Пьер Ферма и теория чисел

ПЬЕР ФЕРМА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1. Биография
Родился Пьер Ферма 17 августа 1601 года на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань.
Учился в колледже, где славился как тонкий знаток античности.
Его первая математическая работа была восстановление двух утерянных книг Аполлония
«О плоских местах». Своей профессией он избирает юриспруденцию. В Орлеане ему присуждена
степень бакалавра, он переселяется в Тулузу, где учится в университете и получает место
советника. Женится на Луизе де Лонг, у них было пятеро детей. Старшему сыну мы обязаны
первым собранием сочинений Ферма (1679). При жизни Ферма ни одно его сочинение не было
опубликовано. В работах, относящихся к 1629 году, он вводит бесконечно малую величину в
аналитическую геометрию. Кроме того, Ферма (раньше Декарта!) пришёл к идее системы
координат. В 1633 году он придумывает формулу простого числа. Около 1637 года Ферма открыл
свою Великую теорему. В 1640 году он формулирует свою Малую Теорему. В 1642 году Ферма
открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми параболами и гиперболами. Им же
было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Переписывается со
знаменитыми учеными своего времени: Рене Декартом, Мареном Мерсенном, Этьеном и Блезом
Паскалями, Христианом Гюйгенсом, Френиклем де Бесси, Дж. Валлисом, Торричелли.
Умер Пьер Ферма в 1665 году в городе Кастр.
2. Малая теорема Ферма. Доказательство
Если p — простое число, a — целое число, то число ap — a кратно p.
Доказательство.
Утверждение очевидно, если a делится на p, так как ap — a=a(ap-1-1). Если это не так, то
каждое из p-1 чисел a, 2a, ..., (p-1)a дает при делении на p ненулевой остаток:
a=k1p+r1,
2a=k2p+r2,
...................,
(p-1)a=kp -1p+rp -1.
Предположим, что среди всех этих остатков найдутся, по крайней мере, два одинаковых.
Но наше предположение неверно, так как при rn=rm число (n-m)a=(kn-km)p делится на p, что
противоречиво, поскольку |n-m|<p и a взаимно просты с p. Значит, все остатки r1 , ..., rp-1 между
собой различны и образуют перестановку чисел 1, 2, ..., p-1. Перемножая все равенства системы,
получаем:
(p-1)!ap -1=N·p+r1r2·...·rp-1=N·p+(p-1)! ;
(p-1)!ap-1-(p-1)!=Np
(p-1)!(ap-1-1)=Np
Следовательно, (p-1)!ap -1 -1 делится на p, так как правая часть заведомо делится на p. При
этом (p-1)! не делится на p, тогда ap -1 − 1 делится на p. Значит, ap − a делятся на p.
3. Формула простого числа
На полях “Арифметики” Диофанта Ферма высказал предположение, что “генератором”
простых чисел будет следующая формула:
, n = 0,1,2,...
В 1733 году Эйлер опровергает это утверждение, приведя контрпример: n=5.
Составными оказались и другие числа Ферма (n=6,7,8,9,10,11,12,15,..). Самое большое
известное составное число Ферма получается при n=452.
Несмотря на то, что Ферма ошибся, идея «генерирования» были воспринята с
энтузиазмом, а найденные им числа использовались математиками и в дальнейшем – например,
Эйлер предложил многочлен, x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые
числа; Гаусс предложил следующую теорему: правильный n-угольник может быть построен с
помощью циркуля и линейки только тогда, когда
различные простые числа Ферма.
, где p с индексом —
4. Теорема Ферма – Эйлера
«Для того, чтобы нечётное простое число было представлено в виде суммы двух квадратов,
необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1». Например, число 5.
При делении на 4 оно даёт остаток 1. Также его можно представить в виде суммы двух квадратов:
5=22 + 1. То же самое и с числом 13: 13 = 4*3+1, 13 = 32+22.
Эту теорему Ферма высказал на Рождество 1640 года в письме к Мерсенну, не посылая её
доказательства. Но спустя 20 лет он рассказывает Каркави основную идею доказательства,
которая основывается на ”методе спуска”.
Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между
1742 и 1747 годами. Сам Эйлер придумал доказательство, соответствующее замыслу Ферма.
Поэтому, отдавая должное двум учёным, мы называем эту теорему «Теоремой Ферма-Эйлера».
5. Великая Теорема Ферма
"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter
nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei
demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.".
“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до
бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разбить”. И не
поставив точку, Ферма приписал: “я открыл поистине удивительное доказательство этого
предложения. Но оно не умещается на узких полях”.
Современная формулировка: Не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для
которых имеет место равенство
, при n>2.
6.
История Великой Теоремы
Прямую формулировку своей теоремы Ферма не формулировал ни в одном письме – своим
современникам предлагал лишь частные случаи этой теоремы.
Первый серьёзный результат был получен Эйлером – он показал, что случай n=4 уникален в
смысле доказательства. Он доказал теорему для n=3, но его доказательство оказалось
дефектным. Первое строгое доказательство для n=3 принадлежит Гауссу.
Лежен Дирихле и Лежандр почти одновременно доказали Великую Теорему для n=5. В 1839
году она была доказана для n=7.
Следующий важный результат был получен Куммером – он доказал теорему для n<100.
В 1929 году Вандивер получил условия, позволяющие проверить истинность теоремы для
любого простого показателя. Позже, благодаря ЭВМ, Великая Теорема Ферма была проверена
для всех показателей n<100000.
В 1995 году Эндрю Вайлс опубликовал доказательство «Великой теоремы Ферма» в "Annals of
Mathematics" (стр. 443 – 551) под названием "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem".