Факториал. Основные комбинаторные конфигурации

Занятие № 6
Тема: «Факториал. Основные комбинаторные конфигурации»
Цели:
1) Содействовать формированию знания основных комбинаторных соединений.
2) Способствовать развитию навыков использования комбинаторных соединений при решении
задач.
Структура занятия:
1. Оргмомент
2. Проверка домашнего задания
3. Лекция
4. Решение задач
5. Домашнее задание
6. Подведение итогов
Ход занятия.
1. Проверка домашнего задания
Определить является ли последовательность нечетных чисел возвратной,
если да, то определить ее порядок.
Решение
и1=1, и2=3,…, иn=2 n-1
иn+1=2 (n+1)-1=2 n-1+2= иn+2
и n + 2 = и n + 1 + 2 = и n + 1 + и n + 1 - и n , т . е . возвратная последовательность 2 г о
порядка.
2. Лекция
Основные положения лекции:
1.
2.
Факториал
Соединение
2.1 Размещения без повторений
2.2 Размещения с повторениями
2.3 Перестановки
2.4 Сочетания
Факториал
d e f ║ Ф а к т о р и а л о м называется произведение натуральных чисел от 1 до
какого-либо данного натурального числа n.
n!=1  2 … n
Соединения
d e f ║ С о е д и н е н и я – это математические множества, составленные из n
элементов по k элементов в каждом. Если все элементы каждого из множеств
различны между собой, то с о е д и н е н и я называются соединениями без
повторений. Если же в числе множеств встречаются такие, что некоторые
элементы в них одинаковы, то множества называются соединениями с
повторениями.
Различаются три главных вида соединений:
Размещения
Перестановки
Сочетания.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 6
Размещения
d e f ║ Р а з м е щ е н и я - это упорядоченные подмножества данного конечного
множества.
Размещения разделяют на размещения с повторениями и размещения без повторений.
Размещения без повторений
def║
Размещения
без
повторений
из
n элементов
по
k -
упорядоченные k-множества, состоящие из элементов n- множества.
О б о з н а ч е н и е : Аnk
Общий вид задач:
Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить расстановок?
При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются
друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов,
но расположенных в разном порядке.
Такие расстановки называют размещениями без повторений. При составлении
k-размещений без повторений из n предметов нужно сделать k выборок. На первом
шаге можно выбрать любой из имеющихся n предметов. Если этот выбор уже
сделан, то на втором шаге приходится выбирать из оставшихся n-1 предметов.
Точно так же на третьем шагу для выбора остается лишь (n-2) свободных
предметов, на четвертом - n-3 предметов, и т.д., на k-ом шаге (n-k+1) предметов.
Поэтому по правилу произведения получаем, что число k-размещений без
повторения из n предметов выражается следующим образом:
Аnk  n  (n  1)  ...  (n  k  1)
Выразим эту формулу через факториал.
n!=1  2 … n
(n-k)!=1  2 … ( n-k)
Рассмотрим отношение
n!
1  2  ...  (n  k )  (n  k  1)  ...  n
= n  (n  1)  ...  (n  k  1)  Аnk

(n  k )!
1  2  ...  (n  k )
Задача
Нужно выбрать президента общества, вице-президента, ученого - секретаря и
казначея. Сколькими способами может быть сделан это выбор, если каждый член
общества может занимать лишь один пост? Всего в обществе состоит 25 человек.
Решение
В этом случае нужно найти число размещений (без повторений) из 25
элементов по 4, т.к. на первый пост можно выбрать 25 способами, на следующий –
24, на следующий 23 и на последний 22. Поэтому число способов 4
А25
 25  24  23  22  303600
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 6
Размещения с повторениями
d e f ║ Р а з м е щ е н и я с п о в т о р е н и я м и - кортежи длины k, составленные из
элементов n-множества.
О б о з н а ч е н и е : Аnk
Общий вид задач:
Дано n предметов. Из них составляют все возможные выборки по k предметов.
После выбора очередного предмета его возвращают назад, т.е. каждый предмет
можно выбрать n способами, т. к. предметов выбирают k, то по правилу
произведения количество вариантов равно n k.
Выборки такого рода называются - размещениями с повторениями из n
элементов по k. Число всех таких расстановок можно найти по формуле:
Аnk = n k
Задача
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4.
Решение
Т.к. каждая цифра может встречаться в числе неоднократно, то это
размещения с повторениями: А43 = 4 3=64.
Перестановки без повторений
def║
П е р е с т а н о в к а м и называются комбинации из одних и тех же
элементов и отличающимися друг от друга их расположением.
О б о з н а ч е н и е : Pn
Pn= Аnn =n!
Задача
Сколькими способами можно составить
четырехцветный флаг, имея 4 различных цвета
из
горизонтальных
полос
Решение
Первый цвет выбирается 4 способами, 2й – 3, 3й – 2, 4й – 1, т.е
Р4=1234=24
Сочетания
d e f ║ С о ч е т а н и е м и з n по k или неупорядоченной выборкой называется k –
подмножество n –множества.
Сочетания, составленные из
составом.
k элементов, отличающиеся друг от друга
О б о з н а ч е н и е : С nk
Пример.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 6
Составим из множества Х = { a , b , c , d , e } подмножества из 2 х элементов:
{a, b}{a, c}{a, d}{a, e}
{b, c}{b, d}{b, e}
{ c, d}{c, e}
{d, e}
Выведем формулу числа сочетаний. Пусть из n –множества составляют k –
подмножества. Упорядочим всеми способами каждое из подмножеств. Количество
всех упорядоченных k – подмножеств равно Аnk , каждое подмножество можно
упорядочить Рk= k! способами
подмножеств равно Аnk / Рk, т.е.
(переставить),
С nk =
значит
число
неупорядоченных
Ank
n!

Pk (n  k )!k!
Задача
Сколькими способами можно из колоды карт, содержащей 52 карты,
вытянуть 10 карт? В скольких случаях среди этих карт окажется туз? 4 туза?
Решение.
10

1 ) С52
52!
42! 10!
2) Посчитаем, сколькими способами при выборке не встретилось туза. Это
48!
10

все равно, что выбирали из колоды без тузов, т.е. из 48 карт, С 48
,
38! 10!
10
10
 С 48
значит в С 52
случаях среди выбранных карт окажется туз
3) Надо взять 4 туза, а остальные 6 карт выбирать из 48, т. о. В С 486 случаях
среди выбранных карт окажется 4 туза.
Д.з.
1) В классе изучают 10 предметов, в понедельник – 6 уроков, все уроки различны.
Сколькими способами можно составить расписание на понедельник.
2) Сколько существует двузначных двоичных чисел (из 0 и 1).
3) Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски
12 белых и 12 черных шашек.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж