. Степенные ряды

Учебное пособие
Составила.Макарчук Н.И.
Степенные ряды
Определение . Степенным рядом называется ряд
a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...  a n ( x  x0 ) n  ... ,
члены которого есть произведения постоянных a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... на степенные функции с
целыми показателями степеней от разности ( x  x0 ) .
a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... называются коэффициентами степенного ряда, если нет
специальной оговорки, то они считаются действительными числами.
Если x0  0 , то будем иметь степенной ряд, расположенный по степеням x :
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... .
В дальнейшем будем изучать такие степенные ряды, для удобства n -м членом степенного
ряда будем называть член a n x n , a 0 - считаем нулевым членом.
Рассмотрим степенной ряд вида
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...
и докажем теорему, на которой будет основано изучение таких рядов.
(*)
Теорема Абеля.
Если степенной ряд (*) сходится в точке x0  0 , то он сходится, и при том же
абсолютно, в интервале ( x0 , x0 ) , т.е. при всяком x , удовлетворяющем условию
x  x0 .
Доказательство. Заметим, если сходится ряд

a
n 1
n
x n , то его член a n x n  0 , поэтому все
члены этого ряда ограничены по своей совокупности, т.е. существует постоянное
положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство a n x0n  M . Запишем
 x
x
 a 2 x02 
ряд (*) так: a 0  a1 x0
x0
 x0
2
n

 x 
  ...  a n x0n    ...

 x0 
И составим ряд из абсолютных величин этого ряда и подставим a n x0n  M :
2
x
x
a 0  a1 x0 
 a 2 x02 
x0
x0
2
n
2
 ...  a n x
n n
0
x

x0
n
 ... <
2
n
x
x
x
x
x
x
< M+M
+M
+…+ M
+…= M( 1+
+
+…+
+…).
x0
x0
x0
x0
x0
x0
2
n
x
x
x
x
Если x  x0 , то
< 1, и геометрическая прогрессия
,
,…,
,…сходится,
x0
x0
x0 x0
поэтому сходится и ряд , составленный из абсолютных величин, а это значит, что ряд
сходится абсолютно. Теорема доказана.
1
Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при x  x0 , то он расходится и при всяком
x , большем по абсолютной величине, чем x 0 , т.е. при x  x0 .
В самом деле, если он сходился при каком-нибудь таком x , то в силу теоремы Абеля он
абсолютно сходился бы и при всех меньших по абсолютной величине значениях x , в
частности при x  x0 , а это противоречит условию.
Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Возможны три
случая:
1).Область сходимости состоит только из одной точки x0  0 , т.е. ряд расходится
для всех значений x , кроме одного.
Пример. Рассмотрим ряд 1  x  2 2 x 2  ...  n n x n  ... . Если x фиксирован и x  0 , то
начиная с достаточно большого n , будет nx  1, откуда n n x n  1 , это означает, что
общий член ряда не стремится к нулю.
2).Область сходимости состоит из всех точек оси Ox, т.е. ряд сходится при всех x.
Пример.
x2
xn
Дан ряд 1  x  2  ...  n  ... . Для любого x , начиная с достаточно большого n , будет
2
n
n 1
n 1
n2
n2
x
x
x
x
x

,

, и т.д., то начиная с номера n , члены ряда по
 1 . Т.к.
n 1
n
n2
n
n
абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии.
Следовательно, ряд сходится при любом x.
3). Область сходимости состоит больше чем из одной точки оси Ox, причем есть
точки оси, не принадлежащие области сходимости.
Пример.
Ряд 1  x  x 2  ...  x n  ... представляет геометрическую прогрессию со знаменателем x,
которая сходится при x  1 и расходится при x  1 .
Можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости,
так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех x по
модулю меньших R ( x  R), ряд абсолютно сходится, а для всех x по модулю больших R
( x  R), ряд расходится. Что касается x  R и x   R , то здесь возможны случаи:
- ряд сходится в обеих точках
- ряд сходится в одной из них
- расходится в этих точках,
при этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что
для всех x по модулю меньших R ( x  R ) ряд абсолютно сходится, а для всех x по
модулю больших R ( x  R), ряд расходится. Интервал (  R, R ) называется интервалом
сходимости ряда.
Условимся , для рядов расходящихся при всех x , кроме x  0 , считать R=0
(интервал сходимости вырождается в точку), а для рядов , сходящихся при всех x ,
считать R=  (интервал сходимости совпадает со всей осью).
2
Для степенных рядов a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...  a n ( x  x0 ) n  ... все
сказанное ранее остается в силе, с той лишь разницей, что центр интервала сходимости
будет лежать не в точке x  0 , а в точке x  x0 . Следовательно, интервал сходимости
будет ( x0  R, x0  R ).
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно исследовать ряд,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда
n
a 0  a1  x  ...  a n  x  ...
,
(**)
т.к. интервалы сходимости ряда (*) и ряда (**) совпадают.
К ряду (*) применим признак Даламбера:
a n 1 x n 1
a
u n1
 x lim n 1  1 .
 lim
k  lim
n
n u
n
n


an
an x
n
Если предел меньше единицы, то по Даламберу ряд сходится, получили
a
an
. Если предел этот существует, то он является радиусом
x lim n 1  1 или x  lim
n
n


an
a n 1
сходимости ряда (*) : R  lim
n
an
1
или R 
(пользоваться формулами очень
a n 1
lim n a n
n 
осторожно, т.к. её нельзя использовать, когда часть коэффициентов равна нулю).
Пример. Найти область сходимости ряда

 (3x)
n2
 1  3x  34 x 4  39 x 9  ... .
n 0
Найти радиус сходимости по формуле R  lim
n
an
не представляется возможным, т.к.
a n 1
коэффициенты ряда a2 , a3 , a5 , a6 , a7 , a8 , a10 ,... равны нулю. Поэтому применим признак
u
(3 x) ( n 1)
2 n 1
3x
Даламбера: k  lim n1  lim
= nlim
. Этот предел будет равен  , если
n2
n u
n

(3 x)
n
2
3x  1, ряд расходится; этот предел будет равен нулю, если 3x  1 , и ряд будет сходиться
при 
1
1
1 1
 x  или на интервале ( ; ) . Рассмотрим поведение ряда на концах
3
3
3 3
1
интервала. При x   ряд примет вид
3
1
x  ряд примет вид
3

 (1)

 (1)
n2
 1  1  1  1  1  ... , ряд расходится, при
n 0
n2
 1  1  1  ... , ряд расходится.
n 0
1 1
Итак, область сходимости ряда - интервал ( ; ) .
3 3
При исследовании сходимости ряда с положительными членами на концах интервала
a
u
применять признак Даламбера не имеет смысла, т.к. k  n 1  1 , n1  1 всегда.
an
un
В этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости числовых рядов
(необходимый признак, признаки сравнения и др.).
3
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд вида
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ,
(*)
имеющий радиус сходимости R (R может равняться  ). Сумма этого ряда (S)- функция
определенная внутри интервала сходимости, а также в том из концов интервала, где ряд
сходится (R>0).
Лемма 1. Степенной ряд, составленный из производных членов ряда (*), имеет тот
же радиус сходимости, что и данный ряд.
Доказательство. Ряд, составленный из производных членов ряда (*), имеет вид
a1  2a 2 x  ...  na n x n 1  .(n  1)a n 1 x n  ...
(***)
a n 1
существует и применим к
an
отысканию радиусов сходимости рядов (*) и (***) признак Даламбера :
a n 1 x n 1
a
для ряда (*) lim
 x lim n 1 ,
n
n
n


an
an x
Предположим (для простоты рассуждений), что lim
n
(n  1)an1 x n
a
a
n 1
lim n 1 = x lim n 1 ,
 x lim
n

1
n
n
n
n n   an
an
nan x
т.е.радиусы сходимости равны.
Заметим, что на конце интервала сходимости ряд (***) может расходиться и тогда, когда
1
1
1
x2
xn
ряд (*) сходится (например, ряд 1  x  2  ...  2  ... и ряд 1  x  x 2  ...  x n 1  ... ).
2
3
n
2
n
для ряда (***) lim
Если теперь составить ряд из производных ряда (***), то снова будем иметь тот же радиус
сходимости и т.д.
Итак , все степенные ряды, получающиеся последовательным дифференцированием ряда
(*), имеют один и тот же радиус сходимости, т.о. степенной ряд можно почленно
дифференцировать любое число раз.
Лемма 2. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале
сходимости ряда:
S(x) = a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ,
(  R  x  R ).
S (x )  a1  2a 2 x  .3a3 x 2  ..  na n x n 1  ... ,
S (x)  2a 2  3  2a3 x  ..  n(n  1)a n x n  2  ...
………………..
(  R  x  R ).
(  R  x  R ).
В том конце интервала сходимости, где степенной ряд сходится, его сумма S(x)
остается односторонне непрерывной (изнутри интервала сходимости).
Лемма 3 . Степенной ряд можно почленно интегрировать.
S(x) = a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ,
4
x
x
x
x
x
0
0
0
0
0
2
n
 S ( x)dx   a0 dx   a1 xdx   a2 x dx  ...   an x dx  ... 
1
1
1
a1 x 2  a 2 x 3  ... 
a n x n 1  ... ,
2
3
n 1
= a0 x 
R  lim
n
(  R  x  R ).
(n  2)an
an  n  1  1 
an
lim
=
, т.е. R  R.
 lim


(n  1)an1 n   an1  n  1  n   a n 1
Разложение функции в степенные ряды.
Предположим, что функция f(x) бесконечное число дифференцируема в
окрестности некоторой точки x 0 . Допустим, что её можно представить в виде суммы
степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку x 0 :
f(x)= a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...  a n ( x  x0 ) n  ... ,
(1)
где a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... - неопределенные пока коэффициенты.
Используя свойства степенных рядов, можно найти a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... по известным
значениям функции и её производных в точке x 0 . Положим в (1) x  x0 , будем иметь
f(x 0 )= a 0 .
Продифференцируем степенной ряд, получим f (x)  a1  2a2 ( x  x0 )  ....
Снова положим x  x0 , получим
или a1 = f ( x0 ) .
f ( x0 )  a1
Далее f (x)  2a 2  3  2a3 ( x  x0 )  ..  n(n  1)a n ( x  x0 ) n  2  ... , при x  x0 получим
f ( x0 )
f ( x0 )  2a 2 или a2 
.
2!
После n  кратного дифференцирования получим f ( n ) ( x)  n!a n  ... , при x  x0 получим
f ( n ) ( x0 )
f ( x0 )  n!a n или a n 
.
n!
Подставляя найденные выражения в равенство (1) получим ряд
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n  ... ,
f(x)= f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
2!
n!
который называется рядом Тейлора функции f(x).
(n)
(2)
Определение . Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x 0 называется
( x  x0 ) , коэффициенты которого
степенной ряд (2) относительно разности
a0 , a1 , a 2 ,..., a n ,... выражаются через функцию f(x) и её производные в точке x 0 по
f ( n ) ( x0 )
f ( x0 )
,…, a n 
,… . Эти коэффициенты
n!
2!
называются коэффициентами Тейлора функции f(x) в точке x 0 .
формулам a 0 = f(x 0 ), a1 = f ( x0 ) , a2 
Перейдем теперь к выяснению условий, при которых можно утверждать, что ряд
Тейлора (2), составленный для функции f(x), действительно сходится в некотором
интервале и что его сумма в точности равна f(x).
5
Обозначим через P(x) – многочлен
сумму ряда Тейлора:
n-ой степени, представляющий n-ую частичную
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n .
Pn (x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
2!
n!
Назовем остаточным членом ряда Тейлора разность Rn  f ( x)  Pn ( x) .
Сходимость ряда Тейлора к функции f(x) в точке x означает, что lim Pn (x)  f(x)
n
или lim [ f ( x)  Pn ( x)] = lim Rn  0 .
n
n
Отсюда теорема о необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора.
Теорема.
Для того, чтобы ряд Тейлора сходился к функции f(x), необходимо и достаточно,
чтобы при n   остаток ряда Rn  0 , т.е. lim Rn  0 для всех значений x из
n
интервала сходимости ряда.
Rn дает ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию f(x) многочленом Pn (x) .
Рассмотрим частный случай. Пусть f(x) есть многочлен n-ой степени. Тогда при
последовательном дифференцировании функции f(x) мы будем получать каждый раз
многочлен на единицу меньше. После n дифференцирований мы получим постоянную
величину, а все последующие производные будут равны нулю. Т.о. от ряда Тейлора для
многочлена f(x) останутся только (n+1) первых слагаемых, т.е. опять многочлен n-ой
степени. Полученное тождество
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f (x ) = f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
называется формулой Тейлора для многочлена.
Пример. Разложить многочлен f (x) =  3  x  x 2  2 x 3 по степеням ( x  1) . Здесь x 0 =1 и
f (1)  1, f (1)  5, f (1)  10, f (1)  12 . Получим разложение :
10
12
 3  x  x 2  2 x 3 =  1  5( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) 3 .
2!
3!
Пусть f(x) - функция, относительно которой мы хотим выяснить вопрос, допускает
ли она разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 или нет. Запишем её так
f (x ) = Pn (x) + Rn =
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n + Rn (x) ,
(3)
2!
n!
где Rn (x) - остаточный член ряда Тейлора.
Приведем теорему относительно структуры Rn (x) , которая в дальнейшем позволит нам
= f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
установить, стремится ли Rn (x) к нулю при n   или нет, т.е. разлагается ли функция
f(x) в ряд Тейлора или нет.
6
Теорема Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки x 0 производную порядка
(n+1). Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности. Тогда
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f (x ) = f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n + Rn (x) ,
2!
n!
где остаточный член Rn (x) имеет вид в форме Лагранжа
( x  x0 ) n1
, где 0    1 ,
(n  1)!
остаточный член Rn (x) в форме Коши имеет вид:
Rn (x) = f ( n1) ( x0   ( x  x0 ))
( x  x0 ) n1
(1   ) т , где 0    1.
n!
Точка   x0   ( x  x0 ) лежит между x и x 0 ,  зависит от n и x .
Само по себе выражение для остаточного члена Rn (x) не дает возможности вычислить его
величину, т.к. нам неизвестна точка  , в которой берется (n+1) –ая производная . Поэтому
мы ограничимся оценкой величины Rn (x) . Это делается с помощью следующей леммы.
Rn (x) = f ( n 1) ( x0   ( x  x0 ))
Лемма. Если в некотором интервале, окружающем точку x 0 ([x 0  N , x0  N ])
абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же
числом М : f ( n ) ( x)  M при x [x 0  N , x0  N ] и М не зависит от n, то во всем
промежутке имеет место разложение Тейлора.
Доказательство. Возьмем Rn (x) в форме Лагранжа. Rn ( x)  M
x  x0
n 1
(n  1)!
M
N n1
0
(n  1)!
при n   для всех точек рассматриваемого интервала.
N n 1
n 1
Т.к. (n  1)! растет быстрее, чем N , поэтому lim
=0.
n   ( n  1)!
Но тогда ряд Тейлора сходится к f(x), т.к. f (x) = Pn (x) + Rn (x )  Pn (x) при n   , где
Pn (x) = f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n .
2!
n!
Если x 0 = 0, то получим ряд Маклорена
f (0) 2
f ( n ) (0) n
 x  ... 
 x  ... ,
2!
n!
который является частным случаем ряда Тейлора. Следует отметить, что не все функции
f (x ) = f (0)  f (0)  x 
(см.точки разрыва функции) могут быть разложены в ряд Маклорена.
Представим f (x) = Tn ( x)  rn ( x) , где Tn (x) n  я частичная сумма ряда, rn (x) -остаток ряда.
Верна теорема: Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f (x) ,необходимо
и достаточно, чтобы при n   остаток ряда  0 , т.е. lim rn (x) = 0 для всех
n
значений x из интервала сходимости ряда.
7
Можно доказать, что если функция f (x) разложима в ряд Маклорена, то это разложение
единственно. Очевидно, что при выполнении условия lim rn (x) =0 остаточный член ряда
n
Маклорена rn (x) равен остаточному члену Rn (x ) формулы Тейлора при x 0 = 0.
Разложения функции f (x) в ряд Маклорена (при x 0 = 0) имеет вид
f (x ) = f (0)  f (0)  x 
f (0) 2
f ( n ) (0) n
Mx n1
.
 x  ... 
 x  Rn (x) , Rn ( x) 
2!
n!
(n  1)!
Формула Тейлора разложения функции в степенной ряд с остаточным членом в
форме Лагранжа и в форме Коши применяются, когда желают заменить приближенно
функцию полиномом Pn (x) и численно оценить погрешность ( f (x) - Pn (x)  Rn (x ) ). Но
бывают случаи, когда важно знать лишь порядок малости дополнительного члена rn (x).
Предположим, что существуют n последовательных производных f (x), f (x), ..., f ( n ) ( x)
в окрестности точки x 0 (односторонней или двусторонней) и f ( n ) ( x 0 ) в точке x 0
непрерывна. Тогда
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
f (x ) = f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n + rn (x) ,
2!
n!
где rn (x) называют остаточным членом в форме Пеано и rn (x) = o(( x  x0 ) n ) - бесконечно
малая величина порядка выше n по сравнению с ( x  x0 ) .
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
1. Показательная функция
f (x ) = e x .
f (x)  f (x)  , ...,  f ( n ) ( x) = e x , при x 0 = 0 все равны 1, тогда
x2
xn
e  x
 ... 
 rn (x) , rn (x) =
x n1 .
2!
n!
(n  1)!
Рассмотрим интервал [ N , N ] , где N любое фиксированное число, e x  e N  M для всех x
из этого интервала. Следовательно, все производные ограничены в этом интервале одним
и тем же числом M и по лемме lim rn (x) =0. Т.к. N любое фиксированное число, то
ex  1 x 
n
функция e разлагается в ряд Маклорена при всех значениях x, т.е. на всей оси Оx. Итак,
x
ex  1 x 
x2
xn
e x
 ... 
 x n 1
,
2!
n!
( n  1)!
e x
x n 1 = o( x n ) .
(n  1)!
Интервал сходимости: R  (,) .
1 1
1
При x = 1 будем иметь e  1  1    ...   ...
2! 3!
n!
где 0    1, rn (x) =
8
2. f (x) = sin x .


( x)  sin( x  n )  1, т.к. (sin x) n  sin( x  n ) . Производные sin x при x= 0
2
2
будут принимать соответственно значения 0,1,0,-1,0,1,0,-1,….
f
(n)
Ряд Маклорена для sin x будет сходится к ней на всей числовой оси. Итак,
x3 x5
x 2m1
x 2m1


 ...(1) 2 m1

sin( x  (2m  1) ) ,
3! 5!
(2m  1)! (2m  1)!
2
2m
где 0    1, r2 m ( x) = o( x ) .
Интервал сходимости: R  (,) .
sin x = x 
3. f (x) = cos x .

Рассуждая по аналогии с функцией sin x , будем иметь f ( n ) ( x)  cos( x  n )  1 ,
2
ряд Маклорена для cos x будет сходится к ней на всей числовой оси. Итак,
x2 x4
x 2m
x 2 m 2

 ...(1) m

cos(x  (m  1) ) ,
2! 4!
(2m)! (2m  2)!
где 0    1, r2 m1 ( x) = o( x 2m1 ) . Интервал сходимости: R  (,) .
cos x = 1 
4. f (x) = ln( 1  x) , ( x  1, т.к. функция f (x) = ln x имеет разрыв в точке x  0 .
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии S 
при
1
для ряда (*)
1 q
q  x
1
 1  x  x 2  x 3  ...  (1) n x n  ... .
(*)
1 x
x
dt
С другой стороны, 
 ln( 1  t ) |0x  ln( 1  x) . Интегрируем почленно правую часть ряда
1 t
0
(*), получим
1 2 1 3 1 4
(1) n1 n
x  x  . x  .. 
x  o( x n ) ,
2
3
4
n
(1) n x n 1
где rn ( x)  o( x n ) 
. Интервал сходимости: R  (1,1] .
(n  1)(1  x) n 1
ln( 1  x) = x 
ln 2  1 
1 1 1
(1) n 1
  .  .. 
 ...
2 3 4
n
5. f (x) = arctgx .
Рассмотрим ряд
1  x 2  x 4  x 6  ..  (1) n x 2 n  ... 
1
,
1 x2
(**)
9
у которого S 
x
dt
1 t
2
1
1
=
при q   x 2 .
2
1 q 1 x
 arctgx . Отсюда, интегрируя соотношение (**), получим
0
2 m 1
x3 x5 x7
m 1 x


 ...  (1)
 r2 m ( x) ,
arctgx = x 
3
5
7
2m  1
где r2 m ( x)  o( x 2 m ) .
Интервал сходимости: R  [1,1] . Если x  1 , то r2 m ( x)  0 .
arctg1 

4
 1
1 1 1
   ...
3 5 7
6. f (x) = (1  x) m , где m - любое вещественное число,  0 , может быть не целым.
Рассмотрим ряд, который называется биномиальным рядом
m(m  1) 2
m(m  1)...( m  n  1) n
x  ... 
x  rn ( x) .
(1  x) m = 1  mx 
2!
n!
Этот ряд абсолютно сходится при x  1 .
Интервал сходимости будет R  ( 1,1) , ряд расходится при x  1 .
Можно показать:
что если m >0, то интервал сходимости R  [1,1] , и ряд абсолютно сходится в
этом интервале;
если x  1 , m  0 , или x  1, m  1 , то ряд расходится;
если x=1,  1  m  0 , то ряд сходится условно.
Если m целое положительное число, то биномиальный ряд представляет собой формулу
бинома Ньютона.
Примеры.
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = e  x .
2
x2
xn
 ... 
 o( x n ) . Сделав замену y   x 2 , в
2!
n!
приведенное выше разложение вместо x подставим y , получим
Воспользуемся разложением e x  1  x 
y2
yn
 ... 
 o( y n ) , а теперь снова сделаем замену y   x 2 , получим
2!
n!
x4 x6
x 2m
 1 x2 

 ...  (1) m
 o( x 2m ) .
2! 3!
m!
ey  1 y 
e x
2
2. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) =
x3
1 x2
.
1
Воспользуемся биномиальным разложением при m   , т.к.
2
1
1 x2
 1
1
1 x2

1
2
 (1  x ) , то
2
1 2 1 3 4 1 3  5 6
x 
x 
x  ... , интервал сходимости R  ( 1,1) ,отсюда
2
24
246
10
x3
1 x2
= x3  
1 5 1 3 7 1 3  5 9
x 
x 
x  ...
2
24
246
3. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = sin 2 x .
1 1
sin 2 x =  cos 2 x . Интервал сходимости sin x, cos x одинаков и R  (,) .
2 2
1 1
1 1  (2 x) 2 (2 x) 4
(1) n1 2 2 n x 2 n 
  ... =
sin 2 x =  cos 2 x =  1 

 ... 
2 2
2 2
2!
4!
(2n)!

 x2 x4
(1) n1 2 2 n1 x 2 n

= 
 ... 
3
(2n)!
 1

  ...

Приложение полученных формул к элементарным функциям.
1. Формулы Тейлора и Макларена с удаленным остаточным членом можно
рассматривать как приближенные формулы для расчета значений функций в окрестности
заданных точек. Погрешность такого приближения определяется величиной
отбрасываемого остаточного члена. В частности, для формулы Маклорена с остаточным
членом Rn (x) .
Mx n1
, где М – константа, ограничивающая по
(n  1)!
абсолютной величине (n +1) – ю производную функции в рассматриваемой окрестности.
Имеет место следующая оценка Rn ( x) 
Пример 1. Вычислить e с точностью 0,001.
x2
xn
Mx n1
ex  1 x 
 ... 
 rn (x) , где rn (x) 
,
2!
n!
(n  1)!
1
e  12 
1
( e  e 2 ) , то М= e , тогда rn (x) 
 0,001 . Подсчет
2
(n  1)!
показывает, что уже n=4 обеспечивает требуемую точность, поэтому
n 1
М= max( e x ) . Т.к. x 
 1   1  633
1 1 
e = e  1  2  2  2 
 1,6484 .
2
2
6
24 384
Табличное значение e =1,6487.
2
3
4
1
2
2. Остаточный член в формуле Тейлора может быть использован в форме Пеано
n
rn (x) = o ( x  x 0 ) , который удобно использовать при вычислении пределов.
1  cos 3 x
.
x0 5x 2  7 x 3
Используем эквивалентность бесконечно малых величин при x  0 .
При x  0 имеем 5 x 2  7 x 3 ~ 5 x 2 , поэтому при разложении числителя оставляем
степени не выше второй, т.к. в знаменателе стоит x 2 . Преобразуем числитель
Пример 2.
Найти lim
11






lim 1 cos 3 x == lim [ 1 cos x 1  cos x  cos 2 x ]= lim 1 cos x lim 1  cos x  cos 2 x =
x0
x0
x0
x0
x2
=3 lim
1 cos x . По формуле Маклорена cos x  1   o( x 2 ) , тогда
x0
2!
3
31  cos x  3
3 1
1  cos x
x2
lim
lim
  0,3 .
при x  0 , и lim
=
=
=
2
2
2
3
x0 5x  7 x
x0
5 x  0 x 2! 5 2
5x
x2
1  cos x ~
2!
Пример 3.
Для функции f ( x)  x 4  3x  2 написать формулу Тейлора 2-го порядка с остаточным
членом в точке x0  1 , написать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение  ,
соответствующий аргументу x  0.
f (1)  2, f (1)  7, f (1)  12, f (1)  24 .
f ( x)  2  7( x  1)  6( x  1) 2  4(1   ( x  1))  ( x  1) 3 .
f (0)  2 ,  2  2  7  6  4(1   )  (1) ,
 3  4  (1   )
3
1
(1   )  ,  
4
4
1
Ответ :  
4
Задания для самостоятельной работы
1. Найти радиус и интервал сходимости ряда
(1) k x 2 k 1
Дан степенной ряд 1 


 ...  k
 ... .Известно, что этот
5 2 5 2 3 53 4
5 k 1
ряд сходится на интервале (  5 , 5 ) . Исследовать сходимость ряда на правом конце
интервала и на левом конце интервала.
2n  x n


(4n  1)5 n
n 1


10 n  x n
n 1
n
n
n1
( 1) n ln n

n
n 2

 (1)
n 1
n 1
x3
x 2n1
(2n  1)!

n  x n1

n 1 n  1



 (nx )

x

n 0
2n x n
n
n
x 2 n 1
5 n n 1
n 1
(4n  1)5


2n x n
n 0
(2n  1) 2 3 n
n 1
n 1
2n  x n
n

n 1 1000n  1

 (1)


(2n  1) 2 3 n


(2n  1) 2 3 n
xn

n
n 1 (2n  1)2
2 x
n 1
n 0

n
1   ( 1)

x5
x 2n1
(2n  1)!

n


 (  2)
n 1
10  x n
 (1)
n 1
x 2n
n
n 1

n
n
n 1
x 2n1
(2n  1)!
12
2. Разложить в ряд Маклорена функции:
ln[( 1  2 x )(1  2 x )]
1 x
ln
1 x
ln[( 1  2 x )(1  x )]
ln
tg x2
1 x
1 x
1 2x
cos2x
xe2 x
1
1 x
x5
1 x
ln
ex 1
x
x
1 x
arctgx
1
1 x2
1 x
1 2x
e x sin x
1
1 x
1
1 x2
sin( 2 x  2)
x 1
arcsin x
1
e2x
1 x2
ex
2
x3
1 x2
3.Разложить многочлен x 3  5 x  7 в ряд Тейлора в точке x0  2 .
4. Разложить многочлен 2 x 3  3 x 2  5 x  1 в ряд Тейлора в точке x0  1
5. Разложить в ряд Тейлора функцию y  x 4  x 2 по степеням ( x  1) .
6. Разложить в ряд Тейлора функцию y 
7. Для функции f ( x) 
1
x
1
по степеням ( x  2)
x
написать формулу Тейлора 3-го порядка с остаточным
членом в точке x0  1
8. Для функции f ( x) 
x
написать формулу Тейлора 3-го порядка с остаточным
x 1
членом в точке x0  2 .
9. Для функции f ( x)  x 4  4 x 2  x  3 написать формулу Тейлора 2-го порядка с
остаточным членом в точке x0  1 , написать остаточный член в форме Лагранжа и найти
значение  , соответствующий аргументу x  0, x  1, x  2. .
10. Вычислить e . Сколько нужно взять членов разложения, чтобы обеспечить
точность до: а) первого десятичного знака;
б) до второго десятичного знака.
11. Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,001, приближенное
5
33 , ln( 1,05) .
значение:
sin 1,
12. Применяя почленное интегрирование , вычислить суммы рядов :
а) x  2 x 2  3x 3  4 x 4  ...
б) x  4 x 2  9 x 3  16 x 4  ...
13. Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы рядов :
13
x3 x5

 ...
3
5
x3 x5 x7
б) x 

 .  ..
3
5
7
а) x 
14. Найти следующие пределы:
1). lim
x0
3). lim
x0
e x  ex  2
x2
cos x  e
x4
7). lim
x0
x0
2
x
2
4).
e e
x (1  sin 3 x)
sin x
5). lim
x0

e x  ex  2x
x  sin x
2). lim
lim
x0
tgx
3
e x sin x  x(1  x)
x3
x  1  sin( 2 x  2)
9). lim
x 1 x  1  sin( 3 x  8)
6). lim
x0
e
sin x  x
x3

x2
2
 cos x
x sin x
3
8). lim
x0
1  cos 3 x
5x 2  7 x 3
3
2
10). lim
x ( x 1  x 1  2 x)
x
14