее
бывает удобно заменить дельта-функцией Дирака, добавив еще одно интегрирование:
(t ) 
(1.7)
1
 (t )
t
,
 (t )   t (t )
Для соответствия между (1.6) и (1.2) нужно ввести в (1.6) нормировочный множитель. Полагая, что за время наблюдения может произойти любое число событий, и
суммируя по всем возможностям, получим (1.2):


(at ) n
(at ) n at
 Ce at  e at e at  
e
n!
n!
n 0
n 0
1  C
(1.8)
Исходную формулу (1.4) в этом выводе можно рассматривать как дифференциальное
уравнение с решением – растущей экспонентой exp(at). Назовем это уравнение
управляющим уравнением пуассоновского процесса. Для уяснения смысла этого термина рассмотрим дифференциальное уравнение для убывающей экспоненты, которое запишем в дифференциалах так:
dN  
(1.9)
1
N (t )dt
T
Это уравнение описывает в среднем некий вероятностный процесс гибели, например,
процесс радиоактивного распада некоторого числа нестабильных атомов. Скорость
уменьшения величины N(t) пропорциональна ей самой и интервалу наблюдения.
Наблюдаемый поток событий в данном случае будет пуассоновским процессом (1.1),
причем его константа может быть найдена сравнением приращений за небольшой интервал времени таким образом:
(1.10)
N  n  at  at ,
a  N /T
Строго говоря, наблюдаемый процесс не будет обычным пуассоновским, поскольку
пуассоновская константа меняется со временем (для адекватного описания реального
процесса ее нужно подправлять после каждого события). При большом числе событий,
когда флуктуации несущественны, эта константа будет меняться согласно (1.10).
При малом числе событий и малом N это, очевидно, не так. Например, при N=1 процесс остановится после первого же события, так как N и пуассоновская константа
наблюдаемого процесса a станут нулями.
Таким образом, мы видим, что случайный процесс пуассоновского типа с
постоянно подправляемой пуассоновской константой в состоянии описывать (лучше
сказать, моделировать) не только поведение переменной случайной величины в среднем, как это делает управляющее уравнение (1.9), но также и флуктуации этой величины, которые в реально наблюдаемом случайном процессе, очевидно, всегда присутствуют.
Вполне аналогичная картина имеет место для растущей экспоненты, которой можно
сопоставить случайный процесс размножения, например, рост числа бактерий в питательном растворе или цепную реакцию деления в атомном реакторе или в атомной
бомбе. Поток случайных событий и в этом случае будет пуассоновским при большом
числе событий и на малых временных интервалах, когда соответствующую пуассоновскую константу можно приближенно считать постоянной.
dN  
1
N (t )dt ,
T
N  n  at  at ,
a  N /T
Для точного моделирования процесса эту константу также следует подправлять,
увеличивая ее после каждого наблюдаемого события. Число событий при таком процессе неограниченно возрастает, что в реальных системах, очевидно, приводит к
конечному времени существования такого процесса: система либо разрушается (взрыв
бомбы), либо вступают в действие механизмы стабилизации, обеспечивающие отрицательную обратную связь (истощение питательного раствора).
Заметим, что для наблюдаемого пуассоновского процесса знак константы в
управляющем уравнении несущественен. Он показывает лишь то, как ведет себя пуассоновская константа наблюдаемого процесса на больших временах по сравнению со
временем наблюдения, т.е. уменьшается или увеличивается в среднем число событий
в единицу времени.
3
Итак, управляющее уравнение описывает случайный процесс пуассоновского типа в
среднем, причем при большом числе событий и малом интервале наблюдения наблюдаемый поток событий будет близок к обычному пуассоновскому процессу.
В рассмотренных простых примерах решение управляющего уравнения было растущей
или убывающей экспонентой, и наблюдаемый пуассоновский процесс оказывался однонаправленным в том смысле, что скорость его или убывала до нуля или, наоборот,
возрастала до бесконечности. По этой причине следует назвать такие процессы необратимыми пуассоновскими процессами. Стандартный пуассоновский процесс с неизменной константой в этом смысле можно назвать равновесным или стационарным.
Для модели из урны с шарами первый случай (убывание) соответствует преобладанию ухода над приходом, второй (рост), наоборот, преобладанием прихода над уходом и третий (равновесие) соответствует случаю, когда уход и приход в среднем
компенсируют друг друга и среднее число шаров в урне поддерживается постоянным.
Равновесный характер стандартного пуассоновского процесса хорошо виден из решения соответствующего кинетического уравнения для случая урны с шарами:
(1.11)
N (t ) 

1
1 
a n
(at ) n
 at
 (t ) N (0)  N (0)
(
)

(
t
)

N
(
0
)
e
(t )


t  a  a
 t  a n 0  t  a
n!
n 0
Здесь N(t) – среднее число шаров в момент t, N(0)- начальное значение. Это случайный марковский процесс простейшего вида, при котором любое начальное значение
является равновесным. В кинетическом уравнении марковского процесса для системы
многих урн с перекладываемыми случайным образом шарами приход описывался бы суммой по числам заполнения других урн с соответствующими вероятностями перехода. В
стационарном состоянии уход всегда равен приходу и формула (1.11) для выделенной
урны применима и к этому общему случаю.
Рассмотрим теперь случай чисто мнимой константы в управляющем уравнении:
(1.12)
dz  iazdt
z (t )  z (0)e iat
,
Это, очевидно, записанная в комплексной форме амплитуда некоторого гармонического колебания. Положив z=x+iy , перепишем (1.12) без мнимой единицы в виде системы двух уравнений:
(1.13)
dx  aydt
,
dy  aydt
Ввиду знакопеременности колебательных амплитуд x и y истолковать их как вероятности достаточно трудно. Поэтому вместо системы двух уравнений (1.13) введем
эквивалентную ей систему из трех уравнений для квадратов амплитуд и их произведения. Для этого умножим первое уравнение на x, а второе на y . Имеем:
(1.14)
x2
dP  d ( )  axydt
2
dQ  d (
y2
)  axydt
2
Величины P и Q положительны, и их уже можно трактовать как вероятности (числа
заполнения) двух состояний (например, двух урн с шарами). По аналогии с уравнением радиоактивного распада системе уравнений (1.14) сопоставим пуассоновский
процесс, для которого уравнения будет управляющими (т.е. будут определять средний поток случайных событий).
Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, добавим к нему уравнение для произведения амплитуд xy :
(1.15)
dS  d ( xy)  2a(
x2 y2
 )dt
2
2
Уравнениям (1.14) можно сопоставить пуассоновский процесс с константой a|S(t)| в
малом временном интервале dt вокруг точки t . Каждому событию в этом процессе
соответствует увеличение или уменьшение P и Q на единицу, причем сумма P+Q должна сохраняться. Так, например, будет обстоять дело при перекладывании шаров из
одной урны в другую в произвольные моменты времени. Поскольку величина S знако-
4
переменна, процесс попеременно идет в одну и в другую сторону и является обратимым во времени, в отличие от необратимых процессов, рассмотренных выше.
При большом числе событий числа заполнения состояний меняются согласно решению системы (1.14)-(1.15), которое проще всего получить из уравнения для амплитуды (1.12):
(1.16)
P
a2
cos 2 at
2
Q
,
a2
sin 2 at
2
,
S
a2
sin 2at
2
Для обычного колебания, например, математического маятника, P – потенциальная энергия, Q – кинетическая энергия, а величина S – т.н. действие, определяемое в аналитической механике как интеграл по времени от функции Лагранжа –
разности этих энергий. Таким образом, при обратимом случайном процессе имеются
два состояния, вероятности осуществления которых меняются со временем примерно
так, как меняются со временем потенциальная и кинетическая энергия при колебаниях маятника. Конечно, плавная зависимость от времени должна наблюдаться только
при большом числе событий-переходов, когда флуктуации несущественны. Скорость и
направление процесса определяются величиной и знаком пуассоновской константы S.
Главным отличием обратимого случайного процесса от необратимого является его
периодический характер. Так в модели из двух урн с шарами урны периодически
наполняются шарами и опустошаются, причем скорость этого процесса в разные моменты времени разная, в частности, в определенный момент времени она может быть
равной нулю и вблизи такой точки на оси времени процесс перекладывания шаров замедляется. В необратимом процессе распада замедление также имеет место, но оно
необратимо, поскольку направление процесса измениться не может. Следует подчеркнуть, что обратимый пуассоновский процесс не является марковским процессом. При
марковском процессе в модели двух урн с шарами система пришла бы к стационарному
состоянию с равновесным числом шаров в каждой урне и малыми флуктуациям около
этого стационарного состояния. Марковский процесс в физической кинетике связан с
диссипацией энергии и при переходе к равновесию сопровождается увеличением энтропии системы. Обратимый случайный процесс диссипативным не является, и понятие
равновесия в обычном смысле здесь отсутствует.
Пусть p и q – отношения P и Q к своим максимальным значениям:
(1.17)
p
P
 cos 2 at
Pmax
,
q
Q
 sin 2 at
Qmax
Эти величины, очевидно, представляют собой относительные вероятности для одного
и другого состояния (например, вероятности для шара быть в урне P или в урне Q).
Они могут быть получены, по аналогии с формулой (1.1) разложением единицы для
случая мнимой экспоненты:
(1.18)
1  p  q  cos 2 at  sin 2 at  (cos at  i sin at )(cos at  i sin at )  e iat e iat
Величину at=φ можно назвать фазой
что с помощью этого понятия можно
испытания, не противопоставляя их
[0t] на N участков, то аналогично
(1.19)
вероятности. Тождество (1.18) показывает,
объединить обе возможности исхода бинарного
друг другу. Если разбить временной интервал
(1.18) можно построить тождество:
N
N
N
j 1
j 1
j 1
p  q   exp( iat j ) exp( iat j )   (cos 2 j  sin 2  j )   ( p j  q j )
В правой части стоит сумма вероятностей при N независимых испытаниях, причем
число возможных исходов равно 2^N. Эта ситуация соответствует обычной теории вероятности и классической теории информации – “счету по битам”. Слева, очевидно,
исходов всего два, и такое объединение событий характерно для квантовой механики
и квантовой теории информации – “счету по кубитам”, в котором одновременно учитываются оба возможных исхода бинарного испытания. Из формулы (1.19) можно
усмотреть преимущество, которое квантовый компьютер мог бы получить по сравнению
с обычным (классическим) компьютером. Классический компьютер (правая часть тождества) должен был бы пересчитать все 2^N комбинаций и выбрать из них подходящую, в то время как квантовый компьютер имел бы дело только с одной комбинацией
(левая часть тождества). Конечно, все это только для определенного класса задач
5
и при условии, что квантовый компьютер, оперирующий с кубитами, сможет адекватно
работать.
При бросании монеты ее обычно приводят во вращение, после чего это вращение
прерывается в некоторый момент времени при контакте монеты с поверхностью, на
которую она падает. Если не принимать во внимание возможность отскока, выпадение
герба или обратной стороны монеты зависит от фазы вращения в момент падения. Фаза эта произвольна и после усреднения по всем возможностям для двух исходов получаются равные вероятности 1/2 , которым соответствует фаза вероятности /4 .
Это среднее значение угла между плоскостью и стороной монеты в момент ее падения. Вращающуюся монету можно сопоставить кубиту, монету после падения – биту.
Счеты по битам можно сопоставить повторные бросания монеты с учетом промежуточных результатов, счету по кубитам – сложению фаз вероятности при вращении.
2. Пуассоновский процесс и решение уравнения диффузии.
Решение уравнения диффузии, описывающее на больших масштабах случайное блуждание
точки из начала координат, имеет вид:
(2.1)
W ( x, t ) 
1
 ( x) (t )  exp( t 2x ) ( x)(t )
2
t   x
В операторной форме решение имеет экспоненциальную зависимость от времени и,
следовательно, формально пригодно для интерпретации как управляющее уравнение
некоего пуассоновского процесса. Более того, если представить начальное условие
в виде суперпозиции гармоник exp(ikx), то для каждой отдельной гармоники мы получим убывающую по времени экспоненту с соответствующим декрементом:
(2.2)
W ( x, t )  exp( t 2x ) e ikx (t )   exp( tk 2 )(t )
k
k
Таким образом, каждой отдельной гармонике можно сопоставить пуассоновский процесс по приведенному выше рецепту. Правда, остается неясным, какое отношение
имеет этот процесс к реальному движению точки. С другой стороны, вид решения
(2.1) в координатном пространстве, казалось бы, исключает возможность такой
“пуассоновской” интерпретации, поскольку время оказывается в знаменателе декремента экспоненты:
(2.3)
W ( x, t ) 
1
2 t
exp( 
x2
)
4t
Здесь, однако, можно воспользоваться приемом, который применил в свое время
Фейнман при введении интеграла по путям в квантовой механике. А именно, введем
наблюдаемую скорость случайно блуждающей частицы посредством простого соотношения v=x/t для произвольно выбранной точки x . Теперь перепишем (2.3) через v :
(2.4)
W ( x, t | v) 
v
v2
exp( t )
x
4
1
2 
В таком виде формула уже вполне пригодна для интерпретации. Случайным процессом
в этом случае будет появление диффундирующей частицы вблизи выбранной нами точки
на оси координат в данный момент времени. Если поместить в начало координат не
одну, а достаточно много частиц, то флуктуации случайного процесса будут подавлены и наблюдаемый процесс будет похож на то, что наблюдается при радиоактивном
распаде, т.е. появление частицы в данной точке будет пуассоновским процессом с
постепенно уменьшающейся пуассоновской константой, по мере того как диффундирующие частицы рассеиваются в пространстве. Таким образом, фиксируя среднюю скорость, мы отбираем частицы по этому признаку. Появление таких частиц оказывается
процессом пуассоновского типа. Для малых интервалов времени t около выбранного
t формулу (2.3) можно записать в привычном экспоненциальном виде:
(2.5)
W ( x, t | v) 
1
2 
v
v2
exp( t )  We at
x
4
6
Величина W имеет смысл числа частиц, оказавшихся в момент времени t вблизи выбранной нами точки наблюдения x. Эта число можно считать постоянным в малом интервале времени t , и оно вполне аналогично числу шаров в урне при стационарном марковском процессе в примерах, приведенных выше.
Мы рассматривали диффузию в одном измерении (по оси x ). Для двух и трех измерений картина останется такой же. Диффундирующие частицы, случайным образом меняя направление своего движения, расходятся по всему пространству. Тем из них,
которые окажутся в выбранной нами точке r в данный момент времени t , мы должны
приписать соответствующую среднюю скорость v=r/t. Число таких частиц уменьшается
со временем экспоненциально, а их появление в точке наблюдения будет процессом
пуассоновского типа. Траектории частиц, попадающих в точку наблюдения из начала
координат, могут быть самыми различными. При наблюдении мы, следовательно, осуществляем суммирование по этим траекториям или суммирование по всем путям в духе
фейнмановского интеграла, который в данном случае имеет очень простой вид.
3. Уравнение Шредингера и интеграл по путям.
Уравнение Шредингера для свободного движения частицы из начала координат отличается от уравнения диффузии только появлением мнимой единицы:
(3.1)
( t  i 2x ) ( x, t )  0 ( x) (t )
(3.2)
 ( x, t ) 
(3.3)
1
0 ( x) (t )  exp( it  2x ) ( x)
 t  i 2x
( x, t ) 
1
2 t
exp( i
x2
)
4t
Для отдельных гармоник начального условия эволюция во времени представляет собой
колебания с возможностью пуассоновской интерпретации в виде обратимого случайного процесса. То же самое можно сделать и для формулы (3.3), вводя, как и для
диффундирующей частицы, среднюю скорость v=x/t .
(3.4)
(v, t ) 
1
v2
exp( it )
4
2 t
Для малого интервала t около некоторого момента времени t получается формула,
вполне аналогичная исходной формуле для обратимого случайного процесса:
(3.5)
( x, t | v) 
v
v2
exp( it )  We iat
x
4
1
2 
Таким образом, все различие между уравнением диффузии и уравнением Шредингера
для свободного движения в координатном пространстве сводится к виду сопоставляемого решениям наблюдаемого пуассоновского процесса.
Для диффундирующей частицы константа наблюдаемого пуассоновского процесса (скорость потока событий) уменьшается с удалением от начала координат, в то время
как для квантовой частицы она будет периодически меняться от нуля до некоторой
максимальной величины. (Влиянием предэкспоненциальных множителей мы здесь пренебрежем). Обращение в ноль этой константы указывает на особенности квантовой
(волновой) механики – интерференции путей с образованием максимумов и минимумов
волн вероятности и соответствующего поведения движущихся квантово-механических
частиц.
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера с потенциалом U(x) . Имеем:
(3.6)
 ( x, t ) 
1
 t  i[  U ( x)]
2
x
0 ( x) (t )  exp( it [ 2x  U ]) ( x)
7
Разделим временной интервал [0t] на малые участки и представим (3.5) в виде произведения:
(3.7)
( x, t )  { exp( it j [ 2x  U ])} ( x)
j
Следующий шаг – переход в (3.7) от произведения операторов к произведению соответствующих матриц, причем в качестве базисных функций берутся дельта-функции,
центрированные в произвольных точках оси координат:
(3.8)
 j ( x)   ( x  x j ) | x j 
Обозначим для краткости:
(3.9)
H  i 2x  U ( x) ,
x0  0
,
xN  x
Тогда:
(3.10)
 x | eiHt | 0  x | exp(i  t j H ) | 0    x j |exp(iH t j ) | x j 1 
j
j
В этой формуле предполагается суммирование (интегрирование) по повторяющимся
значкам матричных элементов (базисным точкам).
Выбранные базисные точки представляют собой участки выбранной траектории частицы. Далее делается предельный переход к непрерывной траектории с N -> 
Поскольку базисные точки на непрерывной траектории должны быть достаточно близки, можно считать функцию U(x) постоянной и воспользоваться решением для свободного движения. (Оператор дифференцирования по координате в показателе экспоненты действует на дельта-функцию и поэтому результат его действия нужно вычислять точно). Это центральный пункт вывода интеграла по траекториям. Сам Фейнман
заменял оператор дифференцирования по координате на разности базисных точек и не
использовал явно дельта-функцию. При этом не вполне ясно, почему нужно трактовать потенциальную энергию приближенно, а кинетическую (вторую производную) точно. При явном использовании дельта-функции это делается достаточно очевидным изза точечного характера дельта-функции. Этот факт отражает свойство траектории
случайного блуждания – она не может быть гладкой ни в какой окрестности выбранных координатных точек. Произвольно уменьшая масштаб, мы можем сделать потенциал
U(x) константой, но не можем избавиться от необходимости дифференцировать дельта-функцию и, следовательно, получаем точное решение для случайного блуждания. .
Таким образом, в произведении (3.10) можно сделать замену:
(3.11)
 x j | exp( i  t j [  U ]) | x j 1
2
x
j
x2
 x j | exp( i
 iU ( x)t j | x j 1 
4t j
В этом выражении можно ввести среднюю скорость на данном участке движения по тому же правилу, как и для свободного движения:
(3.12)
v j  ( x j  x j 1 ) / t j
,
Введем для краткости обозначение
(3.13)
x2
 v 2 t
t
1 2
v  U ( x )  L( x)
4
В итоге получается решение уравнения (3.1) в виде интеграла по всем возможным
траекториям с учетом действия потенциала U(x):
(3.14)
 ( x, t )  exp( it [ 2x  U ]) ( x)   Dx exp[ itL( x)]
Функция L(x) есть функция Лагранжа в потенциальном поле U(x) для классической
частицы массой m=1/2 (такая масса получилась из-за выбора переменных в формулах
8
(3.1)и (3.9)). Интеграл в правой части (3.14) нужно понимать в смысле интеграла
Лебега бесконечной кратности по всему множеству точек произвольно выбранных траекторий. Следует подчеркнуть, что скорость на каждой такой траектории не определяется классическими уравнениями движения, а остается, вообще говоря, произвольной величиной, определяемой выбором вида траектории,
т.е., грубо говоря, числом возвратов по координате при движении от точки x=0 в
момент времени t=0 до точки x в момент времени t .
С другой стороны, интерпретация интеграла по путям в формуле (3.14) для вещественных и чисто мнимых времен как управляющего уравнения пуассоновского процесса, в принципе, не отличается от интерпретации соответствующих решений уравнений
диффузии и свободного движения, поскольку потенциал U(x) играет здесь роль только весового множителя. Он влияет на скорость пуассоновского процесса в окрестности выбранной точки x , но не изменяет характера процесса.
Заключение
Уравнение диффузии получается из простой картины случайного блуждания частицы
на больших временах. Детали микроскопического механизма блуждания для вида уравнения и характера его решения несущественены. Примерно также должно обстоять дело и для уравнения Шредингера. Это уравнение, найденное, по существу, эмпирически, не имеет под собой какой-либо простой модели типа тех многочисленных моделей случайного блуждания, которые сразу ведут к уравнению диффузии при огрублении описания.
Математическое различие в уравнениях невелико и сводится к мнимой единице.
Тем не менее, это отличие чрезвычайно существенно и, как мы видели, приводит к
совершенно различным типам поведения при попытке вероятностной интерпретации
уравнений. В возможной микроскопической модели, ведущей к уравнению Шредингера,
как нам кажется, должны будут отражены различия между обратимым и необратимым
пуассоновским процессами, вносимые мнимой единицей. Сама же по себе “пуассоновость“, т.е. дробление наблюдаемого на опыте процесса на точечные события вполне
естественна и аналогична хорошо установленному на опыте дроблению физических
объектов на все более мелкие и мелкие части при движении вглубь материи - от
макроскопических тел к молекулам и атомам, затем к протонам и электронам и далее
к еще более элементарным частицам. Аргументом в пользу точечного во времени мира
может служить также известное из теории относительности смешение пространственных и временных координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, ИЛ,1952.
Лоэв М., Теория вероятностей, ИЛ, 1958.
Вентцель Е.С., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1962.
Дж.Хант, Марковские процессы и потенциалы, ИЛ, 1962.
Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики,
Наука,1980.
Фейнман Р., Хиббс А., Квантовая механика и интегралы по траекториям,
ИЛ, 1958.
Р.Айзеншиц, Статистическая теория необратимых процессов, ИНЛ, 1963.
Пригожин И.Р. Неравновесная статистическая механика, Мир, 1964.
Рытов С.М. Случайные процессы, Наука, 1976.
9