Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Зыкин А. И., к.ф.м.н., PhD, alzykin@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» являются
создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение
использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и
аналитических методов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории чисел.
 Уметь решать различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием
теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических
кривых.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической
техники в различных разделах теории чисел.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Тематический план учебной дисциплины
5
1 курс магистратуры
№
Всего
часов
Название раздела
Кривые над алгебраически незамкнутыми
полями
Эллиптические кривые – геометрия
Эллиптические кривые – арифметика
1
2
3
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
20
8
12
23
29
72
10
14
32
13
15
40
2 курс магистратуры
Аудиторные часы
№
Название раздела
Всего
часов
Практические
Лекции Семинары
занятия
Самостоятельная
работа
1 Кривые над алгебраически
незамкнутыми полями
40
8
32
2 Эллиптические кривые – геометрия
41
10
31
3 Эллиптические кривые –
арифметика
45
14
31
126
32
94
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Итоговы
й
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
8
4
1
2 год
2 3
Параметры **
4
письменная работа,
80 мин.
письменная работа,
240 мин
v
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания,
полученные в курсе, к конкретным задачам из теории алгебраических кривых, геометрии и
арифметики эллиптических кривых и связанным с этими разделами задачам из теории чисел.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
Содержание дисциплины
7
1. Раздел 1. Кривые над алгебраически незамкнутыми полями
№
Тема
1.
Аффинные и проективные многообразия: кольцо и поле
функций, гладкость, размерность. Отображения
многообразий.
2.
Кривые и отображения между ними. Дивизоры на
кривых. Дифференциалы на кривых. Теорема РиманаРоха
Итого:
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
7
3
4
13
5
8
1
20
1
8
3
2
12
Литература по разделу:
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
2. Раздел 2. Эллиптические кривые – геометрия
№
Тема
3.
Определение эллиптических кривых. Уравнение в
форме Вейерштрасса.
Групповой
закон
на
эллиптической
кривой:
касательные, секущие и дивизоры. Автоморфизмы
эллиптических кривых.
4.
4
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
4
1
3
4
1
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5.
6.
7.
Изогении,
двойственные
изогении.
Кольцо
эндоморфизмов эллиптической кривой.
Модуль Тейта. Действие изогений на модуле Тейта.
Спаривание Вейля.
Эллиптические кривые над C как римановы
поверхности. P-функция Вейерштрасса и
эллиптические интегралы.
Итого:
6
4
2
4
2
2
5
2
3
1
23
1
10
3
2
13
Литература по разделу:
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
3. Раздел 3. Эллиптические кривые – арифметика
№
Тема
8.
9.
Эллиптические кривые над конечными полями:
гипотезы Вейля, суперсингулярность, инвариант Хассе
и кольцо эндоморфизмов.
Когомологии конечных групп. Когомологии Галуа.
10.
Слабая теорема Морделла-Вейля. Группы Сельмера.
11.
Теорема
Морделла-Вейля:
высоты
и
метод
бесконечного спуска.
Теорема Зигеля о конечности числа целых точек на
эллиптических кривых. Теорема Рота о диофантовых
приближениях.
Итого:
12.
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
часов
Лекци
и
8
4
4
4
1
3
7
4
3
6
3
3
4
2
2
1
29
1
14
3
2
15
Литература по разделу:
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM
151, 1995.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
8
8.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы
1. Вычислите j-инвариант кривой C/Z[i].
2. Классифицируйте с точностью до изоморфизма эллиптические кривые над F_2 и
посчитайте их группы автоморфизмов.
3. Опишите точки кручения на кривой y^2=x^3+5x+11 над полем рациональных чисел.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Что такое аффинные и проективные многообразия? Опишите процедуру
проективизации аффинного многообразия и её свойства.
2. Что такое дивизоры на кривой? Как они ведут себя при отображениях?
3. Дайте определение дифференциалов на кривой. Как они связаны с морфизмами? Что
такое сепарабельность морфизма?
4. Сформулируйте теорему Римана-Роха. Почему у любой эллиптической кривой есть
плоская модель?
5. Что такое изогении и двойственные изогении? Классифицируйте кольца
эндоморфизмов эллиптических кривых.
6. Опишите связь между решетками и эллиптическими кривыми над полем комплексных
чисел.
7. Что такое инвариант Хассе эллиптической кривой? Докажите критерий
суперсингулярности в терминах кольца эндоморфизмов.
7. Дайте определение когомологий групп. Что такое когомологии Галуа? Дайте
определение групп Сельмера.
8. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.
9. Что такое высота на проективном пространстве? Как меняются высоты на
эллиптических кривых при изогениях? Докажите теорему о существовании канонической
высоты.
10. Сформулируйте теорему Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и выведите
её из теоремы Рота.
8.2
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
10.2 Основная литература
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.
Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.
Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.
Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.
Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM
151, 1995.
10.3 Дополнительная литература
Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО,
2009.
Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.
7