РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Найти область определения D и множество значений Е
1
функции y 
.
4  x2
1
Р е ш е н и е . Функция y 
определена, если 4  x 2  0 ,
2
4 x
т.е. если x  2 . Поэтому областью определения функции является
множество
D f   x  R x  2   2;2 .

Поскольку
1

4  x2
множество значений есть

1
для всех x из области определения, то
2

1 1

E  f    y y     ;  .
2 2


1
2. Доказать, что функция f x  
является неограниченной
x
сверху на множестве 0;1 .
Р е ш е н и е . По определению:
f (x) ограничена сверху на 0;1 
M  R : x  0;1  f  x   M .
Построим отрицание для этого определения:
f (x) неограничена сверху на 0;1 
M  R : x  0;1  f x   M .
1
Возьмем x 
.
1 M
 1 
  1  M  M для любого M .
Тогда f 
1 M 


Следовательно, существует такое число x  0;1 , что f x   M .
Поэтому функция неограничена.
3. Определить, какая из данных функций четная, нечетная
1) f x   x 2  3 x  2 sin x , 2) f x   x 2  5 x , 3) f x   2 x  2 x ?
Решение.
1.
Изменим
знак аргумента, тогда получим:
3
f  x    x   3  x  2 sin  x    x 2  3 x  2 sin x   f x  .
Следовательно, функция нечетная.
2. Здесь
2
f  x    x   5 x   x 2  5 x .
Таким образом, эта функция общего вида.
3. Имеем
f  x   2 x  2 x   2 x  2 x  f x  .
4. Найти период функции y  cos 3x  cos 4 x .
2
Р е ш е н и е . Функция cos 3 x имеет период T1 
, а функция
3
2
cos 4 x – период T2 
. Поскольку 3T1  4T2  2 , то число 2
4
является периодом данной функции.
5. Показать, что функция y  3x  2 имеет обратную, и найти ее
аналитическое выражение.
Р е ш е н и е . Функция y  3x  2 x  R монотонно возрастает.
Следовательно, имеет обратную.
Решив уравнение y  3x  2 относительно x , получим
y2
.
x  f 1  y  
3
Поменяв местами обозначения, найдем обратную функцию
x2
.
y  f 1 x  
3
Графики этих функций изображены на рисунке 1.
2
Рис.1.
4
2  x, если x  3,
6. Построить график функции y  
2
0,1x , если x  3.
Р е ш е н и е . При x  3 функция представляется лучом прямой
y  2  x , при x  3 – параболой
функции представлен на рисунке 2.
y  0,1x 2 . График данной
Рис.2.
7. Используя определение предела функции по Гейне, доказать,
x2 1
 2.
что lim
x 1 x  1
x2 1
Р е ш е н и е . Функция f x  
(рис. 3) не определена в
x 1

точке x0  1 , но определена для любой U  ; x0  . Пусть  xn n 1 –

произвольная последовательность с общим членом xn  1 n  N ,
такая, что lim xn  1 .
n 
Рис.3.
Образуем последовательность f xn  
xn  1 , то f xn   xn  1 n  N . Поэтому
5
xn2  1
n  N . Так как
xn  1
lim f xn   lim xn  1  2 .
n 
n
x 1
 2.
x 1 x  1
8. Доказать, что функция
y x   cos x
не имеет предела при x   .
Р е ш е н и е . Докажем, что эта функция не удовлетворяет
определению предела функции при x   по Гейне:
2
Следовательно, lim


lim f x   A  xn n 1 , xn  0 , xn U  ; x0  : lim xn  
x 
n 
lim f xn   A .
n
Для
этого
укажем
такую
бесконечно



последовательность xn n 1 , что последовательность
расходится. Положим
xn  n ,
n  N . Тогда
большую
cos xn n 1
lim xn  
n 
и
cos xn  1,1,1,1,
последовательность
расходится.
Следовательно, функция cos x не имеет предела при x   .
9. Используя определение предела по Коши, доказать,
lim sin x  0 .
x 0
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное малое   0 . Положим

   . Известно, что x  U  ;0 выполняется неравенство
sin x  x     . Это означает, что lim sin x  0 .
x 0
10. Докажите, что для функции
1, если x  0,
f x   
0, если x  0
число 1 не является пределом при x  0 .
1
. Тогда   0 существуют x  0
2
и x  0 такие, что 0  x  x0   . Для x  0 имеем
Р е ш е н и е . Положим  0 
f x   1  0  1  1 
Значит,
 0 
1
.
2
1
 0   0 x 0  x  x0   :
2
6
f x   1   0 .
Поэтому lim f x   1 .
x  x0
ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Найти область определения следующих функций:
ln x  1
,
x2
x 
2) y  arccos  1 ,
2 
x 1
3) y  4 2
 sin x .
x 9
2. Исследовать на ограниченность следующие функции:
cos x
3
1) y 
на 1;3 ,
2) y  2
на R .
x2
x 1
3. Определить, какая из данных функций четная, нечетная:
1) y  x  5 ln x 2  1 ,
2) y  x 3  3 sin x ,
1) y 


3) y  log 2  x  x 2  1  .


4. Найти период следующих функций:
1) y  cos3 x sin x  sin 3 x cos x ,
2) y  sin x .
5. Используя определение предела функции по Коши, доказать,
что:
1) lim 3 x  6 ,
2)
x 2
x 9
6,
x 3 x  3
3) lim 2 x  4  2 ,
2
lim


4) lim x 3  1  1 .
n 1
x 0
6. Доказать, что функция y  x   sin x не имеет предела при
x   .
7. Докажите, что число 1 не является пределом функции f  x 
при x  0 , если
f x   sin x .
8. Приведите пример функции, удовлетворяющей условию:
1) lim f x   3 ,
x 2
7
2) f  x  не имеет предела в точке x  2 .
9. Приведите пример функций f  x  и qx  , каждая из которых
не имеет предела в точке x  0 , но их сумма, произведение,
разность; частное имеет предел в точке x  0 .
10. Известно, что lim f x   A , lim q  x   B .
x  x0
x  x0
Найдите:
1) lim f n x  , n  N ;
x  x0
2) lim  f x   1qx   2 ;
x  x0
3) lim
x  x0
4) lim
x  x0
f 2 x   qx 
;
q 2 x   1
f 2 x  .
11. Вычислить пределы:
1


1) lim  2 x 2   3x  2  ,
x 1
x

x2
3) lim
,
x2 x  2
x2  4
,
x2 x  2
2) lim
4)
x3  2x 2  x  2
,
x 1
x 2  3x  2
lim
x2  6x  1
,
x 1 x 2  3 x  1
lim lg 4 x  1  2 x  5 ,
3
5) lim
x 2

7) lim
6)

x x x
x 1
x  
,
x
 x4 
8) lim 
 .
x  2 x  7 
12. Для функции f x  
1) lim f x  ;
x 2
x2  4
найти:
x  2x  1
2) lim f x  ; 3) lim f x  .
x 1
x 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
8
1. Найти область определения следующих функций:
1) y  log 3 x 2  9  arcsinx  6 ,

2) y  ln sin x  ,
3) y 

2x2  3
.
x  x2  4
2. Исследовать на ограниченность следующие функции:
5
1) y 
на  4;4  ,
x2
sin x
2) y  x
на R .
e 1
3. Определить, какая из данных функций четная, нечетная:
2) y  2 x 4  5 cos x  3 ,
1) y  x 2  5x  6 ,
e x  1
.
ex 1
4. Найти период следующих функций:
1) y  cos 4 x  sin 5 x ,
3) y 
2) y  cos 2 x .
5. Используя определение предела функции по Коши, доказать,
что:
1) lim 3 x  6 , 2) lim x 2  9 ,
x 2
x 3
x 9
 1 , 4) lim 2 x  4   .
x 
x2  3
6. Докажите, что функция:
 1
при x  0,
sin
y x    x
0 при x  0
не имеет предела в точке 0.
7. Приведите пример функции, удовлетворяющей условию: f  x 
2
3) lim
x 
не имеет предела в точке x  2 , но функция f x  имеет предел в
этой точке.
8. Приведите пример функций f  x  и qx  , каждая из которых
не имеет предела в точке x  1 , но их сумма, произведение,
разность, частное имеет предел в точке x  1 .
9. Известно, что lim f x   A , lim q  x   B .
x  x0
x  x0
9
Найдите:

f x sin x
; 3) lim cos f  x  .
x  x0
x  x0 q  x   cos x

1) lim f 2 x   q 2 x  ; 2) lim
x  x0
10. Вычислить пределы:
1) lim x 3  2 cos x ,
x



2
2)
4
x  3x 2  2 x  1
,
x 3
x 2  5x  6
x2 1
3) lim 3
,
x 1 x  1
1  2x  3
lim
,
x 4
x 2
5) lim sin x 4 x 2  1 ,
3
lim

x2
4
lim
x 16
x 2
x 4
5
7) lim
x  
4)

6)
,
x 4 x 3 x
3
2x  1
.
10
Практическое занятие 4
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ МФУНКЦИИ
1. Определение и свойства бесконечно малых функций.
2. Замечательные пределы.
4. Сравнение асимптотического поведения функций.
Функция   x  называется бесконечно малой функцией (или
бесконечно малой) при x  x0 , если
lim   x   0 .
x  x0
Обозначается:   x   o1 .
Функция f  x  при x  x0 имеет конечный предел тогда и
только тогда, когда функция  x   f x   A является бесконечно
малой при x  x0 .
Свойства бесконечно малых функций
1. Конечная сумма бесконечно малых функций есть функция,
бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции   x  и функции
ограниченной   x  есть бесконечно малая функция.
3. Произведение некоторого числа и бесконечно малой функции
есть бесконечно малая функция.
4. Произведение двух бесконечно малых функций есть
бесконечно малая функция.
5. Частное от деления бесконечно малой функции   x  на
функцию   x  , такую, что lim  x   0 , есть бесконечно малая
x  x0
функция.
6. Если функция   x  при x  x0 – бесконечно малая, то
1
при x  x0 – бесконечно большая. 2) Если функция
 x 
1
при x  x0 – бесконечно большая, то функция
при
f x 
функция
f x 
11
x  x0 – бесконечно малая.
Первый замечательный предел: lim
x 0
sin x  0 
    1.
x
0
Второй замечательный предел:
x
 
 
1
 1
lim 1    1  e , lim 1  x  x  1  e .
x 0
x 
x
Под асимптотикой, или асимптотическим поведением
функции в окрестности некоторой точки x0  R , понимается
описание поведения функции вблизи точки x0 , в которой функция,
как правило, не определена.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуется с
помощью другой, более простой или более изученной функции,
которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной
погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
Если   x  ,   x  – бесконечно малые функции и
 x 
lim
 с  0,
x  x0   x 
то они называются бесконечно малыми одного порядка малости.
Обозначается:  x   O x  .
Запись  x  O1 означает, что функция   x  при x  x0
ограничена, т.е. O1 – множество ограниченных функций при
x  x0 .
 x 
Если функции   x  ,   x  – бесконечно малые и lim
 1 то
x  x0   x 
они называются эквивалентными (асимптотически равными) при
x  x0 .
Обозначается:  x  ~  x  или  x    x  при x  x0 .
Если функция   x  такова, что lim   x   0 , то при x  x0
x  x0
справедливы следующие асимптотические равенства:
 x  ~ sin  x  ~ tg  x  ~ arcsin  x  ~ arctg   x 
1
ln 1   x  ~ e  x   1 , n 1   x   1 ~  x  .
n
Предел отношения двух бесконечно малых функций равен
пределу отношения эквивалентных им функций, т.е. если при
x  x0  x  ~ 1 x  ,  x  ~ 1 x  , то
12
 x 
 x 
 lim 1 .
x  x0  x 
x  x0  x 
1
lim
Данное свойство используется при вычислении пределов, так как
каждую бесконечно малую (или только одну) можно заменить
бесконечно малой, ей эквивалентной.
Если функции   x  ,   x  – бесконечно малые и
 x 
lim
0,
x x0   x 
то говорят, что   x  является бесконечно малой функцией более
высокого порядка по сравнению с функцией   x  .
Обозначается:  x   o x  .
Запись  x  o1 при x  x0 означает, что функция   x 
x  x0 . o1 – множество
бесконечно малых функций при x  x0 .
Если функции   x  ,   x  – бесконечно малые и
является бесконечно малой при
 x 
 c  0 , k  0 , то   x  называется функцией k -го
x x0   x k
порядка малости по сравнению с   x  .
lim
Соотношения вида
 x   O x  ,  x   o x  ,  x  ~  x  при x  x0
называются асимптотическими оценками.
Ниже приведены некоторые важные пределы, которые
используются при вычислении:
a x 1
 ln a ,
1) lim
x 0
x
ex 1
1,
2) lim
x 0
x
1  x   1   ,
3) lim
x 0
x
log a 1  x 
 log a e ,
x
ln 1  x 
5) lim
1.
x 0
x
4) lim
x0
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
13
1. Дайте определение бесконечно малой функции.
2. Перечислите свойства бесконечно малых функций.
3. Докажите первый замечательный предел.
4. Докажите второй замечательный предел.
5. Какие
бесконечно
малые
функции
называются
эквивалентными? Приведите примеры эквивалентных функций.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Вычислить пределы:
1
1  2 y 1
sin 5 x
tg bx
, 2) lim
, 3) lim 1  2 x  x , 4) lim
, 5)
x 0
y 0
x 0 sin 3 x
x 0 x
y
1) lim
y
sin x  5
e x  cos x
e 2 1
ln 1  3 y 
, 6) lim
, 7) lim
, 8) lim 2
.
2
x

5
x

0
y

0
y
y
x  6x  5
x
Решение.
sin 5x  0 
sin 5x 3x 5
1. lim
    lim

 
x 0 sin 3x
 0  x 0 5x sin 3x 3
sin 5 x
lim
5 x0 5x
5
5
sin 5 x
3x
 .
  lim
 lim
 
sin
3
x
x

0
x

0
3
3
5x
sin 3x 3 lim
x 0 3x
tg bx  0 
1 sin bx
sin bx
b
2. lim
    lim 
 lim
 lim

x 0 x
x

0
x

0
x

0
x cos bx
bx
cos bx
0
 1 b  b .
2
 
3. lim 1  2 x  x  1 =[введем новую переменную y  2 x ]=
1
x0
2
2
1


= lim 1  y  y   lim 1  y  y   e 2 .
y 0
y

0


1  2 y 1  0 
1  2 y 2  1  2 y  x 
4. lim
    lim 2 
y0
y
2y
 0  y0
1
1  x 2  1  2  1  1 .
 2 lim
1
x0
x
2
ln 1  3 y   0 
ln 1  3 y 
5. lim
    lim 3 
 3 y  x 
y 0
y
3y
 0  y 0
14
ln 1  x 
 3 1  3 .
x 0
x
 3 lim
y
y
e 2 1  0 
e 2 1  y
ex 1
 1
6. lim
    lim
   x   lim

y 0
y
 0  y 0 2 y
2
 2 x 0 x
2
1
1
 1  .
2
2
2
x2
e  cos x  0 
e x  1  1  cos x
    lim

7. lim
x 0
x2
x2
 0  x 0
x
2
sin 2
ex 1
1  cos x
et  1
2
 lim
 lim
 lim
 lim

x 0
x 0
t 0
x 0
t
x2
x2
x2
x
sin 2
2
2  1  1  lim sin t  1  1  5 .
 1  lim
2
x 0
4 t 0 t 2
4 4
 x
4 
2
sin x  5  0 
sin x  5
8) lim 2
    lim
 x  5  t  
x 5 x  6 x  5
x

5
x  5x  1
0
sin t
sin t
1
1 1
 lim
 lim
 lim
 1  .
t  0 t t  4 
t 0 t
t 0 t  4
4 4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Доказать, что функция   x  при x  a является бесконечно
малой:
1)  x   sin x  2 при x  2 ,
2)  x   x 2  3x  2 при x  1 ,
1
3)  x   x 2 sin   при x  0 .
 x
2. С помощью принципа замены эквивалентных функций
вычислить следующие пределы:
1) lim
x 0
sin 3 x
,
ln 1  2 x 
2) lim
ln 1  2 x 
x 0 4
15
x 4  7 x8
,
cos 6 x  cos 4 x
,
x 0
arcsin 2 3x
tg 2 2 x
,
x 0
x2
sin x  x 3  2 x 5
5) lim
,
x 0 5 x  3x 3  x 4
4) lim
3) lim
5
7) lim
x 0
6) lim
e2 x  1
,
16 x 4  x8
e3 x  e 2 x
8) lim
x0 2 sin 2 x  arctg 2 x
x 0 4
1  sin 2 x  1
,
sin 3 x
3. Вычислить пределы
sin 2 x
,
x 0
x
cos x
3) lim
,

x x  
2
2
arctg x
,
x0
x
sin x 2
4) lim
,
x 1 sin x 3
1) lim
 x 
5) lim 

x  x  3 
2) lim
x2
x
 x42
6) lim 

x  x  3 
2t
8) lim 3t
,
t 0 e  1
ln cos x
10) lim
x0
x2
,
1  4t  1
,
t
4
1  sin x  1
9) lim
,
x 0
x
sin x  5
11) lim 2
x 5 x  6 x  5
3
7) lim
t 0
 1
2x2 


12) lim 
x2  x  2 2
x 2  4 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
1. Доказать, что функция   x  при x  a является бесконечно
малой:
1)  x  
cos x
при x  
x
2)   x   cos x при x 

2
,
1
3)  x   x cos  при x  0 .
 x
2. С помощью принципа замены эквивалентных функций
вычислить следующие пределы:
16
2

arcsin 4 x 
1) lim
,
1  cos 2 x
sin 4 x  sin 2 x
3) lim
,
x0
arctg 2 x
sin x  3
5) lim
,
x 3 2 x  6
x 0


ln x 2  3x  3
,
x 1 x 2  7 x  6
e sin x  1
4) lim
,
x 0
x
2) lim
x3  5x 6
,
ln 1  3x 
3
6) lim
x 0
e 1
x 0 ln 1  6 x 
3x
7) lim
3. Вычислить предел
arcsin x
,
x 0
x
sin 2 7 x
3) lim
,
x 0 sin 2 3 x
2x
 1
5) lim 1  
x 
x
1) lim
7) lim
t 0
3t
1  2t  1
4x  2x
x 0
x
9) lim
2
e x  cos x
11) lim
,
x 0
x2
sin 6 x
,
x 0 sin 10 x
2) lim
4) lim tg ax ,
x 0
tg bx
2
1 x  x
6) lim 

x  0 1  x 
e 2t  1
8) lim
t 0
3t
sin 7 x  sin 2 x
10) lim
,
x 0
sin x
 1
2x2 
.
 2
12) lim 
x 1 x  1
x  1 

17
Практическое занятие 5
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Определение непрерывности функции.
2. Точки разрыва и их классификация.
3. Непрерывность монотонной функции.
Функция y  f  x  называется непрерывной в точке x0 , если
выполняются следующие три условия:
1) функция y  f  x  определена в точке x0 , т.е. x0  D  f  ;
2) существует lim f x  ;
x  x0
3) lim f x   f x0  .
x  x0
Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из условий 1–3, то
функция называется разрывной в точке x0 , а точка x0 – точкой
разрыва.
Функция f  x  называется непрерывной в точке x0 (по Коши),
если для любого заданного числа   0 можно найти такое число
  0 (зависящее от  и x0 ), что для всех x , для которых
x  x0   , выполняется неравенство f x   f x0    .
Символическая запись:
f  x  непрерывна в точке x0 
   0  0 : x U  ; x0 
f x   f x0    .
x  x0  x
–
приращение
аргумента,
а
f x0  x   f x0   y – приращение функции в точке x0 . При
фиксированном x0 приращение y является функцией аргумента
x . Геометрический смысл приращений виден на рисунке 1.
Пусть
Рис.1.
18
Можно дать еще одно определение непрерывности функции в
терминах приращений.
Функция f  x  называется непрерывной в точке x0 , если
бесконечно малому приращению аргумента x соответствует
бесконечно малое приращение функции y , т.е. lim y  0 .
x 0
f  x  , определенная в некоторой левой (правой)
окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в
точке x0 , если существует предел слева (справа) функции y  f  x 
и он равен f x0  :
f  x  непрерывна справа в точке x0   lim f x   f x0  ,
Функция
x  x0  0
f  x  непрерывна слева в точке x0   lim f x   f x0  .
x  x0  0
Из определения односторонней непрерывности в точке x0
f  x  , определенная в некоторой  окрестности точки x0 , непрерывна в точке x0 тогда и только тогда,
когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
Функция f  x  называется непрерывной в точке x0 (по Гейне),
если для любой последовательности точек xn  U  ; x0  ,
сходящейся к x0 , последовательность соответствующих значений
следует, что функция
функции  f xn n 1 сходится к f x0  .

Символическая запись:
A  lim f x  
x  x0

 xn n1 , xn  U  ; x0  : lim xn  x0
n 
lim f xn   f x0  .
n
Функция f  x  непрерывная во всех точках некоторого
множества X , называется непрерывной на множестве X .
Если X  a; b  , то для непрерывности функции на a; b 
требуется, чтобы f  x  была непрерывна во всех внутренних точках
отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т.е. в точке a , и
непрерывна слева на правом его конце, т.е. в точке b . Класс
непрерывных на отрезке a; b  функций обозначается Ca; b  .
Пусть функции f  x  и g  x  непрерывны в точке x0 . Тогда
19
функции
f x   g x  ,
f x   g x  ,
f x 
, где g x   0 , также
g x 
непрерывны в этой точке.
Пусть функция y  f  x  определена на промежутке X , и
множество ее значений Y .
Число M ( m ) называется точной верхней (нижней) гранью
функции y  f  x  на множестве X , если выполняются следующие
условия
1) x  X f x   M ( f  x   m );
2) для любого числа M '  M ( m '  m ) найдется такая точка
 
 
x '  X , что f x '  M ' ( f x '  m' ).
Условие 1) означает, что число M является одной из верхних
граней функции y  f  x  на множестве X , условие 2) показывает,
что M наименьшая из верхних граней функции. Аналогично для
точной нижней грани.
Если множество Y неограниченно сверху, то пишут
sup f x    ,
если снизу, inf f x    .
X
X
Точка x0 называется точкой разрыва функции f  x  , если в
этой точке функция f  x  не является непрерывной.
Разрывы функции классифицируются следующим образом.
Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции
f  x  , если в этой точке существует конечный предел lim f x   A ,
x  x0
x  x0
но f  x0   A .
Вводя новую функцию
 f x , если x  x0 ,
f1 x   
 A, если x  x0 ,
получим
lim f1 x   A  f1 x0  ,
x  x0
x  x0
т.е. новая функция является непрерывной.
Точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f  x  ,
если в этой точке функция f  x  имеет конечные, но не равные
односторонние пределы:
20
lim f x   lim f x  .
x  x0  0
В частности, если
x  x0  0
lim f x   f x0  , то функция f  x  будет
x  x0  0
непрерывной слева, если lim
x  x0  0
f x   f x0  – непрерывной справа.
Пусть существуют два конечных односторонних предела
lim f x   f x0  0 , l im f x   f x0  0 , не равные друг другу.
x  x0  0
x  x0  0
Разность f x0  0  f x0  0 называется скачком функции f  x  в
точке x0 .
Точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода (устранимого
разрыва) функции f  x  , если в этой точке функция f  x  имеет
хотя бы один бесконечный односторонний предел.:
lim f x    или lim f x    .
x  x0  0
x  x0  0
При исследовании функции на непрерывность
проверить выполнение условий определения 1. Если
разрыва, то для установления характера разрыва
вычислить односторонние пределы и значение
исследуемой точке.
Функция f  x  называется кусочно-непрерывной
a; b ,
необходимо
x0 – точка
необходимо
функции в
на отрезке
если она непрерывна во всех внутренних точках a; b  , за
исключением, может быть, конечного числа точек, в которых она
имеет разрыв 1-го рода. При этом существуют односторонние
пределы в точках a и b . Функция f  x  называется кусочнонепрерывной на числовой прямой R , если она кусочнонепрерывна на любом отрезке.
Многочлен Pn x   a0  a1 x  ...  an x n , ak  R , k  0, n , является
функцией, непрерывной для любого x  R .
Px 
Всякая рациональная функция
непрерывна в любой точке
Qx 
x  R , для которой Qx   0 , где P  x  , Q x  – многочлены.
Если
функция
u   x 
непрерывна
в
точке
x0 ,
а
функция y  f u  непрерывна в точке u0    x0  , то сложная
функция y  f  x  непрерывна в точке x0 .
Тогда справедливы следующие равенства для непрерывных
функций:
21
lim f  x   f  lim  x  ,
 x x0

lim f x   f  lim x  .
x  x0
 x x0 
Пусть функция y  f  x  определена, непрерывна и монотонна
на некотором множестве X и пусть Y – множество ее значений.
Тогда на множестве Y обратная функция x  f 1  y  монотонна и
непрерывна.
Все элементарные функции непрерывны во всех точках,
принадлежащих их области определения.
Непрерывные функции обладают следующими свойствами.
1 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция
f  x  непрерывна в точке x0 и f x0   0 , то существует такая
окрестность точки x0 , в которой знак функции совпадает со знаком
f x0  .
2 (прохождение непрерывной функции через любое
промежуточное значение). Если функция f  x  непрерывна на
отрезке a; b  и на его концах принимает значения разных знаков,
то внутри этого отрезка существует точка  , в которой
значение функции равно нулю:
f  x  : f a  f b   0   x0  a; b  : f  x0   0 .
3. Пусть f  x  непрерывна на отрезке a; b  и f a   A ,
f b   B . Тогда для любого числа C , заключенного между A и B ,
найдется такая точка c  a; b  , что f c   C .
Свойство 3 можно переформулировать так: непрерывная
функция, переходя от одного значения к другому, обязательно
принимает все промежуточные значения между ними.
4 (ограниченность непрерывных функций). Если функция
f  x  определена и непрерывна на отрезке a; b  , то она ограничена
на этом отрезке.
5 (достижение непрерывной функцией своих точных граней).
Если функция f  x  непрерывна на отрезке a; b  , то на этом отрезке
она достигает своих нижней и верхней граней, т.е. на нем
существуют по крайней мере две точки x1 и x2 такие, что
x  x0
M  f x1   sup f x  , m  f x2   inf f x  .
a;b 
ВОПРОСЫ ДЛЯ
22
a;b 
САМОКОНТРОЛЯ
1. Сформулируйте определения непрерывной функции.
2. Какие арифметические действия не нарушают свойство
непрерывности.
3. Дайте определение точек разрыва.
4. Какие точки называются точками разрыва функции?
5. Дайте определение точек устранимого разрыва и точек
разрыва 1 и 2 рода.
6. Перечислите основные свойства непрерывных функций: о
непрерывности сложной функции, основных элементарных
функций, об устойчивости знака непрерывной функции, о
прохождении непрерывной функции через любое промежуточное
значение, о достижении непрерывной функцией своих точных
граней.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
1. Доказать непрерывность функции y  ax  b .
Решение.
Функция y  ax  b определена при всех значениях x , т.е.
x  R . Фиксируем некоторое значение x0 из этого множества.
Тогда
  0 yx   yx0   ax  b  ax0  b  ax  ax0  a  x  x0 .
Как только x  x0   , то yx   yx0   a   .
Следовательно,
  0   

a
: x  x0   
yx   y x0   a    a 

 .
a
2. Исследовать на непрерывность сложные функции

1
1) y  e x , 2) y  sin x 4 .
Решение.
1.
Функция
ye

1
x
является
композицией
следующих
1
1
и f  e y . Так как функция y  
x
x
не определена в точке x  0 , то наша функция не является
непрерывной в этой точке. В остальных точках она непрерывна как
элементарных функций: y  
23
композиция непрерывных функций.
2. Функция y  sin x 4 является композицией функций y  sin z и
z  x 4 . Так как функции y и z непрерывны при всех значениях
своих аргументов, то по теореме о непрерывности сложной функции
y  sin x 4 также непрерывна при всех x .
3. Доопределите функцию
 sin x
, если x  0,

f x    x
0, если x  0,
задав f x0  так, чтобы получившаяся функция была непрерывна
в точке x0 .
Р е ш е н и е . Функция
 sin x
, если x  0,

f x    x
0, если x  0
непрерывна во всех точках числовой прямой кроме точки x  0 .
sin x
 1  0 , то в точке x  0 функция имеет
Поскольку lim
x 0 x
x0
устранимый разрыв. Этот разрыв можно устранить, положив
 sin x
, если x  0,

f1 x    x

1, если x  0.
4. Докажите, что уравнение x 3  4 x  2  0 имеет по меньшей
мере один действительный корень в указанном промежутке 0,1 .
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию
f x   x 3  4 x  2 . Она
непрерывна при всех x (как сумма непрерывных функций f1  x 3 ,
f 2  4 x , f 3  2 ). Так как f 0   2  0 и f 1  1  0 , то между
точками 0 и 1 найдется точка x0 , в которой эта функция
обращается в нуль: f  x0   0 . Поэтому x0 – корень уравнения.
5. Найти точки разрыва функции y  E  x  , где E  x  – целая
часть числа, и построить график.
Р е ш е н и е . Функция E  x  определена следующим образом:
если x  n  q , где n – целое число, а 0  q  1 , то E x   n , т.е.
функция равна целой части числа. Областью определения данной
24
функции является множество R . Функция E  x  терпит разрыв
при каждом целочисленном значении x . Действительно, пусть
x0  n , тогда E x0   n и lim E x   n  1 , а lim E  x   n .
x  x0  0
x  x0  0
Причем каждая из этих точек является точкой разрыва первого рода.
Рис.5.
Во всех точках x  R \ Z функция E  x  является непрерывной
как постоянная.
2
x
e 1 .
6. Определить точки разрыва функции y 
Р е ш е н и е . Данная функция не определена в точке x  1 .
Найдем односторонние пределы:
2
lim e x1  0 ,
x10
2
lim e x 1   .
x 1 0
Поскольку один из односторонних пределов является
бесконечностью, то x  1 является точкой разрыва второго рода
этой функции.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Докажите непрерывность следующих функций:
1) y  x 2 ; 2) y  x 3 ; 3) y  x .
2. Функция f  x  определена в окрестности точки x0  1 ,
исключая саму точку x0 . Доопределите функцию f задав f x0  так,
чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке x0 , если
25
1) f x  
x2 1
sin 1  x 
; 2) f x  
.
x 1
x 1
3. Исследовать на непрерывность сложную функцию y  x sin
1
.
x
4. Непрерывна ли функция
1, при x  0,
 x  1, при 0  x  1,

f x    2
 x  4 x  1, при 1  x  3,
5  x, при x  3 ?

5. Установите, как надо доопределить функцию в точке x  a ,
чтобы функция в этой точке была непрерывна:
e2x  1
x2  4x  3
1) f x  
, x  0 ; 2) f x   2
, x 3.
3x
x  7 x  12
6. Докажите, что уравнение x 3  4 x  6  0 имеет по меньшей
мере один действительный корень в указанном промежутке 1,2 .
7. Исследовать функцию y 
x
x
на непрерывность, и построить
график функции.
8. Найти точки разрыва функций и установить их тип:
1) y 
1
x  1
2
3x  7
,
x  3x  2
1
4) y  arctg
,
2 x
 2 x  3, если x  1
6) y  
.
3 x  2, если x  1
2) y 
,
1
,
x
x3
5) y  ln
,
x3
3) y  sin
2
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
1. Доказать непрерывность функции
1) y  3 x ; 2) y  sin x ; 3) y  cos x .
2. Функция f  x  определена в окрестности точки x0  1 ,
исключая саму точку x0 . Доопредеите функцию f задав f x0  так,
чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке x0 , если
26
1) f x  
x3  1
, 2) f x   1 x  ctg x .
x 1
1
.
x
4. Установите, как надо доопределить функцию в точке x  0 ,
e x  e x
чтобы функция f  x  
в этой точке была непрерывна:
2x
5. Докажите, что уравнение x 4  2,15 x  0,95  0 имеет по
меньшей мере один действительный корень в указанном
промежутке 1,2 .
6. Исследовать функцию
1 при x  0,

y  sgn x  0 при x  0,
 1 при x  0

на непрерывность и построить график.
7. Найти точки разрыва функций и установить их тип:
1  cos 2 x
x 1

1) y 
, 2) y  cos , 3) y  ln sin x , 4) y 
.
x
x3
x
8. Изобразите схематически график какой-либо функции, которая
в точке x0  3 :
1) непрерывна;
2) имеет конечный предел, но не непрерывна;
3) имеет бесконечный предел; не имеет предела;
4) непрерывна слева и имеет конечный предел справа, но не
непрерывна справа;
5) имеет конечные пределы и слева, и справа, но не непрерывна
ни слева, ни справа;
6) непрерывна слева и имеет бесконечный предел справа;
7) непрерывна слева и не имеет предела справа;
8) имеет бесконечный предел слева и не имеет предела справа;
9) не имеет предела ни слева, ни справа.
3. Исследовать на непрерывность сложную функцию y  sin
27
28