У

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЗАВИХРЕННОСТИ
М.Н.Захаренков
e-mail: mikl5353@mail.ru
Условием реализации строгой симметрии тензора напряжений является
1 
1 
dx 
dy  0
(1)
2 x
2 y
Здесь dx, dy не совпадают с элементарными перемещениями частиц жидкости,
происходящими за бесконечно малый промежуток времени t [1, стр.53]). Отсюда можно
вывести несколько следствий.
Следствие 1. Из условия реализации строго симметричного тензора напряжений следует



 u'
 v
 0 , где u’ и v’ рассматриваем как возмущения скорости. Таким
t
x
y
образом возмущения скорости воздействуют в сторону более выраженной конвективной
неустойчивости завихренности в течении.
Следствие 2. Из условия реализации строго симметричного тензора напряжений следует,
что вихревые возмущения распространяются против скорости осредненного течения, а
энергия возмущений завихренности куммулируется осредненной завихренностью.
Можно показать, что при выполнении условия реализации строго симметричного
тензора напряжений, выполняется

 
 
u
v
   
t
x
y
где надчеркивание выделяет осредненные величины. Отсюда следует утверждение
следствия 2. Следует подчеркнуть, что здесь рассмотрены возмущения скорости
специального типа, вызванные возмущениями тензора напряжений, или просто
напряжений. С другой стороны становится ясно, что условие строгой симметрии тензора
напряжений всегда порождает возмущения скорости и соответствующей завихренности.
Следствие 3. При постоянной вязкости конечно-разностная модель второго порядка
аппроксимации по пространственным переменным соответствует в первом
дифференциальном приближении уравнениям Навье-Стокса для второго приближения
тензора напряжений.
Если при численном решении уравнений Навье-Стокса для производных ∂Ω/∂x,
∂Ω/∂y использовать направленные трехточечные разности второго порядка
аппроксимации, то мы имеем, например, ∂Ω/∂x =LΩ+αhx2∂3Ω/∂x3 , где α - некоторый
коэффициент, hx - шаг сетки. В аппроксимационном остатке в уравнении переноса
завихренности это дает член uαhx2∂3Ω/∂x3, где u– скорость. Аналогично для ∂Ω/∂y.
Уравнение переноса завихренности во втором приближении тензора напряжений
имеет вид
d





   dx   dy 
dt
2 x
2 y




Потребовав uαhx2∂3Ω/∂x3+ vαhy2∂3Ω/∂y3= dx   dy  ,
2 x
2 y
получаем с (1) систему двух уравнений для нахождения dx, dy. Найдя dx, dy, в конечноразностной модели при известном ∆t можно найти возмущения u’, v’, что совместно с dx,
dy дает информацию для дополнительного анализа: или недостаточно подробная сетка,
или нарушается условие строго симметричной формы тензора напряжений.

Л.
1.
Г.Лойцянский. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1973, 847 с.