теория и практическое применение - С

Скользящее бизнес-планирование – теория и
практическое применение
Аннотация 1
Излагаются теоретические основы и практические рекомендации для внедрения
технологии скользящего бизнес-планирования на предприятиях. Вводится в рассмотрение
универсальная модель финансовых потоков для производственных предприятий. Для
таких моделей вводятся понятия допустимости, эквивалентности, агрегирования и
преобразования отчетов. Рассматривается класс отчетов, для которых выполняются
критерии, позволяющие осуществить процедуру скользящего прогнозирования. Работа
позволяет систематизировать правила построения отчетов, формирует полный список
соотношений, обеспечивающих непротиворечивость отчетов и прогнозных данных.
Аннотация 2
Рассматривается набор отчетов для информационных потоков бухгалтерского типа. С
одной стороны ставится задача о том, в какой степени наблюдаемая информация
позволяет восстановить данные о бухгалтерских потоках. С другой стороны ставится
задача о непротиворечивости наблюдаемых показателей или допустимости планируемых
показателей. Результаты являются первым шагом в решении задачи об оптимизации
системы отчетов для анализа деятельности предприятия и бизнес-планирования.
1. Оглавление
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Введение..................................................................................................................................2
Потоки .....................................................................................................................................3
Модель допустимых потоков ................................................................................................5
Отчеты .....................................................................................................................................7
Требования к отчетам для обеспечения скользящего прогнозирования ........................10
Простейшие отчеты..............................................................................................................11
Скользящее прогнозирование простейшего отчета ..........................................................16
Преобразование и агрегирование отчетов .........................................................................21
Преобразование и агрегирование стандартных отчетов...............................................28
Нормальные отчеты..........................................................................................................29
Методические рекомендации при построении нормальных отчетов ..........................32
2. Введение
Рассматривается проблема построения модели скользящего бизнес-планирования для
производственных предприятий. Модель предполагает формирование и корректировку
прогнозных данных по мере поступления фактической информации. В основу таких
моделей мы закладываем принцип, что форма отчетных и форма прогнозных таблиц
должны совпадать. Более того, мы предполагаем, что прогнозные данные во многом
должны базироваться на имеющихся фактических данных. Источником информации для
пополнения модели фактическими данными должны быть главным образом данные
бухгалтерского учета.
При построении такого рода модели возникают ряд проблем, решение которых
предлагается в настоящей статье. Это прежде всего
 Построение исходной Универсальной информационной модели, позволяющей
описать и формализовать бизнес-процессы различных предприятий
 Введение общего понятия отчета и операций преобразования отчетов
 Проверка на допустимость и непротиворечивость отчетных и прогнозных данных
 Построение отчетов, позволяющих идентифицировать необходимые параметры
модели
 Выбор степени детализации отчетных и прогнозных данных
Мы вводим в рассмотрение Универсальную модель предприятия, построенную на
управленческом плане счетов, который специальным образом группирует счета
бухгалтерского учета. Благодаря этому Универсальная модель с одной стороны
адаптирована к структуре бухгалтерской информации, а с другой стороны позволяет
отразить и выявить закономерности по основным производственным и бизнес-процессам
на предприятии.
При построении системы финансовых и производственных отчетов о деятельности
предприятий, корпораций возникают проблемы, связанные с непротиворечивостью
показателей. Как правило, отчетные данные имеют внутреннюю взаимосвязь. Знание
взаимосвязи между показателями отчетов весьма существенно при моделировании
деятельности предприятия и прогнозировании отчетов. Например, стандартный набор
финансовых отчетов: Баланс, Отчет о прибылях и убытках, Денежный поток имеют ряд
взаимосвязей, многие показатели рассчитываются на основании других показателей
отчета. Задача усложняется, если используются и другие отчеты.
Кроме того, возникает задача о восстановлении параметров модели на основе
наблюдаемых отчетных данных. Такая задача является актуальной для составления
прогноза на основе отчетных данных. В связи с этим возникает вопрос о степени
подробности отчетов и модели для бизнес-планирования. На практике существует некий
оптимум т.к чрезмерно подробная модель требует большого количества информации,
которая может быть не совсем достоверна или ее может вообще не быть. Даже наличие
достоверной подробной информации не всегда оправдывает ее использование, т.к
является ненужным для моделирования. Кроме того, увеличение размерности задачи
может усложнить модель и сделать гипотезы, лежащие в основе построения модели менее
надежными.
2
3. Потоки
Многие учетные системы предусматривают использование системы двойной записи.
Прежде всего, формируется список счетов, субсчетов и аналитики, который может быть
определенным образом структурирован и представлен как многоуровневое дерево. Далее
поток данных регистрируется как проводка – т.е указывается из какой вершины и в какую
вершину направляется некая сумма. Помимо потоков за определенный промежуток
времени система характеризуется накопленными в каждом узле остатками. Такая система
регистрации числовых потоков достаточно “вместительна” и позволяет описать потоки
данных и накопленные запасы для многочисленных ситуаций на практике. К ним
относятся все существующие бухгалтерские, налоговые и управленческие системы учета
для предприятий, система Национальных счетов для макроэкономического анализа.
Счет 1
Счет 6
Счет 2
Счет 5
Счет 3
Счет 4
На вышеприведенной схеме указаны 6 счетов, стрелками представлены все возможные
потоки, которые может регистрировать такая система (их 6*6=36). Предполагается, что
каждое конкретное соединение имеет направление и сумму, которую можно
интерпретировать как величину потока прошедшего из одной вершины в другую. Всегда
можно сосчитать, сколько всего в конкретную вершину входит и сколько всего выходит.
Разность даст изменение остатков.
Определение Статического потока x
Пусть задано множество вершин (счетов, узлов)
I=
{i=1,…,n}
Тогда потоком на I будем называть матрицу
x=
{xij}, характеризующую поток, прошедший из вершины i в вершину j по
всем i и j из I
3
Обозначим через X = {x} - множество всех статических потоков на I. Размерность
пространства потоков dim(X)= n*n
Определение Динамического потока x(0,T)
Пусть заданы
промежуток времени
(0,T)= {t=0,…,T}
пространство потоков
X
Тогда
динамический поток
x(0,T) = { x(t) из X для каждого t из (0,T)}
Будем обозначать x(t) – определенный статический поток в момент t
Если рассматривать потоки как некие суммы, которые входят и выходят из вершин, то
имеет смысл рассматривать изменение остатков в каждой вершине. Изменение остатков в
каждой вершине равно сумме всех входящих минус сумме всех выходящих их этой
вершины потоков, что формализуется определением
Определение Динамики баланса
Изменение остатка в каждой вершине равно сумме всех входящих минус сумме всех
выходящих потоков. Или формально:
Пусть
задан динамический поток x(0,T) на I
Тогда для всех t динамика баланса задается соотношениями
zi(t+1) - zi(t) = ∑j (xji(t)-xij(t)), для всех i из I
(1)
или
z(t+1) - z(t) = (xT(t)-x(t))e
(2)
где
e =(1,…,1) –единичный вектор,
xT – транспонирование матрицы x
Свойства Динамики баланса
Если заданы
1. Динамический поток x(0,T)
2. Начальные остатки z(0)
Тогда
1. Динамика остатков z(t), t=1,..,T+1– восстанавливается по (1) или (2) однозначно
2. z(t)=z(0)+z0(t), где z0(t) однозначно восстановленная динамика остатков
при нулевом начальном значении остатка в момент 0
3. Приращение остатков за промежуток времени t0, t1 зависит только от потоков за
этот промежуток времени и равно
z(t1)-z(t0)= (xT(t0,t1)-x(t0,t1))e
Где
x(t0,t1) = сумма {x(t) | по t от t0 до t1} –матрица суммарного потоков за период t0,t1
4
Определение Агрегировния потока
Пусть P:I=>I1 – некоторое агрегирование исходного множества вершин. В общем случае
каждому i1 из I1 соответствует несколько i из I , таких что P(i)=i1
Пусть
имеется поток x, определенный на I*I
Тогда
однозначно задается поток x1, определенный на I1*I1 по правилу
x1i1j1=∑ij {xij | таким ij, что P(i)=i1, P(j)=j1}
Будем обозначать
x1=Px(x)
или
Px:X=>X1:
(3)
- агрегированный поток исходного потока
- оператор агрегирования исходных потоков
4. Модель допустимых потоков
Пространство потоков может иметь большую размерность и большое количество связей.
Для анализа пространства потоков может оказаться удобным и продуктивным изучать его
упрощенный вариант, в котором счета определенным образом сгруппированы, а потоки
между ними рассматриваются только те, которые имеют содержательный смысл и
существенны. Предполагается, что потоки в рамках модели могут существенно
варьироваться, а потоки вне модели менее предсказуемы и при прогнозировании
выбираются примерно на уровне фактических значений или меньше. Выделение Модели
из исходной системы это в некотором роде искусство, так как с одной стороны
желательно чтобы модель была не слишком большой размерности, а с другой стороны
количество информации о модели должно быть достаточным, чтобы достаточно точно
предсказывать ее дальнейшее поведение. Таким образом, модель допустимых потоков это некое подмножество исходной системы, которое мы с одной стороны наблюдаем, а с
другой стороны, которым мы управляем.
Определение 1 Модели допустимых потоков M
Пусть задан набор упорядоченных пар из I
m={i,j}
называемый набором допустимых связей в множестве I
Тогда
набор допустимых пар m={i,j} порождает в пространстве всех потоков Х
подпространство М, называемое моделью допустимых потоков
5
Пример. Универсальная модель финансовых потоков для производственных предприятий
Оплата реализованной
продукции и услуг
Поступление и
погашение
кредитов и
займов
62
Покупатели
Отгрузка продукции
и услуг на
реализацию по цене
реализации
90
Реализация
Отгрузка продукции
на реализацию по
себестоимости
51
Деньги
Оплата материалов
и услуг
Оплата
налогов
67
Кредиты
60
Поставщики
НДС к зачету
Начисление
процентов
Начисление
налогов
68
Налоги
Себестоимость
реализованных
услуг
43
Готовая
продукция
Инвестиции
Отгрузка
услуг
01
Основные
средства
Отгрузка
материалов
10
Материалы
Амортизация
Выход и
потери
готовой
продукции
20
Производство
Списание
материалов в
производство
Модельные допустимые потоки
В этой модели исходная структура состоит из 10 элементов
I= {сч51, сч60, сч10,сч20,сч43,сч90, сч62, сч67, сч68, сч01}
Пространство потоков X это пространство матриц 10*10, т.е имеет размерность 100.
Модель допустимых потоков М порождается 18 допустимыми связями, изображенными
на рисунке. Это линейное подпространство в X размерности 18. Обратим внимание на то,
что направление стрелок имеет значение. Каждая стрелка имеет свой экономический
смысл и отражает ту или иную бизнес-операцию. Такое представление бизнес-процессов
на предприятии лежит в основе всех последующих построений. Предполагается, что
именно потоки из M несут в себе всю информацию об объекте.
6
5. Отчеты
Предполагается, что модель M существует сама по себе, и мы можем судить о ее
состоянии x только частично на основании отчетов. Отчет это несколько строк
наблюдаемых показателей y, каждая из которых является взвешенной суммой некоторых
элементов матрицы потоков х или некоторых приращений остатков z. Мы рассматриваем
как статические отчеты, так и динамические отчеты, строчками которых являются
соответствующие показатели, развернутые по времени. Отчет может действовать на
любых потоках x - как допустимых, так и не допустимых.
Определение 1 Отчета
Пусть заданы
I
- исходная структура из n элементов
X
- множество статических потоков на I
x
- конкретный статический поток
x(0,T) - конкретный динамический поток
Y
- множество наблюдаемых значений размерности k
R:X=>Y – линейный оператор из пр-ва потоков в пр-во наблюдений
Тогда
R(x)=y
– статический отчет на пространстве X
R(x(t))=y(t) – динамический отчет на пространстве X
Свойство 1
Формула для приращения остатков по счетам является одной из форм статического
отчета, т.к правая часть выражения
Δz=(xT-x)e
является линейным оператором R:X=>Z, где Z={z} это множество остатков по счетам I
Свойство 2
Аналогично, если x(0,T) – динамический поток, то формула, отражающая динамику
приращения остатков по счетам
Δz(t)=(xT(t) -x(t))e
является одной из форм динамического отчета
Свойство 3
R(М)М/KermR
т.е все множество допустимых наблюдаемых значений отчета R изоморфно всему
пространству M по модулю тех m, которые в отчете переходят в тождественный 0.Таким
образом, размерность подпространства наблюдений равно
dimR(M)=dim(M)-dim(KermR)
7
Свойство 4
Множество наблюдаемых значений R(M) образует подпространство в Y. То есть, будет
выполняться определенная линейная зависимость между строками отчета для любого x из
M. Количество соотношений между строчками отчета определяется соотношением
dimY-dimR(M)
Определение 2 Элементарных отчетов
Элементарный отчет это любой линейный функционал
f : X => R1
на исходном пространстве потоков X.
Каждый отчет состоит из набора элементарных отчетов
Примеры стандартных Элементарных отчетов
Пусть A, B, С некоторые подмножества исходного множества счетов I.
Проводка из i в j
(i,j): X => R1, действующая по правилу
(i,j)(x)=xij
Определена для любых i,j из I
Поток из множества A в
множество B
(A,B): X => R1= действующий по правилу
(A,B)(x)=СУММА по всем i из A и j из B от xij
Определен для любых подмножеств A,B из I
Чистый поток из A в B
[A,B] = (A,B)-(B,A)
Определен для любых подмножеств A,B из I
Дебетовый оборот множества A
ДО (A) = (I,A)
Характеризует общий приток в множество A
Кредитовый оборот множества A КО (A) = (А,I)
Характеризует общий отток из множества A
Приращение остатка мн-ва A
ДК(A) = [I,A]
– весь приход минус весь отток
характеризует приращение остатка множества A
Свойства 5 Элементарных отчетов
1. Аддитивность потока
Если А и B не имеют общих элементов, тогда
(AB,C)=(A,С)+(B,C)
[AB,C]=[A,С]+[B,C]
8
2. Антикоммутативность чистого потока
[A,B] = - [B,A]
3. [A,A]=0
4. Если A принадлежит I, тогда
[I,A]= [A\I,A]=∑([i,A] по всем iI\A)
Т.е. приращение остатков по множеству вершин A равно сумме всех входящих
минус сумма всех выходящих во вне стрелок из А. Это свойство лежит в основе
большинства критериев отчетов на непротиворечивость.
Определение 3 Стандартный отчет
Стандартный отчет это набор элементарных отчетов вида [Ai, Bi] либо (Ai, Bi), по
некоторой системе подмножеств Ai, Bi из I
Примеры стандартных Отчетов
Оборотно-сальдовя ведомость A ОСВ (A) = совокупность всех (I,a), (a,I) по всем a из A –
характеризует дебетовый и кредитовый оборот по
каждому элементу множества A
Детальный анализ множества A
ДА (A) = совокупность всех (i,A), (A,i) по всем i из I –
Характеризует дебетовый и кредитовый оборот
множества А в корреспонденции с каждым элементом
исходного множества I
Определение 4. Расшифровка стандартного элементарного отчета
Пусть (A,B) –стандартный элементарный отчет
Пусть A=Ai, B=Bj – разбиение А и B на систему непересекающихся подмножеств
Тогда совокупность отчетов (Ai,Bj) по некоторым i и j называется расшифровкой
стандартного элементарного отчета (A,B).
Пример Задача о представлении отчета
Пусть имеется цех Ц, в котором есть основные продукты А и неосновные продукты П.
Перечень основных продуктов велик, неосновные – это один продукт. Требуется выразить
в виде отчета общий чистый приток по основным продуктам.
9
Ц – все счета в цеху
А- основные счета в
цеху
Ппрочие
счета в
цеху
В – все счета
вне цеха
Пусть
Ц – все счета в цеху
А – основные счета в цеху
П – прочие счета в цеху
В – все счета вне цеха
I = A+П+В=Ц+В – вообще все счета
Тогда общий приток по основным продуктам это
(В,А)+(П,А)-(А,П)
это представление общего притока неудобно, так как А это большой перечень счетов.
Было бы удобно выразить А как разницу между Ц и П. Аналогично В можно выразить как
разницу между всеми счетами I и счетами цеха Ц. Поскольку
А=Ц\П, В=I\Ц,
имеем
(В,А)+(П,А)-(А,П)
= (I\Ц, Ц\П)+(П, Ц\П)-( Ц\П,П)
= (I,Ц)-(П, Ц)-( I,П)+(Ц,П)+(П,Ц)-(П,П)-(Ц,П)+(П,П)
= (I,Ц)-(П, Ц)-( I,П)+(П,Ц)
Таким образом общий приток в А выражается формулой (I,Ц)-(П, Ц)-( I,П)+(П,Ц)
6. Требования к отчетам для обеспечения скользящего
прогнозирования
Требования к отчетам
1. Мы используем концепцию, что форма прогнозных данных должна совпадать с
формой отчетных данных, это позволит сравнивать факт и план, веси единую
развернутую во времени таблицу, в которой будет отражен и факт и план.
2. С точки зрения прогнозирования отчет с фактическими данными мы используем в
первую очередь, чтобы рассчитать текущие балансовые показатели, а также, чтобы на
основании предыстории рассчитать сложившиеся пропорции, связанные с оборотами.
Речь идет, например, о нормах расхода на производство, сложившихся нормах
10
процентов и др. Отчетные данные, по которым будут рассчитываться
сложившиеся нормативы и коэффициенты, должны быть представлены в явной
форме, а не в форме всевозможных линейных комбинаций.
Требования к прогнозированию
1. Прогноз y(t) должен быть корректен, т.е должен существовать допустимый модельный
поток x(t)M такой, что R(x(t))=y(t) для любого момента t
2. Прогнозные обороты и остатки должны быть разбиты на 3 категорий:
a. которые рассчитываются на основании предыстории по сложившимся
нормативам
b. которые заводятся вручную экспертным путем
c. которые вычисляются на основании уже рассчитанных оборотов и остатков из
условия корректности прогноза
Для выполнения этих требований отчет должен удовлетворять условиям:
1. Обороты и остатки типа а) и б) должны быть идентифицируемы явно
2. Обороты и остатки типа с) должны вычисляться на основании а) и б) однозначно
Определение Отчета, допускающего скользящее прогнозирование
Отчет R:X=>Y допускает скользящее прогнозирование, если наблюдаемые значения
позволяют однозначно рассчитать соответствующие нормы и пропорции между
наблюдаемыми потоками и балансовыми показателями.
7. Простейшие отчеты
В общем случае отчеты дают обобщающую, может быть суммарную информацию о
допустимых потоках. Например стандартный отчет (А,B) дает информацию о суммарном
потоке из множества А в множество В. Сочетание таких отчетов при разных А и В ставит
сложную задачу распознавания модельного потока по наблюдению. Задача значительно
упрощается, если стандартные отчеты имеют вид (i,j). Если к такого рода элементарным
отчетам добавляется информация о динамике остатков по всем счетам, то такой отчет мы
будем называть простейшим. Для простейших отчетов удается в конструктивной форме
построить как множество допустимых наблюдений, так и множество допустимых
ненаблюдаемых модельных потоков. В дальнейшем, используя аппарат преобразования
отчетов, мы постараемся свести к простейшим отчетам более широкие классы отчетов.
Определение Простейшего отчета
Простейший отчет это отчет, представляющий из себя совокупность элементарных
отчетов вида
y1ij=
(i,j)x = xij
- проводка из вершины i в вершину j
y2ij=
[i,j]x = xij- xji
- чистый оборот между вершинами i и j
y3i=∆zi = [I,i]x = ∑j (xji-xij) - приращение остатка вершины i
(1)
(2)
(3)
11
Причем элементарные отчеты вида (1) и (2) имеют место для некоторых пар i и j, а
элементарные отчеты вида (3) имеют место для всех вершин i из I
Без ограничения общности можно считать, что множество допустимых модельных связей
m={ij} разбивается на 3 непересекающихся класса
m1 – допустимые связи, наблюдаемые по правилу (1)
m2 – допустимые двойные связи, наблюдаемые по правилу (2), причем, если ijm2,
тогда и jim2
m0 - все остальные (ненаблюдаемые) допустимые связи
Множество допустимых модельных потоков M можно представить как линейную сумму
трех непересекающихся подпространств
M=M0+M1+M2
порожденных соответствующими допустимыми связями
m=m0m1m2
Определение Ненаблюдаемых односвязных зон
В общем случае ненаблюдаемые допустимые связи m0 разбивают I на несколько
ненаблюдаемых односвязных зон
AcI, с=1,…,K.
через которые проходят ненаблюдаемые допустимые потоки M0. Мы считаем, что
вершины ij связаны друг с другом в m0, если от i к j существует цепочка элементарных
связей {i1,j1}, таких что либо i1,j1 либо j1,i1 принадлежат m0.
Обозначим все наблюдаемые вершины (не вошедшие в число ненаблюдаемых)
через
A0=I\(A1…Ak)
Все допустимые связи, идущие из этих вершин – наблюдаемы. т.е относятся к категории
(1) или (2).
Структура Ядра простейшего отчета
Ядро простейшего отчета KermR  M как подпространство допустимых модельных
потоков может быть полностью описано следующим образом.
1. Для проводок из М1
(i,j)x= xij= 0
(4)
2. Для проводок из М2
[i,j]x= xij - xji= 0
(5)
3. Приращение остатка по каждому счету из любой ненаблюдаемой односвязной зоны
Ac под воздействием ненаблюдаемых потоков равно нулю
∆zi =[I,i]x=0, xM0
по всем iAс
(6)
Размерность ядра простейшего отчета
dimKerm R= |m2|/2 + |m0| - ∑c(|Ac|-1)
(7)
где
|m2|/2 – это количество независимых соотношений типа (2), учитывая, что если ij
входит в m2, то и ji входит в m2
12
|m0| - количество ненаблюдаемых связей
∑c(|Ac|-1) – количество линейно независимых ограничительных для М0
соотношений вида (6). Для каждой ненаблюдаемой односвязной области Ac
имеется |Ac| таких соотношений, одно из которых является линейно зависимым от
остальных.
Структура Множества допустимых наблюдений простейшего отчета
Множество допустимых наблюдений простейшего отчета R(M)Y можно полностью
описать следующим образом
1. Отчеты типа (1) могут принимать любые значения
y1
2. Отчеты типа (2) могут принимать любые значения
y2
но при условии, что если ijm2, тогда
y2ij=-y2ji
(8)
3. Отчеты типа (3) могут принимать любые значения
y3
но при условии, что для каждой ненаблюдаемой односвязной зоны Ac, общее
приращение равно сумме всех входящих минус сумме всех выходящих из Ac
наблюдаемых потоков M1 и M2,
или формально:
Сумм y3i по всем iAс=
+Сумм y1ji-y1ij по всем jI, iAc
+Сумм y2ji-y2ij по всем jI, iAc
(9)
Размерность множества допустимых наблюдений простейшего отчета
Dim(R(M))=|m1|+|m2|/2+∑c(|Ac|-1)
(10)
где
|m1| - количество элементарных отчетов типа (1)
|m2|/2 - количество независимых элементарных отчетов типа (2)
∑c(|Ac|-1) – количество линейно независимых приращений остатков по всем
ненаблюдаемым односвязным зонам. Для каждой ненаблюдаемой односвязной
зоны Ac имеется |Ac| таких приращений, одно из которых является линейно
зависимым от остальных.
Связь между размерностями
Учитывая, что для простейшего отчета
dim(M)=|m0|+|m1|+|m2|
(11)
нетрудно проверить, что для простейшего отчета выполняется общее соотношение
dimR(M)=dim(M)-dim(KermR)
Следствие
Если ненаблюдаемые связи охватывают все I как одну односвязную область, тогда R(M)
это любые наборы y1,y2,y3, для которых выполняется (8) и сумма приращений всех
счетов равна нулю
13
Сумм y3i
по всем iI=0
(12)
Пример Простейшего отчета.
B-выручка
90 Реализация
51 Деньги
П2-продукция
на реализацию
43 Готовая
продукция
З - зарплата
M1-материалы
приход
10 Материалы
У – реализация
услуг
П1-продукция
на склад
20
Производство
M2-материалы
расход
Ненаблюдаемые модельные проводки
Полностью наблюдаемые модельные связи
Частично наблюдаемые модельные связи
I={51,10,20,43,90} – 5 элементов
Простейший отчет y=R(x) задается набором m=(m0, m1, m2)
m0={51-10;10-20;20-10;51-20;51-51}
- 5 элементов
m1={20-90;43-90;90-51}
- 3 элемента
m2={20-43;43-20}
- 2 элемента
Множество допустимых модельных потоков M имеет размерность 10=5+3+2= dim(M)
Отчет имеет 9 =dim(Y) строк
y11=(20,90)x
y12=(43,90)x
y13=(90,51)x
y2=[20,43]x
y31=∆z51= [I,51]x
y32=∆z10= [I,10]x
y33=∆z20= [I,20]x
y34=∆z43= [I,43]x
y35=∆z90= [I,90]x
14
m0 определяет в I одну односвязную ненаблюдаемую зону A1 = (51,10,20)
Множество допустимых наблюдений отчета R(M)Y можно описать как
1. y11 – любое
2. y12 – любое
3. y13 – любое
4. y2 - любое
5. y34=y1-y22 – прирост остатка у счета 43
6. y35=y21+y22-y23 - – прирост остатка у счета 90
7. y31+y32+y33= y23-y21-y1 – прирост остатка по группе (51,10,20) равен сумме
входящих в группу наблюдаемых потоков минус сумме выходящих из группы
наблюдаемых потоков
Таким образом, R(M) это 6-ти мерное подпространство в 9-ти мерном пространстве
всех наблюдений Y. Нужно из размерности Y (это 9) вычесть количество
ограничивающих соотношений (таких 3).
Ядро оператора KermR можно описать так
1. Для проводок из М1
x20_90=0
x43_90=0
x90_51=0
2. Для проводок из М2
x20_43 - x43_20=0
решение задает одномерное подпространство в M2
3. Приращение остатка по каждому счету из ненаблюдаемой односвязной зоны
A1=(51,10,20) под воздействием ненаблюдаемых потоков из М0
∆z51= -x51_10 - x51_20 =0
∆z10= x51_10 - x10_20+x20_10 =0
∆z20= x51_20 + x10_20 - x20_10=0
Из этих трех соотношений только два являются линейно независимыми. Решение
этой системы из 3х уравнений вырезает в пятимерном пространстве
ненаблюдаемых потоков M0 трехмерное подпространство.
Таким образом, KermR это 4-х мерное подпространство в M
Таким образом, имеем
dim(M)
= 10 размерность пространства допустимых потоков
dim(Y)
=9
количество строк в отчете
dimR(M)
=6
размерность подпространства наблюдаемых значений
dim (KermR) = 4
размерность ядра отчета
количество независимых наблюдаемых параметров
dimR(M)=dim(M)-dim(KermR)=6
количество зависимых наблюдаемых параметров
dim(Y)-dimR(M)=3
15
8. Скользящее прогнозирование простейшего отчета
При анализе предыстории и фактических данных предполагается, что могут иметь место
не только модельные потоки, но и допускается присутствие вне модельных потоков
(шума). В свою очередь предполагается, что в прогнозе могут реализоваться только
модельные потоки M.
Для простейшего отчета предлагается стандартная таблица представления, которая
используется и при прогнозировании.
Простейший отчет дает возможность однозначно идентифицировать некоторые обороты и
дает информацию о состоянии всех балансовых счетов. Это позволяет непосредственно
прогнозировать наблюдаемые обороты, а также прогнозировать остатки счетов, обороты
по которым полностью не наблюдаются.
Простейший отчет с несколькими ненаблюдаемыми зонами.
Для произвольной простейшей модели, задаваемой наборами допустимых связей
m=m0m1m2 динамическую модель скользящего планирования можно представить
соотношениями (1)-(11)
По всем iA0 –из наблюдаемой зоны имеем баланс входящих и выходящих наблюдаемых
потоков
y1ij= -(i,j)x
по всем ijm1
(1)
y1ji= (j,i)x
по всем jim1
(2)
y2ji= [j,i]x
по всем jim2
(3)
y3i= [Прi,i]x
(4)
____________________________________
Итого y4i= ∆zi
(5)
По всем ненаблюдаемым зонам Ac, c=1,…,k – имеем баланс входящих и выходящих из
зоны наблюдаемых потоков
y1ij= -(i,j)x
по всем iAc, ijm1
(6)
y1ji= (j,i)x
по всем iAc, jim1
(7)
y2ji= [j,i]x
по всем iAc, jim2
(8)
y3Ac= [ПрAc, Ac]x
(9)
_________________________________________
Итого y4i= ∆zi
по всем iAc
(10)
Баланс по прочим потокам
0=
∑iA0 y3i + ∑с y3Ac
(11)
В соотношениях (1)-(3), (6)-(8) и (10) каждая строчка, возможно, представлена
многократно. Использованы обозначения
(i,j)x = xij – поток из вершины i в вершину j.
[j,i]x=(j,i)x-(i,j)x=xji - xij -чистый поток из вершины j в вершину i.
[Прi,i]x – чистый поток в вершину i, не учтенный в модели M
[ПрAc, Ac]x – чистый поток в зону Ac, не учтенный в модели M
16
При прогнозировании предполагаем, что Прочие потоки равны нулю. Используя
соотношения (1)-(10), осуществляем прогноз в следующем порядке:
Для каждого i из наблюдаемой зоны А0
1. Выбираем на основе предыстории динамику (1),(2),(3)
2. Находим ∆zi из условия (5)=(1)+(2)+(3)
Для каждой ненаблюдаемой зоны Ac
3.Вычисляем (6),(7),(8) на основе выбранных в (1),(2),(3)
4. Прогнозируем ∆zi по всем i Ac при ограничении ∑i Ac ∆zi =(6)+(7)+(8)
Простейший отчет с одной ненаблюдаемой зоной.
В случае, если ненаблюдаемая односвязная зона A1 только одна, представление
простейшего отчета для скользящего прогноза может быть таким:
По всем iA0 –из наблюдаемой зоны имеем баланс входящих и выходящих
наблюдаемых потоков
y1ij= -(i,j)x
по всем ijm1
(12)
y1ji= (j,i)x
по всем jim1
(13)
y2ji= [j,i]x
по всем jim2
(14)
y3i= [Прi,i]x
(15)
Итого y4i= ∆zi
(16)
По всем jA1 – из ненаблюдаемой зоны наблюдаем только приращения остатков
y4j= ∆zj
по всем jA1
(17)
Выполняется общий баланс по всем вершинам I
0=
∑ iI ∆zi
(18)
При прогнозировании последовательно по каждой наблюдаемой вершине iA0 выбираем
обороты (12)-(14) с учетом возможных повторов с противоположным знаком и
предполагая, что обороты по прочим равны нулю. Далее, выбираем приращения ∆zj по
всем вершинам из ненаблюдаемой зоны A1 при условии, что выполняется общий баланс
(18)
ПРИМЕР 1
Для примера из предыдущей главы модель скользящего планирования будет следующая
Балансы по вершинам наблюдаемой зоны A0={90,43}
y1
=
-B
y2
=
П2
y3
=
У
y4
=
[Проч90,90]x
Итого
y5
=
∆z90
(12)
(13)
(14)
17
Итого
y6
y7
y8
y9
=
=
=
=
-П2
П1
[Проч43,43]x
∆z43
Баланс по ненаблюдаемой зоне A1={51,10,20)
y10 =
B
y11 =
-П1
y12 =
-У
y13 =
[ПрочA1,A1]x
Итого
y14 =
∆z51
y15 =
∆z10
y16 =
∆z20
(15)
(16)
(17)
Баланс по прочим потокам
0
=
y4+y8+y13
Предполагаем, что Прочие потоки равны нулю при прогнозировании. Используя
соотношения (12)-(20), осуществляем прогноз в следующем порядке:
Для наблюдаемой зоны А0
1. Выбираем на основе предыстории динамику y1,y2,y3,y6
2. Находим итоговые ∆z90, ∆z43
Для ненаблюдаемой зоны A1
3.Вычисляем y10,y11,y12 на основе выбранных y1,y2,y3,y6
4. Прогнозируем ∆z51, ∆z10, ∆z20 при ограничении ∆z51+ ∆z10+ ∆z20 =y10+y11+y12
Таким образом, при прогнозировании независимыми и управляемыми являются
y1,y2,y3,y6, y14,y15. Прочие потоки y4,y8,y13 – нулевые. Остальные наблюдаемые
переменные y5,y7,y9,y10,y11, y12, y14 – вычисляются на основе выше выбранных.
Учитывая, что в данном примере ненаблюдаемая зона только одна, вместо пунктов
3 и 4 можно ограничиться одним пунктом
3’. Прогнозируем ∆z51, ∆z10, ∆z20 при ограничении ∆z51+ ∆z10+ ∆z20+ ∆z43+ ∆z90 =0
18
ПРИМЕР 2
Оплата реализованной
продукции и услуг
Поступление и
погашение
кредитов и
займов
62
Покупатели
Отгрузка продукции
и услуг на
реализацию по цене
реализации
90
Реализация
Отгрузка продукции
на реализацию по
себестоимости
51
Деньги
Оплата материалов
и услуг
Оплата
налогов
67
Кредиты
60
Поставщики
НДС к зачету
Начисление
процентов
Начисление
налогов
68
Налоги
Себестоимость
реализованных
услуг
43
Готовая
продукция
Инвестиции
Отгрузка
услуг
01
Основные
средства
Отгрузка
материалов
10
Материалы
Амортизация
Выход и
потери
готовой
продукции
20
Производство
Списание
материалов в
производство
Ненаблюдаемые модельные связи
Полностью наблюдаемые модельные связи
Частично наблюдаемые модельные связи
Множество вершин
I=
{51, 60, 10, 20, 43, 90, 62, 68, 01, 67}
Три категории связей, определяющие простейший отчет
m0=
{51-60, 51-68, 60-68, 60-10, 20-43, 43-20} ненаблюдаемые связи
m1=
{51-67, 67-51} полностью наблюдаемые связи
m2=
{60-01, 60-20, 10-20, 01-20, 20-90, 43-90, 68-90, 90-62, 67-90
01-60, 20-60, 20-10, 20-01, 90-20, 90-43, 90-90, 62-90, 90-67} –
частично наблюдаемые связи
19
|m| = |m0| + |m1| + |m2|= 6+ 2+ 2*9= 30
Множество вершин I разбивается на 2 ненаблюдаемые зоны и одну зону наблюдаемых
вершин
A0=
{01,67,90}
наблюдаемая зона
A1=
{20,43}
ненаблюдаемая зона
A2=
{51,60,10,68,62}
ненаблюдаемая зона
|I| = |A0| + |A1| + |A2| = 3+ 2+ 5= 10
Балансы по вершинам наблюдаемой зоны A0={01,67,90}
=
=
=
=
=
=
=
[20,90]x
[43,90]x
[67,90]x
[68,90]x
-[90,62]x
[Проч90,90]x
∆z90
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Итого
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
=
=
=
=
[60,01]x
-[01,20]x
[Проч01,01]x
∆z01
(27)
(28)
Итого
y8
y9
y10
y11
=
=
=
=
=
(51,67)x
-(67,51)x
-[67,90]x
[Проч67,67]x
∆z67
(29)
(30)
Итого
y12
y13
y14
y15
y16
Баланс по ненаблюдаемой зоне A1={20,43}
y17 =
[60,20]x
y18 =
[10,20]x
y19 =
[01,20]x
y20 =
-[20,90]x
y21 =
-[43,90]x
y22 =
[ПрочA1,A1]x
Итого
y23 =
∆z20
y24 =
∆z43
(31)
Баланс по ненаблюдаемой зоне A2={51,60,10,68,62}
y25 =
(67,51)x
y26 =
- (51,67)x
y27 =
[90,62]x
y28 =
-[68,90]x
y29 =
-[60,01]x
20
y30
y31
y32
y33
y34
y35
y36
y37
=
=
=
=
=
=
=
=
-[60,01]x
-[10,20]x
[ПрочA2,A2]x
∆z51
∆z60
∆z10
∆z68
∆z62
Баланс по прочим
0
=
y6+y10+y15+y22+y32
Итого
(32)
(33)
(34)
(35)
Таким образом, имеем 6 балансовых соотношения: 3 соотношения по наблюдаемым
вершинам, 2 соотношения по ненаблюдаемым зонам и одно соотношение по
внемодельным прочим потокам. При прогнозировании 37 показателей, из которых
независимыми и управляемыми 14 оборотных соотношений (22)-(35). Прочие потоки
y6,y10,y15,y22,y32 нулевые. Остальные 18 наблюдаемых переменных вычисляются на
основе выше выбранных.
Предполагаем, что Прочие потоки равны нулю при прогнозировании. Используя
соотношения (22)-(35), осуществляем прогноз в следующем порядке:
Для наблюдаемой зоны А0
1. Выбираем на основе наблюдаемой предыстории обороты (22)-(30) y1,y2, y3, y4,
y5, y8, y9, y12, y13
2. Находим итоговые приращения y7=∆z90,y11= ∆z01,y16= ∆z67
Для ненаблюдаемой зоны A1 и А2
3.Вычисляем наблюдаемые обороты на основе ранее выбранных наблюдаемых
оборотов
4. Прогнозируем суммарные приращения ненаблюдаемых зон
Таким образом, при прогнозировании независимыми и управляемыми являются
y1,y2,y3,y6, y14,y15. Прочие потоки y4,y8,y13 – нулевые. Остальные наблюдаемые
переменные y5,y7,y9,y10,y11, y12, y14 – вычисляются на основе выше выбранных.
9. Преобразование и агрегирование отчетов
При работе с отчетами часто приходится осуществлять их преобразование как путем
преобразования наблюдаемых значений, так и путем преобразования множества исходной
структуры, на которой строятся потоки. В частности, путем преобразования отчетов к
простейшему виду можно существенно расширить класс отчетов, которые допускают
скользящее прогнозирование. Обратим внимание, что все нижеследующие построения
распространяются на все множество потоков X
Определение 1 Преобразование отчета по наблюдению
Пусть имеется отчет
R:X=>Y.
Пусть задано произвольное линейное преобразование наблюдаемых значений
21
PY:Y=>Y1
Тогда PY задает новый отчет R1:X=>Y1, определяемый по правилу
R1(x)=PY(R(x))
X
R
(1)
Y
Y
Py
R1
Y1
Y
Определение 2 Изоморфизм отчетов по наблюдению
Два отчета
R:X=>Y
R1:X=>Y1
называются изоморфными, если существует изоморфизм
PY:R(X)=>R1(X)
такой, что для всех x выполняется
PY(R(x))= R1(x)
Такого рода преобразования часто встречаются на практике. Например, имеющийся отчет
дополняют новыми строчками, получающимися как линейная комбинация уже
существующих в отчете строк. При этом отчет преобразуется в изоморфный самому себе.
Определение 3 Эквивалентность отчетов
Два отчета
R1:X=>Y1
R2:X=>Y2
называются эквивалентными, если
R1(x1)=R1(x2)
тогда и только тогда, когда
R2(x1)=R2(x2)
Т.е классы эквивалентности у X по первому и по второму отчету совпадают.
Утверждение 1
Отчеты R1 и R2 эквивалентны тогда и только тогда, когда
Ker R1= Ker R2
Утверждение 2
Два отчета эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны.
22
Пример Преобразования отчета по наблюдению
Пусть
R(x1,x2) = y1,y2 = x1+x2, x1-x2
P(y1,y2)=(y1+y2)/2, (y1-y2)/2
Тогда
R1(x1,x2)=P* R(x1,x2)=x1,x2
т.е преобразование P превращает отчет R в тривиальный отчет R1. Поскольку P –
изоморфизм, то следовательно исходный отчет изоморфен тривиальному отчету.
Важным частным случаем преобразования отчетов является агрегирование отчета по
исходному множеству структуры I. Не все отчеты допускают агрегирование по исходному
множеству структуры.
Определение 4 Отчет R:X=>Y допускает агрегирование PI:I=>I1, порождающее
агрегирование потоков Px:X=>X1, если существует отчет R1:X1=>Y такой, что для всех x
из X выполняется
R(x)=R1(Px (x))
X
R
(2)
Y
Y
Px
R1
X1
Свойство 1.
Пусть отчет R:X=>Y допускает агрегирование PI:I=>I1 тогда
Ker PxKer R
(3)
или
из условия Px(x)=0 следует, что R(x)=0
Таким образом, для того, чтобы отчет допускал агрегирование по крайней мере
необходимо, чтобы ядро отчета могло включать как подпространство ядро оператора
агрегирования, которое всегда имеет специфическую структуру.
Свойство 2.
Если отчет R:X=>Y допускает агрегирование P:I=>I2 и P представимо как суперпозиция
P1:I=>I1; P2:I1=>I2, тогда отчет R допускает и агрегирование P1
23
Таким образом, если отчет допускает агрегирование, то он допускает и более слабое
агрегирование. Следовательно, можно говорить о наиболее сильном агрегировании,
которое допускает отчет R.
Свойство 3.
Если отчет R:X=>Y допускает агрегирование P:I=>I1, то для любого i1I1отчет допускает
агрегирование по множеству A= P-1(i1).
Свойство 4
Необходимым и достаточным условием того, что отчет R допускает агрегирование по
множеству A I является условие, что R состоит из элементарных отчетов, матричное
представление которых fij имеет вид
2222
3333
8
8
8
8
4
4
4
4
7777
7777
7777
7777
Т.е по множеству А соответствующие коэффициенты не должны отличаться
Свойство 5
Если отчет допускает агрегирование по множеству A и по множеству B, причем эти
множества имеют общие элементы, то отчет можно агрегировать и по объединению
множеств AB
Свойство 6
Если отчет допускает агрегирование по множеству A и по множеству B, причем эти
множества не пересекаются, то отчет можно агрегировать по композиции этих множеств,
т.е допустимым является агрегирование P:I=I1, которое склеивает элементы из А и
склеивает элементы из В
Свойство 7
Каждый отчет допускает максимальное агрегирование в том смысле, что отчет допускает
такое агрегирование, что любое другое агрегирование является дроблением
максимального.
24
Пример отчета, допускающего агрегирование
Пусть
I={901,902,903,904,905,906, 51,10,20,43}
X – потоки на I
R:X=>Y задается 6 строками
r1=(901,51)+(902,51)+(903,51)+(904,51)+(905,51)+(906,51)
r2=(43,901)+(43,902)+(43,903)+(43,904)+(43,905)+(43,906)
r3=∆51
r4=∆10
r5=∆23
r6=∆43
P:I=>I1 задается соотношением {901,902,903,904,905,906, 51,10,20,43}=> {90,51,10,20,43}
X1 – потоки на I1
Тогда
Px:X=>X1 естественным образом
R1:X1=>Y задается 6 строками
r1=(90,51)
r2=(43,90)
r3=∆51
r4=∆10
r5=∆23
r6=∆43
и выполняется
R(x)=R1(Px (x))
Следовательно, отчет R допускает агрегирование P.
Содержательный смысл примера. Если мы наблюдаем только общую выручку и общую
себестоимость, то нет смысла использовать в модели выручку и себестоимость по
каждому продукту.
Пример отчета, не допускающего агрегирование
I=(1,2,3)
Отчет R задается двумя соотношениями
y1=x13+x23
y2=x23+x32
Ker R= { x13+x23=0, x23+x32=0}
Следовательно, отчет R не допускает агрегирования, так как один и тот же элемент x23
находится в двух соотношениях одновременно.
Определение 4 Преобразование отчета.
Пусть отчет R:X=>Y
Пусть агрегирование вершин PI:I=>I1 порождает агрегирование потоков Px:X=>X1
Пусть существуют
Py: Y=>Y1
R1:X1=>Y1
Такие, что для всех x
25
Py(R(x))=R1(Px (x))
X
R
Px
X1
(4)
Y
Y
Py
R1
Y1
Тогда R1 – называется преобразованием отчета R, заданное проекциями PI и Py.
Свойство 8
Если R1 преобразование отчета R, заданное проекциям PI и Py, тогда
Px-1Ker(R1)=R-1Ker(Py)
Свойство 9
Если
Ker(R)+Ker(Px)=X
Тогда
Преобразование может быть только тривиальным. Т.е Y1=0
Свойство 10
Если заданы отчет R:X=>Y и агрегирование вершин PI, то существует самый подробный
отчет R1, являющийся преобразованием исходного.
Поскольку отчет R и, соответственно, агрегирование потоков Px неизбежно склеивают
некоторые потоки, причем необязательно одинаково, то для того, чтобы последующие
операторы давали в результате один и тот же Y1, необходимо, чтобы R1 и Py также
осуществляли склеивание, обеспечивающее в некотором смысле общий результирующий
знаменатель.
Пример преобразования простейшего отчета
26
B-выручка
90 Реализация
51 Деньги
П2-продукция
на реализацию
43 Готовая
продукция
З - зарплата
M1-материалы
приход
10 Материалы
У – реализация
услуг
П1-продукция
на склад
20
Производство
M2-материалы
расход
Ненаблюдаемые модельные проводки
Полностью наблюдаемые проводки
I={51,10,20,43,90} – 5 элементов
Простейший отчет y=R(x) задается набором m=(m0, m1, m2)
m0={51-10;10-20;51-20}
- 3 элемента
m1={20-90;20-43;43-90;90-51}
- 4 элемента
KermR={з=-m1=-m2 –любые}
Пусть агрегирование вершин PI это склеивание ненаблюдаемых вершин {51, 10, 20}в одну
вершину A. Тогда порождается агрегированный поток X1
KermPx= {з, m1, m2 –любые}
Следовательно KermR KermРх
90 Реализация
B-выручка
П2-продукция
на реализацию
У – реализация
услуг
43 Готовая
продукция
П1-продукция
на склад
51, 10,20
агрегированн
ый счет A
Проводки типа (1)
27
R1 это простейший отчет. Kerm(R1)=0.
Очевидно, R1 это самый подробный отчет, который допускает исходный отчет R и
исходное агрегирование PI.
Определение прямого произведения отчетов
Пусть имеются два отчета
R1:
X1=> Y1
R2:
X2=> Y2
Тогда можно рассмотреть прямое произведение отчетов
(R1,R2):X1*X2=>Y1*Y2
10.
Преобразование и агрегирование стандартных отчетов
Важным классом отчетов, допускающих агрегирование, являются стандартные отчеты,
которые определяются как сумма потоков между некоторыми подмножествами исходного
множества I. Для такого рода отчетов теорема о максимальном агрегировании получает
простое конструктивное решение. По сути утверждается, что в этом случае все вершины
можно разбить на достаточно мелкие группы, и свести отчет к простейшему,
определенному на потоках между этими группами.
Определение 1 Минимальная база, порожденная подмножествами Ai из I
Пусть имеется набор подмножеств Ai множества I. Совокупность непересекающихся
множеств Сj мы назовем минимальной базой П(Аi) исходного набора множеств, если
1. Любое Ai можно представить как объединение соответствующих Cj.
2. Если любые 2 подмножества Сj и Ci заменить на их объединение, то п.1 не будет
выполняться.
Если отчет определяется как совокупность стандартных отчетов вида (Ai,Bi), то,
очевидно, отчет можно сагрегировать с точностью до минимальной базы, порожденной
множествами Аj Bj
Теорема 1 Об агрегировании стандартных отчетов.
Пусть
1. Отчет R:X=>Y – стандартный, т.е представим в виде (Ai,Bi), или [Ai,Bi] i=1,…,k
2. {Cj} – минимальная база, порожденная подмножествами Ai и Bi, i=1,…,k.
3. PI:I=>I1 агрегирование I, которое склеивает все элементарные Cj в один элемент cj
множества I1
Пусть проекция PI
1. Порождает естественное отображение Px:X=>X1 из допустимых потоков на I в
допустимые потоки на I1
2. Порождает естественный отчет R1 на X1 представимый в виде (A1i,B1i) или
[A1i,B1i], где A1i=PI(Ai) и B1i=PI(Bi) соответствующие подмножества в I1
28
Тогда
PI – максимальное агрегирование, которое допускает отчет R(x)
Отчет R1(Px(x)) эквивалентен отчету R(x)
11.
Нормальные отчеты
Ранее было показано, что для простейших отчетов удается построить в конструктивной
форме как множество допустимых наблюдений, так и множество идентифицируемых
параметров модели. Использование простейших отчетов позволяет осуществлять
процедуру скользящего прогнозирования. Однако, простейшие отчеты это довольно узкий
класс отчетов. Отчеты, которые удается свести к простейшим при помощи агрегирования
потоков, а также путем включения в отчет дополнительных расшифровок мы будем
называть Нормальными.
Определение Нормального отчета
Пусть агрегирование P:I=>I1 разбивает I на непересекающиеся группы
I=A1…AK
(1)
Пусть отчет R:X=>Y представим в виде элементарных отчетов вида
(Ai,Aj) или [Ai,Aj] для некоторых i и j
(2)
[I,Ak]
для всех k=1,…,K
(3)
Пусть
для некоторых Ai имеются расшифровки оборотов, т.е соотношения типа (2)
дополняются аналогичными соотношениями вида
(il,Aj), (Aj,i1), [il,Aj]
по всем i1Ai
(4)
Тогда отчет заданный соотношениями (1)-(4) называется нормальным.
Нижеследующая теорема утверждает, что Нормальный отчет с точностью до
агрегирования по множествам Ak, не имеющих расшифровок, эквивалентен простейшему
отчету.
Теорема 2 О приведении Нормального отчета к Простейшему отчету
Теорема 2 О приведении Нормального отчета к Простейшему отчету
Пусть
R:X=>Y – нормальный отчет, задаваемый соотношениями (1)-(4).
Тогда
P задает агрегирование, преобразующее отчет к отчету R1:X1=>Y1 простейшего
вида, где X1 естественное агрегирование потоков X, а Y1 совпадает с Y с
точностью до изъятия из отчета R расшифровок вида (4)
Следствие 1
29
Число дополнительных соотношений на наблюдаемые значения Y нормального отчета
складывается из этого числа для соответствующего простейшего отчета плюс количество
полных расшифровок. Полная расшифровка это та, которая охватывает все элементы
соответствующего множества Ai
Пример Нормального отчета
B-выручка
90 Реализация
51 Деньги
П2-продукция
на реализацию
43 Готовая
продукция
10 Материалы
П1-продукция
на склад
2020
20
Производство
Производство
Производство
Ненаблюдаемые модельные потоки
Полностью наблюдаемые потоки
I=43  90  51  10  (201, 202, 203) –всего 7 элементов
X=
{xij} имеет размерность 7*7=49
R=
{(90,51), (43,90) , (20,43)}
{∆90, ∆51, ∆43, ∆10, ∆20}
{(201,43) , (202,43) , (203,43)}
M
модельные проводки имеют размерность 9, из которых 4 не наблюдаемы
– потоки между 3 счетами
– прирост остатков по 5 счетам,
- расшифровка потоков по счету 20
Y состоит из 3+5+3=11 наблюдаемых показателей, из которых 7 являются независимыми
Имеются 4 определяющих соотношения:
(20,43) = (201,43) + (202,43) + (203,43)
∆43 =(20,43)-(43,90)
∆90 =(43,90)-(90,51)
0
=∆90+ ∆51+ ∆43+ ∆10+ ∆20
Очевидно, отчет R удовлетворяет условиям (1)-(4) и следовательно является Нормальным
30
Проиллюстрируем, как работает теорема 2 по приведению этого отчета к простейшему
виду.
B-выручка
90 Реализация
51 Деньги
П2-продукция
на реализацию
43 Готовая
продукция
10 Материалы
П1-продукция
на склад
20
Производство
Ненаблюдаемые модельные потоки
Полностью наблюдаемые потоки
P:I=>I1 склеивает элементы 201, 202, 203 в один элемент 20, а остальные оставляет на месте
I1=
43  90  51  10  20
X1=
{x1ij} агрегированные потоки имеют размерность 5*5=25
R1=
{(90,51), (43,90) , (20,43)}
{∆90, ∆51, ∆43, ∆10, ∆20}
M1
модельные проводки имеют размерность 5, все из которых идентифицируются
Y1
состоит из 3+5=8 наблюдаемых показателей
5 элементов
– наблюдаемые потоки
– прирост остатков по 5 счетам,
Имеются 3 стандартных определяющих соотношения:
∆43 =(20,43)-(43,90)
∆90 =(43,90)-(90,51)
0
=∆90+ ∆51+ ∆43+ ∆10+ ∆20
Следовательно, из 8 наблюдаемых 5=8-3 являются независимыми.
Учитывая, что помимо простейшего отчета можно рассматривать расшифровку,
связанную соотношением
(20,43) = (201,43) + (202,43) + (203,43)
получаем еще 2 степени свободы. Итого 5+2 =7 степеней свободы у отчета.
31
12.
Методические рекомендации при построении
нормальных отчетов
При построении отчетов, допускающих процедуру скользящего прогнозирования, имеет
смысл следовать ряду правил, выполнение которых позволит избежать ошибок.
1. Пользоваться только стандартными отчетами, т.е отчетами вида (Аi,Aj) или [Аi,Aj]
2. При построении отчета определиться с минимальной базой подмножеств Ai и
использовать только такие множества в качестве элементарных стандартных.
3. В качестве формы представления отчета стараться использовать структуру вида 111 из главы Скользящее прогнозирование простейших отчетов.
4. Определиться какие потоки являются допустимыми.
5. Определиться какие потоки являются наблюдаемыми
6. Выявить какие наблюдаемые показатели являются независимыми и какие являются
линейной комбинацией независимых.
7. В отчетах вне модельные потоки “не мешать” с модельными потоками
8. Вне модельные потоки должны проходить отдельными строками, которые при
прогнозировании обнуляются.
32